i
i
“Strnad” — 2015/10/30 — 12:13 — page 138 — #1 i
i
i
i
i
i
O GIBALNI KOLIČINI SVETLOBE V PROZORNEM
SREDSTVU
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 41.20.Jb
Kaže, da so se približali rešitvi več kot sto let stare dileme o gibalni količini svetlobe
v prozorni snovi, znane kot nasprotje Minkowskega in Abrahama. V mednarodnem letu
svetlobe se zdi vredno poročati o tem tudi zaradi novih merilnih načinov.
THE MOMENTUM OF LIGHT IN A TRANSPARENT MEDIUM
Apparently, the more as hundred years old dilemma of the momentum of light in a
transparent medium, known as the Minkowski-Abraham controversy, is nearing its solu-
tion. In the International year of light it seems appropriate to report on this also with
respect to new measuring methods.
Gibalna količina svetlobe
James Clerk Maxwell je že leta 1862 izpeljal zvezo:
G = W/c, g = G/V = | ~E × ~H|/c2 (1)
med gibalno količino G, ki jo ima svetloba z energijo W , če c zaznamuje
hitrost svetlobe v praznem prostoru. Dodali smo še zvezo za gostoto gibalne
količine. Zveza velja v praznem prostoru. Leta 1908 je Hermann Minkowski
napovedal, da je gibalna količina svetlobe v prozornem dielektriku z lomnim
količnikom n večja kot v praznem prostoru:
GM = nW/c, gM = GM/V = | ~D × ~B|. (2)
Dodali smo zvezo za gostoto gibalne količine. Leto pozneje je Max Abraham
zatrdil, da je gibalna količina svetlobe v prozornem dielektriku manǰsa kot
v praznem prostoru:
GA = W/(nc), gA = GA/V = | ~E × ~H|/c2. (3)
Tudi v tem primeru smo dodali zvezo za gostoto gibalne količine. Pri tem
vzamemo, da lomni količnik ni odvisen od valovne dolžine, se pravi, da ne
138 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 4
i
i
“Strnad” — 2015/10/30 — 12:13 — page 139 — #2 i
i
i
i
i
i
O gibalni količini svetlobe v prozornem sredstvu
upoštevamo razklona, in da je dielektrik nemagneten. V praznem prostoru
z n = 1 enačbi (2) in (3) preideta v (1).
Enačbe za gostoto gibalne količine povežemo z enačbami za gibalno
količino z zvezami za elektromagnetno valovanje: ~D = εε0 ~E, ~B = µ0 ~H,
gM = εgA = n
2gA, B
2 = εε0µ0E
2, B = E/(c/n) in w = W/V = εε0E
2.
Omejili smo se na najpreprosteǰsi primer, da je valovanje ravno in se razmere
ne spreminjajo s krajem. V enačbah še nismo izvedli časovnega povprečenja,
ki bi pripeljalo na primer do w = 12εε0E
2
0 .
Gibalna količina elektromagnetnega valovanja je zanimiva količina [1].
O nasprotujočih si enačbah (2) in (3) so še posebej vneto razpravljali, tako
da se je nabrala obsežna literatura [1].1
Do enačb (2) in (3) sta pripeljali zapleteni izpeljavi, v katerih sta Minko-
wski in Abraham uporabila različna tenzorja energije-gibalne količine elek-
tromagnetnega polja. V kvantnem okviru je do enačb mogoče priti pre-
prosto z zvezo med gibalno količino fotona in valovno dolžino svetlobe
G1 = h/λ. Planckova konstanta h energijo fotona povezuje s frekvenco
W1 = hν. Enačba (2) sledi, če upoštevamo, da je valovna dolžina v snovi
z lomnim količnikom n enaka λ/n: G1M = nhν/(λν) = nW1/c. Enačba
(3) pa sledi, če z zvezo m1c
2 = hν vpeljemo efektivno maso fotona in z
njo izračunamo gibalno količino: G1A = m1v = (hν/c
2)c/n = W1/(cn) s
hitrostjo svetlobe v = c/n v snovi z lomnim količnikom n [2, 3].
Vprašanje je že na prvi pogled zapleteno. Elektromagnetno valovanje v
snovi zaniha naelektrene delce, tako da gibalno količino sestavljata prispe-
vek polja in prispevek delcev. Po enačbah (1) in (3) sklepamo, da prispevek
polja zajame Abrahamova enačba. Enačba Minkowskega pa ne opǐse polne
gibalne količine v snovi, kakor bi morda pričakovali [4]. Polne gibalne ko-
ličine ni mogoče preprosto vpeljati, ker ni preproste utemeljitve, kdaj snov
miruje. To je mogoče za krajevno in časovno omejen sunek elektroma-
gnetnega valovanja. Najprej vzamemo, da nemotena snov miruje, potem
elektromagnetno polje v sunku zaniha atome in po prehodu sunka nemo-
tena snov zopet miruje. Polno gibalno količino v posebnem primeru podaja
zveza G = 12 [(n
2+1)− 13(n
2−1)2]GA [4]. Pokaže se, da enačba Minkowskega
1Spletni naslov PDF Bibliography on the Abraham-Minkowski debate. Princeton . . .
vsebuje 225 člankov, a zahteva prijavo. (Nemškim člankom so dodani angleški prevodi.)
Posamezni članki pa so prosto dostopni, na primer H. Minkowski, Die Grundgleichungen
für die elektromagnetische Vorgänge in bewegten Körpern ali M. Abraham, Zur Elektro-
dynamik bewegter Körper.
138–143 139
i
i
“Strnad” — 2015/10/30 — 12:13 — page 140 — #3 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
podaja psevdogibalno količino, ki je v tem primeru precej koristna. Nekateri
Abrahamovo gibalno količino imenujejo kinetična gibalna količina, medtem
ko je za gibalno količino Minkowskega več imen: kvazigibalna količina, ka-
nonična ali kristalna gibalna količina ali kar valovni vektor. Različna imena
opozarjajo tudi na različne poglede. Razpravi o tem se izognemo [5].
Pogled na veljavo enačb (2) in (3) se je s časom spreminjal. Najprej
je prevladovalo mnenje, da je prava enačba Minkowskega, za katero se je
zdelo, da jo podpirajo merjenja. Potem se je mnenje začelo nagibati k
Abrahamovi enačbi. Zdaj nekateri menijo, da sta pravi obe enačbi, le da
veljata v različnih okolǐsčinah [2, 3].
Poskusi
Da bi razumeli poskuse, si oglejmo, kako svetloba deluje na prozorno snov.
Po izreku o gibalni količini je sunek sile enak spremembi gibalne količine.
Na ravno mejo prozorne snovi naj iz praznega prostora pravokotno pade
omejen curek svetlobe. Del energijskega toka r2 = (n − 1)2/(n + 1)2 se
odbije, del 1 − r2 vstopi v snov. Treba je upoštevati tudi odriv odbitega
dela. Za razliko gibalnih količin za oba primera dobimo:
∆GM = (1− r2)nW/c− (1 + r2)W/c = [(n− 1)/(n+ 1)]2W/c, (4M)
∆GA = (1− r2)W/(nc)− (1 + r2)W/c = −[(n− 1)/(n+ 1)]2W/c. (4A).
Sprememba gibalne količine v enoti časa da silo. Ko upoštevamo odriv, iz
zapisanih enačb razberemo, da curek svetlobe na prozorno snov po Min-
kowskem deluje od snovi proti praznemu prostoru, in po Abrahamu enako
izdatno v nasprotni smeri.
Iz tega sledi navodilo za preizkus enačb (2) ali (3). Posvetiti je treba
na vodoravno mejo prozorne snovi. Če se na osvetljenem delu snov izboči
navzgor, velja enačba (2), če se ugrezne navzdol, pa enačba (3). A. Askin
in J. M. Dziedzic sta leta 1973 laserski curek usmerila na gladino vode [6].
Z laserjem pri valovni dolžini 530 nm sta v 60 ns trajajočih sunkih, ki so si
sledili 20-krat na sekundo in dosegli največjo moč od 1 do 4 kW, osvetljevala
del gladine s premerom 4,2 µm. Opazila sta, da se je prepuščeni curek zožil.
To sta pojasnila z učinkom zbiralne leče zaradi izbočenosti gladine. Po
tem naj bi veljala enačba Minkowskega. Na sklep so letele pripombe, da bi
zaradi velike moči laserskih sunkov izbočenost lahko povzročile sile, ker se
je na robu sunkov močno spremenilo elektromagnetno polje.
140 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 4
i
i
“Strnad” — 2015/10/30 — 12:13 — page 141 — #4 i
i
i
i
i
i
O gibalni količini svetlobe v prozornem sredstvuVOLUME 87, NUMBER 5 P H Y S I C A L R E V I E W L E T T E R S 30 JULY 2001
FIG. 1. Optical bending of the meniscus of a phase-separated
liquid mixture induced by the radiation pressure. The laser beam
is represented by the arrows.
polarized cw Ar1 laser in the TEM00 mode (wavelength
in vacuum l0 
 5145 Å propagating vertically from F1
to F2 along the z axis. The wave is weakly focused on
the interface by a 103 microscope objective. Thus the
beam profile has almost a cylindrical symmetry around
the z axis and close to the meniscus the z variation of
the beam intensity Ir, z can be neglected, leading to
Ir, z  Ir 
 2P
pv20
exp 22r
2
v20
 where P is the incident
beam power. The beam waist v0 can also be changed by
adjusting the distance between a first lens (f 
 200 mm)
and the 103 objective. Relative errors on P and v0 are,
respectively, 
PP # 5% and

v0
v0
# 5%.
Since the refractive index n2 of the phase F2 is larger
than n1 of F1 (the refractive index of water is smaller
than that of toluene), the light momentum in F2 is larger
than that in F1. This light momentum discontinuity at
the interface gives birth to a radiation pressure directed
towards the coexisting phase of lower refractive index, i.e.,
F1 in our case. As a result, the radiation pressure acts
downwards (see Fig. 1) and should be compensated by the
Laplace and the buoyancy forces. Then, at steady state
and for a small curvature of the bending, the height of the
resulting stationary deformation hr is described by [12]
r1 2 r2ghr 2 s =2hr 

2n1
c
µ
n1 2 n2
n1 1 n2
∂
Ir ,
(1)
where r1 and r2 are the densities of the phases F1 and
F2, and c is the light velocity in vacuum. The right-hand
side term in Eq. (1) represents the radiation pressure prad
at the interface. A typical evolution of hr for increasing
beam power P is presented in Fig. 2.
Assuming 
2
hr 
 h
v20
, the ratio between the buoy-
ancy and the Laplace restoring forces defines an optical
Bond number Bo 
  v0lC 
2, where lC 

p
s r1 2 r2g
is the capillary length. This definition simply means
that the induced bulge can be viewed as a sort of virtual
particle of length scale v0. For optical bending of
classical free surfaces Bo ø 1 and gravity is negligible.
Then one finds
hr 
 0Boø1 

µ
≠n
≠r
∂
T
1
4pg
ln
µ
g
v2cl
v20
∂
P
l2C
, (2)
FIG. 2. Variation of the optical bending for increasing beam
power: (a) P 
 270 mW, (b) 540 mW, (c) 810 mW. (d) Theo-
retical profiles (full lines) calculated from Eq. (4). The control
parameters are v0 
 14.6 mm and T 2 TC 
 2 K.
where g 
 1.781 is the Euler constant and vcl is a ra-
dius large compared to v0 that defines the boundary con-
dition hr 
 vclBoø1 
 0. We have also assumed here
that n1  n2 and n1 2 n2 
 
≠n
≠r T r1 2 r2 because
F1 and F2 are coexisting phases of close compositions.
Equation (2) shows that the deformation strongly depends
on lC rather than v0: the response of the interface to
the radiation pressure is thus nonlocal [i.e., 
2
hr ~
Ir]. Data should therefore be plotted versus P
l2C
to point
out a single-scaled behavior, rather than pradr 
 0 ~
P
v20
used generally [2]. In our case, this behavior can be ob-
served experimentally using a narrow beam excitation in
the two-phase sample far from criticality. The expected
scaling is illustrated in Fig. 3 for large values of T 2 TC.
For a comparison the inset shows the dispersion of the
same data when plotted versus P
v20
. Since the relative error
on j10 is

j10
j10

 5% and T 2 TC is regulated at better
than 0.1 K, we deduce 
l
2
C
l2C
# 11% for T 2 TC $ 8 K;
measurements give 
hh # 10%.
On the other hand, when Bo ¿ 1 the Laplace force
becomes negligible and the height of the deformation is
simply given by
hr 
 0Bo¿1 

µ
≠n
≠r
∂
T
1
cg
Ir 
 0 . (3)
The optical excitation of the interface induced by the ra-
diation pressure becomes local [i.e., hr ~ Ir]. Data
should therefore be plotted in P
v20
to obtain a scaled de-
scription of the height of the bulge. This behavior, which
seems to have never been analyzed before, is, in fact, diffi-
cult to observe. The main reason is that experiments should
be realized with large beam radii, but in such conditions
the beam intensity decreases drastically and the deforma-
tion becomes too weak to be accurately detected. Besides
054503-2 054503-2
Slika 1. Gladina med plastema kapljevine je bila tem bolj izbočena, čim večja je bila moč
laserja pri poskusu A. Casnerja in J.-P. Delvilla. Od zgoraj navzdol je bila moč laserja 0,27
W, 0,54 W in 0,81 W [7]. Uporabili so linearno polarizirani curek ionskega argonskega
laserja z valovno dolžino 514 nm. Spremembo oblike gladine so uspešno napovedali z
uporabljenimi enačbami.
Tudi druga merjenja so govorila za enačbo Minkowskega. Alexis Ca-
sner in Jean-Pierre Delville sta leta 2001 uporabila šibek neprekinjen curek
argonskega ionskega laserja [7]. Opazovala sta mejo med plastema kaplje-
vinskih mešanic z zelo majhno površinsko napetostjo, ki so ju sestavljali v
glavnem voda, toluen in butanol. Meja je bila jasno izbočena v smeri curka
in izbočenost je naraščala z močjo laserja (slika 1).
Od drugih poskusov samo omenimo enega s plinom in drugega s trdnino.
Leta 2005 je amerǐska raziskovalna skupina z odbojem fotonov na oblaku
rubidijevih atomov v Bose-Einstei ovem k ndenzatu dobila rezultat, ki je
ustrezal enačbi Minkovskega [8]. Leta 2008 je ki ajska raziskovalna skupina
uporabila kremenovo vlakno s premerom 450 nm in pri izstopu svetlobe iz
vlakna zaznala silo v notranjost vlakna, kar je ustrezalo Abrahamovi enačbi
[9]. Rezultate poskusa z vlaknom so kritizirali z dveh strani, tako da jih
kaže sprejeti z zadržkom.
Skupina raziskovalc v z Državnega laboratorija za optoelektronske mate-
riale in tehnologije v Guanzhouu na Kitajskem in z Inštituta za kompleksne
sisteme na Weizmannovem inštitutu v Izraelu je pred kratkim poročala o
svojih poskusih [3]. Gladino vo e ali m neralnega olja so obsevali z vzpore-
138–143 141
i
i
“Strnad” — 2015/10/30 — 12:13 — page 142 — #5 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
Slika 2. Pri poskusu se del vpadnega laserskega curka odbije in zoži, del ga vstopi v
kapljevino. Na gladini po Abrahamovi enačbi nastane vdolbina, ki deluje kot ukrivljeno
zbiralno zrcalo, zaradi katerega se zoži odbiti curek. Kot med vpadnim in odbitim curkom
je pretiran, v resnici je meril le 3◦ [3].
dnim neprekinjenim laserskim curkom in opazovali odbiti curek. Ugotovili
so, da se je odbiti curek zožal. To so pojasnili z vdolbino, ki je nastala po
Abrahamovi enačbi in je delovala kot zbiralno zrcalo (slika 2). Zasledovali
so, kako se je vzpostavilo ravnovesje med silo zaradi svetlobe in površinsko
napetostjo. Laserski curek z valovno dolžino 532 nm je imel Gaussov profil
s polmerom 0,165 mm pri olju in 0,175 mm pri vodi. Moč je segla od 0,4
do 1 W pri olju in od 1,2 do 2 W pri vodi. Izmerili so površinsko napetost,
lomni količnik in absorpcijski koeficient in izvedli več kontrolnih poskusov.
Curek se je po vključitvi zožil v 0,7 s pri olju in 1,0 s pri vodi. Pri moči
laserja 1 W je bil krivinski polmer ugreznjenega dela 2,76 m pri olju, pri
moči 2,1 W pa 2,98 m pri vodi. Gladina se je ugreznila za 20 nm.
Pojasnili so, zakaj so nekatere meritve podprle enačbo Minkovskega in
druge Abrahamovo enačbo. Gladina se izboči, kar ustreza enačbi Minkow-
skega, če svetloba sicer povzroči spremembo tlaka v kapljevini, a ne požene
kapljevine v gibanje, ko je svetlobni curek preozek ali posoda preplitva. Če
pa svetloba požene kapljevino v kroženje, se gladina na mestu curka ugrezne,
kar ustreza Abrahamovi enačbi. Poskus in razlago so še dodatno podprli.
Skupina se že dalj časa ukvarja z zadevo in po tej strani zbuja zaupanje.
Vendar se o vprašanju mnenja precej razhajajo, zato ni pričakovati, da bodo
razprave ponehale.
142 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 4
i
i
“Strnad” — 2015/10/30 — 12:13 — page 143 — #6 i
i
i
i
i
i
O gibalni količini svetlobe v prozornem sredstvu
Slika 3. Tako pojasnijo, zakaj nekatera merjenja podpirajo enačbo Minkovskega in druga
Abrahamovo enačbo. Če je curek zelo ozek in posodica plitva, svetloba povzroči, da se
gladina dvigne po enačbi Minkovskega. Če svetloba požene kapljevino v krožni tok, se
gladina ugrezne po Abrahamovi enačbi [3].
LITERATURA
[1] D. J. Griffiths, Resource letter EM-1: electromagnetic momentum, Am. J. Phys. 80
(2012), 7–18.
[2] U. Leonhardt, Momemtum in an uncertain light, Nature 444 (2006), 823–824.
[3] L. Zhang, W. She, N. Peng in U. Leonhardt, Experimental evidence for Abraham
pressure of Light, New Journal of Physics 17 (2015), 53035, 1–12.
[4] R. Peierls, More Surprizes in Theoretical Physics, Princeton Univesity Press, Prin-
ceton 1991, str. 38, 41.
[5] A. B. Pippard, Momentum and pseudo-momentum: 1. Classical pseudo-momentum
and wave pressure, Eur. J. Phys. 13 (1992), 2–87.
[6] A. Askin, M. Dziedzic, Radiation pressure on a free liquid surface, Phys. Rev. Lett.
30 (1973), 139–142.
[7] A. Casner, J-P. Delville, Giant deformation of a liquid-liquid interface induced by the
optical radiation pressure, Phys. Rev. Lett. 87 (2001), 054503-1-4.
[8] G. K. Campbell, A. E. Leanhardt, J. Mun, M. Boyd, E. W. Street, W. Ketterle in
D. E. Pritchard, Photon recoil momentum in dispersive media, Phys. Rev. Lett. 94
(2005), 170403-1-4.
[9] W. She, J. Yu in R. Feng, Observation of a push force on the end of a nanometer
silica filement exerted by outgoing light, Phys. Rev. Lett. 101 (2008), 243601-1-4.
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
138–143 143