ISSN 0351-6652 Letnik 20 (1992/1993) Številka 1 Strani 6-11
Marija Vencelj: CEVOV IZREK
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/20/1115-Vencelj.pdf
© 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
HRTEriRTIKFI
CEVOV IZREK
Med vsemi ravninskimi liki so se matematiki največ ukvarjali s trikotnikom, 2e stari Grki so vedeli, kako trikotniku oČrtati krožnico, to da gredo vse tri težiščnice skozi isto točko, da velja isto za višine in za kotne si-metrale, pa še marsikaj drugega,
Cevov izrek je zelo uporaben izrek, ki govor! o tem, kdaj imajo tri premice, ki potekajo skozi različna trikotnikova ogliŠČa, skupno točko. Je torej nekakšna posploŠitev izrekov o težišču. višinski točki in središču včrtane krožnice. Odkril in dokazal ga je v drugi polovici 17. stoletja italijanski matematik Giovanni Ceva (beremo Čeva).
Preden izrek navedemo, se bomo nanj nekoliko pripravili.
• Najprej se domenimo za nekaj oznak:
AB premica skozi točki A in 6 (.4, B) daljrca s krajlščema A in B AB usmerjena daljica z začetno točko A in
__ končno točko B
AB dolžina daljice (A, B)
m Delilno razmerje. Naj bo dana daljica AB in točka C 6 (A, B). Pravimo, da točka C deli daljico AB v razmerju AC : CB, Ta kvocient je neko pozitivno realno število zato lahko tudi rečemo, da točka C deli daljico AB v razmerju Očitno deli točka C usmerjeno daljico BA v razmerju —.
Ce je C =■ A, je \ = 0; ko gre C proti B, pa narašča delilno razmerje čez vse meje.
Pojem delilnega razmerja lahko posplošimo na vse točke premice AB. Za
C e AB, toda C ^ (A S), je delilno razmerje X, v katerem C deli usmerjeno daljlco AB, definirano takole:
\ = -AČ : CB
in je torej za točke C zunaj daljice (A,B) negativno. V obeh primerih
uporabljamo za delilno razmerje oznako ——, Torej je za C G AB:
C B
— -	za C e {A, B)
CB ~ {-AC :CB za C $ (/A, B)
Velja še: Dve različni točki delita daljico AB v različnih delilnih razmerjih. O tem se lahko s kratkim računom sami prepričate za vsak primer s slike 1 posebej.
CA	B	A C B	A	B C
—O —O— ■	~	.Q	O O	_C	O	O
a)	b)	c}
Slika 1
• Cevova premica. Premica, ki poteka skozi natanko eno oglišče trikotnika, se imenuje Cevova premica tega trikotnika.
Oglejmo si sedaj
Cevov 'i2rek. Naj bo A ABC trikotnik in K, L, M točke na premicah BC.AC in AB, različne od oglišč trikotnika Potem so Cevove premice A K, BL, C M ali vzporedne ali gredo skozi skupno točko natanko takrat, ko
je
AM BK CL _ ~MB ~KČ'TA~ '
Dokaz: Pogoj je potreben. Naj gredo AK, BL, CM skozi isto točko P. Skupaj bomo dokazali trditev za primer, ko je P notranja točka trikotnika A ABC. Sami poskusite na sličen način ugnati primer, ko leži P zunaj trikotnika ali ko so Cevove premice vzporedne (slika 2).
M 3
Naj bosta R in 5 presečišči premic AK in BL s premico skozi C, vzporedno AB (slika 3).
S	C
M M,
Slika 3	Slika 4
Opazimo lahko Štiri pare podobnih trikotnikov:
AC/.S~A/\ie, ACPS ~ AMPB,
Iz njih razberemo:
CL _ SC LA ~ AB'
AM	MP	MB
CR	PČ	CS
in od tod, ker je M e (A, B),		
AM	AM	ZR
(3)
(4)
MB MB CS
Nadalje je še:
BK _ ~BK _ ~AB
KC ~ W ~ ZR Z množenjem enačb (2), (3), (4) dobimo pogoj (1).
Pogoj je zadosten. Naj velja enačba (1). Potem so Cevove premice ali vzporedne ali pa obstaja točka P, ki je dvema premicama skupna. Naj bosta to AK in BL . Položimo skozi P novo Cevovo premico CMj (slika 4). Iz potrebnosti pogoja Cevovega izreka sledi:
A Mi BK CL
Mi B KC LA ~ "	1 3
Od tod in iz (1) dobimo
A Mi _ AM MiB ~~ ~MB'
Točki M in M\ torej delita usmerjeno daljico AB v istem razmerju. Ker
pa delilno razmerje točko natanko določa, je M = M\ in torej P £ CM, kar smo želeli dokazati.
Uporaba.
Težišče. Težiščnice trikotnika nasprotno stranico razpolavljajo, torej jo dele v razmerju 1, Ker je 1-1-1 = 1, gredo težiščnice skozi isto točko - težišče trikotnika.
Središče v črtane krožnice. Kotne simetrale dele trikotnikove stranice
v razmerju priležnih stranic, če so a, b, c dolžine trikolnikovih stranic, je
AM BK CL _ b c a _ MB ' KC ' LA~ a' b' c ' Kotne simetrale gredo torej skozi isto točko - središče včrtane krožnice.
Višinska točka. Za pravokoten trikotnik nimamo kaj dokazovati. Če je trikotnik ostrokoten, so podnožišča višin notranje točke nasprotnih stranic. Pri topokotnern trikotniku sta podnožišči višin, ki izhajata iz ostrih kotov, zunanji točki nasprotnih stranic, podnožišče tretje višine pa notranja točka. Vedno je torej produkt delilnih razmerij z leve strani formule (1) pozitivno število. Poglejmo še njegovo absolutno vrednost. Če so va, V5, vc trikotnikove višine, je
AM _ vc ~BK _ va ČT _ vb TA ~ vb' M~B ~ fc ' ~KČ ~ va '
Produkt levih strani teh enačb je absolutna vrednost leve strani enačbe (1), produkt desnih pa je enak 1. Višinska točka torej obstaja.
Gergonnova točka. Spojimo ogtišča trikotnika z dotikališči včrtane krožnice na nasprotnih stranicah. Ker sta tangenti iz dane točke na dano krožnico enako dolgi, imamo situacijo kot na sliki 5. VeM, AM , BK .CL Ve'Ja MB KT LA"7 7 x"L Torej gredo konstruirane Cevo-
ve premice skozi skupno točko G, Imenujemo jo Gergonnova
točka trikotnika.	z'
Omeniti velja še nekaj Že o-	Lp^
krog leta 100 je grški matematik Menelaj iz Aleksandrije dokazal na-	/ j
slednji izrek: Naj bo AABC trikotnik in K, L, M točke na premicah
BC,AC in AB, različne od oglišč /l	■'
trikotnika. Če so točke K, L, M ko-	x	m
linearne, je
Slika 5
Kasneje je bila dokazana tudi zadostnost pogoja (6) za kolinearnost točk K, L, M. Ta - Menelajev - izrek je nekakšen izrek dvojček Cevovega izreka. Zato se zdi kar neverjeto, da je med njunima odkritjema minilo poldrugo tisočletje. Pove pa ta podatek veliko o počasnem razvoju matematike v tem obdobju.
Za konec z uporabo Cevovega izreka rešite naslednji nalogi:
1.	naloga: Naj bodo AK,BL, CM tri take Cevove premice trikotnika A ABC, ki gredo skozi skupno točko. Krožnica skozi točke K, L, M seka tiosilke| trikotnikovih stranic BC, CA in AB zapored še v točkah K\, L\, Mi (slika 6), ki niso nujno različne od K, L, M, Dokaži, da gredo tudi Cevove premice AKi, B L\,
CMi skozi isto točko! (Nasvet: Uporabi potenco točke glede na kro-Žnico!)
2.	naloga: V ravnini naj bosta dani daljtca (A, B) in njej vzporedna premica p. Izven premic p in AB izberimo poljubno točko P in narišimo geometrijsko figuro kot na sliki 7.
Dokazi, da točka M razpolavlja daljico (A, B)!
(Opomba: Kot veste, običajno razpolavljamo daljico tako, da s še-stilom in ravnilom narišemo njeno simetrato. Tu smo uporabili le ravnilo! Res pa smo pri tem potrebovali "oporo" - podana je morala biti tudi vzporednica daljid (A, B).)
Stika 6
P
Slika 7