PRESNETI ˇ CAJ JANEZ STRNAD Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 47.55.Ca, 47.55.dr Marsikdo godrnja, ko pri nalivanju ˇ caja iz ˇ cajnika zgreˇ si skodelico. Podrobnejˇ sa opazovanja pojava pripeljejo do zanimivih spoznanj o toku tekoˇ cine. THE TEAPOT EFFECT It is annoying when pouring tea from a teapot the liquid misses the cup. Detailed observations of the phenomenon lead to interesting insight concerning the flow of fluids. Opis pojava Pogostoprinatakanjupoˇ casencurekˇ cajaspolziobnosuˇ cajnikainzgreˇ si skodelico. Huje bi bilo, ˇ ce bi se to pripetilo pri pretakanju kisline. Zato priporoˇ cajo, da med steklenico in posodo, v katero natakamo, postavimo stekleno palˇ cko. Nezaˇ zelena vlaga se nabira na dnu okna, polzi po okviru navzdolinkvariles. Tokvodepospodnjemdeluokviravnotranjostprepre- ˇ cimoznavpiˇ cnozarezonaspodnjistraniokvira. Plamenobpoˇ zarulahkopo oviri doseˇ ze mesto, na katerem povzroˇ ci ˇ se veˇ c ˇ skode. Pri opisanih pojavih tok tekoˇ cine, na primer vode ali zraka, sledi oviri, ˇ ce ni preveˇ c ukrivljena (slika 1). Slika 1. Curek vode steˇ ce ob ˇ zlici. (Foto: Aleˇ s Mohoriˇ c) 176 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 5 Presneti ˇ caj Vlogo ovire lahko prevzame tudi drug tekoˇ cinski tok. Pojav je ˇ ze dolgo znan. O njem je leta 1800 poroˇ cal Thomas Young: ” Tlak, ki sili plamen sveˇ ce k zraˇ cnemu toku iz meha, je verjetno natanˇ cno podoben tlaku, ki povzroˇ ci, da se zraˇ cni tok ob oviri ukrivi. Zaznamujte jamico, ki jo na vodni gladini povzroˇ ci tanek zraˇ cni curek. Z izboˇ cenim telesom se s strani pribliˇ zajte curku in jamica bo takoj pokazala, da se je curek odklonil proti telesu.“ [1] Pogosto pojav imenujejo po ˇ cajniku teapot effect. Pojav je pri veˇ cji hitrosti zraka od leta 1910 raziskoval Henri-Marie Co- and˘ a. 1 Zato govorijo o Coandovem pojavu. Nekateri poveˇ zejo pojav v po- ˇ casnem toku s ˇ cajem, pojav v hitrem toku pa s Coando. Okvirno pojasnimo pojav. Mislimo na tokovno cev v stacionarnem toku inNewtonovzakondF = dmazadeltekoˇ cinepredelajmov−Sdp = Sρds·a in dp = −ρads. Pri tem je a pospeˇ sek, dm = Sρds masa dela tekoˇ cine v tokovni cevi z dolˇ zino ds in presekom S ter dp razlika tlakov. Minus opozarja,dasiladelujeodveˇ cjegatlakakmanjˇ semu. Zatangentnipospeˇ sek vstavimo a = dv/dt in upoˇ stevamo hitrost v = ds/dt. Enaˇ cba dp =−ρvdv pove, da v tangentni smeri hitrost naraˇ sˇ ca s pojemajoˇ cim tlakom. Sklep poznamo iz Bernoullijeve enaˇ cbe. Manj znano enaˇ cbo dobimo za ukrivljeno tokovno cev v radialni smeri. Za radialni pospeˇ sek vstavimo a =−v 2 /r z razdaljo od krivinskega srediˇ sˇ ca tokovnic r. Minus opozarja, da pospeˇ sek kaˇ ze proti krivinskemu srediˇ sˇ cu. Enaˇ cbadp = ρdr·v 2 /r pove,datlakvukrivljenitokovnicevinaraˇ sˇ capreˇ cno na tokovnice v smeri od krivinskega srediˇ sˇ ca. Zadnjo enaˇ cbo uporabimo za curek tekoˇ cine v laminarnem toku ob oviri. Na kraju, na katerem bi se loˇ cil odovire, cureknekajmirujoˇ ceokolnetekoˇ cinepotegnezasebojintokovnice se ukrivijo. V toˇ cki bliˇ ze oviri (toˇ cka 1 na sliki 2b) je zato tlak manjˇ si kot v toˇ cki dalj od ovire (toˇ cka 2 na sliki). Razlika tlakov potegne curek proti oviri. Lahko bi rekli, da ob loˇ citvi curka od ovire nastanejo vrtinci, ki silijo curek proti oviri. Kako daleˇ c curek sledi oviri, je odvisno od hitrosti in lastnosti tekoˇ cine ter od ukrivljenosti ovire. Markus Reiner je skrbno obdelal pojav, ne da bi poznal Coandovo delo [2]. V ˇ cisto vodo so postavili steklenico z ravnim dnom in trikotniˇ skim presekom. Najprej je bila obrnjena z vratom navzdol. Na vodoravno dno so 1 Henri-Marie Coand˘ a (1886–1972) je bil romunski ˇ castnik, letalec in aerodina- mik, ki je deloval tudi v Franciji in Angliji. Pojav je opazil ob ponesreˇ cenem poizkusu z reakcijskim letalom. Po njem se imenuje mednarodno letaliˇ sˇ ce v Buka- reˇ sti. 176–182 177 Janez Strnad s cevko poˇ sevno usmerili curek goste solne raztopine. Tok so zaznamovali z zrncem ˇ zivilskega barvila. Curek goste raztopine je polzel ob stranski steni, preden se je obrnil navpiˇ cno navzdol (slika 2a). Slika 2. Curek slane vode v ˇ cisti vodi (a) in curek ˇ ciste vode v slani vodi (b). V curku vode se tokovnice ukrivijo, tako da je tlak v bliˇ znji toˇ cki 1 manjˇ si kot v bolj oddaljeni toˇ cki 2, in razlika tlakov potisne curek proti oviri [2, 5]. Nato so v nasiˇ ceno raztopino soli postavili steklenico z vratom navzgor in na vodoravno dno s cevko dovajali curek ˇ ciste vode. Zdaj je curek polzel ob vodoravnem dnu in nato ob stranski steni, preden se je obrnil navpiˇ cno navzgor (slika 2b). Pri prvem poskusu je steklo privlaˇ cilo curek goste raz- topine, pri drugem pa curek ˇ ciste vode. Po tem so sklepali, da pri pojavu nista pomembna povrˇ sinska napetost ali adhezija, to je sila trdnega telesa na tekoˇ cino. Na izid poskusa ni vplivalo, ˇ ce so nos ˇ cajnika prevlekli s tanko plastjo voska ali parafina, ki ga voda ne omoˇ ci. Namesto stekla so upora- bili druge snovi in spreminjali okoliˇ sˇ cine. Vselej je tekoˇ cina vsaj na kratki razdalji sledila oviri. Pojavjeleta1957zmatematiˇ cnestraniobdelalJosephKeller[3]. Vdveh razseˇ znostih so reˇ sili enaˇ cbe za gibanje neviskozne nestislijive tekoˇ cine. Pri temso nosˇ cajnikaopisaliz vzporednimapoltrakoma. Dobilisoˇ stirireˇ sitve. Dve so poznali. Pri prvi je tekoˇ cina tvorila omejen curek s konstantno hitrostjo po preseku med poltrakoma in njunima podaljˇ skoma, pri drugi pa neomejen tok po vsej ravnini. Preostalih dveh reˇ sitev ˇ se niso poznali. Pri prvi se je tok obrnil in se vraˇ cal po zunanji strani zgornjega poltraka, pri drugi pa po zunanji strani spodnjega poltraka. ˇ Ce so vkljuˇ cili teˇ zo, je reˇ sitev, pri kateri se je tekoˇ cina vraˇ cala ob zgornjem poltraku, postala 178 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 5 Presneti ˇ caj nestabilna. Reˇ sitev, pri kateri se je tekoˇ cina vraˇ cala ob spodnjem poltraku, pa je ostala stabilna. Ta reˇ sitev je ustrezala pojavu, znaˇ cilnemu za ˇ cajnik. Viskoznost in povrˇ sinska napetost nista vplivali na naravo reˇ sitev. Uporaba Pojav so poskuˇ sali izkoristiti. Coand˘ a je poganjal zrak skozi ozko reˇ zo ter za ploskev z osno simetrijo dosegel, da je curek sledil povrˇ sju telesa in spremenil smer za 180 ◦ . Pri tem je curek iz okolice posrkal dvajsetkratni masnitokokolnegazraka. Tlakobpovrˇ sjutelesajebilnavrhnjistranitelesa manjˇ si od zraˇ cnega tlaka. Zmanjˇ sani tlak je dodatno pospeˇ seval curek, ki je izhajal iz reˇ ze in povzroˇ cal dinamiˇ cni vzgon. Obiˇ cajno dinamiˇ cni vzgon nastane zaradi gibanja krila po zraku. Opisani vzgon pa nastane zaradi curka zraka, ne da bi se telo gibalo (slika 3). Slika 3. H. Coand˘ a in I. Reba sta delala poskuse z osno simetriˇ cnim telesom. Iz ˇ sobe je izhajal curek zraka in zajel veliko okolnega zraka. Zmanjˇ sani tlak ob vrhnji ploskvi je povzroˇ cil dinamiˇ cni vzgon [4]. Coand˘ a je izdelal model vozila na zraˇ cno blazino. Za vzgon je poskrbel zmanjˇ sanitlaknavrhnjiploskvi,medtemkopriobiˇ cajnihvozilihtevrsteza vzgonposkrbipoveˇ cantlaknaspodnjiploskvi. Nenavadnipredlogjenaletel na nasprotovanje, ˇ se posebej, ker je imel model obliko leteˇ cega kroˇ znika. Poskusi bi zatonili v pozabo, ˇ ce v zasedenem Parizu med drugo svetovno vojno Nemci Coande ne bi vpregli v raketna raziskovanja. To je po vojni pritegnilo pozornost zaveznikov, ki so se namenili zadevo preiskati. Poskuse je najprej povzel eden od vodilnih aerodinamikov Theodore von K´ arm´ an leta 1949, pozneje pa se jih je lotil tudi Imants Reba na Brooklynskem tehnoloˇ skem inˇ stitutu in v njegovem Laboratoriju za raketni pogon [4]. Reba je leta 1961 nadaljeval poskuse z vozilom na zraˇ cni blazini na razi- 176–182 179 Janez Strnad skovalneminˇ stitutu,povezanemzvojsko. Modelvozilaspremerom60cmje imelstoˇ zˇ castovrhnjoploskev. Skozireˇ zovoblikiozkegaobroˇ caspremerom 15 cm je izhajal curek zraka z zvoˇ cno hitrostjo. Curek je ob povrˇ sju vozila zajel zrak iz okolice, presegel zvoˇ cno hitrost in se zvrtinˇ cil. Raziskali so veˇ c kot trideset razliˇ cnih oblik telesa in z migoticami opazovali tok. Ugotovili so, da vzgon poveˇ ca stopniˇ cka tik podˇ sobo v obliki reˇ ze. Pomembni so bili ˇ se premer in ˇ sirina reˇ ze, hitrost toka ter viˇ sina stopnice. Vendar niso mogli doseˇ ciˇ zelenega vzgona. Leta 1963 je Coand˘ a ob obisku predloˇ zil vodoravno pregrado in rep. Potem se je vozilo celo za veˇ c centimetrov dvignilo od tal. Delali so tudi poskuse s ˇ colnom na zraˇ cni blazini. Vrtinˇ cenje so izkoristili pri gorilniku za popolno zgorevanje plina. Na ta naˇ cin so ˇ zeleli narediti gorilnik za seˇ ziganje teˇ zkih olj. IzdelalisodvaprototipaletalVZ-9Avrocar,kistasedvignilainspustila navpiˇ cno. Nato so poskuse opustili. Pojav pa so uspeˇ sno uporabili pri vrsti letal, med njimi pri ameriˇ skih Boeingu YC-14 in C-17 Globemasterju III ter posebej pri ruskem Antonovu An-72 [1]. S curki zraka, ki jih pihajo ob zgornjih ploskvah kril, poveˇ cajo vzgon, kar je zaˇ zeleno pri majhni hitrosti letala ob vzletu in pristanku. Pojav izkoriˇ sˇ cajo tudi pri odstranjevanju smeti in rib iz vode v dovodih k turbinam ter za brisalce brez metlic na ˇ sipah avtomobilov. Pojav so obdelali v obliki, v kateri ga je mogoˇ ce opisati pri pouku v srednjih ˇ solah [6]. Model za hitri tok Francoska raziskovalna skupina je izvedla podrobne poskuse s poenosta- vljenim modelom v razliˇ cnih okoliˇ sˇ cinah [7]. Na vodoravno kroˇ zno ploˇ sˇ cico spolmeromr = 15mmsonavpiˇ cnonavzdolusmerilicurekvodespolmerom r 0 = 4 mm in hitrostjo v 0 od 1 do 5 m/s. Na ploˇ sˇ cici se je curek nadaljeval kot tanka plast z debelino h. Voda je tekla radialno navzven in se na robu ploˇ sˇ cice odklonila poˇ sevno navzdol. Merili so odklon α proti navpiˇ cnici, v odvisnosti od hitrosti v 0 . Pri prvem nizu poskusov so merili s ploˇ sˇ cicami, katerih povrˇ sje so na razliˇ cne naˇ cine obdelali, da se je spremenil mejni kot ϑ. Pri drugem nizu poskusov so merili s ploˇ sˇ cicami z razliˇ cnimi debelinami 2R s krivinskim polmerom R na robu osnega preseka. V tretjem nizu so merili z vodo ter z meˇ sanico glicerina in vode z dvakrat veˇ cjo viskoznostjo. Pokazalo se je, da to ni vplivalo na izide. Tok je bil precej hiter. Reynoldsovo ˇ stevilo v 180 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 5 Presneti ˇ caj navpiˇ cnem curku Re = 2r 0 ρv/η je merilo od 4000 do 20000, v plasti pa je biloRe = hρv/η desetkratmanjˇ se. Teˇ zenibilotrebaupoˇ stevati. Izidipaso bili odvisni od mejnega kota in od povrˇ sinske napetosti. S superhidrofobno snovjo z mejnim kotom blizu 180 ◦ na ploˇ sˇ cici so prepreˇ cili pojav (slika 4). Slika 4. S superhidrofobno snovjo so premazali nos ˇ cajnika (levo) in s tem prepreˇ cili pojav (desno) [7]. Pribliˇ zno so ugotovili, kako je odklon odvisen od mejnega kota in debe- line ploˇ sˇ cice. Privzeli so, da je masni tok v navpiˇ cnem curku φ m0 = ρv 0 πr 2 0 enak radialnemu masnemu toku v plasti φ = ρv · 2πrh in da se ohrani tudi tok gibalne koliˇ cine v 0 φ m0 = vφ m . Iz tega sta sledili zvezi v = v 0 in h = 1 2 r 2 0 /r. Na robu ploˇ sˇ cice pri razdalji r od osi se je curek odlepil in se od vodoravnice odklonil za kot β = 1 2 π−α (slika 5). Slika 5. Slika poskusne naprave (levo) in slika plasti, ko se odlepi od ploˇ sˇ cice (desno). Po [7]. Po veˇ c pribliˇ znih korakih so dobili zvezo: β∝ √ 1+cosϑ/v 0 . 176–182 181 Janez Strnad Merjenja so pokazala, da kot α = 1 2 π−β zares naraˇ sˇ ca z naraˇ sˇ cajoˇ co hitro- stjo in z naraˇ sˇ cajoˇ cim mejnim kotom (slika 6). Slika 6. Odvisnost kota α od hitrosti v0 za tri vrednosti mejnega kota ϑ (levo, puˇ sˇ cica kaˇ ze od mejnega kota 175 ◦ preko 115 ◦ do 10 ◦ ) in tri vrednosti krivinskega polmera R (desno, puˇ sˇ cica kaˇ ze od polmera 0,03 mm preko 0,5 mm do 1,2 mm). V raˇ cunih se pojavita kot ϕ, ki doloˇ ca omoˇ ceno podroˇ cje, in krivinski polmer meniska Rm. Po [7]. Zahvaljujem se profesorju Lydericu Bocquetu z univerze Lyon 1, ki je ljubeznivo dovolil objavo te in prejˇ snje slike. Opisana raziskovanja so pritegnila precej pozornosti. LITERATURA [1] Coanda effect, http://en.wikipedia.org/wiki/Coand%83_effect. [2] M. Reiner, The teapot effect ... a problem, Phys. Today 9 (1956) 16–20 (9); Teapot means Coanda, ibid. 20 (1967) 5, 15. [3] J. B. Keller, Teapot effect, J. Appl. Phys. 28 (1957) 859–864. [4] I. Reba, Applications of the Coanda effect, Scientific American 214 (1966) 6, 84–91. [5] J.Walker, The troublesome teapot effect, or why a poured liquid clings to the container, Scientific American 251, (1984) 4, 140–144. [6] T. L´ opez-Arias, L. M. Gratton, S. Bon in S. Oss, ” Back of the spoon“ outlook of Coanda effect, Phys. Teacher, 47 (2009) 508–512. [7] C. Duez, C. Ybert, C. Clanet in L. Bocquet, Wetting controls separation of inertial flows from solid surfaces, Phys. Rev. Lett. 104 (2010) 084503 1–4. 182 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 5