IZ TEORIJE ZA PRAKSO
2
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
Pogled učiteljev matematike na razvijanje
matematične pismenosti
Mathematics Teachers' Perspective on Developing
Mathematical Literacy
Jerneja Bone, Ministrstvo za vzgojo in izobraževanje
Mag. Mateja Sirnik, Zavod RS za šolstvo
Izvleček
Matematična pismenost je ena od pismenosti, ki smo jo poleg naravoslovne in finančne pismenosti razvijali v
projektu NA-MA POTI. Vse večjega pomena sistematičnega in načrtnega razvijanja matematične pismenosti
se zavedajo tudi osnovnošolski in srednješolski učitelji matematike. V prispevku pogledamo na matematično
pismenost z vidika učiteljev. Predstavimo, kako so učitelji opredelili matematično pismenega posameznika in
kaj za učitelje pomeni reševanje problemov. Iz analize odgovorov ugotavljamo, da so učitelji ugotovili ključne
lastnosti matematično pismenega posameznika kot smo jih opredelili v projektu, opažamo pa pomanjkljivosti
pri prepoznavanju pojma reševanje problemov. Predstavljamo rezultate vprašalnika − samovrednotenja udeja-
njanja posameznih podgradnikov z opisniki. Iz odgovorov sledijo stališča učiteljev, da 1. gradnik matematične
pismenosti udejanjajo na področju sprejemanja matematičnih sporočil, terminologije in simbolike, najmanj
pa pri oblikovanju lastnih trditev in utemeljevanju. Glede udejanjanja 2. gradnika matematične pismenosti so
učitelji mnenja, da največ pozornosti namenjajo prepoznavanju matematičnega problema v življenjski situaciji
in količin v povezavi z omenjenim problemom. Primanjkljaj pri poučevanju je zaznati v različnih fazah reše-
vanja matematičnega problema z modeliranjem.
Ključne besede: matematična pismenost, pouk matematike, reševanje problemov
Abstract
In addition to science and financial literacy, the NA-MA POTI project also developed mathematical literacy.
Primary and secondary school teachers are also becoming increasingly aware that a systematic and organised
promotion of mathematical literacy is crucial. The paper examines mathematical literacy from the standpoint
of teachers. It describes who they regard as mathematically literate and what problem-solving means for them.
The replies reveal that teachers correctly identify the fundamental features of a mathematically literate indi-
vidual, as stated in the project, despite the errors in the identification of the concept of problem-solving. We
offer the questionnaire findings, i.e., the self-evaluation of each sub-builder‘s implementation with descriptors.
Based on their responses, teachers believe that the first building block of mathematical literacy is implemented
in the reception of mathematical messages, terminology, and symbolism, and least in formulating their argu-
ments and reasoning. Regarding the second building block of mathematical literacy, teachers mainly focus on
identifying a mathematical problem in a life situation and the associated quantities. On the other hand, they
recognise weaknesses in teaching during the different stages of solving a mathematical problem by modelling.
Keywords: mathematical literacy, mathematics education, problem-solving
Uvod
Več razlogov je, zakaj je razvijanje matematične pismenosti pri
učencih pomembno.
Eden je ta, da je matematika prisotna v vsakdanjem življenju in
jo uporabljamo pri številnih vsakdanjih situacijah, kot so mer-
jenje količin, načrtovanje družinskega proračuna, razumevanje
časovnih pasov itd. Če imajo učenci dobro razvito matematično
pismenost, bodo bolje opremljeni za spopadanje z izzivi in za
uspešno delovanje v življenju.
Nadalje, matematika spodbuja razvoj kritičnega razmišljanja in
se srečuje z reševanjem problemov. Pri reševanju matematič-
nih nalog in problemov uporabljamo logiko, analitične veščine,
vztrajnost in ustvarjalnost pri iskanju rešitev, jih preverjamo ter
iščemo različne poti do rešitve problema. Razvijanje teh sposob-
IZ TEORIJE ZA PRAKSO
3
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
nosti učencem pomaga pri reševanju problemov na vseh podro-
čjih življenja.
Matematika je usmerjena tudi v razumevanje abstraktnih kon-
ceptov in njihovo uporabo v različnih kontekstih. Učenci, ki raz-
vijajo matematično pismenost, se naučijo razmišljati na abstrak-
tni ravni in s tem pridobijo sposobnost prepoznavanja vzorcev,
oblikovanja matematičnih modelov in reševanja kompleksnih
problemov.
Razvijanje matematične pismenosti se pri učencih ne nanaša le
na pridobivanje znanja in veščin matematike, ampak tudi na ra-
zvoj veščin, ki so pomembne za uspešno in zadovoljno življenje.
Za številne poklice in karierne poti, ki zahtevajo razumevanje
in uporabo matematičnih konceptov, je ključna matematična pi-
smenost. Ne glede na to, ali gre za znanstvenika, inženirja, raču-
nalniškega programerja, ekonomista, šiviljo, prodajalca, je mate-
matika pomembno orodje za uspešno delovanje v teh poklicih.
Razumevanje matematike in sposobnost reševanja matematič-
nih problemov pomaga učencem razvijati samozavest. Ko učenci
uspešno rešujejo matematične naloge in razumejo kompleksne
koncepte, se počutijo bolj samozavestne v svojih matematičnih
sposobnostih. Ta samozavest se lahko prenese tudi na druge vi-
dike njihovega izobraževanja in življenja.
V projektu NA-MA POTI smo skupaj s sodelavci v projektu
opredelili koncept matematične pismenosti. T a je opisan z dvema
gradnikoma, vsak gradnik pa je členjen na posamezne podgra-
dnike (Sirnik in sod., 2022). Gradnike s podgradniki in opisniki
za 2. vzgojno-izobraževalno obdobje (VIO) in 3. VIO najdete v
sredini te revije. Vsak podgradnik ima opisnike, ki so zasnovani
za vsako izobraževalno obdobje posebej. Z raziskavo (Magajna,
Manfreda Kolar, Metljak, Hodnik, 2022) so avtorji potrdili, da
zasnovani koncept matematične pismenosti ustreza namenu, za
katerega je bil oblikovan, torej za razvijanje matematične pisme-
nosti pri otrocih, učencih in dijakih. To trditev potrjujejo z na-
slednjimi ugotovitvami:
»V raziskavi PISA 2006 (OECD PISA 2006, 2008) je matematična
pismenost opredeljena kot posameznikova sposobnost prepoznava-
nja in razumevanja vloge, ki jo ima matematika v svetu, sposob-
nost postavljanja dobro utemeljenih odločitev ter sposobnost upo-
rabe in vpletenosti matematike na načine, ki izpolnjujejo potrebe
posameznikovega življenja kot konstruktivnega in razmišljujočega
posameznika. V ospredju matematične pismenosti je povezava
matematike z realnim svetom, torej uporaba matematike v različ-
nih problemskih situacijah (osebnih, izobraževalnih, družbenih in
znanstvenih), v katere so umeščeni problemi. Sposobnost uporabe
matematike je torej ozko povezana s problemskimi znanji, to je
znanji o uporabi obstoječih znanj v novih situacijah.
Nadgradnja definicije matematične pismenosti iz leta 2006 pa vse
do leta 2018 se kaže predvsem v še bolj poudarjenih dejavnostih,
kot so analiziranje, utemeljevanje in učinkovito sporočanje svojih
zamisli in rezultatov pri oblikovanju, reševanju ter interpretaciji
matematičnih problemov v različnih situacijah.
Matematična pismenost temelji na matematičnem znanju in za-
živi v naravnem in socialnem okolju. Posameznik jo razvija vse
življenje. Omogoča mu lažje sporazumevanje, oblikovanje lastnih
stališč ter presojanje stališč in trditev drugih ljudi. Obvladovanje
komponent matematične pismenosti olajša reševanje problemov v
življenjskih situacijah, ki zahtevajo sposobnost uporabe šolskega
znanja in spretnosti v manj strukturiranem kontekstu, kot je šol-
ska situacija. Reševalci morajo sprejemati odločitve o tem, katere
informacije in znanje so v dani problemski situaciji pomembne in
kako naj jih smiselno uporabijo.«
Raziskovalni problem in cilj raziskave
Z matematično pismenostjo se v slovenskem šolskem prostoru
ukvarjamo že dolgo. Posebej pred izvedbo raziskave PISA in v
obdobju, ko pričakujemo rezultate oziroma ko so rezultati razi-
skave objavljeni. V letu 2023 bodo rezultati objavljeni 5. decem-
bra 2023. V Sloveniji smo v obdobju 2016−2022 izvajali projekt
NA-MA POTI, ki je potekal na nekaj manj kot stotih šolah in
vrtcih, posredno pa je bil preko študijskih skupin v letu 2022
predstavljen vsem učiteljem matematike.
Zato smo si zastavili raziskovalna vprašanja:
1. Kaj menijo učitelji, katere so zmožnosti matematično pisme-
nega posameznika?
2. Kako in kaj učitelji matematike razumejo pod reševanje pro-
blemov?
3. V kolikšni meri učitelji menijo, da udejanjajo 1. gradnik ma-
tematične pismenosti?
4. V kolikšni meri učitelji menijo, da udejanjajo 2. gradnik ma-
tematične pismenosti?
Z raziskavo smo želeli ugotoviti, ali se razmislek učiteljev, kate-
re so zmožnosti matematično pismenega posameznika, sklada
z opredelitvijo matematične pismenosti, kot smo jo opredelili v
projektu NA-MA POTI. Nadalje smo želeli prepoznati, ali reše-
vanje problemov pri matematiki učitelji razumejo podobno, kot
smo reševanje problemov naslovili v 2. gradniku matematične
pismenosti. Z rezultati samovrednotenja udejanjanja posame-
znih gradnikov matematične pismenosti smo želeli pridobiti
vpogled v področja pismenosti, ki jih moramo še bolj razvijati
»koncept je domišljen tako v ločevanju temeljnega
matematičnega znanja (konceptualnega in
proceduralnega) in matematične pismenosti kot v
njuni povezanosti;
koncept omogoča oblikovanje raznovrstnih nalog,
ki pokrivajo posamezna področja matematične
pismenosti;
koncept prinaša v pouk matematike pomembno
razliko od obstoječega pouka, kar se je izkazalo
tako pri uspešnosti otrok, učencev in dijakov
na preizkusih znanja kot tudi pri pogostosti
vključevanja dejavnosti s tega področja pri pouku
matematike (nižji uspeh in manjša zastopanost
dejavnosti s področja matematične pismenosti
pri pouku)« (Magajna, Manfreda Kolar, Metljak,
Hodnik, 2022, str. 21).
Matematično pismenost petnajstletnikov že dve desetletji meri
mednarodno primerjalna raziskava PISA. Žakelj in Klančar v
prispevku Matematična pismenost (2022, str. 9−10) pišeta:
IZ TEORIJE ZA PRAKSO
4
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
oziroma področja, ki jim moramo v nadaljevanju posvetiti več
pozornosti.
Metodologija
Oblikovanje raziskave
V raziskavi smo preverili pogled osnovnošolskih in srednješol-
skih učiteljev matematike na matematično pismenega posame-
znika in reševanje problemov. Hkrati smo preverili samovredno-
tenje udejanjanja posameznih opisnikov podgradnikov pri po-
uku matematike. Raziskavo smo izvedli med izvedbo seminarja
Razvijanje matematične pismenosti v marcu 2023. Odprti vpra-
šanji sta pripravili izvajalki seminarja, vodja razvojnega tima za
matematično pismenost v projektu NA-MA POTI in vodja pro-
jekta NA-MA-POTI. Vprašanja odprtega tipa so bila zastavljena
v spletni aplikaciji, ki omogoča zapis daljših odgovorov. Vpraša-
nja zaprtega tipa na tristopenjski lestvici (pogosto, redko, nikoli)
smo oblikovali kot spletno anketo. Vse odgovore smo zbrali med
izvedbo seminarja.
Raziskava je bila empirična.
Vzorec
V raziskavo smo vključili učitelje, ki so se udeležili seminarja
Razvijanje matematične pismenosti. Seminar je bil izveden v
organizaciji Zavoda RS za šolstvo v šolskem letu 2022/23. Ude-
ležilo se ga je 43 osnovnošolskih in 11 srednješolskih učiteljev.
Vzorec ni reprezentativen, saj so se seminarja udeležili učitelji, ki
se zavedajo pomena razvijanja matematične pismenosti.
Zbiranje podatkov
Na odprti vprašanji
1. Katere so zmožnosti matematično pismenega posameznika?
2. Kako bi predstavili, razložili, kaj je za vas problem pri pouku
matematike?
smo odgovore zbirali v aplikaciji Padlet in zbrane podatke anali-
zirali z metodo analize vsebine zapisov.
Samovrednotenje udejanjanja posameznih gradnikov matema-
tične pismenosti smo izvedli s predpripravljenimi vprašalniki, ki
smo jih pripravili v elektronski obliki. Za vsak podgradnik smo
zapisali opisnike in za vsakega odgovore zbirali na tristopenjski
lestvici. Udeleženci seminarja so izbrali enega izmed treh odgo-
vorov (pogosto, redko, nikoli), glede na to, kako pogosto uresni-
čujejo posamezni opisnik pri pouku.
Proces raziskovanja
Odgovore na odprta vprašanja smo pregledali in podobne odgo-
vore združili. Nato smo posamezne besede in besedne zveze, ki
so se ponavljale ali bile najpogostejše, izpisali kot besede, ki po
mnenju učiteljev opredeljujejo matematično pismenega posame-
znika oz. problem.
Za posamezni opisnik smo odgovore na tristopenjski lestvi-
ci prešteli in izračunali odstotek udeležencev, ki menijo, da ta
opisnik uresničujejo pogosto, redko ali nikoli. Pomagali smo si s
programom Excel.
Rezultati in razprava
Kaj so zmožnosti matematično
pismenega posameznika?
Vprašanje, ki si ga zastavljajo učitelji, oziroma vprašanje, ki ga
zastavimo učiteljem, ki želijo razvijati matematično pismenost,
je: »Kaj opredeljuje matematično pismenega posameznika?« Nekaj
odgovorov s pogosto zastopanimi besedami oziroma besednimi
zvezami učiteljev matematike, ki so se udeležili seminarja Raz-
vijamo matematično pismenost, ki je bil izveden v šolskem letu
2022/23, podajamo na Sliki 1.
Učitelji so najpogosteje odgovorili, da je zmožnost matematično
pismenega posameznika, da zna uporabiti matematiko oziroma
Slika 1: Odgovori z najbolj pogostimi besedami oziroma besednimi zvezami za opredelitev mate-
matično pismenega posameznika
Matematična znanja
in strukturiran
pristop k reševanje
problemov uporabi v
vsakdanjih situacijah.
Uporaba matematike
v vsakdanjem življenju
na različne načine,
postavljanje zahtevnejših
matematičnih vprašanj in
reševanje matematičnih
problemov …
Uporabljati
odstotke,
merske
enote ipd. v
vsakdanjem
življenju.
Obvlada osnovne
računske operacije,
poštevanko,
zna uporabiti
matematična znanja
v vsakodnevnem
življenju.
Sposobnost prenosa
matematičnega znanja
v konkretne življenjske
situacije in druga
predmetna področja.
Upravljanje
s financami,
matematika v
vsakdanjem
življenju.
IZ TEORIJE ZA PRAKSO
5
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
matematično znanje v vsakdanjem življenju, v življenjskih situ-
acijah in da zna reševati probleme, ki pri reševanju vključujejo
matematično znanje. Omenjali so, da matematično pismen po-
sameznik kritično presoja strategije reševanja in da je sposoben
kritično vrednotiti in presojati rezultate (ocena rezultata). Nada-
lje se pojavi odgovor, da zna posameznik prenesti matematično
znanje v konkretne življenjske situacije in na druga predmetna
področja. Med matematičnimi znanji omenjajo, da posameznik
obvlada osnovne računske operacije, da razume matematične iz-
raze in simbole, da zna zapisati datume in števila (tudi z besedo),
da zna uporabljati merske enote, računati z odstotki, da zna brati
statistične podatke. Poudarjali so pomen branja preglednic in
različnih grafičnih prikazov ter matematično izražanje, kar po-
meni, da posameznik razume in uporablja ustrezno besedišče,
terminologijo, tudi za tvorjenje besedil z matematično vsebino.
Iz zapisov učiteljev ugotavljamo, da povzetek njihovih zapisov
konvergira k opredelitvi matematične pismenosti, kot smo jo
opredelili v projektu NA-MA POTI:
Pri opredelitvi matematične pismenosti v projektu NA-MA
POTI smo izhajali iz opredelitve matematične pismenosti v raz-
iskavi PISA. Matematično pismenost smo v projektu NA-MA
POTI (umetno za potrebe projekta) razdelili na dva gradnika,
ki sta med seboj povezana in se dopolnjujeta in kot trdijo avtorji
Magajna, Manfreda Kolar, Metljak, Hodnik (2022) je dobro ma-
tematično znanje, tako konceptualno kot proceduralno, pogoj
za razvijanje matematične pismenosti, hkrati pa je soodvisnost
znanj priložnost za dvig matematične pismenosti pri otrocih,
učencih in dijakih. Tudi rezultati zgoraj omenjene raziskave na-
kazujejo povezanost konceptualnega in proceduralnega znanja z
matematično pismenostjo.
Reševanje problemov
Ključno za matematično pismenega posameznika je, da zna re-
ševati matematične probleme. Kako in kaj učitelji matematike
razumejo pod reševanje problemov, je prikazano na Sliki 2.
V nadaljevanju povzemamo odgovore, kako so učitelji, udele-
ženci seminarja, opisali problem pri matematiki.
Problem pri matematiki so kompleksnejše naloge, konkretne na-
loge, zahtevnejše besedilne naloge iz vsakdanjega življenja, kjer
pri reševanju učenec uporabi različna matematična znanja (po-
stopkov, strategij, obrazcev …) v novih situacijah. Pri reševanju
problema uporabi različne strategije, načine reševanja in poveže
znanje različnih matematičnih vsebin, da pride do rešitve. Mate-
matični problem lahko nima dovolj podatkov za rešitev ali pa jih
ima preveč. Obstaja lahko več različnih načinov reševanja, lahko
ima tudi več različnih rešitev. Nadalje so problem opredelili kot
netipično nalogo, ki je lahko medpredmetno zastavljena ali pa so
to naloge odprtega tipa, ki jih rešimo z raziskovanjem.
Eden od učiteljev omenja, da je reševanje problemov za učence
težko, drugi učitelj pa omenja, da to dela pri pouku matematike
pogosto, ker je to zanj smisel matematike.
Reševanje matematičnih problemov smo opredelili v 2. gradni-
ku matematične pismenosti: Reševanje problemov v raznolikih
Slika 2: Odgovori z najbolj pogostimi besedami oziroma besednimi zvezami za opredelitev problema pri matematiki
Preiskovati nalogo, ki ni
takoj rešena s pomočjo
osnovnih formul, ampak
mora dijak zraven
razmišljati in preiskovati.
Matematični problem je naloga, za katero
učenci uporabljajo matematične postopke v
novih situacijah – v situaciji se morajo znajti – ne
naučijo se samo postopka, ampak rešijo problem
s prepletanjem različnih matematičnih znanj.
Neka naloga, ki je bolj
široko zastavljena
in jim omogoča več
poti do rešitve, je
povezana z življenjsko
situacijo.
Primer iz vsakdanjega življenja.
Naloga odprtega tipa, besedilne
naloge. Namen je, da učenec
sam razmišlja o strategijah,
zadostnih podatkih, presodi
smiselnost rešitev.
Naloge iz
vsakdanjega življenja,
praktični primeri,
naloge odprtega tipa
z raziskovanjem.
Zahtevnejša besedilna naloga, vezana predvsem na
vsakdanje življenje. Največkrat netipična naloga (ni iz
učbenika). Lahko je tudi medpredmetna, z več možnimi
rešitvami, široko zastavljena, kar je za določen razred
problemska naloga, je morda za razred višje običajna
naloga.
Opredelitev matematične pismenosti
Matematična pismenost je zmožnost
posameznika, da na osnovi matematičnega
mišljenja in matematičnega znanja:
• zmore uporabljati matematične pojme,
postopke in orodja v različno strukturiranih
okoljih;
• analizira, utemeljuje in učinkovito sporoča svoje
zamisli in rezultate pri oblikovanju, reševanju in
interpretaciji matematičnih problemov v različno
strukturiranih okoljih;
• zaznava in se zaveda vloge matematike v
vsakdanjem in poklicnem življenju, jo povezuje
z drugimi področji in sprejema odgovorne
odločitve na osnovi matematičnega znanja ter
je pripravljen sprejemati in soustvarjati zanj nova
matematična spoznanja (Sirnik in sod., 2022).
IZ TEORIJE ZA PRAKSO
6
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
kontekstih (osebni, družbeni, strokovni, znanstveni), ki omogo-
čajo matematično obravnavo (Sirnik in sod., 2022), ki ga z opi-
sniki le za 3. VIO osnovne šole in za srednjo šolo predstavljamo
v sredini revije.
Večina učiteljev »problem pri matematiki« vidi širše, kot reševa-
nje različnih realističnih situacij, kjer prihaja tudi do medpred-
metnega sodelovanja, kjer za reševanje uporabljajo različna ma-
tematična znanja, različne strategije, dobimo lahko več rešitev,
vključeno je tudi presojanje smiselnosti. Trdimo lahko, da je vsak
od učiteljev vključil katerega od elementov iz podgradnikov ozi-
roma opisnikov 2. gradnika matematične pismenosti.
V raziskavi (Magajna in sod., 2022, str. 21) so ugotovili, da »so
učenci in dijaki pri reševanju problemskih nalog in nalog, ki zah-
tevajo modeliranje, manj uspešni kot pri nalogah, ki ugotavljajo
konceptualno ali proceduralno znanje. Rezultati tudi kažejo, da
je za razvoj problemskih znanj bolj kot proceduralno pomembno
dobro konceptualno znanje.«
Udejanjanje 1. gradnika matematične
pismenosti: Matematično mišljenje,
razumevanje in uporaba matematičnih
pojmov, postopkov ter strategij, sporočanje
kot osnova matematične pismenosti
Prvi gradnik se osredotoča na matematično mišljenje, razume-
vanje in uporabo matematičnih pojmov, postopkov ter strategij
ter na sporočanje kot osnovo matematične pismenosti (Sirnik in
sod., 2022).
Zanimalo nas je, kakšno je mnenje udeležencev seminarja, pri
poučevanju v različnih razredih, o razvijanju matematične pi-
smenosti. Samovrednotenje posameznega gradnika oziroma
podgradnikov z opisniki, ki jo lahko izvede vsak učitelj pri do-
ločeni vsebini v določenem razredu, je pomemben vpogled v
lastno poučevanje in iskanje možnosti za nadaljnji napredek in
nadgrajevanje lastne poučevalne prakse.
V nadaljevanju predstavljamo odgovore udeležencev seminarja
pri izbranih vsebinah v posameznih razredih za posamezni gra-
dnik s podgradniki. V nadaljevanju uporabljamo označevanje
podgradnikov in opisnikov skladno z zapisi v prilogi iz sredine
revije (npr. 1.5a).
2. VIO, 6. razred,
vsebina: racionalna števila – decimalna števila
Z decimalnimi števili oziroma njihovim zapisom se učenci sreča-
jo že v nižjih razredih, zato nas je zanimalo, kako pri tej vsebini v
6. razredu učitelji udejanjajo razvijanje 1. gradnika matematične
pismenosti.
Med 33 podgradniki 1. gradnika v 2. VIO je 17 takih, za katere
so učitelji označili, da jih udejanjajo pogosto ali redko, 16 pa je
takih, ki jim določen odstotek učiteljev ne namenja pozornosti
(Prikaz 1).
Vsi učitelji (100 %) so pri dveh opisnikih označili, da ga uresni-
čujejo pogosto. To sta opisnika, kjer imajo učenci priložnost, da
sprejemajo, razumejo enostavna in strukturirana sporočila z ma-
tematično vsebino (1.1a) in da v sporočilih prepoznajo strokov-
no terminologijo in simboliko ter razumejo njun pomen (1.2a).
Sledijo štirje opisniki, kjer je odstotek učiteljev, ki to izvaja pri
pouku zelo visok (91,7 %). Učenci imajo možnost, da pri dejav-
nostih ubesedeno (enostavno) matematično sporočilo zapišejo z
matematičnimi simboli in obratno (preberejo/ubesedijo zapis v
matematični simboliki) (1.2b), da sodelujejo v matematični raz-
pravi (1.3b), da izberejo ustrezne postopke, ki vodijo do rešitve
(1.5b) in da pri reševanju matematičnih problemov uporablja
znane strategije, ki so primerne razvojni stopnji učenca (1.7a).
16,7 % učiteljev osem opisnikov nikoli ne uresničujejo, še osem
opisnikov je takih, ki jim 8,3 % učiteljev ne posveča pozornosti
oziroma ne pripravijo dejavnosti za učence pri vsebini decimal-
nih števil v 6. razredu. Npr. učenci nimajo priložnosti, da upora-
bljajo smiselne reprezentacije matematičnih pojmov ter prehaja-
jo med njimi (1.4b), da vrednotijo dobljene rešitve ter predlagajo
popravke in izboljšave (1.6d), da na osnovi danih matematičnih
situacij ali problemov oblikujejo različna vprašanja in podobne
probleme (1.7c).
Pogostost udejanjanja vseh podgradnikov 1. gradnika v 2. VIO
pri vsebini racionalna števila − decimalna števila v 6. razredu je
prikazana na spodnjem Prikazu 1.
Prikaz 1: Udejanjanje 1. gradnika matematične pismenosti pri vsebini
decimalna števila v 6. razredu osnovne šole
IZ TEORIJE ZA PRAKSO
7
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
3. VIO OŠ, 7. razred,
vsebina: racionalna števila – ulomki
V 7. razredu nas je zanimalo, kako pri vsebini ulomki učitelji
udejanjajo razvijanje 1. gradnika matematične pismenosti.
Vseh opisnikov 1. gradnika v 3. VIO je 34. Vsi učitelji so pri 20
opisnikih označili, da posamezni opisnik uresničujejo pogosto
ali redko (nihče ni označil nikoli). 14 opisnikov je takih, kjer do-
ločen odstotek učiteljev ne pripravi dejavnosti za učence, da bi
le-ti imeli priložnost razvijati izbrani vidik matematične pisme-
nosti (Prikaz 2).
Vsi učitelji (100 %) so označili, da pogosto uresničujejo en opi-
snik, in sicer da učenci v sporočilu prepoznajo strokovno termi-
nologijo in simboliko ter razumejo njun pomen (1.2a).
Sledita dva opisnika, kjer je 90,9 % učiteljev označilo, da ga pri
poučevanju vsebine ulomki udejanjajo. Učencem pripravijo pri-
ložnosti, da uporabljajo ustrezne bralno-učne strategije pri bra-
nju z razumevanjem (na izbranih vsebinah) matematičnih bese-
dil in pri reševanju besedilnih nalog (1.1b) in da učenci izberejo
ustrezne postopke, ki vodijo do rešitve (1.5b).
Med opisniki, ki jim 36,4 % učiteljev nikoli ne posveča pozorno-
sti pri pouku, izstopa opisnik, kjer učenci oblikujejo lastne ma-
tematične trditve, jih preverijo in utemeljijo (1.6e). Sledijo opi-
sniki, ki jih 10 % oziroma 18,1 % učiteljev ne udejanja pri pouku.
Pogostost udejanjanja vseh podgradnikov 1. gradnika v 3. VIO
pri vsebini racionalna števila − ulomki v 7. razredu je prikazana
na spodnjem Prikazu 2.
VIO, 8. razred,
vsebina: izrazi – preprosti algebrski izrazi
Učenci se v osnovni šoli najprej srečajo s številskimi izrazi, nato
spoznajo pojem izrazi s črkovno oznako, kasneje spoznajo po-
jem spremenljivke in vzporedno s tem izrazi s spremenljivkami.
V 8. razredu se srečajo s preprostimi algebrskimi izrazi. Zani-
malo nas je, kako pri tej vsebini učitelji udejanjajo razvijanje 1.
gradnika matematične pismenosti.
Vseh opisnikov 1. gradnika je 34. Vsi učitelji so le pri 10 opi-
snikih označili, da posamezni opisnik uresničujejo pogosto ali
redko (nihče ni označil nikoli). Kar 24 opisnikov je takih, kjer
določen odstotek učiteljev ne pripravi dejavnosti za učence, da bi
le-ti imeli priložnost razvijati izbrani vidik matematične pisme-
nosti (Prikaz 3).
Vsi učitelji (100 %) so označili, da opisnik, kjer imajo učenci
možnost, da izberejo ustrezne postopke, ki vodijo do rešitve,
uresničujejo pogosto (1.5b). Sledijo trije opisniki, ki jih 72,7 %
učiteljev udejanja pogosto. Ti se navezujejo na dejavnosti, kjer
imajo učenci priložnost, da razumejo enostavna, strukturirana
in kompleksna sporočila z matematično vsebino (1.1a), da ube-
sedeno matematično sporočilo zapišejo z matematičnimi sim-
boli in obratno: prebere/ubesedi zapis v matematični simboliki
(1.2b) in da na podlagi matematičnega znanja, lastnih izkušenj
in pridobljenih podatkov napovedujejo rešitve (1.6b).
Prikaz 2: Udejanjanje 1. gradnika matematične pismenosti pri vsebini
ulomki v 7. razredu osnovne šole
Prikaz 3: Udejanjanje 1. gradnika matematične pismenosti pri vsebini
preprosti algebrski izrazi v 8. razredu osnovne šole
IZ TEORIJE ZA PRAKSO
8
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
Več kot tretjina (36,4 %) učiteljev meni, da nikoli ne pripravi de-
javnosti, kjer bi učenci imeli možnost, da samostojno pridobijo
podatke iz verodostojnih virov (1.1d). Nekaj manj kot tretjina
(27,3 %) učiteljev pri pouku ne pripravi dejavnosti, kjer učenci
oblikujejo lastne matematične trditve, jih preverijo in utemeljijo
(1.6e) ter kjer učenci presojajo o ustreznosti izbire strategij pri
reševanju problemov (1.7d).
Pogostost udejanjanja vseh podgradnikov 1. gradnika v 3. VIO
pri vsebini Izrazi − preprosti algebrski izrazi v 8. razredu je pri-
kazana na spodnjem Prikazu 3.
3. VIO, 9. razred,
vsebina: enačbe in neenačbe
Vsebina enačb in neenačb se obravnava v vseh razredih osnovne
šole, formalno pa se enačbe rešuje v 9. razredu. Zanimalo nas
je, kako pri tej vsebini učitelji udejanjajo razvijanje 1. gradnika
matematične pismenosti.
Izmed 34 opisnikov 1. gradnika so vsi učitelji pri 20 označili,
da posamezni opisnik uresničujejo pogosto ali redko (nihče ni
označil nikoli). 14 opisnikov je takih, kjer določen odstotek uči-
teljev ne pripravi dejavnosti za učence, da bi le-ti imeli priložnost
razvijati izbran vidik matematične pismenosti (Prikaz 4).
Vsi učitelji (100 %) so označili, da dva opisnika uresničujejo
pogosto. Učitelji pripravljajo dejavnosti, kjer imajo učenci pri-
ložnosti, da razumejo enostavna, strukturirana in kompleksna
sporočila z matematično vsebino (1.1a) in da v sporočilu pre-
poznajo strokovno terminologijo in simboliko ter razumejo
njun pomen (1.2a). Sledi pet opisnikov, ki jih kar 80 % učiteljev
v svoji poučevalni praksi udejanja pogosto. Tako imajo učenci
priložnost, da ubesedeno matematično sporočilo zapišejo z ma-
tematičnimi simboli in obratno, da preberejo/ubesedijo zapis v
matematični simboliki (1.2b), da pri opisovanju matematičnih
objektov in struktur ter njihovih lastnosti uporabljajo ustrezno
terminologijo in simboliko (1.2c), da na ustrezne načine pred-
stavijo, razložijo in povzamejo proces reševanja nalog in proble-
mov ter matematično razmišljanje (1.3a), da izberejo ustrezne
postopke, ki vodijo do rešitve (1.5b) in da preverijo pravilnost
rezultatov izvedenih postopkov (1.5 d).
40 % učiteljev meni, da pri pouku nikoli ne posvečajo pozorno-
sti dejavnosti, kjer učenci samostojno pridobijo podatke iz ve-
rodostojnih virov (1.1d). 30 % učiteljev ne pripravi dejavnosti,
kjer učenci oblikujejo lastne matematične trditve, jih preverijo
in utemeljijo (1.6 e).
Pogostost udejanjanja vseh podgradnikov 1. gradnika v 3. VIO
pri vsebini enačbe − neenačbe v 9. razredu je prikazana na Pri-
kazu 4.
Srednja šola,
vsebina: algebrski izrazi
Vsebina algebrski izrazi se v srednji šoli pojavlja v različnih sre-
dnješolskih programih srednje šole. Zanimalo nas je, kako pri tej
vsebini, ne glede na letnik, učitelji udejanjajo razvijanje 1. gra-
dnika matematične pismenosti.
Pri skoraj tretjini opisnikov (10 od 33) so vsi učitelji označili,
da posamezni opisnik uresničujejo pogosto ali redko (nihče ni
označil nikoli). 23 opisnikov je takih, kjer je 12,5 % učiteljev ali
več označilo, da ga nikoli ne udejanjajo pri poučevanju o funk-
cijah. Izstopata celotna podgradnika prepozna, razume in upo-
rablja matematične pojme v različnih okoliščinah (1.4) in upo-
rablja različne strategije pri reševanju matematičnih problemov
(1.7).
Ni opisnika, ki bi ga pri pouku udejanjali vsi učitelji. S 87,5 %
je najbolj pogosto udejanjan opisnik, kjer imajo dijaki možnost,
da izberejo ustrezne postopke, ki vodijo do rešitve (1.5 b). 75 %
učiteljev je označilo, da pripravijo dejavnosti, kjer dijaki ubese-
deno matematično sporočilo zapišejo z matematičnimi simboli
in obratno: preberejo/ubesedijo zapis v matematični simboliki.
Potem sledi osem opisnikov, ki jih uresničuje 62,5 % učiteljev.
Kar tri četrtine učiteljev nikoli ne pripravi dejavnosti, kjer bi di-
jaki imeli možnost, da matematične trditve utemeljujejo z ustre-
zno ravnijo strogosti (1.6f). Skoraj dve tretjini učiteljev (62,5 %)
nikoli ne pripravi dejavnosti, kjer bi dijaki imeli priložnost, da
samostojno pridobijo podatke iz verodostojnih virov (1.1 d) in
oblikujejo matematične trditve in hipoteze ter jih preverijo (do-
kažejo oziroma ovržejo) (1.6e). Polovica učiteljev (50 %) pa ne
udejanja opisnika, da dijaki reševanje matematičnih problemov
doživljajo kot izziv in ustvarjalno dejavnost (1.7e). Pri štirih opi-
snikih (1.1d, 1.6e, 1.7c, 1.7e) zasledimo, da jih nihče od učiteljev
ne dela pogosto.
Prikaz 4: Udejanjanje 1. gradnika matematične pismenosti pri vsebini
enačbe in neenačbe v 9. razredu osnovne šole
IZ TEORIJE ZA PRAKSO
9
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
Pogostost udejanjanja vseh podgradnikov 1. gradnika v srednji
šoli pri vsebini algebrski izrazi s strani učitelja v poljubnem letni-
ku je prikazana na Prikazu 5.
Prikaz 5: Udejanjanje 1. gradnika matematične pismenosti pri
vsebini funkcije v srednji šoli
Udejanjanje 2. gradnika matematične
pismenosti: Reševanje problemov v raznolikih
kontekstih (osebni, družbeni, strokovni,
znanstveni), ki omogočajo matematično
obravnavo
Učitelje na seminarju smo povabili, da po predstavitvi 2. gradni-
ka matematične pismenosti pogledajo v svojo poučevalno pra-
kso in evalvirajo udejanjanje tega gradnika. Omejili smo se na 3.
VIO osnovne šole in na srednjo šolo.
Osnovna šola
Iz pridobljenih podatkov ugotavljamo, da je vsak podgradnik 2.
gradnika vsaj kdo od učiteljev udejanjal pri svojem pouku.
Za dva opisnika smo ugotovili, da so jih vsi učitelji pogosto ali
redko udejanjali pri pouku. Učitelji pripravljajo za učence pro-
bleme, kjer prepoznajo matematični problem v življenjski situ-
aciji in ga izrazijo v matematičnem jeziku (2.1.a) in kjer imajo
možnost, da prepoznajo količine, matematične pojme in od-
nose v obravnavani situaciji in odločajo o njihovi relevantnosti
(2.2.1c) (prikaz 6).
Skoraj dve tretjini učiteljev (65,9 %) pogosto pripravi dejavnosti,
kjer imajo učenci možnost, da prepoznajo matematični problem
v življenjski situaciji in ga izrazijo v matematičnem jeziku (2.1a),
da oblikujejo in uporabijo smiselne matematične strategije za re-
ševanje problema in problem rešijo (2.1c) ter da opišejo življenj-
ski problem (npr. osebni, družbeni, strokovni) v matematičnem
jeziku (2.2.1b).
40 % učiteljev je označilo dva opisnika, ki jih nikoli ne udejanjajo
pri pouku. Tako učenci nikoli ne dobijo priložnosti, da odločajo
o zvrsti modela (empirični, simulacijski, teoretični, algoritmični
itd.) glede na dano situacijo (2.2.2b) in da izdelajo ustreznejši
model na osnovi ugotovljenih pomanjkljivosti danega modela
(2.2.4c).
Prikaz 6: Udejanjanje 2. gradnika matematične pismenosti pri vsebini v
osnovni šoli
Srednja šola
Izmed 24 opisnikov so samo štirje taki, ki jih vsi učitelji ude-
janjajo pogosto ali redko. Pri ostalih je 10 % ali več takih, kjer
učitelji za dijake ne pripravijo ustreznih dejavnosti (Prikaz 7).
Trije opisniki so taki, ki jih nihče od učiteljev ne izvaja pogosto.
S Prikaza 7 ugotavljamo, da udejanjanje 2. gradnika ni na priča-
kovanem nivoju glede na cilje učnega načrta oziroma kataloge
znanja. Dejavnosti, kjer dijaki oblikujejo matematične modele za
dano situacijo (2.2.2), uporabljajo matematične modele (2.2.3,
2.2.4) ter razumejo matematične prakse v različnih kontekstih
(2.3), so take, kjer je vsaj kdo od učiteljev za posamezni opisnik
označil, da ga ne udejanja pri pouku.
Največ učiteljev (60 %) udejanja opisnik, s katerim dijaki dobijo
možnost, da prepoznajo matematični problem v življenjski situ-
aciji in ga izrazijo v matematičnem jeziku (2.1a). Polovica uči-
IZ TEORIJE ZA PRAKSO
10
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
teljev pripravlja dejavnosti, s katerimi dijak oblikuje in uporabi
smiselne matematične strategije za reševanje problema in pro-
blem reši (2.1c) in kjer ima dijak možnost, da predstavi, interpre-
tira in vrednoti rešitve (delne in končne) v kontekstu (2.1d). Vse
ostale opisnike uresničuje pri pouku manj učiteljev. Tako tudi
lahko sklenemo, da je podgradnik obravnava situacije z mate-
matičnim modeliranjem (2.1) med najbolj udejanjanimi pri sre-
dnješolskem pouku matematike.
Trije opisniki so, ki jih nihče od anketiranih učiteljev ne dela po-
gosto. Tako imajo dijaki manj priložnosti, da predstavijo situaci-
jo na matematični način (s pojmi, reprezentiranimi na različne
načine, postopki, prikazi itd.) in oblikujejo problemska vprašanja
v matematičnem kontekstu (2.2.1e), da odločajo o zvrsti modela
(empirični, simulacijski, teoretični, algoritmični itd.) in izberejo
ustreznega (2.2.2b) ter interpretirajo matematične prakse v smi-
slu neformalnega matematičnega modela (2.3b).
Hkrati pa imamo štiri opisnike, ki jih uresničujejo vsi (torej
nihče ni označil nikoli). Dijaki imajo priložnosti, da prepoznajo
matematični problem v življenjski situaciji in ga izrazijo v ma-
tematičnem jeziku (2.1a), da oblikujejo in uporabijo smiselne
matematične strategije za reševanje problema in problem rešijo
(2.1c), da predstavijo, interpretirajo in vrednotijo rešitve (delne
in končne) v kontekstu (2.1d) in da prepoznajo količine, mate-
matične pojme in odnose v obravnavani situaciji in odločajo o
njihovi relevantnosti (2.2.1c).
Polovica učiteljev nikoli ne pripravi dejavnosti, kjer bi dijaki
imeli priložnost odločati o zvrsti modela (empirični, simulacij-
ski, teoretični, algoritmični itd.) in izbrati ustreznega (2.2.2b),
sledi 40 % učiteljev, ki nikoli ne ponudi dijakom dejavnosti, kjer
bi imeli možnost izdelati ustreznejši model na osnovi ugotovlje-
nih pomanjkljivosti danega modela (2.2.4c).
Razprava in zaključek
Več kot 70 % učiteljev v 6. , 7. in 9. razredu, v nekoliko manjšem
deležu v 8. razredu, pogosto udejanja naslednje opisnike:
• (sprejema) razume enostavna, strukturirana in kompleksna
sporočila z matematično vsebino (1.1a),
• v sporočilu prepozna strokovno terminologijo in simboliko
ter razume njun pomen (1.2a),
• ubesedeno matematično sporočilo zapiše z matematičnimi
simboli in obratno (prebere/ubesedi zapis v matematični sim-
boliki) (1.2 b).
Ti opisniki po pogostosti udejanjanja pri pouku izstopajo v pri-
merjavi z drugimi. Gre za opisnike, kjer se poudarja pomen bral-
ne pismenosti pri matematiki. Zato je termin sporočilo v teh opi-
snikih mišljen v najširšem pomenu (Sirnik in sod., 2022, str. 3):
Prikaz 7: Udejanjanje 2. gradnika matematične pismenosti v srednji šoli
Sporočilo: ljudje med seboj komuniciramo tako,
da prenašamo sporočila s pomočjo različnih
simbolov (npr. govornega jezika, kretenj,
govorice telesa, slik, zvočnih in svetlobnih
signalov, pisnih besedil itd.). V komunikacijskem
procesu vsi udeleženci sprejemajo, pošiljajo/
tvorijo in interpretirajo sporočila, ki so povezana
z določenim namenom; komunikacija je vedno
dvosmeren proces, saj je povezana s sočasno
medsebojno zaznavo in izmenjavo sporočil.
Torej pod terminom sporočilo niso mišljene samo besedilne na-
loge, ki jih zasledimo v učbenikih temveč gre za besedila v naj-
širšem pomenu besede, vključno z uporabo učbeniških gradiv za
samostojno učenje, kjer učenci z ustrezno vodenim poukom tudi
predelajo posamezni del matematične vsebine.
Tako je lahko sporočilo prometni znak ob cesti, merilo na ze-
mljevidu s stopinjsko mrežo ali pa avtentično besedilo iz vsak-
danjega življenja, v katerem prepoznamo matematiko (Slika 3).
Domnevamo, da se visoka zastopanost teh opisnikov v odgovo-
rih učiteljev pojavlja tudi zaradi preozkega razumevanja termina
»sporočilo«, kljub temu da smo to na izobraževanju posebej po-
udarili. To sklepamo tudi zato, ker bi posledično zaradi različnih
avtentičnih besedil imeli pri pouku tudi večji delež zastopanosti
dejavnosti drugega gradnika.
V primeru smiselne uporabe različnih avtentičnih besedil v naj-
širšem pomenu besede pri pouku matematike bi pri uporabi teh
besedilih našli različne problemske situacije, ki bi jih v nadalje-
vanju reševali z matematičnim znanjem. Posledično nas uporaba
avtentičnih besedil privede do reševanja različnih problemov, ki
omogočajo matematično obravnavo, in s tem razvijanja drugega
gradnika matematične pismenosti.
Če bi res v tolikšni meri uporabljali različne besedila pri pou-
ku matematike, kot so menili učitelji pri samovrednotenju, bi bil
IZ TEORIJE ZA PRAKSO
11
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
tudi v nadaljevanju delež zastopanosti drugega gradnika pri po-
uku matematike večji.
V 6. razredu pri vsebini decimalna števila samo
• 25% učencev pogosto razvija opisnik prepozna na različne na-
čine (konkretno, grafično, simbolno) reprezentirane matematič-
ne pojme tudi v manj znanih situacijah (1.4a),
• 42% učencev pogosto razvija opisnik uporablja smiselne repre-
zentacije matematičnih pojmov ter prehaja med njimi (1.4b).
Ti odgovori nam sporočajo, da moramo pri pouku matematike
dajati še večji poudarek na poglabljanju konceptualnih znanj.
V 6. razredu pri vsebini decimalna števila samo
• 17% učencev pogosto razvija opisnik 1.7 c) na osnovi danih
matematičnih situacij ali problemov oblikuje različna vpraša-
nja in podobne probleme.
Podobne odgovore za ta opisnik dobimo tudi v ostalih razre-
dih osnovne šole in v srednji šoli, kar pomeni, da bi ga morali
bolj sistematično razvijati npr. v pouk bi vključevali naloge, kjer
učenci sami zastavljajo vprašanja in se o teh vprašanjih pogo-
varjati.
Pri vsebini ulomki v 7. razredu
• 36 % učencev redko razvija in 27 % nikoli ne razvija opisnika
1.7 b) pri reševanju raznovrstnih matematičnih problemov (za-
prti , odprti , s preveč podatki, premalo podatki, nekonsistentni-
mi podatki, z več rešitvami, brez rešitev, nesmiselno rešitvijo),
preiskovanju in odkrivanju uporablja procesna znanja.
Podobne odgovore za ta opisnik dobimo tudi v ostalih razre-
dih osnovne šole in v srednji šoli, kar pomeni, da nam rezultati
vprašalnika kažejo potrebo po bolj sistematičnemu pristopu k
reševanju problemov pri matematiki v različnih fazah pouka. V
ta namen lahko uporabimo različne preiskovalne dejavnosti, ki
smo jih pripravili na seminarjih in v projektu NA-MA POTI:
Primer: Na zemljevidu so začrtane različne
sprehajalne poti.
Opiši, kaj vidiš na sliki.
• Navedi dolžino krožnih poti
1
,
2
, in
3
v km.
• Zapiši si nekaj matematičnih vprašanj/nalog in
jih reši.
• Sestavi sprehod tako, da bo dolžina čim bližja
30 km.
• Sam poišči podobno sliko/zemljevid in sestavi
primerno nalogo.
Vir: M. Strnad: Presečišče 6
1107 - Nevaren klanec navzdol – Traffic Signs
Assitant (meblosignalizacija.si)
Vir: Microsoft Word - Doc_1_MODRAGALICASCARMAGNAN.DOC (gov.si) Vir: Karta sveta (savel-hobi.net)
Slika 3: Primeri različnih sporočil iz vsakdanjega življenja z matematično vsebino
IZ TEORIJE ZA PRAKSO
12
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
Z raziskovanjem egipčanskih ulomkov smo udejanjali tudi pod-
gradnik samostojno pridobi podatke iz verodostojnih virov (1.4d),
ki je v odgovorih učiteljev več kot 90 % redko zastopan pri pouku
matematike.
Med udejanjanjem 1. gradnika sta v najmanjšem deležu v osnov-
ni in srednji šoli zastopana podgradnika 1.6 in 1.7, ki se veči-
noma nanašata na razvijanje problemskih znanj pri reševanju
matematičnih problemov. Reševanju problemov v raznolikih
kontekstih iz zbranih odgovorov samovrednotenja za 2. gradnik
namenjamo premalo časa in jih glede na samovrednotenje učite-
ljev premalo zavzeto vpeljujemo v pouk.
Eden od pristopov reševanja problemov je matematično modeli-
ranje. Matematično modeliranje uvajamo v pouk v osnovni šoli
že od leta 2011 in v srednji šoli od 2008, ko smo nazadnje spre-
minjali učne načrte. Rezultati samovrednotenja nam sporočajo,
da premalo sistematično in načrtno obravnavamo različne situa-
cije z matematičnim modeliranjem.
Gradiv na temo modeliranja je v tem času nastalo veliko, zato
si želimo, da bi učitelji posegali po njih. Nalog modeliranja je
manj v osnovnošolskih učnih gradivih (učbenikih). V različnih
projektih je nastalo že veliko primerov iz prakse, zato v tej šte-
vilki revije objavljamo zbirnik različnih primerov modeliranja v
osnovnih šolah in v nadaljevanju še dodaten nabor primerov za
srednješolsko izobraževanje. Z ustreznimi prilagoditvami lahko
osnovnošolske primere uporabimo tudi v srednji šoli.
Ugotovitve naše raziskave samovrednotenja učiteljev grede raz-
vijanja podgradnikov in njihovih opisnikov z učenci pri pouku
sovpadajo z ugotovitvami raziskave kompetenc matematične pi-
smenosti v slovenskih šolah in vrtcih v letih 2020 in 2021 (Ma-
gajna in ost., 2022, str. 7), kjer avtorji zapišejo:
»Pomembno opažanje govori o korelaciji delov podgradnika 2.2 s
podgradniki konceptualnega in proceduralnega znanja. Korelacije
niso nikjer visoke, tudi ni videti razlik med povezanostjo s koncep-
tualnimi oziroma proceduralnimi podgradniki. Vse to nakazuje,
da se učenci in dijaki s področjem modeliranja pri pouku srečujejo
v manjši meri in nesistematično.« (str. 7)
Najprej lahko ugotovimo, da rezultati učencev ter stališča vzgo-
jiteljev in učiteljev precej sovpadajo v smislu, da so učenci manj
uspešni pri reševanju nalog pri podgradnikih, ki smo jih opredelili
kot ključne pri razvijanju matematične pismenosti (podgradnika
1.6 in 1.7 ter 2. gradnik) in jih tudi vzgojitelji in učitelji manj po-
gosto vključujejo v pouk matematike. To je nedvomno pričakovan
rezultat, saj so učenčevi dosežki neposredno povezani (oziroma bi
morali biti) z učiteljevim poučevanjem.« (str. 21)
Kako naprej?
Žakelj in Klančar v prispevku Matematična pismenost (2022, str.
10) med drugim pišeta:
»Učenje matematike preko problemskih situacij, ki izhajajo iz ži-
vljenjskih izkušenj učencev, je koristno tudi zato, ker s tem osmisli-
mo matematične vsebine. Matematika tako ni sama sebi namen,
ampak je uporabna v življenju. Samo na tak način razvijamo
zmožnost učenca, bodočega odraslega, da prepozna in razume vlo-
go matematike v svojem okolju, da zna smiselno utemeljiti svoje
trditve in odločitve ter da pri svojih dejavnostih uporablja mate-
matiko na način, ki mu omogoča tvorno, odgovorno in refleksivno
delovanje v družbi (De Lange, 2003; Cotič in Felda, 2005; Repež
idr., 2008)«
V nadaljnjih izobraževanjih za učitelje matematike bomo mo-
rali še bolj poudarjati vidik poglabljanja matematičnega znanja
(predvsem konceptualnega) pri pouku matematike in njegovo
osmišljanje v vsakdanjih problemskih situacijah. Poleg izobra-
ževanj bo treba pripraviti še dodatna gradiva, ki jih bodo učitelji
lahko uporabljali pri poučevanju matematike.
Prilogo z gradniki, podgradniki ter opisniki za 2. in 3. VIO
osnovne šole in srednjo šolo najdete na sredini te številke revije
in jo lahko uporabljate za svoje pedagoško delo.
Primer
Do pravil za seštevanje z ulomki
(7. razred)
Gre za dejavnost preiskovanja pri uvajanju nove
matematične vsebine.
Objavljeno v spletni učilnici
za matematiko v osnovni šoli:
Predmet:
ŠS-Matematika študijska
OŠ (sio.si). Do gradiva lahko
dostopate preko QR kode:
Primer
Razišči egipča nske ulomke. Kako so z njimi
računali? Uporabi vsak en tiskani in en spletni vir.
Pomagaš si lahko s
posnetkom v oddaji
Ugriznimo znanost: UROŠ
KUZMAN V UGRIZNIMO
ZNANOST: MATEMATIČNE
UGANKE Z UROŠEM
EGIPČANI - YouTube
Sestavi kakšno nalogo z
egipčanskimi ulomki.
Napiši poročilo.
Gre za dejavnost preiskovanja pri poglabljanju že
naučenega matematičnega znanja (računanja z
ulomki).
Vir: Interno gradivo projekta NA-MA POTI
IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
Viri in literatura
Gorše Pihler, M. ŠS-MAT-OŠ: Seštevanje in odštevanje ulomkov (7. razred) (sio.si)
Magajna, Z., Manfreda Kolar, V., Metljak, M., in Hodnik, T. (2022). Matematična pismenost v slovenskih šolah in vrtcih: koncept
pismenosti in analiza stanja = Mathematical literacy in Slovenian schools and kindergartens. V Koncept in analiza matematične in
naravoslovne pismenosti v slovenskih šolah in vrtcih (7–23). Pedagoška fakulteta. https://zalozba.pef.uni-lj.si/index.php/zalozba/catalog/
view/201/464/494-1
Sirnik, M. in ostali (2022), Matematična pismenost. Opredelitev in gradniki. Zavod RS za šolstvo, Matematicna_pismenost_gradniki.
pdf (zrss.si)
Strnad, M. (1995). Presečišče 6. Ljubljana: DZS.
Uroš Kuzman v ugriznimo znanost: matematične uganke z Urošem Egipčani - youtube
Žakelj, A., in Klančar, A. (2022). Matematična pismenost. V Razvijamo matematično pismenost: opredelitev matematične pismenosti s
primeri dejavnosti (8–12). Zavod RS za šolstvo. https://www.zrss.si/pdf/Razvijamo_matematicno_pismenost.pdf
Iz digitalne bralnice ZRSŠ
MatematikaVSoli_st2_2023_9.indd 13 13-Dec-23 09:10:38
PRILOGA
1
31
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
1. gradnik matematične pismenosti
Matematično mišljenje, razumevanje in uporaba matematičnih pojmov, postopkov ter strategij, sporočanje kot osnova matematične
pismenosti
1.1 razume sporočila z matematično vsebino
OSNOVNA ŠOLA
SREDNJA ŠOLA
2. VIO 3. VIO
a) (sprejema) razume enostavna
in strukturirana sporočila z
matematično vsebino
b) uporablja enostavne in kompleksne
bralne strategije pri branju z
razumevanjem matematičnih besedil
in pri reševanju besedilnih nalog
c) povzema sporočilo z matematično
vsebino, izlušči bistvo in potrebne
podatke ter tvori novo sporočilo
d) samostojno pridobi podatke iz ustnih
in pisnih virov
a) (sprejema) razume enostavna,
strukturirana in kompleksna sporočila z
matematično vsebino
b) uporablja ustrezne bralno-učne strategije
pri branju z razumevanjem matematičnih
besedil (na izbranih vsebinah) in pri
reševanju besedilnih nalog
c) povzema sporočilo z matematično
vsebino, izlušči bistvo in potrebne
podatke ter tvori novo sporočilo
d) samostojno pridobi podatke iz
verodostojnih virov
a) (sprejema), razume enostavna,
strukturirana in kompleksna sporočila z
matematično vsebino
b) uporablja ustrezne bralno-učne
strategije pri branju z razumevanjem
matematičnih besedil in pri reševanju
besedilnih nalog
c) povzema sporočilo z matematično
vsebino, izlušči bistvo in potrebne
podatke ter tvori novo sporočilo
d) samostojno pridobi podatke iz
verodostojnih virov
1.2 pozna in uporablja strokovno terminologijo in simboliko
OSNOVNA ŠOLA
SREDNJA ŠOLA
2. VIO 3. VIO
a) v sporočilu prepozna strokovno
terminologijo in simboliko ter
razume njun pomen
b) ubesedeno (enostavno)
matematično sporočilo zapiše
z matematičnimi simboli in
obratno (prebere/ubesedi zapis v
matematični simboliki)
c) pri opisovanju matematičnih
objektov in struktur ter njihovih
lastnosti uporablja ustrezno
terminologijo in simboliko
d) pri opisovanju situacije uporablja
matematični jezik
e) razume različne pomene
posameznih matematičnih terminov
in simbolov
a) v sporočilu prepozna strokovno
terminologijo in simboliko ter razume
njun pomen
b) ubesedeno matematično sporočilo
zapiše z matematičnimi simboli in
obratno: prebere/ubesedi zapis v
matematični simboliki
c) pri opisovanju matematičnih objektov
in struktur ter njihovih lastnosti
uporablja ustrezno terminologijo in
simboliko
d) v matematično preprostih situacijah
oblikuje definicije in jih tudi uporablja
e) smiselno uporablja matematični jezik
tudi v drugih kontekstih
f) razume različne pomene posameznih
matematičnih terminov in simbolov ter
je fleksibilen pri njihovi uporabi
a) v sporočilu prepozna strokovno
terminologijo in simboliko ter razume
njun pomen
b) ubesedeno matematično sporočilo zapiše
z matematičnimi simboli in obratno:
prebere/ubesedi zapis v matematični
simboliki
c) pri opisovanju matematičnih objektov in
struktur ter njihovih lastnosti uporablja
ustrezno terminologijo in simboliko
d) v matematičnih situacijah oblikuje
definicije, pozna njihov namen in jih
uporablja
e) smiselno uporablja matematični jezik tudi
v drugih kontekstih
f) razume različne pomene posameznih
matematičnih terminov in simbolov ter je
fleksibilen pri njihovi uporabi
1 Priloga je izsek iz gradiva Sirnik, M. idr. (2022). Matematična pismenost: Opredelitev in gradniki. Ljubljana: ZRSŠ. Dostopno na www.zrss.si/pdf/Matematicna_pismenost_gra-
dniki.pdf, namenjena le za 2. in 3. VIO v osnovni šoli in za sredno šolo.
1.3 predstavi, utemelji in vrednoti lastne miselne procese
OSNOVNA ŠOLA
SREDNJA ŠOLA
2. VIO 3. VIO
a) na ustrezen način predstavi in razloži
proces reševanja nalog in problemov
ter matematično razmišljanje
b) sodeluje v matematični razpravi
c) po zastavljenih kriterijih presoja o
lastnem delu
a) na ustrezne načine predstavi, razloži
in povzame proces reševanja nalog
in problemov ter matematično
razmišljanje
b) sodeluje v matematični razpravi
c) po zastavljenih kriterijih presoja o
lastnem delu
a) na ustrezne načine predstavi, razloži,
utemelji in povzame proces reševanja
nalog in problemov ter matematično
razmišljanje
b) sodeluje v matematični razpravi
c) po zastavljenih kriterijih presoja o
lastnem delu
Gradniki matematične pismenosti
PRILOGA
32
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
1.4 prepozna, razume in uporablja matematične pojme v različnih okoliščinah
OSNOVNA ŠOLA
SREDNJA ŠOLA
2. VIO 3. VIO
a) prepozna na različne načine
(konkretno, grafično, simbolno)
reprezentirane matematične pojme
tudi v manj znanih situacijah
b) uporablja smiselne reprezentacije
matematičnih pojmov ter prehaja med
njimi
c) s primeri potrjuje oziroma zavrača
trditve o lastnostih matematičnih
pojmov
d) predstavlja si veličine in količine
e) matematične pojme razlikuje glede na
njihove lastnosti in odnose med njimi
f) različne (podobne) situacije
interpretira z uporabo matematičnih
pojmov
a) prepozna na različne načine
(konkretno, grafično, simbolno)
reprezentirane matematične pojme v
različnih situacijah
b) uporablja smiselne reprezentacije
matematičnih pojmov ter prehaja med
njimi
c) s primeri potrjuje oziroma zavrača
trditve o lastnostih matematičnih
pojmov
d) predstavlja si veličine in količine
e) matematične pojme razlikuje glede na
njihove lastnosti, prepoznava sorodne
pojme in odnose med njimi
f) različne (tudi nove) situacije
interpretira z uporabo matematičnih
pojmov
a) prepozna na različne načine
(konkretno, grafično, simbolno)
reprezentirane matematične pojme v
različnih situacijah
b) uporablja smiselne reprezentacije
matematičnih pojmov ter prehaja med
njimi
c) s primeri oziroma protiprimeri
potrjuje ali zavrača trditve o lastnostih
matematičnih pojmov
d) predstavlja si veličine in količine
e) matematične pojme razlikuje glede na
njihove lastnosti, prepoznava sorodne
pojme in odnose med njimi
f) različne (tudi nove) situacije
interpretira z uporabo matematičnih
pojmov
1.5 pozna in v različnih okoliščinah uporablja ustrezne postopke in orodja
OSNOVNA ŠOLA
SREDNJA ŠOLA
2. VIO 3. VIO
a) pozna in uporablja različne
matematične postopke pri raziskovanju
matematičnih situacij in reševanju
nalog
b) izbere ustrezne postopke, ki vodijo do
rešitve
c) pri reševanju uporablja lastne postopke
d) preveri pravilnost rezultatov izvedenih
postopkov
e) izbere in uporablja ustrezna orodja za
reševanje, izražanje in sporočanje
a) pozna in uporablja različne
matematične postopke pri raziskovanju
neznanih situacij in reševanju nalog
b) izbere ustrezne postopke, ki vodijo do
rešitve
c) pri reševanju uporablja lastne postopke
d) preveri pravilnost rezultatov izvedenih
postopkov
e) izbere in uporablja ustrezna orodja za
reševanje, izražanje in sporočanje
a) pozna in uporablja različne matematične
postopke pri raziskovanju neznanih
situacij in reševanju nalog
b) izbere ustrezne postopke, ki vodijo do
rešitve
c) pri reševanju uporablja nove (lastne)
postopke
d) preveri pravilnost rezultatov izvedenih
postopkov
e) pri izvajanju različnih dejavnostih
učinkovito uporablja različna orodja
in pripomočke ter upošteva njihove
omejitve
1.6 napoveduje in presoja rezultate, utemeljuje trditve, postopke in odločitve
OSNOVNA ŠOLA
SREDNJA ŠOLA
2. VIO 3. VIO
a) presoja o potrebnih in
zadostnih podatkih v
matematični situaciji oziroma
nalogi
b) na podlagi matematičnega
znanja in lastnih izkušenj
napoveduje rešitve
c) presoja o ustreznosti izbire
in izpeljave postopkov pri
reševanju nalog
d) vrednoti dobljene rešitve ter
predlaga popravke in izboljšave
e) poišče primer za svojo trditev
a) presoja o potrebnih in zadostnih
podatkih v matematični situaciji
oziroma nalogi
b) na podlagi matematičnega znanja,
lastnih izkušenj in pridobljenih
podatkov napoveduje rešitve
c) presoja o ustreznosti izbire in
izpeljave postopkov pri reševanju
nalog
d) vrednoti dobljene rešitve, presoja
o njihovi ustreznosti ter predlaga
popravke in izboljšave
e) oblikuje lastne matematične trditve,
jih preveri in utemelji
a) presoja o potrebnih in zadostnih podatkih v
matematični situaciji oziroma nalogi
b) na podlagi matematičnega znanja, lastnih izkušenj in
pridobljenih podatkov napoveduje rešitve
c) presoja o ustreznosti izbire in izpeljave postopkov
pri reševanju nalog
d) vrednoti dobljene rešitve in presoja o njihovi
smiselnosti, ustreznosti oziroma pravilnosti,
neustrezne rešitve popravi ter predlaga izboljšave
e) oblikuje matematične trditve in hipoteze ter jih
preveri (dokaže oz. ovrže)
f) matematične trditve utemeljuje z ustrezno ravnijo
strogosti
Gradniki matematične pismenosti
PRILOGA
33
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023
1.7 uporablja različne strategije pri reševanju matematičnih problemov
OSNOVNA ŠOLA
SREDNJA ŠOLA
2. VIO 3. VIO
a) pri reševanju matematičnih
problemov uporablja znane
strategije, primerne razvojni
stopnji
b) pri reševanju raznovrstnih
matematičnih problemov (zaprti,
odprti, s preveč podatki, premalo
podatki, nekonsistentnimi podatki,
z več rešitvami, brez rešitev,
nesmiselno rešitvijo) uporablja
procesna znanja
c) na osnovi danih matematičnih
situacij ali problemov oblikuje
različna vprašanja in podobne
probleme
d) presoja o ustreznosti izbire
strategij pri reševanju problemov
e) reševanje matematičnih
problemov doživlja kot izziv in
kreativno dejavnost
a) pri reševanju matematičnih problemov
uporablja različne strategije (npr.
poskusi in napake, sistematično
preizkušanje, posebni primeri)
b) pri reševanju raznovrstnih
matematičnih problemov (zaprti,
odprti, s preveč podatki, premalo
podatki, nekonsistentnimi podatki, z
več rešitvami, brez rešitev, nesmiselno
rešitvijo), preiskovanju
12
in odkrivanju
13
uporablja procesna znanja
c) na osnovi danih matematičnih situacij
ali problemov oblikuje različna
vprašanja in podobne probleme
d) presoja o ustreznosti izbire strategij pri
reševanju problemov
e) reševanje matematičnih problemov
doživlja kot izziv in kreativno dejavnost
a) pri reševanju matematičnih problemov
uporablja smiselne strategije (npr.
poskusi in napake, obrnjeno razmišljanje,
sistematično preizkušanje, posebni primeri,
analogija)
b) pri reševanju raznovrstnih matematičnih
problemov (zaprti, odprti, s preveč podatki,
premalo podatki, nekonsistentnimi podatki,
z več rešitvami, brez rešitev, nesmiselno
rešitvijo), preiskovanju in odkrivanju
uporablja procesna znanja (npr. induktivno
sklepanje, posploševanje, deduktivno
sklepanje)
c) na osnovi danih matematičnih situacij ali
problemov oblikuje različna vprašanja in
nove probleme
d) presoja o ustreznosti izbire strategij pri
reševanju problemov
e) reševanje matematičnih problemov doživlja
kot izziv in kreativno dejavnost
2. gradnik matematične pismenosti
Reševanje problemov v raznolikih kontekstih (osebni, družbeni, strokovni, znanstveni), ki omogočajo matematično obravnavo
2 obravnava raznolike življenjske probleme (probleme, ki ne zahtevajo matematičnega modeliranja)
2.1 obravnava situacije z matematičnim modeliranjem
OSNOVNA ŠOLA
SREDNJA ŠOLA
3. VIO
a) prepozna matematični problem v življenjski situaciji in ga
izrazi v matematičnem jeziku
b) oblikuje lastni načrt reševanja in ga predstavi
c) oblikuje in uporabi smiselne matematične strategije za
reševanje problema in problem reši
d) predstavi, interpretira in vrednoti (delne in končne) rešitve v
kontekstu
a) prepozna matematični problem v življenjski situaciji in ga
izrazi v matematičnem jeziku
b) oblikuje lastni načrt reševanja in ga predstavi
c) oblikuje in uporabi smiselne matematične strategije za
reševanje problema in problem reši
d) predstavi, interpretira in vrednoti rešitve (delne in končne) v
kontekstu
2.2 obravnava situacije z matematičnim modeliranjem
2.2.1 prenese situacijo v matematični kontekst
OSNOVNA ŠOLA
SREDNJA ŠOLA
3. VIO
a) prepozna, da bo dano situacijo lahko matematično modeliral
b) opiše življenjski problem (npr. osebni, družbeni, strokovni) v
matematičnem jeziku
c) prepozna količine, matematične pojme in odnose v
obravnavani situaciji in odloča o njihovi relevantnosti
d) poenostavi situacijo, da omogoči matematično obravnavo
e) predstavi situacijo z matematičnimi sredstvi in oblikuje
problemska vprašanja v matematičnem kontekstu
a) prepozna, da bo dano situacijo lahko matematično modeliral
b) opiše življenjski problem (npr. osebni, družbeni, strokovni,
znanstveni) v matematičnem jeziku
c) prepozna količine, matematične pojme in odnose v
obravnavani situaciji in odloča o njihovi relevantnosti
d) poenostavi situacijo, da omogoči matematično obravnavo
e) predstavi situacijo na matematični način (s pojmi,
reprezentiranimi na različne načine, postopki, prikazi itd.) in
oblikuje problemska vprašanja v matematičnem kontekstu
Gradniki matematične pismenosti
34
Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023 PRILOGA
2.2.2 oblikuje matematične modele za dano situacijo
OSNOVNA ŠOLA
SREDNJA ŠOLA
3. VIO
a) pri načrtovanju modela opredeli spremenljivke, formulira
predpostavke in navede omejitve modela
b) odloča o zvrsti modela (empirični, simulacijski, teoretični,
algoritmični itd.) glede na dano situacijo
c) prepozna in zapiše odnose med izbranimi spremenljivkami
oziroma predlaga matematično strukturo za dano situacijo
(npr. funkcijski predpis, graf, linearna enačba, sistem linearnih
enačb, diagram, preglednica, geometrijski objekt, slika,
opisno ali kako drugače)
d) pri izdelavi modela uporablja ustrezna matematična in
tehnološka orodja
a) pri načrtovanju modela opredeli spremenljivke, formulira
predpostavke in navede omejitve modela
b) odloča o zvrsti modela (empirični, simulacijski, teoretični,
algoritmični itd.) in izbere ustreznega
c) prepozna in zapiše odnose med izbranimi spremenljivkami
oziroma predlaga matematično strukturo za dano situacijo
(npr. funkcijski predpis, graf, enačba, sistem enačb, diagram,
preglednica, geometrijski objekt, stožnice, slika, opisno ali
kako drugače)
d) pri izdelavi modela uporablja ustrezna matematična in
tehnološka orodja
2.2.3 uporablja matematične modele
OSNOVNA ŠOLA
SREDNJA ŠOLA
3. VIO
a) opiše dane in lastne modele z različnimi matematičnimi
reprezentacijami]
b) uporablja dane in lastne modele
c) razloži model in upošteva značilnosti konteksta (ustrezne
enote, natančnost, zaokroževanje)
d) pri uporabi modela se poslužuje tehnoloških orodij (računalo,
računalniške preglednice, razni programi, spletne aplikacije
itd.)
e) pozna in uporablja tehnike za simuliranje modela
(računalniške preglednice, programiranje, programi za delo s
funkcijami, programi dinamične geometrije itd.)
f) interpretira matematične rešitve (izračune, dobljene z
modelom) v kontekstu
a) opiše dane in lastne modele z različnimi matematičnimi
reprezentacijami]
b) uporablja dane in lastne modele
c) razloži model in upošteva značilnosti konteksta (ustrezne
enote, natančnost, zaokroževanje)
d) pri uporabi modela se poslužuje tehnoloških orodij (merilni
pripomočki, pripomočki za računanje in grafično prikazovanje
itd.)
e) pozna in uporablja tehnike za simuliranje modela
(računalniške preglednice, programiranje, programi za delo s
funkcijami, programi dinamične geometrije itd.)
f) interpretira matematične rešitve (izračune, dobljene z
modelom) v kontekstu
2.2.4 vrednoti matematične modele
OSNOVNA ŠOLA
SREDNJA ŠOLA
3. VIO
a) obravnava ustreznost (smiselnost, pravilnost, natančnost)
modela v različnih okoliščinah (npr. obravnava mej, obravnava
predpostavk, zanemarjenih količin)
b) na novih podatkih, primerih, situacijah preverja uporabnost
modela
c) izdela ustreznejši model na osnovi ugotovljenih
pomanjkljivosti danega modela
d) primerja različne modele (npr. glede na točnost, obseg
uporabnosti, zahtevnost uporabe)
a) obravnava ustreznost (smiselnost, pravilnost, natančnost)
modela v različnih okoliščinah (npr. obravnava mej, obravnava
predpostavk, zanemarjenih količin)
b) na novih podatkih, primerih, situacijah preverja uporabnost
modela
c) izdela ustreznejši model na osnovi ugotovljenih
pomanjkljivosti danega modela
d) primerja različne modele (npr. glede na točnost, obseg
uporabnosti, zahtevnost uporabe)
2.3 razume matematične prakse v različnih kontekstih
OSNOVNA ŠOLA
SREDNJA ŠOLA
3. VIO
a) prepozna in z matematičnim
jezikom opiše neformalne
matematične prakse
a) prepozna in z matematičnim jezikom opiše neformalne matematične prakse
b) interpretira matematične prakse v smislu neformalnega matematičnega modela
c) prepoznava in razume pomen »nematematičnih dejavnikov« v matematičnih praksah
(npr. pomen orodij, tradicije, matematično znanje uporabnika, širši kontekst dejavnosti)
Gradniki matematične pismenosti
Digitalna knjižnica Slovenije - dLib.si