zbornik gozdarstva in lesarstva 79 (2006), s. 85 - 92 gdK: 812.701--015(045) Prispelo / Recived: 13. 01. 2006 Sprejeto / Accepted: 16. 06. 2006 Izvirni znanstveni članek Original scientifc paper VPLIV TOGOSTI KONZOLNEGA VPETJA NA IZRAČUN DINAMIČNEGA MODULA ELASTIČNOSTI miran mErHAr1, Bojan BUČAr2 Izvleček Članek prikazuje vpliv vpenjalnega razmerja konzolno vpetega bukovega preizkušanca (Fagus sylvatica) na izračun dinamičnega modula elastičnosti. Najprej smo vzorcu izmerili frekvenco prvega načina lastnega dušenega prečnega nihanja nosilca s prostima koncema. Nato smo skladno z Bernoulli-Eulerjevo teorijo za omenjene pogoje izračunali modul elastičnosti, ki nam je rabil za referenco. Preizkušanec smo zatem konzolno vpenjali od vpenjalnega razmerja 18 do 105 ter mu vsakokrat izmerili frekvenco prvega načina lastnega dušenega prečnega nihanja. Skladno s teorijo za togo konzolno vpetje smo izračunali modul elastičnosti in ga primerjali z referenčnim. Izkazalo se je, da je napaka pri manjših razmerjih vpetja okoli 20 %, pri večjih pa se zmanjša na 5 %. razlog za veliko napako je nezadostna togost vpetja preizkušanca, ki je kljub zadostni togosti vpenjalnega sistema posledica kompresibilnosti preizkušanca v prečni smeri, saj je modul elastičnosti v radialni oz. tangencialni smeri več kot desetkrat manjši od modula vzporedno s potekom tkiva. Ključne besede: lastno prečno nihanje, togost konzolnega vpetja, dinamični modul elastičnosti CAnTILEVER CLAMPIng RIgIDITy IMPACT On DynAMIC MODuLuS OF ELASTICITy CALCuLATIOn Abstract The paper presents the impact of the clamping ratio of a clamped beech (Fagus sylvatica) cantilever specimen on the calculation of a dynamic modulus of elasticity. First we measured the specimen’s frequency of the frst mode of damped transverse free vibrations of a specimen with free ends. In accordance with the Bernoulli-Euler theory, we then calculated the modulus of elasticity for the mentioned conditions, which we subsequently usedas a reference. The specimen was then clamped as a cantilever beam several times, from a clamping ratio of 18 to 10, and each time the frequency ofthe frst dampedtransverse free vibrations was measured. The modulus of elasticity was calculated according to the theory for rigid cantilever clamping, and compared to the reference module. In the case of small clamping ratios, the error was around 20%, whereas in the case of large clamping ratios the error decreased to %. The cause of the major error is insuffcient specimen clamping rigidity, which is due – despite a suff cient rigidity of the clamping system – to the specimen compressibility in the transverse radial or tangential directions where the modulus of elasticity is more than ten times smaller than the modulus along the tissue. Key words: transverse free vibration, cantilever clamping rigidity, dynamic modulus of elasticity UVOD INTRODUCTION modul elastičnosti je snovna lastnost, ki je pomembna tako s konstrukcijskega kot tehnološkega vidika. z določevanjem modula elastičnosti pretežno konstrukcijsko in tehnološko zanimivih naravnih in umetno zasnovanih materialov so se v preteklosti ukvarjali številni avtorji. V večini opravljenih raziskav so uporabili metode, ki sodijo v skupino dinamičnih neporušnih metod. Eden prvih je bil prav gotovo goENS (1931), ki je določil modul elastičnosti E in strižni modul g iz transverzalnega nihanja preizkušancev. Pomembno delo sta opravila HEAr-moN (1958) in HUANg (1961), ki sta ravno tako določevala modul elastičnosti E in strižni modul g prosto nihajočih prostih preizkušancev. Kasneje je HEArmoN (1966) opisal osnovne postopke določanja modula elastičnosti ter strižnega modula na osnovi merjenih lastnih frekvenc transverzalnega, longitudinalnega in torzijskega nihanja prizmatično obliko- 1 asistent m. m., Univerza v Ljubljani, Biotehniška fakulteta, oddelek za lesarstvo, rožna dolina C. VIII/34, Ljubljana 2 doc. dr. B. B., Univerza v Ljubljani, Biotehniška fakulteta, oddelek za lesarstvo, rožna dolina C. VIII/34, Ljublja 86 Zbornik gozdarstva in lesarstva, 79 vanih preizkušancev. Njim so sledili še številni raziskovalci, ki so določevali module na osnovi transverzalnega in longitudinalnega nihanja s poudarkom na različnih detajlih (CHUI 1991, HAINES / LEBAN / HErBE 1995, ILIC 2003). odvisnosti med lastnimi frekvencami prečno nihajočih prizmatičnih elementov in specifčnimi robnimi pogoji, kot so na primer prosto, enostavno in togo vpetje preizkušancev, so že dolgo znane (WEAVEr / TImoSHENKo / YoUNg 1990). Ker je v praksi najlaže realizirati prosti konec, je večina raziskovalcev, ki so se ukvarjali z eksperimentalnim določanjem modula elastičnosti, uporabila preizkušance, ki so bili na obeh koncih prosti, v nekaterih primerih pa enostavno podprti. Najbolj problematično je togo vpetje, s katerim se srečamo pri konzolnih nosilcih. Enostransko oziroma konzolno vpetje je z vidika same izvedbe nedvomno zelo preprosto in učinkovito, zelo problematično pa je z vidika togosti vpetja preizkušanca. Absolutno togega vpetja dejansko ni moč doseči. Problem je še toliko bolj izrazit v primerih, ko imamo opraviti z materiali, ki imajo relativno visoko deformabilnost v smeri vpenjalnih obremenitev. V to skupino materialov sodi nedvomno tudi les, pri katerem se izrazita anatomsko pogojena anizotropija odraža tudi v zelo veliki razliki vrednosti elastičnih modulov orientiranega tkiva. V prečni smeri je modul elastičnosti navadno za več kot desetkrat manjši od modula v vzdolžni smeri tkiva (KoLLmANN/CÔTÉ 1984). V primerih, ko se s samo izvedbo vpetja zahtevanim kriterijem aktualnih vpetij zgolj približamo, postanejo obstoječe rešitve diferencialne enačbe za popis prostih prečnih nihanj z idealiziranimi robnimi pogoji praktično neuporabne. Ena izmed rešitev je modeliranje robnega pogoja z elastičnim vpetjem, kjer je togost vpenjalnega sistema določena s kom-presibilnostjo usmerjenega materiala. BEgLINgEr / BoL-LETEr / LoCHEr (1976) so raziskovali vpliv elastičnega vpetja na lastne frekvence kratkih enostransko vpetih jeklenih nosilcev. Podobne raziskave sta opravila tudi PAPAdoPo-ULUS in TrUjILLo (1979). Njuno delo je temeljilo na eksplicitnem izračunu lastnih frekvenc večnadstropnih zgradb. V obeh raziskavah so predstavljale vzmeti elastičnega vpetja feksibilnost vpenjalnega sistema. CHUI in SmITH (1990) sta v predpostavljeni model vpe-tja znane togosti vključila prečno kompresibilnost orientirane- ga lesnega tkiva. Preizkušanec sta modelirala kot togi nosilec, ki je med absolutno togi vpenjalni čeljusti vpet prek vzmeti. Togost vzmeti sta določila na osnovi modula elastičnosti lesa prečno na potek tkiva ter dimenzij vpenjalnega sistema. Ugotovila sta, da bi moral v primeru veljavnosti predpostavljenega modela znašati modul elastičnosti prečno na potek tkiva okoli 1 % vrednosti modula elastičnosti vzporedno s potekom tkiva, kar pa je glede na znana razmerja modulov (KoLL-mANN/CÔTÉ 1984) sila malo. CILJI RAZISKAVE researcH objectives Namen raziskave je prikazati vpliv proste dolžine preiz-kušanca pri konzolnem vpetju na napako izračuna modula elastičnosti iz izmerjenih lastnih frekvenc prečnega nihanja preizkušanca. Izdelali smo namenski vpenjalni sistem. Ker je podajnost vpenjalnega sistema v primerjavi s podajnostjo preizkušanca zanemarljiva, ponazarja kompresibilnost preizkušanca prečno na potek vlaken tudi skupno deformabilnost. Preizkušanec smo vpenjali pri različnih prostih dolžinah in vsakič izmerili frekvenco lastnega dušenega prečnega nihanja. Izračunani modul smo primerjali z modulom elastičnosti, dobljenim iz prve lastne frekvence nihajočega nosilca s prostima koncema. TEORIJA TheORY V splošnem lahko skladno z Bernoulli Eulerjevo teorijo nihanja vitkih prizmatičnih teles, ki ne upošteva vpliva rotacijskih vztrajnostnih momentov in strižnih deformacij, izrazimo lastno transverzalno nihanje vitke mehanske strukture v ravnini x,y, ki predstavlja simetrijo za kateri koli prečni presek strukture, z diferencialno enačbo — EI—\dx = -pAdx—, (1) 8x2{ 8x2) 8t2 pri čemer pomeni x lego prereza vzdolž nihajoče strukture, y je prečni pomik prereza, A in I sta geometrijska parametra, ki določata presečno površino in vztrajnostni moment preseka strukture, E in p pa sta snovni lastnosti, in sicer modul ela- Merhar, M., Bučar, B.: Vpliv togosti konzolnega vpetja na izračun dinamičnega modula elastičnosti 87 stičnosti oziroma gostota. V primeru, da se upogibna togost strukture (E • I) vzdolž osi x ne spreminja, lahko enačbo (1) zapišemo v nekoliko spremenjeni obliki El^dx dx* -pAdx at2 (2) rešitev diferencialne enačbe lahko zapišemo v obliki y(M)=L*i(*)-a(0 (3) pri čemer je X(t) funkcija modalne oblike, Q(t) pa je funkcija časovno odvisne modalne koordinate. Indeks i se nanaša na i-ti modalni način lastnega nihanja. Če zgornjo enačbo skupaj z odvodi vstavimo v enačbo 2, dobimo y(x,t) = ^l(Al sudi(—x) + A^ cosh(— x)+4, sin(— x)+A^ cos(— x)) • (Bl sin(ay)+52 cos(a>,f)) (4) kjer so konstante A1, A2, A3, A4, B1 in B2 odvisne od zače- tnih in robnih pogojev vpetja. Lastno frekvenco določenega lastnega nihajnega načina vitke mehanske strukture nazivne dolžine l lahko izrazimo z zvezo «o,=^j EI pAl4 , (5) pri čemer je produkt hi • l i-ti koren frekvenčne enačbe cos(r\l)cosh^]l)-1 (6) Frekvenčna enačba (6) je značilna za določene robne pogoje oziroma način vpetja obeh koncev konstrukcijskega elementa. V primeru vitkega prizmatičnega telesa s prostima koncema zapišemo robne pogoje v obliki d2X dx2 d2X dx2 = 0 d3X dxl d'X dx1 pri čemer je X normalna funkcija prečnega nihanja vitkega prizmatičnega elementa. V primeru konzolno vpetega telesa zapišemo frekvenčno enačbo v nekoliko drugačni obliki, in sicer cos(ii/)cosh(r|/)= -1 (7) spremenijo pa se tudi robni pogoji. Le te izrazimo v obliki 0, dX dx m =0in [** dx2 . dx1 MATERIAL IN METODE MaTeRIal aND MeThODs Preizkušali smo bukov vzorec (Fagus sylvatica) dimenzije 112,6 mm x 6,95 mm x 752 mm z gostoto 678 kg/m3. Vzorec je bil brez vizualnih napak, vzdolžno orientiran z radialno teksturo in ravnovesno vlažnostjo 9,5 %. Vzorcu smo najprej izmerili lastne frekvence transverzalno nihajočega nosilca s prostima koncema. Preizkušanec smo obesili na tanke vrvice na mestih, kjer ima nosilec vozlišči za prvi način lastnega dušenega nihanja. Vozlišči ležita na 22,4 oziroma 77,6 % dolžine preizkušanca. omenjeni način vpetja preizkušanca v celoti ustreza zahtevanim robnim pogojem za vitko prizmatično strukturo s prostima koncema. Preizkušanec smo vzbujali s tolkalom in ga pustili prosto nihati. S kondenzatorskim mikrofonom smo s frekvenco vzorčenja 10 kHz spremljali časovni potek tlačnih razlik okoliškega medija, ki jih povzroča prečno nihajoči preizkušanec. Izmerjene vrednosti smo zajemali z osebnim računalnikom s programsko opremo LabView ter merilno kartico proizvajalca National Instruments AT mIo 16E-1. Frekvenčno sestavo časovno spremenljivega zajetega signala smo določili s hitro Fourierjevo transformacijo. za izračun modula elastičnosti smo uporabili zgolj frekvenco prvega lastnega nihajnega načina. Iz dobljene frekvence smo upoštevajoč enačbo 5 izračunali modul elastičnosti, pri čemer smo upoštevali prvi koren frekvenčne enačbe 6 . , . 88 Zbornik gozdarstva in lesarstva, 79 4,734/ ~ 500,5-7 (8) (Q?FpA 1,875"/ afrpA 12,356-7 (9) Enačba 8 je primerna za izračun modula elastičnosti, saj ustreza vsem robnim pogojem. Ker je bilo razmerje med prosto dolžino in višino (l/h) preizkušanca dokaj veliko, vrednost je znašala 109, lahko predpostavimo, da je bil vpliv striga in rotacije praktično zanemarljiv. modul elastičnosti, ki smo ga dobili z enačbo 8, ponazarja referenčno vrednost. V nadaljevanju smo preizkušanec vpeli pri različnih prostih dolžinah, kot prikazuje slika 1. začeli smo z vpenjal-nim razmerjem (l/h) 18, saj je pri tem razmerju vpliv striga in rotacijskega vztrajnostnega momenta še vedno zanemarljiv. Prosti konec smo vzbudili s tolkalom ter pustili, da je preizku-šanec prosto transverzalno nihal. Časovni potek nihanja smo izmerili z induktivnim brezstičnim pretvornikom pomikov s proporcionalnim napetostnim izhodom. V ta namen smo na mestu, kjer smo merili pomike preizkušanca, nalepili aluminijasto folijo zanemarljive mase. Frekvenčni spekter smo dobili s hitro Fourierjevo transformacijo časovnega poteka prečnih odmikov preizkušanca. Izmerjene vrednosti smo zajemali na že omenjeni način. Iz izmerjenih vrednosti lastnih frekvenc smo za vsako vpenjalno razmerje izračunali modul elastičnosti (enačba 5), pri čemer smo sedaj upoštevali prvi koren frekvenčne enačbe (7) REZULTATI IN DISKUSIJA ResUlTs aND DIsCUssION Pri preizkušancu s prostima koncema je znašala lastna frekvenca prvega nihajnega načina prečnega nihanja 58,7 Hz, kar pomeni, da znaša modul elastičnosti, upoštevajoč enačbo 8, 14648 mPa. V tabeli 1 so podane izmerjene lastne frekvence konzolno vpetega preizkušanca in izračunani moduli elastičnosti. Slika 2 prikazuje odvisnost med izračunanim modulom elastičnosti in vpenjalnim razmerjem konzolno vpetega preiz-kušanca. Ker to ni absolutno togo, še zlasti v primerjavi z izraženo togostjo prostega konca preizkušanca pri manjših vpe-njalnih razmerjih, so izmerjene lastne frekvence nižje, kot bi bile v primeru absolutno togega vpetja. Posledično so manjši tudi izračunani moduli elastičnosti. z večanjem vpenjalne-ga razmerja l/h se razmerje med togostjo vpetja in togostjo prostega konca preizkušanca povečuje, kar je razvidno tudi iz naraščanja izmerjenih lastnih frekvenc, ki se približujejo frekvenci, značilni za absolutno togo vpetje. Vse skupaj nazorno prikazuje slika 3, iz katere je razviden potek normaliziranih vrednosti izračunanih modulov elastičnosti. Normalizacijo smo izvedli z deljenjem med izračunani- D« Vzbujevalno kladivo / Impact hammer Induktivni merilnik pomika/ Inductive proximity sensor Merilni vmesnik/ measurement card AT MIO 16E-1 -1/ PC (LabView) Slika 1: Eksperimentalni sistem Fig. 1: Experimental system Merhar, M., Bučar, B.: Vpliv togosti konzolnega vpetja na izračun dinamičnega modula elastičnosti Preglednica 1: Izmerjene lastne frekvence in izračunani moduli elastičnosti Tabel 1: natural frequencies and calculated modulus of elasticity 89 l (m) l/h v (Hz) E (mPa) l (m) l/h v (Hz) E (mPa) 0,1245 17,9 301,90 11.792 0,322 46,3 48,05 13.366 0,1375 19,8 251,50 12.175 0,342 49,2 42,70 13.432 0,147 21,2 221,00 12.281 0,36 51,8 38,50 13.406 0,1515 21,8 207,90 12.261 0,3835 55,2 34,00 13.465 0,1585 22,8 192,30 12.568 0,4015 57,8 31,30 13.709 0,168 24,2 169,50 12.324 0,433 62,3 26,80 13.596 0,172 24,7 162,00 12.369 0,461 66,3 23,80 13.776 0,1815 26,1 145,90 12.439 0,491 70,6 21,00 13.802 0,1947 28,0 128,00 12.678 0,522 75,1 18,52 13.713 0,2115 30,4 109,30 12.872 0,55 79,1 16,73 13.792 0,223 32,1 97,60 12.685 0,58 83,5 15,02 13.748 0,2265 32,6 95,50 12.926 0,6095 87,7 13,61 13.774 0,241 34,7 84,30 12.909 0,641 92,2 12,36 13.888 0,2605 37,5 72,20 12.927 0,671 96,5 11,26 13.840 0,281 40,4 62,50 13.115 0,693 99,7 10,60 13.955 0,3025 43,5 54,30 13.295 0,716 103,0 9,90 13.871 mi moduli elastičnosti iz lastnih frekvenc konzolno vpetega preizkušanca ter izračunanim modulom elastičnosti iz lastne frekvence preizkušanca s prostima koncema. Kot smo že omenili, so pri manjših vpenjalnih razmerjih vrednosti nižje, saj je togost vpetja v primerjavi s togostjo prostega konca pre-izkušanca nižja kot pri večjih razmerjih vpetja, kjer se togost prostega dela preizkušanca zmanjša. Iz slike 3 je razvidno izredno dobro ujemanje med izmerjenimi in izračunanimi vrednostmi. Pri slednjih smo upošte- vali podajnost samega vpenjalnega sistema (PAPAdoPoU-LoS / TrUjILLo 1980). Če odvisnost ekstrapoliramo v smeri večjih vpenjalnih razmerij (slika 4), kjer se togost prostega dela preizkušanca zmanjšuje, vidimo, da se normalizirane vrednosti izračunanih modulov elastičnosti, dobljenih iz lastnih frekvenc konzolno vpetega preizkušanca, asimptotično približujejo vrednosti 1. To pomeni, da se z naraščajočim vpe-njalnim razmerjem vpliv realnega vpetja na izmerjene lastne 14500 14000 It13™ I | 13000 a> I 12500 12000 11500 25 50 75 100 125 Vpenjalno razmerje (j/h ) /clamping ratio (/h) Slika 2: modul elastičnosti E v odvisnosti od razmerja proste dolžine konzolno vpetega preskušanca in njegove debeline Fig. 2: Modulus of elasticity vs. clamping ratio 90 Zbornik gozdarstva in lesarstva, 79 1.000 CO .S C 43 o L *= is CD O ¦o -S 8 -3 c o c E <° -S b| CD o 41 E S 0.800 20 40 60 80 Vpenjalno razmerje (W7J /clamping ratio (l/h) 100 Slika 3: Normalizirane vrednosti modulov elastičnosti v odvisnosti od vpenjalnega razmerja Fig. 3: normalized modulus of elasticity vs. clamping ratio 1.000 0.980 H If CD "Q .!= CO a ~S E | Z C 0.820 0.800 50 100 150 200 250 300 350 400 Vpenjalno razmerje (f/h) /clamping ratio (l/h) Slika 4: Normalizirane vrednosti modulov elastičnosti v odvisnosti od vpenjalnega razmerja Fig. : normalized modulus of elasticity vs. clamping ratio frekvence manjša, s tem pa se manjša tudi napaka, ki znaša pri vpenjalnem razmerju 100 manj kot 5 %. ZAKLJUČKI CONClUsIONs Analize in izračuni številnih avtorjev, ki so se ukvarjali z dinamičnimi metodami določevanja modula elastičnosti E, so bili v večini primerov opravljeni na primerih, ko so zahteve, izhajajoče iz robnih pogojev analitičnih rešitev, izpolnjene v celoti. Če pa je vpetje konzolno, nastane problem realizacije robnih pogojev togega vpetja, ki zahtevajo, da sta poves in naklon preizkušanca na mestu vpetja enaka nič. Problem dejansko nastane, ker vpenjalni sistem ni nikoli absolutno tog, pri lesu pa je dodatni problem kompresibilnost lesa v prečni, to je v radialni oz. tangencialni smeri. V omenjenih smereh Merhar, M., Bučar, B.: Vpliv togosti konzolnega vpetja na izračun dinamičnega modula elastičnosti 91 je modul elastičnosti več kot desetkrat manjši kot v vzdolžni smeri, kar pomeni dodatno feksibilnost vpetega preizkušan-ca. Iz eksperimenta je razvidno, da so moduli elastičnosti, izračunani iz lastnih frekvenc konzolno vpetega preizkušanca, pri manjših vpenjalnih razmerjih manjši kot pri večjih. zaradi tega je pri izračunu dinamičnega modula treba bodisi upoštevati korekcijski faktor pri manjših vpenjalnih razmerjih, ki je odvisen od preizkušanca, ali pa preizkušanec vpeti z večjim razmerjem proste dolžine proti debelini vzorca. V našem primeru se napaka izračuna modula elastičnosti zmanjša iz 20 % pri vpenjalnem razmerju vpetja 18 vse do 5 % pri vpenjalnem razmerju okoli 100. Ta napaka pa je že sprejemljiva, še zlasti če upoštevamo izrazito nehomogenost in variabilnost lesa, ki je lahko znotraj samega vzorca precejšnja. SUMMARY The purpose of this research was to present the impact of the free length of a clamped cantilever specimen on the error in calculating the modulus of elasticity from the measured frequencies of transverse free vibrations of the specimen. A problem appears in the realization of boundary conditions requiring zero fexure and incline of the specimen at the point of clamping. The clamping system is never absolutely rigid, and in the case of wood we are also faced with a signifcant deformability of wood in transverse, i.e. radial and tangential directions. In these directions, the modulus of elasticity is more than ten times lower than the modulus along the tissue, which represents an additional fexibility of the clamped test sample. Since the deformability of the clamping system is negligible when compared to the deformability of the test sample, the compressibility of the test sample transversely to the wood tissue represents the total deformability. We tested a beech (Fagus sylvatica) specimen of 112,6 mm x 6,95 mm x 752 mm in size, with a density of 678 kg/ m3, without any visual defects, longitudinally oriented with radial texture and moisture content of 9,5%. First we measured the test sample’s natural frequency of the frst mode of a transversely oscillating sample with free ends. The test sample was suspended from thin ropes at the points of the specimen’s nodes for the frst mode of damped free vibrations. This method of clamping the test sample fully meets the boundary conditions for a thin prismatic structure with free ends. In accordance with the Bernoulli-Euler theory, this frequency was used to calculate the modulus of elasticity, which was subsequently used as a reference. The specimen was then clamped as a cantilever beam several times, from a clamping ratio 18 to 105, and each time the frequency of the frst damped transverse free vibrations was measured. According to the theory for rigid cantilever clamping, we calculated the modulus of elasticity and compared it to the reference modulus. The problem of insuffcient rigidity of the test sample clamping is more pronounced in the case of lower clamping ratios when the expressed free end rigidity is considerable compared to the rigidity of clamping. In such cases, the measured own frequencies are signifcantly lower than the frequencies, which we would obtain in the case of absolutely rigid clamping. As a consequence, the calculated modulus of elasticity is also smaller. The specimen’s clamping rigidity to free-end rigidity ratio increases with the increase of the clamping ratio l/h, which is also shown by the increase of measured natural frequencies. The calculated modulus of elasticity is approaching the reference modulus. Because of all the mentioned facts, in calculating the dynamic modulus of elasticity based on the frequencies of transverse free vibrations of a clamped cantilever test sample, it is necessary either to take into account – in the case of low clamping ratios – a correction factor that depends on the test sample, or to clamp the test sample in a way to provide a greater ratio of the sample free length to sample thickness. In our case, the error in calculating the modulus of elasticity decreases from 20% at the clamping ratio of 18 to just 5% at the clamping ratio of about 100. This error is acceptable, particularly if we consider the distinctive inhomogeneity and variability of wood within the specimen, which can be substantial. VIRI RefeReNCes BEgLINgEr, V. / BoLLETEr, U. / LoCHEr, W. E., 1976. Effects of Shear deformation, rotary Inertia, and Elasticity of the Support on the resonance Frequencies of Short Cantilever Beams.- journal of Engineering for Power, Transactions, ASmE 99:79-87. CHUI, Y. H. / SmITH, I.,1990. Infuence of rotary inertia, shear deformation and support condition on natural frequencies of wooden beams.- Wood Science and Technology 24:233-245. 92 Zbornik gozdarstva in lesarstva, 79 CHUI, Y. H., 1991. Simultaneous evaluation of bending and shear moduli of wood and the infuence of knots on these parameters.- Wood Science and Technology 25: 125-134. goENS, E.. 1931. Über die Bestimmung des Elastizitätsmoduls von Stäben mit Hilfe von Biegungsschwingungen.- Annalen der Physik 11: 649-678. HAINES, d. W. / LEBAN, j. m. / HErBÉ, C., 1995. determination of Young´s modulus for spruce, fr and isotropis materials by the resonance fexure method with comparison to static fexure and other dynamic methods.- Wood Science and Technology 30: 253-263. HEArmoN, r. F. S., 1958. The infuence of shear and rotary inertia on the free fexural vibration of wooden beams.- British journal of Applied Physics 9: 381-388. HEArmoN, r. F. S., 1966. Theory of the Vibration Testing of Wood.- Forest Products journal 16: 29-40. HUANg, T. C., 1961. The Effect of rotary Inertia and of Shear deformation on the Frequency and Shear deformation on the Frequency and Normal mode Equations of Uniform Beams With Simple End Coditions.-journal of Applied mechanics 28: 579-584. ILIC, j., 2003. dynamic moE of 55 species using small wood beams.- Holz als roh- und Werkstoff 61: 167-172. KoLLmANN, F. F. P. / CÔTÉ, W. A., 1984. Principles of Wood Science and Technology. I Solid Wood.- Berlin, Springer Verlag, 592 s. PAPAdoPoULoS, A. P. / TrUjILLo, d. m., 1980. Natural Frequency of Timoshenko Beam on Flexible Base.- journal of the Engineering mechanics division 106: 307-321. WEAVEr, W. / TImoSHENKo, S. P. / YoUNg, d. H., 1990. Vibration problems in engineering. 5th Edition.- New York, john Wiley & Sons, 610 s.