Povzetek V prispevku je v bistvenih potezah predstavljena zgodovina matematike in kakšno je njeno današnje stanje na Slovenskem. Ključne besede: matematika, zgodovina matematike. Zgodovina matematike Marko Razpet Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta History of mathematics Abstract In this contribution, the history of mathematics in its essential features, and its contemporary situation in Slovenia are presen- ted. Key words: mathematics, history of mathematics. α Namesto uvoda. Zakaj zgodovina matematike? Nemškega zgodovinarja matematike, Hansa Wußinga (1927−2011), Univerza v Leipzigu, so mnogi spraševali, čemu študirati še zgodovino matematike, saj imajo mnogi ljudje že tako in tako strah pred matematiko in jih oblije kurja polt, če se samo spomnijo na pisanje testov, šolskih nalog in pisnih izpitov iz matematike, izpraševanj pred tablo ter popravnih, ustnih in drugih izpitov. Njegov odgovor je bil kratek in preprost: »Ravno zato.« Matematika v šoli XIX. [2013] 074-079 75 Da ne bomo ostali samo pri bežni pred- stavitvi zgodovine matematike, poskusimo nekoliko obširneje razložiti, s čim se ta, prav tako pomembna veja matematike, sploh ukvarja. Ker je tega veliko, bomo samo neka- tere stvari nekoliko bolje osvetlili. β Seminar za zgodovino matematinih znanosti Pobudo za oživitev zgodovine matemati- ke je na začetku tretjega tisočletja dal prof. dr. Tomaž Pisanski. Leta 2002 smo namreč nekoliko bolj skromno, kot bi kdo pričako- val, obeležili 200. obletnico smrti Jurija ba- rona Vege (1754−1802), dve leti kasneje pa veliko bolj slovesno 250. obletnico njegovega rojstva. Po tem dogodku smo pripravili ob- širen zbornik Jurij baron Vega in njegov čas, ki je izšel leta 2006. Kot glavni organizator Vegovih dni v letih 2002 in 2004 je prof. Pisanski po izdaji zbornika prišel na dan z idejo, da bi se v neki obliki stalneje ukvarjali z zgodovino matematike v okviru Društva matematikov, fizikov in astronomov Slove- nije, Fakultete za matematiko in fiziko ter Inštituta za matematiko, fiziko in mehaniko. Odločili smo se za zelo navzven odprto, se- minarsko obliko dela, seminar pa imenovali Seminar za zgodovino matematičnih zna- nosti, kamor sodi vse, kar ima vsaj malo zve- ze z matematiko. Zgodovina matematike na naših šolah se s tem seminarjem ni pojavila prvič. Učitelji in profesorji že od nekdaj radi svoja izvajanja za poslušalce popestrijo s kakim utrinkom iz zgodovine matematike. Na Univerzi v Ljub- ljani je prof. dr. France Križanič nekaj časa bodočim profesorjem matematike predaval o zgodovini matematike. V zvezi s tem je izdal knjigo Križem po matematiki (Križanič, 1960). Kasneje je izdal še knjigo Nihalo, prostor, delci (Križanič, 1982), ki je prav tako zgodovinsko- matematična, posega pa praktično v celotno zgodovino matematike, čeprav je njena vodil- na tema harmonična analiza. Društvo mate- matikov, fizikov in astronomovje poskrbelo za prevod Struikove Kratke zgodovine matemati- ke (Struik, 1978). V slovenščini imamo tudi delo Zgodovina matematike: zgodbe o proble- mih (Jaboeufidr., 2000, 2001). Namenjeno je predvsem učiteljem matematike, zasnovano pa je tako, da v vsakem poglavju najprej po- jasni zgodovinsko pomemben matematični problem, ki predstavlja začetek nekaj bistve- no novega, in nato daje namige in navodila, kako se ga rešuje. Poučevanje matematike s pomočjo njene zgodovine se je izkazalo kot primerno. Pri tem poslušalci pridobijo pravi občutek, da je matematika zelo povezana z drugimi znanostmi, na primer z logiko, fizi- ko, astronomijo in računalništvom. Izvejo pa tudi, da je matematika nastajala, se očiščevala, neprestano stremela po izboljšavah, se trudi- la, da bi bila dostopna in razumljiva tudi manj nadarjenim ljudem. Na fakultetah, ki izobražujejo bodoče profesorje matematike, je zgodovina mate- matike v neki obliki stalno prisotna: vklju- čena je v didaktiko oziroma metodiko ma- tematikeali paje ponujena študentom kot izbirni predmet. Marsikateri študent si za diplomsko delo izbere kakšno zgodovinsko temo. Na Fakulteti za matematiko in fiziko se je v akademskem letu 2012/13 izvajala celo kot samostojni predmet za pedagoške matematike. Tudi na nekaterih srednjih šolah sreču- jemo zanimanje za zgodovino matematike. Dijaki radi pripravljajo seminarske naloge iz matematično-zgodovinskih tem, profesorji pogosto objavljajo tovrstne članke v revijah Zgodovina matematike 76 Presek in Matematika v šoli. Prof. Vilko Domajnkopa je izdal celo priročnik (Do- majnko, 1993), v katerem predstavi nekatere zanimive naloge, ki so se v različnih časih in na različnih krajih pojavile v zgodovini ma- tematike. Seminar za zgodovino matematičnih zna- nosti je stekel konec februarja 2010 in od takrat praviloma poteka v obeh semestrih v tednih, ko so na fakultetah predavanja. Se- minar poteka 2 uri tedensko. O naslovih in predavateljih sproti obveščamo. Obvestila s povzetki so objavljena na sple- tni strani http://wiki.fmf.uni-lj.si/wiki/Kategorija:Seminar kjer izberete Seminar za zgodovino matema- tičnih znanosti. Lahko pa do obvestil pride- mo tudi na spletni strani http://www.fmf.uni-lj.si/si/raziskave/ rubrika Napovedujemo. Pridružite se nam! Če hočetena primer izvedeti, kdo so bili har- pedonapti, ki jih omenja predsokratski grški filozof Demokritiz Abdere, je naš seminar pravo mesto. Prav tako je zanimivo izvedeti, kako je Jurij Vega računal število &, to je raz- merje med obsegom in premerom kroga,na 140 decimalk in se nekje zmotil, česar pa ni mogel vedeti, ker boljšega izračuna takrat ni poznal. Prvič ga je pravilno izračunal na 126 decimalk, malo kasneje pa na 136. V vsakem primeru pa je odkril, da je 113. decimalka- števila &, ki ga je izračunal Francoz Tho- mas Fantetde Lagny (1660−1734), napačna. V zvezi s številom & se Slovencem spodobi vedeti, da je Leopold Karl Schulz von Stras- snitski (1803−1852), ki je nekaj let poučeval na ljubljanskem liceju, pregovoril Franca Močnika, da se je ta posvetil matematiki in poučevanju in ne duhovništvu. Poleg tega je Strassnitzki poznal preprosto formulo in postopek za izračun števila & z vrstami, s ka- terimi ga je Johann Martin Zacharias Dase (1824−1861) leta 1844 tudi zares izračunal, in to na pravilnih 200 decimalk. Doslej smo živeli v prepričanju, da je Wil- liam Rutherford (1798−1871) prvi pravilno izračunal število & na 152 decimalk. Ravno Strassnizkemu gre zahvala, da izvemo, da je to storil nekdo pred njim, saj Bernhard Frie- drich Thibaut (1775−1832), Gaussov sodob- nik in kolega, v peti izdaji svojega učbenika, ki je izšel leta 1831, navaja število & prav tako na 152 decimalk, in to pravilno. Strassnizki namreč v spremnem besedilu k Dasejevi ob- javi 200 decimalk števila & leta 1844 omenja Thibauta, ki naj bištevilo & na 152 decimalk poznal, posredno ali neposredno, iz nekega rokopisa, arhiviranega v knjižnici Radcliffe v Oxfordu. Podrobnosti o tem, kje je poda- tek našel, pa Thibaut ne navaja. Brskanje po virih nas ni privedlo do avtorja omenjenega oxfordskega rokopisa, pač pa smo našli po- datek, da je astronom Franz Xavervon Zach (1754−1832) pisal francoskemu zgodovi- narju matematike Jean-Étiennu Montuclu (1725–1799), da je rokopis videl. Verjetno je bilo to med Zachovim bivanjem v Londo- nu med letoma 1783 in 1786. Iz vsega lahko sklepamo, da je nekdo izračunal število & na 152 decimalk natančno pred letom 1799, ni pa za natančnost vedel, saj boljšega rezultata do takrat po vsej verjetnosti ni bilo. Verjetno Vega za oxfordski rokopisni vedel. Osnovna vprašanja v zgodovini matema- tike so (Wußing, H. idr., 1997): • Zgodovina problemov, pojmov, odnosov • Matematika v povezavi z naravoslovjem in tehniko • Biografije • Matematične institucije in oblike orga- niziranosti 77 • Matematika kot del človeške kulture • Matematika in družba • Matematika kot del splošne izobrazbe • Zgodovinsko-kritična analiza izvirnih besedil Seminar za zgodovino matematičnih zna- nosti jim skuša po najboljših močeh slediti. Zaveda pa se, da še dolgo ne bo dosegel tiste- ga, kar si bi marsikdo želel že danes. Povedati je namreč treba, da se z zgodovino matema- tike po nekaterih državah ukvarjajo že dolgo, zlasti tam, kjer je doma bogata matematična tradicija. Omenimo samo nekatere.Fran- cozom sta v ponos že omenjeni Jean-Étien- ne Montuclain Paul Tannery (1843−1904), Nemci se ponašajo z Moritzem Cantorjem (1829−1920), Danci z Johanom Ludvigom Heibergom (1854−1928). Zgodovino sta- rogrške matematike je do obisti preštudiral Anglež Thomas Little Heath (1861−1940). Za prvega zgodovinarja matematike pa velja Grk Evdemz Rodosa (’ 350−290 pnš.). V Avstriji je bilo v zadnjih 25 letih že 11 simpo- zijev z mednarodno udeležbo iz zgodovine matematike. Izhaja pa tudi nekaj specializi- ranih mednarodnih revij, posvečenih tej veji matematike. Slovenci habilitiranega zgodovinarja ma- tematike še nimamo, zahvaljujoč posamezni- kom pa imamo dobro obdelane vsaj nekatere matematike: Jurija Vega (1754−1802), Fran- ca Močnika (1814−1892), Franca Hočevarja (1853−1919), Josipa Plemlja (1873−1967), Iva Laha (1896−1979). Glede na našo burno zgodovino seveda ne moremo mimo razvoja matematikev nam bolj ali manj oddaljenih deželah. Nekoč so namreč naši ljudje študi- rali na Dunaju, v Gradcu, Pragi, Brnu, Pa- dovi, Zagrebu in drugje. Nekateri so v tujini tudi uspešno delovali kot profesorji in razi- skovalci in prenašali svoje znanje domov. δ Svetovna zgodovina matematike Ko se ukvarjamo z zgodovino matematike v svetovnem merilu, jo navadno grobo raz- delimo nanaslednja poglavja (Wußing idr., 1997): • Prazgodovina • Mezopotamija • Egipt • Grčija in helenizem • Kitajska • Indija • Islamski svet • Predkolumbijska Amerika • Srednjeveška Evropa • Evropa v renesansi • Evropa v racionalizmu in razsvetljenstvu • Svet − devetnajsto stoletje • Svet − dvajseto stoletje Pri tem nas zanimajo sami začetki ma- tematike prinarodih in kulturah v različnih delih sveta, kdo je kaj odkril in zakaj, kakšni so bili medsebojni vplivi, kako se je znanje matematike širilo, v katere težave so zašli matematiki, katere ideje so se ohranile in ka- tere so bile obsojene na neuspeh itd. Navedimo nekatere pomembne proble- me, ki jih obravnavamo pri zgodovini mate- matike: • Klasični problemi antike • Reševanje polinomskih enačb • Konstruktibilnost v geometriji • Kriza matematičnih osnov • Hilbertovi problemi Klasični problemi antike obsegajo pod- vojitev kocke, tretjinjenje kota in kvadratu- ro kroga. Stari Grki so jih skušali rešiti po evklidsko, samo z neoznačenim ravnilom in šestilom, kar pa je nemogoče, kar se je izkazalo mnogo stoletij kasneje. Njihov trud pa ni bil popolnoma zaman, saj so spotoma 78 odkrili, kar se je pogosto dogajalo skozi celo zgodovino matematike, marsikaj drugega. Linearno in kvadratno enačbo so znali algebrsko, to je z osnovnimi štirimi račun- skimi operacijami in korenjenjem, reševati že stari babilonski, islamski in indijski ma- tematiki, ustavilo pa se je pri kubični enač- bi. Šele v obdobju italijanske renesanse so obvladali tudi polinomsko enačbo tretje in četrte stopnje. Ustavilo se je pri polinomskih enačbah pete in višje stopnje. Trajalo je kar precej časa, da so dokazali, da se takih enačb na splošnoalgebrsko ne da rešiti. Ko govorimo o konstruktibilnosti v geo- metriji, mislimo predvsem na probleme, ki se jih da rešiti samo z neoznačenim ravnilom in šestilom. Tak problem je na primer, kate- re pravilne n-kotnike se da načrtati samo z omenjenima orodjema. Za n = 3, 4, 5, 6 to na primer gre, za n = 7 pa ne. Matematiki so uspešno prebrodili tudi krizo matematičnih osnov. V določenem ob- dobju so se namreč pojavili problemi, kaj je sploh kaj v matematiki. Kaj je funkcija? Kaj je množica? Nepazljivosti v definicijah osnov- nih matematičnih pojmov namreč hitro privedejo do logičnih protislovij, antinomij, paradoksov. Znani matematik David Hilbert (1861−1943) je na mednarodnem kongresu matematikov v Parizu leta 1900 objavil 23 do takrat nerešenih težkih matematičnih pro- blemov, ki se imenujejo po njem. S tem je zaposlil matematike za daljše obdobje. Veči- no Hilbertovih problemov so do danes rešili, nekateri pa so kljub izjemnemu trudu ostali nerešeni. ε Zgodovina slovenske matematike Matematika se je slovenskih dežel dota- knila že zelo zgodaj. Marsičesa še ne vemo in bo treba še marsikaj raziskati, imamo pa nekaj oseb, mimo katerih ne moremo, na primer: • Marko Pohlin • Jurij Vega • Franc Močnik • Anton Martin Slomšek • Franc Hočevar • Josip Plemelj • Ivo Lah • novejši slovenski matematiki Marsikdo se bo vprašal, zakaj sta navede- na oče Marko Pohlin in škof Anton Martin Slomšek. Prvi je napisal prvo slovensko ra- čunico Bukuvze za rajtengo (1781), ki je ne- dvomno svojčas odigrala pomembno vlogo v izobraževanju mladih deklet in fantov. Slom- šek pa je knjigi Blasheino Neshiza v' nedelşki şholi (1842), ki je bila večkrat ponatisnjena z malenkostno spremenjenim naslovom za- radi pravopisa inprehoda na gajico, podal najnujnejše lekcije in zglede iz vseh takra- tnih šolskih predmetov, tudi iz računstva, ki naj bi se jih naučili v osnovni šoli. Verjetno knjiga ni služila le samoukom, temveč tudi vaškim učiteljem. Naštejmo še nekaj pomembnih tem, ki so ali bodo vedno zanimive za zgodovinarje matematike. Morda bo kdo sam našel še kak- šno, zaenkrat zapišimo naslednje: • Pomen zgodovine matematike • Zapisovanje števil • Pitagorov izrek • Evklidovi Elementi • Razvoj matematične misli • Razvoj oznak v matematiki • Matematika kot jezik • Nastajanje novih področij • Razvoj poučevanja matematike • Povezave z drugimi znanostmi • Etnomatematika Zgodovina matematike 79 γ Sklepne besede Poznavanje zgodovine matematike je vse- kakor koristno tako za posameznika kakor tudi za šole vseh stopenj. Literature v zvezi z zgodovino matematike je ogromno. Poleg že omenjenih del je koristno vsaj malo poznati tudi dela [1, 3, 4, 8, 9, 10, 13] s seznama na koncu prispevka. Namen prispevka bo dose- žen, če bo vsaj enega bralca ali bralko navdu- šil za zgodovino matematike. ζ Viri in literatura: 1. Courant, R., Robbins, H. (1996). What is Mathematics. New Y ork idr.: Oxford University Press. 2. Domajnko, V (1993). Z nalogami v zgodovino matema- tike. Ljubljana: Mladinska knjiga. 3. Eves, H. (1964). An Introduction to the History of Mathematics. New York idr.: Holt, Rinehartand Win- ston. 4. Hairer, E., Wanner, G. (1995). Analysis by Its History. Berlin idr.: Springer-Verlag. 5. Jaboeuf, F. idr. (2000,2001). Zgodovina matematike: zgodbe o problemih, 1. in 2. del. Ljubljana: Društvo ma- tematikov, fizikov in astronomov Slovenije. 6. Križanič, F. (1960). Križem po matematiki. Ljubljana: Mladinska knjiga. 7. Križanič, F . (1982). Nihalo, prostor, delci. Ljubljana: Slo- venska matica. 8. Merzbach, U. C., Boyer, C. B. (2011). A History of Mathematics. Hobiken, New Jersey: John Wiley & Sons. 9. Ostermann, A., W anner, G. (2010). Geometry by Its Hi- story. Heidelberg idr.: Springer. 10. Stillwell, J. (2010). Mathematics and Its History. New Y orkidr.: Springer. 11. Struik, D. J. (1978). Kratka zgodovina matematike. Lju- bljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. 12. Wußing, H. idr., I. (1997). Vom Zählstein zum Compu- ter. Hildesheim: Franzbecker. 13. Wußing, H., Arnold W . (1989). Biographien bedeuten- der Mathematiker. Berlin: Volkund Wissen Volkseige- ner Verlag.