Gradbeni vestnik • letnik 68 • december 2019 299 ARMIRANOBETONSKI T-PREREZI: MODELIRANJE IN ANALIZA•asist. Ana Brunčič, doc. dr. Milan Kuhta ARMIRANOBETONSKI T-PREREZI: MODELIRANJE IN ANALIZA REINFORCED CONCRETE T-SECTIONS: MODELLING AND ANALYSIS asist. Ana Brunčič, mag. inž. grad., univ. dipl. nov. ana.bruncic1@um.si doc. dr. Milan Kuhta, univ. dipl. inž. grad. miso.kuhta@um.si Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo Smetanova ulica 17, 2000 Maribor Povzetek l V prispevku je prikazan pregled možnih načinov modeliranja armirano- betonskega T-prereza, ki najpogosteje nastane kot kombinacija plošče in nosilca. Nave- dene so prednosti in slabosti posameznega modela, prikazana je izpeljava višine ekvi- valentnega pravokotnega prereza in izvedena primerjava analize nekaterih najpogosteje uporabljanih modelov za analizo konstrukcij na preprostem prostoležečem nosilcu. Za analizo sta uporabljena programa Sofistik in Tower. Podane so ocena rezultatov analize in ugotovitve glede primernosti posameznega modela v izbranih programih. Ključne besede: modeliranje, T-prerez, ekvivalentni pravokotni prerez, upogibna togost, MKE, analiza, Sofistik, Tower, armirani beton Summary l The paper provides an overview of possible models of reinforced con- crete T-shaped sections, which most commonly result from the combination of slab and beam. The advantages and disadvantages of each model are shown, the derivation of the height of the equivalent rectangular cross section and a comparison of the analysis of some of the most commonly used models for the analysis of structures on a simple beam are made. The analysis is made with computer programs Sofistik and Tower. The evaluation of results of the analysis and the findings regarding the suitability of each model in the selected programs are given. Key words: modelling, T-section, equivalent rectangular section, bending stiffness, FEM, analysis, Sofistik, Tower, reinforced concrete Znanstveni članek UDK 004.414.23:624.012.45 1•UVOD Ojačitve plošče v obliki nosilcev so značilnost betonskih konstrukcij – armiranih in predna- petih. Plošča oz. del nje predstavlja pasnico, ojačilni nosilec pa stojino tako nastalega T-prereza. Ideja tako oblikovanega prečnega prereza je, da beton v pasnici prevzema in prenaša tlačne napetosti, armatura, umešče- na v stojino (nosilec), pa natezne. Ker beton v tem delu služi predvsem za zaščito pred korozijo vgrajene natezne armature in po- vezavo s pasnico, je smotrna širina stojine čim manjša. Ideja o tako ekonomični obliki prečnega prereza je stara prav toliko kot samo armiranje betona, prvi, ki jo je patentiral že leta 1892, pa je bil Francoz François Hennebique, t. i. Napoleon armiranega betona (slika 1) [Kurrer, 2018]. Hipoteze, na katerih je temeljil njegov patent dimenzioniranja AB-konstrukcij, so skoraj enake kot danes, z izjemo ene, in sicer je za določitev momentnega ravnotežja v T-prerezu bodisi sam vnaprej določil položaj nevtralne osi bodisi je predvidel ploščino na- tezne upogibne armature. Ne glede na položaj nevtralne osi je pri določanju tlačne odporno- sti prečnega prereza vedno upošteval celotno pasnico: če je nevtralna os potekala v stojini, je bila za delež betona, sodelujočega pri tlačni odpornosti prečnega prereza, izbrana pasnica T-prereza, povsem enako pa je bilo tudi, če je nevtralna os potekala (kjerkoli) v pasnici [Heellebois, 2012]. Hennebiqueova semiempirična metoda določanja nosilnosti prečnega prereza ni upo- števala ravnotežja notranjih sil v prečnem pre- rezu. Obremenitve (upogibni momenti), ki jih je moral statično nedoločeni nosilec v plošči zdržati, je določil na podlagi upogibnega mo- menta, ki se pojavi v prostoležečem nosilcu, obteženem z enakomerno obtežbo, razdelje- nega na pozitivni moment v polju in negativni moment nad podporo, in sicer po principu nosilnosti prečnega prereza v polju in nad Gradbeni vestnik • letnik 68 • december 2019 300 podporo – s t. i. metodo dopustnih napetosti [Heellebois, 2012]. Obravnava materiala, ki ga je Hennebique poimenoval le Béton Armé, je ves čas stremela k ustvarjanju teorije, ki bo čim boljši približek realnosti: »Primeren način računanja mora ustrezati resničnosti, kot je to le mogoče. Predpostavke, ki služijo kot osnova za to, morajo izhajati iz dejanskih iz- kušenj. Preden napišemo kakršnokoli enačbo, moramo preveriti lastnosti obeh materialov, uporabljenih za izdelavo armiranega betona 1 «, kot je v publikaciji Le Béton Armé et ses appli- cation, izdani leta 1902, zapisal Christophe [Kurrer, 2018]. Danes, približno 120 let pozneje, je teorija beto- na že dobro razvita, z njo, predvsem pa zaradi nje pa tudi teorije analize konstrukcij. Sodobne analize konstrukcij temeljijo na računalniških programih, ki prek numerične MKE, metode po- mikov/deformacijske metode in največkrat upo- rabljene linearne elastične teorije določajo obre- menitve posameznih konstrukcijskih elementov. Kljub starodavnosti T-prereza njegovo mode- liranje danes še ni povsem enolično. V vsak- danji inženirski praksi obstaja mnoštvo načinov modeliranja ojačitev plošče z nosilci, in čeprav vsak izmed teh skuša biti čim boljši približek realnega obnašanja konstrukcijskega elementa – kar je (bil) od nekdaj smoter pionirjev razvoja armiranja betona –, med njimi obstajajo kvali- tativne razlike. b h x d-x f h w f b w A s1 F c F s Slika 1• Hennebiqueov T-prerez [Heellebois, 2012] (oznake dodane). 2•NAČINI MODELIRANJA T-PREREZA AB T-prerez kot prečni prerez nosilca obstaja v dveh bistvenih oblikah: – kot predizdelan montažni konstrukcijski element ali – kot ojačitev AB-plošče z nosilcem. Čeprav predvsem slednje predstavlja kom- pleksen trirazsežnostni problem, so uveljav- ljeni modeli poenostavitve, ki se glede na tendenco doseči boljšo natančnost razlikujejo v ([Rombach, 2013], [Hartmann, 2006]): 1) vključene končne elemente (glede na nji- hovo dimenzijskost – 1D ali 2D – in tip el- ementa, kar se odraža v prostostnih stop- njah posameznih vozlišč; v nadaljevanju KE), 2) upoštevano (eks)centričnost spoja stojine in pasnice in 3) upoštevane upogibne togosti posameznih konstrukcijskih elementov. Ploskovni KE so lahko obravnavani kot KE ploska lupina, v katerih vozliščih se lahko pojavijo obremenitve treh vrst, in sicer m ij , v ij in n ij , ali kot KE plošča, katerih vozlišča omogočajo obremenitve dveh vrst, in sicer m ij in v ij . V praksi pogosto uveljavljen model je kombinacija linijskih KE, ki predstavljajo stojino ali kar celotni nosilec, in ploskovnih KE, ki so uporabljeni za pasnico (kar v obliki celotne plošče). Kombiniranje KE – različnih po dimenzijskosti in vrsti – znano kot sklap- ljanje oz. kupliranje (iz ang. coupling) v smislu KE, pomeni sinhronizacijo premikov vozlišč ploskovnih in linijskih KE, in sicer tako, da je delo, opravljeno pri virtualnem premiku, enako za oba KE v spojenem (kupliranem) vozlišču – t. i. energijsko sklapljanje/kupliranje [Hartmann, 2006]. Veljavne zveze med pro- stostnimi stopnjami tako spojenih vozlišč so naslednje [Hartmann, 2006]: (1), (2), (3). Kadar je predpostavljena neskončna osna togost plošče EA = ∞, so vzdolžni pomiki nosilca u nosilca enaki φ plošče · e, pri čemer je e ekscentričnost – razdalja med težiščno ravni- no ploskovnih KE in težiščno osjo linijskega KE. Zasuki vozlišč plošče namreč povzročajo vzdolžne pomike vozlišč nosilca. Pri kakršnem- koli združevanju raznovrstnih KE (linijskih in ploskovnih) že in sinhronizaciji prostostnih stopenj njihovih vozlišč ter dela, opravljenega v vsakem izmed vozlišč, se je treba zavedati dejstva, da imajo ploskovni KE več prostostnih stopenj od linijskih KE, razlikujejo pa se lahko tudi v načinu obravnave obnašanja (Ber- noulli-Eulerjev nosilec ali Timošenkov nosilec oz. Kirchoffova plošča ali Reissner-Mindlino- va plošča). Združevanje vozlišč dveh KE, ki imata predvideno različno »upogibnico« in upoštevata delo različnih deformacij (npr. tudi strižnih), pomeni krnitev končnih rezultatov, in ujemanje končnih rezultatov ni pričakovano [Hartmann, 2006]. Najboljša strategija mode- liranja T-prereza je zagotoviti vsoto upogibnih togosti posameznih KE, ki ustreza dejanski upogibni togosti sistema. Ojačitev plošče v obliki nosilca pomeni predvsem povečanje togosti plošče [Hartmann, 2006]: (4), kar je razvidno tudi iz modificirane togostne matrike nosilca [Hartmann, 2006]: (5). Poleg ekscentričnosti je bistveno tudi, kolikšen vztrajnostni moment je pripisan T-prerezu: kako visoka je stojina prereza, kako široka je pasnica ipd. Kot ugotavljajo ([Hartmann, 2006], [Rombach, 2016] in [Ciesielczyk, 2017]), ta sicer nima bistvenega vpliva na končne rezultate. Po [Hartmann, 2006] naj 1 »An expedient method of calculation must correspond with the reality as closely as possible. The assumptions serving as a basis for this must be drawn from real experiences. Before we write any kind of equation, we must investigate the properties of the two materials used for the production of reinforced concrete.« asist. Ana Brunčič, doc. dr. Milan Kuhta•ARMIRANOBETONSKI T-PREREZI: MODELIRANJE IN ANALIZA Gradbeni vestnik • letnik 68 • december 2019 3 01 bi širina pasnice l 0 /3, pri čemer je l 0 razdalja med točkama ničelnih momentov v razponu nosilca, kot jo definira [Evrokod 2, 2005], v večini primerov dajala zadovoljive rezultate, [Rombach, 2016] prav tako priporoča upo- rabo konstantne efektivne širine po celotnem razponu nosilca. Ob tem velja omeniti, da je koncept efektivne širine b eff , kot ga uvaja [Evrokod 2, 2005], uporaben zgolj za mejno stanje uporabnosti. V mejnem stanju nosil- nost je b eff zaradi razpok v tlačni coni izrazito večja, kadar je ta del T-prereza natezan, pa je sam koncept efektivne širine uporaben zgolj do pojava prve natezne razpoke v betonu [Rombach, 2016]. Avtorji v [Ciesielczyk, 2017] ugotavljajo, da koncept efektivne širine po [Ev- rokod 2, 2005] ne upošteva debeline pasnice (plošče), zaradi česar je upogibna nosilnost prereza precenjena, zanemarja pa tudi delež armiranja in velikost tlačnih napetosti. Poleg teoretskih dilem se projektant v vsakdanji praksi sooča tudi z omejitvami računalniškega programa za analizo konstrukcij, ki ga upo- rablja. Algoritmi, na katerih program temelji, največkrat niso znani, projektant zato stežka ugotovi, na kak način program upošteva ekscentričnost, ali podvaja togost in lastno težo KE ipd. Modeli T-prereza so lahko naslednji: 1) stojina, modelirana kot nepomična podpo- ra plošče, 2) stojina in pasnica, modelirani s ploskovni- mi KE, in sicer stojina s KE šipa, pasnica pa s KE ploska lupina ali plošča, 3) stojina, modelirana z linijskimi KE nosilec (z osno silo) in centrično spojena s ploskovni- mi KE ploska lupina ali plošča, 4) stojina, modelirana z linijskimi KE nosilec (z osno silo) in ekscentrično spojena s plos- kovnimi KE ploska lupina ali plošča, 5) stojina in pasnica, modelirani s ploskovni- mi KE, in sicer obe s KE ploska lupina, pri čemer je za stojino debelina KE povečana. Znotraj istovrstnega modela obstajajo še podmodeli, pri katerih se spreminjajo prečni prerez linijskih KE, način spoja linijskih in ploskovnih KE ipd. V preglednici 1 je prikazan pregled možnih idealizacij T-prereza z oceno ustreznosti rezultatov analize, ki jih idealizacija omogoča. Bistvena je tudi vrsta ploskovnih KE, ki jo program omogoča. Ploskovni KE plošča namreč ne poznajo pomikov v ravnini plošče, posledično so rezultati analize s temi KE osi- romašeni za prispevek osnih sil, delujočih na ekscentričnosti e, k upogibnemu momentu nosilca. model/idealizacija ocena ustreznosti 1) Stojina T-prereza, modelirana kot nepomična podpora plošče Za analizo plošče se nosilec v plošči obravnava kot nepomična podpora plošče. Reakcije v podpori pa so nato uporabljene kot obtežba nosilca. Poenostavljen model je ustrezna idealizacija samo za zelo toge nosilce (I nosilca >> I plošče ), katerih višina je tolikšna, da je njihov poves lahko zanemarljiv. Zaradi tega za nosilec Bernoullijeva predpostavka o linearni razporeditvi deformacij po prečnem prerezu ne velja več in je idealizacija z linijskim KE napačna. prednosti Možna izvedba analize plošče s tabelami (npr. Pieper Martens, Czerny) – brez uporabe računal- niškega programa. slabosti Dvojna analiza – najprej plošča, nato nosilec –, precenjena togost nosilca, napačni rezultati v plošči. 2) Stojina in pasnica, modelirani s ploskovnimi KE Pasnica je modelirana s KE ploska lupina (m xx , m yy , m xy , n xx , n yy , n xy ), stojina pa s KE šipa (n xx , n yy , n xy ). To je model, ki najbolje opiše dejansko obnašanje konstrukcije – vendar samo, če je predpostavka o linearno-elastičnem obnašanju materiala pravilna in plošča in/ali stojina nista predebeli. prednosti Natančen opis obnašanja konstrukcije, jasen pri- kaz poteka notranjih sil po konstrukciji. slabosti Model ne omogoča hitre in neposredne določitve obremenitev in potrebne natezne upogibne arma- ture nosilca, togost in teža dela stojine in plošče sta v stičnem vozlišču podvojeni. 3) Stojina, modelirana z linijskimi KE pravokotnega prereza in centrično spojena s ploskovnimi KE ploska lupina ali plošča pasnice – ekvivalentni pravokotni nosilec Višina nosilca mora ustrezati dejanski togosti sistema – ker je zanemarjena ekscentričnost težiščne osi nosilca, je višina nosilca v modelu večja. prednosti Preprost model. slabosti Dodatno delo z določanjem ustrezne višine nosilca v modelu. ARMIRANOBETONSKI T-PREREZI: MODELIRANJE IN ANALIZA•asist. Ana Brunčič, doc. dr. Milan Kuhta Gradbeni vestnik • letnik 68 • december 2019 302 3) Stojina, modelirana z linijskimi KE prečnega T-prereza in centrično spojena s ploskovnimi KE ploske lupine ali plošče pasnice …osilec je modeliran z linijskimi KE T-prereza in centrično priključen na mrežo ploskovnih KE plošče. Širina pasnice je določena po [Evrokod 2, 2005] kot b eff . prednosti Razmeroma preprost model, omogoča neposre- den odčitek obremenitev nosilca in plošče in armiranje obojega. slabosti Dodatno delo z določanjem b eff . 4) Stojina, modelirana z linijskimi KE in ekscentrično spojena s ploskovnimi KE ploske lupine ali plošče pasnice Nosilec je modeliran z linijskimi KE pravokotnega prereza in ekscentrično priključen na mrežo ploskovnih KE plošče prek spoja t. i. master-slave-vozlišč, pri čemer je master-vozlišče vozlišče na mreži ploskovnih KE, slave-vozlišče pa vozlišče na osi linijskih KE. Prilagoditev višine nosilca ni potrebna, višino nosilca definira del nosilca, ki štrli iz plošče. prednosti Modeliranje b eff ni potrebno. slabosti Spoj master-slave-vozlišč mora biti izveden po celotni dolžini nosilca, skladno s potekom mreže KE, česar vsi računalniški programi ne omogočajo, ustvarjanje spojev master-slave-vozlišč pomeni dodatno delo, za dejanske vrednosti obremenitev nosilca je treba linijskim obremenitvam (M y , N x ) dodati še integrirane ploskovne obremenitve (m xx ali m yy , n xx ali n yy ). Stojina, modelirana z linijskimi KE in ekscentrično spojena s ploskovnimi KE ploske lupine ali plošče pasnice Nosilec je modeliran z linijskimi KE pravokotnega prereza in ekscentrično priključen na mrežo KE plošče prek spoja t. i. master-slave-vozlišč, pri čemer je master-vozlišče vozlišče na mreži ploskovnih KE, slave-vozlišča pa so vozlišča na osi linijskih KE in vozlišč na mreži KE plošče levo in desno od nosilca. Prilagoditev višine nosilca ni potrebna, višina nosilca pa je definirana kot vsota višin plošče in iz plošče štrlečega dela nosilca. prednosti Modeliranje b eff ni potrebno. slabosti Spoj master-slave-vozlišč mora biti izveden po celotni dolžini nosilca, skladno s potekom mreže KE, česar vsi računalniški programi ne omogočajo, ustvarjanje spojev master-slave-vozlišč pomeni dodatno delo, za dejanske vrednosti obremenitev nosilca je treba linijskim obremenitvam (M y , N x ) dodati še integrirane ploskovne obremenitve (m xx ali m yy , n xx ali n yy ). 5) Stojina in pasnica, modelirani s ploskovnimi KE, in sicer obe s KE ploska lupina ali plošča, pri čemer je za stojino debelina KE povečana Nosilec je modeliran s ploskovnimi KE, plošča in nosilec s KE plošča (m xx , m yy , m xy ), ki so poravnani na zgornji strani elementov, če upoštevamo njihovo debelino. Ekscentričnost težiščne ravnine, ki predstavlja mrežo KE, je izvedena s spoji master-slave-vozlišč. prednosti Obnašanje modela ustrezno predstavlja dejansko obnašanje konstrukcije, dodatna analiza ali sešte- vanje obremenitev nista potrebna. slabosti Model ni primeren za nosilce večjih višin, plos- kovne obremenitve (mxx ali myy, nxx ali nyy) v delu nosilca je treba pretvoriti v linijske (M y ). Preglednica 1• Modeli T-prereza [Rombach, 2016], [Hartmann, 2006]. asist. Ana Brunčič, doc. dr. Milan Kuhta•ARMIRANOBETONSKI T-PREREZI: MODELIRANJE IN ANALIZA Gradbeni vestnik • letnik 68 • december 2019 303 Ekvivalentni pravokotni prerez je v Sloveniji manj znan model T-prereza, ki omogoča centrično priključevanje linijskih KE na mrežo ploskovnih KE, kar se zdi precej preprost in hi- ter način modeliranja T-prereza. V tem poglav- ju predstavljamo način izpeljave višine T-pre- rezu ekvivalentnega pravokotnega prereza. Zanemarjena ekscentričnost – nesovpadanje težiščne osi realnega T-prereza in težiščne osi ekvivalentnega pravokotnega prereza – je namreč razlog za nujno povečanje višine nosilca. Koncept je opisan v [Rombach, 2016] oz. prejšnjih izdajah te monografije, pojavlja pa se tudi drugje, brez navedbe avtorstva, npr. v [Kelpša, 2019]. Izpeljava višine ekvi- valentnega pravokotnega prereza temelji na ekvivalentu togosti: vsota upogibnih togosti nosilca pravokotnega prereza in plošče mora biti enaka upogibni togosti realnega T-prereza, in to ob upoštevani efektivni širini b eff (slika 2). Tako dobljena višina ekvivalentnega nosilca h w equiv je enaka (6). 3•EKVIVALENTNI PRAVOKOTNI PREREZ b b b b h h eff eff,1 eff,2 w w f b eff b w h w equiv + = T-prerez plošča nosilec Slika 2• Model ekvivalentnega pravokotnega prereza ([Rombach, 2016], [Kelpša, 2019]). Slika 3• Oznake geometrijskih veličin T-pre- reza za izpeljavo h w equiv . Slika 4• h w equiv v odvisnosti od višine stojine T-prereza h w (izpeljano po [Rombach, 2016]). Izraz za h w equiv je izpeljan za simetrični T-prerez. Razmerje med širino stojine T-pre- reza h w in višino ekvivalentnega nosilca h w equiv je prikazano na spodnjem diagramu (slika 4). Tovrstni diagrami (kot npr. slika 4) se lahko izdelajo le za vnaprej predpostavljene dimen- zije T-prereza – širino stojine in višino plošče. Faktor višine ekvivalentnega pravokotnega prereza je nekaj več kot 1,5-kratnik višine stojine T-prereza h w – razen v začetnem delu, ko je višina stojine manjša ali enaka višini plošče. Efektivna širina b eff na višino ekviva- lentnega pravokotnega prereza nima bistve- nega vpliva, kar pomeni, da model omogoča uporabo konstantne višine po celotni dolžini nosilca, brez evrokodovskega določanja točk ničelnih momentov in povprečenja tlačnih na- petosti v pasnici T-prereza. Iz razmerja I T-prerez / I equiv je jasno razvidna tudi višina stojine h w , pri kateri upogibna togost stojine prevlada, zaradi česar se težišče celotnega prečnega prereza pomakne toliko navzdol, da je up- ogibna togost ekvivalentnega pravokotnega prereza skoraj identična upogibni togosti T-prereza. 4•ANALIZA MODELOV Analiza modelov je bila opravljena na pro- stoležečem AB-nosilcu prečnega T-prereza. Analiziranih je bilo šest modelov, prikazani in opisani so v preglednici 2. Statični sistem in geometrijske značilnosti prečnega prereza so prikazani na sliki 5. Nosilec je obtežen z dvema obtežni- ma primeroma, in sicer z 1) lastno težo, samodejno upoštevano z računalniškim programom, in z 2) obtežbo velikosti 10,0 kN/m 2 oz 10,0 kN/m. Izvedena je linear- no-elastična analiza, modul elastičnosti E cm je 33 GPa, Poissonov količnik ν je 0,2. Analiza je bila opravljena s programoma Tower in Sofistik. ARMIRANOBETONSKI T-PREREZI: MODELIRANJE IN ANALIZA•asist. Ana Brunčič, doc. dr. Milan Kuhta Gradbeni vestnik • letnik 68 • december 2019 304 Preglednica 2• Modeli primera – prostoležeči nosilec. 8.00 1.00 35 30 35 50 15 Slika 5• Statični sistem in geometrijske značilnosti prečnega prereza primera – prostoležeči nosilec. M1 Pasnica in stojina, modelirani s ploskovnimi KE, pasnica s KE plošča/ploska lupina, stojina pa s KE šipa M2 Stojina, modelirana z linijskimi KE prečnega T-prereza, centrično priključena na ploskovne KE plošča/ploska lupina pasnice M3 Stojina, modelirana z linijskimi KE prečnega T-prereza, ekscentrično priključena na ploskovne KE plošča/ploska lupina pasnice M4 Stojina, modelirana z linijskimi KE pravokotnega prečnega prereza (ekvivalentni pravokotni prerez), centrično priključena na ploskovne KE plošča/ploska lupina pasnice M5 Stojina, modelirana z linijskimi KE pravokotnega prečnega prereza, ekscentrično priključena na ploskovne KE plošča/ploska lupina pasnice M6 Nosilec, modeliran z linijskimi KE prečnega T-prereza 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 5•REZULTATI Rezultati analize primera 1 so podani v pre- glednici 3. Kot referenčni model je vzet pro- stoležeči nosilec, obremenjen z lastno težo, analiziran s pomočjo preprostih analitičnih formul. Napetosti, dobljene na tak način, so: (7). Rezultati analize Modela 1 so težko primerljivi z rezultati analize drugih modelov. Razporeditev horizontalnih membranskih osnih sil v pasnici in stojini je linearna, razen v bližini podpor, in prav taka je tudi razporeditev napetosti (slika 6). Predpostavki o linearni razporeditvi defor- macij in napetosti držita za skoraj celotni no- silec. Napetosti, dobljene z analizo Modela 1, nekoliko odstopajo od analitičnega izračuna. Ob dejstvu, da med modeloma obstaja bistve- na razlika v višini, stojina Modela 1 je namreč visoka 57,5 cm, in v višini podpor, tlačne na- petosti Modela 1 predstavljajo ≈ 69 % tlačnih napetosti analitičnega izračuna, natezne pa ≈ 107 %. Nevtralna os v Modelu 1 se nahaja na 27 % višine stojine, pri analitičnem izračunu pa na 37 % višine prečnega prereza. Poves w Modela 1 znaša 1,17 mm. Bistvenih razlik v dobljenih rezultatih ni, izrazi- to odstopa Model 3, kar je bilo pričakovano. Sofistik v svoji t. i. »T-beam phylosophy« re- ducira togosti in težo v območjih prekrivanja spojenih KE in uporabnika malone nagovarja k uporabi centričnih modelov. Pri Modelu 3 znašata vertikalni reakciji v obeh podporah 40,1 kN, kar je ≈ 134 % pričakovane velikosti reakcije, primerljive z drugimi modeli. Program redukcije teže v območju prekrivanja zaradi ekscentričnosti ni naredil, prav tako ni naredil redukcije togosti. Manjše odstopanje Modela 4 navzgor nakazuje določeno konservativnost ekvivalentnega pravokotnega prereza – ta namreč brez natezne osne sile v nosilcu, ki je posledica ekscentričnosti, podaja večji up- ogibni moment kot analitični model ali mo- deli z ekscentrično spojenim nosilcem. Ideja avtorjev (prim. [Hartmann, 2006], [Rombach, asist. Ana Brunčič, doc. dr. Milan Kuhta•ARMIRANOBETONSKI T-PREREZI: MODELIRANJE IN ANALIZA Gradbeni vestnik • letnik 68 • december 2019 305 in osno silo v nosilcu ter membranski upogibni moment in osno silo v plošči: 2016]), da je treba za korektno določitev obre- menitev v nosilcu upoštevati upogibni moment (8), Slika 6• Rezultat analize Modela 1, Sofistik, napetosti σ x . Preglednica 3• Rezultati analize modelov 2–6, Sofistik, lastna teža. w [mm] M [kNm] N [kN] m [kNm/m] n [kN/m] e [m] M dej [kNm] M2 1,09 60,0 - 1,52 - - 61, 5 M3 1,45 79,3 77,6 2,01 -79,0 0,1 125 90,0 M4 1,22 65,5 - 1,70 - - 67,2 M5 1 , 11 16,7 128,5 1,54 -130,0 0,325 60,3 M6 1,10 60,0 - - - - 60,0 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 Preglednica 4• Rezultati analize modelov 2–6, Sofistik, obtežba 10 kN/m 2 /kN/m. w [mm] M [kNm] N [kN] m [kNm/m] n [kN/m] e [m] M dej [kNm] M2 1,46 80,0 - 2,03 - - 82,03 M3 1,29 70,5 69,0 1,79 -70,3 0,1 125 80,1 M4 1,46 78,6 - 2,04 - - 80,6 M5 1,48 22,3 171, 4 2,05 -174,5 0,325 80,1 M6 1,46 80,0 - - - - 80,0 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 ARMIRANOBETONSKI T-PREREZI: MODELIRANJE IN ANALIZA•asist. Ana Brunčič, doc. dr. Milan Kuhta Gradbeni vestnik • letnik 68 • december 2019 306 Preglednica 5• Rezultati analize modelov 2–6, Tower, lastna teža. w [mm] M [kNm] N [kN] m [kNm/m] n [kN/m] e [m] M dej [kNm] M2 1,59 87,8 - 2,24 - - 90,0 M3 1, 31 71,7 101, 4 1,84 -102,4 0,1 125 84,9 M4 1,37 73,8 - 1,92 - - 75,7 M5 1,10 16,8 128,6 1,56 -129,8 0,325 60,2 M6 1,08 60,0 - - - - 60,0 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 w [mm] M [kNm] N [kN] m [kNm/m] n [kN/m] e [m] M dej [kNm] M2 1,42 78,1 - 1,9 - - 80,0 M3 1,16 63,8 90,2 1,6 - 91,1 0,1 125 75,5 M4 1,45 78,1 - 2,0 - - 80,1 M5 1,48 22,4 171, 5 2,0 -173,2 0,325 78,1 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 8.00 1.00 35 30 35 50 15 se je v primeru prostoležečega nosilca iz- kazala za napačno. Osni sili sta namreč povsem primerljivi po velikosti in nasprotno usmerjeni – treba je torej upoštevati eno od njiju, ne pa obeh: (9), (10). Primerjava rezultatov analize na modelih od 2 do 6, obteženih z enakomerno obtežbo 10 kN/ m 2 oz. kN/m, dokazuje, da način modeliranja ne vpliva bistveno na rezultat. Do nekoliko večjih razlik, ki lahko vodijo v nevarno pro- jektiranje (dimenzioniranje upogibne arma- ture), lahko privede zanemarjanje prispevkov membranskih upogibnih momentov in osnih sil (bodisi v linijskih KE bodisi v ploskovnih KE), prispevek slednjih je nezanemarljiv pri ekscentričnih modelih. Če se ta prispevek zanemari, je M v nosilcu natančno izračunan samo pri Modelu 2. Deviacija rezultatov, dobljenih s programom Tower, pri analizi z upoštevano lastno težo je izrazita in je posledica podvajanja teže in togo- sti. Program Tower s »filozofijo« fiktivne ekscen- tričnosti povečuje vztrajnostni moment glede na ekscentričnost težiščne osi linijskega KE od referenčne ravnine. Tako dobljeni rezultati so po [Radimpex 2019] takoj uporabni za samodejno dimenzioniranje potrebne upogibne armature. V našem primeru fiktivne ekscentričnosti ni- smo upoštevali, s čimer so rezultati primerljivi z rezultati analize s programom Sofistik. Po [Radimpex, 2019] so te obremenitve podane zgolj za stojino T-prereza. Najuporabnejši je Model 5, pri katerem se namensko izognemo podvajanju togosti in teže. Od vseh drugih modelov pa najmanj odstopa Model 4. Pri analizi s podano obtežbo je pri obeh ekscentričnih modelih, ki bi morala podati na- tančnejše rezultate, vrednost končnega upo- gibnega momenta podcenjena, torej je pre- cenjena togost prereza. Vsi centrični modeli pa podajajo vrednost, skoraj enako analitični, in omogočajo samodejni izračun potrebne upogibne armature. asist. Ana Brunčič, doc. dr. Milan Kuhta•ARMIRANOBETONSKI T-PREREZI: MODELIRANJE IN ANALIZA Gradbeni vestnik • letnik 68 • december 2019 307 Preglednica 6• Rezultati analize modelov 2–6, Tower, obtežba 10 kN/m 2 /kN/m. 6•SKLEP 7•LITERATURA Čeprav je T-prerez stalnica AB-konstrukcij, način modeliranja za analizo še vedno ni jasno določen. Bistveni dejavniki za mode- liranje so specifike programske opreme, s katero analizo izvajamo, in poznavanje teh specifik, poznavanje metod, ki so uporab- ljane za analizo, in dejanskega obnašanja materiala. V članku je prikazana analiza šestih modelov preprostega prostoležečega nosilca, ki omogoča vpogled v delovanje dveh računalniških programov, programa ASE, General Static Analysis of Finite Element Structures, ASE Manual, Software Version SOFiSTiK 2018, Oberschleissheim, Sofistik, 2018. Ciesielczyk, K., Szumigała, M., Ścigałło, J., The numerical analysis of the effective flange width in T-section reinforced beams, Procedia Engineering, izv. 172, št. Modern Building Materials, Structures and Techniques, str. 178–185, 2017. Hartmann, F., Katz, C., Structural Analysis with Finite Elements, Springer, 2006. Heellebois , A. E. B., Insight into Technological Aspects of the Evolution of the Hennebique Reinforced Concrete System, DWE, 2012, str. 1 160–1 170. Kelpša, Š., Rinkevičius, G., Zingaila, T., Augonis, M., Kitovas, V., Coefficient of Moment of Inertia for Ribbed RC Slab Beams, Mechanika, izv. 25 (3), str. 178–186, 2019. Kurrer, K. E., The History of Theory of Structures: Searching for Equilibrium, Wilhelm Ernst & Sohn, 2018. Rombach, G. A., Finite element design of concrete structures, Thomas Telford Limited, 2013. SIST EN 1992-1-1: 2004; Evrokod 2: Projektiranje betonskih konstrukcij - Del 1-1: Splošna pravila in pravila za stavbe, 2004. Tower 7, Navodila za delo s programom, Radimpex, http://www.zeia.si/radimpex/tower7.pdf, 25. 1 1. 2019. Sofistik in programa Tower. Z zanemarjan- jem »filozofije« posameznega računalniškega programa je ta analiza nepristranska. Podva- janje togosti in teže (pri samodejnem upošte- vanju lastne teže konstrukcije) ostaja bistven problem modeliranja T-prereza. Ob morebitni neprevidnosti projektanta lahko zanemar- jeni prispevki ekscentričnosti h končnim obremenitvam povzročijo manko potrebne natezne upogibne armature. V splošnem – razen problema podvajanja togosti in teže – bistvene razlike med centričnimi in ekscentričnimi modeli ni in skrb projektantov, da bi bili centrično modelirani nosilci poddi- menzionirani, je odveč. Vsi centrični modeli so v primerjavi z ekscentričnimi precej bolj konservativni. Nadaljevanje tovrstnih analiz ustreznosti modelov predstavljajo razširitve dvorazsežnosti konstrukcije: povečevanje obsega plošč, ugotavljanje vpliva efektivne širine, vpliva razmika med nosilci; poleg tega pa še razširitve glede geometrije in nehomogenosti/hibridnosti T-prereza: vpliv debeline stojine oz. razmerje med višino sto- jine in višino plošče ter sovprežnost pasnice in stojine (uporaba različnih materialov). ARMIRANOBETONSKI T-PREREZI: MODELIRANJE IN ANALIZA•asist. Ana Brunčič, doc. dr. Milan Kuhta M6 1,44 80,0 - - - - 80,0 8.00 1.00 35 30 35 50 15