i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 211 — #1 i
i
i
i
i
i
KONGRUI VEČKOTNIŠKIH ŠTEVIL
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 11D09
Kongruum je tako naravno število N , za katerega obstajajo naravna števila x, y in
z, za katera velja y2 − x2 = z2 − y2 = N . Pokazali bomo, da lahko pojem kongrua
posplošimo, če kvadrate v definiciji ustrezno zamenjamo z večkotnǐskimi števili.
CONGRUA OF POLYGONAL NUMBERS
Congruum is a positive integer N , for which there exist positive integers x, y, and z
such that y2 − x2 = z2 − y2 = N . We will show that the concept of congruum can be
generalized by replacing squares in the definition by the corresponding polygonal numbers.
Uvod
Besedo kongruum je v matematiko vpeljal Leonardo iz Pise (1170–1250) v
svoji knjigi Liber quadratorum, ki jo je dokončal leta 1225 in je prevedena
tudi v angleščino. Njen prevod [2] je opremljen s številnimi opombami in
komentarji. Latinska beseda congruus pomeni soglasen, skladen, primeren,
prikladen. V Liber quadratorum obravnava Leonardo nekatere probleme,
ki so povezani s kvadrati naravnih in racionalnih števil. Eden od teh je
tudi problem kongrua, ki je bil v Leonardovem času že zelo star, saj je že
antični matematik Diofant v 3. stoletju v svoji knjigi Aritmetika obravnaval
podobne probleme, kasneje pa tudi perzijska matematika Al Hazin (900–
971) in Al Karadži (953–1029). Po Leonardu so se s problemom spopadali
še drugi, na primer Pierre de Fermat (1607–1665) in Leonhard Euler (1707–
1783). Problem še do danes ni v celoti rešen.
Naravno število N je kongruum, če obstajajo naravna števila x, y in z,
pri čemer je x < y < z, tako da veljata relaciji
x2 +N = y2, y2 +N = z2. (1)
Če iz zgornjih enačb izločimo N , dobimo enačbo x2 +z2 = 2y2, iz katere
sklepamo, da sta x in z iste parnosti.
Pri tem se poraja glavno vprašanje. Ali pri danem N naravna števila
x, y in z, ki zadoščajo enačbama v (1), sploh obstajajo in kako jih učinko-
vito najti? Izkaže se, da ni vsako naravno število kongruum. Že Leonardo
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6 211
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 212 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
iz Pise je v [2] dokazal, da nobeno kvadratno število ni kongruum. Dokaz ni
ravno preprost. Najdemo ga na primer v [3] pod iztočnico Kongruenčna šte-
vila. Slovenski avtorji si pri tem niso enotni: nekateri uporabljajo pridevnik
kongruenčen, nekateri pa kongruenten.
Do kongruov hitro pridemo s pitagorejskimi trojicami (a, b, c), kjer so
a, b in c naravna števila, a < b in a2 + b2 = c2. Števili a in b sta kateti, c
pa hipotenuza ustreznega pravokotnega trikotnika. Uporabimo enakosti, ki
sledita iz zadnje relacije:
(b− a)2 + 2ab = c2, c2 + 2ab = (b+ a)2. (2)
Za x = b− a, y = c, z = b+ a in N = 2ab sta izpolnjeni relaciji (1).
Na ta način dobimo vse kongrue. Če je namreč N kongruum, obstajajo
naravna števila x, y, z, pri čemer je x < y < z, tako da veljata enačbi (1).
Trojica (a, b, c) = ((z − x)/2, (z + x)/2, y) je pitagorejska, ker velja
a2 + b2 =
1
2
(z2 + x2) =
1
2
(y2 +N + y2 −N) = y2 = c2.
Za pitagorejsko trojico (a, b, c) pa očitno veljata enačbi (2).
Za najmanǰso pitagorejsko trojico (a, b, c) = (3, 4, 5) dobimo x = 1, y =
5, z = 7 in N = 24. Res veljata enakosti
12 + 24 = 52 in 52 + 24 = 72.
Pitagorejska trojica (a, b, c) je primitivna, če števila a, b in c nimajo
skupnega faktorja. V primitivni pitagorejski trojici (a, b, c) je eno od števil
a in b liho, eno sodo, število c pa je vedno liho. Primitivne pitagorejske
trojice (a, b, c) generiramo z dvema naravnima številoma p in q s formulami
a = p2 − q2, b = 2pq, c = p2 + q2,
kjer sta si p in q tuji števili različnih parnosti ter p > q. Če se pri tem
zgodi, da je a > b, števili a in b med seboj preprosto zamenjamo. Vsaka
pitagorejska trojica je produkt neke primitivne z nekim naravnim številom
(glej na primer [4]).
Hitro pa vidimo, da je za vsako naravno število λ število λ2N kongruum,
če je le N kongruum. Že Leonardo iz Pise pa je v [2] dokazal, da je število
24 najmanǰsi kongruum in da je vsak kongruum deljiv s 24. Slednje je
ugotovil z obravnavo števila N = 2ab v (2), ki ga je vzel v razstavljeni
obliki N = 4pq(p− q)(p+ q).
Neskončno zaporedje kongruov se začne s
24, 96, 120, 216, 240, 336, 384, 480, 600, 720, 840, 864.
Kongrue dobimo s formuloN = 2λ2ab z vstavljanjem katet a in b primitivnih
pitagorejskih trojic (a, b, c) in naravnimi števili λ. Kot smo že videli, je 24
kongruum, zato je kongruum tudi 96 = 22 · 24.
212 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 213 — #3 i
i
i
i
i
i
Kongrui večkotniških števil
Primer 1. Pitagorejska trojica (5, 12, 13) nam zaradi enakosti (2) da kon-
gruum 2 · 5 · 12 = 120, in sicer za x = 7, y = 13 in z = 17, kar nam prinese
72 + 120 = 132 in 132 + 120 = 172.
Omenimo še kongruentna števila. Naravno število M je kongruentno, če
obstajajo pozitivna racionalna števila x, y in z, pri čemer je x < y < z, tako
da veljata relaciji
x2 +M = y2, y2 +M = z2.
Enakovredna definicija sloni na relacijah (2). Naravno število M je kongru-
entno, če obstaja pravokotni trikotnik z racionalnimi stranicami in ploščino
M . Kongruentna števila so v tesni zvezi z eliptičnimi krivuljami. Več o tem
lahko preberemo na primer v [5].
Vsak kongruum je kongruentno število, vsako kongruentno število pa
ni kongruum, pač pa je produkt nekega kongruuma s kvadratom nekega
pozitivnega racionalnega števila. Neskončno zaporedje kongruentnih števil
se začne s
5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28.
Kongruentna števila dobimo prav tako kot kongrue N , ki jih delimo z nji-
hovimi največjimi možnimi kvadratnimi faktorji.
Primer 2. Pitagorejska trojica (9, 40, 41) nam da kongruum N = 2·9·40 =
720 = 122 · 5, zato je M = 5 kongruentno število. Za x = 31, y = 41 in
z = 49 veljata po (2) enakosti
312 + 720 = 412 in 412 + 720 = 492.
Če ju delimo z 122, dobimo(
31
12
)2
+ 5 =
(
41
12
)2
in
(
41
12
)2
+ 5 =
(
49
12
)2
.
To je neposredni dokaz, da je 5 kongruentno število. Rezultat je poznal že
Leonardo iz Pise in ga uporabil na matematičnem tekmovanju leta 1225 v
prisotnosti cesarja Friderika II.
Večkotnǐska števila
Večkotnǐska (mnogokotnǐska, poligonalna) števila V
(k)
n so povezana s pravil-
nimi k-kotniki in sestavljajo pri izbranem k neskončno številsko zaporedje,
ko n teče po naravnih številih. Zato številom V
(k)
n pravimo k-kotnǐska šte-
vila. Uvedemo jih kot n-te delne vsote aritmetičnega zaporedja s prvim
členom 1 in diferenco d = k − 2 (glej na primer ([1, 3])). Kot je znano, je
211–220 213
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 214 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
n-ti člen takega zaporedja enak 1 + (n− 1)(k− 2). Vsota prvih n členov pa
je enaka produktu aritmetične sredine prvega in zadnjega člena s številom
členov, torej
V (k)n =
n
2
(2 + (n− 1)(k − 2)). (3)
V posebnih primerih dobimo za k = 3 trikotnǐska števila Tn, za k = 4
kvadratna Qn in za k = 5 petkotnǐska Pn:
Tn = V
(3)
n =
n(n+ 1)
2
, Qn = V
(4)
n = n
2, Pn = V
(5)
n =
n(3n− 1)
2
.
Večkotnǐska števila V
(k)
n za n > 1 klasično ponazorimo kot število točk v
oglǐsčih in na stranicah n−1 pravilnih k-kotnikov v skupni ravnini. Pri tem
njihove stranice naraščajo v aritmetičnem zaporedju. Vsi k-kotniki imajo
skupno oglǐsče A, iz A izhajajoči stranici pa ležita na skupnih poltrakih s
krajǐsčem v A. Oglǐsča mnogokotnikov označimo z debeleǰso točko, nato
na stranice znotraj kota med poltrakoma dodamo toliko takih točk, da bo
število točk na vseh stranicah posameznih k-kotnikov enako. Število vseh
točk take figure je V
(k)
n . Pri tem je V
(k)
1 = 1 in V
(k)
2 = n za vsak k ≥ 3.
Na sliki 1 levo je predstavljeno četrto petkotnǐsko število. Številke na sliki
pomenijo, do kod je treba prešteti točke, da dobimo ustrezno petkotnǐsko
število. Prva štiri petkotnǐska števila so 1, 5, 12, 22.
Večkotnǐska števila lahko ponazorimo tudi pahljačasto. Vzamemo pol-
traka s skupnim krajǐsčem A. Poltraka naj oklepata primerno velik kot.
Nato v tem kotu med poltrakoma načrtamo krožne loke s sredǐsčem v A,
njihove polmere pa izberemo v aritmetičnem zaporedju. Na prvi lok in na
poltraka v enakih razdaljah nanesemo 1+(k−2) točk, na drugega 1+2(k−2),
. . . , na n-tega 1 + n(k − 2) točk. Vseh točk, skupaj z A, na taki figuri je
ravno V
(k)
n . Na sliki 1 desno je pahljačasto predstavljeno četrto petkotnǐsko
število.
Z večkotnǐskimi števili so se ukvarjali že pitagorejci, v 1. in 2. stoletju
Nikomah iz Gerase, v 3. stoletju Diofant iz Aleksandrije, kasneje pa tudi
Fermat, Euler, Lagrange, Cauchy in drugi.
V nadaljevanju članka uporabljamo pahljačasto predstavitev večkotni-
ških števil, ki jo je za večje k laže izdelati z računalnikom kot klasično, v
kateri uporabimo pravilne k-kotnike.
Kvadratna števila x2, y2 in z2 nastopajo v (1), to je v definiciji kongrua.
Sedaj pa v relacijah (1) nadomestimo kvadratna števila u2 z večkotnǐskimi
V
(k)
u za u ∈ {x, y, z} in k ≥ 3, pri čemer so x, y in z naravna števila, za
katera je x < y < z. Število N pa nadomestimo z nekim naravnim številom
N (k). Dobimo relaciji
V (k)x +N
(k) = V (k)y , V
(k)
y +N
(k) = V (k)z . (4)
214 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 215 — #5 i
i
i
i
i
i
Kongrui večkotniških števil
Slika 1. Klasična in pahljačasta predstavitev števila P4 = 22.
Če taka naravna števila x, y, z in N (k) obstajajo, bomo število N (k) ime-
novali k-kongruum. Običajni kongrui so 4-kongrui, ki smo jih definirali v
Uvodu. Videli smo, da le-ti obstajajo. Zastavlja se seveda vprašanje, ali ob-
stajajo k-kongrui za vse k ≥ 3. Za 3 ≤ k ≤ 12 se da ob pomoči računalnika
neposredno ugotoviti, da obstajajo.
Predpostavimo, da naravna števila x, y, z in N (k) v (4) obstajajo. Potem
se relaciji (4) z upoštevanjem formule (3) izražata takole:
x
2
(2 + (k − 2)(x− 1)) +N (k) = y
2
(2 + (k − 2)(y − 1)),
y
2
(2 + (k − 2)(y − 1)) +N (k) = z
2
(2 + (k − 2)(z − 1)).
Če ju preuredimo in odpravimo ulomke, dobimo enakovredni relaciji
(2(k − 2)x− (k − 4))2 + 8(k − 2)N (k) = (2(k − 2)y − (k − 4))2,
(2(k − 2)y − (k − 4))2 + 8(k − 2)N (k) = (2(k − 2)z − (k − 4))2.
Ker je k ≥ 3 in x ≥ 1, so števila
X = 2(k− 2)x− (k− 4), Y = 2(k− 2)y− (k− 4), Z = 2(k− 2)z− (k− 4)
in
M (k) = 8(k − 2)N (k)
naravna in zadoščajo sistemu diofantskih enačb
X2 +M (k) = Y 2, Y 2 +M (k) = Z2.
211–220 215
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 216 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Pri tem je X < Y < Z in M (k) običajni kongruum. Če izločimo M (k) iz
zgornjih enačb, dobimo diofantsko enačbo
X2 + Z2 = 2Y 2.
Enačba ima trivialno rešitev X = Y = Z = n za vsako celo število n. Ta ne
pride v poštev. Vemo pa tudi, da morata biti X in Z iste parnosti. Enačbo
pomnožimo na obeh straneh z 2 in jo zapǐsemo v obliki
(Z −X)2 + (Z +X)2 = (2Y )2.
To pa pomeni, da morajo števila Z −X,Z +X, 2Y sestavljati pitagorejsko
trojico. Zato obstaja primitivna pitagorejska trojica (a, b, c), kjer je a < b
in a2 + b2 = c2, in naravno število λ, tako da veljajo zveze
Z −X = λa, Z +X = λb, 2Y = λc.
Ker je v primitivni pitagorejski trojici (a, b, c) število c vedno liho število,
mora biti λ sodo število: λ = 2µ. Število µ je naravno. Potemtakem lahko
zapǐsemo
Z −X = 2µa, Z +X = 2µb, Y = µc.
Iz prvih dveh enačb izrazimo X in Z. Zapǐsimo po vrsti:
X = µ(b− a), Y = µc, Z = µ(b+ a).
To so naravna števila. Ustrezni kongruum je
M (k) = Y 2 −X2 = µ2(c2 − (b− a)2) = 2µ2ab,
ki je tudi naravno število. Nazadnje imamo
x =
µ(b− a) + k − 4
2(k − 2)
, y =
µc+ k − 4
2(k − 2)
, z =
µ(b+ a) + k − 4
2(k − 2)
. (5)
Tu pa nastane težava, ker števila x, y in z niso vedno naravna.
Da dobimo rešitev problema, je treba izbrati primitivno pitagorejsko
trojico (a, b, c) in naravno število µ tako, da bodo x, y in z naravna števila.
Pripomnimo, da so b−a, b+a in c liha števila. Za k-kongruum N (k) dobimo
preprost izraz
N (k) =
µ2ab
4(k − 2)
. (6)
Število M (k) = 8(k − 2)N (k) = 2µ2ab je običajni kongruum.
Pogoj, da je 8(k−2)N kongruum, je zato potreben pogoj, da je naravno
število N k-kongruum. Pogoj pa ni zadosten. Število 12 ni 3-kongruum,
216 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 217 — #7 i
i
i
i
i
i
Kongrui večkotniških števil
čeprav je 8 ·12 = 96 kongruum, saj je 22 +96 = 102 in 102 +96 = 142. Če bi
število 12 bilo 3-kongruum, bi morala veljati relacija (6), to je µ2ab/4 = 12
oziroma µ2 = 48/(ab), pri čemer je µ naravno število, a in b pa tuji si kateti
primitivnega pitagorejskega trikotnika. To pomeni a ≥ 3, b ≥ 4 in ab ≤ 48.
V poštev pride samo a = 3 in b = 4, kar nam da µ = 2 in po (5) necele x, y
in z. Zato 12 ni 3-kongruum.
Primeri
Iskanja k-kongruov si ne moremo zamisliti brez uporabe ustreznih računalni-
ških programov. Napisati je treba program, ki nam bo iskal pri danem k
naravna števila x, y in z po zgoraj razvitih formulah. Generiranje primi-
tivnih pitagorejskih trojic (a, b, c) s parametroma p in q ne dela težav. V
program vključimo tudi parameter µ. Vse tri parametre spreminjamo do
neke, morda precej visoke vrednosti, in prej ali slej nam le uspe najti na-
ravna števila x, y in z. To je sicer groba metoda, ki pa nam za manǰse k le
da rezultate. Oglejmo si nekaj izbranih primerov.
1. Za trikotnǐska števila Tn je 3-kongruum T = N
(3) = µ2ab/4 in pri
naravnih številih x, y, z, kjer je x < y < z, mora veljati
Tx + T = Ty, Ty + T = Tz.
Za neko primitivno pitagorejsko trojico (a, b, c) in naravno število µ morajo
biti števila
x =
µ(b− a)− 1
2
, y =
µc− 1
2
, z =
µ(b+ a)− 1
2
,
ki jih dobimo iz (5), naravna. Faktor µ mora biti liho število. Za primitivno
pitagorejsko trojico (a, b, c) = (8, 15, 17) in µ = 1 dobimo x = 3, y = 8, z =
11 in T = 30. Število 8T = 240 je običajni kongruum. Grafično ponazo-
ritev predstavlja slika 2. Slika tudi ponazarja, kako bi v grškem antičnem
gledalǐsču lahko posedli 30 v rdeče in 30 v modro oblečenih oseb, pri čemer
število sedežev z vǐsino narašča za 1, pri tem pa v rdeče oblečene osebe
polno zasedajo nekaj zaporednih vrst, takoj za njimi pa v modro oblečene
osebe polno zasedajo nekaj nadaljnjih zaporednih vrst.
Do takega problema pridemo tudi, če v zaporedju naravnih števil ǐsčemo
števila
x+ 1, x+ 2, . . . , y; y + 1, y + 2, . . . , z,
za katera velja
(x+ 1) + (x+ 2) + · · ·+ y = (y + 1) + (y + 2) + · · ·+ z.
211–220 217
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 218 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 2. T3 + 30 = T8, T8 + 30 = T11.
Najmanǰsi tak primer je 1, 2; 3 za x = 0, y = 2 in z = 3, ker je 1 + 2 = 3. Ta
izjema je v skladu s 3-kongruum, če privzamemo, da je T0 = 0.
Za pitagorejsko trojico (a, b, c), v kateri je b−a = 1, je lahko x katerokoli
naravno število ali 0. Za (a, b, c) = (3, 4, 5) vzamemo µ = 2x+ 1 in dobimo
y = 5x+2 in z = 7x+3. Ustrezni 3-kongruum je T = 3(2x+1)2. Prav tako
z (a, b, c) = (20, 21, 29) za µ = 2x+ 1 dobimo 3-kongruum T = 105(2x+ 1)2
in y = 29x+ 14 ter z = 41x+ 20. Števila 8T so, kot smo že videli, običajni
kongrui. To se pravi, da so števila 24(2x + 1)2 in 840(2x + 1)2 običajni
kongrui.
Opazimo, da je v teh primerh 3-kongruum T deljiv s 3. Ni pa težko
dokazati, da je vsak 3-kongruum deljiv s 3. Neskončno zaporedje 3-kongruov
se začne s 3, 15, 27, 30, 42, 75, 90, 105, 135, 147, 165, 243, 252.
2. Za kvadratna števila Qn je 4-kongruum Q = N
(4) = µ2ab/8 in pri
naravnih številih x, y, z, kjer je x < y < z, mora veljati
Qx +Q = Qy, Qy +Q = Qz.
Za neko primitivno pitagorejsko trojico (a, b, c) in naravno število µ morajo
biti števila
x =
µ(b− a)
4
, y =
µc
4
, z =
µ(b+ a)
4
,
ki jih dobimo iz (5), naravna. Faktor µ mora biti deljiv s 4. Za primitivno
pitagorejsko trojico (a, b, c) = (3, 4, 5) in µ = 8 dobimo x = 2, y = 10, z = 14
in Q = 96. Grafično ponazoritev predstavlja slika 3.
3. Za petkotnǐska ali pentagonalna števila Pn je 5-kongruum P = N
(5) =
µ2ab/12 in pri naravnih številih x, y, z, kjer je x < y < z, mora veljati
Px + P = Py, Py + P = Pz.
218 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 219 — #9 i
i
i
i
i
i
Kongrui večkotniških števil
Slika 3. Q2 + 96 = Q10, Q10 + 96 = Q14.
Za neko primitivno pitagorejsko trojico (a, b, c) in naravno število µ morajo
biti števila
x =
µ(b− a) + 1
6
, y =
µc+ 1
6
, z =
µ(b+ a) + 1
6
,
ki jih dobimo iz (5), naravna. Faktor µ mora biti liho število. Za primitivno
pitagorejsko trojico (a, b, c) = (33, 56, 65) in µ = 1 dobimo x = 4, y =
11, z = 15 in P = 154, ki je najmanǰsi 5-kongruum. Običajni kongruum je
število 24P = 3696. Grafično ponazoritev predstavlja slika 4.
Slika 4. P4 + 154 = P11, P11 + 154 = P15.
211–220 219
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 220 — #10 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
4. Tako lahko nadaljujemo s kongrui v nedogled. Za primere vze-
mimo šestkotnǐska ali heksagonalna števila V
(6)
n = n(2n − 1), sedemko-
tnǐska ali heptagonalna števila V
(7)
n = n(5n − 3)/2, osemkotnǐska ali ok-
tagonalna števila V
(8)
n = n(3n − 2), devetkotnǐska ali eneagonalna števila
V
(9)
n = n(7n−5)/2, desetkotnǐska ali dekagonalna števila V (10)n = n(4n−3),
enajstkotnǐska ali hendekagonalna števila V
(11)
n = n(9n− 7)/2 in dvanajst-
kotnǐska ali dodekagonalna števila V
(12)
n = n(5n−4). V tabeli navajamo po
en primer za 4 ≤ k ≤ 12. Dobljeni so ob pomoči računalnika. Več primerov
bi zahtevalo veliko dalǰsi članek.
k (a, b, c) (x, y, z) µ N (k)
4 (3,4,5) (1,5,7) 4 24
5 (33,56,65) (4,11,15) 1 154
6 (20,21,29) (1,22,31) 6 945
7 (65,72,97) (1,10,14) 1 234
8 (33,56,65) (8,22,30) 4 1232
9 (133,156,205) (2,15,21) 1 741
10 (88,105,137) (11,86,121) 10 28875
11 (279,440,521) (63,203,280) 7 167090
12 (95,168,193) (15,39,53) 4 6384
Za konec
Problemi v zvezi s k-kongrui so približno enaki kot s klasičnimi kongrui. Ali
obstajajo k-kongrui za vsa naravna števila od 3 naprej? Katera števila so
k-kongrui? Kako jih učinkovito najti? Kako poiskati ustrezna števila x, y
in z? Ali imajo k-kongrui neko uporabnost?
Za najvztrajneǰse pa še splošna naloga. Za naraščajoče aritmetično za-
poredje (ak)
∞
k=1 z diferenco d, kjer so ak naravna števila, izdelajte metodo
za iskanje indeksov x, y in z (x < y < z), za katere velja enakost
ax+1 + ax+2 + · · ·+ ay = ay+1 + ay+2 + · · ·+ az.
LITERATURA
[1] E. Deza in M. Deza, Figurate numbers, World Scientific, Hackensack (NJ) 2012.
[2] L. P. Fibonacci, The book of squares, Academic Press, Boston in drugje 1987. Prevod
L. E. Sigler.
[3] J. Grasselli, Enciklopedija števil, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana 2008.
[4] I. Vidav, Algebra, Mladinska knjiga, Ljubljana 1972.
[5] I. Vidav, Eliptične krivulje in eliptične funkcije, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana 1991.
220 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6