IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
2014 Letnik 61
OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
OBZORNIK MAT. FIZ. * LJUBLJANA- LETNIK 61 • ŠT. 5 • STR 161-200-SEPTEMBER 2014
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, SEPTEMBER 2014, letnik 61, številka 5, strani 161-200
Naslov uredništva: DMFA-založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski racun: 03100-1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešic, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Clani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o rečipročnosti z Ameriškim matematičnim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi meseč. Sofinančira jo Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-nančiranje domačih znanstvenih periodičnih publikačij.
(g 2014 DMFA Slovenije - 1953	Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz matematike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvleček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in čitirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyright). Prispevki so lahko oddani v računalniški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrstičami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj napisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima rečenzentoma, ki morata predvsem natančno očeniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Ce je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TgX oziroma LTgX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
PROBLEM UMETNOSTNE GALERIJE
ALEKSANDRA FRANC
Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 52B55, 55R05
Predstavimo Kleejev problem umetnostne galerije in Fiskovo elegantno reSitev. Nato si ogledamo stevilne zanimive izpeljanke in končamo s sorodnim in trenutno se neresenim problemom vsiljivca.
ART GALLERY PROBLEM
Klee's art gallery problem and Fisk's elegant solution are presented. We then explore several variations on the original problem and conclude with a somewhat related and currently unsolved Evasion Problem.
Uvod
Probleme, ki si jih bomo ogledali, bi lahko motivirali s pripovedko o rav-barjih, ki ž elijo s plenom pobegniti na varno, in ž andarjih, ki jih želijo pri tem ujeti. Mi se bomo seveda postavili na stran pravice, ampak da ne bo vse skupaj prevec suhoparno, bomo raje ostali zvesti zgodovinskim formulacijam, tako da bodo ž andarje enkrat zamenjali pazniki, drugic pa vitezi ali senzorji. Le nepridipravi bodo ostali nepridipravi, in v zadnjem primeru bomo za trenutek sami prestopili na temno stran.
Najprej si oglejmo problem, ki se je znasel v naslovu tega clanka in ki je bil tudi zgodovinsko prvi.
Denimo, da moramo v prostore na sliki 1 namestiti paznike tako, da bodo lahko nadzorovali prav vsako točko. Pazniki vidijo 360° okoli sebe (lahko se vrtijo na mestu), ne morejo pa videti skozi zidove, prav tako pa se ne smejo sprehajati naokrog. Vsak paznik nas nekaj stane, zato jih seveda zelimo najeti cim manj.
Hitro opazimo, da lahko drugi prostor nadzorujemo z enim samim spretno postavljenim paznikom, medtem ko sta za vsakega od preostalih dveh prostorov potrebna po dva. Kaj pa, ce so tlorisi prostorov, ki jih zelimo nadzorovati, se bolj zapleteni?
Naslednji problem je avgusta leta 1973 na konferenci v Stanfordu zastavil ameriski matematik Victor Klee [7]:
Problem 1. Tloris umetnostne galerije ima obliko (ravninskega) mnogoko-tnika z n oglišči. Najmanj koliko paznikov potrebujemo, da bo vsako točko v galeriji nadziral vsaj eden?
(a)
(b)
(c)
Slika 1. Kam naj postavimo paznike, Ce želimo nadzorovati ves prostor, pri tem pa uporabiti cim manj paznikov?
V osnovni različici problema pazniki ves čas stojijo vsak na svojem mestu in vidijo 360° okoli sebe. Na sliki 2 sta dva primera postavitve, pri čemer smo vsakič osenčili območje, ki ga paznik nadzira.
Za začetek predpostavimo se, da galerija nima notranjih dvorisč. Tedaj je mnogokotnik, ki predstavlja tloris galerije, enostavno povezan, tj. brez lukenj. V splosnem bo odgovor močno odvisen od geometrije tlorisa, ampak problem nas spras uje po zgornji meji za stevilo paznikov, ki bodo zagotovo lahko nadzirali vso galerijo. Zelimo torej univerzalni odgovor, ki bo odvisen le od stevila ogli sč. Seveda bo včasih, ko bo geometrija prostora dovolj lepa, dovolj ze manj paznikov.
Naloga 1. Na sliki 1 označi, kam moramo postaviti paznike.
Naloga 2. Narisi tloris galerije, ki ima 8 oglisč, pa jo vseeno lahko nadzorujemo z enim samim paznikom. Nato narisi se tloris galerije z 8 oglisči, za katero nujno potrebujemo vsaj dva paznika.
Slika 2. Kaj vidi paznik?
Problem umetnostne galerije
Zadostno število paznikov dobimo tako, da število ogli šč delimo s 3 in rezultat zaokrožimo navzdol:
Izrek 1 (Problem umetnostne galerije). Za nadzor mnogokotnika z n oglišči brez lukenj vedno zadošča paznikov.
Zgornjo trditev je prvi dokazal Vašek Chvatal [2] leta 1975, leta 1978 pa je Steve Fisk [5] na š el kraj š i in nadvse eleganten dokaz, ki si ga bomo ogledali tudi mi.
Dokaz. Mnogokotnik najprej trianguliramo (da triangulacija obstaja, lahko pokaz emo z indukcijo na š tevilo ogli š č ), nato pa njegovih n ogli š č pobarvamo s tremi barvami (recimo rdečo, modro in zeleno) tako, da ima vsak trikotnik natanko eno oglišče vsake barve. Ce zelimo dokazati, da tako barvanje obstaja pri n > 4, se moramo najprej prepričati, da vsaj eden od trikotnikov v triangulačiji, označimo ga s T, vsebuje tri zaporedna oglišča mnogokotnika (in torej natanko dve straniči mnogokotnika in eno diagonalo). To ni čisto trivialno (glej [4, Corollary 1.9]). Nato lahko spet uporabimo indukčijo na število ogli šč, da konstruiramo iskano barvanje. Ce namreč izvzamemo tisto oglišče trikotnika T, ki pripada straničama, potem lahko preostala oglišča po indukčijski predpostavki pobarvamo s tremi barvami. Ker je to ogli šče povezano le z dvema sosednjima ogliščema, ga gotovo lahko pobarvamo s tretjo barvo (sosednji oglišči sta različnih barv, ker sta povezani z diagonalo).
Po Diričhletovem prinčipu zagotovo obstaja barva, ki ne more biti na več kot ogli ščih. Rečimo, da smo pri barvanju najmanjkrat uporabili rdečo. Ni tez ko videti, da tedaj zadošč a postaviti straz arje v rdeča ogli šča, pa bodo imeli pod nadzorom vso galerijo. Vsak trikotnik ima namreč vsaj eno rdeče ogli šče in iz tega ogli šča zagotovo vidimo ves trikotnik.	■
Slika 3. Fiskova rešitev: Paznike postavimo v oglišča, ki so pobarvana z najmanj pogosto barvo.
Ne smemo pozabiti, da je to samo zgornja meja in bo marsikdaj zadoščalo že manj paznikov. Na posameznih primerih lahko z nekaj spretnosti določimo minimalno stevilo paznikov, ki jih potrebujemo za nadzor celotnega mnogokotnika, in v nadaljevanju si bomo ogledali nekaj takih primerov. Omenimo se, da so algoritmi, ki bi določili minimalno stevilo paznikov za dani mnogokotnik, računsko zahtevni. Natančneje: Problem, ki za dani mnogokotnik M in dano stevilo k odloči, ali k paznikov zados č a za nadzor M, sodi med NP-tezke probleme. Ce bi nasli algoritem, ki bi ta problem res il v polinomskem času, bi s tem pokazali, da je P = NP in si prisluzili milijon dolarjev [3].
Naloga 3. Za prostora na sliki 4 poi s č i kaksno minimalno razporeditev paznikov.
Relativno enostavno pa se lahko prepričamo, daje zgornja meja iz izreka 1 v splosnem res najboljsa moz na. Na sliki 5 je primer poligona s 3n ogli s č i,
Slika 5. Primer mnogokotnika, za katerega je zgornja meja dosežena.
Seveda so v resničnem zivljenju prostori redko taki kot v tem ekstre-mnem primeru. Stene se običajno stikajo pravokotno. Ce se omejimo na n-kotnike, v katerih so vsi koti enaki 90° ali 270°, se izkaze, da vedno zado-s ča manj paznikov kot v posplo senem primeru. Naslednji izrek so dokazali Jeff Kahn, Maria Klawe in Daniel Kleitman [8] leta 1980.
Izrek 2 (Problem ortogonalne galerije). Za nadzor mnogokotnika z n oglišči, v katerem se nosilke zaporednih stranic sekajo pod pravim kotom, vedno zadošča paznikov.
Kaj pa, če paznikom dovolimo, da se sprehajajo naokrog? Denimo, da se lahko vsak od njih premika po enem od robov n-kotnika in ima pod nadzorom vse točke, ki jih lahko vidi z vsaj ene točke na tem robu. Jasno je, da bomo v tem primeru za popoln nadzor potrebovali manj paznikov, vendar natančna zgornja meja ni znana. Godfried Toussaint je postavil domnevo, da za velike n za nadzor poljubnega n-kotnika zadosča [jj paznikov (glej [4], str. 18, ali [9], 3. poglavje).
Naloga 4. Koliko potujočih paznikov bi potrebovali za nadzor galerije s slike 5?
Ker pa smo se paznikov z e malo navelič ali, jih lahko zamenjamo z modernimi svetlobnimi plosčami, ki celotno steno spremenijo v vir svetlobe, in se vprasamo, najmanj koliko takih plosč potrebujemo, da bomo lahko osvetlili celotno galerijo.
Domneva 1 (Toussaint). Za osvetlitev galerije potrebujemo svetlobnih sten.
Kaj pa, če stene galerije prekrijemo z ogledali? Ni znano, ali takrat zado s č a ze en sam točkast vir svetlobe (upo s tevamo, da velja odbojni zakon).
Naloga 5. Premislimo, kaj se zgodi, če ima galerija notranja dvorisča, ki imajo prav tako kot galerija obliko mnogokotnika. Poi s č i zgornjo mejo za stevilo paznikov, ki lahko nadzorujejo galerijo z n ogli s č i in h luknjami, če ves , da za triangulačijo take galerije potrebujemo n + 2h — 2 trikotnikov.
Naloga 6. Koliko vitezov potrebujemo, da bodo nadzorovali prav vsako toč ko grajskega obzidja, prikazanega na sliki 6 (ne pa nujno tudi grajskih dvori s č )? Koliko lokostrelčev moramo razporediti po zunanjem robu obzidja, da bodo nadzorovali vso okoličo gradu (zunaj obzidja)? Koliko lokostrelčev pa potrebujemo, če zelimo, da nadzorujejo tudi notranji dvorisči?
Prej s nja naloga nas je pripeljala do sorodnega problema, kjer zelimo namesto notranjosti nadzorovati zunanjost n-kotnika. V tem primeru poznamo natančno zgornjo mejo tudi pri nestačionarnih paznikih.
Problem trdnjave
Problem trdnjave sta neodvisno drug od drugega zastavila Deričk Wood in Joseph Malkelvitčh. Zanima nas, koliko strazarjev potrebujemo, da bodo nadzorovali zunanjost n-kotnika. O'Rourke in Wood sta leta 1983 pokazala,
Slika 6. Koliko vitezov potrebujemo, da bodo nadzorovali vsako tocko grajskega obzidja? Koliko lokostrelcev, da bodo nadzorovali vso okolico gradu?
da vedno zadošča paznikov in da vcasih manj paznikov ni dovolj (glej [9], 6. poglavje). Yiu in Choi [1] sta predlagala izpeljanko problema, kjer se vsak paznik lahko premika po enem od robov n-kotnika, in dokazala, da je v tem primeru natančna zgornja meja [']. Yiu [10] je nato oba problema posplosil:
Izrek 3 (Posplošeni problem trdnjave). Denimo, da lahko paznike postavljamo tako, da se vsak lahko premika po k — 1 zaporednih robovih n-
kotnika. Tedaj za nadzor zunanjosti n-kotnika vedno zadošča
kov.
k+1
pazni-
Posledica 4 (Problem trdnjave).
zadošča stacionarnih paznikov.
Za nadzor zunanjosti n-kotnika vedno
Naloga 7. Kaj nam posledica 4 pove za primer trdnjave s slike 6 v primeru stacionarnih lokostrelcev? Primerjaj oceno z natančnim rezultatom iz naloge 6. Koliko lokostrelcev pa potrebujemo pri k = 2, tj. ko se lahko vsak od njih premika vzdolz ene stranice? Primerjaj tocni odgovor z zgornjo mejo iz izreka 3.
Problem ubeZnika
Nazadnje si oglejmo se bolj realisticno verzijo problema, v kateri se pazniki lahko prosto premikajo po galeriji. V tem primeru bi seveda ze z enim samim paznikom lahko s primerno izbranim obhodom zagotovili, da bo vsaka tocka galerije pod nadzorom vsaj enkrat med obhodom. Vendar pa lahko v vsakem danem trenutku tudi pri uporabi vec mobilnih paznikov obstajajo obmocja, ki niso pod nadzorom.
Bodimo spet moderni in tokrat zamenjajmo paznike z mobilnimi senzorji, n-kotnik, ki je predstavljal galerijo, pa s poljubnim ravninskim obmo-cjem D. Denimo, da se senzorji premikajo po obmocju D in da lahko vsak
zazna vsiljivce, ki so od njega oddaljeni za največ d. Medtem ko bodo nasi senzorji potovali po območju D, bodo obstajali deli območja, ki ne bodo pod nadzorom. Ta nenadzorovana območja zeli izkoristiti nepridiprav, ki hoče pobegniti s plenom. Slika 7 prikazuje situačijo v nekem trenutku t. S časom se slika spreminja, osenčena območja se lahko zdruzujejo, lahko izginjajo ali pa nastajajo nova.
Slika 7. Ravninsko območje D s senzorji. Osenčena območja niso pokrita, v njih se lahko neopazen zadrZuje vsiljivec.
Nepridiprav je ob času 0 v točki x0, ki ni pod nadzorom, in zeli neopazen v času 1 priti do toč ke xi. Za vsak čas t € [0,1] naj bo Pt podmnoz iča območja D, kije v tem trenutku pokrita s senzorji, medtem ko je Nt = D\Pt nepokrito območje, v katerem je ob času t nas dolgoprsti kolega varen. Situačijo lahko predstavimo grafično, če os x predstavlja č asovno, osi y in z pa prostorski komponenti. Pri vsakem t € [0,1] nari semo v ravnini x = t območji Pt in Nt in tako dobimo prostor
D x [0,1] = |J (Pt U Nt). te[0,i]
Ker bo pomembna samo topoloska informačija, lahko sliko nekoliko poenostavimo. Območje D zamenjamo z diskom, prav tako pa tudi vsak kos nepokritega območja. Rezultat bo tedaj podoben kot v primeru na sliki 8.
Primer 1. Kot primer si oglejmo situačijo, prikazano na sliki 8. Ob času 0 imamo tri nepokrita območja. Ob času ti se prvi dve območji zdruzita v eno, ob času t2 iz tretjega območja nastaneta dve, ki se ob času t3 spet zdruzita. Ob času t4 se prvo od območij spet razdeli na dve, ampak ena od komponent ob času t6 izgine. Ob času t5 nastane novo nepokrito območje, ki obstane do konča. Ob času 1 imamo tako spet tri nepokrita območja, vendar je lahko vsiljiveč le v dveh izmed njih. Ce je bil na začetku varen v prvem ali drugem nepokritem območju, potem je lahko na konču neopazen v prvem območju, če pa je bil na začetku v tretjem območju, potem lahko konča v drugem. V tretjem končnem območju ne more biti, ne da bi ga vmes zaznali senzorji.
Slika 8. Grafični prikaz spreminjanja pokritosti s časom.
Med situačijama na slikah 7 in 8 je pomembna razlika. Na prvi sliki obstajajo nepokriti kosi na robu območja D, medtem ko je v vsakem trenutku t na drugi sliki rob dD vedno povsem pod nadzorom. V nadaljevanju bomo predpostavljali, da je rob dD vedno pod nadzorom senzorjev, tj. dD C Pt za vse t € [0,1].
Vin de Silva in Robert Grist [6] sta nasla preprost kriterij, ki nam pove, kdaj se vsiljiveč zagotovo ne bo mogel izmuzniti.
Izrek 5. Ce obstaja topoločki disk B, ki v celoti lezi v pokritem območju, tj. B C Ute[0 1] Pt, z robom dB C dD x I, potem pobeg ni mogoč.
(a)	(b)
Slika 9. (a) Obstoj diska, ki v celoti lezi v nadzorovanem območju, nam pove, da vsiljivec ne more pobegniti. (b) Vsiljivec lahko pobegne po oznaceni poti.
Preprost primer, ko tak disk B obstaja, je prikazan na sliki 9(a), kjer očitno vsiljiveč nima moznosti za pobeg, medtem ko lahko na sliki 9(b) vsiljiveč pobegne po ozna čeni poti.
Poudariti moramo, da obratna trditev ne velja. Lahko se zgodi, da tovrsten disk ne obstaja, pa vsiljiveč vseeno ne more pobegniti, ker bi vsak uspesen pobeg vključeval potovanje v preteklost. Taka situačija je ilustrirana na sliki 10. Kriterija, ki bi znal iz topoloske informačije o prostoru
Utefo 1] P c D x I vedno odlociti, ali vsiljivec lahko pobegne ali ne, za zdaj se ne poznamo.
Slika 10. Pobeg ni mogoč, ker bi pri vseh možnih poteh morali na določenem odseku potovati nazaj v času, vendar pa tudi disk iž izreka 5 ne obstaja.
Rešitve nalog
Rešitev naloge 1. Močnih postavitev je seveda več, za vsak primer je narisana po ena na sliki 11, kjer so pazniki označeni z zvezdicami. Vsak od osenčenih trikotnikov v primerih (a) in (c) mora vsebovati vsaj enega paznika, ker sicer ne bi imeli pod nadzorom ogličč, označenih s krogci. Ker sta v obeh primerih osenčena kosa disjunktna, je jasno, da potrebujemo vsaj dva paznika. Poleg tega moramo pri postavljanju tudi paziti, da oba paznika ■skupaj vidita celotno nepokrito območje.
(a)	(b)	(c)
Slika 11. Resitev naloge 1: Vsako od osenčenih območij mora vsebovati vsaj enega paznika.
Rešitev naloge 2. Prva dva primera na sliki 12 prikazujeta galeriji z 8 oglisči, ki ju lahko nadzoruje en sam paznik. V tretjem primeru sta očitno potrebna dva paznika, sicer nimamo pod nadzorom točk, označenih s krogci, ki sta vidni samo z osenčenih območij.
Rešitev naloge 3. Vsako od osenčenih območij na sliki mora vsebovati vsaj enega paznika, sicer ne vidimo točk, označenih s polnimi krogci. V
prvem primeru torej potrebujemo vsaj pet paznikov, v drugem vsaj tri. Hitro se lahko prepričamo), da imajo pod nadzorom celotno galerijo, ce jih postavimo na mesta, označena z zvezdicami.
Rešitev naloge 4. Samo enega, seveda. Naročimo mu, naj se sprehaja po najdaljši vodoravni stranici. Za galerijo v obliki glavnika z n zobci torej potrebujemo vseh n = |_3fJ stacionarnih paznikov (doseze zgornjo mejo iz izreka 1), vendar pa zadosca ze en sam potujoci paznik.
Rešitev naloge 5. Preprost odgovor bi bil n + 2h — 2, saj je galerija gotovo pod nadzorom, ce dobi vsak trikotnik svojega paznika. Seveda se da to zgornjo mejo precej izboljsati, vendar ne moremo slepo posnemati Fiskovega dokaza, ker se lahko hitro prepricamo, da v tem primeru za barvanje oglisc grafa, ki ga dobimo s triangulacijo, vcasih potrebujemo vec kot tri barve. Dokazemo pa lahko, da zadosca |^ra+2fej paznikov. Ideja je, da mnogokotnik popravimo tako, da se s tem znebimo lukenj. Za vsako luknjo obstaja vsaj ena diagonala mnogokotnika iz triangulacije, ki jo povezuje z zunanjim ob-mocjem ali z drugo luknjo. Ce mnogokotnik prerezemo vzdolz te diagonale, dobimo nov mnogokotnik, ki ima eno luknjo manj, poleg tega pa dve novi oglisci (in dve novi stranici). Preprost primer je prikazan na sliki 14. Z nekaj truda lahko pokazemo, da diagonale lahko izbiramo tudi tako, da pri rezanju mnogokotnik ne razpade na vec kosov. Ko koncamo, dobimo mno-gokotnik brez lukenj z n + 2h oglisci, od koder z uporabo izreka 1 dobimo rezultat.
Slika 14. Rešitev naloge 5: Mnogokotnik z luknjo lahko z rezom vzdolž ene od diagonal spremenimo v mnogokotnik brez luknje in z dvema oglišcema vec.
Rešitev naloge 6. V prvem delu naloge moramo spet poiskati čim več točk, ki jih lahko nadzorujemo samo iz disjunktnih območij. Tokrat nam jih uspe najti 6, kar nam da spodnjo mejo za število vitezov. Hitro vidimo, da je 6 vitezov tudi dovolj, če jih postavimo v točke, ki so na sliki 15 označene z zvezdičami.
Zdaj pa poglejmo, kam postaviti lokostrelče, da jih bomo za nadzor okoliče trdnjave potrebovali čim manj. Spet poisčemo točke, tokrat v ravnini zunaj obzidja, ki jih lahko nadziramo le z majhnega kosa zunanjega robu obzidja. Na sliki 16 smo jih označili s krogči, pripadajoče kose na robu obzidja pa narisali z odebeljeno črto. Od tu sklepamo, da bomo potrebovali vsaj 6 loko-strelčev. Hitro se prepričamo, da jih 6 zadosča, če jih na primer postavimo na mesta, ki so na sliki 16 označena z zvezdičami. Kaj pa notranji dvorisči? Vsako od njiju lahko nadzorujemo z enim samim lokostrelčem, ki ga lahko postavimo kamorkoli na rob dvorisča, zato za nadzor čelotnega območja skupaj potrebujemo 8 lokostrelčev.
Rešitev naloge 7. Po poslediči 4 potrebujemo kvečjemu [nfl lokostrelčev, če je n stevilo oglisč. Hitro vidimo, da je n = 22, kar pomeni, da potrebujemo največ 11 lokostrelčev. Pri prejsnji nalogi smo premislili, da jih v re-sniči potrebujemo le 6. Ce se lokostrelči lahko premikajo vzdolč ene straniče,
potem jih po izreku 3 potrebujemo kvečjemu = 7. V resnici zadoščajo trije. Do postavitve lahko hitro pridemo tako, da 6 odebeljenih lomljenk s slike 16 razdelimo v tri pare tako, da sta v vsakem paru dve lomljenki, ki sta na obzidju zaporedni. Lokostrelce lahko potem postavimo na tiste stranice, ki povezujejo po dve lomljenki iz istega para.
LITERATURA
[1]	A. K. O. Choi in S. M. Yiu, Edge guards for the fortress problem, Journal of Geometry 72 (2001), 47-64.
[2]	V. Chvatal, A combinatorial theorem in plane geometry, J. Combin. Theory Ser. B 18 (1975), 39-41.
[3]	Clay Mathematics Institute, Millenium problems. http://www.claymath.org/ millennium-problems, ogled 9. 12. 2014.
[4]	S. L. Devadoss in J. O'Rourke, Discrete and Computational Geometry, Princeton University Press, 2011.
[5]	S. Fisk, A short proof of Chvatal's watchman theorem,, J. Combin. Theory Ser. B 24 (1978), 374.
[6]	R. Ghrist in V. de Silva, Coordinate-free Coverage in Sensor Networks with Controlled Boundaries via Homology, International Journal of Robotics Research 25 (2006), 1205-1222.
[7]	R. Honsberger, Mathematical Gems II, Mathematical Association of America, 1976, 104-110.
[8]	J. Kahn, M. M. Klawe in D. J. Kleitman, Traditional galleries require fewer watchmen, SIAM Journal on Algebraic Discrete Methods, 4 (1983), 194-206.
[9]	J. O'Rourke, Art Gallery Theorems and Algorithms, Oxford University Press,1987, http://cs.smith.edu/~orourke/books/ArtGalleryTheorems/art.html, ogled 9. 12. 2014.
[10] S. M. Yiu, A generalized fortress problem using k-consecutive vertex guards, Journal of Geometry 72 (2001), 188-198.
HIGGSOV BOZON
TOMAŽ PODOBNIK
Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani Institut »JoZef Stefan«
PACS: 12.15.-y,14.80.Bn
Standardni model elektrosibke in mocne interakcije je trenutno veljavna fizikalna teorija mikroskopskega sveta. V okviru modela imajo posredniki šibke interakcije (sile) - delci W W- in Z0 - maso zaradi spontanega zloma simetrije. Mehanizem spontanega zloma lahko ponazorimo s preprostimi prispodobami iz makroskopskega sveta. Poleg tega, da mehanizem razlozi maso posrednikov sibke sile, napoveduje tudi obstoj dodatnega delca - Higgsovega bozona. Delec z lastnostmi, ki se dobro ujemajo z napovedanimi lastnostmi Higgsovega bozona, sta leta 2012 neodvisno odkrili mednarodni skupini ATLAS in CMS v Evropski organizaciji za jedrske raziskave CERN, s čimer sta potrdili hipotezo o spontanem zlomu simetrije kot izvoru mase. Dva izmed avtorjev hipoteze, Francois Englert in Peter Higgs, sta lani prejela Nobelovo nagrado za fiziko.
THE HIGGS BOSON
The Standard Model is a theory of the electroweak and strong interactions, mediating the dynamics of the known subatomic particles. According to the Model, the mediators W +, Wand Z0 of the weak interactions gain mass by the mechanism of spontaneous symmetry breaking - by interaction with the Higgs field. The mechanism can be illustrated by simple allegories. Apart from explaining the mass of W± and Z0, the hypothesis of spontaneous symmetry breaking predicts existence of a condensate of the Higgs field, the so-called Higgs boson. In 2012, the ATLAS and CMS experiments at the Large Hadron Collider at the European Organization for Nuclear Research CERN reported independently that they found a new particle with properties as expected for the Higgs boson. This is a strong evidence for the hypothesis of spontaneous symmetry breaking, and two of its authors, Francois Englert and Peter Higgs, were awarded the Nobel Prize in Physics for 2013.
Koncept mase v fiziki osnovnih delcev
V skladu z drugim Newtonovim zakonom je pospešek telesa premosorazme-ren s silo na telo. Sorazmernostni koeficient med obema količinama je masa telesa, ki je mera za vztrajnost: ob enakih silah na dve telesi je pospesek telesa z večjo maso manjsi od pospeska telesa z manjso maso.
Ce hočemo določiti maso telesa iz kvocienta sile na telo in iz pospeska telesa, moramo torej izmeriti pospesek in poznati silo. Magnetna sila na telo je na primer odvisna od električnega naboja telesa, od njegove hitrosti in od gostote magnetnega polja, medtem ko pospesek telesa določimo iz ukrivljenosti njegovega tira.
"V, [GeV/cJ]
Slika 1. Porazdelitev zaznanih fotonskih parov po invariantni masi m77 [1]. a) Pike s črticami, ki označujejo pričakovane statistične fluktuacije, prikazujejo izmerjeno porazdelitev, polna gladka krivulja prikazuje pričakovano porazdelitev, črtkana krivulja pa pričakovano porazdelitev brez prispevka razpadov Higgsovega bozona v dva fotona (ozadja). b) Izmerjena in pričakovana porazdelitev z odstetim ozadjem. Masa Higgsovega bozona priblizno sovpada z vrhom porazdelitve.
Tako lahko določimo maso protonov (vodikovih jeder) in elektronov, za nevtralne ali za kratkožive delce pa metoda odpove. Njihovo maso m določimo npr. iz energije E, ki se sprosti pri njihovem razpadu,
m = -s,	(1)
pri čemer je c0 hitrost svetlobe v vakuumu. Slika 1a) prikazuje porazdelitev parov fotonov (paketov elektromagnetnega valovanja) po invariantni masi mYY = Eyy/c0 [1], pri čemer je EYY skupna energija fotonskega para v njegovem tezisčnem sistemu. Enota GeV/c0 priblizno ustreza masi 0,938 GeV/c0 vodikovega atoma. Na območju mas okoli 125GeV/c0 je izmerjeno stevilo razpadov večje od pričakovanega, kar je mogoče razloziti s tvorbo Higgso-vih delčev in njihovimi razpadi v dva fotona. Slika 1b) prikazuje razliko med izmerjeno in pričakovano porazdelitvijo brez tvorbe Higgsovih delčev (ozadjem). Polozaj vrha te porazdelitve določa maso mH ~ 126, 5GeV/c0 Higgsovega delča, sirina vrha pa je poslediča omejene natančnosti pri re-konstrukčiji energije E77 (prispevek k sirini porazdelitve zaradi kratkega razpadnega časa Higgsovih delčev je v danem primeru zanemarljiv).
0
Higgsov bozon Kvantna teorija polja — teorija motnje
a)
2 + - e0 3 0	u	t
1 —e0 30	d	* v y
0	»	4* v v
- eo	e	v V
II III
± e„
b)
g
«g
* ±
z0
Slika 2. Standardni model osnovnih delcev in interakcij. a) Tri generacije osnovnih delcev (I, II in III). V vsaki generaciji je kvark z električnim nabojem +2e0/3, kvark z nabojem — e0/3, lepton z nabojem — e0 in nevtralni lepton (nevtrino), pri cemer je e0 osnovni naboj 1, 6 • 10-19 As. Za vsak kvark in lepton obstaja Se ustrezni antidelec. b) Posredniki mocne, elektromagnetne in sibke sile (interakcije): 8 gluonov g, foton y in sibki bozoni W +, W- in Z0. Standardni model ne vkljucuje gravitacije.
0
0
0
I
Osnovni gradniki snovi so kvarki in leptoni (slika 2a): atome sestavljajo elektroni (leptoni e-) in jedra iz protonov in nevtronov - vezanih stanj kvarkov u in d. V okviru kvantne teorije polja so sile posledica izmenjave posrednikov sil (slika 2b). To lahko ponazorimo s Človekoma na čolnih (slika 3), ki na začetku mirujeta. Potem ko eden izmed njiju, ki v rokah drzi tezko zogo, to zogo vrze proti drugemu in jo drugi ujame, se čolna gibljeta vsaksebi. Sklepamo, da je med čolnoma delovala odbojna sila. Privlačno silo lahko ponazorimo z izmenjavo bumerangov namesto zog.
Enkratno izmenjavo zoge (slika 4a) imenujemo osnovni red delovanja sile. V visjih redih - pri večkratni izmenjavi zoge (slika 4b) - je učinek (sunek) sile sičer večji, vendar je večkratna izmenjava zog manj verjetna: v povprečju prispevek vsakega naslednjega reda k spremembi hitrosti (gibalne količine) čolnov pomeni le manjso motnjo v primerjavi s prispevkom predhodnega reda. Delovanje sile med čolnoma lahko opisemo s teorijo motnje, če vsota prispevkov posameznih redov konvergira in je izračunana sprememba gibalne količine posameznega čolna zelo natančna ze, če upostevamo le nekaj najnizjih redov.
Slika 3. Colna, ki na začetku mirujeta, se po izmenjavi žoge gibljeta vsaksebi.
Sila med nevtrinom ve, ki je priletel v detektor Super-Kamiokande, in mirujočim elektronom e- v vodi je tako posledica izmenjave posrednikov sibke sile Z0 in Wvpadni nevtrino na primer izseva Z0, ki ga elektron absorbira, zato se mu spremeni hitrost. Ce je hitrost elektrona po trku večja od hitrosti svetlobe v vodi, elektron seva svetlobo Cerenkova, ki jo zaznajo fotopomnoZevalke na steni detektorja (slika 5).
Masa posrednikov sibke sile in mehanizem Brouta, Englerta in
Higgsa (BEH)
V primerjavi z brezmasnimi fotoni - posredniki elektromagnetne sile - so posredniki sibke sile masivni, mW± ~ 80GeV/c0 in mZo ~ 91GeV/c2 Najenostavnej sa teorija sibke interakcije, ki vključuje masivne W± in Z0, je model Glashowa [2, str. 257], ki se v osnovnem redu (pri enkratni izmenjavi posrednikov sile) zelo dobro sklada z rezultati meritev stevilnih procesov. Na zalost pa v omenjenem modelu delovanja sibke sile ni mogoče opisati s teorijo motnje: vsota prispevkov k posameznemu procesu, ki vključujejo večkratno izmenjavo posrednikov sile, ne konvergira, razlog za to pa tiči prav v masi W± in Z0 [2, str. 258].
Leta 1964 sta Frančois Englert in Robert Brout razvila mehanizem za tvorbo mase W± in Z0 [3], s katerim je mogoče dopolniti model Glashowa tako, da omogoča opis sibke sile s teorijo motnje. Neodvisno je istega leta Peter Higgs pokazal [4], daje tak mehanizem neločljivo povezan z obstojem masivnega nevtralnega delča. Mehanizem napoveduje relativno pogostost posameznih razpadnih načinov Higgsovega delča, ne napoveduje pa njegove mase, ki je prost parameter teorije.
Ideje mehanizma so matematične narave: povezane so s simetrijo (inva-riančo) izraza za gostoto energije glede na rotačije v abstraktnem prostoru sibkega izospina. V bolj vsakdanjem jeziku je poglavitna ideja mehanizma ta, da brezmasni W± in Z0 postanejo masivni zaradi sklopitve z dodatnim
Slika 4. Položaj prvega in drugega čolna, xi in x2, v odvisnosti od časa. a) Oba čolna na začetku mirujeta. Ob času t1 človek na prvem (levem) čolnu vrže v smeri proti drugemu čolnu težko žogo, pri čemer se sam, skupaj s čolnom, začne premikati v nasprotni smeri. Let žoge ponazarja črtkana črta. Ob času t2 človek na drugem čolnu ujame žogo in se skupaj s svojim čolnom žačne gibati v smeri leta žoge. b) Enako kot v primeru a), le da ob času t3 človek iž drugega čolna vrže žogo nažaj proti prvemu čolnu, kamor prileti ob času t4.
(Higgsovim) poljem. Za zelo preprosto ponazoritev mehanizma potrebujemo plastenko s pokrovčkom, v katerega zvrtamo luknjico. V plastenko nalijemo za nekaj prstov vode, prizgemo vzigalico, na sredini stisnemo plastenko, da se nekoliko deformira, pristavimo plamen k njenemu ustju in jo spustimo, da deformacija izgine, pri čemer v plastenko posrka nekaj saj (prasnih delcev) plamena. Privijemo pokrovcek in skozi luknjico vpihnemo v plastenko nekaj zraka, da je tlak v njeni notranjosti vecji od okoliskega. S prstom pokrijemo luknjico tako, da ohranimo nadtlak, in pretresemo plastenko, da postane zrak v njej nasiceno vlazen. Ko sedaj odmaknemo prst z luknjice na pokrovu, v plastenki nastane megla: zaradi prvotnega nadtlaka nekaj zraka uide iz plastenke, ob razpenjanju se zniza temperatura preostalega zraka v notranjosti, ki tako postane prenasiceno vlazen, zato del vodne pare kondenzira okoli prasnih delcev. Kapljice, ki pri tem nastanejo, imajo dosti vecjo maso od kondenzacijskih jeder.
V opisanem poskusu so vodne pare v plastenki pred nastankom megle prispodoba za Higgsovo polje, razpenjanje in ohlajanje zraka je prispodoba za razpenjanje in ohlajanje vesolja v prvih trenutkih po velikem poku, lahki in drobni prasni delci so prispodoba za brezmasne fotone, kapljice okoli kondenzacijskih jeder pa za masivne W +, W- in Z0. Opisani mehanizem zlomi simetrijo: v nasprotju z posredniki sibke sile se fotoni ne sklapljajo s Higgsovim poljem in ostanejo brezmasni.
Slika 5. Levo: detektor Super-Kamiokande med polnjenjem z vodo. Stekleno steno detektorja tvorijo okna fotopomnoZevalk (detektorjev svetlobe). Desno: svetloba Cerenkova v obliki obroča. Razmazanost vzorca je posledica trkov sevajočega elektrona z drugimi elektroni in jedri v vodi.
Pri tem ne smemo pozabiti, da je se tako nazorna prispodoba za fizikalno teorijo le prispodoba in zato ne more v celoti zaobjeti ideje, zapisane v matematičnem jeziku enacb. Posebnost Higgsovega polja je v tem, da omogoča nastanek Higgsovih delcev - kondenzatov polja (kapljic) brez konden-zacijskih jeder. Higgsov delec je električno nevtralen in brez lastne vrtilne količine (bozon): v prispodobi si ga lahko predstavljamo kot kroglico, ki se ne vrti okoli svoje osi. Podobno kot izhlapijo kapljice megle v plastenki, Higgsovi delci v casu 10-22 s razpadejo v kvarke, leptone in posrednike sil.
Od napovedi Higgsovega bozona do njegovega odkritja je minilo
48 let
Mednarodni skupini ATLAS in CMS sta leta 2012 odkrili nov nevtralni delec [1, 5] s priblizno 2,5-kratno maso zelezovega atoma in z lastnostmi, ki se skladajo z napovedanimi lastnostmi Higgsovega bozona (slika 1). Odkritje podpira hipotezo o izvoru mase s spontanim zlomom simetrije, zato sta Francois Englert in Peter Higgs leta 2013 prejela Nobelovo nagrado za fiziko (Robert Brout je umrl leta 2011).
Slika 6. Odsek tunela s trkalnikom LHC. V notranjosti valjastih magnetov sta dve vakuu-mizirani cevi, po katerih v nasprotnih smereh krožijo protoni. Magnete od zunaj hladijo s tekočim helijem, hladilni sistem pa obdaja se izolacija (evakuiran sloj), ki preprečuje pritekanje toplote iz okolice.
Od napovedi Higgsovega bozona do podelitve nagrade za napoved je minilo 49 let, kar je drugo najdaljSe obdobje za Nobelove nagrade za fiziko: več - 53 let - je minilo le od odkritja elektronskega mikroskopa Ernsta Ruske leta 1933 do podelitve nagrade leta 1986. Razlog za tako dolgo čakanje na nagrado je v čakanju na potrditev obstoja Higgsovega delca, razlog za čakanje na eksperimentalno potrditev pa je v zahtevnosti eksperimenta.
Higgsovih delcev, ki so nastali tik po velikem poku, ze zdavnaj ni več, zato so jih morali ustvariti umetno. Ustvarili so jih s trki protonov v velikem hadronskem trkalniku LHC v Evropski organizaciji za jedrske raziskave CERN pri Zenevi. Projekt LHC je verjetno največji dosedanji znanstveni eksperiment. Od ideje do začetka delovanja trkalnika in detektorjev je poteklo več kot 20 let, pri projektu pa je sodelovalo in se sodeluje več kot 6000 znanstvenikov, tudi Slovenčev. Za potrditev obstoja Higgsovega bozona je bilo treba 3 leta meriti in analizirati zabelezene trke.
Pred vstopom v LHC gruče protonov pospesijo v več stopnjah. V LHC, v katerem poloviča gruč krozi v smeri urinega kazalča, druga poloviča pa v nasprotni smeri, protone pospesijo do končne energije okoli 4000 GeV (4 TeV). Obroč trkalnika ima obseg okoli 27 km in poteka v tunelu okoli 100 m pod zemeljskim povrsjem. Tire protonov v obroču krivijo posebej oblikovani su-praprevodni magneti z gostoto magnetnega polja 4T (slika6). Načrtovanje, konstrukčija in preverjanje delovanja magnetov ter stabilno delovanje čelo-
tnega sistema tvorijo velikanski tehnolo ski zalogaj. Med delovanjem trkal-nika je temperatura magnetov okoli -271 °C in ze napaka v enem samem magnetu (od okoli 1600) ali v stiku med sosednjima magnetoma lahko ogrozi čeloten projekt, vreden okoli 8 milijard svičarskih frankov.
Poti nasprotno krozečih gruč protonov se na stirih mestih krizajo in del kinetične energije trkajočih protonov se lahko porabi za tvorbo novih delčev - v povprečju enkrat na vsakih 100 milijard trkov tudi za tvorbo Higgsovega bozona. Najprej je torej treba zagotoviti dovolj veliko stevilo trkov: na vsakem izmed stirih mest se poti dveh gruč krizata vsakih 25 ns in pri vsakem krizanju pride hkrati tudi do 20 in več protonskih trkov (slika na naslovniči). Delči, ki pri trkih nastanejo, pustijo sledi v obliki električnih signalov v detektorjih, ki obdajajo območja krizanja gruč (interakčijske točke). Prozilni sistem poskrbi, da se na računalniske diske zapi sejo le signali trkov, pri katerih bi utegnil nastati Higgsov ali kaksen drug zanimiv deleč. Iz zapisanih signalov nato rekonstruirajo tire posameznih delčev v detektorju (Higgsov deleč, ki nastane pri trku dveh protonov, skoraj takoj spet razpade, detektor zazna le njegove razpadne produkte, na primer stiri visokoenergijske mione; slika na naslovniči).
Kljub filtriranju je delez trkov, pri katerih je v resniči nastal Higgsov bozon, med vsemi zapisanimi trki se vedno zelo majhen, količina vseh zapisanih podatkov pa toliksna, da jih z računalniki, ki so bili na voljo pred dvajsetimi leti, ne bi mogli ne rekonstruirati ne ustrezno analizirati. Rekon-strukčija in analiza podatkov danes temelji na distribuiranem računalni stvu (računalnistvu v oblaku), pri katerem so tako diski s podatki kot pročesorji porazdeljeni v več sredi sčih po vsem svetu, med drugim tudi na Institutu »Jozef Stefan« v Ljubljani.
Iskanje razpadov Higgsovega bozona v rekonstruiranih podatkih spominja na iskanje igle v kopiči sena. Najprej je treba izbrati razpadne načine bozona (igle), kakrsna sta na primer omenjena razpada v dva fotona ali v stiri mione, z največjim pričakovanim razmerjem med signalom in ozadjem (med stevilom igel in velikostjo kopiče sena). Za izbrane razpade je učinkovitost ločevanja signala od ozadja povezana z natančnostjo izmerjenih lastnosti razpadnih produktov. Za zaznavo Higgsovega bozona med vsemi trki, pri katerih sta na primer nastala dva visokoenergijska fotona, je ključen detektor za merjenje energije fotonov (elektromagnetni kalorimeter), s katerim lahko poleg energije fotonov določimo tudi točko njunega izvora (razpada bozona). Od natančnosti meritve omenjenih količin je namreč odvisna s irina vrha izmerjene porazdelitve fotonskih parov po njihovi inva-riantni masi (slika 1) in čim sir si je vrh - signal za obstoj Higgsovega bozona, tem tezje ga opazimo. Drugi razpadni načini so povezani s stevilnimi dodatnimi zahtevami, ki jih je bilo treba upostevati in medsebojno uskladiti pri načrtovanju in izdelavi detektorjev. Večji izmed obeh detektorjev, ATLAS [6], je tako sestavljen iz več plasti (detektorskih komponent), ki obdajajo
interakcijsko tocko in skupaj tvorijo valj osnovne ploskve premera 25 m in dolžine 46 m. Konstrukcija marsikatere komponente in pripadajoče elektronike, na primer omenjenih elektromagnetnih kalorimetrov, je zahtevala sprotni razvoj do tedaj neobstoječe tehnologije.
Veliko odkritje
Potrditev obstoja Higgsovega delca je veliko odkritje. Kaže na to, da si je narava izbrala mehanizem za tvorbo mase posrednikov sibke sile (mehanizem BEH), ki omogoca opis delovanja sibke sile v okviru teorije motnje. Eksperimentu, ki je pripeljal do odkritja, bi tezko nasli primerjavo v celotni znanstveni zgodovini. Poleg ze omenjenih znanstvenih in tehnoloskih ovir je bilo na poti do odkritja treba premagati tudi politicne in socioloske ovire. Politicne, ker je bilo treba prepricati drzave clanice CERN-a in drugih so-delujocih institucij, da so ves cas nacrtovanja, konstrukcije in meritev sproti potrpezljivo financirale projekt (vlada ZDA pri financiranju projekta su-praprevodnega supertrkalnika SSC, konkurencnega projektu LHC, ni imela takega potrpljenja). Socioloskega, ker je bilo za obdobje 30 let, kar je vecina clovekove delovne dobe, treba prepricati vec tisoc znanstvenikov, da so bili po svojih najboljsih moceh pripravljeni sodelovati in prispevati vse svoje sposobnosti za en sam cilj.
Res zanimivo, da tako majhen delec, kot je Higgsov bozon, lahko privlaci toliksno pozornost.
LITERATURA
[1]	ATLAS Collaboration, Observation of a new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC, Phys. Lett., B716 (2012) 1-29.
[2]	F. Mandl in G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1993.
[3]	F. Englert in R. Brout, Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons Phys. Rev. Lett. 13 (1964) 321-323.
[4]	P. W. Higgs, Broken symmetries, massless particles and gauge fields, Phys. Lett. 12 (1964) 132-133.
[5]	CMS Collaboration, Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC, Phys. Lett. B716 (2012) 30-61.
[6]	ATLAS Collaboration, The ATLAS Experiment at the CERN Large Hadron Collider, JINST 3 (2008) p. S08003.
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
VESTI
DEVETDESET LET PROFESORJA JOSIPA GRASSELIJA
Konec novembra 2014 je visok življenjski jubilej, devetdeset let, praznoval profesor Josip Grasselli, pripadnik prve povojne generacije slovenskih matematikov. Kljub Častitljivi starosti se zdi Čil in mladosten kot pred dvajsetimi ali tridesetimi leti, ko je se predaval studentom na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo Univerze v Ljubljani. Se vedno pride občasno na Jadransko 19 in obisče matematično knjiznico. Preden se loti svojega dela, rad spregovori nekaj besed s knjizničnim osebjem ali z znancem. Naključni obiskovalec čitalnice v njem običajno vidi mirnega in skromnega človeka, ki je ves zatopljen v knjigo ali članek. Njegovi nekdanji učenci in ka-snejsi sodelavci, ki ga ze dolgo poznamo, pa vemo, da se pod nevsiljivo zunanjostjo skriva iskrivi duh univerzitetnega profesorja stare sole z bogatimi predavateljskimi izkusnjami in ugledom strokovnjaka za teorijo stevil.
Josip Grasselli je bil rojen 24. novembra 1924 v ¡Šentjakobu pri Celju v druzini malega trgovca. Solal se je na osnovni soli v ¡Šentjurju pri Celju ter na gimnaziji v ¡Šentvidu pri Ljubljani (tik pred vojno) in v Celju (v prvih vojnih letih). Kot mnogi drugi je na lastni kozi okusil strahote druge svetovne vojne. Bil je mobiliziran v nemsko vojsko, konec leta 1942 poslan na vzhodno fronto, kjer je bil naslednje leto ranjen, se zdravil in se poleti 1944 srečno vrnil domov. Po vojni se je leta 1945 vpisal na filozofsko fakulteto ljubljanske univerze. Diplomiral je iz matematike in fizike leta 1951. Po pri-pravnistvu na gimnaziji v Murski Soboti je bil od leta 1953 do 1957 srednje-solski profesor za matematiko na II. gimnaziji v Celju, nato pa so ga povabili za asistenta na Tehnisko fakulteto Univerze v Ljubljani. V naslednjih treh letih je vodil vaje iz matematike za studente Fakultete za rudarstvo, metalurgijo in kemijsko tehnologijo, ki je prav tedaj nastala iz Tehniske fakultete.
Obenem se je se naprej izobraževal na podiplomskem tečaju, organiziranem pri matematičnem institutu Univerze v Ljubljani (predhodniku IMFM), in sicer iz funkcionalne analize, ki je bila takrat nova obetajoča matematična disciplina. Pozimi in spomladi studijskega leta 1959/60 je osem mesecev prebil na in stitutu za matematicno analizo univerze v Torinu, kjer se je s podporo stipendije italijanske vlade izpopolnjeval pri profesorju Francescu Tricomiju. Doktoriral je pod mentorstvom profesorja Ivana Vidava leta 1961 z disertacijo Sebiadjungirani elementi Banachove algebre brez enote. V sest-desetih letih je veckrat aktivno sodeloval pri t. i. specialnih podiplomskih seminarjih na IMFM, kjer je npr. med drugim kot prvi pri nas predaval o lokalno konveksnih prostorih. Skupaj s kolegi je tudi napisal nekaj raziskovalnih porocil iz funkcionalne analize, kasneje pa se s tem podrocjem ni vec ukvarjal.
Za predavatelja je bil izvoljen leta 1961, za docenta leta 1963, za izrednega profesorja leta 1974 in za rednega profesorja leta 1980. Kot univerzitetni ucitelj je vse do upokojitve leta 1991 na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo pouceval matematiko I in II studente kemije, veckrat tudi kemijske in tekstilne tehnologije, obcasno farmacije ter geologije. Matematiko je pogosto predaval tudi na Fakulteti za arhitekturo, gradbeni stvo in geodezijo, enkrat pa je s tecajem linearne algebre gostoval tudi na 3. stopnji na Ekonomski fakulteti. Mnogim generacijam inzenirjev je ostal v spominu kot strog, a obenem izredno korekten in posten ucitelj, kot dober strokovnjak in kot izvrsten predavatelj. Pri njegovih predavanjih so prvic (nekateri pa naj-brz tudi zadnjic) spoznali vrednost matematicne eksaktnosti, ki je podlaga naravoslovnim in tehniskim vedam.
S tudentom matematike je v zacetku osemdesetih let predaval linearno in od 1985 do 1993 abstraktno algebro. Veckrat je zanje vodil seminar v 3. ali 4. letniku, in sicer iz njemu ljubega podrocja, iz teorije stevil. Razlicna poglavja iz te tematike je nekajkrat predstavil poslu salcem tudi na izobraze-valni smeri podiplomskega studija matematike, nazadnje se v solskem letu 1994/95, ze po upokojitvi. Med studenti matematike je bil spostovan kot predavatelj in priljubljen kot mentor. Od leta 1976 do 1996 je pri njem diplomiralo 38 matematikov, eden med njimi pa je pri njem leta 1996 tudi magistriral.
Profesor Grasselli slovi kot pisec stevilnih matematicnih clankov in knjig. Z njimi je slovenski javnosti priblizal tista podrocja matematike, ki so mu bila blizu. Od konca petdesetih do konca osemdesetih let je v Obzorniku objavil stiri clanke iz analize (npr. o Stieltjesovem integralu, odvodu v abstraktnih prostorih in o Fourierovih vrstah) in deset iz teorije stevil (od transcendentnih in normalnih stevil do desetega Hilbertovega problema in do Mordellove domneve), od leta 1985 do 2005 pa v Preseku se 22 zanimi-
Elementarno teorijo števil je leta 2009 izdalo DMFA - založništvo.
vih prispevkov z različnimi temami o številih (od egipčanskih ulomkov do Catalanove domneve). Za Obzornik je prispeval tudi ocene devetih knjig, v glavnem iz algebre in teorije števil. Slednja mu je bila vedno prva izbira; o njej je v zbirki Sigma izdal več knjig, najprej Osnove teorije števil leta 1966, ki je bila predelana leta 1974 in povsem obnovljena leta 2009 s spremenjenim naslovom Elementarna teorija .števil (o isti tematiki je leta 1985 za Zavod za solstvo pripravil tudi učbenisko gradivo). V Sigmi so izsle se njegove Diofantske enačbe (1984) in nekaj let kasneje Diofantski približki (1992). V ugledni zbirki monografij Matematika-fizika je kot del Vi sje matematike II luč sveta leta 1975 zagledala njegova razprava Linearna algebra, ki je bila v posebnem zvezku skupaj z Vadnalovim Linearnim programiranjem, ponatisnjena leta 1986 (in kasneje se večkrat). V isti zbirki so izsla njegova Algebraicna števila (1983), bil pa je tudi eden od prevajalčev Dev-linove Zlate dobe matematike (1993). Tolik s na produktivnost bi vsakemu »normalnemu« matematičnemu avtorju zadosčala za več kot eno zivljenje. Toda profesor Grasselli tudi po osemdesetem letu ni odnehal. Za vrh njegove ustvarjalnosti lahko stejemo obsezno delo Enciklopedija števil, ki je s svojimi 691 stranmi in z več kot 160 gesli brez primerjave v novej si slovenski matematični literaturi. Razlage stevilnih gesel so pravi samostojni članki, dolgi pogosto deset in več strani.
Enciklopedija števil, ki jo je napisal profesor Grasselli, leta 2008 pa jo je izdalo DMFA -založništvo.
Ce kdo meni, da ob vsem svojem delu ni imel posluha za potrebe ožje ali SirSe matematične skupnosti, se krepko moti. V letih 1957-1959 je bil tajnik Drustva matematikov in fizikov, sodeloval je pri vodenju krožkov in tekmovanj za mladino, v sestdesetih letih pa je bil odgovoren za stike z Zvezo jugoslovanskih dru stev. Večkrat je predaval na drustvenih in drugih seminarjih za učitelje. Od decembra 1967 do marca 1970 je bil predsednik DMFA Slovenije in od 1974 do 1978 član nadzornega odbora. Za nesebično strokovno in organizačijsko delo pri dru stvu je bil leta 1994 imenovan za njegovega častnega člana. Vodstvene funkčije je opravljal tudi na fakulteti, čeprav si jih gotovo ni zelel. V letih 1969-1971 je bil predstojnik matematično-fizikalnega oddelka na FNT, pred tem in za tem pa namestnik predstojnika. V obdobju, ko je bilo to politično zaukazano, je na oddelku in fakulteti tako kot drugi prevzemal različne samoupravne funkčije. Tudi te svoje obveznosti je seveda opravljal potrpezljivo in korektno.
Profesor Josip Grasselli nam je s svojim bogatim znanjem ter s svojo delavnostjo, vzdrzljivostjo in sposobnostjo premagovanja tezav, pa tudi s skromnostjo in nevsiljivo prijaznostjo lahko za vzgled in navdih. Ob visokem jubileju mu zelimo, da bi v zdravju ob upravičenem zadovoljstvu se veliko časa uzival plodove svojega dobro opravljenega dela za slovensko matematiko.
Milan Hladnik
STROKOVNO SREČANJE IN 66. OBČNI ZBOR DMFA, CERKNO, 24. IN 25. 10. 2014
Letos poteka 200 let od rojstva Franca Močnika, zato smo srečanje organizirali v njegovem rojstnem kraju Cerknem. Ze pred srečanjem smo se predstavniki drustva udeleZili dveh dogodkov, povezanih s to obletnico. V Cerkljanskem muzeju smo se 30. septembra udeleZili otvoritve razstave Z vrlino in delom. Na razstavi je tudi plakat drustva, ki sta ga izdelala Marko in Nada Razpet. Več o razstavi si lahko preberete na spletnem naslovu: http:// www.muzej-idrija-cerkno.si/index.php/sl/lokacij erazstave/obas-ne-razstave/cerkljanski-muzej.html. 1. oktobra pa smo prisostvovali ponovnemu odkritju prestavljenega doprsnega kipa Franca Močnika. Kip je odkril Marko Razpet.
Na drustvenem strezniku, kjer se prijavljajo učitelji, je bilo uradno prijavljenih 44 udelezenčev, kar je prečej manj, kot jih je bilo prejsnja leta.
Povzetke in razporede predavanj smo ze sredi septembra objavili na domači strani drustva. Prav tako je bil predhodno objavljen tudi urnik.
V Biltenu, ki so ga prejeli vsi udelezenči, smo objavili poročila o delu drustva in povzetke predavanj.
Ker so povzetki predavanj objavljeni tako na spletni strani kot v Biltenu, naj navedemo le predavatelje in naslove predavanj v enakem vrstnem redu, kot so se zvrstili:
Petek, 24. oktobra 2014
Fizika:
•	Gorazd Planinsič, Eugenia Etkina: Kako učinkovito vključiti sodobne naprave v pouk fizike? Primer: sveteče diode (LED)
•	Tomaz Kranjč: O načelu ekvivalence
•	Janez Strnad: Mala zgodovina svetlobe v desetih zgodbah; Ob mednarodnem letu svetlobe
•	Ales Mohorič: Interferenca na tanki plasti in se kaj
•	Boris Kham, Dasa Rozmus: Višina nebesnega objekta, krivulje in matematične funkčije
•	Mitja Rosina: Podobnosti med curkom svetlobe in curkom nevtrinov
•	Ivo Verovnik: Opazovanje interference z nekoherentnimi izviri svetlobe
•	Andrej Likar: Ujeta svetloba
•	Barbara Rovsek: Analiza rezultatov tekmovanja za Štefanova priznanja v letu 2013/2014
•	Janez Bonča: Neravnovesna dinamika koreliranih elektronskih sistemov (vabljeno predavanje)
Prof. dr. Janez Bonca je prejel Zoisovo nagrado za vrhunske dosezke za raziskave na področju močno sklopljenih elektronov v trdnih snoveh.
Astronomija — seminar:
•	Andrej Gustin: Snemajmo planete, Luno in Sonce Sodeloval je Boris Kham s temo Opazujmo globoko vesolje.
Matematika:
•	Marko Razpet: Matematika v Mocnikovem casu
•	Mateja Sirnik: Matematika v casu Franca Močnika in danes
•	Izidor Hafner: Računalniška rekonstrukcija Močnikove prve računice
•	Peter LegiSa: Mere in merska reforma v Mocnikovih ucbenikih
•	Milan Hladnik: Franc Mocnik in konstrukcija pravilnega petkotnika
•	Zvonko Perat: Od vrline z delom do pritlehnosti z igro
•	Mojca TrampuS: Pes pri pouku matematike? Sala ali kaj drugega?
•	Nada Razpet: Izbor Mocnikovih geometrijskih nalog
•	Zlatan Magajna: Franc Mocnik v današnji Soli
•	Damjan Kobal: (Mocnikova) matematika: Razumevanje in smisel
•	Branko SuStar: Svetovi Mocnikovih prevodov. Razsirjenost ucbenikov matematike Franca Mocnika in poznavanje njegovega dela v nekaterih dezelah Evrope
•	Jan Guncaga: Historical Mathematics Textbooks as a Resource for Motivation in Mathematics Education
Posebej bi poudarili, daje Branko SuStar, sodelavec Slovenskega Šolskega muzeja, navezal stike z Mocnikovimi proucevalci iz deZel nekdanje Avstro-Ogrske in da bomo o Močniku v naslednjih letih lahko izvedeli se kaj novega. Tudi Jan Guncaga, ki dela na Catholic University in Ruzomberok Faculty of Education, je nasel nekaj povezav med Mocnikovimi ucbeniki in ucbeniki drugih avtorjev na Slovaskem.
Večerni delavnici:
•	Renata Babic: Ustvarjajmo z ravnilom in sestilom
•	Nada Razpet: Od Mocnika do origamija
Žal je zopet odpadlo opazovanje nocnega neba, ki ga je bil pripravljen voditi Boris Kham. Videti je, da so se udelezenci na vecerne delavnice ze navadili, zato bomo z njimi nadaljevali tudi v prihodnje.
Sobota, 25. oktobra 2014
Zaceli smo z vabljenima predavanjema.
•	Matej BreSar: Nekomutativna algebra
•	TomaŽ Zwitter: Medzvezdna snov
Prof. dr. Matej Bresar je prejemnik Nagrade Republike Slovenije za znanstveno-raziskovalno delo. Letos je izSla pri založbi Springer tudi njegova knjiga z naslovom: Introduction to Noncommutative Algebra. Uvedel nas je v teorijo nekomutativnih algeber.
Prof. dr. Tomaž Zwitter je prejel Zoisovo priznanje za pomembne znanstvene dosezke v astrofiziki in astronomiji.
Nadaljnja predavanja so zopet potekala v dveh sekcijah. Fizika:
•	Robert Repnik in Roman Ocvirk: Varno opazovanje Sonca s helioskopom
•	Nada Razpet: Svetlobni pojavi v hiši in zunaj nje
•	Tine Golez: Podobnotrikotniško raziskovanje fotografije
•	Karel Smigoc: Heronov vodomet
Z zadnjim predavanjem je bilo lepo sklenjeno dopoldansko delo fizikov, saj je nas častni clan Karel Smigoc prikazal delovanje omenjenega vodometa na 2 m visokem modelu. Pred kosilom smo se ujeli primerno vreme, da smo lahko s helioskopom opazovali Sonceve pege.
Matematika:
•	Janez Zerovnik: Descartesova metoda rašunanja tangent in alternativna definicija odvoda
•	Dusan Pagon: Sistemi linearnih enašb v Mošnikovih ušbenikih in v luci sodobnih IKT
•	Matija Lokar: Franc Mošnik, Wolfram Alpha, Mathematica, GeoGebra in drugo
•	Bostjan Ketis: Primerjava utrjevanja pri matematiki med spletno ušil-nico in delovnimi listi
Po kosilu smo se odpravili v Cerkljanski muzej, kjer smo si najprej ogledali razstavo Z vrlino in delom in si pod vodstvom Milojke Magajna ogledali se stalno razstavo o cerkljanskih lavfarjih Pust je kriv! in se seznanili z zgodovino Cerkljanskega.
Strokovno srečanje in 66. občni zbor DMFA 66. obcni zbor DMFA
Občnega zbora, ki se je pričel ob 17. uri, se je udeležilo 43 članov DMFA Slovenije (od teh 6 častnih članov). Imel je naslednji dnevni red:
1.	Otvoritev
2.	Izvolitev delovnega predsedstva
3.	Drustvena priznanja
4.	Poročila o delu drustva
5.	Razprava o poročilih
6.	Vprasanja in pobude
7.	Računovodsko in poslovno poročilo DMFA Slovenije za leto 2013
8.	Razresitve in volitve
9.	Razno
Ad 1. Ker je bilo ob 17.00 navzočih manj kot poloviča članov DMFA Slovenije, smo začetek v skladu s 16. členom Pravil DMFA Slovenije prestavili za pol ure. Zato je pred pričetkom občnega zbora Milan Hladnik spregovoril o zivljenju in delu dr. Franča Močnika.
Ad 2. V delovno predsedstvo so bili izvoljeni: predsednik Mitja Rosina, člana Milan Hladnik in Stanislav Pirnat, zapisnikar Janez Krusič. Za overovatelja zapisnika sta bila izbrana Janez Bonča in Matjaz Zeljko.
Ad 3. Za častnega člana DMFA Slovenije je bil imenovan dr. Izidor Hafner. Utemeljitev je prebral Marko Razpet.
Drustvena priznanja so prejeli: Boris Kham, profesor fizike, dr. Barbara Rovsek (Univerza v Ljubljani, Pedagoska fakulteta) in Darinka Zi-Zek, profesoriča matematike (Srednja ekonomska sola v Mariboru).
Utemeljitve je prebrala Lučijana Kračun Berč.
Ad 4. Poročila o delu drustva so bila objavljena v Biltenu. Razprav in pripomb ni bilo.
Ad 5. Mitja Rosina je opozoril na premajhno stevilo obiskov drustvene domače strani www. dmfa. si. Priporočal je tudi, da se člani drustva v večjem stevilu udelezujejo drustvenih strokovnih ekskurzij. Maja Remskar je kot kandidatka za predsedničo slovenskega odbora za fiziko predstavila vizijo svojega delovanja v upravnem odboru DMFA Slovenije. Poročila so bila sprejeta brez dodatnih razprav.
Ad 6. Potrjen je bil sklep upravnega odbora, da se prijavnina za ude-lezbo na tekmovanjih v solskem letu 2014/2015 ne spremeni, če se ne bodo bistveno spremenili pogoji sofinančiranja. Za tekmovanja, ki se končajo z mednarodno olimpijado (MaSS-A, FiSS, astronomija SS) je prijavnina na najnizji stopnji 2,50 EUR, za vsa druga tekmovanja v organizačiji DMFA
Slovenije pa 1,50 EUR. Za udeležbo na višjih stopnjah tekmovanja prijav-nine ni.
Ad 7. O sklepih nadzornega odbora je poročal Milan Hladnik:
1.	pravilnost finančnega poslovanja za leto 2013 je nadzorni odbor ugotovil na svoji seji 19. 3. 2014;
2.	z delom upravnega odbora je nadzorni odbor vseskozi seznanjen, bodisi s prisotnostjo na sejah bodisi z zapisniki sej upravnega odbora;
3.	v delu upravnega odbora do občnega zbora nadzorni odbor ni zaznal nepravilnosti niti v tekočem letu in ne vidi razlogov za njegovo razresitev ob izteku mandata.
Računovodsko in poslovno poročilo DMFA Slovenije za leto 2013 je bilo objavljeno v Biltenu in je bilo soglasno sprejeto.
Ad 8. Na predlog delovnega predsednika je občni zbor razresil dosedanji upravni odbor, nadzorni odbor in častno razsodisče. Mitja Rosina se je članom razresenih organov zahvalil za njihovo uspesno delo in občnemu zboru predlagal kandidatno listo za voljene organe DMFA Slovenije za obdobje 2015 in 2016. Sprejet je bil predlog, da so volitve javne. Navedimo le imena novih nosilčev funkčij pri DMFA Slovenije.
Novi predsednik DMFA Slovenije je postal Matej Bresar, predsednik slovenskega odbora za matematiko je postal Bostjan Kuzman, predsedniča slovenskega odbora za fiziko pa Maja Rem skar, prejsnjega člana nadzornega odbora Milana Hladnika je zamenjal Andrej Likar.
Občni zbor je pooblastil upravni odbor, da poi sče in imenuje tajnika stalne komisije za pedagosko dejavnost. Za izkazano zaupanje se je zahvalil izvoljeni predsednik Matej Bres ar.
Celotni sestav drustvenih organov je objavljen na spletni strani drustva. Ad 9. Na predlog Matjaza Zeljka je občni zbor pooblastil upravni odbor, da prilagodi tekmovalne pravilnike v naslednjih primerih:
1.	Ce do konča leta ne bomo prejeli zagotovila, da se bodo srebrna priznanja na regijski oziroma področni stopnji tekmovanja po novem upostevala pri vlogi za pridobitev Zoisove stipendije, bomo srebrna priznanja na vseh tekmovanjih podeljevali na drzavni ravni tekmovanja.
2.	Ce pride do bistvenega zmanj sanja finančnih sredstev pri sofinančiranju tekmovanj v znanju s strani Ministrstva za izobrazevanje, znanost in sport, se to uravnovesi z ustreznim povečanjem prijavnine na tekmovanja, lahko pa tudi s spremembo stevila ravni posameznih tekmovanj.
Občni zbor se je končal ob 19. uri.
Nada Razpet in Janez Krusic
DR. IZIDOR HAFNER NOVI CASTNI CLAN, BORIS KHAM, DR. BARBARA ROVŠEK IN DARINKA ŽIŽEK PREJEMNIKI PRIZNANJ DMFA SLOVENIJE
Sestinsestdeseti občni zbor DMFA Slovenije je 25. oktobra 2014 na predlog upravnega odbora za novega častnega člana DMFA Slovenije imenoval dr. Izidorja Hafnerja.
Izidor Hafner
Izidor Hafner je bil rojen leta 1949 v Ljubljani. Gimnazijo je obiskoval v Beogradu in Ljubljani. Že kot dijak se je uspe s no udelezeval matematičnih tekmovanj za srednje solce. Diplomiral je leta 1972 z diplomskim delom Popolnost predikatnega računa na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo v Ljubljani na smeri tehnična matematika. Na isti fakulteti je z magistrskim delom Regularni kolobar in maksimalni kolobar ulomkov končnega Baerovega *-kolobarja leta 1974 tudi magistriral. Pred doktoratom se je znanstveno izobrazeval tudi v Veliki Britaniji in Severni Irski. Leta 1983 je na Fakulteti za elektrotehniko obranil doktorsko disertacijo Kompleksnost teorij Lesniewskega in njihova uporaba.
Ze kot student se je na Institutu »Jozef Stefan« v Ljubljani ukvarjal z računalnistvom in logiko. Tema dvema panogama, v katerih je videl velik pomen za razvoj znanosti in tehnologije, je ostal zvest ves čas svojega delovanja na univerzi, od leta 1974, ko je postal asistent, in nato kot visoko-solski učitelj, vse do upokojitve leta 2013. Predaval je diskretne strukture, matematiko in programiranje. Zavzemal se je za uvedbo računalnistva in logike v sole na vseh nivojih in za ustrezno izobrazevanje učiteljev. Tako je leta 1977 organiziral prvo republi sko tekmovanje iz računalni stva, leta 1986 pa pričel ustanavljati krozke iz robotike v srednjih solah in malo kasneje se poletne krozke za najboljse studente računalnistva.
Z vso vnemo se je Izidor Hafner lotil tudi vpeljave logike v osnovne in srednje sole. Izdelal je ustrezne učne načrte za ta predmet in leta 1986 pričel organizirati tekmovanja iz logike, prva na svetu, čemur je leta 1990 pridruzil se tekmovanja iz razvedrilne matematike. V ta namen je ustanovil tudi revijo Logika in razvedrilna matematika in zanjo prevzel uredni-stvo ter si pridobil zveste sodelavče. Zadnja leta se veliko ukvarja s poli-edri, njihovo konstrukčijo in ustrezno računalnis ko podporo. Vodi stevilne poliedrske delavniče. Ustanovil je tudi Hiso poliedrov, kjer se obiskovalči seznanjajo z modeli in mrezami poliedrov ter prisostvujejo različnim delav-ničam. Na spletni strani http://demonstrations.wolfram.com/author. html?author=Izidor+Hafner ima objavljenih več kot 640 kratkih interaktivnih demonstračij s področja planarnih in prostorskih likov ter teles.
Izidor Hafner na Obenem zboru
Od leta 2009 dalje poteka pod okriljem Fakultete za matematiko in fiziko, Instituta za matematiko, fiziko in mehaniko ter DMFA Slovenije seminar za zgodovino matematičnih znanosti. Izidor Hafner je sodeloval s svojimi prispevki o zgodovini logike na Slovenskem in na Poljskem, predstavil je zivljenje in delo Raymonda Smullyana, ki mu je za mnoge knjige prav on priskrbel prevode v slovensčino. Pod drobnogled je vzel tudi Vegove lo-garitmovnike, v katerih je s podporo lastnih računalniskih programov iskal napake. Ti programi so tudi dostopni na svetovnem spletu.
Izidor Hafner je bil dolga leta član upravnega odbora DMFA Slovenije, kjer je opravljal funkcijo tajnika Komisije za tekmovanje v razvedrilni matematiki. Pri Zvezi organizacij za tehnično kulturo Slovenije je predsednik komisije za logiko. V Obzorniku za matematiko in fiziko ter v Preseku je objavil več člankov s področja logike in teorije mnozič. Prav tako je s sode-lavči izdal tudi zbirke nalog iz logike in razvedrilne matematike pri DMFA - zaloznistvu. S svojimi prispevki redno sodeluje na drustvenih strokovnih srečanjih in seminarjih.
Izidor Hafner je tudi dobitnik stevilnih priznanj. Leta 1990 je prejel priznanje Drustva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije za delo z mladimi, leta 2000 mu je bil podeljen častni znak svobode Republike Slovenije za zasluge pri uvajanju računalnistva in logike v srednje sole ter za delo z mladimi na teh področjih. Leta 2004 je sledilo priznanje Zveze za tehnično kulturo Slovenije za dolgoletno prizadevno razvijanje in izvajanje
tekmovanj iz znanj ter za velik prispevek k razvoju tehnične kulture, leta 2007 je prejel priznanje »Prometej znanosti«, ki ga za odličnost v predstavljanju znanosti podeljuje Slovenska znanstvena fundacija, leta 2009 pa je prejel se nagrado Republike Slovenije na področju solstva, in sicer za posebno uspesno vzgojno-izobrazevalno inovacijsko in organizacijsko delo v visokem solstvu.
Izidor Hafner ima 440 zadetkov v knjiznicarskem sistemu Cobiss. Med njimi najdemo znanstvene, poljudnoznanstvene in strokovne clanke, ucbe-nike in prirocnike, zbirke nalog, biltene, porocila, ocene knjig, diplomska ter magistrska dela ter prevode.
Boris Kham
Prof. Boris Kham je bil rojen v Ljubljani, kjer se je po maturi vpisal na Fakulteto za naravoslovje in tehnologijo, oddelek za matematiko in fiziko. Po koncani prvi stopnji se je zaposlil na Institutu »Jozefa Stefana«. Ker pa je zelel postati ucitelj, si je poiskal delo najprej na Osnovni soli Toma Brejca v Kamniku in nato na Osnovni soli Prezihov Voranc v Ljubljani. Po diplomi na drugi stopnji omenjene fakultete pa je zacel poucevati tudi na srednji soli. Od leta 1989 vse do upokojitve je pouceval fiziko na Gimnaziji Jozeta Plecnika v Ljubljani.
O poucevanju in vzgoji Boris Kham pravi takole: Clovek mora biti pripravljen poglobiti se v svet, ki ga obdaja, ne zato, da se ga polasti, ampak da ga odkriva, občuduje in uživa ob opazovanju njegove lepote. O svojih izkusnjah pri poucevanju fizike (in astronomije) in primerih dobre prakse je pisal v stevilnih revijah, kot so Spika, Proteus, Presek, Fizika v soli, Vzgoja in izobrazevanje, Prosvetni delavec itd. Boris Kham si je vedno prizadeval, da bi astronomija postala izbirni predmet tudi v srednji soli.
Boris Kham je sirsi javnosti poznan kot astronom, saj je organiziral ste-vilne odprave v tujino (opazovanje Soncevega mrka) pa tudi javna opazovanja (Lunin mrk, prehod Venere cez Soncevo ploskev itd.), ki jih je snemal in v zivo predvajal na spletu.
Boris Kham je prejel stevilna priznanja, med drugim leta 2009, skupaj s kolegi organizacijskega odbora Mednarodnega leta astronomije, priznanje »Prometej znanosti za odlicnost v komuniciranju« za izjemne uspehe pri organiziranju komuniciranja raznovrstnih astronomskih vsebin.
Boris Kham sodeluje pri pripravi tekmovanj iz astronomije. Predava tudi na seminarjih za ucitelje.
Barbara Rovsek
Dr. Barbara Rovsek ze sesto leto zapored zelo uspesno vodi Komisijo za popularizacijo fizike v osnovni soli, ki skrbi za organizacijo vsakoletnega
tekmovanja za Štefanova priznanja. Vse naloge, povezane z organizacijo in izpeljavo tekmovanja, od zasnove in oblikovanja nalog za vse stopnje tekmovanja, izdelave resitev s podrobnimi pojasnili in razlagami, do skrbi za brezhiben potek tekmovanja na vseh stopnjah, opravlja zavzeto in odgovorno. Skupaj s komisijo ohranja visoke standarde tekmovanja, pa naj zadevajo kvaliteto tekmovalnih nalog ali pa samo izpeljavo tekmovanja. Poleg zavzetega dela z osnovnosolci zadnja leta spremlja tudi tekmovalce na mednarodni fizikalni olimpijadi. Na njeno pobudo smo pri DMFA Slovenije v lanskem letu pričeli izvajati celoletne (sobotne) teoretične in eksperimentalne priprave dijakov na olimpijado. Pri izvedbi priprav tudi sodeluje. V letosnjem solskem letu je uvedla tudi Kresničko, povsem novo tekmovanje iz znanja naravoslovja, namenjeno ucencem od 1. do 7. razreda. Tekmovanje bo naravoslovna alternativa matematicnemu tekmovanju Kenguru.
Poleg tega, da je mocno vpeta v tekmovalne dejavnosti drustva, Barbara Rovsek skrbi tudi za strokovno izobrazevanje uciteljev.
Sodeluje pri organizaciji bienalnega strokovnega seminarja iz fizike, ki se ga udelezujejo tako osnovnosolski kot srednjesolski ucitelji. S prispevki pogosto sodeluje tudi na pedagoskih seminarjih, ki jih organizirajo druge ustanove.
Darinka Žižek
Darinka Žizek je profesorica matematike na Srednji ekonomski soli v Mariboru. Diplomirala je na Pedagoski fakulteti v Mariboru in poucevala najprej na OS Sveta Ana v Slovenskih goricah, nato na OS Prezihovega Voranca v Mariboru in OS Sladki Vrh. Po koncanem studiju za profesorico matematike (in profesorico fizike) pa je zacela poucevati matematiko na srednjih solah, najprej na Srednji zivilski soli v Mariboru, nato pa vse od leta 1993 na Srednji ekonomski soli v Mariboru.
Ker imajo dijaki srednjih tehni skih in strokovnih sol drugacen ucni nacrt in zato manjse moznosti za uspeh na tekmovanju iz matematike, ki je bolj pisano na kozo gimnazijcev, je prevzela pobudo, da bi imeli ti dijaki svoje tekmovanje. Drustvo je njeno pobudo sprejelo, in tako je ze od leta 2001 tajnica tekmovalne komisije za tekmovanja srednjih tehniskih in strokovnih sol iz matematike ali, kot ga kratko imenujemo, tekmovanja B, kjer skrbi za izbor nalog, organizacijo in izvedbo regijskih in drzavnih tekmovanj.
Darinka Ž izek je sodelovala tudi pri izvedbi Mednarodne matematicne olimpijade, ki je bila leta 2006 v Ljubljani. Aktivna je tudi v studijskih skupinah in se redno udelezuje strokovnih seminarjev in srecanj. S svojim delom na soli in zunaj nje skrbi za popularizacijo matematike med mladimi.
Na podlagi predlogov pripravila Nada Razpet
MIRIAM MIRZAKHANI JE KOT PRVA ŽENSKA DOBILA FIELDSOVO MEDALJO
Fieldsova medalja od leta 1936 velja kot nekakšen ekvivalent Nobelovi nagradi na področju matematike. Podeljujejo jo vsaka štiri leta na Mednarodnem matematičnem kongresu - najmanj dvema in največ štirim raziskovalcem, ki ne smejo imeti več kot stirideset let. Do zdaj jo je dobilo 52 ljudi. Zdaj imamo se več tovrstnih prestižnih in tudi denarno bogatejsih nagrad - denimo Abelovo. Vendar so Abelovo nagrado večinoma dobivali že dolgo slavni matematiki v visoki starosti, tako da se, vsaj meni, ne zdi ta nagrada posebno vznemirljiva. Fieldsovo medaljo pa dobijo ljudje, ki so se aktivni in jih sirsa javnost, tudi matematična, pogosto ne pozna kaj dosti. V Seulu so 14. avgusta to nagrado dobili matematičarka (prvič!) in trije matematiki. Vsi stirje so migranti. Trije od njih so svoje talente odkrili pri srednjesolskih tekmovanjih, od teh sta dva blestela na matematičnih olimpijadah. Ta dva se s hvaležnostjo spominjata srednjesolske profesoriče oziroma ravnateljiče, ki sta ju spodbujali. Trije so iz intelektualnih druzin, četrti pa je imel mamo, ki je bila pripravljena narediti vse za sinovo kariero. Vsi so skromni - kljub izrednim dosezkom, ki so zahtevali ogromno dela.
Prva ženska
Miriam (Maryam) Mirzakhani se je rodila leta 1977 v Teheranu v druzini intelektualčev. V mladosti je pozirala romane, zelela je postati pisateljiča in je sanjarila o velikih uspehih. Sprejeta je bila na srednjo solo za nadarjena dekleta. Sprva ji je slo slabo pri matematiki - ni bila posebno zainteresirana in profesoriča je bila mnenja, da nima talenta. Naslednje leto je dobila novo učiteljičo, ki je spodbujala dijakinje. Naenkrat je Miriam postala zvezda pri matematiki. Skupaj s prijateljičo sta poskus ali res iti naloge z izbirnega tekmovanja za mednarodno olimpijado iz informatike. Miriam jih je res ila polovičo. Dijakinji sta sli k ravnateljiči in predlagali, da bi v soli resevali podobne naloge. Ravnateljiča, zenska z močnim značajem, je to odobrila, se več, dosegla je, da so dijakinje lahko sodelovale v izboru za mednarodno matematično olimpijado. Miriam se je skupaj s prijateljičo uvrstila v ekipo in dobila v letih 1994 in 1995 zlato medaljo. Zadnje leto je dosegla vse mozne točke. Po diplomi na univerzi Sharif v Teheranu je bila sprejeta na podiplomski studij na Harvardu. Tu se je pokazala njena vztrajnost pri resevanju tezkih problemov. Ukvarjala se je s hiperboličnimi ploskvami (po domače je taka ploskev v okoliči vsake točke videti kot sedlo), z enostavno sklenjenimi geodetkami na teh ploskvah in očenami za stevilo takih
geodetk. Iz disertacije so nastali trije članki v najbolj sih revijah. Nato je postala raziskovalka na Clay Mathematics Institute. To je bila v bistvu bogata Štipendija, ki jo je izkoristila za raziskovanje in poučevanje na Univerzi v Princetonu. Prej omenjene probleme je resevala tudi na za eno stopnjo bolj abstraktnem nivoju, in to povezala z matematično fiziko ... Zdaj je profesorica na univerzi Stanford. Zadnje čase se je ukvarjala tudi z biljar-dnimi mizami v obliki veckotnika, katerega koti so racionalni veckratniki stevila n, torej z dinamicnimi sistemi. Ima izredno geometrijsko intuicijo, ki ji pomaga re sevati tudi zelo abstraktne probleme. Fotografije jo kazejo, kako na tleh ri se slicice na velike plahte papirja. Njena mala hcerka pravi: »Mamica spet slika.« Z e pred Fieldsovo medaljo je dobila dve drugi nagradi.
Samosvoj nacin dela
Petintridesetletni Artur Avila je bil izredno nadarjen in samosvoj otrok iz Brazilije. Kot trinajstleten je prvič sodeloval na matematičnem tekmovanju in bil zmerno uspesen. To ga je izzvalo, da se je bolj posvetil matematiki in kmalu zmagoval na nacionalnih tekmovanjih. Mati samohranilka ga je spodbujala in veliko naredila za sinovo kariero. Leta 1995 je dobil zlato medaljo na mednarodni matematični olimpijadi v Torontu - čeprav Brazilci niso imeli nikakrs nih priprav. Naslednje leto se olimpijade ni hotel udeleziti, ker je bil, ob (nerednem) obiskovanju gimnazije, ze student (s stipendijo) na dodiplomskem studiju na znanem matematičnem institutu IMPA v Riu de Janeiru. In stitut je močan na področju dinamičnih sistemov, in temu je bolj ali manj ostal zvest tudi Avila. Institut je prezivel vojasko diktaturo in vse politične krize - ker je matematično raziskovanje počeni in matematiki ne ogrozajo vladajoče elite.
Kot devetnajstletnik je Avila več mesečev prezivel v ZDA pri slavnem matematiku Mihailu Ljubiču in z njim enakopravno sodeloval v raziskavah o (kaotičnih) dinamičnih sistemih. Doktoriral je z 21 leti, nato je bil pet let v Frančiji, v glavnem na CNRS (Načionalni čenter za znanstvene raziskave). Kljub majhni plači (dvakratnik minimalnega dohodka) mu je zelo ustrezalo, da mu ni bilo treba učiti in da je lahko delal, prihajal in odhajal povsem po svoje. Predvsem pa je lahko sodeloval z vrhunskimi strokovnjaki s svojega področja. Pravi, da skoraj ne prebira starih člankov, ampak raje sprasuje kolege. Zdaj - kadar ni na poti - pol časa prezivi v Frančiji, pol v Braziliji. Skusa privabiti tuje profesorje v Brazilijo, kjer so matematiki raziskovalči zdaj bolje plačani kot v Frančiji, ob nizjih zivljenjskih stro s kih [1]. Z ivi in dela v skromno opremljenih prostorih in vse podreja matematiki. V prostem času se posveča zeni - raziskovalki na področju ekonomije, kuha
in spremlja dnevno politiko. Zadnji roman - Sliko Doriana Graya Oscarja Wilda - je »prebral« na letalu leta 2000, tako daje zacel v sredini, pogledal nato začetek in odloZil, preden je priSel do konca. Redko si ogleda kak film. Zelo slabo mnenje ima o filmu Dobri Will Hunting (Good Will Hunting), ki prikazuje nekaksnega neprilagojenega matematičnega genija - samouka z dna druzbe. Pravi, da junak očitno nima rad matematike, probleme resuje le zaradi tekmovalnosti, lahko bi se ukvarjal s čimerkoli. Avila pa raziskuje, ker ga to veseli. (Tudi zame je ta holivudski izdelek neprepričljiv - pojavov uspesnih samoukov v matematiki ze dolgo ni več. Po filmu pa naj bi se junak spoznal se na zgodovino, filozofijo, kemijo ...)
Avila ne vozi avtomobila ali kolesa - to mu je v Parizu in Riu de Janeiru prenevarno - in raje premisljuje v vozilih javnega transporta. Dohodninske obrazče mu izpolnjuje mati. Nima reda ne časovno ne na delovnem mestu, pogosto vstaja sele popoldne. Včasih se mu resitve utrnejo v postelji, med sprehodom ali na plazi, brez papirja in svinčnika. Ko pa se ideje zlozijo, lahko pise deset dni po 18 ur na dan. Med drugim je dokazal rezultate o nestandardnih biljardnih mizah v obliki večkotnika, o Sčhrodingerjevih operatorjih ... Avila resuje probleme in je izredno zazelen kot sodelaveč, zato mnogo potuje. S seboj vzame le tisto, kar lahko sam nese v letalo: preostalo konča v smetnjaku letalisča [1]. Njegovi sodelavči pa se morajo sprijazniti s tem, da bodo pogovori z njim morda potekali na plazi ali čelo v vodi. Skupaj s Svetlano Jitomirskayo (Zitomirsko) se je lotil skoraj Mathieujevega operatorja. Ta deluje na separabilnem Hilbertovem prostoru l2(Z). Naj bodo a, A realna stevila, A = 0. Operator H je (pri danih parametrih) definiran s
(Hu)(n) = u(n + 1) + u(n — 1) + 2A čos(2n(na + w))u(n).
Operator H je vsota premika za ena naprej, premika za ena nazaj in mnozenja z omejenim realnim zaporedjem. Premika sta drug drugemu ad-jungirana, zato je njuna vsota sebiadjungirana. Mnozenje z omejenim realnim zaporedjem si lahko predstavljamo kot diagonalno matriko z realnimi elementi po diagonali. Torej je H omejen sebiadjungiran operator. Njegov spekter je tako kompakten in lezi na realni osi. Leta 1981 je Mark Kač ponudil deset martinijev tistemu, ki dokaze, da je za iračionalen a spekter nikjer gost, torej ne vsebuje odprtega intervala. Zato je bil ta problem znan kot Ten Martini Problem. Več odličnih matematikov in matematičnih fizikov (problem ima tudi fizikalno interpretačijo) je dobilo delne rezultate v tej smeri. Avila in Žitomirska sta problem dokončno resila. Clanek je bil objavljen v Annals of Mathematičs 2009.
Čudežni otrok in Rubikova kocka
Manjul Bhargava (40 let) je bil rojen v Kanadi, v indijski družini. Oce je iz Kerale, mati, profesorica matematike na ameriški univerzi, je iz Radžastana. Bilje Čudežni otrok, a je brez problemov sodeloval z vrstniki v vseh dejavnostih, vključno z igranjem kosarke. Bhargava se ukvarja s teorijo stevil in je dve leti po doktoratu postal redni profesor na Princetonu. Njegova konjička sta prebiranje poezije v sanskrtu in igranje indijskega tolkala, imenovanega tabla. Opis njegovega dela najdemo recimo v podiplomskem seminarju [2].
Binarna kvadratična forma, je funkcija f (x, y) = ax2 + bxy + cy2, kjer so a, b, c cela stevila. Forma je primitivna, ce je najvecji skupni delitelj stevil a, b, c enak 1. Diskriminanta forme je D = b2 — 4ac in je spet celo stevilo. Celo stevilo p je reprezentirano s formo f, ce je p = f(xi,yi), kjer sta xi,yi G Z2 \ (0,0). Pisimo r = [x,y]T in f (r) = f (x,y). Naj bo A matrika, ki ima v prvi vrstici a in |, v drugi vrstici pa | in c, pa je f (x, y) = (Ar, r) in det A = — D.
Naj bo zdaj S 2 x 2 matrika s celimi koeficienti. Vse take matrike S z determinanto 1 tvorijo .specialno linearno grupo SL2(Z) (grupna operacija je mnozenje matrik). Za tak S definiramo fS s fS(r) = f(Sr) = (ASr,Sr) = (STASr,r). Vidimo, da ima matrika STAS enako determinanto kot A, zato ima forma fS enako diskriminanto kot f. Formi f,g sta ekvivalentni, ce obstaja S G SL2(Z), da je g = fS.
Gauss je v Disquisitiones Arithmeticae 1801 studiral ekivivalencne razrede primitivnih kvadraticnih form s fiksno diskriminanto D in nasel kompozicijski zakon, ki je iz njih napravil grupo. Njegova obravnava naj bi bila tezko razumljiva. Leta 1838 je Dirichlet stvari povezal z drugimi algebraj-skimi strukturami in jasneje pokazal, da gre za grupo (koncno Abelovo). Bhargava je v disertaciji nasel 14 novih kompozicijskih zakonov za razne podobne forme, tudi binarne kubicne forme oblike f (x, y) = ax3 + 3bxy2 + 3cxy2 + dy3. Navdih je na s el v Rubikovi kocki. Rezultati so bili objavljeni v Annals of Mathematics leta 2004.
Podjetnik
Osemintridesetletni Martin Hairer je iz avstrijske družine, ki se je preselila v Svico. Njegov oce, Ernst Hairer je profesor matematike na Univerzi v Ženevi. Martin Hairer je že kot najstnik užival v programiranju. Na evropskem tekmovanju mladih znanstvenikov je pri 16 letih dobil nagrado za program za obdelavo zvočnih posnetkov. Iz tega je nastalo orodje Amadeus, ki ga Hairer trzi se danes.
Pri doktoratu iz matematične fizike na Univerzi v Ženevi so ga pritegnile stohastične parcialne diferencialne enačbe (SPDE) - se pravi PDE, v katerih nastopajo tudi slučajne motnje - s um. Leta 2004 je dokazal, da je dvorazsezna Navier-Stokesova SPDE pri določenih omejitvah - tudi za sum - ergodična. Leta 2011 je dobil resitev za pomembno SPDE, imenovano Kardar-Parisi-žhangova enačba. Ta enačba se ukvarja s sirjenjem meje med dvema območjema - denimo roba zgorelega območja, ko prizgemo vogal kosa papirja. Tu ze minimalni zračni tokovi ali male variačije v debelini papirja (kot sum) vplivajo na obliko. (Mimogrede, premikanje meje med dvema območjema brez stohastike obravnavajo Štefanovi problemi. Nas rojak je bil eden od pionirjev na tem področju in se je s tem zapisal v zgodovino.) Hairer je nadaljeval studij tovrstnih problemov, a je imel hude tezave z obravnavo oblike roba - enačbe (res ujejo jih navadno z uporabo distribučij) ne dajejo gladke resitve, ampak tezko obvladljiv zagast vzoreč. Tu mu je pri slo na pomoč znanje o zvoku. Danes zvočne in slikovne datoteke večinoma prenasamo v stisnjeni obliki. Navadno lahko stisnemo za faktor 4 skoraj brez izgube kakovosti, tudi faktor 10 daje zadovoljive rezultate. Postopke stiskanja so najprej razvili za slike, saj te zahtevajo veliko prostora. Najbolj uporabljan je JPEG format (ki je bil tudi osnova za znani MP3 postopek stiskanja zvoka). Format JPEG ima omejitve - vsakega od treh barvnih kanalov RGB (rdeča, zelena, modra) zapisuje le z 8 biti, medtem ko senzorji bolj s ih aparatov dajejo prečej več podatkov. Kompresija z JPEG torej zavrze prečej informačije, ki bi pri sla prav pri nadaljnji obdelavi slike. Ta je nujna, če rečimo slike nismo pravilno osvetlili, imamo ogromne kontraste med temnimi in svetlimi deli itd. žato so strokovnjaki razvili in leta 2000 predstavili nov format za stiskanje, imenovan JPEG 2000. Ta omogoča zapis vsakega barvnega kanala z 8 ali 16 biti. Da bi dodatno iz-bolj sali stisnjeno sliko, so avtorji namesto diskretne kosinusne Fourierove transformacije - kot pri originalnem JPEG - uporabili razvoj funkčij s tako imenovanimi valčki. (Mimogrede, pomembno vlogo pri JPEG 2000 je odigrala Ingrid Daubečhies, bivsa predsedniča Mednarodne matematične unije (IMU), strokovnjakinja za valčke. Novi format se zal ni preveč uveljavil.) Hairer je megleno vedel za uporabo valčkov pri stiskanju slik in zvoka in naenkrat se mu je zazdelo, da bi lahko pomagali pri studiju oblike roba med območjema. Skupaj z zeno, kitajsko matematičarko - oba ze dolgo delata na Univerzi v Warwičku v Angliji - sta poiskala natančno definičijo valčkov in ugotovila, da je stvar res obetavna. Žena je Hairerju takoj naročila, da opusti planirani sprehod, sede in začne delati. Iz tega je nastal 106 strani dolg članek Solving the KPZ equation v Annals of Mathematičs (2013).
Simons Foundation
Odlične intervjuje z nagrajenci lahko preberete na spletni strani ustanove Simons Foundation [3], ki ima za cilj napredek osnovnih znanosti in matematike. Njen ustanovitelj James (Jim) H. Simons je bil dvajset let uspesen raziskovalec na področju algebraične topologije in diferencialne geometrije. Star kakih 26 let je vlozil od domacih izposojen denar (njegovi starsi so imeli tovarno cevljev) v poslovno iniciativo v Kolumbiji. Tja se je s prijateljem iz ZDA pripeljal na skuterju (sam pravi, da je cudez, da je prezivel to voznjo). V Kolumbiji je videl priloznost v splosni nerazvitosti. Denar je vracal med drugim tako, da je kot mladi predavatelj na Harvardu (brez vednosti in dovoljenja maticne ustanove) predaval se na drugi univerzi! (V dolgem intervjuju na strani Simons Foundation priznava, da posledicno njegova harvardska predavanja iz PDE niso bila ravno najboljsa.) Nato je zaradi dobrega zasluzka delal kot kriptograf za vojsko - in bil odpuscen zaradi javnega nasprotovanja vietnamski vojni in precejsnje arogance proti sefu generalu. Tridesetleten je postal predstojnik Oddelka za matematiko na State University of New York (SUNY) v Stony Brooku in ga v sedmih letih z nekaj premestitvami in mnogo novimi nastavitvami spravil na visok nivo. Po dvanajstih letih je njegov vlozek v tovarno v Kolumbiji prinesel bogato placilo. Tako je pustil univerzitetno kariero in se usmeril v financne spekulacije. Kot sodelavce je najel odlicne matematike, fizike, astronome in racunalnikarje (izogibal pa se je financnikom z izkusnjami z Wall Streeta). Njegovi zacetni uspehi so bili fenomenalni. Kot sam pravi, pa je bilo vsakdanje hitro mesetarjenje prevec stresno, zato (in zaradi moznosti bliskovitega elektronskega trgovanja) se je sklad usmeril v izdelavo algoritmov in odlo-citve vse bolj prepuscal racunalnikom. V letu 2007 si je kot direktor sklada rizicnega kapitala (angl. hedge fund) Renaissance Technologies izplacal skoraj tri milijarde dolarjev nagrade. Danes je eden od sto najbogatejsih ljudi na tem planetu. »Vreden« naj bi bil 13 milijard dolarjev. Je eden od boga-tasev, ki so podpisali izjavo, da bodo veliko vecino svojega premozenja dali v splosno dobro. Ogromno je dal in daje za matematiko, fiziko in biologijo. Predvsem za temeljne raziskave, pa tudi za izboljsanje pouka matematike. Poenostavljeno: tiste, ki opravijo izpit znanja matematike (ne glede na smer studija) in so uspesni na predstavitvi, stipendira za dopolnilno izobrazevanje za uciteljsko licenco (po moznosti z dodatnimi kurzi iz matematike). Nato pa jim - skupaj z ze zaposlenimi srednjesolskimi profesorji na javnih solah v New Yorku, ki gredo skozi isto sito - daje nemajhen dodatek k uciteljski placi. In pripravljen je to storiti za vec sto uciteljev.
Vec kot sestdeset let star je zaradi druzinske tragedije - v nesreci je
izgubil že drugega sina - nasel kot terapijo svojo staro ljubezen do matematičnega raziskovanja in v sodelovanju z mlajsim kolegom resil nekatere probleme, pri katerih se mu je ustavilo pred desetletji. Priporočam ogled predavanja [4], ki ga je imel na univerzi MIT - uvod mu je naredil stari sodelavec in prijatelj, slavni Isadore M. Singer. Simons je pred nekaj leti prepustil vodenje sklada R. T. mlajsim in postal predsednik nadzornega sveta. Zdaj se ukvarja predvsem z vodenjem dobrodelnega sklada Simons Foundation (skupaj z zeno, ki je direktorica sklada) ter raziskovanjem. Skoraj dve desetletji vlaga v razvoj litij-zveplovih akumulatorjev v okviru podjetja Sion Power. Te baterije so uporabili v rekordnem letu petdesetkilogram-skega brezpilotnega letala na sončno energijo, ki je zdrzalo na visini 12-21 km dva tedna. Žal ti akumulatorji za zdaj prenesejo le kakih 50-75 polnitev.
Konec julija 2014 je sklad Renaissance Technologies obravnaval Senat ZDA. Preiskovalna komisija mu je - ob redkem soglasju demokratov in republikancev - ocitala, da je v sodelovanju z dvema velikima bankama obsel zakonske omejitve o spekuliranju s sposojenim denarjem in »privarceval« kakih sest milijard dolarjev pri davkih. Banki sta si izmislili nov financni instrument. V bistvu sta posodili skladu ogromno denarja ob le desetod-stotni lastni udelezbi sklada (zakonsko bi morala lastna udelezba biti vsaj polovica). Sklad je s to financno »kosaro« opravil tudi stotisoc nakupov in prodaj dnevno in zaradi dobrih algoritmov v nekaj letih zasluzil desetine milijard dolarjev. Banki sta za stroske pobrali nekaj sto milijonov dolarjev. Uradno pa je bila taka kosara ves cas last banke in bila prijavljena pri davkariji kot »investicija«, ki je trajala navadno poldrugo leto. Tako je bila stopnja davka na dobicek bistveno nizja. Novi direktor sklada R. T. se je izgovarjal, da je v to shemo sel, ker so bile po pogodbi z banko morebitne izgube omejene, da je bilo vse legalno, kar bodo lahko dokazali, itd. Skoraj gotovo so podobne stvari delali tudi drugi sorodni skladi, ki so vecinoma zelo netransparentni; R. T. je bil izpostavljen kot eden najbolj donosnih. Zdaj tovrstno izogibanje davkom menda ni vec mogoce.
LITERATURA
[1]	J. M. Salles, Artur has a problem, How a great mathematician is made, http: //revistapiaui.estadao.com.br/edicao-95/so-no-site/artur-has-a-problem, ogled 10. 11. 2014.
[2]	Florian Bouyer, Composition and Bhargava's cubes, http://www2.warwick.ac.uk/ fac/sci/maths/people/staff/bouyer/gauss_composition.pdf, ogled 10. 11. 2014.
[3]	Simons Foundation, http://www.simonsfoundation.org/, ogled 10. 11. 2014.
[4]	James Simons, Mathematics, Common Sense, and Good Luck: My Life and Careers http: //www.youtube . com/watch?v=SVdTF4_QrTM, ogled 10. 11. 2014.
Peter Legisa
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Letnik 61, številka 5
ISSN 0473-7466, UDK 51 + 52 + 53
VSEBINA
Članki	Strani
Problem umetnostne galerije (Aleksandra Franc) ..........................................161-172
Higgsov bozon (Tomaž Podobnik) ........................................................................173-181
Vesti
Devetdeset let profesorja Josipa Grasselija (Milan Hladnik) ......................182-185
Strokovno srečanje in 66. obcnizbor DMFA (Nada Razpet in
Janez Krušic) ..........................................................................................................186-190
Prejemnikipriznanj DMFA (Nada Razpet) ........................................................191-194
Matematične novice (Peter Legiša) ......................................................................195-IXX
CONTENTS
Articles	Pages
Art gallery problem (Aleksandra Franc) ..............................................................161-172
(Tomaž Podobnik) ........................................................................................................173-181
News ................................................................................................................................182-IXX
Na naslovnici: Križanje dveh gruč, pri katerem je najverjetneje nastal Higgsov delec, kije nato razpadel v štiri mione. Desno: tiri nastalih delcev v projekcijina ravnino, pravokotno na smer protonov v interakcijskitocki. Tiri mionov so obar-vanirdece in so zaradivelike gibalne kolicine vsakega izmed mionov skoraj ravni, medtem ko so tiri drugih nabitih delcev z manjšo gibalno kolicino ukrivljeniv polju solenoidnega magneta. Levo zgoraj: rekonstruirani tiri delcev v neposredni bli-žiniinterakcijske tocke v projekcijivzdolž smeri vpadnih protonov. Tiri se križajo v desetih tockah (pikah na sliki): pri križanju gruc je prišlo do desetih protonskih trkov. Levo spodaj: rekonstruirani tiri skupaj z delom ogrodja za toroidni magnet detektorja ATLAS (os detektorja ATLAS se ujema s smerjo vpadnih protonov). Tiri mionov so spet obarvanirdece, modri in zelenikvadri pa prikazujejo mesta, kjer se tiri ujemajo s signaliv sistemu za detekcijo mionov na zunanjistranidetektorja. Vec o tem lahko preberete v clanku Higgsov bozon na strani173.