i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 172 — #1
i
i
i
i
i
i
POTNALUNO
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in ﬁziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 45.20.dg, 45.50.Pk
Gibanja izstrelka z Zemlje na Luno z najmanjˇ so mogoˇ co zaˇ cetno kinetiˇ cno energijo
zlahkaopiˇ semozenergijskeplati. Nateˇ zavopanaletimopriraˇ cunanjuˇ casovneodvisnosti.
Izstrelek v tem primeru ne bi dospel na Luno v doglednem ˇ casu, ker gre skozi labilno
ravnovesno lego. Drugi preprost zgled je ﬁziˇ cno nihalo. Gre za dinamiˇ cne sisteme, ki so
moˇ cno obˇ cutljivi za zaˇ cetne pogoje.
MOON TRAVEL
The motion of a projectile from the earth to the moon with minimal initial kinetic
energyiseasilydescribedwithrespecttoenergy. Diﬀucultiesarise, however,incalculating
the time dependence. The projectile in this case would not reach the moon in reasonable
time because it is passing through a labile equilibrium point. Another simple example is
the physical pendulum. These are dynamical systems that are highly sensitive to initial
conditions.
Obˇ stiridesetletniciprvegapristankaljudinaLunisezdipouˇ cnoobdelati
preprost model potovanja z Zemlje na Luno. Mislimo na izstrelek, ki ga s
povrˇ sja Zemlje izstrelimo proti Luni. Izberemo najmanjˇ so mogoˇ co zaˇ cetno
kinetiˇ cno energijo, ki se zdi potrebna, da izstrelek dospe na Luno. Ne upo-
ˇ stevamouporavozraˇ cjuinvrtenjaZemlje. Pokaˇ zese, dajeprimerzanimiv,
ker gre izstrelek skozi labilno ravnovesno lego.
Poizrekuokinetiˇ cniinpotencialnienergijisevsotakinetiˇ cneinpotenci-
alne energije ohrani,ˇ ce na izstrelek delujeta le Zemlja in Luna z gravitacijo.
Energijo preraˇ cunamo na enoto mase izstrelka:
W/m =
1
2
v
2
−GM/r−GM
0
/(R−r) =
1
2
v
2
−
1
2
V
2
(1/x+a/(1−x)).
G = 6,67428· 10
−11
m
3
/(kgs
2
) je gravitacijska konstanta, M = 5,9736·
10
24
kg masa Zemlje, M
0
= 7,3477· 10
22
kg masa Lune in R = 384400
km povpreˇ cna razdalja med njunima srediˇ sˇ cema. Razmerje med maso Lune
in maso Zemlje meri a = M
0
/M = 0,01230. Enaˇ cbo smo zapisali tudi v
brezdimenzijski obliki z x = r/R in ubeˇ zno hitrostjo z Zemlje na razdalji
Lune, ˇ ce Lune ne bi bilo tam: V =
p
2GM/R = 1,4403 km/s. Srednji
172 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 5
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 173 — #2
i
i
i
i
i
i
Pot na Luno
polmer Zemlje meri r
0
= 6371,0 km, tako da je x
0
= 0,01657, in srednji
polmer Lune r
0
0
= 1731,1 km, tako da je x
0
0
= 0,004503 in 1−x
0
0
= 0,9955.
Za gravitacijsko konstanto je naveden podatek CODATA iz leta 2008, vsi
drugi podatki pa so iz Wikipedije.
ˇ
Ceprav navajamo podatke in rezultate s
petimi mesti, je treba upoˇ stevati, da se Luna giblje okoli Zemlje po elipsi in
sta Zemlja in Luna ob ekvatorju odebeljeni.
Potencialnaenergijajenajveˇ cjavnevtralnitoˇ cki, vkaterije∂W/∂x = 0
in je rezultanta sil enaka niˇ c. Iz zveze 1/x
2
1
= a/(1− x
1
)
2
sledi x
1
=
1/(1+
√
a) = 0,90017. Tam je vrh potencialnega nasipa, na katerem je
na enoto mase izstrelka preraˇ cunana potencialna energija enaka−(GM/R)
(1/x
1
+ a/(1− x
1
)) = −
1
2
V
2
(1+
√
a)
2
. Izstrelek ima v nevtralni toˇ cki
kinetiˇ cno energijo 0. V tej toˇ cki prepoznamo labilno ravnovesno lego.
Na povrˇ sju Zemlje je zaˇ cetna hitrost v
0
:
v
0
= v
u
q
1+ax
0
/(1−x
0
)−
  1+
√
a
  2
x
0
=
= V
q
1/x
0
+a/(1−x
0
)−
  1+
√
a
  2
.
v
u
=
p
2GM/r
0
= 11,1875 km/s je ubeˇ zna hitrost na povrˇ sju Zemlje. V
naˇ semprimerujezaˇ cetnahitrostv
0
= 11,0736km/smalomanjˇ saodubeˇ zne
hitrosti.
Formula za hitrost, s katero izstrelek zadene povrˇ sje Lune, je podobna:
v
0
0
= v
0
u
r
1−a
0
x
0
0
(1−x
0
0
)−
  1+
√
a
0
  2
x
0
0
=
= V
0
r
1/x
0
0
+a
0
/(1−x
0
0
)−
  1+
√
a
0
  2
.
Pri tem je V
0
=
p
2GM
0
/R =
√
aV = 0,1597 km/s ubeˇ zna hitrost z Lune
na razdalji Zemlje, ˇ ce Zemlje ne bi bilo tam. Ubeˇ zna hitrost na povrˇ sju
Lune meri v
0
u
=
p
2GM
0
/r
0
0
= 2,3803 km/s, hitrost ob padcu je nekoliko
manjˇ sa: v
0
0
= 2,2787 km/s. Pri tem je a
0
= 1/a. S to hitrostjo bi izstrelili
izstrelekspovrˇ sjaLune,dabiznajmanjˇ sokinetiˇ cnoenergijodosegelZemljo.
V sploˇ snem si pri pojavih, ki jih opiˇ semo z navedenimi enaˇ cbami, lahko
mislimo, da teˇ ceˇ cas tako ali obrnjeno. Klasiˇ cna mehanika – in druge teorije
razen termodinamike in teorijeˇ sibke interakcije – so namreˇ c invariantne na
obrat ˇ casa.
172–179 173
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 174 — #3
i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
Iz izraza za kinetiˇ cno energijo izraˇ cunamo hitrost izstrelka:
v/V =
r
1
x
+
a
1−x
−
  1+
√
a
  2
=
1−(1+
√
a)x
p
x(1−x)
. (1)
Zadnja enaˇ cba jasno pokaˇ ze, da je hitrost v labilni legi enaka 0. Razprava
o izreku o kinetiˇ cni in potencialni energijie in hitrosti, ki smo jo izraˇ cunali
iz njega, ni pripeljala do teˇ zav (slika 1). Teˇ zave so se pojavile, ko smo se
zanimali za ˇ casovni potek gibanja.
Slika 1. Hitrost izstrelka je odvisna od kraja in od parametra b. Pri tem je V =
1,4403 km/s in b = 1 ustreza mejnemu primeru.
Nateˇ zavenaletimo,koposkusimoizraˇ cunatiˇ casvodvisnostiodrazdalje:
Vt/R =
x
Z
0
p
x(1−x)dx
1−(1+
√
a)x
=−
1
(1+
√
a)
2
u
Z
1
p
(1−u)(u+
√
a)
u
du (2)
Vpeljali smo novo spremenljivko u = 1−(1+
√
a)x. Spremenljivka u teˇ ce
od 1 do
√
a, v labilni ravnovesni legi pa je enaka 0. Zadnji nedoloˇ ceni
integral najdemo v tabelah [1]. Nazadnje preidemo na staro spremenljivko
in upoˇ stevamo zaˇ cetni pogoj t(x = 0) = 0 ter dobimo:
Vt/R =
p
2GM/R
3
t =
  1+
√
a
  −2
  1
2
  1−
√
a
  arcsin(2x−1)+
+
q
√
a ln
(1+
√
a)
  1−(1−
√
a)x−2
p
√
ax(1−x)
  1−(1+
√
a)x
−
174 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 5
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 175 — #4
i
i
i
i
i
i
Pot na Luno
−(1+
√
a)
p
x(1−x)−
q
√
a ln
  1+
√
a
  +
  1−
√
a
  π
4
  . (3)
ˇ
Clen z logaritmom v labilni legi pri x
1
= 1/(1+
√
a) naraste ˇ cez vse meje.
Zaradi tega za naˇ s primer ne moremo izraˇ cunati, koliko ˇ casa bi potoval
izstrelek. Izstrelek se z Zemlje giblje s pojemajoˇ co hitrostjo in v nevtralni
toˇ cki obmiruje. Zelo majhna motnja na eno stran zadostuje, da se iz labilne
lege zaˇ cne gibati proti Luni ali na drugo stran proti Zemlji. Opraviti imamo
z dinamiˇ cnim sistemom, ki je moˇ cno obˇ cutljiv za zaˇ cetne pogoje. Taki
sistemi imajo pomembno vlogo v teoriji kaosa.
Najhitreje pojasni razmere pribliˇ zek enaˇ cbe (2) za u  1:
Vt/R =−
p
√
a
(1+
√
a)
2
u
Z
1
du
u
=−
p
√
a
(1+
√
a)
2
lnu (4)
z reˇ sitvijo u ∝ e
−t/τ
in τ = R
p
√
a
. 
V(1+
√
a)
2
  . V naˇ sem primeru
meri relaksacijski ˇ cas τ = 20 ur. Relaksacijski ˇ cas za izstrelek, ki bi ga s
hitrostjo v
0
0
izstrelili z Lune, meri
τ
0
=R
q
√
a
0
.
  V
0
  1+
√
a
0
  2
  = (R/V)
√
a
0
q
√
a
0
. 
1+
√
a
0
  2
=τ.
Ugotovimo, da se faktorja z razmerjema mas ujemata,ˇ ce upoˇ stevamo, da je
a
0
= 1/a. Izstreleksezenakimrelaksacijskimˇ casombliˇ zalabilniravnovesni
legi, ko ga izstrelimo z Zemlje ali z Lune.
Slika 2. Odvisnost razdalje x od t za mejni primer b = 1 in za b = 1,01
172–179 175
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 176 — #5
i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
Vzamemo malo veˇ cjo zaˇ cetno hitrost bv
0
, b> 1 (slika 1):
v/V =
p
1/x+a/(1−x)−A, A =
  1+
√
a
  2
−
  b
2
−1
  (v
0
/V)
2
.
Integralu damo za numeriˇ cno raˇ cunanje pripravno obliko:
Vt/R =
x
Z
x
0
s
x(1−x)
1−(1−a)x−Ax(1−x)
dx.
Razdalja v odvisnosti od ˇ casa je inverzna funkcija x(t), ki jo nariˇ se Mathe-
matica (slika 2). Trajanje potovanja t
0
z Zemlje na Luno v odvisnosti od
parametra b izraˇ cunamo z numeriˇ cno integracijo med x = 0,01656 in 0,9955
(slika 3).
Slika 3. Trajanje potovanja t0 je odvisno od parametra b. Hitrost v nevtralni toˇ cki meri
v1 =
√
b
2
−1v0. Izstrelek s hitrostjo 11 km/s ne bi dosegel Lune, ampak bi se obrnil ˇ ze
na polovici razdalje do nje. Pri b = 1,01 bi trajalo potovanje na Luno 2 dneva. Z ubeˇ zno
hitrostjo pa bi pri b = vu/v0 = 1,0103 potovanje trajalo t0 = 1,906 dneva. Na abscisno os
je nanesena brezdimenzijska koliˇ cina Vt/R z R/V = 74,14 ure.
Kotboljdomaˇ czgledzenakimozadjemsioglejmoﬁziˇ cnonihalo.
1
Zaradi
preprostosti vzemimo tog drog z zanemarljivo majhno maso in dolˇ zino l, ki
ima na enem krajiˇ sˇ cu drobno uteˇ z z maso m in je vrtljiv okoli pravokotne
1
Mimogrede pripomnimo, da je dvojno ﬁziˇ cno nihalo eden od najpreprostejˇ sih siste-
mov, pri katerih zasledimo kaos. Naˇ cin, s katerim je gibanje takega nihala opisal Henri
Poincar´ eˇ zedavnopredˇ casomraˇ cunalnikov,soponjihoviuvedbiuporabilipriopisukaosa.
176 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 5
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 177 — #6
i
i
i
i
i
i
Pot na Luno
osi na drugem krajiˇ sˇ cu. Najprej drog izmaknemo za majhen odmik x iz
stabilne lege (slika 4a). Komponenta teˇ ze F = −mgx/l vraˇ ca uteˇ z v to
lego. Iz Newtonovega zakona F = md
2
x/dt
2
sledi enaˇ cba d
2
x/dt
2
=−ω
2
x
z ω =
p
g/l. Njena reˇ sitev je sinusno nihanje: x = x
0
cosωt, ki ustreza
zahtevama, da je v ˇ casu t = 0 odklon enak x
0
in hitrost enaka 0.
Slika 4. Zelo lahek drog z drobno uteˇ zjo na krajiˇ sˇ cu izmaknemo iz stabilne ravnovesne
lege (a) in iz labilne ravnovesne lege (b). Komponenta teˇ ze v prvem primeru uteˇ z vraˇ ca
v ravnovesno lego, v drugem pa ne. Zaradi podobnosti trikotnikov velja F/(mg) = x/l.
Odklona sta narisana pretirano.
Nato opazujmo nihalo blizu labilne lege. Na uteˇ z deluje komponenta
teˇ ze F =mgx/l vstran od labilne lege, ko ga izmaknemo za majhen odmik
x (slika 4b). Iz Newtonovega zakona sledi enaˇ cba d
2
x/dt
2
= ω
2
x. Njena
reˇ sitev x = x
0
chωt ustreza zahtevama, da je v ˇ casu t = 0 odklon enak x
0
in hitrost enaka 0.
Potem ko smo obdelali gibanje nihala okoli obeh ravnovesnih leg, obrav-
navajmo njegovo gibanje po enakem kopitu kot gibanje izstrelka proti Luni.
Za ta namen doloˇ cimo lego uteˇ zi na kroˇ znici s polmerom l z odklonom
ϕ od stabilne lege (slika 5 levo). Hitrost uteˇ zi je v = ldϕ/dt in njena
kinetiˇ cna energija W
k
=
1
2
mv
2
=
1
2
ml
2
(dϕ/dt)
2
ter potencialna energija
W
p
= mlg(1−cosϕ). Polna energija, preraˇ cunana na enoto mase W/m =
1
2
v
2
+gl(1−cosϕ), jekonstantna.
ˇ
Cenajuteˇ zlabilnolegodoseˇ zeshitrostjo
0, je v tej toˇ cki polna energija enaka potencialni energiji W = 2mgl. To-
likˇ sna mora biti tudi zaˇ cetna kinetiˇ cna energija, tako da je zaˇ cetna hitrost
172–179 177
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 178 — #7
i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
Slika 5. Lego nihala na kroˇ znici pri veˇ cjem odklonu opiˇ semo z zasukom ϕ (levo). Od-
visnost zasuka nihala ϕ od t za mejni primer in nekaj vrednosti parametra b (desno).
Hitrost v nevtralni toˇ cki meri v1 =
√
b
2
−1v0.
v
0
= 2
√
gl. Enaˇ cba gibanja se glasi:
1
2
l
2
  dϕ
dt
  2
=gl(1+cosϕ) = 2glcos
2 1
2
ϕ,
ˇ ce nazadnje kot izrazimo z dvojnim poloviˇ cnim kotom. Korenjenje da
dϕ/dt = 2ωcos
1
2
ϕ. Tako dobimo
ωt =
ϕ
Z
0
dϕ
2cos
1
2
ϕ
= ln
    tg
1
4
(x+π)
    .
V labilni legi pri ϕ =π ˇ cas zrase ˇ cez vse meje.
Razmere okoli labilne lege raziˇ sˇ cemo, ˇ ce v integralu vstavimo ϕ =π−δ
z odmikom od labilne lege δ   1. Z njim velja cos
1
2
ϕ = −sin
1
2
δ ≈ −
1
2
δ.
Tako smo naposled priˇ sli do enaˇ cbe:
Z
dδ
δ
= lnδ−konst. =−ωt
z reˇ sitvijo δ∝ e
−t/τ
s τ = 1/ω =
p
l/g, ki spominja na enaˇ cbo (4) in njeno
reˇ sitev.
Zopet vzamemo malo veˇ cjo hitrost od v
0
, to je bv
0
, b > 1. V tem
primeru sledi enaˇ cba
1
2
(dϕ/dt)
2
= 2ω
2
(b
2
− sin
2 1
2
ϕ). Njeno reˇ sitev izra-
zimozeliptiˇ cnimintegralomprvevrsteF(x,k) =
x
R
0
dx/
√
1−k
2
sinxtakole:
(1/b)F(
1
2
ϕ,1/b) = ωt. V tem primeru lahko inverzno funkcijo zapiˇ semo v
178 Obzornik mat. ﬁz. 56 (2009) 5
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 179 — #8
i
i
i
i
i
i
Pot na Luno
zakljuˇ ceni obliki z Jacobijevo amplitudo, za katero velja: ˇ ce je u =F(x,k),
je x = am(u,k). Tako je ϕ = 2am(bωt,1/b). Slika 5 (desno) ustreza sliki 2.
Za razpravo in koristne nasvete se zahvaljujem profesorju Antonu Ram-
ˇ saku.
LITERATURA
[1] I. S. Grashteyn in I. M. Ryshik, Table of Integrals, Series, and Products, Academic
Press, San Diego 1979, str. 81, 84 (2.267, 2.261, 2.266)
NOVEKNJIGE
Lars Lindberg Christensen: VELIKE O
ˇ
CI, ZAZRTE V NEBO
(EYES ON THE SKIES), ESA, 2009, DVD, 68 minut.
Se ˇ se spomnite ˇ casov, ko so bili doku-
mentarcinajboljˇ se,karjeponujaltelevizijski
program? Kam so izginili? Ja, kam, na po-
sebnekanale. Predvajajojihdneveindneve.
Kanalovpanitinaprsteenerokenemoremo
veˇ c preˇ steti. Pri tem zasiˇ cenju se pojavi te-
ˇ zava.
ˇ
Cas je treba z neˇ cim zapolniti, do-
bri dokumentarci pa ne rastejo na drevesih.
Sicer pa so produkcijo vzeli v roke ﬁlmarji.
Ti se spoznajo na posel! Iz
”
parkiranja“ ˇ ce-
zoceanke tako naredijo polurni dokumenta-
rec, kjer se isti kadri neˇ stetokrat ponavljajo.
ˇ
Ceprav so razbiti z reklamnimi bloki, je to
vseeno moteˇ ce. Pa tisto razvleˇ ceno, umetno
ustvarjanjenapetosti. Aliboladji,kikrmari
v pristaniˇ sˇ ce, uspelo zgreˇ siti zid za 200 metrov? To ni zanimivo; ustvarimo
raje paniko, da pelje le za miˇ sjo dlako stran od zidu in tudi posnemimo iz
takegakota,dabotakoresvideti. Ustvariselaˇ znivtis,dajevsakopristanje
ladje prava mala avantura, kar pa seveda ni res.
Vse naˇ steto: obilica, povrˇ snost, trivialnost, dramatiziranje ... manjˇ sa
uˇ zitek odkrivanja novega.
No, vse te navlake na DVD-ju Eyes on the Skies (v prevodu: Velike oˇ ci,
zazrte v nebo), ki ga je ob mednarodnem letu astronomije pripravila Evrop-
ska vesoljska agencija (ESA), ne boste naˇ sli. Kar ponuja veˇ c od dejstev, je
vrhunska estetika, zasanjan sprehod skozi ˇ care astronomije.
172–179 179