Zb.gozdarstva in lesarstva, L.17,št.2 s. 351-392, Ljubljana 1979 
UDK 634.0.561(083) 
O RASTNIH FUNKCIJAH 
Mag.Anton CEDILNIK, prof.matematike 
asistent 
VTOZD za gozdarstvo, Biotehniška fakulteta univerze E.Kardelja 
v Ljubljani 
61000 LJUBLJANA, Večna pot 83, YU 
351 
S i n o p s i s 
O RASTNIH FUNKCIJAH 
Ta sestavek ima namen z matematičnega stališča osvetliti lastnosti 
funkcij, ki jih gozdarji, agronomi in biologi uporabljajo za opis 
rasti nekaterih količin, kot višinska, debelinska, prostorninska 
rast dreves v odvisnosti od časa in podobno. Navadno uporabljajo 
za ponazoritev teh procesov elementarne, odsekoma analitične funkcije, 
ker na takih lahko uporabimo metode aproksimacije eksperimentalnih 
podatkov. Vendar take funkcije le grobo kažejo dejanska dogajanja 
v majhnih intervalih neodvisne spremenljivke. Zato bi bilo treba 
postaviti trdnejše temelje in kriterije za določevanje tipov funkcij, 
ki bi bile primerne za opisovanje katerih koli pojavov te vrste. 
S y n o p s i s 
ON GROWTH FUNCTIONS 
This article discusses from a mathematical point of view properties 
of functions that are used by forest engineers, agronornists and 
biologists for description of growth of some quantities like growth 
of height, thickness, or velurne of trees in dependence of tirne etc. 
To illustrate these processes normally the elementary piecewise 
analitical functions are used, because with these functions methods 
of approximatton of experimental data can be applied. Nevertheless, 
those functions only rouglhy show the actual events in the small 
intervals of an independent variable. It is necessary then, to 
apply more solid foundations and criteria to determine the types of 
more appropriate functions which could describe any of the phenomena 
of this kind. 
352 
o R A S T N I H F U N K C I J A H 
PREGLED VSEBINE 
o 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
Izvleček , Synopsis 
Uvod 
Pojem rastne funkcije 
Subjektivni čas 
Konvergenca rastnih funkcij 
Biološka rast 
Karakteristične funkcije 
Primer: debelinska rast drevesa 
Literatura 
Zusammenfassung 
353 
352 
354 
356 
361 
364 
370 
379 
382 
389 
390 
O. UVOD 
V [8]na straneh 28 in 33 najdemo pogoje, ki jim mora 
ustrezati rastna krivulja. Vendar ti pogoji večinoma ne vzdr-
žijo kritike, če jih podrobneje prediskutiramo. Poglejmo si 
nekatere. Avtor dela [SJ citira predvsem dva pisca, Peschela 
in Todorovica. 
Peschel trdi, da mora funkcija izhajati iz koordinat-
nega izhodišča z vrednostjo O, Todorovic pa, da ima tam zelo 
majhno vrednost/!'- (velikost semena). Obe trditvi sta le for-
malnega značaja, saj je matematično gledano popolnoma vseeno, 
kje funkcijo začnemo. Ti zahtevi torej ne bi smeli biti ka-
rakteristiki rastne krivulje. 
Peschel zahteva, da funkcija izhaja iz izhodišča z od-
vodom O, ~odorovi6 pa, da je tam odvod bodisi O, oo ali neka 
pozitivna vrednost. Očitno je, da Peschel zahteva preveč (po 
njegovem bi moral biti še celo drugi odvod enak O), Todorovi6 
pa zahteva le, da funkcija pri majhnih vrednostih neodvisne 
spremenljivke narašča. 
Desno od koordinatnega sistema naj bi bil kvečjemu en 
prevoj. Dejstvo pa je, da ima lahko rastna krivulja drevesa 
s kolikor toliko burnim življenjem prav presenetljivi število 
prevojev, oziroma ekstremov prirastne krivulje. Ta zahteva je 
zato zelo huda idealizacija. 
Avtorja izrecno dopuščata možnost, da ima rastna kri-
vulja asimptoto, ki ni del krivulje, torej da so prirastki 
poljubno pozno še vedno neničelni. Ker je vsako življenje ča­
sovno omejeno, je ta možnost nesmiselna. 
Pri tem pa avtorja spregledata dejstvo, da o topolou-
kih lastnostih teh krivulj oziroma ustreznih funkcij nič ne 
povesta. Oba kar brez utemeljitve implicitno zahtevata ana-
litičnost, kar je premočna zahteva, da bi jo ~rivzeli brez 
komentarja. 
Vidimo, da so postulati za rastne funkcije, ki jih po-
dajata omenjena pisca, pa še mnogi drugi, zelo neživljenski 
354 
in tudi slabo formulirani. Zdi se, da so ti postulati name-
njeni nekemu zakonu realne analitične oblike, ki nqj pokaže 
splošno tendenco rasti drevesa, zanemari pa slučajne devia-
cije. Vemo pa, da je faktorjev, ki vplivajo na rast, slučaj­
nih in neslučajnih, toliko, da je iskanje takega zakona za 
individualno rast pri današnji stopnji znanosti utopija. 
Mnogi avtorji uporabljajo takšne večparameterske funk-
cije zato, da z njimi po različnih metodah, največkrat po 
metodi najmanjših kvadratov, aproksimirajo dejanske podatke 
za posamezen objekt opazovanja. Trdijo, da tako lahko izra-
čunajo nl'ljrA.zličnejše podatke ter da je tak na:čin podajanja 
bolj nazoren. Tisto o nazornosti je seveda iz trte izvito, 
kar se pa izračunavanja tiče, nam numerična analiza ter ra-
čunalniki omogočajo delo neposredno s podatki in nam ni tre-
ba obdelovati funkcije, katere smiselnost in natančnost sta 
v večini primerov dvomljivi. 
Verjetno je takšno delo smiselno le, če opa~ujemo 
rast večje množice osebkov, na primer rast enodobnega sesto-
ja (višina v odvisnosti od časa) ali starega sestoja (višina 
v odvisnosti od debeline). V tem primeru je analitična pred-
stavitev rasti poenostavitev, ki ni bistvena izguba informa-
cije, ker so že podatki zelo variabilni in netočni; izraču­
namo pa lahko nekatere količine, naprimer zrelost sestoja, 
za katere je to že po definiciji edini način izračunavanja. 
Seveda pa je treba vse rezultate, vštevši samo krivuljo, kon-
trolirati s statističnimi testi. 
No, tudi v tem primeru moramo dobljeni odsekoma ana-
litični krivulji odreči pravico do tef,a, da bi bila nekakšen 
naravni zakon. Je le bolj ali manj uporaben in običajno ne 
posebno zanesljiv zapis statistično ugotovljenih dejstev, po 
svoje nič boljši od krivhlje, povlečene na "oko" z roko. 
V naslednjem sestavku bomo poskušali definirati najprej, 
kaj sploh so rastne funkcije, nato pa še pokazati, kakšne la-
stnosti naj bi imele tiste rastne funkcije, ki prikazujejo. 
makroskopske biološke procese. Postavili bomo tudi ustrezne 
definicije za nekatere količine, za katere menim, da so bile 
doslej definirane preohlapno. Na koncu pa bomo še pokazali 
355 
'primer, kako lahko direktno iz podatkov, zbranih na terenu, 
izrRČunamo omenjene količine. 
Večine izrekov ne bomo dokazovali, ker so dokazi ali 
zelo preprosti ali izpeljani v navedeni liter'3.turi, za goz-
darje pa so precej nez~nimivi. 
Ker sem matematik, ne bi mogel napisAti tep;n. sestavka 
brez obilne in ljubeznive pomoči kolegov gozdarjev, še po-
sebno V. Puhka, za kar sem jim zelo hvaležen. 
l. POJEI'l RASTRE FUNKCIJE 
Naj bo R = r(t) neka opazovRna količina, ki se spre-
minja s Čl:l.som (ali kako drugo neodvisno količino), pri čemer 
je r povsod definirana realna funkcija realne spremenljivke t. 
Za količino R postavimo naslednje p~edpostavke: 
količina R ne pada (rje monotono nara~čajoča funkcija); 
količina Rje navzdol in navzgor omejena, spodnja meja je 
O (eksistirata inf r(t) = O in sup r(t) = V <oo ); 
vsako spremembo količine H ugotovimo šele potem, ko se je 
7.e izvrHila (rje z leve zvezna funkcija). 
Če k temu dodamo ue pogo,j, dA. je V = 1 , je funkcija r ravno 
poraz<lelitvena funkcija. Torej lahko definiramo: 
DEl"INICIJA l. Rastna funkci,ja je vsaka funkcija r oblike: 
7 
r(t) = V.F(t) , V~ O (1) 
kjer je F neka porazdelitvena funkcija. 5tevilo V ir.ie-
nujemo končna velikost dRne rqsti. 
ObrR.tno so torej porazdelitvene funkcije tiste raR tne funk-
cije, katerih končna velikost je l. 
Oglejmo si nekaj osnovnih lastnosti rastnjh funkcij! 
Najprej še enkrat zapišimo začetne predpostavke: 
356 
('r. 1) Povsod definirana realna funkcija r je rastna funkci-
ja natanko tedaj, ko je: 
(a) monotono naraščajoča, 
(b) z leve zvezna, 
(c) lim r(t) = o lim r(t) = v~ o . (2) 
t-+-n> t • oo 
Funkcija totalnega razmaha (totalne variacije) realne 
funkcije f je definirana takole: 
t ll 
_:_',f = supl: /f(ti) - f(ti_1 )/ ( 3) 
la l 
kjer gre supremum po vseh možnih delitvah 
- oo < t
0 
<: t 1 < ..• < tn = t • Totalni razmah: 
V f = lim 1 f • Razred funkci,j z omejenim totalnim razma-
-oo t • oo -oo 
hom označujemo z BV. Podrazred z leve zveznih funkcij zlimi-
to O, ko p;re argument v - ro , pa označujemo z NEV (normalizi-
rRne funkcije iz BV). 
(T. 2) 
(T. 3) 
7 
(T. 4) 
7 
('r. 5) 
7 
lfaj bo r rastna funkcija. Tedaj je: r e NBV in 
r(t) 
t 
(r = V r je sGma sebi funkcija totalneF,a raz-
-<ll:> 
00 
maha). Totalni razmah: V r 
•'10 
:; v (končna velikost). 
Vsaka monotono naraščajoča funkcija iz NBV je rastna 
funkcija. 
V vsaki točki eksistirata leva in desna limita rastne 
funkcije. Leva limita je enaka funkcijski vrednosti. 
Množica točk nezveznosti je kvečjemu števna ([7], 161). 
Rastna funkcija rje skoraj povsod (glede na Lebesgu-
ovo mero) odvedljiva in odvod je integrabilna funkcija: 
r'E:t1 (TR.) ([7],166). 
y je pozitivna omejena Borelova mera natanko tedaj, ko 
je funkcija 
r( t) = .\' ( (- oo, t)) (4) 
357 
rastna furikcija. Pri tem je r zvezna natanko v tistih 
točkah t, k,jer je: ~({t}) = o . v splošnem je: 
~C{ t}) = lim r(-r:) - r(t). ( [7] , 163) 
'l"~t 
('r. 6) Naj bo f povsod definirana realna funkcija. f E NBV 
7 natanko tedaj, ko je: f r 2 neki rastni funkc:i.,ii. 
t 
Dokaz. Naj bo V f funkcija totalnega -oo . razma.hn funkc:ije f E NBV 
in definirajmo funkciji: a(t) ( t 
-w 
b(t) = ( ~ 
-oo 
f ""' a - b, a(--oo) '" b(-ro) ""O 
f + f(t))/2 
f - f(t))/2 
(5) 
a in b sta z leve zvezni funkciji, če je le f taka. Prav tako 
sta obe funkciji monotono nR.raščajoči in zato rastni. O 
Sevedn ta razstavitev funke:i.je f na dve rastni funkciji 
ni enolična. Ker je NBV vektorski prostor, se da BOrnja trditev 
še razširiti: 
(T. 7) Rastne funkcije tvorijo v NBV goncrirajoč konveksni 
·---7 stožec. 
Kot pri porazdelitvah razlikujmo med diskretnimi in 
nediskretnimi rastmi ter izmed slednjih odlikujmo zvezno rast. 
DEFINICIJA 2. Rast je diskretna, če narašča ras-tna funkcija 
samo v skokih. Rast je zvezna, če je rastna funkcija 
absolutno zveznn, torej če eksistira taka funkcija p, 
da je pe..l
1
(7R..) in je: 
t 
r(t) = J p(1:')d1:' • 
-oo 
Funkcijo p imenujemo prirastna funkcija. 
Funkcija p je enolično določena le kot element prostora 
~l(TR.,) • 
(6) 
(T. 8) Rastna funkcija zvezne rasti rje zvezna in celo ena-
1 komerno zvezna. r'(t) • p(t) skoraj povsod (simboli-
358 
čno: dr = p(t)dt ). Geje p na nekem intervRlu zve-
zna (oziroma skoraj povsod enaka neki zvezni funkciji), 
je r tam ~vezno odvedljiva. 
(T. 9) Naj bo p prirastna funkcija neke zvezne rasti z rast-
no funkcijo r. Tedaj je p(t)~O skoraj povsod. 
00 
J p(t)dt = V (končna velikost) (7) 
-ou 
Če je V p O , je p(t)/V gostota porazdelitve, katere 
porazdelitvena funkcija je r(t)/V. 
Če je p pri absolutno dovolj velikih t zvezna funkci-
ja, velja: lirn t.p(t) = O 
t-Hex> 
(8) 
DEFINICIJA 3. Naj bor rastna funkcija s končno velikostjo 
V> O • 
(a) Z = inf { t 
K sup { t 
r(t)>O} 
r(t)<O} 
začetek rasti, 
konec rasti. 
Rast, pri k<1.teri eksistirata Z in K, imenujmo 
omejena rast. 
(b) Naj Z eksistira. Povprečni prirastek je funkcija 
p(t) = lim r(-r)/(~-Z) (9) 
't" JI' t 
Naj K eksistira. Rastni potencial je funkcija 
p*(t) = lim (V-r(1:'))/(K-~) (10) 
't" ~ t 
Pri omejeni rasti naj bosta obe definiciji iz točke (b) le na 
intervalu [z,K] ' 
saj velja: 
p(Z-"t') p*(K+ 'i:') o in (11) 
p(K+ "t') = p*( z- -r) = V/(K-Z+-r) ' 
V-r: > O 
' 
(12) 
zaradi česar izven tega intervala funkciji nista zanimivi. 
Če Z ali K ne bosta eksistirala, bomo to zapisali ta-
kole: Z= - oo ali K = o:, • 
V naslednjih petih trditvah naj pomenijo oznake isto 
359 
kot v Definiciji 3. 
(T.10) Z= max {t; r(t) =o}, K= inf {t; r(t) = v} (13) 
1 Z~ K; pri zvezni rasti je: Z< K. 
(T.11) p(t))O, Vt>Z; p•(t)>_O, Vt<K. 
p(t) =O', Vt~Z p*(t) =O, Vt~K 
p(±oo) = p*(.:too) = O • 
p(t) = r(t)/(t-Z) , Vt J Z. (14) 
Pri omejeni rasti je: ~(K)= p*(Z) = V/(K-Z). (15) 
Kvocient D = V/(K-Z) imenujemo končhi povprečni prirastek. 
(T.12) p je z leve zvezna funkcija (leva limita je enaka 
funkcijski vrednosti). Povsod razen morda v točki Z 
e~sistira desna limita, ki je večja ali kvečjemu enaka 
funkcijski vrednosti. Poleg morebitne nezveznosti v Z 
je množica točk nezveznosti ista kot pri funkciji r. 
Funkcija p je skoraj povsod odvedljiva. 
(T.13) p* je z desne zvezna funkcija. Povsod razen mordR v 
točki K eksistira leva limita, ki je večja ali kvečje­
mu enaka funkcijski vrednosti. Poleg morebitne nezvez-
nosti v K je množica točk nezveznosti ista kot pri 
funkciji r. Funkcija p~ je skoraj povsod odvedljiva. 
Trditvi T.12 in T.13 sledita iz trditev T.3 in T.4. 
(T.14) Naj bo rast zvezna. Funkcija p (oziroma p*) je na 
komplementu poljubno majhne odprte okolice točke Z 
(oziroma K) absolutno zvezna. Skoraj povsod je: 
p'(t) = [p(t).(t-z) - r(t)]/(t-z)2 (16) 
in p*'(t) = [v - p(t).(K-t) - r(t)J/(K-t) 2 • (17) 
360 
2. SUBJEKTIVNI ČAS 
Funkcijo s: 'iR.,-:,,. lllu{-00,00} imenujmo progresivna 
funkcija, če je r(s(t)) rastna funkcija za vsako rastno funk-
cijo r. Definicijo razumimo tako, da je r(-oa) = O in 
r( oo) "' V • 
(T.15) Funkcija s: 7R, _,,. Ru {-co, 00 } je progresivna funk-
cija natanko tedaj, ko ima naslednje štiri lastnosti: 
(a) je monotono naraščajoča, 
(h) z leve zvezna, 
(c) lim s(t) = - 00 in (1) 
t-+-00 
(d) lim 
t-+ oO 
s(t) = 00 (2) 
Dokaz. Dokažimo najprej, da progresivna funkcija s res ima 
te lastnosti. 
(a) Denimo, da s ni monotono naraščajoča funkcija. Tedaj ek-
sistirata t 1 in t 2 , da je tl .( t2 in s(t1 ) '> s(t2) • 
Testirajmo to funkcijo na naslednji rastni funkciji: 
r( t) = { ~ , t ~ a a = [s(t1 ) + s(t2)]/2 (3) , t > a 
Potem velja: r(s(t1 )) = 1 r(s(t2)) =O, zaradi česar 
funkcija r(s(t)) ni monotono naraščajoča in s tem tudi 
ne rastna. 
(b) Naj ne bo funkcija s v točki t
0 
z leve zvezna. Prva mož-
nost je, da eksistira 
zvezna, je s(t
0
)) a 
lim s(t) = a. Ker s ni z leve 
t /1 t 0 
zaradi monotonega naraščanja. Tes-
tirajmo jo na rastni funkciji 
361 
r( t) = { 01 ' t i a ( 4) 
, t > a 
r(s(t
0
)) = l_= lim r(s(t)) = r(a) =O. 
t 1' t 0 
Druga možnost: s(t) = -oo , Vt <t
0 
, s(t
0
) = a)-oo • 
r(t) = {01 ' t ~ a-1 (5) 
, t > a-1 
r(s(t
0
)) = r(a) = 1 = lim r(s(t)) = r(-oo) = O • 
t;, t 0 
Drugih možnosti ni, ker ima naraščajoča funkcija vedno 
limito, razen če gre v oo, tedaj pa smemo smatrati funk-
cijo s za zvezno v tej točki. 
(c) Nl'l.j bo s(- 00 ) = a > - oo • Testirajmo to funkcijo na pri-
meru (5): O = r(s(-oo)) = r(a) = 1 • 
Točko (d) dokažemo na isti način. 
Če je sedaj r(t) pol,iubna rastna funkcija in s(t) 
funkcija, ki izpolnjuje pogoje od (a) do (d), brez težav 
preverimo, da je r(s(t)) res rastna funkcija. Pri tem upo-
rabimo trditev T.l • o 
Kot poseben primer omenimo, da je r(~t-~) rastna funk-
cija spremenljivke t za vsBko rastno funkcijo r, realen~ in 
~>o • 
(T.16) Bodita gin r dve rastni funkciji z lastnostima: 
(a) g(ou) = r(oo) =V, (6) 
(b) g je strogo naraščajoča zvezna funkcija. 
Tedaj eksistira natanko ena progresivna funkcija s, 
da je: r(t) = g(s(t)) (7) 
Če sta funkciji gin r poleg tega še povsod odvedlji-
vi, je odvedljiva tudi funkcija s(t) in je: 
s'(t) = r'(t)/g'(s(t)) • (8) 
Dokaz. Ker je g strogo naraščajoča funkcija, eksistira eno-
362 
-1 
lična, točno določena inverzna funkcija g Tedaj velja: 
g-1(r(t)) = g-1 (g(s(t))) = s(t) • (9) 
her je funkcija g-l definir11na na intervalu [o, vj (pri tem 
imamo v mislih razširjeno definicijo: g-1 (0) = - oo, g-1 (v) 
= oo ), je kompozitum g-1o r povsod definiran in s tem je 
tudi s natanko določena funkcija. 
Če je g odvedljiva funkcija, je taka tudi g-1 • Kompo-
zitum dveh odvedljivih funkcij je spet odvedljiva funkcija. 
-1 s= g o r, torej je funkcija s odvedljiva. Odvajajmo enač-
bo r(t) g(s(t)) r'(t) = g'(s(t)).s'(t) o 
Torej lahko sleherno rastno funkcijo izrazimo z eno 
samo primerno rastno funkcijo in ustrezno progresivno funk-
cijo. Od te rastne funkcije zahtevajmo preprostost (v topo-
loškem smislu seveda), recimo kar analitičnost. Seveda mora 
biti strogo naraščajoča, njena končna velikost pa naj bo l. 
DEFINICIJA 4. Bodi dana nekonstantna rast R = r(t) s kon-
čno,velikostjo V. Subjektivni čas z osnovo g količine 
Rje progresivna funkcija S r, ki ustreza enačbi: g, 
g(S (t)) = r(t)/V. g,r (10) 
Pri tem je osnova g neka strogo naraščajoča analiti-
čna porazdelitvena funkcija. 
Iz izreka T.16 sledi, da ima vsaka nekonstantna rast subjek-
tivni čas ne glede na osnovo. Velja še: s (t) = t g,g (11) 
Pri omejeni rasti bomo subjektivni čas definirali le 
na intervalu [z,KJ . 
(T.17) Naj bor rastna funkcija s končno velikostjo V in s 
7 
subjektivnim časom sg,r" Obe funkciji imata nezvezno-
sti in neodvedljivosti v istih točkah. Velja še: 
r( t) = O natanko teda,i ko je sg,r( t) = - oo 
363 
1 r(t) = V nRtanko tedaj,ko je sg,r(t) • oo • 
Poglejmo si še dva primera osnove! 
Primer l. g(t) = 0,5 + J.arctg !2. , 
sg,r(t) = ~ 2 .tg z za O :<·r(t) <V . 
Pri tem je: z = 1t[r(t)/V - 0,5] 
Primer 2. g(t) = 0,5 + g>(t) 
~(t) = (27t)-l/2}:\-x2/2dx. 
o 
sg,r(t) •z+ z3/3l + 7z5/5! + 12?z7/71 
+ 233593z11/ll! + ••• 
z = ·f21r-.[r(t)/V - 0,5] 
Vrsta konvergira za. lzl <Y?r:/2' • 
3. KONVERGENCA RASTNlH FUNKCIJ 
(12) 
(13) 
(14) 
(15) 
(16) 
(17) 
(18) 
Poglejmo si rastne funkcije s stališča funkcionalne 
analize. V ta namen se d~govorimo za naslednjo oznako: 
BV0 • { f e BV ; f'(- 1X>) • O } • ( 1) 
(T.18) BV0 je komutativna algebra brez enote. Pri tem sta 
(T.19) 
Dokaz. 
adicija in multiplikacija običajno seštevanje in mno-
ženje funkcij po točkah. Če adjungiramo enoto 1, do-
bimo prostor BV, ki je tudi komutativna algebra. Raz-
red NEV je podalgebra algebre nv0 • 
BV0 je normiran prostor z normo: 1/fll = 
... 
v f . (2) _,.. 
o.., 
(a) l/f/1 = O =} v f = o _...., ~ f = o . 
/j()(..fj/ = V (oc.f) '(,<, (b) = Jr:(.I. v f = lotl.llfll . _.,., _.., 
+ g 11 = v (f + °" oQ ll gll (c) ur g) ~ v f + v g .. llf/1 + . • -oo _.,., _.., 
(T.20) Bv0 je normirana algebra. 
Dokaz. Definirajmo funkcije: 
364 
a(t) 
t 
+ f(t))/2 b(t) 
t 
(3) .. ( v f = ( V f - f(t))/2 -,;o _.,, 
- ( ~ g + g(t))/2 d(t) t (4) c(t) = ( V g - g(t))/2 
-m -co 
Vse štiri funkcije so za f ,g E BV0 monotono naraščajoče. 
f • a - b g a C - d • 
6d 
V f • 1 im ( a + b ) • a ( oo ) + b ( 00 ) 
-oa t-+OO 
"" . 
V g = l im ( c + d) = c ( oo ) + d ( oo ) 
-
00 t-+ou _f (f.g) • -! [(ac + bd) - (ad + bc)J ~ 
"" .., 
< V (ac + bd) + V (ad + bc) • = -~ -~ 
(5) 
(6) 
Funkciji ac + bd in ad + bc sta spet monotono naraščajo­
či, zato: 
l_..J 
V (ac + bd) = lim (ac + bd) = a(oo ).c(oo) + b(= ).d(oo) , 
- "° t-+ao 
enako tudi druga funkcija. Zato velja z upoštevanjem (5) in 
(6): 
o.:, 
V (f.g) ~ a(oo).c(ocJ) + b(oo).d(oo) + a(oo).d(oo) + 
+ b ( oo ) • c ( oo ) = ( a ( oo ) + b ( "° ) ) • ( c ( ao ) + d (~ ) ) = 
"" ..., 
= Vf.Vg. 
-oo ... od 
Torej: /lf.g// ~ //f/1.//g//. 
(T.21) Bv0 je Banachova algebra. 
(7) 
(8) • 
Dokaz. Dokazati je treba, da je prostor BV0 poln. Naj bo 
{ fn1 z,3poredje, ki ustreza Cauchyjevemu pogoju: _ 
VE.>O ,3N(E)E.N: p,q>N(E) ~ llrP- rql/<f (9) 
Zaporedje seveda konvergira po točkah (in celo enakomerno): 
00 
11 fp - fq 11 = v c r - r ) < E ~ 1 r c t) - r c t) 1 < E , Vt • 
-oa p q p q 
NRj bo f limita po točkah tega zaporedja: f(t) = lim fn(t) • 
n-+ao 
Dokažimo, da je f tedaj tudi limita v variacijskem smislu, 
torej da je: VJ> O~ ;]M(S)G/N/ n > M(cl') =:> 1/f - fn/1 = 
= _! (f - fn) < S • Pa vzemimo nasprotno! Denimo, da eksi-
stira tako število A > O , da je: _! (f - fn) ~ A za nes-
končno mnogo indeksov n. 
365 
°" ,oq v (f - fn) = v (f - fm + f - fn) & 
-ao 
_,,, m .. , 
(f fm) v (f - fn) .e. v + = . _.., -oo m 
"" (9) Ker je v (f - fn) po poljubno majhno število za dovolj 
··"" m 
"" (f fm) velika indeksa m,n ' 
je tedaj število v - še vedno --
približno A ali kvečjemu večje. Zato velja: 
_y (f - fn) ~ A > O , Vn > n
0
, kjer je n
0 
dovolj velik in-
deks. Označimo: f - fn = gn. Tedaj je gn zaporedje funkcij, 
ki po točkah konvergira proti O, ustreza variacijskemu Cau-
chyjevemu pogoju: Ve> O , 3 N(&) i; /NI: p,q > N(E) ~ 
- = ~ V (g - g )<E, in zadošča pogoju: V g ~ A> O od 
-oo p q -oo n -
nekega indeksa n
0 
dalje. Iz te zadnje trditve izhaja, da ek-
sistira taka delitev D realne osi: -(>O < t
0 
< t 1 < ... < tr< 00 , 
da velja: ,Z;jgn(tk) - gn(tk_1 )1 ? A - A/10 (10) J) 
za nek indeks n > max{n
0 
,N(€ )} , kjer naj bo N( &) število v 
Cauchyjevem pogoju, ustrezajoče E = A/10. 
Ker zaporedje gn konvergira po točkah, zagotovo eksistira tak 
člen zaporedja gm' m >N(e), za katerega velja: 
(11) 
A/lO = E >_E (gn - gm) ~ f jgn(tk) - gm(tk) - gn(tk-1) + 
+ gm ( tk-1) 1 ~ IJ [I gn ( tk) - gn ( tk-1) l - ( 1 gm ( tk) 1 + 
D 
+ lgm(tk_1 )/ )J ~ ~jgn(tk) - gn(tk_1)1 - 2r.A/(20r) ~ 
1' 
~ A - A/10 - A/10 = 8A/10 ( z upoštevanj ero ( 10) in ( 11)). 
To protislovje dokazuje prvotno trditev, da je f tudi varia-
cijska limita zaporedja fn. Ker je f limita po točkah zapo-
f(-oo) 
o.> 
redja fn' velja: = o . Poleg tega pa je še: v f = _,,,, 
"" 
.,.. oO 
BV0 • D v (f - fn + f ) ~ v (f - fn) + V f < 00 ~ f -uo n -oo -oo n 
Direktna posledica izreka: 
(T.22) Če je {fn} zaporedje, konvergentno v smislu norme v 
1 BV0 , je: V (liro f) m lim V f • (12) 
-oo n~~ n n~~ -~ n 
366 
(T.23) Normirajmo BV z normo: 
II C>l .1 + f II = 1 "<-/ + II f II , f e: BV0 • (13) 
BV je tedaj komutativnR Banachova algebra z enoto. 
Označimo z ABV množico absolutno zveznih funkcij iz BV0 • 
(·r.24) AilV ,je podalgebra normirane algebre NBV in s tem tudi 
1 BVo. 
(T.25) ABV je Banachov prostor, izometrično izomorfen prosto-
! ru Je 1 (R) • 
Dokaz. Izometrični izomorfizem med prostoroma ABV in .X1 ( i'R.,) 
naj bo odvajanje. Vemo, dA. če je f,:;; ABV, je f'.c; ,~
1
(Ji<.,). 
f' pravzaprav ne eksistira povsod, vendar ga h1.hko določimo 
skoraj povsod, kar pa zadostuje. Operator odvajanja je torej 
dobro definiran na vsem ABV. Poleg tega je surjcktiven, saj 
t . 
če je g ".;t1 (7R) , je f( t) = J g(-c-)d ~ element iz ABV in je --
f' = g skoraj povsod ([3], 192). 
Seveda je pa tudi injektiven, saj je očitno integriranje 
t J g('t')d -r ravno inverzni operator. 
-~ o.., i 
f<=ABV ~ llfil • V f = lim V f = lim /M./((-"",t)) (14) -~ t •~ - t •~' 
( [7], 163), kjer je lc-1 totalni razmah realne Bore love mere f-, 
definir<:Jne z enačbo: f(t) = fC(- ""',t) • (15) 
t 
Ker lahko zapišemo: f(t) = J f'(~)d-r , torej velja: t _.,,, 
e,((-oo,t)) = j f'('t')d~ • (16) 
-~ t 
'l'edaj pa je: lt-lC(-oo,t)) = 1,lf'('t')/d't' '= (17) 
iz česar sledi: llfll = ~11! 1:1 f'('t)/d't = _[ lf'(-c)ld't- = 
= llf'l/1 • Ker sta torej prostora ABV in ~ 1 (7ic) izometrično 
izomorfna in je k-1 ( ]K) Banachov prostor, je to tudi ABV. O 
(T.26) Odvajanje ': BV ~ ,'.i, 1 ( 7R.) je surjektiven linearni 1 operator, ki krči slike: II fj/BV ~ II f 'II 1 • 
Dokaz. Naj bo f E BV • Vemo, da eksistira taka funkcija 
367 
gE;NBV, da ,ie: f(t) = g(t) + c za vse točke zveznosti 
funkcije f in da velja dvoje: ( (7], 161): 
f' = g' skoraj povsod , V f ~ V g • 
-oo ...,,,. 
(18) 
g pa lahko zapišemo v obliki vso~e:([7], 166): 
t 
g(t) = gs(t) + _f g'('t')d'"t' , (19) 
pri čemer je gs singularni del funkcije g, ki ni padajoča 
funkcija, če g ni. 
Vzemimo še, da ,ie g = a - b , kjer sta a, b E NBV ne-
padajoči funkciji, definirani kot v dokazu trditve T.6. 
t t 
a(t) = as(t) + _-!, a'('?:)d~, b(t) = bs(t) + _J b'(~)d 't'" • 
g' = a' - b' • 
C)l,J ~ b<,) C<) 
llfllBV = _r f ~ _V.,, g = _v_. a + _'f. b = ti1!. a(t) + ~~.., b(t) 
oo 00 
= lim as(t) + liro bs(t) + J a'(t)dt + f b'(t)dt ~ 
t •~ t •~ -- --
~ j[a'(t) + b'(t)Jdt ~jfa'(t) - b'(t)ldt „ jlg'(t)ldt = 
-oo -oo -oo 
_[/f'(t)ldt = //f'//1 o 
(T.27) NBV je Banachova algebra. 
Dokaz. Dokazati je treba le, da je prostor NBV poln. Naj bo 
{rn} Cauchyjevo zaporedje v NBV, ki v BV0 konvergira k f. 
V f > O , 3n
0 
: 1/fn - f /1 ~ f/2 za n, ki je večji ali enak n
0
• 
Naj bo še t
0
E R in V(t
0
) taka okolica, da je: 
/fn/t) - fn
0
(t
0
)/ ~ E/2 , Vt e: (:?(t
0
) , t ~t
0 
, ker je funk-
cija fn
0 
z leve zvezna. Tedaj pa za ista t in t
0 
velja: 
/f(t) - f(t 0 )/ = /[r(t) - fn (t)] + [fn (t) - fn (t0 )]/ i o o o 
~ E/2 + E/2 = € , iz česar sledi, da je tudi f z leve zve-
zna funkcija. o 
Trditve T.19 - T.21 in T.25 - T.27 sem dokazoval, 
čeprav so ti rezultati poznani; to pa zato, ker nisem našel 
primernih dokazov v literaturi. 
368 
(T.28) 
Sedaj pa zberimo vse povedano v naslednjem izreku. 
Limita zaporedja (absolutno zveznih) rastnih funkcij 
7 je v topologiji norme llfll „ v f spet (absolutno zvezna) rastna funkcija. 
Ta izrek pravzaprav ne pove zelo veliko, saj je konvergenca 
po normi (2) strožja celo od enakomerne konvergence. Zato do-
dajmo še eri izrek. 
(T.29) Limita enakomerno konvergentnega zaporedja 
7 intervalu zveznih) rastnih funkcij je spet tervalu zvezna) rastna funkcija. 
(na nekem 
(na tem in-
Pri tem je zaporedje {fn} enakomerno konvergentno, če za vsak 
E > O najdemo tak indeks n
0
, da je: /fp(t) - f
4
(t)/< E za 
vsqk t. Izrek temelji na dejstvih, da je limita zaporedja ne-
padajočih funkcij nepadajoča in da je enakomerna limita zapo-
redja (z ene strani) zveznih funkcij prav taka funkcija ((7], 
69). 
Kot smo videli, smo v zvezi z rastnimi funkcijami sre-
čali kar štiri Banachove algebre. Ta matematična lepota nam 
obljublja precejšnjo pestrost posledic naše definicije rast-
nih funkcij. Po drugi strani pa je ta definicija še vedno ta-
ko široka, da lahko z veliko gotovostjo trdimo, da bo ustreza-
la praktično vsem pojavom te vrste, ki jih utegnemo srečati v 
makroskopskem svetu. 
V biologiji, ekonomiji in tudi drugih vedah večkrat o-
pazimo, da vsak pojav spremljata dva tipa količin: prve doga-
janje pospešujejo, druge ga pa zavirajo. Če označimo z r 1 vso-
to učinkov prvega tipa količin in z r 2 vsoto učinkov drugega 
tipa, sta r 1 in r 2 v dovolj majhnem intervalu neodvisne spre-
menljivke (običajno časa) rastni funkciji. Količina, ki opisu-
369 
je dogajanje, je tedaj ravno razlika r 1 - r 2 • Iz trditve 
T.6 pa tedaj sledi, da bomo iskali funkcije za opis omenjenih 
pojavov v razredu NBV ali kvečjemu v razredu BV. 
4. BIOLOŠKA RAST 
Poskusimo sedaj definirati rastne funkcije, ki naj po-
nazarjajo rasti bioloških količin. Zahtevali bomo absolutno 
zveznost rastnih funkcij, saj je vsak prirastek vsota infini-
tezimalno majhnih prirastkov in je zato smiselno govoriti o 
prirastni funkciji. Ker so prirastki končni in niso trenutni, 
je prirastna funkcija omejena. Nihanj in skokov v priraščanju 
je le končno mnogo in smemo privzeti, da ima prirastna funk-
cija omejen totalni razmah, kar se sklada tudi z domnevami, o-
menjenimi na koncu prejšnjega razdelka. Prirastna funkcija je 
element prostora ~ 1(7R), zato moramo upoštevati, kadar govo-
rimo o njenih lastnostih, da obravnavamo le en primerek iz raz-
reda, ki ga ta funkcija predstavlja. 
D~FINIOIJA 5. Naj bo R = r(t) nekonstantna zvezna rast s po-
gojem: r' , BV (1) 
(po korekciji na množici z mero O). Prirastno funkcijo 
definirajmo sedaj bolj določeno: 
p(t) = [lim r'("t') + lim r'(1!)]/2 • 
't"ftt 't"\it 
Izraz v(t) = lim p(i::-)/V.100%, 
'l:''.li't 
(2) 
(3) 
kjer je V končna velikost opazovane količine R, vze-
mimo kot mero za vitalnost (glede na količino R, 
ne pa ~lede na cel objekt opazovanja). Odvod 
q(t) == p'(t) 
imenujmo rastni pospešek. 
370 
(4) 
Pri omejeni rasti naj bodo te funkcije definirane le na in-
tervalu [Z,K]. 
Najprej dokažimo naslednjo lemo: 
(T.30) Naj bo f E BVn ~l (7R) • Tedaj ,ie f po Riemannu in-
! tegrabilna in celo absolutno inter,rabilna funkcija. 
Dokaz. Funkcija f ima omejen totalni razmah na vsakem konč­
nem intervalu in ~e zato da povsod izraziti kot razlika dveh 
omejenih monotono naraščajočih funkcij: f = r 1 - r 2 • Vsaka 
omejena monotona funkcija na za~rtem intervalu je po Rieman-
nu absolutno integrabilna ([3], 37, 163), torej eksistirata 
b b 
Riemannova integrala I 1 = J jf1(t)jdt in 12 = J jr2(t)/dt 
a b a 
in zato eksistira tudi Riemannov integral J / f( t)/dt~l1 + 12 
a 
z8 vsak interval [a,b]. Nato definiramo posplošeni intefcral: 
t t J lr(~)/d~ = liro J jf(~)/d~ • Integral pod limitnim znakom 
- oo C?-oo C 
eksistira za vsak c, torej se moramo prepričati le še, da ek-
sistira limita. Ta eksistira, če le lahko za vsak E > O najde-
b' 
mo tak l'l, da ,ie: J I f(t)jdt < f za b,b' ~ I"i • 
b 
l'inožica Cc('lit) zveznih funkcij s kompaktnimi nosilci 
je gosta v prostoru ~ 1 (7R,) glede na običajno metriko ([7J, 
68), zato eksistira zaporedje {r;nl c C/ 7R,) , katerega li-
mita v tej metriki je funkcija lf(t)I. Za vsak E1> O torej b' 
eksistira tak N, da je: J / gn ( t) - / f( t)l/dt ~ 
~ b 
~ Jign(t) - 1 f(t)/ldt ~ E1 za vsak n~N • Funkcija gn(t) je _.., 
seveda pri tem po Riemannu integrabilna in je zato prvi inte-
gral Riemannov. Velja še: za vsak E2 > O eksistira tak M', da b' 
,je: j f gn(t)dt / < e2 , za b,b' ~ M' • Sedaj pa lahko ocenimo: 
b' b b' 
J / f(t)l dt = J [ gn(t) + ( lf(t)/ - gn(t))Jdt ~ 
b b 
371 
(za n>N). 
Če vzamemo: €1 = E2 = E/2, pa še: N = N' , je s tem trditev 
že dokazana. 
Na enak način pomaknemo še zgornjo mejo v neskončnost. 
Razumljivo pa je, da če je funkcija absolutno integrabilna, 
je tudi integrabilna. • 
V obratni smeri izrek ne velja. Primer: 
00 
f( t) = {l , t E J 
O, drugod 
Pri tem je: 1 = U [n-2-n, n+2-nJ 
n=l 
00 OI> 
J r(t)dt "' f lr(t)I dt = 
-oo -. 00 
.., 
~ -n L...J 2.2 = 2 
n=l 
Toda: V f = oo 
V naslednjih izrekih naj bo R = r(t) zvezna rast s po-
gojem r' E BV, z, K, i in p* količine iz definicije 3., če 
seveda sploh ek~istirajo, p in q pa funkciji iz definicije 5. 
(T.31) rje odvedljiva funkcija povsod razen v točkah nezvez-
·nosti funkcije p, ki pa jih je največ števno mnogo. 
t 
Velj~: r(t) = J p(~)d~ (integral je Riemannov). (5) 
-co 
Funkcija p je s funkcijo r natanko določena. p je ome-
jena funkcija in p( t) ~ O , Vt • p je skoraj povsod 
odvedljiva funkcija in velja: q ";L:1 ( iR.) • 
(T.32) p (oziroma p*), če seveda obstaja, je omejena funkci-
ja, zvezna povsod razen morda v točki Z (oziroma K), 
kjer je nezvezna podobno kot funkcija p: 
lim p(,:) = lim p("t') , lim p*("t') = lim p(rc) • (6) 
"t'~Z ?~Z ~~K ~,K 
Zato sta funkciji p in p* iz BV. 
(T.33) Funkcija p (oziroma p*) je odvedljiva povsod razen v 
točkah nezveznosti funkcije p in morda v Z (oziroma 
K). V točkah odvedljivosti velja formula 
p'(t) • p(t~: ~(t) oziroma p*'(t) • p*(tf - ~(t).(7) 
372 
(T.34) V točkah zveznosti funkcije p veljata naslednji logi-
čni ekvivalenci: 
p(t) ima stacionarno točko ~ p(t) = p(t) ; 
pic(t) ima stacionarno točko ~ p"(t) = p(t) • 
Izven točke Z oziroma K velja za p oziroma pv: 
p(t) strogo narašča 4=d;, p(t) < p(t) 
p(t) strogo pada~ p(t)>p(t) ; 
p*(t) strogo narašča ~ p*(t) > p(t) 
p*( t) strogo pada <====) p*( t) < p( t) ; 
p(t) ima lokalni minimum (oz. maksimum)~ razlika 
p(t) - p(t) spremeni predznak od+ na - (oz. od 
- na +) ; 
p*(t) ima lokalni minimum (oz. maksimum) ~ razlika 
p*(t) - p(t) spremeni predznak od - n'a + (oz. 
od + na -) • 
Za točke zveznosti funkcije p velja izrek zaradi formul (7), 
izven teh točk pa zaradi zveznosti funkcij p in p~. 
(T.35) V točkah, kjer je p(t) = p(t) (oz. p*(t) = p(t) ), 
gre tangenta na krivuljo r(t) skozi točko (Z,O) (oz. 
(K,V) ). Krivulji p = p(t) in p* = p*(t) (če le 
obe hkrati eksistirata) se sekata na intervalu (Z,K) 
natanko v tistih točkah, kjer se sekata krivulja r • 
= r(t) in premica skozi točki (Z O) in (K,V). 
Še nekaj smemo brez dvoma zahtevati od biološke rasti, 
namreč da ima začetek in konec. Dodajmo torej še ta pogoj in 
definira,imo: 
DEFINICIJA 6. Nekonstantna zvezna rast R = r(t) 
7 ka, če je omejena in je izpolnjen pogoj: korekciji na množici z mero O). 
373 
je biološ-
r' E BV (po 
Za t:;ako rast definirajmo na intervalu [z,K]: 
{t p(t)~ p(t) & p*(t)> p(t)} inicialna faza rasti; 
{t p(t)&r p(t) & p~(t)~ p(t)} o:etimalna faza; 
{t p(t)>p(t) & p*(t)~p(t)J terminaln::i. faza; 
{t p(t) > p(t) & p*(t) >p(t)} stacionarna faza; 
, Oznake v tej definiciji naj pomenijo isto kot že prej. Seveda 
ni nujno, da določena faza sploh eksistira (da ni prazna mno-
žica). 
(T.36) 
7 
(T.37) 
7 
V naslednjih izrekih naj bo rast biološka. 
Z je točka inicialne ali optimalne faze, K pa točka 
optimalne ali terminalne faze. Če stacionarne faze ni, 
je :funkcija p na (Z,K) strogo pozitivna in je zato tam 
rastna funkcija strogo n'lraučajoča. 
na intervalu (Z,K) velja, da merl poljubnima točkama ini-
cialne in terminalne faze vedno leži vsaj ena točka op-
tim3lne ali stacionarne faze. 
Dokaz. Vzemimo nasprotno, da eksjstirata točki inicialne in 
t;ormini:ilne faze, med katerima ni nobene točke drugih dvoh 
f,1z. lnterval med njima razdelimo na pol in izberimo tisto 
nolovico, ki ima krajišči v različnih fazah. Ta postopek nq-
dnl;ju,imo, tako dl'l dobimo zaporerlje vloženih interv'llov, ka• 
terih presek je točka, ki je bodisi v inicialni bodisi v ter-
minalni fflzi in v katere še tako majhni okolici je vsaj ena 
točka drur,e faze. 
Denimo, da je ta točka, označimo jo s t
0
, v inicialni 
fazi. Tedaj velja: p(t
0
) ~p(t:;
0
) , p*(t
0
) >p(t
0
) • (8) 
Obenem pa lAhko za vsak E> O najdemo tak S~ O , da je 
l8l<f in p(t
0 
+ &)> p(t
0 
+ 8) , p*.(t
0 
+ G)11tp(t
0 
+ 8) 
374 
torej da je t
0
+ J' v terminalni fazi. NAj bo fn = 1/n in 
k vsakemu n poiščimo ustrezni Sn. fp~(t
0
+ Sn) - p(t
0
+ Sn)} 
je zaporedje nepozitivnih števil z limito 
p~(t
0
) - lim p(t
0
+ $n) ~ O , (9) 
n-+"" 
{p(t
0
+ 8n) - p(t
0
+ 8n)} pa zaporedje pozitivnih števil z 
limito: p(t
0
) - lim p(t
0
+ 8n)?; O. (10) 
n-+-
Iz (9) sledi: p(t
0
) < p*(t
0
) ~ lim p(t
0 
+ ~n) , iz (10) pa: 
n-+-
p(t
0
) ~ p(t
0
) ~ lim p(t + 8) . To pa je protislovje. 
n-+"" o n 
Analogno dokažemo, da t
0 
tudi ne more biti točka ter-
minalne faze. • 
Za poznejšo uporabo navedimo tukaj nekaj primerov bi-
ološke rasti. 
Primer 3. p(t) = t.(l + sin t 2 ) 
Z „ O ~ t ~ -i/71r:/2 = K 
Primer 4. 1 t = o = z in t = l 
2 o < t < 1 
p(t) .. t - l ' 1 < t < 15 15- 1 ,i1J~t<3 
(-{5 - 1)/2 
' t = 3 
= K 
Primer 5. 
{~ - t 
' 
t = o = z in 1 ~ t < 2 
p(t) .. o < t < 1 
0,5 t = 2 = K 
(T.38) V točki Z (oz. K) je funkcija p lahko zvezna. Če je, 
7 je to točka inicialne (oz. terminalne) faze. 
Dokaz. Naj bo p v Z zvezna. Iz trditve T.32 sledi: 
p(Z) = O "' p(Z) ~ p(Z) , pio<(z) = V/(K-Z) > O „ p(Z) • 
Analogno dokažemo terminalnost točke K. 
Eksistenco funkcije P., zvezne v Z in K, pa podaja Primer 3. d 
375 
Označimo posamezne faze z njihovimi začetnicami: 
I, O, T in S. 
(T.39) 
7 
Med fazami so dovoljeni vsi stiki razen TI. Stiki, v 
katerih je funkcija p lahko zvezna, pa so vsi razen 
IT. 
Dokaz. Po T.36 stik TI na more biti niti v Z niti v K, torej 
je nujno na intervalu (Z,K). Tam pa po T.37 ne more biti. 
Primer 3. ima zvezne stike IO, OI, IS, SI in OT. 
Rast p(K - t) iz istega primera ima še zvezne stike TS, ST 
in TO. 
Primer 4. ima zvezen stik SO, rast p(K-t) iz istega primera 
pa še preostali stik OS. 
Po T.37 stik IT ne more biti na intervalu (Z,K). Prva 
možnost je, da je v inicialni fazi točka z, nadaljne točke 
pa že v terminalni fazi. Tam pa velja: p~(t) ~ p(t) • Ker 
pa je p~(Z) = V/(K-Z) (T.11), je nezveznost tu. Podobno je, 
.če je stik IT v točki K. Da pa ta stik sploh eksistira, kaže 
Primer 5. o 
(T.40) Vsaka faza je bodisi prazna množica bodisi končna ali 
1 števna unija disjunktnih intervalov. 
Pri tem razumemo kot interval tudi posamezno točko. 
Dokaz. Funkciji. p - p in p - p* sta iz BV, zato imata 
kvečjemu števno mnogo sprememb predznaka. Zato je tudi sti-
kov med fazami kvečjemu števno mnogo, kar že dokazuje izrek. • 
(T.41) Inicialna, stacionarna in terminalna faza si nikoli 
7 ne sledijo v tem vrstnem redu. 
Dokaz. Naj bo I (oz. S oz. T) interval inicialne (oz. stacio-
narne oz. terminalne) faze. Na I velja: p(t) ~ p(t) , na 
s u T pa p pada (po T.34). Torej eksistira točka t
0
, da je: 
376 
p(t
0
) ~ sup p(t) (supremum na IuSuT). Po drugi strani pa 
p* na IuS narašča, na T pa je: p*(t) ta p(t) • ·rorej eksi-
stira t 1 ' T , da je: p(t1 ) ~ sup p*(t) (suprernurn na isti 
množici). Napišimo te trditve: 
sup p(t) ~ p(t
0
) < p*(t
0
) ~ sup p*(t) ~ p(t1 ) < p(t1 ) • 
To pa ,je protislovje in izrek je dokazan. o 
(T.42) 
7 
Zapišimo posledico izrekov T.37 in T.41. 
Na intervalu (Z,K) je med dvema točkama inicialne in 
terminalne faze (v tem vrstnem redu!) vsaj ena točka 
optimalne faze. 
(T.43) Naj si faze na danem intervalu sledijo v temle vrstnem 
1 redu: OST. Tedaj je funkcija p tam nezvezna. 
Dokaz. Na prehodu iz optimalne v stacionarno fa7,o se funkci-
je Pip in p* sekajo, nato pa p* strogo raste, p pa strogo 
pada. Prav zaradi strogih ocen ne vsebuje ta del stacionarne 
faze samo ene točke. Pri prehodu ST bo torej veljalo: p(t)< 
< p"' ( t) , kar pa ni res, saj bi moralo biti ravno obratno. O 
(T.44) Naj si faze na danem intervalu sledijo v naslednjem 
1 vrstnem redu: ISO. Tedaj je funkcija p tam nezvezna. 
Dokaz. Denimo, da je p zvezna na tem intervalu. Funkcija 
p1(t) = p(K-t) je seveda tudi zvezna, vsebuje pa zaporedje 
OST, kar pa po T.43 ni mogoče. • 
(T.45) Naj si faze na danem intervalu sledijo v naslednjem 
1 vrstnem redu: OSO. Tedaj je funkcija p tam nezvezna. 
Dokaz. Na prehodu OS so p, p in p* enake, pozneje pa p pada 
in p~ narašča, tako da velja: p~(t) > p(t) > p(t) , pri če­
mer se razlika p~ - p v desno povečuje. Toda na prehodu SO 
naj bi bile funkcije spet enake, kar kaže na protislovje. O 
Upoštevajmo vse tri zadnje trditve, pa lahko povemo 
377 
naslecln,j i iz rek; 
(~.46) Jodita I in~ in&ervala inicialne 0~. &er~i~21~0 • 
(v tem vrstnem redul), ~et njima nac ~~ bo ~o~c~0 _ -
čke teh dveh faz več, fun.kcija :P p':l naj bo .1a I, '::: ::.:. 
-rovsod vmes zvezna.·Tedaj pripada ves vmesni interval 
optimalni fazi. 
2e nekaj besed o elastičnosti bioloGke rastne funkci-
je! Koeficient elastičnosti. ne_k(:) ~·unkci,ie y = f(x) je de-
finiran takole: Ey/Ex = (x/y).(dy/dx) • (:.1) 
Zanimala nas bo elastičnos·t; rastne fi....nkcije r na intervalu 
(Z,K). Elastičnost je odvisna od lee;e izhodiciČa (O,o). zr,t;, 
vzemimo: Z= O • Tedaj velja: Er/~t = p(t)/p(t), (:;.2: 
toda le kjer je p zvezna. 
(T.L~7) Naj bo rast biološka, Z= O, funkcija p zvezna na 
(O,K) in t točka iz tega intervala. 
a) r(t) je elastična (1 < Er/l!:t<""') ~ p(t) > p(t, 
b) r(t) je na meji elastičnosti (br/Lt = 1) < ~ 
< ;> p(t) = p(t) ; 
c) r( t) je neelastična (O ~ :I::r/Et < l) ~ -;:>(t) , 
< p(t) ; 
d) r( t) ,ie elastična ali na Jlleji elastičnosti ~ 
~;> t ;;G v inicialni ali opti.w.alni fazi ; 
e) r( t;) ,je r,ee::.ast:Uina ..:;;;--;> t je v terminaln:. a:.i 
st~cionar~i fazi; 
~/ lim ~r/.~t = : , 
t :s o 
l iT;. 
t; /4 :.~ 
E:r/:,t = .r ... , . 
V
-.J..lm. 
tJ'J.\ 
p(t) • 
'l ~rirneru, da je .::, r \.. 0orao elastičnost definirali ta-"0:!., 
-,'/.;v = i. t - Z)/p( t. - Z) • 
• rimerr.0 auliciran bo izrek •:i:.47 le vedno veljal. 
378 
5. KAR.i\K1rBRISTIČNE J!'UN.KCIJE 
Večkrat obravnavamo količine, katerih rast vsaj r,a 
nekem intervalu precej pravilno niha; Poznavanje osnovne 
periode takšnega nihanja je seveda zelo pomembno.za diskusi-
jo dane količine. Nalogo, kako iz dane rastne funkcije dobi-
ti take osnovne periode in intenzivnosti pripadajočih nihani, 
poskusimo rešiti s Fourierjevo analizo. 
Prav tako kot v teoriji verjetnosti de_finirajmo karak-
teristično funkcijo dane rasti. 
DEFINICIJA 7. Naj bo R = r(t) rastna funkcija količine R. 
7 Karakteristična r;nkcija te rasti je p(x) = (21C)-112 J eitxdr( t) (1) - 00 
Integral v definiciji je Stieltjesov. 
Iz verjetnostne teorije vemo, da veljajo naslednje 
trditve. 
(T.48) l-laj bo p(x) karakteristična funkcija rasti r(t) s kon-
čno velikostjo V. 
a) p eksistira (za vsako rast!). 
b) Definicijsko območje p je cela realna os. 
c) jp(x)j~V.(27i:)-l/2 , Vxc 7R, ; p(O) = V.(2-ir)-l/2 • (2) 
d) p je na /R,enakomerno zvezna funkcija. 
e) p(-x) = p(x) , Vxe'!R.. • 
f) p je realna funkcija natanko tedaj, ko je 
r - V/2 liha funkcija. 
(3) 
g) rje s p natanko določena. Če je r zvezna v točkac 
379 
a in b, a <b , velja: 
c -ibx -iax 
r(b) - r(a) = i. (27r)-l/2 .lim s-e;.;.._ __ -_..::::e __ p(x)cix 
C-r"" X -c 
(integral je Riemannov). 
Dokaze najdemo v [2], 216, 217, 22T - 226. 
(T.49) Naj bor rastna funkcija zvezne rasti, p prirastna 
funkcija in p karakteristična funkcija. Velja: 
C,0 
p(x) = (2,r)-1/2. J eitxp(t)dt 
-oo 
(Če gre za biološko rast, je integral Riemannov). 
Velja še: lim f>(x) =O. 
x • :too 
Dokaz najdemo v [1<i} , 108, 109. 
(5) 
(6) 
(T.50) Ce ,ie pe,;e 1 (/R.), je rast zvezna (funkcija rje ab-
solutno zvezna) in je: -p( t) = ( 271'.)-112• J e-ixtf>(x)dx (7) 
skoraj povsod, pri čemer je integral na desni Rieman-
nov in predstavlj& zvezno funkcijo spremenljivke t, 
zaradi česar smemo vzeti, da je p zvezna funkcija • 
.::iokaz je v [7], 186, 187, in v [2], 226 - 228. 
Izrek T.50 je sicer zelo ele6unten, vendar je velja-
ven le v zelo specialnem primeru in vsebujo težko prever~jiv 
po~oj. Zato navedimo precej nplošnejši izrek! 
(~.51) Naj bo p prirastna funkcija zvezne rasti in p ustre-
zna karakteristična funkcija. Tedaj velja za skorai 
vsak t E ·m._: 
C 
p(t) (27r)-l/2 .lim J (1 _ lxl) .e-ixt .p(x)dx 
c-.oo -c C 
6e je p E BV , velja celo za vsak t "7R. : 
p(t) 
C 
(27r)-l/2 .l::..lč; S e-ixt .p(x)dx 
C-,,;,o -c 
(9) 
380 
00 U) 
„ 1 S dx. S p(z) .cos x(~-t:,c:z 
7C o -.:v 
00 , 
.. (2/7c) 112 ~ jp(x) l .cos x(t- Y~x))ci.x 
o 
I - -. "-
\,L.;.) 
( ,(x) je pri tem smerni kot ~OD)le~snecu ;tevila p(x)). 
Dokaz (8) in (9) je v [11] , 12-lG. Vsi i;ite[..;rali v izre,rn so 
Riemannovi, posebej intec;1'al v (lO) Zhrč,cli leme T.30. V (9) 
smo upoštevali, du je p(t) ";!;Lrlir:i p(-c-) + lim p(1:')1 po 
2 'ti"t 't"'>it ~ 
definiciji 5. Formuli (10) in (11) sleditu iz (9) z upoute-
vnnjem Eulerjeve formule, formule (5) ter sodosti oziroma 
lihosti kosinusa in sinusu, pa !'.le forrilule (3), iz katere sle-
di, da stn /p(x)I in lf (x)/x socli .runkciji. 
Formula (10) je ena od oblik Fourierjevee;u izreka. 
Za bioµ_o/Jko rast bomo torej uporabljali formule (9), 
i 
(10) in (11)/tak~ne, kakr~ne so, le notranji intecral v (10) 
bo imel končni meji - od Z do K.. Venda'r pa le velja zn 'bio-
loško rast nekuj več kot za poljubno rast s poe;ojem p E DV. 
Zer je vsaka funkcija iz DV omejena, je pri bioloi:';ki rasti 
p ~ ;f_, 1 ( iR,) n ;f!., 2 ( iR.) • Od tod pa sledi l'arnevulova enačba 
in ·p E .!f:_2 (7R,) • 
Kako pa je z zve:.rnostjo Fouriorjeve tranc;formucije? 
(T.52) 0e konvergira zaporedje rastnih funkci,i rn po točkah 
k rastni funkciji r, kjer le je ta zvezna, konvergira 
zaporedje njihovih karakterističnih funkcij enakomerno 
na vsakem končnem intervalu k ustrezni karakteristični 
funkciji. 
Če konvergira ~aporedje prirastnih funkcij pn nekih 
zveznih rasti po normi prostora ~ 1 (7/Z) k funkciji p 
(ki je očitno spet prirastna funkcija!), velja isti 
381 
J zaključek. 
Dokaz najdemo v [2], 231-233 in v [10], 109, 110. 
l'oglejmo formulo (11) z očmi fizika! Funkcijo p smemo 
imeti tedaj za vsoto valovanj, $t imajo amplitude 
A(x) = (2/1t) 112 /f>(x)/ , A(O) = V/7e , (12) 
valovne dolžine 27C/x • T(x) (l;) 
in fazn~ premike .A(x) = 'f(x)/x (v desno). (14) 
Če ima f p(x)I v toč.ki x
0 
izrazit maksimum, lahko zato skle-
pamo, da je rast opazno. _period,~čna s periodo 27t/x
0 
in ima 
najmočnejše priraščanje približno v točkah [1(x
0
)+2k~]/x
0
, 
najšibkejše pa približno v točkah [y(x
0
)+(2k+1)7r]/x
0 
• 
Če je amplituda A(x)= o, A(x) ni definiran. Prav tako 
ni definiran 4(0). Da pa se v nekaterih primerih (na primer 
pri omejeni rasti) izračunati: 
Q) 
lim 6(x) = ~• J t.p(t)dt • 
X :\1 O _
00 
i.,e dvu primera prirastnih funkcij iz BV za konec l 
l'rimor 6. l!'unkcija p naj izpolnjuje lJirichletov pogoj: odse-
koma (to je na končno mnogo intervalih) naj bo zvezna 
in monotona. Tedaj je p E BV. Vsaka faza take rasti 
je končna unija. disjunktnih intervalov, če le ni~. 
2 
1•rimer 7. p(t) = V.(27t)-112 .e-t 12 • p = p , ~ == o , 
V ·-x2/2 · 
A(x) ,, ; • e z edinim maksimumom pri x „ O • 
6. PiUhER: DEBELINSKA RAST DREVESA 
Pozno ,jeseni ali pozimi smo podrli zelo staro, prak-
tično že odmrlo drevo in prešteli ter izmerili branike na čim 
~ižjem prerezu. Nizek prerez vzamemo zato, da ne zgubimo po-
382 
datkov o rani mladosti rastline; staro drevo pa zato, da lah-
ko opazujemo cel potek njenega življenja. Rezultat meritev je 
tabela širin branik od sredine navzven 
Podatki. ~tevilka letnice __ 1 __ , 2 , ••• _, n_] 
Sirina branike P1 , P2 , •·· , P._nJ 
Predpostavka l. Rast je biološka. 
Poteka debelinske rasti v teku enega leta ne poznamo. 
Od prirastne funkcije imamo torej le naslednji podatek: 
= S
k 
Pk p(t)dt = r(k) - r(k-1) • 
k-1 
(1) 
Iz tev,a sledi, da bodo rezultati, ki jih nameravamo dobiti, 
smiselni le za obdobja, ki trajajo celo število let. 
Predpostavka 2. Najmanjša smiselna časovna enota je leto. 
Brez oklevanja lahko napišemo začetek in konec rasti: 
Rezultat l. Z= O , K= n. (2) 
Vse ostale rezultate bomo prikazovali le na intervalu 
[o,nJ. Najprej si oglejmo rastno funkcijo r in končno velikost 
V= r(K). 
k 
r(k) = J p(t)dt = k i k ~ j p(t)dt = E o i=l i-1 
k 
= 1:: pi Rezultat 2. r(k) 
i=l 
r(O) = O , V= r(n) 
i=l 
' k=l,2, ••• ,n 
pi 
(3) 
(4),(5) 
Vrednosti r(k) so eksaktne, vkolikor privzamemo meritve za 
točne. 
Prirastna funkcija p je odvod rastne funkcije. Vendar 
ne bomo rastne funkcije numerično odvajali, ampak se spomni-
mo formule (1): pk je povprečni prirastek v k-tem letu. Zato 
bomo zapisali: 
Rezultat 3. p(k - 0,5) = pk, k=l,2, ••• ,n 
383 
(6) 
Te vrednosti seveda niso več eksaktne. S časom k - 0,5 smo 
formalno sicer kršili Predpostavko 2., vsebinsko pa prav nič. 
Vitalnost v, ki jo kaže nek prirastek pk, ima drevo 
že v začetku k-tega leta. 
Rezultat 4. v(k) = lOOpk+l/r(n) ,, k=O,l, ••• ,n-1 
v(n) = O 
(7) 
(8) 
Formule (8) ne bi smeli napisati, če ne bi veljala že a pri-
ori in bi jo morali šele računati. 
Rastni pospešek q je odvod prirastne funkcije. Zaradi 
netočnosti funkcije p in slabe po~ojenosti numeričnega odva-
janja sploh bo rastni pospešek zelo nenatančen in nima smi-
sla pretiravati z natančnostjo formul za numerično odvajanje. 
Ker pa je q pravzaprav tudi neke vrste mera za vitalnost ali 
točneje za njeno spreminjanje, ga tabelirajmo podobno kot vi-
talnost. 
Rezultat 5. q(k) = Pk+l - pk, k=l,2, ••• ,n-1 • ( 9) 
Subjektivni čas naj ima za osnovo funkcijo g iz Pri-
mera l. (2. 
Rezultat 6. 
razdelek), ker je računanje 
sg,r(k) = n-2.tg zk, 
zk = 7t[r(k)/r(n) - 0,5] 
s (0)=-00 g,r 
Vse vrednosti so popolnoma točne. 
z njo zelo preprosto. 
(10) 
k=l,2, ••• ,n-1 (11) 
= OD (12) 
Povprečni prirastek: p(t) = r(t)/t za tJO. Končni 
povprečni prirastek D je vrednost funkcije p na koncu rasti 
in ima pomen povprečne debeline letnice. Potemtakem velja 
čisto natančno (zaradi (3) ): 
Rezultat 7. p(k) = r(k)/k, k=l,2, ••• ,n (13) 
p(O) = O ; D = r(n)/n (14),(15) 
Rastni potencial: p*(t) = (V - r(t))/(K - t) (16) 
384 
za t ! K. Spet torej velja eksaktno (po uporabi (2), (3) in 
(5) ): 
Rezultat 8. p"'(k) = [r(n) - r(k)]/Cn - k) , k=O,l, ••• ,n-1 ; (17) 
(18) 
Glede faz najprej pribijmo, da bo v posamezno fazo za-
radi Predpostavke 2. sodilo vsako leto celo, čeprav dejansko 
ni tako. Vresnici je nekako tako, da se leto razdeli na zapo-
redje faz IOTS, česar pa z našimi podatki ni mogoče ugotav-
ljati. Ker je izračunana vrednost prirastne funkcije v res-
nici povprečje prirastne funkcije v danem letu, moramo tudi 
povprečni prirastek in rastni potencial gledati na isti na-
čin. Uvedli bomo torej dve seriji novih količin: 
k 
pk = S p( t)dt 
k-1 
in 
k p; = S p * ( t ) d t , k= 1 , 2 , ••• , n. ( 19) 
k-1 
Oba integrala lahko seveda ocenimo le v grobem, najbolj pri-
merno bi bilo takole: 
pk = (p(k-1) + p(k)]/2 in p~ = [p'/((k-1) + p*(k)]/2 • (20) 
Vstavimo v obe formuli (13), (17) in (3), definirajmo še: 
ak = pk - pk in bk = pk - pk' 
pa dobimo: 
inicialna 
ak ~ o & bk ~ o optimalna 
ak < O & bk ~ O terminalna 
ak < O & bk < O stacionarna 
faza na intervalu [k-1,k] ' k=l,2, ••• ,n. 
a1 = p1/2 
Pri 
(2k - l).[k.pk - r(k)] , k=2,3, ••• ,n; 
2k. (k - 1) 
bk ... (2n - 2k + 1). [Cn-k) .pk - r(n) + r(k)] , 
2.(n - k).(n - k + 1) 
385 
tem 
(21) 
je: 
(22) 
(23), 
(24) 
k=l,2, ••• ,n-1; 
(25) 
Po formuli (12) iz razdelka 4. je koeficient elastič­
nosti: Er(t) • p(t)/p(t) , če je lep zvezna funkcija. Isti 
premislek kot prej nas napoti na formulo: 
(26) 
Rezultat 10. Er(k - 0,5) = pk/(pk - ak) , k=l,2, ••• ,n. (27) 
ak so dani s formulama (22) in (23). 
Na vrsti je še karakteristična funkcija. Ker bomo upo-
rabili formulo (5) iz razdelka 5., spet zaidemo v težave, saj 
ne poznamo funkcije p v teku enega leta, obenem pa ni mogoče 
dati kakršnekoli pametne ocene o integralu 
k 
J eitx.p(t)dt. 
k-1 
Izrekoma T.28 in T.29 .o konvergenci rastnih funkcij smo 
se lahko izognili, ker imamo funkcijo r v posameznih točkah 
eksaktno izračunano. Nikakor pa ne moremo ignorirati izreka 
T.52, saj se izračunana funkcija p lahko v metriki prostora 
.f/,1 (1R.,) bistveno razlikuje od dejanske. Toda celo če bi imeli 
podatek o vrsti drevesa, ki ga opazujemo, ter o njegovem ras-
tišču, verjetno ne bi mogli bistveno izboljšati tele predpo-
stavke: {2pk ; k-1 < t < k-O ,5 
p( t) = O ; k-O, 5 < t < k 
k=l,2, ••• ,n 
(28) 
Predpostavili smo torej, da drevo prvo polovico leta enako-
merno raste, v drugi polovici leta pa počiva. To je smisel-
no, ker se samo po sebi razume, da se naše leto ne začne z 
januarjem, pač pa s povprečnim pomladanskim prebujenjem dre-
vesa. Tukaj tudi postane jasno, da bi morali v Rezultatu l. 
386 
postaviti: K= n - c , pri čemer je c približno 0,5. V skladu 
s Predpostavko 2. bomo pa to zanemarili. 
p(x) 
Uporabimo torej (28): 
l/2 n k-0,5 ·t = 2(2?t)- B pk • S ei xdt = 
k=l k-1 
4 c2~)-l/2x-lsin~. ~ pke(k-0,75)ix 
. k=l 
Uvedimo dve novi funkciji: 
n 
u = >--= pk.cos(k~0,75)x 
k=l 
n 
v= L pk.sin(k-0,75)x. 
k=l 
(29) 
(30) 
(31) 
Preden nadaljujemo, se vprašajmo, na kdkšnem intervalu 
je karakteristična funkcija sploh zanimiva. Najmanjša perioda, 
ki po Predpostavki 2. še pride v poštev, je 1 leto, celo živ-
ljensko dobo pa imamo lahko za polovico največje periode. To-
rej je: 1 & 2'it/x ~ 2n oziroma 
7t/n ~ X f: 21t' • 
Na tem intervalu je: sin~ ~ O . Uvedimo še novo 
ko z = x/2'7C ' 
pa lahko povzamemo 
Rezultat ll. T(z) = 1/z ( l/(2n)& z & l ) 
• '7rz 
l srn 2 „ l 2 2 ' 
A( z) = 7r• '7t' z • Vu (z) + v (z) , 
2 
A(O) 
tg ip(z) = v(z)/u(z) Y,(z) E [o,2n-) 
-6( z) = 'f ( z)/ ( 21tz) E [ O , T ( z)) 
Pri tem je: u(z) = t pk.cos(4k-3)iz 
k=l 
n 
v(z) = L pk.sin(4k-3)~z 
k=l 
387 
(32) 
spremenljiv-
v 
= -r.: 
(33) 
(34),(35) 
(36) 
(37) 
(38) 
(39) 
Vel,ia še: 6(1) = 0,25 , A(l) = 2V/,,l,, 
1 n 
lim A( z) = v· Lkpk - o, 75 • 
z ':II o k=l 
(40) 
(41) 
Takoj opazimo, da ima lim A(z) precej podobno vlogo, kot 
Z 'lliO 
matematično upanje v teoriji verjetnosti. 
Dodajmo še, da se da s temi podatki periodičnost dolo-
čiti še na en način, ki je manj eksakten, pa precej bolj eno-
staven. Če je funkcija p občutno periodična s periodo T, po-
. 00 
tem ima funkcija fT(t) = L p(t+k.T) (t E[O,T)) (41) 
k=o 
zelo velik razpon med svojo spodnjo in zgornjo mejo. Če iz-
računamo ta razpon za vse funkcije fT, kjer je T ne preveč 
veliko naravno število, lahko izberemo najbolj izrazite pe-
riode. Lega vsakokratnega supremuma pa je ravno fazni premik 
A. Tako dobljeni rezultati se kar dobro ujemajo z rezultati 
dobljenimi s Fourierjevo transformacijo, toda razumljivo le 
za tiste T, ki so majhni v primerjavi z življensko dobo. 
Za konec naj omenim, da se vitalnost in faze ne ujema-
jo z običajnimi gozdarskimi definicijami. ·zato naj poudarim, 
da se vse količine, ki smo jih tukaj srečali, nanašajo izklju-
čno na količino, ki jo merimo in obravnavamo, ne pa na celo-
ten subjekt. Tako se lahko primeri, da ima drevo v "najlep-
nih letih" terminalno fazo rasti in vitalnost blizu O za vi-
šinsko rast, kar pa je le navidezno nepravilno. Kajti tudi 
pri človeku je terminalna faza višinske rasti v obdobju, ko 
se človek šele bliža svojemu vrhuncu. 
Tudi izbira časovne enote je pomembna. Opis rasti dre-
vesa po dnevih bo dal popolnoma različne rezultate na manj-
ših intervalih kot letni opis. Tako lahko pričakujemo običaj-
388 
no zaporedje faz IOT šele, če bo časovna enota najmanj de-
setletje, pa še to le pri neproblematičnem drevesu. Vpliv iz-
bire časovne enote se zabriše šele na časovnih intervalih, ki 
so mnogo večji od te enote. Zato ne smemo privzeti niti pre-
velike enote, ki nam preveč zmanjša informativnost rezulta-
tov, niti premajhne enote, ki pa povzroči, da zaradi dreves 
ne vidimo gozda - kot pravi pregovor. 
LITiH!,TURA 
[ tj Z. Bohte: Numerična analiza. ~nstitut za matematiko, fi-
ziko in mehaniko, Ljubljana 1973. 
[ ?J R. Jamnik: Verjetnostni račun. Mladinska knjiga, Ljublja-
na 1971. 
[ 3] H. Kestelrnan: l'lodern 'I'heories of Integration. Dover Pub-
lica tions, Inc., New York 1960. 
[ 4] A. Levakovic: Dendrometrija. Hrvatsko šumarsko društvo, 
Zap;re b 1922. 
[ 5] I·I. Prodan: Forstliche Biometrie. Bayer. Landw. Verlag, 
l'iunchen 1961. 
[ 6] H.L. Royden: Real Analysis. The Xacmillan Company, Kew 
fork 1963. 
[ 7] w. Hudin: Real and Complex Analysis. Mladinska knjiga, 
L,jubljana 1974. 
[ s] V. Stamenkovic: Prirast i proizvodnost sta bala i šum-
sk ih sastojina. Univerzitet u Beogradu, BeoBrad 1974. 
[ 9] I. Vidav in soavtorji: Višja matematika II. Državna za-
lo?,ba Slovenije, L,jubl,iana 1975. 
[10] I. Vidav in soavtorji: Višja matematika III. Državna 
založba Slovenije, Ljubljana 1976. 
[11] R. H. Goldberg: Fourier '.1.'ransforrns. Cambridge University 
1-'ress 1965.: 
389 
UBER WACHSTUI1Sl<1UNKTIOUEN 
Zusammenfassung 
Rastne funkcije definiramo kot porazdelitvene funkcije, 
pomnožene z.neko konstanto. Posebej definiramo zvezno rast z 
absolutno zvezno rastno funkcijo, torej tako, ki je integral 
prirastne funkcije. Uvedemo še povprečni prirastek ter rasni 
potencial kot povprečni prirastek bodoče rasti. V prvem raz-
delku pokažemo osnovne analitične in topološke lastnosti teh 
funkcij. 
V drugem razdelku diskutiramo o načinu priraščanja 
rastne funkcije. Ta način kaže nek analitični razteg rastne 
funkcije, ki ga imenujemo subjektivni čas. 
Tretji razdelek je posvečen izpeljavi osnovnega izreka 
o konvergenci rastnih funkcij: zaporedje rastnih funkcij zve-
znih rasti l,;:onvergirajo proti prav taki funkci , če je total-
na variacija razlike dveh dovolj poznih členov poljubno majhna. 
Biolooko rast definiramo najprej kot časovno omejeno 
rast, ki je zvezna in ima prirastna funkcija omejeno totalno 
variaci-jo. Rastni pospešek je odvod prirastne funkcije. Vi tal-
nost je sorazmerna s priratkom. Definiramo še faze rasti: 
inicialno, optimalno, terminalno in stacionarno;kjer je pri-
raotna funkcija večja od povprečnega prirastka, je inicialna 
ali optimalna faza, kjer pa je večja od potenciala rasti, je 
optimalna ali terminalna faza. V nadaljevanju tega razdelka 
pokažemo spet analitične in topološke posledice definicij ter 
dokažemo, da iz zveznosti prirastne funkcije sledi običajno 
zaporedje faz: inicialna, optimalna, terminalna. Omenimo še, 
da je koeficient elastičnosti rastne funkcije v tesni zvezi 
s fazami rasti. 
V petem razdelku si ogledamo Fourier - Stieltjesovo 
transformiranko rastne funkcije in pokažemo, da ekstremi nje-
ne absolutne vrednosti kažejo periodiko rasti. Ob tem se iz-
kaže, da bi bilo ugodneje definirati biološko rast bolj spe-
cialno, kot časovno omejeno zvezno rast, katere prirastno 
390 
funkcijo lahko razrežemo na končno mnogo delov, na knterih 
je zvezna, monotona in omejena. 
Šesti razdelek je primer in sicer letna debelinska 
rast drevesa. Izpeljane so numerične metode za izračun omen-
jenih količin iz osnovnih podatkov. Med drugim je podana še 
ena metoda za določanje periodike rasti. 
391