i i “teorija stevil” — 2010/5/7 — 13:00 — page 39 — #1 i i i i i i NOVEKNJIGE Joˇ ze Grasselli: ELEMENTARNA TEORIJA ˇ STEVIL, Knjiˇ znica Sigma 87, DMFA–zaloˇ zniˇ stvo, Ljubljana 2009, 168 strani. Teorija ˇ stevil je matematiˇ cno podroˇ cje, kiraziskuje lastnostiinodnosevmnoˇ zicice- lih ˇ stevil. Glede na to, kakˇ sne probleme v teoriji ˇ stevil matematiki reˇ sujejo in kakˇ sne prijeme pri tem uporabljajo, jo je po moder- nem pojmovanju smiselno na grobo razdeliti na elementarno, analitiˇ cno, algebraiˇ cno, ge- ometriˇ cno, kombinatoriˇ cno, verjetnostno in raˇ cunsko teorijo ˇ stevil. Knjiˇ zica prof. Gras- sellija se ukvarja s prvo, torej z elementarno teorijo ˇ stevil. To ni avtorjevo prvo delo s tako vsebino, ˇ ze davnega leta 1966 je na- mreˇ c prav tako v zbirki Sigma izˇ sla njegova knjiˇ zica z naslovom Osnove teorije ˇ stevil, ki je v isti zbirki, le nekoliko predelana, izˇ slaˇ se leta 1975. Kratkemu uvodu, v katerem so razloˇ zeni osnovni pojmi, sledi glavna vsebina, ki je razdeljena naˇ sest poglavij. V prvem je govor o deljivosti celih ˇ stevil, kamor seveda spadajo najveˇ cji skupni delitelj, Evklidov algoritem, reˇ sevanje enaˇ cbe ax+by = c v celih ˇ stevilih, najmanjˇ si skupni veˇ ckratnik in praˇ stevila. Drugo poglavje obravnava aritmetiˇ cne funkcije in njihove la- stnosti: ˇ stevilo in vsota deliteljev celega ˇ stevila, znamenito Eulerjevo funk- cijo ϕ(n), funkcijo celi del, M¨ obiusovo funkcijo in funkcijo π(ξ), ki pove, koliko je praˇ stevil, ki ne presegajo realnega ˇ stevila ξ. Tretje poglavje se ukvarja s kongruenco ˇ stevil, kongruenˇ cnimi razredi in sistemi ostankov, pa tudi s Fermatovim, Eulerjevim ter Wilsonovim iz- rekom. Poglavje se konˇ ca z obravnavo reda ˇ stevila glede na dani modul. V tem poglavju se lahko med drugim nauˇ cimo reˇ sevati tekmovalne naloge, pri katerih je treba najti ostanek pri deljenju kakˇ snega zelo velikega celega ˇ stevila z danim naravnim ˇ stevilom. ˇ Cetrto poglavje nas najprej vodi skozi reˇ sevanje linearnih kongruenc in sistemov linearnih kongruenc. Tu sreˇ camo znameniti kitajski izrek o ostankih. Nezadrˇ zujepaseleprilinearnihkongruencah,ampakkarobseˇ zno nadaljujezviˇ sjimikongruencamiinkonˇ caprimodulihsprimitivnimikoreni ter indeksih ˇ stevila za dani primitivni koren po izbranem modulu. Peto poglavje je v resnici kar zahtevno, prinaˇ sa namreˇ c kvadratni re- Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1 39 i i “teorija stevil” — 2010/5/7 — 13:00 — page 40 — #2 i i i i i i Nove knjige ciprocitetni zakon. Njegov dokaz poteka elementarno, korak za korakom. Najprej uvede Legendrov simbol in opiˇ se njegove lastnosti. Nato navede in dokaˇ ze Gaussovo lemo ter formulira in dokaˇ ze kvadratni reciprocitetni zakon. Poglavje se konˇ ca s sploˇ sno kvadratno kongruenco. Zadnje,ˇ sestopoglavjeseubadazdiofantskimienaˇ cbami. Pritehiˇ sˇ cemo celoˇ stevilske reˇ sitve algebraiˇ cnih enaˇ cb, ki imajo celoˇ stevilske koeficiente. Najprej so na vrsti linearne diofantske enaˇ cbe, katerim sledi Lagrangeev izrek,kipravi,dajevsakonaravnoˇ stevilovsotaˇ stirihkvadratovcelihˇ stevil. Izvemo tudi, kdaj se da naravno ˇ stevilo zapisati kot vsota dveh kvadratov celih ˇ stevil. Poglavje na koncu z Legendrovim izrekom odgovarja ˇ se na vpraˇ sanje o reˇ sljivosti diofantske enaˇ cbeax 2 +by 2 +cx 2 = 0 in o racionalnih toˇ ckah na stoˇ znicah, katerih enaˇ cbe imajo racionalne koeficiente. Knjiˇ zica je napisana v lepem, klenem slovenskem jeziku, je primerno strukturirana, izreki so oddvojeni in oˇ stevilˇ ceni, opremljena je s ˇ stevilnimi zgledi, nalogami in opombami. Definicije niso posebej razvidne, ampak so vtkane kar v besedilo. Prav tako dokazi, za katere pa je popolnoma evidentno, kje se zaˇ cnejo in kje konˇ cajo. V dodatku lahko preberemo precej zanimivih zgodovinskih podatkov, ki povejo, kako se je razvijala teorija ˇ stevil. Natanˇ cneje je opisana Abelova grupa G(m), ki je izomorfna reduciranemu sistemu ostankov po modulu m, innakratkosotudipodaneosnovneideje, kakoseelementarnateorijaˇ stevil uporabljavkriptografiji. Nemanjkajonitireˇ sitvenalog,kisopodanesproti, na koncu poglavij, knjigo pa skleneta seznam literature in stvarno kazalo. Delo je namenjeno vsem, ki se v teorijo ˇ stevil ˇ sele vpeljujejo, torej tudi dijakom,sajzarazumevanjenitrebaposebnegamatematiˇ cnegapredznanja. Zaˇ cetnik bo morda vˇ casih moral malo pogledati v kakˇ sen uˇ cbenik ali pa se vrniti za nekaj strani nazaj, da bo potem laˇ ze napredoval. V roke pa bodo knjiˇ zico radi vzeli tudi tudi tisti, ki so elementarno teorijo ˇ stevil nekoˇ c ˇ ze obvladali, a so z leti ˇ ze marsikaj pozabili. Knjiˇ zicolahkonaroˇ citepriDMFA–zaloˇ zniˇ stvopoˇ clanskiceni11,99EUR. Marko Razpet VESTI MATEMATI ˇ CNE NOVICE MathJax – nova moˇ znost prikazovanja matematiˇ cnih formul na spletu? Kot vsi vemo, je prikaz matematike na spletnih straneh pogosto neza- dovoljiv. Pregled dosedanjih naˇ cinov upodabljanja matematiˇ cnih formul 40 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1