MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
57
Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021
Babilonska tablica in pitagorejske trojice
Dr. Marko Razpet
Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta
Izvleček
Glavni namen članka je obravnava vsebine babilonske glinene tablice Plimpton 322. Za lažje razumevanje sta 
pojasnjena babilonski sistem zapisovanja števil in kratka razlaga pitagorejskih trojic. Na koncu je dodanih še 
nekaj nalog.
Ključne besede: šestdesetiški sistem, pitagorejske trojice, Plimpton 322
A Babylonian Tablet and Pythagorean Triples
Abstract
Th e main aim of the article is a discussion of the Babylonian clay tablet Plimpton 322. For an easier understan-
ding, the Babylonian system of writing numbers and the Pythagorean triples are explained. At the end, some 
exercises are added.
Keywords: sexagesimal system, Pythagorean triples, Plimpton 322
Uvod
Mezopotamijo, grško Μεσοποταμία, kar pomeni Medrečje, 
pogosto imenujejo zibelka civilizacije. Danes je del Iraka. Že v 
Mezopotamiji sta reki Evfrat in Tigris s poplavami skrbeli za 
rodovitno zemljo, tako kot na primer Nil v Egiptu. Zato so tu 
ljudje zgradili bivališča in svetišča, se naselili in začeli obdelovati 
zemljo ter rediti domače živali. Ker je bilo treba živali, bojevni-
ke, delovno silo in zaloge preštevati in izvajati potrebne račune, 
zemljo pa pogosto deliti, meriti in napovedovati čas poplav, so se 
hitro razvile aritmetika, geometrija in astronomija, kar je zahte-
valo zapisovanje besedil in števil z znaki. Svojevrsten zapis števil 
z vrezovanjem črt v lesene palice ali kosti so ljudje uporabljali že 
v pradavnini za evidenco staleža živine, prihodkov, odhodkov in 
posojil. Več o tem na primer v [3].
Najbolj je bila v Mezopotamiji za zapisovanje števil in besed pri-
pravna tamkajšnja glina, ki jo je bilo na pretek. Iz nje so za po-
trebe gradbeništva izdelovali opeko, ki so jo sušili na soncu ali 
pa žgali v preprostih pečeh. Hitro so ugotovili, da se da na sveže 
glinaste tablice pisati s priostrenimi paličicami iz trstja. Zato so 
zelo zgodaj izumili klinopis. V slovenščini je tako poimenovan 
zaradi klinaste oblike znakov. Popisane tablice so, tako kot ope-
ko, žgali v pečeh ali pa so jih pustili posušiti se na žgočem soncu.
Tako so zapisi postali zelo obstojni, žal pa se tablice rade krušijo 
in lomijo. V 2. stoletju starih klinopisov že nihče ni več znal brati. 
Arheologi so jih v novejši dobi našli na tisoče in po več tisoč letih 
so v 19. stoletju uspeli razvozlati pozabljeno pisavo in rekonstru-
irati stare jezike, ki jih nihče ni več govoril (sumerski, akadijski, 
babilonski). Tako so se nam ohranila imena starodavnih mest, 
pokrajin, ljudstev, vladarjev, zakoniki, epi in tablice z matema-
tično vsebino. Od literarnih del se je skoraj v celoti ohranil su-
merski Ep o Gilgamešu, iz katerega se da razbrati, kakšno je bilo 
življenje Sumercev v stari Mezopotamiji. Del epa pripoveduje o 
vesoljnem potopu.
Mezopotamija je bila v zgodovini vedno zanimiva za osvajalce 
vseh vrst. Tako zasledimo na njenih tleh od približno leta 3000 
p. n. š. naprej sumersko, akadijsko, novosumersko, starobabilon-
sko, asirsko, novobabilonsko, kaldejsko, medijsko in perzijsko 
kraljestvo, če navedemo samo nekatera. Klinopisno pisavo so 
poznali že Sumerci, druga ljudstva so jo prevzela in prilagodi-
la svojim jezikom. Celo staroperzijska pisava je bila klinopisna. 
Dolgo časa je bil Babilon osrednje mesto v Mezopotamiji, zato 
bomo v nadaljevanju govorili kar o Babiloncih, babilonskih 
številskih znakih in babilonskem načinu zapisovanja števil.
Babilonci so za zapis števil uporabljali samo dva klinopisna znaka: 
 za 1 in  za 10. S pravilno priostreno paličico iz trstja ju ni bilo 
težko odtisniti v mehko surovo glino. Naravna števila od 1 do 9 so 
zapisovali z ustreznim številom znakov za 1, ki so jih razporedili 
v kupčke:
Desetkratnike od 10 do 50 so zapisovali z ustreznim številom 
znakov za 10, ki so jih tudi razporedili v kupčke:

MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
58
Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021
Naravna števila od 1 do 59 so zapisovali z ustreznim številom 
desetic in enic, na primer
Klinopisni zapisi vseh babilonskih števil od 1 do 59 so zbra-
ni v preglednici 1. Uporabili jih bomo kot števke ali cifre v 
šestdesetiškem sistemu mestnih vrednosti. Zaradi enotnejšega 
zapisa bomo tedaj enomestnim številom spredaj dodali ničlo: 01, 
02 … 09.
Kako so zapisovali naravna števila, ki so večja od 59, to se pravi 
60, 61 …?
Kako so zapisovali pozitivne ulomke in realna števila? Negativ-
nih števil še niso uvedli. O tem bo tekla beseda v nadaljevanju.
V običajnem življenju uporabljamo desetiški ali decimalni (lat. 
Decimus – deseti) številski sistem mestnih vrednosti. Osnova v 
tem sistemu je 10. To pomeni, da pozitivno realno število a za-
pišemo v obliki
a = a
n
 ·10
n
 + a
n – 1 
·10
n – 1 
+ … + a
1
 · 10 + a
0
 + a
–1
 · 10
–1
 + a
–2
 · 10
–2
 + … 
Pri tem so a
n
, a
n−1
 … a
1
, a
0
, a
–1
, a
–2
 … naravna števila 0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8, 9.
To je deset števk desetiškega sistema. Začetna števka a
n
 navad-
no ni enaka 0. Včasih jo dopišemo v preglednicah zaradi lepšega 
zapisa. Število a lahko v splošnem razdelimo na celi del [a] in 
decimalni del (a), to pomeni a = [a] + (a), kjer sta
[a] = a
n
 · 10
n
 + a
n – 1 
· 10
n − 1 
+ … +a
1
 · 10 + a
0
, (a) =
                   = a
−1
 · 10
−1
 + a
−2
 · 10
−2
 + … 
Preglednica 1: Števke babilonskega šestdesetiškega sistema.
Vsaka števka ima svoj pomen: a
0
 je število enic, a
1
 število desetic, 
a
2
 število stotic itd. Decimalni del je vsota desetiških ulomkov, 
to je ulomkov, ki imajo za imenovalec naravno potenco osnove, 
torej števila 10. Števka a
−1
 je število desetin, a
−2
 število stotin, a
−3
 
število tisočin itd.
Po dogovoru število a v splošnem zapišemo v strnjeni obliki:
a = a
n
a
n−1 … 
a
1
a
0
,a
−1
a
−2
 …
V ejica v zapisu razmejuje celi in decimalni del. Imenujemo jo de-
cimalna vejica. Desno od nje stojijo decimalke. Če število nima 
decimalnega dela, pišemo enostavneje
a = a
n
a
n−1
 … a
1
a
0
,
če pa nima celega dela, pa
a = 0,a
−1
a
−2
 …
Decimalni del realnega števila je lahko vsota neskončnega števila 
desetiških ulomkov. Teh je končno mnogo le v primeru, ko je a 
ulomek, katerega imenovalec je večji kot 1 in ga lahko zapišemo 
v obliki 2
i
 · 5
j
, pri čemer sta i in j naravni števili ali 0. Taka števila 
imenujemo regularna števila v desetiškem sistemu. Razlog tiči v 
tem, da ima osnova 10 prafaktorja 2 in 5: 10 = 2 · 5. Drugi ulomki 
imajo neskončno število decimalk, ki se periodično ponavljajo, 
kar označujemo s črto nad periodično skupino števk. Iracionalna 
števila imajo tudi neskončno število decimalk in so brez periode.
Primeri.
Omenimo, da zapis v decimalni obliki ni enoličen. Število 1/2 
ima dve obliki: 0,5 in 0,49.
Ni pa osnova 10 edina možna. Za osnovo številskega sistema me-
stnih vrednosti lahko uporabimo katerokoli naravno število b, 
ki je večje od 1. To pomeni, da pozitivno realno število a lahko 
zapišemo v obliki
a = a
n 
· b
n
 + a
n − 1 
· b
n − 1 
+ … + a
1
 · b + a
0
 + a
−1
 · b
−1
 + a
−2
 · b
−2
 + …
Pri tem so a
n
, a
n − 1 … 
a
1
, a
0
, a
−1
, a
−2 …
 naravna števila 0, 1 … b − 1. 
To je b števk sistema z osnovo b. V računalništvu sta v rabi sis-
tem z osnovo b = 2 s števkama 0 in 1 ter sistem z osnovo b = 16 
s števkami 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Prvega ime-
nujemo dvojiški ali binarni (lat. binarius – dvojen), drugega pa 
šestnajstiški ali heksadecimalni (gr. ἕξ, heks – šest, lat. decimus 
– deseti) sistem.
Sledi drugih številskih sistemov najdemo v besedni obliki v 
nekaterih jezikih, na primer dvajsetiškega v francoščini (quat-
re-vingts – osemdeset, to je štirikrat dvajset; quatre zase pomeni 
štiri, vingt pa dvajset) in v nam bližji rezijanščini, slovenskem 
narečju v zamejstvu. V Reziji, alpski dolini pod Kaninom v Italiji, 
namreč za dvajset uporabljajo besedo dvisti, za šestdeset besedi 
trikrat dvisti in za osemdeset štirikrat dvisti. Sledi dvanajstiškega 
sistema imamo v angleščini (eleven, twelve – enajst, dvanajst; od 
trinajst do devetnajst se angleški števniki končajo s -teen). Dese-
tiški sistem ima izvor v desetih prstih človekovih rok, dvajsetiški 
v dvajsetih prstih človekovih rok in nog, dvanajstiški pa v skupaj 
dvanajstih členkih kazalca, sredinca, prstanca in mezinca ene 
človekove roke. Palec služi za kazanje nanje pri štetju.

MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
59
Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021
Babilonci so v astronomiji in matematiki za svoj številski sistem 
uporabljali osnovo b = 60. Razvili so torej šestdesetiški ali seksa-
gezimalni (lat. sexagesimus – šestdeseti) sistem. O tem, zakaj so 
izbrali za osnovo ravno 60, ni enotnega mnenja. Sprejemljiva je 
razlaga, da so pri štetju uporabili 12 členkov desne roke, tako kot 
smo opisali zgoraj, s petimi prsti leve roke pa so šteli dvanajstice 
ali ducate. S tem so obvladali števila od 1 do 60.
Število 60 = 2
2
 · 3 · 5 ima več deliteljev kot 10, zato ima šestdesetiški 
sistem tudi več regularnih števil, to je takih števil, večjih kot 1, 
ki se dajo zapisati v obliki 2
i
 · 3
j
 · 5
k
, pri čemer so i, j in k naravna 
števila ali 0. Regularna števila šestdesetiškega sistema so na pri-
mer 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20. V tem sistemu lahko 
vsako realno število a zapišemo takole:
a = a
n
 · 60
n
 + a
n − 1 
· 60
n − 1 
+ … + a
1
 · 60 + a
0
 + a
−1
 · 60
−1
 + a
−2
 · 60
−2
 + …
Pri tem so a
n
, a
n − 1 
… a
1
, a
0
, a
−1
, a
−2
 … naravna števila 0, 1, 2 … 59. 
Zanje zato potrebujemo šestdeset znakov šestdesetiškega sistema 
iz preglednice 1 oziroma kar naše številke 00, 01, 02 … 59. Po 
dogovoru spet zapišemo krajše:
a = a
n
a
n − 1 
… a
1
a
0
;a
−1
a
−2
 …
Podpičje v zapisu razmejuje celi in seksagezimalni del. Za naše 
potrebe mu bomo rekli seksagezimalno podpičje. Desno od nje-
ga stojijo seksagezimalke. 
Če število nima seksagezimalnega dela, pišemo enostavneje
a = a
n
a
n – 1
 … a
1
a
0
,
če pa nima celega dela, pa
a = 00; a
−1
a
−2
 …
Seksagezimalni del realnega števila je lahko vsota neskončnega 
števila šestdesetiških ulomkov, to je ulomkov, ki imajo v imeno-
valcu naravno potenco števila 60. Teh ulomkov je končno mno-
go v primeru, ko je a ulomek, katerega imenovalec je regularno 
število šestdesetiškega sistema.
Števke 00, 01, 02 … 59 v šestdesetiškem sistemu mestnih vred-
nosti bomo podčrtovali v primerih, ko obstaja nevarnost zamen-
jave z običajnimi desetiško zapisanimi števili. V vsakem primeru 
pa jih bomo med seboj ločili s presledki, na primer: 72 = 01 12. 
Uporabili smo analogijo z desetiškim sistemom. V resnici Ba-
bilonci niso uporabljali seksagezimalnega podpičja, pa tudi ne 
znaka za nič. Če so nanj naleteli, so pustili v zapisih kar prazen 
prostor. Iz konteksta so razbrali, kje naj bi stalo podpičje, ki ga mi 
tule uvajamo samo zaradi boljše razumljivosti. Odsotnost ničle 
je seveda vodila do zlorab in napak. V tem besedilu bomo, kjer 
bo to potrebno, namesto babilonskega praznega prostora upora-
bili znak .
Neregularnih imenovalcev v ulomkih so se Babilonci izogibali, 
če se je le dalo. Tako so na primer za ulomek 1/7, ki ima neregu-
laren imenovalec, poznali le približek z nekaj seksagezimalkami. 
Število , s katerim se izraža diagonala kvadrata, je iracionalno 
in ima nešteto neperiodičnih decimalk in seksagezimalk. Našli 
pa so glinasto tablico, na kateri je narisan kvadrat z diagonalama, 
zraven pa je zapisano tudi število  z nekaj seksagezimalkami.
Babilonski način zapisovanja števil so še precej časa uporabl-
jali, sčasoma pa je prevladal desetiški številski sistem in indij-
sko-arabske števke. Omenimo še tatarskega matematika in 
astronoma Al Kašija (1380–1429), ki je izračunal iracionalno 
število 2π po arhimedski metodi krogu včrtanih in očrtanih pra-
vilnih večkotnikov in dobil njegovih 9 seksagezimalk:
 2π =
.
 06; 16 59 28 01 34 51 46 14 50. (1)
Preden je prevladal desetiški sistem, so matematiki in astro-
nomi decimalni del realnega števila še vedno radi zapisovali v 
šestdesetiškem sistemu. Ostanke šestdesetiškega sistema še dan-
danes uporabljamo pri merjenju časa in kotov. Ena ura ima 60 
minut, ena minuta 60 sekund. Ena kotna stopinja ima 60 kotnih 
minut, ena kotna minuta 60 kotnih sekund. Pripomnimo, da 
seštevanje in odštevanje v šestdesetiškem sistemu ni nič težje kot 
seštevanje in odštevanje kotov. Če vzamemo na primer 
α = 15° 45´ 21˝ in β = 3° 50´ 47˝, dobimo
α + β = 18° 95´ 68˝ = 19° 36´ 8˝, 
α − β = 14° 104´ 81˝ − 3° 50´ 47˝ = 11° 54´ 34˝.
Zanimiva je bila tudi babilonska utežna mera talent, ki je ustre-
zala masi nekaj nad 30 kg. En talent je tehtal 60 min, ena mina 
pa 60 seklov. En sekel je bil zato enak 1/60 mine oziroma 1/3600 
talenta.
Kasneje (šele okoli leta 300 p. n. š.) so Babilonci uvedli za naš 0 
poseben znak, ki pa je imel samo vlogo zapolnjevalca praznega 
mesta v zapisu števil. Dolgo časa je preteklo, preden so ljudje za-
čeli 0 obravnavati kot število. Bilo je namreč nerazumljivo, zakaj 
bi nič zapisovali z nečim, kar je vidno in zato ni nič. Babilonski 
zapolnjevalec praznega mesta je imel obliko .
Kako pretvorimo naravno število v šestdesetiško obliko? Odgo-
vor je preprost: z nekaj deljenji s 60 upoštevajoč ostanke. Najlaže 
to pojasnimo s primeri.
Primeri
Pretvorimo števila 1949, 79429 in 648015 v šestdesetiško 
obliko in jih zapišimo z uporabo preglednice 1 v klinopisni 
obliki.
V zadnjem primeru vidimo, kaj se zgodi, če je kakšna števka v 
šestdesetiškem zapisu enaka 00. Na koncu smo uporabili še babi-
lonski zapolnjevalec praznega mesta.

MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
60
Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021
Oglejmo si še primere ulomkov z regularnim imenovalcem.
Primeri
Pretvorimo ulomke
v šestdesetiško obliko in jih zapišimo z uporabo preglednice 
1 v klinopisni obliki.
Pitagorejske trojice
Da bi laže razumeli vsebino tablice Plimpton 322, na kratko po-
novimo, kaj so pitagorejski trikotniki oziroma pitagorejske tro-
jice.
Pitagorejski je tak pravokoten trikotnik, ki ima dolžine katet a, b 
in hipotenuze c izražene z naravnimi števili neke dolžinske eno-
te. Pri tem seveda velja zveza a
2
 + b
2
 = c
2
. Namesto o pitagorej-
skem trikotniku govorimo pogosto o pitagorejski trojici (a, b, c). 
Pitagorejsko trojico (a, b, c) sestavljajo naravna števila a, b, c (a < 
c, b < c), za katere je a
2
 + b
2
 = c
2
. Trikotnik, ki ima v takem prime-
ru stranice v razmerju a : b : c, je po obratu Pitagorovega izreka 
pravokoten. Pitagorejska trojica (a, b, c) je primitivna, če narav-
na števila a, b, c nimajo skupnega delitelja razen 1. Primitivnih 
pitagorejskih trojic (a, b, c) je nešteto. Vse pitagorejske trojice (a, 
b, c) so zajete v obrazcih
 a = k(p
2
 – q
2
), b = 2kpq, c = k(p
2
 + q
2
) (2)
oziroma
a = 2kpq, b = k(p
2
 – q
2
), c = k(p
2
 + q
2
),
če izberemo tuji si števili p in q, pri čemer je p > q in sta p, q raz-
ličnih parnosti, torej eno liho, drugo sodo. Pri tem je k naravno 
število. Za k = 1 dobimo primitivne pitagorejske trojice.
Primer 
Za k = 1, p = 2, q = 1 dobimo najenostavnejšo pitagorejsko 
trojico (3, 4, 5), za k = 1, p = 3, q = 2 pa (5, 12, 13).
V vsaki primitivni pitagorejski trojici je vsaj ena stranica deljiva 
s 3, 4 ali 5 (glej na primer [6]). Ta tri števila so si tuja in njihov 
najmanjši skupni večkratnih je 60, kar je osnova šestdesetiškega 
sistema.
Pitagora, grško Πυθαγόρας, po katerem se imenuje slavni izrek 
in omenjeni trikotniki ter trojice, je živel od leta 570 do leta 495 
p. n. š. Vse kaže, da so relacijo a
2
 + b
2
 = c
2
 v pravokotnem tri-
kotniku poznali že veliko prej, kar nam izpričuje tudi glinasta 
tablica Plimpton 322.
Tablica Plimpton 322
Glinasta tablica Plimpton 322 izvira iz sumerskega mesta Lar-
se v današnjem Iraku. V bližini sta bili še starodavni mesti Ur 
in Uruk, blizu Perzijskega zaliva (Slika 2). Tablica je bila izde-
lana okoli leta 1800 p. n. š, nekako v času vladarja Hamurabija, 
ki je znan po svojem zapisanem zakoniku. Ko so se v 19. in 20. 
stoletju tam začela arheološka izkopavanja, so lokalni prebivalci 
raznesli precej izkopanin in jih prodajali po svetu. Tako je tablica 
Plimpton 322 prek prekupčevalcev starin prišla okoli leta 1922 
v roke ameriškemu publicistu in filantropu Georgeu Arthurju 
Plimptonu (1855–1936), ki je Univerzi Columbia v New Yorku 
daroval mnogo starin, med drugim tudi obravnavano tablico. 
Takrat so menili, da je na njej nek nepomemben trgovski popis. 
Na univerzi je dobila kataloško oznako Plimpton 322 in je pod 
tem imenom zabeležena v zgodovini matematike. Morda je bila 
tablica nekoč večja, obstoječa meri 127 mm × 88 mm, debela je 
okoli 20 mm. Prva sta jo opisala Otto Neugebauer (1899–1990) 
in Abraham Sachs (1914–1983) v odmevnem članku leta 1945. 
Kasneje je bilo o njej objavljenih še več drugih člankov.
Slika 1: Tablica Plimpton 322.
Avtorji so obravnavali vsebino in namen tablice, prav tako na-
pake in kako so Babilonci prišli do pitagorejskih trojic itd. Na 
tablici je sedem napak. Nekaj jih je naredil zapisovalec, nekaj 
računar. Vendar je toliko vrstic pravilnih, da se je dalo ugotovi-
ti, za kaj sploh gre. Če upoštevamo popravke napak in dodamo 
števila, ki manjkajo na poškodovanih mestih, dobimo prenovl-
jen Plimpton 322, ki ga bomo obravnavali v nadaljevanju. Doslej 
še nobena glinasta klinopisna tablica ni vzbudila toliko pozor-

MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
61
Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021
nosti kot Plimpton 322, zato se spodobi, da jo predstavimo tudi 
našim bralcem. Morda gre to tudi na škodo drugih, prav tako 
zanimivih tablic. Babilonci so napisali na primer tudi tablice s 
poštevankami, obratnimi vrednostmi, kvadrati itd.
Za učence in dijake pa je tablica lahko vir številnih nalog, na 
primer pretvarjanje števil iz desetiškega sistema v šestdesetiškega 
in obratno, uporaba Pitagorovega izreka, merjenje kotov itd.
Slika 2: Lokacija najdbe.
Na tablici je 15 vrstic klinopisno zapisanih števil v šestdesetiškem 
številskem sistemu. V prvem stolpcu z desne so zaporedne 
številke vrstic. V drugem stolpcu je v vseh vrsticah klinopisno 
Preglednica 2: Plimpton 322. Prepis s klinopisnimi simboli in odpravljenimi napakami. Podpičje pri  ni zapisano.
zapisana beseda ki – , ki smo jo v prepisu izpustili. Pomenila 
naj bi v nekem starem orientalskem jeziku njegov položaj.
Ugotovili so, da so v tretjem stolpcu z desne dolžine hipote-
nuz c
n
, v četrtem stolpcu z desne dolžine krajših katet, deni-
mo a
n
, v petem stolpcu pa količniki  pitagorejske trojice 
(a
n
, b
n
, c
n
). Katet  na tablici ni, pač pa so pra-
vilno upoštevane v količnikih . Obstaja možnost, da je v 
petem stolpcu skrajno levo nekoč stal znak , to je število 1, a 
se je tablica na tistem mestu po vertikali odlomila. V tem pri-
meru bi v tem stolpcu bili količniki za 1 večji, ker velja enakost 
.
V vseh primerih indeks n pomeni zaporedno številko vrstice. 
Zanimivo je tudi to, da so vse pitagorejske trojice, ki jih dobimo 
iz števil na tablici, primitivne, razen v 11. vrstici, ki ji ustreza pi-
tagorejska trojica (45, 60, 75). Takoj opazimo, da je to 15-kratnik 
najmanjše pitagorejske trojice (3, 4, 5).
Egipčani in morda tudi Babilonci so jo v praksi uporabljali za 
konstrukcijo pravega kota. Med števili, ki sestavljajo tablico, je 
tudi precej praštevil.
V glavi tablice, nad prvo vrstico, seveda niso oznake n, a
n
 itd., 
ampak je v klinopisni pisavi v mešanici akadijskega in sumerske-
ga jezika opisana vsebina ustreznih stolpcev.
Samo ugibamo lahko, kako so Babilonci našli vsa na tablici za-
pisana števila, zakaj niso izračunali kar količnike a
n
/b
n
, iz kate-
rih lahko izračunamo ali izmerimo v trikotniku kot α
n
 (Slika 3), 
čemu je služila itd. Nekateri menijo, da gre samo za nekakšen 
šolski izdelek. Obstaja veliko razprav na to temo, na primer v [1, 

MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
62
Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021
2, 4, 5]. Presenetljivo pa je to, da koti α
n
 od zgoraj navzdol padajo 
približno po 1°. V tem nekateri vidijo zametke trigonometrije.
Vsi količniki so točno zapisani, ker so imenovalci regularna 
števila šestdesetiškega sistema. Preglednica 2 je prepis tablice 
Plimpton 322 z računalniškimi znaki. Odpravljene so vse na-
pake, ki so na originalu. Dodali smo za 15. vrstico še eno. Na 
originalu je namreč v 15. vrstici »tiskarska« napaka. Tam namreč 
v tretjem stolpcu z desne preberemo 53, v četrtem pa 56, kar je 
sprto z vsebino v petem stolpcu in z dejstvom, da so po vrsticah 
v tretjem stolpcu povsod drugod večja števila kot v četrtem. Če 
pa 56 popravimo v 28 ali pa 53 v 106, se nam izračun lepo izide. 
Zadnje čase prevladuje mnenje, da je pravilnejša prva varianta, 
ker takrat dobimo tudi primitivno pitagorejsko trojico.
Kako do pitagorejskih trojic v Plimptonu 322?
O tem, kako so Babilonci prišli do števil a
n
 za krajše katete in c
n
 
za hipotenuze pravokotnega trikotnika na tablici Plimpton 322, 
si raziskovalci niso povsem enotni. Morda so poznali obrazec 
(2), morda so si pomagali s tablicami obratnih vrednost, za kar 
se ogreva precej razlagalcev. Če namreč v (2) postavimo zahtevo 
a < b < c, potem mora za p > q veljati zveza
p
2
 − q
2
 < 2pq. Iz te dobimo 2p
2
 = p
2
 + p
2
 < p
2
 + 2pq + q
2
 = (p + q)
2
, 
torej . Iz tega sledi:
.
Če pa vse tri stranice v (2) delimo z b = 2kpq, dobimo
          
(3)
Pri tem velja r < 1, t > 1 in r
2
 + 1 = t
2
. To pomeni, da sta r in s = 
1 kateti, t pa hipotenuza pravokotnega trikotnika, ki ima zato 
racionalne stranice. V obrazcih (3) opazimo par obratnih si vre-
dnosti p/q in q/p. Glede na to, da izbiramo tuji si števili p in q 
različnih parnosti, sta to okrajšana ulomka.
Babilonci so poznali posebno pravilo za množenje števil, in sicer 
z uporabo enakosti:
  
(4)
Če vanjo vstavimo x = p/q in y = q/p, dobimo z oznakami iz (3) 
enakost 1 = t
2
 − r
2
 oziroma r
2
 + 1 = t
2
, to pa je ravno tisto, kar 
smo ugotovili v prejšnjem odstavku, to je Pitagorov izrek za pra-
vokotni trikotnik s stranicami r, 1 in t. Če racionalno trojico (r, 
1, t) pomnožimo s primernim številom, da odpravimo ulomka, 
dobimo primitivno pitagorejsko trojico (a, b, c). Zato je možno, 
da so Babilonci s preglednicami kvadratov in obratnih vrednosti 
računali pitagorejske trojice.
Primer
Denimo, da je babilonski matematik prepisal s tablice par 
recipročnih si števil
Prvo pomeni x = 2 + 15/60 = 9/4, 
drugo pa y = 26/60 + 40/60
2
 = 4/9.
Ker je x · y = 1, sta si števili res recipročni: y = 1/x.
Nato je števili seštel in odštel, da je dobil
Nato je oba rezultata delil z 2 in dobil
Seveda velja relacija r
2
 + s
2
 = t
2
. Pri tem je s = 1. Opazil je, da 
bi oba rezultata lahko delil s 50, če bi zapisal
Prav tako s = 3600/60
2
 = (50 · 60 + 12 · 50)/60
2
. Račun se 
lepo izide za 
t‘ = t/50, r‘ = r/50, s‘ = s/50 = 1/50:
Za dobljeni števili velja relacija r´
2
 + s´
2
 = t´
2
. Števila r´, s´, t´ 
pomnožimo s 60
2
 = 3600. To pomeni, podobno kot pomik 
decimalne vejice v desno za dve mesti pri množenju z 10
2
 = 
100 v desetiškem sistemu, pomik seksagezimalnega podpičja 
za dve mesti v desno. Iz trojice (r´, s´, t´) dobimo trojico
 
,
Slika 3: Pravokotni trikotnik.

MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
63
Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021
ki je celo primitivna pitagorejska in zanjo seveda velja 
a
2
 + b
2
 = c
2
. V desetiškem sistemu je to trojica 
(a, b, c) = (65, 72, 97).
Babilonec je izračunal še 
a
2
/b
2
 = (r´
2
/s´
2
) = r
2
/s
2
 = r
2
 = ((x − 1/x)/2)
2
.
Morda je pogledal na tablico kvadratov, morda je izračunal in 
našel:
S tem je pravzaprav izračunal 5. vrstico na tablici Plimpton 
322:
V klinopisni pisavi je to
Verjetno so Babilonci podobno izračunali tudi preostale vrsti-
ce na tablici.
Zaključek
Predstavili smo zelo star dokument, samo enega od mnogih, ki je nastal pred več kot 3800 leti v Mezopotamiji. 
Čeprav kljub obsežnim raziskavam ne vemo točno, kako in čemu je nastal, pa se iz njega lahko veliko nau-
čimo. Vse kaže, da so Babilonci več kot 1000 let pred Pitagoro poznali znamenito povezavo med stranicami 
pravokotnega trikotnika. To pomeni, da so v različnih krajih ljudje prišli do enakih matematičnih ugotovitev, 
čeprav morda v drugačnih oblikah.
Tablica Plimpton 322 je lahko bogat izvor raznih šolskih aktivnosti. V prilogi dodajmo nekaj nalog primernih 
za šolske aktivnosti, za preiskovanje. Ker je preračunavanje precej obsežno, bi bilo najbolje, da ga opravite v 
skupinah z dvema ali tremi učenci. V osnovni šoli lahko učenci sami izdelajo preglednico 1. Prvo in drugo ak-
tivnost naj morda izvedejo kar brez računanja količnikov v prvem stolpcu z leve. Kot primer medpredmetnega 
povezovanja lahko učenci pri likovnem pouku izdelajo iz gline svojo tablico pitagorejskih trojic v klinopisni 
pisavi.
Viri in literatura
A. A. Abdulaziz, Th e Plimpton 322 tablet and the Babylonian method of generating Pythagorean triples, arXiv: 1004.0025v1 [math.HO] 
31 Mar 2010, spletni vir, dosegljiv 21. aprila 2021.
D. F. Mansfield, N. J. Wildberger, Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry, Historia Mathematica 44 (2017), str. 
395–419.
U. C. Merzbach, C. B. Boyer. (2011). A history of mathematics. New Jersey: John Wiley & Sons, Hoboken.
E. Robson, Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322, Historia Mathematica 28 (2001), str. 167–206.
E. Robson, Words and pictures: new light on Plimpton 322, American Mathematical Monthly 109 (2002), str. 105–120.
W . Sierpiński. (2003). Pythagorean triangles. New Y ork: Dover Publications, Mineola.

ŠOLSKE AKTIVNOSTI
64
Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021
1. aktivnost
Zapišite preglednico 2 s pomočjo preglednice 1 z običajnimi arabskimi števkami. To pomeni, da nadaljujte preglednico:
a
2
n 
/ b
2
n
a
n
c
n
n
00; 59 00 15 01 59 02 49 1
2. aktivnost
Zapišite preglednico 2 s pomočjo preglednice 1 z običajnimi arabskimi števkami in jo razširite z drugo kateto. To se pravi, 
da nadaljujte preglednico:
a
2
n 
/ b
2
n
a
n
b
n
c
n
n
00; 59 00 15 01 59 02 00 02 49 1
3. aktivnost
Zapišite preglednico 2 v desetiškem sistemu s pomočjo preglednice 1 z običajnimi arabskimi števkami in jo razširite z 
drugo kateto. Ali se katete izražajo z regularnimi števili? Dobljena števila razstavite na prafaktorje. Z risanjem ustreznih 
pravokotnih trikotnikov in kotomerom določite kote α
n
. Dijaki, ki poznajo trigonometrične funkcije, naj te kote izračunajo. 
To se pravi, da nadaljujte preglednico:
α
n
(º) a
2
n 
/ b
2
n
a
n
b
n
c
n
n
44,76 0,9834027777... 119 = 7 · 17 120 = 2
3
 · 3 · 5 169 = 13
2
1
4. aktivnost
Po vzoru tablice Plimpton 322 pripravite številske podatke za svojo tablico, drugačne kot so na tablici Plimpton 322. 
Najbolj goreči jo lahko izdelate iz gline.
5. aktivnost
Pretvorite Al Kašijev približek (1) števila 2π v decimalno obliko. Koliko točnih decimalk dobite?