Kvizi iz Matematike I 2. del Avtorica Aleksandra Tepeh April 2024 Naslov Kvizi iz Matematike I Podnaslov 2. del Title Mathematics 1 Quizzes Subtitle Part Two Avtorica Aleksandra Tepeh Author (Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko) Recenzija Dragana Božović Review (Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko) Lektoriranje Tadeja Kraner Šumenjak Language editing (Univerza v Mariboru, Fakulteta za kmetijstvo in biosistemske vede) Tehnična urednika Aleksandra Tepeh Technical editors (Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko) Jan Perša (Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba) Grafične priloge Viri so lastni, razen če ni navedeno drugače. Graphics material Tepeh, 2024 Oblikovanje ovitka Jan Perša Cover designer (Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba) Grafika na ovitku Cover graphic Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba in Tepeh, 2024 Založnik Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba Published by Slomškov trg 15, 2000 Maribor, Slovenija https://press.um.si, zalozba@um.si Izdajatelj Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Issued by Koroška cesta 46, 2000 Maribor, Slovenija https://feri.um.si, feri@um.si Izdaja Edition Prva izdaja Izdano Published at Maribor, april 2024 Vrsta publikacije Publication type E-knjiga Dostopno na Available at https://press.um.si/index.php/ump/catalog/book/863 Izdajo sofinancirata Evropska unija – NextGenerationEU in Republika Slovenija, Ministrstvo za visoko šolstvo, znanost in inovacije. © Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba CIP - Kataložni zapis o publikaciji / University of Maribor, University Press Univerzitetna knjižnica Maribor Besedilo / Text © Tepeh, 2023 51(0.034.2) To delo je objavljeno pod licenco Creative Commons Priznanje avtorstva-Deljenje TEPEH, Aleksandra pod enakimi pogoji 4.0 Mednarodna. / This work is licensed under the Creative Commons Kvizi iz matematike I [Elektronski Attribution-ShareAlike 4.0 International License. vir]. Del 2 / Aleksandra Tepeh. - 1. izd. - Maribor : Univerza v Mariboru, Uporabnikom se dovoli reproduciranje, distribuiranje, dajanje v najem, javno Univerzitetna založba, 2024 priobčitev in predelavo avtorskega dela, če navedejo avtorja in širijo avtorsko delo/predelavo naprej pod istimi pogoji. Za nova dela, ki bodo nastala s predelavo, Dostopno tudi na: je tudi dovoljena komercialna uporaba. https://press.um.si/index.php/ump/catalog/ book/863 Vsa gradiva tretjih oseb v tej knjigi so objavljena pod licenco Creative Commons, ISBN 978-961-286-844-4 (WEB, pdf) razen če to ni navedeno drugače. Če želite ponovno uporabiti gradivo tretjih oseb, ki ni zajeto v licenci Creative Commons, boste morali pridobiti dovoljenje doi: 10.18690/um.feri.2.2024 neposredno od imetnika avtorskih pravic. COBISS.SI-ID 190516739 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ ISBN 978-961-286-844-4 (pdf) DOI https://doi.org/10.18690/um.feri.2.2024 Cena prof. dr. Zdravko Kačič, Price Brezplačni izvod Odgovorna oseba založnika For publisher rektor Univerze v Mariboru Citiranje Tepeh, A. (2024). Kvizi iz Matematike I: 2. del. Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba. doi: Attribution 10.18690/um.feri.2.2024 K A Z A L O 1 Predgovor 1 2 Naloge 3 2.1 Limita funkcije 3 2.2 Odvod 9 2.3 Nedoločeni integral 13 2.4 Določeni integral 14 2.5 Zaporedja 16 2.6 Vrste 17 2.7 Mešane naloge 18 3 Rešitve 21 3.1 Limita funkcije 21 3.2 Odvod 34 3.3 Nedoločeni integral 43 3.4 Določeni integral 46 3.5 Zaporedja 50 3.6 Vrste 52 3.7 Mešane naloge 54 1 P R E D G O V O R Zbirka rešenih nalog je učni pripomoček, ki je v prvi vrsti namenjen študentom 1. letnika visokošolskih študijskih programov Računalništvo in informacijske tehnologije in Informatika in tehnologije komuniciranja na UM FERI, ki poslušajo predmet Matematika 1. Predstavlja nadaljevanje zbirke nalog Kvizi iz matematike I ( 1.del), v kateri so pokrite snovi prvega kolokvija pri omenjenem predmetu (osnove logičnega sklepanja, množice, kompleksna števila in funkcije). Pričujoča zbirka je namenjena pripravi na drugi kolokvij, saj zajema snovi o limitah, odvodih, integralih, zaporedjih in vrstah. Na koncu je dodano še poglavje z nalogami za pregled čez celotno snov in s tem pripravo na izpit. Kot v prvem delu zbirke so tudi tokrat vse naloge opremljene z rešitvami in večina še z dodatnimi pojasnili o poteku reševanja. Glede na pozitivne odzive študentov na prvi del zbirke tudi tokrat uporabljam kombinacijo formalnega knjižnega zapisa in neformalnih zapiskov s skicami, ki so študentom velikokrat bližji zaradi narave matematičnega jezika. Kljub skrbnemu pregledu se zavedam, da je v zbirki morda ostala kakšna napaka. Če jo opazite, bom vesela, če svojo pripombo sporočite na naslov aleksandra.tepeh@um.si. 1 2 N A L O G E 2.1 l i m i ta f u n k c i j e Naloga 1 Zapiši vsaj tri pravila za računanje z limitami. Naloga 2 Dopolni pravilo za računanje z limitami: lim( f (x) · g(x)) = x→a Naloga 3 Dopolni pravilo za računanje z limitami: f (x) lim = x→a g(x) Naloga 4 lim(x2 + 3x − 8)= x→4 (a) ∞ (b) 20 (c) 12 (d) ne obstaja. 1 Naloga 5 lim | − 2x − 4| − 4 = x→0 2 (a) ∞ (b) −2 (c) 2 (d) ne obstaja. ex Naloga 6 lim = x→0 cos x (a) 0 (b) 1 3 4 na l o g e (c) 12 (d) ne obstaja. x2 − 16 Naloga 7 lim = x→4 x − 4 √ (a) 8 (b) 1 (c) 8 (d) ∞. x2 + 3x − 16 Naloga 8 lim = x→∞ 3x2 + x − 2 (a) 13 (b) 3 (c) 1 (d) ∞. √x2 − 4 Naloga 9 lim √ = x→2 x − 2 (a) 2 √ (b) 2 (c) 0 (d) nič od zgoraj navedenega. √x2 − 4 Naloga 10 lim √ = x→∞ x − 2 (a) 2 √ (b) 2 (c) 0 (d) ∞ Naloga 11 Dopolni: sin x (a) lim = x→0 x Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 2.1 l i m i ta f u n k c i j e 5 1 x (b) lim 1 + = x→∞ x 1 (c) lim (1 + x) x = x→0 ln(1 + x) (d) lim = x→0 x sin 6x Naloga 12 S katero znano limito si lahko pomagaš pri izračunu limite lim ? x→0 x Izračunaj jo. Naloga 13 Dopolni: 1 (a) lim = x→0− x3 5 3x (b) lim 1 + = x→∞ x x2 − 6x − 16 (c) lim = x→−2 x + 2 Naloga 14 Dopolni: 1 (a) lim = x→0+ x (b) lim tan x = x→− π − 2 sin(4x) (c) lim = x→0 x x2 − 2x − 15 (d) lim = x→5 x − 5 5x2 − 5 Naloga 15 lim = x→1 |x − 1| (a) 1 (b) 5 (c) 10 (d) ne obstaja. 1 − 1 Naloga 16 lim x 2 = x→1 x − 2 A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 6 na l o g e (a) 00 (b) 14 (c) 12 (d) − 12 1 − 1 Naloga 17 lim x 2 = x→2 x − 2 (a) 00 (b) − 14 (c) 14 (d) − 12 Naloga 18 Obkroži vsako izjavo, ki je pravilna, če je f (x) = − x2−x−12 . x+3 (a) Funkcija f ni definirana pri x = −3. (b) Funkcija f je zvezna povsod, kjer je definirana. (c) f (x) = −x + 4. (d) Graf funkcije f je premica brez ene točke. Naloga 19 Obkroži vse pravilne odgovore. Da je funkcija f zvezna v točki x = a, mora veljati: (a) lim f (x) = lim f (x). x→a− x→a+ (b) funkcija f je definirana pri x = a. (c) f (a) = lim f (x). x→a (d) f (x) = a. Naloga 20 Grafično prikaži, kako se na grafu funkcije f odraža dejstvo, da je lim f (x) = ∞. x→5 Naloga 21 Grafično prikaži, kako se na grafu funkcije f odraža dejstvo, da je lim f (x) = ∞. x→5+ Naloga 22 Skiciraj graf funkcije f , ki ima limito v točki x = 5, a v tej točki ni definirana. Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 2.1 l i m i ta f u n k c i j e 7 Naloga 23 Skiciraj graf funkcije f , ki ima limito v točki x = 5 in je v tej točki tudi definirana, a ni zvezna. Naloga 24 Podana je funkcija f (x) = 4x+1 . Njena horizontalna asimptota x+2 (a) je x = 4. (b) je y = 4. (c) je y = 0. (d) ne obstaja. Naloga 25 Podana je funkcija f (x) = 4x3+2x+1 . Njena horizontalna asimptota je 7x5+3x2+2 (a) y = 0. (b) y = 5. (c) y = −5. (d) ne obstaja. Naloga 26 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna, če je f (x) = 5x2+1 . x+2 (a) Graf funkcije f ima poševno asimptoto. (b) Graf funkcije f ima vertikalno asimptoto. (c) Graf funkcije f ima horizontalno asimptoto. (d) Graf funkcije f nima asimptote. Naloga 27 Podana je funkcija f (x) = 3x2+1 . Njena horizontalna asimptota je x3+8 (a) x = 3. (b) y = 3. (c) y = 0. (d) ne obstaja. Naloga 28 Za graf funkcije f na spodnji sliki velja, da je lim f (x) = x→2 A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 8 na l o g e (a) ∞. (b) 1. (c) 2. (d) ne obstaja. Naloga 29 Grafično prikaži, kaj za graf funkcije f pomeni, da je lim f (x) = 3 in x→2 f (2) = 1. Kaj lahko poveš o zveznosti take funkcije? Naloga 30 Grafično prikaži, kaj za graf pomeni, da je lim f (x) = −∞. x→∞ 5x Naloga 31 Izračunaj limito lim in pojasni, kaj ta rezultat pomeni za graf x→∞ x3 − 1 funkcije. 4x Naloga 32 Izračunaj limito lim in pojasni, kaj ta rezultat pomeni za graf x→∞ 2x − 1 funkcije. 5x2 Naloga 33 Izračunaj limito lim in pojasni, kaj ta rezultat pomeni za graf x→∞ 3x + 2 funkcije. Naloga 34 Za graf funkcije f na spodnji sliki velja, da je lim f (x) = x→4− (a) ∞ (b) 4 (c) 6 (d) −∞ Naloga 35 Za graf funkcije f na zgornji sliki (pri nalogi 34) velja: Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 2.2 o d v o d 9 (a) f je zvezna funkcija, (b) leva in desna limita funkcije v x = 4 sta različni, (c) lim f (x) = 4, x→4+ (d) funkcija f v x = 4 ni definirana. 2.2 o d v o d Naloga 36 Izračunaj odvod funkcije f (x) = cos x − 6(x − 2)12 in zapiši pravila, ki si jih pri tem uporabil-a. Naloga 37 Izračunaj odvod funkcije f (x) = ln x − 5x4 in zapiši pravila, ki si jih pri tem uporabil-a. Naloga 38 Izračunaj odvod funkcije f (x) = 6x2 · tan x in zapiši pravila, ki si jih pri tem uporabil-a. Naloga 39 Izračunaj odvod funkcije f (x) = arctan e5x in zapiši pravila, ki si jih pri tem uporabil-a. Naloga 40 Tretji odvod funkcije f (x) = (2x + 1)ex je: (a) (5 − 3x)ex. (b) (7 + 3x)ex. (c) (2x − 7)ex. (d) (2x + 7)ex. Naloga 41 Devetnajsti odvod funkcije f (x) = (x − 1)ex je: (a) (18 − x)ex. (b) (18 + x)ex. (c) (19 − x)ex. (d) (19 + x)ex. Naloga 42 Če je f (x) = 7x3, g(2) = 4, g′(2) = −2, potem je prvi odvod kompozituma f (g(x)) v x = 2 enak: (a) 672. (b) 726. (c) −336. A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 10 na l o g e (d) −672. (e) 336. Naloga 43 Če je f (x) = 6x2, g(−1) = −2, g′(−1) = −3, potem je prvi odvod kompozituma f (g(x)) v x = −1 enak (a) 72. (b) 0. (c) −12. (d) 36. Naloga 44 Podana je funkcija F(x) = f 2(g(x)), pri čemer velja g(1) = 2, g′(1) = 3 in f (2) = 4, f ′(2) = 1. Potem je (a) F′(1) = 12. (b) F′(1) = 18. (c) F′(1) = 20. (d) F′(1) = 24. Naloga 45 Podana je funkcija F(x) = f 2(g(x)) + 2, pri čemer velja g(2) = 3, g′(2) = 1 in f (3) = 2, f ′(3) = 2. Potem je (a) F′(2) = 2. (b) F′(2) = 4. (c) F′(2) = 8. (d) F′(2) = 10. Naloga 46 Pojasni geometrijski pomen odvoda. Naloga 47 Poišči smerni koeficient tangente na graf funkcije f (x) = (x − 1)e4x v točki x = 1. Naloga 48 Zapiši enačbo tangente na graf funkcije f (x) = 5 ln x + x22 v točki z absciso x = 1. Naloga 49 Opiši kako izračunamo tangento na graf funcije f (x) v dani točki (a, b). Lahko razložiš na primeru: f (x) = x3, (a, b) = (2, b). Naloga 50 Na katerem intervalu narašča funkcija f (x) = xex? Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 2.2 o d v o d 11 Naloga 51 Za x ∈ (a, b) velja f ′(x) > 0. Potem lahko za funkcijo f rečemo, da je na intervalu (a, b) (a) padajoča. (b) naraščajoča. (c) konveksna. (d) konkavna. Naloga 52 Kaj je stacionarna točka? Poišči stacionarne točke funkcije f (x) = −x3 − 3x2 + 9x − 5. Naloga 53 Opiši, kako s pomočjo višjih odvodov poiščemo lokalne ekstreme funkcije. Naloga 54 Za funkcijo f (x) velja, da je f ′(3) = f ′′(3) = f ′′′(3) = 0 in f (4)(3) = 4. Potem ima funkcija f v x = 3 (a) prevoj. (b) lokalni maksimum. (c) lokalni minimum. (d) nič od zgoraj naštetega. Naloga 55 Dana je funkcija f (x) = xex. Obkroži črko pred vsako pravilno trditvijo: (a) Funkcija f je naraščajoča na intervalu (−1, ∞). (b) Funkcija f je padajoča na intervalu (0, ∞). (c) Funkcija f ima v x = 0 stacionarno točko. (d) Funkcija f ima v x = −1 lokalni minimum. Naloga 56 Kako izračunamo globalne ekstreme na intervalu [a, b]? Naloga 57 Kaj pomeni, da je funkcija konkavna in kako izračunamo intervale, na katerih je funkcija konkavna? Naloga 58 Opiši, kako s pomočjo odvoda ugotovimo, kje je funkcija konveksna. Naloga 59 Opiši, kako poiščemo prevoje funkcije. Naloga 60 Za x ∈ (a, b) velja f ′′(x) < 0. Potem lahko za funkcijo f rečemo, da je na intervalu (a, b) (a) naraščajoča. A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 12 na l o g e (b) konveksna. (c) konkavna. (d) padajoča. Naloga 61 Za funkcijo f (x) velja, da je f ′(2) = f ′′(2) = 0 in f ′′′(2) = 7. Potem ima funkcija f v x = 2 (a) prevoj. (b) lokalni maksimum. (c) lokalni minimum. (d) nič od zgoraj naštetega. Naloga 62 Kaj pravi L’Hôspitalovo pravilo? sin(16x) Naloga 63 S pomočjo L’Hôspitalovega pravila izračunaj limito lim . Pojasni, x→0 4x zakaj lahko to pravilo uporabimo. ln x Naloga 64 S pomočjo L’Hôspitalovega pravila izračunaj limito lim . x→1 x2 − 1 Pojasni, zakaj lahko to pravilo uporabimo. x ln x Naloga 65 S pomočjo L’Hôspitalovega pravila izračunaj limito lim . Po- x→∞ 3x2 + x + 5 jasni, zakaj lahko to pravilo uporabimo. Naloga 66 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna: (a) Izraz f (x+h)+ f (x) imenujemo diferenčni kvocient. h (b) Funkcija f je odvedljiva v točki x natanko tedaj, ko sta levi in desni odvod v x enaka. (c) Če je funkcije f zvezna, potem je tudi odvedljiva. (d) (tan x)′ = 1 . cos2 x Naloga 67 Zapiši pravili za odvod produkta in odvod kvocienta dveh funkcij. Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 2.3 n e d o l o č e n i i n t e g r a l 13 2.3 n e d o l o č e n i i n t e g r a l Naloga 68 Zapiši definicijo nedoločenega integrala funkcije f . Z 1 Naloga 69 Izračunaj nedoločeni integral funkcije f (x) = + 2x3 dx in cos2 x opiši, katera pravila si pri tem uporabil-a. Z Naloga 70 Izračunaj nedoločeni integral funkcije f (x) = (8x + 5)5 dx in opiši, katero integracijsko metodo si pri tem uporabil-a. Naloga 71 Zapiši formulo za integracijo po delih (per partes). Naloga 72 Zapiši formulo za integracijo po delih (per partes) ter s to metodo izračunaj integral f (x) = R ln x dx. Naloga 73 Dopolni: (a) R 1 dx = x (b) R 1 dx = cos2 x (c) R 1 dx = 1+x2 Naloga 74 Dopolni: (a) R x7 dx = (b) R 2 dx = x (c) R sin x dx = Naloga 75 Dokaži, da za odvedljivo funkcijo g(x) velja Z g′(x) dx = ln |(g(x))| + C. g(x) Naloga 76 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna: (a) Nedoločeni integral je število. (b) Nedoločeni integral je funkcija. (c) Če je F nedoločeni integral funkcije f , je njen nedoločeni integral tudi funkcija G(x) = F(x) + C, kjer je C ∈ R poljubna konstanta. (d) R ( f (x) · g(x)) dx = R f (x) dx · R g(x) dx. A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 14 na l o g e Naloga 77 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna: Z ax (a) ax dx = + C, a > 0, a ̸= 1. ln a Z 1 (b) dx = tan x + C. cos2 x Z (3 + 2x)43 (c) (3 + 2x)42 dx = + C. 43 Z f (x) dx Z f (x) (d) dx = . g(x) Z g(x) dx 2.4 d o l o č e n i i n t e g r a l Naloga 78 Pojasni geometrijski pomen določenega integrala. Naloga 79 Kaj predstavlja določeni integral nenegativne funkcije? (a) Naklon tangente na funkcijo f . (b) Odvod funkcije funkcije f . (c) Največjo vrednost funkcije f . (d) Ploščino pod krivuljo funkcije f . Naloga 80 Dopolni pravilo: R b( a α f (x) + β g(x)) dx = Naloga 81 Določeni integral funkcije f (x) = 3x2 − 2x + 1 od x = 1 do x = 5 je enak: (a) 10 (b) 36 (c) 64 (d) 104 Naloga 82 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) R b f (x) dx = R a f (x) dx a b (b) R b f (x) dx = − R a f (x) dx a b (c) R b( f (x) + g(x)) dx = R b f (x) dx + R b g(x) dx a a a Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 2.4 d o l o č e n i i n t e g r a l 15 (d) R b f (x) dx = f (b) − f (a) a Naloga 83 Določeni integral zvezne funkcije f (x) na intervalu [a, a] je enak: (a) f (a) (b) ∞ (c) F(a) (d) 0 Naloga 84 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) R b f (x) dx = F(b) − F(a), kjer je F′(x) = f (x). a (b) R b f (x) dx = f (b) − f (a). a (c) R b f (x) dx = R c f (x) dx + R b f (x) dx, kjer c ∈ [a, b]. a a c (d) R b f (x) dx = R a f (x) dx. a b Z 2 Naloga 85 (9 − x2) dx je enako: −1 (a) 42. (b) 24. (c) 36. (d) 54. Pojasni še geometrijski pomen izračunanega števila. Z e Naloga 86 Izračunaj f (x) = ln x dx. Pojasni geometrijski pomen izračunanega 1 integrala. Z 3 √ Naloga 87 Izračunaj f (x) = (2x − 5 3 x) dx. Pojasni geometrijski pomen izračunanega 1 integrala. Z 1 Naloga 88 (4 + 3x2) dx je enako: 0 (a) 10. (b) 5. (c) 12. A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 16 na l o g e (d) 8. Pojasni še geometrijski pomen izračunanega števila. Z π Naloga 89 (1 + cos x) dx je enako: 0 (a) − π. (b) π. (c) 0. (d) 2 π. (e) −2 π. Z 4 Naloga 90 |x| dx je enako: −4 (a) 24. (b) 8. (c) 16. (d) 0. (e) −8. 2.5 z a p o r e d ja Naloga 91 Kaj pomeni, da je zaporedje navzgor omejeno in kako je definirana zgornja meja zaporedja? Naloga 92 Dokaži, da je 2 zgornja meja zaporedja s splošnim členom an = 2n−7. n Naloga 93 Dokaži, da je 4 zgornja meja zaporedja s splošnim členom an = 4n−3. n Naloga 94 Kaj je supremum zaporedja? Naloga 95 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna: (a) Supremum ni vedno člen zaporedja. (b) Infimum zaporedja je najmanjši člen zaporedja. (c) Maksimum zaporedja je vrednost največjega člena zaporedja. (d) Minimum zaporedja zmeraj obstaja. Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 2.6 v r s t e 17 Naloga 96 Dokaži, da je zaporedje s splošnim členom an = n+3 strogo padajoče. n Naloga 97 Pojasni razliko med stekališčem in limito zaporedja. Naloga 98 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna: (a) Za omejeno zaporedje stekališče ne obstaja nujno. (b) Zaporedje je omejeno, ko je navzgor in navzdol omejeno. (c) Če je neko število limita zaporedja, potem je tudi stekališče tega zaporedja. (d) Če ima zaporedje eno stekališče, je divergentno. Naloga 99 Zapiši definicijo geometrijskega zaporedja in pojasni, od česa je odvisno padanje, naraščanje ter omejenost takega zaporedja. 2.6 v r s t e ∞ Naloga 100 Naj bo s = ∑ ai vrsta. Zapiši zaporedje delnih vsot te vrste. i=1 ∞ Naloga 101 Kdaj pravimo, da je vrsta s = ∑ ai konvergentna in kaj je njena vsota? i=1 13 3 Naloga 102 ∑ 3 + (k − 1) je enako: 2 k=1 (a) 156. (b) 154. (c) −154. (d) 108. (e) −156. ∞ 2k Naloga 103 Če vrsta ∑ konvergira, izračunaj njeno vsoto. 3 k=1 ∞ 3k Naloga 104 Če vrsta ∑ konvergira, izračunaj njeno vsoto. 4 k=1 Naloga 105 Obkroži črko pred konvergentno vrsto: ∞ (a) ∑ (−1)k, k=1 A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 18 na l o g e ∞ (b) ∑ 3k k=1 ∞ 2k (c) ∑ 5 k=1 ∞ 5k (d) ∑ 2 k=1 ∞ Naloga 106 Geometrijska vrsta ∑ a1qk je konvergentna, če je k=1 (a) |q| ≤ 1 (b) q < 1 (c) |q| < 1 (d) q ≥ 1. 2.7 m e š a n e na l o g e Naloga 107 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) Zaporedje s splošnim členom an = 3 · ( 3 )n je konvergentno. 2 (b) Vsak lokalni maksimum je stacionarna točka. (c) Funkcija f (x) = 2 ln x nima stacionarnih točk. (d) Nedoločeni integral funkcije je število, ki predstavlja ploščino nekega lika. Naloga 108 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) Vsaka stacionarna točka je bodisi maksimum bodisi minimum. (b) Eksponentna funkcija f (x) = 5e4x nima stacionarnih točk. (c) Določeni integral funkcije je vedno pozitivno število, ki predstavlja ploščino nekega lika. (d) Zaporedje s splošnim členom an = 5 − 3(n − 1) je aritmetično. Naloga 109 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna: (a) Če negiramo izjavo ¬p, dobimo izjavo p. (b) Implikacija ima prednost pred konjunkcijo. (c) Za kartezični produkt množic velja |A × B| = |A| · |B|. Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 2.7 m e š a n e na l o g e 19 (d) (A ∩ B)C = AC ∩ BC Naloga 110 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) Vsak lokalni ekstrem je stacionarna točka. (b) Kandidate za prevoje dobimo kot ničle prvega odvoda. (c) Nedoločeni integral funkcije je funkcija. (d) Eksponentna funkcija f (x) = e− x2 nima stacionarnih točk. Naloga 111 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) Funkcija tangens je naraščajoča povsod, kje je definirana. (b) Vsaka racionalna funkcija ima vsaj en pol. (c) Če je polinom lihe stopnje, ima vsaj eno realno ničlo. (d) Če integriramo produkt logaritemske funkcije in polinoma, lahko integriramo vsak faktor posebej in dobljena integrala zmnožimo. Naloga 112 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. √ √ (a) Naravno definicijsko območje funkcije f (x) = x − 2 + x + 5 je (−5, ∞). (b) Funkcija f (x) = sin2 x je soda. √ √ √ 2a + 2h − 2a (c) Če je f (x) = 2x, potem je f ′(a) = lim . h→0 h (d) Tretji odvod od f (x) = cos x je f ′′′(x) = − cos x. Naloga 113 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) Funkcija f (x) = x + cos x ima v 0 lokalni ekstrem. Z (b) e3x dx = e3x + C. (c) Argument kompleksnega števila z = −4 − 4i je 5 π . 4 (d) Imaginarni del kompleksnega števila 3+i je − 1 . 4−5i 5 A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 3 R E Š I T V E 3.1 l i m i ta f u n k c i j e OPOMBA: Nekatere limite iz tega razdelka je mogoče rešiti tudi s pomočjo L’H ôspitalovega pravila. Z njegovo pomočjo bomo limite reševali v poglavju o odvodu. Naloga 1 Zapiši vsaj tri pravila za računanje z limitami. Rešitev: (a) lim A = A x→a (b) lim( f (x) · g(x)) = lim( f (x)) · lim(g(x)) x→a x→a x→a (c) lim( f (x) + g(x)) = lim( f (x)) + lim(g(x)) x→a x→a x→a Naloga 2 Dopolni pravilo za računanje z limitami: lim( f (x) · g(x)) = x→a Rešitev: lim( f (x) · g(x)) = lim( f (x)) · lim(g(x)) x→a x→a x→a Naloga 3 Dopolni pravilo za računanje z limitami: f (x) lim = x→a g(x) f (x) lim f (x) Rešitev: lim = x→a , kjer je lim g(x) ̸= 0. x→a g(x) lim g(x) x→a x→a Naloga 4 lim(x2 + 3x − 8)= x→4 (a) ∞ (b) 20 21 22 r e š i t v e (c) 12 (d) ne obstaja. Rešitev: Pravilen odgovor je (b), saj je lim(x2 + 3x − 8) = lim x2 + lim 3x − lim 8 = 16 + 12 − 8 = 20. x→4 x→4 x→4 x→4 1 Naloga 5 lim −2x − 4 − 4 = x→0 2 (a) ∞ (b) −2 (c) 2 (d) ne obstaja. Rešitev: Pravilen odgovor je (b). ex Naloga 6 lim = x→0 cos x (a) 0 (b) 1 (c) 12 (d) ne obstaja. Rešitev: Pravilen odgovor je (b). x2 − 16 Naloga 7 lim = x→4 x − 4 √ (a) 8 (b) 1 (c) 8 (d) ∞ Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.1 l i m i ta f u n k c i j e 23 Rešitev: Pravilen odgovor je odgovor (c). Če v ulomek x2−16 vstavimo 4, x−4 dobimo nedoločen izraz 0. Da se te nedoločenosti znebimo, izraz v števcu 0 razstavimo na produkt. Velja torej: x2 − 16 (x − 4)(x + 4) lim = lim . x→4 x − 4 x→4 x − 4 Zapis x → 4 pove, da se x-i približujejo 4 (in torej x ni enak 4), zato lahko ulomek v limiti okrajšamo z x − 4, saj smo sigurni, da pri tem ne delimo z 0. Tako nadaljujemo z izračunom, kjer uporabimo še pravilo, da je limita vsote enaka vsoti limit in pravilo, da je limita konstante enaka tej konstanti: (x − 4)(x + 4) lim = lim (x + 4) = lim x + lim 4 = lim x + 4 = 8. x→4 x − 4 x→4 x→4 x→4 x→4 x2 + 3x − 16 Naloga 8 lim = x→∞ 3x2 + x − 2 (a) 13 (b) 3 (c) 1 (d) ∞ Rešitev: Pravilen odgovor je odgovor (a). Opazimo, da gre za limito tipa ∞ ∞ . Te nedoločenosti se znebimo tako, da delimo z največjo potenco x-a, ki nastopa v števcu in imenovalcu. Ulomek torej okrajšamo z x2, nakar upoštevamo pravila za računanje z limitami, ki nam omogočajo gledati števec in imenovalec, kakor tudi vsak člen vsote oz. razlike posebej. Tako dobimo: 3 16 x2 + − 3x − 16 1 + 3 − 16 lim 1 + lim lim 1 + 0 + 0 1 lim = lim x x2 = x→∞ x→∞ x x→∞ x2 = = . x→∞ 3x2 + x − 2 x→∞ 3 + 1 − 2 1 2 3 + 0 + 0 3 x x2 lim 3 + lim − lim x→∞ x→∞ x x→∞ x2 √x2 − 4 Naloga 9 lim √ = x→2 x − 2 (a) 2 √ (b) 2 (c) 0 (d) nič od zgoraj navedenega. A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 24 r e š i t v e √ Rešitev: Pravilen odgovor je odgovor (a). Če v ulomek x2−4 √ vstavimo 2, x−2 dobimo nedoločen izraz 0. Da se te nedoločenosti znebimo, izraz pod korenom v 0 števcu razstavimo na produkt in upoštevamo, da je koren produkta števil enak produktu korenov teh števil. Velja torej: √ √ √ x2 − 4 p(x − 2)(x + 2) x − 2 x + 2 lim √ = lim √ = lim √ . x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 x − 2 Zapis x → 2 pove, da se x-i približujejo 2 (in torej x ni enak 2), zato lahko ulomek √ v limiti okrajšamo z x − 2, saj smo sigurni, da ne delimo z 0. Tako nadaljujemo z izračunom: √ √ x − 2 x + 2 √ lim √ = lim x + 2 = 2. x→2 x − 2 x→2 √x2 − 4 Naloga 10 lim √ = x→∞ x − 2 (a) 2 √ (b) 2 (c) 0 (d) ∞ Rešitev: Pravilen odgovor je (d): √ √ √ x2 − 4 p(x − 2)(x + 2) x − 2 x + 2 √ lim √ = lim √ = lim √ = lim x + 2 = ∞. x→∞ x − 2 x→∞ x − 2 x→∞ x − 2 x→∞ Naloga 11 Dopolni: sin x (a) lim = x→0 x 1 x (b) lim 1 + = x→∞ x 1 (c) lim (1 + x) x = x→0 ln(1 + x) (d) lim = x→0 x Rešitev: Gre za znane limite, katerih vrednost je v primeru nalog (a) in (d) enaka 1, v primeru nalog (b) in (c) pa je rešitev enaka e. Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.1 l i m i ta f u n k c i j e 25 sin 6x Naloga 12 S katero znano limito si lahko pomagaš pri izračunu limite lim ? x→0 x Izračunaj jo. sin x Rešitev: Limita v nalogi je podobna znani limiti lim = 1. Števec in x→0 x imenovalec ulomka sin 6x razširimo s 6. Če gre x proti 0, gre proti 0 tudi 6x, torej x je sin 6x 6 sin 6x sin 6x lim = lim = 6 lim . x→0 x x→0 6x x→0 6x V zadnji limiti lahko 6x smatramo kot novo spremenljivko a, s čemer nadalje glede na omenjeno znano limito dobimo sin 6x sin a 6 lim = 6 lim = 6. x→0 6x a→0 a Naloga 13 Dopolni: 1 (a) lim = x→0− x3 5 3x (b) lim 1 + = x→∞ x x2 − 6x − 16 (c) lim = x→−2 x + 2 Rešitev: (a) −∞ x !15 5 3x 1 5 (b) lim 1 + = lim 1 + = e15 x→∞ x x→∞ x 5 x2 − 6x − 16 (x + 2)(x − 8) (c) lim = lim = −10 x→−2 x + 2 x→−2 x + 2 Naloga 14 Dopolni: 1 (a) lim = x→0+ x (b) lim tan x = x→− π − 2 sin(4x) (c) lim = x→0 x x2 − 2x − 15 (d) lim = x→5 x − 5 A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 26 r e š i t v e Rešitev: 1 (a) lim = ∞ x→0+ x (b) lim tan x = −∞ x→− π 2 sin(4x) 4 sin(4x) sin(4x) (c) lim = lim = 4 lim = 4 x→0 x x→0 4x x→0 4x x2 − 2x − 15 (x − 5)(x + 3) (d) lim = lim = lim(x + 3) = 8 x→5 x − 5 x→5 x − 5 x→5 5x2 − 5 Naloga 15 lim = x→1 |x − 1| (a) 1 (b) 5 (c) 10 (d) ne obstaja. Rešitev: Pravilen odgovor je (d). Spomnimo se, da velja x − 1 ; x − 1 ≥ 0 x − 1 ; x ≥ 1 |x − 1| = = −(x − 1) ; x − 1 < 0 −x + 1 ; x < 1 Zato moramo ločiti možnosti, ko se enici približujemo iz leve oz. iz desne: 5x2 − 5 5x2 − 5 5(x − 1)(x + 1) lim = lim = lim = 5 lim (x + 1) = 10, x→1+ |x − 1| x→1+ x − 1 x→1+ x − 1 x→1+ 5x2 − 5 5x2 − 5 5(x − 1)(x + 1) lim = lim = lim = −5 lim (x + 1) = −10. x→1− |x − 1| x→1− −(x − 1) x→1− −(x − 1) x→1− Ker se leva in desna limita, ko gre x proti 1, razlikujeta, limita ne obstaja. 1 − 1 Naloga x 2 16 lim = x→1 x − 2 (a) 00 (b) 14 (c) 12 (d) − 12 Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.1 l i m i ta f u n k c i j e 27 Rešitev: Pravilen odgovor je (d). 1 − 1 Naloga x 2 17 lim = x→2 x − 2 (a) 00 (b) − 14 (c) 14 (d) − 12 Rešitev: Pravilen odgovor je (b), saj je limita tipa 0 , ki jo rešimo po naslednjem 0 postopku 1 − 1 2−x −(x−2) −1 1 lim x 2 = lim 2x = lim 2x = lim = − . x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 2x 4 Naloga 18 Obkroži vsako izjavo, ki je pravilna, če je f (x) = − x2−x−12 . x+3 (a) Funkcija f ni definirana pri x = −3. (b) Funkcija f je zvezna povsod, kjer je definirana. (c) f (x) = −x + 4. (d) Graf funkcije f je premica brez ene točke. Rešitev: Pravilni odgovori so (a), (b) in (d). Naloga 19 Obkroži vse pravilne odgovore. Da je funkcija f zvezna v točki x = a, mora veljati: (a) lim f (x) = lim f (x). x→a− x→a+ (b) funkcija f je definirana pri x = a. (c) f (a) = lim f (x). x→a (d) f (x) = a. Rešitev: Pravilni odgovori so (a), (b) in (c). Naloga 20 Grafično prikaži, kako se na grafu funkcije f odraža dejstvo, da je lim f (x) = ∞. x→5 A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 28 r e š i t v e Rešitev: Zapis lim f (x) = ∞ pomeni, da gredo funkcijske vrednosti f (x) proti x→5 ∞, ko se x-i tako iz leve, kakor tudi iz desne smeri, približujejo 5. Primer take funkcije je spodnja: Naloga 21 Grafično prikaži, kako se na grafu funkcije f odraža dejstvo, da je lim f (x) = ∞. x→5+ Rešitev: Za razliko od prejšnje naloge imamo sedaj desno limito, kar nam pove indeks + v zapisu lim f (x) = ∞. To pomeni, da gredo funkcijske vrednosti f (x) x→5+ proti ∞, ko se x-i približujejo 5 iz desne smeri. V nalogi niso podane lastnosti funkcije na intervalu (−∞, 5), zato lahko graf tam skiciramo poljubno. Če si npr. zamislimo, da funkcija na tem intervalu sploh ni definirana, potem je primer funkcije, ki ustreza pogoju lim f (x) = ∞, tudi spodnja: x→5+ Naloga 22 Skiciraj graf funkcije f , ki ima limito v točki x = 5, a v tej točki ni definirana. Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.1 l i m i ta f u n k c i j e 29 Rešitev: Na spodnji sliki je razvidno, da sta leva in desna limita, ko gre x proti 5, enaki, lim f (x) = lim f (x) = L, zato je tudi lim f (x) = L, čeprav funkcija x→5+ x→5+ x→5 za x = 5 ni definirana. Naloga 23 Skiciraj graf funkcije f , ki ima limito v točki x = 5 in je v tej točki tudi definirana, a ni zvezna. Rešitev: Ker sta leva in desna limita, ko gre x proti 5, enaki, lim f (x) = x→5+ lim f (x) = L. Obstaja tudi lim f (x) in je enaka L. Ker pa ta limita ni enaka x→5+ x→5 funkcijski vrednosti v x = 5, lim f (x) ̸= f (5), funcija v tej točki ni zvezna. x→5 Naloga 24 Podana je funkcija f (x) = 4x+1 . Njena horizontalna asimptota x+2 (a) je x = 4. (b) je y = 4. (c) je y = 0. (d) ne obstaja. Rešitev: Pravilen odgovori je (b). Naloga 25 Podana je funkcija f (x) = 4x3+2x+1 . Njena horizontalna asimptota je 7x5+3x2−x A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 30 r e š i t v e (a) y = 0. (b) y = 5. (c) y = −5. (d) ne obstaja. Rešitev: Pravilen odgovor je (a). Naloga 26 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna, če je f (x) = 5x2+1 . x+2 (a) Graf funkcije f ima poševno asimptoto. (b) Graf funkcije f ima vertikalno asimptoto. (c) Graf funkcije f ima horizontalno asimptoto. (d) Graf funkcije f nima asimptote. Rešitev: Pravilna odgovora sta (a) in (b), saj ima funkcija pol (vertikalno asimptoto) x = −2 in poševno asimptoto y = 5x − 10. Dobimo jo iz celega dela pri deljenju polinomov: Naloga 27 Podana je funkcija f (x) = 3x2+1 . Njena horizontalna asimptota je x3+8 (a) x = 3. (b) y = 3. (c) y = 0. (d) ne obstaja. Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.1 l i m i ta f u n k c i j e 31 Rešitev: Pravilen odgovor je (c), saj je stopnja polinoma v števcu manjša, kot stopnja polinoma v imenovalcu. Naloga 28 Za graf funkcije f na spodnji sliki velja, da je lim f (x) = x→2 (a) ∞. (b) 1. (c) 2. (d) ne obstaja. Rešitev: Pravilen odgovor je (d). Limita lim f (x) ne obstaja, saj leva in desna x→2 limita funkcije nista enaki. Leva limita je namreč enaka 1, desna limita je enaka 2. Naloga 29 Grafično prikaži, kaj za graf funkcije f pomeni, da je lim f (x) = 3 in x→2 f (2) = 1. Kaj lahko poveš o zveznosti take funkcije? Rešitev: Na spodnji sliki je razvidno, da se funkcijske vrednosti približujejo vrednosti 3, ko se x-i približujejo 2 iz obeh smeri, funkcijska vrednost v x = 2 pa ni enaka limiti v tej točki, zato funkcija ni zvezna v x = 2. A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 32 r e š i t v e Naloga 30 Grafično prikaži, kaj za graf pomeni, da je lim f (x) = −∞. x→∞ Rešitev: Ko x-i naraščajo, gredo proti ∞, se funkcijske vrednosti manjšajo, gredo proti −∞. Primer grafa take funkcije je naslednji: 5x Naloga 31 Izračunaj limito lim in pojasni, kaj ta rezultat pomeni za graf x→∞ x3 − 1 funkcije. Rešitev: Ulomek najprej okrajšamo z največjo potenco x-a: 5x 5 lim = lim x2 = 0. x→∞ x3 − 1 x→∞ 1 − 1 x3 To pomeni, da se funkcijske vrednosti približujejo vrednosti 0, ko x-i naraščajo proti ∞. Z drugimi besedami, funkcija ima (desno) horizontalno asimptoto y = 0. 4x Naloga 32 Izračunaj limito lim in pojasni, kaj ta rezultat pomeni za graf x→∞ 2x − 1 funkcije. Rešitev: 4x 4 lim = lim = 2. x→∞ 2x − 1 x→∞ 2 − 1x To pomeni, da se funkcijske vrednosti približujejo vrednosti 2, ko x-i naraščajo proti ∞. Z drugimi besedami, funkcija ima (desno) horizontalno asimptoto y = 2. 5x2 Naloga 33 Izračunaj limito lim in pojasni, kaj ta rezultat pomeni za graf x→∞ 3x + 2 funkcije. Rešitev: Ulomek v limiti okrajšamo z x2: 5x2 5 lim = lim = ∞. x→∞ 3x + 2 x→∞ 3 + 2 x x2 Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.1 l i m i ta f u n k c i j e 33 Ko x-i naraščajo proti ∞, tudi funkcijske vrednosti naraščajo proti ∞. Natančneje, z deljenjem polinomov ugotovimo, da je celi del racionalne funkcije f (x) = 5x2 3x+2 enak 5x − 10 , kar hkrati predstavlja predpis za poševno asimptoto funkcije f . 3 9 Naloga 34 Za graf funkcije f na spodnji sliki velja, da je lim f (x) = x→4− (a) ∞ (b) 4 (c) 6 (d) −∞ Rešitev: Pravilen odgovor je (b). Naloga 35 Za graf funkcije f na zgornji sliki (v nalogi 34) velja: (a) f je zvezna funkcija, (b) leva in desna limita funkcije v x = 4 sta različni, (c) lim f (x) = 4, x→4+ (d) funkcija f v x = 4 ni definirana. Rešitev: Pravilna odgovora sta (b) in (d). A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 34 r e š i t v e 3.2 o d v o d Naloga 36 Izračunaj odvod funkcije f (x) = cos x − 6(x − 2)12 in zapiši pravila, ki si jih pri tem uporabil-a. Rešitev: f ′(x) = (cos x)′ − (6(x − 2)12)′ = − sin x − 72(x − 2)11 Pravila, ki jih potrebujemo pri zgornjem izračunu (zaradi lepše preglednosti uporabimo f in g namesto f (x) in g(x); C in n sta konstanti): • ( f ± g)′ = f ′ ± g′ • (C · f )′ = C · f ′ • (cos x)′ = sin x • (xn)′ = nxn−1 • ( f (g(x)))′ = f ′(g(x)) · g′(x) Naloga 37 Izračunaj odvod funkcije f (x) = ln x − 5x4 in zapiši pravila, ki si jih pri tem uporabil-a. Rešitev: 1 f ′(x) = − 20x3 x Pravila, ki jih potrebujemo pri zgornjem izračunu: • ( f ± g)′ = f ′ ± g′ • (C · f )′ = C · f ′ • (ln x)′ = 1x • (xn)′ = nxn−1 Naloga 38 Izračunaj odvod funkcije f (x) = 6x2 · tan x in zapiši pravila, ki si jih pri tem uporabil-a. Rešitev: 1 f ′(x) = 12x · tan x + 6x2 · cos2 x Pravila, ki jih potrebujemo pri zgornjem izračunu: • ( f · g)′ = f ′ · g + f · g′ • (C · f )′ = C · f ′ Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.2 o d v o d 35 • (tan x)′ = 1 cos2 x • (xn)′ = nxn−1 Naloga 39 Izračunaj odvod funkcije f (x) = arctan e5x in zapiši pravila, ki si jih pri tem uporabil-a. Rešitev: 1 f ′(x) = · e5x · 5 1 + e10x Pravila, ki jih potrebujemo pri zgornjem izračunu: • ( f (g(x)))′ = f ′(g(x)) · g′(x) • (arctan x)′ = 1 1+x2 • (ex)′ = ex Opazimo, da gre pri tej nalogi za kompozitum treh funkcij, zato uporabimo posplošeno pravilo za odvod kompozituma več funkcij: odvajati začnemo po funkciji arkus tangens (ki v kompozitumu deluje zadnja), nato po eksponentni funkciji, nazadnje odvajamo funkcijo, ki v kompozitumu deluje prva, t.j. funkcija s predpisom 5x. Naloga 40 Tretji odvod funkcije f (x) = (2x + 1)ex je: (a) (5 − 3x)ex. (b) (7 + 3x)ex. (c) (2x − 7)ex. (d) (2x + 7)ex. Rešitev: Pravilen odgovor je (d). Naloga 41 Devetnajsti odvod funkcije f (x) = (x − 1)ex je: (a) (18 − x)ex. (b) (18 + x)ex. (c) (19 − x)ex. (d) (19 + x)ex. Rešitev: Pravilen odgovor je (b). Naloga 42 Če je f (x) = 7x3, g(2) = 4, g′(2) = −2, potem je prvi odvod kompozituma f (g(x)) v x = 2 enak: A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 36 r e š i t v e (a) 672. (b) 726. (c) −336. (d) −672. (e) 336. Rešitev: Pravilen odgovor je (d). Razmislimo tako: Naloga 43 Če je f (x) = 6x2, g(−1) = −2, g′(−1) = −3, potem je prvi odvod kompozituma f (g(x)) v x = −1 enak (a) 72. (b) 0. (c) −12. (d) 36. Rešitev: Pravilen odgovor je (a). Naloga 44 Podana je funkcija F(x) = f 2(g(x)), pri čemer velja g(1) = 2, g′(1) = 3 in f (2) = 4, f ′(2) = 1. Potem je (a) F′(1) = 12. (b) F′(1) = 18. Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.2 o d v o d 37 (c) F′(1) = 20. (d) F′(1) = 24. Rešitev: Pravilen odgovor je (d). Ker gre za odvod kompozituma, najprej odvajamo po kvadratni funkciji, nato po funkciji f in nazadnje po funkciji g: Naloga 45 Podana je funkcija F(x) = f 2(g(x)) + 2, pri čemer velja g(2) = 3, g′(2) = 1 in f (3) = 2, f ′(3) = 2. Potem je (a) F′(2) = 2. (b) F′(2) = 4. (c) F′(2) = 8. (d) F′(2) = 10. Rešitev: Pravilen odgovor je (c). Razmislimo podobno kot pri zgornji nalogi. Naloga 46 Pojasni geometrijski pomen odvoda. Rešitev: Prvi odvod funkcije f v točki x = x0 je enak smernemu koeficientu tangente na graf funkcije f v točki T(x0, f (x0)). Naloga 47 Poišči smerni koeficient tangente na graf funkcije f (x) = (x − 1)e4x v točki x = 1. Rešitev: Velja, da je k = f ′(1), zato najprej poiščemo prvi odvod, nato pa vstavimo vrednost 1: f ′(x) = 1 · e4x + (x − 1)e4x · 4. Torej je k = f ′(1) = e4. A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 38 r e š i t v e Naloga 48 Zapiši enačbo tangente na graf funkcije f (x) = 5 ln x + x22 v točki z absciso x = 1. Rešitev: Tangenta na graf funkcije f v točki x0 je premica, ki gre skozi točko T(x0, f (x0)) in je njen smerni koeficient enak f ′(x0). Enačba tangente je y = f ′(x0)(x − x0) + f (x0). Potrebujemo torej prvi odvod funkcije: f ′(x) = 2(5 ln x + x2)(5 1 + 2x). Torej x velja f ′(1) = 14, zato je enačba tangente enaka y = 14(x − 1) + 1 = 14x − 13. Če enačbe tangente ne znamo na pamet, jo lahko sami izpeljemo na naslednji način: Naloga 49 Opiši kako izračunamo tangento na graf funcije f (x) v dani točki (a, b). Lahko razložiš na primeru: f (x) = x3, (a, b) = (2, b). Rešitev: S prvim odvodom v točki a izračunamo smerni koeficient tangente. Za dani konkretni primer je torej f ′(x) = 3x2 in f ′(2) = 12. Tako vemo, da je enačba tangente y = 12x + n, poiskati pa je treba še n. Izračunamo ga tako, da v zadnjo enačbo vstavimo točko (a, b), ki leži na tangenti. V danem primeru je to točka (2, b), oz. (2, 8), saj je b = f (2), ker točka (2, b) leži hkrati tudi na grafu funkcije f . Naloga 50 Na katerem intervalu narašča funkcija f (x) = xex? Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.2 o d v o d 39 Rešitev: Funkcija narašča, ko je f ′(x) ≥ 0. Tako dobimo neenačbo ex + xex ≥ 0 oz. ex(1 + x) ≥ 0. Njene rešitve so x ≥ −1. Funkcija je torej naraščajoča na intervalu [−1, ∞). Naloga 51 Za x ∈ (a, b) velja f ′(x) > 0. Potem lahko za funkcijo f rečemo, da je na intervalu (a, b) (a) padajoča. (b) naraščajoča. (c) konveksna. (d) konkavna. Rešitev: Pravilen odgovor je (b). Naloga 52 Kaj je stacionarna točka? Poišči stacionarne točke funkcije f (x) = −x3 − 3x2 + 9x − 5. Rešitev: Stacionarne točke so ničle prvega odvoda funkcije (in predstavljajo kandidate za ekstreme funkcije). Rešimo torej enačbo f ′(x) = 0. Tako dobimo −3x2 − 6x + 9 = 0, katere rešitvi sta x = −3 in x = 1. Naloga 53 Opiši, kako s pomočjo višjih odvodov poiščemo lokalne ekstreme funkcije. Rešitev: Najprej poiščemo stacionarne točke (ničle prvega odvoda), s čemer dobimo kandidate za lokalne ekstreme. Za vsakega kandidata računamo vrednosti višjih odvodov, vse dokler ne pridemo do prvega neničelnega odvoda. Stopnja prvega neničelnega odvoda nam pove ali ekstrem v danem kandidatu obstaja (to se zgodi, ko je ta stopnja soda) ali ne (ko je ta stopnja liha). Če je stopnja soda in je vrednost prvega neničelnega odvoda v kandidatu negativna, je to lokalni maksimum, če pa je pozitivna, gre za lokalni minimum. Naloga 54 Za funkcijo f (x) velja, da je f ′(3) = f ′′(3) = f ′′′(3) = 0 in f (4)(3) = 4. Potem ima funkcija f v x = 3 (a) prevoj. (b) lokalni maksimum. (c) lokalni minimum. (d) nič od zgoraj naštetega. Rešitev: Pravilen odgovor je (c), saj je v x = 3 prvi odvod enak 0, prvi neničelni odvod je sode stopnje in je pozitiven (glej pojasnilo pri nalogi 53). Naloga 55 Dana je funkcija f (x) = xex. Obkroži črko pred vsako pravilno trditvijo: A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 40 r e š i t v e (a) Funkcija f je naraščajoča na intervalu (−1, ∞). (b) Funkcija f je padajoča na intervalu (0, ∞). (c) Funkcija f ima v x = 0 stacionarno točko. (d) Funkcija f ima v x = −1 lokalni minimum. Rešitev: Pravilna odgovora sta (a) in (d). Stacionarne točke (kandidate za lokalne ekstreme) izračunamo s pomočjo ničel prvega odvoda. Ker je ex pozitivno število ne glede na vrednost x, dobimo edino stacionarno točko x = −1. Ker se izkaže, da je levo od −1 funkcija padajoča (saj je prvi odvod tam manjši od 0), desno pa naraščajoča (prvi odvod je tam večji od 0), je v x = 1 lokalni minimum. Naloga 56 Kako izračunamo globalne ekstreme na intervalu [a, b]? Rešitev: Kandidati za globalne ekstreme so kandidati za lokalne ekstreme, robni točki x = a in x = b, ter točke, v katerih funkcija ni odvedljiva. Nato v vsakem izmed kandidatov izračunamo funkcijsko vrednost. V točki (kandidatu), kjer je dosežena minimalna vrednost, je globalni minimum, v točki, kjer je dosežena maksimalna vrednost, pa globalni maksimum. Naloga 57 Kaj pomeni, da je funkcija konkavna in kako izračunamo intervale, na katerih je funkcija konkavna? Rešitev: Funkcija je konkavna na nekem intervalu, če v vsaki točki tega intervala tangenta na graf funkcije leži nad grafom funkcije. Intervale konkavnosti dobimo z rešitvijo neenačbe f ′′(x) < 0. Naloga 58 Opiši, kako s pomočjo odvoda ugotovimo, kje je funkcija konveksna. Rešitev: Funkcija je konveksna za tiste vrednosti x, v katerih je drugi odvod pozitiven, f ′′(x) > 0. Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.2 o d v o d 41 Naloga 59 Opiši, kako poiščemo prevoje funkcije. Rešitev: Kandidate za prevoje dobimo tako, da poiščemo ničle drugega odvoda. Za vsakega kandidata računamo vrednosti višjih odvodov, dokler ne pridemo do prvega neničelnega odvoda. Stopnja prvega neničelnega odvoda nam pove ali prevoj v danem kandidatu obstaja, kar se zgodi, ko je ta stopnja liha. Če je ta stopnja soda, prevoja v danem kandidatu ni. Naloga 60 Za x ∈ (a, b) velja f ′′(x) < 0. Potem lahko za funkcijo f rečemo, da je na intervalu (a, b) (a) naraščajoča. (b) konveksna. (c) konkavna. (d) padajoča. Rešitev: Pravilen odgovor je (c). Naloga 61 Za funkcijo f (x) velja, da je f ′(2) = f ′′(2) = 0 in f ′′′(2) = 7. Potem ima funkcija f v x = 2 (a) prevoj. (b) lokalni maksimum. (c) lokalni minimum. (d) nič od zgoraj naštetega. Rešitev: Pravilen odgovor je (a), saj je v x = 2 drugi odvod enak 0, prvi neničelni odvod pa je tretje (lihe) stopnje (glej razlago pri nalogi 59). Naloga 62 Kaj pravi L’H ôspitalovo pravilo? Rešitev: Naj bosta funkciji f in g odvedljivi na neki okolici točke a (razen morda v točki a sami). Denimo da sta funkciji g in g′ na tej okolici različni od 0 (razen morda v točki a sami) in da je lim f (x) = lim g(x) = 0 (ali ∞). Če obstaja x→a x→a f ′(x) f (x) lim , tedaj obstaja tudi lim in sta enaki: x→a g′(x) x→a g(x) f (x) f ′(x) lim = lim . x→a g(x) x→a g′(x) sin(16x) Naloga 63 S pomočjo L’H ôspitalovega pravila izračunaj limito lim . x→0 4x Pojasni, zakaj lahko to pravilo uporabimo. A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 42 r e š i t v e sin(16x) cos(16x) · 16 Rešitev: lim = lim = 4. L’H ôspitalovo pravilo smo x→0 4x x→0 4 lahko uporabili, ker gresta tako števec kot imenovalec proti 0, ko gre x proti 0. ln x Naloga 64 S pomočjo L’H ôspitalovega pravila izračunaj limito lim . x→1 x2 − 1 Pojasni, zakaj lahko to pravilo uporabimo. Rešitev: Ko gre x proti 1, gresta števec in imenovalec oba proti 0, zato lahko odvajamo vsakega posebej: ln x 1 1 1 lim = lim x = lim = . x→1 x2 − 1 x→1 2x x→1 2x2 2 x ln x Naloga 65 S pomočjo L’H ôspitalovega pravila izračunaj limito lim . x→∞ 3x2 + x + 5 Pojasni, zakaj lahko to pravilo uporabimo. Rešitev: Števec in imenovalec gresta oba proti ∞, zato lahko odvajamo vsakega posebej (L’H ôspitalovo pravilo uporabimo dvakrat zapored): x ln x ln x + x 1 1 lim = lim x = lim x = 0. x→∞ 3x2 + x + 5 x→∞ 6x + 1 x→∞ 6 Naloga 66 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna: (a) Izraz f (x+h)+ f (x) imenujemo diferenčni kvocient. h (b) Funkcija f je odvedljiva v točki x natanko tedaj, ko sta levi in desni odvod v x enaka. (c) Če je funkcije f zvezna, potem je tudi odvedljiva. (d) (tan x)′ = 1 . cos2 x Rešitev: Pravilna odgovora sta (b) in (d). Naloga 67 Zapiši pravili za odvod produkta in odvod kvocienta dveh funkcij. Rešitev: • ( f g)′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x) ′ • f (x) = f ′(x)g(x)− f (x)g′(x) g g2(x) Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.3 n e d o l o č e n i i n t e g r a l 43 3.3 n e d o l o č e n i i n t e g r a l Naloga 68 Zapiši definicijo nedoločenega integrala funkcije f . Rešitev: Naj bo f : I → R dana funkcija, kjer je I ⊂ R odprti interval. Funkcijo F, za katero je F′(x) = f (x) za vsak x ∈ I, imenujemo nedoločeni integral funkcije f in označimo F(x) = R f (x) dx. Z 1 Naloga 69 Izračunaj nedoločeni integral funkcije f (x) = + 2x3 dx cos2 x in opiši, katera pravila si pri tem uporabil-a. Rešitev: Pri izračunu Z 1 x4 x4 f (x) = + 2x3 dx = tan x + 2 + C = tan x + + C cos2 x 4 2 uporabimo pravila: • R ( f (x) + g(x)) dx = R f (x) dx + R g(x) dx • R C f (x) dx = C R f (x) dx • R 1 dx = tan x + C cos2 x • R xn dx = xn+1 + C, n ̸= −1 n+1 Z Naloga 70 Izračunaj nedoločeni integral funkcije f (x) = (8x + 5)5 dx in opiši, katero integracijsko metodo si pri tem uporabil-a. Rešitev: Uvedemo novo spremenljivko t = 8x + 5. Potem je dt = 8 dx, od koder sledi dx = dt . Tako izračunamo: 8 Z Z 1 t6 1 f (x) = (8x + 5)5 dx = t5 1 dt = · + C = (8x + 5)6 + C. 8 8 6 48 Poleg uvedbe nove spremenljivke smo uporabili še pravili: • R C f (x) dx = C R f (x) dx • R xn dx = xn+1 + C, n ̸= −1 n+1 Naloga 71 Zapiši formulo za integracijo po delih (per partes). Rešitev: R u dv = uv − R v du Naloga 72 Zapiši formulo za integracijo po delih (per partes) ter s to metodo izračunaj integral f (x) = R ln x dx. A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 44 r e š i t v e Rešitev: V integralu R u dv = uv − R v du izberemo u = ln x in dv = dx. Potem je du = 1 dx in v = x. Tako dobimo: x Z Z 1 f (x) = ln x dx = x ln x − x dx = x ln x − x + C. x Naloga 73 Dopolni: (a) R 1 dx = x (b) R 1 dx = cos2 x (c) R 1 dx = 1+x2 Rešitev: (a) R 1 dx = ln |x| + C x (b) R 1 dx = tan x + C cos2 x (c) R 1 dx = arctan x + C 1+x2 Naloga 74 Dopolni: (a) R x7 dx = (b) R 2 dx = x (c) R sin x dx = Rešitev: (a) R x7 dx = x8 + C 8 (b) R 2 dx = 2 ln |x| + C x (c) R sin x dx = − cos x + C Naloga 75 Dokaži, da za odvedljivo funkcijo g(x) velja Z g′(x) dx = ln |(g(x))| + C. g(x) Rešitev: Vpeljemo novo spremenljivko: Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.3 n e d o l o č e n i i n t e g r a l 45 Naloga 76 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) Nedoločeni integral je število. (b) Nedoločeni integral je funkcija. (c) Če je F nedoločeni integral funkcije f , je njen nedoločeni integral tudi funkcija G(x) = F(x) + C, kjer je C ∈ R poljubna konstanta. (d) R ( f (x) · g(x)) dx = R f (x) dx · R g(x) dx. Rešitev: Pravilna odgovora sta (b) in (c). Naloga 77 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna: Z ax (a) ax dx = + C, a > 0, a ̸= 1. ln a Z 1 (b) dx = tan x + C. cos2 x Z (3 + 2x)43 (c) (3 + 2x)42 dx = + C 43 Z f (x) dx Z f (x) (d) dx = . g(x) Z g(x) dx Rešitev: Pravilna odgovora sta (a) in (b). A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 46 r e š i t v e 3.4 d o l o č e n i i n t e g r a l Naloga 78 Pojasni geometrijski pomen določenega integrala. Rešitev: Če je funkcija f : [a, b] → R zvezna in nenegativna, je ploščina lika, ki ga omejujejo graf funkcije f , abscisna os ter premici x = a in x = b enaka R b f (x) dx. Če za vsak x iz intervala [a, b] velja, da je f (x) ≤ 0 (graf torej leži a pod abscisno osjo oz. na njej), potem je R b f (x) dx enak negativni ploščini lika, a omejenega z grafom funkcije f , abscisno osjo ter premicama x = a in x = b. Naloga 79 Kaj predstavlja določeni integral nenegativne funkcije? (a) Naklon tangente na funkcijo f . (b) Odvod funkcije funkcije f . (c) Največjo vrednost funkcije f . (d) Ploščino pod krivuljo funkcije f . Rešitev: Pravilen je odgovor (d). Naloga 80 Dopolni pravilo: R b( a α f (x) + β g(x)) dx = Rešitev: R b( R b f (x) dx + R b g(x) dx a α f (x) + β g(x)) dx = α a β a Naloga 81 Določeni integral funkcije f (x) = 3x2 − 2x + 1 od x = 1 do x = 5 je enak: (a) 10 (b) 36 Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.4 d o l o č e n i i n t e g r a l 47 (c) 64 (d) 104 Rešitev: Pravilen je odgovor (d). Naloga 82 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) R b f (x) dx = R a f (x) dx a b (b) R b f (x) dx = − R a f (x) dx a b (c) R b( f (x) + g(x)) dx = R b f (x) dx + R b g(x) dx a a a (d) R b f (x) dx = f (b) − f (a) a Rešitev: Pravilna odgovora sta (b) in (c) Naloga 83 Določeni integral zvezne funkcije f (x) na intervalu [a, a] je enak: (a) f (a) (b) ∞ (c) F(a) (d) 0 Rešitev: Pravilen je odgovor (d). Naloga 84 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) R b f (x) dx = F(b) − F(a), kjer je F′(x) = f (x). a (b) R b f (x) dx = f (b) − f (a). a (c) R b f (x) dx = R c f (x) dx + R b f (x) dx, kjer c ∈ [a, b]. a a c (d) R b f (x) dx = R a f (x) dx. a b Rešitev: Pravilna odgovora sta (a) in (c). Z 2 Naloga 85 (9 − x2) dx je enako: −1 (a) 42. (b) 24. (c) 36. A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 48 r e š i t v e (d) 54. Pojasni še geometrijski pomen izračunanega števila. Rešitev: Pravilen odgovor je (b). Odgovor predstavlja ploščino lika, ki ga omejujejo graf funkcije f (x) = 9 − x2, premici x = −1 in x = 2 ter abscisna os, saj je na intervalu [−1, 2] funkcija f (x) pozitivna. Z e Naloga 86 Izračunaj f (x) = ln x dx. Pojasni geometrijski pomen izračunanega 1 integrala. Rešitev: Nedoločeni integral izračunamo s pomočjo metode per partes (glej rešitve naloge 72), s čemer dobimo F(x) = R ln x dx = x ln x − x + C. Ko izračunamo še razliko F(e) − F(1), dobimo rezultat 1, kar predstavlja ploščino lika, ki ga omejujejo graf funkcije f (x) = ln x, premici x = 1 in x = e ter abscisna os, saj je na intervalu [−1, 2] funkcija f (x) pozitivna. Z 3 √ Naloga 87 Izračunaj f (x) = (2x − 5 3 x) dx. Pojasni geometrijski pomen 1 izračunanega integrala. Rešitev: 4 ! 3 Z 3 √ 15x 3 (2x − 5 3 x) dx = x2 − ≈ −4.48. 1 4 1 Rezultat predstavlja negativno ploščino lika, ki ga omejujejo graf funkcije √ f (x) = 2x − 5 3 x, premici x = 1 in x = 3 ter abscisna os, saj je na intervalu [1, 3] funkcija f (x) negativna. Z 1 Naloga 88 (4 + 3x2) dx je enako: 0 (a) 10. (b) 5. Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.4 d o l o č e n i i n t e g r a l 49 (c) 12. (d) 8. Pojasni še geometrijski pomen izračunanega števila. Rešitev: Pravilen odgovor je (b). Odgovor predstavlja ploščino lika, ki ga omejujejo graf funkcije f (x) = 4 + 3x2, premici x = 0 in x = 1 ter abscisna os, saj je na intervalu [0, 1] funkcija f (x) pozitivna. Z π Naloga 89 (1 + cos x) dx je enako: 0 (a) − π. (b) π. (c) 0. (d) 2 π. (e) −2 π. Rešitev: Pravilen odgovor je (b). Z 4 Naloga 90 |x| dx je enako: −4 (a) 24. (b) 8. (c) 16. (d) 0. (e) −8. Rešitev: Pravilen odgovor je (c). Dobimo ga z izračunom: 0 4 Z 4 Z 0 Z 4 x2 x2 |x| dx = (−x) dx + x dx = − + = 8 + 8 = 16. −4 −4 0 2 − 2 4 0 A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 50 r e š i t v e 3.5 z a p o r e d ja Naloga 91 Kaj pomeni, da je zaporedje navzgor omejeno in kako je definirana zgornja meja zaporedja? Rešitev: Zaporedje s splošnim členom an je navzgor omejeno, če obstaja tako število z, da velja an ≤ z, za vsak n ∈ N (z drugimi besedami, noben člen zaporedja ni večji od z). Takemu številu z rečemo zgornja meja. Naloga 92 Dokaži, da je 2 zgornja meja zaporedja s splošnim členom an = 2n−7. n Rešitev: Dokazati moramo, da je vsak člen zaporedja manjši ali enak 2. To pomeni, da dokazujemo, da za vsako naravno število n velja neenakost an ≤ 2 oz. 2n−7 ≤ 2. Slednje je res natanko tedaj, ko je 2n − 7 ≤ 2n, kar pa drži natanko n takrat, ko je −7 ≤ 0. Zadnja neenakost drži, zato je dokaz zaključen. Naloga 93 Dokaži, da je 4 zgornja meja zaporedja s splošnim členom an = 4n−3. n Rešitev: Naloga 94 Kaj je supremum zaporedja? Rešitev: Supremum (ali natančna zgornja meja) zaporedja je najmanjša zgornja meja zaporedja. Označimo ga s sup(an). Naloga 95 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna: (a) Supremum ni vedno člen zaporedja. (b) Infimum zaporedja je najmanjši člen zaporedja. (c) Maksimum zaporedja je vrednost največjega člena zaporedja. (d) Minimum zaporedja zmeraj obstaja. Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.5 z a p o r e d ja 51 Rešitev: Pravilna odgovora sta (a) in (c). Naloga 96 Dokaži, da je zaporedje s splošnim členom an = n+3 strogo padajoče. n Rešitev: Dokazati moramo, da je vsak naslednji člen zaporedja strogo manjši od njegovega predhodnika, t. j. da za vsako naravno število n velja an+1 < an. To pomeni, da se moramo prepričati, da za vsak n velja neenačba (n+1)+3 < n+3 n+1 n oziroma n+4 < n+3 . Da se znebimo ulomka, neenačbo pomnožimo z (n + 1)n. n+1 n Ker smo zagotovo množili s pozitivnim številom, se neenakost ohrani in dobimo (n + 4)n < (n + 3)(n + 1), kar je ekvivalentno n2 + 4n < n2 + 4n + 3. Ker lahko na obeh straneh zadnje neenačbe odštejemo n2 + 4n, dobimo 0 < 3, kar drži, zato je dokaz zaključen. Naloga 97 Pojasni razliko med stekališčem in limito zaporedja. Rešitev: Vsaka limita je hkrati stekališče zaporedja, obratno pa ne velja. V poljubni okolici limite je neskončno mnogo členov zaporedja, medtem ko jih je izven te oklice končno mnogo. V poljubni okolici stekališča je neskončno mnogo členov zaporedja, prav tako pa jih je lahko neskončno tudi izven te okolice. Limita zaporedja, če obstaja, je le ena, stekališč je lahko več. Naloga 98 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna: (a) Za omejeno zaporedje stekališče ne obstaja nujno. (b) Zaporedje je omejeno, ko je navzgor in navzdol omejeno. (c) Če je neko število limita zaporedja, potem je tudi stekališče tega zaporedja. (d) Če ima zaporedje eno stekališče, je divergentno. Rešitev: Pravilna odgovora sta (b) in (c). Naloga 99 Zapiši definicijo geometrijskega zaporedja in pojasni, od česa je odvisno padanje, naraščanje ter omejenost takega zaporedja. Rešitev: Zaporedje s splošnim členom an je geometrijsko, če za vsak n ∈ N velja an+1 = q, kjer je q konstanta. Glede na q ločimo: an • q > 1 ⇒ zaporedje je strogo naraščajoče, • q = 1 ⇒ zaporedje je konstanto, • 0 < q < 1 ⇒ zaporedje je strogo padajoče, • q < 0 ⇒ zaporedje ni monotono, • |q| > 1 ⇒ zaporedje ni omejeno, • |q| < 1 ⇒ zaporedje je konvergentno z limito 0. A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 52 r e š i t v e 3.6 v r s t e ∞ Naloga 100 Naj bo s = ∑ ai vrsta. Zapiši zaporedje delnih vsot te vrste. i=1 Rešitev: s1 = a1, s2 = a1 + a2, s3 = a1 + a2 + a3, . . . , sn = a1 + a2 + . . . + an, . . . ∞ Naloga 101 Kdaj pravimo, da je vrsta s = ∑ ai konvergentna in kaj je njena i=1 vsota? Rešitev: Vrsta je konvergentna, če je konvergentno zaporedje njenih delnih vsot {sn : n ∈ N}. V tem primeru je vsota vrste limita zaporedja delnih vsot ∞ s = ∑ ai = lim sn. n→∞ i=1 13 3 Naloga 102 ∑ 3 + (k − 1) je enako: 2 k=1 (a) 156. (b) 154. (c) −154. (d) 108. (e) −156. Rešitev: Pravilen odgovor je (a). Pri izračunu upoštevamo, da lahko seštevamo v poljubnem vrstnem redu ter formulo za izračun vsote prvih n členov aritmetičnega zaporedja: Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.6 v r s t e 53 ∞ 2k Naloga 103 Če vrsta ∑ konvergira, izračunaj njeno vsoto. 3 k=1 Rešitev: Vrsta konvergira, saj je geometrijska s q = 2 , za katerega velja |q| < 1. 3 Vsoto geometrijske vrste dobimo po formuli: a 2 s = 1 = 3 = 2. 1 − q 1 − 23 ∞ 3k Naloga 104 Če vrsta ∑ konvergira, izračunaj njeno vsoto. 4 k=1 Rešitev: Ker je vrsta geometrijska in je q = 2 < 1, vrsta konvergira. Njena 3 vsota je a 3 s = 1 = 4 = 3. 1 − q 1 − 34 Naloga 105 Obkroži črko pred konvergentno vrsto: ∞ (a) ∑ (−1)k, k=1 ∞ (b) ∑ 3k k=1 ∞ 2k (c) ∑ 5 k=1 ∞ 5k (d) ∑ 2 k=1 Rešitev: Pravilen odgovor je (c). Vse vrste so geometrijske, a le v primeru (c) je izpolnjen pogoj za konvergenco geometrijske vrste, namreč |q| < 1. ∞ Naloga 106 Geometrijska vrsta ∑ a1qk je konvergentna, če je k=1 (a) |q| ≤ 1 (b) q < 1 (c) |q| < 1 (d) q ≥ 1. Rešitev: Pravilen odgovor je (c). A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 54 r e š i t v e 3.7 m e š a n e na l o g e Naloga 107 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) Zaporedje s splošnim členom an = 3 · ( 3 )n je konvergentno. 2 (b) Vsak lokalni maksimum je stacionarna točka. (c) Funkcija f (x) = 2 ln x nima stacionarnih točk. (d) Nedoločeni integral funkcije je število, ki predstavlja ploščino nekega lika. Rešitev: Pravilna odgovora sta (b) in (c). Odgovor (a) je nepravilen, saj členi z naraščanjem n naraščajo proti ∞. Vsak lokalni ekstrem je stacionarna točka (obratno ne velja nujno), zato je odgovor (b) pravilen. Prav tako je pravilen odgovor (c), saj prvi odvod funkcije f ne more biti enak 0 za noben x iz definicijskega območja funkcije, ki je (0, ∞), oz. ker je funkcija na celem definicijskem območju strogo naraščajoča. Odgovor (d) ni pravilen, saj v primeru funkcije, katere graf oz. del grafa leži pod abscisno osjo, izjava ne drži. Naloga 108 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) Vsaka stacionarna točka je bodisi maksimum bodisi minimum. (b) Eksponentna funkcija f (x) = 5e4x nima stacionarnih točk. (c) Določeni integral funkcije je vedno pozitivno število, ki predstavlja ploščino nekega lika. (d) Zaporedje s splošnim členom an = 5 − 3(n − 1) je aritmetično. Rešitev: Pravilna odgovora sta (b) in (d). Stacionarna točka je vsaka točka, za katero velja, da je v njej vrednost prvega odvoda enaka 0, tangenta na graf funkcije je v tej točki vzporedna abscisni osi, kar se pa ne zgodi le v lokalnih ekstremih, zato odgovor (a) ni pravilen. Eksponentna funkcija iz primera (b) je strogo naraščajoča in kot taka ne more imeti stacionarnih točk. Odgovor (c) ni pravilen, saj za funkcije, ki so (odsekoma) negativne, trditev ne velja. Zaporedje je aritmetično, če je razlika med poljubnima zaporednima členoma zaporedja konstantna, t.j. an+1 − an = d za neko konstanto d. Preverimo lahko torej, da je an+1 − an = (5 − 3(n + 1 − 1)) − (5 − 3(n − 1)) = −3, kar je konstanta, zato je odgovor (d) pravilen. Naloga 109 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna: (a) Če negiramo izjavo ¬p, dobimo izjavo p. (b) Implikacija ima prednost pred konjunkcijo. (c) Za kartezični produkt množic velja |A × B| = |A| · |B|. Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh 3.7 m e š a n e na l o g e 55 (d) (A ∩ B)C = AC ∩ BC Rešitev: Pravilna odgovora sta (a) in (c). Če negiramo negacijo izjave, dobimo osnovno izjavo. Konjunkcija ima prednost pred implikacijo. Po De Morganovem pavilu je (A ∩ B)C = AC ∪ BC, zato odgovor (d) ni pravilen. Naloga 110 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) Vsak lokalni ekstrem je stacionarna točka. (b) Kandidate za prevoje dobimo kot ničle prvega odvoda. (c) Nedoločeni integral funkcije je funkcija. (d) Eksponentna funkcija f (x) = e− x2 nima stacionarnih točk. Rešitev: Pravilni odgovori so (a), (c) in (d). Izjava (a) drži, saj za vsak lokalni ekstrem velja, da je vrednost prvega odvoda enaka 0. Izjava (b) ni pravilna, kandidate za prevoje namreč dobimo kot ničle drugega odvoda. Odgovor (c) je pravilen, saj je nedoločeni integral funkcije f funkcija F, za katero velja F′(x) = f (x) za vsak x. Odgovor (d) je pravilen, saj je funkcija f (x) = e− x2 strogo padajoča funkcija. Naloga 111 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) Funkcija tangens je naraščajoča povsod, kjer je definirana. (b) Vsaka racionalna funkcija ima vsaj en pol. (c) Če je polinom lihe stopnje, ima vsaj eno realno ničlo. (d) Če integriramo produkt logaritemske funkcije in polinoma, lahko integriramo vsak faktor posebej in dobljena integrala zmnožimo. Rešitev: Pravilna odgovora sta (a) in (c). Racionalna funkcija nima nujno pola (npr. f (x) = 4x ). Če imamo produkt funkcij, ne obstaja pravilo, po katerem bi x2+1 smeli integrirati vsak faktor posebej in dobljena rezultata pomnožiti (da lahko integriramo vsak člen posebej velja le pri vsoti in razliki funkcij). Integral, opisan v odgovoru (d) je običajno mogoče rešiti z metodo per partes, kjer za u izberemo logaritemsko funkcijo, za dv pa polinom. Naloga 112 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. √ √ (a) Naravno definicijsko območje funkcije f (x) = x − 2 + x + 5 je (−5, ∞). (b) Funkcija f (x) = sin2 x je soda. A. Tepeh Kvizi iz matematike I (2.del) 56 r e š i t v e √ √ √ 2a + 2h − 2a (c) Če je f (x) = 2x, potem je f ′(a) = lim . h→0 h (d) Tretji odvod od f (x) = cos x je f ′′′(x) = − cos x. Rešitev: Pravilna odgovora sta (b) in (c). Odgovor (a) ni pravilen. Izpolnjena morata biti hkrati pogoja x − 2 ≥ 0 in x + 5 ≥ 0, kar je res, ko je x ≥ 2. Odgovor (b) drži, saj je f (−x) = sin2(−x) = (sin(−x))2 = (− sin x)2 = sin2 x = f (x) za vsak x. Odgovor (c) je pravilen, saj je odvod funkcije v dani točki enak limiti diferenčnega kvocienta v tej točki, ko gre h proti 0. Odgovor (d) ni pravilen, saj je tretji odvod funkcije cos x enak sin x. Naloga 113 Obkroži črko pred vsako izjavo, ki je pravilna. (a) Funkcija f (x) = x + cos x ima v 0 lokalni ekstrem. Z (b) e3x dx = e3x + C. (c) Argument kompleksnega števila z = −4 − 4i je 5 π . 4 (d) Imaginarni del kompleksnega števila 3+i je − 1. 4−5i 5 Rešitev: Pravilen odgovor je (c). Izjava (a) ni pravilna. Namreč, če je f (x) = x + cos x, potem je f ′(0) = 1, torej 0 ne more biti kandidat za lokalni ekstrem. Z 1 Izjava (b) ni pravilna, saj je e3x dx = e3x + C (za integriranje uporabi novo 3 spremenljivko t = 3x). Odgovor (c) drži: argument kompleksnega števila (kar je kot, pod katerim kompleksno število leži v kompleksni ravnini) izračunaj s pomočjo formule arctan y = arctan −4 = arctan(1) = π in prištej x −4 4 π, saj kot π 4 leži v prvem kvadrantu, kompleksno število z pa v tretjem kvadrantu. Izjava (d) ni pravilna. Za izračun imaginarnega dela kompleksnega števila je potrebno kompleksno število zapisati v obliki a + ib, kjer sta a in b realni števili. Izračunamo torej: 3 + i (3 + i)(4 + 5i) 7 + 19i 7 19 = = = + i . 4 − 5i (4 − 5i)(4 + 5i) 41 41 41 Imaginarni del del kompleksnega števila 3+i je torej 19. 4−5i 41 Kvizi iz matematike I (2.del) A. Tepeh KVIZI IZ MATEMATIKE I: DOI https://doi.org/ 10.18690/um.feri.2.2024 2. DEL ISBN 978-961-286-844-4 ALEKSANDRA TEPEH Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Maribor, Slovenija aleksandra.tepeh@um.si Pričujoča zbirka rešenih nalog je učni pripomoček, v prvi vrsti namenjen Ključne besede: funkcije, študentom 1. letnika visokošolskih študijskih programov Računalništvo in limita, informacijske tehnologije in Informatika in tehnologije komuniciranja na odvodi, integrali, UM FERI, ki poslušajo predmet Matematika 1. Ker večina naravoslovnih zaporedja, vrste in tehniških študijskih smeri drugih fakultet v prvem letniku pokriva enako snov, je tako namenjen tudi širši publiki. Prvi del zbirke pokriva teme iz osnov logičnega sklepanja, množice, kompleksnih števil in funkcij. V tem (drugem) delu zbirke so obravnavane limite, odvodi, integrali, zaporedja in vrste. Zbirka kot celota študenta nagovori k pripravi dobrih zapiskov, kar je eden izmed temeljev dobre priprave na izpite. Document Outline Predgovor Naloge Limita funkcije Odvod Nedoločeni integral Določeni integral Zaporedja Vrste Mešane naloge Rešitve Limita funkcije Odvod Nedoločeni integral Določeni integral Zaporedja Vrste Mešane naloge