Georg Freyherrn von Vega Vorlesungen über die Mathematik Vierter Band die Grundlehren der Hydrostatik, Aerostatik, Hydraulik, und der Bewegung fester Körper in einem widerstehenden flüssigen Mittel enthaltend Zu mehrerer Verbreitung mathematischer Kenntnisse in den k. k. Staaten, und zum Gebrauche des k. k. Artillerie-Corps Zweyte verbesserte Auflage Mit IX. Kupfertafeln Wien, 1819. Transkribiert von Dr. Egon Zakrajšek Ljubljana, 2. August 2001 KAPITEL 4 Von der Bewegung der festen Körper in einem widerstehenden flüssigen Mittel 1. Geradlinige Bewegung der festen Körper in einer widerstehenden flüssigen Masse mit Beseitigung der Schwerkraft 152. Ein fester Körper, der sieh in einer flüssigen Materie beweget, dergleichen z. B. die Luft und das Wasser ist. kann nicht fortgehen, ohne die ihm im Wege liegenden Theilchen derselben in Bewegung zu setzen. Aber eben dadurch muß seine Geschwindigkeit in jedem Augenblicke vermindert werden. Die Elementar-Theilchen der flüssigen Materie widerstehen der Bewegung des in derselben fortgehenden festen Körpers beynahe eben so. wie ein fester Körper der Bewegung eines andern widersteht, der an ihn stößt. Durch einen solchen Widerstand wird in einer gewissen Zeit dem bewegten Körper von seiner Geschwindigkeit etwas entzogen. Der Erfolg ist eben so. als wenn eine bewegende Kraft nach einer Richtung auf den festen Körper wirkete. die der Richtung seiner Bewegung entgegen gesetzet ist. Die Größe dieses Widerstandes, oder dieser negativen bewegenden Kraft hänget von verschiedenen Umständen ab. Erstlich von der Dichtigkeit der flüssigen Materie. Der Widerstand ist desto größer, je größer diese Dichtigkeit ist. Ein Körper leidet z. B. bey seiner Bewegung im Wasser einen größeren Widerstand, als bey einer solchen Bewegung in der Luft. Zweytens die Stärke des Widerstandes richtet sich nach der Größe und Gestalt der Oberfläche des festen Körpers, vorzüglich nach der Größe und Gestalt desjenigen Theiles seiner Oberfläche, mit welchem er während der Bewegung gegen die Theilchen der flüssigen Masse unausgesetzt anstößt. Drittens richtet sich die Stärke des Widerstandes nach der Geschwindigket. womit sich der feste Körper in einer flüssigen Masse beweget. Man sieht leicht ein. daß bey einer größeren Geschwindigkeit der Widerstand größer seyn müsse, als bey einer kleineren. Bey einer größeren Geschwindigkeit werden nähmlich die anstoßenden Theilchen der vorderen Oberfläche des bewegten Köipers an die vorliegenden Elementar-Theilchen der flüssigen Masse gleichsam näher angerücket. und dadurch einer stärkeren Wirkung der Abstoßungskräfte dieser Elementar-Theilchen augesetzet, als bey einer kleineren Geschwindigkeit (3. Th. 59. Anmerk.). Deß-wegen ist der Widerstand, welchen die vordere Oberfläche eines festen Körpers 413 414 4. GRUNDLKHRE DER BALLIS TIK bey seiner Bewegung in einem flüssigen Mittel leidet, eine gewisse Function der Geschwindigkeit. Diese Function werden wir bald kennen lernen. ij. 153. Was im {j. 109. der Stoß einer bewegten flüssigen Masse gegen eine unbeweglich gehaltene feste Fläche war. das ist nun hier der Widerstand, welchen eine bewegte feste Fläche, oder die vordere Oberfläche eines bewegten festen Körpers in einer als ruhend betrachteten flüssigen Masse leidet. Der Druck zwischen einer festen Fläche und zwischen den anliegenden Theilchen der llüssigen Masse, welcher von der Abstoßungskraft der Elementar-Theilchen der Materie entsteht, ist nämlich eben derselbe: es bewege sich entweder eine feste Fläche nach einerley Richtung mit einer gewissen Geschwindigkeit in einer llüssigen Masse: oder aber es werde die Fläche unbeweglich gehalten, und die flüssige Masse bewege sich gegen dieselbe nach eben derselben Richtung mit eben derselben Geschwindigkeit. Nun ist im 109. gezeiget worden, wie man den Stoß einer flüssigen Masse von gegebener Dichtigkeit bey einer gegebenen Geschwindigkeit gegen eine gegebene Stoßfläche ausdrucken könne. Man kann daher auf eben diese Art auch den Widerstand ausdrucken, welchen eben dieselbe Fläche leidet, wenn sie sich mit einer eben so großen Geschwindigkeit in eben derselben flüssigen Masse beweget. §■ 154. Der senkrechte Stoß einer flüssigen Masse gegen eine feste Ebene ist (§. 109.) gleich dem Gewichte eines Prisma der flüssigen Masse, welches die Stoßfläche zur Grundfläche, und die Geschwindigkeitshöhe des anstoßenden Flüssigen zur Höhe hat. Es ist daher der Widerstand, welchen eine feste Ebene während ihrer Bewegung nach einer auf ihr senkrechten Richtung in einer flüssigen Masse bey einer gegebenen Geschwindigkeit in einem gegebenen Zeitpuncte leidet, dem Gewichte eines Prisma dieser flüssigen Masse gleich, welches die bewegte feste Ebene zur Grundfläche, und die gegebene Geschwindigkeitshöhe zu seiner Höhe hat. Eben so ist auch der Widerstand, welchen ein gerades Prisma oder ein gerader Cylinder bey einer Bewegung nach der Richtung seiner Achse in einer flüssigen Masse in einem gegebenen Zeitpuncte bey einer gegebenen Geschwindigkeit leidet, dem Gewichte eines Prisma dieser Flüssigkeit gleich, welches die Anstoßfläche des bewegten Prisma zur Grundfläche, und die in dem gegebenen Zeitpuncte statt findende Geschwindigkeitshöhe zu seiner Höhe hat. Der Widerstand aber, welchen eine feste Kugel bey ihrer Bewegung in einem flüssigen Mittel in einem gegebenen Zeitpuncte bey einer gegebenen Geschwindigkeit leidet, ist (vermöge §. 117.) dem Gewichte eines Cylinders der flüssigen Masse gleich, welcher den größten Durchschnitt einer solchen bewegten Kugel zur Grundfläche, und die Hälfte der im gegebenen Zeitpuncte statt findenden Geschwindigkeitshöhe zu seiner Höhe oder Länge hat. ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 415 Ist nun D der Durchmesser einer gegebenen festen Kugel, die sich in einer flüssigen Masse beweget. q das eigentümliche Gewicht dieser Flüssigkeit. g wie bisher die Beschleunigung der Schwere. v die Geschwindigkeit der bewegten Kugel in einem gegebenen Zcitpunctc während ihrer veränderlichen Bewegung. und Ii der Widerstand, welcher in diesem Augenblicke bey der gegebenen Geschwindigkeit die Bewegung verzögert: so ist 1 0 7-y> 2 1 2 v nD v q Ii = -D tt • — •(/ = 4 8ry 1 32 g Wenn man z. B. eine bleyernc Kugel von ^ Fuß im Durchmesser in einen tiefen mit Wasser angefüllten Behälter durch das Wasser gegen den Boden fallen läßt: so wird die Kugel wegen der Schwerkraft mit gleichförmig beschleunigter Bewegung zu fallen trachten. Allein durch den Auftrieb, und durch den Widerstand des Wassers wird diese Bewegung verzögert, daß die Kugel nicht so schnell sinket, als in freyer Luft. Nach einer gewissen Zeit sey die Geschwindigkeit der sinkenden Kugel v = 10 Fuß: so ist für g = 15^ Fuß. und für q = 56^ Pfund, in diesem Augenblicke der Widerstand R = 8,94657 Pfund, der mittelst der angeführten Formel auf folgende Art gefunden wird. Lok- « = 0.4971499 Log. 100 = 2.0000000 Log. 56,5 = 1.7520484 4.2491983 Subtr. 3.2975417 0,9516566 Log. 4 = 0.0020600 Log. 32 = 1,5051500 Log. 15.5 = 1.1903317 3.2975417 die Zahl = 8,94657 Pf. Es werde nun eine eiserne Kugel von ^ Fuß im Durchmesser aus einem Geschützrohre mit einer angemessenen Pulverladung hinausgeschossen: und ihre anfangliche Geschwindigkeit, mit der sie aus der Mündung des Geschützrohres hinausfährt. sey gleich 1500 Fuß. Diese Geschwindigkeit wird durch den Widerstand der Luft, als durch eine nach entgegengesetzter Richtung wirkende Kraft nach und nach vermindert. In einem gewissen Puncte der Bahn, oder nach einer gewissen Zeit sey die Geschwindigkeit der Kugel nur noch = 1000 Fuß. Man fragt, wie groß wird in einem solchen Zeitpuncte der Widerstand seyn. wenn die Luft, worin die Kugel fortschießt, von der Beschaffenheit ist. daß 1 Kubikfuß von ihr 2 Lot Ii wiegt? Diesen Widerstand findet man mittelst der angeführten Formel für D = v = L000, g = 15,5 Fuß, und für q = 2 Lot Ii = ^ Pfund durch folgende Rechnung 416 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK Log. TT = 0,4971499 Log. 4 = 0,6020600 Log. (1000)2 6,0000000 Log. 32 = 1.5051500 6,4971499 Log. 15.5 = 1,1903317 Subtr. 4.5016617 Log. 16 = 1,2041200 1,9954882 4,5016617 Hierzu gehöret die Zahl 98,9665; der gesuchte Widerstand ist daher in einem solchcn Falle so groß, als wenn in dem festgesetzten Zeitpuncte die Kugel in ihrer Bewegung nach entgegen gesetzter Richtung von einer Kraft von 98.9665 Pfund gepresset würde. S- 155. Aus der angeführten Formel für den Widerstand, den eine feste Kugel hey ihrer Bewegung in einem flüssigen Mittel leidet, lassen sieh verschiedene Folgerungen ableiten: als z. B. (1) Bey Kugeln von gleichen Durchmessern, und bcy verschiedenen Geschwindigkeiten sind die Widerstände in eben demselben flüssigen Mittel den quadrirten Geschwindigkeiten proportional. n2 ,2 Denn es ist (§. 154.) R = " ; und für eine andere Geschwindigkeit V ist R' = Folglich R : R' = v2 : V2. (2) Bey gleichen Geschwindigkeiten, und verschiedenen Kugeln sind die Widerstände in eben demselben flüssigen Mittel den quadrirten Durchmessern. oder den quadrirten Halbmessern, oder auch den Oberflächen der Kugeln proportional. Denn aus R = ^^. und Ii' = folget R:R' = D2: S2 = Qd)' : = D2tt : S2TT. (3) Bey Kugeln von gleichen Durchmessern, und bey gleich großen Geschwindigkeiten sind die Widerstände in flüssigen Massen von verschiedenen Dichtigkeiten, oder von verschiedenen eigenthümlichen Gewichten, diesen eigenthümlichen Gewichten proportional. Denn aus R = und R' = folget R:R' = q: Q. Š. 156. Wenn ein schwimmender fester Körper, der zum Theile aus dem Wasserspiegel hervorraget, z. B. ein beladenes Schiff in einem Canale, mit einer gegebenen Geschwindigkeit fortbeweget werden soll; so ist nebst dem Widerstande gegen die Oberfläche des vorderen Theiles auch noch derjenige hydrostatische Druck zu überwinden, welcher daraus entsteht, daß während der Bewegung des Schiffes das Wasser an dem vorderen Theile sich etwas aufstauet, am Hintertheile aber sich etwas ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 417 vertiefet. Wie nun in dergleichen Füllen der gesummte Widerstand zu bestimmen sey, und wie die Figur des Schiffes beschaffen seyn müsse, damit der gesammte Widerstand ein Kleinstes sey, gehöret eigentlich in die Schiffbaukunst, mit der wir uns nicht beschäftigen können. Hier soll nur von demjenigen Widerstande die Rede seyn, den feste Körper, und zwar vorzüglich Kugeln bey ihrer Bewegung in einem flüssigen Mittel zu leiden haben, wenn sie darin ganz eingetauchet sich befinden; als z. B. da eine geschossene eiserne Kugel, oder eine geworfene Bombe in der gewöhnlichen Luft sich beweget. Selbst in der Bestimmung des Widerstandes welchen eine Kugel bey ihrer Bewegung in einem flüssigen Mittel leidet, sind die Schriftsteller nicht einig. Die meisten setzen denselben so groß, als er im 154. bestimmet worden ist; daß nähmlich der Widerstand gegen eine Kugel dem Gewichte eines Cylinders der flüssigen Masse gleich sey, welcher die größte Kreisfläche der Kugel zur Grundfläche, und die halbe Geschwindigkeitshöhe zu seiner Länge oder Höhe hat. Einige hingegen sind der Meinung, daß man drey Viertheile der Geschwindigkeitshöhe, zuweilen noch mehr fiir die Höhe des erwähnten Cylinders annehmen soll. Wenn die Bewegung der Kugel in einer flüssigen Masse so schnell ist, daß hinter der Kugel ein leerer Raum entsteht, weil die Theilchen der flüssigen Masse sich nicht so geschwind schließen können, als die Kugel ausweichet: so ist nebst dem bisher erwähnten Widerstande, den man den hydrodynamischen zu nennen pflegt, auch noch der hydrostatische Druck zu überwinden, der von dem ungleichen Drucke der schweren flüssigen Masse an der vorderen und hinteren Oberfläche der bewegten Kugel herrühret. Bey der Bewegung der kugelförmigen Körper in der atmosphärischen Luft, womit diese Untersuchung sich vorzüglich beschäftigen soll, ist selten die Geschwindigkeit so groß, daß hinter der Kugel ein leerer Raum entstehen könnte, weil die Luft mit einer Geschwindigkeit von beynahe 1336 Wien. Fuß1 in einen leeren Raum einströhmet (§. 108.) Ist aber die Geschwindigkeit einer bewegten Kugel größer, als 1336 Wien. Fuß: so ist allerdings der nach jj. 154. bestimmte Widerstand noch um den Druck der Atmosphäre zu vermehren, welchen die vordere Kugelfläche wegen des rückwärts entstehenden leeren Raumes leidet. Dieser Druck ist gleich dem Gewichte einer Quecksilbersäule, welche die größte Kreisfläche der Kugel zur Grundfläche, und die an dem Orte der Bewegung statt findende Barometerhöhe zu ihrer Höhe hat. Ü- 157. Aufgabe 'Pn Vegi |2| je eil dunajski čevelj 140.13 pariške linije. Kot vsaka druga linija je tudi pariška enaka 1/144 pariškega čevlja, ki je po S. J. Schniidtu |1| enak 0,32488406 m ali pariška linija je 2,256 mm. 418 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK Eine feste Kugel wird mit einer gegebenen Geschwindigkeit in einer llüssigen Masse in Bewegung gesetzet: man soll die Bewegung in der Voraussetzung bestimmen. daß die Schwerkraft aufgehoben, und außer dem Widerstande der flüssigen Masse sonst alle Hindernisse der Bewegung beseitiget sind. 1) Wenn die flüssige Masse keinen Widerstand äußerte: so würde, bey vorausgesetzter Beseitigung der Schwerkraft und aller übrigen Hindernisse, die Kugel in geradliniger Richtung immer mit gleichförmiger Bewegung fortgehen. Weil aber die flüssige Masse der bewegten Kugel einen Widerstand entgegensetzet, der von der Geschwindigkeit der Bewegung abhänget. und nach gerade entgegengesetzter Richtung wirket: so wird dadurch die Geschwindigkeit der Kugel bey der geradlinigen Bewegung beständig vermindert. Der Widerstand ist hier eine veränderliche Kraft, die nach gerade entgegen gesetzter Richtung die Geschwindigkeit unausgesetzt vermindert. 2) Es sey nun D der Durchmesser der in einer flüssigen Masse in Bewegung gesetzten Kugel, und ihr Gewicht oder ihre Masse sey iVmahl so groß, als das Gewicht der flüssigen Masse unter einem der Kugel gleichen Inhalte. Ferner sey die anfängliche Geschwindigkeit = c, womit die Kugel in der flüssigen Masse in Bewegung gesetzet wird. Nachdem die Kugel nach einer gewissen Zeit = / einen gewissen Weg = x zurückgeleget hat. sey ihre noch übrige Geschwindigkeit = v nach eben derselben geradlinigen Richtung weiter fortzugehen. Im nächst darauf folgenden Zeit-Elemente, oder Differenziale dt rücket die Kugel auf ihrem geradlinigen Wege um das Differenziale d.r weiter fort, und die durch den Widerstand der flüssigen Masse verursachte Verminderung der Geschwindigkeit in einem solchen Zeit-Elemente ist = dv. 3) Wenn man nun weiters den Widerstand des flüssigen Mittels, als eine verzögernde Kraft P. und die bewegte Masse M gehörig ausdrucket, so wird man mittelst der allgemeinen Formeln der veränderlichen Bewegung (3. Th. 56.) Auflösung dv 2cjPdt M ' v dt. (1.1) (1.2) v dv 2 gPdx M ' (1.3) 2 (1.4) hier, wie in allen übrigen Fällen, die Bewegung vollständig bestimmen können. ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 419 4) Aus dem Differentiale dv der veränderlichen Geschwindigkeit, und aus dem Differenzialc dt der Zeit läßt sich nämlich die nach Verlauf der Zeit noch statt findende Geschwindigkeit = v mittelst der ersten Formel dv = - ~!l['i'" angeben, wenn man hier P = (*j. 154.), und M = j:D:i7cN setzet für das eigenthümliche Gewicht der flüssigen Masse = 1. Bringet man nun diese Werthe für P und M in die angeführte Gleichung: so erhält man. mit Beybehaltung des Zeichens — wegen der entgegengesetzten Richtung der bewegenden Kraft P, folgende Differenzial-Gleichung 3 v2dt (IV = ~8DN und ferner nach Absonderung der veränderlichen Größen dt = ~DN ■ 2v~2 dv. Um diese Formel noch einfacher auszudrucken, sey ^DN = a so ist dt = -2 av~2dv Hieraus folget durch die Integration t = Const. -]--. v Es ist aber für t = 0 die Geschwindigkeit v = c: folglich 2« Const. =--; c und t = 2a-{---]. (1.5) (H)- Hieraus folget femer 2ae , ,, r = ——- (1.6) 2 a + et 2(i r r = --(1.7) 2u — vt Mittelst der Formel (1.5) läßt sich für gegebene <\ v, und a = |DN, die Zeit t berechnen, nach deren Verlauf die anfängliche Geschwindigkeit c bis zu einer gegebenen Größe v abgenommen hat. Setzet man da v = 0. und suchet die dazugehörige Zeit t: so findet man t unendlich groß. Die 420 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK Geschwindigkeit eines bewegten festen Körpers wird daher durch den Widerstand der flüssigen Masse niemahls gänzlich getilget, obschon dieselbe unausgesetzt vermindert wird. Durch die Formeln (1.6) und (1.7) kann man für eine gegebene Zeit = f. und für eine der zwey Geschwindigkeiten, die im Anfange und zu Ende dieser Zeit statt linden: die andere Geschwindigkeit berechnen. 5) Aus den in 2) festgesetzten Bezeichnungen kann man nun auch mittelst der in 3) angeführten allgemeinen Formel dx = v dt eine Gleichung ableiten. welche den Zusammenhang der veränderlichen Geschwindigkeit v mit dem zurückgelegten Wege x darstellet. Wenn man nühmlich in dieser allgemeinen Formel d.v = v dt für dt den Werth dt = 2av dv aus 4) setzet: so ist _i dv dx = —2uv dv = —2a ■ — v daraus folget durch die Integration x = Const. — 2a • log v nun ist für x = 0, die Geschwindigkeit v = r; folglich Const. = 2u ■ logc; und x = 2a -log-. (1.8) v Hieraus folget ferner, wenn man die Grundzahl des natürlichen logarithmischen Systemes mit h bezeichnet. — log h = log-2 u v folglich auch h^ = und endlich v = ch~£ (1.9) c = vh&. (1.10) Die Formeln (1.8-1.10) findet man auch, wenn man in der Grundformel (1.3) in 3) für P und M die in 4) angegebenen Werthe setzet, und gehörig integriret. Mittelst der Formel (1.8) läßt sich für gegebene a. = DN, für c und v der Weg x berechnen, an dessen Endpunete die anfängliche Geschwindigkeit c bis zur Größe v abgenommen hat. Durch die Formeln (1.9) und (1.10) kann man für ein gegebenes x, und für die gegebene Geschwindigkeit an dem einen Endpunete dieses Weges, die Geschwindigkeit berechnen welche zu dem anderen Endpunete desselben Weges gehöret. ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 421 6) Um den Zusammenhang zwischen dem zurückgelegten Wege x, und zwischen der dazu verwendeten Zeit analytisch auszudrucken, substituire man in (1.8) lur v den Werth aus (1.6); so ist Mittelst der Formel (1.11) findet man den Weg x, welcher in einer gegebenen Zeit / bey einer gegebenen anfänglichen Geschwindigkeit c zurückgeleget wird. Umgekehrt aus x und r findet man t mittelst der Formel (1.12). Und endlich kann durch die Formel (1.13) die anfängliche Geschwindigkeit c berechnet werden, damit bey einer solchen Bewegung in einem widerstehenden flüssigen Mittel ein bestimmter Weg ./■ in einer bestimmten Zeit / zurückgeleget werde. Um die Formeln für die geradlinige Bewegung der festen Körper in einem widerstehenden flüssigen Mittel, bey Vernachläßigung der Schwerkraft und sonstigen Hindernisse, in einer bequemen Uebersicht kurz beysammen zu haben, werden dieselben allhier in eben der Ordnung, wie sie erwiesen wurden, wiederhohlet. D Durchmesser der in Bewegung gesetzten festen Kugel. N die Zahl, welche anzeiget, wie vielmahl das Gewicht der festen Kugel größer ist. als das Gewicht der Flüssigkeit unter einem der Kugel gleichen Inhalte. Man findet diese Zahl, wenn man die speeifische Schwere der Kugel durch die speeifisehe Schwere der Flüssigkeit dividiret. worin die Bewegung geschieht. a = ±DN, c die anfangliche Geschwindigkeit. x der zurückgelegte Weg. t die dazu gehörige Zeit. v die Geschwindigkeit am Ende des Weges x nach Verlauf der Zeit t. Bey diesen Bezeichnungen ist nun der Zusammenhang zwischen. (1.13) (1.11) (1.12) 158. 422 4. GRUNDLEHRK DER BALLISTIK (A) Zeit und Geschwindigkeiten. t = (1.14) 2 ac V = ^——7- (1.15) 2(1 + et 2av C = ~z-T. (1.16) 2« — vt (B) Raum und Geschwindigkeiten. x = 2a -log-. (1.17) v v = (1.18) c = vhž,. (1.19) (C) Raum, Zeit, und anfangl. Geschwindigkeit. x = 2a • log +. (1.20) t = y (1.21) c = y • (Iii; - l) . (1.22) (D) Anmerk. Die angeführten Formeln sind auch brauchbar, wenn der bewegte feste Körper keine Kugel wäre, sondern eine andere gegebene Gestalt hätte, z. B. wenn er prismatisch oder cylindrisch wäre. Nur müßte in einem solchen Falle der Werth des Buchstaben a gehörig bestimmet werden. Wenn z. B. ein gerader Cylinder von dem Durchmesser D und von der Länge L, nach der Richtung seiner Achse in einem flüssigen Mittel sich fortbewegete; so wäre bey den (im ij. 157.) festgesetzten Bezeichnungen 2gPdt dv = — M * 4" " 4g ' 4J 1 V2 1 = -2g dt. x -D'2TT ■ — : -D'2nLN = 2 v2dt. 4LN ; und ferner dt = -LN-2v~2dv. ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 423 Vergleichet man nun diese Formel mit der im §. 157 in 4) befindlichen dt = -2m»-2 dv, so sieht man, daß alle dort durch die Integral-Rechnung gefundenen Formeln hier ihre Anwendung haben, wenn man hier a = LN setzet. Die bisher angeführten Formeln können auf die horizontale Bewegung der abgeschossenen Kanonkugeln angewendet werden, in so weit solche bey dem so genannten Kernschuße von der geradlinigen Bewegung nicht merklich abweichen. Wenn z. B. die Geschwindigkeit einer 12 pfündigen Kanonkugel, womit sie aus der Mündung des Geschützes hervorschießt, von 1200Wien. Fuß angenommen wird; so kann man finden, wie groß ihre Geschwindigkeit nach der Zurücklegung eines horizontalen Weges von etwa 600 Fuß sey, und wie viel Zeit zur Zurücklegung eines solchen Weges erfordert werde. Suchet man ferner zu dieser berechneten Zeit, nach der Lehre des freyen Falles schwerer Körper, die zugehörige Höhe; so findet man dadurch, um wie viel beyläu-lig die abgeschossene Kugel in der Weite von 600 Fuß durch die Schwerkraft von der anfänglichen horizontalen Richtung herabgesunken ist. 159. Wenn die Geschwindigkeit bey der bisher betrachteten geradlinigen Bewegung einer festen Kugel in einem flüssigen Mittel so groß ist. daß hinter der Kugel ein leerer Raum übrig bleibet: so wird die Bewegung außer dem bisher in Erwägung gezogenen Widerstande auch noch durch den hydrostatischen Druck verzögert, welcher wegen des leeren Raumes gegen die vordere Oberfläche der Kugel entsteht. Diesen hydrostatischen Druck kann man durch das Gewicht einer Säule derjenigen Flüssigkeit ausdrucken, worin die Bewegung geschieht. Setzet man die Grundfläche einer solchen Säule dem größten Durchschnitte der Kugel gleich, und ihre Höhe = n: so ist sodann bey den übrigen festgesetzten Bezeichnungen in der angeführten allgemeinen Formeln der Bewegung P = \D2ir-^+\D2ir-a, und M = gD3ttN. Substituiret man nun diese Werthe für P und M in der Formel r/r = - : so ist dv = -2gdt ■ ^D2tt ^ + n^ : = 3 (v2 + 8ag) dt 8 DA" und ferner durch die Absonderung dt = = 3 \8ag + v2J \8ag + v2 J 424 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK Diese Gleichung läßt sich durch Beyhülfe der Kreisbogen integriren; welches aber zur Uebung und weiterer Ausführung dieser Bewegung dem eigenen Fleiße überlassen wird. 160. Wenn der Cylinder. dessen Gewicht bey der Bewegung einer Kugel in einem flüssigen Mittel den Widerstand ausdrucket, nicht die halbe Geschwindigkeitshöhe zu seiner Länge hätte, sondern diese Länge A-muhl größer seyn sollte, als sie bisher lestgesetzet worden ist; so werden die angeführten Formeln 158.) auch für - DN einen solchen Fall brauchbar seyn. wenn man darin a = A. gelten läßt. Z. B. Für Ä- = 1 ist a = §DN wie oben (*j. 158.); für A- = 2 ist a = \\üN\ und für k = ist a = DN: u.s.w. Diese Erinnerung über die Festsetzung des Werthes von a erstrecket sich zugleich auf die folgenden Fälle der Bewegung fester Körper in einem widerstehenden flüssigen Mittel. Daß übrigens in den angeführten For--DN mein ci = ;< sey, wenn der Widerstand gegen eine Kugel bey der Bewegung 1 l - in einem flüssigen Mittel durch P = ^D'tt ■ ~ ausgedrucket wird, erhellet aus der Vergleichung der Grundformeln der Bewegung für diesen Fall mit dem oben I 9 2 angeführten Grundformeln für P = ■ 2. Lothreehte Bewegung der festen Körper in einem widerstehenden flüssigen Mittel Ü- 161. Bey der lothrechten Bewegung der schweren Körper in einem widerstehenden flüssigen Mittel sind zwey Fälle zu unterscheiden: nähmlich llens das lothreehte Sinken eines frey ausgelassenen, oder auch mit einer anfänglichen Geschwindigkeit lothrecht abwärts geworfenen schweren Körpers; und 2tens das lothreehte Steigen eines mit einer gegebenen anfänglichen Geschwindigkeit lothrecht aufwärts geworfenen oder geschossenen schweren Körpers. Beym Sinken sowohl, als auch beym Steigen, in einem widerstehenden flüssigen Mittel sind drey Kräfte in Erwägung zu ziehen, welche auf die Bewegung Einfluß haben: nähmlich ltens die Schwere, welche als eine unveränderliche Kraft senkrecht gegen die Erde herabwirket. 2tens der Auftrieb (jj. 22.), welcher beym Sinken die Bewegung verzögert, und beym Aufsteigen beschleuniget. 3tens der eigentliche Widerstand der flüssigen Masse, welcher die Bewegung verzögert. Wenn beym Sinken eines schweren Körpers in einem flüssigen Mittel die Geschwindigkeit so groß ist, daß der davon abhängende Widerstand der flüssigen Masse gegen die vordere Oberfläche des fallenden Körpers dem durch den Auftrieb verminderten Gewichte eines solchen Körpers gleich wird; so ist es offenbar, 2. LOTHRECHTE BEWEGUNG 425 dali sodann die Geschwindigkeit nicht mehr vergrößert werden kann, weil die bewegende Kraft nach der Richtung abwärts durch die gerade entgegengesetzte Kraft des Widerstandes gänzlich aufgehoben wird: dergestalt, daß das fernere Sinken des schweren Körpers eine gleichförmige Bewegung ist. §. 162. Aufgabe Das Sinken, oder den Fall einer schweren Kugel in einem widerstehenden flüssigen Mittel zu bestimmen. Auflösung 1) Da eine solche Bewegung von drey verschiedenen Kräften abhänget (§. 161.); so wird man dieselbe mittelst der angeführten Grundformeln der Bewegung (|j. 157. N. 3.) bestimmen können, wenn man P und M in dv = 2i'!['l'". oder auch vdv = J'//1'/'/r gehörig ausdrucket, und sodann die Gleichung integriret. 2) Es sey nun D der Durchmesser der Kugel welche in einem flüssigen Mittel von gleichförmiger Dichtigkeit dem lothrechten Falle überlassen wird. Das Gewicht der Kugel sey „Ymahl so groß, als das Gewicht der flüssigen Masse unter einem mit der Kugel gleich großen Inhalte. In der Zeit i lege die Kugel einen Weg x zurück, und erlange nach Verlauf dieser Zeit am Endpuncte des Weges x die Geschwindigkeit v. 3) Im darauffolgenden Zeit-Elemente dl bey der Zurücklegung des Weges dx erlange die Geschwindigkeit des sinkenden Körpers den unendlich kleinen Zuwachs dv, so läßt sich dieses dv. und folglich auch v aus der Gleichung de = bestimmen, wenn man darin M = gD3itN, und P = $ D* n N - - \D-~ • g setzet. Es ist nähmlich M = ±D3irN die zu bewegende Masse: die bewegende Kraft P aber besteht aus dem absoluten Gewichte der Kugel ^D3irN, und aus dem nach entgegen gesetzter Richtung wirkenden Auftriebe ^D'V, und Widerstande der flüssi-gen Masse ■ Es ist daher _ 2 b nach dieser Formel der Ausdruck für die Zeit durch den Logarithmen einer negativen Zahl angegeben würde, und daher unmöglich wäre. Daß v immer kleiner seyn müsse als b. zeiget noch deutlicher die Formel (2.2), worin zwar v mit t wächst, aber doch dabey immer kleiner i M_i bleibt als b, weil ^—- ein echter Bruch ist. h "n" +1 7) Um zwischen dem zurückgelegten Wege x, und zwischen der erlangten Geschwindigkeit v eine Gleichung zu finden, setze man nun in der zwey-ten Grundformel der Bewegung d v = v dt (§. 157. N. 3.) statt dt aus 5) den Werth f, + = so erhält man , 2a v dv —2vdv dx = tt;--T = — a b~ — v2 b- — v2' Hieraus folget durch die Integration x = Const. — a ■ log (b2 — v2) . Nun ist tur x = 0 auch v = 0: folglich Const. = o • log Ir : und * = ° • ^ (^2) " £ «2 Hieraus folget ferner h« = bl ~rl. und v = b-Vl-h'a. (2.4) Diese Formeln (2.3) und (2.4) findet man auch, wenn man in der dritten Grundformel der Bewegung 2vdv = (§. 157. N. 3.) für P und M die in 3) angegebenen Werthe setzet, darauf die bemerkten Abkürzungen anbringet, und endlich gehörig integriret. 428 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK 8) Endlich ist es auch noch erforderlich eine Gleichung anzugeben, welche den Zusammenhang zwischen dem zurückgelegten Wege x. und zwischen der dazu gehörigen Zeit vorstellet. Man findet diese Gleichung auf folgende Art. Man setze in der Formel (2.1) statt v den Werth aus der Formel (2.4) so ist ' - b •Iog i + Vi - /r« i - v/i - h~«) und ferner, wenn man den Zähler und Nenner des letzten Bruches mit dem Zähler multipliciret. und gehörig reduciret, t = jf + y ■ log (l + Vi -/rž) . Aus dieser letzten Gleichung folget ferner. (2.5) = bt + 2a- log- + . (2.6) Man findet eben diesen Ausdruck für x, wenn man in der Formel (2.3) statt /■ den Werth aus (2.2) substituiret. und gehörig reduciret: oder welches einerley ist wenn man aus der vorhergehenden Gleichung l + V i - iri \ t = rlog 1-Vl-h-i den Werth von x entwickelt. Man findet auf diese Art x = a • log und ferner, wenn man im Nenner dieser letzten Gleichung anstatt der Differenz der zwey Quadrate das Product aus der Summe und aus der Differenz ihrer Wurzeln, setzet ' l,i \ 2 /»« +1\ x = a ■ log 2/)S7 welches nun ferner so. wie in (2.6) geschrieben werden kann. Die Formel (1.9) und (1.10) findet man auch, wenn man in der zweyten Grundformel der Bewegung dx = v dt für v den Werth aus (2.4) setzet, und die dadurch erhaltene Differenzial-Gleichung gehörig integriret. Mittelst der Formel (2.5) kann man die Zeit t, berechnen, binnen welcher eine gegebene Höhe ./• durch den lothrcchten Fall einer Kugel in einem widerstehenden flüssigen Mittel zurückgeleget wird. Umgekehrt findet man die Höhe x, wenn die Zeit / des Falles gegeben ist, mittelst der Formel (2.6). 2. LOTHRECHTE BEWEGUNG 429 163. Um die Formeln für das Fallen der schweren Körper in einem widerstehenden flüssigen Mittel zur bequemen Uebcrsicht kurz beysammen zu haben, will ich dieselben hier in der Ordnung, wie sie erwiesen worden sind, wiederhohlen. Es sey nühmlich D der Durchmesser einer Kugel. N die Zahl, welche anzeiget, wie oft die specifische Schwere der Flüssigkeit, worin die Bewegung geschieht, in der specifischen Schwere der Kugel enthalten ist. a = DN eine Abkürzung. x der durch den Fall zurückgelegte Weg. t die Zeit, binnen welcher der Weg x zurückgeleget wird. v die nach Verlauf der Zeit t am Ende des Weges x durch den Fall erlangte Geschwindigkeit. h die Grundzahl des natürlichen logar. Systems: so ist der Zusammenhang zwischen (A) Zeit und Geschwindigkeit. II' - ^L/I» LIIIL nUAUl/.Ull^. (j die Beschleunigung der Schwerkraft. h = y]Atja(%-l) eine Abkürzung (2.7) (2.8) (B) Raum und Geschwindigkeit. (2.9) v = b- Vi — h ". (2.10) (C) Zeit und Raum. (2.11) (2.12) 430 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK (D) Anmerk. Wenn die specifische Schwere der Flüssigkeit, worin die Kugel lothrecht herabsinket, in Vergleichung der speci fischen Schwere der Kugel sehr klein ist: so kann in dem Ausdrucke b = ohne merklichen Fehler ^^ = 1 geset/et werden. Es ist alsdann b = ^/1 ijir, und es bedeutet b eine durch den freyen Fall von der Höhe a = '^DN erlangte Geschwindigkeit bey welcher der Widerstand der Flüssigkeit gegen eine darin bewegte Kugel so groß ist. als das Gewicht der Kugel. Wenn z. B. eine eiserne Kugel in der widerstehenden Luft mit einer anfänglichen Geschwindigkeit. deren Geschwindigkeitshöhe a = §DN wäre, in lothrech-ter Richtung abwärts geworfen würde; so wäre sie gleich anfangs einem Widerstande = \D'2tt • = ^D'VA' ausgesetzet. und das Gewicht der Kugel wäre bey den festgesetzten Bezeichnungen auch = gD^nN. Es wäre daher in einem solchen Falle der Widerstand der Luft dem Gewichte der Kugel gleich: und weil diese zwey gleichen Kräfte, Gewicht und Widerstand, einander gerade entgegen gesetzet sind: so würde die Kugel in ihrer fernem lothreehten Bewegung weder beschleuniget, noch verzögert werden, sondern müßte mit gleichförmiger Bewegung fortgehen, in so fern die Luft von gleichförmiger Dichtigkeit angesehen werden kann. Weil nun a = jjDA* diejenige Geschwindigkeitshöhe anzeiget, bey welcher der Widerstand einer flüssigen Masse dem Gewichte der darin bewegten Kugel gleich ist: so hat man zuweilen dem Ausdrucke - x — (I • log (l + £)■ cos2 (arctan); - (2.24) (2.25) §■ 167. Aus den Formeln im 166. lassen sich noch verschiedene andere nützliche Gleichungen ableiten, Z. B. 1) Wenn man im |j. 166 in der Formel (2.22) bey der aufsteigenden Bewegung die Geschwindigkeit v = 0 setzet: so erhält man für die ganze Höhe ./;, welche die Kugel zu erreichen vermögend ist. folgende Gleichung (2.26) Hieraus folget die gesuchte anfängliche Geschwindigkeit e, womit die Kugel lothrecht in die Höhe geschossen werden müßte, um eine gegebene Höhe x zu erreichen: nähmlich c = b- Vha - 1. (2.27) 2) Um die Zeit / zu finden, binnen welcher die anfängliche Geschwindigkeit bey der aufsteigenden Bewegung gänzlich getilget wird, setze man im §. 166. in der Formel (2.20) die Geschwindigkeit v = 0: so ist 2« c t = — • arctan - . b b (2.28) Hieraus folget ferner die gesuchte anfängliche Geschwindigkeit c, womit die Kugel lothrecht in die Höhe geschossen werden muß. daß diese Geschwindigkeit gänzlich getilget werde: nähmlich bl = b ■ tan — . 2« (2.29) 3) Um endlich bey einer solchen aufsteigenden Bewegung zwischen der ganzen lothrechten Höhe = x, an deren oberen Endpuncte die anfangliche Geschwindigkeit gänzlich getilget wird, und zwischen der dazu erforderlichen Zeit eine Gleichung zu linden, setze man hier in die Formel (2.26) 436 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK den Werth für c aus (2.29): so erhält man x = 2a ■ log sit = (2.30) 2a o . bt = —2(i • log cos — 2a 2a , a= t = — • arccos/rss (2.31) b 168. Wird endlich das Steigen und Fallen durch gleichen Weg ./• mit einander verglichen. so erhält man folgende Formeln: 1) Bey der aufsteigenden Bewegung ist (§. 167. 2.26) die ganze erreichte Höhe x = a • log m- Da auf dieser Höhe die anfängliche Geschwindigkeit gänzlich getilget ist: so fällt die Kugel durch eben dieselbe Höhe x herab: und erlanget dadurch eine gewisse Geschwindigkeit = v. Man hat sodann (*j. 163. 2.9) Es ist daher a ■ log = « ■ log ^^^ j ; hieraus folget v = (2.33) \/b + c2 br c = w^ß- aM) Mittelst der Formel (2.33) findet man die Geschwindigkeit v, mit welcher eine Kugel auf die Erde zurückfällt, wenn dieselbe mit einer gegebenen anfänglichen Geschwindigkeit c lothrecht in die Höhe geschossen wird. Umgekehrt findet man c aus v mittelst der Formel (2.34). 2) Im 167. in der Formel (2.27) c = b-V/i « - 1. setze man statt b den Werth aus ([j. 163. 2.10) 2. LOTHRECHTE BEWEGUNG 437 so erhält man folgende Gleichungen zwischen beyden Geschwindigkeiten c, v, und zwischen der dazu gehörigen ganzen Höhe x, r v = h x = 2 a ■ log - v (2.35) (2.36) 3) Um die Zeit = t. des Herabsinkens einer mit einer gegebenen anfänglichen Geschwindigkeit c lothrecht in die Höhe geschossenen Kugel durch c ausgcdrucket zu linden, setze man im §. 163. in der Formel (2.7) r = T, ■ l«fS (jpf;) = fi ■ W + ") - L(h ~ u)] anstatt v den hier in (2-33) angeführten Werth v = ^==5: so erhält man nach gehöriger Reduction (2.37) 4) Wenn man diesen zuletzt gefundenen Ausdruck (2.37) der Zeit des Fallens zu der Zeit des Steigens im §. 167. (2.28) t = ■ arctan 5 hinzu addiret: so erhält man für die ganze Zeit = T des Steigens und Fallens folgende Formel 2(i T = T c , ( c. + s/h2 + c-arctan - + log I --- (2.38) Um diese Formel (2.38) einfacher auszudrucken, setze man £ = tan 2*, so ist c = b • tan 2 j . und arctan r = 2^. Dadurch erhält man T = — .[2v»+ log tan (45° + p) ] für - = tan 2w> b Fürc = b- tan2

sin 2p + sin90" ..... -y i ■ cos 90° + cos 2y> ~ 2 sin (45° + s?) ■ cos (45° - yg) 2 cos (45° + p) ■ cos (45° - ip) = tan (45° + p) . Ü- 169. Nach der letzten Formel des vorigen 168 läßt sich aus der beobachteten Zeit des Steigens und Fallens die anfängliche Geschwindigkeit c einer lothrecht in die Höhe geschossenen Kugel berechnen, wenn es erlaubet ist die Luft bis zu derjenigen Höhe, welche die Kugel im Steigen erreichet, durchaus für gleichförmig dicht anzusehen. Um nun c zu finden, müßte man in der angeführten letzten Formel für

" - 1) : n enthält. Mittelst dieser Tafel ist es nun sehr leicht in jedem vorkommenden Falle aus der Glcicljunj» Ljubljana ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 445 (3.12) den Werth für ft mit 4 bis 5 Ziffern genau zu finden, welches in der Ausübung jederzeit zureichend ist. Nun suche man aus der Gleichung (3.12) den Werth für c so erhält man folgende Formel zur Berechnung der anfänglichen Geschwindigkeit aus der bekannten horizontalen Schußweite x, und aus a, g, m, , = JnJZIZÄ^n. (3.13) V \ a ) x sin 2in Endlich suche man aus dieser letzten Gleichung den Werth für in: so erhält man folgende Formel zur Berechnung des Elevationswinkels zu einer gegebener horizontalen Schußweite x, für bekannte a, c. g, sin 2 m = (3.14) \ a / c-x Aus der Gleichung (3.11) kann man auch nachstehende Formel ableiten, wodurch man die anfängliche Geschwindigkeit c aus gegebenen x, y, a, g. rn berechnen kann: c = i)x-. , 4°'f I. (3.15) y\ a / x sin 2m — y(l + cos 2m) Ist y eine gegebene Vertiefung unter dem Horizonte der Mündung des Geschützes in der bekannten horizontalen Entfernung x, ist nähmlich y eine negative Ordinate: so muß man hier in (3.15) so wie oben in (3.11) bey y das Zeichen — in + verwandeln. Suchet man endlich aus (3.9) den Werth für p: so erhält man p = tan m - . — (/i« - l") (3.16) c- cos- m \ / eine Formel, wodurch man für jede Abscisse x die Tangente des Neigungswinkels der Bahn gegen den Horizont berechnen kann. Man findet dadurch den Neigungswinkel. unter welchem der niedersteigende Ast der Bahn den Horizont der Mündung des Geschützes durchschneidet, wenn man in der letzten Formel für x die ganze nach der Formel (3.12) berechnete Schußweite substituiret. §• 173. In der Gleichung (3.7) ist p1 gänzlich vernachlässiget worden, damit man durch diese Annäherung alle folgende Differenzial-Gleichungen integriren konnte. Will man nun eine etwas genauere Annäherung haben: so setze man in dieser Gleichung p den unveränderlichen Werth tau \m. Man kann dieses aus folgendem Grunde thun. Bey dem Anfange der Bewegung ist p = tan in : von da an nimmt p immer ab. je näher die Kugel dem Scheitel der krummen Linie kommt. Da wird p = 0. Sodann fangt p wieder zu wachsen an, und wird negativ: welches man aber hier nicht zu erwägen braucht, weil p2 immer positiv ist. In irgend einem Puncte des 446 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK niedersteigenden Astes der Bahn wird wieder p2 = tan2 m . Man kann daher ohne großen Fehler für p den mittleren Werth zwischen p = tau m , und zwischen p = 0 annehmen: und daher p = tan ^m setzen. Bey dieser Annäherung p — tan in der Formel (3.7) ist nun dp ^ 1 + tan2 ^= -K'/ dt2 ■ dx~3 ddx, oder wegen (1 + tan2 ) - soc-> |m = } i ^ ist dp = 4 ^a cos ^m ^ g dt2 • dx~3 ddx. Die fernere Behandlung dieser Differenzial-Gleichung um nach mehreren Integrationen die gesuchte Gleichung für die Bahn der geschossenen Kugel zu finden, ist völlig eben dieselbe, wie im 170. von N. II angefangen: mit dem einzigen Unterschiede, daß man überall a cos \in anstatt u setzen muß. Es ist nähmlich bey dieser Annäherung. (I) Gleichung für die Bahn, (2aa cos \m \ 2a2ocos2 km / —S— \ tan in + —^—--^—5-*— hacoB 2'" - 1 . c cos in I c2 cos2 m V / (II) Formel zur Berechnung der ganzen Schußweite, (,—ri— x , c2 sin 2m h °' 2m - 1 ] :-=— = 1 +-,—. (3.17) J a cos ^m ±ag cos ^m Bey der Berechnung der Schußweite kann auch hier die am Ende bey-gesägte balistische Tafel mit großem Vortheile gebrauchet werden; denn wenn man durch Beyhülfe dieser Tafel für —^— einen solchen Werth J a cos ^ m n gefunden hat. daß er der Gleichung ein Genüge leistet, so ist sodann die gesuchte Schußweite x = n x a cos jm. (III) Formel zur Berechnung der anfänglichen Geschwindigkeit aus der Schußweite, ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 447 (IV) Formel zur Berechnung des Elevationswinkels zu einer gegebenen Schußweite, «in = (fcf-f-i).^, V a / c~x —s-t— x \ 4a2 o cos2 hß /,«.••»,/'--j--1--— a cos fj/i I c-x Man muß nähmlich bey der Berechnung des Elevationswinkels in zu erst den bcyläufigen Werth desselben = // nach der Formel (3.14) bestimmen. und sodann diesen beyläuligen Werth für // hier in der letzten Gleichung substituiren. Dadurch wird der gesuchte Winkel m meistens mit zureichender Genauigkeit gefunden: wovon man sich überzeugen kann, wenn man diesen so gefundenen Werth m noch einmahl im zweyten Thei-le der letzten Gleichung für // substituirt. (V) Formel zur Berechnung der anfänglichen Geschwindigkeit aus der Abscisse und Ordinate, c = x -1 4a2g cos2 km a cos x sin 2in — y (1 + cos 2m ) (VI) Formel zur Berechnung der horizontalen Schußweite .r, welche mit einer gegebenen Erhöhung +//, oder Vertiefung —y zusammen gehöret, c2 sin 2m \ yc2 (1 + cos 2m ) I I . «-■ Olli £.111 1 haaa --— 1 + --— = 1 T . j a cos km V 4ag cos km I -la-ijcos- (VII) Formel zur Berechnung des Neigungswinkels ^ der Bahn gegen den Horizont aus der Schußweite x. Wenn man nähmlich p = tan p setzet, so ist 2(ig cos hm taiiys = tan m - c cos- III 5Iii _ 448 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK (VIII) Formel zur Berechnung der Schußweite x des aufsteigenden Astes, 1 c2 sin 2m \ x = a cos -m x log 1 + --j— . 2 \ 4ag cos Tjml (IX) Formel zur Berechnung der größten Ordinate, oder der Erhöhung des Scheitels der Bahn über den Horizont der Mündung des Geschützes, 1 y = a cos -m x c2 sin 2/h + -lag cos im f c2 sin 2/// - tan m H--—5-5---— x log 1 + 2c2 cos2 m l 4« rycos ^//1 1 §. 174. Die Länge des Bogens AM = z läßt sich auf folgende Art genau berechnen. Aus der Gleichung (3.7) dps/l+p2 = Aug dt2 ■ dx~3 ddx folget durch Integration c+ipx/r+7+\ log (P + yr+7) = (3.18) »12 1 Nun ist für x = 0 im Anfange der Bewegung, p = tan m, und ffo = r-> tt|; daher ist C = - •lag (I 1 r-7-,- 2--- tan in ■ v 1 + tan- rn — c2 cos2 m 2 — - log ^ tan m + \/l + tan2 m j und ferner Wegen Vi + tan2 m = scc: m = „„„ „, LUn ffI» tan m + __l COS I 1 sin m + 1 cos m cos m sin 90° + sin m cos 90° + cos m = tan (45°+H' ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 449 ist C = 2 ag Hill iii r- cos2 in 2 cos2 in — log tan (3.19) Man substituire hier in der Gleichung (3.18) den Werth für dt2 aus (3.5); so ist dx _ _«_dp_ C + \py/l+& + \\og (p+y/TT?) und wegen (fj. 170. N. 8) dz = dxy/l + p2 ist dx = folglich ist auch dz = dz y/i+F' adpy/l+p2 c+\py/T+&+\ log (,,+ yrr?)' Hieraus folget durch die Integration, weil im Nenner dieses Bruches das vollständige Integral des Zählers dpy/l + p2 enhalten ist. 2 = C' + a log C + ^pn/T+p2 + \ log + x/i+p2) Nun ist für 2 = 0 im Anfange der Bewegung p = tan m ; folglich C' = —ti log sin m 1, / . 1 \ C + --+ - log tan 45° + -m 2 cos- m 2 \ 2 J und z = a log C + bs/l+p2 + k log (p + v/T+7) ferner, wenn man für C den hier in (3.19) angemerkten Werth setzet, und alles gehörig rcduciret 2 = a • log in sm rn cos2 iii + log tan (45° + \m) - - py/l+p2 - log (p + v/1 + P2) ] } Um diese letzte Gleichung noch einfacher auszudrucken, setze man p = tan -p. nahm lieh man bezeichne den veränderlichen Winkel mit •> m sin m cos- iii + log tan (45° + im) - (3.20) Setzet man nun in dieser Formel p = in, so ist z = 0; setzet man aber y? = 0. so ist Z = (1 ■ log er sin in 4 ag (■- cos" 111 , / „0 L \ log tan (45'+ -,,,] die Länge des aufsteigenden Astes der Bahn von der Mündung des Geschützes bis zum Scheitel, wo die Richtung der bewegten Kugel horizontal wird. Für ^ = — m in der Formel (3.20) ist z = a • los c2 sin m r2cos2//j , tan (45° + km) 1 + —-+-:-log v 2 ag 4 a g tau (45° - ^//#) die Länge des Bogens der Bahn von der Mündung des Geschützes über den Scheitel hinunter bis zu dem Puncte des niedersteigenden Astes, wo die Neigung der Tangente der Bahn gegen den Horizont eben so groß ist. als die anfängliche Richtung der geschossenen Kugel. §. 175. Mittelst der Formel (3.20) kann man für jeden Elevationswinkel /;/., und für gegebene a und c die ganze horizontale Schußweite, und die größte Ordinate, oder die Erhöhung des Scheitels der Bahn über den Horizont der Mündung des Geschützes berechnen, und zwar auf folgende Art. (1) Man zertheile den gegebenen Elevationswinkel in in so viele kleine gleiche Theile. etwan in einzelne Grade, oder auch von 2 zu 2 Grad = e, daß die Länge des Bogens der Bahn zwischen jeden zwei Neigungswinkeln der Tangenten bey dem kleinen Unterschiede c ohne merklichen Fehler für eine gerade Linie angesehen werden könne. Nun setze man in der Formel (3.20) nacheinander tp = m — e,ip = m — 2c, = m — 3c. u. s. w. bis ip = 0; und berechne für jeden solchen Werth <~p und für die übrigen gegebenen Größen die dazugehörige Länge s. (2) Sodann ziehe man in dieser Reihe der Bogenlängen jedes vorhergehende Glied von dem nächst darauf folgenden ab, und bezeichne diese Differenzen mit öl,, ß, 7, S, £, u. s. w.; so erhält man dadurch die Längen der Bogen der Bahn zwischen den dazu gehörigen Neigungswinkeln der Tangenten; nähmlich man erhält in Fig. 53. die Bogenlänge a zwischen den Neigungswinkeln m und m — c.,ß zwischen den Neigungswinkeln in — e ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 451 und in — 2e, 7 zwischen den Neigungswinkeln rn — 2c. und in — 3e, 6 zwischen den Neigungswinkeln m — 3r und in — 4c. u. s. w. (3) Diese so gefundenen Längen a, ß, 7, f),... kann man für geradlinige Hy-pothcnusen von rechtwinkeligen Dreyecken ansehen, bey denen die Hy-pothenusen gegen die horizontalen Katheten oder Grundlinien unter den Winkeln in — e, m — 2c, m — 3e, in — 4 e,... geneigt sind. Aus diesen Längen der Bogcnstückc. und aus den dazu gehörigen Neigungswinkeln lassen sich daher sowohl die horizontalen Grundlinien, als auch die lotrechten Höhen aller solcher rechtwinkeligen Dreyecke berechnen. (4) Addiret man endlich alle auf diese Art gefundenen lotrechten Höhen der rechtwinkeligen Dreyecke bis zum Scheitel der Bahn in einen Summe: so erhält man dadurch die Erhöhung des Scheitels über den Horizont, oder die größte Ordinate der Balm. Addiret man ferner auch die gefundenen horizontalen Grundlinien der erwähnten rechtwinkeligen Dreyecke von V? = in — e bis p = 0 in eine Summe zusammen: so erhält man die zur größten Ordinale zugehörige Abscisse, oder die Schußweite des aufsteigenden Astes. (5) Um nun auch die Schußweite des niedersteigenden Astes zu erhalten, welche zur Schußweite des aufsteigenden Astes addiret die ganze horizontale Schußwcite gibt, muß man in der Formel (3.20) noch ferner p = —e, p — —2c, p — — 3e, p = —4c u. s. w. setzen, alles hier in N. 2 und 3 angeführte befolgen, und diese Arbeit solange fortsetzen, bis die Summe der lothrechten Höhen der rechtwinkeligen Dreyecke am niedersteigenden Aste der schon gefundenen größten Ordinate gleich wird. Bis zu diesem Puncte des niedersteigenden Astes, wo die Summe der lothrechten Höhen der rechtwinkeligen Dreyecke so groß wird, als die in N. 4 schon gefundene größte Ordinate, addire man auch alle horizontale Grundlinien der rechtwinkeligen Dreyecke am niedersteigenden Aste in eine Summe zusammen, so erhält man dadurch die gesuchte horizontale Schußweite des niedersteigenden Astes, welche zu jener des aufsteigendes Astes addiret die ganze horizontale Schußweite gibt. (6) Der Winkel p = —ne, bey welchem die Summe der lothrechten Höhen der rechtwikeligen Dreyecke am niedersteigenden Aste der größten Ordinate gleich wird, ist der Neigungswinkel der Tangente der Bahn an derjenigen Stelle, wo die Kugel wieder den Horizont der Mündung des Geschützes erreichet, oder wo die Bahn diesen Horizont das zweytemahl durchschneidet. Dieser Winkel ist jederzeit größer als m. Um ihn hinlänglich genau zu erhalten muß man zuletzt durch Einschaltung für p einen solchen Werth —ne ausfindig zu machen, daß sodann die Summe der lothrechten Höhen am niedersteigenden Aste der nach N. 4. gefundenen größten Ordinate zureichend genau gleich werde. 452 4. GRUNDLEHRE DER BALLISTIK (7) Wenn man nähmlich in der Formel (3.20) alles zwischen den Klammern befindliehe, bis auf den Factor -fj-, in Zahlen berechnet, und diese Zahlen nach der Ordnung mit .4. 13, C, D, E,... bezeichnet; so erhält man für nachstehende Werthe von

u. s. w. Und die lothreehten Höhen Ay eben derselben Dreyecke

+ n/1 + P2) so erhält man folgende Differenzialgleichung dpy/ä dt = \j-ii [-C- bs/T+72 - U (p + nA+p1)] die sich aber nicht integriren läßt. Um nun durch Annäherung eine Differenzialgleichung für dt zu erhalten, die sich integriren läßt, setze man in der Gleichung (aus (3.7)) Idi/ dx dt = —7= \ tan in + —-^--p \/2iu] V er čok- in den Werth für p (aus (3.9)) 2(i(i 2(iqh~< p = tan in + —,----1 — er cos- in er cos- in dadurch erhält man dx h ^ dt = c cos iii 458 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK Und hieraus folget die gesuchte Annäherungs Formel zur Berechnung der Zeit, weil für x = 0 auch t = 0 seyn muß. t = l) . ccos m \ / Nach der zweyten Annäherung (tj. 173.) ist also 2« cos i m t = - C COS iii Ü- 178. Hiermit ist nun das Wesentliche eingezeiget. worauf man bey diesem balisti-schen Probleme zu sehen habe. Bey der ausübenden Artillerie ist davon kein besonderer Gebrauch zu machen. Nur die Formeln (3.12) und (3.13) oder auch II. [j. 173. und III. 173. können in dem Falle mit Nutzen gebrauchet weiden, wenn zu einer neuen Beschützgattung eine Tabelle der Tragweiten für verschiedene Eleva-tionswinkel zu entwerfen ist. Wenn z. B. zu einer 8pfündigen Kanone bey einer bestimmten Ladung die Tragweiten für alle einzelne Elevationswinkel von 1 bis 15 Grad anzugeben wären; so müßte man die zu zwey oder drey verschiedenen Elevationen. etwan zu 1°. 8°. 15° zugehörigen Schußweiten durch einige genau ausgeführte Probeschüsse bestimmen. Sodann könnte man mittelst der Formel III. §. 173. aus der mittleren Schußweite bey jeder der drey gebrauchten Elevationen die anfängliche Geschwindigkeit berechnen. Aus den so berechneten anfanglichen Geschwindigkeiten lassen sich sodann die Schußweiten für die übrigen zwischenliegenden Elevationen mit zureichender Genauigkeit mittelst der Formel II. [j. 173. einschalten. §. 179. Wenn man hier die Formel der geradlinigen Bewegung in einem widerstehenden flüssigen Mittel bey Vernachlässigung der Schwerkraft (aus jj. 158.) mit den Formeln des lothrechten Steigens (aus 166.) gehörig verbindet; so erhält man auch eine Gleichung für die Bahn einer geschossenen Kugel in einem Widerstehenden flüssigen Mittel. Allein eine solche Gleichung ist nicht ganz richtig, weil sie sich nicht zugleich aus den Differenzial-Gleichungen (§. 170.) ableiten läßt. Man kann sie nur als eine Annäherung zur gesuchten wahren Gleichung ansehen. Sie wird auf folgende Art gefunden. Es sey AMC D Fig. 54 die Bahn einer unter dem Elevationswinkel DAT = in geschossenen oder geworfenen Kugel; AP = NM = x; PM = AN = y\ die anfängliche Geschwindigkeit = c nach der richtung AT: und von A bis M die Dauerzeit der Bewegung = t.. Die Geschwindigkeit c kann man nach den Richtungen AN und AP in die zwey Geschwindigkeiten c. sin m und ccos m zerlegen. Jll 11IX A III _ j j ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 459 Daraus erhält man (vermöge (1.20) und (1.21)) / tc cos m \ AP = x = 2a- log (l H — J ; und hieraus 2n t = c cos m Ferner ist (vermöge (2.25)) AN oder (h* - l) • y = a ■ i»g (c2 sin2 m \ / c sin m bt \ 1 + —p—J • cos y arctan - 2a) " Substituiret man nun in dieser letzten Gleichung statt t den eben angeführten Werth — l): so erhält man dadurch eine Gleichung für y, welche bloß durch x, und durch andere gegebene Größen ausgedrucket ist; nähmlich |Y c2 sin2 m \ ( esinm b /, x_ \\ y = log Kl + -gr-J 008 ^arctan - -l)j Aus dieser letzten Gleichung kann man sodann die größte Ordinate DC. und dazu gehörige Abscisse .ID. oder die Schußweite des aufsteigenden Astes nach der Lehre vom Größten und Kleinsten bestimmen. Darauf suchet man die Geschwindigkeit = V für den Scheitel der Bahn nach der horizontalen Richtung CQ mittelst der Formel v = im (1.18) da man in dieser Formel ccos m statt c, und den Werth AD statt x setzet. Aus der nun bekannt gewordenen Geschwindigkeit = V im Scheitel der Bahn läßt sich ferner auch eine Gleichung für den niedersteigenden Ast angeben. Wenn man nähmlich CQ = x. QR = y setzet, und die Zeit der Bewegung von C bis R mit t bezeichnet: so ist (vermöge (1.20)) CQ = x = 2(i ■ log hieraus und (vermöge (2.12)) ist QR, oder y = bt + 2a- log^ + . Substituiret man nun in dieser Gleichung statt / den angeführten Werth ^ ■ — lj . so erhält man die gesuchte Gleichung für den niedersteigenden Ast. Daraus kann man nun aus dem schon bekannten Werthe von FD = CD die dazugehörige Abscisse C F = DD berechnen. Dadurch erhält man die Schußweite des 4M) 49 4. GRUNDLEHRK DER BALLISTIK niedersteigenden Astes. Addiret man endlich diese Schußweite des niedersteigenden Astes zu jener des aufsteigenden: so erhält man die ganze horizontale Schußweite AB. Durch folgende Erwägung kann man auch die Gleichung für die Bahn der geschossenen Kugeln in der widerstehenden Luft erhalten: eben so wie im 3ten Th. |j. 76. die Gleichung für die Parabel bei freyen Bewegung geworfener Körper gefunden worden ist. Die Kugel werde nach der Richtung AT Fig. 55. unter dem Elevations-Winkel BAT = m mit der anfänglichen Geschwindigkeit = c geschossen. Nach Verlauf der Zeit = / gelange sie nach AI. Es sey .4P = x, PM = //: so ist AN = —-—, - •- ■> " cos m' PN = x • tau m. und y = x • tan m — NM. Ohne Schwere würde die Kugel in der Zeit t in der widerstehenden Luft (vermöge (1.20)) den Weg AN = —-— = 2a ■ log cos in M) zurücklegen: und es wäre 2a t = — ^h 2» <■»« »• — lj . Weil aber die Schwerkraft auf die Kugel wirket: so wird diese dadurch in derselben Zeit t nach lothrechter Richtung um NM gegen den Horizont herabgetrieben: und es ist (wegen (2.12)) MN = bt + 2a • log i (l + Ii=r ) oder wenn man statt t den angeführten Werth setzet. .... 2 ab /, x \ ^ 1 f -'^(h 2.. .»s», -il MN = — (h-2»™»»■ - 1J + 2a ■ log - 1 + h c V L) und endlich ist, wenn man diesen Werth anstatt NM in obiger Gleichung substitu-iret, 2ab / x \ l[ y = x- tan in--\Ji 2« <■.,»,,. — 1J — 2a • log - 1 +/? ' V / die gesuchte Gleichung für die Bahn. Da man aber von dieser Gleichung bey der Ausübung keinen Gebrauch machen kann: und auch von ihrer Richtigkeit keine Ueberzeugung hat: so ist es nicht nöthig sich länger dabey aufzuhalten. ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 461 180. Zum Beschlußc dieses Wertes will ich nur noch eine kurze Erwähnung machen, wie man die anfängliche Geschwindigkeit der Kanonenkugeln aus der Pulverladung und aus der Länge des Geschützrohres bestimmen könne. Man kann zwar bey einer solchen Untersuchung den vorgesetzten Zweck niemahls mit befriedigender Genauigkeit erreichen, weil bey der Hervorbringung der Geschwindigkeit durch die Entzündung des Schießpulvers in einem Geschütze so vielerley verschiedene. nicht hinlänglich bekannte. Umstände zusammentreffen, daß man sie nicht alle in Rechnung bringen kann. Indessen wird es doch nicht überflüssig seyn. all-hier den Weg zu zeigen, wie man vorzugehen habe, um sich dem aussteckten Ziele zu nähern; und zwar durch folgende Aufgabe Aus der gegebenen Länge des Geschützrohres, aus der Länge der Pulverladung. und aus dem Durchmesser der Kugel die anfängliche Geschwindigkeit der geschossenen Kugel zu finden, mit welcher sie aus der Mündung des Geschützes hinausfährt. Auflösung 1) Es sey a = AD Fig. 56. die Länge der cylindrischen Aushöhlung des Geschützes: der Seele Kanone. b = AB die Länge des mit Schießpulver angefüllten cylindrischen Raumes. Hätte dieser Raum eine andere Gestalt, so müßte er in einer Zylinder von der Weite der Kugel verwandelt werden um die Länge = b zu erhalten. c der Durchmesser der Kugel, welcher hier dem Durchmesser der Bohrung. oder der Seele gleich gesetzet wird. n die Zahl, welche anzeiget, wie vielmahl die speeifische Schwere der Kugel größer ist. als die speeifische Schwere des Wassers. Bey den vollen eisernen Kugeln ist sehr nahe n = 7.1. Bey den hohlen Kugeln (Bomben und Grenaden) müßte man das Gewicht einer solchen hohlen Kugel durch das Gewicht einer eben so großen vollen Wasserkugel dividiren. um n zu erhalten. ./' sey die Höhe der Wassersäule deren Gewicht den Elasticitätsbruch der atmosphärischen Luft in ihrem mittleren Zustande an der Erdfläche vorstellet. Es ist beynähe / = 32 Fuß. m sey die Zahl, welche anzeiget, wie vielmahl die aus der Verbrennung des Schießpulvers erzeugte, und durch die Hitze vermehrte Ela-sticität der in dem Räume der Pulverladung noch eingeschlossenen Luft größer ist. als die Elastieität der gewöhnlichen atmosphärischen 51 4. GRUNDLKHRE DER BALLIS TIK Luft. Aus mehreren Versuchen hat man gefunden, daß man beylüufig m = 1000 setzen könne. q sey das eigenthümlichc Gewicht des Wassers. Im Wiener-Maße und Gewichte ist q = 56| Pfund. 2) Nach diesen Benennungen ist nun die Pressung gegen die Kugel bey Li (wenn die Pulverladung durch die Verbrennung in elastischen Dampf sich aufgelöset hat. ehe die Kugel von ihrer Stelle merklich gewichen ist) im Anfange der Bewegung = jc'27r ■ m fq = dem Gewichte einer Wassersäule. welche den Durchschnitt der Kugel zur Grundfläche, und die mfache Elasticitäts-Höhe der gewöhnlichen atmosphärischen Luft zu ihrer Höhe hat. 3) In einer gewissen Zeit = / wird durch diese anfangliche Pressung die Kugel bis P fortgetrieben: und sie erlanget dadurch in P eine gewisse Geschwindigkeit = v nach zurückgelegtem Wege DP = x. 4) Die Pressung des elastischen Pulverdampfes gegen die Kugel in P ist nun hier im Verhältniße des Raumes AP zu AD vermindert; weil die Elasti-citäten einer und derselben Luftmasse in verschiedenen Raumsinhalten AD und AP sich verhalten umgekehrt wie diese Raumsinhalte (|j. 67.), oder hier umgekehrt wie die Längen .4P (/; + x) zu AD (b). Nähmlich aus der Pressung in D. = ^c2nin fq folget die Pressung in P gegen die Kugel nach dem bekannten Mariottischen Gesetze = ^c*nmfq x Dieser Ausdruck stellet uns die bewegende Kraft in dem Puncte P vor. Die bewegte Masse aber ist das Gewicht der Kugel = gr-Vmy. 5) Substituiret man nun in der allgemeiner Formel der Bewegung v dv = (3. Th. §56. III.) anstatt P und M die Werthe P = \ 4. CiRl'NDLliHRIi DER BALLISTIK fruchtlos. Die Erfuhrung stimmet mit dieser Bahuuptung nicht übcrein: sie ist auch sonst den Gründen der Mechanik nicht gemäß. Im erwähnten Magazine für Ing. und Artiii. wird zwar die Richtigkeit dieser neuen Lehre des H. Muller bezweifelt. Allein der eigentliche Irrtum ist nicht aufgcdcckct. Ich war daher bemühet diesen Irrtum, der in mehreren Aullage des genanten Werkes vom H. Muller aufrecht erhalten wird, bis zu seinem Ursprünge zu verfolgen; und entdeckte denselben im Folgenden. H. John Muller hat in seinem Werke. Appendix or Supplement to the Treatise of Artillery. London 1768. Seite 117 im Absätze 168. durch unrichtige Schlüsse nachstehende Gleichungen herausgebracht, welche bey einer geradlinigen Bewegung im widerstehenden llüssigen Mittel auf einer horizontalen Ebene mit Beseitigung der Reibung und aller sonstiger Hindernisse außer dem Widerstande des Flüssigen, den Zusammenhang zwischen dem zurückgelegten Wege y, zwischen der Dauerzeit f, zwischen der anfänglichen Geschwindigkeit c. zwischen der noch vorhandenen Geschwindigkeit v nach der Zeit t, und zwischen dem unveränderlichen Werthe r = rr vorstellen sollen. Und es bedeutet bey ihm /■ = 6DN diejenige Höhe, vom welcher eine Kugel des Durchmessers D im luftleeren Räume frey herabfallen müßte, um eine Geschwindigkeit = gr zu erhalten, daß sodann bey dieser Geschwindigkeit der Widerstand einer flüssigen Masse gegen die Kugel eben so groß wäre, als das Gewicht der Kugel: N zeiget übrigens an. wie vielmahl die specifische Schwere der Kugel größer ist. als die specifische Schwere der flüssigen Masse. Der Widerstand der flüssigen Masse gegen eine darin bewegte Kugel ist nach der Meinung des H. Muller dem Gewichte einer Säule dieser Flüssigkeit gleich, welche die größte Kreisfläche der Kugel zur Grundfläche, und ^ der Geschwindigkeithöhe zu ihrer Länge hat. Bey allen bisher angestellten Versuchen hat man den Widerstand weit größer gefunden. Herr Muller mußte ihn so klein annehmen, damit er die aus ebenfalls viel zu klein angenommenen anfänglichen Geschwindigkeiten berechneten Schußweiten der Kanonkugeln mit der Erfahrung übereinstimmend machte. Er hat auf diese Art der zweyte Fehler den ersten beinahe getilget. Nachdem H. Muller die angeführten unrichtigen Gleichungen (3.23) und (3.24) angestellet hatte, sagte er nun weiters im 169ten Absätze Seite 119.2 2Hence, it is manifest, that the given vclocily. wilh w Ii ich the body begins to move, must always be Iess than the greatest velocity that the body can acquire in the medium. For when /• = r2, or a = c then both the space moved over and the time clapsed vanish. Although this is very remarkable, yet no author has taken notice of it; on the contrary, they often suppose this velocity much greater. — It must be observed that the same thing is truc, wether the body moves in an horizontal line or in V = rr " 1 , t = -a - log r — c (3.23) (» - <•)(<; + r) (u + c)(a - v) (3.24) ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 467 Hieraus (aus der angeführten Formeln (3.23) und (3.24)) erhellet ganz deutlich, daß die gegebene Geschwindigkeit, mit der ein Körper sich zu bewegen anfängt, jederzeit kleiner seyn müsse, als die möglich größte, die dieser Körper im demselben widerstehenden flüssigen Mittel (durch den Fall) erlangen kann. Denn wenn r = c2, oder a = c gesetzet wird; so verschwindet sowohl der zurückgelegte Weg. als auch die verflossene Zeit (eigentlich wird y und / unmöglich). Obwohl dieses eine sehr merkwürdige Wahrheit ist; so hat doch bisher kein Schriftsteller hierauf Bedacht genommen; im gegentheile nehmen einige die Geschwindigkeit viel größer an. — Man muß hierbey ferner bemerken, daß dieser Satz immer Wahr bleibe; es möge sich der Körper entweder wagrecht, oder aber längst einer schifen Ebene bewegen, weil dadurch an den obigen Ausdrucken nichts geändert wird. Wir halten für nö-thig diesen Umstand hier bey zusetzen, damit nicht vielleicht ein etwas unachtsamer Reder das bisher gesagte nur allein auf horizontale Bewegungen anwendbar glaube. Daß die zwey angeführten Gleichungen (3.23) und (3.24) auch bey dem vom H. Müller angenommenen Widerstande unrichtig sind, erhellet sogleich, wenn man dieselben mit dem oben im 158 für eben diesen Fall aus richtigen Gründen abgeleiteten Formeln vergleichet. Wenn man nähmlich bey der Aufgabe im 158. auch den Widerstand gegen i 9 2 | die Kugel nach der Meinung des H. Muller P = • • § setzet, und sodann in der Grundformel 2 gPdy v dv = — M für P diesen Werth, und für M substituiret: so ist dij = -12DN ■ — v und für üZ)Ar = r. hieraus folget dy = — 2r ■ dA v ij = 2/■ ■ log - , (3.25) v weil für y = 0 die Geschwindigkeit v = c ist. wie which mukös a given angle with it. since every Illing will ho the same as above. This we thought neeessary to take notice of. to prevent an uncautious reader from taking whai has been here saiil as only to horizontal raiiges. 468 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK Setzet man ferner in der zweyten Grundformel der Bewegung dy = v dt statt dy den eben eingeführten Werth —2/■ ■ ^; so ist 2 rdv r = v dt-, und dt = —2rv dv: Hieraus folget nun < - weil für t = 0 die Geschwindigkeit v = c ist; und endlich ist für /• = rr t = (3.26) Es ist daher bey der geradlinigen Bewegung auf einen horizontalen Ebene in einem widerstehenden flüssigen Mittel der Zusammenhang zwischen dem zurückgelegten Wege, zwischen den Geschwindigkeiten und zwischen der Zeit, wenn man den Widerstand so klein annimmt, als H. Muller denselben voraussetzet, durch folgende zwey Gleichungen richtig vorgestellet. und für a2 = r, V = 2r • log - , v keineswegs aber durch die vom H. Muller durch unrichtige Schlüsse herausgebrachten. oben bemerkten Formeln und für a2 = r 1 , r - r2 y = 2rlog^ä , 1 (a-e)(a + i>) t = 1 i-r;-: • Da nun die angeführten zwey Gleichungen des Herrn Muller gänzlich unrichtig sind; so ist auch alles übrige, was er daraus in den zwey genannten Werken von der Bestimmung der möglich größten Geschwindigkeit der geschossenen Kugeln nach Verschiedenheit des Calibers, von der vortheilhaftesten Länge der Geschützröhre, von der vortheilhaftesten Pul verladung zu einer gegebenen Länge des Geschützrohres, u. s. w. gefolgert hat, unrichtig und ganz verwerflich. Es wäre zu weitläufig alle diese Unrichtigkeiten hier auszuhegen, und zu berichtigen. Dieses könnte nur bey einer vollständigen Uebersetzung des gennanten Werkes des H. Muller Appendix or Supplement to the Treatise of Artillery geschehen. ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 469 185. Hier folget noch die oben erwähnte balistische Tafel, welche bey der Berechnung der Schußweiten in der widerstehenden Luft mit Vortheile gebrauchet werden kann, wie es aus folgendem Beyspiele zu ersehen ist. Es werde eine 4pfündige eiserne Kugel, deren Durchmesser = 3 Zoll = ^ Fuß ist, unter einem Erhöhungswinkel von 15 Grad = m mit einer anfänglichen Geschwindigkeit c = 1200 Fuß aus einem dazu angemessenen Geschütze hinausgeschossen: der Kubikfuß des gegossenen Eisens, woraus die Kugel besteht, wiege 400 Pfunde, und der Kubikfuß der atmosphärischen, hier von gleichförmiger Dichtigkeit angenommenen Luft, worin die Bewegung der geschossenen Kugel vor sich geht, wiege 2 Loth = ^ Pfund Wien. Hand. Gew. Man soll die Schußweite im Horizonte der Mündung des Geschützes berechnen. Diese findet man nun durch Beyhülfe der balistischen Tafel auf folgende Art. Vermöge (3.17) ist — :-^-j— = 1 + ^sin2m \ / a cos ^m 4ag cos die Formel, in welcher ./■ die gesuchte Schußweite bedeutet. Weil nun hier D = und N = 400 : ^ = 6400 ist: so ist DN = 1600; und a = ±DN = y§£, log u = 3.3290587 log cos im = log cos 7°30' = 0.9962686 - 1 log (n ■ cos ±m) = 3.3253273 g = 15±, 4ry = 62. It)g4g = 1.7923917 log {-lag • cos \m) = 5.1177190 c2 = 1440000, sin 2m = sin 30°"= ± c2 • sin 2m = 720000; logc2 • sin 2m = 5.8573325 0.7396135 hierzu gehöret die Zahl ,r"si"2?" = 5.4905. -In(/cos m Und nun hat man die Gleichung fhaco«V _ 1) .-— = ö 4Q05 \ / a cos 5 m woraus sich mittelst der balistischen Tafel der Werth —£1— = n bestimmen läßt. neos im Denn wenn man in dieser Tafel in der Spalte (/>"~1) die Zahl 6.4905 aufsuchet: so findet man. daß —^— größer als 3.02 und kleiner ans 3.303 sey: woraus II COS n sodann durch die Einschaltung mittelst der Differenzen —^— = 3.0278 folget: w n rns — »i» w 470 4. GRIINDLI-HRH DliR MAI.I.ISTIK nähmlich gegebene Zahl nächst kleinere i. d. Tas. Differenz Differenz der Tafel 6,4905 6,4541 bey 3,02 364 466 und nun v _L = Q,QQ78 3,0278 Hiervon log—= 0,4811272 <1 COS $ III loga-cos = 3.3253273 gibt log x = 3.8064545 folglich ist die gesuchte Schußweite x = 6404 Fuß = 1067 Klafter 2 Fuß. Wenn man in diesem Beyspiele die Schußweite nach der Formel (3.12) berechnet: so findet man x = 6437 Fuß. Wenn hingegen die Luft keinen Widerstand leistete; so wäre in dem angeführten Falle nach der parabolischen Lehre vermöge (Z. Th. 77.) die Schußweite r" s!j|?-"' = 23226 Fuß. Es ist hieraus ersichtlich, wie sehr die Schuß- und Wurfweiten durch den Widerstand der Luft verkürzet werden. Aus den angeführten verschiedenen Formeln zur Berechnung der Schußweite bey der Bewegung in einem widerstehenden flüssigen Mittel ist es ersichtlich, daß bey einerley anfänglichen Geschwindigkeit, und bey sonst gleichen Umständen die Kugeln von größeren Durchmessern auch größere Tragweiten haben müssen, als die von kleineren Durchmessern, obschon der Widerstand des flüssigen gegen eine größere Kugel größer ist. als gegen eine kleinere. Z. B. Der Widerstand der Luft gegen eine darin bewegte 241bge Kugel ist viermahl so groß, als gegen eine 31bge, die sich mit eben derselben Geschwindigkeit in eben derselben Luft beweget: und doch erreichet bey einerley anfänglichen Geschwindigkeit unter einerley Elevation die 24 lb ge Kugel eine viel größere Weite, als die 3 lb ge. dieses wird ganz deutlich eingesehen, wenn man nur erwäget, daß die Verminderung der anfanglichen Geschwindigkeit eigentlich von dem Werthe des Bruches in den Grundformeln der Bewegung abhänget. Diesen Werth kann man hier die Verzögerung der Bewegung wegen des Widerstandes nennen. Diese Verzögerung ist nun, da P dem Quadrate des Durchmessers der bewegten Kugel, und M dem Würfel desselben bey sonst gleichen Umständen proportional ist. bey einer 241b gen eisernen Kugel nur halb so groß, als bey einer 31b gen; und deßwegen muß die erste bey einerley Geschwindigkeit und Richtung eine größere Weite erreichen, als die zweyle: welches auch mit Erfahrungen und Versuchen übereinstimmet. 3. KRUMMLINIG!: BEWEGUNG Balistische Tafel II. n Differ. ■Ii hn-l Ii Differ. n h"-\ n Differ. O.Ol 1.0050 0.0051 0.34 1.1910 0.0063 0.67 1.4242 0.0079 0.02 1.0101 0.0051 0.35 1.1973 0.0064 0.68 1.4322 0.0080 0.03 1.0152 0.0051 0.36 1.2037 0.0064 0.69 1.4402 0.0081 0.04 1.0203 0.0052 0.37 1.2101 0.0064 0.70 1.4482 0.0081 0.05 1.0254 0.0052 0.38 1.2165 0.0065 0.71 1.4563 0.0082 0.06 1.0306 0.0052 0.39 1.2230 0.0065 0.72 1.4645 0.0082 0.07 1.0358 0.0053 0.40 1.2296 0.0066 0.73 1.4727 0.0083 0.08 1.0411 0.0053 0.41 1.2361 0.0066 0.74 1.4810 0.0083 0.09 1.0464 0.0053 0.42 1.2428 0.0067 0.75 1.4893 0.0084 0.10 1.0517 0.0054 0.43 1.2494 0.0067 0.76 1.4977 0.0085 0.11 1.0571 0.0054 0.44 1.2562 0.0068 0.77 1.5062 0.0085 0.12 1.0625 0.0054 0.45 1.2629 0.0068 0.78 1.5147 0.0086 0.13 1.0679 0.0055 0.46 1.2697 0.0069 0.79 1.5233 0.0086 0.14 1.0734 0.0055 0.47 1.2766 0.0069 0.80 1.5319 0.0087 0.15 1.0789 0.0055 0.48 1.2835 0.0070 0.81 1.5406 0.0088 0.16 1.0844 0.0056 0.49 1.2904 0.0070 0.82 1.5494 0.0088 0.17 1.0900 0.0056 0.50 1.2974 0.0070 0.83 1.5582 0.0089 0.18 1.0957 0.0057 0.51 1.3045 0.0071 0.84 1.5671 0.0090 0.19 1.1013 0.0057 0.52 1.3116 0.0071 0.85 1.5761 0.0090 0.20 1.1070 0.0057 0.53 1.3187 0.0072 0.86 1.5851 0.0091 0.21 1.1128 0.0058 0.54 1.3259 0.0072 0.87 1.5942 0.0091 0.22 1.1185 0.0058 0.55 1.3332 0.0073 0.88 1.6033 0.0092 0.23 1.1243 0.0059 0.56 1.3405 0.0074 0.89 1.6125 0.0093 0.24 1.1302 0.0059 0.57 1.3478 0.0074 0.90 1.6218 0.0093 0.25 1.1361 0.0059 0.58 1.3552 0.0075 0.91 1.6311 0.0094 0.26 1.1420 0.0060 0.59 1.3627 0.0075 0.92 1.6405 0.0095 0.27 1.1480 0.0060 0.60 1.3702 0.0076 0.93 1.6500 0.0095 0.28 1.1540 0.0061 0.61 1.3778 0.0076 0.94 1.6596 0.0096 0.29 1.1601 0.0061 0.62 1.3854 0.0077 0.95 1.6692 0.0097 0.30 1.1662 0.0061 0.63 1.3930 0.0077 0.96 1.6789 0.0098 0.31 1.1723 0.0062 0.64 1.4008 0.0078 0.97 1.6886 0.0098 0.32 1.1785 0.0062 0.65 1.4085 0.0078 0.98 1.6984 0.0099 0.33 1.1848 0.0063 0.66 1.4164 0.0079 0.99 1.7083 0.0100 0.34 1.1910 0.0063 0.67 1.4242 0.0079 1.00 1.7183 0.0100 472 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK Balistische Tafel 11 H Differ. ti /i"-i ii Differ. n /i"-i n Differ. 1.01 1.7283 0.0101 1.34 2.1038 0.0128 1.67 2.5821 0.0164 1.02 1.7384 0.0102 1.35 2.1166 0.0129 1.68 2.5985 0.0165 1.03 1.7486 0.0103 1.36 2.1296 0.0130 1.69 2.6151 0.0167 1.04 1.7589 0.0103 1.37 2.1426 0.0131 1.70 2.6317 0.0168 1.05 1.7692 0.0 KU 1.38 2.1557 0.0132 1.71 2.6485 0.0169 1.06 1.7796 0.0105 1.39 2.1690 0.0133 1.72 2.6654 0.0170 1.07 1.7901 0.0106 1.40 2.1823 0.0134 1.73 2.6825 0.0172 1.08 1.8006 0.0106 1.41 2.1957 0.0135 1.74 2.6996 0.0173 1.09 1.8113 0.0107 1.42 2.2092 0.0136 1.75 2.7169 0.0174 1.10 1.8220 0.0108 1.43 2.2229 0.0137 1.76 2.7343 0.0176 1.11 1.8328 0.0109 1.44 2.2366 0.0138 1.77 2.7519 0.0177 1.12 1.8436 0.0109 1.45 2.2504 0.0139 1.78 2.7696 0.0178 1.13 1.8546 0.0110 1.46 2.2644 0.0140 1.79 2.7874 0.0180 1.14 1.8656 0.0111 1.47 2.2784 0.0141 1.80 2.8054 0.0181 1.15 1.8767 0.0112 1.48 2.2925 0.0142 1.81 2.8235 0.0182 1.16 1.8879 0.0113 1.49 2.3068 0.0144 1.82 2.8417 0.0184 1.17 1.8991 0.0113 1.50 2.3211 0.0145 1.83 2.8600 0.0185 1.18 1.9105 0.0114 1.51 2.3356 0.0146 1.84 2.8786 0.0186 1.19 1.9219 0.0115 1.52 2.3501 0.0147 1.85 2.8972 0.0188 1.20 1.9334 0.0116 1.53 2.3648 0.0148 1.86 2.9160 0.0189 1.21 1.9450 0.0117 1.54 2.3796 0.0149 1.87 2.9349 0.0191 1.22 1.9567 0.0118 1.55 2.3945 0.0150 1.88 2.9540 0.0192 1.23 1.9685 0.0119 1.56 2.4095 0.0151 1.89 2.9732 0.0194 1.24 1.9803 0.0119 1.57 2.4246 0.0152 1.90 2.9926 0.0195 1.25 1.9923 0.0120 1.58 2.4398 0.0153 1.91 3.0121 0.0197 1.26 2.0043 0.0121 1.59 2.4552 0.0155 1.92 3.0317 0.0198 1.27 2.0164 0.0122 1.60 2.4706 0.0156 1.93 3.0516 0.0200 1.28 2.0286 0.0123 1.61 2.4862 0.0157 1.94 3.0715 0.0201 1.29 2.0409 0.0124 1.62 2.5019 0.0158 1.95 3.0916 0.0203 1.30 2.0533 0.0125 1.63 2.5177 0.0159 1.96 3.1119 0.0204 1.31 2.0658 0.0126 1.64 2.5336 0.0160 1.97 3.1323 0.0206 1.32 2.0783 0.0127 1.65 2.5497 0.0162 1.98 3.1529 0.0207 1.33 2.0910 0.0128 1.66 2.5658 0.0163 1.99 3.1736 0.0209 1.34 2.1038 0.0128 1.67 2.5821 0.0164 2.00 3.1945 0.0211 3. KRUMMLINIG!: BEWEGUNG Balistische Tafel 11 k"-i 11 Differ. n /l" — 1 II Differ. n Ii"-1 n Differ. 2.01 3.2156 0.0212 2.34 4.0091 0.0273 2.67 5.0337 0.0354 2.02 3.2368 0.0214 2.35 4.0364 0.0275 2.68 5.0691 0.0356 2.03 3.2582 0.0215 2.36 4.0640 0.0278 2.69 5.1047 0.0359 2.04 3.2797 0.0217 2.37 4.0917 0.0280 2.70 5.1406 0.0362 2.05 3.3014 0.0219 2.38 4.1197 0.0282 2.71 5.1769 0.0365 1 2.06 3.3233 0.0220 2.39 4.1479 0.0284 2.72 5.2134 0.0368 2.07 3.3453 0.0222 2.40 4.1763 0.0286 2.73 5.2501 0.0371 , 2.08 3.3675 0.0224 2.41 4.2050 0.0289 2.74 5.2872 0.0374 2.09 3.3899 0.0226 2.42 4.2338 0.0291 2.75 5.3246 0.0377 2.10 3.4125 0.0227 2.43 4.2629 0.0293 2.76 5.3623 0.0380 2.11 3.4352 0.0229 2.44 4.2922 0.0295 2.77 5.4002 0.0383 2.12 3.4581 0.0231 2.45 4.3218 0.0298 2.78 5.4385 0.0386 2.13 3.4812 0.0233 2.46 4.3515 0.0300 2.79 5.4771 0.0389 ' 2.14 3.5044 0.0234 2.47 4.3816 0.0302 2.80 5.5159 0.0392 ' 2.15 3.5278 0.0236 2.48 4.4118 0.0305 2.81 5.5551 0.0395 2.16 3.5515 0.0238 2.49 4.4423 0.0307 2.82 5.5946 0.0398 2.17 3.5752 0.0240 2.50 4.4730 0.0310 2.83 5.6344 0.0401 1 2.18 3.5992 0.0242 2.51 4.5040 0.0312 2.84 5.6746 0.0404 i 2.19 3.6234 0.0243 2.52 4.5352 0.0314 2.85 5.7150 0.0408 2.20 3.6477 0.0245 2.53 4.5666 0.0317 2.86 5.7558 0.0411 2.21 3.6723 0.0247 2.54 4.5983 0.0319 2.87 5.7969 0.0414 ! 2.22 3.6970 0.0249 2.55 4.6302 0.0322 2.88 5.8383 0.0417 ! 2.23 3.7219 0.0251 2.56 4.6624 0.0324 2.89 5.8800 0.0421 2.24 3.7470 0.0253 2.57 4.6949 0.0327 2.90 5.9221 0.0424 2.25 3.7723 0.0255 2.58 4.7276 0.0330 2.91 5.9645 0.0428 2.26 3.7978 0.0257 2.59 4.7605 0.0332 2.92 6.0073 0.0431 2.27 3.8235 0.0259 2.60 4.7937 0.0335 2.93 6.0504 0.0434 2.28 3.8494 0.0261 2.61 4.8272 0.0337 2.94 6.0938 0.0438 2.29 3.8755 0.0263 2.62 4.8610 0.0340 2.95 6.1376 0.0441 2.30 3.9018 0.0265 2.63 4.8950 0.0343 2.96 6.1817 0.0445 ! 2.31 3.9283 0.0267 2.64 4.9292 0.0345 2.97 6.2262 0.0448 i 2.32 3.9550 0.0269 2.65 4.9638 0.0348 2.98 6.2711 0.0452 j 2.33 3.9819 0.0271 2.66 4.9986 0.0351 2.99 6.3163 0.0456 2.34 4.0091 0.0273 2.67 5.0337 0.0354 3.00 6.3618 0.0459 474 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK Balistische Tafel n /i"-i n Differ. /i n Differ. n. n Differ. 3.01 6.4078 0.0463 3.34 8.1494 0.0603 3.67 10.423 0.079 , 3.02 6.4541 0.0467 3.35 8.2098 0.0608 3.68 10.502 0.080 3.03 6.5007 0.0470 3.36 8.2706 0.0613 3.69 10.581 0.080 3.04 6.5478 0.0474 3.37 8.3319 0.0618 3.70 10.661 0.081 3.05 6.5952 0.0478 3.38 8.3937 0.0623 3.71 10.742 0.081 3.06 6.6430 0.0482 3.39 8.4560 0.0628 3.72 10.824 0.082 3.07 6.6912 0.0486 3.40 8.5189 0.0633 3.73 10.906 0.083 3.08 6.7397 0.0490 3.41 8.5822 0.0638 3.74 10.989 0.084 3.09 6.7887 0.0494 3.42 8.6460 0.0644 3.75 11.072 0.084 3.10 6.8380 0.0497 3.43 8.7104 0.0649 3.76 11.156 0.085 3.11 6.8878 0.0501 3.44 8.7753 0.0654 3.77 11.241 0.086 3.12 6.9379 0.0505 3.45 8.8407 0.0659 3.78 11.327 0.086 3.13 6.9885 0.0510 3.46 8.9066 0.0665 3.79 11.413 0.087 3.14 7.0394 0.0514 3.47 8.9731 0.0670 3.80 11.500 0.088 3.15 7.0908 0.0518 3.48 9.0402 0.0676 3.81 11.588 0.088 1 3.16 7.1426 0.0522 3.49 9.1077 0.0681 3.82 11.676 0.089 3.17 7.1948 0.0526 3.50 9.1758 0.0687 3.83 11.766 0.090 3.18 7.2474 0.0530 3.51 9.2445 0.0692 3.84 11.856 0.091 3.19 7.3004 0.0535 3.52 9.3138 0.0698 3.85 11.946 0.091 3.20 7.3539 0.0539 3.53 9.3836 0.0704 3.86 12.038 0.092 3.21 7.4078 0.0543 3.54 9.4539 0.0709 3.87 12.130 0.093 3.22 7.4621 0.0548 3.55 9.5249 0.0715 3.88 12.223 0.094 3.23 7.5169 0.0552 3.56 9.5964 0.0721 3.89 12.316 0.094 3.24 7.5721 0.0557 3.57 9.6685 0.0727 3.90 12.411 0.095 i 3.25 7.6278 0.0561 3.58 9.7412 0.0733 3.91 12.506 0.096 3.26 7.6839 0.0566 3.59 9.8145 0.0739 3.92 12.602 0.097 3.27 7.7405 0.0570 3.60 9.8884 0.0745 3.93 12.699 0.098 3.28 7.7975 0.0575 3.61 9.9629 0.0751 3.94 12.797 0.098 i 3.29 7.8550 0.0579 3.62 10.038 0.076 3.95 12.895 0.099 3.30 7.9129 0.0584 3.63 10.114 0.076 3.96 12.994 0.100 3.31 7.9713 0.0589 3.64 10.190 0.077 3.97 13.094 0.101 3.32 8.0302 0.0594 3.65 10.267 0.078 3.98 13.195 0.102 3.33 8.0896 0.0598 3.66 10.345 0.078 3.99 13.297 0.103 3.34 8.1494 0.0603 3.67 10.423 0.079 4.00 13.400 0.103 ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 475 Balistische Tafel II Ii"-1 n Di Oer. ii n Differ. ii n Differ. 4.01 13.503 0.104 4.34 17.444 0.137 4.67 22.633 0.181 4.02 13.607 0.105 4.35 17.581 0.138 4.68 22.814 0.182 ! 4.03 13.712 0.106 4.36 17.720 0.139 4.69 22.996 0.184 4.04 13.818 0.107 4.37 17.859 0.141 4.70 23.180 0.185 4.05 13.925 0.108 4.38 18.000 0.142 4.71 23.366 0.187 4.06 14.033 0.109 4.39 18.141 0.143 4.72 23.553 0.189 4.07 14.142 0.110 4.40 18.284 0.144 4.73 23.741 0.190 ' 4.08 14.251 0.110 4.41 18.428 0.145 4.74 23.931 0.192 4.09 14.362 0.111 4.42 18.574 0.147 4.75 24.123 0.193 4.10 14.473 0.112 4.43 18.720 0.148 4.76 24.316 0.195 4.11 14.586 0.113 4.44 18.868 0.149 4.77 24.511 0.197 4.12 14.699 0.114 4.45 19.017 0.150 4.78 24.708 0.198 4.13 14.813 0.115 4.46 19.168 0.152 4.79 24.906 0.200 4.14 14.928 0.116 4.47 19.319 0.153 4.80 25.106 0.202 4.15 15.044 0.117 4.48 19.472 0.154 4.81 25.308 0.203 1 4.16 15.161 0.118 4.49 19.626 0.155 4.82 25.511 0.205 ■ 4.17 15.279 0.119 4.50 19.782 0.157 4.83 25.717 0.207 4.18 15.399 0.120 4.51 19.938 0.158 4.84 25.923 0.209 4.19 15.519 0.121 4.52 20.096 0.159 4.85 26.132 0.210 4.20 15.640 0.122 4.53 20.256 0.161 4.86 26.342 0.212 4.21 15.762 0.123 4.54 20.416 0.162 4.87 26.555 0.214 4.22 15.885 0.124 4.55 20.579 0.163 4.88 26.769 0.216 4.23 16.009 0.125 4.56 20.742 0.165 4.89 26.984 0.218 4.24 16.134 0.126 4.57 20.907 0.166 4.90 27.202 0.219 4.25 16.260 0.127 4.58 21.073 0.168 4.91 27.421 0.221 i 4.26 16.387 0.128 4.59 21.241 0.169 4.92 27.643 0.223 i 4.27 16.516 0.129 4.60 21.410 0.170 4.93 27.866 0.225 4.28 16.645 0.130 4.61 21.580 0.172 4.94 28.091 0.227 | 4.29 16.775 0.132 4.62 21.752 0.173 4.95 28.318 0.229 4.30 16.907 0.133 4.63 21.925 0.175 4.96 28.547 0.231 4.31 17.040 0.134 4.64 22.100 0.176 4.97 28.778 0.233 4.32 17.173 0.135 4.65 22.276 0.178 4.98 29.011 0.235 4.33 17.308 0.136 4.66 22.454 0.179 4.99 29.246 0.237 4.34 17.444 0.137 4.67 22.633 0.181 5.00 29.483 0.239 476 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK Balistische Tafel n n Differ. n n Differ. n /l"-I n Differ. j 5.01 29.722 0.241 5.34 38.860 0.319 5.67 50.976 0.423 i 5.02 29.962 0.243 5.35 39.179 0.322 5.68 51.400 0.427 1 5.03 30.205 0.245 5.36 39.501 0.325 5.69 51.827 0.431 1 5.04 30.450 0.247 5.37 39.825 0.327 5.70 52.257 0.435 i 5.05 30.698 0.249 5.38 40.153 0.330 5.71 52.692 0.438 5.06 30.947 0.251 5.39 40.483 0.333 5.72 53.130 0.442 5.07 31.198 0.253 5.40 40.816 0.336 5.73 53.572 0.446 5.08 31.452 0.256 5.41 41.152 0.339 5.74 54.018 0.450 5.09 31.707 0.258 5.42 41.491 0.342 5.75 54.468 0.454 5.10 31.965 0.260 5.43 41.832 0.345 5.76 54.922 0.458 5.11 32.225 0.262 5.44 42.177 0.348 5.77 55.379 0.462 5.12 32.487 0.264 5.45 42.524 0.351 5.78 55.841 0.466 5.13 32.752 0.267 5.46 42.875 0.354 5.79 56.306 0.470 1 5.14 33.019 0.269 5.47 43.229 0.357 5.80 56.776 0.474 5.15 33.288 0.271 5.48 43.585 0.360 5.81 57.249 0.478 I 5.16 33.559 0.274 5.49 43.945 0.363 5.82 57.727 0.482 5.17 33.833 0.276 5.50 44.308 0.366 5.83 58.209 0.486 5.18 34.109 0.278 5.51 44.674 0.369 5.84 58.695 0.490 5.19 34.387 0.281 5.52 45.043 0.372 5.85 59.185 0.495 5.20 34.668 0.283 5.53 45.415 0.375 5.86 59.680 0.499 ; 5.21 34.951 0.286 5.54 45.790 0.379 5.87 60.179 0.503 i 5.22 35.236 0.288 5.55 46.169 0.382 5.88 60.682 0.508 ; 5.23 35.524 0.290 5.56 46.551 0.385 5.89 61.189 0.512 5.24 35.815 0.293 5.57 46.936 0.389 5.90 61.701 0.516 5.25 36.108 0.295 5.58 47.325 0.392 5.91 62.218 0.521 5.26 36.403 0.298 5.59 47.717 0.395 5.92 62.738 0.525 5.27 36.701 0.301 5.60 48.112 0.399 5.93 63.264 0.530 5.28 37.002 0.303 5.61 48.511 0.402 5.94 63.794 0.535 5.29 37.305 0.306 5.62 48.913 0.406 5.95 64.328 0.539 5.30 37.611 0.308 5.63 49.318 0.409 5.96 64.867 0.544 5.31 37.919 0.311 5.64 49.727 0.413 5.97 65.411 0.549 5.32 38.230 0.314 i 5.65 50.140 0.416 5.98 65.960 0.553 5.33 38.544 0.316 5.66 50.556 0.420 5.99 66.513 0.558 5.34 38.860 0.319 5.67 50.976 0.423 6.00 67.071 0.563 ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 477 Balistische Tafel II Ii"-1 >i Differ. ii n Differ. n hn-\ n Differ. 6.01 67.634 0.568 6.34 89.242 0.757 6.67 118.05 1.01 6.02 68.202 0.573 6.35 89.999 0.763 6.68 119.06 1.02 6.03 68.775 0.578 6.36 90.762 0.770 6.69 120.08 1.03 6.04 69.353 0.583 6.37 91.532 0.777 6.70 121.11 1.04 6.05 69.936 0.588 6.38 92.308 0.783 6.71 122.14 1.05 6.06 70.524 0.593 6.39 93.092 0.790 6.72 123.19 1.05 6.07 71.117 0.598 6.40 93.882 0.797 6.73 124.24 1.06 6.08 71.715 0.603 6.41 94.679 0.804 6.74 125.31 1.07 6.09 72.319 0.609 6.42 95.483 0.811 6.75 126.38 1.08 6.10 72.928 0.614 6.43 96.295 0.818 6.76 127.46 1.09 6.11 73.542 0.619 6.44 97.113 0.825 6.77 128.55 1.10 6.12 74.161 0.625 6.45 97.938 0.833 6.78 129.66 1.11 6.13 74.786 0.630 6.46 98.771 0.840 6.79 130.77 1.12 6.14 75.416 0.636 6.47 99.611 0.847 6.80 131.89 1.13 6.15 76.052 0.641 6.48 100.46 0.85 6.81 133.02 1.14 6.16 76.693 0.647 6.49 101.31 0.86 6.82 134.16 1.15 6.17 77.340 0.653 6.50 102.18 0.87 6.83 135.31 1.16 6.18 77.992 0.658 6.51 103.05 0.88 6.84 136.48 1.17 6.19 78.650 0.664 6.52 103.92 0.89 6.85 137.65 1.18 6.20 79.314 0.670 6.53 104.81 0.89 6.86 138.83 1.19 6.21 79.984 0.676 6.54 105.70 0.90 6.87 140.02 1.20 6.22 80.660 0.681 6.55 106.60 0.91 6.88 141.22 1.21 6.23 81.341 0.687 6.56 107.51 0.92 6.89 142.44 1.22 6.24 82.029 0.693 6.57 108.43 0.92 6.90 143.66 1.24 6.25 82.722 0.700 6.58 109.35 0.93 6.91 144.90 1.25 6.26 83.422 0.706 6.59 110.29 0.94 6.92 146.14 1.26 6.27 84.127 0.712 6.60 111.23 0.95 6.93 147.40 1.27 6.28 84.839 0.718 6.61 112.18 0.96 6.94 148.67 1.28 6.29 85.557 0.724 6.62 113.13 0.97 6.95 149.95 1.29 6.30 86.281 0.731 6.63 114.10 0.97 6.96 151.24 1.30 6.31 87.012 0.737 6.64 115.07 0.98 6.97 152.54 1.31 6.32 87.749 0.743 6.65 116.06 0.99 6.98 153.86 1.33 6.33 88.492 0.750 6.66 117.05 1.00 6.99 155.18 1.34 6.34 89.242 0.757 6.67 118.05 1.01 7.00 156.52 1.35 478 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK Balistische Tafel n h"-l n Differ. n n Differ. ii /;" —1 n Differ. 7.01 157.87 1.36 7.34 209.77 1.82 7.67 279.28 2.44 7.02 159.23 1.37 7.35 211.59 1.84 7.68 281.72 2.46 7.03 160.60 1.39 7.36 213.43 1.85 7.69 284.18 2.48 7.04 161.99 1.40 7.37 215.28 1.87 7.70 286.67 2.51 7.05 163.38 1.41 7.38 217.15 1.89 7.71 289.18 2.53 7.06 164.79 1.42 7.39 219.04 1.90 7.72 291.70 2.55 7.07 166.22 1.43 7.40 220.94 1.92 7.73 294.26 2.57 7.08 167.65 1.45 7.41 222.86 1.94 7.74 296.83 2.60 7.09 169.10 1.46 7.42 224.80 1.96 7.75 299.43 2.62 | 7.10 170.56 1.47 7.43 226.76 1.97 7.76 302.05 2.64 7.11 172.03 1.49 7.44 228.73 1.99 7.77 304.69 2.67 7.12 173.52 1.50 7.45 230.72 2.01 7.78 307.36 2.69 7.13 175.02 1.51 7.46 232.73 2.03 7.79 310.05 2.72 7.14 176.53 1.53 7.47 234.75 2.04 7.80 312.77 2.74 7.15 178.06 1.54 7.48 236.80 2.06 7.81 315.51 2.76 7.16 179.60 1.55 7.49 238.86 2.08 7.82 318.27 2.79 7.17 181.15 1.57 7.50 240.94 2.10 7.83 321.06 2.81 7.18 182.72 1.58 7.51 243.04 2.12 7.84 323.88 2.84 7.19 184.30 1.60 7.52 245.16 2.14 7.85 326.72 2.86 7.20 185.89 1.61 7.53 247.29 2.16 7.86 329.58 2.89 ! 7.21 187.50 1.62 7.54 249.45 2.17 7.87 332.47 2.92 7.22 189.13 1.64 7.55 251.62 2.19 7.88 335.39 2.94 7.23 190.76 1.65 7.56 253.82 2.21 7.89 338.33 2.97 , 7.24 192.42 1.67 7.57 256.03 2.23 7.90 341.30 3.00 7.25 194.08 1.68 7.58 258.26 2.25 7.91 344.30 3.02 7.26 195.77 1.70 7.59 260.52 2.27 7.92 347.32 3.05 7.27 197.46 1.71 7.60 262.79 2.29 7.93 350.37 3.08 7.28 199.17 1.73 7.61 265.08 2.31 7.94 353.45 3.10 7.29 200.90 1.74 7.62 267.40 2.33 7.95 356.55 3.13 7.30 202.64 1.76 7.63 269.73 2.36 7.96 359.68 3.16 7.31 204.40 1.77 7.64 272.09 2.38 7.97 362.84 3.19 7.32 206.18 1.79 7.65 274.46 2.40 7.98 366.03 3.22 , 7.33 207.96 1.81 7.66 276.86 2.42 7.99 369.25 3.25 ' 7.34 209.77 1.82 7.67 279.28 2.44 8.00 372.49 3.28 ]. GERADLINIGE BEWEGUNG 479 Balistische Tafel ■II /i"-] n Differ. n Ii"-1 71 Differ. 71 hn-1 n Differ. 8.01 375.77 3.30 8.34 502.05 4.44 8.67 671.80 5.97 8.02 379.07 3.33 8.35 506.49 4.48 8.68 677.77 6.03 8.03 382.41 3.36 8.36 510.97 4.52 8.69 683.80 6.08 8.04 385.77 3.39 8.37 515.49 4.56 8.70 689.87 6.13 8.05 389.17 3.42 8.38 520.05 4.60 8.71 696.01 6.19 8.06 392.59 3.46 8.39 524.65 4.64 8.72 702.20 6.25 8.07 396.05 3.49 8.40 529.29 4.68 8.73 708.45 6.30 8.08 399.53 3.52 8.41 533.98 4.73 8.74 714.75 6.36 8.09 403.05 3.55 8.42 538.71 4.77 8.75 721.11 6.42 8.10 406.60 3.58 8.43 543.48 4.81 8.76 727.52 6.47 8.11 410.18 3.61 8.44 548.29 4.86 8.77 734.00 6.53 8.12 413.80 3.65 8.45 553.14 4.90 8.78 740.53 6.59 8.13 417.44 3.68 8.46 558.04 4.94 8.79 747.13 6.65 8.14 421.12 3.71 8.47 562.99 4.99 8.80 753.78 6.71 8.15 424.83 3.75 8.48 567.98 5.03 8.81 760.49 6.77 8.16 428.58 3.78 8.49 573.01 5.08 8.82 767.26 6.83 8.17 432.36 3.81 8.50 578.09 5.12 8.83 774.10 6.90 8.18 436.17 3.85 8.51 583.22 5.17 8.84 780.99 6.96 8.19 440.01 3.88 8.52 588.39 5.22 8.85 787.95 7.02 8.20 443.90 3.92 8.53 593.60 5.26 8.86 794.98 7.09 8.21 447.81 3.95 8.54 598.87 5.31 8.87 802.06 7.15 8.22 451.76 3.99 8.55 604.18 5.36 8.88 809.21 7.21 8.23 455.75 4.02 8.56 609.54 5.41 8.89 816.43 7.28 8.24 459.77 4.06 8.57 614.95 5.46 8.90 823.70 7.35 8.25 463.83 4.10 8.58 620.41 5.51 8.91 831.05 7.41 8.26 467.93 4.13 8.59 625.92 5.56 8.92 838.46 7.48 8.27 472.06 4.17 8.60 631.47 5.61 8.93 845.94 7.55 8.28 476.23 4.21 8.61 637.08 5.66 8.94 853.49 7.62 8.29 480.44 4.25 8.62 642.74 5.71 8.95 861.11 7.68 8.30 484.68 4.28 8.63 648.44 5.76 8.96 868.79 7.75 8.31 488.97 4.32 8.64 654.20 5.81 8.97 876.54 7.82 8.32 493.29 4.36 8.65 660.02 5.86 8.98 884.37 7.90 8.33 497.65 4.40 8.66 665.88 5.92 8.99 892.26 7.97 8.34 502.05 4.44 8.67 671.80 5.97 9.00 900.23 8.04 480 4. GRUNDLEHRE DER BAI.I.ISTIK Balistische Tafel n n Differ. n n Differ. n /i"-i a Differ. 9.01 908.27 8.11 9.34 1218.8 10.9 9.67 1637.5 14.7 9.02 916.38 8.19 9.35 1229.7 11.0 9.68 1652.2 14.9 9.03 924.57 8.26 9.36 1240.7 11.1 9.69 1667.1 15.0 9.04 932.83 8.34 9.37 1251.9 11.2 9.70 1682.1 15.2 9.05 941.16 8.41 9.38 1263.1 11.3 9.71 1697.3 15.3 9.06 949.58 8.49 9.39 1274.5 11.4 9.72 1712.6 15.4 9.07 958.06 8.56 9.40 1285.9 11.5 9.73 1728.0 15.6 I 9.08 966.63 8.64 9.41 1297.4 11.6 9.74 1743.6 15.7 9.09 975.27 8.72 9.42 1309.1 11.8 9.75 1759.3 15.9 9.10 983.99 8.80 9.43 1320.8 11.9 9.76 1775.2 16.0 9.11 992.79 8.88 9.44 1332.7 12.0 9.77 1791.2 16.2 9.12 1001.7 9.0 9.45 1344.7 12.1 9.78 1807.3 16.3 9.13 1010.6 9.0 9.46 1356.8 12.2 9.79 1823.6 16.4 9.14 1019.7 9.1 9.47 1368.9 12.3 9.80 1840.1 16.6 i 9.15 1028.8 9.2 9.48 1381.2 12.4 9.81 1856.7 16.8 : 9.16 1038.0 9.3 9.49 1393.7 12.5 9.82 1873.4 16.9 I 9.17 1047.3 9.4 9.50 1406.2 12.6 9.83 1890.3 17.1 9.18 1056.7 9.5 9.51 1418.8 12.8 9.84 1907.4 17.2 9.19 1066.1 9.5 9.52 1431.6 12.9 9.85 1924.6 17.4 9.20 1075.7 9.6 9.53 1444.4 13.0 9.86 1942.0 17.5 9.21 1085.3 9.7 9.54 1457.4 13.1 9.87 1959.5 17.7 i 9 22 1095.0 9.8 9.55 1470.5 13.2 9.88 1977.2 17.9 1 9.23 1104.8 9.9 9.56 1483.8 13.3 9.89 1995.1 18.0 9.24 1114.7 10.0 9.57 1497.1 13.5 9.90 2013.1 18.2 9.25 1124.7 10.1 9.58 1510.6 13.6 9.91 2031.2 18.3 9.26 1134.8 10.2 9.59 1524.2 13.7 9.92 2049.6 18.5 9.27 1145.0 10.3 9.60 1537.9 13.8 9.93 2068.1 18.7 9.28 1155.2 10.4 9.61 1551.7 14.0 9.94 2086.8 18.9 9.29 1165.6 10.4 9.62 1565.7 14.1 9.95 2105.7 19.0 i 9.30 1176.0 10.5 9.63 1579.8 14.2 9.96 2124.7 19.2 9.31 1186.6 10.6 9.64 1594.0 14.4 9.97 2143.9 19.4 ' 9.32 1197.2 10.7 9.65 1608.4 14.5 9.98 2163.3 19.6 i 9.33 1207.9 10.8 9.66 1622.9 14.6 9.99 2182.8 19.7 j 9.34 1218.8 10.9 9.67 1637.5 14.7 10.00 2202.5 19.9 3. KRUMMLINIG!: BEWEGUNG Slika /Figure 1. Tabla IX /TAB. IX Literaturverzeichnis 11] S. J. Schmidt, E-mail. Apr. 2000. Entysoft.com. [21 G. Vega. Logarithmische. trigonometrische, mul andere zum Gebrauche der Mathematik eingerichtete Tafeln und Formeln. Johann Thomas Edlen von Trattnern. 1783. 482