Ventil 5 / 2024 • Letnik 30
1  Uvod
Uporaba sinhronskih strojev s trajnimi magneti 
(SSTM) je dandanes zelo razširjena zaradi zelo viso-
kega izkoristka, velike gostote moči, velikega zagon-
skega momenta ter zelo majhnih stroškov vzdrževa-
nja [1], [2]. V fluidni tehniki se SSTM najpogosteje 
uporabljajo za pogone črpalk, pri katerih je zahteva-
na katera od prej naštetih lastnosti [3]–[6]. Pri tem 
so lahko nazivne moči pogonov črpalk s SSTM od  
30 % do 40 % manjše v primerjavi z enostavnimi po-
goni črpalk z asinhronskimi motorji zaradi večjega 
zagonskega momenta pogona s SSTM [6].
Visok izkoristek pogona črpalke lahko dosežemo z 
optimizacijo konstrukcije SSTM ali pa z izvedbo na-
prednega vodenja SSTM. Za SSTM se najpogosteje 
uporablja vodenje v orientaciji magnetnega skle-
pa trajnega magneta (angl. Field-Oriented Control 
- FOC), ki temelji na dvoosnem (t. i. dq) modelu 
SSTM [7], ki je opisan v nadaljevanju. Za ustrezno 
vodenje pretoka črpalke moramo FOC nadgraditi 
v kaskadno regulacijsko zgradbo in dodati še regu-
lator hitrosti. Izhod iz regulatorja hitrosti je v večini 
primerov referenca statorskega toka SSTM, ki se na 
podlagi izbrane strategije vodenja uporabi za no-
tranji tokovni regulacijski zanki. V splošnem se za 
FOC lahko uporabljajo različne strategije, ki skrbijo, 
da se referenca toka iz regulatorja hitrosti razdeli 
na komponento »d« in »q« tako, da SSTM vedno 
razvije želeno vrednost navora z najvišjim možnim 
izkoristkom (ang. maximum efficiency per torque) 
[8]–[10]. Z ustrezno izbiro statorskega toka je na-
mreč mogoče vplivati tako na joulske izgube v navi-
tjih kot tudi na izgube v železnem jedru SSTM. 
Ker pri SSTM v večini primerov prevladujejo izgu-
be v navitjih, ki so odvisne predvsem od velikosti 
statorskega toka, se pogosteje uporabljajo strate-
gije vodenja, ki minimizirajo te izgube in posledično 
zagotavljajo maksimalen navor na amplitudo sta-
torskega toka (angl. Maximum Torque Per Ampe-
re - MTPA) [11]. Izvedbe strategij MTPA lahko mini-
malen statorski tok izračunajo na podlagi podanih 
parametrov oziroma karakteristik SSTM ali pa med 
obratovanjem statorskemu toku dodajajo signale, ki 
vplivajo na generiran navor SSTM [11]. Posledično 
ti pristopi ne potrebujejo parametrov SSTM. Spre-
memba parametrov SSTM namreč vpliva na gene-
rirani navor, kar pa vpliva na delovno točko MTPA. 
Med obratovanjem se najbolj spreminjajo induktiv-
nosti v odvisnosti od statorskega toka zaradi nasi-
čenja železnega jedra SSTM, kar je še posebej izra-
zito pri strojih s koncentriranimi navitji. Parametri 
SSTM se s časom lahko spremenijo tudi zaradi tem-
perature ali zaradi delne demagnetizacije trajnih 
magnetov [12], [13]. Pri tem temperatura ne vpli-
va le na upornost navitij, ampak tudi na magnetni 
sklep trajnih magnetov. Vse to pa vpliva na navor, 
306
VODENJE SINHRONSKIH STROJEV
Dr. Jernej Černelič, univ. dipl. inž., izr. prof. dr. 
Martin Petrun, univ. dipl. inž., oba Univerza v Ma-
riboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo 
in informatiko
 i ZVedba strategije Vodenja Za 
Zmanjšanje iZ gub V sinhronskih 
strojih Z notranjimi trajnimi 
magneti Jernej Černelič, Martin Petrun
Izvleček: 
V pogonih, ki zahtevajo zelo visok izkoristek je najpogosteje uporabljen sinhronski stroj s trajnimi magneti 
(SSTM). Visok izkoristek dosežemo z optimizacijo zgradbe SSTM ter z ustrezno strategijo vektorskega 
vodenja, ki stroj vodi v delovnih točkah z najmanjšimi izgubami. Pri tem je najpogosteje uporabljena strate-
gija, ki zagotavlja maksimalni navor na amplitudo statorskega toka (angl. Maximum Torque Per Ampere – 
MTPA). V tem prispevku so podane osnove strategije vodenja MTPA ter primerjane različne aproksimacije 
krivulj MTPA in njihov vpliv na joulske izgube v SSTM.
Ključne besede: 
sinhronski stroj z notranjimi trajnimi magneti (SSTM), maksimalen navor na amplitudo statorskega toka 
(MTPA), minimizacija izgub

Ventil 5 / 2024 • Letnik 30
ki ga razvije SSTM in s tem tudi na potek krivulje 
MTPA, ki opisuje razdelitev toka na komponente za 
vse amplitude toka.
V tem prispevku je predstavljena primerjava različ-
nih pristopov aproksimacije krivulj MTPA, zato je v 
2. poglavju predstavljen model SSTM, v 3. poglav-
ju so predstavljene različne aproksimacije krivulj 
MTPA, v 4. poglavju pa so zbrani rezultati nume-
ričnih primerjav vodenja z različnimi analiziranimi 
krivuljami MTPA.
2  Model sinhronskega stroja s trajnimi 
magneti
Za izračun krivulj MTPA se najpogosteje uporablja 
poenostavljen model SSTM v rotirajočem  koordi-
natnem sistemu dq, saj položaj rotorja in medse-
bojne magnetne povezanosti osi nimajo velikega 
vpliva na povprečno vrednost navora, ki ga generi-
ra SSTM [14]. Napetostni enačbi poenostavljenega 
modela SSTM sta podani z (1) in (2),
𝑈𝑈 d
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 d
+ 𝐿𝐿 di
d𝐼𝐼 d
d𝑡𝑡 − 𝑝𝑝 𝜔𝜔 m
𝐿𝐿 qn
𝐼𝐼 q
        (1) 
 
𝑈𝑈 q
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 q
+ 𝐿𝐿 qi
d𝐼𝐼 q
d𝑡𝑡 + 𝑝𝑝𝜔𝜔
m
(Ψ
m
+ 𝐿𝐿 dn
𝐼𝐼 d
)       (2) 
 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 𝑠𝑠 + 𝑀𝑀 𝑟𝑟 =
3
2
𝑝𝑝 Ψ
m
𝐼𝐼 q
+
3
2
𝑝𝑝 (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
=
3
2
𝑝𝑝 (Ψ
m
𝐼𝐼 q
+ (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
)  (3) 
 
max
‖𝐼𝐼 d
,𝐼𝐼 q
‖=𝐼𝐼 𝑠𝑠  𝑀𝑀 (𝐼𝐼 d
, 𝐼𝐼 q
) = 𝑀𝑀 ∗
         (4) 
 
𝐼𝐼 d
=
Ψ
m
−
√
Ψ
m
2
+8(𝐿𝐿 dn
−𝐿𝐿 qn
)
2
𝐼𝐼 s
2
4(𝐿𝐿 qn
−𝐿𝐿 dn
)
         ( 5) 
 
𝐼𝐼 q
= √𝐼𝐼 s
2
− 𝐼𝐼 d
2
           (6) 
 
𝐼𝐼 d
= 𝑘𝑘 2
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 2
+ 𝑘𝑘 1
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑘𝑘 0
         (7) 
 
𝐼𝐼 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 ∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑛𝑛          (8) 
 
𝑠𝑠 𝑟𝑟 =
𝐿𝐿 𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑞𝑞
= 1,787          (9) 
 
𝐼𝐼 s
= √𝐼𝐼 d
2
+ 𝐼𝐼 q
2
           (10) 
 
𝛾𝛾 = atan (
−𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
) ,           (1 1) 
 (1) 𝑈𝑈 d
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 d
+ 𝐿𝐿 di
d𝐼𝐼 d
d𝑡𝑡 − 𝑝𝑝 𝜔𝜔 m
𝐿𝐿 qn
𝐼𝐼 q
        (1) 
 
𝑈𝑈 q
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 q
+ 𝐿𝐿 qi
d𝐼𝐼 q
d𝑡𝑡 + 𝑝𝑝𝜔𝜔
m
(Ψ
m
+ 𝐿𝐿 dn
𝐼𝐼 d
)       (2) 
 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 𝑠𝑠 + 𝑀𝑀 𝑟𝑟 =
3
2
𝑝𝑝 Ψ
m
𝐼𝐼 q
+
3
2
𝑝𝑝 (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
=
3
2
𝑝𝑝 (Ψ
m
𝐼𝐼 q
+ (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
)  (3) 
 
max
‖𝐼𝐼 d
,𝐼𝐼 q
‖=𝐼𝐼 𝑠𝑠  𝑀𝑀 (𝐼𝐼 d
, 𝐼𝐼 q
) = 𝑀𝑀 ∗
         (4) 
 
𝐼𝐼 d
=
Ψ
m
−
√
Ψ
m
2
+8(𝐿𝐿 dn
−𝐿𝐿 qn
)
2
𝐼𝐼 s
2
4(𝐿𝐿 qn
−𝐿𝐿 dn
)
         ( 5) 
 
𝐼𝐼 q
= √𝐼𝐼 s
2
− 𝐼𝐼 d
2
           (6) 
 
𝐼𝐼 d
= 𝑘𝑘 2
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 2
+ 𝑘𝑘 1
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑘𝑘 0
         (7) 
 
𝐼𝐼 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 ∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑛𝑛          (8) 
 
𝑠𝑠 𝑟𝑟 =
𝐿𝐿 𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑞𝑞
= 1,787          (9) 
 
𝐼𝐼 s
= √𝐼𝐼 d
2
+ 𝐼𝐼 q
2
           (10) 
 
𝛾𝛾 = atan (
−𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
) ,           (1 1) 
  
(2)
kjer je R
s
 upornost statorskega navitja, L
di
 inkre-
mentalna induktivnost v d-osi, L
qi
 inkrementalna 
induktivnost v q-osi, L
dn
 navidezna induktivnost v 
d-osi, L
qn
 navidezna induktivnost v q-osi, p število 
polovih parov, Ψ
m
 magnetni sklep trajnega magne-
ta, I
d
 in I
q
 sta toka v osi d in osi q, ω
m
 pa je me-
hanska kotna hitrost rotorja. Pri tem je pomembno 
poudariti, da so zaradi nelinearnih lastnosti žele-
znega jedra stroja vse induktivnosti in magnetni 
sklep trajnega magneta v splošnem močno odvisni 
od komponent statorskega toka I
d
 in I
q
. Te neline-
arne odvisnosti so v (1) in (2) najpogosteje upošte-
vane numerično z uporabo tabel, ki se izračunajo 
na podlagi podatkov elektromagnetnega izračuna 
SSTM z metodo končnih elementov (MKE) ali pa iz 
podatkov meritev SSTM [15].
Na podlagi napetostnih enačb lahko izpeljemo na-
vorno enačbo (3), ki je sestavljena iz dveh kom-
ponent navora. Prva komponenta navora M
s
 pred-
stavlja sinhronski navor in je odvisna predvsem od 
magnetnega sklepa trajnega magneta in toka v osi 
q. Druga komponenta pa predstavlja reluktančni 
navor M
r
, ki je zelo nelinearen in je posledica različ-
nih navideznih induktivnosti v oseh d in q, kar je v 
splošnem značilno za sinhronske stroje s potoplje-
nimi trajnimi magneti ter za reluktančne stroje [11].
𝑈𝑈 d
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 d
+ 𝐿𝐿 di
d𝐼𝐼 d
d𝑡𝑡 − 𝑝𝑝 𝜔𝜔 m
𝐿𝐿 qn
𝐼𝐼 q
        (1) 
 
𝑈𝑈 q
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 q
+ 𝐿𝐿 qi
d𝐼𝐼 q
d𝑡𝑡 + 𝑝𝑝𝜔𝜔
m
(Ψ
m
+ 𝐿𝐿 dn
𝐼𝐼 d
)       (2) 
 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 𝑠𝑠 + 𝑀𝑀 𝑟𝑟 =
3
2
𝑝𝑝 Ψ
m
𝐼𝐼 q
+
3
2
𝑝𝑝 (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
=
3
2
𝑝𝑝 (Ψ
m
𝐼𝐼 q
+ (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
)  (3) 
 
max
‖𝐼𝐼 d
,𝐼𝐼 q
‖=𝐼𝐼 𝑠𝑠  𝑀𝑀 (𝐼𝐼 d
, 𝐼𝐼 q
) = 𝑀𝑀 ∗
         (4) 
 
𝐼𝐼 d
=
Ψ
m
−
√
Ψ
m
2
+8(𝐿𝐿 dn
−𝐿𝐿 qn
)
2
𝐼𝐼 s
2
4(𝐿𝐿 qn
−𝐿𝐿 dn
)
         ( 5) 
 
𝐼𝐼 q
= √𝐼𝐼 s
2
− 𝐼𝐼 d
2
           (6) 
 
𝐼𝐼 d
= 𝑘𝑘 2
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 2
+ 𝑘𝑘 1
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑘𝑘 0
         (7) 
 
𝐼𝐼 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 ∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑛𝑛          (8) 
 
𝑠𝑠 𝑟𝑟 =
𝐿𝐿 𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑞𝑞
= 1,787          (9) 
 
𝐼𝐼 s
= √𝐼𝐼 d
2
+ 𝐼𝐼 q
2
           (10) 
 
𝛾𝛾 = atan (
−𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
) ,           (1 1) 
𝑈𝑈 d
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 d
+ 𝐿𝐿 di
d𝐼𝐼 d
d𝑡𝑡 − 𝑝𝑝 𝜔𝜔 m
𝐿𝐿 qn
𝐼𝐼 q
        (1) 
 
𝑈𝑈 q
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 q
+ 𝐿𝐿 qi
d𝐼𝐼 q
d𝑡𝑡 + 𝑝𝑝𝜔𝜔
m
(Ψ
m
+ 𝐿𝐿 dn
𝐼𝐼 d
)       (2) 
 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 𝑠𝑠 + 𝑀𝑀 𝑟𝑟 =
3
2
𝑝𝑝 Ψ
m
𝐼𝐼 q
+
3
2
𝑝𝑝 (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
=
3
2
𝑝𝑝 (Ψ
m
𝐼𝐼 q
+ (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
)  (3) 
 
max
‖𝐼𝐼 d
,𝐼𝐼 q
‖=𝐼𝐼 𝑠𝑠  𝑀𝑀 (𝐼𝐼 d
, 𝐼𝐼 q
) = 𝑀𝑀 ∗
         (4) 
 
𝐼𝐼 d
=
Ψ
m
−
√
Ψ
m
2
+8(𝐿𝐿 dn
−𝐿𝐿 qn
)
2
𝐼𝐼 s
2
4(𝐿𝐿 qn
−𝐿𝐿 dn
)
         ( 5) 
 
𝐼𝐼 q
= √𝐼𝐼 s
2
− 𝐼𝐼 d
2
           (6) 
 
𝐼𝐼 d
= 𝑘𝑘 2
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 2
+ 𝑘𝑘 1
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑘𝑘 0
         (7) 
 
𝐼𝐼 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 ∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑛𝑛          (8) 
 
𝑠𝑠 𝑟𝑟 =
𝐿𝐿 𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑞𝑞
= 1,787          (9) 
 
𝐼𝐼 s
= √𝐼𝐼 d
2
+ 𝐼𝐼 q
2
           (10) 
 
𝛾𝛾 = atan (
−𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
) ,           (1 1) 
 (3)
3.1  Določanja krivulj MTPA 
Iz prikazane odvisnosti navora v enačbi (3) je raz-
vidno, da lahko izbrano vrednost navora dosežemo 
s teoretično neskončno kombinacijami komponent 
toka (I
d
, I
q
). Za vsako izbrano vrednost navora M pa 
obstaja le ena kombinacija toka (I
d
, I
q
), pri kateri 
SSTM generira izbrani navor z minimalnimi izguba-
mi. Pri tem lahko z izbiro toka vplivamo na električ-
ne izgube SSTM, ki so sestavljene iz joulskih izgub 
v navitjih ter iz magnetilnih izgub v železnem jedru. 
Analitična rešitev tega optimizacijskega problema 
je predstavljena v [8] in zahteva tudi poznavanje 
lastnosti železnega paketa SSTM, ki pogosto niso 
znane in se med obratovanjem lahko tudi spremi-
njajo. Posledično se v praksi veliko pogosteje upo-
rablja suboptimalna rešitev, ki minimizira le joulske 
izgube v navitjih tako, da izbrano vrednost navora 
generira z najmanjšo amplitudo statorskega toka, 
kar v splošnem poznamo kot strategijo vodenja 
MTPA. To obratovalno stanje SSTM pa lahko dose-
žemo z različnimi metodami.
Določitev krivulje MTPA predstavlja v splošnem op-
timizacijski problem. Ker so vrednosti navora v od-
visnosti od toka M(I
d
, I
q
) najpogosteje podane nu-
merično v tabeli, optimizacijski problem zastavimo 
tako, da pri znani omejitvi amplitude statorskega 
toka I
s
 iščemo takšno kombinacijo komponent sta-
torskega toka (I
d
, I
q
), pri kateri bo SSTM razvil želeni 
navor M*. Optimizacijski problem formalno opiše-
mo z enačbo (4).
𝑈𝑈 d
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 d
+ 𝐿𝐿 di
d𝐼𝐼 d
d𝑡𝑡 − 𝑝𝑝 𝜔𝜔 m
𝐿𝐿 qn
𝐼𝐼 q
        (1) 
 
𝑈𝑈 q
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 q
+ 𝐿𝐿 qi
d𝐼𝐼 q
d𝑡𝑡 + 𝑝𝑝𝜔𝜔
m
(Ψ
m
+ 𝐿𝐿 dn
𝐼𝐼 d
)       (2) 
 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 𝑠𝑠 + 𝑀𝑀 𝑟𝑟 =
3
2
𝑝𝑝 Ψ
m
𝐼𝐼 q
+
3
2
𝑝𝑝 (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
=
3
2
𝑝𝑝 (Ψ
m
𝐼𝐼 q
+ (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
)  (3) 
 
max
‖𝐼𝐼 d
,𝐼𝐼 q
‖=𝐼𝐼 𝑠𝑠  𝑀𝑀 (𝐼𝐼 d
, 𝐼𝐼 q
) = 𝑀𝑀 ∗
         (4) 
 
𝐼𝐼 d
=
Ψ
m
−
√
Ψ
m
2
+8(𝐿𝐿 dn
−𝐿𝐿 qn
)
2
𝐼𝐼 s
2
4(𝐿𝐿 qn
−𝐿𝐿 dn
)
         ( 5) 
 
𝐼𝐼 q
= √𝐼𝐼 s
2
− 𝐼𝐼 d
2
           (6) 
 
𝐼𝐼 d
= 𝑘𝑘 2
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 2
+ 𝑘𝑘 1
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑘𝑘 0
         (7) 
 
𝐼𝐼 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 ∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑛𝑛          (8) 
 
𝑠𝑠 𝑟𝑟 =
𝐿𝐿 𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑞𝑞
= 1,787          (9) 
 
𝐼𝐼 s
= √𝐼𝐼 d
2
+ 𝐼𝐼 q
2
           (10) 
 
𝛾𝛾 = atan (
−𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
) ,           (1 1) 
 (4)
Če tako določimo optimalne kombinacije toka (I
d
, 
I
q
) za različne vrednosti M* (in posledično različne 
vrednosti tokov I
s
) in točke povežemo med seboj, 
dobimo t. i. krivuljo MTPA. Oblika te krivulje je odvi-
sna od zasnove in lastnosti SSTM. Če ima sinhronski 
stroj trajne magnete nameščene na površini rotorja, 
je razlika v induktivnostih tako majhna, da se reluk-
tančni navor pogosto zanemari in je krivulja MTPA 
kar navpična premica (I
d
 = 0). Pri sinhronskih stro-
jih, ki imajo trajne magnete potopljene v železno je-
dro rotorja, je razlika v induktivnostih večja in stroj 
razvije tudi reluktančni navor. Oblika krivulje MTPA 
je odvisna od magnetne izraženosti in nasičenja že-
leznega paketa. Čim bolj je rotor magnetno izražen, 
bolj je karakteristika ukrivljena in težje jo je opisati z 
matematično funkcijo. Posledično se takšne krivulje 
MTPA na mikrokrmilnikih najpogosteje izvedejo na 
podlagi numeričnih tabel, pridobljenih s predhodno 
numerično rešitvijo opisanega optimizacijskega 
problema (4).
3.2  Analitična aproksimacija 
Krivuljo MTPA lahko teoretično določimo tudi ana-
litično, če predpostavimo konstantne vrednosti pa-
VODENJE SINHRONSKIH STROJEV
307

Ventil 5 / 2024 • Letnik 30
rametrov SSTM in s tem zanemarimo nelinearnosti 
zaradi nelinearnih lastnosti železnega jedra. Tako 
lahko na podlagi enačbe (3) izpeljemo analitično 
določitev kombinacije komponent statorskega toka 
(I
d
, I
q
) za obratovanje MTPA [11], pri čemer kompo-
nento I
d
 izračunamo na podlagi enačbe (5),
𝑈𝑈 d
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 d
+ 𝐿𝐿 di
d𝐼𝐼 d
d𝑡𝑡 − 𝑝𝑝 𝜔𝜔 m
𝐿𝐿 qn
𝐼𝐼 q
        (1) 
 
𝑈𝑈 q
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 q
+ 𝐿𝐿 qi
d𝐼𝐼 q
d𝑡𝑡 + 𝑝𝑝𝜔𝜔
m
(Ψ
m
+ 𝐿𝐿 dn
𝐼𝐼 d
)       (2) 
 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 𝑠𝑠 + 𝑀𝑀 𝑟𝑟 =
3
2
𝑝𝑝 Ψ
m
𝐼𝐼 q
+
3
2
𝑝𝑝 (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
=
3
2
𝑝𝑝 (Ψ
m
𝐼𝐼 q
+ (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
)  (3) 
 
max
‖𝐼𝐼 d
,𝐼𝐼 q
‖=𝐼𝐼 𝑠𝑠  𝑀𝑀 (𝐼𝐼 d
, 𝐼𝐼 q
) = 𝑀𝑀 ∗
         (4) 
 
𝐼𝐼 d
=
Ψ
m
−
√
Ψ
m
2
+8(𝐿𝐿 dn
−𝐿𝐿 qn
)
2
𝐼𝐼 s
2
4(𝐿𝐿 qn
−𝐿𝐿 dn
)
         ( 5) 
 
𝐼𝐼 q
= √𝐼𝐼 s
2
− 𝐼𝐼 d
2
           (6) 
 
𝐼𝐼 d
= 𝑘𝑘 2
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 2
+ 𝑘𝑘 1
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑘𝑘 0
         (7) 
 
𝐼𝐼 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 ∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑛𝑛          (8) 
 
𝑠𝑠 𝑟𝑟 =
𝐿𝐿 𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑞𝑞
= 1,787          (9) 
 
𝐼𝐼 s
= √𝐼𝐼 d
2
+ 𝐼𝐼 q
2
           (10) 
 
𝛾𝛾 = atan (
−𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
) ,           (1 1) 
 (5)
komponento I
q
 pa na podlagi enačbe (6).
𝑈𝑈 d
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 d
+ 𝐿𝐿 di
d𝐼𝐼 d
d𝑡𝑡 − 𝑝𝑝 𝜔𝜔 m
𝐿𝐿 qn
𝐼𝐼 q
        (1) 
 
𝑈𝑈 q
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 q
+ 𝐿𝐿 qi
d𝐼𝐼 q
d𝑡𝑡 + 𝑝𝑝𝜔𝜔
m
(Ψ
m
+ 𝐿𝐿 dn
𝐼𝐼 d
)       (2) 
 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 𝑠𝑠 + 𝑀𝑀 𝑟𝑟 =
3
2
𝑝𝑝 Ψ
m
𝐼𝐼 q
+
3
2
𝑝𝑝 (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
=
3
2
𝑝𝑝 (Ψ
m
𝐼𝐼 q
+ (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
)  (3) 
 
max
‖𝐼𝐼 d
,𝐼𝐼 q
‖=𝐼𝐼 𝑠𝑠  𝑀𝑀 (𝐼𝐼 d
, 𝐼𝐼 q
) = 𝑀𝑀 ∗
         (4) 
 
𝐼𝐼 d
=
Ψ
m
−
√
Ψ
m
2
+8(𝐿𝐿 dn
−𝐿𝐿 qn
)
2
𝐼𝐼 s
2
4(𝐿𝐿 qn
−𝐿𝐿 dn
)
         ( 5) 
 
𝐼𝐼 q
= √𝐼𝐼 s
2
− 𝐼𝐼 d
2
           (6) 
 
𝐼𝐼 d
= 𝑘𝑘 2
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 2
+ 𝑘𝑘 1
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑘𝑘 0
         (7) 
 
𝐼𝐼 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 ∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑛𝑛          (8) 
 
𝑠𝑠 𝑟𝑟 =
𝐿𝐿 𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑞𝑞
= 1,787          (9) 
 
𝐼𝐼 s
= √𝐼𝐼 d
2
+ 𝐼𝐼 q
2
           (10) 
 
𝛾𝛾 = atan (
−𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
) ,           (1 1) 
  (6)
Slabost te metode je zanemarjenje nelinearnih la-
stnosti, kar v splošnem privede do neoptimalnega 
obratovanja SSTM zaradi odstopanja med dejansko 
in aproksimirano krivuljo MTPA. 
3.3   Numerična aproksimacija z  
 matematičnimi funkcijami
3.3.1   Aproksimacija s kvadratno funkcijo
Avtorji v [8] so izračunane optimalne krivulje, ki so 
upoštevale tudi izgube v železu, aproksimirali s kva-
dratno funkcijo, saj je bila izpeljana rešitev preveč 
kompleksna za izvedbo v realnem času na digital-
nem signalnem procesorju (DSP). Krivuljo MTPA 
lahko z numeričnimi metodami aproksimiramo s 
kvadratno funkcijo (7),
𝑈𝑈 d
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 d
+ 𝐿𝐿 di
d𝐼𝐼 d
d𝑡𝑡 − 𝑝𝑝 𝜔𝜔 m
𝐿𝐿 qn
𝐼𝐼 q
        (1) 
 
𝑈𝑈 q
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 q
+ 𝐿𝐿 qi
d𝐼𝐼 q
d𝑡𝑡 + 𝑝𝑝𝜔𝜔
m
(Ψ
m
+ 𝐿𝐿 dn
𝐼𝐼 d
)       (2) 
 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 𝑠𝑠 + 𝑀𝑀 𝑟𝑟 =
3
2
𝑝𝑝 Ψ
m
𝐼𝐼 q
+
3
2
𝑝𝑝 (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
=
3
2
𝑝𝑝 (Ψ
m
𝐼𝐼 q
+ (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
)  (3) 
 
max
‖𝐼𝐼 d
,𝐼𝐼 q
‖=𝐼𝐼 𝑠𝑠  𝑀𝑀 (𝐼𝐼 d
, 𝐼𝐼 q
) = 𝑀𝑀 ∗
         (4) 
 
𝐼𝐼 d
=
Ψ
m
−
√
Ψ
m
2
+8(𝐿𝐿 dn
−𝐿𝐿 qn
)
2
𝐼𝐼 s
2
4(𝐿𝐿 qn
−𝐿𝐿 dn
)
         ( 5) 
 
𝐼𝐼 q
= √𝐼𝐼 s
2
− 𝐼𝐼 d
2
           (6) 
 
𝐼𝐼 d
= 𝑘𝑘 2
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 2
+ 𝑘𝑘 1
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑘𝑘 0
         (7) 
 
𝐼𝐼 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 ∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑛𝑛          (8) 
 
𝑠𝑠 𝑟𝑟 =
𝐿𝐿 𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑞𝑞
= 1,787          (9) 
 
𝐼𝐼 s
= √𝐼𝐼 d
2
+ 𝐼𝐼 q
2
           (10) 
 
𝛾𝛾 = atan (
−𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
) ,           (1 1) 
  (7)
ki ji moramo določiti koeficiente k
0
, k
1
 in k
2
. Pri tem 
za koeficient k
0
 določimo kar vrednost 0, saj krivu-
lja MTPA vedno izhaja iz koordinatnega izhodišča. 
Za izbiro preostalih dveh koeficientov k
1
 in k
2
 pa 
lahko uporabimo ustrezno metodo za numerično 
aproksimacijo krivulj. Enačba (7) je v splošnem za 
izvedbo v realnem času lahko uporabljena direktno, 
pri čemer predpostavimo, da komponenta I
q
 pre-
vzame vlogo referenčne vrednosti, ki izhaja iz regu-
latorja hitrosti.
3.3.2  Aproksimacija z linearno funkcijo
Glede na obliko različnih krivulj MTPA, ki je naj-
bolj podobna paraboli, bo aproksimacija linearne 
funkcije bolj odstopala od optimalne krivulje. Kljub 
temu se linearna aproksimacija pogosto uporablja 
na manjših odsekih nelinearnih funkcij zaradi pre-
proste in računsko nezahtevne izvedbe. Tako je bila 
linearna funkcija (8) aproksimirana na odseku ka-
rakteristike MTPA, ki je predstavljena v nadaljeva-
nju.
𝑈𝑈 d
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 d
+ 𝐿𝐿 di
d𝐼𝐼 d
d𝑡𝑡 − 𝑝𝑝 𝜔𝜔 m
𝐿𝐿 qn
𝐼𝐼 q
        (1) 
 
𝑈𝑈 q
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 q
+ 𝐿𝐿 qi
d𝐼𝐼 q
d𝑡𝑡 + 𝑝𝑝𝜔𝜔
m
(Ψ
m
+ 𝐿𝐿 dn
𝐼𝐼 d
)       (2) 
 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 𝑠𝑠 + 𝑀𝑀 𝑟𝑟 =
3
2
𝑝𝑝 Ψ
m
𝐼𝐼 q
+
3
2
𝑝𝑝 (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
=
3
2
𝑝𝑝 (Ψ
m
𝐼𝐼 q
+ (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
)  (3) 
 
max
‖𝐼𝐼 d
,𝐼𝐼 q
‖=𝐼𝐼 𝑠𝑠  𝑀𝑀 (𝐼𝐼 d
, 𝐼𝐼 q
) = 𝑀𝑀 ∗
         (4) 
 
𝐼𝐼 d
=
Ψ
m
−
√
Ψ
m
2
+8(𝐿𝐿 dn
−𝐿𝐿 qn
)
2
𝐼𝐼 s
2
4(𝐿𝐿 qn
−𝐿𝐿 dn
)
         ( 5) 
 
𝐼𝐼 q
= √𝐼𝐼 s
2
− 𝐼𝐼 d
2
           (6) 
 
𝐼𝐼 d
= 𝑘𝑘 2
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 2
+ 𝑘𝑘 1
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑘𝑘 0
         (7) 
 
𝐼𝐼 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 ∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑛𝑛          (8) 
 
𝑠𝑠 𝑟𝑟 =
𝐿𝐿 𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑞𝑞
= 1,787          (9) 
 
𝐼𝐼 s
= √𝐼𝐼 d
2
+ 𝐼𝐼 q
2
           (10) 
 
𝛾𝛾 = atan (
−𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
) ,           (1 1) 
  (8)
4  Rezultati
4.1  Parametri sinhronskega stroja z  
notranjimi trajnimi magneti
V razpredelnici 1 so zbrani parametri obravnava-
nega sinhronskega stroja, pridobljeni iz podatkov 
dvodimenzionalnega (2D) elektromagnetnega izra-
čuna z metodo končnih elementov v programskem 
paketu Ansys Maxwell. Pri tem so induktivnosti in 
magnetni sklep trajnega magneta določeni za de-
lovno točko prostega teka. Na podlagi teh para-
metrov lahko po enačbi (9) ocenimo razmerje ma-
gnetne izraženosti rotorja s
r
 (angl. saliency ratio), 
ki je po vrednosti sicer majhno. Velikost magnetne 
izraženosti rotorja je sicer sorazmerna velikosti re-
luktančne komponente navora, pri čemer večje iz-
raženosti v splošnem omogočajo predvsem večji 
izkoristek in večji navor na enoto toka.
𝑈𝑈 d
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 d
+ 𝐿𝐿 di
d𝐼𝐼 d
d𝑡𝑡 − 𝑝𝑝 𝜔𝜔 m
𝐿𝐿 qn
𝐼𝐼 q
        (1) 
 
𝑈𝑈 q
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 q
+ 𝐿𝐿 qi
d𝐼𝐼 q
d𝑡𝑡 + 𝑝𝑝𝜔𝜔
m
(Ψ
m
+ 𝐿𝐿 dn
𝐼𝐼 d
)       (2) 
 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 𝑠𝑠 + 𝑀𝑀 𝑟𝑟 =
3
2
𝑝𝑝 Ψ
m
𝐼𝐼 q
+
3
2
𝑝𝑝 (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
=
3
2
𝑝𝑝 (Ψ
m
𝐼𝐼 q
+ (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
)  (3) 
 
max
‖𝐼𝐼 d
,𝐼𝐼 q
‖=𝐼𝐼 𝑠𝑠  𝑀𝑀 (𝐼𝐼 d
, 𝐼𝐼 q
) = 𝑀𝑀 ∗
         (4) 
 
𝐼𝐼 d
=
Ψ
m
−
√
Ψ
m
2
+8(𝐿𝐿 dn
−𝐿𝐿 qn
)
2
𝐼𝐼 s
2
4(𝐿𝐿 qn
−𝐿𝐿 dn
)
         ( 5) 
 
𝐼𝐼 q
= √𝐼𝐼 s
2
− 𝐼𝐼 d
2
           (6) 
 
𝐼𝐼 d
= 𝑘𝑘 2
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 2
+ 𝑘𝑘 1
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑘𝑘 0
         (7) 
 
𝐼𝐼 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 ∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑛𝑛          (8) 
 
𝑠𝑠 𝑟𝑟 =
𝐿𝐿 𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑞𝑞
= 1,787          (9) 
 
𝐼𝐼 s
= √𝐼𝐼 d
2
+ 𝐼𝐼 q
2
           (10) 
 
𝛾𝛾 = atan (
−𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
) ,           (1 1) 
  (9)
Na sliki 1 so prikazane odvisnosti induktivnosti, ma-
gnetnega sklepa trajnega magneta in navora od 
statorskega toka I
d
 in I
q
, pridobljene iz elektroma-
gnetnega izračuna z MKE. Numerični rezultati na 
sliki 1 potrjujejo izrazito nelinearne lastnosti obrav-
navanega stroja, pri čemer je razvidno tudi, da je 
izbrano vrednost navora res mogoče doseči z raz-
ličnimi kombinacijami komponent I
d
, in I
q
. Na podla-
gi predstavljenih numeričnih rezultatov smo izvedli 
aproksimacijo krivulj MTPA z opisanimi metodami. 
4.2  Numerična aproksimacija krivulj 
MTPA
Na sliki 2 so prikazane plastnice navora in krivulje 
MTPA, ki so bile določene po opisanih metodah. 
Rešitev optimizacijskega problema enačbe (4) je 
bila izvedena na numeričnih podatkih s funkcijo 
fmincon v programskem okolju Matlab. Ta funkcija 
omogoča reševanje nelinearnih optimizacijskih pro-
blemov z omejitvami. Nato so bile za obe aproksi-
maciji s kvadratno in linearno funkcijo uporabljene 
le točke na optimizacijski krivulji MTPA, ki so ozna-
čene s polnimi točkami.
308
VODENJE SINHRONSKIH STROJEV
Razpredelnica 1 : Parametri sinhronskega stroja z 
notranjimi trajnimi magneti 
Parameter Vrednost
Število polovih parov p 4
Statorska upornost R
s
 [mΩ] 156,7
Magnetni sklep trajnega magneta Ψ
m
 [mVs] 44,02
Navidezna induktivnost v d-osi L
dn
 [mH] 0,8148
Navidezna induktivnost v q-osi L
qn
 [mH] 1,456

Ventil 5 / 2024 • Letnik 30
Koeficiente kvadratne in linearne funkcije smo do-
ločili na podlagi minimizacije korena povprečne 
kvadratne napake (ang. Root-mean square error 
– RMSE). Koeficienti tako pridobljene kvadratne 
funkcije so zbrani v razpredelnici 2. Pri tem RMSE 
znaša 0,156.
Vrednosti koeficientov linearne funkcije so zbrane v 
razpredelnici 3, pri čemer RMSE znaša 1,57.
Kljub vsem poenostavitvam so razlike med krivuljami 
MTPA za obravnavani stroj že na prvi pogled majhne. 
Primerjavo in vrednotenje neoptimalnega obrato-
vanja stroja pri uporabi predstavljenih aproksimira-
nih krivulj smo izvedli na podlagi amplitude stator-
skega toka (10)
𝑈𝑈 d
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 d
+ 𝐿𝐿 di
d𝐼𝐼 d
d𝑡𝑡 − 𝑝𝑝 𝜔𝜔 m
𝐿𝐿 qn
𝐼𝐼 q
        (1) 
 
𝑈𝑈 q
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 q
+ 𝐿𝐿 qi
d𝐼𝐼 q
d𝑡𝑡 + 𝑝𝑝𝜔𝜔
m
(Ψ
m
+ 𝐿𝐿 dn
𝐼𝐼 d
)       (2) 
 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 𝑠𝑠 + 𝑀𝑀 𝑟𝑟 =
3
2
𝑝𝑝 Ψ
m
𝐼𝐼 q
+
3
2
𝑝𝑝 (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
=
3
2
𝑝𝑝 (Ψ
m
𝐼𝐼 q
+ (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
)  (3) 
 
max
‖𝐼𝐼 d
,𝐼𝐼 q
‖=𝐼𝐼 𝑠𝑠  𝑀𝑀 (𝐼𝐼 d
, 𝐼𝐼 q
) = 𝑀𝑀 ∗
         (4) 
 
𝐼𝐼 d
=
Ψ
m
−
√
Ψ
m
2
+8(𝐿𝐿 dn
−𝐿𝐿 qn
)
2
𝐼𝐼 s
2
4(𝐿𝐿 qn
−𝐿𝐿 dn
)
         ( 5) 
 
𝐼𝐼 q
= √𝐼𝐼 s
2
− 𝐼𝐼 d
2
           (6) 
 
𝐼𝐼 d
= 𝑘𝑘 2
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 2
+ 𝑘𝑘 1
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑘𝑘 0
         (7) 
 
𝐼𝐼 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 ∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑛𝑛          (8) 
 
𝑠𝑠 𝑟𝑟 =
𝐿𝐿 𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑞𝑞
= 1,787          (9) 
 
𝐼𝐼 s
= √𝐼𝐼 d
2
+ 𝐼𝐼 q
2
           (10) 
 
𝛾𝛾 = atan (
−𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
) ,           (1 1) 
  (10)
in faznega kota statorskega toka (11)
𝑈𝑈 d
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 d
+ 𝐿𝐿 di
d𝐼𝐼 d
d𝑡𝑡 − 𝑝𝑝 𝜔𝜔 m
𝐿𝐿 qn
𝐼𝐼 q
        (1) 
 
𝑈𝑈 q
= 𝑅𝑅 s
𝐼𝐼 q
+ 𝐿𝐿 qi
d𝐼𝐼 q
d𝑡𝑡 + 𝑝𝑝𝜔𝜔
m
(Ψ
m
+ 𝐿𝐿 dn
𝐼𝐼 d
)       (2) 
 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 𝑠𝑠 + 𝑀𝑀 𝑟𝑟 =
3
2
𝑝𝑝 Ψ
m
𝐼𝐼 q
+
3
2
𝑝𝑝 (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
=
3
2
𝑝𝑝 (Ψ
m
𝐼𝐼 q
+ (𝐿𝐿 dn
− 𝐿𝐿 qn
)𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
)  (3) 
 
max
‖𝐼𝐼 d
,𝐼𝐼 q
‖=𝐼𝐼 𝑠𝑠  𝑀𝑀 (𝐼𝐼 d
, 𝐼𝐼 q
) = 𝑀𝑀 ∗
         (4) 
 
𝐼𝐼 d
=
Ψ
m
−
√
Ψ
m
2
+8(𝐿𝐿 dn
−𝐿𝐿 qn
)
2
𝐼𝐼 s
2
4(𝐿𝐿 qn
−𝐿𝐿 dn
)
         ( 5) 
 
𝐼𝐼 q
= √𝐼𝐼 s
2
− 𝐼𝐼 d
2
           (6) 
 
𝐼𝐼 d
= 𝑘𝑘 2
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 2
+ 𝑘𝑘 1
∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑘𝑘 0
         (7) 
 
𝐼𝐼 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 ∙ 𝐼𝐼 𝑞𝑞 + 𝑛𝑛          (8) 
 
𝑠𝑠 𝑟𝑟 =
𝐿𝐿 𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑞𝑞
= 1,787          (9) 
 
𝐼𝐼 s
= √𝐼𝐼 d
2
+ 𝐼𝐼 q
2
           (10) 
 
𝛾𝛾 = atan (
−𝐼𝐼 d
𝐼𝐼 q
) ,           (1 1)  (11)
ki določata vektor statorskega toka v koordinatnem 
sistemu dq.
Na sliki 3 je prikazana primerjava amplitud toka 
I
s
 ter faznih kotov toka γ vseh izračunanih krivulj 
VODENJE SINHRONSKIH STROJEV
309
Razpredelnica 2 : Parametri kvadratne funkcije 
Parameter Vrednost
k
2
– 0,0105
k
1
– 0,0381
k
0
0
Razpredelnica 3 : Parametri linearne enačbe 
Parameter Vrednost
k – 1,114
n 18,17
Slika 1 : Lastnosti 
obravnavanega 
SSTM: a,b) inkre-
mentalni induktiv-
nosti v osi d in osi q, 
c) magnetni sklep 
trajnega magneta, 
d,e) navidezni induk-
tivnosti v osi d in osi 
q, f) navor 
Slika 2: Aproksimacija krivulj MTPA s predstavljenimi 
metodami 

Ventil 5 / 2024 • Letnik 30
MTPA pri enakih vrednostih navora M. Prikazana 
je tudi razlika amplitud toka ΔI
s
 med posamezno 
aproksimirano krivuljo in optimalno krivuljo MTPA. 
Ta razlika je večinoma manjša od 0,4 %, razen pri 
linearni aproksimaciji krivulje MTPA, kjer največje 
odstopanje znaša 2,67 %. Veliko večje je odstopa-
nje v vrednostih faznega kota statorskega toka Δγ, 
ki je večinoma manjše od ± 5°, le pri linearni apro-
ksimaciji doseže 12,5°. Odstopanje joulskih izgub 
ΔP
Cu
 večinoma ne preseže meje 0,5 %, le pri line-
arni aproksimaciji največje odstopanje znaša 5,4 %. 
Odstopanje linearne aproksimacije je pričakovano 
največje, saj je za prileganje izbran le najbolj raven 
del krivulje MTPA, največje odstopanje pa leži zunaj 
tega področja.
Rezultati primerjave uporabe aproksimiranih krivulj 
z optimalno krivuljo kažejo, da je strategija vodenja 
MTPA učinkovit ukrep za zmanjšanje izgub v sin-
hronskih strojih z notranjimi trajnimi magneti. Izgu-
be v obravnavani delovni točki pri navoru 16 Nm, 
ki je prikazana v razpredelnici 4, so z uporabo kri-
vulj MTPA zmanjšane za 63,3 %. Nadalje pa rezulta-
ti kažejo tudi, da v bližini optimalne krivulje MTPA 
izgube rastejo razmeroma počasi, zato lahko že z 
enostavnimi aproksimacijskimi metodami doseže-
mo skoraj optimalno obratovanje.
5 Zaključek
V članku smo predstavili strategijo vodenja za 
zmanjšanje izgub sinhronskega stroja z notranjimi 
trajnimi magneti. Strategija v splošnem temelji na 
rešitvi nelinearnega optimizacijskega problema, pri 
čemer je rešitev nelinearna krivulja MTPA, na pod-
lagi katere se referenčni statorski tok razdeli na 
komponenti v osi d in q. Dobljeno krivuljo MTPA 
lahko izvedemo na mikrokrmilniku v obliki nume-
ričnih razpredelnic ali pa z različnimi, pogosto po-
enostavljenimi matematičnimi funkcijami. Na izbiro 
izvedbe algoritma MTPA v večini primerov vplivajo 
predvsem lastnosti (zmogljivost) izbranega mikro-
krmilnika, pri čemer lahko že z zelo enostavnimi re-
šitvami dosežemo znatno zmanjšanje izgub. 
Vse obravnavane aproksimacije krivulje MTPA so 
lahko primerne za implementacijo, saj ni večjega 
odstopanja joulskih izgub od optimalne rešitve 
MTPA. Odstopanje linearne aproksimacije bi lahko 
zmanjšali, če bi krivuljo MTPA aproksimirali z večjim 
številom linearnih funkcij (ali odsekoma zvezno li-
nearno funkcijo), saj bi s tem zmanjšali odstopanje 
v nastalem kolenu linearne aproksimacije krivulje 
MTPA. Rezultati so pokazali tudi, da se pri pogrešku 
310
VODENJE SINHRONSKIH STROJEV
Razpredelnica 4 : Primerjava amplitud toka Is in jo-
ulskih izgub obravnavanih metod aproksimacij MTPA 
pri navoru 16 Nm 
Metoda I
s
 [A] Δ I
s
 [%] P
Cu
 [W] P
Cu
 [%]
optimizacijska 63,83 / 957,7 /
analitična 63,93 0,157 960,7 0,313
kvadratna 63,83 0 957,7 0
linearna 63,86 0,047 958,6 0,094
Brez MTPA 81,56 27,8 1564 63,3
Slika 3 : Primerjava uporabe aproksimiranih krivulj z optimalno krivuljo MTPA: a) amplituda statorskega toka, b) 
fazni kot statorskega toka, c) joulske izgube, d) razlika statorskega toka, e) razlika kota statorskega toka in f) 
razlika joulskih izgub 

Ventil 5 / 2024 • Letnik 30
kota statorskega toka γ za 3° joulske izgube pove-
čajo za manj kot 0,5 %. Ta odvisnost bo podrobneje 
raziskana v nadaljnjem delu. 
Viri
[1]  K. Algarny, A. S. Abdelrahman and M. Z. 
Youssef: "Performance Comparison between 
Induction and Permanent Magnet Synchro-
nous Electric Machines in Water Pump Ap-
plication," 2018 2nd European Conference on 
Electrical Engineering and Computer Science 
(EECS), Bern, Switzerland, 2018, pp. 165–169.
[2] L. Shao, A. E. H. Karci, D. T avernini, A. Sorniotti 
and M. Cheng, "Design Approaches and Con-
trol Strategies for Energy-Efficient Electric 
Machines for Electric Vehicles—A Review," in 
IEEE Access 2020, vol. 8, pp. 116900–116913.
[3] R. Paes, T. Rowan, S. Royak and J. Liu: "Opti-
mized Permanent Magnet Motor Control for 
Electric Submersible Pumps Using LV ASDs," 
2019 IEEE Petroleum and Chemical Industry 
Committee Conference (PCIC), Vancouver, 
BC, Canada, 2019, pp. 495–504.
[4] Guangxu Zhou, Yun Zhang and Zhixue Wang: 
"Study on Permanent Magnet Synchronous 
Motor for hydraulic pump system," 2013 In-
ternational Conference on Electrical Ma-
chines and Systems (ICEMS), Busan, 2013, 
pp. 1060–1063.
[5] L. Alberti and G. Berardi: "Design of a Low 
Power Synchronous Motor for High Efficien-
cy Applications," 2018 XIII International Con-
ference on Electrical Machines (ICEM), Alex-
androupoli, Greece, 2018, pp. 677–682.
[6] Y. Sun, H. Liu and Y. Wang: "Study of High Ef-
ficiency and High Starting Torque Permanent 
Magnet Synchronous Motors Used in Pump 
Jacks," 2007 2nd IEEE Conference on Indus-
trial Electronics and Applications, Harbin, 
China, 2007, pp. 273–277.
[7] Ambrožič Vanja, Zajec Peter: »Električni ser-
vo pogoni«, Slovensko združenje elektroen-
ergetikov CIGRÉ-CIRED, 2016.
[8] S. Morimoto, Y. Tong, Y. Takeda and T. Hira-
sa: "Loss minimization control of permanent 
magnet synchronous motor drives," IEEE 
Transactions on Industrial Electronics 1994, 
41, 511–517.
[9] S. Vaez, V. I. John and M. A. Rahman, "An on-
line loss minimization controller for interior 
permanent magnet motor drives," in IEEE 
Transactions on Energy Conversion 1999, 14, 
1435–1440.
[10] C. Mademlis, I. Kioskeridis and N. Margaris, 
"Optimal efficiency control strategy for inte-
rior permanent-magnet synchronous motor 
drives," IEEE Transactions on Energy Conver-
sion 2004, 19, 715–723.
[11] Dianov, F. Tinazzi, S. Calligaro, S. Bolognani, 
“Review and Classification of MTPA Control Al-
gorithms for Synchronous Motors”, IEEE Trans. 
Power Electronics 2022, 37, pp. 3990–4007.
[12] A. Rabiei, T . Thiringer , M. Alatalo and E. A. Grun-
ditz, "Improved Maximum-Torque-Per-Am-
pere Algorithm Accounting for Core Satura-
tion, Cross-Coupling Effect, and Temperature 
for a PMSM Intended for Vehicular Applica-
tions," in IEEE Trans-actions on Transportation 
Electrification 2016, vol. 2, no. 2, pp. 150–159.
[13] Y . Hirano, K. Aiso, K. Kondo and K. Matsunami, 
"Torque Feed-Back MTPA Control for IPMSM 
Compensating for Magnet Flux Variation Due 
to Permanent Magnet Temperature," 2020 
23rd International Conference on Electrical 
Machines and Systems (ICEMS), Hamamatsu, 
Japan, 2020, pp. 365–368.
[14] Garmut M., Steentjes S., Petrun M., “Param-
eter identification for MTPA control based 
on a nonlinear d-q dynamic IPMSM model”, 
Compel 2023, Vol 42., No. 4, pp. 846–860.
[15] B. Cheng and T. R. Tesch, "Torque Feedfor-
ward Control Technique for Permanent-Mag-
net Synchronous Motors," in IEEE Transac-
tions on Industrial Electronics, vol. 57, no. 3, 
pp. 969–974, March 2010.
VODENJE SINHRONSKIH STROJEV
311
Zahvala
Avtorja se zahvaljujeta podjetju MAHLE Electric Drives Slovenija d.o.o. za izdelani vzorec sinhronskega 
stroja z notranjimi trajnimi magneti.
Implementation of a Control Strategy for Reducing Power Loss in Interior Permanent 
Magnet Synchronous Machines
Abstract:
The permanent magnet synchronous machine (PMSM) is most commonly used machine in high-efficiency 
electric drives. High efficiency can be achieved by optimization of PMSM construction and by appropriate 
control algorithm which achieves the optimal working point conditions, where the most used algorithm is 
the Maximum Torque Per Ampere (MTPA). This paper compares different methods of approximating the 
MTPA trajectory and corresponding impact on joule losses within the analyzed PMSM.
Keywords: 
interior permanent magnet synchronous machine, PMSM, maximum torque per ampere, MTPA, loss min-
imization