Univerza Edvarda Kardelja v Ljubljani Fakulteta za naravoslovje in tehnologijo VTO Matematika in mehanika Matjaž Omladič SPEKTRALNI INVARIANTNI PODPROSTORI OMEJENIH OPERATORJEV Doktorska disertacija Ljubljana, 1980 Zahvaljujem se mentorju tega dela, prof« dr. I. Vidavu, za izbor zanimive teme in za vso pomoč« Zahvaljujem se tudi prof« dr« A« Suhadolcu in prof. dr. J. Globevniku za njuno vzpodbudo. ( Vsebina Povzetek ••••••••••5 UVOD . .......6 0.0. Splošna usmeritev •••••••7 0*1« Dogovor o označevanju •••••• 18 0.2. Anihilatorji in faktorski prostori ... 22 0.3. Invariantnost, skrčitve in projektorji • .25 PRVO POGLAVJE: PROSTORSKE FUNKCIJE MOŽIC . . 28 1.0. Usmeritev ...... ...29 1.1. Projektorske funkcije •••••« 30 1.2. Prostorske funkcije ...... 41 1.3» Odlikovanost ...».*.. 47 1.4. Odlikovanja ........ 5^ 1.5* Povezava med prostorskimi in projelctorskimi funkcijami ....... 61 DRUGO POGLAVJE: OMEJENE FUNKCIJE .... 70 2.0» Usmeritev .........71 2.1. Omejenost ......... 72 2.2. Regularnost....... . 84 2.3. Notranje in zunanje meje ..... 91 2.4. Obstoj natančnih mej ..... 103 TRETJE POGLAVJE: NAVIDEZNO SPEKTRALNI OPERATORJI 115 3.0. Usmeritev........ 116 3.1. Navidezne predstavitve • • • • . 117 3.2. Dunfordovi pogoji •••••• 131 3.3. Navidezno spektralni operatorji • • 141 3.4. Zadostni pogoji • . • • . . 149 ČETRTO POGLAVJE: PRIMERI..... 156 4.0. Usmeritev •••••••• 157 4.1. Operator premika ...... 158 4.2. Per partes ••••••• 166 3 Vsebina 2 4.3 • Primer unitarnega operatorja • • • 176 4.4 • Matrični operatorji • . . . . 183 Seznani oznak ••*••••• 203 Seznam pogojev • • • • • • • • 204 St varno kazalo......•• 205 Literatura ••••••••• 211 Povzetek AMS Subj. Class.. (1980) 47B40,46G10,28C15 V tem delu vpeljemo neko posplošitev pojma spektralnega operatorja na Banachovem prostoru« Medtem ko se za spektralne operatorje zahteva,vda imajo enakomerno omejeno spektralno razčlenitev enote, dopuščamo v naši posploši-tvi možnost, da razčlenitev enote ni enakomerno omejena, ali pa so posamezni projektorji iz te razčlenitve celo neomejeni. Pod določenimi pogoji lahko po takih projektorjih integriramo v nekih novih prostorih, ki so glede na prvotni prostor "notranji" in (ali) "zunanji"• UVOD 0.0. Splošna usmeritev Operator na Banachovem prostoru je linearna preslikava tega prostora vase. V tem delu obravnavamo predvsem povsod definirane omejene operatorje. 0 operatorjih v splošnem kaj malo vemo. Še najbolj so seveda raziskani operatorji na prostorih s končno dimenzijo. (Take operatorje lahko predstavimo z matrikami; če bazo prostora pri tem primemo izberemo, lahko vselej dosežemo, da ima matrika Jordanovo obliko: v njej ležijo po diagonali lastne vrednosti, edini neničelni elementi pa so morebitne enice na prvi naddiagonali. Tak operator lahko torej enolično razcepimo na vsoto diagonalnega in nilpotentnega operatorja, ki med seboj komutirata. Dokaz teh trditev sloni bistveno na dejstvu, da ima vsak operator na prostoru s končno dimenzijo netrivialen lastni vektor. V prostorih večjih dimenzij pa temu ni več tako. Določeno naddiagonalno predstavitev splošnega operatorja pa bi lahko dobili, če bi imelo pozitiven odgovor naslednje vprašanje: Ali ima vsak operator na prostoru dimenzije več kot 1, pravi, netrivialen invari-anten podprostor. To vprašanje je znano pod imenom "problem invariaritnih podprostorov". Za zaprte, neomejene operatorje je odgovor v splošnem negativen. Za omejene operatorje na prostorih končnih dimenzij in na neseparabilnih prostorih je pozitiven; o tem, kaj se v splošnem dogaja na separabil-nih prostorih, vemo le malo, celo najlepši separabilni prostor lp je za zdaj uganka. Vsi izreki o eksistenci invariantnih podprostorov se za zdaj omejujejo na ozki področji v bližini kompaktnih in spektralnih operatorjev. Tako je znano, da ima vsak kompakten operator pravi, netrivialen, celo hiperinvarianten podprostor (Lomonosov) in je zanj možno najti, v splošnem ne enolično, naddiagonalno predstavitev (Ringrose). 7 0.0.1 2 0.0.1. Spektralni operatorji. Med najbolj zanimivimi rezultati s področja spektralnosti operatorjev je gotovo Dunfor-dova [10] definicija spektralnih operatorjev. Vsi spektralni operatorji imajo, podobno kot matrike, enoličen razcep na vsoto skalarnega dela (posplošitev pojma diagonalne matrike) in kvazinilpotentnega dela; oba sumanda v tem razcepu sta omejena operatorja, ki med seboj komutirata, pa tudi operacijski račun na takih operatorjih gre podobno, kot na matrikah. Vsak spektralen operator, ki ima v spektru več kot eno točko, ima seveda tudi pravi, netrivialen, celo hiperinvarianten podprostcr. Tem pogojem namreč zadoščajo kar njegovi spektralni podprostori. Ob prehajanju na splošnejše operatorje se torej najprej odpira vprašanje, kako definirati pojem spektralnega pod-prostora. Colojoara in Foias £ 7J imenujeta prostor Y maksimalno spektralen, Če je invarianten za operator T in za poljuben nadaljnji invariantni podprostor Z tega operatorja iz o(T|z) Q ©(TJY) sledi ZCY. Več avtorjev se ukvarja z analitično invariatnimi podprostori (glej npr. [203), to so taki podprostori Y , invariantni za T, za katere zadošča (v naši terminologiji) operator Qj pogoju (Dl)• Drugi avtorji se ukvarjajo z v -prostori, to so taki prostori Y, ki so invariantni za vsak f(T), brž ko je f racionalna funkcija, z vsemi poli v P(T). Herrero [17] imenuje slednje prostore analitično invari-antne in se ukvarja z vprašanji, kako se prenaša spekter operatorja pri zunanjih in notranjih skrčitvah operatorjev na take podprostore. V 1123 lahko najdemo lep pregled teh in sorodnih definicij ter odnosov med njimi. Bishop \6\ predlaga več definicij spektralnih podprostorov. 8 0.0.1 3 Za kompaktno množico a v kompleksni ravnini definira Mm (a) kot zaprtje vseh tistih (X refleksiven Bana-chov prostor) * za katere obsta.ia taka analitična funkcija Ca. Ta definicija je zelo blizu naši definiciji prostorov Dm(a). Nadalje definira avtor prostor Nm.(a) kot družino vseh tistih za kate-* z& vsak taka analitična funkcija , da je Ca . V £34-3 lahko najdemo še dve sorodni definiciji. T Za našo definicijo prostorov Dm in D smo posplošili Dunfordov pojem (L101) lokalnega spektra elementa, ki se je doslej dal definirati le za operatorje, ki zadoščajo pogoju (Dl), to je pogoju enoličnega analitičnega nadaljevanja, na splošne operatorje. Graveva £163 definicija lokalnega spektra se glasi: je družina vseh tistih kompleksnih števil za katere obstaja neka okolica a in analitična fur ci.ia x : a —?>X z lastnostjo ; lokalni spekter je komplement množice Vrednost te definicije bistveno zmanjšuje napaka v dokazu "izreka" [l6]2.$ (Za vsak kompakten in je prazen natanko tedaj, kadar je , Protiprimer: Za operator obratnega premika na prostoru lp (glej 4.1.2), uporabimo na vektorju x = (1,0,0,...) konstrukcijo iz primera. 4.1.4, pa dobimo Drugih poskusov v tej smeri nismo zasledili. Na operatorjih, ki zadoščajo pogoju (Dl), se naš pojem lokalnega spektra ujema z Dunfordovim, naša definicija spektralnih podprostorov Dm pa se ujema z Dunfordovo definicijo nrostorov J^ (primerjaj tudi f73)• Definicija prostorov je videti nova. 9 0.0.2 4 0.0.2. Dekomponibilnosti. Več tipov dekomponibilnosti predlaga Bishop T63 • Med drugim pravi, da operator T na refleksivnem Banachovem prostoru dopušča dualno teorijo tipa 4-, če: (1) velja za poljubni kompaktni množici a in b s praznim presekom, da je (2) za poljubni odprti množici a in b, katerih unija je ves C pa velja V izreku T6J2 dokaže avtor, da tej teoriji zadošča vsak operator. Nekatere ideje iz dokaza tega izreka smo uporabili v dokazu našega izreka 3«l»8(b). Colojoara in Foias C7] pravita, da je operator T dekonroo-nibilen,če za vsako končno odprte pokritje A množice obstajajo maksimalni spektralni Dod-orostori X„ . a G A, za katere Ta definicija je doživela celo vrsto variacij s spreminjanjem zahteve maksimalne spektralnosti podprostorov in s spreminjanjem pogojev (l) oziroma (2) (glej npr. C202, C11 in pregled C123). Nekatere od teh variacij so se izkazale za Ekvivalentne s prvotno definicijo (kot npr. Apostolova f23, glej C153 in. Erdelvijeva C111 > glej 1293). 0.0.3« Operatorji z realnim spektrom. Posebno zanimanje velja v spektralni literaturi operatorjem, katerih spekter leži na neki Jordanski krivulji (najpogosteje realna os ali enotna krožnica) in zadoščajo še temu ali onemu dodatnemu pogoju (bodisi ne prehudo naraščanje resolvente v bližini spektra, ali pa ne prehudo naraščanje polinomov)• Bartle f5] obravnava na refleksivnih Banachovih prostorih operatorje z realnim spektrom, za katere obstaja taka konstanta K, da je 10 0.0.3 5 dist Tej predpostavki zadošča, denimo, vsak operator, ki je hermitski v smislu Vidava. Bartle dokaže, da obstaja za vsak tak , da ji za vsako delitev intervala za kateroje sup , obstaja tak linearen podprostor XD, gost v X, da so na vsakem xsX-D definirani RnftktTOim' -n-ro-i^lrto-p-i-i P., prirejeni intervalom in velja Ideja je že zelo blizu integriranja po ne nujno omejenih projektorjih. Znano je (primerjaj npr« C6]), da vsak hermitski operator ni nujno spektralen. Zanimivo se nam zdi vprašanje, ali ni morda vsak hermitski operator na refleskivnem Banachovem prostoru dvostransko navidezno spektralen v našem smislu. Večina Bartlovih orožij v [3j je bilo znanih že prej. Tako je, denimo Leaf [211, študiral na soroden način operatorje na refleksivnih prostorih, ki zadoščajo pogoju • Pod tem pogojem leži spekter operatorja v enotni krožnici. Pogoj je, v bistvu nekoliko šibkejši od Bartlovega (glej propozicijo [7jl5»l»6) in taki so tudi rezultati. Pogoje pa lahko še bolj omilimo. Ljubic in Macajev C 23] študirata operatorje z realnim spektrom, za katere je končen pri dovolj majhnem pri tem je 11 0.0.3 6 Glavni rezultati (v naših oznakah): Obstaja F £ pfm I rt^) , za katero (1) T £ Inv "F (3) Prostori F (a) so maksimalno spektralni za zaprtje a, (4) Za poljubno končno družino A odnrtih intervalov, ki pokrije zaprt interval b, je(Kratek premislek pokaže od tod, da je T dekomponibilen v smislu t73), (5) F je na zaprtih intervalih zunanje odlikovana. Vse te rezultate dobita avtorja za neki razred zaprtih operatorjev, ki vsebuje zgoraj definirani razred omejenih operatorjev« Njun rezultat daje enega od boljših eksistenčnih dosežkov v reševanju problema invariantnih podprostorov. Metode se bistveno razlikujejo od metod v [2lJ in [315 avtorja uporabljata teorijo polgrup t131• Kasneje so drugi avtorji rezultat posplošili na splošnejše oblike Jordanskih krivulj« 0.0•4, Dobro omejeni operatorji v smislu Smarta, so operatorji z realnim spektrom, ki leži v nekem intervalu [a,b], za katere obstaja taka konstanta ,K, da je za vsak polinom(primer- jaj I27J). V refleksivnem prostoru obstajajo za take operatorje spektralni projektorji za katere obstaja integral v krepkem Riemann-Stieltjesovem smislu. Spektralno projekt orsko funkcijo lahko za take operatorje definiramo na intervalih, je omejena, vendar ne nujno enakomerno; to jih v bistvu loči od skalarnih operatorjev. Sine t30j najde precej zapletene pogoje za to, da lahko nekemu operator.iu T z realnim spektrom poišče spektralno mero v zgornjem smislu, za katero obstaja 12 0.0.4 7 S = je dobro omejen in je zanj kvazi-- nilpotenten. Turner [32] še nekoliko posploši ta rezultat in pokaže, da za N in S v splošnem ni nujno, da komutirata. 0.0.5» Kvazipodobnost. Naj bosta X in Y Hilbertova prostora. Operatorja sta kvazipodobna v smislu [241, če obstajata taka oba s trivi- alnim jedrom in gosto zalogo vrednosti, za katera UT = SU in TV = VS. Zanimivo je, da sta mreži hip er in variantnih podprostorov ' ^dobnih operatorjev izcmorfni (propozicijaAvtorja vpeljeta v istem delu tudi zanimivo i:iasil'xKacijo kontrakcij na Hilbertovem prostoru, to so operatorji, katerih norma ne presega 1. Vpeljeta namreč razrede in C,, ter dokažeta, da za vsako kontrakcijo obstaja končna triangulacija (naddiago-nalna predstavitev), katere diagonalni elementi ležijo v po enem od teh razredov (izrek [24111.4.1). Vsak operator iz razreda C... pa je kvazipodoben unitarnemu operatorju (propozicija glej tudi propozicijo £24111.5«3? katere dokaz smo skoraj dobesedno uporabili v dokazu našega izreka 3»3•&; poleg tega glej nadaljnji študij teh operatorjev v razdelku Ti rezulta- ti predstavljajo enega od boljših eksistenčnih dosežkov v reševanju problema invariantnih podprostorov. Cela vrsta avtorjev se je ukvarjala s kvazipodobnostjo. Med novejšimi rezultati naj omenimo [35] (potreben in zadosten pogoj za to, da je povsem neunitarna šibka kon-trakcija kvazipodobna normalnemu operatorju), [361 (karak-terizacija hiperinvariantnih podprostorov povsem neuni-tarnih C-,., kontrakcij s pomočjo teorije iz [24]) in [13] (vsaka števna direktna vsota spektralnih operatorjev je kvazipodobna spektralnemu operatorju). 13 0.0.5 8 Enostransko kvazipodobnost pa lahko študiramo še drugače. Vpeljemo namreč lahko nojem operatorskega ranga, to je vsak kjer je X Hilbertov prostor (pri- merjaj £261)• V zvezi s tem lahko študiramo različne probleme, kot npr.: kaj lahko povemo o mreži operatorskih rangov, invariantnih za dan operator (algebro operatorjev) ; kaj lahko povemo o operatorjih, ki ohranjajo inva-riatno dano mrežo operatorskih rangov, ipd. Navedimo, da -obstaja določena zveza med operatorskimi rangi in našim pojmom navideznih predstavitev. Naj bo namreč kjer sta X in I Banachova prostora, pa tak, da ima trivialno jedro in gosto zalogo vrednosti (primerjaj definicijo kvazipodobnosti). Tedaj postane za vsak operator ki ohran.ia invarianten "operatorski rang" Im U, operator po izreku o zaprtem grafu omejen na X. Preostane nam torej samo še izbrati algebro operatorjev, za katere bomo zahtevali, da ohranjajo invarianten operatorski rang Im U0 Naši izreki kažejo na to, da je naravno izbrati algebro vseh tistih operatorjev, ki komu-tirajo z danim operatorjem. Ta izbor potrjujejo nekateri primeri, ki sicer ne zadoščajo pogojem naših glavnih izrekov iz razdelka 3 »4 (glej trditev 4.1.1 in primer iz razdelka 4.2, pa tudi izrek 5»1.8). 0.0.6. Posplošena razčlenitev enote. Poleg rezultatov iz [241 nas je v naši definiciji navideznih predstavitev hrabril tudi Ljancdjev članek 1221* Avtor študira, spet na Hilbertovem prostoru, operatorje, v splošnem neomejene, a zaprte, ki imajo neko posplošeno spektralno razčlenitev enote, definirano s celo vrsto pogojev; glavna značilnost te projektorske razčlenitve je v tem, da je sicer omejena, vendar ne enakomerno (je pa, za razliko od spektralne mere, dobljene pri dobro omejenih opera- 14 0.0.6 9 torjih, definirana na zelo obsežni družini Borelovih množic). Avtor konstruira s pomočjo te mere neki novi Hilber-tov prostor (ki v našem smislu ni niti zunanji, niti notranji, čeprav je v konkretnih primerih lahko celo oboje hkrati), v katerem postane operator normalen, torej skalaren. Novi Hilbertov prostor je v nekem tehničnem smislu enolično določen. 0.0.7« Operacijski račun. Na tem mestu opišimo še Kantoro-vitzev rezultat t191» ki bi ga sicer lahko uvrstili tudi v 0.0.3« Avtor študira v refleksivnem Banachovem prostoru operatorje z lastnostmi (1) |[ exp(itT)|| = o(|t| ), t€ (R, (2) spekter operatorja T, ki je zaradi (1) realen, ima linearno Lebesgovo mero 0. Avtor dokaže, da je vsak tak operator (z našimi besedami) notranje navidezno spektralen, k+1 za njegov radikal N pa velja N =0. Avtor uspe najti notranjo spektralno predstavitev, ki ima podobno lastnost maksimalnosti, kakor naše (izrek 3*4-.l(b)). Preprosta posplošitev njegovih rezultatov bi nam lahko dala še to, da je vsak tak operator tudi zunanje navidezno spektralen. To bi nam, v posebnem, povedalo, da je vsak hermitski operator, katerega spekter ima linearno Lebesgovo mero 0, dvostransko navidezno spektralen. Zanimivo je, da se Kantorovitzeve metode bistveno razlikujejo od naših. Glavno orodje njegovega razmišljanja je namreč dejstvo, da dopuščajo operatorji, ki zadoščajo pogoju (1), operacijski račun tipa C za vsak m^k+2 (primerjaj izrek [7j5<>4-«5)* Zato menimo, da bi bilo koristno raziskati, ali obstajajo kakšne globlje povezave med našo navidezno spektralnostjo in posplošeno spektralnostjo v smislu [7J» ki sloni na operacijskem računu, ne omogoča pa v splošnem kanoničnega razcepa operatorja na skalami in kvazinilpo-tentni del. 15 0,0.8 10 0.0.8. Kratek opis naših rezultatov. Ko smo snovali to delo, smo želeli najti posplošitev Dunfordovega pojma spektralnega operatorja, ki bi še zmerom omogočala integriranje po projektorjih in "kanonični" razcep. Pri tem smo pod vplivom £22}, [193, C3] in [21] odvrgli zahtevo po omejenosti projektorjev. Prvi problem, na katerega smo naleteli, je bilo dejstvo, da imamo na začetku razmišljanja vselej definirane prostore in ne projektorje, prirejene danim podmnožicam spektra, pa naj že vzamemo za definicijo spektralnega pod-prostora to ali ono. Zato smo se odločili za študij "prostorskih funkcij množic", to so funkcije, ki prirejajo množicam podprostore. Takšen abstraktni pristop bi nam lahko omogočil tudi celovitejšo obravnavo različnih tipov dekomponibilnosti, vendar se v to nismo spuščali. Takšen pristop tudi ni povsem nov (primerjaj C2], flll). Drugi problem tiči v tem, da nam vse naravne definicije spektralnih podprostorosr definirajo spektralno funkcijo le na zaprtih ali pa na odprtih množicah, nekatere še na manjših družinah (denimo, intervali na realni osi). Zato smo se odločili za splošno definicijo takih funkcij, katerih definicijsko območje je lahko poljubna družina podmnožic dane množice. Pri iskanju "pravih" razširitev takih funkcij na obsežnejše družine (algebre, lošne oznake 0.1. Dogovor o označevanju Banachov prostor Banachovi prostori, zaprti linearni podpro- ' stori (na kratko: podprostori)Banachovih prostorov; obravnavamo samo prostore nad C 18 2 elementi danega Banachovega prostora norma elementa linearni podprostori Banachovega prostora dual prostora X vrednost funkcionala ■ pri i oznake za krepko (to je normno), šibko in šibko V topologijo na danem Banachovem prostoru (slednjo lahko definiramo seveda le na dualu) zaprtje množice v različnih topologijah linearna ogrinjača množice in njeno zaprtje v ustreznih topologijah (za linearno množico se krepko in šibko zaprtje ujemata) linearne ogrinjače in njihova zaprtja mreža vseh zaprtih (jk, zaprtih) podprostorov prostora X (X ); v tej mreži je "presek" običajen presek, "unija" pa operacija ^ (oziroma relaciria urejenosti v mreži i (oziroma s pomenom "je podprostor" 19 Dperatorji ♦.. operatorji; operator na X je v splošnem linearna preslikava iz nekega linearnega prostora v X; če ni posebej poudarjeno, da gre za splošen operator, razumemo in T omejen linearni podprostor, na katerem je definiran splošni operator T; če je Def T gost v prostoru, je T (#) gosto definiran; če za poljubno (posplošeno) zaporedje x^€Def T, za katero sta x^ in i konvergentni, velja Def T in potem pravimo, da je T (*) zaprt Pripomba: Večinoma bomo te pojme uporabljali predvsem na projektorjih slika operatorja T, to je množica vektorjev Tx, ko x preteče Def T jedro operatorja T, to je množica vektorjev x iz Def T, za katere je projektorji; projektor je splošen operator, za katerega Im in na Def P velja Banachova algebra omejenih operatorjev na X komutant operatorja to je (zaprta) algebra vseh tistih operatorjev za katere je adnunsrirani onerator k splošnemu operatorju je družina tistih , za katere preslikava enolično določa neki z 6 X , v tem primeru pišemo če je T gosto definiran, je T * zaprt; je izometrija spekter in resolventna množica omejenega operatorja T točkasti, residualni, zvezni spekter ^J •*- V 0.2. Anihilatorji in faktorski prostori 0.2.1. Definicija; Za poljubno množico GČX definiramo zgornji anihilator te množice za množico pa definiramo spodnji anihilator 0.2.2. Trditev: Trditev je splošno znana, dokaz pa preprost (glej npr.t3H)« 0«2«3« Trditev (anihilatorska lema) : natanko tedaj, kadar je H natanko tedaj, kadar \J — — —• — x— * - 2 Dokaz; Točka (a) je Hahn-Banachov izrek, točka (b) soroden "obratni" izrek, tudi Banachov (glej npr.Cl83). (c) Hitro se prepričamo, da je in ker stoji na desni * zaprt podprostor, je Naj bo in tedaj je zaradi po točki (c) prejšnje trditve ta prostor pa je po točki (a) te trditve enak Zato je po točkah (b) te in prejšnje trditve pa dobimo od tod (d) Dokaz je povsem analogen« 25 0.2.4 3 0.2.4. Definicija: Za definiramo faktorski prostor X/U kot družino ekvivalenčnih razredov £x} po relaciji x "ekvivalentno" Množico X/U naredimo na dobro znan način za vektorski prostor, ki postane Banachov v normi 0.2.5» Trditev (faktorska lema) (a) Za je U izometrično izomorfen (b) Za izometrično izomorfen prostoru U • (c) Na se ujemata njegova šibka topologija in relativna šibka topologija prostora X. (d) Na se ujemata njegova * topologija (kot duala prostora X/UiA_ ) in relativna * topologija prostora 'kot duala prostora X ) • Dokaz je preprost, trditev pa bolj ali manj znana. Spomnimo se, da nam izometrični izomorfizem pod (a) posreduje preslikava , kjer je neka Hahn-Banachova razširitev funkcionala u na ves X • Izometrični izomorfizem pod (b) pa nam posreduje preslikava , definirana z 24 0.3. Invariantnost, skrčitve in projektorji 0.3.1. Definicija: Množica je invariantna za operator , če za vsak x£G velja in je hiperinvariantna za T, če za vsak x6G in za vsak velja (Linearen) podprostor L je (hiper)invarianten (linearen) podprostor, če je (hiper)invariantna množica, 0.3.2. Trditev: (a) je invarianten za T natanko tedaj, kadar I M je U* invarianten za T . (b) Če je družina invariantna za T, sta tudi prostora invariantna za 0?. Dokaz je preprosta posledica definicij. Pri drugem prostoru pod (b) uporabimo bistveno, da je T zvezen. Pripomnimo naj še, da velja točka (b) tudi za hiperinvari-antnost (uporabi to točko na vseh operatorjih iz Arp(X)l). 0.3.3. Definicija; Za poljubna invarianten za T, definiramo notranjo skrčite v T\„ operatorja T na podprostor U,kot operator naU, s predpisom 25 0.3.3 Seveda jeZunanjo skr- čite v operatorja T glede na podprostor U, pa definiramo kot operator na X/U s predpisom Spet je Navedino še dve trditvi, katerih dokaz je preprost in sta splošno znani, 0.3.4. Trditev (dodatek k faktorski- lema}: (a)je izometrično podoben (b) je izometrično podoben 0.3.5* Trditev; (a) Če sta si operatorja podobna, imata isti (točkasti, residualni, zvezni) spekter. (b)Če je hiperinvarianten zaje . Dodajmo še <■ preprost razmislek o projektorjih. 0.3.6 3 0.3.6. Trditev: (a) Splošen projektor P na X je gosto definiran natanko tedaj, kadar je Im (b) Splošen projektor P se da zapreti natanko tedaj, kadar je za izpolnjen pogoj V tem primeru je njegova najmanjša .zaprta razširitev P definirana z in za (c) Splošen projektor P je zaprt natanko tedaj, kadar sta Im P in Ker P oba elementa (d) Če je splošen projektor P na X gosto definiran, je P * zaprt in pri tem velja (e) Če je P zaprt, gosto definiran(splošen) projektor, je P* * zaprt in # gosto definiran. PRVO POGLAVJE PROSTORSKE FUNKCIJE MNOŽIC 1.0. Usmeritev V prvem poglavju vpeljemo pojma projektorskih (razdelek 1.1) in prostorskih funkcij (razdelek 1.2) ter definiramo zvezo med obema vrstama funkcij (razdelek 1.5)» V razdelkih 1.3 in 1.4 vpeljemo nekatere "algebraične" lastnosti prostorskih funkcij, ki jih kasneje potrebujemo. Vsa razmišljanja so preprosta. V razdelku 1.3 vpeljemo tudi pojem notranje oz. zunanje regularnega generatorja, ki je poskus aksiomatične definicije kompaktnih oz. odprtih Bairovih množic (primerjaj L4-U). 1.1. Projektorske funkcije Dogovorimo se, da bo v prvih dveh poglavjih X poljuben netrivialen Banachov prostor, E pa poljubna neprazna množica. 1.1.1. Definicija: Naj bo A6PPE in P preslikava, ki vsakemu elementu a^A priredi splošen projektor P(a) na X. Vsaki taki preslikavi pravimo projektorska funkcija (množic). Družini A pravimo v tem primeru definicijsko območje te funkcije, linearnemu prostoru pa maksimalni definicijski prostor te funkcije. Vsak linearen prostor Def je (možni) defini- cijski prostor. Seveda je maksimalni definicijski prostor maksimalen glede na relacijo izmed vseh možnih definicijskih prostorov. 1.1.2. Definicija: Projektorska funkcija P je končno aditivna na nekem definicijskem prostoru Def P, Če je njeno definicijsko območje A algebra in velja: (KA1) za poljubne in za poljubne za poljuben je V tem primeru pravimo prostoru Def P (možni) prostor končne aditivnosti funkcije P* Izdelajmo si še "delovno" definicijo končne aditivnosti. množice E Spomnimo se, da je družina delitev/(glede na A), če je kvečjemu števna in so njeni elementi paroma dis- junktne množice, katerih unija je ves E. 1»1«3« Trditev: Projektorska funkcija P, definirana na algebri A, je končno aditivna na nekem definicijskem prostoru Def P natanko tedaj, kadar velja (KAa) vsi projektorji P(a), a 6 A, ohranjajo Def P in variant en in na Def P med seboj komutirajo ; (KAb) za vsako končno delitev in za je Dokaz: Najprej denimo, da je P končno aditivna. Tedaj po (KA1) velja tudi (KAa), pogoj (KAb) pa dokazujemo z indukcijo na moč delitev. Če ima delitev D moč 1, mora biti in po prvem delu pogoja i velja >. Denimo9 da smo (KAb) dokazali že za vse delitve moči in vzemimo poljubno delitev D moči n+1; izberimo a,b eD in definiramo Tedaj je delitev moči n in po indukcijski predpostavki velja za x £Bef P Pogoj (KAb) bo torej veljal, brž ko dokažemo to pa velja po in drugem delu (KA3) zaradi Zdaj pa denimo, da veljata (KAa) in (KAb) ter izberimo poljubenUporabimo pogoj (KAb) na delitvah 32 pa dobimo kar nam da (KA3)• Nato izberimo poljubna a,b£A in uporabimo (KAb) na delitvah Seštejemo prvo in zadnjo od dobljenih štirih enačb in od vsote odštejemo srednji dve, pa dobimo (KA2). Dokazimo zdaj, da velja (D Po pogoju (KAb) je P(Cb)P(b) x = 0 in po (KA2) je C Ker po (KAa) projektorji med seboj komutirajo, velja tudi zato je po drugi strani pa je tudi zato P(b) x fi in (1) velja. Izberimo poljubna a,b€A in upoštevajmo (KA2) in (l), pa dobimo I.I.4. Definicija; Projektorska funkcija P je števno aditivna na nekem definicijskem prostoru Def P, če je njeno definicijsko območje A algebra in velja: izpolnjena sta pogoja (KA1) in (KA2); za poljuben je '. za poljuben in poljubno naraščajoče zaporedje z unijo E, konvergira zaporedje proti x • V tem primeru pravimo prostoru Def P (možni) prostor števne aditivnosti funkcije P. 1»1«5« Trditev; Projektorska funkcija P, definirana na neki algebri A, je števno aditivna na nekem Def P natanko tedaj, kadar velja (a) izpolnjen je pogoj "i (b) za poljubenje (c) za poljuben in poljubno padajoče zaporedje s praznim presekom, konvergira zaporedje proti 0 . 1.1.5 6 Dokaz; Naj velja do ( in izberimo poljuben Zaporedje E,E,E,... je naraščajoče z unijo E, zato velja točka (b). Pa vzemimo poljubno padajoče zaporedje s praznim presekom« Tedaj je naraščajoče zaporedje z unijo E, poleg tega pa je Ker konvergira proti x, konvergira '. proti 0 in tudi točka (c) velja. Dokaz nazaj je analogen. 1.1.6. Posledica: Če je P na nekem Def P števno aditivna, je na tem Def P tudi končno aditivna. 1.1.7» Trditev; Projektorska funkcija P, definirana na neki algebri A, je števno aditivna na nekem definicijskem prostoru Def P natanko tedaj, kadar velja izpolnjen je pogoj (KAa) ; za vsak { in vsak y€ X*j velja za fskalamo ~) J > funkcijoa , £ vektorskoJ 35 za vsak . Def P in za vsak je funk- ' m skalama ) cija . x'^ C mera na A. ,' ni vektorska J Dokaz; Naj bo P šibko (oz. krepko) števno aditivna na Def P; tedaj seveda veljata pogoja in , dokazati pa moramo, da velja tudi Pa vzemimo poljubno množico in poljubno njeno delitev ter prestejmo elemente *° rtomnro Za k€C? pišemo i \) Ca, Tedaj je za Ker je zaporedje j naraščajoče z unijo S.f konvergira P(ak) x šibko (oz. krepko) proti x, torej je vrsta šibko (oz. krepko) konvergentna z vsoto P(a) x • Dokaz nazaj je analogen. 1*1»8« Trditev: Naj bo projektorska funkcija P definirana na neki algebri A; tedaj velja: (a) Če je P na nekem Def P krepko števno aditivna, je na istem Def P tudi šibko števno aditivna, (b) Če je A algebra in P na nekem Def P šibko števno aditivna, je na istem Def P tudi krepko števno aditivna. (c) Če je A algebra in P na nekem Def P šibko števno aditivna, velja za vsak x£Def P Dokaz: (a) Jasno; (b) Pettisov izrek (glejr83); (c) vsaka vektorska mera na 6 algebri je omejena (glejr8l)# Naj bo zdaj P poljubna projektorska funkcija, definirana na neki algebri A. Naj bo L družina vseh tistih x€Defm P, za katere velja, da je za poljuben končen nabor Tedaj je L linearen podprostor v Defm P, torej definicijski prostor funkcije P. Poleg tega ohranjajo vsi projektorji P(a), , prostor L invarianten in če je Def P poljuben definicijski prostor, ki ga ohranjajo vsi projektorji , i , invariantnega, mora biti Def Torej je L maksimalni izmed prostorov s to lastnostjo« Naj bo zdaj M družina tistih x£L, za katere velja, da je za poljubna Tedaj je M spet definicijski prostor funkcije P in na tem prostoru zadošča funkcija P pogoju (KAa); poleg tega pa M vsebuje vsak Def P s to lastnostjo• Definirajmo Tedaj je Deff P maksimalni izmed vseh prostorov končne aditivnosti, Defw P maksimalni izmed vseh prostorov šibke števne aditivnosti in Defs P maksimalni izmed vselpi prostorov krepke števne aditivnosti funkcije P. Ta postopek je seveda možen na poljubni projektorski funkciji, vendar v splošnem ne vemo, ali so dobljeni prostori netrivialni. Smiselna je 1.1.9« Definicija; Prostor Defs P) imenujemo maksimalni prostor končne (oz. šibke števne, oz. krepke števne) aditivnosti funkcije P« Po trditvi 1.1.8« je seveda in velja v drugi oceni enačaj, ce je A algebra. 1.1.10. Definicija; Projektorska funkcija P je prostorska razširitev funkcije Q (in Q prostorska 38 skrčitev funkcije P), če sta obe definirani na istem območju A, $likata v splošne projektorje na istem pro-storu X ter velja za vsak in za Projektorska funkcija P je območna razširitev funkcije Q (in Q območna skrčitev funkcije P), če obe slikata v splošne projektorje na istem Banachovem prostoru, leži definicijsko območje A funkcije Q pod definicijskim območjem funkcije P ter velja za poljuben a€A, 1.1.11. Definicija: Projektorska funkcija P z definicijskim območjem A je zaprta v točki a £A, če je P(a) zaprt; je zaprta (na A), če je zaprta v vsaki točki a€A; se da zapreti (na A), če ima zaprto prostorsko razširitev; je omejena v točki . če je P(a) omejen (ne nujno gosto definiran); je omejena (na A), če je ornejena v vsaki točki je enakomerno omejena (na A), če je ornejena in če je A algebra, P enakomerno omejena in Defs P ~ X, potem pravimo, da je P projektorska mera. Ce je algebra, je v zadnji definiciji pogoj enakomerne omejenosti odveč. 1.1.12 11 1.1.12. Pripomba; Poleg: krepke in šibke števne aditiv-nosti bi le"'iali še druge pojme števne aditivnosti. Naj bo npr« neka * gosta podmnožica in denimo, da za funkcijo P veljata pogoja v pogoju pa namesto šibke konvergence zaporedja zahtevajmo konvergenco zaporedja proti za vsak • V tej defi- niciji lahko očitno predpostavimo brez škode za splošnost, da je linearen podprostor prostora • Zanimivo bi bilo to definicijo uporabiti v primeru, ko je dual nekega Banachovega prostora in vzamemo za naravno sliko prostora Y v prostoru V tem primeru bi dobili definicijo "šibke * števne aditivnosti".-V refleksivnih prostorih se seveda ta definicija ujema z definicijo šibke števne aditivnosti. 1,2. Prostorske funkcije 1*2 •1. Definicija: Naj bo tedaj pravimo, da je F prostorska funkcija množic♦ Družino A imenujemo v tem primeru definicijsko območje funkcije F. Množico vseh funkcij z definicijskim območjem A in z vrednostmi v S(X) označimo s pfm(A,X); če je X nedvoumno določen, ga v oznaki izpustimo« pa označimo družino vseh funkcij Vsak element *pfm(A,X ) leži seveda tudi v pfm obratno pa v nerefleksivnih prostorih v splošnem ne drži. 1.2.2. Definicija; Za definiramo s predpisom za F t *pfm s predpisom Po anihilatorski\\ lema velja za za • Torej je preslikava , definirana z povratno enolična. 41 1.2.3. Definicija: Za funkciji pišemo 5e za vsak a£A velja Za funkciji pravimo, da je G razširitev funkcije F (in F skrčitev funkcije G), če je in za vsak Funkcija je monotona, če za poljubna Funkcija je invariantna za operator če je za vsak F(a) invarianten za T. Družino vseh operatorjev, za katere je F inva-riantna; označimo z Inv F • Družina Inv F je seveda vselej zaprta podalgebra algebre L(X), ki vsebuje vsaj identični operator. Za poljubni funkciji F in G. je natanko tedaj, kadar: je Funkci.ia G je razširitev funkcije F natanko tedaj, kadar je razširitev funkcije Funkcija F je monotona natanko tedaj, kadar je funkcija monotona. Družina pfm A je z relacijo delno urejena. Za poljubno njeno poddružino definirajmo Za tako definirani operaciji sup in inf je pfm A polna mreža. Preslikava je antiizomor- fizem med obema mrežama, V slednji mreži je operacija inf spet dana s formulo (2), v definiciji (1) operacije sup pa moramo namesto ' vzeti ♦ Hitro se lahko prepričamo, da sta sup in inf poljubne družine monotonih funkcij spet monotoni funkciji. Monotone funkcije tvorijo torej polno podmrežo mreže pfm preslikava pa je spet antiizomorfizem med obema podmrežama monotonih funkcij* Denimo, da je neka družina funkcij invariantna za dan operator T; tedaj sta tudi sup in inf te družine invariantni funkciji za ta operator. Torej tvori družina vseh funkcij, invariantnih za dan operator (ali dano množico operatorjev) spet polno podmrežo. 1.2.4. Definicija: Naj bo A in obstaja . Definiramo notranjo razširitev funkcije pfm s predpisom na pa definiramo zunanjo razširitev funkcije s predpisom Notranja razširitev postane definirana na vsem PE natanko tedaj, kadar je zunanja pa natanko tedaj, kadar je Niti notranja niti zunanja razširitev v splošnem nista nujno razširitvi. Kako bi lahko smiselno prenesli obe 'razširitvi" Nakažimo za notranji primer: Naj bo , seveda je in definiramo lahko to pa se ujema tudi z definicijo Naslednja trditev je preprosta posledica definicij. 1.2.5. Trditev; (a) Notranja razširitev je preslikava iz pfm A v pfm B. , ki ohranja urejenost in preslika sup v sup. |(b) Zunanja razširitev je preslikava iz pfm A v pfm , ki ohranja urejenost in preslika inf v inf• (c) Slike zunanje in notranje razširitve so vselej monotone funkcije. (d) Če je funkcija F monotona, sta'funkciji njeni razširitvi, (e)Za poljubno funkcijo in • 1.2.6. Trditev: Naj bosta taki, da funkciji pa taki, da je G monotona in na A. Tedaj je" Zgornja trditev nam pove: Zunanja razširitev je največja monotona razširitev monotone funkcije, notranja raširi-tev pa najmanjša. Dogovorimo se še, da bomo v prihodnjih dveh razdelkih dokazovali pri trditvah s po dvema verzijama: "notranjo" in "zunanjo", le po eno od teh inačic; druga bo namreč vselej sledila po principu dualnosti. Ta dogovor upoštevajmo že v dokazu trditve 1.2.6. 1.2.6 6 Dokaz: Vzemimo poljuben in preverimo Odlikovanost Definicija; Naj bosta in Če za poljubne b,a-,,aofiA, za katere je pravimo, da je F notranje odlikovana glede na A ; če pa za poljubne b,a, €A, k€fN, za katere je pravimo, da je F notranje (5 odlikovana glede na A. Če za poljubne b,a-,,ap€ A, za katere je velja pravimo, da je F zunanje odlikovana glede na A ; če pa za poljubne za katere je pravimo, da je F zunanje odlikovana glede na A. V vseh teh primerih pravimo, da je družina A območje (ustrezne) odiikovan osti funkci j e F« 47 1.3.2 2 1*3.2. Trditev; Naj bo F £ pfm B in , tedaj je (a)' Če je F zunanje ali notranje odlikovana glede na A, je na A monotona. ■ f zunanje 1 (b) Če je F v ( odlikovana glede na A, je , notranjej T zunanje O glede na A tudi < r odlikovana. L notranjej fzunanje n (c) Če je F < ( odlikovana glede na A in je / notranje) [preseke 1 množica A zaprta za končne i i , je F ( unije J tudi 0" odlikovana glede na A natanko tedaj, kadar padajoče J za poljubne bčA in ' > zaporedje naraščajoče J , za katero je (d) Če je F kakorkoli odlikovana glede na A, je enako odlikovana tudi glede na poljuben Odlikovanost je torej šibkejša zahteva od odlikova-nosti. O tem, da je ta zahteva v splošnem strogo šibkejša, nas prepriča tale preprost primer: Naj bo , če a vsebuje vsa števila od nekega naprej in sicer; je zunanje odli- kovana, ni pa zunanje odlikovana glede na A. I 1.3.2 3 Dokaz: (a) Vzamemo in pišemo (b)Vzamemoin tvorimo zapore- »• • (c) V eno smer jasno. Nazaj: Izberemo poljubne keftT. za katere Tvorimo novo zaporedje tedaj in (d) Jasno. 1.3.3. Trditev: Naj bo in , tedaj je f zunanje ") (a) Če je F J i odlikovana glede na A, velja ( notranje J za poljubna za katera , da je (D r preseke T (b) Če je A zaprta za končne . > in za po- unije \ zunanje ) ljubnaje funkcija F « > t notranje \ odlikovana glede na A. f zunanje 1 (c) Ce je F J > odlikovana glede na A, J notranje j 49 velja za poljubne za katere da je (2) f preseke ^ (d) Če je A zaprta za kvečjemu števne C in unije \ za poljubne velja (2), je funkcija f zunanje *S F / odlikovana glede na A. (^ notranje ) Dokaz; (a) Po 1.3»2(a) je F monotona in zato (b) Naj velja (1); tedaj iz sledi in F je monotona. Zato velja za da je (c) Po ) in (a) je P monotona in zato (d) Tako, kot v točki (b) se prepričamo, da je F 30 monotona in nato izberemo poljubne za katere ter ocenimo 1.3»4. Definicija: Množica A€PPE je notranje regularni generator, če | (Rl) (R2) A je zaprta za končne unije (R3) A je zaprta za kvečjemu števne preseke (R4-) vsak element iz A' je kvečjemu števna unija elementov iz A , Množica A je zunanje regularni generator, če je A' notranje regularni generator. V tem primeru pravimo, da je par (A',A) par regularnih generatorjev. Množici A in A' generirata seveda vselej isto algebro in zato tudi isto algebro. Če je E kompakten, Hausdorffov topološki prostor in zadošča drugemu aksiomu števnosti, je njegova topologija zagotovo zunanje regularni generator in generira ravno algebro vseh Bore-lovih množic na E« 51 zunanje " • Trditev; Naj bo A - > regularni gene- ^ notranje rator in B algebea, generirana zA. Tedaj je vsak element iz B kvečjemu števni presek elementov iz in hkrati kvečjemu števna unija elementov iz V zgoraj opisanem primeru nam trditev 1.3*5 pove, da je vsak element iz B hkrati in ( • Dokaz: Naj bo C družina tistih aePE, ki so hkrati kvečjemu števne unije elementov iz A' in kvečjemu števni preseki elementov iz A. Hitro se prepričamo, da je C algebra množic in da je t zunanje *) 1*3.6. Trditev: Če je A , ( regularni gene- notranje J rator, B algebra, generirana zA in F£pfm A k zunanje 1 J Fe zunanje *} t (5 odlikovana glede na A, je -J t notranje J C F notranje^) odlikovana glede na B. Dokaz: Naj bo F zunanje odlikovana glede na A in Nadalje 52 naj bo poljuben in zaporedja taka, da je (obstajajo po prejšnji trditvi). Tedaj je pri prvi oceni smo uporabili monotonost zunanje razširitve; naslednji enačaj so nam dale trditve 1.3«2(a) in (b) ter 1.2.5(be obstajata na vsem A, je P- po točkah gosto definirana in zaprta, po točkah * gosto definirana in * zaprta in velja Dokaz; (a) Glej trditev 0.3.6(d) in definicijo funkcije I 65 Za poljubna pa velja in zaradi monotonosti funkcije P i torej je (c)Naj botedaj za velja in po anihiiatorskem lema torej je • Denimo zdaj, obratno, da je Tedaj je spet in za velja , ttot> -i* mrvn^-f-^vno -?a monotona in zato velja torej po anihiiatorskem lema in zato (d) Po predpostavki je in lahko uporabimo točko (a) na vsem A« 1«5«7» Trditev: Naj bo A algebra; tedaj velja: (a) Če je P projektorska funkcija z definicijskim območjem A in je za vsak notranje odlikovana glede na A in (b) Če je F€ pfm A zunanje odlikovana glede na A in je obstaja P-, na vsem A in je Defm Dokaz: (a) Notranjo odlikovanost preverjamo po trditvi 1.3»3(b)« Izberimo a,b€ A, x£DefmP ; tedaj zato in končno (b)Naj bo Nadalje pišimo Zaradi zunanje odlikovanosti funkcije F je in torej je Seveda je poljuben, torej Defm P«. Pa spet fiksirajmo a gA, tedaj je in (KA1) velja# Nato je 67 v posebnem primeru pa dobimo še (KA3)• 1«5*8« Trditev: Naj bo A algebra; tedaj velja: (a) Če je P projektorska funkcija z definicijskim območjem A in je za vsak je Fp notranje ^ odlikovana glede na A in (b) Če je X refleksiven, F£pfm A zunanje & odli-vana glede na A in obstaja P« na vsem A in je Dokaz: (a) Notranjo )dlikovanost preverjamo po trditvi l,3«3(d). Izberimo Defv/ P ; tedaj je za naraščajoče zaporedje b, = zato in končno (b) Naj bo tedaj je M linearen prostor pod Defm P«, ki ga vsi projektorji ohranjajo invariantnega, torej je M po trditvi 1.5*7(k) niožni prostor končne aditivnosti funkcije in (c) je Defs P-™ ■ Defw > Za obratno inkluzijo nam je treba na M preveriti le še točko (c) trditve 1«1»5« v "ka namen izberimo poljubno padajoče zaporedje praznim presekom ter poljubna Tedaj je (i) Ker je F zunanje odlikovana in je po anihilatorskem lema in ker je X refleksiven, lahko zvezdico nad znakom izpustimo. Zato konvergira dist(y,E(a, ) ) proti O in po oceni (1) tudi konvergira proti 0. 69 DRUGO POGLAVJE OMEJENE FUNKCIJE 2.0• Usmeritev V razdelku 2.1 najdemo potrebne in zadostne pogoje za to, da je projektorska funkcija, prirejena dani prostorski funkciji, mera v običajnem pomenu. Poleg tega na novo dokažemo, da ima v refleksivnem prostoru vsaka projek-torska mera na algebri enolično razširitev do mere na et bomo Dišali Če obstaja tak operator , da je in da je ter , če je hkrati Ekvivalenčne razrede teh tro.ik označujemo z in jih vzamemo v družino to družino delno ureja relacija, naravno porojena iz relacije , ki jo označujemo enako. Kakšen je pomen teh trojk na prvotnem prostoru? Poljubna trojka nam na prostoru X da neko zvezno seminormo Prostor lahko iz seminorme p^ do izometrije natančno rekonstruiramo takole: Linearnemu podprostoru priredimo faktorski prostor ga opremimo z normo in v tej normi napolnimo do Banachovega prostora. Trojke lahko torej v nekem smislu gledamo kot tiste pro~ 92 store, skonstruirane iz zveznih seminorm, na katerih obstajajo prostorske mere (v novi normi), ki majorirajo prvotno prostorsko funkcijo« Ekvivalenčna relacija nam pove, da ne razlikujemo med ekvivalentnimi seminormami in podobnimi merami• 2.3•!• Definicija; Elemente družine imenujemo notranje meje; notranja meja je natančna, če za vsak velja in je popolna, če ima V^ gosto zalogo vrednosti. Elemente družine m (F; imenujemo zunanje mene; zunanja meja je natančna, če za vsak in ie popolna, če ima trivialno jedro. V ilustracijo zgornjih definicij si oglejmo najpreprostejši primer, ko je A = B neka algebra množic s končno mnogo elementi. V tem primeru je seveda A celo & algebra. Da se izognemo trivialnostim, predpostavimo, da ima A vsaj štiri elemente. Vsaka končna algebra je generirana z neko delitvijo D množice E; pri tem v delitev D ne vzamemo prazne množice. Naj bo F g pfm A monotona in denimo najprej, da je • Na prostoru vpeljemo normo pa označimo naravno vložitev prostora v prostor X. Nadalje definiramo Preprosto je preveriti, da trojka m^ določa neko notranjo mejo v Pa naj bo poljuben reprezentant neke nadaljnje notranje meje« Tedaj za velja (2) in Im , zato je operator definiran povsod na X« ; ker je zaprt, je po izreku o zaprtem grafu omejen. Ker velja in je za de meja m^ natančna. Če pa velja še je je popolna notranja meja. Privzemimo zdaj, da je F monotona in F»(E) ■ X ter vpeljimo na prostoru normo 94 2.3.2 5 v kateri postane Banaeliov prostor* Nadalje definiramo s predpisom in Le z malo več truda preverimo tudi tokrat, da je m* reprezentant neke zunanje meje v . Naj bo m^ poljuben nadaljnji reprezentant neke meje. Tedaj za velja, da leži v , ^ D F(Cd) in zato , torej V r x ■ 0 in splošni operator V*r s Vr V* " je dobro definiran na Im V • Vzemimo zdaj poljuben ■ Tedaj je kar dokazuje, da je omejen operator in ima enolično razširitev do omejenega operatorja, definiranega na vsem $ to razširitev označimo spet z Seveda velja pri tem preprosta verifikacija pa nam da 95 2.3.2 6 še na vsem A. Zato je meja natančna« Če pa velja še , je m**- tudi popolna meja« Strnimo te izsledke v 2.3»2. Trditev; Naj bo A končna algebra in F£pfm A monotona; tedaj velja: (a) Če je , obstaja ' natančna meja; če velja še , je ta meja popolna.' (b) Če je obstaja v natančna meja; če velja še je ta meja popolna. Problem obstoja natančnih mej prepustimo naslednjemu razdelku, tu pa dokažimo tri izreke, ki jih bomo potrebovali v tretjem poglavju. Med mejami na.st bodo zanimale predvsem tiste, ki ohranjajo invariantne operatorje prvotne funkcije. Definirajmo natančneje: Naj bo in Tčlnv F poljuben. Pogoj je invarianten za je seveda neodvisen od izbire reprezentanta v ekvivalen-čnem razredu« Če je izpolnjen, lahko v notranjem primeru na definiramo operator v zunanjem pa na Im operator Operator je 96 2.3.3 7 vselej zaprt in po izreku o zaprtem grafu omejen, v zunanjem primeru pa moramo predpostaviti n T** je omejen/« (12) { j Pod to predpostavko lahko enolično razširimo do omejenega linearnega operatorja na vsem , ki ga spet ozna-čimo s • Predpostavimo še (13) Preslikava je pod zgornjimi predpostavkami vselej algebraični hornomorfizem med obema Banachovima algebrama. Poleg tega je zaprta in zato omejena. Če je meja še popolna, je ta preslikava zvezna vložitev. 2.3•3. Izrek; Vsaka natančna meja, če le obstaja, zadošča pogojem Dokaz; (Notranji primer) Naj bo m^ reprezentant natančne . notranje meje v • Brez škode za splošnost lahko predpostavimo, da je T brez jedra; sicer bi namreč namesto operatorja T vzeli operator , Za trojko so izpolnjeni 97 K 2.3.3 8 pogoji , poleg tega pa velja na A in trojka je reprezentant neke notranje meje« Ker * je meja natančna, je in zato kar dokazuje (II). Na B pa velja in tudi (13) velja. (Zunanji primer) Spet vzamemo reprezentant natančne meje predpostavimo brez škode za splošnost, da ima T gosto zalogo vrednosti in pišemo m^ = (X*, Tedaj so za mfr izpolnjeni pogoji (Ml), (M2>) in (M3), poleg tega pa velja na A: in tudi pogoj (M4-') je izpolnjen. Ker je meja m* natančna, je , zato Ker Ker VK in (II) velja. Na Im V* je in (12) velja. Ker pa velja na B je izpolnjen tudi pogoj (13) in izrek velja. 98 2.3.4 9 Zaradi enostavnejše formulacije naslednjega izreka vpe-Ijimo nekaj oznak. Naj bo A 6PPE zaprta za končne preseke, F£ pfm A monotona in izberimo aeA. Definiramo s predpisom > Če je , je seveda , obratno pa v splošnem ne drži. Koristno je, da natančne meje pod določenimi pogoji ohranjajo tudi invariantne operatorje funkcije F| , pa čeprav slednji nimajo ustrezne omejene razširitve na ves X. Denimo, da obstaja natančna meja in vpeljimo Po kratkem premisleku je • Dokažimo 2.3.4. Izrek: Če je , potem je meja natančna. Dokaz: Pa vzemimo poljubno nadaljnjo trojko in definirajmo 2.3.4 10 Tedaj je Banachov prostor, z zvezno vložen v X; iz namreč zaradi Poleg tega je mera na B in za poljubne velja ; torej je Toda meja m^ je natančna ! Za u€Xj- je tedaj in najdemo lahko taka ; zaradi pa je tedaj Operator je po izreku o zaprtem grafu omejen. Poleg tega za b€B in u^Fo- (b) velja u@0€P^(b) in zato Vj^ (u©0) € F^(b) ; po prejšnjem pa je torej izrek velja. Bokažimo še analogen zunanji izreki Tokrat naj bo A zaprta za končne unije, PCpfm A monotona ter definirajmo za aeA funkcijo s predpisom 100 2.3.5 11 Zaradi monotonosti funkcije F zapiranje v prostoru v zgorn.ii definici.ii ni potrebno. Tudi tu velja za Denimo, da obstaja natančna meja in vpeljimo Spet je preprosto verificirati, da je Dokažimo 2.3.5* Izrek: Če je in potem je meja natančna. Dokaz: Naj bo poljuben in definirajmo Dokažimo, da ima gosto zalogo vrednosti! Za poljuben lahko u Dol.iubno natančno aproksimiramo z elementi oblike zaradi pa lahko brez škode za splošnost predpostavimo: • 101 Element v pa lahko poljubno natančno aproksimiramo z elementi oblike ker je in je projektor omejen, lahko brez škode za sploš-nost predpostavimo: Element u©v torej lahko aproksimiramo z elementi oblike . Ostale pogoje za to, da je pa je enostavno preveriti. Toda me.ia m* .ie natančna v je in končno Zato lahko na Im Vr definiramo splošen operator z vrednostmi v Dokažimo, da je omejeni V ta namen vzemimo poljuben uelm V* in ocenimo Če na desni strani te ocene vzamemo infimum po vseh reprezentantih razreda £u}, dobimo od tod in operator je omejen. Za bgB in pa je in ; zato je natan- čna zunanja meja in izrek velja. 102 2.4. Obstoj natančnih mej 2.4.1. Xzrek: Naj bo A algebra, B algebra, generirana A_ z Tedaj obstaja v M. .-n(F) natančna meja. Dokaz: Na prvem koraku dokaza bomo definirali pravo normo. Zaradi in funkciji F lahko na vsem območju A priredimo projektorsko funkcijo P. Tej funkciji poiščemo prostor Deff P v smislu definicije 1.1.9 in vpeljemo vektorski prostor ki ga naravno vložimo v prostor X, vložitev pa označimo z • Prostor opremimo z normo (D Dokažimo, da je v tej normi Banachov. Pa naj bo poljubno Cauchvjevo zaporedje v normi (1). Tedaj je za vsak Cauchvjevo zaporedje v prvotnem prostoru, ki ima limito x 6F(a). Za vsako a končno delitev množice E je in zato 103 2.4.1 2 za poljubna pa je in zaradi zaprtosti projektorske funkcije P Po trditvi 1.1.3 je tedaj Deff P in ker za velja j. je xE 6 Im V^ , Ker za poljuben £ 6 JR obstaja tak N€ IN, da je za poljubna je za vsak zato in končno torej konvergira zaporedje v normi (1) proti in prostor je Banachov. Vložitev pa je zvezna: Če pišemo še 104 2.4.1 3 velja na A. Poleg tega je za x€"X in in (2) in zato P(a) V^ x € Im V^ ; torej je u = V^~"TP(a) V^ x element F^(a), po istem razmisleku v = V~" element F^ (Ca) in velja x = u + v .Ta zapis v končno vsoto je seveda enoličen in no (2") vel .ia kar dokazuje točko (a) v naslednjem prvem koraku dokaza: Korak I; (a) X^ je Banachov prostor, V^ : Xet-^X zvezna vložitev, F^ omejena na A in F^^ V^"" F na A. (b) Za poljuben m^-6 M^.^(?) obstaja V^ : X^"-^X^, da je • Še točka (b) : Za poljuben x£X> mora biti seveda Vf x v Deff P in 105 2,4.1 4 Zato je operator pa je linearen, omejen in ima trivialno jedro« Ker za poljubne in je zato torej velja korak I# Na drugem koraku razširimo funkcijo do funkcije, definirane na vsem B. Označimo z P3 skrčitev funkcije na B, pišemo na A, velja po trditvi 2.1«2(a) točka (a) v Korak II; (a) Xa je Banachov, zvezna vložitev, skrčitev na A omejena in (b) Za poljuben obstaja da j in Po točki (b) koraka I je Izberimo b£B in (b), zaporedje pa naj bo tako, da je , Tedaj je zato in od tod To dokazuje, da je Im zato in na vsem B, 106 2.4.1 5 Na tretjem koraku rešimo problem do kraja! Naj bo skrčitev funkcije (^n)™^ na i*1 Funkcija F*, je seveda notranje G> odlikovana glede na B, njena skrčitev na A pa je omejena. Zato je po trditvi 2.1.5 mera na B in velja točka (a) v Korak III; (a) m^ G MA:B0?) ** (b) meja m-, je natančna. Dokažimo še točko (b): Pa naj bo in defi- nirajmo G €pfm (BfXO s predpisom Tedaj je G notranje 0" odlikovana glede na B in po točki (b) koraka II je na B. Ker je natan- čno notranje (o odlikovanje funkcije na B, zato po vrsti: Im in na vsem B. Tako smo izrek dokazali. Kot preprosto posledico tega izreka navedimo zadosten pogoj za obstoj natančne meje pri razširjanju iz notranje regularnega generatorja. Naj bo torej A notranje regularni generator, ki generira 6" algebro B. Nadalje naj bo B neka algebra, in pfm A monotona. Denimo, da je tedaj je seveda 107 zaradi monotonosti funkcije F tudi m^ € M.#B(F). Če pa je, obratno, je funkcija F^ notranje re- gularna . Zato je tudi funkcija G£pfm (B,X), definirana z notranje regularna« Ker pa je na A, je Zato velja 2.4.2. Posledica: Če pri neki algebri velja , potem obstaja natančna meja v 2•^•3» Izrek; Naj bo A algebra, B (d algebra, generirana z A in F£ pfm A taka, da ima popolno notranjo mejo v **s *vA * "R M. -n(^) • Tedaj obstaja natančna zunanja meja v n" (F). I Dokaz: Naj bc iružina vseh seminorm p na X, za katere (B) Družina gotovo ni prazna, saj vsebuje vsaj trivialno seminormo. Za x€ X definiramo tedaj je tudi Vektorski prostor X/UR opremimo z normo 108 I '7 in ga v tej normi napolnimo do Banachovega prostora X*. Kompozitum faktorske preslikave X~!>X/U^ in naravne vložitve v X* označimo z V1*; ta preslikava je linearna, ima gosto zalogo vrednosti in velja S V* l\ 4z 1 • Izberimo reprezentant neke popolne meje in definirajmo Ker je funkcija V*V« zvezna in je ?a notranje O" odlikovana, je tudi F* notranje )dlikovana glede na B, Dokažimo, da velja na A: F £ V*~ F* . Pa izberimo tedaj obstaja (meja m«- je popolna!) tak Toda y = zato in po pogojih (B) in (A) velja zato je in od tod Po definiciji prostora F*(a) pa velja še več: F*(a) = V*-F(a) , kar bomo kasneje še potrebovali. Če dokažemo, da je F01 omejena na A, bo F* mera na B po trditvi 2.1,5» Ker je F** monotona, bo dovolj, če za poljubne pokažemo 109 / 2.4.3 8 (3) Toda (3) velja po (B) za vse v6F(Ca) ; zato je po prejšnjem (3) vselej veljavno in Da bi dokazali natančnost meje izberimo poljubno tro.iko Če je trivialna, mora biti • V nasprotnem pa je Za "X"*S Y Tn šfimo tedaj je p*, seminorma n£ in za poljubne Torej je in po definiciji seminorme p^ velja p**(x) ^ za vsak x£X* Za x£Ker V je torej po vrsti Ker ' ; zato lahko na Im V* definiramo splošen operator Ker je za je operator V0*« omejen in ima enolično razširitev do omejenega operatorja, definiranega na vsem X** , ki ga spet označimo z V*% Po prejšnjem je za a£A F*(a) ■ ker je a) in je V*** zvezen, velja 110 ■ 2.4.3 ■ na A. Dokažimo, da velja (4) na vsem B! Pa naj bo C družina vseh pri katerih velja (4). Če je b,eC, k£Ei, monotono naraščajoče zaporedje z unijo b potem a / 0 . (d) V obstajajo minimalni elementi glede na inkluzijo« (e) Vsak minimalni element v 2 m (oziroma v JJ ) je neprazna kompaktna podmnožica S"(T), ki vsebuje <5 (T) (oziroma C? (T) ). Jb' Dokaz: (a) Naj bo poljuben. Tedaj je c = bC/^(T)£K' in c2a, zato obstaja po predpostavki tak m^ , da je &(%<)£ c in po trditvi 3»l«2(c) je QX0V) C ^O(T) ; od tod pa 6*(^)^.b. Dokaz zunanje inačice gre po istem kopitu. (b) Če je ,, obstaja tak mK, da je, zato po 3«l»2(c) zato je X^ in končno a trivialen. Zunanji premislek je analogen, (c) Prazna množica je kompaktna podmnožica £>(T). (d) Če je poljubna veriga v in za poljuben obstaja zaradi kompaktno- sti tak , da je torej je ► Končno ugotovitev dobimo po Zornovem lema. Zunanji dokaz poteka dobesedno enako. Točka (e) pa je strnitev dosedanjih ugotovitev. 120 3.1.4 5 Za poljuben vzamemo v vse tiste za katere velja, da za poljuben b€K', b!2a, obstajata (LS2) analitična funkcija za katero 3.1.4. Trditev; (a) 0 6 2m(x) natanko tedaj, kadar je x = 0, (b) Če je je (c) Če je JU J- (d) V vsakem obstajajo minimalni elementi glede na inkluzijo. (e) Vsak minimalni element v je kompaktna pod-množica in je prazna natanko tedaj, kadar je Če sta a, oziroma a~ minimalna elementa v oziroma , obstaja za poljubna tak minimalni element a v 3.1»5* Definicija; Minimalne elemente v imenujemo lokalne spektre vektorja x£X. 121 3.1.5 6 Dokaz: (a) Pogoja (LSi) , i=l,2, uporabimo na a = 0 , in upoštevamo Liouvillov izrek« (b) Natj bo tedaj obstajata in in ter analitični funkciji za kateri Na definiramo analitično funkcijo (c) Kaj bo Tedaj je b-O a ln obstajata c^GK*, aCC^fib, in analitična, z lastnostjo « x, A č c,. Funkcijo x (enolično) razširimo s pomočjo funkcije na ves (d) je preprosta uporaba Zornovega lema, (e) pa strnit ev prejšnjih rezultatov. Prepričajmo se, da je naša definicija lokalnih spektrov posplošitev tega pojma, ki je bil doslej v literaturi definiran le za operatorje z lastnostjo enoličnega analitičnega nadaljevanja (single valued exten- 122 3.1*5 7 sion propertv). To lastnost bomo definirali kot lastnost množic (primerjaj 171)* Za odprto, povezano množico a bomo rekli, da zadošča pogoju (NAN) če obstaja , netrivialna, analitična, za . katero Tudi za prazno množico priznamo, da zadošča temu pogoju. Za kompaktno množico a pa bomo rekli, da zadošča pogoju (EAN) če za vsako neprazno povezano komponento c množice Ca obstaja tak ki ne leži v nobeni množici Za operator T bomo rekli, da zadošča pogoju (Dl) če je edini ali ekvivalentno: vsak a£K je (EAN). • 3.1.6. Trditev: (a) Če zadošča pogoju (EAN), je natanko tedaj, kadar obstaja analitična funkcija za katero V tem primeru je s temi pogoji x enolično določena. 123 3.1.6 8 (b) Če operator T zadošča pogoju (Dl) ima vsak en sam lokalni spekter« Dokaz: (a) Če taka analitična funkcija obstaja, je seveda a 6 »Pa denimo, obratno, da je -JU izberimo povezano komponento c množice Ca in naraščajoče zaporedje z unijo c« Po pogoju (EAN) lahko brez škode za splošnost privzamemo, da noben b, ne leži v nobenem (NAN)• Ker pa je , obstajajo za katere Za X£C obstaja tak in lahko'def i- niramo Ce smo množice c, izbirali povezane (in to lahko vselej storimo), je dobljena definicija neodvisna od izbire k, torej je funkcija analitična na vsem , Ker tudi c ni tipa (NAN), je s temi lastnostmi na vsem c enolično določena« (b) Če T zadošča pogoju ( i, je seveda vsaka kompaktna množica tipa (EAN). Presek vseh elementov družine je tedaj iskani lokalni spekter elementa 124 3.1.7 9 Priredimo zdaj poljubni kompaktni množici a€ K družino ali ekvivalentno: cL(a) je družina vseh tistih x£X, ki imajo vsaj en lokalni spekter pod a. Nadalje vpeljimo in Družina cU(a) je linearna po trditvi 3*1.4-(b), zato je DT(a) € S(X), pa tudi , Poleg tega za ) in zato D~(a) ^. Dm(b), pa tudi DT(Cb) ^ DT(Ca). Torej sta funkciji DT£pfm (K,X) in D^g pfm (E',X) &a ionotoni. Funkcijo D~ razširimo notranje, funkcijo D pa zunanje na ves PE, obe razširitvi pa brez strahu za zamenjavo spet označimo z D^ in D . 3.1.7. Trditev; (a) V^ £ DT na vsem PE. (b) AT(X) C Inv D^ in 4D(X) C. Inv DT . Dokaz: (a) Vzemimo najprej : , Po definiciji lokalnega spek- tra lahko tedaj najdemo take 125 analitično, da je (D nato pa še take analitično, da je (2) Na c definiramo skalarno analitično funkcijo Po (1) in (2) je za A 6 cf)d : zato je funkcija analitična na vsej ravnini in zaradi v^(^) =0 identično enaka nič. Pri razvoju v Laurentovo vrsto funkcije *v> okoli točke tO pa je prvi koeficient enak > zato je torej je in od tod Za poljuben C6PE pa je 126 11 (b) Naj bo poljubna« Tedaj obstajata taka analitična, da je Zato je za poljuben funkcija S x analitična in velja •?€c; torej je Sx ^cLCa) in Naj bo zdaj in y £ ► Tedaj je za po prejšnjem Sy y Torej je Oglejmo si zdaj neko zvezo med spektri notranjih predstavitev in "notranjo" funkcijo D™, definirano z lokalnimi spektri. Zaradi pomanjkanja prostora opustimo analogna zunanja razmišljanja. 3.1.8. Izrek; Za a£K velja: (a) Če je pri nekem (b) Če je a tipa Dokaz: (a) Če je je za vsak x£lm V* funk- cija x analitična za A G Ca in sato je '. (b) Brez škode za splošnost lahko predpostavimo, da je V nasprotnem bi namreč namesto a vzeli množico 127 3.1.8 12 Dokažimo, da tudi a., zadošča pogoju (EAN) ! Pa naj bo c neka neprazna povezana komponenta množice Ca**. Ce de torej je c povezana komponenta množice Ca. Če pa je 0 , vsebuje (torej tudi c) neko kompaktno množico, ki ne leži v nobenem (NAN)• Naj bo zdaj poljubna; zaradi enostavno- sti predpostavimo, da je b omejena, sicer bi jo ustrezno zmanjšali. Množica d = Cb je kompaktna in leži le v končno mnogo povezanih komponentah množice Ca. Označimotedaj so d, paroma JL.V U J£ disjunktne kompaktne množice z unijo d, ki ležijo vsaka v svoji komponenti c, . Brez škode za splošnost predpostavimo, da so d, povezane in ne ležijo v nobenem (NAN); v nasprotnem bi namreč množice d, še povečali in s tem množico b še zmanjšali. Vsako od množic d, pokrijemo s končno mnogo odprtih diskov, katerih zaprtja ležijo še zmerom v c,; unijo teh diskov označimo z e,. Tedaj je množice e, na so odnrte« novezane in niso tipa (NAN). Naj bo vektorski prostor vseh funkcij ki so analitične na e, zvezne 128 5.1.8 13 na "e in za kate-re i g (3) neodvisen od izbire A ^ *e . Prostor X^ opremimo z normo > v kateri postane Banachov, preslikava definirana s (3) pa omejen, linearen operator• Ker množice niso tipa (NAN), je operator V<< injek-tiven. Za obstaja po trditvi 3»l«6(a) fimkp.i ia analitična, za katero Zato je skrčitev element prostora in od tod dobimo in po predpostavki izreka ima V^ gosto zalogo vrednosti« Za in , je seveda zato je je notranja navidezna predstavitev operatorja T» 129 3.1.8 i* Vzemimo zdaj poljubne ter defi- nira jmo (za zdaj splošni) operator Ra* na X^ s predpisom Tedaj je in po preprostem računu zato je kar je bilo treba dokazati« 130 3.2. Dunfordovi pogoji Naštejmo zdaj vse štiri Dunfordove pogojel Za operator T bomo rekli, da zadošča pogojem: (Dl) če je prazna množica edini (NAN); (D2) če je D^ omejena na K; (D3) če je (D4) če je Pripomnimo naj, da je N. Dunford (primerjaj 10 ) definiral ostale tri pogoje le za tiste operatorje, ki že zadoščajo pogoju (Dl)• V naši definiciji je vsak pogoj zase neodvisno definiran. Oglejmo si nekaj preprostih posledic posameznih pogojev. 3.2.1. Trditev; (a) Če velja (D2), velja (Dl). (b) če velja (D2), je D^ omejena na vsem B. (c) Če velja (D2), (D3) in je (DT)B(S) - X, potem je (i) D« zunanje odlikovana glede na B, (ii) Dm je mera in tudi (D4) velja, T (iii) Dm = D na vsem B. Dokaz: (a) Naj bo a€K' neprazna, povezana, tipa (NAN) in x : a —-»X netrivialna analitična funkcija z lastno- 131 3.2,1 2 stjo • Izberimo in zaporedje ^, ga,, is. analitična in x(-*k), zato je x(Ak)£DT({/lk] ) in po (D2) ker pa je zvezna, je in zato po zgornji oceni v nasprotju s predpostavko« (b) Glej trditev 2,1.2(c). (c,i) Naj bo Tedaj je po trditvi 3*1«6 lokalni spekter vektorja x enolično določen; ker leži v a in v b, leži v afib in zato To dokazuje, da je Naj bo zdaj Tedaj je in zaradi ter pogoja (D2) obstaja za vsak tale Ker je in obstaja po istem razmisleku tak 132 3*2.1 3 da je in zato Toda : (c,ii) Po točki (c,i) in trditvi 1.5»7(b) smo v pogojih trditve 2.2.2. Za vsak je tedaj (kar v običajnem pomenu) regularna, končno aditivna Borelova funkcija na kompaktnem topološkem prostoru, zato je po izreku Alexandroffa (primerjaj £82) skalama mera. Trditev 1.1.8(b) nam tedaj pove, da je D« mera in tudi (D4-) mora seveda veljati. (c,iii) Po izreku 2.2.3 je D„ laidl zunanje regularna; dovolj bo torej, če dokažemo na K', oziroma na K. Toda po trditvah 3«2.3(a) in 0.2.5 je za a 6K : Formulirajmo zdaj nekaj pogojev, sorodnih pogoju (D4), ki so pod določenimi dodatnimi pogoji z njim ekvivalentni. Pišimo: (Da) Dm je mera na B; 133 3.2*1 4 (Db) D« je notranje &€ Ca pišemo Tedaj je analitična in , zato je in operator 135 3.2.3 6 , definiran z je linearen in torej (Zunanji) Po trditvi 0.2,5 je za , po pogoju (D3') pa je D (Ca) = ► Naprej pa razmišljamo enako, kot v notranjem primeru* (b) (Notranji) Naj bo m^ poljubna notranja predstavitev in po trditvi 3.1»3 je Poleg tega pa je po izreku 3»l«8(a) in po (Zunanji) Naj bo m** poljubna zunanja predstavitev in po trditvi 3»1»3 je Poleg tega je Im in po tod dobimo po (a) : (c) (Notranji) Operator seveda zadošča pogoju (Dl)• Naj bo in definirajmo na za operator tako, kot v točki (a). Množica je linearen podprostor prostora pogled na definicijo operatorja pa nam pove, 136 3.2.3 7 da ohranja ta prostor invarianten; ker je R« omejen, ohranja invarianten tudi prostor od tod pa dobimo, da je zaprt. (Zunanji) Ker je po trditvi podoben operatorju zadošča pogoju zgornjem notranjem razmisleku zamenjajmo zdaj in ustreznim ter upoštevajmo, da je zvezen, pa dobimo še pogoj (D3*). (d) (Notranji) Za je in zato za a£ K, b 6 PE : (Zunanji) Za a,b€K je 137 3.2*3 8 in zato od tod dobimo pri ae. K, b£PE : 3«2#4« Definicija; Operator T je spektralen, če obstaja taka mera F € pfm B, da je (SPI) F(a) invarianten za T, a£K; (SP2) 3*2.5>. Izrek (Dunford): Operator T je spektralen natanko tedaj, kadar zadošča pogojem (D2), (D3) in (D4). Dokaz: Denimo, da je CD spektralen, tedaj je po izreku 2.2.3 P regularna in zato T^Inv P; zato je 138 5.2.5 9 Pa naj bo a 6 K in , naraščajoče zaporedje z unijo Ca • Za obstajajo analitične funkci.ie ; lastnostjo Za vsak k£ (M je funkcija analitična na vsej ravnini in ima ničlo v točki tO. Zato je in zaradi je Zato je F = (L na K in veljajo pogoji (D2) , (I>3) in (D4). Za nazaj pa uporabimo (na primer) izrek 2.1.4, trditev 3»1«7 in 3»2.3(a) na funkciji 3.2.6. Posledica: Naj bo T spektralen in F poljubna mera, za katero velja (SPI) in (SP2). Tedaj je: (a) F = DT = D na vsem B. (b) Za poljub• (c) Za vsak (d) T zadošča (e) Če je X refleksiven, je T spektralen natanko tedaj, kot T*. 139 3.2.6 10 Dokaz: (a) Glej dokaz izreka in trditev 3.2.1(c). (b) Uporabi trditev 3.1.7(b). (c) Po trditvi 3*2.3 je in je podprostor prostora F ("a) , hiper- invarianten za ^I^ct:^ • (cL) Uporabi trditev 3«2.1 in 3.2.3. (e) Uporabi točko (d). Navedimo zdaj nekaj definicij in znanih izsledkov teorije spektralnih operatorjev. Mero F, definirano v 3*2.4, ki je po 3.2.6(a) s temi pogoji enolično določena, imenujemo spektralna razčlenitev enote operatorja T. Omejenemu operatorju (integral je krepko konvergenten), ki komutira z vsakim elementom iz , pravimo skalami del, operatorju ki je vselej kvazinilpotenten, pa radikal operatorja T. Za skalarno analitično funkcijo f, definirano na neki okolici spektra (5 (T) velja pri tem konvergirajo integrali krepko, vrsta pa v enakomerni normi. 140 3.3. Navidezno spektralni operatorji 3.5.1. Definicija; Operator T je notranje (zunanje ; dvostransko) navidezno spektralen, če ima notranjo (zunanjo; notranjo in zunanjo) navidezno predstavitev, v kateri je spektralen. 3.3«2. Trditev; f zunanje "") (a)CejeT-J / navidezno spektralen, ( notranje j obstaja popolna meja v • (b) Če ima T neko spektralno navidezno predstavitev in je poljubna njegova navidezna predstavitev, je (c) Vsak dvostransko navidezno spektralni operator ima enolično določena minimalna elementa v in v ki sta med seboj enaka. Vsaka njegova spektralna predstavitev ima za spekter natanko to množico, vsaka druga pa neko kvečjemu večjo množico. Dokaz; (a) (Notranji) Naj bo notranja spektralna predstavitev operatorja T in spektralna razčlenitev enote operatorja . Tedaj zadošča trojka 3.3.2 2 pogojem (Ml), (M2) in (M3) iz razdelka 2.3, pogoj (M4) pa lahko zaradi notranje regularnosti preverimo le na K. Toda za je analitična in (Zunanji) Naj bo zunanja spektralna predstavitev operatorja T in spektralna razčlenitev enote operatorja Tedaj zadošča trojka pogojem (Ml), (M2') in (M3), pogoj (M4*) pa lahko zaradi zunanje regularnosti preverimo le na K'. Toda za a€ K in analitična in (b) CNotran.ii^ Nari bo in denimo, da • Tedaj obstaja in z lokalnim spektrom c. Funkcija je analitična in toda , Protislovje dokazuje, da je zato 14-2 I 3.3.2 3 (Zunanji) Za velja, da je analitična in Zato je (c) Naj bosta mw in mr spektralni predstavitvi operatorja 0?. Tedaj je po točki (b) a - 0" (T*) ■ 0Xlfy in a leži v spektru poljubne nadaljnje, notranje ali zunanje navidezne predstavitve operatorja T. Odslej naj bo T dvostransko navidezno spektralen operator« Enolično določeni minimalni element družin in označimo s Lahko bi se primerilo, da vendar: 3.3.3. Trditev; Dokaz: Uporabi trditev 3.1.2. Naj bosta zdaj m in m° neki spektralni predstavitvi operatorja T. Označimo z F in F° spektralni razčlenitvi enote operatorjev T in T°, pa bi lahko dokazali, podobno, kot trditev 2.4.6, v tamkajšnjih oznakah: 14-3 3.3.4 4 3.3.4. Trditev; • (a) Splošni operator je gosto definiran (na Im V ), se da zapreti in komutira z vsakim operatorjem iz AT(X)• Integral je na Im V krepko konvergenten« (b) Pišimo na Im V . Tedaj je za vsako skalarno funkcijo f, analitično na neki okolici splošni operator gosto definiran (na Im V ), se da zapreti in komutira z vsakim operatorjem iz Am(X) • Integrali in vrsta so na Im V krepko konvergentni« (c) Če je v točki (b) funkcija f analitična celo na neki okolici , je splošni operator omejen in se na Im V ujema z običajnim Dokaz gre povsem naravnost in ga opustimo. 144 3.3.5 5 Do konca razdelka se bomo posvetili dvem konkretnim razredom dvostransko navidezno spektralnih operatorjev skalarnega tipa v Hilbertovem prostoru. Oba primera sta nas opogumljala v naših razmišljanjih. Najprej si oglejmo': nekoliko prilagojeno Ljancdjevo idejo (glej [223) *. 3.3.5. Izrek; Naj bo X Hilbertov prostor, in (i) neko zaporedje projektorjev,ki vsi ležijo v Ag(X) za vsak S€AT(X). (ii) Za , poleg tega pa (iii) Za vsak spektralni, skalarnega tipa, meje njihovih razčlenitev enote pa s k ne naraščajo preko vseh meja. Tedaj je T dvostransko navidezno spektralen skalarnega tipa. Dokaz: (¥se zvezdice pri operatorjih pomenijo adjungira-nje v smislu Hilbertovega prostora)• Iz zaporedja P, po potrebi izpustimo vse ničelne projektorje. Na Hilbertovem prostoru lahko po (iii) in Mackev-V/ermerjevem izreku (glej C10J) poiščemo skalami produkt (.,.),, za katerega velja (1) obstaja 14-5 5.3.5 6 ■ (2) T-, je v skalarnem produktu ( • , . ), normalen• Pri tem je konstanta M odvisna le od meje spektralne razčlenitve enote operatorja T, , zato jo po (iii) lahko izberemo tako, da je neodvisna od tedaj velja (3) Skalami produkt ( • * • )v P° potrebi pomnožimo še s primerno pozitivno konstanto, tako da velja w Pri tem ostane še zmerom v veljavi (2) in (3). Označimo z X° prostor zaporedij za katera in ga opremimo s skalarnim produktom v katerem postane Hilbertov prostor. Preslikavo definiramo s predpisom ¥o (4) je ta preslikava zvezna, po (ii) pa ima trivialno jedro in gosto zalogo vrednosti. Za S6A~,(X) dobimo po (i) in (3)? cLa je S° omejen na Im V in m° je zunanja navidezna predstavitev operatorja T. 146 3.3*5 7 Točka (2) pa nam pove, da Je normalen, torej spektralen operator, skalarnega tipa. Pod pogoji (i), (ii) in (iii) za operator T pa veljajo isti pogoji tudi za operator T*$ zato ima T* zunanjo navidezno normalno predstavitev in to "Hilbertove sorte". Par je tedaj notranja navidezna normalna predstavitev operatorja T. Zdaj pa še ideja Sz.-Nagya in Foiasa (glejT^l): 5«3«6« Izrek: Naj bo X Hilbertov prostor, in (i) Obstaja tak (ii) (iii' Potem je T dvostransko navidezno spektralen skalarnega tipa. Dokaz: (Vse zvezdice pri operatorjih pomenijo adjungira-nje v smislu Hilbertovega prostora.) Označimo z LIM neko Banachovo limito; to je omejen linearen funkcional na prostoru 1*°(IN ), ki da na vsakem konstantnem zapo-redju za vrednost to konstanto, na nenegativnem zaporedju nenegativno vrednost in ne opazi premika zaporedja za eno mesto (za obstoj Banacliovih limit glej npr. £81) # 14? 3.5.6 8 Po (i) lahko definiramo (5) Denimo, da je pri nekemTedaj je lim in neko podzaporedje zaporedja konvergira proti 0. Zato po (i) konvergira zaporedje proti 0 in po , S (5) je torej na X definiran novi skalami produkt, v katerem ta prostor napolnimo do Hilbertovega prostora X°. Naravna vložitev V° : X —>X je zvezna in ima gosto zalogo vrednosti. Za S eA^(X) pa je torej je m° zunanja navidezna predstavitev operatorja T. Toda zato je T° unitaren, torej spektralen• Pogoji na T in T* pa so spet simetrični in na notranjo navidezno spek-tralnost lahko sklepamo podobno, kot v dokazu prejšnjega izreka. 1*8 3«4. Zadostni pogoji Označimo z A algebro,ki 30 generira K. Pogoj (NS1) nam po posledici 2*4.2 zagotavlja, da obstaja natančna notranja meja Privzemirao še (NS2) meja m je popolna; in izberimo poljuben reprezentant te meje 3.4-.1. Izrek: Če velja je : (a) Par notranja navidezna predstavitev operatorja T, v kateri je T spektralen z razčlenitvijo enote (b) Če je par poljubna nadaljnja spektralna navidezna predstavitev operatorja T, obstaja tak omejen, injektiven operator , da je (c) Za vsak beB obstaja v enolično določen minimalni element, je enakin leži v Dokaz: Preverimo najprej, da operator T zadošča pogoju (Dl). Pa denimo, nasprotno, da obstaja neprazna, povezana in netrivialna analitična funkcija 149 3.4.1 2 za katero Izberimo in zaporedje keET. Tedaj in zaradi zveznosti funkcije v nasprotju s predpostavko (NS1)• Po izreku 2.3«5 je par notranja navidezna predstavitev operatorja T in T £Inv F . Operator T bo spektralen po definiciji, brž ko dokažemo, da je za vsak V ta namen bomo uporabili izrek 2.3«4» Meji m in točki ačK priredimo tako, kot v tem izreku mejo Pogoj (NS1) nam zagotavlja, da so pogoji izreka izpolnjeni in meja m* je natančna. Za vsak je po trditvi 3«2.3(a) omejen operator na in komutira s , zato ohranja invariantno funkcijo in po izreku 2.3.3 je operator omejenna ] in je ravno obrat operatorja • Zato velja (a). Naj bo zdaj poljubna nadaljnja notranja navi- dezna predstavitev operatorja T, za katero je T^ spektralen in naj bo F^ spektralna razčlenitev enote ope- 150 3.4.1 3 ratorja Trojka zadošča pogojem (Ml), (M2) in (M5) , pogoj (M4) pa preverimo natanko tako, kot v dokazu trditve • Ker je meja m natančna, obstaja tak omejen in injektiven operator, da je Zato velja (b)• Še (c): Naj bo b£B; po trditvi je - in zato Po zadošča pogojema (Dl) in (D3) in po ima enolično določen minimalni element, enak Navedimo še analogen zunanji izrek. Pogoj (ZS1) Obstaja popolna notranja meja v nam po posledici 2#4-.4- zagotavlja obstoj natančne zunanje meje Privzemimo še (ZS2) meja m° je popolna; in izberimo poljuben reprezentant te meje m = 151 3.^.2 4 3.4.2. Izrek: Če velja (ZS1), (ZS2) in (D3'), je : (a) Par (X°,V ) zunanja navidezna predstavitev operatorja 0?, v kateri je T° spektralen z razčlenitvijo enote P°« (b) Če je par poljubna nadaljnja spektralna navidezna predstavitev operatorja T, obstaja tak omejen operator z gosto zalogo vrednosti, da je (c) Za vsak b£ B obstaja venolično m določen minimalni element, je enak (5(Tj ^ ') in leži v Dokaz: Preverimo najprej, da operator T zadošča pogoju (Dl')» V nasprotnem bi namreč lahko našli neprazno, povezano množico a£K' in netrivialno analitično funkcijo , za katero • Nato bi izbrali in zapo- redje in od tod torej v nasprotju s predpostavko (ZS1). Po izreku 2.3•3 je par (X°,V°) zunanja navidezna predstavitev operatorja T in T° G Inv F°. Operator T° bo 152 3.4.2 5 spektralen po definiciji, brž ko dokažemo, da je za vsak > Ker pa je projektor P-pO(a) definiran povsod na X° in omejen, je ta pogoj ekvivalenten s pogojem a • Za dokaz tega dejstva bomo uporabili izrek 2.3•5* Trojki m° bomo priredili, tako kot v tem izreku, trojko mr # Pogoj (ZS1) nam zagotavlja, da smo v pogojih izreka in meja m* je natančna. Za vsak ^6 Ca je po trditvi 3»2.3(a) omejen operator na in Vnmii-ti-pa s zato ohranja invariantno funkcijo Po izreku je operator omejen na Im Vi , ki je gost v ; njegova razširitev na ves X» pa je ravno obrat operatorja Torej velja točka (a). Naj bo zdaj poljubna nadaljnja zunanja navi- dezna predstavitev operatorja T, za katero je spektralen in naj bo spektralna razčlenitev enote operatorja • Tedaj zadošča trojka m* pogojem (Ml), (M2») in (M3), pogoj (MV) pa preverimo tako, kot v dokazu trditve 3«3«2(a). Ker je meja natančna, 153 3.^.2 6 lahko najdemo tak omejen operator V^ : Xc -»» X , z gosto zalogo vrednosti, da je y00LV° = V .Zato velja (b). Pa še (c): Naj bo b£B; po trditvi 3.2,3(d) je in zato Po zadošča pogojema in ( in po ) ima T enolično določen minimalni element, enak S(T| ^ '). Strnimo zdaj oba rezultata! Definirajmo (DS1) ima popolno notranjo mejo ^ (DS2) ima popolno zunanjo mejo v 3»4-«3« Izrek: Če za operator T velja (D3) in (D3')» je navidezno dvostransko spektralen natanko tedaj, kadar veljata pogoja (DS1) in (DS2). V tem primeru veljajo zanj vse ugotovitve izrekov Dokaz: Lažjo smer nam da trditev 3.3.2(a). Še obratno: Naj bo m* reprezentant neke popolne zunanje meje, zato torej velja pogoj (NS1)• Pogoj (NS2) pa sedaj sledi iz pogoja (DS1). 154 7 Zdaj pa vzemimo reprezentanc m^ neke popolne notranje meje v tedaj je zaradi regularnosti m^ 6 zaradi je zato velja pogoj (ZS1), po (DS2) pa velja tudi (ZS2). ČETRTO POGLAVJE PRIMERI 4.0. Usmeritev V razdelku 4.1 navajamo nekaj primerov za ilustracijo pojmov iz razdelka 3.1. V razdelku 4.2*.študiramo neki notranje navidezno spektralni operator, ki ni zunanje navidezno spektralen. V razdelku 4.3 študiramo primer unitarnega operatorja, ki ni spektralen, pa je dvostransko navidezno spektralen. V razdelku 4.4 najdemo bogat razred dvostransko navidezno spektralnih operatorjev, ki nam omogoči najti (1) dvostransko navidezno spektralen operator, katerega skalami del in radikal nista omejena; (2) dvostransko navidezno spektralni opera.tor, katerega skalami del in radikal sta oba omejena in netrivialna, pa niti operator, niti njegov skalami del nista spektralna. 4-.1. Operator premika 4.1.1, Trditev; Naj bo (a) Če je Ker obstaja notranja navidezna predstavitev m*, za katero (b) Če je obstaja zunanja navidezna predstavitev m*% za katero (c) Če velja hkrati (a) in (b), je T dvostransko navidezno spektralen in Dokaz; (a) Naj bo družina tistih za katere je in naravna vložitev družine Xe6 v prostor X. Tedaj je linearna množica, ki jo opremimo z normo v tej normi je Banachov prostor in preslikava je zvezna vložitev tega prostora v prvotni prostor. Ker vsebuje Ira linearno množico Ker ima gosto zalogo vrednosti. Poleg tega je za poljuben in in par je notran.ia navidezna nredstavitev ope-. ratorja T. Ocenimo za 158 4.1.1 2 Od tod dobimo najprej in nato lim sup torej je (b) Označimo in vpeljimo dist tedaj je seminorma na zaradi norma in zaradi zvezna. Označimo z napolnitev prostora X do Banachovega prostora v normi naravno vložitev Tedaj je ' zvezna, linearna, injektivna in ima gosto zalogo vrednosti. Poleg tega velja za poljuben da so prostori U, invariantni za S in zato torej je omejen operator na Im in par je zunanja navidezna predstavitev operatorja T. 159 4.1.1 3 Za pa velja in od tod torej je (c) Vsak operator, ki ima samo eno točko v spektru,' je spektralen. Uporabimo trditev 3»3«2(c). 4.1.2. Primer: Obstaja omejen operator T, ki ima po več različnih minimalnih elementov v ► Vzemimo namreč operator obratnega premika (backward shift), definiran na prostoru s predpisom Za ta operator vemo naslednje: Za vsak (odprti enotni disk v kompleksni ravnini) je 160 4.1.2 4 Zato je po trditvi 4-.l.l(a) vsaka množica minimalni element v Za primer operatorja, ki ima po več različnih minimalnih elementov v pa vzamemo operator premika (naprej) Vprašanje; Ali obstaja operater T, ki ima hkrati po več različnih minimalnih elementov v Zanimivo je morda tole: Če je a minimalni element v in b minimalni element v 4.1.3« Primer: Obstaja notranje navidezno spektralen operator T, ki ni zunanje navidezno spektralen. Operatorje iz notranje predstavitve lahko na prvotnem prostoru se sicer gosto definiramo, vendar^ v splošnem ne dajo niti zapreti. Naj bo T operator obratnega premika in pa naj bo notranja navidezna predstavitev operatorja T, za katero Ker T nima enolično določenega minimalnega elementa v 2m? seveda ne more friti dvostransko navidezno spektralen. Poleg tega je in minimal- j. ni element v 2^ 0e enolično določen in enak 6"(T). Za poljuben , lahko na X^ definiramo operator in ga prenesemo v X takole: 161 4.1.3 5 Tedaj je gosto definiran in ima lastnost Vendar se R^ ne da zapreti« Naj bo namreč x£X, x/0, zaporedje, ki konvergira proti x« Nadalje naj bo Tedaj 4.1.4-. Primer; Obstaja operator T in kompaktna množica a , ki nima lastnosti (EAN), za katero DT(a) = X • Naj bo T operator obratnega premika in a = S A . Za definiramo Tedaj analitična in A 6 Ca« Zato je cU(a) ■ X . Pokažimo, da a nima lastnosti (EAN) ! Za Ač A definiramo Funkcija je analitična in • Torej je A tipa (NAN) in a ni tipa (EAN) ♦ Vprašanje; Ali je lahko kompaktna množica, ki nima lastnosti (EAN), element Konkretneje; Ali je lahko 162 4.1.4 6 pri operatorju obratnega premika T enotna krožnica a element V razmišljanjih ob zadnjem vprašanju nam konstrukcija iz izreka 3*1«8 da notranjo predstavitev dvostranskega o premika (operatorja nad 1 (25) )• 4.1•5» Primer; Pri nekem operatorju T obstaja vektor x, ki nima enolično določenega lokalnega spektra. Primer le skicirajmo. Operator obratnega premika T si tokrat predstavimo v prostoru na analitični funkciji deluje tako Analitična funkcija f ima neko analitično razširitev na maksimalno povezano odprto množico c~ • Ce je brez notranjosti, lahko dokazemo, da je p lokalni spekter vektorja f €H • Izbrati nam je treba torej le tako funkcijo ki dopušča vsaj dve maksimalni razširitvi, prvo na množico drugo na množico tako da in množici in 16$ 4.1.5 7 2 Cc« sta obe brez notranjosti. Tako funkcijo pa lahko dobimo tako: točki 2 in 3 v kompleksni ravnini povežemo s primerno potjo, na preostanku ravnine pa izberemo neko vejo funkcije 4-.1.6. Primer; Obstaja dvostransko navidezno spektralni operator T, za katerega (5 (T) č funkcije goste v L , velja ta identiteta za vse (b) Če je neka lastna vrednost operatorja T, mora biti po (a) r£ I, Naj bo e poljuben lastni vektor pri lastni vrednosti r, (Tedaj je zato je (skoraj povsod) na torej ni lastnega vektorja. Pri pa dobimo spet iz zgornje enačbe, da je e konstanta (skoraj povsod) na 167 4.2.1 3 Torej je vektor e enak vektorju iz točke (b), pomnoženem z neko konstanto. Lahko pa je preveriti, da je vsak tak vektor res lastni vektor. (c) Operator sploh nima nobene neprazne odprte množice v spektru« (d) Iz zapisa resolventne funkcije v točki (a) preberemo, da obstaja taka konstanta K, da na neki okolici spektra I velja in uporabimo znani izrek (C10J, lema XVI.5«^) • (e) ZaSe lastni vektor \ s r operatorja T pri lastni vrednosti r. Zato obstaja po točki (b) neko kompleksno število ys(r), tako da je S e = yo(r) e »To število je s to enačbo enolično določeno« Pri tem je in funkcija ys je omejena. Za poljubna r,s£ C0,1) je zato in od tod 168 4.2.1 4 in funkcija je zvezna« Še povratna enoličnost: Če je pri nekem identično enaka O, uniči S vse vektorje oblike e , zato vse stopničaste funkcije in končno ves (f) Trivialno je preveriti, da velja formula (1) za vse funkcije in zato za vse stopničaste funkcije. Naj ima omejen totalni razmah« Tedaj je ome- p jena in zato v L . Brez škode za splošnost predpostavimo, da je x z leve zvezna in jo zapišemo kot kjer so lonotono naraščajoče, z leve zvezne funkcije« Dovolj bo torej, če formulo (1) dokažemo za monotono naraščajočo, z leve zvezno funkcijo x« Pri poljubnem ne IN in a = x(0) , b= x(l) naj bo 169 4.2.1 5 časta in Zato konvergira zaporedje funkcij normi proti funkciji x in zaporedje funkcij p v L normi proti funkciji 3d tod pa dobimo, da skoraj za vsak , zapo- redje konvergira in mora po definiciji Riemann-Stieltjesovega integrala konvergirati proti o kar dokazuje formulo (1). Naj bo Banachov prostor vseh funkcij ki imajo omejen totalni razmah, so na vsem I z leve zvezne in zanje velja opremljen s totalnim razmahom funkcije kot normo• Z pa označimo naravno vložitev prostora X^ v prostor X« 170 4.2.i 4.2.2. Izrek: Par (XK,^) je notranja navidezna predstavitev operatorja T, v kateri je T^ spektralen. Dokaz; Zaradi pogoja x(0) = 0, je za x£Xt< od tod pa i torej je preslikava omejena* Poljuben je na I skoraj povsod enak 0 in zaradi zveznosti z leve identično enak 0* Seveda so funkcije z omejenim totalnim razmahom goste v Za poljuben in velja po 4.2.1(f) tako dobljena funkcija Sx je spet z leve zvezna, velja zanjo in ima omejen totalni razmah. Zato je par možna notranja navidezna predstavitev operatorja T. Dokažimo, da je spektralen! Ker za zvezno funkcijo in funkcijo x z omejenim totalnim razmahom, velja formula "per partes", je najprej 171 4-.2,2 t pri čemer integral obstaja v Riemann-Stieltjesovem smislu« Vsaki funkciji lahko priredimo enolično kompleksno Borelovo mero za katero Če prostor kompleksnih Borelovih mer opremimo s totalnim razmahom mere kot normo, je ta preslikava surjektivna izometrija med obema prostoroma. Za poljubno Borelovo množico acPE, definiramo na prostoru mer projektor s predpisom * Tedaj so projektorji enakomerno omejeni (z normo 1) in funkcija je omejena, končno aditivna projektorska funkcija. Prepričajmo se, da je mera. Za padajoče zaporedje a,£B, s prazjaim presekom, je to pa konvergira s k proti 0. "Izračunajmo" zdaj spektralni operator skalarnega tipa 172 4.2.2 8 pri fiksnem x£X,. V prostoru mer dobimo Ker pa se Riemann-Stieltjesov in Lebesgov način integriranja na zveznih funkcijah ujemata, dobimo od tod v primerjavi z (2) : Trditev 4.2.l(f} in zgornji razmislek nam povesta še A 4.2,3• Posledica: Naj bo P projektorska funkcija, ki jo dobimo s prenosom funkcije P v prvotni prostor in , Tedaj je na ta integral konvergira na Im V^ krepko« 4.2.4. Primer; Obstaja funkcija Fg pfm B, B 3 algebra, ki ima popolno notranjo mejo, pa nima natančne notranje meje. Trivialen primer te vrste je Operator "per partes" pa nam postreže s bolj nenavadnim primerom. Naj bo F ■ Ari ? PO pogoju (D3) je za množici a,b£K, za kateri 173 4.2.4 9 = [o] in po 4.2.l(b) F(a) £ [o] , F(b) £ foj. Funkcija F je torej prav razgibana, popolno notranjo mejo ima po izreku 4.2.2 in trditvi 3.3»2(a); natančne notranje meje pa nima. Definirajrno namreč funkcijo G^pfmB s predpisom Lahko se je prepričati, da je G mera na vsem B, torej je tudi notranje regularna. Za aeK in x£G(a) ima —1 po trditvi 4.2.1(a) funkcija (\ - T) x analitično nadaljevanje na C(aOl) in zato x£F(a). Zato je G Z.F na vsem B in trojka (X,I,G) leži v MB.B(F) • Če bi natančna meja obstajala, bi jo že imeli; torej bi bilo Toda za -je ^•2«5« Primer; Obstaja operator T, ki ima po en sam minimalni element v in v sta oba enaka (5(T), je notranje navidezno spektralen, pa ni zunanje navidezno spektralen. Operator per partes T zadošča po 4.2.1 pogojema (Dl) in (D3). Zato je po trditvi 3.2.3(b) (5 (T) edini minimalni element v 2jm» Ker je je po 3«1.2(a) © (T) tudi edini minimalni element v 2 • Po izreku 4.2.2 je T notranje navidezno spektralen, 174 4.2.5 10 po prejšnjem primeru pa D™ nima natančne notranje meje; zato obstaja po izreku 2,4.1 tak da (slednje bi lahko preverili tudi neposredno). Če bi bil T zunanje navidezno spektralen, bi imela po funkcija D neko popolno zunanjo mejo m • Toda za in torej v nasprotju s popolnostjo meje m**. 175 4.3 • Primer unitarnega operatorja Za operator pravimo, da je unitaren, Če je surjektivna izometrija, 4-.3.1« Trditev; Za vsak unitaren operator T velja (a) (5 (T) je vsebovan v enotni krožnici (b) Za (c) T zadošča pogojem (Dl) in (DJ). (d) T zadošča pogojem (Dlf) in (D3')« (c) Spekter operatorja T ne vsebuje nobene odprte množice, zato T zadošča pogoju (Dl) • Po (b) in lema XVI.5*4- v L101 velja tudi (D3)• (d) Pogoj (Dl') je jasen. Tudi T zadošča pogoju (b), zato sledi (D$>) po posplošitvi zgoraj omenjene leme (konvergenco zaporedij zamenjamo z * konvergenco posplošenih zaporedij). yps 4.3.1 2 Do konca razdelka bomo študirali primer unitarnega operatorja hkrati na več Banachovih prostorih na enotni krožnici. Argumente funkcij "bomo jemali realne. Tako bo za funkcijo x pomenilo x(t) , t€ P, vrednost funkcije x v točki exp(it) . Z L^ , l^P^*0* bomo označevali prostore (ekvivalenčnih razredov) funkcij na enotni krožnici, ki so Borelove in imajo končno L^ normo glede na normalizirano Lebesgovo mero na krožnici« S C pa bomo označevali Banachov prostor zveznih funkcij, opremljen s supremum normo. Na teh prostorih si oglejmo operator rotacije za kot Kf> e &, definiran z * 4.3*2. Izrek; (a) V vseh prostorih L^ in C je T unitaren. o (b) V prostoru L je T vselej spektralen. (c) V prostorih L^, p /2, in C je T spektralen natanko tedaj, kadar » (d) V vseh prostorih vselej dvostransko navidezno spektralen* Dokaz: (a) Jasno; (b) je Hilbertov. Dokažimo (c) in (d)! Najprej naj bo to število zapišemo v obliki Tedaj je Naj bodo 177 4.3.2 3 koreni enote ; č< , k=l, , zato je operatorska funkcija analitična povsod, razen v točkah \, , k=l,2,...,n .Ker je (A- T) Rm(A,) = Iy je Rm(A) ravno resolventna funkcija operatorja T« Operator ima v spektru le končno mnogo točk, torej je spektralen« Denimo zdaj, da Za kč2Z definiramo funkcije e,(t) = exp(ikt) (te ležijo v vseh prostorih, ki jih študiramo)• Očitno je in funkcije so lastni vektorji operatorja T pri lastnih vrednostih ,1 ljp = exp(ik^). Ker je množica gosta v enotni krožnici in spekter operatorja T je vsa enotna krožnica. Na poljubni funkciji x£X (katerikoli od danih prostorov), definiramo za ke S : Tedaj je P. projektor, omejen z normo 1 in zanj velja (1) Pk T = T Pk , 178 4.3.2 4 Dokazimo (3) Družino sestavljajo ravno vsi polinomi na enotni krožnici. Ti pa so gosti v vsakem prostoru X« Dokažimo še w Vsaka funkcija x£l/? se da razviti v Fourrierovo vrsto (5: ki (v tem redu seštevana) konvergira v L^ normi proti funkciji x • Vrsto (5) lahko zapišemo tudi v obliki (6) Če bi bil torej kakšen x v jedru vseh projektorjev P, , bi bil enak 0, kar dokazuje (4) za X = L** • Za X = C pa upoštevamo, da je C C. 1? . Dokažimo zdaj (7) 179 4.3.2 5 Naj bo najprej a£K* in X ~ iP. Adjungirani prostor X lahko po znanem izreku enačimo s prostorom I> , l/p + l/q = 1. Operator T lahko v smislu tega izomor-fizma enačimo z rotacijo za kot ~\p na L • Če A, ^a , je zaradi in za po definiciji torej je P, x = 0. Adjungirani prostor k prostoru C pa sestavljajo ravno kompleksne regularne Borelove mere na enotni krožnici. Tudi na njih deluje operator T* kot rotacija mere za kot -^ • Za mero je torej in enako kot zgoraj mora biti P, x = O . Trditev (7) torej velja v vseh prostorih X, če je a^K* • Vzemimo zdaj a6B poljubno in x£D (a). Ce <£k£ & » je C|X, V odprta množica nad a, zato po definiciji funkcije D velja x6D (C(^J) , po prejšnjem pa P, x = 0. Dokažimo zdaj še 180 4.3.2 6 (3) Tokrat bomo imeli lažje delo« Ker je namreč 2 ^.6 a in je lokalni spekter vektorja e-, enak J^l^f 9 je e, 6L(a) in P, e, - e, • Točki (7) in (8) skupaj, T nam zaradi D^ ^ D dokazujeta torej sta P, D^ in P, D"1" meri na Im P, • Zaradi (1) je (pk| ke22 C, (Inv L^) O (Inv DT) in če upo-števamo še (3) in (4), so za funkciji D™ in D izpolnjeni vsi pogoji posledice 2.4.5« Obe imata torej natančni in popolni zunanji in notranji meji. Operator T zadošča pogojema (DS1) in (DS2) iz razdelka 3«4- 5 po trditvi 4«3«1 zadošča tudi pogojema (D3) in (D3*)* zato je po izreku 3*4-.3 dvostransko navidezno spektralen. Prepričajmo se še, da ni spektralen. Primer X ■ C je obdelal Fixman (glejtl^, izrek 5.1). V primeru X » L^ pa se bomo sklicali na neki rezultat Uljanova (glej [333) • Denimo, da je T spektralen in izberimo neko permutacijo k., ,kp,k.,, ... indeksov 1, 2, 3» ••• • Tedaj so 181 4.3.2 7 Borelove množice in po (7) in (8) Zaradi spektralnosti operatorja T so projektorji P^ (a ) Um n enakomerno omejeni« Ker za vsak x€l vrsta (6) konvergira v L^ normi proti x, konvergira tudi zaporedje P^ (a ) x proti x . Toda po točki 1 izreka 6 v omenjenem članku Uljanova, obstaja taka preureditev indeksov k.. , k2, k^, ... in taka funkcija x, ki leži v vseh Lp , l£p ^n^o^ ničle polinoma ^( • 9^Q)» ^ri nadaljnjem 16 a naj bo A-|(t ,t) tista izmed ničel polinoma JT( • ,t) , ki je najbližja številu A-,(t ) ; ,}p(t ,t) tista izmed preostalih ničel, ki je najbližje številu Ap(t ) ; itd. 186.:>5 4.4.3 5 Denimo, da so pri nekem zaporedju t.ga, t. —=> t , zaporedja X k(t ,t .) vsa konvergentna z limitami Opustimo prvih nekaj členov zaporedja, tako da Števila^, so ničle polinoma 7T( • ,t ) , paroma različna in zato vse ničle tega polinoma. Ker je ^-,(t ,t.) tista izmed ničel polinoma J/~( • ,t .)» ki je najbližje številu X n(t ) in obstaja med temi ničlami tudi neka ničla X, (t ,t.) , za katero k o d de od tod pa in končno Z indukcijo dobimo Izberimo zdaj poljubno zaporedje ■ > pre- hajanjem na podzaporedja lahko dosežemo, da zaporedja ) konvertirajo k poljubnim svojim stekališčenu Zato so po prejšnjem edina stekališča teh zaporedij in funkcije so zvezne v točki Naj bo u neka odprta okolica točke t c a, na kateri 18? 4.4.3 6 nadalje naj bo t-, €u in tudi tej točki priredimo po istem postopku funkcije za lastnostjo , ki so po prejšnjem zvezne v točki t.. , in okolico u.., na kateri velja : » Tedaj je za t6uQf|u1 in Zato so funkcije zvezne v vsaki točki t6u • o Po zgornjem postopku priredimo vsaki točki t6a neko odprto okolico u in zvezne funkcije X -J^) * definirane na tej okolici. Ker je množica a kompaktna, jo prekrije že končno mnogo okolic u-,, ••• ,u • V delitev D vzamemo neprazne izmed množic "l» Vl' • ** ' um" U ui * m-1 U i=l Odslej naj bo E kompakten metričen prostor, fiksirajmo ne EnT ter zvezne funkcije 188 4.4.4 7 in če je pri nekem "t€E število A € C ničla polinoma 7T( • ,t) , označimo s P« (t) spektralni projektor ma- o trike T(t), prirejen točki spektra A • 4-.4.4. Trditev: (a) Obstajajo Borelove funkcije A i, : E —^ € , vse ci. O enakomerno omejene z neko konstanto M, za katere (b) Obstaja končna Borelova delitev D množice E , za katero velja: Za vsak d £ D ima pri vseh t6d matrika T(t) natanko n, točk v spektru v ^,(t), k=l,o«»,n,, in te točke lahko zasnujemo tv. kot Borelove funkcije tčd. (c) Komponente matrik P jj /.^(t) so Borelove funkcije na vsakem d & D. 189 4.4.4 8 (d) Obstaja neka kvečjemu števna družina kompaktnih množic K v E , za kateroin o o7 na vsakem a € K so komponente projektorjev P j, r-h\(^) enakomerno omejene Dokaz; Polinomu 7T poiščemo po trditvi 4.4.2 delitev D množice E in polinome Ker je vsak d6D v A , obstaja neko naraščajoče zaporedje kompaktnih množic av , k£ tN, z unijo d . V družino K vzamemo .K O vse a, po k€[N" in de D. Dodatno pišemo še a =0 • Danemu ak 6 K poiščemo po trditvi 4.4.3 Borelovo delitev D, množice a, in pri fiksnem egD, še zvezne funkcije <^-p ••• > fl n (n^ 0e stopnja polinoma d ^ JT )• To definicijo) funkcij ju obdržimo na vseh ne- praznih e - &r- n , eeD^ , ketN, pa dobimo točko (b). Pri fiksnih su £ K in e6Dk naj bo družina vseh tistih n,-terk ot = (m,,..«,mn ), za katere obstaja d ^ tak t£ e - s^ , , da je flp(t) v polinomu JK • *t) ničla stopnje pa označimo družino vseh takih t. Tedaj je neka končna Borelova delitev množicein na vsakem zapišemo med funkcije A-,, ••• ,J) vsako od funkcij z njeno kratnostjo. Tako dobimo točko (a). 190 4-.4-.4- 9 Fiksiraomo spet Ozna- čimo z prirejenko k matriki X - T(t) , to je matriko, ki jo dobimo tako, da definiramo kot poddeterminanto k -tem elementu matrike • Komponente so polinomi v katerih koefici- enti so zvezne funkcije t na vsem E • Za uo pri katerem obstaja tak da se da S(^ ,t) krajšati z natanko ( naj bo g^ množica vseh takih t . Družina je končna, Borelova delitev množice in na g& ima minimalni polinom matrike T(t) obliko Spektralni projektor P ,, /^\(t) dobimo na ga po Hermi-tovi formuli, za r=l,..,,n, : s=o 191 r # t- # ^r 10 Komponente spektralnih projektorjev so torej zvezne na vsakem g in zato Borelove na vsakem d 6D, torej velja točka (c)• Ker so komponente matrike T(t) na vsem E omejene in so M (t) omejene na vsem E (za mejo teh funkcij M brez škode za splošnost predpostavimo M^l), bo veljala točka (d), brž ko dokažemo, da so Jfrs^^ omejene, neod- i visno od in ke[l,..,kJ. Naj bo) (trditev 4.4.3(a)) 5 brez škode za splošnost privzamemo Če pri ocenjevanju nismo preveč nežni, lahko dobimo (D Jasno je namreč in zato velja (1) pri s=0. Pri s>G je in če (1) že velja pri s-1, je 192 4.4.4 11 in (1) velja pri s. Ta ocena pa nam pove in trditev velja. Na kompaktnem, metričnem prostoru E izberimo končno, pozitivno, Borelovo mero m , število p, in število nfiftT. Naj bo L^ prostor (ekvivalenčnih razredov) Borelovih funkcij na E , ki imajo končno IjP normo glede na mero m , X pa naj bo direktna vsota n primerkov prostora Ir , opremljena z normo: Na X definiramo operator T s predpisom ta je gotovo omejen. 193 4.4.5 12 4.4.5« Trditev: Operator T zadošča pogojem (Dl), (D3)* (Dl») in (D3*). Dokaz; Ker je X refleksiven in se T* na X izraža s tran-sponirano matriko k matriki T(t), je dovolj pokazati le veljavnost pogojev (Dl) in (D3) • Pa naj bo a£ K poljubna kompaktna množica na razširjeni ravnini in x6cL,(a). Tedaj obstaja naraščajoče zaporedje odprtih množic cvgK', kglft, z unijo Ca in analitične funkcije z lastnostjo Pišimo pa spoznamo Izberimo polju- ben in k dovolj velik, da je A~€ c,_* Nadalje; izberimo poljubne reprezentante in x(t) razredov in x . Tedaj je skoraj povsod na E (2) (3) Naj pri t€E velja (2) in (3). Če X 0 ni ničla polinoma 7T( . ,t) , je 194 4.4.5 (*) (matrično funkcijo S(A ,t) smo definirali v dokazu prejšnje trditveJ) pri X ~ XQ edina rešitev enačbe (3) • Če pa je pri tem t, ^ ničla polinoma Jf ( • ,t) , je zaradi (2) in i in (4) ima v točki XQ odpravljivo singularnost. Če s %( si *t) označimo limito funkcije "i*(A,t), ko ge "X proti A^» je 5(^,t) edina rešitev enačbe (3). Zato je neodvisno od k, Med drugim smo s tem dokazali pogoj (Dl)• Naj bo zdaj U družina tistih x6X, za katere a (5) skoraj povsod na E • Brez škode za splošnost predpostavimo, da je a omejena, sicer bi jo omejili z večjim od obeh števil > kjer je M meja ničel v polinomih . Nadalje vzamemo, da je in da (5) velja povsod na E • Za poljuben lahko s (4-) po prejšnjem premisleku definiramo za vsak in Pri tem je 195 4.4.5 14 kjer so z.£X in obstaja taka konstanta M-,, odvisna le od mattdke T(t), da je Naj bodo Xn(t), ... , /ln(iO Borelove funkcije iz trditve 4.4.4(a) in en družina tistih t€E , za l o katere z(X n(t) ,t) = 0. Definiramo Tedaj je z spet polinom in za njegove koeficiente velja Postopek nadaljujemo s funkcijo /lp("b), itd. Po kvečjemu n krajšanjih dobimo in za koeficiente polinoma zn velja 196 4.4.5 15 Ker vse ničle polinoma Jf ležijo v a, velja za A £ Ca, dist(^ »Ca) ^ 1, da je Naj bo Mp večji od absolutne vrednosti vseh elementov množice a in večji od Tedaj velja za (e; (v: Za poljuben \ £ Ca je torej preslikava Ri : U -—> U , ** a a Ry : x h-=> %(A , • ) omejen, linearen operator na U , yt a zato ima enolično razširitev na U , ki slika spet v prostor TT« Prostor U je invarianten za T in na njem a a velja Zato je Izberimo zdaj kjer je K družina iz trditve 4.4«4-(d). Definirajmo 197 4.4.5 16 ker so komponente projektorjev P- (t) enakomerno omejene, nam preslikava x \—?y določa na vsem X definiran omejen projektor, ki komutira s T. Zato je pri izbranem x : v^d^Ca) ; po prejšnjem pa je y£dy(b) in po pogoju (Dl) y = 0« Ker je množica K kvečjemu števna in pokrije ves je skoraj povsod na E • Ker pa lahko s števno mnogo takih b pokrijemo ves Ca, je x£\J • Tako dokazane inkluzije a (8) nam povedo, da T zadošča pogoju (D$). Definicijo (5) prostorov U in inkluzije (8) bomo še po- a trebovali. ■ 4.4.6. Izrek; T je dvostransko navidezno spektralen. Dokaz: Za aQ€K definiramo projektor Q = *Y I, o o na prostor X, ^ J. ^ karakteristična funkcij množice a in I identična matrika. Ti projektorji so omejeni (z normo 1), komutirajo s T in zato Q €Inv Dr o T in Q 6 Inv D . Poleg tega velja ao 198 4.4.6 17 Zato bo izrek veljal po posledici 2»4.5 in izreku 3«4-.3» m brž ko dokažemo, da sta Q Dm in Q D meri na Im C) a_. -i- a^ a^ 0 0 O za vsak a^ G K • o o Fiksirajmo torej a £ K in definirajmo na Im Q o projektorsko funkcijo P(a; • ), a£B, s predpisom Po 4.4.4(c) so komponente te matrike Borelove funkcije in po 4-.4-.4-Cd) enakomerno omejene po t in a. Zato je P(a; . ) omejena projektorska funkcija z mejo, danimo M. Očitno je končno aditivna na vsem Im Q in B; doka- ao žimo še njeno števno aditivnost! V ta namen izberimo x€lm Q in naraščajoče zaporedje av£ B z unijo E. ao * Nadalje naj bo bk b, je naraščajoče zaporedje Borelovih množic v E z unijo da je unijo a • Izberimo £ č$l in tak dovolj pozen k6(N, 199 4.4.6 18 tedaj je ter zaradi Funkcija a |—7>P(a; . ) je torej projektorska mera na prostoru Im Q • ao Za velja po (5) in (8), da je x6QQ Dm(a) ; po istem razmisleku velja za x 6 a _ x o Q Drn(a) tudi x € Im P(a; .), zato je po regularnosti ao l (9) Po istem premisleku je na X : (pri tem smo s Tr označili transponirano matriko k dani matriki). Prostor je dual prostora Im«. in projektor, prirejen matriki je na prostoru Im adjungiran k projektorju P(a; . ) X* na Inu. Zato je in po regularnosti 200 4.4.6 19 (10) Ker je P(a; • ) projektorska mera na Im Q■■•: , smo z (9) ao in (10) dokazali izrek. » S pomočjo tega izreka smo našli bogato množico dvostransko navidezno spektralnih operatorjev, iz katere si oglejmo le en konkreten primer, 4-.4-.7. Primer: Obstaja dvostransko navidezno spektralen operator T z lastnostjo ^ (T) = (TCT) , ki ima neomejena skalarni del in radikal. Naj bo m Lebesgova mera, p poljuben in Tedaj je ; točko t = 0 , v kateri ima trojno ničlo, lahko zanemarimo, saj ima mero 0. Pri t/0 pa dobimo spektralna projektorja zato je skalarni del S operatorja T določen z matriko 201 4.4.7 20 in je zaprt, vendar ni omejen. Tudi radikal N, določen z matriko je zaprt, ni omejen in zanj velja N = 0 . 4-.4-.8. Primer: Obstaja dvostransko navidezno spektralen operator, katerega skalami del in radikal sta oba omejena in netrivialna. V prostoru iz prejšnjega primera vzamemo izračunamo in pri 202 Seznam oznak Seznam pogojev (Dl) 123,131 (D2),(D3),(D4) 131 (D1»),(D3») 134 (Da),(Db),(Dc),(Dd) 133,134 (DS1),(DS2) 154 (EAN) 123 (II),(12),(13) 96,97 (LS1),(LS2) 121 (M1),(M2),(M3),(M4) 91 (M2'),(M4') 92 (NAN) 123 (NP1),(KP2),(NP3) 117 (NP2»),(NP3') 118 (NS1),(NS2) 149 (01),(02) 76 (R1),(R2),(R3),(R4) 51 (SP1),(SP2) 138 (ZS1),(Z32) 151 Stvarno kazalo aditivna končno - projektorska funkcija, 30 maksimalni prostor - -,38 možni prostor - -, 31 števno - projektorska funkcija, 34-maksimalni prostor - -,38 možni prostor - -, 34-analitično invariantni podprostori, 8 analitično nadaljevanje (lastnost enoličnega), 122 anihilator (spodnji, zgornji), 22 anihilatorska lema, 22 definicijski prostor projektorske funkcije (možni, maksimalni) , 30 definicijsko območje - - projektorske funkcije, 30 - - prostorske funkcije, 41 dekomponibilen operator,.10 delitev, 31 dualna teorija, 10 dvostransko navidezno spektralen operator, 141 faktorska lema, 24, 26 faktorski prostor, 24 funkcija projektorska -, 30 omejena, zaprta - -, 39 - - prirejena prostorski, 61 prostorska -, 41 in variantna - -,42 monotona - -,42 odlikovana - - ((5 ) » 4-7 omejena - -, 72 - - prirejena projektorski, 61 generator (regularni; notranje, zunanje),51 205 Stvarno kazalo 2 hermitski operator, 11, 15 hiperinvarianten podprostor, 25 invarianten podprostor, 25 analitično - -,8 invariantna prostorska funkcija, 4-2 končno aditivna projektorska funkcija, 30 maksimalni prostor - -,38 možni prostor - -»31 kva z ip odobno st, 13 lastnost enoličnega analitičnega nadaljevanja, 122 linearni podprostor, 18 lokalni spekter, 9> 121 maksimalno spektralen podprostor,8 meja (notranja, zunanja; natančna, popolna), 93 mera projektorska -, 39 prostorska -,76 monoton razred, 79 monotona prostorska funkcija, 4-2 natančna meja (notranja, zunanja),93 natančno odlikovanje (notranje, zunanje), 58 navidezna predstavitev operatorja (notranja, zunanja), 118 navidezno spektralen operator (notranje, zunanje, dvostransko), 141 notranja - meja (natančna, popolna), 93 - navidezna predstavitev, 118 - razširitev prostorske funkcije, 41 - skrčitev operatorja, 25 notranje - navidezno spektralen operator, 141 - odlikovana prostorska funkcija (6; območje), 47 - odlikovanje ((^ ; območje), 54- natančno - -, 58 206 Stvarno kazalo 3 - regularna prostorska funkcija, 84 - regularni generator, 51 območje definicijsko - - - projektorske funkcije, 30 - - prostorske funkcije, 41 - odlikovanja, 54 - odlikovanosti, 47 območna razširitev, skrcitev projektorske funkcije, 39 odlikovana prostorska funkcija (notranje, zunanje; G" ; območje),47 odlikovanje prostorske funkcije (notranje, zunanje; (q ; območje),54 natančno - - -, 58 omejena - projektorska funkcija (enakomerno), 39 - prostorska funkcija (v točki, po točkah), 72 operacijski račun, 15 - - spektralnega operatorja, 140 - - navidezno spektralnega operatorja, 144 operator, 20 dekomponibilen -, 10 dobro omejen -, 12 hermitski -, 11, 15 spektralen -, 138 navidezno - - (notranje, zunanje, dvostransko), 141 splošen -,20 - z realnim spektrom, 10 operatorski rang, 14 podprostor, 18 hiperinvarianten -,25 invarianten -,25 analitično - -, 8 207 Stvarno kazalo 4 linearen -, 18 maksimalno spektralen -, 8 popolna meja (notranja, zunanja), 95 predstavitev (navidezna), 118 projektor, 20 projektorska - funkcija, 50 omejena, zaprta - -, 59 - - prirejena prostorski, 61 - mera, 59 prostor definicijski - projektorske funkcije (maksimalni, možni), 50 faktorski -, 24 prostorska - funkcija, 41 in variantna - -,4-2 monotona - ~, 42 odlikovana - -, 47 omejena - -, 72 - - prirejena projektorski, 61 - mera, J6 - razširitev, skrčitev (projektorske funkcije), 58 radikal spektralnega operatorja, 140 rang (operatorski), 14 razčlenitev enote posplošena - -, 14 spektralna - -, 140 razred (monoton), 79 razširitev - projektorske funkcije območna - - -, 59 prostorska - - -,58 208 Stvarno kazalo 5 - prostorske funkcije, 42 notranja - - -,43 zunanja - - -,44 regularna prostorska funkcija (notranje, zunanje), 84 regularni generator (notranje, zunanje), 51 skalami del spektralnega operatorja, 140 skrčitev - operatorja notranja - -,25 zunanja - -,26 - projektorske funkcije območna - - -, 39 prostorska - - -, 38 - prostorske funkcije, 42 spekter (lokalni) 9* 121 spektralen maksimalno - podprostor, 8 - operator, 138 navidezno - - (notranje, zunanje, dvostransko), 141 števno aditivna projektorska funkcija(šibko, krepko), 34 maksimalni prostor - -, 38 možni prostor - -, 34 topologija (krepka, šibka, šibka +), 19 zaprta projektorska funkcija (v točki), 39 zunanja - meja (natančna, popolna), 93 - navidezna predstavitev, 118 - razširitev prostorske funkcije, 44 - skrčitev operatorja, 26 zunanje - navidezno spektralen operator, 141 - odlikovana prostorska funkcija ((5 ; območje), 47 - odlikovanje (&; območje), 54i 209 Stvarno kazalo natančno -, 58 - regularna prostorska funkcija, - regularni generator, 51 6 84 210 Literatura CHAlbrecht,E.rGeneralized Spectral Operators$ Functional Analysis: Surveys and Recent Results; North-Holland Math. Studies, 27(Notas de mat., j>8) , str. 259-277 [21Apostol,C.:Spectral Decompositions and Functional Cal-culus; Rev. Roum. Math.Pure s Appl. ,1/5(1968) , str. 1481-1528 t5]Bartle,R.G.:Spectral Decomposition of Operators in Banach Spaces, Proč. London Math.Soc.(3)20(1970), str. 4-58-4-50 [4]Berberian,S.K.:Measure and Integration; The Macmillan Companv, New York, 1965 ■ [5]Berkson,E.: A Characterization of Scalar Type Operators on Reflexive Banach Spaces; Pacific J.Math.,15(1963)% str. 565-373 [6]Bishop,E.: A Dualitv Theorem for an Arbitrary Operator, Pacific J.Math.,£(1959),str.379-397 [7J0olojoara,I.,Foia§,C.: Theory of Generalized Spectral Operators, Gordon and Breach, New York, 1968 r8JDunford,N. ,Schwartz,J.T. :Linear Operators,p.I,Intersci-ence Publishers, New York, 1958 [9]Dunford,N.,Schwartz,J.T.:Linear Operators,p.II,Inter-science Publishers, New York, 1963 [lO]Dunford,K.,Schwartz,J.T. :Linear Operators,p,III,Wiley-Interscience, New York, 1971 Ell3Erdelyi,I.:Spectral Resolvent s; Operator Theoi?y and Puncti-onal Analysis(I.Erdelyi,editor);Research Notes Math., 28(1979), str.16-30 • 211 Literatura 2 1121Erdelvi,I•,Lange,R.:Spectral Decompositions in Banach Spaces; Lecture Notes Math.,62J,Springer Verlag,Berlin, 1977 J133Fialkow,L. :A Note on Quasisimilarity II;Pacifie J.Math., 20(1977),str.151-162 [14-}Eixman,U. :Problems in Spectral Operators,Pacifie J.Math. 2(1959),str.1029-1051 [15]Foias,C.:Spectral Capacities and Decomposable Operators, Rev.Roum.Math.Pures Appl.,13(1968)str.1539-154-5 fl6]Gray,J.D.:Local Analvtic Extensions of the Resolvent; Pacific J.Math.22(1968),str.305-324 tl7jHerrero,D.A.:0n Analytically Invariant Subspaces and Spectra; Trans.Amer.Math.Soc.,233(1977)str.37-44- [18]Hille,E.,Phillips,R.S.:Punctional Analvsis and Semi- Groups;American Mathematical Society,Providence R.I.,1957 [19]Kantorovitz,Sh.:A Jordan Decomposition for Operators in Banach Space; Bull.Amer.Math.Soc,2I( 1965) ,str.891-893 [20]Lange,R.:Analytically Decomposable Operators ;Trans .Amer. Math.Soc,244(1978) ,str.225-239 [21]Leaf ,G.K. :A Spectral Theory for a Class of Linear Opera-tors;Pacific J.Math.,13(1963) 14-1-155 [22TL;janc&,V.E. ;0n a Generalization of the Concept of Spectral Measure ;Amer.Math.Soc.Translations,(2)51 (1966), str.273-315(angl.prevod) [23]Ljubič,Ju.I.,Macaev,V.I.:0n Operators With a Separable Spectrum;Amer.Math.Soc .Translations,( 2)4-7(1965), str.89-129(angl.prevod) 212 Literatura 3 r24)Nagy,B.Sz.-,Foias,C.:Harmonic Analysis of Operators on Hilbert Space; North-Holland Publ.Company,Amsterdam,1970 f25]Nikol/skij,I#K.:Invariantnije podprostranstva v teorii operatorov i teorii funkcij;Itogi nauki tehniki,Mat»Analiz ,12,V.2(1974)»str.199-412 [26]Nordgren,E. ,Radjabalipour,M. ,Radjavi,H. ,Rosenthal,P.: On Invariant Operator Ranges;Trans.Amer.Math.Soc.,251 (1979),str•589-398 [27JRingrose,J.R. :0n V/ell-Bounded Operators;Proc.London Math. Soc.«(5)15(1963),str.613-638 r28]Rudin,V/. :Real and Complex Analysis; McGraw-Hill,London, 1970 l29JShulberg,G.W.:Spectral Resolvents and Decomposable Operators; Operator Theory and Funciional Analysis(I«Erdelyi, editor),Research Notes Math. ,18(1979) ,str.71-84 [30]Sine,R.G.rSpectral Decomposition of a Class of Operators, Pacific J.Math.,14(1964),str.333-332 [31]Taylor,A.E.: Introduction to Functional Analysis; John Wiley,New York,1958 [32]Turner,J.K. :0n V/ell-Bounded and Decomposable Operators; Proč. London Math.Soc.,(3)57(1978),str.321-344 [55]U1'janov,I.L.: 0 rjadah po perestavlennoj trigonometri-českoj sisteme; Izvestija akad.nauk SSSR,Ser.Mat.,22 (1958),str.513-542 [54]Vidav,I•,0mladič,M.rlnvariantni podprostori omejenih linearnih operatorjev v Banachovem prostoru, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko, Ljubljana, 1979 213 Literatura 4- t55JWu,P.Y#:Quasi-Similarity of Weak Contractions ;Proc.Amer. Math.Soc.,62(1978),str.277-288 [36]V/u,P.Y. :Hyper in variant Subspaces of C.,., Contractions; Proč•Amer.Math.Soc .25(1979),str.55-58 214