ZAPLETI Z GRAVITACIJSKO KONSTANTO
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
PACS: 04.80.-y
V seznamu osnovnih konstant CODATA so relativno negotovost gravitacijske konstante G v zadnjem casu dvakrat povečali. Razlike med izmerjenimi vrednostmi so vecje od navedenih negotovosti. G je najbolj negotova od vseh osnovnih konstant. Izmerili so jo tudi v Mednarodnem uradu za utezi in mere. Zelo natančna merjenja so zanimiva tudi s fizikalnega gledisča.
COMPLICATIONS WITH THE NEWTONIAN GRAVITATIONAL
CONSTANT
Recently in the CODATA list of fundamental constants the relative uncertainty of the gravitational constant G has been increased twice. The differences between measured values are greater than the quoted uncertainties. G is the most uncertain of all fundamental constants. The constant has been measured also at the International Bureau of Weights and Measures. Very precise measurements are interesting also from the viewpoint of physics.
Uvod
Gravitacija je najšibkejša sila v naravi. Gravitacijske konstante ni mogoče povezati z drugimi konstantami v količine, ki bi jih natančno izmerili. Izjema je produkt gravitacijske konstante in mase Zemlje, ki ga izmerijo z relativno negotovostjo 2 ■ 10-9. Vendar mase Zemlje ni mogoče natančno izmeriti. Zato morajo gravitačijsko konstanto meriti neposredno [10].
Ob raziskovanju moznosti za zaznavanje gravitačijskega valovanja so podrobno preiskali nihanje proznih teles z majhno frekvenčo. Kazuaki Kuroda je obravnaval nihanje torzijskih nihal z zičkami in leta 1995 ugotovil, da merjenje moti odstopanje od idealne proznosti in z njim povezano dodatno dusenje [10]. Pri sobni temperaturi se pojavijo napake, zaradi katerih je izmerjena gravitačijska konstanta prevelika za člen, obratno sorazmeren z dobroto nihala Q. O tem so se prepričali pri merjenju z zarjeno volframsko zičko, kremenovo nitko in hladno vlečeno volframsko zičko. V tem vrstnem redu se je zmanjsala dobrota in so za gravitačijsko konstanto dobili vse večje vrednosti. Odtlej gravitačijske konstante ne merijo več s torzijskim nihalom z zičko. Poleg drugih merilnih načinov pa se naprej uporabljajo torzijsko nihalo, v katerem zičko nadomestijo s tankim trakom.
146
Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 4
Zapleti z gravitacijsko konstanto
Trak in žicka
Pri torziji je zasuk p sorazmeren z navorom M, ce navor ni prevelik: M = Dp. Pri merjenju gravitacijske konstante torzijski koeficient D za tanek trak sestavijo iz dveh Členov [7] :
^ Gbs3 Fb2
D = G3T + I2r	(1)
Prvi - proznostni - Člen je povezan s proznostjo neobremenjenega traku. V njem je G strizni modul, b sirina, s debelina in l dolzina traku. Drugi -obremenitveni - Člen je povezan z obremenitvijo. F je sila, ki napenja trak, to je teza mg, Če je na trak obeseno telo z maso m. Za primerjavo navedimo torzijski koeficient zičke s kroznim presekom s premerom 2R:
, GnR4 FR2 nR4	„2,
D = 2 + ur = ~2i~(G+^ * = F/(nR)- (2)
Proznostna člena je utemeljil Barree de Saint-Venant leta 1864 in ju najdemo v večini učbenikov proznosti. Učbenik L. D. Landaua in E. M. Lifsica ju skrbno obdela in poudari, daje račun podoben kot pri obremenjeni opni in toku viskozne tekočine po ceveh [3]. Obremenitvena člena so odkrili precej pozneje [1]. V večini učbenikov ju ni najti in tudi sicer ju večkrat spregledajo. Pri traku drugi člen postane pomemben pri veliki obremenitvi.
Nakazimo izpeljavo obremenitvenih členov. V navpičnem tankem obremenjenem traku z debelino s opazujmo pramena traku s sirino dr v razdalji r na eno in na drugo stran od osi na sredini. Pramen na spodnjem krajisču v navpični smeri obremenjuje sila (F/bs)sdr. Zunanji navor M na spodnjem krajisču povzroči, da se trak zasuče za kot p. Zaradi tega se opazovana pramena za kot sin 0 = 0 = (r/l)sin p = (r/l)p odklonita od navpičnice. Upostevali smo, da sta kota majhna, in sinusa nadomestili z ločno merjenima kotoma. Vodoravna komponenta sile je (F/bs)sdr(r/l) sin p = (F/bs)sdr ■ (r/l)p. Na simetrični pramen na nasprotni strani osi deluje nasprotno enaka vodoravna komponenta sile. Komponenti sestavljata dvojico sil z razdaljo prijemalisč 2r in navorom dvojice (F/bs)sdr ■ (r/l)p ■ 2r. Celotni navor dobimo, ko sestejemo prispevke vseh pramenov v traku od 0 do 2 b:
r 2 b
M = p(F/lbs) ■ 2s / r2dr = (Fb2/12l)p = Dp.
J 0
Podobno računamo pri obremenjeni zički. Opazujemo silo (F/nR2)rdrda na pramen, ki ima na spodnjem krajisču presek rdrda. Integriramo po r od 0 do R in po a od 0 do n:
rR	rn
M = p(F/lnR2) 2r ■ r2dr da = (FR2/2l)p = Dp.
00
146-152
147
Janez Strnad
V drugem zapisu zveze (2) je napetost a veliko manjša, denimo stokrat, od striZnega modula. Pri Zicki zato proZnostni clen vselej prevlada obremenitvenega in se ni mogoce izogniti odstopanju od idealne proznosti in dodatnemu dusenju. Upostevajmo samo proznostni clen v (2) in izracu-najmo razmerje torzijskih koeficientov D/D', Ce je na traku obeseno telo z enako maso kot na zicki in sta preseka enaka, bs = nR2. Razmerje D/D' = 2ns/(3b) + nba/(6sG) je pri zelo tankem in močno obremenjenem traku manjse kot 1. Torzijska tehtnica s trakom je bolj obcutljiva kot tehtnica z zicko. V tem primeru obremenitveni clen znatno preseze prozno-stnega in dodatno dusenje postane nepomembno.
Naprava
V Mednarodnem uradu za utezi in mere BIPM v Sevresu blizu Pariza je raziskovalna skupina pred letom 1997 pripravila nacrt za napravo, ki omogoci merjenje gravitacijske konstante na dva nacina [9].1 Z napravo z nekaterimi podobnimi lastnostmi so leta 2000 merili na univerzi Washington v Seat-tlu [10]. Vse kaze, da je skupina na BIPM nacrte naredila neodvisno od te skupine. Leta 1999 je porocala o poizkusnem merjenju [9]. Leta 2001 je objavila rezultat prvega merjenja na oba nacina [5]. Z izdatno predelano napravo je poskus ponovila leta 2013 [6]. Clani skupine so poleg tega sproti objavljali zanimive delne ugotovitve, do katerih so prisli na opisani poti.
Za torzijsko tehtnico so izbrali trak iz zlitine bakra in 1,8 % berilija z debelino 0,03 mm, sirino 2,5 mm in dolzino 160 mm. Na traku je visel aluminijast kroznik s premerom 295 mm in debelino 8 mm. Njegovo maso so zmanjsali z okroglimi odprtinami. Na krozniku so bile simetricno namescene stiri valjaste utezi s premerom in visino 55 mm iz zlitine bakra in 0,7 % telurja z maso po 1,2 kg in s sredisci v razdalji 120 mm od osi (slika na naslovnici). Ves kroznik z utezmi je imel maso okoli 6 kg. To ustreza priblizno | porusne obremenitve in zmanjsa delez proznostnega clena na samo 4 % torzijskega koeficienta. S tem so se znebili dodatnega dusenja. Vse to je bilo namesceno v vakuumski posodi. V njej je nihalo, to je kroznik s stirimi majhnimi valji na traku, nihalo z nihajnim casom 120 s in dobroto 105.
Zunaj vakuumske posode so bile na vrtiljaku simetricno namescene stiri vecje utezi iz enake zlitine bakra in telurja s premerom 120 mm in visino 115 mm z maso po 11 kg. Osi vecjih utezi so bile v razdalji 214 mm od osi nihala. Vrtiljak so preko jermena premikali s koracnim motorjem. Ce so velike utezi stale nasproti manjsih utezi, z gravitacijo nanje niso izvajale
1Terry Quinn se je leta 2004 upokojil kot direktor in Richard Davis kot višji raziskovalec BIPM, Clive Speake je clan univerze v Birminghamu, Harold Park pa je bil raziskovalec na BIPM.
148
Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 4
Zapleti z gravitacijsko konstanto
navora. Ko so vrtiljak zavrteli za 18,898° na eno ali na drugo stran, pa je bil navor gravitacije velikih uteZi na majhne uteZi največji.
Zasuk so merili z avtokolimatorjem z veliko ločljivostjo na ravnem zrcalu na nihalu. Nanj so bila zaradi simetrije pritrjena tri enaka zrcala, ki jih niso uporabljali. Celotna naprava je bila v posebnem prostoru, v katerem se med merjenjem temperatura ni spremenila za več kot za 0,1°. Naprava je stala na osnovni plosči merilnika koordinat.
Pri prvem merilnem načinu so najprej vrtiljak spravili v polozaj, v katerem so bili veliki valji nasproti majhnih in je bil navor gravitacije enak nic. Z avtokolimatorjem so določili v tej legi zasuk f = 0. Potem so zasukali vrtiljak za <p = 18,898° na eno stran, da je bil gravitačijski navor največji, in po pol ure za toliko na drugo stran ter so to ponavljali. Nihalo je prosto nihalo in preko računalnika so vsake 4 s izmerili njegov zasuk (slika 1). Nihajni čas T so povezali s torzijskim koefičientom:
preko vztrajnostnega momenta nihala J. Enačbi za zasuk M = Df so dodali enačbo M = Gr in z njo vpeljali funkčijo gravitačijske sklopitve med nihalom in vrtiljakom r. Enačbi za skrajno lego dasta skupaj z zvezo (3) gravitačijsko konstanto:
Vztrajnostni moment nihala J in funkčijo sklopitve r so izračunali po porazdelitvi mas sestavnih delov naprave, nihajni čas T in zasuk pa izmerili.
Preizkusili so natančnost merilnika koordinat in ugotovili, da so koordinate določili na 0,4 ^m natančno. Posebno skrbno so premerili lego osi manjsih in večjih valjev. Vztrajnostni moment nihala so preizkusili tako, da so posebej izmerili vztrajnostne momente sestavnih delov. Pri računanju vztrajnostnega momenta nihala so si pomagali z računalniskim programom. Po dveh poteh so dobili tudi sklopitveno funkčijo. Najprej so jo izračunali s privzetkom, da gre za točkasta telesa, in dobili r = 70Mmr4/R5, če je r razdalja sredisč majhnih valjev z maso m od osi in R razdalja sredisč velikih valjev z maso M od osi. Nihalo s stirimi simetrično razmesčenimi manjsimi valji ima 16-polni masni moment nasproti kvadrupolnemu momentu prečke pri nekdanjih merjenjih. Tako motilni gravitačijski navor oddaljenih gibajočih se teles v laboratoriju pojema s peto potenčo oddaljenosti. Pri prečki pa ta navor pojema s tretjo potenčo oddaljenosti. Podrobno so premislili, kako natančni so bili posamezni koraki v računih in pri merjenju.
Prvi nacin s prostim nihalom
(3)
(4)
146-152
149
Janez Strnad
Slika 1. (Časovni potek nihanja nihala med dvema skrajnima legama vrtiljaka [5].
Nihalo se je odklonilo za 31,5" = 0,153 miliradiana, ko so vrtiljak premaknili za ±18,898°. Tako so dobili za torzijski koeficient traku D = 2,06• 10-4 Nm/radian pri gravitacijskem navoru približno 3 • 10-8 Nm. Ta je bil za vec velikostnih stopenj vecji kot pri nekdanjih merjenjih s prečko.
Desetkrat so izmerili zasuk f s tem, da so pri vsakem merjenju upostevali 34 podatkov v tridesetminutnih časovnih intervalih, v katerih so zasukali vrtiljak za 18,898° na eno ali drugo stran. Tako so dobili za gravitacijsko konstanto 6,67566 • 10-11 m3/(kg s2) z relativno negotovostjo 5 • 10-5.
Drugi nacin z vezanim nihalom
Pri drugem merilnem načinu so z električnim poljem dosegli, da se nihalo ni premaknilo iz zacetnega polozaja glede na vrtiljak in je prozni trak ostal nedeformiran. S tem so popolnoma izločili morebitne motnje zaradi neidealne proznosti traku. V ta namen so nasproti stirim manj-sim valjem na vrtiljak postavili stiri majhne valjaste elektrode. Kot druge elektrode so uporabili manjse valje same. Električno polje s frekvenčo 1 kHz med pari elektrod je preko servomotorja poskrbelo, da je nihalo sledilo zasuku vrtiljaka in je trak ostal nedeformiran. Torzijski koefičient so dobili naravnost z odvisnostjo elektrostatične potenčialne energije od zasuka: dU/df = 1 £3,.(dCl3/df )(V - V3)2. Pri tem so Cij kapačitete med obema elektrodama in med elektrodo in preostankom naprave. Odvode dCij/df so
150	Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 4
Zapleti z gravitacijsko konstanto
dobili tako, da so vsako od kapacitet izmerili v odvisnosti od zasuka. Tako so izrazili navor in nazadnje G = M/r. Sklopitvena funkcija r je bila enaka kot pri prvem merilnem nacinu.
Drugi merilni nacin je za gravitacijsko konstanto dal 6,67520 ■ 10-11 m3/(kg s2) z relativno negotovostjo 6,1 ■ 10-5. Ta rezultat so sestavili z rezultatom pri prvem merilnem nacinu v vrednost gravitacijske konstante 6,67545 ■ 10-11 m3/(kg s)2 z relativno negotovostjo 2,7 ■ 10-5. Po mnenju merilcev ta vrednost statistično ni nasprotovala njihovi vrednosti 6,67559 ■ 10-11 m3/(kg s)2 z relativno negotovostjo 4,1 ■ 10-5 iz leta 2001. Vrednosti iz leta 2001 in iz leta 2013 precej presegata podatke skupine CODATA.
CODATA objavljeno G
negotovost
2010	2013	6,67384 ■ 10-11 m3/(kgs2)	1,2 ■ 10
2006	2008	6,67428	1,0
2002	2005	6,6742	1,5
1998	2000	6,673	15
1986	1986	6,67259	1,3
1973	1973	6,6720	6,1
-4
V BIPM so postopno izboljsevali napravo in zmanjsevali relativno negotovost [9, 5, 6]. Skrbno so preizkusili, kako je najbolje vpeti trak. Preiskali so premikanje vpetega dela. Zaradi tresljajev zemeljskega povrsja se namrec spreminja nagib tal v laboratoriju. Merili so ponoci, ko je bilo tresenja cim manj. Po merjenju v letu 2001 so napravo popolnoma predelali, da bi zmanjsali relativno negotovost. Ostali so le vecji valji, pa se tem so zmanjsali visino.
Kako dalje?
Telesi z masama po 1 kg v razdalji 1 m se privlacita s silo, ki ustreza tezi nekaj zivih celic. Zelo zahtevno je tako majhne sile med kilogramskimi telesi izmeriti na 4 ali 5 mest natancno. Veliko drugih ucinkov lahko preseze gravitacijo in vse te ucinkeje treba spoznati in upostevati. Prednost naprave na BIPM je v dveh merilnih nacinih. »Tezko je uvideti, kako naj bi dva razlicna merilna nacina dala dve stevili, ki sta napacni, a se ujemata med seboj.« [4]
Metrologi se zavedajo tezav. Vec deset let so z radarjem natancno sledili gibanju planetov in ugotovili, da se gravitacijska konstanta s casom ne spreminja. Ugotovljene razlike jasno opozarjajo na »resne napake ali mocno podcenjene relativne negotovosti« [2].
146-152
151
Janez Strnad
Februarja je Kraljeva družba v Londonu priredila dvodnevno mednarodno srečanje Newtonova gravitacijska konstanta, konstanta, ki je pretezavna za merjenje? Udeleženci so poročali o merjenjih gravitacijske konstante in o tem, kako razumejo in obravnavajo razhajanja med njimi ter razpravljali o ukrepih [11]. Po srečanju so oblikovali sklepe. Ni verjetno, da bi zadrego resilo eno merjenje ali dve. Cesa podobnega pri merjenju osnovnih konstant v fiziki se ni bilo. Izhod je treba najti, da ne bo nastal dvom o zmozno-sti metrologov. Sklenili so, da bodo osnovali mednarodni konzorcij, ki bo spremljal merjenja gravitacijske konstante in v okviru katerega bo mogoče o merjenjih razpravljati se pred objavo, ne samo po njej.
Oktobra so v okviru delavnice na ameriskem Drzavnem institutu za standarde in tehnologijo v Bouldru razpravljali o mednarodnem konzorciju, o nacinih za merjenje gravitacijske konstante in o predlogu, da bi si raziskovalne skupine izmenjale merilne naprave. O tem bodo objavili clanek v reviji Metrologia.
Raziskovalna skupina Mednarodnega urada za utezi je zaradi treh napak v svojih racunih za malenkost povecala ugotovljeno vrednost gravitacijske konstante [8]. Pri merjenju na prvi nacin je navedla 6,67586(36) ■ 10-11 m3/(kg s2) in pri merjenju na drugi nacin 6,67515(41) ■ 10-11 m3/(kg s2). To je dalo koncno vrednost 6,67554(16) ■ 10-11 m3/(kg s2).
LITERATURA
[1]	J. C. Buckley, The bifilar properties of twisted strips, Phil. Mag. 28 (1914) 779-787.
[2]	J. Cartwright, The lure of G, Physics World 27 (2014) 34-37 (2).
[3]	L. D. Landau in E. M. Lifshitz, Theory of Elasticity, Pergamon, Oxford 1970, 59-64.
[4]	C. Moskowitz, Puzzling measurement of »big G« gravitational constant ignites debate, Scientific American, (18. sept. 2013),
http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=puzzling-measurement-of-big-g-gravitational-constant-ignites-debate-slide-show/,
dostopano: 3. 11. 2014.
[5]	T. J. Quinn, C. C. Speake, S. J. Rihman, R. S. Davis in A. Picard, A new determination of G using two methods, Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 111101-1-4.
[6]	T. Quinn, H. Parks, C. Speake in R. Davis, Improved determination of G using two methods, Phys. Rev. Lett. 111 (2013) 111102-1-5.
[7]	T. J. Quinn, C. C. Speake in R. S. Davis, Novel torsion balance for the measurement of the Newtonian gravitational constant, Metrologia 34 (1997) 245-249.
[8]	T. Quinn, C. Speake, H. Parks in R. Davis, Erratum: Improved determination of G using two methods, Phys. Rev. Lett. 113 (2014) 039901.
[9]	S. J. Richman, T. J. Quinn, C. C. Speake in R. S. Davis, Preliminary determination of G using the BIPM torsion strip balance, Meas. Sci. Technol. 10 (1999) 460-466.
[10]	C. Speake in T. Quinn, Newton's constant, Phys. Today 67 (2014) 27-33 (7); J. Strnad, O gravitacijski konstanti, Obzornik mat. fiz. 48 (2001) 19-25.
[11]	The Newtonian Constant of Gravity, a Constant too Difficult to Measure? royalsociety.org/events/2014/gravitation/, dostopano: 3. 11. 2014.
152
Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 4