i
i
“kolofon” — 2009/11/19 — 11:45 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, SEPTEMBER 2009, letnik 56, številka 5, strani 161–192
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: Zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Mirko Dobovišek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko
in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Irena Drevenšek Olenik, Damjan
Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Vladimir
Bensa (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino
40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za knjigo Re-
publike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport.
c© 2009 DMFA Slovenije – 1766 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 161 — #1 i
i
i
i
i
i
UVOD V SVET p-ADIČNIH ŠTEVIL
BARBARA DRINOVEC DRNOVŠEK
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 11S80
V članku predstavimo pojem ultrametrične absolutne vrednosti in dokažemo nekaj
njenih osnovnih lastnosti. Natančneje se ukvarjamo s p-adično absolutno vrednostjo na
polju racionalnih števil in s p-adičnimi števili.
INTRODUCTION TO THE WORLD OF p-ADIC NUMBERS
We introduce the notion of an ultrametric absolute value on a field and present its
fundamental properties. In particular, we study p-adic absolute value on the field of
rational numbers and p-adic numbers.
Matematiki gradimo svoj svet iz pravil, ki jih imenujemo aksiomi. Aksi-
ome povzamemo po lastnostih, ki jih v našem svetu pričakujemo. Če aksi-
ome dobro izberemo, definirajo neprotislovno teorijo. Primer take teorije je
evklidska geometrija. Zgodi se, da lahko katerega od aksiomov nadomestimo
z drugim in dobimo drugačno neprotislovno teorijo. Na primer, če aksiom
o vzporednici nadomestimo z aksiomom, ki zagotavlja, da skozi dano točko,
ki ne leži na premici p, poteka več kot ena vzporednica k premici p, dobimo
drugačno geometrijo, ki se imenuje hiperbolična geometrija.
V članku trikotnǐsko neenakost, ki velja za običajno absolutno vrednost,
nadomestimo z močneǰso lastnostjo, ki se imenuje ultrametrična lastnost.
Tako dobimo absolutne vrednosti s presenetljivimi lastnostmi.
1. Absolutne vrednosti in metrike na Q
Običajna evklidska razdalja med racionalnima številoma x in y je podana
z d(x, y) = |x − y| in je inducirana z običajno absolutno vrednostjo na Q.
Pravila, ki veljajo za običajno absolutno vrednost, združimo v definicijo
absolutne vrednosti na poljubnem polju F, to je na komutativnem obsegu.
Seštevanje v F bomo označili s +, množenje pa s ·.
Definicija 1. Realno funkcijo | · | : F → R imenujemo absolutna vrednost,
če ima naslednje lastnosti:
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5 161
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 162 — #2 i
i
i
i
i
i
Barbara Drinovec Drnovšek
(a) nenegativnost : |a| ≥ 0 za vsak a ∈ F;
(b) neizrojenost : |a| = 0 natanko tedaj, kadar je a = 0;
(c) multiplikativnost : |a · b| = |a||b| za vse a, b ∈ F;
(d) trikotnǐska neenakost : |a + b| ≤ |a|+ |b| za vse a, b ∈ F.
Polje F, na katerem je definirana absolutna vrednost |·|, imenujemo polje
z absolutno vrednostjo.
Označimo z 1 enoto za množenje v F. Iz multiplikativnosti sledi, da je
|1| = |1 · 1| = |1|2, in zaradi neizrojenosti od tod dobimo |1| = 1. Hitro
lahko preverimo, da je funkcija
|a| =
{
1 ; a 6= 0
0 ; a = 0
absolutna vrednost na polju F; imenujemo jo trivialna absolutna vrednost.
Na polju F z absolutno vrednostjo |·| definiramo preslikavo d : F×F → R
s predpisom d(a, b) = |a− b|. Iz lastnosti (a), (b) in (d) v definiciji sledi, da
je d metrika na F. Tako postane vsako polje z absolutno vrednostjo metrični
prostor.
Posebej nas bodo zanimale ultrametrične absolutne vrednosti:
Definicija 2. Naj bo F polje z absolutno vrednostjo | · |. Pravimo, da je
absolutna vrednost ultrametrična, če velja
|a + b| ≤ max{|a|, |b|} za vse a, b ∈ F . (1)
Ultrametrična lastnost je močneǰsa od trikotnǐske neenakosti, saj je ve-
čje od števil |a| in |b| gotovo manǰse od njune vsote |a|+ |b|. V nadaljevanju
bomo spoznali primer ultrametrične absolutne vrednosti na polju racional-
nih števil.
Naj bo n celo število in p praštevilo. Z redp n označimo najvǐsjo potenco
števila p, ki deli n. Torej velja
redp n = k ⇐⇒ (pk | n in pk+1 /| n) .
Racionalno število x zapǐsemo v obliki ulomka x = m/n in definiramo
redp x = redp m− redp n. Opazimo, da definicija ni odvisna od tega, kako x
predstavimo z ulomkom. Preslikavo | · |p : Q → R definiramo s predpisom
|x|p =
{
p− redp x ; x 6= 0
0 ; x = 0
.
Tako je na primer |12|2 =
∣∣22 · 3∣∣
2
= 2−2 in
∣∣ 8
21
∣∣
3
=
∣∣ 8
3·7
∣∣
3
= 3.
162 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 163 — #3 i
i
i
i
i
i
Uvod v svet p-adičnih števil
Trditev 1. Naj bo p praštevilo. Potem je | · |p ultrametrična absolutna
vrednost na polju Q.
Absolutno vrednost | · |p imenujemo p-adična absolutna vrednost.
Dokaz. Lastnosti (a), (b) in (c) sledijo neposredno iz definicije. Dokažimo
še lastnost (1). Izberimo poljubna x, y ∈ Q. Če je katerokoli od števil
|x|p, |y|p ali |x + y|p enako 0, neenakost velja. Zato bomo v nadaljevanju
predpostavili, da so vsa tri števila x, y in x + y neničelna. Števili x in y
zapǐsemo kot okraǰsana ulomka x = mn in y =
k
l . Potem je
redp(x + y) = redp
ml + nk
nl
= redp(ml + nk)− redp n− redp l .
Ker najvǐsja potenca, ki deli vsoto, ni manǰsa od najvǐsje potence, ki deli
oba člena v vsoti, dobimo
redp(x + y) ≥ min{redp(ml), redp(nk)} − redp n− redp l =
= min{redp m + redp l, redp n + redp k} − redp n− redp l =
= min{redp m− redp n, redp k − redp l} =
= min
{
redp
m
n
, redp
k
l
}
= min{redp x, redp y} .
Zato je predp(x+y) ≥ min{predp x, predp y}. Sedaj upoštevamo definicijo abso-
lutne vrednosti in dobimo
|x + y|p = p− redp(x+y) ≤ max
{
p− redp x, p− redp y
}
= max{|x|p, |y|p} .
Pravimo, da sta absolutni vrednosti ekvivalentni, če inducirata ekviva-
lentni metriki. Absolutne vrednosti na polju racionalnih števil karakterizira
naslednji izrek:
Izrek 2 (Ostrowski). Netrivialna absolutna vrednost na Q je ekvivalentna
bodisi običajni bodisi p-adični za neko praštevilo p.
Elementaren dokaz tega izreka najdemo na primer v [3], konstrukcijo
p-adične absolutne vrednosti pa v [2, 3, 4].
161–171 163
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 164 — #4 i
i
i
i
i
i
Barbara Drinovec Drnovšek
2. Lastnosti ultrametričnih absolutnih vrednosti
Najprej pokažimo, da v oceni (1) velja enačaj, če je |a| 6= |b|.
Lema 3. Naj bo F polje z ultrametrično absolutno vrednostjo | · |. Potem
je vsak trikotnik v F enakokrak, to pomeni, da sta za poljubne elemente
a, b, c ∈ F vsaj dve od števil |a− b|, |b− c|, |c− a| enaki. Velja sklep
|a| 6= |b| =⇒ |a + b| = max{|a|, |b|} za vse a, b ∈ F . (2)
Dokaz. Najprej pokažimo, da iz (2) sledi, da je vsak trikotnik enakokrak.
Izberimo poljubne tri elemente a, b, c ∈ F – oglǐsča trikotnika. Če je |a−b| =
|b− c|, je dani trikotnik enakokrak. Sicer vzamemo a′ = a− b in b′ = b− c
in iz (2) sklepamo, da je |a − c| = |a′ + b′| = max{|a′|, |b′|} = max{|a −
b|, |b − c|} in spet lahko ugotovimo, da je trikotnik, ki ga razpenjajo a, b
in c, enakokrak.
Dokažimo še (2). Izberimo poljubna elementa a, b ∈ F in denimo, da
|a| 6= |b|. Predpostaviti smemo, da je
|a| < |b| ,
sicer zamenjamo vlogi a in b. Dokazati moramo, da je |a + b| = |b|. Upošte-
vamo ultrametrično lastnost in manǰse število nadomestimo z večjim
|a + b| ≤ max{|a|, |b|} = |b| .
Po preoblikovanju izraza upoštevamo ultrametrično lastnost, manǰse število
nadomestimo z večjim ter nazadnje upoštevamo preǰsnjo oceno
|b| = |(a + b)− a| ≤ max{|a + b|, |a|} ≤ max{|a + b|, |b|} ≤ |b| .
Ker sta začetek in konec enaka, povsod velja enačaj. Torej je |b| = max{|a+
b|, |a|}. Ker je |a| < |b|, lahko sklepamo, da je |a + b| = |b|.
Osnovne lastnosti ultrametričnih absolutnih vrednosti so tema prvih po-
glavij v [2, 3].
Delne vsote harmonične vrste Hm = 1 + 12 + · · · +
1
m imenujemo har-
monična števila. Ker je harmonična vrsta divergentna vrsta s pozitivnimi
členi, je zaporedje harmoničnih števil navzgor neomejeno. Z uporabo zgor-
nje leme bomo na preprost način dokazali naslednjo lastnost harmoničnih
števil, ki je bila prvič dokazana v [5].
164 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 165 — #5 i
i
i
i
i
i
Uvod v svet p-adičnih števil
Trditev 4. Harmonično število Hm ni naravno število za noben m ≥ 2.
Dokaz. Ker je m ≥ 2, obstaja največje naravno število n, za katero velja
2n ≤ m. Potem je∣∣∣∣ 12n
∣∣∣∣
2
= 2n in
∣∣∣∣1k
∣∣∣∣
2
< 2n za vse k ∈ {1, 2, . . . ,m} \ {2n} .
Zato iz ultrametrične lastnosti sledi∣∣∣∣Hm − 12n
∣∣∣∣
2
=
∣∣∣∣1 + 12 + 13 + · · · 12n − 1 + 12n + 1 + · · ·+ 1m
∣∣∣∣
2
≤
≤ max
{
|1|2,
∣∣∣∣12
∣∣∣∣
2
, . . . ,
∣∣∣∣ 12n − 1
∣∣∣∣
2
,
∣∣∣∣ 12n + 1
∣∣∣∣
2
, . . . ,
∣∣∣∣ 1m
∣∣∣∣
2
}
< 2n.
Sedaj pa z uporabo (2) dobimo
|Hm|2 =
∣∣∣∣Hm − 12n + 12n
∣∣∣∣
2
= max
{∣∣∣∣Hm − 12n
∣∣∣∣
2
,
∣∣∣∣ 12n
∣∣∣∣
2
}
= 2n.
Dokazali smo, da je |Hm|2 > 1, zato Hm ni naravno število.
Za običajno absolutno vrednost na Q ali R pravimo, da ima arhimedsko
lastnost ; to pomeni, da za poljubni števili x, y ∈ Q, x 6= 0, obstaja tako
število n ∈ N, za katero velja |nx| > |y|. V posebnem primeru od tod sledi,
da so naravna števila poljubno velika. Definicijo lahko smiselno razširimo
na katerokoli polje z absolutno vrednostjo.
V nadaljevanju tega razdelka bomo dokazali, da je absolutna vrednost,
ki ni arhimedska, ultrametrična in obratno, da je absolutna vrednost, ki ni
ultrametrična, arhimedska. Dokaz bomo povzeli po [2].
V vsakem polju F lahko zagledamo naravna števila takole: Označimo
z 1 enoto za množenje v F. Ker je polje F zaprto za seštevanje, je 1 + 1 ∈ F
in ta element označimo z 2. Induktivno nadaljujemo. Denimo, da smo že
konstruirali n. Potem definiramo n + 1 = n + 1. Natančneje, konstruirali
smo homomorfizem aditivne grupe (Z,+) v aditivno grupo (F,+).
Izrek 5. Absolutna vrednost | · | na polju F je ultrametrična natanko tedaj,
kadar je |n| ≤ 1 za vse n ∈ N.
Dokaz. Denimo, da je |·| ultrametrična absolutna vrednost na F. Z indukcijo
dokažimo, da je |n| ≤ 1 za vse n ∈ N. V katerikoli absolutni vrednosti velja
161–171 165
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 166 — #6 i
i
i
i
i
i
Barbara Drinovec Drnovšek
|1| = 1. Denimo, da je |n| ≤ 1 za neki n ∈ N. Zaradi ultrametrične lastnosti
absolutne vrednosti velja
|n + 1| = |n + 1| ≤ max{|n|, 1} = 1 .
Torej po načelu popolne indukcije ocena velja za vse n ∈ N.
Pokažimo še, da velja obratno. Denimo, da je |n| ≤ 1 za vse n ∈ N.
Dokazati moramo, da velja |a + b| ≤ max{|a|, |b|} za vse a, b ∈ F. Če je
b = 0, neenakost velja. V nasprotnem primeru lahko delimo z b in dobimo
|ab + 1| ≤ max{|
a
b |, 1}. Zato je dovolj, da dokažemo, da za vse a ∈ F velja
|a + 1| ≤ max{|a|, 1}. Ker je F polje, velja binomska formula in zato za
a ∈ F in m ∈ N velja
|a + 1|m = |(a + 1)m| =
∣∣∣∣∣
m∑
k=0
(
m
k
)
ak
∣∣∣∣∣ ≤
m∑
k=0
∣∣∣∣∣
(
m
k
)∣∣∣∣∣ |a|k.
Uporabimo predpostavko in opazimo, da je bodisi |a| < 1 bodisi |a|k ≤ |a|m
za k ≤ m, in izpeljemo
|a + 1|m ≤
m∑
k=0
|a|k ≤ (m + 1) max{1, |a|m} .
Od tod sledi
|a + 1| ≤ m
√
(m + 1) max{1, |a|} za vse m ∈ N , a ∈ F .
V limiti, ko pošljemo m v neskončno, dobimo
|a + 1| ≤ max{1, |a|} za vse a ∈ F ,
kar je bilo treba dokazati.
Posledica 6. Absolutna vrednost na polju F je ultrametrična natanko tedaj,
kadar ni arhimedska.
Ker je ultrametrična lastnost nasprotna arhimedski, jo pogosto imenu-
jejo kar nearhimedska lastnost [2, 3].
Dokaz. Če je absolutna vrednost | · | arhimedska, potem obstaja naravno
število n ∈ N, za katero velja
|n| = |n · 1| > |1| = 1 .
166 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 167 — #7 i
i
i
i
i
i
Uvod v svet p-adičnih števil
Od tod po izreku sledi, da | · | ni ultrametrična.
Če | · | ni ultrametrična, po izreku obstaja naravno število n ∈ N, za
katero velja |n| > 1. Pokažimo, da je | · | arhimedska absolutna vrednost.
Izberimo poljubna a, b ∈ F, a 6= 0. Ker je |n| > 1, so števila |nl · a| = |n|l|a|
poljubno velika, če le izberemo dovolj velik l ∈ N. Zato za dovolj velik l
velja |nla| > |b|. Torej je | · | arhimedska absolutna vrednost.
3. Napolnitev metričnega prostora (Q, | · |p)
Iz analize vemo, da množica racionalnih števil Q z običajno metriko ni
poln metrični prostor. Primer Cauchyjevega zaporedja, ki ne konvergira,
je zaporedje desetǐskih približkov za
√
2. Vsak metričen prostor pa lahko
vložimo v poln metričen prostor kot gost podprostor. Napolnitev metrič-
nega prostora racionalnih števil Q z običajno metriko je metrični prostor
realnih števil z običajno metriko. Napolnitev metričnega prostora (Q, | · |p)
imenujemo metrični prostor p-adičnih števil in ga označimo s Qp. Oglejmo
si, kdaj vrsta v tem metričnem prostoru konvergira. V primerjavi z običajno
metriko v R je kriterij za konvergenco vrste v Qp zelo preprost. Sledili bomo
načinu v [3].
Izrek 7. Naj bo p praštevilo in {an} zaporedje p-adičnih števil. Potem je
vrsta
∞∑
n=1
an konvergentna v Qp natanko tedaj, kadar je lim
n→∞
|an|p = 0.
Dokaz. Ker so p-adična števila poln metričen prostor, je vrsta iz p-adičnih
števil konvergentna natanko tedaj, kadar je zaporedje njenih delnih vsot
{sn} Cauchyjevo.
Vzamemo n > m in z upoštevanjem ultrametrične lastnosti p-adične
absolutne vrednosti dobimo
|sn − sm|p = |an + an−1 + · · ·+ am+1|p ≤ max{|an|p, |an−1|p, . . . , |am+1|p}.
Če je lim
n→∞
|an|p = 0, od tod sledi, da je zaporedje {sn} Cauchyjevo.
Denimo, da zaporedje {|an|p} ne konvergira k 0. Izberimo poljuben
 > 0. Potem za vsak še tako velik n0 obstaja n > n0, da je |an|p > . Torej
je
|sn − sn−1|p = |an|p > 
in zato zaporedje {sn} ni Cauchyjevo.
161–171 167
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 168 — #8 i
i
i
i
i
i
Barbara Drinovec Drnovšek
Posledica 8. Naj bo p praštevilo, m ∈ Z in an ∈ {0, 1, . . . , p−1} za n ≥ m.
Potem vrsta
∞∑
n=m
anp
n konvergira v Qp.
Dokaz. Izračunajmo absolutno vrednost neničelnega člena v vrsti |anpn|p =
p−n. Torej zaporedje absolutnih vrednosti členov v vrsti konvergira proti 0,
zato po izreku vrsta konvergira.
Primer. Vrsta
∞∑
n=1
5n je po posledici konvergentna v Q5. Poenostavimo
njeno delno vsoto
sm = 1 + 5 + · · ·+ 5m =
5m+1 − 1
5− 1
=
5m+1
4
− 1
4
.
Ker je lim
m→∞
∣∣∣5m+14 ∣∣∣5 = limm→∞5−m−1 = 0, zaporedje {sm} v metričnem prostoru
p-adičnih števil konvergira k −14 . Zato je vsota dane vrste −
1
4 .
V nadaljevanju bomo vsako p-adično število predstavili kot vsoto take
vrste. Vemo, da lahko vsako realno število zapǐsemo v decimalni obliki, to
je pravzaprav v obliki vrste: x ∈ R zapǐsemo v decimalni obliki
x = d,d1d2 . . . = d +
∞∑
j=1
dj10−j , kjer je dj ∈ {0, 1, . . . , 9} .
Drugače od decimalnega zapisa, ki ni enoličen, je razvoj p-adičnih števil v
vrsto enoličen.
Izrek 9. Naj bo p praštevilo in α ∈ Qp. Potem obstajajo enolično določena
števila m ∈ Z in an ∈ {0, 1, . . . , p− 1} za n ≥ m, za katera velja
α =
∞∑
n=m
anp
n.
Dokažimo pomožno lemo.
Lema 10. Naj bo p praštevilo in α ∈ Qp, za katerega je |α|p ≤ 1. Potem
obstaja število a ∈ {0, 1, . . . , p− 1}, za katero je |α− a|p ≤ 1p .
168 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 169 — #9 i
i
i
i
i
i
Uvod v svet p-adičnih števil
Dokaz. Lemo najprej dokažemo v primeru, da je α racionalno število. Potem
lahko α zapǐsemo kot okraǰsan ulomek α = kl . Ker je
∣∣k
l
∣∣
p
≤ 1, p ne deli
l, in ker je p praštevilo, sta si števili p in l tuji. Zato obstajata celi števili
s, t ∈ Z, za kateri velja sl + tp = 1. Označimo z a ostanek števila ks pri
deljenju s p, tj. ks = mp + a, kjer je m ∈ Z in a ∈ {0, 1, . . . , p − 1}. Po
definiciji p-adične absolutne vrednosti izračunamo∣∣∣∣kl − ks
∣∣∣∣
p
=
∣∣∣∣kl
∣∣∣∣
p
|1− sl|p =
∣∣∣∣kl
∣∣∣∣
p
|tp|p ≤ |t|p
1
p
≤ 1
p
.
Upoštevamo ultrametrično lastnost in dobimo
|α− a|p =
∣∣∣∣kl − ks + mp
∣∣∣∣
p
≤ max
{∣∣∣∣kl − ks
∣∣∣∣
p
, |mp|p
}
≤ 1
p
.
S tem je za racionalne α lema dokazana.
Sedaj izberemo poljuben α ∈ Qp, za katerega je |α|p ≤ 1. Ker je me-
trični prostor p-adičnih števil napolnitev metričnega prostora racionalnih
števil s p-adično metriko, lahko poljubno blizu p-adičnemu številu najdemo
racionalno število. Zato obstaja racionalno število β ∈ Q, za katero velja
|α − β|p ≤ 1p . Z upoštevanjem ultrametrične lastnosti p-adične absolutne
vrednosti dobimo |β|p = |β − α + α|p ≤ max{|α − β|p, |α|p} ≤ 1. Po že
dokazanem obstaja a ∈ {0, 1, . . . , p − 1}, za katerega je |β − a|p ≤ 1p . Še
enkrat uporabimo ultrametrično lastnost absolutne vrednosti in dobimo
|α− a|p = |α− β + β − a|p ≤ max{|α− β|p, |β − a|p} ≤
1
p
.
Dokaz (izreka 9). Najprej bomo dokazali obstoj razvoja p-adičnega števila
v vrsto in nato enoličnost tega zapisa. Denimo, da je |α|p ≤ 1. Števila an
konstruiramo induktivno. Po lemi obstaja a0 ∈ {0, 1, . . . , p−1}, za katerega
je
|α− a0|p ≤
1
p
.
Denimo, da smo že konstruirali a0, a1, . . . , am ∈ {0, 1, . . . , p − 1}, za katere
je ∣∣∣∣∣α−
m∑
n=0
anp
n
∣∣∣∣∣
p
≤ 1
pm+1
. (3)
161–171 169
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 170 — #10 i
i
i
i
i
i
Barbara Drinovec Drnovšek
Potem je
∣∣∣∣p−(m+1)α− m∑
n=0
anp
n−m−1
∣∣∣∣
p
≤ 1 in po lemi obstaja am+1 ∈ {0, 1,
. . . , p − 1}, za katerega je
∣∣∣∣p−(m+1)α− m∑
n=0
anp
n−m−1 − am+1
∣∣∣∣
p
≤ 1p , to po-
meni, da je ∣∣∣∣∣α−
m∑
n=0
anp
n − am+1pm+1
∣∣∣∣∣
p
≤ 1
pm+2
,
kar zaključi induktivno konstrukcijo. Iz posledice 8 sledi, da je vrsta
∞∑
n=0
anp
n
konvergentna, in iz ocene (3), da je njena vsota enaka α.
Če je |α|p > 1, obstaja celo število m, za katero je |pmα| ≤ 1, in iz
razvoja števila pmα dobimo ustrezni razvoj za α.
Dokažimo še enoličnost. Predpostavimo, da ima α dva različna razvoja
v vrsto: α =
∞∑
n=m
anp
n =
∞∑
n=l
bnp
n. Definirajmo ak = 0 za k < m in bk =
0 za k < l. Označimo s k0 najmanǰsi indeks, za katerega sta števili ak
in bk različni. Razliko d =
∣∣∣∣ k0∑
n=−∞
anp
n −
k0∑
n=−∞
bnp
n
∣∣∣∣
p
izračunamo na dva
načina. Ker je k0 najmanǰsi indeks, za katerega sta števili ak in bk različni, je
d =
∣∣(ak0 − bk0)pk0∣∣p = p−k0 . Po drugi strani pa upoštevamo ultrametrično
lastnost in dobimo
d =
∣∣∣∣∣
k0∑
n=−∞
anp
n −
k0∑
n=−∞
bnp
n
∣∣∣∣∣
p
=
∣∣∣∣∣
k0∑
n=m
anp
n − α + α−
k0∑
n=l
bnp
n
∣∣∣∣∣
p
≤
≤ max

∣∣∣∣∣
k0∑
n=m
anp
n − α
∣∣∣∣∣
p
,
∣∣∣∣∣α−
k0∑
n=l
bnp
n
∣∣∣∣∣
p
 =
= max

∣∣∣∣∣∣
∞∑
n=k0+1
anp
n
∣∣∣∣∣∣
p
,
∣∣∣∣∣∣
∞∑
n=k0+1
bnp
n
∣∣∣∣∣∣
p
 < 1pk0 ,
kar je protislovje. Torej je zapis enoličen.
Trditev 11. Naj bo p praštevilo.
(a) Množica p-adičnih števil Qp je neštevna, zato je množica racionalnih
števil njena prava podmnožica.
(b) Polje Qp ni algebraično zaprto.
170 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“Obzornik” — 2009/11/19 — 15:54 — page 171 — #11 i
i
i
i
i
i
Uvod v svet p-adičnih števil
Dokaz. (a) Spomnimo bralca, da neštevnost množice realnih števil doka-
žemo z uporabo Cantorjevega diagonalnega trika. Predpostavimo, da je
množica realnih števil števna; realna števila zapǐsemo v zaporedje in kon-
struiramo realno število, ki se na n-tem decimalnem mestu razlikuje od
n-tega člena v zaporedju. To realno število ni člen zaporedja, kar je proti-
slovje.
Podobno dokažemo, da množica vrst α =
∞∑
n=m
anp
n, kjer je an ∈ {0, 1, . . . ,
p − 1} za n ≥ m, ni števna. Ker je množica racionalnih števil števna, je
njena prava podmnožica.
(b) V polju Qp polinom q(x) = x2 − p nima ničel: denimo, da je x ∈ Qp
ničla polinoma q. Potem je |x|p = pk za neki k ∈ Z. Ker je x rešitev enačbe
x2 = p, je |x|2p = |p|p, od koder sledi p2k = p−1, kar je nemogoče. Torej
polinom q v polju Qp nima ničel, zato polje Qp ni algebraično zaprto.
Kot zanimivost omenimo, da lahko p-adično absolutno vrednost razši-
rimo na algebraično zaprtje polja Qp, vendar to polje ni poln metričen pro-
stor; šele njegova napolnitev Cp ustreza polju kompleksnih števil z običajno
absolutno vrednostjo. Zahtevneǰsi bralec si o tem lahko prebere v [4].
LITERATURA
[1] Andrew Baker, An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis, 2007,
http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf .
[2] Fernando Q. Gouvêa, p-adic numbers. An introduction, 2. izdaja, Universitext,
Springer-Verlag, Berlin, 1997.
[3] Neal Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions, 2. izdaja, Graduate
Texts in Mathematics 58, Springer-Verlag, New York, 1984.
[4] Alain M. Robert, A course in p-adic analysis, Graduate Texts in Mathematics 198,
Springer-Verlag, New York, 2000.
[5] Leopold Theisinger, Bemerkung über die harmonische Reihe, Monatsh. Math.
Phys. 26 (1915), str. 132–134.
[6] Jože Vrabec, Metrični prostori, Matematika – fizika 31, DMFA, Ljubljana, 1990.
161–171 171
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 172 — #1 i
i
i
i
i
i
POT NA LUNO
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 45.20.dg, 45.50.Pk
Gibanja izstrelka z Zemlje na Luno z najmanǰso mogočo začetno kinetično energijo
zlahka opǐsemo z energijske plati. Na težavo pa naletimo pri računanju časovne odvisnosti.
Izstrelek v tem primeru ne bi dospel na Luno v doglednem času, ker gre skozi labilno
ravnovesno lego. Drugi preprost zgled je fizično nihalo. Gre za dinamične sisteme, ki so
močno občutljivi za začetne pogoje.
MOON TRAVEL
The motion of a projectile from the earth to the moon with minimal initial kinetic
energy is easily described with respect to energy. Diffuculties arise, however, in calculating
the time dependence. The projectile in this case would not reach the moon in reasonable
time because it is passing through a labile equilibrium point. Another simple example is
the physical pendulum. These are dynamical systems that are highly sensitive to initial
conditions.
Ob štiridesetletnici prvega pristanka ljudi na Luni se zdi poučno obdelati
preprost model potovanja z Zemlje na Luno. Mislimo na izstrelek, ki ga s
površja Zemlje izstrelimo proti Luni. Izberemo najmanǰso mogočo začetno
kinetično energijo, ki se zdi potrebna, da izstrelek dospe na Luno. Ne upo-
števamo upora v ozračju in vrtenja Zemlje. Pokaže se, da je primer zanimiv,
ker gre izstrelek skozi labilno ravnovesno lego.
Po izreku o kinetični in potencialni energiji se vsota kinetične in potenci-
alne energije ohrani, če na izstrelek delujeta le Zemlja in Luna z gravitacijo.
Energijo preračunamo na enoto mase izstrelka:
W/m =
1
2
v2 − GM/r − GM ′/(R− r) = 1
2
v2 − 1
2
V 2(1/x + a/(1− x)) .
G = 6,67428 · 10−11 m3/(kg s2) je gravitacijska konstanta, M = 5,9736 ·
1024 kg masa Zemlje, M ′ = 7,3477 · 1022 kg masa Lune in R = 384 400
km povprečna razdalja med njunima sredǐsčema. Razmerje med maso Lune
in maso Zemlje meri a = M ′/M = 0,01230. Enačbo smo zapisali tudi v
brezdimenzijski obliki z x = r/R in ubežno hitrostjo z Zemlje na razdalji
Lune, če Lune ne bi bilo tam: V =
√
2GM/R = 1,4403 km/s. Srednji
172 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 173 — #2 i
i
i
i
i
i
Pot na Luno
polmer Zemlje meri r0 = 6371,0 km, tako da je x0 = 0,01657, in srednji
polmer Lune r′0 = 1731,1 km, tako da je x
′
0 = 0,004503 in 1− x′0 = 0,9955.
Za gravitacijsko konstanto je naveden podatek CODATA iz leta 2008, vsi
drugi podatki pa so iz Wikipedije. Čeprav navajamo podatke in rezultate s
petimi mesti, je treba upoštevati, da se Luna giblje okoli Zemlje po elipsi in
sta Zemlja in Luna ob ekvatorju odebeljeni.
Potencialna energija je največja v nevtralni točki, v kateri je ∂W/∂x = 0
in je rezultanta sil enaka nič. Iz zveze 1/x21 = a/(1 − x1)2 sledi x1 =
1/ (1 +
√
a) = 0,90017. Tam je vrh potencialnega nasipa, na katerem je
na enoto mase izstrelka preračunana potencialna energija enaka −(GM/R)
(1/x1 + a/(1 − x1)) = −12V
2(1 +
√
a)2. Izstrelek ima v nevtralni točki
kinetično energijo 0. V tej točki prepoznamo labilno ravnovesno lego.
Na površju Zemlje je začetna hitrost v0:
v0 = vu
√
1 + ax0/(1− x0)−
(
1 +
√
a
)2
x0 =
= V
√
1/x0 + a/(1− x0)−
(
1 +
√
a
)2
.
vu =
√
2GM/r0 = 11,1875 km/s je ubežna hitrost na površju Zemlje. V
našem primeru je začetna hitrost v0 = 11,0736 km/s malo manǰsa od ubežne
hitrosti.
Formula za hitrost, s katero izstrelek zadene površje Lune, je podobna:
v′0 = v
′
u
√
1− a′x′0(1− x′0)−
(
1 +
√
a′
)2
x′0 =
= V ′
√
1/x′0 + a′/(1− x′0)−
(
1 +
√
a′
)2
.
Pri tem je V ′ =
√
2GM ′/R =
√
aV = 0,1597 km/s ubežna hitrost z Lune
na razdalji Zemlje, če Zemlje ne bi bilo tam. Ubežna hitrost na površju
Lune meri v′u =
√
2GM ′/r′0 = 2,3803 km/s, hitrost ob padcu je nekoliko
manǰsa: v′0 = 2,2787 km/s. Pri tem je a
′ = 1/a. S to hitrostjo bi izstrelili
izstrelek s površja Lune, da bi z najmanǰso kinetično energijo dosegel Zemljo.
V splošnem si pri pojavih, ki jih opǐsemo z navedenimi enačbami, lahko
mislimo, da teče čas tako ali obrnjeno. Klasična mehanika – in druge teorije
razen termodinamike in teorije šibke interakcije – so namreč invariantne na
obrat časa.
172–179 173
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 174 — #3 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
Iz izraza za kinetično energijo izračunamo hitrost izstrelka:
v/V =
√
1
x
+
a
1− x
−
(
1 +
√
a
)2 = 1− (1 +√a) x√
x(1− x)
. (1)
Zadnja enačba jasno pokaže, da je hitrost v labilni legi enaka 0. Razprava
o izreku o kinetični in potencialni energijie in hitrosti, ki smo jo izračunali
iz njega, ni pripeljala do težav (slika 1). Težave so se pojavile, ko smo se
zanimali za časovni potek gibanja.
Slika 1. Hitrost izstrelka je odvisna od kraja in od parametra b. Pri tem je V =
1,4403 km/s in b = 1 ustreza mejnemu primeru.
Na težave naletimo, ko poskusimo izračunati čas v odvisnosti od razdalje:
V t/R =
x∫
0
√
x(1− x) dx
1− (1 +
√
a) x
= − 1
(1 +
√
a)2
u∫
1
√
(1− u)(u +
√
a)
u
du (2)
Vpeljali smo novo spremenljivko u = 1− (1 +
√
a) x. Spremenljivka u teče
od 1 do
√
a, v labilni ravnovesni legi pa je enaka 0. Zadnji nedoločeni
integral najdemo v tabelah [1]. Nazadnje preidemo na staro spremenljivko
in upoštevamo začetni pogoj t(x = 0) = 0 ter dobimo:
V t/R =
√
2GM/R3 t =
(
1 +
√
a
)−2 [1
2
(
1−
√
a
)
arcsin(2x− 1) +
+
√√
a ln
(1 +
√
a)
(
1− (1−
√
a) x− 2
√√
ax(1− x)
)
1− (1 +
√
a) x
−
174 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 175 — #4 i
i
i
i
i
i
Pot na Luno
− (1 +
√
a)
√
x(1− x)−
√√
a ln
(
1 +
√
a
)
+
(
1−
√
a
) π
4
]
. (3)
Člen z logaritmom v labilni legi pri x1 = 1/(1 +
√
a) naraste čez vse meje.
Zaradi tega za naš primer ne moremo izračunati, koliko časa bi potoval
izstrelek. Izstrelek se z Zemlje giblje s pojemajočo hitrostjo in v nevtralni
točki obmiruje. Zelo majhna motnja na eno stran zadostuje, da se iz labilne
lege začne gibati proti Luni ali na drugo stran proti Zemlji. Opraviti imamo
z dinamičnim sistemom, ki je močno občutljiv za začetne pogoje. Taki
sistemi imajo pomembno vlogo v teoriji kaosa.
Najhitreje pojasni razmere približek enačbe (2) za u  1:
V t/R = −
√√
a
(1 +
√
a)2
u∫
1
du
u
= −
√√
a
(1 +
√
a)2
lnu (4)
z rešitvijo u ∝ e−t/τ in τ = R
√√
a
/(
V (1 +
√
a)2
)
. V našem primeru
meri relaksacijski čas τ = 20 ur. Relaksacijski čas za izstrelek, ki bi ga s
hitrostjo v′0 izstrelili z Lune, meri
τ ′ = R
√√
a′
/(
V ′
(
1 +
√
a′
)2)
= (R/V )
√
a′
√√
a′
/(
1 +
√
a′
)2
= τ .
Ugotovimo, da se faktorja z razmerjema mas ujemata, če upoštevamo, da je
a′ = 1/a. Izstrelek se z enakim relaksacijskim časom bliža labilni ravnovesni
legi, ko ga izstrelimo z Zemlje ali z Lune.
Slika 2. Odvisnost razdalje x od t za mejni primer b = 1 in za b = 1,01
172–179 175
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 176 — #5 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
Vzamemo malo večjo začetno hitrost bv0, b > 1 (slika 1):
v/V =
√
1/x + a/(1− x)−A , A =
(
1 +
√
a
)2 − (b2 − 1)(v0/V )2.
Integralu damo za numerično računanje pripravno obliko:
V t/R =
x∫
x0
√
x(1− x)
1− (1− a)x−Ax(1− x)
dx .
Razdalja v odvisnosti od časa je inverzna funkcija x(t), ki jo narǐse Mathe-
matica (slika 2). Trajanje potovanja t0 z Zemlje na Luno v odvisnosti od
parametra b izračunamo z numerično integracijo med x = 0,01656 in 0,9955
(slika 3).
Slika 3. Trajanje potovanja t0 je odvisno od parametra b. Hitrost v nevtralni točki meri
v1 =
√
b2 − 1 v0. Izstrelek s hitrostjo 11 km/s ne bi dosegel Lune, ampak bi se obrnil že
na polovici razdalje do nje. Pri b = 1,01 bi trajalo potovanje na Luno 2 dneva. Z ubežno
hitrostjo pa bi pri b = vu/v0 = 1,0103 potovanje trajalo t0 = 1,906 dneva. Na abscisno os
je nanesena brezdimenzijska količina V t/R z R/V = 74,14 ure.
Kot bolj domač zgled z enakim ozadjem si oglejmo fizično nihalo.1 Zaradi
preprostosti vzemimo tog drog z zanemarljivo majhno maso in dolžino l, ki
ima na enem krajǐsču drobno utež z maso m in je vrtljiv okoli pravokotne
1Mimogrede pripomnimo, da je dvojno fizično nihalo eden od najpreprosteǰsih siste-
mov, pri katerih zasledimo kaos. Način, s katerim je gibanje takega nihala opisal Henri
Poincaré že davno pred časom računalnikov, so po njihovi uvedbi uporabili pri opisu kaosa.
176 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 177 — #6 i
i
i
i
i
i
Pot na Luno
osi na drugem krajǐsču. Najprej drog izmaknemo za majhen odmik x iz
stabilne lege (slika 4a). Komponenta teže F = −mgx/l vrača utež v to
lego. Iz Newtonovega zakona F = md2x/dt2 sledi enačba d2x/dt2 = −ω2x
z ω =
√
g/l. Njena rešitev je sinusno nihanje: x = x0 cos ωt, ki ustreza
zahtevama, da je v času t = 0 odklon enak x0 in hitrost enaka 0.
Slika 4. Zelo lahek drog z drobno utežjo na krajǐsču izmaknemo iz stabilne ravnovesne
lege (a) in iz labilne ravnovesne lege (b). Komponenta teže v prvem primeru utež vrača
v ravnovesno lego, v drugem pa ne. Zaradi podobnosti trikotnikov velja F/(mg) = x/l.
Odklona sta narisana pretirano.
Nato opazujmo nihalo blizu labilne lege. Na utež deluje komponenta
teže F = mgx/l vstran od labilne lege, ko ga izmaknemo za majhen odmik
x (slika 4b). Iz Newtonovega zakona sledi enačba d2x/dt2 = ω2x. Njena
rešitev x = x0 chωt ustreza zahtevama, da je v času t = 0 odklon enak x0
in hitrost enaka 0.
Potem ko smo obdelali gibanje nihala okoli obeh ravnovesnih leg, obrav-
navajmo njegovo gibanje po enakem kopitu kot gibanje izstrelka proti Luni.
Za ta namen določimo lego uteži na krožnici s polmerom l z odklonom
ϕ od stabilne lege (slika 5 levo). Hitrost uteži je v = ldϕ/dt in njena
kinetična energija Wk = 12mv
2 = 12ml
2(dϕ/dt)2 ter potencialna energija
Wp = mlg(1 − cos ϕ). Polna energija, preračunana na enoto mase W/m =
1
2v
2+gl(1−cos ϕ), je konstantna. Če naj utež labilno lego doseže s hitrostjo
0, je v tej točki polna energija enaka potencialni energiji W = 2mgl. To-
likšna mora biti tudi začetna kinetična energija, tako da je začetna hitrost
172–179 177
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 178 — #7 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
Slika 5. Lego nihala na krožnici pri večjem odklonu opǐsemo z zasukom ϕ (levo). Od-
visnost zasuka nihala ϕ od t za mejni primer in nekaj vrednosti parametra b (desno).
Hitrost v nevtralni točki meri v1 =
√
b2 − 1v0.
v0 = 2
√
gl. Enačba gibanja se glasi:
1
2
l2
(
dϕ
dt
)2
= gl(1 + cos ϕ) = 2gl cos2 12ϕ ,
če nazadnje kot izrazimo z dvojnim polovičnim kotom. Korenjenje da
dϕ/dt = 2ω cos 12ϕ. Tako dobimo
ωt =
ϕ∫
0
dϕ
2 cos 12ϕ
= ln
∣∣tg 14(x + π)∣∣ .
V labilni legi pri ϕ = π čas zrase čez vse meje.
Razmere okoli labilne lege razǐsčemo, če v integralu vstavimo ϕ = π− δ
z odmikom od labilne lege δ  1. Z njim velja cos 12ϕ = − sin
1
2δ ≈ −
1
2δ.
Tako smo naposled prǐsli do enačbe:∫
dδ
δ
= ln δ − konst. = −ωt
z rešitvijo δ ∝ e−t/τ s τ = 1/ω =
√
l/g, ki spominja na enačbo (4) in njeno
rešitev.
Zopet vzamemo malo večjo hitrost od v0, to je bv0, b > 1. V tem
primeru sledi enačba 12(dϕ/dt)
2 = 2ω2(b2 − sin2 12ϕ). Njeno rešitev izra-
zimo z eliptičnim integralom prve vrste F (x, k) =
x∫
0
dx/
√
1− k2 sinx takole:
(1/b)F (12ϕ, 1/b) = ωt. V tem primeru lahko inverzno funkcijo zapǐsemo v
178 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 179 — #8 i
i
i
i
i
i
Pot na Luno
zaključeni obliki z Jacobijevo amplitudo, za katero velja: če je u = F (x, k),
je x = am(u, k). Tako je ϕ = 2am(bωt, 1/b). Slika 5 (desno) ustreza sliki 2.
Za razpravo in koristne nasvete se zahvaljujem profesorju Antonu Ram-
šaku.
LITERATURA
[1] I. S. Grashteyn in I. M. Ryshik, Table of Integrals, Series, and Products, Academic
Press, San Diego 1979, str. 81, 84 (2.267, 2.261, 2.266)
NOVE KNJIGE
Lars Lindberg Christensen: VELIKE OČI, ZAZRTE V NEBO
(EYES ON THE SKIES), ESA, 2009, DVD, 68 minut.
Se še spomnite časov, ko so bili doku-
mentarci najbolǰse, kar je ponujal televizijski
program? Kam so izginili? Ja, kam, na po-
sebne kanale. Predvajajo jih dneve in dneve.
Kanalov pa niti na prste ene roke ne moremo
več prešteti. Pri tem zasičenju se pojavi te-
žava. Čas je treba z nečim zapolniti, do-
bri dokumentarci pa ne rastejo na drevesih.
Sicer pa so produkcijo vzeli v roke filmarji.
Ti se spoznajo na posel! Iz ”parkiranja“ če-
zoceanke tako naredijo polurni dokumenta-
rec, kjer se isti kadri neštetokrat ponavljajo.
Čeprav so razbiti z reklamnimi bloki, je to
vseeno moteče. Pa tisto razvlečeno, umetno
ustvarjanje napetosti. Ali bo ladji, ki krmari
v pristanǐsče, uspelo zgrešiti zid za 200 metrov? To ni zanimivo; ustvarimo
raje paniko, da pelje le za mǐsjo dlako stran od zidu in tudi posnemimo iz
takega kota, da bo tako res videti. Ustvari se lažni vtis, da je vsako pristanje
ladje prava mala avantura, kar pa seveda ni res.
Vse našteto: obilica, površnost, trivialnost, dramatiziranje . . . manǰsa
užitek odkrivanja novega.
No, vse te navlake na DVD-ju Eyes on the Skies (v prevodu: Velike oči,
zazrte v nebo), ki ga je ob mednarodnem letu astronomije pripravila Evrop-
ska vesoljska agencija (ESA), ne boste našli. Kar ponuja več od dejstev, je
vrhunska estetika, zasanjan sprehod skozi čare astronomije.
172–179 179
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 180 — #9 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
DVD je razdeljen na sedem nekoliko prepletenih poglavij, katerih naslovi
z rahlo patetiko skrivajo njihovo vsebino. Na sploh je vznesen ton, ki pri
naših strokovnih piscih ni v navadi, otežil slovenski prevod, ki pa sta ga
strokovno korektno pripravila Andreja Gomboc in Bojan Kambič.
V poglavjih si lahko ogledamo kratko zgodovino astronomije ter tele-
skopov. Spoznamo, kako teleskopi delujejo, ter vidimo največje, najbolǰse,
pa tudi tiste, ki jih raziskovalci še razvijajo. Zgodba se dotakne tudi tega,
kar je očem skrito. Vse to je povezano z izvrstno grafiko, dobro glasbeno
podlago in dih jemajočimi posnetki. Že samo ti, brez strokovne vsebine, bi
bili dovolj, da si disk kdaj ogledamo. Vsebina na poljudni ravni je primerna
za široko publiko (vključno z mladino). Nekaj drobnih težav s šumniki ne
moti, ni pa nujno, da bo vsak predvajalnik kos dvostranskemu ploščku.
DVD lahko naročite pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 7,75 EUR.
Aleš Mohorič
Jože Grasselli: ENCIKLOPEDIJA ŠTEVIL, Matematika – fi-
zika 45, DMFA–založnǐstvo, Ljubljana 2009, 696 strani.
Najbrž bi se mnogi iz okolice moje ge-
neracije (letniki 1964 ± ε), ki so poslušali
predavanja iz splošne abstraktne algebre pri
profesorju Grasselliju, strinjali z menoj, da
je tista poglavja, ki so bila povezana s teo-
rijo števil (pri tem predmetu seveda v obliki
števnih podkolobarjev obsega C), predaval s
prav posebnim žarom. Čutili smo, da bi o
njih želel povedati še mnogo več, če ga ne bi
omejeval učni načrt, ki nas je vodil naprej
k abstraktnim obsegom, matričnim kolobar-
jem in še dalje.
Zdaj, ko je naš priljubljeni profesor že
upokojen, osvobojen skrbi naše generacije,
ki se bolj ali manj spretno spotika med bi-
rokratskimi čermi bolonjske reforme, si je očitno vzel potreben čas in nam
v obliki zajetne knjige povedal vse tisto, česar mu časovne omejitve takrat
niso dopuščale.
Knjiga je napisana na zelo inovativen način, mislim da v Sloveniji take
oblike pri matematičnem učbeniku še nihče ni uporabil. Osnovna struktura
180 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 181 — #10 i
i
i
i
i
i
Enciklopedija števil
teksta je dejansko taka, kot jo običajno pričakujemo v knjigi z naslovom
Enciklopedija X ali Slovar Y ; v njej so abecedno urejena gesla. Delo se
prične z geslom ”abundantno število“ in konča na strani 688 z geslom ”Zo-
fijino praštevilo“. Domnevam, da večina bralcev OMF v tem trenutku (še!)
ne ve, kaj ta dva pojma pomenita. Zdaj v mislih interpolirajte še nekaj sto
gesel med oba omenjena ekstrema, poskusite si predstavljati, koliko kilogra-
mov matematičnih revij bi morali prebrati, da bi našli še eno malo znano
zanimivo dejstvo o svoji najljubši teoriji in na koncu napisali primerljivo
delo (na primer Enciklopedija matrik?), pa vam bo jasna monumentalnost
vsebine, ki jo skrivajo sicer skromne mehke platnice.
Po drugi strani delo profesorja Grassellija vsebinsko sploh ni podobno
običajnim enciklopedijam (zbirki na hitro skupaj zmetanih površnih, de-
loma tudi netočnih razlag, namenjenih reševalcem križank), kajti razlaga
vsebine je lokalno izomorfna klasičnim uvodnim učbenikom iz teorije števil.
Knjiga vsebuje dokaze, izreke in predvsem veliko zanimivih primerov. Ne-
katera (redka) gesla sicer obsegajo samo nekaj vrstic, večina pa je mnogo
obsežneǰsih. Če mislite, da veste o kubu vse (Jasno! To je pač en tak
x3 . . .), boste po dvanajstih straneh razlage, ki jo temu geslu nameni naš
profesor, spoznali, da se motite. Gesel, katerih vsebino lahko razume malo
bolj zagret srednješolec, je veliko. Po drugi strani je na primer ”Dedekin-
dova vsota“ obdelana na povsem univerzitetnem nivoju, kar pa lahko zaradi
samozadostnosti prezentacije posameznih gesel pri prvem branju enostavno
izpustimo.
Smisel enciklopedične zasnove teksta se nam v polnosti razkrije, ko pre-
mǐsljamo o njegovi uporabnosti za srednješolske učitelje. Teorija števil je,
poleg globokih teorij, povezanih z dokazom Fermatovega izreka, polna tudi
drobnih (in malo znanih) zanimivosti, ki so idealne za samostojno delo bolj-
ših dijakov. Delo profesorja Grassellija vsebuje mnogo takih gesel in je
lahko prava zakladnica idej za sposobnega mentorja matematičnega krožka.
Mojih ”Top 5“ (v stilu revije Bukla) izbir za dijaške projekte, po abece-
dnem vrstnem redu, so naslednja gesla: deficientno število, Kaprekarjevo
število, Metiusovo število, Nivenova števila, superbundantno število. Ker se
je moje sodelovanje z novomeškim Klubom nadarjenih učencev žal končalo
po mojem odhodu na Univerzo v Mariboru, njihovo realizacijo prepuščam
zainteresiranim bralcem.
Knjigo lahko naročite pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 30,39 EUR.
Borut Zalar
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5 181
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 182 — #11 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
I. N. Bronštejn, K. A. Semendjajev, G. Musiol in H. Mühlig:
MATEMATIČNI PRIROČNIK, Tehnǐska založba Slovenije, Lju-
bljana 2009, 1000 strani.
Leta 1963 smo dobili prvi slovenski pre-
vod (prevajalec Albin Žabkar) Matematič-
nega priročnika avtorjev I. N. Bronštejna in
K. A. Semendjajeva. Bil je sicer namenjen
inženirjem in slušateljem tehnǐskih visokih
šol, toda pri nas so stekle ponudbe za nakup
tudi po srednjih tehnǐskih šolah in gimnazi-
jah. Skoraj vsak dijak, ki mu matematika ni
delala težav in ki je nameraval kasneje štu-
dirati na naravoslovnih in tehnǐskih fakulte-
tah, si ga je nabavil.
V tem starem priročniku, ki obsega 700
strani manǰsega formata na zelo tankem pa-
pirju, je povprečen uporabnik tiste čase na-
šel praktično vse, kar je potreboval. Ena od
zelo prijetnih stvari v priročniku je zbirka integralov, tako da se človeku
ni bilo treba mučiti z računanjem ravno vsakega malo težjega integrala po
najbolj pogostih metodah: s substitucijo ali per partes. Poleg tega priroč-
nik odlikuje obsežna zbirka tabel, skic, grafov, definicij in primerov, in to s
skoraj vseh področij matematike, vključno z najbolj elementarno matema-
tiko in geometrijo. Stvarno kazalo pa omogoča hitro iskanje po priročniku.
Zato ni čudno, da je vsaka izdaja priročnika hitro pošla in ga je bilo treba
v preteklih tridesetih letih velikokrat ponatisniti.
Razvoj matematičnih znanosti pa je z leti zahteval, da se Matematični
priročnik prenovi. Za prenovo sta zaslužna G. Musiol in H. Mühlig iz Dre-
sdna, ki sta kot redaktorja pripomogla k nastanku po snovi približno dvakrat
obsežneǰse knjige nekoliko večjega formata.
Novi priročnik je dopolnjen in predelan, snov v njem pa je tudi drugače
razporejena glede na prvotno izvedbo. Vsebinsko je razdeljen na enaindvaj-
set poglavij: Aritmetika, Funkcije in krivulje, Geometrija, Linearna algebra,
Algebrske strukture, Diferencialni račun, Neskončne vrste, Integralni račun,
Diferencialne enačbe, Variacijski račun, Integralske enačbe, Funkcionalna
analiza, Vektorska analiza in teorija polja, Funkcijska teorija, Integralske
transformacije, Verjetnostni račun in statistika, Dinamični sistemi in kaos,
182 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 183 — #12 i
i
i
i
i
i
Matematični priročnik
Optimizacija, Numerična matematika, Algebrski računalnǐski sistemi ter Ta-
bele.
V priročniku je novih kar sedem poglavij, ki so jih napisali nemški profe-
sorji in inženirji (J. Brunner, M. Weber, I. Steinert, V. Reitmann in G. Fla-
cha), in sicer: Algebrske strukture, Variacijski račun, Integralske enačbe,
Funkcionalna analiza, Dinamični sistemi in kaos, Optimizacija ter Algebrski
računalnǐski sistemi. Delno ali v celoti so predelana poglavja Geometrija,
Eliptične funkcije in Numerična matematika (H. Nickel, N. M. Fleischer in I.
Steinert). Poglavje Numerična matematika obravnava tudi reševanje nume-
ričnih problemov z računalnikom, poglavje Algebrski računalnǐski sistemi pa
uporabo Mathematice in nekaterih drugih podobnih sistemov pri reševanju
matematičnih problemov. En razdelek tega poglavja je posvečen grafiki, v
glavnem načrtovanju krivulj in ploskev.
V zadnjem poglavju, Tabele, so zbrane naravne konstante, razvoji funk-
cij v potenčne in Fouriereve vrste, nedoločeni in določeni integrali, tabele
nekaterih specialnih funkcij, integralskih transformacij in verjetnostnih po-
razdelitev. Priročnik se konča s seznamom literature za nadaljnji študij,
vključno z nekaterimi deli domačih avtorjev, razdeljen pa je po ustreznih
poglavjih, in seveda s stvarnim kazalom.
Priročnik je, prav tako kot njegov manǰsi predhodnik, bogato opremljen z
ustreznimi slikami, manǰsimi sprotnimi tabelami in rešenimi zgledi, poglavja
pa so logično in tematsko razdeljena na razdelke. Odlikujejo ga nazornost,
praktičnost, razumljivost, natančnost in ravno pravšnja strogost.
Seveda so priročnik v slovenščino prevedli sami domači matematiki (Ja-
nez Barbič, Gregor Dolinar, Borut Jurčič - Zlobec in Neža Mramor - Kosta)
in s tem dobro opravili zares veliko in zahtevno delo. Priročnik je stavljen
z računalnǐskim urejevalnikom besedil LATEX.
Obsežen, temeljit, dobro in natančno napisan matematični priročnik,
kljub temu da je dandanes na voljo več drugih odličnih matematičnih pri-
ročnikov in računalnǐskih programov ter obilica tovrstnih besedil na svetov-
nem spletu, toplo priporočamo vsem, ki se pri svojem šolanju in v poklicu
ukvarjajo z matematiko, to je študentom, profesorjem, inženirjem in razi-
skovalcem.
Po nekaj letih bo v kratkem na voljo ponatis prenovljenega priročnika.
Naročite ga lahko v prednaro£ilu do 22. novembra pri DMFA–založnǐstvo
po dodatno znižani članski ceni 34,99 EUR.
Marko Razpet
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5 183
i
i
“LUNA” — 2009/11/19 — 11:35 — page 184 — #13 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Apostolos Doxiadis: STRIC PETROS IN GOLDBACHOVA DO-
MNEVA, Modrijan, Ljubljana 2009, 176 strani.
Pred nami je svojevrsten roman, v kate-
rem nastopa nekaj pravih, slavnih matema-
tikov, ki so delovali v 19. in 20. stoletju na
področju matematične logike, osnov mate-
matike in teorije števil. Precej dogodkov v
zvezi z njimi je sicer posrečeno izmǐsljenih,
posredno pa spoznamo, kako so razmǐsljali,
s čim so se ukvarjali, pa tudi njihove oseb-
nostne značaje.
Rdeča nit romana je Goldbachova do-
mneva, s katero se vsak po svoje ubadata
stric Petros, nekoč priznani profesor mate-
matike, in njegov nečak, študent matema-
tike, ki zgodbo pripoveduje v prvi osebi.
Leta 1742 je pruski matematik Goldbach pi-
sal Eulerju, da domneva, da je vsako sodo število, večje od 2, vsota dveh pra-
števil. Te domneve vse do danes še nikomur ni uspelo dokazati. Stric Peter
je to poskušal in domnevi posvetil ogromno časa, vse do svojega tragičnega
konca, ne da bi vedel, kaj so na tem področju naredili drugi matematiki,
in ne da bi poznal Gödlova spoznanja, po katerih se domneve morda ne da
niti potrditi niti ovreči. Še več, v dokazovanje domneve je skušal vpreči tudi
nečaka.
Roman je vsekakor vredno prebrati. Opozoriti pa je treba, da so v knjigi
vsaj trije spodrsljaji. Na strani 45 je znani francoski matematik Lagrange
zapisan napačno kot Langange, na strani 107 je omenjeno, da je znani in-
dijski matematik Šrinivasa Ramanudžan odkril, da je število 1729 zanimivo
zato, ker je najmanǰse naravno število, ki se da na dva načina izraziti kot
vsota dveh kvadratov, moralo pa bi očitno pisati dveh kubov. V opombi
pod črto pa pǐse pravilno: 1729 = 123 + 13 = 103 + 93. Na strani 136 je
napačno navedeno, da je bil nemški matematik Georg Cantor oče teorije
vrst. Pravilno je oče teorije množic.
Marko Razpet
184 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“anketa-OMF” — 2009/11/19 — 11:07 — page 185 — #1 i
i
i
i
i
i
SPOŠTOVANI BRALCI
V zadnjih letih smo v uredni²tvu Obzornika veliko premi²ljevali o tem, kako
vsebino na²e revije narediti £im bolj dostopno in zanimivo za vas, na²e
bralce. Kot rezultat smo uvedli nekaj novih pristopov in tem. Ker so odzivi
bralcev na spremembe zelo redki, v uredni²tvu ne vemo, ali gremo v pravo
smer. Zato vas prosimo, da si vzamete nekaj minut £asa in izpolnite spodnji
vpra²alnik ter nam izpolnjenega po²ljete v priloºeni kuverti (po²tnina je
ºe pla£ana). S tem boste pripomogli, da vam bo revija postala bolj v²e£.
Upamo, da jo boste potem raje brali. še vnaprej hvala za va² trud.
1. Koliko berete Obzornik?
(a) ga sploh ne odprem
(b) ga samo malo prelistam
(c) preberem manj kot polovico prispevkov
(d) preberem več kot polovico prispevkov
(e) preberem praktično vse prispevke
2. Katere prispevke preberete (obkrožite lahko več možnosti)?
(a) vesti in društvena obvestila
(b) prispevke o šoli in poučevanju
(c) matematične članke
(d) fizikalne članke
(e) rubriko Nove knjige
(f) intervjuje
3. Kakšen se vam zdi nivo znanstvenih člankov?
(a) premalo zahteven
(b) ustrezen
(c) preveč zahteven
4. Kakšno se vam zdi razmerje med različnimi prispevki?
(a) ustrezno
(b) moralo bi biti več novic in obvestil
(c) moralo bi biti več člankov o poučevanju in šolski praksi
(d) moralo bi biti več znanstvenih člankov
(e) moralo bi biti več predstavitev novih knjig
(f) moralo bi biti več intervjujev
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5 185
i
i
“anketa-OMF” — 2009/11/19 — 11:07 — page 186 — #2 i
i
i
i
i
i
Anketni vprašalnik
(g) moralo bi biti več
5. Ali se morda spomnite kakšnih prispevkov v zadnjih letih, ki so vam
bili všeč oziroma so se vam zdeli še posebej dobri?
(a) NE
(b) DA (za vsak prispevek navedite približen naslov in/ali ime avtorja)
6. Ali se morda spomnite kakšnih prispevkov v zadnjih letih, ki vam niso
bili všeč ali se vam niso zdeli primerni za Obzornik?
(a) NE
(b) DA (kaj vam pri teh prispevkih ni bilo všeč)
7. Kaj menite o formatu in grafični podobi Obzornika?
(a) revija je ustreznega formata in prijetna za branje
(b) revija bi morala biti v celoti barvna
(c) revija je povprečne kvalitete za tovrstno literaturo
(d) format revije je slab in deluje zastarelo
8. Drugi komentarji, pripombe in predlogi za izbolǰsave:
186 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“budimp2009” — 2009/11/19 — 11:17 — page 187 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
ŠESTNAJSTO MEDNARODNO TEKMOVANJE
ŠTUDENTOV MATEMATIKE
Med 25. in 30. julijem 2009 je bilo v Budimpešti šestnajsto tekmova-
nje študentov matematike. Prvega tekmovanja leta 1994 v Bolgariji se je
udeležilo le nekaj deset študentov iz vzhodnoevropskih držav. Predlani je
tekmovalo 249 študentov, lani 283, letos pa že 347 študentov s skoraj vseh
celin. Tekmovanje kljub zahtevnim nalogam in visokim standardom pra-
vičnosti pri popravljanju ostaja zelo prijetno in sproščeno. Tudi letos ni
manjkalo nogometno tekmovanje, kjer so naši študentje v hudi konkurenci
zmagali.
Slika 1. Slovenska ekipa: Peter Muršič, Gašper Zadnik, David Gajser, Urban Jezernik
in Špela Špenko.
Slovensko ekipo so sestavljali David Gajser, Urban Jezernik, Špela Špenko
in Gašper Zadnik z Univerze v Ljubljani in Peter Muršič z Univerze na Pri-
morskem. Kljub zelo težkim nalogam so dosegli odlične rezultate: Urban
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5 187
i
i
“budimp2009” — 2009/11/19 — 11:17 — page 188 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
Jezernik in Špela Špenko sta dobila drugo nagrado, David Gajser in Gašper
Zadnik tretjo nagrado, Peter Muršič pa je dobil pohvalo.
Študentje so tekmovali in bivali v zelo lepem in funkcionalnem kampusu
budimpeštanske univerze Eötvös Loránd ob zahodnem bregu Donave.
Letos se je število tekmovalcev bistveno povečalo, za popravljanje pa
smo imeli vodje ekip na voljo en dan manj, zato smo zmanǰsali število nalog.
Tako so študentje dva zaporedna dneva reševali vsak dan po pet (namesto
šest) nalog. Naloge so točkovno enakovredne, njihova teža pa praviloma
narašča z zaporedno številko. Tudi letos so se le redki prebili čez četrto
nalogo. Prvouvrščeni Aleksander Efimov iz Moskovske državne univerze
Lomonosov je zbral 80 % vseh točk, polovico točk pa je zbralo 82 (od 347)
študentov. Aleksander je zmagal že tretjič zapored, leta 2006 pa se je kot
bruc uvrstil na drugo mesto.
Zelo veliko informacij o letošnjem in o preteklih tekmovanjih, vključno
z nalogami, rešitvami in rezultati, lahko najdete na spletni strani organiza-
torja profesorja Johna Jayna iz University Collega v Londonu: http://www.
imc-math.org.uk/.
Vodje ekip nekaj mesecev pred tekmovanjem organizatorju predlagamo
naloge. Nato ožja skupina izkušenih bivših tekmovalcev izbere približno
petdeset najbolj primernih. Dan pred tekmovanjem na skoraj celodnevnem
sestanku z glasovanjem izberemo naloge za oba dneva.
Tekmovanje se pravilom začne z lažjo ogrevalno nalogo. Bralce Obzor-
nika vabim, da preizkusijo svoje znanje analize in poskušajo odgovoriti na
naslednji vprašanji:
Prvi dan, prva naloga: Naj bosta f, g: R → R funkciji, za kateri velja
f(q) ≤ g(q) za vsako racionalno število q. Ali od tod sledi, da je f(x) ≤
g(x) za vsak realen x, če dodatno privzamemo, da sta funkciji f in g
(a) nepadajoči?
(b) zvezni?
Pred popravljanjem se vodje ekip razdelimo v skupine po nalogah in
poskušamo po pregledu manǰsega vzorca nalog določiti orientacijski točkov-
nik. Vsako nalogo neodvisno pregledata vsaj dve vodji ekip, ki morata na
koncu uskladiti končno oceno. Če pride do pritožb, je predpisan poseben
postopek, ki zagotovi zares pravično oceno.
Vsako leto nas presenetijo nekatere zelo originalne rešitve, ki pa pogosto
niso povsem do konca dodelane. Ker gre za zelo dobre študente, je včasih
zelo težko ločiti študente, ki z besedami ”brez škode za splošnost lahko pri-
vzamemo, da . . .“ zaobidejo premislek, ki ga ne znajo narediti, in študente,
188 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“budimp2009” — 2009/11/19 — 11:17 — page 189 — #3 i
i
i
i
i
i
Šestnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike
Slika 2. Nagrade so podelili med zelo prijetno vožnjo z ladjo po Donavi.
ki zelo dobro poznajo konkretno področje in so zato takšni premisleki ru-
tinski in odveč. Letos nam je pri popravljanju delala hude težave naslednja
razmeroma enostavna naloga iz linearne algebre:
Prvi dan, druga naloga: Naj bodo A, B in C kvadratne realne matrike
enake velikosti, pri čemer je matrika A obrnljiva. Če je (A − B)C =
BA−1, pokaži, da je C(A−B) = A−1B.
Uradna rešitev upošteva dejstvo, da je levi inverz matrike hkrati tudi desni
inverz. Če enakosti (A−B)C = BA−1 na obeh straneh prǐstejemo AA−1 =
I, dobimo ekvivalentno enakost (A − B)(C + A−1) = I, zato je tudi (C +
A−1)(A−B) = I. To pa je bilo treba pokazati.
Več študentov je napisalo, da lahko brez škode za splošnost privzamemo,
da so kakšne od matrik v nalogi simetrične ali obrnljive, prav nobeden pa
ni tega dokazal. S tem so si zelo olaǰsali nalogo. Kar nekaj časa nam je
vzelo, da smo izdelali dokaz (ki je težji kot rešitev naloge), kjer zaporedje
obrnljivih matrik, ki ustreza dani enakosti, konvergira k neobrnljivi matriki,
ki izpolnjuje iskano zvezo. Prav tako smo se zelo težko odločili, kako oceniti
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5 189
i
i
“budimp2009” — 2009/11/19 — 11:17 — page 190 — #4 i
i
i
i
i
i
Vesti
rešitve, ki privzamejo, da je kakšna od dejansko obrnljivih matrik (recimo
A−B ali C + A−1) obrnljiva.
Pogosto se uštejemo tudi pri težavnosti nalog. Letos tako noben od
študentov ni prǐsel niti blizu rešitvi naslednje naloge:
Prvi dan, četrta naloga: Naj bo p(z) = a0 + a1z + · · · + anzn polinom
s kompleksnimi koeficienti in 1 = c0 ≥ c1 ≥ . . . ≥ cn ≥ 0 konveksno
zaporedje realnih števil (to pomeni, da je 2ck ≤ ck−1 + ck+1 za k =
1, 2, . . . , n−1). Pokaži, da za polinom q(z) = c0a0+c1a1z+ · · ·+cnanzn
velja
max
|z|≤1
|q(z)| ≤ max
|z|≤1
|p(z)| .
Meni osebno je bila najbolj všeč naslednja naloga:
Drugi dan, tretja naloga: Naj bosta A in B kvadratni kompleksni ma-
triki, za kateri velja A2B + BA2 = 2ABA. Pokaži, da za dovolj veliko
naravno število k velja (AB −BA)k = 0.
Naša študentka Špela Špenko je čudovito in zelo kratko rešitev dobila s
pomočjo znanih dejstev o nilradikalih.
Ena od lepših uradnih rešitev pa uporabi le znanje linearne algebre:
Najprej pokažimo, da komutator X = AB −BA komutira z A:
AX −XA = (A2B −ABA)− (ABA−BA2) = A2B + BA2 − 2ABA = 0 .
Ker je
Xm+1 = Xm(AB −BA) = A(XmB)− (XmB)A ,
je sled matrike Xm+1 enaka 0 za vse m ≥ 0. Sledi matrik X, X2, . . . , Xn
so vsote ustreznih potenc lastnih vrednosti matrike X. Zato morajo biti vse
lastne vrednosti ničelne in matrika X je nilpotentna.
Marjan Jerman
MATEMATIČNO RAZISKOVANJE NA MARSU
V okviru DMFA Slovenije smo poleti že četrto leto zapored organizirali
MARS – MAtematično Raziskovalno Srečanje, namenjeno širšemu krogu
srednješolcev. Srečanje je potekalo od 16. do 22. avgusta na Fakulteti za
matematiko, naravoslovje in inf. tehnologije v Kopru. Vsebinski poudarek
srečanja je na ustvarjalnem raziskovanju matematičnih problemov in njiho-
vega ozadja, ne pa na tehnikah reševanja tekmovalnih nalog.
190 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“budimp2009” — 2009/11/19 — 11:17 — page 191 — #5 i
i
i
i
i
i
Matematično raziskovanje na MARSu
V pestrem programu je sodelovalo okoli 25 dijakov iz vse Slovenije, ki so
v okviru letošnje vodilne teme ”Oblika prostora“ sodelovali v delavnicah in
pripravili nekaj kraǰsih skupinskih projektov o krivuljah, fraktalih, neevklid-
ski geometriji ter večrazsežnih objektih. Pri izvedbi delavnic so sodelovali
Uroš Kuzman, Gašper Zadnik, Dejan Širaj, David Gajser, Nino Bašič in
Maja Alif, razen prvega vsi še študentje matematike na FMF Univerze v
Ljubljani.
Kot vsako leto pa je kraǰsa predavanja o vlogi matematike v sodobni
družbi za dijake pripravilo tudi nekaj uglednih slovenskih raziskovalcev:
prof. dr. Sandi Klavžar (Hanojski stolpi), doc. dr. Emil Žagar (Bezierjeve
krivulje), doc. dr. Martin Milanič (Matematika v biologiji: iskanje popol-
nih filogenetskih dreves) in doc. dr. Aljaž Ule (Teorija iger: matematika
strateškega odločanja).
Tudi letos je MARSovske strokovne aktivnosti spremljal domiseln dru-
žabni program, ki se je začel s spoznavnim večerom, imenovanim Vzlet. Na
Olimpijskem večeru so svoje prigode in vtise s tekmovanj predstavili udele-
ženci štirih letošnjih mednarodnih olimpijad: matematične (Anja Komatar,
Matjaž Leonardis, Matej Aleksandrov), fizikalne (Filip Kozarski), računalni-
ške (Matjaž Leonardis, Žiga Ham, Matej Aleksandrov, Nace Hudobivnik) in
lingvistične (Anja Komatar, Katja Klobas, Boris Mitrović). Veliko MAR-
Sovsko pustolovščino, zabavno orientacijsko tekmovanje z matematičnimi
ugankami, so dijaki začeli s fizikalnimi poskusi v koprskem Centru eksperi-
mentov, končali pa na ukrivljeni ploskvi velikega tobogana v vodnem parku.
Obiske plaže v prostem času so dijaki popestrili z igrami za utrjevanje mo-
štvenega duha, skoraj vsak večer pa so se pozno v noč zabavali z namiznimi
strateškimi igrami od šaha do katancev. Ko so v petek zjutraj končali s
pripravo projektov, so si za oddih v kinu ogledali še film ”21 – Razpad Las
Vegasa“, hollywoodsko interpretacijo zgodbe o skupini študentov matema-
tike, ki je uspešno goljufala velike igralnice.
Zares pestro dogajanje na MARSu je obširneje predstavljeno na spletni
strani http://mars.famnit.upr.si/. Kot vodja programa pa lahko rečem, da
se MARSa večinoma udeležujejo dijaki, ki so kot z drugega planeta: ustvar-
jalni, polni energije, radovednosti, matematičnih idej in zabavnih domislic,
zato je delo z njimi nadvse prijetno. Obenem bi se za gostoljubje zahvalil
prof. dr. Draganu Marušiču, dekanu Fakultete za matematiko, naravoslovje
in inf. tehnologije v Kopru, kjer je potekala večina strokovnih dejavnosti.
MARS 2009 sta finančno podprla tudi Ministrstvo za visoko šolstvo, zna-
nost in tehnologijo ter Študentska organizacija Univerze v Ljubljani, končal
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5 191
i
i
“budimp2009” — 2009/11/19 — 11:17 — page 192 — #6 i
i
i
i
i
i
Vesti
(foto: Jernej Filipčič)
pa se je v soboto, 22. avgusta, ko so se predstavitve dijaških projektov z
zanimanjem udeležili tudi številni starši udeležencev.
Boštjan Kuzman
MATEMATIČNE NOVICE
Nagrada za najbolǰsi članek iz Uporabne linearne algebre
To nagrado (SIAG/LA Prize) podeljuje Sekcija za linearno algebro znane
organizacije SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) vsako
tretje leto. Letos sta jo dobila profesor dr. Zlatko Drma£ z Univerze v Za-
192 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5
i
i
“budimp2009” — 2009/11/19 — 11:17 — page 193 — #7 i
i
i
i
i
i
Matematične novice
grebu in zaslužni profesor na Fernuniversität Hagen v Nemčiji dr. Kre²imir
Veseli¢, in sicer za članka [1, 2] o novem Jacobijevem SVD algoritmu. Njuna
metoda je implementirana v knjižnici LAPACK [3] programov iz Numerične
linearne algebre. Profesor Veselić je večkrat gostoval v Ljubljani in ima
skupen članek s prof. dr. Antonom Suhadolcem. Ob sprejemanju čestitk pa
se je takole hvaležno spomnil pokojnega profesorja Egona Zakraǰska:
Sicer pa ne skrivam in zmeraj poudarjam, da sem za Jacobijevo metodo
prvič slǐsal od Egona Zakrajška, ki je okrog leta 1971 – kot izpit iz Nu-
merične analize v Zagrebu – imel briljantno predavanje o tej metodi in me
je navdušil tako za to metodo kot tudi za numerično matematiko. Pozneje
sta mi on in Zvonimir (Bohte) svetovala in pomagala. Vendar, če ne bi bilo
Egona, bi moja orientacija bila povsem drugačna in ne bi bilo ”zagrebške
šole“ za Jacobijevo metodo.
Simulacija snežink
Na domači strani Amerǐskega matematičnega društva (AMS) imamo
tudi strani, posvečene matematičnim upodobitvam [4]. Zadnji prispevek
obravnava simulacijo snežink. Napravila sta jo David Griffeath, profesor na
University of Wisconsin-Madison, in Janko Gravner, profesor na Kalifornij-
ski univerzi v Davisu. Janko Gravner je diplomiral in magistriral (1985) v
Ljubljani, doktoriral je leta 1991 na University of Wisconsin-Madison. Od
leta 1992 je v Davisu, vendar kot mentor pri doktoratih in tudi drugače
aktivno sodeluje s slovensko matematiko.
Ob tem se spomnimo, da je pred nekaj leti fizikalni model rasti sne-
žink privlačno predstavil sedanji dekan Fakultete za matematiko in fiziko
Univerze v Ljubljani prof. dr. Andrej Likar v reviji Presek [5].
LITERATURA
[1] Z. Drmač in K. Veselić: New fast and accurate Jacobi SVD algorithm: I., SIAM J.
Matrix Anal. Appl. 29 (2008), str. 1322–1342.
[2] Z. Drmač in K. Veselić: New fast and accurate Jacobi SVD algorithm: II., SIAM J.
Matrix Anal. Appl. 29 (2008), str. 1343–1362.
[3] Linear Algebra PACKage: LAPACK 3.2, 2008,
http://www.netlib.org/lapack/lapack-3.2.html.
[4] Matematične podobe: Mathematical Imagery, AMS, 2009,
http://www.ams.org/mathimagery/.
[5] A. Likar: Kako rastejo snežinke?, Presek 32 (2004/2005) 4, str. 15–19.
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5 XIX
i
i
“kolofon” — 2009/11/19 — 11:45 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, SEPTEMBER 2009
Letnik 56, številka 5
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Uvod v svet p-adičnih števil (Barbara Drinovec Drnovšek) . . . . . . . . . . . . . 161–171
Pot na Luno (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172–179
Nove knjige
Velike oči, zazrte v nebo – Eyes on the Skies (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . 179–180
Enciklopedija števil (Borut Zalar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180–181
Matematični priročnik (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182–183
Stric Petros in Goldbachova domneva (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Vesti
Anketni vprašalnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185–186
Šestnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike
(Marjan Jerman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187–190
Matematično raziskovanje na MARSu (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . 190–192
Matematične novice (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192–XIX
CONTENTS
Articles Pages
Introduction to the world of p-adic numbers
(Barbara Drinovec Drnovšek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–171
Moon travel (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172–179
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179–184
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185–XIX
Na naslovnici: Zaporedje slik kaže od desne proti levi Luno med njenim mr-
kom 3. marca 2007. Med mrkom je Luna zasijala v rožnati zarji, ki jo je osvetlila
z Zemlje. Čeprav Zemlja med mrkom zasenči Luno pred neposredno svetlobo
s Sonca, Luno obsije svetloba, ki se lomi v Zemljini atmosferi. Modra svetloba
se v atmosferi sipa močneje in bela svetloba je pri poševnem vpadu skozi debelo
plast zraka videti rdeča, tako kot jutranja ali večerna zarja. Na desnih dveh sli-
kah rožnate svetlobe ni videti, ker je mnogo šibkejša od bele, ki vpada naravnost
s Sonca (foto: Aleš Mohorič). Glej članek na strani 172.