F i t z g a. (Dalje.) IV. Dejanje. u) 15:5 (47:9); ? X 5 = 15, ali 5 X ? = 15, naslanja se na III. h) 60:3 =; 3. del od 6 des. itd.; naslanja so na a). c) 60:20 =; 2 des. v 6 des. itd.; naslanja se na a). </) 69:3 (65:3); 3. del od 60 = 20, 3. del od 9 = 3. itd.; naslanja se na b) in a). c) 75:3 =; 75 = 60 -|- 15 itd.; naslanja se na b) in a). Take stopinje imamo pri ustmenern računanji, tudi za višje številne pristne, in take stopinje iraamo tudi pri pismenera računanji. Navedem jih le za pisraeno ninoženje; za pismeno deljenje pa le podstopinja zadnje stopinje. I. Množenje. «) 146 X 6 =? 146 146.146 To postopanje je lahko umljivo, vender dolgo po ob- 146 146 liki in po izrazu. Preide se torej z nje na krajšo: ~876~14* rttDJ /9) 146 X 6 6 krat 6 jednic je 36 jednic ali 3 des. in 376 6 jedn., 6 jedn. napišemo na mesto jednic in 3 des. štejemo naprej; itd. To postopanje je po obliki že krajše, po izrazu tudi; vender se da še krajšati. y) 146 X 6 6 krat 6 je 36, ostane 3 itd. To postopanje 876 je kolikor mogoce kratko in ostane kot pravilo za množenje z osnovnimi števili. b) 46 X 10 =? Naslanjati se morarao na stopnjo a) tor 460 govorimo: 10 krat 6 je 60, ostane 6, 10 krat 4 je 40 in 6 je 46. — Ko so učenci na tak način naredili več racunov, spoznajo sami znano pravilo za kratko množenje z 10. c) 372 X 20 =; naslanja se na stopnjo a) in b), vzame so namree 2kratno število 372 lOkrat itd. Ko so uftenci več takih primerov izračunali, preidejo sami na znano kratko pravilo za raehanično računanje. Tu sem spada tudi množenje s 100 X 10 X K"), s stotioami n. pr. s 300 = 3 X 100, s 1000 = 10 X 100 itd. «) 372 X 132 372 x 100 = 37?OO ^a ^lika Je najdaljša, vender naj 372 X 30 = 11160 bolj lahko umljiva naslanjaje se na 372 X 2 == 744 prejšnje stopinje a), b) in c). Ko so 372 X 132 = 49104 učenci nekoliko časa, recimo neko- liko ur, na tak način računali, začno si misliti, kaj je treba teh ničel in prestopijo pod učiteljevim vodstvom na krajši obliko. P) 372 X 132 gy9 Spet si začno učenci, ko so ne- 1116 koliko ur računali, misliti, ali . . 744 bi se ne dalo tudi krajšo pi= 49104 sati? Prepelje jih torej učitelj 372 372 372 372 na najkrajso 7) 372 372 UK X X X X 1 3 2 132 obliko: X 744 132 kjer se umaknemo nepotrebnemu napisavanji števila 372 in številk 1, 3 in 2. Ta najkrajša oblika je sposobna za spretno mehanično raču49104 nanje. Ponavljano napisovanje števil zasledu- jemo tudi v zgodovini razvitka posameznih operacij. II. Deljenje. u) 486:243 =? (1358:632). Pri tej podstopinji je glavna naloga, da se kvocijentova številka določi na kolikor raogoče priprost nacin. Naše misli se razvijajo tako-le: 243 je v 486 blizo tolikokrat, kolikorkrat je 200 v 400, ali 2 stot, v 4 stot. ali 2 v 4; 2 je v 4 2krat; poskusimo: 486:543 = 2 ali je tudi 243 v 486 2 krat, ter množimo 343 z 2, 486 itd. Ko so učenci recimo kar naravnost več ur na tak dolg način delili, začno si misliti: Zakaj ne rečerao kar na kratko „2 v 4" (6 v 13), da bi dobili številko 2 v kvocijentu, in ko učitelj tako duševno stanje zapazi, pa jih prepelje na kratko mehanično računanje. Zdaj znajo učenci kvocijentovo številko določevati; predenj pa na drugo stopinjo t. j. razstavljanje dividenda na delne dividende, preidemo, treba je spoznanja, kaj kvocijentova številka in ostanek pomenita. To se doseže s priprosto predvajo: b) 8 des. : 4 = 2 des., % *{°|;\1Ztlnek*" itd- Kvocijent in ostanek pomenita isto kakor dividend. T St D J D J <¦) «) 543,2:326 =16 326 Ker 326 ni v 5, ne dobimo nobenih ti- 2172 sočic; tudi v 54 ni, torej v kvocijentu 1956 tudi ni stotic; 326 je pač v 543, torej 216 je 543 prvidelnikvocijent in prva številka kvocijenta pomeni desetice. Zdaj delirao po stopinji, kakor je učencem že znano in dobimo ostanek 217, kateri pomeni desetice. 218 des. je 2170 jedn. in 2 jodnici je 2172 jed., dividendom številka 2 pride torej doli k 217 in 2172 je drugi delni dividend, itd. Na ta način se računa več ur in učenci spoznavajo, da je tu glavna naloga ,,razstavljanje dividenda na delne dividende" in začno po krajši obliki hrepeneti. Ko je tako duševno stanje nastopilo, preide učitelj na krajšo obliko v izraževanji. ft) 543,2:326 =16 326 326 ni v 5, ni v 54, pač pa je v 543; 2172~ 3 v 5 je 1 krat itd. Pri odštevanji se 1956 še zmerom govori: 6 od 13 ostane 7 itd. 216 Pozneje pa se pride na odštevanje v smislu prištevanja. 7) 5432:326 =16 2172 Ko so učenci popolnoma spretni za 216 deljenje po stopinji /?), pri kateri odštevajo v smislu prištevanja, potem naj jih učitelj prevede na najboljšo obliko 7), po kteri se samo ostanki napisujejo, in naj pri tej tudi zmerom ostane. Da je torej računanje z večimi štvevili mogoče, treba je krajšati številno vrsto (z dekadičnim sistemom), treba je krajšati izvrševanje računov naslanjaje se na stopinje, kakeršne smo v prejšnjem spoznali. Sploh mora biti račun kolikor mogoče kratek, da se umaknemo vsakemu nepotrebnemu delu. Na pamet seje treba le osnovne vaje naučiti, se ve da še le, ko so jih učenci razumeli, in do živega; vse drugo opravlja naš um. Iz navedenih stopinj je pa tudi razvidno, kako sledi predstava za predstavo, kako porodi predstava novo predstavo, kako ima sledeča predstava že pripravljeno sorodno predstavo, s katero se iraa spojiti in se tudi pri pravem pouku neusahljivo spoji. Zdaj si pa oglejmo še učenca samega, katererau imamo one predstave prisvojiti. Skušnja nas uči: 1.) Vsa številna vrsta je za učenca, ki vstopi v šolo, predolga, zapomniti si je ne more v kratkem. Posebno mu pa delajo težave pojmi raznovrstnih jednot, desetic, stotic itd. — Desetico in stotico spozna pri dobrem pouku še le v 2. šolskem letu, v 1. šolskem letu je zato premalo pripravljen. Akoravno se učenci 1. šolskega leta le v številnem prostoru do 20 premikajo, vender dospejo polagoma do 30, do 40 itd. do 100 v spoznanji številne vrste; isto opazujemo pri učencih 2. šolskega leta, oni uhajajo čez 100 in spoznajo številno vrsto do 1000, ako jim daje učitelj tu pa tam male migljeje; drugače je v višjih prostorih, brez učitelja preneha v 3. šolskem letu samostojna gibljivost učencev v spoznanji višjih prostorov številne vrste. 2:) Ucenec mora najpred naprej šteti, potem ga učimo, da šteje nazaj; prvo mu je laglje, kakor drugo, torej tudi seštevanje laglje, kakor odštevanje. Da zadnje prav jasno vidiš, poskusi očenaš nazaj moliti; če hočeš, da se ti sploh raal košček, recimo jedna prošnja na tak način posreči, moraš si jo celi čas v navadnem redu pred misli staviti, da jo poveš tudi narobe. Učeneu se ravno tako godi, ako šteje nazaj, če tudi ne s tolikimi ovirami. 3.) Razstavljanje in dopolnjevanje števil dela učencu 1. šolskega leta od začetka težave; ko pa znajo ucenci v prostoru do 10 gladko seštevati in odštevati, potem pa zmagajo omenjeni vaji popolnoraa lahko. 4. Ucenec 1. šolskega leta ne more razumeti deljenja (merjenja in delitve števil) — tu mislirn zmerom na osnovne vaje —, celo množenje mu dela preglavice. Množenje teče učencem 2. šolskega leta, merjenje in delitev pa še le učencu 3. šolskega leta popolnoma gladko. 5. Vsak človek tem bolj pa otrok mora si predstavo, s katero novo predstavo, živo prisvojiti. Med obema predstavama mora torej miniti primeren čas, če hočeino v učenčevera duhu oni pretek osnovati, katerega imenujejo psihologi apercepcijo. Kaj pa iz takih skušenj sledi? 1.) V 1. šolskem letu se ne more torej tudi ne sme cela številna vrsta učencem podati. Postopanje po številnih prostorih n. p. v 1. šolskem letu od 1 - 20, v 2. šolskem letu od 1 —100 itd. je torej jedna najimenitnejših novejih pridobitev za pouk iz računstva (prira. predstoječo točko 1). Na pojme višjih jednot se more v 1. in v 2. šolskem letu samo pripravljati. 2. Z razstavljanjem števil pouk iz računstva začeti in vse operacije na to opirati, je napačno, ni psihologično. 3. Nazaj šteti začni še le, če učenci že dobro naprej štejejo; ravno tako zacni v odštovanji šelo vaditi, oe učenci že dobro seštejejo, osobito tndi zaradi tega, ker se prvo tudi naslanja na drugo. (Dalje prih.) L. Lartar.