       
P 49 (2021/2022) 520
Uporaba virialnega teorema
v astrofiziki
K̌ S
V eni od prejšnjih številk Preseka ste bralci spo-
znali virialni teorem in njegovo izpeljavo. Predsta-
vili smo primer izračuna astronoma Fritza
Zwickya, da mora biti gostota mase v jati galaksij
v Berenikinih kodrih veliko večja, kot so kazale
meritve. Tokrat si poglejmo še več primerov upo-
rabe virialnega teorema, ki bodo koristila srednje-
šolcem za pripravah na mednarodna tekmovanja
iz znanja astronomije in tudi fizike.
Virialni teorem uporabimo za sisteme več delcev
ali teles, ki so vezani. To pomeni, da jih skupaj veže
sila, najpogosteje gravitacijska; deli sistema nimajo
zadosti energije, da bi sistem zapustili in postali pro-
sti. Sistem mora biti v statističnem ravnovesju. Rav-
novesje si po navadi zamislimo kot izenačenje sil
med telesi, tako da deli sistema mirujejo. Denimo,
da na vzmetno tehtnico postavimo vrečo krompirja.
Teža krompirja potiska ploščo tehtnice navzdol, sila
skrčene vzmeti potiska krompir navzgor; ker sta sili
nasprotno enaki, tehtnica in vreča krompirja miru-
jeta. Lahko pa vrečo vržemo na tehtnico in ta za-
niha. Recimo, da ni nobenega trenja ali dušenja; teh-
tnica tako niha, perioda in amplituda nihanja se ne
spreminjata. Ta sistem ne miruje, a ko ga opazu-
jemo dlje časa, opazimo, da se statistično ne spre-
minja. Gibanje krompirja se ponavlja na enak način
ves čas, njegova povprečna lega in deviacija se ne
spreminjata. Podobno si lahko predstavljamo vesolj-
ski sistem v statističnem ravnovesju. Galaksije v jati
ali zvezde kopici neprenehoma frčijo po prostoru, a
težišče, deviacija hitrosti, skupna energija in vztraj-
nostni moment celotnega sistema so konstantni.
Kroglasta kopica
Kroglaste kopice so skupine zvezd, ki jih medsebojni
gravitacijski privlak povezuje v zaključeno krogelno
obliko. Gre za zelo stare strukture, po več milijard
let, ki vsebujejo na sto tisoče ali milijone zvezd. Ti-
pični polmeri kopic so nekaj parsekov ali nekaj deset
parsekov. Zvezde so tako nagnetene, da središčnih
predelov kopic ne moremo razločiti, le proti robu
kopice vidimo posamezne zvezde. Pri opazovanjih
dinamike zvezd lahko izmerimo le njihovo radialno
komponento hitrosti iz Dopplerjevega premika, tj.
komponento vektorja hitrosti v smeri pogleda ozi-
roma projekcijo na zveznico med nami in zvezdo.
Sveže astrometrične meritve misije Gaia so nam od-
prle novo okno v vesolje, saj so opazovanja tega ve-
soljskega observatorija dovolj natančna, da imamo
na voljo veliko podatkov o gibanjih zvezd v naši Ga-
laksiji v prečni smeri. Gibanje posameznih zvezd je
kompleksno, zato ne moremo točno izračunati kine-
tične in potencialne energije kopice, lahko pa nare-
dimo dobro oceno. Najprej se lotimo kinetične ener-
gije. V kopici imamo N zvezd z masamimi, legami ri
in hitrostmi vi. Paziti moramo na razliko med vi in
vi, prvo je vektor hitrosti i-tega delca, drugo pa veli-
kost vektorja. Masa celotne kopice je M =
∑
imi. Ta
zapis vsote pomeni, da seštevamo po vseh možnih
vrednostih indeksa i, torej od 1 do N. Potemtakem
velja
〈K〉 =
〈
1
2
∑
i
miv
2
i
〉
= 1
2
∑
i
mi〈v2i 〉. (1)
Ker je število zvezd kopice res veliko (N ≈ 106),
lahko rečemo, da so hitrosti porazdeljene po neki
zvezni porazdelitvi. Prav tako velja za posamezne
komponente hitrosti, vx, vy , vz. Kako so koordina-
tne osi postavljene, je povsem poljubno, saj nimamo
preferenčne smeri gibanj zvezd, ampak se te gibljejo
       
P 49 (2021/2022) 5 21
v vse smeri. Recimo, da je os x usmerjena proti opa-
zovalcu, tako da je radialna hitrost vr = vx . Koor-
dinatno izhodišče pa je samoumevno v težišču ko-
pice. Kopica se giblje tudi po prostoru, po navadi na
zelo velikih oddaljenosti od središča Galaksije, nekaj
deset kiloparsekov. Hitrost kopice naj bo sistemska
hitrost z vektorjem vsis , njena radialna komponenta
pa vsis,r . Če pomerimo radialne hitrosti vseh zvezd,
bo povprečje ravno vsis,r . To povprečno vrednost
moramo odšteti od vseh radialnih hitrostih zvezd,
kajti virialni teorem smo izpeljali v (lastnem) koor-
dinatnem sistemu obravnavanega sistema. Ker se
zvezde gibljejo v vse mogoče smeri, bodo ene iz-
merjene radialne hitrosti večje od vsis,r , druge pa
manjše, torej bodo po odštevanju vsis,r razpršene
okoli ničle. To razpršenost opišemo s standardno
deviacijo σx . Poimenujmo jo z indeksom x, ker smo
rekli, da je radialna smer vzdolž x osi. Kvadrat stan-
dardne deviacije radialnih hitrosti v lastnem sistemu
je varianca, ki je
σ 2x =
1
N
∑
i
(
vr ,i − vr
)2 = 1
N
∑
i
v2r ,i = v2r = v2x . (2)
Prvi izraz je definicija variance, v drugem smo upo-
števali, da je vr = 0, saj smo od radialnih hitrosti že
odšteli sistemsko radialno hitrost. Ker razmišljamo
ves čas v duhu, da potujejo zvezde v vse smeri, ve-
lja σ 2x = σ 2y = σ 2z . Vrnimo se k naši oceni kine-
tične energije, k enačbi 1. 〈v2i 〉 je časovno povprečje
kvadrata hitrosti ene zvezde. Gibanja ene zvezde ne
moremo spremljati toliko časa, da bi izračunali pov-
prečje po času; opazovanja nam dajo le stanje ko-
pice v določenem trenutku. Kar pa lahko storimo,
je da izračunamo povprečje vseh zvezd v2 in pri-
vzamemo, da je enako kot časovno povprečje ene
zvezde, 〈v2i 〉 = v2. Velja v2 = v2x + v2y + v2z = 3v2x =
3σ 2x . Končno lahko izračunamo povprečno kinetično
energijo kot
〈K〉 = 1
2
∑
i
mi〈v2i 〉 =
1
2
∑
i
miv2 =
1
2
∑
i
mi3σ
2
x
= 3
2
Mσ 2x . (3)
Potencialna energija para delcev (točkastih teles) i
in j je Uij = −Gmimjrij , kjer je G gravitacijska kon-
stanta, mi ter mj sta masi delcev in rij je razda-
lja med njima. Zvezde res niso točkasta telesa, a
kaj pravzaprav to pomeni? Točkasto telo je telo,
katerega velikost ni pomembna za obravnavani pro-
blem. Enako velja v kroglasti kopici, razdalje med
zvezdami so mnogo večje od njihovih velikosti, zato
lahko računamo z enačbo za potencialno energijo
dveh točkastih teles. Potencialna energija kopice je
U =
∑
i
∑
j Uij , kar lahko ocenimo na podlagi raz-
misleka. Kroglasta kopica je krogla s polmerom R.
Zvezde so posejane po prostornini te krogle in nji-
hove medsebojne razdalje so od skoraj nič do kve-
čjemu 2R. Recimo, da je povprečna razdalja med
dvema poljubnima zvezdama kar R. Lahko da je pov-
prečje 0,7 R, 0,92R ali pa tudi 1,2R, a vsakem primeru
reda velikosti R. Hočemo priti le do približne ocene
za energijo. Velja
〈U〉 = −1
2
∑
i
∑
j
〈
Gmimj
rij
〉
≈ − G
2R
∑
i
∑
j
mimj
= −GM
2
2R
. (4)
Dobili smo dva preprosta izraza za kinetično in po-
tencialno energijo, ki ju lahko uporabimo v virial-
nem teoremu in izračunamo maso kopiceM . Seveda,
ostali dve količini poznamo. σx je disperzija radial-
nih hitrosti, ki jo pridobimo s spektroskopskimi opa-
zovanji, polmer kopice R pa tudi poznamo, ker lahko
izmerimo kotno velikost in oddaljenost kopice. Ra-
čunajmo:
2〈K〉 + 〈U〉 = 0
2
3
2
Mσ 2x −
GM2
2R
= 0
M = 6σ
2
xR
G
Če vzamemo podatke za kroglasto kopico M 71 [2,
3], dobimo σx = 3,21 km/s, polmer kopice je 4,19
pc, kar nam da M ≈ 104M⊙. Rezultat se dobro ujema
z natančnejšimi meritvami, ki dajo vrednost 1,7 ·
104M⊙.
Nižanje orbite satelita
Po virialnem teoremu velja 2K + U = 0, ter E =
K + U = −K = −12U . Enaka zveza pa velja za spre-
membe energije ∆E = ∆K + ∆U = −∆K = −12∆U
ter 2∆K + ∆U = 0. Poglejmo si, kaj se dogaja z
       
P 49 (2021/2022) 522
umetnim satelitom, ki kroži blizu Zemlje, in nanj de-
luje zračni upor, zato satelit počasi izgublja energijo.
Potencialna energija satelita je U = −GMmr , pri če-
mer je M masa Zemlje, m masa satelita in r polmer
njegove krožne orbite. Manjši kot je polmer orbite,
nižja je energija. To pomeni, da je satelit bolj vezan
na Zemljo. Ko enačimo centripentalno silo krože-
nja Fc = mv
2
r z gravitacijsko silo Zemlje Fg =
GMm
r2 ,
lahko izpeljemo krožilno hitrost v =
√
GM
r . Kinetična
energija satelita je K = 12mv2 =
GMm
2r . Seveda, saj
mora biti po virialnem teoremu K = −12U . Celotna
mehanska energija satelita je E = K+U = −GMm2r . Re-
kli smo, da satelit izgublja energijo zaradi zračnega
upora, torej postane E manjša, kar pomeni, da se
njena absolutna vrednost |E| poveča, ker ima sama
energija E negativen predznak. Da pa je |E| = GMm2r
večje, se mora r zmanjšati. A potem se krožilna hi-
trost v poveča in s tem tudi kinetična energija. Torej
satelit kroži po vse nižjih orbitah z vse višjo hitro-
stjo! Čeprav se celotna energija E zmanjša, se ki-
netična K poveča. Tako, kot pravi virialni teorem,
je ∆E negativna, torej mora biti ∆K = −∆E pozi-
tivna. Nižje kot je satelit, gostejša je atmosfera in
večji zračni upor, zato se satelit še hitreje približuje
Zemlji. Tako imamo pozitivno povratno zanko, za-
radi katere satelit na koncu zgori v ozračju. Delujoče
satelite spremljajo operaterji na Zemlji in seveda ne
dopustijo, da bi se kaj takega prehitro zgodilo. Od
časa do časa prižgejo motorje na plovilu in dvignejo
njegovo orbito.
Eliptična orbita
V prejšnjem poglavju smo obravnavali umetni sate-
lit na krožni orbiti, za katerega so izrazi za energije
enostavni, in kar je pomembneje, neodvisni od časa.
Ni nam bilo treba razmišljati, kaj je časovno povpre-
čje potencialne energije satelita, ker kroži na fiksni
orbiti in je potencialna energija konstanta. Za ko-
nec pa si oglejmo drugačen primer. Planeti, kometi
in asteroidi v Osončju potujejo po elipsah. Odda-
ljenost od Sonca in hitrost telesa se spreminjata v
času, zato ne moremo enostavno vstaviti trenutnih
energij v virialni teorem, ampak časovna povprečja.
Z malo ponovitve orbitalne mehanike in telovadbe z
diferencialnim računom bomo v naslednjih vrsticah
izračunali povprečno potencialno energijo telesa na
eliptični orbiti.
Telo, ki kroži okoli Sonca, obravnavamo kot toč-
kasto telo in njegovo potencialno energijo zapišemo
kot
U = −GMm
r
, (5)
pri čemer je G gravitacijska konstanta, M masa Son-
ca, m masa telesa in r njegova oddaljenost težišča
Sonca. Obliko eliptične orbite opredeljujeta dva pa-
rametra, velika polos a, ki podaja velikost elipse, in
ekscentričnost e. Razdalja med goriščem in sredi-
ščem elipse je ea. Če je e = 0, imamo krožnico. Večja
kot je ekscentričnost, bolj je elipsa »raztegnjena«.
Lego telesa na orbiti podaja kot ϑ, ki mu rečemo
prava anomalija. To je kot med zveznicama telo-
Sonce in perihelij-Sonce. Perihelij pa je točka orbite,
kjer je telo najbližje Soncu in njena oddaljenost je
dp = a(1− e), glej sliko 1. Najbolj oddaljena točka
je afelij, da = a(1+ e). S parametri a, e in ϑ lahko
izračunamo razdaljo krožečega telesa od Sonca kot
funkcijo prave anomalije:
r = a
(
1− e2
)
1+ e cosϑ. (6)
Kako pa dobimo hitrost za poljubno točko na or-
biti? Najlažje iz energijskega zakona, ker vemo, da
SLIKA 1.
Shema orbite kometa 2P/Encke, ki ima veliko polos 2,22 astro-
nomske enote in ekscentrǐcnost 0,8471. Točka F označuje go-
rišče elipse, P perihelij, rdeča točka je komet, z zeleno pa je
označena prava anomalija.
       
P 49 (2021/2022) 5 23
je celotna mehanska energija E = −GMm2a :
E = K +U
−GMm
2a
= 1
2
mv2 − GMm
r
1
2
v2 = GM
(
1
r
− 2
a
)
v =
√
GM
(
2
r
− 1
a
)
(7)
Enačbo v zadnji vrstici imenujemo vis-viva enačba.
Ker želimo dobiti 〈U〉, moramo najprej izračunati〈
1
r
〉
. Pozor, ni nujno, da je povprečje obratne vre-
dnosti kar obratna vrednost povprečja spremenljiv-
ke,
〈
1
r
〉
≠
1
〈r〉 . Ker je gibanje periodično s periodo t0,
lahko izračunamo časovno povprečje kot
〈
1
r

= 1
t0
∫ t0
0
1
r
dt. (8)
Ker ne poznamo r kot funkcijo časa, moramo to
spremenljivko v integralu zamenjati s pravo anoma-
lijo. Pomagajmo si z vrtilno količino, ki je definirana
kot
L =mr× v = Jω. (9)
L je konstanta gibanja, kar pomeni, da se s časom
ne spreminja. To je jasno, ker ni nobenih zunanjih
navorov, ki bi vplivali na krožeče telo. J je vztrajno-
stni moment, ki je za točkasto telo J = mr 2. Veli-
kost kotne hitrosti je ω = ϑ̇, tj. časovni odvod prave
anomalije. Diferencial prave anomalije je povezan z
diferencialom časa kot
dϑ = ϑ̇dt =ωdt = L
mr 2
dt , (10)
kar izkoristimo v integralu v enačbi 8
〈
1
r

= 1
t0
∫ t0
0
1
r
dt = 1
t0
∫ 2π
0
1
r
mr 2
L
dϑ
= m
Lt0
∫ 2π
0
r dϑ . (11)
Iz enačbe 10 smo izrazili dt in ga vnesli v enačbo 8.
Ker ne integriramo več po času ampak po pravi ano-
maliji, smo zamenjali integracijske meje. Ko je čas
0, je tudi anomalija 0, in ko preteče perioda kroženja
t0, telo naredi eno orbito in se anomalija poveča za
2π . V zadnji integral vstavimo izraz za r iz enačbe
6 in računamo
〈
1
r

= ma
(
1− e2
)
Lt0
∫ 2π
0
dϑ
1+ e cosϑ
= ma
(
1− e2
)
Lt0
2π√
1− e2
=ma
√
1− e2 2π
t0
1
L
. (12)
Vrednost integrala prepišemo iz matematičnega pri-
ročnika. V zadnjem izrazu imamo 2πt0 , kar je po tre-
tjem Keplerjevem zakonu
√
G(M+m)
a3 ≈
√
GM
a3 . Kar še
potrebujemo, je vrednost za vrtilno količino. Ker je
konstanta gibanja, jo lahko izračunamo v katerikoli
točki orbite. Najprikladnejše je v periheliju:
L =mdpvp =mdp
√√√√GM
(
2
dp
− 1
a
)
=ma(1− e)
√
GM
(
2
a(1− e) −
1
a
)
=ma(1− e)
√
GM
1+ e
a (1− e)
=m
√
GMa(1− e2). (13)
Sedaj lahko končno izračunamo časovno povprečje
obratne vrednosti r :
〈
1
r

=ma
√
1− e2 2π
t0
1
L
=ma
√
1− e2
√
GM
a3
1
m
√
GMa(1− e2)
= 1
a
.
(14)
Toliko računanja za tako enostaven rezultat! Ča-
sovno povprečje potencialne energije je tako enake
oblike kot potencialna energija telesa na krožni or-
biti s polmerom a:
〈U〉 =
〈
−GMm
r

= −GMm
〈
1
r

= −GMm
a
.
(15)
www.presek.si
         
P 49 (2021/2022) 524
SLIKA 2.
Kroglasta kopica NGC 1466, kot jo je posnel vesoljski teleskop
Hubble. Foto: ESA, NASA
Izračunajmo še časovno povprečje kinetične ener-
gije. Ker poznamo vis-viva enačbo (zadnja vrstica
iz 7), je to enostavno:
〈K〉 = 1
2
m
〈
v2
〉
= 1
2
GMm
(〈
2
r

− 1
a
)
= GMm
2a
.
(16)
In kot vidimo, ponovno velja 2〈K〉 + 〈U〉 = 0.
Literatura
[1] B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Introduction to mo-
dern stellar astrophysics, Addison-Wesley Publi-
shing Company, Inc., 1996.
[2] Messier 71, dostopno na en.wikipedia.org/
w/index.php?title=Messier_71&oldid=
961065192, ogled 22. marca 2022.
[3] Using the virial theorem: mass of a globular clu-
ster, dostopno na spiff.rit.edu/classes/
phys440/lectures/glob_clus/glob_clus.
html, ogled 22. marca 2022.
×××
Križne vsote
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s
števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za-
porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih
enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na
začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem
morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu)
različne.
5 22
12
8 14
9
7 17
9
7
12
19
21
8
̌ ̌ 
522
12
39
814
9
27
717
9
36
7
61
12
19
658
21
678
8
53
×××