i i \Malacic" | 2022/12/11 | 18:32 | page 129 | #1 i i i i i i SIDRNA VERIGA VLADO MALA CI C Nacionalni in stitut za biologijo, Morska biolo ska postaja Piran Klju cne besede: sidrna veriga, veri znica Obravnavana je oblika sidrne verige s pomo cjo veri znice. Izveden je iterativni izra cun parametra veri znice, ki temelji na dol zini sidrne verige ter na legi to cke sidrne verige na gladini glede na sidro na morskem dnu. Dolo cena je to cka na sidrni verigi, v kateri se veriga na dnu pri cne vzpenjati proti plavajo cemu objektu. Prikazanih je nekaj porazdelitev veri znic, ko je plavajo ce telo sidrano s tremi verigami. ANCHOR CHAIN The anchor chain is described with the catenary curve. The parameter of the catenary is iteratively calculated from the length of the anchor chain and the point of the chain at the sea-surface with respect to the anchor at the sea oor. The point on anchor chain is determined, at which the chain starts to rise from the sea oor toward a oating body. Situations with the »three-point« anchoring are presented with a model on a table. Uvod Vnaprej pri cakujemo, da je krivulja, ki jo opi se vise ca veriga, vpeta med sidrom in plavajo cim telesom nad njim, podobna veri znici. Kljub mno zici virov [7, str. 324] o izredno znani in raz sirjeni veri znici pa je se vedno po- treben dolo cen trud, da bi se dokopali do podrobnej se oblike vise ce verige, ce npr. poznamo osnovne podatke o verigi, kot je npr. njena dol zina, vi sina to cke vpetja verige na plavajo cem objektu nad sidrom na morskem dnu ter horizontalno oddaljenostjo (to cke vpetja) plavajo cega objekta od sidra, ki objekt (npr. bojo, plovilo, splav) povezuje s sidrom. Ko nas zanimajo sile, je seveda treba poznati tudi dol zinsko gostoto verige. Obi cajno coln v ma- rini prive zemo tako, da ta lebdi nekje med sidrom, ki se nahaja za krmo, ter privezom na obre zju. Vmes med privezno to cko na plovilu ter privezom na obre zju oz. krmo in sidrom se nahaja gibka vrv ali veriga, obe bolj ali manj sledita krivulji veri znice. Upo stevali bomo njeno te zo in silo vzgona nanjo. Nekako se morda spodobi, da med vire o veri znici navedemo tiste, ob- javljene v Preseku in Obzorniku. Zgodovina veri znice je zgo s ceno opisana v [4], tukaj zapi simo le, da je krivulja veri znice znana okoli tri stoletja in pol, po razvoju diferencialnega ra cuna. Zaradi pomanjkanja slednjega je verjetno anti cni modreci niso mogli dognati. Tako je ze A. Likar [2] navedel uporabo Obzornik mat. fiz.69 (2022) 4 129 i i \Malacic" | 2022/12/11 | 18:32 | page 130 | #2 i i i i i i Vlado Malaˇ ciˇ c veri znice v obokih in kupolah. Avtorja v [5] pa sta pokazala, da se stranice kvadrata, pri katerem se sredi s ce kvadrata zgolj horizontalno pomika, kota- lijo po zlepljenih odsekih veri znice. Obstajajo tudi zahtevnej si prispevki [4], ki se ukvarjajo s »pravo« in simetri cno veri znico v radialnem gravitacijskem polju, v katerem gravitacijska sila upada s kvadratom oddaljenosti od te zi s ca mase, ki ustvarja tako polje. To polje pa bi pri slo do izraza le, ce je veri znica pa c ogromna. V njenem temenu, ki je bli zje te zi s cu mase, ki ustvarja gravi- tacijsko polje, je privla cna sila ve cja, veri znica v takem polju je zato videti bolj koni casta glede na obi cajno veri znico. Obravnavan je bil tudi poseben primer prave veri znice [3] (v centralnem gravitacijskem polju), za katero velja, da je njena (lo cna) dol zina s produkt polarnega kota ’ in polarne (radialne) oddaljenosti to cke na veri znici: s = ’r(’). V prispevku [6] pa je opisana veri znica kot rezultat iskanja minimuma funkcionala potencialne energije krivulje, ki je vpeta v dveh to ckah, oz. njen desni rob lahko drsi vzdol z premice. Iz minimuma funkcionala je avtor [6] pridobil diferencialni ena cbi (tam ena cbi (13)) drugega reda z robnimi pogoji za koordinate to ck veri znice kot funkciji lo cne dol zine s vzdol z veri znice, ki ju je re sil. V [5] je tudi zapisana lastnost veri znice, za katero velja, da je naklon tangente v katerikoli njeni to cki sorazmeren z dol zino krivulje od to cke na njej, v kateri je tangenta na krivuljo vodoravna. Podobno je zapisal avtor v [2], ki pa je to povezal z ravnovesjem sil: te za vise cega dela veri znice od opazovane to cke na njej do najni zje to cke, kjer je tangenta vodoravna, je namre c sorazmerna z dol zino veri znice, saj je masa m = s , kjer je s dol zina vise cega dela verige in dol zinska gostota, pri cemer predpostavimo homogeno verigo ( ni funkcija prostora) in dovolj kratke clene verige, da zado s cajo za zvezen opis z diferencialnim ra cunom. Vertikalna komponenta vle cne sile zato v ravnovesju uravnove sa te zo in raste z dol zino vise cega dela verige od dna do to cke na verigi: F sin =gs (x); (1) kjer je naklonski kot (tangente) verige v opazovani to cki do horizontalne osi, vzdol z katere raste koordinata x, z njo pa tudi dol zina vise cega dela verige. Horizontalna komponenta vle cne sile pa je enaka vzdol z celotne verige, tako vise cega dela kot tistega na vodoravnem morskem dnu F cos =F 0 ; (2) kjer jeF 0 horizontalna natezna sila na verigo v »temenu« veri znice, na nje- nem najni zjem delu, kjer naj bo koordinata x = x 0 . Predpostavimo se, da sta dno in veriga na njem vodoravna, da nas ne bi motilo diferencialno 130 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 4 i i \Malacic" | 2022/12/11 | 18:32 | page 131 | #3 i i i i i i Sidrna veriga pogrezanje verige v muljevito dno. Vertikalna koordinata z = 0 za vsak x2 [0;x 0 ], kjer je izhodi s ce postavljeno v to ckasto in negibno sidro. Hori- zontalna natezna sila F 0 verige na dnu je vzdol z verige enaka vse do sidra, seveda je tudi enaka natezni sili na verigo v vodnem stolpcu. Iz (1) in (2) pridobimo, kar je bilo navedeno ze v [2], to je: tg = s a ; a = F 0 g : (3) Vpeljali smo parameter a, obi cajen za veri znico, ki je sorazmeren horizon- talni natezni sili in obratno sorazmeren dol zinski gostoti. Kako pridemo do take situacije, ko del verige raztegnjen le zi na dnu? Predstavljajmo si, da smo s colna spustili sidro na dno in se potem od sidra oddaljujemo proti obre zju, na katerega zelimo coln pritrditi z vrvjo na kljunu. S pribli zeva- njem obre zju in z oddaljevanjem od sidra za seboj vle cemo verigo in nanjo ze izvajamo silo. Ce smo se odmaknili za razdaljo D, katere vsota z glo- bino sidra (vi sino colna nad sidrom) je ve cja od dol zine verige, H +D>L, je del verige na dnu raztegnjen, drugi del pa gotovo vise c in ukrivljen, saj »ni dovolj verige«, da bi se ta lahko horizontalno raztezala do oddaljenosti D, pa se v vi sino z = H. Kje pa je to cka x 0 < D, pri kateri se veriga za cne vzpenjati do » colna «? Predpostavimo se, da je vise ci del verige nad gladino na colnu zanemarljiv. Lahko si predstavljamo na podoben na cin vpeto plavajo co bojo, iz katere se ze pod gladino spusti sidrna veriga do dna. Masa verige (te za) prepre ci, da bi v skrajno napetem stanju imeli verigo premo crtno diagonalno napeto od sidra do plavajo cega telesa, torej tudi velja L> (H 2 +D 2 ) 1=2 . Vhodni podatki in robni pogoji Podane imamo naslednje podatke, ki si jih izposodimo od sidranja oceano- grafske boje Vide: boja je horizontalno oddaljena od sidra za D = 33 m, vi sina gladine, kjer je veriga vpeta nad dnom, naj bo H = 22 m, dol zina verige L = 50 m, dol zinska gostota = 25;4 kg=m. Meri H in D sta ne- zanesljivi na nekaj m, L verjetno nedolo cena na manj kot 0 ;5 m. To so mere sidranja oceanografske boje Vide [8], ki je sicer tri-to ckovno sidrana s tremi verigami dol zine L, pri cemer so v grobem (zelo v grobem) tri sidra porazdeljena okoli Vide pod kotom 120° v horizontalni oddaljenosti 33 m. Predpostavimo zgolj eno sidro. Nekaj ve c o treh sidrih opi semo pri koncu prispevka. Zaenkrat zadostuje, da pri opazovanju ene verige horizontalno natezno vle cno silo izvajata drugi dve verigi in njuna sidrna bloka. 129–139 131 i i \Malacic" | 2022/12/11 | 18:32 | page 132 | #4 i i i i i i Vlado Malaˇ ciˇ c Se misel o robnem pogoju naklonskega kota v to cki ( x 0 ; 0), v kateri se veriga za cne vzpenjati. Ker je po (3) naklon tangente sorazmeren dol zini vise cega dela pod opazovano to cko, tega pa v tej to cki pa c ni, je naklon in s tem (x 0 ) = 0. Zato kar zapi semo: z(x 0 ) = 0; dz dx x 0 =p(x 0 ) = (tg ) x 0 = 0: (4) Vpeljali smo funkcijo odvoda vi sine po x oz. naklona tangentep(x). Naklon- ski kot pri boji v to cki ( D;H) pa bomo dolo cili, ko bomo razre sili ena cbo veri znice, kar pomeni po dolo citvi vrednost parametra a. V tej to cki pri ca- kujemo kar visoko strmino naklona, saj sta pod to to cko najve cja dol zina in masa vise cega dela verige. Zapis verige Kot ze povedano, gre za izjemno raz sirjeno krivuljo, ki je analiti cno dobro razdelana. V Preseku [5] sta avtorja o citno predpostavila, da bralci revije obvladajo osnove vi sje matematike. Ubrala sta eleganten pristop do veri- znice, ki temelji na levi strani (3) in na zapisu elementa lo cne dol zine ds z naklonom p(x) v to cki ( x;z): ds = p 1 +p 2 (x)dx; d~ r ds = dx ds ; dz ds = (cos; sin ); (5) kjer smo dodali spremembo krajevnega vektorja~ r z lo cno dol zino, zapisano s komponentami enotskega vektorja tangente na krivuljo. Leva stran (5) ob uporabi (3) preide v s 0 = p 1 +p 2 (x); p 0 = s 0 a = 1 a p 1 +p 2 (x); (6) kjer je () 0 = d()=dx. Z lo citvijo spremenljivk p in x v desnem izrazu v (6) sta avtorja [5] hitro pridobila, da je integral za x=a sorazmeren s funkcijo arsh(x=a), od koder sledi, da je p(x) do aditivne konstante sorazmeren s sh(x=a), zato je tudi re sitev z(x) sorazmerna s ch(x=a), poleg sta tudi dve konstanti. Tukaj bomo sledili morda »obi cajnej si « izpeljavi, podobni kot v [7], vendar s sledenjem robnim pogojem, ki ustrezajo na semu problemu. V ta namen zapi semo spremembe koordinat z naklonskim kotom: dx d = dx ds ds d = a cos ; dz d = dz ds ds d = sin a cos 2 ; (7) 132 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 4 i i \Malacic" | 2022/12/11 | 18:32 | page 133 | #5 i i i i i i Sidrna veriga pri cemer smo uporabili desni izraz v (5) ter levi v (3). Za vertikalno ko- ordinato hitro pridobimo odvisnost od naklonskega kota z elementarnim integriranjem in upo stevanjem robnega pogoja (4) z =a 1 cos 1 (8) Iz (7) pa x( ) ne sledi tako hitro, vendar je integracija mo zna na ve c na- cinov, izvede se npr. z uporabo »univerzalne substitucije« pod integralom t = tg(= 2) [1, str. 324], ali pa z uporabo tabel nedolo cenih integralov [1, integral 325 na str. 879]. Tukaj sledimo posnetku [9] s privla cno spremembo argumenta pod integralom po : x x 0 =a Z 0 d cos =a Z 0 (tg + 1= cos )d cos (tg + 1= cos ) =a Z 0 [(1= cos 2 ) + (sin= cos 2 )]d (tg + 1= cos ) x x 0 =a Z 0 d(tg + 1= cos ) (tg + 1= cos ) =a ln[tg + 1= cos ] (9) ali e (x x 0 )=a = tg + 1= cos: (10) Podobno sledi e (x x 0 )=a = 1 tg + 1= cos = cos (1 sin ) (1 + sin )(1 sin ) = (1 sin ) cos e (x x 0 )=a = tg + 1= cos: (11) S se stevanjem (10) in (11) se znebimo tg , delimo z 2, upo stevamo (8) in pridobimo re sitev: z =a ch x x 0 a 1 : (12) Vloga parametraa je torej dvojna: pomeni vertikalni razteg (»amplitudo«) veri znice in hkrati tudi normalizacijo argumenta. Naklon tangente na kri- vuljo je p = sh x x 0 a : (13) Z (12) in (13) tudi izpolnjujemo robna pogoja (4). Kaj pa dol zina dvi- gnjenega dela veri znice? Lahko integriramo levi del (5) s pomo cjo (13) od x = x 0 dalje, vendar je dol zina dvignjenega dela s ze bila zapisana v (3), 129–139 133 i i \Malacic" | 2022/12/11 | 18:32 | page 134 | #6 i i i i i i Vlado Malaˇ ciˇ c saj je sorazmerna naklonu veri znice, tu jo zgolj prepi simo s pomo cjo (13) v drugo obliko s =a sh x x 0 a : (14) Zapi simo se zvezo med celotno dol zino verige L in vi sino verige pri boji H, pri cemer je horizontalna oddaljenost boje od sidra D: L =a sh D x 0 a +x 0 ; H =a ch D x 0 a 1 ; ch 2 D x 0 a sh 2 D x 0 q = (H +a) 2 a 2 (L x 0 ) 2 a 2 = 1; L x 0 = p H(H + 2a); x 0 =L p H(H + 2a): (15) Tako smo lego za cetka dvigovanja veri znice x 0 izrazili z dol zino verige L in vi sino H nad dnom. Caka nas se dolo citev parametra a. Lahko bi opisali ve c neposre cenih poskusov iskanja iterativne re sitve, na tem mestu raje sledimo poti [7], ki je z na so re sitvijo tako videti: s 2 z 2 =a 2 " sh 2 x x 0 a ch x x 0 a 1 2 # s 2 z 2 = 2a 2 1 + ch x x 0 a = 4a 2 sh 2 x x 0 2a : (16) V (16) vstavimo znane podatke pri x =D (tedaj s =L x 0 in z =H) in x 0 iz (15), uporabimo tudi izraz za sh polovi cnega kota H = 2a sh 2 " (D L + p H(H + 2a)) 2a # : (17) Od tod sami uberemo iterativni postopek, ki konvergira: a N+1 = D L + p H(H + 2a N ) 2 arsh q H 2a N (18) in o katerem bo se tekla beseda. 134 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 4 i i \Malacic" | 2022/12/11 | 18:32 | page 135 | #7 i i i i i i Sidrna veriga Rezultati Izraz (18) na sre co konvergira za katerokoli vrednost a> 0. Oglejmo si sliko iteracij za a, tako pri iskanju prese ci s ca med premico y = a in iracionalno funkcijo f(a) (slika 1a), ki je izraz na desni strani v (18), kot pri razli cnih za cetnih vrednostih (slika 1b). Slika 1. a) Iteracijski postopek za a1 = 0;1 m in za a1 = 5 m. b) Konvergenca iteracij za razli cne za cetne vrednosti. Izberemo kara 1 = 1 m. Iteracijo lahko izvedemo v katerem koli znanem orodju, tudi v Excelu. Z njo pridobimo a 20 = 2;44869 m, a 21 = 2;44873 m, kar zaokro zimo na a = 2;4487 m, torej na zadostno natan cnost pod mm. Po (15) in vhodnih podatkih je x 0 = 25;674 m, po (12) in (14) za x =D s takim a pa postane z = 22;002 m in s(D) +x 0 = 50;002 m, kar je zadostno ujemanje s H in L. Naklon tangente pri x = x 0 je 0, pri x = D pa je po (13) p(D) = 9;93 in s tem = 84;25°. Kon cno si oglejmo znano krivuljo. V ta namen smo si omislili ponazo- ritev razmer z okrasno veri zico, ki smo jo raztegnili po podlagi in na enem koncu privzdignili. Mere veri zice in »drugih danosti« so narekovale, da smo 129–139 135 i i \Malacic" | 2022/12/11 | 18:32 | page 136 | #8 i i i i i i Vlado Malaˇ ciˇ c izbrali malo cudno merilo za ponazoritev stanja na morju z eno verigo. Di- menziji D in H smo zmanj sali za faktor 264. Modelska ponazoritev je na fotograjah na sliki 2, na diagram smo prenesli od citke sedmih to ck oblike veri zice iz milimetrskega papirja. Slika 2. Fotograji prikazujeta modelsko predstavitev veri znice. Na diagramu je s polno crto prikazana izra cunana krivulja. Rde ca to cka na x-osi predstavlja lego x0, s to ckami pa so ozna cene modelske vrednosti. Ujemanje model cka z idealno krivuljo je sicer ustrezno. Vidno pa je, da se je veri zica (pri ohlapni skrbnosti avtorja) privzdignila v to cki z malo manj so vrednostjo od x 0 in da so tako tudi druge vrednosti prete zno rahlo vi sje od idealne krivulje, ki ustreza robnim pogojem, razen pri ve cjih vi sinah. Na koncu pa prika zimo se realnej so situacijo. Boja Vida je trito ckovno sidrana, zal so meritve plovcev na gladini z DGPS sistemom v mirnem vremenu pokazale, da so sidra od nje sicer oddaljena za okoli 33 m (z napako manj so od 2 m), vendar kotna porazdelitev kar za ve c 10 ° odstopa od 120° porazdelitve enakostrani cnega trikotnika. Ce opazujemo eno verigo, potem jo v ravnovesju (mirnem vremenu) napenjata drugi dve verigi. Na sliki 3 vidimo porazdelitev treh veri znic, ki so pritrjene pribli zno tako, kot so bile izmerjene lege sidrnih blokov boje Vide v mirnem vremenu. Modelski pogled zaklju cimo z vpogledom polo zaja verig na boji Vidi v primeru, ko pihata burja (slika 4 levo) in jugo (slika 4 desno). 136 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 4 i i \Malacic" | 2022/12/11 | 18:32 | page 137 | #9 i i i i i i Sidrna veriga Slika 3. Dva pogleda na model ravnovesne lege treh sidrnih verig v mirnem vremenu. Slika 4. Modelska ponazoritev porazdelitve verig, ko na boji Vidi piha burja (levo) in ko piha jugo (desno). Pri cakovano je ob burji ohlapna tista »veriga«, ki je najbolj zahodno si- drana. Ta veriga od boje dokaj strmo pada, pri dnu pa veriga opi se vijugavo krivuljo. Drugi dve verigi sta bolj napeti; tista, ki je sidrana na jugovzho- dni strani sicer pri dnu tudi opi se krivuljo, ki je pri cakovano premaknjena proti zahodu, najbolj pa je napeta veriga, ki je sidrana v severovzhodni 129–139 137 i i \Malacic" | 2022/12/11 | 18:32 | page 138 | #10 i i i i i i Vlado Malaˇ ciˇ c smeri (pribli zno med severno smerjo in burjo). V primeru ju znega vetra pa je seveda najbolj ohlapna veriga, ki je bila pri burji najbolj napeta, drugi dve verigi sta lepo raztegnjeni, pod najve cjo napetostjo pa je veriga, ki je sidrana v jugovzhodni smeri. Komentar in zaklju cna misel Pri postavitvi model cka z zeninimi veri zicami je verjetno bila prisotna mo- te ca zaskrbljenost, ki je ovirala skrbnej so demonstracijsko postavitev. Lega »sidra« je zanesljivo nedolo cena na nekaj mm, saj je bil del veri zice, kjer bi naj bilo »sidro«, pritrjen na podlago z lepilnim trakom. Tolika je torej napaka pri ponazoritvi razdalje D, kar ustreza 0,5 m veliki napaki »v na- ravi« (od 33 m). Veri zica ni bila povsem pri vertikalni steni skatle z mm papirjem, saj je visela na anteni tranzistorskega sprejemnika, pred kon c- nim 3 mm » cepom « antene. Kljub trudu pri modelski ponazoritvi »idealne vi sine « H(= 22=264 m = 8;3 cm), je tudi tu napaka reda nekaj mm. Zago- tovo je prisoten vpliv prostorske projekcije pri slikovnem od citavanju oblike veri zice na milimetrskem papirju. Se komentarja pred zaklju ckom. Pod vodo je seveda te za potopljene ve- rige reducirana za silo vzgona in je »rezultan cna « (reducirana) te za F gr = g(m m v ) = gV ( v ), kjer je V volumen verige, v gostota morske vode (okoli 1026 kg=m 3 pri temperaturi 20 °C in slanosti 37) in gostota zeleza, za katero iz tabel razberemo, da velja 7750 kg=m 3 . Ce izberemo spodnjo mejo za gostoto zeleza, je te za verige v morski vodi pribli zno za 13 % manj sa kot v zraku, oz. faktor zmanj sanja te ze je 0,87, sicer pa vzgon preprosto upo stevamo, ce za ta faktor reduciramo dol zinsko gostoto, ki tako postane = 22;0 kg=m. Dodamo se misel o horizontalni komponenti sile. Iz (3) je F 0 = ag in iz podatka o dol zinski gostoti ter parametra a sledi ocena horizontalne sile verige F 0 = 528;5 N, pri cemer smo za upo stevali reducirano dol zinsko gostoto zaradi vzgona. Tolik sna je v ravnovesju Vide pribli zno horizontalna napetost vsake od verig. Kadar pa piha stalen veter, je seveda obremenitev verig (in sidra) bistveno spremenjena in tudi med njimi razli cna. S para- metrom a je po (15) povezana to cka dviga verige x 0 , ki se s korenom iz a zmanj suje. Vendar je na dnu veriga seveda lahko tudi v zapleteni krivulji in je bolj se merilo za povezavo med horizontalno silo in obliko veri znice dol zina dvignjenega dela verige,L x 0 , ki pa raste s korenom iza. Od dveh enakih verig, ki sta pritrjeni na enaki vi sinski razliki, bo tista z ve cjo vise co dol- zino napeta z ve cjo horizontalno silo. V primeru trito ckovnega sidranja pri stalnem vetru pa bi horizontalne sile lahko izvekli iz vektorskega ravnovesja 138 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 4 i i \Malacic" | 2022/12/11 | 18:32 | page 139 | #11 i i i i i i Sidrna veriga sil, pri cemer je klju cna ravnovesna lega boje, kjer se tri verige »sre cajo «. V divjem vremenu pa seveda lege boje se nismo od citali, morda bomo pri sli do kak snih zaklju ckov v prihodnosti z analizo GPS pozicije, ki se na Vidi meri, v znanih vetrnih razmerah. Eno verigo v to cki ( x 0 ; 0) sila F 0 vle ce pro c od sidra, to vsaj deloma uravnove sa sila lepenja. Ko je veriga na mehkej sem dnu, so adhezijske sile pri cakovano ve cje in ostaja odprto vpra sanje, kolik sen je preostanek sile na sidro oz. sidrni blok, ko je le ze ca veriga napeta. Ve cja ko bo vle cna sila, manj sa bo oddaljenost x 0 raztegnjene verige od sidra, kjer se veriga vzpne. Za sidro pa je visoka maksimalna sila lepenja seveda za zelena. Na trdi podlagi bo sila lepenja verige manj sa in ko je F 0 ve cja od maksimalne sile lepenja, je v igri se sila lepenja na sidrnem bloku za zaustavitev pomikov ze raztegnjene verige. Kadar pa se vle cna sila F 0 plavajo cega telesa pove ca oz. spremeni tudi po smeri (predvsem zaradi sile upora vetra ter sile valov in tokov), in ko celo veriga na dnu ni v iztegnjeni obliki, ampak je zamotana v obliki zank, pa pri pomikih verige po dnu stopi v igro sila trenja, ki je manj sa od maksimalne sile lepenja. Zato so pomiki verige sunkoviti, v obliki zaporednih zdrsov, kar smo opazili tudi pri postavljanju model cka in spreminjanju lege »boje«. Takrat je seveda bolje, da potaplja ca ni poleg boje Vide. Iz danih vhodnih podatkov smo iteracijsko izra cunali parameter veri- znice a, posledi cno pa to cko dviga verige nad dnom (na oddaljenosti 25 ;7 m od sidra, ko je pri dnu veriga raztegnjena) in tudi ravnovesno horizontalno silo v posamezni verigi na 528;5 N. LITERATURA [1] I. N. Bron stejn, K. A. Semendjajev, G. Musiol in H. Muehlig, Matemati cni priro cnik , Tehni ska zalo zba Slovenije, Ljubljana, 1997. [2] A. Likar, Veriga in obok, Presek, 18 (1990/1991), 3, 130{133. [3] M. Razpet, Neka veri znica , Obzornik mat. z. 59 (2012), 161{169. [4] M. Razpet, Prava simetri cna veri znica , Obzornik mat. z. 56 (2009), 4, 121{133. [5] M. Razpet in N. Razpet, Kvadratno kolo, veri znica in traktrisa , Presek, 25 (1997/1998), 5, 294{299. [6] K. Veseli c, Veri znica { elementaren in celovit pristop , Obzornik mat. z. 59 (2012), 6, 201{204. [7] Catenary, dostopno na https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary, ogled 11. febru- arja 2022. [8] Oceanografska boja, dostopno na http://www.nib.si/mbp/sl/ oceanografski-podatki/buoy-2/general-2, ogled 11. februarja 2022. [9] The Catenary: Denition and Derivation , dostopno na https://youtu.be/ 16JI6JzOzeI?t=7, ogled 11. februarja 2022. 129–139 139