i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 161 — #1
i
i
i
i
i
i
UVOD V SVET p-ADI
ˇ
CNIH
ˇ
STEVIL
BARBARA DRINOVEC DRNOV
ˇ
SEK
Fakulteta za matematiko in ﬁziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 11S80
V ˇ clanku predstavimo pojem ultrametriˇ cne absolutne vrednosti in dokaˇ zemo nekaj
njenih osnovnih lastnosti. Natanˇ cneje se ukvarjamo s p-adiˇ cno absolutno vrednostjo na
polju racionalnih ˇ stevil in s p-adiˇ cnimi ˇ stevili.
INTRODUCTIONTOTHEWORLDOF p-ADICNUMBERS
We introduce the notion of an ultrametric absolute value on a ﬁeld and present its
fundamental properties. In particular, we study p-adic absolute value on the ﬁeld of
rational numbers and p-adic numbers.
Matematiki gradimo svoj svet iz pravil, ki jih imenujemo aksiomi. Aksi-
ome povzamemo po lastnostih, ki jih v naˇ sem svetu priˇ cakujemo.
ˇ
Ce aksi-
ome dobro izberemo, deﬁnirajo neprotislovno teorijo. Primer take teorije je
evklidskageometrija. Zgodise,dalahkokateregaodaksiomovnadomestimo
z drugim in dobimo drugaˇ cno neprotislovno teorijo. Na primer, ˇ ce aksiom
o vzporednici nadomestimo z aksiomom, ki zagotavlja, da skozi dano toˇ cko,
ki ne leˇ zi na premici p, poteka veˇ c kot ena vzporednica k premici p, dobimo
drugaˇ cno geometrijo, ki se imenuje hiperboliˇ cna geometrija.
Vˇ clanku trikotniˇ sko neenakost, ki velja za obiˇ cajno absolutno vrednost,
nadomestimo z moˇ cnejˇ so lastnostjo, ki se imenuje ultrametriˇ cna lastnost.
Tako dobimo absolutne vrednosti s presenetljivimi lastnostmi.
1. Absolutne vrednosti in metrike naQ Q Q
Obiˇ cajnaevklidskarazdaljamedracionalnimaˇ stevilomaxinyjepodana
z d(x,y) = |x−y| in je inducirana z obiˇ cajno absolutno vrednostjo na Q.
Pravila, ki veljajo za obiˇ cajno absolutno vrednost, zdruˇ zimo v deﬁnicijo
absolutne vrednosti na poljubnem polju F, to je na komutativnem obsegu.
Seˇ stevanje vF bomo oznaˇ cili s +, mnoˇ zenje pa s·.
Deﬁnicija 1. Realno funkcijo |·|: F → R imenujemo absolutna vrednost,
ˇ ce ima naslednje lastnosti:
Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 5 161
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 162 — #2
i
i
i
i
i
i
Barbara Drinovec Drnovšek
(a) nenegativnost: |a|≥ 0 za vsak a∈F;
(b) neizrojenost: |a| = 0 natanko tedaj, kadar je a = 0;
(c) multiplikativnost: |a·b| =|a||b| za vse a, b∈F;
(d) trikotniˇ ska neenakost: |a+b|≤|a|+|b| za vse a, b∈F.
PoljeF,nakateremjedeﬁniranaabsolutnavrednost|·|,imenujemo polje
z absolutno vrednostjo.
Oznaˇ cimo z 1 enoto za mnoˇ zenje v F. Iz multiplikativnosti sledi, da je
|1| = |1· 1| = |1|
2
, in zaradi neizrojenosti od tod dobimo |1| = 1. Hitro
lahko preverimo, da je funkcija
|a| =
  1; a6= 0
0; a = 0
absolutna vrednost na poljuF; imenujemo jo trivialna absolutna vrednost.
NapoljuFzabsolutnovrednostjo|·|deﬁniramopreslikavod:F×F→R
s predpisom d(a,b) =|a−b|. Iz lastnosti (a), (b) in (d) v deﬁniciji sledi, da
je dmetrikanaF. Takopostanevsakopoljezabsolutnovrednostjometriˇ cni
prostor.
Posebej nas bodo zanimale ultrametriˇ cne absolutne vrednosti:
Deﬁnicija 2. Naj bo F polje z absolutno vrednostjo |·|. Pravimo, da je
absolutna vrednost ultrametriˇ cna, ˇ ce velja
|a+b|≤ max{|a|,|b|} za vse a,b∈F. (1)
Ultrametriˇ cna lastnost je moˇ cnejˇ sa od trikotniˇ ske neenakosti, saj je ve-
ˇ cje odˇ stevil|a| in|b| gotovo manjˇ se od njune vsote|a|+|b|. V nadaljevanju
bomo spoznali primer ultrametriˇ cne absolutne vrednosti na polju racional-
nih ˇ stevil.
Naj bo n celoˇ stevilo in p praˇ stevilo. Z red
p
n oznaˇ cimo najviˇ sjo potenco
ˇ stevila p, ki deli n. Torej velja
red
p
n = k⇐⇒ (p
k
| n in p
k+1
/
| n).
Racionalno ˇ stevilo x zapiˇ semo v obliki ulomka x = m/n in deﬁniramo
red
p
x = red
p
m−red
p
n. Opazimo, da deﬁnicija ni odvisna od tega, kako x
predstavimo z ulomkom. Preslikavo|·|
p
:Q→R deﬁniramo s predpisom
|x|
p
=
  p
−redpx
; x6= 0
0; x = 0
.
Tako je na primer|12|
2
=
    2
2
·3
    2
= 2
−2
in
    8
21
    3
=
    8
3·7
    3
= 3.
162 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 5
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 163 — #3
i
i
i
i
i
i
Uvod v svetp adi ˇ cnih števil
Trditev 1. Naj bo p praˇ stevilo. Potem je |·|
p
ultrametriˇ cna absolutna
vrednost na polju Q.
Absolutno vrednost|·|
p
imenujemo p-adiˇ cna absolutna vrednost.
Dokaz. Lastnosti (a), (b) in (c) sledijo neposredno iz deﬁnicije. Dokaˇ zimo
ˇ se lastnost (1). Izberimo poljubna x,y ∈ Q.
ˇ
Ce je katerokoli od ˇ stevil
|x|
p
, |y|
p
ali |x+ y|
p
enako 0, neenakost velja. Zato bomo v nadaljevanju
predpostavili, da so vsa tri ˇ stevila x, y in x+ y neniˇ celna.
ˇ
Stevili x in y
zapiˇ semo kot okrajˇ sana ulomka x =
m
n
in y =
k
l
. Potem je
red
p
(x+y) = red
p
ml+nk
nl
= red
p
(ml+nk)−red
p
n−red
p
l.
Ker najviˇ sja potenca, ki deli vsoto, ni manjˇ sa od najviˇ sje potence, ki deli
oba ˇ clena v vsoti, dobimo
red
p
(x+y) ≥ min{red
p
(ml),red
p
(nk)}−red
p
n−red
p
l =
= min{red
p
m+red
p
l,red
p
n+red
p
k}−red
p
n−red
p
l =
= min{red
p
m−red
p
n,red
p
k−red
p
l} =
= min
  red
p
m
n
,red
p
k
l
  = min{red
p
x,red
p
y}.
Zato je p
redp(x+y)
≥ min{p
redpx
,p
redpy
}. Sedaj upoˇ stevamo deﬁnicijo abso-
lutne vrednosti in dobimo
|x+y|
p
= p
−redp(x+y)
≤ max
n
p
−redpx
,p
−redpy
o
= max{|x|
p
,|y|
p
}.
Pravimo, da sta absolutni vrednosti ekvivalentni, ˇ ce inducirata ekviva-
lentni metriki. Absolutne vrednosti na polju racionalnihˇ stevil karakterizira
naslednji izrek:
Izrek 2 (Ostrowski). Netrivialna absolutna vrednost naQ je ekvivalentna
bodisi obiˇ cajni bodisi p-adiˇ cni za neko praˇ stevilo p.
Elementaren dokaz tega izreka najdemo na primer v [3], konstrukcijo
p-adiˇ cne absolutne vrednosti pa v [2, 3, 4].
161–171 163
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 164 — #4
i
i
i
i
i
i
Barbara Drinovec Drnovšek
2. Lastnosti ultrametriˇ cnih absolutnih vrednosti
Najprej pokaˇ zimo, da v oceni (1) velja enaˇ caj, ˇ ce je|a|6=|b|.
Lema 3. Naj bo F polje z ultrametriˇ cno absolutno vrednostjo |·|. Potem
je vsak trikotnik v F enakokrak, to pomeni, da sta za poljubne elemente
a,b,c∈F vsaj dve od ˇ stevil |a−b|, |b−c|, |c−a| enaki. Velja sklep
|a|6=|b| =⇒|a+b| = max{|a|,|b|} za vse a,b∈F. (2)
Dokaz. Najprej pokaˇ zimo, da iz (2) sledi, da je vsak trikotnik enakokrak.
Izberimopoljubnetrielemente a,b,c∈F–ogliˇ sˇ catrikotnika.
ˇ
Ceje|a−b| =
|b−c|, je dani trikotnik enakokrak. Sicer vzamemo a
0
= a−b in b
0
= b−c
in iz (2) sklepamo, da je |a− c| = |a
0
+ b
0
| = max{|a
0
|,|b
0
|} = max{|a−
b|,|b− c|} in spet lahko ugotovimo, da je trikotnik, ki ga razpenjajo a, b
in c, enakokrak.
Dokaˇ zimo ˇ se (2). Izberimo poljubna elementa a,b ∈ F in denimo, da
|a|6=|b|. Predpostaviti smemo, da je
|a| <|b|,
sicer zamenjamo vlogi a in b. Dokazati moramo, da je|a+b| =|b|. Upoˇ ste-
vamo ultrametriˇ cno lastnost in manjˇ se ˇ stevilo nadomestimo z veˇ cjim
|a+b|≤ max{|a|,|b|} =|b|.
Po preoblikovanju izraza upoˇ stevamo ultrametriˇ cno lastnost, manjˇ seˇ stevilo
nadomestimo z veˇ cjim ter nazadnje upoˇ stevamo prejˇ snjo oceno
|b| =|(a+b)−a|≤ max{|a+b|,|a|}≤ max{|a+b|,|b|}≤|b|.
Kerstazaˇ cetekinkonecenaka, povsodveljaenaˇ caj. Torejje|b| = max{|a+
b|,|a|}. Ker je|a| <|b|, lahko sklepamo, da je|a+b| =|b|.
Osnovnelastnostiultrametriˇ cnihabsolutnihvrednostisotemaprvihpo-
glavij v [2, 3].
Delne vsote harmoniˇ cne vrste H
m
= 1+
1
2
+···+
1
m
imenujemo har-
moniˇ cna ˇ stevila. Ker je harmoniˇ cna vrsta divergentna vrsta s pozitivnimi
ˇ cleni, je zaporedje harmoniˇ cnih ˇ stevil navzgor neomejeno. Z uporabo zgor-
nje leme bomo na preprost naˇ cin dokazali naslednjo lastnost harmoniˇ cnih
ˇ stevil, ki je bila prviˇ c dokazana v [5].
164 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 5
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 165 — #5
i
i
i
i
i
i
Uvod v svetp adi ˇ cnih števil
Trditev 4. Harmoniˇ cno ˇ stevilo H
m
ni naravno ˇ stevilo za noben m≥ 2.
Dokaz. Ker je m ≥ 2, obstaja najveˇ cje naravno ˇ stevilo n, za katero velja
2
n
≤ m. Potem je
        1
2
n
        2
= 2
n
in
        1
k
        2
< 2
n
za vse k∈{1,2,...,m}\{2
n
}.
Zato iz ultrametriˇ cne lastnosti sledi
        H
m
−
1
2
n
        2
=
        1+
1
2
+
1
3
+···
1
2
n
−1
+
1
2
n
+1
+···+
1
m
        2
≤
≤ max
  |1|
2
,
        1
2
        2
,...,
        1
2
n
−1
        2
,
        1
2
n
+1
        2
,...,
        1
m
        2
  < 2
n
.
Sedaj pa z uporabo (2) dobimo
|H
m
|
2
=
        H
m
−
1
2
n
+
1
2
n
        2
= max
          H
m
−
1
2
n
        2
,
        1
2
n
        2
  = 2
n
.
Dokazali smo, da je|H
m
|
2
> 1, zato H
m
ni naravno ˇ stevilo.
Za obiˇ cajno absolutno vrednost naQ aliR pravimo, da ima arhimedsko
lastnost; to pomeni, da za poljubni ˇ stevili x,y ∈ Q, x 6= 0, obstaja tako
ˇ stevilo n∈N, za katero velja|nx| >|y|. V posebnem primeru od tod sledi,
da so naravna ˇ stevila poljubno velika. Deﬁnicijo lahko smiselno razˇ sirimo
na katerokoli polje z absolutno vrednostjo.
V nadaljevanju tega razdelka bomo dokazali, da je absolutna vrednost,
ki ni arhimedska, ultrametriˇ cna in obratno, da je absolutna vrednost, ki ni
ultrametriˇ cna, arhimedska. Dokaz bomo povzeli po [2].
V vsakem polju F lahko zagledamo naravna ˇ stevila takole: Oznaˇ cimo
z 1 enoto za mnoˇ zenje vF. Ker je poljeF zaprto za seˇ stevanje, je 1+1∈F
in ta element oznaˇ cimo z 2. Induktivno nadaljujemo. Denimo, da smo ˇ ze
konstruirali n. Potem deﬁniramo n+1 = n+1. Natanˇ cneje, konstruirali
smo homomorﬁzem aditivne grupe (Z,+) v aditivno grupo (F,+).
Izrek 5. Absolutna vrednost |·| na poljuF je ultrametriˇ cna natanko tedaj,
kadar je |n|≤ 1 za vse n∈N.
Dokaz. Denimo,daje|·|ultrametriˇ cnaabsolutnavrednostnaF. Zindukcijo
dokaˇ zimo, da je|n|≤ 1 za vse n∈N. V katerikoli absolutni vrednosti velja
161–171 165
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 166 — #6
i
i
i
i
i
i
Barbara Drinovec Drnovšek
|1| = 1. Denimo, da je|n|≤ 1 za neki n∈N. Zaradi ultrametriˇ cne lastnosti
absolutne vrednosti velja
|n+1| =|n+1|≤ max{|n|,1} = 1.
Torej po naˇ celu popolne indukcije ocena velja za vse n∈N.
Pokaˇ zimo ˇ se, da velja obratno. Denimo, da je |n| ≤ 1 za vse n ∈ N.
Dokazati moramo, da velja |a+b|≤ max{|a|,|b|} za vse a,b∈F.
ˇ
Ce je
b = 0, neenakost velja. V nasprotnem primeru lahko delimo z b in dobimo
|
a
b
+1|≤ max{|
a
b
|,1}. Zato je dovolj, da dokaˇ zemo, da za vse a∈F velja
|a + 1| ≤ max{|a|,1}. Ker je F polje, velja binomska formula in zato za
a∈F in m∈N velja
|a+1|
m
=|(a+1)
m
| =
          m
X
k=0
  m
k
  a
k
          ≤
m
X
k=0
            m
k
            |a|
k
.
Uporabimo predpostavko in opazimo, da je bodisi|a| < 1 bodisi|a|
k
≤|a|
m
za k≤ m, in izpeljemo
|a+1|
m
≤
m
X
k=0
|a|
k
≤ (m+1)max{1,|a|
m
}.
Od tod sledi
|a+1|≤
m
p
(m+1)max{1,|a|} za vse m∈N, a∈F.
V limiti, ko poˇ sljemo m v neskonˇ cno, dobimo
|a+1|≤ max{1,|a|} za vse a∈F,
kar je bilo treba dokazati.
Posledica 6. Absolutna vrednost na poljuF je ultrametriˇ cna natanko tedaj,
kadar ni arhimedska.
Ker je ultrametriˇ cna lastnost nasprotna arhimedski, jo pogosto imenu-
jejo kar nearhimedska lastnost [2, 3].
Dokaz.
ˇ
Ce je absolutna vrednost |·| arhimedska, potem obstaja naravno
ˇ stevilo n∈N, za katero velja
|n| =|n·1| >|1| = 1.
166 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 5
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 167 — #7
i
i
i
i
i
i
Uvod v svetp adi ˇ cnih števil
Od tod po izreku sledi, da|·| ni ultrametriˇ cna.
ˇ
Ce |·| ni ultrametriˇ cna, po izreku obstaja naravno ˇ stevilo n ∈ N, za
katero velja |n| > 1. Pokaˇ zimo, da je |·| arhimedska absolutna vrednost.
Izberimo poljubna a,b∈F, a6= 0. Ker je|n| > 1, so ˇ stevila|n
l
·a| =|n|
l
|a|
poljubno velika, ˇ ce le izberemo dovolj velik l ∈ N. Zato za dovolj velik l
velja|n
l
a| >|b|. Torej je|·| arhimedska absolutna vrednost.
3. Napolnitev metriˇ cnega prostora (Q Q Q, | · |
p
)
Iz analize vemo, da mnoˇ zica racionalnih ˇ stevil Q z obiˇ cajno metriko ni
poln metriˇ cni prostor. Primer Cauchyjevega zaporedja, ki ne konvergira,
je zaporedje desetiˇ skih pribliˇ zkov za
√
2. Vsak metriˇ cen prostor pa lahko
vloˇ zimo v poln metriˇ cen prostor kot gost podprostor. Napolnitev metriˇ c-
nega prostora racionalnih ˇ stevil Q z obiˇ cajno metriko je metriˇ cni prostor
realnih ˇ stevil z obiˇ cajno metriko. Napolnitev metriˇ cnega prostora (Q,|·|
p
)
imenujemo metriˇ cni prostor p-adiˇ cnih ˇ stevil in ga oznaˇ cimo sQ
p
. Oglejmo
si,kdajvrstavtemmetriˇ cnemprostorukonvergira. Vprimerjavizobiˇ cajno
metrikovRjekriterijzakonvergencovrstevQ
p
zelopreprost. Sledilibomo
naˇ cinu v [3].
Izrek 7. Naj bo p praˇ stevilo in {a
n
} zaporedje p-adiˇ cnih ˇ stevil. Potem je
vrsta
∞
P
n=1
a
n
konvergentna v Q
p
natanko tedaj, kadar je lim
n→∞
|a
n
|
p
= 0.
Dokaz. Ker so p-adiˇ cna ˇ stevila poln metriˇ cen prostor, je vrsta iz p-adiˇ cnih
ˇ stevil konvergentna natanko tedaj, kadar je zaporedje njenih delnih vsot
{s
n
} Cauchyjevo.
Vzamemo n > m in z upoˇ stevanjem ultrametriˇ cne lastnosti p-adiˇ cne
absolutne vrednosti dobimo
|s
n
−s
m
|
p
=|a
n
+a
n−1
+···+a
m+1
|
p
≤ max{|a
n
|
p
,|a
n−1
|
p
,...,|a
m+1
|
p
}.
ˇ
Ce je lim
n→∞
|a
n
|
p
= 0, od tod sledi, da je zaporedje{s
n
} Cauchyjevo.
Denimo, da zaporedje {|a
n
|
p
} ne konvergira k 0. Izberimo poljuben
  > 0. Potem za vsakˇ se tako velik n
0
obstaja n > n
0
, da je|a
n
|
p
>   . Torej
je
|s
n
−s
n−1
|
p
=|a
n
|
p
>   in zato zaporedje{s
n
} ni Cauchyjevo.
161–171 167
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 168 — #8
i
i
i
i
i
i
Barbara Drinovec Drnovšek
Posledica 8. Naj bo p praˇ stevilo, m∈Z in a
n
∈{0,1,...,p−1} za n≥ m.
Potem vrsta
∞
P
n=m
a
n
p
n
konvergira v Q
p
.
Dokaz. Izraˇ cunajmo absolutno vrednost neniˇ celnegaˇ clena v vrsti|a
n
p
n
|
p
=
p
−n
. Torej zaporedje absolutnih vrednosti ˇ clenov v vrsti konvergira proti 0,
zato po izreku vrsta konvergira.
Primer. Vrsta
∞
P
n=1
5
n
je po posledici konvergentna v Q
5
. Poenostavimo
njeno delno vsoto
s
m
= 1+5+···+5
m
=
5
m+1
−1
5−1
=
5
m+1
4
−
1
4
.
Kerje lim
m→∞
      5
m+1
4
      5
= lim
m→∞
5
−m−1
= 0,zaporedje{s
m
}vmetriˇ cnemprostoru
p-adiˇ cnih ˇ stevil konvergira k−
1
4
. Zato je vsota dane vrste−
1
4
.
V nadaljevanju bomo vsako p-adiˇ cno ˇ stevilo predstavili kot vsoto take
vrste. Vemo, da lahko vsako realno ˇ stevilo zapiˇ semo v decimalni obliki, to
je pravzaprav v obliki vrste: x∈R zapiˇ semo v decimalni obliki
x = d,d
1
d
2
... = d+
∞
X
j=1
d
j
10
−j
, kjer je d
j
∈{0,1,...,9}.
Drugaˇ ce od decimalnega zapisa, ki ni enoliˇ cen, je razvoj p-adiˇ cnih ˇ stevil v
vrsto enoliˇ cen.
Izrek 9. Naj bo p praˇ stevilo in α∈Q
p
. Potem obstajajo enoliˇ cno doloˇ cena
ˇ stevila m∈Z in a
n
∈{0,1,...,p−1} za n≥ m, za katera velja
α =
∞
X
n=m
a
n
p
n
.
Dokaˇ zimo pomoˇ zno lemo.
Lema 10. Naj bo p praˇ stevilo in α ∈ Q
p
, za katerega je |α|
p
≤ 1. Potem
obstaja ˇ stevilo a∈{0,1,...,p−1}, za katero je |α−a|
p
≤
1
p
.
168 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 5
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 169 — #9
i
i
i
i
i
i
Uvod v svetp adi ˇ cnih števil
Dokaz. Lemonajprejdokaˇ zemovprimeru,dajeαracionalnoˇ stevilo. Potem
lahko α zapiˇ semo kot okrajˇ san ulomek α =
k
l
. Ker je
    k
l
    p
≤ 1, p ne deli
l, in ker je p praˇ stevilo, sta si ˇ stevili p in l tuji. Zato obstajata celi ˇ stevili
s,t ∈ Z, za kateri velja sl + tp = 1. Oznaˇ cimo z a ostanek ˇ stevila ks pri
deljenju s p, tj. ks = mp+ a, kjer je m ∈ Z in a ∈ {0,1,...,p−1}. Po
deﬁniciji p-adiˇ cne absolutne vrednosti izraˇ cunamo
        k
l
−ks
        p
=
        k
l
        p
|1−sl|
p
=
        k
l
        p
|tp|
p
≤|t|
p
1
p
≤
1
p
.
Upoˇ stevamo ultrametriˇ cno lastnost in dobimo
|α−a|
p
=
        k
l
−ks+mp
        p
≤ max
(
        k
l
−ks
        p
,|mp|
p
)
≤
1
p
.
S tem je za racionalne α lema dokazana.
Sedaj izberemo poljuben α ∈ Q
p
, za katerega je |α|
p
≤ 1. Ker je me-
triˇ cni prostor p-adiˇ cnih ˇ stevil napolnitev metriˇ cnega prostora racionalnih
ˇ stevil s p-adiˇ cno metriko, lahko poljubno blizu p-adiˇ cnemuˇ stevilu najdemo
racionalno ˇ stevilo. Zato obstaja racionalno ˇ stevilo β ∈ Q, za katero velja
|α− β|
p
≤
1
p
. Z upoˇ stevanjem ultrametriˇ cne lastnosti p-adiˇ cne absolutne
vrednosti dobimo |β|
p
= |β− α + α|
p
≤ max{|α− β|
p
,|α|
p
} ≤ 1. Po ˇ ze
dokazanem obstaja a ∈ {0,1,...,p− 1}, za katerega je |β− a|
p
≤
1
p
.
ˇ
Se
enkrat uporabimo ultrametriˇ cno lastnost absolutne vrednosti in dobimo
|α−a|
p
=|α−β +β−a|
p
≤ max{|α−β|
p
,|β−a|
p
}≤
1
p
.
Dokaz (izreka 9). Najprej bomo dokazali obstoj razvoja p-adiˇ cnega ˇ stevila
v vrsto in nato enoliˇ cnost tega zapisa. Denimo, da je |α|
p
≤ 1.
ˇ
Stevila a
n
konstruiramo induktivno. Po lemi obstaja a
0
∈{0,1,...,p−1}, za katerega
je
|α−a
0
|
p
≤
1
p
.
Denimo, da smo ˇ ze konstruirali a
0
,a
1
,...,a
m
∈{0,1,...,p−1}, za katere
je
          α−
m
X
n=0
a
n
p
n
          p
≤
1
p
m+1
. (3)
161–171 169
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 170 — #10
i
i
i
i
i
i
Barbara Drinovec Drnovšek
Potem je
        p
−(m+1)
α−
m
P
n=0
a
n
p
n−m−1
        p
≤ 1 in po lemi obstaja a
m+1
∈{0,1,
...,p−1}, za katerega je
        p
−(m+1)
α−
m
P
n=0
a
n
p
n−m−1
−a
m+1
        p
≤
1
p
, to po-
meni, da je
          α−
m
X
n=0
a
n
p
n
−a
m+1
p
m+1
          p
≤
1
p
m+2
,
karzakljuˇ ciinduktivnokonstrukcijo. Izposledice8sledi,dajevrsta
∞
P
n=0
a
n
p
n
konvergentna, in iz ocene (3), da je njena vsota enaka α.
ˇ
Ce je |α|
p
> 1, obstaja celo ˇ stevilo m, za katero je |p
m
α| ≤ 1, in iz
razvoja ˇ stevila p
m
α dobimo ustrezni razvoj za α.
Dokaˇ zimo ˇ se enoliˇ cnost. Predpostavimo, da ima α dva razliˇ cna razvoja
v vrsto: α =
∞
P
n=m
a
n
p
n
=
∞
P
n=l
b
n
p
n
. Deﬁnirajmo a
k
= 0 za k < m in b
k
=
0 za k < l. Oznaˇ cimo s k
0
najmanjˇ si indeks, za katerega sta ˇ stevili a
k
in b
k
razliˇ cni. Razliko d =
        k
0
P
n=−∞
a
n
p
n
−
k
0
P
n=−∞
b
n
p
n
        p
izraˇ cunamo na dva
naˇ cina. Kerjek
0
najmanjˇ siindeks,zakateregastaˇ stevilia
k
inb
k
razliˇ cni,je
d =
    (a
k
0
−b
k
0
)p
k
0
    p
= p
−k
0
. Po drugi strani pa upoˇ stevamo ultrametriˇ cno
lastnost in dobimo
d =
          k
0
X
n=−∞
a
n
p
n
−
k
0
X
n=−∞
b
n
p
n
          p
=
          k
0
X
n=m
a
n
p
n
−α+α−
k
0
X
n=l
b
n
p
n
          p
≤
≤ max



          k
0
X
n=m
a
n
p
n
−α
          p
,
          α−
k
0
X
n=l
b
n
p
n
          p



=
= max



            ∞
X
n=k
0
+1
a
n
p
n
            p
,
            ∞
X
n=k
0
+1
b
n
p
n
            p



<
1
p
k
0
,
kar je protislovje. Torej je zapis enoliˇ cen.
Trditev 11. Naj bo p praˇ stevilo.
(a) Mnoˇ zica p-adiˇ cnih ˇ stevil Q
p
je neˇ stevna, zato je mnoˇ zica racionalnih
ˇ stevil njena prava podmnoˇ zica.
(b) Polje Q
p
ni algebraiˇ cno zaprto.
170 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 5
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 171 — #11
i
i
i
i
i
i
Uvod v svetp adi ˇ cnih števil
Dokaz. (a) Spomnimo bralca, da neˇ stevnost mnoˇ zice realnih ˇ stevil doka-
ˇ zemo z uporabo Cantorjevega diagonalnega trika. Predpostavimo, da je
mnoˇ zica realnih ˇ stevil ˇ stevna; realna ˇ stevila zapiˇ semo v zaporedje in kon-
struiramo realno ˇ stevilo, ki se na n-tem decimalnem mestu razlikuje od
n-tega ˇ clena v zaporedju. To realno ˇ stevilo ni ˇ clen zaporedja, kar je proti-
slovje.
Podobnodokaˇ zemo,damnoˇ zicavrstα =
∞
P
n=m
a
n
p
n
,kjerjea
n
∈{0,1,...,
p− 1} za n ≥ m, ni ˇ stevna. Ker je mnoˇ zica racionalnih ˇ stevil ˇ stevna, je
njena prava podmnoˇ zica.
(b) V poljuQ
p
polinom q(x) = x
2
−p nima niˇ cel: denimo, da je x∈Q
p
niˇ cla polinoma q. Potem je|x|
p
= p
k
za neki k∈Z. Ker je x reˇ sitev enaˇ cbe
x
2
= p, je |x|
2
p
= |p|
p
, od koder sledi p
2k
= p
−1
, kar je nemogoˇ ce. Torej
polinom q v poljuQ
p
nima niˇ cel, zato poljeQ
p
ni algebraiˇ cno zaprto.
Kot zanimivost omenimo, da lahko p-adiˇ cno absolutno vrednost razˇ si-
rimo na algebraiˇ cno zaprtje poljaQ
p
, vendar to polje ni poln metriˇ cen pro-
stor;ˇ sele njegova napolnitevC
p
ustreza polju kompleksnihˇ stevil z obiˇ cajno
absolutno vrednostjo. Zahtevnejˇ si bralec si o tem lahko prebere v [4].
LITERATURA
[1] Andrew Baker, An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis, 2007,
 .
[2] Fernando Q. Gouvˆ ea, p-adic numbers. An introduction, 2. izdaja, Universitext,
Springer-Verlag, Berlin, 1997.
[3] Neal Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions, 2. izdaja, Graduate
Texts in Mathematics 58, Springer-Verlag, New York, 1984.
[4] Alain M. Robert, A course in p-adic analysis, Graduate Texts in Mathematics 198,
Springer-Verlag, New York, 2000.
[5] Leopold Theisinger, Bemerkung ¨ uber die harmonische Reihe, Monatsh. Math.
Phys.26 (1915), str. 132–134.
[6] Joˇ ze Vrabec, Metriˇ cni prostori, Matematika – ﬁzika 31, DMFA, Ljubljana, 1990.
161–171 171