doc. dr. Tomaž Žula, prof. dr. Stojan Kravanja »MINLP-OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z ELASTIČNO ODPORNOSTJO NOSILCA MINLP-OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z ELASTIČNO ODPORNOSTJO NOSILCA MINLP OPTIMIZATION OF A COMPOSITE I BEAM FLOOR SYSTEM WITH THE ELASTIC RESISTANCE OF THE BEAM doc. dr. Tomaž Žula, univ. dipl. inž. grad. tomaz.zula@um.si prof. dr. Stojan Kravanja, univ. dipl. inž. grad. stojan.kravanja@um.si Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo Znanstveni članek UDK 624.07:657.471 Povzetek l V prispevku predstavljamo stroškovno optimiranje sovprežnega stropnega sistema z elastično upogibno odpornostjo prereza nosilca. Strop je sestavljen iz jeklenih I-nosilcev in armiranobetonske plošče. Za optimiranje smo uporabili metodo mešanega celoštevilskega nelinearnega programiranja (MINLP). Optimizacijski model vsebuje podrobno namensko funkcijo lastnih izdelavnih stroškov, ki je podvržena pogojem iz statike konstrukcij in dimenzioniranja. Pogojne enačbe dimenzioniranja so določene v skladu z Evrokodom 4. Za reševanje nekonveksnega, nelinearnega in kombiniranega diskretno-zveznega optimizacijskega problema sovprežnega stropnega sistema smo uporabili modificirani algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb (Modified OA/ER). Z optimiranjem so izračunani minimalni lastni izdelavni stroški konstrukcije, optimalna trdnost materiala betona in jekla ter dimenzije prečnega prereza stropnega sistema. Na koncu članka je predstavljen računski primer optimizacije. Narejena je tudi primerjava rezultatov med elastično in plastično odpornostjo prereza nosilca sovprežnega stropnega sistema. Ključne besede: sovprežne konstrukcije, stroškovno optimiranje, optimiranje standardnih materialov, optimiranje diskretnih dimenzij, mešano celoštevilsko nelinearno programiranje, MINLP Summary l This paper presents the cost optimization of a composite I beam floor system. The elastic bending moment resistance of the composite cross-section is considered. The I beam floor system is designed to be made from a steel I sections and a reinforced concrete slab. The optimization was calculated by the mixed-integer non-linear programming (MINLP) approach. An accurate economic objective function of the self-manufacturing costs was applied and subjected to design, resistance and deflection (in)equality constraints. Dimensioning constraints were determined in accordance with Eurocode 4. The Modified Outer-Approximation/Equality-Relaxation (OA/ER) algorithm was applied for the solution of the non-convex, non-linear combined discrete-continuous optimization problem of the composite structure. The optimal result includes the minimal production costs of the structure, the optimal concrete and steel strengths, and the dimensions of the structure. A numerical example of the optimization of the composite I beam floor system, together with the comparison between results of the elastic and plastic resistances of the composite cross-section, is presented at the end of the paper. Key words: composite structures, cost optimization, standard material optimization, discrete sizing optimization, mixed-integer non-linear programming, MINLP Gradbeni vestnik • letnik 67 • oktober 2018 1*UVOD Sovprežni stropni sistemi predstavljajo učinkovito vrsto konstrukcijskih elementov predvsem zaradi kompatibilnosti med dvema različnima materialoma, betonom v tlačni coni in jeklom v natezni coni. Zato inženirji sovprežne konstrukcije načrtujejo za različne tipe objektov, kot so trgovski objekti, industrijski objekti, večetažni objekti, športni objekti itd. Posledično je optimizacija sovprežnih konstrukcij postala priljubljeno področje tudi med raziskovalci. V preteklosti se je kar nekaj avtorjev ukvarjalo z optimizacijo različnih sovprežnih stropnih sistemov, pri čemer so uporabljali različne optimizacijske metode in algoritme. Na primer, Klanšek in Kravanja ([Klanšek, 2006a], [Klanšek, 2006b]) sta za raziskavo konkurenčnosti različnih sovprežni stropnih sistemov uporabila metodo nelinearnega programiranja (NLP). V nadaljevanju so našteti raziskovalci za optimalno obliko sovprežnih konstrukcij uporabili različne algoritme: Poitras s sodelavci [Poitras, 2011] roj delcev (particle swarm optimization), Omkar s sodelavci [Om-kar, 2011] algoritem kolonije čebel (artificial bee colony), Kaveh in Massoudi [Kaveh, 2012] sta uporabila algoritem kolonije mravelj (ant colony system), Kravanja s sodelavci [Kravanja, 2017] metodo mešanega celoštevilskega nelinearnega programiranja. V referenci Žula in Kravanja [Žula, 2017] smo za dimenzioniranje uporabili plas- tično upogibno odpornost prereza nosilca. V prispevku predstavljamo stroškovno op-timiranje sovprežnega stropnega sistema, kjer so pogoji upogibne odpornosti prereza nosilca definirani z elastično odpornostjo. Slednjo uporabimo, kadar imamo opravka s 3. in 4. razredom kompaktnosti. V tem članku definirano konservativno elastično odpornost prereza prvenstveno uporabimo z namenom, da prikažemo razliko rezultatov med elastično in plastično odpornostjo. Za optimiranje smo uporabili metodo mešanega celoštevilskega nelinearnega programiranja (MINLP). Z MINLP se sočasno izvajajo diskretno optimiranje standardnih dimenzij (standardnih jeklenih prerezov nosilcev in armaturnih mrež), diskretno optimiranje materiala (trdnostnega razreda betona in jekla), diskretno optimiranje zaokroženih dimenzij (debeline armiranobetonske plošče) in optimiranje zveznih parametrov (stroškov, mase). Diskretno/zvezni optimizacijski problem MINLP sovprežnega stropnega sistema je obsežen, nekonveksen in nelinearen. Zato optimiranje poteka v treh korakih. V prvem koraku se generira mehanska superstruktu-ra različnih alternativ standardnih dimenzij, materiala in zaokroženih dimenzij. V drugem koraku se razvije optimizacijski model MINLP. V tretjem, zadnjem koraku pa se izvede opti- miranje. Optimiranje konstrukcije je izvedeno z modificiranim algoritmom zunanje aprok-simacije s sprostitvijo enačb (Modified OA/ ER algoritem), ([Kravanja, 1994], [Kravanja, 1998a], [Kravanja, 1998b]). Pri tem je uporabljena dvofazna MINLP-strategija, kjer se izvede optimiranje v dveh zaporednih fazah, kar pospeši konvergenco OA-/ER-algoritma oz. omogoči izračun rezultata, Žula in Kravanja [Žula, 2017]. Namen optimiranja je določiti minimalne lastne izdelavne stroške sovprežne konstrukcije. Namenska stroškovna funkcija je podvržena pogojnim (ne)enačbam, poznanih iz analize in dimenzioniranja sovprežnih konstrukcij. Pogoji dimenzioniranja so definirani v skladu z Evrokodi 1, 2, 3 in 4 ([Eurocode 1, 2002], [Eurocode 2, 2004a], [Eurocode 3, 2005], [Eurocode 4, 2004b]), po katerih je konstrukcija preverjena z določili mejnih stanj nosilnosti (MSN) in uporabnosti (MSU). Sovprežno konstrukcijo sestavljajo armiranobetonska plošča in jekleni I-nosilci. Za jeklene I-nosilce lahko uporabimo varjene I-prereze, standardne vročevaljane IPE-pro-file ali standardne vročevaljane HEA-profile. Elastična odpornost sovprežnega prereza je odvisna od lege nevtralne osi, ki lahko leži v armiranobetonski plošči, v zgornji pasnici I-prereza ali v stojini I-prereza. V ta namen smo razvili različne optimizacijske modele, ki vključujejo vse kombinacije omenjenih različnih jeklenih prerezov in leg elastičnih nevtralnih osi. 2*SOVPREŽNI STROPNI SISTEM Sovprežno konstrukcijo obravnavamo kot pro-stoležeči sovprežni nosilni sistem, glej sliko 1. Obravnavani sovprežni stropni sistem je sestavljen iz množice sovprežnih nosilcev z medsebojnimi vodoravnimi razmiki e. Vsak sovprežni nosilec je nadalje sestavljen iz sodelujoče širine armiranobetonske plošče beff in enega jeklenega dvojno simetričnega I-prereza. Valjčni mozniki, ki so privarjeni na zgornjo pasnico I-nosilca, povezujejo armiranobetonsko ploščo in jekleni I-nosilec (slika 2). Med betoniranjem so nosilci podprti z vmesnimi podporami tako, da se po strditvi betona lastna in spremenljiva obtežba v celoti preneseta na sovprežni prerez. Sovprežni I-nosilci so dimenzionirani v skladu z Evrokodom 4 [Eurocode 4, 2004b], po katerem so upoštevane še dodatne zahteve za jekleni del prereza v skladu z Evrokodom 3 [Eurocode 3, 2005], za armiranobetonsko ploščo pa dodatne zahteve po Evrokodu 2 [Eurocode 2, 2004a]. Obtežbe na sovprežnih nosilcih so kombinirane v skladu z Evrokodom 1 [Eurocode 1, 2002]. Po MSN so zadoščeni pogoji za elastično upo-gibno nosilnost sovprežnega prereza, strižno nosilnost sovprežnega prereza, lokalno izbočen-je stojine nosilca zaradi striga, strižno odpornost moznikov (strig in bočni pritisk na beton) in elastično upogibno nosilnost armiranobetonske Slika 1* Sovprežni stropni sistem. 211 plošče. Armiranobetonska plošča je dimenzioni-rana kot kontinuirna plošča, nosilna v eni smeri. Pri dimenzioniranju sovprežnega stropnega sistema smo upoštevali, da lahko nevtralna os leži v betonu, v zgornji pasnici jeklenega I-prereza ali v stojini I-prereza. Pri MSU so navpični upogibki sovprežnih nosilcev računani po elastični metodi z upoštevanjem lezenja in krčenja betona pod vplivom stalne obtežbe. Pri tem največji upogibki zaradi stalnih obtežb in spremenljivih obtežb niso presegli predpisanih mejnih navpičnih upogibkov. Prav tako smo kontrolirali končne navpične upogibke in razpoke armiranobetonske plošče in jih omejili z mejnimi vrednostmi. Slika 2* Prečni prerez sovprežnega stropnega sistema z I-nosilci. 3'OPTIMIZACIJSKI MODELI COMBOPTE Ker je optimizacijski problem sovprežnega stropnega sistema nelinearen, nekonveksen in diskretno/zvezen, smo za reševanje optimizacije uporabili mešano celoštevilsko nelinearno programiranje MINLP. 3.1 Splošna modelna formulacija MINLP Sovprežni stropni sistem je nelinearni, nekon-veksni in kombinirani diskretno/zvezni optimizacijski problem, ki ga izračunamo s pomočjo mešanega celoštevilskega nelinearnega programiranja (MINLP). Splošno modelno formulacijo MINLP lahko zapišemo v obliki: min z=f(x,y) pri pogojih gk (x,y) < 0 k e K n x e X = {x e R : xLO < x < xUP} m y e Y = {0,1} , pri čemer je funkcija f(x, y) namenska funkcija z in gk (x,y) je množica pogojnih enačb in neenačb. Vse funkcije so nelinearne, zvezne in zvezno odvedljive. Vektor x je vektor zveznih spremenljivk, definiran na definicijskem območju X, in y je vektor diskretnih binarnih 0-1 spremenljivk, ki lahko zavzamejo vrednost 0 ali 1. 3.2 Optimizacijski modeli Za elastično odpornost sovprežnega prereza smo razvili 18 različnih optimizacijskih MINLP-modelov COMBOPTE (COMposite Beam OPTimization Elastic). Z modeli dobimo različne optimalne rešitve s kombinacijo med: • 3 različnimi I-prerezi sovprežnega stropnega sistema: - jekleni varjeni I-prerez - standardni IPE-prerez - standardni HEA-prerez • 3 različnimi legami nevtralnih osi: - v betonski plošči - v zgornji pasnici jeklenega I-prereza - v stojini jeklenega I-prereza • 2 različni legi težiščnih osi idealiziranega sovprežnega prereza: - v betonski plošči - v jeklenem I-nosilcu. Optimizacijske modele sovprežnega stropnega sistema smo zapisali v višjem algebraj-skem modelnem jeziku GAMS (General Algebraic Modeling System) [Brooke, 1988]. Vsak model vsebuje stroškovno namensko funkcijo, pogojne (ne)enačbe, celoštevilske in mešane celoštevilske pogojne (ne)enačbe, vhodne podatke (konstante) in spremenljivke, glej sliko 3. OPTIMIZACISJKI MODELI COMBOPTE Stroškovna namenska funkcija min z = f (x,y) pri pogojih gk (x,y) < 0 Pogojne (ne)enačbe statične analize in dimenzioniranja mejno stanje nosilnosti: - elastična upogibna odpornost sovprežnega prereza - odpornost na strig - strižna odpornost moznikov - plastična upogibna odpornost armiranobetonske plošče mejno stanje uporabnosti: - kontrola navpičnih upogibkov sovprežnega nosilca - kontrola navpičnih upogibkov armiranobetonske plošče - kontrola razpok armiranobetonske plošče Logične pogojne (ne)enačbe za - standardni material (trdnost betona in jekla) - standardne dimenzije jeklenih prerezov - zaokrožene debeline armiranobetonske plošče Spremenljivke x, y in vhodni podatki Slika 3* Struktura modelov (programa) COMBOPTE. 212 MINLP-OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z ELASTIČNO ODPORNOSTJO NOSILCA» doc. dr. Tomaž Žula, prof. dr. Stojan Kravanja 3.3 Stroškovna namenska funkcija Optimizacijski modeli COMBOPTE vsebujejo namensko funkcijo lastnih izdelavnih stroš-kov, ki predstavlja obsežni sistem stroškovnih postavk, zapisanih v obliki nelinearnih funkcij, ki so jih razvili Klanšek in Kravanja ([Klanšek, 2006a], [Klanšek, 2006b]) ter Žula s sodelavci ([Žula, 2016], [Žula, 2017]). Namenska funkcija obsega stroške materiala, energije in dela, potrebne za izdelavo obravnavanega sovprežnega stropnega sistema, glej enačbo (1): min: Cost {CM,s + CM,c + CM,r + CM,sc + CM,e + CM c + CM + CM,c,ng + CM,c,oxy + CP,c,gm + CP,w + CP,sw + C + C + C + C + C + C CP,v CL,c,oxy-ng CL,g CL,p,a, t CL, w CL,sw + Cl,spp + Clj + Cl,r + Cl,c + Cl,v + Cl,cc}/(e ' L) (1) Spremenljivka Cost (€/m2) predstavlja lastne izdelavne stroške na enoto uporabne površine sovprežnega stropnega sistema (€/m2); CM,..., CP,... in Cy... označujejo posamezne stroškovne postavke materiala, električne energije in dela, izračunane v €, glej preglednico 1; L (m) je razpon sovprežnega stropnega sistema in e (m) je medsebojna razdalja dveh sosednjih I-nosilcev. Stroški materiala so: konstrukcijsko jeklo CMs beton CMc, rebrasta mrežna armatura CM/, valjčni mozniki CMsc, elektrode CMe antikorozijska zaščita, protipožarna zašči- ta in končni premaz CMac fp,tc, prefabricirane opažne plošče CMf naravni plin CMcng in kisik CMAoxy. Stroški električne energije vključujejo: proces brušenja robov pločevin CPgm, proces obločnega varjenja pločevin CPw, proces obločnega varjenja valjčnih moznikov CPsw in proces vibriranja betona CPv Stroški dela zajemajo: plinsko rezanje jeklenih pločevin s tehnologijo kisik-naravni plin CLAoxynng, brušenje robov pločevin CLg, priprava, sestavljanje in pritrjevanje elementov za varjenje CLmt, ročno obločno varjenje CLsSMAW, polavtomatsko obločno varjenje valjčnih moznikov CLsw, peskanje pločevine in nanos antikorozijskega, protipožarnega ter končnega premaza CLspp, montaža, niveliranje, demontaža in čiščenje opažnega sistema CLf, rezanje, postavitev in vezanje mrežne armature Cr betoniranje plošče CLo konsolidacija betona CLv in nega betona CLcc. Podrobno je stroškovna namenska funkcija predstavljena v člankih Klanš-ka in Kravanje ([Klanšek, 2006a], [Klanšek, 2006b]), Kravanja s sodelavci [Kravanja, 2017] in Žula s sodelavci [Žula, 2016]. 3.4 Pogojne (ne)enačbe Namenska stroškovna funkcija je podvržena pogojnim (ne)enačbam, poznanim iz analize cM,s Cena konstrukcijskega jekla S 235 za 8 mm debelo jekleno pločevino: cS =1,25 €/kg cM,s = cs ■ ( a, • fy + a2 ■ t2+ a3 ■ fy ■ t + a4 ■ fy + a5 ■ t + a6) (€/kg); a, = -3,7313 x 1Q"4; a2 = -1,7170 x 1Q-2; a3 = -4,9858 x 1Q-4 a4 = 2,8962 x 1Q-2 a5 = 1,2934 x 1Q-1 a6 = 4,4147 x 1Q-1 fy (kN/cm2)*; t (cm) debelina pločevine cM,s Cena konstrukcijskega jekla S 235 za standardni IPE 80 prerez: cS =1,25 €/kg cM,s = cs ■ (a, ■ fy + a2 ■ h+ a3 ■ fy ■ h + a4 ■ fy + a5 ■ h + a6) (€/kg); a, = 1,8783 x 1Q-4; a2 = 3,0707 x 1Q-4; a3 = 1,6530 x 1Q-5 a4 = -3,3288 x 1Q-3 a5 = -1,3915 x 1Q-2 a6 = 1,0630 x 1Q0 fy (kN/cm2)*; h (cm) višina profila cM,s Cena konstrukcijskega jekla S 235 za standardni prerez HEA 100: cS =1,25 €/kg cm, s = cs ■ (a, ■ fy + a2 ■ h2+ a3 ■ fy ■ h + a4 ■ fy + a5 ■ h + a6) (€/kg); a, = 2,1982 x 1Q-4; a2 = 6,2266 x 1Q-5; a3 = 4,1031 x 1Q-5 a4 = -5,3682 x 1Q-3 a5 = 4,9888 x 1Q-4 a6 = 9,8361 x 1Q-1 fy (kN/cm2)*; h (cm) višina profila cM,c Cena betona C 20/25: cC = 85,00 €/m3 cm,c = cc ■ (k1 • fk + k2 • fck + £3) (€/kg); k1 = -3,222Q x 1Q-2; k2 = 4,Q571 x 1Q-1; k3 = 1,8829 x 1Q-1 fk (kN/cm2)** CMf Materialni strošek prefabriciranih opažnih plošč: CM,f cMf ■ 1/nuc ■ Acs cMf cena prefabriciranih opažnih plošč; cMj = nuc število ciklov uporabe opažnih plošč, od 10 do 100; nuc =30 30,00 €/m2 Acs površina opaža na sovprežni nosilec; Acs = e ■ L (m2) cM,r Cena armaturnega jekla B 500 0,70 €/kg cM,sc Cena valjčnih moznikov 0,50 €/moznik cM,e Cena elektrod 1,70 €/kg cM,ac Cena antikorozij skega zaščitnega premaza 0,85 €/m2 cM,fp Cena protipožarnega zaščitnega premaza R 30 9,00 €/m2 cM,tc Cena končnega zaščitnega premaza 0,65 €/m2 cM,ng Cena naravnega plina 0,50 €/m3 cM,oxy Cena kisika 1,60 €/m3 cp Cena električne energij e 0,10 €/kWh cl Stroškovna urna postavka delavca 20,00 €/h Preglednica 1* Stroškovni parametri materiala, energije in dela v optimizacijskih modelih COMBOPTE. in dimenzioniranja sovprežnih konstrukcij. Pogojne (ne)enačbe dimenzioniranja sovprežne-ga stropnega sistema so definirane skladno s standardom Evrokod 4. Razdeljene so v dve skupini: pogojne (ne)enačbe mejnega stanja nosilnosti (MSN) in pogojne (ne)enačbe mejnega stanja uporabnosti (MSU). Enačbi (2)-(3) obravnavata odpornost sovprežnega prereza na upogibni moment, kjer MEdcb predstavlja projektni upogibni moment, MEmcb pa označuje projektno elastično upogibno odpornost sovprežnega prereza. Enačba (4) definira projektno zvezno obtežbo qEdcb. Preostali členi v enačbi so: delni faktor za stalno obtežbo yg delni faktor za spremenljivo obtežbo yq stalna obtežba g in spremenljiva obtežba q. kjer je: MEd,cb (d +tf) MBr = Ntj • aj + Nt2 • a2 + Ncj • a3 + Nc2 • a4 + Nc3 • a5 kjer je: (27) (28) Ncj Nc2 z. i xe — d \ f(rnrn—di ^ ) (20^ O- (rnuTi^)-d• bf (21) • n \d + h — x„J Ntj Nt2 2 beff N, 2 j f f Za. 2 j — tf) • 2 j d + h — xe — tf\ 1 + d + h —x/) j f j bf (29) d + h — xe — tf d + h — xe (d + h— cj 'xe — d — tj 2 • d + 2 • h — 2 • xe — tf a2 = d + h — xe — tj — 3 • xe (h — 2 • tf) 3 • d + h + tr — 2 • d + h — 2 (22) (23) Nc2 N (30) d + h — xj (xe — d —tf) j W (31) • d — tA (32) 2 • xe — 2 • d — tj d + h — xe '2 • xe — d \ • j • bf c3 Za • ( 2 • xe — d ) • d • b 2 • n \d + h — xj ■ aj - d + h — xe — • xe — 2 • j • j 2 • xe — tf 3 • d + 3 • h — 3 • 2 • d + 2 • h — 2 (33) (34) t 3 o a 3 a a a a 3 • d + 3 • h — 3 • xe — aj = d + h — xe — a a 2 3 3 x 214 beff ^ 0,26 ■ fcJfsk ■ bcu ■ (d — c) (50) As,min >0,0013 ■ bcu ■ (d—c) (51) As,max — 0,04 ■ bcu ■ d (52) Enačbe od (53) do (63) definirajo pogoje mejnega stanja uporabnosti. Navpični upogibki sovprežnega nosilca so preverjeni z enačbami (53)-(58), kjer je d2 upogibek sovprežnega nosilca zaradi projektne spremenljive obtežbe qEd, dmax je upogibek sovprežnega nosilca zaradi celotne obtežbe, Jcr-je upogibek sovprežnega nosilca zaradi lezenja betona in dsh je upogibek sovprežnega nosilca zaradi krčenja betona. Msh je upogibni moment zaradi krčenja betona, Ea je elastični modul konstrukcijskega jekla, I je idealizirani vztrajnostni m oment transformiranega sovprežnega prereza (betonski del prereza je transformiran/ spremenjen v jeklenega), Icr je idealizirani vztrajnostni moment zaradi krčenja betona in Ish je idealizirani vztrajnostni moment trans-formiranega sovprežnega prereza (betonski del prereza je transformiran/spremenjen v jeklenega) zaradi lezenja betona. VI 2 L/300 (53) = 2 5 ■ qEd ■ e ■ L4 (54) 384 ■ Ea ■ I i s max I L/250 (55) Smax = S2 + Šcr + &sh (56) Scr = 5 ■ g ■ L4 (57) 384 ■ Ea ■ Icr Msh ■ L2 8 ■ Ea ■ Ish (58) Navpični upogibek armiranobetonske plošče določajo pogojne (ne)enačbe od (59) do (63), kjer je d upogibek armiranobetonske plošče zaradi celotne obtežbe, d: je upogibek armiranobetonske plošče zaradi celotne obtežbe pri upoštevanju nerazpokanega prereza in J„je upogibek armiranobetonske plošče zaradi celotne obtežbe pri upoštevanju razpo-kanega prereza. Z je koeficient porazdelitve, os, je napetost v natezni armaturi razpokane-ga prereza pri obtežnih pogojih nastanka prvih razpok, os je napetost v natezni armaturi pri razpokanem prerezu, kje koeficient, ki je odvisen od števila polj kontinuirane Y v b.Rd.cb 215 armiranobetonske plošče, Ecf je učinkoviti modul elastičnosti betona, Ecm je sekantni modul elastičnosti betona, Iu je vztrajnostni moment nerazpokane betonske plošče (širine 1 m), Ic je vztrajnostni moment razpokane betonske plošče (širine 1 m). s < L/250 s = z • su + (1 - o • s! Z = 1 - 0,5 • (crsr/aj2 (59) (60) (61) p ôJ = k ■ 1 c ô„ = k ■ ■ d ■ q ■ h. ■ bc„ ■ d ■ e4 (62) q ■ bc, Ec eff ■ Jc 3.5 Logične pogojne (ne)enačbe Z logičnima pogojnima enačbama (64)- (65) računamo diskretne vrednosti materialov dmat (trdnosti betona in jekla), z enačbama (66)-(67) standardne dimenzije d (debeline pločevin in prerez armaturne mreže) ter z enačbama (68)-(69) zaokrožene dimenzije drd (debelino betonske plošče). Posamezne diskretne vrednosti so definirane kot skalarni produkt med vektorjem diskretnih številskih vrednosti alternativ in vektorjem pridruženih binarnih spremenljivk. (63) dma =YJqiy7 (64) 2 yr =i /eI (65) (66) kEK 2 yS=1 kEK (67) d"1= 2 q^yt (68) mE M 2 ymd =i mEM (69) 4 e + E ■ J ^ cm iu e c + E ■ I cm c 4'RAČUNSKI PRIMER V računskem primeru predstavljamo sočasno optimiranje stroškov, standardnih dimenzij, standardnih materialov in zaokroženih dimenzij prostoležečega sovprežnega stropnega sistema. Stropni sistem obravnavamo z elastično odpornostjo sovprežnega nosilca. Obravnavani sovprežni stropni sistem ima razpon 15 m in je obtežen z lastno težo in enakomerno zvezno spremenljivo obtežbo 4 kN/m2, glej sliko 7. Sovprežni stropni sistem sestavlja armiranobetonska plošča, ki je preko moznikov povezana z jeklenimi I-nosilci. Premer moznikov z glavo je 19 mm. Za optimizacijo sovprežnega stropnega sistema smo uporabili omenjene optimizacijske MINLP-modele COMBOPTE. Modeli vsebujejo podrobno stroškovno namensko funkcijo, ki zajema lastne izdelavne stroške konstrukcije (stroške materiala, energije in stroške dela). Superstruktura sovprežnega sistema, sestavljenega ali iz varjenih jeklenih I-prerezov, IPE-profilov ali HEA-profilov, je podrobneje opisana v referenci Žula in Kravanja [Žula, 2017]. Obravnavane so tudi tri različne lege nevtralnih osi: v armiranobetonski plošči, v zgornji pasnici jeklenega I-prereza in v stojini jeklenega I-prereza. Rezultat opti-miranja je optimalni trdnostni razred betona, optimalno konstrukcijsko jeklo, standardni prerez jeklenih I-nosilcev, standardni prerez armaturnih mrež, razmik med I-nosilci in debelina armiranobetonske plošče pri minimalnih lastnih izdelavnih stroških sovprežne-ga sistema. Optimiranje je bilo izvedeno s programskim paketom MIPSYN ([Kravanja, 2003], [Kravanja, 2010]), ki je bil izpeljan iz programa PROSYN [Kravanja, 1994]. Reševanje MINLP-problema sovprežnega stropnega sistema je bilo izvedeno z dvofaznim opti-miranjem [Žula, 2017] in z modificiranim OA-/ER-algoritmom zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb. Za reševanje NLP-pod-problemov je bil uporabljen program GAMS/ CONOPT2 [Drudd, 1994] (splošna metoda reduciranih gradientov), za reševanje glavnih MILP-problemov pa GAMS/Cplex 7.0 [Cplex, 2016] (metoda vejanja in omejevanja). Preglednica 2 prikazuje najboljše rezultate sovprežnega stropnega sistema, sestavljenega iz varjenih I-prerezov, standardnih vroče j—q-4.0 kNAnJ / L= lî.Orn 4-J i ■ Slika 7* Obravnavani sovprežni stropni sistem. valjanih IPE-profilov ali standardnih vroče valjanih HEA-profilov. Za sovprežni stropni sistem iz varjenih I-prerezov so bili dobljeni optimalni lastni izdelavni stroški 74,87 €/m2 pri legi nevtralne osi v zgornji pasnici I-pre-reza. Poleg optimalnih lastnih izdelavnih stroškov so pridobljeni še: optimalni trdnostni razred betona C 35/45, optimalni trdnostni razred konstrukcijskega jekla S 355, optimalni medsebojni razmik med nosilci 3491 mm, optimalna višina jeklenega I-prereza 799 mm, debelina stojine 8 mm, širina pasnic 120 mm, debelina pasnic 8 mm, optimalna debelina armiranobetonske plošče 11 cm in optimalna armaturna mreža R335. Optimalni rezultati so prikazani na sliki 8. Pri optimizaciji stropnega sistema, sestavljenega iz IPE-profilov, je dobljen najboljši rezultat, ko leži nevtralna os v stojini jeklenega IPE-profila, glej preglednico 2. Optimalni lastni izdelavni stroški so 94,52 € na m2 površine stropnega sistema. Najboljši rezultat še vsebuje: optimalni trdnostni razred betona C 50/60, optimalni trdnostni razred konstrukcijskega jekla S 275, optimalni medsebojni razmak med nosilci 3397 mm, optimalni prerez IPE 550, optimalno debelino armiranobetonske plošče 9 cm in optimalno armaturno mrežo R424, glej sliko 9. Najnižji lastni izdelavni stroški sovprežne-ga stropnega sistema, sestavljenega iz HEA-profilov, 107,45 €/m2, so dobljeni v primeru, kadar nevtralna os leži v zgornji pas-nici jeklenega HEA-profila. V tem primeru je optimalni trdnostni razred betona C 50/60, optimalni trdnostni razred konstrukcijskega jekla S 275, optimalni medsebojni razmik med nosilci 4058 mm, optimalni prerez HEA 500, optimalna debelina armiranobetonske plošče 12 cm in optimalna armaturna mreža R424, glej sliko 10. 216 a) b) c) opis vrednosti Varjen I-prerez 77,86 14 C20/25 1014/8 120/8 3747 S275 74,87 11 C35/45 799/8 120/8 3491 S355 79,57 11 C50/60 1041/8 120/8 4161 S275 cena (€/m2) d (cm) beton (MPa) hw (mm) / tw (mm) bf (mm) / tf (mm) e (mm) jeklo (Mpa) IPE 95,29 12 C20/25 550 S275 3459 95,08 10 C50/60 550 S275 3347 94,52 9 C50/60 550 S275 3397 cena (€/m2) d (cm) beton (MPa) IPE jeklo (MPa) e (mm) HEA 108,29 13 C30/37 500 S235 3190 107,45 12 C50/60 500 S275 4058 112,45 10 C40/50 500 S235 3624 cena (€/m2) d (cm) beton (MPa) HEA jeklo (MPa) e (mm) Nevtralna os leži v: a) armiranobetonski plošči, b) zgornji pasnici jeklenega prereza c) stojini jeklenega prereza Preglednica 2* Optimalni rezultati sovprežnega stropnega sistema z I-nosilci z elastično metodo. Z elastično odpornostjo lahko sicer računamo sovprežne nosilce v vseh primerih, obvezno pa v primeru 3. razreda kompaktnosti. Ta sovprežni stropni sistem smo že optimi-rali s plastično upogibno odpornostjo, glej računski primer v referenci Žula in Kravanja [Žula, 2017]. Primerjava najboljših rezultatov med plastično upogibno odpornostjo (69,20 €/m2) in elastično odpornostjo (74,87 €/m2) pokaže, da je ta sovprežni stropni sistem cenejši za 7,5 %, če ga obravnavamo s plastično odpornostjo. To se sklada tudi s splošnim dejstvom, da so plastične upogibne odpornosti prerezov večje od elastičnih. V večparametrični študiji sovpežnih stropnih sistemov, glej Kravanja s sodelavci [Kravanja, 2017], smo za različne razpone in obtežbe dokazali, da so sovprežni nosilci, dimenzionirani z elastično upogibno odpornostjo, v povprečju za 15 % do 20 % dražji od sovprežnih nosilcev s plastično upogibno odpornostjo. Slika 8* Optimalni prerez sovprežnega stropnega sistema, sestavljenega iz varjenih I-prerezov. IPE i» Si» CM« Kil sm Slika 9* Optimalni prerez sovprežnega stropnega sistema, sestavljenega iz IPE-prerezov. Slika 10* Optimalni prerez sovprežnega stropnega sistema, sestavljenega iz HEA-prerezov. 5'SKLEP V prispevku smo predstavili stroškovno optimiranje sovprežnega stropnega sistema, sestavljenega iz armiranobetonske plošče in jeklenih I-nosilcev. Optimiranje je bilo izvedeno z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP). Raz- vili smo različne optimizacijske modele za ugotavljanje konkurenčnosti sovprežnih stropnih sistemov, pri čemer so jekleni nosilci lahko izdelani iz varjenih I-prerezov, standardnih vročevaljanih IPE-pro-filov ali HEA-profilov. Optimizacijski modeli obravnavajo elastično upogibno odpornost sovprežnega prereza in tri različne lege nevtralnih osi: v armiranobetonski plošči, v zgornji pasnici jeklenega I-prereza in v stojini jeklenega I-prereza. Na koncu prispevka smo z računskimi primeri pokazali, da je z MINLP mogoče izračunati optimalni dizajn stroškovno najugodnejšega sovprežnega stropnega sistema za podana razpon in obtežbo. 217 7'LITERATURA Brooke A., Kendrick D. and Meeraus A., GAMS - A User's Guide, Scientific Press, Redwood City, CA, 1988. CPLEX User Notes, ILOG inc, 2016. Drudd, A.S., CONOPT - A Large-Scale GRG Code, ORSA J. Comput., 6(2), 207-216, 1994. Eurocode 1, Actions on structures, European Committee for Standardization, Brussels, 2002. Eurocode 2, Design of concrete structures, European Committee for Standardization, Brussels, 2004a. Eurocode 3, Design of steel structures, European Committee for Standardization, Brussels, 2005. Eurocode 4, Design of composite steel and concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings, European Committee for Standardization, Brussels, 2004b. Kaveh, A., Massoudi, MS., Cost optimization of a composite floor system using ant colony system, Iranian journal of science and technology-transactions of civil engineering, 36(C2), 139-148, 2012. Klansek, U., Kravanja, S., Cost estimation, optimization and competitiveness of different composite floor systems-Part 1: Self-manufacturing cost estimation of composite and steel structures, J Construct Steel Res., 62(5), 434-448, 2006a. Klansek, U., Kravanja, S., Cost estimation, optimization and competitiveness of different composite floor systems-Part 2: Optimization based competitiveness between the composite I beams, channel-section and hollow-section trusses, J Construct Steel Res., 62(5), 449-462, 2006b. Kravanja, S., Kravanja, Z., Bedenik, B. S., The MINLP optimization approach to structural synthesis. Part I: A general view on simultaneous topology and parameter optimization, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 43(2), 263-292, 1998a. Kravanja, S., Kravanja, Z., Bedenik, B. S., The MINLP optimization approach to structural synthesis. Part II: Simultaneous topology, parameter and standard dimension optimization by the use of the Linked two-phase MINLP strategy, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 43(2), 293-328, 1998b. Kravanja, S., Sorsak, A., Kravanja, Z., Efficient multilevel MINLP strategies for solving large combinatorial problems in engineering, Optimization and engineering, 4(1), 97-151, 2003. Kravanja, S., Zula, T., Klansek, U., Multi-parametric MINLP optimization study of a composite I beam floor system, Engineering structures, 130, 316-335, 2017. Kravanja, Z., Grossmann, I.E., New Developments and Capabilities in PROSYN - An Automated Topology and Parameter Process Synthesizer, Computers & Chemical Engineering, 18(11-12), 1097-1114, 1994. Kravanja, Z., Challenges in sustainable integrated process synthesis and the capabilities of an MINLP process synthesizer MipSyn, Comput. chem. eng., 34(11), 1831-1848, 2010. Omkar, S.N., Senthilnath, J., Khandelwal, R., Naik, G.N., Gopalakrishnan, S., Artificial Bee Colony (ABC) for multi-objective design optimization of composite structures, Appl Soft Comput, 11, 489-499, 2011. Poitras, G., Lefrangois, G., Cormier, G., Optimization of steel floor systems using particle swarm optimization, J Construct Steel Res., 67(8), 1225-1231, 2011. Senouci A.B., Al-Ansari M.S., Cost optimization of composite beams using genetic algorithms, Advances in Engineering Software, 40, 1112-1118, 2009. Zula, T., Kravanja, S., Klansek, U., MINLP optimization of a composite I beam floor system, Steel and composite structures, 22(5), 1163-1192, 2016. Zula, T., Kravanja, S., MINLP optimiranje sovpreznega stropnega sistema z I-nosilci, Gradbeni vestnik, 66, 194-203, 2017. 218