Grafično-aritmetična metoda The Arithmetic Graphic Method Sonja Rajh Zavod RS za šolstvo Σ Povzetek V prispevku je predstavljena grafično aritmetična metoda re- ševanja besedilnih nalog. Na začetku je metoda opisana, nato pa je prikazanih nekaj mogočih načinov reševanja izbranih nalog s to metodo. Reševanje učencev je podkrepljeno z mnen- ji učiteljev. Ključne besede: besedilne naloge, metode reševanja, grafično aritmetična metoda Σ Abstract The paper presents the arithmetic graphic method for solving textual tasks. The method is described at the beginning; next, some of the possible methods for solving selected tasks through this method are presented. The pupils’ approaches to solving are accompanied by teachers’ opinions. Keywords: textual tasks, the methods of solving problems, the arithmetic graphic method α Matematika v šoli ∞ XXI. [2015] ∞ 42-49 043 α Predstavitev grafično- aritmetične metode Grafično-aritmetična metoda ponazori mate- matično nalogo s slikovnim gradivom, ki po- maga učencem pri razumevanju problema in jih vodi na poti do rešitve. Koristnost metode se kaže v tem, da sam način sklepanja podpi- ra sklepanje pri reševanju nalog z Descartovo algebrsko metodo (z zapisom enačbe). Naloga 1 – Tri števila Vsota treh števil je 3946. Prvo število je 4-krat manjše od drugega, tretje pa za 4 večje od drugega. Poišči ta števila. Rešitev: Ta števila so 438, 1752 in 1756. Opis načina reševanja Ugotovimo, da je prvo število najmanjše. To število ponazorimo s pravokotnikom (ali kakšno drugačno grafično upodobitvijo): Lik je torej nadomestil neznanko. Drugo število je štirikrat večje od prvega, zato ga grafično prikažemo kot stolpec štirih takih pravokotnikov. Tretje število je za 4 večje od drugega, zato ga grafično predstavimo kot drugo število, ki mu dodamo simbol, ki predstavlja število 4. Dobimo naslednjo sliko: prvo št. drugo št. tretje št. Vsota vseh treh števil je 3946. Grafično je to prikazano kot 1 + 4 + 4 = 9 enakih pravo- kotnikov in en simbol (zvezda), ki predstav- lja število 4. Torej 9 pravokotnikov določa število 3946 – 4 = 3942. Zato vsak pravokot- nik predstavlja število 3942 : 9 = 438. Zdaj lahko odgovorimo na vprašanje. Prvo število je enako 438, drugo število je 4 . 438 = = 1752, tretje število je enako 1752 + 4 = 1756. Pri preizkusu samo še seštejemo ta tri šte- vila. 438 + 1752 + 1756 = 3946. Učenec, ki usvoji reševanje besedilne na- loge z grafično-aritmetično metodo, lahko na ta način preide na reševanje besedilnih nalog z zapisom enačb. Pri tej metodi gre skozi iste faze kot pri reševanju z enačbami: ugotavlja znane in neznane količine ter od- nose med njimi. V prvem primeru so koli- čine predstavljene grafično, v drugem pa kot algebrski izrazi. Grafična metoda je torej mogoča spodbu- da za tiste, ki jim je jezik algebre še pretežak in miselno lažje manipulirajo z narisanimi objekti. Rešimo nalogo še z zapisom enačbe: Na- mesto slikovnega prikaza prvo število ozna- čimo z x. Potem je drugo število 4x, tretje pa 4x + 4. Njihova vsota je 3946. Zapišimo enačbo in jo rešimo: x + 4x + (4x + 4) = 3946 9x + 4 = 3946 9x = 3942 x = 438 Vidimo, da je postopek reševanja enak prejšnjemu, le da imamo namesto igre s pra- vokotniki tukaj opravka s spremenljivko x. 044 Grafično-aritmetična metoda β Reševanje naloge Lubenice Naloga 2 – Lubenice Masa prve lubenice ja za 2 kg manjša od mase druge lubenice in petkrat manjša od mase tretje lubenice. Masa prve in tretje lubenice skupaj je dvakrat večja od mase druge lubenice. Koliko je masa vsake lu- benice. Rešitev: Lubenice imajo mase 1 kg, 3 kg in 5 kg. Načini reševanja 1. način reševanja V sledečem zapisu na sliki 1 je učenec 8. raz- reda podobno kot v prejšnjem predstavlje- nem primeru ponazoril prvo, drugo in tretjo lubenico. Sestavil je zapis, ki zelo spominja na enačbo, le da je spremenljivko označil s kvadratkom. Tudi način reševanja spominja na reševanje enačb. Ta učenec bo v 9. razre- du lažje razumel postopek reševanja enačb z ekvivalentnim preoblikovanjem, saj je posto- pek sam ugotovil. [ S l i k a 1] Pretipkano reševanje učenca z dodanimi komentarji o postopku njegovega reševanja 045 Njegova učiteljica je zapisala: »Nalogo z lubenicami smo reševali z učenci iz osmega razreda v heterogeni skupini. Zraven grafično aritmetične metode sem se odločila, da bom uporabila še ponazoritev s pomočjo enotskih kock. Ob koncu reševanja sem učencev zastavila še nekaj vprašanj in s pomočjo odgovorov prišla do naslednjega sklepa: – Grafično-aritmetična metoda je učen- cem pomagala pri razumevanju obeh problemskih nalog, – pri razumevanju in predstavi je večini celo bolj pomagala predstavitev z enot- skimi kockami, – učenci niso imeli težav pri prehodu iz grafično-aritmetične naloge na zapis z enačbo, – večina učencev meni, da zdaj bolje ra- zumejo reševanje besedilnih nalog, – na tak način bi se še lotili reševanja prob- lemskih nalog.« Poleg nalog, ki smo jih ponudili za reše- vanje ob predstavitvi te metode, so učitelji z učenci našli še precej drugih nalog, ki so jih reševali po grafično-aritmetični metodi. Z grafično aritmetično metodo so učenci rešili tudi naloge, za katere smo predvidevali, da jih bodo reševali pa kakšni drugi metodi. V nadaljevanju je zapisanih nekaj nalog, ki so nam jih poslali učitelji. γ Reševanje naloge Sadje Naloga 3 – Sadje Oče je na trgu kupil jabolka, hruške, po- maranče in banane. V košari ima skupaj 44 sadežev. Število jabolk je za 2 večje od števila hrušk, število hrušk je za 8 večje od števila banan, število banan je za 2 večje od števila pomaranč. Koliko je hrušk v košari? Rešitev: V košari je 15 hrušk. Načini reševanja [ S l i k a 2] Pretipkano reševanje učenca 046 Grafično-aritmetična metoda Učenec 8. razreda je nalogo Sadje na sliki 2 v bistvu reševal s pomočjo enačbe (čeprav je zapis malo drugačen, kot smo navajeni), v kateri je spremenljivko označil s krogcem. Izhajal je iz števila pomaranč, kar je ozna- čil s krogcem. Ker je število banan za 2 večje od števila pomaranč, je krogcu (ki označu- je število pomaranč) dodal število 2. Ker je število hrušk za 8 večje od števila banan, je oznakam za število banan (krogec in število 2) dodal še število 8. Ker je število jabolk za 2 večje od števila hrušk, je oznakam za število hrušk (krogec + 2 + 8) prištel še število 2. Potem je upošteval to, da je število vseh sadežev v košari enako 44, in sestavil zapis, ki zelo spominja na enačbo (štirje krogci + 24 = 44). Učenec je ob sliki sam ugotovil postopek reševanja enačb. Pri reševanju je enačbe ekvivalentno preoblikoval. Učenec pa ni izračunal števila drugih sa- dežev niti ni naredil preizkusa, da bi tako preveril svojo rešitev. δ Reševanje naloge Riba Naloga 4 – Riba Glava ribe predstavlja tretjino mase cele ribe, rep ribe četrtino mase cele ribe, trup ribe pa ima maso 30 dag. Koliko je masa cele ribe? Odgovor: Masa cele ribe je 72 dag. Načini reševanja 1. način reševanja Ena izmed učiteljic, ki je z učenci reševala nalogo Ribe, je zapisala: »Učencem sem zadnje dni pouka po- nudila naloge v reševanje brez kakšnega posebnega navodila. Rekla sem samo, naj poskusijo naloge rešiti in čim bolje opisa- ti način razmišljanja oziroma reševanja. Najprej sem to naredila v 9. razredu. Na naši šoli imamo heterogene skupine, naloge pa so reševali različni učenci. Kot sem pri- čakovala, je nalogo večina rešila z enačbo, le dva sta se je lotila malo drugače. Popolnoma drugače pa je bilo v 6. razre- du, kjer sem nalogo ponudila le najuspeš- nejšim učencem. Le eni učenki je uspelo re- šiti nalogo, in še to na zelo izviren način. Ker smo se zadnje ure učili o krogu in krož- nici in smo to povezali z obdelavo podatkov ter s tortnim prikazom, je poskušala po tej poti, in kot je razvidno iz njenega izdelka, ji je to tudi uspelo.« Učenka 6. razreda se je reševanja naloge lotila tako kot je navedeno v sliki 3. V navedenem primeru reševanja v sliki 3 je učenka na zelo izviren način ponazorila nalogo s slikovnim gradivom, in to na dru- gačen način, kot smo predstavili z uvodnim primerom. Njen način je za nalogo Ribe bolj ustrezen in ji je pomagal pri razumevanju problema. Učenka je pri reševanju problemske na- loge uspešno povezala znanje o ulomkih, krožnem izseku, središčnem kotu … Tako je v tortnem diagramu s krožnimi izseki najprej ponazorila glavo in rep ribe. Vedela je, da tretjino ponazori s krožnim izsekom s središčnim kotom 120°, četrtino pa s središč- nim kotom 90°. Za krožni izsek, ki je ostal za trup, je izmerila ali pa izračunala velikost središčnega kota. Tako je ugotovila, da maso trupa ponazori s krožnim izsekom, katerega središčni kot meri 150°. Iz podatka, da maso 30 dag ponazorimo s krožnim izsekom s središčnim kotom 150°, je izračunala, da maso 1 dag ponazorimo krožnim izsekom s središčnim kotom 5°. 047 Potem kotu 120° ustreza 24 dag (kar je masa glave), kotu 90° pa masa 18 dag (masa repa). Ko je seštela mase trupa, glave in repa, je dobila 72 dag. Na koncu je zapisala odgo- vor in naredila še preizkus, ter tako preveri- la, ali je tretjina od 72 res 24 (masa glave) in četrtina od 72 res 18 (masa repa). Učenka je nalogo inovativno rešila. Us- pešno je uporabila znanje v novi, čisto dru- gačni situaciji, kar nam je tudi cilj: učence naučiti povezovati znanje, uporabiti znano v novih situacijah. Motijo le neustrezni zapisi enakosti 150° = 30 dag in 120 : 5 = 24 dag. 2. način reševanja [ S l i k a 4] Pretipkano reševanje učenke Učenka 8. razreda je ulomka, ki predstav- ljata maso glave in maso repa ribe, razširila na skupni imenovalec, da je ugotovila, da ji do celote (do ) manjka še , kar je masa trupa ribe. In če mase ribe predstavlja 30 dag, potem mase ribe predstavlja 6 dag. S pomočjo tega podatka je izračunala maso za glavo, rep in trup ribe ter na koncu vse sku- paj seštela, da je dobila skupno maso ribe, to je 72 dag. Iz zapisov na sliki 4 je razvidno, da ima tudi učenka 8. razreda težave pri zapisih ena- kosti: in . Njena učiteljica je poleg izdelka učenke poslala še pripis: »V preteklem šolskem letu sem pouče- vala matematiko v 8. razredu (III. nivo) in 9. razredu (II. nivo). V zadnjem tednu pred poletnimi počitnicami, ko smo imeli ocene že zaključene, smo si z učenci pogle- dali različne primere reševanja problems- kih nalog. Učencem sem razdelila učne lis- te, na katerih so bile predstavljene 4 raz- lične metode reševanja problemskih nalog. [ S l i k a 3] Pretipkano reševanje učenke 048 Grafično-aritmetična metoda S pomočjo rešenega primera so potem samostojno rešili svojo nalogo. V 8. razre- du so naloge reševali zelo dobro. Bili so za- interesirani za delo, reševanje jim je bilo v veselje. Hitro so rešili naloge, zato smo po- tem dodatno reševali še naloge iz učbenika za deveti razred – poglavje uporaba enačb v problemskih nalogah. Zanimivo se mi je zdelo to, da skoraj vsi učenci v 9. razredu take vrste nalogo skušajo rešiti z zapisom enačbe, le kakšen posameznik se znajde in nalogo reši na svoj oz. drug način.« ε Reševanje naloge Zbiralnik vode Naloga 5 – Zbiralnik vode Če odtočimo iz polnega zbiralnika vode, od ostanka zopet , nam ostane 84 litrov vode. Koliko litrov drži zbiralnik? Odgovor: Zbiralnik drži 756 litrov. Način reševanja Iz zapisa v sliki 5 razberemo, da je učenka 8. razreda ugotovila, da če hoče ponazoriti od ostanka vode, torej od , mora zbiralnik razdeliti na devetine. Zelo nazor- no je ponazorila svoj način reševanja naloge. Količino vode, ki smo jo najprej odtočili, je obarvala z modro barvo, količino vode, ki smo jo naknadno odtočili, pa je obarvala z zeleno barvo. Količina vode, ki je ostala na koncu, je ostala nepobarvana. Ta količina, 84 l, predstavlja polnega zbiralnika. In če en del predstavlja 84 l, potem 9 enakih delov predstavlja 9 ∙ 84 l = 756 l. Tako je izračunala prostornino celotnega zbiralnika. Žal pa se je pri prepisovanju zmotila in tako v odgovoru zapisala napačno vrednost. Zapisala je, da zbiralnik drži 765 l, čeprav je izračunala 756 l. η Za konec Učenci so pri reševanju problemskih nalog uporabljali zelo inovativne pristope reševa- nja in s tem dokazali razumevanje problema, ki so ga reševali. Ugotavljamo pa, da imajo učenci težave pri uporabi matematičnega jezika, zlasti pri zapisovanju matematičnih enakosti (150° = 30 dag in ), kar je razvidno pri obeh rešenih primerih naloge Riba. [ S l i k a 5] Pretipkano reševanje učenke 049 S pomočjo grafično-aritmetične meto- de so nekateri učenci reševali naloge, ki so omenjene pri drugih metodah reševanja besedilnih nalog. Vizualnim tipom učencev pomaga, da si besedilno nalogo grafično oz. vizualno predstavijo, ker jim to pomaga pri reševanju, vendar to še ni nujno grafično- aritmetična metoda. Navajamo še dve nalogi, ki jih lahko reši- mo z uporabo grafično-aritmetične metode. Naloga 6 – Notranji koti trikotnika V trikotniku je prvi notranji kot trikrat manjši od drugega notranjega kota, tret- ji pa je za 15° večji od prvega notranjega kota. Koliko merijo posamezni notranji koti trikotnika? Rešitev: Notranji koti trikotnika merijo 33°, 99° in 48°. Naloga 7 – Vsota zaporednih lihih števil Vsota štirih zaporednih lihih števil je 216. Poišči ta števila. Rešitev: Iskana števila so 51, 53, 55 in 57. Dopis uredništva: Zahvaljujemo se učiteljicam Petri Kaste- lic, Mojci Kavčič, Vilmi Moderc, Barbari Fir, Nevi Slavec, Petri Tonejc, Sonji Mišič, ki so v šolskem letu 2010/11 delile svoje izkušnje in izdelke učencev v spletni učilnici študijskih skupin za matematiko v OŠ. θ Vir 1. Sanja Varošanec: Neke metode reševanja problemskih zadataka. Poučak, letnik 4, št. 13, 2003.