Aritmetika in algebra za višje razrede realk. Za gimnazije spisal Blaž Matek, profesor na c. kr. gimnaziji v Mariboru. Za realke priredil in izpopolnil Jakob Zupančič, profesor na c. kr. realki v Gorici. Cena nevezani knjigi K 4 - 50, v platno vezani K 5'30. 1910. Založila „Katoliška Bukvama" v Ljubljani. Natisnila „Katoliška Tiskarna" Vsebina Uvod, Stran § 1. Pojasnila.1 I. Osnovni računski načini s celimi števili. § 2. Seštevanje.4 § 3. Odštevanje. 7 § 4. Algebrajska števila . .11 § 5. Seštevanje algebrajskih števil 13 § 6. Odštevanje algebrajskih števil 16 § 7. Seštevanje in odštevanje enačb in neenačb 17 § 8. Množenje ...... 21 § 9. Deljenje . . . . 29 § 10. Množenje in deljenje enačb in neenačb . . .35 §11, Številni sestavi .... 38 § 12. Občna pojasnila in znamenja o deljivosti.43 §13. Razstavljanj e sestavljenih šte¬ vil in številnih izrazov v pra¬ faktorje .... 46 § 14. Največja skupna mera . . 49 § 15. Najmanjši skupni mnogo¬ kratnik .52 II. Računanje z ulomljenimi števili. § 16. Občna pojasnila in pretvar¬ janje navadnih ulomkov . 55 § 17. Seštevanje in odštevanje na¬ vadnih ulomkov ... 58 § 18. Množenje in deljenje navad¬ nih ulomkov.59 § 19. Občna pojasnila in računanje z decimalnimi ulomki . 64 § 20. Pretvarjanje navadnih ulom¬ kov v decimalne in decimal¬ nih v navadne ... 68 § 21. Občna pojasnila o nepopolnih številih.70 § 22. Seštevanje in odštevanje ne¬ popolnih števil .... 73 § 23. Množenje nepopolnih števil . 74 § 24. Deljenje nepopolnih števil . 77 III. Razmerja in sorazmerja. § 25. Razmerja.80 § 26. Sorazmerje.81 § 27. Sorazmerne količine in upo¬ rabne naloge.87 IV. Enačbe prve stopnje, stran § 28. Občna pojasnila in ureje¬ vanje enačb.93 § 29. Razreševanje enačb prve stopnje .95 § 30. Določanje točkinelege in na- črtavanje linearne funkcije 101 § 31. Uporaba enačb prve stopnje 107 V. Računski načini tretje stopnje. § 32. Pojasnila o vzmnoževanju . 123 § 33. Računski zakoni o potencah 124 § 34. Kvadrat in kub .... 128 § 35. Vzmnoževanje enačb in ne¬ enačb. Razreševanje eks¬ ponentnih enačb . . 132 § 36. Pojasnila o korenjenju . .135 § 37. Računski zakoni o korenskih izrazih.138 § 38. Kvadratni in kubični koren 144 § 39. Pretvarjanje korenskih izra¬ zov . . . 150 § 40. Korenjenje enačb in neenačb. Razreševanje iracijonalnih in eksponentnih enačb . 152 § 41. Umišljena ali imaginarna in skupna ali kompleksna šte¬ vila .155 VI. Enačbe druge stopnje. Enačbe višjih stopenj, ki se dado pretvoriti na enačbe druge stopnje. Logaritmovanje. Kvadratne funkoije. Diferenc, kvocijent in integral. § 42. Razreševanje enačb druge stopnje z eno neznanko in njih lastnosti . 159 § 43. Enačbe višjih stopenj, ki se dado pretvoriti na kva¬ dratne enačbe ... 162 § 44. Kvadratne enačbe z dvema in več neznankami . 168 § 45. Občna pojasnila o logaritmih 170 § 46. Računski zakoni o logaritmih 171 § 47. O Briggovih logaritmih . 172 § 48. Uporaba Briggovih logarit¬ mov . . 177 § 49. Lastnosti kvadratne funkcije 181 Stran § 50. Načrtavanjekvadratne funk¬ cije in njen diferencialni kvocijent.184 § 51. Diferencijalni kvocijenti ne¬ katerih najnavadnejših funk cij.189 § 52. Pojem o integralu . 196 VII. Postopioe. § 53. Aritmetične postopice . 201 § 54. Geometrijske postopice . . 204 § 55. Obrestno obrestni računi . 208 VIII. Sestavbe ali kombinacije. § 56. Permutacije.214 § 57. Kombinacije.217 § 58. Premene.221 § 59. Binomske potence . . 222 IX. Matematična verjetnost. § 60. Absolutna in relativna ver¬ jetnost .226 § 61. Sestavljena verjetnost . 228 § 62. Matematično upanje . . 232 § 63. Matematična nevarnost . . 233 § 64. Verjetnost dolgosti člove¬ škega življenja .... 234 X. Zavarovanje na življenje in smrt. § 65. Osnovni pojmi .... 237 § 66. Zavarovanje na dosmrtno rento.238 § 67, Zavarovanje na smrt . 241 3% tablica za zavarovanje na do¬ smrtno rento ... 244 4% tablica za zavarovanje na smrt 246 Vadbe in naloge. K § 1. I „ § 2. I Stran K § 17 . . „ § 18 . . . . „ § 19 . . . „ § 20 . . . „ § 21 . „ § 22 . . . . „ § 23 . . . . „ § 24 . . . . „ § 25 . . . „ § 26 . . . . „ § 27 . . . „ § 28 . . . . „ § 29 . . . „ § 30 . . . . „ § 31 . . . „ § 32 . . . . „ § 33 . . . . „ § 34 . . . . „ § 35 . . . . „ § 36 . . . . „ § 37 . . . . » § 38 . . . . „ § 39 . . . . „ § 40 . . . . „ § 41 • ■ • ■ „ § 42 . . . . „§43 . . . . „ § 44 . „§45 . . . . „ § 46 . . . . „§47 . . . . „§48 . . . . „ § 49 . . . . „ § 50 . . . . „§51 . . . . „ § 52 . . . . „ § 53 . . . . „ § 54 . . . . „ § 55 . . . . „ § 56 . . . . „§57 . . . „ § 58 . . . . „ § 59 . . . . „ § 60 . . . . „ § 61 . . . . „ § 62 . . . . „ § 63 . . . . „ § 64 . . . . „ § 66 . . , . „ § 67 . . . . Ponavljalne naloge Zgodovinski dostavki XV XX XXI XXI XXI XXII XXII XXIII XXIV XXVI XXVIII XXIX XXXIV XXXIV XLVIII XLVIII LIH LIV LV LVI Lxni LXV LXVIII LXX LXXII LXXIX LXXXI LXXXVI LXXXVII LXXXVIII LXXXIX XCI XCII XCII XCIII XCIV XCVI XCIX CII CII cm civ CIV CVI CVII CVII CVIII CVIII CIX cx CXXVI1I Uvod § 1. Pojasnila. Stvari vsakdanjega življenja in tudi našega mišljenja so ali iste v r s*t e ali raznih vrst. Stvari iste vrste moreš zameniti drugo za drugo ali popolnoma ali vsaj deloma; stvari raznih vrst pa se ne dado tako zamenjavati. Ako imamo množino stvari iste vrste, pravimo vsaki stvari enota; izraz za vse stvari te množine se zove število. S številom določamo, koliko istovrstnih stvari imamo v mislih. Enote sestavljajo število. Kadar pridenemo enoti enoto, z dobljenim številom spojimo enoto in to ponavljamo, tedaj štejemo. Vrsti števil, ki jo dobimo pri štetju, pravimo naravna šte¬ vilna vrsta. V govoru izražamo števila naravne številne vrste s posebnimi imeni (s števni ki) in v pismu jih predocujemo s posebnimi znaki (s številkami). Ako se pri štetju ne oziramo na to, katere vrste je enota, dobimo neimenovana števila; če pa pri štetju povemo tudi vrsto enote, dobimo imenovana števila. Naravno številno vrsto predočimo s sliko, ako na- črtamo na poluomejeni premici ali na polutraku AB od j0 1 2 345 6 7 89 p J± iiii|ii!•LX> krajišča A enake daljice drugo poleg druge. Vsaka taka daljica predstavlja enoto; dve daljici skupaj predočujeta število „dve“, tri daljice skupaj dado število „tri“ i. t. d. Števila, ki izražajo določeno množino enot, se ime¬ nujejo posebna števila; pišejo se z arabskimi števil¬ kami 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Števila, ki izražajo ne¬ določeno množino enot, se imenujejo občna števila; pišejo se navadno z latinskimi črkami. Črka je znak vsa¬ kršne množine enot; če se ista črka ponavlja v enem Matek, Aritmetika. 1 r * Istovrstne in raznovrstne stvari = gleich- artige und ungleichartige Dinge. Enota = dieEin- heit. Število = die Zahl. Šteti. Naravna številna vrsta = die natiirliche Zahlenreihe. Števnik = das Zahhvort. Šte¬ vilka = dieZiffer. Imenovana in ne¬ imenovana šte¬ vila = benannte und unbenannte Zahlen. Predočevanje naravne številne vrste s sliko. Posebno število = besondere Zahl. Občno šte¬ vilo = allgemeine Zahl. 2 Računati. Znesek = das Resultat. Aritmetika = die Aritlnnetik. Posebna in občna aritmetika = be- sondere und all- gemeine Arith- metik. Algebra = die Algebra. Številni izraz = der Zahlenaus- druck. Oklepaj = die Klammer. Zameniti = sub- stituieren. Enaki številni izrazi. Enačba == die Gleichung. Enač- bena dela = Teile der Gleichung. Neenaki številni izrazi. Neenačba = die Ungleichung. Enačaj = das Gleichheits- zeichen. Neenačaj = das Ungleichheits- zeichen. Količina, = die Grobe. in istem računu, pomeni vsakikrat istotoliko enot, kolikor jih je pomenila prvikrat. Različne črke zaznamujejo raz¬ lična števila. Glavni razloček med posebnim in občnim šte¬ vilom je ta, da posebno število zavzema določeno, občno število pa nedoločeno mesto v naravni številni vrsti. Kadar spajamo števila med seboj po določenih pra¬ vilih, tedaj računamo. Število, ki ga najdemo pri računanju, se zove znesek ali rezultat. Nauk o številih in njih medsebojnih zvezah je arit¬ metika. Če se aritmetika peča le s posebnimi števili, se zove posebna aritmetika; če pa se aritmetika peča z občnimi števili, se imenuje občna aritmetika. Občna aritmetika se zove tudi algebra, Vsakemu znaku, ki ga rabimo za število, pravimo številni izraz. Ako spojimo dva ali več enostavnih številnih izrazov v celoto, stvorimo sestavljene šte¬ vilne izraze. Kadar spajamo sestavljene številne izraze med seboj, devamo jih v oklepaje. Oklepaji so raznovrstni: okrogli (), oglati [] in zaviti {}. Kadar je treba okleniti oklepaj, rabimo raznovrstne oklepaje. Ako postavimo v številne izraze namesto občnih števil posebna števila ter izvršimo s temi števili nakazane ra¬ čunske načine, pravimo, da z a meni m o. Ako pomenita številna izraza a in b isto število, pravimo, da sta izraza enaka, v znakih a = b. Dva izenačena številna izraza tvorita enačbo ter se zovet.a enačbena dela. Vsako enačbo utegnemo čitati ali od leve proti desni ali pa obratno od desne proti levi. Ako ima izraz a več enot nego izraz b , pravimo, da je a večji ko b, v znakih a^>b. Če pa ima a manj enot nego 5, je a manjši ko b, v znakih a <^b. Znak = se imenuje enačaj ; znak > ali < se pa zove neenačaj. V votlino neenačaja pišemo večji izraz, pred vrh neenačaja pa manjšega. Vsaka stvar, ki je sestavljena iz enakih delov ali iz delov iste vrste ali se da vsaj tako misliti, se imenuje količina. Bistvena lastnost vsake količine je, da jo mo¬ remo povečati in zmanjšati. 3 Števila sinemo smatrati za količine; zakaj vsako število ima lastnosti, ki se pripisavajo količinam. Razen številnih količin imamo še prostorske količine (telesa, ploskve, črte), fizikalne količine i. t. d. Nauk o številnih količinah je aritmetika, nauk o prostorskih količinah geometrija, nauk o številnih in prostorskih količinah sploh pa matematika. Aritmetika in geome¬ trija sta dela matematike. Podlaga vseh matematičnih izrekov so osnovne resnice, to so resnice, ki so same po sebi razumljive. Matematične osnovne resnice so te-le: 1. Enake količine smeš povsod za meniti med seboj. 2. Ako izpremeniš enake količine na isti način, najdeš enake količine. 3. Vsaka celota je tolika, kolikršni so vsi deli te celote skupaj; torej je vsaka celota večja ko del te celote. Na podlagi matematičnih osnovnih resnic in s po¬ močjo določenih pojasnil uči algebra pravila, po katerih se mora računati (računske zakone), izvaja last¬ nosti številnih izrazov in kaže na nalogah, kako se uporabljajo računski zakoni in lastnosti številnih iz¬ razov. Primerjaj uvod v geometriji! Matematika = die Matllematik. Osnovna resnica = der Grundsatz oder da s Axiom. Matematične osnovne resnice. Kaj uči algebra. Računski zakon = das Rechen- gesetz. r 4 Seštevati = ad- dieren. Seštevanec = der Suminand. Vsota = die Sumrne. Kako izvršiš se¬ števanje dveh števil. Nakazano seštevanje. Na¬ kazana in izraču¬ nana vsota. Kako izvršiš se¬ števanje treh ali več števil. I. Osnovni računski načini s celimi števili. A. Računska načina prve stoprge. § 2. Seštevanje. Dve ali več določenih števil sešteti se pravi, po¬ iskati novo število, ki ima toliko enot, kolikor jih imajo določena števila skupaj. Števila, ki se seštevajo, se ime¬ nujejo seštevanci ali sumandi; število pa, katerega iščeš, se zove vsota. Znak seštevanja je stoječi križ —j—, ki se čita „več“ ali „plus“; stavi se med sumande. Števili amb sešteješ, ako poiščeš v naravni številni vrsti prvi sumand a ter šteješ za toliko enot dalje (na¬ prej), kolikor jih ima drugi sumand b. Število a -j- b, do katerega prideš na ta način, je vsota, kojo iščeš. Številni izraz a -j- b ima dvojen pomen. Ta izraz pomeni, da je treba številu a prišteti število b (nakazano seštevanje); isti izraz pomeni tudi vsoto števil a in b (nakazana vsota). Razen nakazane vsote imamo še izračunano vsoto (navadno pri posebnih številih), t. j. vsota, v kateri so enote sumandov spojene v celoto; v izračunani vsoti ne poznaš več sumandov. N. pr. 17 je izračunana vsota števil 8 in 9, oziroma 10 in 7, 12 in 5 i. t. d. Ako je treba računati z nakazano vsoto, jo oklenemo ; oklepaj rabimo tudi, če hočemo vsoto dveh števil zaznamovati kakor do¬ ločeno število. ' Tri ali več števil sešteješ, ako prišteješ vsoti prvih dveh sumandov tretji sumand, dobljeni vsoti četrti sumand i. t. d. Številni izraz d — j— b —j— c —j— d ima dvojen pomen. Ta izraz pomeni, da je treba vsoti števil a in b prišteti število c in tej vsoti prišteti število d ; 5 isti izraz pomeni tudi vsoto števil «, b, c in d. Kar smo poprej omenili glede na rabo in pomen oklepaja, velja tudi tukaj. Kdaj torej pišemo (a -\- b c -\- d)? Sumandi so deli vsote; torej morajo sumandi in vsota biti ali neimenovana števila ali pa števila istega imena, oziroma iste vrste. Ako so vsi sumandi enaki, se da vsota prav kratko zaznamovati. N. pr. vsoto Ct —|— Cl —j— d —j— Ct —j— d zaznamujemo krajše s 5 a, t.j. enaki sumand a zapišemo samo enkrat, pred njega pa postavimo število 5, ki pove, kolikokrat se mora sešteti število a. Istotako zaznamu¬ jemo tudi vsoto a a H- a -fr ... (m krat) krajše z ma. V izrazili ba in ma imenujemo a glavno količino, 5 (oziroma m) pa koeficient. Koeficient 1 se ne piše ; torej pomeni a toliko kakor 1 a. Glavna količina v številnem izrazu se mora toliko¬ krat sešteti, kakor pove koeficient, ki stoji pred glavno količino. Številni izrazi, ki imajo enake glavne količine, se imenujejo istoimenski; številni izrazi z različnimi glavnimi količinami so pa raznoimenski. Tako sta n. pr. izraza 6 a in 8a istoimenska, izraza 3 a in Ah pa raznoimenska. V izrazu ma -j- na se mora glavna količina a sešteti m krat in ukrat, t.j. skupaj {m -J- n) krat, v znakih ma -]- na = (i m -j- n) a. Istoimenske izraze torej sešteješ, ako sešteješ njih koeficiente in pridržiš skupno glavno količino. Raznoimenske izraze sešteješ, ako na¬ kažeš seštevanje. N. pr. 4a-(-56-(-6c. Kdaj je vsota imenovano, kdaj neimenovano število. Glavna koli5ina= die Hauptgrofie. Koeficient == der Koeffizient. Istoimenski in raznoimenski številni izrazi = gleichnamige und ungleiclinamige Zahlenausdriicke. Kako seštevaš istoimenske, kako raznoimen¬ ske izraze. 6 Zakon o zame¬ njavi sumandov = das Kommuta- tionsgesetz der Addition. Zakona o združe¬ vanju sumandov = die Assozia- tionsgesetze der Addition. Razreševanje oklepajev. V vsaki izmed vsot a -\ -b in b -j- a se nahaja torej je toliko enot kakor v sumandih « in b skupaj ; « —j— b = b —|— «. Če imamo tri ali več sumandov, velja isto. Zato smemo reči: Isti sumandi dado v vsakem redu isto vsoto. V vsaki izmed vsot (d -j- b) -j- c, (« -)- c) -j- b, a -j- (b -j- c) je toliko enot, kolikor jih imajo števila «, b in c skupaj. Torej je (« + 6) c — ( a ~\~ c ) & = a H - (P 4" c )i 1 , . a -j- (b -)- c) = (a -}- b) -)- c. f Vsoti prišteješ število, ako ga prišteje« samo enemu sumandu. N. pr. (2 a 3 b) 4 a = 6 a -j- 3 b, (2 a —j— 3 &) —j— 5 = 2 a -p 8 b. Številu prišteješ vsoto, ako mu prišteješ njene sumande drugega za drugim. N. pr. 6« -|- (la -f- 86) = 13a-)-8č>, 9& -j- (10a -f- 116) = 206 + 10«. Zadnji dve pravili sta prav pogostoma spojeni v enem in istem računu. N. pr. (4 « + 7 6 + 2 c) + (5 « + 3 6 + c) = 9« + 106 + 3c. Povej, kako se je izvršilo navedeno seštevanje! Ako se v računu nahaja oklepaj v oklepaju, izvršiš najprej seštevanje, ki ga nakazuje notranji oklepaj, in potem zaporedoma seštevanja, ki jih nakazujejo naslednji oklepaji. Tako izgine iz računa oklepaj za oklepajem. N. pr. [(5 a + 4 b) + (2 a + 6)] + [(3 a + 6 b) + (« + 7 6)] == = [7 « •+ 5 6] —j— [4 « —j— 136] = 11« -j— 18 b. 7 § 3. Odštevanje. Naloge kakor b -j- ? = a ali ? b = a se rešujejo po drugem računskem načinu, ki se zove odšte¬ vanje. Kaj poznamo in česa iščemo v navedenih nalogah? Odštevati se pravi iz vsote dveh števil (a) in iz enega sumanda (b) poiskati drugega. Določena vsota se imenuje zmanjševanec ali minuend, določeni su- mand se zove odštevanec ali subtrahend in su- mandu, ki ga iščeš, se pravi razlika (ostanek, diferenca). Znak odštevanja je vodoravna črta — , ki se čita „manj“ ali „minus“; stavi se med minuend in subtrahend. Pred znakom odštevanja stoji minuend, za znakom odštevanja pa subtrahend. Od števila a odšteješ število b na dva načina. Z ozirom na prvo zgoraj navedeno nalogo je treba od šte¬ vila b za toliko enot dalje šteti v naravni številni vrsti, da prideš do števila a; število, ki pove, za koliko enot si moral šteti naprej, je razlika. Razlika določa torej raz¬ daljo v naravni številni vrsti od subtrahenda b do mi- nuenda a. — Z ozirom na drugo zgoraj navedeno nalogo najdeš razliko, ako šteješ v naravni številni vrsti od šte¬ vila a za b enot nazaj. Število, do katerega prideš na ta način, je razlika. Da moraš v prvem in drugem slučaju dobiti isti rezultat, je zaradi zakona o zamenjavi su- mandov jasno. Številni izraz _ ima dvojen pomen. Ta izraz pomeni, da je treba od šte¬ vila « odšteti število b (nakazano odštevanje); isti izraz pomeni tudi razliko števil ainb (nakazana raz¬ lika). Razen nakazane razlike imamo še izračunano razliko (navadno pri posebnih številih); v izračunani razliki ne poznaš niti minuenda niti subtrahenda. N. pr. 5 je izračunana razlika števil 9 in 4, oziroma 12 in 7 i. t. d. Ako je treba računati z nakazano razliko, jo oklenemo; oklepaj služi tudi, če hočemo nakazano razliko dveh števil zaznamovati kakor določeno število. Odštevati = sub- trahieren. Zmanj- ševanec = der Minuend. Odšte¬ vanec = der Subtrahend. Raz¬ lika = die Diffe- renz. Kako izvršiš od¬ števanje. Nakazano odšte¬ vanje. Nakazana in izračunana razlika. 8 Razlikina last¬ nost. Kdaj se število ne izpremeni. Kako odštevaš istoimenske, kako razno- imenske izraze. Računski zakoni. Števila pri odštevanju so ali neimenovana števila ali pa števila istega imena, oziroma iste vrste. Zakaj ? Ako sešteješ razliko in subtrahend,dobiš minuend za vsoto, v znakih (a — b) -(- b = a. Število se ne izpremeni, ako mu prišteješ in odšteješ (oziroma odšteješ in prišteješ) eno in isto število, v znakih a — (a -f- b) — b = (a — b) -j- b. Zakaj jasno je, da se število a ne more izpremeniti, ako šteješ v naravni številni vrsti od števila a za b enot na¬ prej in potem za istotoliko enot nazaj, ali ako šteješ od števila a za b enot nazaj in potem za istotoliko enot naprej. V izrazu ma — na se mora glavna količina a sešteti m krat in potem od te vsote odvzeti akrat; torej ostane glavna količina še (m — a) krat kakor sumand, v znakih ma — na = (m — n) a. Istoimenske izraze odštevaš, ako odšteješ njih koeficiente in pridržiš skupno glavno količino. O resničnosti tega pravila se tudi prepričaš, ako prišteješ razliki subtrahend. Raznoimenske izraze odštevaš, ako na¬ kažeš odštevanje. N. pr. ma — nb. Od vsote odšteješ število, ako ga odšteješ od enega sumanda, v znakih (a -j- b) — c = (a — c) -j- b == a -J- (b — c). . . . I. Zakaj jasno je, da zmanjšaš vsoto a -)- b za c enot, ako zmanjšaš sumand a ali pa sumand b za c enot. N. pr. (ha -j- 8 b) — 3 a — 2a -j- 8b, (5a + 86) — hb = ha + 3b. 9 V enačbi pod I. se nahaja tudi pravilo: Za rezultat je vseeno, v katerem redu izvršiš seštevanje in odštevanje določenih števil, v znakih (a -|-6) — c = (a — c) -|- 6. Razlika a — 6 pomeni razdaljo v naravni številni vrsti od subtrahenda l do minuenda a. Primerjaj sliko! 0t23.... b, b + 1 ... . a, a + 1 . . . liliI II I ^ Če se minuend a poveča, oziroma zmanjša za nekoliko enot, se mora tudi razdalja od b do a povečati, oziroma zmanjšati za istotoliko enot. Če se subtrahend b poveča, oziroma zmanjša za nekoliko enot, se razdalja med b in a zmanjša, oziroma poveča za istotoliko enot. Če se mi¬ nuend a in subtrahend b obenem povečata ali zmanjšata za istotoliko enot, mora razdalja med b in a ostati ista. Torej smemo reči: Razliki prišteješ število, ako ga prišteješ minuendu ali pa odšteješ od subtrahenda, v znakih (a — b) -)- c = (a -j- c) — b = a — (b — c) . . .II. Zakaj razliko a — b povečaš za c enot, ako povečaš minuend a za c enot ali pa zmanjšaš subtrahend b za c enot. N. pr. (12 a — 15 6)-)-4a = 16 a — 15 6, (12a — 156) -j- 66 = 12a —96. Od razlike odšteješ število, ako ga od¬ st e ješ od minuenda ali pa prišteješ subtra- hendu, v znakih (.a — 6) — c — (a — c) — 6 = a — (6 -)- c) . . . III. Zakaj razliko a — 6 zmanjšaš za c enot, ako zmanjšaš minuend a za c enot ali pa povečaš subtrahend b za c enot. N. pr. (23a —176) — 14a = 9a — 176, (23a — 176) — 86 = 23« — 256. 10 Razlika dveh števil se ne izpremeni, ako prišteješ, oziroma odšteješ od minuenda in subtrahenda eno in isto število, v znakih a — b = (« -(- m) — (b -(- ?»), a — b = (a — m) — (b —• m). Zakaj razlika a — b ostane neizpremenjena, če povečaš ali zmanjšaš minuend a in subtrahend b obenem za m enot. V enačbah pod II. in III. se nahajata tudi pravili: Za rezultat je vseeno, v katerem redu iz¬ vršiš odštevanje določenih števil, v znakih (a — b) — c = ( a — c) — b. Od števila odšteješ dve ali več števil, ako odšteješ od minuenda vsoto vseh subtraben¬ dov, v znakih (a — b) — c = a — (b -(- c). Ako obrnemo enačbe pod I., II. in III., t. j. ako za- menimo prvi in drugi enačbeni del med seboj, najdemo pravila: a ~\~ {b — c) = (a -j- b) — c, | a — (b — c) = (a — b) -f c, t. j. a — (b -\- c) = (a — b) — c. | Številu prišteješ razliko, ako mu prišteješ minuend in odšteješ subtrahend. N. pr. 4x -j- (9x — 5 y) = 13x — h ij. Številu odšteješ razliko, ako mu odšteješ minuend in prišteješ subtrahend. N. pr. 9x — (4x — 3 y) = 5x -j- 3 ij. Številu odšteješ vsoto, ako mu odšteješ zaporedoma sum and za sumandom. N. pr. 7x — (4x -j- 5 ij) — 3x — h ij. 11 » § 4. Algebrajska števila. Razlika a — b pomeni neko število v naravni šte¬ vilni vrsti, dokler je minuend a večji od subtrahenda b. Ko pa postane minuend a enak ali manjši od subtra- lienda b, ne moremo razlike a — b določiti s pomočjo naravne številne vrste ; kajti ta vrsta se začne s številom 1. Zaraditega je treba naravno številno vrsto podaljšati in obenem prvotni pomen števila primerno razširiti in sicer tako, da ostanejo računski zakoni veljavni tudi za ta slučaj. Ako je minuend enak subtraliendu, nima razlika a — a nobene enote, v znakih a — a = 0. Taki razliki pravimo ničla. Ničla pomeni torej, da ni¬ mamo nobene takšne enote, ki bi bila podlaga računu. Iz tega pomena izvajamo, da se mora ničla nahajati v na¬ ravni številni vrsti pred številom 1, in da se število ne izpremeni, ako mu prišteješ, oziroma odšteješ ničlo. Ako je subtrahend & za c enot večji od minuenda a (torej b = a-j-c), najdeš vrednost razlike a — b po že znanih računskih zakonih tako-le: a — b = a — (« -J- c) — (a — a) — c = 0 — c = — c. Takšno razliko kakor 0 — c ali krajše — c imenujemo negativno število. Negativno število je torej razlika z minuendom 0, ali pa število, ki ima pred seboj znak odštevanja. Ta znak se zove predznak števila in se čita „minus“. Negativno število je manjše od ničle. Ako damo številu c zaporedoma vrednosti 1, 2, 3, 4 i. t. d., najdemo vrsto negativnih števil — 1, — 2, — 3, — 4, — 5 i. t. d., ki tvorijo podaljšek naravne številne vrste. Števila naravne številne vrste nimajo nobenega pred¬ znaka, dokler se ne oziramo na podaljšek te vrste. Takim številom pravimo absolutna števila. Če pa se oziramo na negativna števila, dobivajo števila naravne številne Razlikin pomen. Ničla = die Nuli. Pomen ničle in njene lastnosti. Negativno število = die negative Zahl. Pomen negativnega števila. Absolutno šte¬ vilo = die abso- lute Zahl. Pozi¬ tivno število = die positive Zahl. 12 Relativno ali al- geb rajsko število = die relative oder algebraische Zahl. Podaljšana šte¬ vilna vrsta = die erweiterte Zahlenreihe. Premikanje v po¬ daljšani številni vrsti. vrste predznak -f- (čitaj: plus) in se imenujejo potem pozitivna števila. Pozitivna in negativna števila imajo skupno ime relativna ali algebrajska števila. Enota absolutnih števil je 1 in se imenuje prvotna ali absolutna enota; enota pozitivnih števil je -(-1 in se zove pozitivna enota; enota negativnih števil je — 1 in se imenuje negativna enota. Absolutna števila so sestavljena iz ene ali več absolutnih enot, pozitivna iz ene ali več po¬ zitivnih enot, negativna pa iz ene ali več negativnih enot. Ali je različna pozitivna enota od absolutne? Ako spojimo naravno številno vrsto s podaljškom te vrste, stvorimo neomejeno številno vrsto, ki jo hočemo imenovati podaljšano številno vrsto. To številno vrsto predočujemo na neomejeni premi črti ali na traku, na katerem načrtamo od določene točke enake daljice na vsako stran. Dotična točka predočuje ničlo, vsaka daljica pa enoto; daljice na desno od ničle predstavljajo pozitivne enote, daljice na levo od ničle pa negativne enote. Ena, premikanje v pozitivno smer -_>. —5 —4 —3 —2 —1 0 +1 +2 +3 +4 +3 i__ijiit_j__i_j__i_j •<- premikanje v negativno smer dve, tri ali več daljic na desno skupaj predočuje pozi¬ tivna števila: -j— 1, —)— 2, —|— 3 i. t. d.; ena, dve, tri ali več daljic na levo skupaj predstavlja negativna števila: — 1, — 2, — 3 i. t. d. Primerjaj sliko! V podaljšani številni vrsti ločimo premikanje v pozitivno in negativno smer. Če se premikamo od kakega števila v pozitivno smer, pridevamo dotičnemu šte¬ vilu zaporedoma enoto za enoto ali z dotičnim številom spajamo zaporedoma pozitivne enote. Za kolikor enot se pomaknemo na desno, toliko enot prištejemo dotičnemu številu, ali toliko pozitivnih enot spojimo z dotičnim šte¬ vilom. Ako se pa premikamo od kakega števila v nega¬ tivno smer, jemljemo od dotičnega števila zaporedoma enoto za enoto ali z dotičnim številom spajamo zaporedoma ne¬ gativne enote. Za kolikor enot se pomaknemo na levo, 13 toliko enot odštejemo od dotičnega števila, ali toliko ne¬ gativnih enot spojimo z dotičnim številom. Primerjaj sliko! Pri premikanju v pozitivno smer postajajo števila vedno večja, pri premikanju v negativno smer pa vedno manjša. Torej je 0 > — 1 > — 2 > — 3 i. t. d. Pri vsakem algebrajskem številu je treba ločiti pred¬ znak in množino enot (absolutno vrednost). Pred¬ znak pove, kakšne so enote; absolutna vrednost pa, koliko enot je v številu. N. pr. v številu — a je a negativnih enot. Števili -j- m = 0 -f- m in — m = 0 — m sta v po¬ daljšani številni vrsti enako oddaljeni od ničle v nasprotno smer. Taki dve števili se imenujeta nasprotni števili. Po dve nasprotni števili imata isto absolutno vrednost, pa različna predznaka. Iz — m — 0 — m izvajamo po pojmu o razliki (— m) -j- m = 0, ali tudi (— m) -j- (-)- m) = 0, t. j. Vsota dveh nasprotnih števil je = 0, ali: dve nasprotni števili se uničujeta pri seštevanju. Algebrajska števila navadno oklepamo, kadar je treba z njimi računati. Ko izvršimo nakazane računske načine, odpadejo oklepaji. § 5. Seštevanje algebrajskih števil. Vsota algebrajskih števil izraža toliko pozitivnih in negativnih enot, kolikor jih je v sumandih skupaj. Alge¬ brajska števila sešteješ, ako spojiš enote vseh sumandov s pomočjo podaljšane številne vrste v celoto. Algebrajski števili -j- a in -(- b sta sestavljeni le iz pozitivnih enot; v vsoti teh števil mora biti a -f- b pozi¬ tivnih enot, v znakih (+ «) + (+ = + ( a H - .I\ Algebrajski števili — a in — b sta sestavljeni le iz negativnih enot; v vsoti teh števil mora biti a -j- b nega¬ tivnih enot, v znakih (— a) -f ( b) = —(« + &) Predznak = das Vorzeichen. Absolutna vred¬ nost = der ab- solute Wert. Nasprotna šte¬ vila = entgegen- gesetzte Zahlen. Lastnost na¬ sprotnih števil. Kako seštevaš algebrajska šte¬ vila. II. 14 Algebrajski števili -j- a in — b sta sestavljeni iz na¬ sprotnih (pozitivnih in negativnih) enot. Akoje absolutna vrednost « večja od b, se b pozitivnih in b negativnih enot uničuje; torej ostane za vsoto toliko pozitivnih enot, za kolikor je absolutna vrednost « večja od b , t. j .a — b po¬ zitivnih enot, v znakih (-«) r( I') = +■(«-»}, «>''• • • HI. Algebrajski števili — a in -j- b sta sestavljeni iz nasprotnih enot. Ako je absolutna vrednost a večja od b, se b negativnih in b pozitivnih enot uničuje; torej ostane za vsoto a — b negativnih enot, v znakih ( • a) ■ j- (+ b) = — (« — b ), a > b . . . IV. Ako primerjamo v prvem in drugem, oziroma v tretjem in četrtem slučaju sumande in vsoto glede na predznake in absolutne vrednosti, najdemo za porabno računanje te-le pravili: Dvoje algebrajski h števil z istim pred¬ znakom sešteješ, ako sešteješ njuni absolutni vrednosti in pridržiš skupni predznak. Dvoje algebrajskih števil z različnim pred¬ znakom sešteješ, ako odšteješ njuni absolutni vrednosti in pridržiš predznak večje absolutne vrednosti. Ako je treba sešteti tri, štiri ali več algebrajskih števil, prišteješ vsoti prvih dveh števil tretje število, tej vsoti četrto število i. t. d. Včasih ravnaš pripravneje, ako sešteješ pozitivne in negativne sumande zase ter spojiš dobljeni vsoti v novo celoto. N. pr. (— 14«) -j- (-j- 15«) -j- ( —17«) -j— ( —16«) -)- (-j-19«) = = (— 47 «) -|- (-f- 34 «) = — 13 «. Ako so sumandi raznoimenski, zapišeš jih drugega poleg drugega z njihovimi predznaki vred; pri tem odpadejo oklepaji in znaki seštevanja. Da 15 zaznamuje dobljeni številni izraz vse pozitivne in nega¬ tivne sumandske enote, je jasno. N. pr. (!- 2«) + (- 3b) + (- 5c) + H-4,/) = = 2 a — 3 b — 5 c —(— 4 d. V vsoti algebrajskih števil se sme predznak -)- pri prvem členu in za enačajem izpuščati; predznak — se ne sme nikdar izpustiti. Vsaka vsota algebrajskih števil, kakor n. pr. (-f- a) -(- (— b) -f- (-(- c) -J- (— d) — a — b c — d se imenuje algebrajska vsota ali mnogočlenik, posamezni sumandi se zovejo členi. Algebrajska vsota dveh členov se zore dvočlenik ali binom, vsota treh členov pa tr o členi k ali tri n o m. Izrazom, ki imajo samo en člen, pravimo enočleniki ali m ono mi. V algebrajski vsoti ali mnogočleniku a — b -|- c — d smemo znake —j— in — smatrati ali za predznake dotičnih členov ali pa tudi za računske znake. Kajti spajanje po¬ zitivnih, oziroma negativnih enot z določenim številom se ujema popolnoma s prištevanjem, oziroma z odštevanjem absolutnih enot od dotičnega števila. Po istih pravilih, po katerih seštejemo dvoje alge¬ brajskih števil, spojimo (skrčimo) v celoto tudi istoimenske izraze v mnogočlenikih. Ako je treba številu, oziroma mnogočleniku prišteti mnogočlenik, moramo z dotičnim številom, oziroma s prvim mnogočlenikom spojiti vse pozitivne in negativne enote, ki se nahajajo v drugem mnogočleniku. To pa storimo, ako prištejemo (pripišemo) številu, oziroma prvemu mnogočle¬ niku zaporedoma posamezne člene drugega mnogočlenika. Tore " e 4«~3 i + (-2«-5i + ,)- = 4 a — 3 b — 2a — 5-j- c —2a — 8 & c> Mnogočlenike sešteješ, ako zapišeš nji¬ hove člene drugega poleg drugega z neizpre- Algebrajska vsota = die alge- braische Siimine. Mnogočlenik = das Poljnom. Člen = das Glied. Dvočlenik = das Binom. Tročlenik = das Trinom. Enočlenik = das Monom. S kr če vanj e v mnogočlenikih. Kako seštevaš mnogočlenike. 16 Kako odštevaš algebrajska števila. Kako odštevaš mnogočlenike. menjenimi predznaki in skrčiš istoimenske iz¬ raze. Da smeš oboje naenkrat storiti, se razume samo po sebi. N. pr. (5a — 76 — 9 c) + (3a — 46 + 6c) = 8a — 11&-— 3c. § 6. Odštevanje algebrajskih števil. Algebrajska števila odštevati se pravi, iz vsote dveh algebrajskih števil in iz enega sumanda poiskati drugega. Tudi pri algebrajskih številih je vsota iz razlike in sub- trahenda enaka minuendu. Iz te lastnosti izvajamo za od¬ števanje algebrajskih števil pravilo: Algebrajsko število odšteješ od algebraj- skega števila, ako prišteješ (pripišeš) nespre¬ menjenemu minuendu subtraliend z nasprotnim predznakom; kajti v vsoti iz razlike in subtrahenda se nahaja minuend in dvoje nasprotnih števil, ki se uničujeta. Torej je: (+ a ) — (+ &) = H~ «) + ( ^)> (H - *) — (— = (-(- a) -j- (-j- b), ( a ) — (+ b) = ( a) -)- ( b ), (— a) — (— b) = (— a) -f- (-)- b). Prištej v navedenih primerih razliki subtrahend. Kakšno vsoto najdeš? Od števila, oziroma od mnogočlenika odšteješ rnnogo- členik, ako odšteješ od minuenda toliko pozitivnih in ne¬ gativnih enot, kolikor se jih nahaja v posameznih sub- trahendovih členih, t. j. ako odšteješ od minuenda zapo¬ redoma vsak subtrahendov člen. Z ozirom na zgoraj na¬ vedeno pravilo smemo torej reči: Mnogočlenike odštevaš, ako pripišeš nes¬ premenjenemu minuendu subtrahendove člene z nasprotnimi predznaki in skrčiš istoimenske izraze. Da smeš oboje naenkrat storiti, se razume samo po sebi. N. pr. (6a — Ib -)- 9c) — [(2 a — 5 b — 8c) — (— a -j- 3 b — 4c)] = = (6 a — 7 6 —j— 9 c) — [3 a — 8 b — 4 c] = 3 a -j- b -f- 13 c. 17 § 7. Seštevanje in odštevanje enačb in neenačb. Ako izenačimo dva številna izraza, ki imata enaki vrednosti, stvorimo enačbo. N. pr. 3x— 8 = 2x-\- 5. Izenačena izraza se imenujeta enačbena dela (enač- beni strani). Vsak teh delov utegne biti sestavljen iz členov, ki so spojeni med seboj z znakom seštevanja ali odštevanja. Povej enačbeni strani, enačbene člene in kako so členi združeni med seboj v zgoraj navedeni enačbi! Važne so tiste enačbe, v katerih se nahajajo znane in neznane količine. Znane količine (znanke) zaznamu¬ jemo s posebnimi števili, včasih tudi z začetnimi črkami abecede; neznane količine (neznanke) pa značimo s konč¬ nimi črkami x, y , z, u, v. Tisto število, oziroma tisti številni izraz, ki ustreza enačbi (tvori enačbena dela enaka), se imenuje enačbeni koren. Enačbi določiti koren, se pravi enačbo raz¬ rešiti. Določeno enačbo razrešimo, ako jo pretvorimo tako, da stoji v enem enačbenem delu neznanka sama s koefi¬ cientom —j— 1, v drugem delu pa stoje znana števila. Raz¬ rešena enačba ima torej obliko x — a, kjer pomeni a znano število, oziroma znani številni izraz. Ako izrazimo v znakih, da imata dva številna izraza neenaki vrednosti, stvorimo neenačb o. Tudi v neenačbi ločimo neenačbena dela (neenačbeni strani) in neenačbene člene. Enačbe in neenačbe seštevamo in odštevamo po na¬ slednjih pravilih: a) Ako prišteješ (oziroma odšteješ) enakim številnim izrazom enake izraze, najdeš enake z: noske, v znakih } sešteto , } odšteto c = d ) _ c — a i _ a — j — c = h — |— <7, (i c — b d. Navedeni izrek sledi iz matematičnih osnovnih resnic. Enačba == die Gleichung. Enač¬ bena dela= Teile der Gleichung-. Enačbeni členi = Glieder der Glei¬ chung. Neznanka = die Unbekannte. Znanka. Enačbeni koren = die Wurzel der Gleichung. Raz¬ rešiti = auflosen. Oblika razrešene enačbe. Neenačba = die Ungleichung. Seštevanje in od¬ števanje enačb in neenačb. Matek, Aritmetika. 2 g., r. 18 b) Ako prišteješ (oziroma odšteješ) ne¬ enakim številnim izrazom enake izraze, naj¬ deš v istem zmislu neenake zneske, v znakih a b c a > b c = d sešteto >M = d J odšteto ci — c b — {— (Z, a — c > b — d. Dokaz. Ako je število a za / enot večje od števila b, je a — / = b ali pa a = b Iz a = b c = d sešteto torej je po osnovnih resnicah ci • (— c '^ > b -j— d in c > b — d. c) Ako prišteješ (oziroma odšteješ) enakim številnim izrazom neenake izraze, najdeš v istem (oziroma nasprotnem) zmislu neenake zneske, v znakih a — b c )> d sešteto a = b c > d odšteto ; c > b -j- d, a — c b — d . torej je po osnovnih resnicah in po pojasnilih o odšte¬ vanju absolutnih števil a c > bd m a — c < b-d. 19 cl) Ako prišteješ (oziroma odšteješ) ne¬ enakim številnim izrazom neenake izraze v istem (oziroma nasprotnem) zmislu, najdeš ne¬ enake izraze v zmislu prvih izrazov, v znakih a b i c > d / sešteto O/ —j— c h —|— d , a )> b c <4 d | odšteto a — c )> b — d. Dokaz. Iz a = b 4- / 1 sesteto c = d (j J sledi a -(- c =(&-)- d) -)- (/ -(- f/)> in iz « = 54 -/] 7 1 \ odšteto c = d — g ) sledi a — c — (b — d) -)- (/ -J- g ); torej je po osnovnih resnicah a c b -)- d in a — c b — d. Naloge. 1. Razreši enačbo 3x — 8 = 2o? —{— 5. Navedeno enačbo razrešiš, ako odpraviš iz prvega enačbenega dela znani člen 8 in iz drugega dela člen 2x. Prvo dosežeš, ako prišteješ enačbenima deloma število 8, drugo pa, ako odšteješ od enačbenih delov številni izraz 2x. Primerjaj naslednjo razrešitev. Razrešitev: Preizkus: 3x — 8 — 2x -j- 5 I. del = 39 — 8 = 31, 3* = 2x -j- 13 II. del = 26 -j- 5 = 31. x = 13. Iz navedenih pojasnil izvajamo za porabno računanje to-le pravilo: Vsak člen odpraviš iz enega enačbenega dela, ako ga prestaviš v drugi del z nasprotnim predznakom. Razreševanje enačb. Prestavljanje čle¬ nov = das Trans- ponieren der Glieder. 2 * 20 Preizkus = die Probe. Pretvarjanje ne- enačb. Preizkus napraviš, ako zameniš v določeni enačbi neznanko z najdenim korenom ter izračunaš vrednosti prvega in drugega dela. Če se ujemata te vrednosti, si prav razrešil enačbo. 2. Razreši enačbo 8 — (4 -f- bx) = (5 — 6x) -)- (— 4 -j- 2x). Ako izvršiš nakazana računska načina, najdeš 4 — 5x = 1 — 4x. Če prestaviš potem člen bx v drugi enačbeni del in člen 1 v prvi del ter skrčiš izraze kolikor mogoče, dobiš 3 = x. Preizkus: I. del = 8 — (4 + 15) = — 11, II. del = (5 — 18) + (— 4 + 6) = — 11. 3. Določi mejo za x v neenačbi 5 a — 3 j 2 x )> 3a; — 1 -j- 4 a. V navedeni neenačbi moraš iz prvega dela odpraviti člen 2x, iz drugega dela pa člena 1 in 4 a. Prvo dosežeš, ako odšteješ od obeh neenačbenih delov številni izraz 2x, drugo pa, ako prišteješ (oziroma odšteješ) obema deloma število 1 (oziroma izraz 4 a). Razrešitev je ta-le: 5 a — 3 2 x 3 x — t -j- 4 a 5a — 3 x — l-j-4« 5 a — 2 x -\-A a a — 2 > *. Iz navedenega sledi, da se tudi v neenačbah odpravi vsak člen iz enega dela, ako se postavi v drugi del z na¬ sprotnim predznakom. 4. Določi meji za * v neenačbi 3a;-|-6a — 8<^4a;-j-5a — 7 <^3x-j-6a—-6. V navedeni neenačbi, ki je sestavljena iz treh delov, odpraviš člen 3x iz zunanjih delov, ako odšteješ od vseh 21 treh delov izraz 3x; iz srednjega neenačbenega dela pa odpraviš člena 5 a in 7, ako odšteješ (oziroma prišteješ) vsem trem delom izraz 5 a (oziroma število 7). Razrešitev je ta-le: 3 x -J- 6 a — 8 <[ 4 x -(- 5 a — 7 <( 3 x -)- 6 a — 6 6« — 8 117. Kvadrat in kub binoma. S pomočjo pojma o potencah in zadnjega zakona najdemo: (a -f- b) 2 = (« -j- b ) (a | h) = rt 2 -(- 2 ab -|- b 2 = = « 2 -| -b 2 + 2 ab. (i a — b) 2 — (a — b) (a — b) — a 2 — 2 ab -j- b 2 = = a 2 -|- & 2 — 2 «5. (a -(- &) (a — b) — a 2 — 5 2 . (a • | b) 3 — (« -j- 5) (a -)- b) (« -|- />) = i = a 3 -j .3 a 2 b j 3al> 2 ^h\ (a — b ) 3 = (a — b) (« — b) (rt — 6) = = a 3 — 3a 2 & + 3 ab 2 — č> 3 . Kvadrat vsote (razlike) dveh števil je enak vsoti kvadratov teh števil, povečani (zmanj¬ šani) za dvojni produkt obeh števil. Produkt iz vsote in razlike dveh števil je enak razliki kvadratov obeh števil. Kub vsakega binoma je algebrajska vsota: 1. iz kuba prvega člena; 2. iz trojnega kvadrata prvega člena, pomnoženega z drugim členom; 3. iz trojnega prvega člena, pomnoženega s kvadratom drugega člena; 4. iz kuba drugega člena. Pri vsoti so vsi členi pozitivni, pri razliki pa sta drugi in četrti člen negativna. 29 § 9. Deljenje. Naloge kakor b X ? = a ali ? X & - = a se rešujejo po četrtem računskem načinu, ki se zove de¬ ljenje. Kaj poznamo, česa iščemo v navedenih nalogah? Deliti se pravi, iz produkta dveh faktorjev in iz enega faktorja poiskati drugega. Produkt dveh faktorjev se imenuje deljenec ali dividend; določeni faktor se zove delitelj ali divizor; faktorju, katerega iščeš, se pravi količnik ali kvocijent. Deljenje značita dve piki, stoječi druga nad drugo (:) ali pa vodoravna črta (—). Ako rabimo prvi znak, zapišemo dividend pred znak de¬ ljenja, divizor pa za znakom deljenja; če pa rabimo drugi znak, stavimo dividend nad črto, divizor pa pod črto. Zgoraj navedeno nalogo zapišemo torej tako-le: a:b = ? ali pa — ? (čitaj: a deljeno z &, ali: a naj se deli z b, ali pa tudi: b se nahaja v a). Število a deliš s številom b na dva načina. Z ozirom na prvo zgoraj navedeno nalogo izvršiš deljenje, ako sešteješ število b tolikokrat, da najdeš število a, t. j. divizor b se mora tolikokrat sešteti, kolikorkrat se da odvzeti od dividenda a. Delitev, ki se izvršuje na ta način, se zove merjenje. Pri merjenju se torej preiskuje, ko¬ likokrat se divizor nahaja v dividendu. Dividend in divizor utegneta biti ali neimenovani števili ali pa količini iste vrste; kvocijent je vselej neimenovano število, ki pove, kolikokrat se divizor nahaja v dividendu. — Z ozirom na drugo zgoraj navedeno nalogo izvršiš deljenje, ako poiščeš takšno število, ki ga moraš fr krat sešteti, da naj¬ deš dividend a. Število, katerega iščeš, je torej toliki del dividenda, kakor kaže divizor. Vsaka delitev v tem zmislu se imenuje pravo deljenje ali deljenje v ožjem pomenu besede. Pri pravem deljenju se torej razdeli dividend na toliko enakih delov, kakor kaže divizor. Di¬ vidend utegne biti ali neimenovano število ali pa količina, Deliti v širjeni pomenu besede = dividieren. De¬ ljenec = der Di¬ vidend. Delitelj = der Divisor. Ko¬ ličnik = der Quotient. Kako izvršiš de¬ litev. Merjenje = das Messen. De¬ ljenje v ožjem pomenu besede = das Teilen. Količine pri mer¬ jenju in pravem deljenju. 30 Nakazano de¬ ljenje. Nakazani in izračunani kvocijent. divizor je vselej neimenovano število; kvocijent je divi- dendov del in se ravna glede na ime po dividendu. — Da moraš v prvem in drugem slučaju dobiti isti rezultat, ne oziraje se na njegov pomen, je zaradi zakona o zamenjavi faktorjev jasno. Številni izraz a : b ali pa | ima dvojen pomen. Ta izraz pomeni, da je treba število a deliti s številom b (nakazano deljenje); isti izraz pomeni tudi kvocijent števil a in b (nakazani kvo¬ cijent). Razen nakazanega kvocijenta imamo še iz¬ računani kvocijent (navadno pri posebnih številih); v izračunanem kvocijentu ne poznaš niti dividenda niti divizorja. N. pr. 7 je izračunani kvocijent števil 63 in 9. Ako je treba z nakazanim kvocijentom računati (posebno, kadar ima obliko a:b ), ga oklenemo; oklepaj rabimo tudi, če hočemo nakazani kvocijent dveh števil zaznamo¬ vati kakor določeno število. Iz navedenih pojasnil o deljenju izvajamo: 1. Ako pomnožiš kvocijent dveh števil z divizorjem, dobiš dividend kot produkt, v znakih (a :b) • b = a ali j • b — a. 2. Ako sta dividend in divizor enaka, je kvocijent enak 1, v znakih a : a = 1 ; kajti 1 • a = a. 3. Kvocijent je enak dividendu, če je di¬ vizor = 1, v znakih a: 1 = a ; kajti a • 1 = a. 4. Kvocijent je — 0, ako je dividend = 0, v znakih 0 : a = 0 ; kajti 0 • a = 0. 5. Kvocijent se ne da določiti, ako je di¬ vizor = 0. Kajti za kvocijent 0 : 0 smeš vzeti vsako 31 število x, ker je x • 0 = 0. Kvocijent a : 0 pa je nemogoč, ker ni števila, ki bi z ničlo pomnoženo dalo produkt a. 6. Število se ne izpremeni, ako ga zapore¬ doma pomnožiš in deliš (oziroma deliš in po¬ množiš) z enim in istim številom, v znakih a — am: m ali a — — • m ; -m 7 kajti a • m = am. Primerjaj 1.! Ako sta dividend in divizor algebrajski števili, moraš Kato dei« aige- pri določevanju kvocijenta gledati na dvoje, prvič na pred- brajska stevila ' znak, drugič na absolutno vrednost. Ker mora kvocijent, pomnožen z divizorjem, dati v vsakem slučaju dividend za produkt, morata torej kvocijent in divizor (faktorja) imeti enaka predznaka, če je dividend pozitiven; različna predznaka pa, če je dividend negativen. Torej je Iz navedenih primerov posnamemo za porabno ra¬ čunanje ta-le pravila: Kvocijent dveh algebrajski h števil je po¬ zitiven, ako sta dividend in divizor enako za¬ znamovana. Kvocijent dveh algebrajskih števil je ne¬ gativen, ako sta dividend in divizor različno zaznamovana. Absolutno vrednost kvocijenta izračunaš pri algebrajskih številih istotako kakor pri absolutnih številih. Kvocijent (alb) pomeni toliki del dividenda a, kakor Kvocijentoveiz¬ kaže divizor b. Ako povečaš (zmanjšaš) le dividend a 1>,c " 11 dve-, tri-, .. .ra krat, mora se očividno tudi kvocijent isto- tolikokrat povečati (zmanjšati), t. j. ako pomnožiš (deliš) 32 le dividend z določenim številom, pomnožiš (deliš) kvo- cijent z istim številom in obratno. Ako napraviš iz divi¬ denda a dve-, tri-, ...»krat več (manj) enakih delov, morajo ti deli postati istotolikokrat manjši (večji), t.j. ako pomnožiš (deliš) divizor z določenim številom, deliš (po¬ množiš) kvocijent z istim številom in obratno. Ako po¬ večaš (zmanjšaš) dividend in divizor obenem istotolikokrat, se mora kvocijent zaporedoma istotolikokrat povečati in zmanjšati (oziroma zmanjšati in povečati), torej ostane neizpremenjen. Računski zakoni. j z navedenih pojasnil izvajamo pravila: Kvocijent pomnožiš s številom, ako po¬ množiš le njegov dividend, ali pa deliš le nje¬ gov divizor z dotičnim številom, v znakih a um a Kvocijent deliš s številom, ako deliš le njegov dividend, ali pa pomnožiš le njegov di¬ vizor z dotičnim številom, v znakih a a: m a b 1 m = ~b~ = bm II. Kvocijent se ne izpremeni, ako pomnožiš (deliš) dividend in divizor obenem z istim šte¬ vilom, v znakih a am a : m b bm b : m' V enačbah pod I. in II. se nahajata tudi pravili: Za rezultat je vseeno, v katerem redu iz¬ vršiš deljenje in množenje določenih števil, v znakih Za rezultat je vseeno, v katerem redu iz¬ vršiš deljenje določenih števil, v znakih a , : m b a: m ~T~' 33 Ako obrnemo enačbe pod I. in II., najdemo pravila : am a a h : m a J' m , t. j. a a bm ~ J :m ’ Produkt deliš s številom, ako deliš le en faktor z dotičnim številom. Število deliš s kvocijentom, ako ga deliš z dividendo m in znesek pomnožiš z divi zorjem. Število deliš s produktom, ako ga deliš z enim faktorjem in znesek z drugim faktorjem. Potence iste podloge deliš, ako pridržiš skupno podlogo ter odšteješ potenčne ekspo¬ nente, v znakih a m : a n = a m n ; kajti a m ~ n • a n = a m . Vsoto deliš s številom, ako deliš vsak su¬ ni and s številom ter sešteješ delske kvocijente, v znakih (a -\-b -\- c) : m = a m kajti ( \ b_ m ^ • m = a -)- b -)- c. Zadnje pravilo velja za vsako vsoto, torej tudi za algebrajsko vsoto ali mnogočlenik. Zato smemo reči: Mnogočlenik deliš s številom, ako deliš vsak člen z dotičnim številom ter algebrajsko sešteješ delske kvocijente. Produkt iz divizorja in kvocijenta je v vsakem slu¬ čaju enak dividendu. Ako sta divizor in kvocijent urejena mnogočlenika, se mora po pravilih o množenju mnogo- členskih izrazov v dividendu nahajati toliko delskih pro¬ duktov, kolikor členov ima kvocijent, in prvi dividendov člen je produkt iz prvega divizorjevega in prvega kvoci- jentovega člena. Prvi kvocijentov člen najdeš torej, ako 3 r. Matek, Aritmetika. 34 deliš prvi dividendov člen s prvim divizorjevim členom. Če pomnožiš potem ves divizor s prvim kvocijentovim členom ter odšteješ ta delski produkt od dividenda, naj¬ deš prvi dividendov ostanek, v katerem se nahaja še toliko delskih produktov, kolikor členov še manjka kvo- cijentu. Ker je prvi člen urejenega dividendovega ostanka produkt iz prvega divizorjevega in drugega kvocijen- tovega člena, najdeš torej drugi kvocijentov člen, ako deliš prvi člen dividendovega ostanka s prvim divizorjevim členom. Če pomnožiš potem ves divizor z drugim kvoci¬ jentovim členom ter odšteješ ta delski produkt od prvega dividendovega ostanka, najdeš drugi dividendov ostanek, v katerem se nahaja še toliko delskih produktov, kolikor členov še manjka kvocijentu. Iz urejenega drugega divi¬ dendovega ostanka izračunaš naslednji kvocijentov člen istotako, kakor si določil drugi kvocijentov člen iz prvega dividendovega ostanka (oziroma prvi kvocijentov člen iz popolnega dividenda) i. t. d. Primerjaj navedeni račun: (8 — 26 a 3 b — a 2 b 2 — 9a¥ — 42 ¥): (2 a°- — 5 ab — Ib 2 ) = 8 a 4 — 20 a% — 28 a 2 b 2 = 4 a 2 — 3 ab + 6 b 2 , — 6a 3 &4-27a 2 6 2 — 9 ab s — 6a% -j- 15« 2 6 2 -j- 21ab 3 12« 2 ž> 2 — 30ab 3 — 42 ž> 4 12 a 2 b 2 —- 30 ab 3 — 42 ¥ (8a 4 — 26 a 3 b — a 2 b 2 — 9ab s — A2¥): (2a 2 — hab — 7& 2 ) = — 6 a% + 27 a 2 b 2 — 9 ab 3 = 4 a 2 — 3 ab -f 6 b 2 . 12 a 2 b 2 — 30 ab 3 — 425 4 0 Iz navedenega posnamemo za delitev mnogočlenskih izrazov to-le pravilo: 1. Uredi, prej ko začneš deliti, dividend in divizor na isti način. 35 2. Prvi kvocijentov člen najdeš, ako deliš prvi dividendov člen s prvim divizorjevim čle¬ nom. Potem pomnožiš ves d i viz or s prvim kvo- eijentovim členom ter odšteješ ta delski pro¬ dukt od dividenda. Tako najdeš prvi dividendov ostanek, katerega je treba istotako urediti, kakor si začetkoma uredil dividend in di¬ vi z o r. 3. Iz prvega dividendovega ostanka izra¬ čunaš drugi kvocijentov člen na isti način, ka¬ kor si našel iz popolnega dividenda prvi kvo¬ cijentov člen. 4. Naslednje kvocijentove člene izračunaš iz naslednjih dividendovih ostankov istotako, kakor si našel drugi kvocijentov člen. Samo po sebi se razume, da zapišeš v dividendove ostanke samo toliko členov, kolikor jih ravno potrebuješ. Pismeni račun si prav zdatno okrajšaš, ako odšteješ delske produkte kar pri njih izračunanju od dividenda, oziroma od dividendovih ostankov. Primerjaj navedeni račun! Ako prideš pri deljenju do ostanka, katerega prvi člen ima glavno količino v manjši potenci ko prvi divizorjev člen, pretrgaš delitev. V tem slučaju je kvocijent le približno določen; produkt iz divizorja in kvocijenta je za delitveni ostanek manjši od dividenda. § 10. Množenje in deljenje enačb in neenačb. a) Ako množiš (deliš) enake številne izraze z enakimi izrazi, najdeš enake zneske, v znakih a = b 1 ^ j pomnoženo ac = Id, Navedeni izrek sledi iz matematičnih osnovnih resnic. 3 * 36 b) A ko množiš (deliš) neenake številne iz¬ raze z enakimi izrazi, najdeš v istem zmislu neenake zneske, v znakih a "> h I _ 2 j- pomnoženo ac bd, Dokaz. Iz a c d pomnoženo a > b c — d | deljeno a b ~č ^ h' a c | deljeno sledi ac = bd df in — = ~ -i- ~ ■ ' J c d ' d' torej je po osnovnih resnicah ac )> bd in a '> \. c ^ d c) Ako množiš enake številne izraze z ne¬ enakimi izrazi, najdeš v istem zmislu neenake izraze, v znakih: iz a — b in c > d sledi ac > M. Dokaz je popolnoma sličen dokazu pod b). d) Ako množiš večji številni izraz z večjim izrazom, najdeš večji izraz, v znakih: iz a > b in c d sledi ac bd. Dokaz. Iz a ■■■ b -j- f \ _ , J ‘ pomnoženo C — (L i (J J sledi ac = bd -}- (df - j- bg torej je po osnovnih resnicah ac )> bd. e) Ako deliš enake številne izraze z ne¬ enakimi izrazi, najdeš v nasprotnem zmislu neenake izraze, v znakih: iz a = b in c ]> d sledi a b c ^ d * Dokaz, če bi bil kvocijent a ' gš in bi ta kvocijent pomnožili z neenačbo c d, bi dobili " • c )> * • d ali krajše a > 6, kar nasprotuje pogoju a = b. Torej mora biti “ < c ^ d 37 f) Ako deliš večji številni izraz z manjšim izrazom, najdeš večji izraz, v znakih: iz a > b in c < d sledi " 4 *.* c ^ d Dokaz je popolnoma sličen prejšnjemu. Naloge. 1. Razreši enačbo : (2* + l) (ar— 3) — (3* — 4) (2* 4 5) = 74 — (2* — 3) 2 . Navedeno enačbo razrešiš, ako izvršiš najprej na¬ kazane računske načine v vsakem enačbenem delu, potem prestaviš člene z neznanko v en del, znane člene pa v drugi del, in končno deliš oba enačbena dela z neznan- kinim koeficientom. Razrešitev: (2cc 2 — 5* — 3) — (6* 2 4- 7* — 20) = 74 — (4* 2 —12* + 9) — 4* 2 — 12* 4 17 = 65 — 4.r 2 4 12* — 24* = 48 * = — 2 . Preizkus: I. del = (— 3) (— 5) — (— 10) ■ 1 = 15 +10 = 25, II. del = 74 — (— 7) 2 = 74 — 49 = 25. 2. Razreši enačbo: (12* 4 — 7* 3 — 38* 2 — 7* 4- 10) : (3a 2 — 4* — 5) = = (2* —3) (2* 4-3) 4-4. Navedeno enačbo razrešiš, ako postopaš istotako kakor pri prejšnji enačbi. Razrešitev: 4* 2 -j- 3* — 2 = 4* 2 — 9 44 3* = — 3 * = — 1 . Preizkus: I. del - (12 -f 7 — 38 7 4" 10) : (3 4 ^ 5) = = (- 2 ): 2 = - 1 , II. del = (— 5) • 1 4 4 = — 5 4 4 = — 1. Razreševanje oklepajev pri enačbah. 38 Številni sestav = das Zahlen- system. Desetiški številni sestav = das dekadische Zahlensystem. Dekadične enote = die dekadi- schen Einheiten. 3. Določi tista cela števila, ki ustrezajo neenačbi 5as —j— 9 <11. v — 21 < bx — 3. Nalogo razrešiš, ako odpraviš iz zunanjih neenačbenih delov člen bx, iz srednjega neenačbenega dela pa člen 21, in potem deliš vse tri neenačbene dele z neznankinim koeficientom. Razrešitev: 5/-: 9 <11* — 21 < bx — 3 9 < 6x — 21 < — 3 30 < 6x < 18 5 < x < 3. Z ozirom na pogoj naloge je torej x = 4. Na katere izreke se opirajo razrešitve navedenih enačb in neenačb? C. Lastnosti celih števil. § 11. Številni sestavi. Vsakemu številu se da pridejati enota in z dobljenim številom zopet spojiti enota. Tako postopajoč najdemo neizrečeno veliko števil, ki se imenujejo cela števila. Če hočemo ta števila izraziti v govoru in predočiti pismeno, je treba za vsako število posebnega imena in znaka. Pa teh imen in znakov ne sme biti preveč, da si jih moremo zapomniti in da ne postane njih raba pretežavna. Zato so pregledno razvrstili števila po skupinah in so izumili jako enostavna pravila, po katerih je mogoče s primeroma pičlo množico besed in znakov izraziti v govoru in pred¬ očiti pismeno vsa potrebna cela števila natanko in določno. Ta pregledna razvrstitev števil se imenuje številni se¬ stav ali sistem. Vsi omikani narodi rabijo desetiški ali dekadični številni sestav. Število 10 urejuje ta sestav. V desetiškem številnem sestavu ne štejemo nepre¬ stano naprej, temveč prenehamo s štetjem večkrat. Rav¬ namo tako-le. Ko naštejemo deset prvotnih enot 39 (enic ali dekadičnih enot brez reda), pretrgamo štetje ter začnemo šteti od kraja in štejemo zopet do deset. Če ponavljamo na ta način štetje, nastajajo sku¬ pine po deset prvotnih enot. Tem skupinam pravimo dekadične enote prvega reda ali krajše desetice (10 == 10 1 ). Ko naštejemo s prvotnimi enotami deset skupin po deset enot, t. j. deset desetic, pretrgamo zopet štetje ter združimo te skupine (desetice) v novo in večjo celoto, katero imenujemo dekadično enoto drugega reda ali stotico (100 == 10 2 ). Potem začnemo šteti zopet od kraja, in ko naštejemo deset skupin drugega reda, t. j. deset stotič, spojimo te nove skupine v večjo celoto, ki jo imenujemo dekadično enoto tretjega reda ali tisočico (1000 = 10 3 ). Če nadaljujemo štetje na ta način, nastajajo vedno nove in večje skupine, katere imenujemo dekadične enote četrtega, petega, šestega . . . reda ali desettisočice, s t o t i s o - čice, milijonice i. t. d. (10000 = 10 4 , 100.000 = 10 5 , 1,000.000 = 10 6 , . . .). Iz navedenega spoznamo: deset enic tvori desetico, deset desetic tvori stotico, deset stotič tvori tisočico i. t. d. Deset dekadičnih enot določenega reda tvori torej dekadično enoto naslednjega viš¬ jega reda. Vsako celo število desetiškega sestava je popolnoma določeno, ako povemo, koliko ima enic, desetic, stotič i. t. d. Pri pismenem predočevanju celih števil so se deka- dičnim enotam odločila posebna mesta, ki se štejejo od desne proti levi. Na prvo mesto pišemo enice, na drugo desetice, na tretje stotice i. t. d. Znano ali določeno mno¬ žino enot kateregakoli reda zaznamujemo z arabskimi šte¬ vilkami : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 in z znakom 0, ki pomeni, da na tistem mestu, kjer stoji ničla, ni nobene enote; neznano ali nedoločeno množino enot kateregakoli reda pa zaznamujemo s črkami. Vsaka številka naznanja torej na drugem mestu toliko desetic, na tretjem toliko stotič, na četrtem toliko tisočic i. t. d., kolikor na prvem enic. Pri vsaki številki določenega reda moramo ločiti dvojno vrednost in sicer številčno vrednost, Zakon o tvoritvi dekadičnih enot. Kdaj je dekadično število določeno. Pismeno pred- očevanje deka¬ dičnih števil. Načelo o mestni vrednosti številk. Številčna vred¬ nost = der Ziffermvert. 40 Mestna vrednost = der Stellen- wert. Oblika dekadič- nega števila. Podloga števil¬ nega sestava = die Basis des Zahlensystems. Enote številnega sestava vobče. ki naznanja množino enot, in mestno vrednost, ki pove red enot. Prva vrednost je odvisna od podobe dotične številke in je zaradi tega neizpremenljiva; druga vred¬ nost pa je odvisna od mesta, na katero se zapiše šte¬ vilka, in je zato izpremenljiva. Dekadično število N, ki je sestavljeno iz a enic, b desetic, c stotič, d tisočic i. t. d., predočimo pismeno tako-le : N = a + b • 10 -j- c • 10 2 -j- d • 10 3 . . ., ali pa obratno : N = . .. -f d ■ 10 3 4- c . 10 2 + b ■ 10 -f a. Vsako posebno dekadično število se da smatrati za mnogočlenik, ki je urejen po padajočih potencah pod¬ loge 10. N. pr. 7452 = 7 • 10 3 + 4 • 10 2 -f 5 • 10 -f 2. Število 10 se imenuje podloga desetiškega števil¬ nega sestava. Če uredimo števila naravne številne vrste po kaki drugi podlogi, n. pr. po podlogi 8 (oziroma po pod¬ logi jo), stvorimo številni sestav s podlogo 8 (ozi¬ roma s podlogo p). Pri tem postopamo tako-le. Ko na¬ štejemo 8 (p) prvotnih enot, pretrgamo štetje ter začnemo od kraja šteti in štejemo zopet do 8 (p). Če na ta način ponavljamo štetje, nastajajo skupine po 8 (p) prvotnih enot. Tem skupinam pravimo enote prvega reda (8 1 , oziroma p 1 ). Ko naštejemo s prvotnimi enotami 8 (p) skupin po 8 (p) enot, pretrgamo zopet štetje ter združimo te skupine (enote prvega reda) v novo in večjo celoto, katero imenujemo enoto drugega reda (8 2 , oziroma p 2 ). Potem začnemo šteti zopet od kraja, in ko naštejemo 8 (p) skupin drugega reda, spojimo te skupine v večjo celoto, ki jo imenujemo enoto tretjega reda (8 3 , oziroma p s ). Če nadaljujemo na ta način štetje, na¬ stajajo vedno nove in večje skupine, ki jih imenujemo enote četrtega, petega, šestega ... reda (8 4 , 8 5 , 8 6 ..., oziroma ^> 4 , p 5 , p 6 ...). 41 Vsako celo število številnega sestava s podlogo 8 (p) je popolnoma določeno, ako povemo, koliko ima prvotnih enot (enot brez reda), koliko enot prvega, dru¬ gega, tretjega, ... reda. Pri pismenem predočevanju celih števil številnega sestava s podlogo 8 (p) se odločijo prvotnim in višjim enotam istotako posebna mesta kakor v desetiškem šte¬ vilnem sestavu. Tudi množina enot kateregakoli reda se zaznamuje na isti način. Koliko in katere številke rabimo torej v številnem sestavu s podlogo 8? Število N številnega sestava s podlogo 8 (p) pred- ečimo tako-le: K = a -f 6 • 8 + c • 8 2 -f d • 8 8 -f . . ., oziroma N = a, -(- b •, p -f- c • p 2 -j- d • p 3 ..., kjer pomenijo a prvotne enote, b enote prvega reda, c enote drugega reda 3. t. d. Vsako posebno število številnega sestava s podlogo 8 se da smatrati za mnogočlenik, urejen po padajočih po¬ tencah podloge 8. N. pr. 6572 [8] = 6 • 8 8 + 5 • 8 2 + 7 • 8 + 2. Vsakemu posebnemu številu, ki ni desetiškega šte¬ vilnega sestava, se mora pripisati podloga dotičnega se¬ stava. Poglej zgoraj navedeni primer! Pravila, po katerih se izvršujejo osnovni računski načini dekadičnih števil, so znana in se opirajo na ra¬ čunske zakone, ki veljajo o mnogočlenskih izrazili. Popol¬ noma slično je tudi računanje s števili, ki niso desetiškega sestava. Naloge. 1. Pretvori število 50432 [8] v desetiški šte¬ vilni sestav! Po zgoraj navedenih pojasnilih je 50432 [8] = 5 • 8 4 —|— 4 - 8 2 —j— 3 - 8 —j— 2 = = 20480 + 256 + 24 + 2 = 20762. 2. Pretvori dekadično število 8734 v šte¬ vilni sestav s podlogo 8! Pismeno predoče- vanje celih števil v kakem števil¬ nem sestavu. Oblika celega števila v kakem številnem sestavu. Računanje s celimi števili. 42 Nalogo razrešiš, ako izračunaš vrednosti višjih enot številnega sestava [8] ter izmeriš s temi vrednostmi do¬ ločeno dekadično število. 8 1 = 8 8 2 — 64 8 3 = 512 8 4 =' 4096. Torej je 8734 = 21036 [8]. Ako je treba n. pr. določeno število številnega se¬ stava [6] pretvoriti v številni sestav [9], pretvoriš dotično število najprej v desetiški številni sestav in to vrednost potem v številni sestav [9]. 3. Določi a) vsoto, b) razliko števil 7453 in 5671 številnega sestava [8]! a) 7453 b) 7453 5671 5671 15344 [8]. ' 1562 [8]. Seštevati se dadč le enote istega reda. Najprej sešteješ enote brez reda in potem zaporedoma enote naslednjih višjih redov. Seštevanje izvršiš s pomočjo desetiškega sestava; vsako dobljeno vsoto pretvoriš potem v številni sestav [8]. N. pr. 7 in 5 da 12, t. j. v številnem sestavu [8] — 1 enota naslednjega višjega reda in 4 enote tistega reda, katerega so sumandi. Primerjaj navedeni račun! Če je pri odštevanju v številnem sestavu [8] kaka minu- endova številka manjša od subtrahendove istega reda,prišteješ dotični minuendovi številki 8 enot in subtraliendovi številki naslednjega višjega reda 1 enoto. Primerjaj navedeni račun! 4. Določi a) produkt števil 427 in 536 števil¬ nega sestava [8], b) kvocijent števil 620776 in 643 številnega sestava [8]! a) 427 X 536 2563 1505 3212 276562 [8]. b) 620776 : 643 = 752 [8] 5565 4227 4057 1506 1506 8734 ; 4096 = 2 542 : 512 =1 30: 8 =3 6 : 1 = 6 . 0 43 Pri množenju rabiš poštevanko desetiškega številnega sestava. Vsak znesek pretvoriš, prej ko ga zapišeš, v šte¬ vilni sestav [8]. N. pr. Prvi delski produkt zgoraj navedenega računa določiš tako-le: 5 krat 7 je 35, t. j. v številnem sestavu [8] = 4 enote višjega reda in 3 enote tega reda (katerega je znesek 35); 5 krat 2 je 10 in 4 da 14, t. j. v številnem sestavu [8] = 1 enota višjega reda in 6 enot tega reda (katerega je znesek 14); 5 krat 4 je 20 in 1 da 21, t. j. v številnem sestavu [8] = 2 enoti višjega reda in 5 enot tega reda (katerega je znesek 21). Da govoriš pri računanju samo toliko, kolikor je neobliodno potrebno, se razume samo po sebi. § 12. Občna pojasnila in znamenja o deljivosti. Ako delimo celo število A s celim številom m ter najdemo celo število a kot kvocijent, pravimo, da je šte¬ vilo A deljivo s številom m, v znakih A = am. Šte¬ vilo A imenujemo mnogokratnik števila m, število m pa mero števila A. Vsako celo število, ki je deljivo le z 1 in s samim seboj, se imenuje enostavno število ali praštevilo; vsako celo število pa, ki ni le deljivo samo z 1 in samim seboj, temveč še z drugimi števili, se zove sestavljeno število. Ako sta celi števili A in B deljivi z istim številom m , pravimo, da je m skupna mera števil A in B. Skupna mera dveh števil je tudi mera vsote, oziroma razlike te h števil. Dokaz. Iz pogojnih enačb A = am in B — bm naj¬ demo : A —|— B = {a —j— 6) m : A — B = (a — b) m , t. j. vsota A j B, oziroma razlika A — B je mnogokratnik števila m. Ako ima določeno število kako mero, ima tudi vsak mnogokratnik dotičnega števila isto mero. Deljiv = teilbar. Mera = das Mafi. Mnogokratnik = das Vielfache. Praštevilo = die Primzalil. Sestavljeno šte¬ vilo = die zu- sammengesetzte Zahl. Skupna mera = das g-emeinsaine Mafi. Nekatera občna znamenja o de¬ ljivosti števil. 44 Nekatera po¬ sebna znamenja o deljivosti deka- dičnih števil. Dokaz. Iz pogojne enačbe A — am najdemo Ax = axm, t. j. Ax je mnogokratnik števila m. Vsaka skupna mera dividenda in divizorja je tudi mera delitvenega ostanka. Vsaka skupna mera divizorja in delitve¬ nega ostanka je tudi mera dividendova. Dokaz. Iz pogoja A : B = k -f ~ sledi, da je produkt iz kvocijenta k in divizorja B za delitveni ostanek r manjši od dividenda A, t. j. v znakih A — Bk = r ali pa A — Bk -j- r. S pomočjo teh enačb sklepamo: ako imata A in B skupno mero, imata po zgoraj navedenih pravilih tudi Bk in r isto mero; če pa imata B in r skupno mero, imata po istih pravilih tudi Bk in A isto mero. Dekadično število N = a -j- b • 10 + c. 10 2 + d . 10 3 + e • 10 4 + ... N je deljivo z n, ako je - celo število. 1. Če je n = 2 (oziroma 5), najdemo: A = £. -j- b • 5 + c • 50 -f£d • 500 + .. v L J- -p- = ~ + b • 2 -f c • 20 + d • 200 + . . O o Dekadično število je deljivo z 2 (5), če so njegove enice deljive z 2 (5). 2. Če je n = 4 (oziroma 25), najdemo: A T A 25 a -j- b • 10 a -|- b • 10 25 + c • 25 -f d • 250 + . . c . 4 _|_ d ■ 40 -f .. t. j. 45 Dekadično število je deljivo s 4 (25), če so njegove enice in desetice kakor število deljive s 4 (25). 3. Če je n = 8 (oziroma 125), najdemo: N 8 N 125 a + I,-l° + c. W +il . l25 + a 4- b • 10 + c • 10 2 125 + d • 8 -f t. j. Dekadično število je deljivo z 8 (125), če so njegove enice, desetice in stotice kakor število deljive z 8 (125). 4. Če je n = 3 (oziroma 9), je treba dekadično šte¬ vilo N tako-le pretvoriti: N = —j— 9 & —|— 6 —)— 99 c —j— c —j— 999 d -j- d -(-... Potem najdemo : N_ 3 N ~9 a + b + C + d + - +3b+33c + 333d + .. "t * - + Ž>+ 9 C + (Ž+ " -}-&-fll c -|-llld + ..[ J Dekadično število je deljivo s 3 (9), ako je njegova številčna vsota (vsota vseh številk dotič- nega števila) deljiva s 3 (9). 5. Če je n = 11, je treba dekadično število N tako-le pretvoriti: N = ffl-f 116 — b -f- 99c+ c-J- lOOld— d-\- 9999«-j- + e + • • • = a — 6 -J- c — cž —(— e ... —j— 11 & —|— 99 c —(— 1001 d -j- -j- 9999 a. Potem mora očividno produkt cd = N biti večji od a 2 , kar pa je zaradi zgoraj navedenega pogoja nemogoče. Število N mora torej biti pra število. Naloge. 1. Dekadično število (n. pr. 360360) raz- Kako razstaviš staviš na prafaktorje, ako preiščeš in do- dekadl6 ' 10 'število ločiš, katero izmed praštevil 2, 3, 5, 7, 11, 13 i. t. d. in kolikokrat se nahaja v dotičnem dekadičnem številu. V ta namen deliš dekadično šte¬ vilo z najmanjšim praštevilom (izvzemši 1), s katerim je deljivo; dobljeni kvocijent deliš zopet z najmanjšim praštevilom, s katerim je deljiv, in tako postopaš dalje, dokler ne prideš do kvocijenta 1. Divi- zorji vseli teh delitev so prafaktorji do- tičnega števila. Poglej navedeni primer! 2. Pri enočlenskih številnih izrazih pred- Kako razstaviš v • t* i i i • i i enočlenike na očuje vsaka črka prafaktor; zato je treba raz- pra f a ktorje. staviti le koeficient na prafaktorje. N. pr. 24 a 2 mx 3 = 2 3 • 3 • a 2 w 3 . ■ JJi cilcllltUIJU. 360360 180180 90090 45045 15015 5005 1001 143 13 1 2 2 2 3 3 5 7 11 13 3. Vsak mnogočlenski izraz, katerega členi imajo skupno mero, se da razstaviti na dva faktorja, izmed katerih je eden skupna mera, drugi pa mnogočlenik, katerega najdeš, ako deliš prvotni mnogočlenski izraz s skupno mero. Vsakega izmed dobljenih faktorjev razstaviš zopet na nove faktorje, če je mogoče. N. pr. Kako razstaviš mnogočlenike na prafaktorje. 12 aa* 2 — 24te 2 — 36P 2 === 12x 2 (a—2b— 3) = = 2 2 • 3 • x 2 • (a — 2 b — 3). 48 Včasih razstaviš najprej po dva in dva člena na faktorje in potem šele ves mnogočlenik, N. pr. 2 ax — 6frx — 3ay 9by = 2 x\a —3 b) — 3 y(ct — 3 b) = ----- (a — 36) (2 x — 3y). 4. Ako ima številni izraz obliko a 2 — fr 2 , sta faktorja vsota in razlika obeh podlog. N. pr. ai — y i =f (« 2 + >/) (a 2 — f) = (« 2 + y 2 ) (« + */)(« — y)- 5. Ako ima številni izraz obliko a 2 -\-2ab-\- fr 2 , sta faktorja enaka. N. pr. 4w 2 -f- 12?wx -j- 9x 2 = (2m-}-3x) 2 = (2?«-|-3x) (2m-|-3x). — fr 2 —[— 6 frs 4 — 9 2 8 = — (fr 2 — 6 bz i -j- 9 s 8 ) = = — (fr — 3^ 4 )(fr — 3 z 4 ). 6. Trinom z obliko x 2 + fr*y + c !/ 2 se da raz¬ staviti na dva faktorja, ako moreš izraziti koeficient fr srednjega člena kakor vsoto (ozi¬ roma razliko) dveh števil, katerih produkt j e = c. Iz koeficienta fr napraviš vsoto (razliko) dveh števil, če je zadnji člen pozitiven (negativen). Faktorja najdeš po pravilu pod 3. N. pr. x 2 — 5 xy -j- 6 y- = x 2 — 3 xi/ — 2 xy 6 y 2 = = x(x — 3 y) — 2 y(x — 3 y) — (x — 3 y)(x — 2 y). a 2 — 6 a — 7 = a 2 — 7 a -j- a — 7 = a (a — 7) -f- (a — 7) = = (a 7) (a -(- 1). 7. Izrazi kakor n. pr. a z -j- fr 3 , « 5 -j- fr 5 , oziroma x 3 — y s , x 5 — if so deljivi z a -f- fr, oziroma x — Poišči kvocijente ter si jih zapomni! Vsota (razlika) dveh potenc z enakima li¬ hima eksponentoma je deljiva z vsoto (raz¬ liko) podlog. 49 8. Izrazi kakor n. pr. a 4 — 5 4 , a 6 — 6 6 so deljivi z a -j- b in a — b. Poišči kvocijente ter si jih zapomni! Razlika dveh potenc z enakima sodima eksponentoma je deljiva z vsoto in razliko podlog. 9. Ako se prafaktorji sestavljenih števil 6, 12, 15 i. t. d. nahajajo v določenem številu, mora dotično število biti deljivo s 6, oziroma z 12, 15 i. t. d. S 6 so torej deljiva tista števila, ki so deljiva z 2 in 3. Z 12 so deljiva tista števila, ki so deljiva s 4 in 3. S 15 so deljiva tista števila, ki so deljiva s 3 i n 5. § 14. Največja skupna mera. Največja skupna mera dveh ali več števil je tisto največje število, katero se nahaja brez ostanka v vseh določenih številih. Tako je n. pr. 15 največja skupna mera števil 30, 45, 75, v znakih M (30, 45, 75) = 15, in a — b naj večja skupna mera številnih izrazov a- — b 2 , a 3 — b s , a 2 — 2ab -j- b 2 , v znakih M (a 2 — b 2 , a 3 — ¥, a 2 — 2 ab + b 2 ) = a — b. Jasno je, da se morajo v največji skupni meri dveh ali več števil nahajati le tisti prafaktorji, ki so vsem določenim številom skupni. Ako torej razstaviš dolo¬ čena števila, oziroma številne izraze na pra¬ faktorje ter poiščeš in pomnožiš vse skupne prafaktorje (vsak skupni prafaktor se vzame v najnižji potenci, v kateri se nahaja v kakem številu), najdeš Matek. Aritmetika. 4 r * Katera števila so deljiva s 6, 12, 15. Največja skupna mera = das groiite gemein- same Mafi. Kako najdeš naj- večjo skupno mero na prvi način. 50 Kako najdeš naj- večjo skupno mero na drugi način. Verižna delitev = die Ketten- division. največjo skupno mero dotičnih števil, oziroma številnih izrazov. N. pr. 1. M (168a 2 fr 3 ?», 180a 3 & B m 2 , 324 a 5 ž>%. 3 ) = ? 168 a 2 b 3 m — 2 3 • 3 • 7 • a 2 b 3 m, 180 a 3 b 5 m 2 = 2 2 • 3 2 • 5 • a 3 b 3 m 2 , 324 cfibhn 3 = 2 2 • 3 4 • a 5 6 4 m 3 ; torej je M = 2 2 *3 • a-bhn = 12 a-b 3 m. 2. M (x 2 -j- 5x — 24, x 2 -f- 9 x -f- 8, x 3 -j- 512) = ? a* 2 —|— 5 j? — 24 = x 2 —|— 8 x — 3x — 24 = (x-\- 8) (x — 3), x 2 -j- 9x -)- 8 = x 2 8x x -f- 8 = (x V 8) (x -|- 1), a? 3 —|— 512 = (x -j- 8) (x 2 — 8 x -j- 64); torej je M = x -j- 8. Na ta način se določuje največja skupna mera pri manjših številih in številnih izrazih. Včasih se da to iz¬ vršiti kar na pamet. Na drugi način najdeš naj večjo skupno mero dveh števil (številnih izrazov), ako deliš večje število (večji številni izraz) z manjšim, potem divizor z dobljenim delitvenim ostankom in to ponavljaš tako dolgo, da se ena izmed na¬ slednjih delitev konča z ostankom 0 (verižna de¬ litev). Divizor zadnje delitve je največja skupna mera določenih števil (številnih izrazov). To je v znakih: A: B = -f- ~, B : r t = k 2 -f- -A , r i r x '• r 2 — h -|- --, '2 r 2 • r 3 = ^4 • Dokaz. Ker je vsak delitveni ostanek manjši od di- vizorja in postane v naslednji delitvi divizor, manjšajo se divizorji naslednjih delitev in ena izmed njih se mora torej končati z ostankom 0. Divizor r 3 zadnje delitve je potem mera zadnjega dividenda r 2 . Po izreku, da je vsaka skupna 51 mora divizorja in delitvenega ostanka tudi dividendova mera, je v zgoraj navedenih delitvah zadnji divizor r 3 za¬ poredoma mera dividendov r u B in A. Divizor r- d je torej skupna mera števil B in A. — Če bi pa števili A in B imeli večjo skupno mero nego r s , recimo r , bi moralo šte¬ vilo r po izreku, da je vsaka skupna mera dividenda in divizorja tudi mera delitvenega ostanka, v zgoraj na¬ vedenih delitvah biti zaporedoma mera delitvenih ostankov r 2 in r 3 . Zadnji slučaj pa je nemogoč, ker je po pogoju r > r 3 . Iz navedenega je torej jasno, da je zadnji di¬ vizor r s največja skupna mera števil A in B. Skupna mera dveh števil se ne izpremeni, Lastnost skupne ako pomnožiš (deliš) eno izmed določenih števil s faktorjem, ki ni mera drugega števila. Dokaz. Ker se nahajajo v skupni meri števil A in B le skupni faktorji, je jasno, da se skupna mera ne more izpremeniti, če prideneš (oziroma odvzameš) n. pr. šte¬ vilu A faktor, ki ni mera števila B. Največjo skupno mero treh ali več števil A, B, C ... najdeš s pomočjo verižne delitve, ako poiščeš najprej naj¬ večjo skupno mero števil A in B, potem največjo skupno mero M 2 najdene mere M t in tretjega števila C i. t. d. Števila, ki nimajo razen 1 nobene skupne mere, se Medsebojna pre¬ imenujejo medsebojna ali relativna praštevila. ste p i 1 “ n =™ 1 e a n * lve Tako so n. pr. števila 4, 9, 25, oziroma številni izrazi x -J- «/, x 2 -f- y 2 , x 2 — y 2 medsebojna praštevila. Naloge. 1. M (2502, 1807) = ? 2502 : 1807 = 1 695 1807 : 695 = 2 417 695 : 417 = 1 278 417 : 278 = 1 . 139 278 : 139 == 2, 0 ali krajše: 2502 1807 1 2 1 1 2 695 417 278 139 0 M == 139. 4 * 52 Najmanjši skupni mnogokratnik = das kleinste ge- meinsame Viel- fache. Kako najdeš naj¬ manjši skupni mnogokratnik na prvi način. 2, M (lO* 2 — 34:Xij -f- 12 ij 2 , 2x 2 —3 xij — 9 y 2 ) = ? (10 a? 2 — 34 xy -\- 12 y 2 ) : ( 2x 2 — 3 xy — 9 y 2 ) = 5 — 19 xy -j- 57 ^/ 2 = — 19 y (x — 3 y),* (2x 2 — 3 xy — 9 tj 2 ) : (x — 3 ij) = 2 sc — (— 3 y, 3 xy — 9 y 2 0 31 = x — 3 y. 3. 31 (3,r 4 — 8 j? 3 —|— 11 x 2 — -j— 3, 2x 3 — 9x 2 -\-9x — 7) = ? Da bode mogoče, prvi številni izraz deliti z drugim, se pomnoži prvi izraz s faktorjem 2 (oziroma s faktorjem 4 = 2 2 , ker se namreč prvi divizorjev člen nahaja v dveh dividendovih členih). To se sme storiti, ker je 2 (oziroma 4) relativno praštevilo z ozirom na divizor. (12* 4 — 32a; 8 —j— 44 jj 2 — 32 j? —j—12) : ( 2x s — 9,r 2 -j- 9x — 7) = 22x 3 —10r 2 + 10*4-12 = 6« -j- 11 89* 2 — 89x —j— 89 = 89 (x 2 — x-\- 1), (2* 2 — 9x 2 • 9x — 7) : (* 2 — x -|- 1) = 2x — 7, — 7* 2 + lx — 7 9 31 = x 2 ~x + l. § 15. Najmanjši skupni mnogokratnik. Najmanjši skupni mnogokratnik dveh ali več števil je tisto najmanjše število, v katerem se nahajajo vsa določena števila brez ostanka. Tako so n. pr. 120, 240, 360 i. t. d. skupni mnogokratniki števil 8, 12 in 15; naj¬ manjši izmed vseh teh mnogokratnikov pa je 120, v znakih mn (8, 12, 15) = 120. V najmanjšem skupnem mnogokratniku dveh ali več števil se mora nahajati vsak prafaktor določenih števil in sicer tolikokrat, kolikorkrat se nahaja v tistem izmed določenih števil, v katerem je največkrat. Z ozirom na to lastnost najdeš določenim številom najmanjši * Iz tega delitvenega ostanka se sme za daljnji račun izpustiti faktor — 19 y, ker ta faktor ni mera divizorja. 53 skupni mnogokratnik, ako razstaviš vsa dolo¬ čena števila zaporedoma na prafaktorje ter zbereš in pomnožiš vse različne prafaktorje, vsakega v naj večji potenci, v kateri se nahaja v kakem izmed določenih števil. N. pr. 1. mn (15 a 2 b, 18 ab 2 x, 20 abx 3 , 24 x 2 y, 30 xif) = ? mn = 3>5'2-3*2*2 - a 2 b 2 x 3 y 2 = 360 a 2 b 2 x 3 y 2 . Pri navedeni nalogi razstaviš najprej vse koeficiente zaporedoma na prafaktorje in potem vzameš od prvega koeficienta vse prafaktorje, od vsakega naslednjega pa le tiste, ki jih še nisi vzel v poštev. Primerjaj izvršitev! 2. mn (x 2 — y 2 , x 2 — xy — 2 y 2 , x 2 -f- 2 xy — 3 if) = ? a -2 __ y 2 = (x + y) (x — y), x 2 — xy — 2 y 2 = x 2 — 2 xy -J- xy — 2 y 2 — = (x — 2 y) (x -j- y), x 2 -j- 2 xy — 3 y 2 = x 2 -(- 3 xy — xy — 3 y 2 — = ( x + 3 y ) (x — «/); mn = (,r -! - y) (,r - - y) (x — 2 y) (x -j- 3 y) = = x 4 x s y — 7 x 2 y 2 — xy 3 —j— 6 ?/ 4 Na ta način se išče najmanjši skupni mnogokratnik pri manjših številih in številnih izrazih, ki se dado lahko razstaviti na prafaktorje. Najmanjši skupni mnogokratnik dveh šte¬ vilnih izrazov najdeš, ako deliš enega izmed teh izrazov z največjo skupno mero ter pomno¬ žiš dobljeni kvocijent z drugim izrazom. Dokaz. Mislimo si dve števili A in B , ki imata naj¬ večjo skupno mero M, torej A = aM in B - bM ; števili a in b nimata potem nobenega skupnega faktorja. Jasno je, da se v najmanjšem skupnem mnogokratniku števil A in B morajo nahajati faktorji a, b in M. Naj¬ manjši skupni mnogokratnik števil M in if je torej = ah M. Kako najdeš naj¬ manjši skupni mnogokratnik na drugi način. 54 Ako postavimo v ta izraz vrednosti za a in b , najdemo za najmanjši skupni mnogokratnik izraz ali krajše mn A 37 1 mn = AB HT Najmanjši skupni mnogokratnik treh ali več šte¬ vilnih izrazov najdeš, ako poiščeš najprej najmanjši skupni mnogokratnik prvega in drugega številnega izraza, potem najmanjši skupni mnogokratnik najdenega mnogokratnika in tretjega številnega izraza i. t. d. Naloge, 9 1781 : 137 = 13 2329 X 13 411 6987 _ 0 30277 mn = 30277. 2. mn (6x 2 —5 xy — 6 y 2 , 10x 2 —9 j ty—9 tj 2 ) = ? (10x 2 — 9 xy — 9 ij 2 ) : (6x 2 — 5 xy — 6 y 2 ), (30 x 2 — 27 xy — 27 y 2 ) : (6x 2 — 5 xy — 6 y 2 ) = 5 — 2 xy + 3 y 2 = — ij(2x — 3 ij), (6x 2 —5 xi/ — 6t/ 2 ):(2x — 3y) = 3 x-\-2y, 4 xij — 6 tj 2 0 M = 2x — 3 y\ (10x 2 — 9 xy — 9 1 / 2 ) (3x -\-2ij) 30 x 3 — 27 x 2 y — 27 xy 2 20 x 2 y— 18 xf— 18 y s 1. mn (1781, 2329) = 2329 1781 1 548 I 137 | 3 0 4 30x 3 — 7 x 2 y — 45 xy 2 —18 y % = mn. 55 II. Računanje z ulomljenimi števili. A, Navadni ulomki. § 16. Občna pojasnila in pretvarjanje navadnih ulomkov. Kvocijent ~ se da določiti s številom naravne, ozi¬ roma podaljšane številne vrste le tedaj, kadar je divi¬ dend a mnogokratnik divizorja b. Če pa dividend a ni mnogokratnik divizorja b, moreš kvocijent j samo omejiti z dvema zaporednima celima številoma. Tako jen. pr. 4< | < 5 in -2 > - J> -3. Da bode kvocijent j imel v vsakem slučaju določen pomen, je treba številni pojem primerno razširiti. To se zgodi s pomočjo deljive enote. Številni izraz ~ se da namreč po že znanih računskih zakonih tako-Ie pretvoriti: a 1 •« 1 Kvocijent | pomeni torej tisto število, ki ga najdemo, ako razdelimo enoto na b enakih delov ter vzamemo enega teh delov akrat. Števila, ki nastajajo na ta način, se imenujejo ulom- Ijena števila ali ulomki; -r je ulomljena enota. V ulomku ^ se zove a števec, b pa imenovalec. Ime¬ novalec pravi, na koliko enakih delov je treba razdeliti enoto ; števec naznanja, koliko enakih enotnih delov se vzame v poštev. Imenovalec torej imenuje enotni del, števec pa šteje enotne dele. Ulomek, katerega števec je manjši od imenovalca, se imenuje pravi ulomek; ulomek pa, katerega števec je večji od imenovalca, se zove nepravi ulomek. Vrednost pravega ulomka je manjša od enote, vrednost nepravega ulomka pa večja od enote. Vsota iz celega ste- Pomen nakaza¬ nega kvocijenta. Deljiva enota. Ulomek = der Bruch, Števec = der Zahler. Imenovalec = der Nenner. Pravi ulomek = der echte Bruch. Nepravi ulomek = der unechte Bruch. 58 Kako seštevaš in odštevaš ulomke. 2. Okrajšaj sledeče ulomke: 555 2363 z 2 + * — 30 , 600 ’ 2919 ’ ^ + 15* + 54 15 555 + 37 ~4CT ’ 1QQ 2363 + 17 2919 — 21 ’ x 2 x — 30 (x -)- 6) (x — 5) x — 5 x 2 16 x 6i {x 6) (x 9) x -|- 9 3. Kolika je vrednost ulomka * 2 — * — 12 x 2 + * — 20 za * = 4? Ker dobi navedeni ulomek za * = 4 nedoločeno obliko j}, je treba ulomek najprej okrajšati. Potem je: x 2 —x — 12 _ (x — 4) (x -(-3) x -f- 3 7 x 2 -{- x — 20 (x — 4) (x -)- 5) x 5 9 § 17. Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov. Po pojasnilih prejšnjega paragrafa smeš z ulomki ena¬ kih imenovalcev ravnati kakor s števili ene in iste ulom- ljene enote, katero določa skupni imenovalec. Iz tega sledi: Ulomke enakih imenovalcev seštevaš (ozi¬ roma odštevaš), ako sešteješ (odšteješ) njih števce, skupni imenovalec pa pridržiš kakor imenovalec, v znakih £ + _ a± b m — m m Ako imajo ulomki različne imenovalce, pretvoriš jih na ulomke s skupnim imenoval¬ cem in potem sešteješ, oziroma odšteješ. Naloge. x— 1 x + 5 , * + 7 * 2 + 5* + 6 x 2 — x — 12 ' x 2 — 2x — 8 x 2 —5* + 4 * 2 +7*+10 . x 3 + x 2 — 14* — 24 x 3 + x 2 — 14* — 24 * 2 +10* + 21 _ * 2 —2*+ 15 * 3 + x 2 — 14* — 24 * 3 + * 2 — 14* — 24 59 odštevanje dvočlenskih izrazov in obenem se uredijo členi po glavni količini. — Pri tretji nalogi pa je treba številni izraz 3x — 2, ki ima obliko celega števila, pretvoriti na ulomek z imenovalcem 9x 2 — 4. Števec tega ulomka najdeš, ako pomnožiš številni izraz 3 x — 2 s skupnim imenovalcem. § 18. Množenje in deljenje navadnih ulomkov. Ulomek množiš s celim številom, ako po¬ množiš števec s celim številom, ali pa deliš imenovalec s celim številom, v znakih Kako množiš ulomek s celim številom. a am a y • m = -J- = 7 -. b o b : m Dokaz. Po prvotnem pojasnilu o množenju je i, b ' a a . a , , am m = - —| — j —... m krat = b b 1 b ali če deliš števec in imenovalec navedenega rezultata z w, najdeš a ~b am _ a b : m' Na drugi način izvršiš množenje, kadar je imenovalec deljiv s celim številom. Ker pride pri množenju na prvi način multiplikator kakor faktor v števec, smeš celo število in imenovalec deliti s skupno mero, prej ko izvršiš množenje. 60 Kako deliš ulo¬ mek s celim šte¬ vilom. Kako množiš ulomek z ulom¬ kom. Ulomek deliš s celim številom, ako deliš števec s celim številom, ali pa pomnožiš ime¬ novalec s celim številom, v znakih a a: m a j :m = —j— = }) ~ ■ Dokaz. Kvocijent, pomnožen z divizorjem, mora dati v vsakem slučaju dividend za produkt. V prvem slučaju je a: m (a : m ) • m a — mm= b - = T in v drugem a a a bm bm : m h ' Na prvi način izvršiš deljenje, kadar je števec deljiv s celim številom. Če imata števec in celo število skupno mero, smeš oba deliti s to skupno mero; kajti kvocijent se ne izpre- meni, ako deliš dividend in divizor z enim in istim številom. Ulomek množiš z ulomkom, ako pomnožiš števec s števcem in imenovalec z imenovalcem ter postaviš prvi produkt kakor števec, dru¬ gega pa kakor imenovalec. Dokaz. nalogo Po občnem pojasnilu o množenju izvršiš a c J ‘ oT’ ako deliš multiplikand j z imenovalcem d. in znesek po¬ množiš s števcem c, ali ako izvršiš omenjena računska načina v obratnem redu. Po prejšnjih pravilih najdeš potem a c ac b d bd' Ker pride pri množenju ulomkov števec kakor faktor v števec in imenovalec kakor faktor v imenovalec, smeš pred množenjem en števec in en imenovalec deliti s skupno mero. 61 Kakor množiš ulomek z ulomkom, množiš tudi celo število z ulomkom; kajti vsako celo število si smeš misliti kakor ulomek z imenovalcem 1. Ako zameniš števec in imenovalec določenega ulomka med seboj, najdeš nov ulomek, ki se imenuje obratni ulomek z ozirom na prvega. Tako je n. pr. vsak izmed ulomkov ~ in obratni ulomek z ozirom na drugega; števili a in — sta tudi obratni števili. kajti Produkt dveh obratnih števil je enak enoti; ab ab 1 in a a Ulomek deliš z ulomkom, ako pomnožiš dividend z obratnim divizorjem, v znakih a ' c a d h ’ d b c' Ulomek tudi deliš z ulomkom, ako deliš števec s števcem in imenovalec z imenovalcem ter postaviš prvi kvocijent kakor števec, dru¬ gega pa kakor imenovalec, v znakih a c a: c b ' d b : d Dokaz. Kvocijent, pomnožen z divizorjem, mora dati v vsakem slučaju dividend za produkt. V prvem slučaju je a d c a bed b in v drugem a : c c (a : c) • c a b : d d (b : d) • d b Na drugi način izvršiš deljenje, kadar sta deljiva števec s števcem in imenovalec z imenovalcem. Kakor deliš ulomek z ulomkom na prvi način, deliš tudi celo število z ulomkom, v znakih b c a : — — c b Kako množiš celo število z ulom¬ kom. Obratni ulomek = der reziproke (umgekehrte) Bruch. Lastnost dveh obratnih števil. Kako deliš ulo¬ mek z ulomkom. Kako deliš celo število z ulom¬ kom. 62 Kdaj je ulomkova Ulomkova vrednost je = O, ako je števec vrednost = 0. ~ . . , . v = 0, ali pa imenovalec neizrečeno velik. Dokaz. Po pojasnilu o ulomku in po računskem zakonu o množenju z O je ^ y 0 = 0. — Ako razdelimo enoto na mnogo enakih delov in vsakega teh delov razdelimo zopet na mnogo enakih delov ter ponavljamo tako deljenje zelo velikokrat, se manjšajo posamezni deli in bližajo po svojih vrednostih ničli. Ko postane število enotnih delov neizrečeno veliko, so ti deli enaki ničli in zato je a 1 a a — = — . a = 0 • a = 0. oo oo Kdaj je ulomkova vred¬ nost = OO Ulomkova vrednost je neizrečeno velika, če je števec neizrečeno velik, ali pa imeno¬ valec = 0. v 1 Dokaz. Ce seštejemo ulomljeno enoto j neizrečeno velikokrat, je očividno, da mora ulomkova vrednost postati neizrečeno velika, v znakih — •■<*» = - T = oo. — Jasno je, da morata obratni vrednosti dveh enakih številnih iz¬ razov biti enaki. Če vzamemo pri številnih izrazih v enačbi 0 = obratni vrednosti, najdemo ~ ~ = oo; torej je tudi ^ = oo. ■ Naloge. i. 7x 12 x 2 — x — 20 x 2 -j- 2 x — 8 x 2 — 2 x — 3 (x — 3)(x — 4) (x -j- 4) (x — 5) x 2 — 9 x 20 (x — 2) (x -j- 4) (x -|- 1) (x — 3) x 2 — x — 2 Da moreš številne izraze okrajšati kolikor mogoče, je treba jih razstaviti na prafaktorje. b a — b ±ab \ L , 2 b 2 *•(: a — b a Aab b a°- 4 ab b 2 d )( 1 - b 2 b 2 ) {a 2 — b 2 a 2 -j- b 2 ) 8 ab s pg.-f- b 2 _ a 2 — b 2 8 ab s ZO a 2 — b 2 2 a% 2 + W ' 63 V multiplikandu in multiplikatorju izvršiš najprej nakazano odštevanje, oziroma seštevanje. Pri pretvarjanju številnih izrazov na skupni imenovalec je včasih priprav - neje, da pretvoriš dotične izraze le zaporedoma (po dva in dva) na skupni imenovalec. Primerjaj navedeno na¬ logo ! — Slične naloge pri deljenju izvršiš istotako. 4 J 2 5 -M;; • *•) -t-« 2 ab ~Š~ 2 ab IT ac 23 bc 4 6 2 . . , -p-(-4 bc .5 1 ac .3 bc ~2 5 ~ ac | 3 bc ~2, 5~ 462 IT 3 c 2 3 c 2 0 3c 2 ‘ Navedeno delitev izvršiš po pravilih za mnogočlenske izraze. — Pri množenju podobnih številnih izrazov po¬ stopaš slično. 1 + i _^ + i! x 1 ar (g 4- y )(x 2 + ?/ 2 ) + (r — ?/*) . ^ 2 + !/ 2 2 xy (a? 2 — kjer pomeni a pred periodo stoječe desetinke, m število teh desetink, b periodo in n število desetink v periodi Končen decimalni ulomek pretvoriš v navadnega, ako ga zapišeš v obliki navadnega ulomka in potem okrajšaš, če je mogoče. N. pr. n . r o 9 632 79 u — 100{) 125 - Čisto periodičen decimalni ulomek pretvoriš v navad¬ nega, ako ga pomnožiš s tako dekadično enoto, da pomakneš Kako pretvoriš končen decimalni ulomek v navad¬ nega. Kako pretvoriš čisto povraten decimalni ulomek v navadnega. 70 desetinsko piko za vso periodo proti desni, in od tega pomnoženega ulomka odšteješ prvotnega. N. pr. x = 0'375 = 0‘375375375. 1000 .c = 375-375375375. odšteto 999 j; = 375 375 __ 125 999 — 333 ' Iz navedenega izvajamo pravilo: Čisto periodičen decimalni ulomek pre¬ tvoriš v navadnega, ako vzameš periodo za števec, za imenovalec pa toliko 9, kolikor šte¬ vilk ima perioda. Kako pretvoriš nečisto povraten decimalni ulomek v navadnega. Nečisto periodičen decimalni ulomek pretvoriš v na¬ vadnega, ako ga pomnožiš s tako dekadično enoto, da postane čisto periodičen, in potem postopaš kakor poprej. N. pr. * = 0-1236 100x 12-36 = 12; 36 '99 12 = 12 f l : 100 = 136 noo 11 34 275 ' C. Računanje z nepopolnimi števili. § 21. Občna pojasnila o nepopolnih številih. Popolno število = die vollstan- dige Zahl. Nepopolno šte¬ vilo = die unvoll- standige Zahl. Kako zaznamu¬ jemo nepopolna števila. Dekadično število se imenuje popolno, če so znane vse njegove številke. Dekadično število se zove nepo¬ polno, če so od določenega mesta naprej neznane vse naslednje številke ali pa se izpustile iz kateregakoli razloga. Nepopolno število, ki je določeno najmanj do desetink, zaznamujemo na ta način, da mu pridenemo na desni dve p iki ; nepopolno število pa, pri katerem niso določena vsa celotna mesta, zaznamujemo tako, da mu pripišemo toliko zmanjšanih ničel, kolikor je celotnih mest nedoločenih. N. pr. Cesta do J. do -B je približno 8564 m dolga, v znakih 8564.. m; trgovec C kupi približno 27• 6 stotov blaga, v 71 znakih 27'6 . . q; D ima okoli 735 tisoč kron premoženja, v znakih 735 000 K. Števila, katera nam podaja štetje, so navadno popolna; števila pa, katera nam podaja merjenje, so navadno nepo¬ polna. Računski zneski so včasih popolna, včasih nepopolna števila. Tako so n. pr. zneski pri deljenju, pri pretvarjanju navadnih ulomkov v decimalne i. t. d. prav pogostoma nepopolna števila. Včasih je treba tudi popolne računske zneske pretvoriti v nepopolna števila, da dobijo dotični zneski uporaben pomen. N. pr. Ako velja 1 kg nekega blaga 1-21 (1 • 23, 1 • 25) K, velja 6'34 kg 7■ 6714 (7■ 7982, 7• 925) K. Ker ne moremo v prometu izplačati vinarskih desetin in stotin, je treba pretvoriti navedene zneske v 7'67.. (7-80 .., 7-92 ..) K. Popolnim številom smemo pripisati ničle kakor deci¬ malke (ali si misliti pripisane); obratno smemo tudi ničle izpustiti kakor zadnje decimalke. N. pr. 3 - 5 = 3'5000, 6- 800 = 6 - 8. Nepopolnim številom ne smemo pripisati, pa tudi ne izpustiti nobene ničle kakor decimalke; kajti namesto ničel bi utegnile stati tudi kake druge številke. Zato moramo števili 0 - 8900 . . in 0'89 .. smatrati za raz¬ lični ; kajti pri prvem številu sta tretja in četrta decimalka znani, pri drugem pa neznani. Ako izpustimo zadnje številke (decimalke) katerega¬ koli števila, pravimo, da okrajšamo dotično število. Tako smo n. pr. v zgoraj navedeni nalogi zneske 7'6714 (7-7982, 7-925) K okrajšali v 7*67.. (7-80 .., 7-92 ..) K. Pogrešek, ki smo ga napravili v prvem slučaju, znaša 0-0014 K = 0-14 h, t, j. manj ko polovica (0’5) enega vinarja ali manj ko polovica zadnje desetinske enote nepo¬ polnega števila 7-67..K. V drugem slučaju je nepopolno število nekoliko preveliko, toda pogrešek, ki se nahaja v njem, je manjši ko polovica (0-5) enega vinarja ali manjši ko polovica zadnje desetinske enote nepopolnega števila 7- 80.. K. Če bi pa okrajšanemu številu ne bili povečali zadnje številke za enoto, bi znašal pogrešek več ko pol vinarja ali več ko polovico zadnje desetinske enote nepo¬ polnega števila 7-79 .. K. V tretjem slučaju znaša pogrešek ravno pol vinarja ali polovico zadnje desetinske enote Kdaj dobimo ne¬ popolna števila. Razloček, med popolnimi in ne¬ popolnimi števili. Kako okrajšamo število. 72 Koliko znaša po¬ grešek pri nepo¬ polnih številih. Kako spoznamo nepopolnejše število. nepopolnega števila 7 ■ 92 . . K. Kakor v navedenih primerili postopamo tudi v vsakem drugem slučaju, kadar je treba okrajšati kako število. Zadnjo številko okrajšanega števila povečaš za enoto, ako je prva številka, ki jo izpustiš, večja od 5 ali pa 5 z naslednjimi veljavnimi številkami; v vsakem drugem slučaju pustiš zadnjo številko okrajšanega števila nes¬ premenjeno. Nepopolna števila so včasih nekoliko premajhna, včasih nekoliko prevelika; toda v vsakem slučaju znaša pogrešek manj ko polovico ali ravno polovico zadnje dese- tinske enote dotičnega števila. Pri vsakem izmed števil 123'47.. m in 89'56.. m znaša pogrešek pol centimetra ali manj. Ta pogrešek pa nima pri dolgi daljici tolikega pomena kakor pri kratki; torej je število 123 - 47 . . m popolnejše ko število 89 - 56 . . m. Istotako je tudi število 8 - 7..K popolnejše ko 6 - 9..K. Če delimo katerokoli nepopolno število z 10, 100, i. t. d., se zmanjša vrednost dotičnega števila 10 krat, oziroma 100 krat i. t. d. Ker se pa tudi pogrešek zmanjša na isti način, je torej jasno, da je nepopolnost števila odvisna od množine enot najnižjega reda, ki se nahaja v številu. Zato so n. pr. števila 8956 . . m, 895’6 . . m, 89'56 .. m enako nepopolna. Število 89 • 56.. m pa je popolnejše ko število 8'924 . . «?, ker je 8956 večje od 8924. Izmed dveh nepopolnih števil je tisto popolnejše, ki ima več veljavnih številk. Če pa imata obe števili enako veliko veljavnih številk, je tisto popolnejše, v katerem najdeš (od leve proti desni) poprej večjo številko. Vsako popolno število je popolnejše ko katerokoli nepopolno število. Pri računanju z nepopolnimi števili je treba gledati na to, da se noben znesek ne določi dalje ko do tistega mesta, na katerem se začenja nepopolnost, in da se končni znesek določi ali tako natanko, kakor je sploh mogoče, ali pa tako natanko, kakor je nalogi primerno. 73 § 22. Seštevanje in odštevanje nepopolnih števil. Pri nalogi a) so vsi sumandi približno določeni na tri decimalke (na tisočine). Pogrešek v vsakem sumandu znaša pol tisočine ali manj; v vsoti bode pogrešek znašal 6krat pol tisočine = 3 tisočine ali manj, t. j. manj ko polovica ene stotine (kajti 5 tisočin da šele polovico ene stotine). Iz tega se vidi, da ne moreš končne vsote pri¬ bližno določiti na tisočine, ampak le na stotine. Vsota vseh sumandovih tisočin (zadnjih decimalk) se porabi za popravek, t. j. število, katerega je treba prišteti su- mandovim stotinam (naslednjim decimalkam). Ker je 32 ti¬ sočin bliže 3 ko 4 stotinam, znaša popravek 3. Potem izvršiš seštevanje kakor pri popolnih številih. — Kar se tiče popravka sploh, si je treba zapomniti, da se jemlje 1 za popravek, ako leži vsota iz zadnjih decimalk med 5 in 15; od 15 do 25 se jemlje 2 za popravek; od 25 do 35 je popravek 3, i. t. d.; od 1 do 5 ni nobenega po¬ pravka. Pri nalogi b) je treba najprej nekatere sumande okrajšati tako, da imajo vsi enako veliko decimalk. Pri tem se moraš ravnati po tistem sumandu, ki je nepopolno število in ima najmanj decimalk. Od odbitih številk 8, 7 in 9 (t. j. od njih vsote) moraš vzeti popravek, katerega prišteješ naslednjim decimalkam. Potem izvršiš seštevanje kakor pri nalogi a). Pri nalogah a) in b) se je določila vsota tako na¬ tanko, kakor je bilo mogoče. Če hočeš vsoto naloge c) določiti tako natanko, kakor se zahteva, n. pr. na desetine, okrajšaš vsak su- mand na desetine, vzameš od odbitih številk (t. j. od njih Kako določiš vsoto nepopolnih števil tako na¬ tanko, kakor je mogoče. Popravek = die Korrektur. Kako določiš vsoto popolnih ali nepopolnih števil tako na¬ tanko, kakor se zahteva. 74 Kako določiš razliko nepopol¬ nih števil tako natanko, kakor je mogoče. Kako določiš produkt nepopol¬ nih števil tako natanko, kakor je mogoče. vsote) popravek ter sešteješ okrajšane sumande. Kar se tiče popravka v tem slučaju, ga je treba vzeti dvakrat, t. j. najprej sešteješ tisočine, od dobljene vsote vzameš popravek, ga prišteješ stotinam, in ko sešteješ stotine, vzameš zopet popravek ter ga prišteješ desetinam; kajti drugače se pripeti prav lahko, da ne izračunaš vsote do¬ volj natanko. d) 7-428-• e) 4'32 f) 9-65.. ^ 8*3516.. 5-83 1-457.. 3 - 147 6’89|.. 1-598.. 2-863.. 6‘50.. 1’47.. Pri nalogah d) in e) se odšteva kakor pri popolnih številih. Pri nalogah f) in g) se mora okrajšati število s premnogimi decimalkami tako, da imata minuend in sub- trahend istotoliko decimalk. Od odbitih številk se vzame popravek za tisto število, ki se je okrajšalo. Potem se izvrši odštevanje kakor pri popolnih številih. § 23. Množenje nepopolnih števil. a) 74-392.. X 8 b) 3-874..X 65‘9 595-14.. 23244 1937 348 255-3. . c) 950-837.. X 24-678.. 222102 12339 197 7 _1_ 23465.. Če pomnožiš v nalogi a) 2 tisočini z 8, dobiš pro¬ dukt 16 tisočin ; v tem produktu znaša pogrešek 8 krat pol tisočine = 4 tisočine ali manj. Od tega produkta vzameš popravek, ki ga prišteješ pomnoženim stotinam. Vse drugo napraviš kakor pri popolnih številih. 75 Pri nalogi b) je multiplikand nepopolno, niultiplikator pa popolno število. Množitev da tri delske produkte. Prvi delski produkt izračunaš, ako pomnožiš multiplikand s 6, ne oziraje se na decimalno piko. Pri tem delskem pro¬ duktu ne vzameš nobenega popravka; pogrešek, ki se nahaja v njem, se bode končno popravil pri seštevanju dolskih produktov. Da ni treba drugega dolskega produkta pomakniti za eno mesto proti desni kakor pri navadnem množenju, okrajšaš multiplikand za eno številko; potem pomnožiš odbito številko 4 s 5, vzameš od tega produkta popravek ter ga prišteješ produktu iz številke 5 in okraj¬ šanega multiplikanda. Tretji delski produkt najdeš, ako okrajšaš multiplikand zopet za eno številko in računaš kakor pri drugem delskem produktu. Pri seštevanju del- skih produktov vzameš od vsote zadnjih številk popravek. Mestno vrednost končnega produkta določiš s pomočjo prvega delskega produkta. Pri prvem delskem produktu se pomnoži multiplikand z desetico (t. j. z 10). Ker se v tem slučaju decimalna pika premakne za eno mesto proti desni, ostaneta v multiplikandu še dve decimalki, in toliko decimalk se nahaja v vsakem delskem produktu. Končni produkt mora imeti eno decimalko manj. Zakaj? Pri nalogi c) sta oba faktorja nepopolni števili. Za multiplikand izbereš tisti faktor, ki je nepopolnejši (ki ima manj veljavnih številk); kajti če bi napravil obratno, bi se nahajal pogrešek v vseh številkah zadnjega del¬ skega produkta. Delske produkte izračunaš zaporedoma ravno tako kakor pri nalogi b). Za multipiikatorjevo ničlo moraš v multiplikandu tudi odbiti številko; kajti ničla da tudi svoj delski produkt, samo da se ta produkt ne zapiše, ker je = 0. Ko odbiješ multiplikandu zadnjo številko, izračunaš od nje popravek ter ga zapišeš kakor delski produkt. Mestno vrednost končnega produkta do¬ ločiš na isti način kakor pri nalogi b). Množitev, ki se izvršuje na ta način kakor v na¬ vedenih nalogah, se imenuje okrajšana množitev. Glavni razloček med navadno in okrajšano množitvijo je ta, da se pri navadni množitvi pomnoži celi multiplikand z vsako multipiikatorjevo številko in se delski produkti Okrajšana mno¬ žitev = die abge- kiirzte Multipli- kation. Glavni razloček med navadno in okrajšano mno¬ žitvijo. 76 Kako določiš produkt dveh po¬ polnih ali nepo¬ polnih števil tako natanko, kakor se zahteva. pomaknejo zaporedoma vsak za eno mesto proti desni, pri okrajšam množitvi pa se pri izračunanju drugega in vsakega naslednjega delskega produkta multiplikand okrajša za eno številko in se delski produkti zapišejo drug pod drugega tako, da stoje njih zadnje številke druga pod drugo. Na okrajšani način moraš množiti, ako je vsaj eden izmed faktorjev nepopolno števiio. Za multiplikand izbereš vselej nepopolnejši faktor. Produkti nalog a), b) in c) so se določili tako na¬ tanko, kakor je bilo mogoče. Ako je pa pri okrajšani množitvi mnogo delskih produktov, se včasih pripeti, da zadnja številka končnega produkta ni dovolj natanko določena. Temu se izogneš, ako vzameš pri računanju tretjega in vsakega naslednjega delskega produkta po¬ pravek od zadnjih dveh odbitih številk. N. pr. Pri tretjem delskem produktu naloge b) bi za ta slučaj računal po¬ pravek tako-le: 9krat 4 je 36, popravek 4; 9 krat 7 je 63 in 4 da 67, popravek 7. Na okrajšani način množiš tudi, ako je treba pro¬ dukt dveh (popolnih ali nepopolnih) števil določiti tako natanko, kakor se zahteva. N. pr. d) 14‘583.. X 0'6945 (na 2 decimalki). e) 9'4164 X 5'827 (na 1 decimalko). f) 681357 X 29435 (na stotisoče). Pri nalogi d) mora imeti končni produkt 2 deci¬ malki, vsak delski produkt pa 3 decimalke. Če pomnožiš multiplikand s 6 (s prvo veljavno multiplikatorjevo šte¬ vilko), dobiš 4 decimalke, torej eno več, ko jih potrebuješ. Multiplikand smeš zato okrajšati za eno številko pred množenjem. Množitev izvršiš na okrajšani način. Pri nalogi e) mora imeti prvi delski produkt 2 deci¬ malki. Če pa pomnožiš multiplikand s 5, dobiš 4 decimalke, torej 2 več, ko jih potrebuješ. Multiplikand smeš zato okrajšati za dve številki pred množenjem. Pri nalogi f) mora končni produkt imeti vrednost stotisočic, prvi delski produkt pa vrednost desettisočic. 77 Ta pogoj se ravno ujema z nalogo. Prvi delski produkt izračunaš torej na navadni način, naslednje pa na okraj¬ šani način. — Ako bi hotel pri nalogi f) produkt določiti na milijone, smel bi okrajšati multiplikand za toliko šte¬ vilk, kolikor jih ima prvi delski produkt preveč (t. j. 1). če bi pa hotel produkt naloge f) določiti na tisoče, moral bi za prvim delskim produktom izračunati na navadni način še toliko delskih produktov, kolikor številk ima prvi delski produkt premalo (t. j. 2). § 24. Deljenje nepopolnih števil. 8-364.. = 0-9182.. b) 485’7.. : 31'6 = 15-.37.. 1697 117 22 0 c) 6-142j3. .: 263-5. . = 0-02331.. 872 81 2 (-1) V nalogi a) je dividend popolno, divizor pa nepopolno število. Da se ni treba brigati med računanjem za deci¬ malno piko, določiš najprej mestno vrednost prve kvoci- jentove številke. V ta namen poiščeš tisti dividendov del, v katerem se nahajajo divizorjeve celote, in mestna vred¬ nost tega dividendovega delaje tudi mestna vrednost prve kvocijentove številke. V naši nalogi pomeni prva kvoci- jentova številka desetine; kajti 8 se nahaja v 76 in 76 so desetine. Potem prirediš divizorju prvi delski dividend. V našem slučaju je treba dividendu pripisati dve ničli (ali si misliti pripisani). Včasih pa se mora dividendu kaka številka odbiti (če jih ima preveč) in od odbite številke vzeti popravek. Ko si iz prvega delskega dividenda določil prvo kvocijentovo številko, pomnožiš divizor s to številko ter odšteješ produkt od prvega delskega dividenda. Ostanek, ki ga najdeš, je drugi delski dividend. (Zakaj ne smeš a) 7"68 00 : 1524 688 19 2 Kako določiš kvocijent nepo¬ polnih števil tako natanko, kakor je mogoče. 78 Okrajšana delitev = die abgekiirzte Division. Glavni razloček med navadno in okrajšano de¬ litvijo. pripisati temu ostanku ničle?) Da je moči nadaljevati delitev, okrajšaš divizor za eno številko ter določiš iz drugega delskega dividenda drugo kvocijentovo številko. Potem izračunaš popravek od odbite divizorjeve številke, pomnožiš okrajšani divizor z drugo kvocijentovo številko, temu produktu prišteješ popravek ter odšteješ ta poprav¬ ljeni produkt od drugega delskega dividenda. Ostanek, ki ga najdeš, je tretji delski dividend. Sledeče kvocijentove številke izračunaš istotako, kakor si izračunal drugo. Delitev se konča, ko je treba odbiti zadnjo (veljavno) divi- zorjevo številko. Pri zadnji kvocijentovi številki moraš gle¬ dati na to, da jo določiš približno. To spoznaš iz zadnjega ostanka; ako je ta ostanek manjši, ko polovica zadnjega divizorja, si določil zadnjo kvocijentovo številko približno. V nalogi b) je dividend nepopolno, divizor pa je po¬ polno število. Mestna vrednost prve kvocijentove številke so desetice; kajti 31 se nahaja v 48 in 48 so desetice. Prvo in drugo kvocijentovo številko izračunaš na navadni način, tretjo in četrto številko pa tako, kakor smo raču¬ nali pri nalogi a). V nalogi c) sta dividend in divizor nepopolni števili. Mestna vrednost prve veljavne kvocijentove številke so stotine; kajti 263 se nahaja v 614 in 614 so stotine. Potem prirediš dividend in divizor drugega drugemu tako, da se divizor ravno nahaja v dividendu, ter izračunaš kvocijent istotako kakor pri nalogi a). Vsako deljenje, ki se izvršuje tako kakor pri nave¬ denih nalogah, se imenuje okrajšano deljenje. Glavni razloček med navadnim in okrajšanim deljenjem je ta, da ostane divizor pri navadnem deljenju neizpremenjen in da se ostankom pripisujejo zaporedoma dividendove številke ali ničle, pri okrajšanem deljenju pa se divizor pri izra- čunanju vsake naslednje kvocijentove številke okrajša za eno številko in ostanki so zaporedoma drug za drugim delski dividendi. Na okrajšani način se mora prej ali slej deliti, ako je eno izmed določenih števil nepopolno. Pri¬ merjaj nalogi a) in b )! Kvocijenti nalog o), b) in c) so se določili tako natanko, kakor je bilo mogoče. 79 Na okrajšani način se tudi deli, ako je treba kvocijent dveh (popolnih ali nepopolnih) števil določiti tako natanko, kakor se zahteva. N. pr. d) 74'69432.. : 8'576. . (na 2 decimalki). e) 9'5867 :0'75465 (na 1 decimalko). f) 16-67384: 4-327 (na 5 decimalk). V nalogi d) ima prva kvocijentova številka mestno vrednost enic. Kvocijent bo imel po vsem tri veljavne številke in najmanj toliko jih mora imeti divizor. Določeni divizor smeš zato okrajšati za eno številko; potem prirediš okrajšanemu divizorju prvi delski dividend ter izvršiš delitev na okrajšani način. V nalogi e) ima prva kvocijentova številka mestno vrednost desetic. Primerjaj § 19.! Kvocijent bo imel po vsem tri veljavne številke in najmanj toliko jih mora imeti divizor. Določeni divizor smeš zato okrajšati za dve številki in potem ravnaš kakor v prejšnji nalogi. V nalogi f) ima prva kvocijentova številka mestno vrednost enic. Kvocijent bo imel šest veljavnih številk in najmanj toliko jih mora imeti divizor. Ker pa ima v našem slučaju divizor dve številki premalo, moraš izračunati za prvo kvocijentovo številko še toliko številk na navadni način, kolikor jih ima divizor premalo. Ker se pri okrajšani delitvi nahaja pogrešek v zadnji številki vsakega dolskega dividenda, se pripeti včasih (posebno, če je zadnji delski dividend enoštevilčen), da zadnja kvocijentova številka ni določena dovolj zanesljivo. Temu se izogneš, ako vzameš v okrajšani divizor eno številko več, ko jih potrebuješ, in vsakokratni popravek izračunaš od zadnjih dveh odbitih številk; pri nalogah pa, katerih ne začneš reševati na okrajšani način takoj, ampak šele pozneje, izračunaš na navadni način eno številko več, ko jih je treba. Kako določiš kvocijent popol¬ nih ali nepopol¬ nih števil tako natanko, kakor se zahteva. 80 Razmerje = das Verhaltnis. Prednji člen = das Vorderglied. Zadnji člen == das Hinterglied. Količnik = der Q\iotient. Obratno razmerje = umgekehrtes oder reziprokes Verhaltnis. Številno raz¬ merje = Zahlen-* verhaltnis. Količinsko raz¬ merje = Grofien- verhaltnis. Oblične izpre- membe razmerja = Formverande- rnngen des Ver- haltnisses. 111. Razmerja in sorazmerja. § 25. Razmerja. Ako preiskavam o, kolikokrat se v številu A nahaja število B, pravimo, da merimo število A s številom B, ali da iščemo razmerje med številoma A in .B, v znakih A :B ali (čitaj: A proti B). Izraz A: B ali 4 se imenuje razmerje števil A in B £> ter pomeni, da se število B nahaja nekolikokrat v številu A; A zovemo prednji, B pa zadnji člen. Številu, ki pove, kolikokrat se nahaja zadnji v prednjem členu, pravimo razmerski količnik. Vsako delitev v zmislu merjenja smemo smatrati za razmerje dotičnih dveh števil. Ako zamenimo v razmerju A : B člena med seboj, najdemo razmerje B: A, ki se imenuje obratno raz¬ merje števil A in B. Vrednost razmerja sodimo po njegovem količniku; čim večji je količnik, tem večja je vrednost razmerja. Ako imajo razmerja enake količnike, se imenujejo enaka. Razmerje med dvema neimenovanima številoma zo¬ vemo številno, razmerje med dvema istovrstnima koli¬ činama pa količinsko razmerje. Kar se tiče tvor¬ jenja in vrednosti količinskih razmerij, primerjaj § 21. v geometriji. Ako izpustimo v prednjem in zadnjem členu dolo¬ čenega količinskega razmerja ime, najdemo številno raz¬ merje, ki je enako količinskemu. Iz pojma o razmerju sledi: Razmerje ne izpremeni svoje vrednosti, ako pomnožiš ali deliš prednji in zadnji člen z enim in istim številom, v znakih A : B = mA : mB = — : —. n n S pomočjo te lastnosti se da: 1. vsako razmerje, čigar člena sta ulomka, izraziti s celima številoma; 81 2. vsako razmerje, čigar člena imata skupno mero, iz¬ raziti z najmanjšima številoma (okrajšati). Razmerje treh ali več števil najdeš, ako določiš, kolikokrat se njih skupna mera (če ni druge skupne mere, se smatra številna enota za skupno mero) nahaja v Vsakem izmed dotičnih števil. Taka razmerja hočemo imenovati zaporedna razmerja; njih oblika je A: B : C: D i. t. d. Oblična izprememba, ki velja o vsakem enostavnem razmerju, velja tudi o zaporednem razmerju; torej je A : B : C = mA : mB : mC = — : — : —; n n n Členi, ki zavzemajo isto mesto v razmerjih, se zovejo istoležni členi. Tako so n. pr. prednji členi dveh ali več razmerij istoležni. Ako pomnožiš istoležne člene dveh ali več enostavnih razmerij med seboj, najdeš sestavljeno razmerje. Tako so n. pr. a : b j c : d enostavna razmerja, e-f | ace : bdf pa je sestavljeno razmerje. § 26. Sorazmerje. Ako izenačimo dvoje enakih razmerij, stvorimo so¬ razmerje. N. pr. Iz razmerij a : b = k in c : d = k iz¬ vajamo a : b — c: d (čitaj: števili a in b sta si kakor števili c in d, ali krajše: a proti b , kakor c proti d). Sorazmerje je sestavljeno iz dveh enakih razmerij. Sorazmerje tvoreča števila se imenujejo členi soraz¬ merja in sicer od leve proti desni prvi, drugi, tretji in četrti člen. Prvi in četrti člen se zoveta zunanja, drugi in tretji člen pa notranja člena; prvi in tretji člen sta prednja, drugi in četrti člen pa zadnja člena soraz¬ merja; četrtemu členu pravimo četrta geometrijska sorazmernica prvih treh členov. Členi, ki zavzemajo isto mesto v dveh ali več sorazmerjih, so istoležni členi. 6 r. Zaporedno raz¬ merje = fort- laufendes Ver- haltnis. Oblična izpre- memba zapored¬ nega razmerja. Istoležni Členi = korrespondie- rende oderhomo- loge Glieder. Sestavljeno raz¬ merje = zusam- mengesetztes Verhaltnis. Sorazmerje = die Proportion. Zunanja in no¬ tranja člena = aufiere n n d innere Glieder. Prednja in zadnja člena sorazmerja = Vorder- und Hinterglieder der Proportion. Četrta geome¬ trijska sorazmer¬ nica = die vierte geometrische Proportionale. Istoležni členi. M at e k, Aritmetika. 82 Stalno soraz¬ merje = stetige Proportion. Srednja geome¬ trijska sorazmer- nica = mittlere geometrische Proportionale. Številno soraz¬ merje = Zahlen- proportion. Količinsko soraz¬ merje = Grofien- proportion. Razrešiti = auf- losen. Lastnost števil¬ nega sorazmerja. Razreševanje številnega in ko¬ ličinskega soraz¬ merja. Vsako sorazmerje, v katerem sta notranja člena enaka, se imenuje stalno sorazmerje, n. pr. a : b = b: c. No¬ tranji člen stalnega sorazmerja se zove srednj a geometrij¬ ska sorazmernica zunanjih členov*, četrti člen pa tretja geometrijska sorazmernica prvega in notranjega člena. Vsako sorazmerje, katerega členi so neimenovana števila, se imenuje številno sorazmerje; sorazmerju pa, ki je sestavljeno iz dveli količinskih razmerij, se pravi količinsko sorazmerje. V količinskem sorazmerju sta člena vsakega razmerja istoimenska; člena prvega razmerja pa utegneta imeti različno ime od členov drugega razmerja. Ako izpustimo pri vseh členih količinskega soraz¬ merja imena, stvorimo številno sorazmerje. Sorazmerje razrešiti se pravi, iz treh znanih členov izračunati neznani člen. Razreševanje številnih sorazmerij se opira na lastnost: V vsakem številnem sorazmerju je produkt zunanjih členov enak produktu notranjih členov. Dokaz. Iz enačbe a : b — c : d izvajamo (i a : b) bd == (c : d) bd , t. j. ad = bc. Iz dveh enakih produktov stvoriš sorazmerje, ako vzameš faktorja enega produkta za zunanja in faktorja drugega produkta za notranja člena, v znakih: iz ad — bc najdeš a :b = c: d. Zunanji člen številnega sorazmerja najdeš, ako deliš produkt notranjih členov z znanim zunanjim členom. Notranji člen številnega sorazmerja najdeš, ako deliš produkt zunanjih členov z znanim notranjim členom. Zakaj iz sorazmerja a : b — c: d sledi enačba ad = bc in iz te enačbe najdeš: bc bc ad ad, * Srednja geometrijska sorazmernica dveh števil se imenuje tudi geometrična sredina dotičnih dveh števil. Izraz a b se zove aritmetična sredina števil a in b. 83 Količinsko sorazmerje razrešiš, ako ga najprej pre¬ tvoriš na številno sorazmerje in potem razrešiš. Primerjaj § 21 . v geometriji! Iz navedenih pojasnil in lastnosti o razmerjih in so¬ razmerjih izvajamo : V vsakem številnem sorazmerju smeš zameniti: a) notranja člena med seboj, b) zunanja člena med seboj, c) notranja člena z zunanjima členoma. V vsakem številnem sorazmerju smeš a) vse člene, b) en zunanji in en notranji člen pomnožiti, oziroma deliti z enim in istim številom, S pomočjo zadnje lastnosti moreš : a) vsako številno sorazmerje, v katerem se nahajajo ulomki, izraziti s celimi števili; b) vsako številno sorazmerje, v katerem imata en zunanji in en notranji člen skupno mero, okrajšati. 1 . V vsakem sorazmerju sta si vsota (raz¬ lika) prvih dveh členov in prvi ali drugi člen, kakor sta si vsota (razlika) zadnjih dveh členov in tretji ali četrti člen, v znakih a + b c + d a - b _ c + d a c b d Dokaz. Ako prišteješ, oziroma odšteješ obema de¬ loma enačbe 4 = 4 enoto, dobiš 44-1 = 4 + 1 ali + e+ j b d ’ b — d — -== — . Ako deliš zadnjo enačbo s prvo, najdeš a + b c±d a c 2 . V vsakem sorazmerju sta si vsota in raz¬ lika prvih dveh členov, kakor sta si vsota in razlika zadnjih dveh členov, v znakih = 44P Dokaz. Iz sorazmerja j = ^ dobiš po prejšnjem iz¬ reku a + b a enačbi, najdeš c -f— d c a -\-b a — b c -j— d c — d' -—-. Če deliš zadnji Ako izenačimo tri ali več enakih razmerij, najdemo zaporedno sorazmerje, v znakih A : a == B : b = C : c = D : d = k, o* Oblične izpre- membe števil¬ nega sorazmerja. Pretvorbe dolo¬ čenega soraz¬ merja. Zaporedno so¬ razmerje = fort- laufende Propor- tion. 84 Lastnosti zapo¬ rednega soraz¬ merja. Harmonično sorazmerje = harmonische Proportion. kjer pomeni k količnik vsakega izmed navedenih razmerij. Po pojmu o razmerju je: A = ah, B = bk, C = ck in D = dk. Iz teh enačb sledi, da so si števila X B , C, D istotako kakor števila a, b, c, d, v znakih A : B : C: D = a : b : c : d. V vsakem zaporednem sorazmerju so si torej prednji členi istotako kakor zadnji členi. Zaporedno sorazmerje je sestavljeno iz dveh izena¬ čenih zaporednih razmerij. Ako seštejemo enačbe A = ak, B = bk , C ~ ck in D = dk, najdemo A + B -f C'-{• I) = (« + & + c + d)k- iz tega izraza sledi z ozirom na pomen količnika k ci — |— b — j— c —|— d = k A: a = B :b C:c D: d, t, j. V vsakem zaporednem sorazmerju sta si vsoti vseh prednjih in zadnjih členov istotako kakor vsak prednji člen proti svojemu zad¬ njemu členu. Iz pojasnil o zaporednem razmerju in sorazmerju sledi: V vsakem zaporednem sorazmerju smeš vse prednje, oziroma vse zadnje člene pomnožiti (deliti) z enim in istim številom. Ako je število x od a in b tako zavisno, da velja sorazmerje (a — x):(x — b) = a : b, potem pravimo, da je to sorazmerje harmonično in % je harmonična sredina števil a in b. Če razrešimo sorazmerje, dobimo x — a , Harmonična sredina dveh števil je v ozki zvezi z aritmetično sredino a -j- b — in geometrično sredino j /ah istih dveh števil. Iz identične enačbe ~ 4 - b 2 a -f b j/ a-b 85 sledi namreč pravilo: srednja geometrijska sorazmernica med aritmetično in harmonično sredino dveh števil je enaka geometrični sredini istih dveh števil. Ako pomnožiš istoležne člene dveh ali več sorazmerij med seboj, najdeš novo (sestav¬ ljeno) sorazmerje. Tako so n. pr. a:b = c : d ) a, : b r = c ± : d i ' enostavna sorazmerja, a 2 • ^2 == c 2 • ^2 I aa t a 2 : bb t b^ — cc x c 2 : dd^d^ pa je sestavljeno sorazmerje. Zakaj ako pomnožiš enake izraze med seboj, najdeš enake produkte. .Ako deliš istoležne člene dveh sorazmerij, najdeš novo (sestavljeno) sorazmerje, v znakih a : b = c : d j ct x : b -j — c x . d^ | a ' b c ' d a t ' h x c 1 ’ d{ Zakaj ako deliš enake izraze z enakimi izrazi, najdeš enake kvocijente. Naloge. 1. Izrazi naslednji sorazmerji: a) 17 (m n) :x = 102 (m 2 — m 2 ) : 93 ( m — n), b) 1! :2| = .r: 3| z najmanjšimi celimi števili! Izvršitev: a) 17 (m -|- n) : x = 102 (m 2 — n 2 ): 93 ( m — n) 1: x = 6 (m — n) : 93 (to — n) 1: * = 2 : 31. b) | : | =*:■&* |: 24 = x : 32 9 : 120 = * : 32 9 : 15 — x : 4 3:5 = x : 4. Tvorjenje sestavljenega sorazmerja. 86 2. Določi iz podatkov: a) a :b = 3:5 in a: c = 2:3 vrednost razmerja b : c\ b) a:b = 4:5, c:d = 3:5 in c:b = 6:5 vrednost razmerja a : d\ V navedenih nalogah je treba najprej določena raz¬ merja tako urediti, da se prvo razmerje začne s členom, ki je prednji člen zahtevanega razmerja, vsako naslednje razmerje začne s členom, ki se ujema z zadnjim členom prejšnjega razmerja, in zadnje razmerje konča s členom, ki je zadnji člen v zahtevanem razmerju. Potem se pomno¬ žijo istoležni členi urejenih sorazmerij. Izvršitev: a) b:a = 5:3 I ' „ „ | pomnoženo a: c = 2:3 [ b:c = 10:9. b) a:b — 4:51 j . c _ 5.3 pomnoženo c:d = 3:5 I a : d = 2:5. 3. Poišči iz podatkov: a) a : b = 3:5, a : c = 2:3, a : d -= 4 : 5; b) a : c = 8 : 3, b : c = 7:6, b : d = 14 :15 zaporedno sorazmerje! V nalogi a) se ujemajo prvi členi določenih razmerij. Takšno nalogo razrešiš, ako pretvoriš določena sorazmerja tako, da se ujemajo tudi njih tretji členi (najmanjši skupni mnogokratnik teh členov). — V nalogi b) poiščeš najprej iz določenih razmerij takšna razmerja, ki se ujemajo v prednjih členih, potem pa postopaš kakor pri nalogi pod a). Izvršitev: a) a:b — 3 : 5 = 12 : 20, a : c = 2:3 = 12: 18, a ul = 4:5 = 12 : 15; torej je a :b : c: d = 12 : 20 : 18 : 15. 87 b) ' ‘ pomnoženo c: b = 6:71 a : b = 16 : 7, a : c = 8 : 3 1 c : b = 6:7! pomnoženo /> : d = 14 : 15 J a : d = 32 : 15, a:b = 16: 7 = 32:14, a : c = 8 : 3 = 32 :12, o: d = 32: 15 = 32:15; torej je a :b : c: d = 32 :14 :12 :15. 4. Razdeli število 1141 na štiri dele, ki so si kakor 15:40:48:60! Deli števila 1141 so x, y, z , u. Po pogojili naloge je x -}- y -(- 2 -f- u = 1141 in x : y : z : u = 15 : 40 : 48 : 60. Iz zaporednega sorazmerja najdeš x —y — |— z —j— u x y z u 15 + 40 + 48 + 60 == I5 == 40 == 48 = 60’ ^ ^ _ x y z u ' J ' t ~ 15 _ 40 = 48 = 60’ in iz te enačbe je x = 105, y = 280, s = 336, u = 420. 5. Enačbo (x + 6): (11 — *) = (* + 69): (67 — x) razrešiš, ako izenačiš produkta zunanjih in notranjih členov. Potem najdeš x = 3. § 27. Sorazmerne količine in uporabne naloge. Dve količini sta odvisni druga od druge, ako vsaka odvisne količine, izprememba ene količine povzroči izpremembo druge koli¬ čine. N. pr. Določena množina blaga ima določeno ceno; dvakrat (trikrat) toliko istega blaga velja dvakrat (trikrat) 88 Premo soraz¬ merne količine = gerade oder direkt proportio- nale Grofi en; Sorazmernostni faktor ali modul = der Proportio- nalitatsfaktor oder Modulus. Funkcija = die Funktion. Kako stvorimo sorazmerje iz premo sorazmer¬ nih količin. Obratno soraz¬ merne količine = umgekehrt oder invers proportio- nale Groben. Kako stvorimo sorazmerje iz obratno soraz¬ mernih količin. toliko denarja. Ali: določeno število delavcev izvrši neko delo v določenem času; dvakrat toliko (enako pridnih) delavcev izvrši isto delo v polovici prvotnega časa. Ako sta količini A in B tako odvisni druga od druge, da se količina A tolikokrat poveča (zmanjša), kolikorkrat se količina B poveča (zmanjša), pravimo, da sta količini A in B premo sorazmerni. Iz tega pojasnila sledi, da mora ostati kvocijent številnih vrednosti izpreminjajočili ji se količin A in B vedno isti, v znakih = m ali A = mB, kjer pomeni m neizpremenljivo število, ki se zove soraz¬ mernostni modul ali faktor. Količini A pravimo funkcija količine B. Iz enačb A t = mB 1 in A 2 = mB 2 najdeš sorazmerje Ai : A 2 = B x : B 2 , t. j. Ako sta dve količini premo sorazmerni, je razmerje med dvema številoma prve količine enako razmerju med pripadajočima številoma druge količine. Ako pa sta količini A in B tako odvisni druga od druge, da se poveča (zmanjša) količina A tolikokrat, koli¬ korkrat se zmanjša (poveča) količina B , pravimo, da sta količini A in B obratno sorazmerni. Iz tega pojasnila sledi, da mora ostati produkt iz številnih vrednosti izpre- minjajočih se količin A in B vedno isti, v znakih A - B = m ali A — m • 4. Količini A pravimo funkcija količine B. Iz enačb A t = m ■ ]- in A 2 = m • -j- najdeš so- “ -D 2 razmerje A i : A = jr - ^ = B z :B n t. j. Ako sta dve količini obratno sorazmerni, je razmerje med dvema številoma prve količine enako obratnemu razmerju med pripadajočima številoma druge količine. Količina A utegne biti odvisna tudi od dveh, treh ali več drugih količin B, C , D i. t. d., s katerimi je posamič premo, oziroma obratno sorazmerna. Da je n. pr. količina 89 A s količinama B in C premo, s količino D pa obratno sorazmerna, izrazimo v znakih A = m • B • C- j r Količina A je funkcija količin B, C in I). Iz enačb A t = m • B t • C x • in A. 2 = m • B. ž • C' 2 • ~ najdeš sorazmerje A A BAi . B,C, ih ' D, Bh'\D 2 : B 2 C 2 D 1: katero se da predočiti tudi na ta-le način: A ■ A = B, : B 2 j C\ : C 2 / pomnoženo. I ) 2 : l) t j Ak o je torej določena k o lična odvisna od več drugih količin, s katerimi je posamič premo, oziroma obratno sorazmerna, je razmerje med dvema številoma prve količine enako sestav¬ ljenemu razmerju iz pripadajočih števil ostalih količin. Posamezni deli tega sestavljenega razmerja se tvorijo po prejšnjih pravilih. Razen navedenih odvisnosti se nahajajo med količi¬ nami še različne druge odvisnosti, na katere se tukaj ne bomo ozirali. Naloge, v katerih se nahajajo premo ali obratno sorazmerne količine, so sestavljene iz dveh stavkov, iz pogojnega in vprašalnega stavka, ali se vsaj dado razsta¬ viti na taka dva stavka. V pogojnem stavku so določene vse količine, v vprašalnem stavku pa je ena količina nedo¬ ločena. Naloge te vrste rešujemo ali s pomočjo sorazmerij ali pa na sklepovni način. V zadnjem slučaju sklepamo vobče iz določene množine na enoto in iz enote na kako drugo določeno množino iste količine. Razrešitev si neko¬ liko olajšamo, ako napravimo načrt, t. j. kratek podatek dotične naloge v obliki pogojnega in vprašalnega stavka. Primerjaj naslednje naloge! Tvorjenje sestav¬ ljenega soraz¬ merja iz premo in obratno soraz¬ mernih količin. Naloge o premo in obratno soraz¬ mernih količinah. 90 Naloge. 1. Rokopis ima 162 strani, vsaka po 50 vrst; koliko strani bi imel rokopis, ako bi bilo na vsaki strani po 45 vrst? 162 strani.50 vrst x .45 „ a) x 162 strani X 50 45 180 strani. b) x : 162 = 50 : 45 x = 180. a) Če razrešiš nalogo na sklepovni način, sklepaš tako-le. Po pogojnem stavku ima rokopis 162 strani; če bi na vsaki strani bila samo 1 vrsta (t. j. 50 krat manj vrst kakor v pogojnem stavku), bi moral rokopis imeti 50 krat toliko strani kakor v pogojnem stavku. Po vpra¬ šalnem stavku pa je na vsaki strani 45 vrst {t. j. 45 krat toliko kakor v prejšnjem slučaju), zato bo moral rokopis imeti 45. del prejšnjih strani. Med sklepom nakažeš vsako množenje, oziroma deljenje. Ker ima nakazani rezultat obliko ulomljenega števila, smeš po en faktor v števcu in imenovalcu deliti s skupno mero. h) Če hočeš nalogo razrešiti s pomočjo sorazmerja, je treba najprej določiti, kako sta količini odvisni druga od druge. Čim več vrst se nahaja na vsaki strani roko¬ pisa, tem manj strani ima rokopis; količini sta torej obratno sorazmerni. Po zgoraj navedenem pravilu stvoriš sorazmerje, katerega je treba razrešiti. 2. Voznik pelje 14 stotov blaga za 1(P8K 7 km daleč; kako daleč bo peljal 17| stota za 161 K? 14 stotov . . . 10'8 K . . .7 km m 164 a) x = 7 km X 14 X 16 4 _ 7 X 14 X 81 X 2 10-8 X 171 b) x:l 10-8 X 35 X 5 8'4 km. -- 14 161 171 10-8 x = 8‘4. 91 a) Sklepaš zaporedoma najprej na enoto pri vsaki količini pogojnega stavka in potem na tiste množine, ki se nahajajo v vprašalnem stavku. Voznik pelje blago 7 km daleč, 1 stot blaga bi peljal 14krat tako daleč; za 1 K bi peljal blago le 10’8. del prejšnje daljave. 17| stota blaga bo peljal 17^. del prejšnje daljave; za 164 K bo peljal blago 161-krat tako daleč kakor poprej. — V nakazanem rezul¬ tatu se nahajajo dvojni ulomki. Te ulomke odpraviš, ako prestaviš vsak imenovalec, ki se nahaja v glavnem števcu, kakor faktor v glavni imenovalec, vsak imenovalec pa, ki se nahaja v glavnem imenovalcu, kakor faktor v glavni števec ; kajti ulomek se ne izpremeni, ako pomnožiš njegov števec in imenovalec z enim in istim številom. b) Čim več je blaga, tem manjšo daljavo se pelje blago za isti denar; prva in tretja količina sta torej obratno sorazmerni. Čim več se plača voznine, tem dalje se pelje isto blago; druga in tretja količina sta premo sorazmerni. Sestavljeno sorazmerje stvoriš po zgoraj na¬ vedenih pravilih. 3. Koliko časa moraš 1863 K kapitala po 5% izposoditi, da dobiš toliko obresti, kakor jih da 3450 K po 4^-% v 9 mesecih? 3450 K kapitala . . . 4^% . • • v 9 mesecih 1863 „ „ ■ • ■ 5°/ 0 . . . v x „ x:9 = 3450 : 1863 1 _ H : 5 J x - 15. čim manjši je kapital, tem več časa mora ležati, da nese iste obresti, čim manjši so procenti, tem več časa mora ležati kapital, da nese iste obresti. 4. Koliko obresti da kapital k naložen po p % a) v l letih, b) v m mesecih, c) v d dnevih? a) 100 K kapitala ... v 1 letu ... p kron obresti k „ „ . . ■ v l letih ■ ■ ■ o „ „ kpl . — 100 ’ " J ' O 92 Obresti za leta izračunaš, ako pomnožiš kapital s procenti in leti ter deliš produkt s 100. b) 100 K kapitala v 12 mesecih p kron obresti on o A pon 1200 ’ t.j. Obresti za mesece izračunaš, ako pomno¬ žiš kapital s procenti in meseci ter deliš pro¬ dukt s 1200. c) 100 K kapitala ... v 360 dneh ... p kron obresti kpd , . o = — ^ — . t. i. 36000’ J Obresti za dneve izračunaš, ako pomnožiš kapital s procenti in dnevi ter deliš produkt s 36000. 5. A, B in C so popravljali okrajno cesto in sicer je pošiljal i po 4 delavce 6 dni, B po 3 delavce 9 dni in C po 4 delavce 8 dni; zato delo dobijo skupaj 207 - 5 K plačila. Koliko dobi vsak? Zaslužek se mora med A, B in C razdeliti po raz¬ merju delavcev in po razmerju časa; torej je x : w : s = 4 : 3 : 4 j _ 6:9:8/ x:y: z = 24 :27 :32. Po pravilih, ki veljajo o zaporednem sorazmerju, najdeš x = 60, y = 67 - 5, 2 = 80. 93 IV. Enačbe prve stopnje. § 28. Občna pojasnila in urejevanje enačb. Enačba je izenačena dvojica številnih iz- Enačba. Enačb en a dela. razov, ki sta enake vrednosti. Izenačena izraza se Enačbeni členi, imenujeta enačbena dela (enačbeni strani). Vsak teh delov utegne biti sestavljen iz členov, ki so spojeni med seboj z znakom -j- ali —. Enačba, v kateri izenačimo številni izraz s samim seboj ali s kako pretvorbo tega izraza, se imenuje isto- stna ali identična enačba. N. pr. a -(- b = a -j- b, ali (,x — 5) 2 = x 2 —10a; —j— 25. Ako postavimo v identični enačbi namesto občnega števila katerokoli posebno število, imata enačbena dela vsakokrat enaki vrednosti. Identični enačbi ustreza (zadostuje) torej vsako posebno število. Istostna enačba = identische Gleichung. Enačba, kateri ne ustreza vsako, ampak le določena Doiočiina enatba števila, se zove določilna enačba. Tako n. pr. zadostuje — ^eich'n""" S ~ enačbi 4« -j- 7 = 19 število 3 in nobeno drugo; enačbi x 2 — 4 = 0 pa zadostujeta števili -j- 2 in — 2. V nasled¬ njem se hočemo pečati le z določilnimi enačbami. Tisto število (oziroma številni izraz), ki ustreza dolo- Enačbeni koren. Enačbo razrešiti. čilni enačbi, se imenuje enačbeni koren. Enačbi določiti koren, se pravi enačbo razrešiti. V določilnih enačbah ločimo znane in neznane koli- znanke in ne- . . znanke v določil- čine. Znane količine (znanke) zaznamujemo s posebnimi nih enačbah, števili ali pa s prvimi črkami abecede, neznane količine (neznanke) pa z zadnjimi črkami x , y, z, u, v. Ako se nahaja v enačbi več občnih števil, smatramo včasih zdaj to, zdaj drugo občno število za neznanko. To se zgodi posebno pri obrazcih, t. j. pri enačbah, s katerimi izražamo izreke in pravila, po katerih se določuje n. pr. likom obseg in ploščina, telesom površje in prostornina i. t. d. Po številu neznank, ki se nahajajo v enačbi, ločimo Razvrstitev 1 ' enačb po številu enačbe z eno, dvema, tremi ... neznankami. neznank. 94 Osnovne resnice o pretvarjanju enačb. Enačbo urediti = eine Gleichung ordnen. Iz matematičnih osnovnih resnic sledi: a) Ako prišteješ, oziroma odšteješ enakim številnim izrazom enaka števila, najdeš enake izraze. b) Ako množiš, oziroma deliš enake številne izraze z enakimi števili, najdeš enake izraze. S pomočjo teh izrekov se da vsaki enačbi izpremeniti oblika. Važne so tiste izpremembe, po katerih postane oblika enostavna. Na take pretvoritve se hočemo tukaj ozirati. Enačbo urediti se pravi, enačbi dati kolikor mo¬ goče enostavno obliko. Iz zgoraj navedenega in iz razre¬ šenih nalog v §§ 7., 10. in 18. izvajamo za urejevanje enačb sledeča pravila: 1. Izvrši računske načine, katere nakazu¬ jejo oklepaji! 2. Odpravi ulomke, t. j. pomnoži vse enačbene člene z najmanjšim skupnim imenovalcem dotičnih ulomkov! 3. Prestavi vse člene desnega enačbenega dela v levi del ter skrči in uredi člene v tem delu po padajočih potencah z ozirom na ne¬ znanko! Ako prestaviš člen iz enega enačbenega dela v drugega, mu moraš izpremeniti predznak. Dva člena v različnih enačbenih delih se uničujeta, ako se ujemata v predznakih in številnih vrednostih. 4. Deli vse enačbene člene s koeficientom neznanke v naj višji potenci! Vobče smemo reči, da smeš vse enačbene člene deliti z njih skupno mero, če se v tej skupni meri ne nahaja neznanka sama. Urejene enačbe z eno neznanko imajo torej takšne-le oblike: x -j- a = 0; x 2 -\- ax -\-b = 0; x 3 -f- ax 2 -f- bx —(— c = 0; i. t. d. Če ima enačba dve ali več neznank, smatramo jo za urejeno, če ima obliko kakor n. pr. ax -f- by — c, ax 2 -(- hj 2 -\- cxy -| - dx -\- cy = /’ i. t. d., kjer pomenijo a, b, c.. . cela števila. 95 Enačbe, ki se dado pretvoriti na eno izmed zgoraj navedenih oblik, se imenujejo algebrajske; vse druge enačbe pa so transcendentne. Največji potenčni eksponent, katerega ima neznanka urejene enačbe, ali če je več neznank, največja vsota potenčnih eksponentov, katere imajo neznanke urejene enačbe v enem in istem členu, določa stopnjo dotične enačbe. Enačbe kakor n. pr. x-\-a = 0, ax -j- by — c , (ix —]— by —|— cz =. d i. t. d. so enačbe prve stopnje. § 29. Razreševanje enačb prve stopnje. I. Urejena enačba prve stopnje z eno neznanko ima obliko x -|- a = 0. Iz tega sledi x = — a. Ker pomeni izraz — a neko določeno število, ima torej enačba prve stopnje z eno neznanko samo en koren. Iz nalog in pojasnil v §§ 7., 10. in 18. posnamemo za razreševanje enačb prve stopnje z eno neznanko ta-le pravila: 1. Izvrši računske načine, katere naka¬ zujejo oklepaji! 2. Odpravi ulomke! 3. Prestavi člene z neznanko v en enač- beni del in znana števila v drugi del ter skrči istoimenske izraze kolikor mogoče! 4. Deli oba enačbena dela s koeficientom neznanke! Preizkus napraviš, ako zameniš v določeni enačbi neznanko z najdenim korenom ter izračunaš vrednosti prvega in drugega dela. Če se ujemata te vrednosti, si prav razrešil enačbo. II. Urejena enačba prve stopnje z dvema neznankama ima obliko ax -j- by = c. Ako poiščeš iz te enačbe vrednost za x, oziroma za y , najdeš c — bi/ c — ax . x = -- in y — -t—, a b Algebrajske in transcendentne enačbe = alge- braische und transzendente Gleichungen. Stopnja določilne enačbe = der Grad der Bestim- mung sgleichung. Kako se razre¬ šujejo enačbe prve stopnje z eno neznanko. Preizkus. 96 Iztrebiti = eli- minieren. Primerjalni način = die Kompara- tionsmethode. Zamenjalni način = die Substitu- tionsmethode. Način enakih koeficientov = Methode der glei- chen Koeffizien- ten. t. j. vsaki posebni številni vrednosti za y (oziroma za x) pripada določena vrednost za x (oziroma za y). Enačba prve stopnje z dvema neznankama ima torej brez števila razrešitev. Ako imamo dve enačbi prve stopnje z dvema ne¬ znankama, ima sicer vsaka enačba za-se brez števila raz¬ rešitev, obe enačbi skupaj pa le eno razrešitev; zakaj iz določenih enačb se da ena neznanka iztrebiti, t. j. iz določenih enačb se da izvesti nova enačba, ki ima le eno neznanko. Ako razrešiš to novo enačbo, najdeš koren ene neznanke. Drugi neznanki določiš koren, ako zameniš v eni izmed določenih enačb dotično neznanko z najdenim korenom ter razrešiš to enačbo. Iz določenih enačb utegneš eno neznanko iztrebiti na štiri načine. a) Primerjalni način. Razreši obe enačbi z ozi¬ rom na eno in isto neznanko ter izenači dobljeni vred¬ nosti ! N. pr. 2x -)- 5 y = 26 26 — 5 y 3x — 2y = 1 2 26 — 5 1/ 78 — 15// * 2 ’ — 19 y y 1 + 2 y X — 3 x b) Zamenjalni način. Določi eni neznanki vred¬ nost iz ene enačbe ter postavi to vrednost v drugo enačbo namesto dotične neznanke! N. pr. 6(8-2//)- 5 y = 14 48 — 17 y = 14 17 U = -34 y= 2 . x = 8 — 4 = 4. c) Način enakih koeficientov. Napravi eni in isti neznanki enaka koeficienta (najmanjši skupni mnogo¬ kratnik prvotnih koeficientov) v obeh enačbah ter seštej x + 2y = 8 6x — hy = 14 x = 8 — 2 y, 1 + 2 // = 2 + 4 y = — 76 = 4. 1+8 97 pretvorjeni enačbi, oziroma odštej eno od druge! Koefi¬ cienta napraviš enaka, ako pomnožiš vsako enačbo s primernim faktorjem. Pretvorjeni enačbi sešteješ, ako sta enaka koeficienta različno zaznamovana, drugače pa od- šteješ enačbo od enačbe. N. pr. 7* * + 6y = 27 X 3 13*■+ 9y = 48 X 2 21* + 18y-= 81 26* -j- 18 y = 96 — 5* = — 15 * == 3. d) Način nedoločenih koeficientov. Pomnoži eno enačbo z nedoločenim številom m ter jo prištej drugi enačbi! Ako izbereš v novi enačbi vrednost za m tako, da postane koeficient neznanke y enak ničli, dobiš enačbo, iz katere določiš koren za *; če pa izbereš vrednost za m tako, da postane koeficient neznanke x enak ničli, dobiš enačbo, iz katere določiš koren za y. N. pr. Iz enačb 3 * -j- 4 y = 24 5* — 3 ij = 11 najdeš na navedeni način 21 —j— 6 #/ = 27 6 y = 6 y = l. (3 m -j- 5) * + (4 m — 3) y = 24 m -j- 11. Ako je 4 m — 3 = 0, torej m = j, najdeš (3-| + 5)* = 24-1 + 11 29 T x 29 * = 4. Če je pa 3 m + 5 = 0, torej m = — najdeš (-¥-3)2/ = -40 11 29 3 -y = - y = 3. 29 Matek, Aritmetika. Način nedoločenih koeficientov = Methode der un- Bestimmten Koeffizienten. 98 Kdaj imata dve enačbi prve stop¬ nje z dvema ne¬ znankama samo eno razrešitev. Kateri izmed navedenih načinov je pri določeni nalogi najprimernejši, spoznaš iz koeficientov, katera imata ne¬ znanki v urejenih enačbah. Drugi in tretji način se rabita največkrat. Včasih moraš obratni vrednosti neznank ali kaki drugi številni zvezi smatrati za neznanki. Tako n. pr. je treba v enačbah 3 1 a • - 5 - == 13 in y — 1 številna izraza - = z in — , = u smatrati za neznanki. x y 1 Vrednosti teh izrazov najdeš tako-le: A - 6 x ' IJ — L 15 6 x y — 1 x 26 12 sešteto ali pa: 4 z —j— 6 u = 26 152 — 6 « — 12 192 = 38 z — 2. 4 4- 3« = 13 3 u = 9 u — 3. Iz vrednosti — = 2 in 3 določiš x = 4 in y = 1|. Ako razrešiš enačbi ax -{-bi/ = c najdeš korena x = in a, a; h y «i, b x c — bc x in y ac , —■ a, c ab x — aj) '' ab x — a x b ’ Vrednosti za x in ij sta določeni števili, ako je imenovalec ab x — a-J> različen od ničle. Geje pa ab x — a x b = 0, torej «i = -y-, najdeš, če postaviš vrednost za a 1 v drugo zgoraj navedeno enačbo | , .. , 7 bc x -j-ar -f- b x y — c t ali ax -} - by = . 99 Ako je -y = c, je druga navedena enačba identična s prvo (se da izvesti iz prve) in enačbena korena dobita v tem slučaju nedoločeno obliko ^ ; če je pa izraz ~ različen od c, si nasprotujeta navedeni enačbi, ker je namreč ax -j- by = c in ax -I- by = Iz navedenega izvajamo: Dve enačbi prve stopnje z dvema neznan¬ kama imata eno razrešitev (eno skupno dvojico korenov), če nista odvisni druga od druge ali če si nista nasprotni. III. Urejena enačba prve stopnje s tremi neznankami ima obliko cix -j— by —J— cz — d. Vsaka taka enačba ima brez števila razrešitev; zakaj dvema neznankama smeš izbrati katerakoli korena, tretji neznanki pa izračunaš koren iz določene enačbe. Tudi dve enačbi s tremi neznankami imata brez števila razrešitev, ker smeš eni neznanki izbrati katerikoli koren. Naloga postane popolnoma določena, ako imaš tri enačbe s tremi neznankami. V tem slučaju najdeš vsaki neznanki le en koren, če niso enačbe odvisne, oziroma nasprotne druga drugi. Tri enačbe s tremi neznankami razrešiš tako-le. Ako iztrebiš iz določenih enačb eno neznanko, dobiš dve novi enačbi z dvema neznankama, katerima najdeš skupno korensko dvojico po prejšnjih pravilih. Ako zameniš potem v eni izmed prvotnih enačb dotični neznanki z najdenima korenoma, dobiš enačbo, iz katere izračunaš koren tretje neznanke. Kar se tiče iztrebljevanja ene neznanke iz treh enačb, služijo nam isti načini, po katerih smo se ravnali pri razreševanju enačb z dvema neznankama. Primerjaj razrešene naloge ! Ako je treba razrešiti štiri ali več enačb s štirimi ali več neznankami, postopaš slično. Kako se razrešu¬ jejo enačbe prve stopnje s tremi neznankami. 7 * 100 Naloge. i) 2 x -j- 3 z = 26 3* — 4 «/ = 6 5 y — 6 2 = 18 26 — 3 z x ^ _ 6 + 4y 6-)-4// 26 — 3z 3 = 2 12 + 8«/ = 78 — 92 8 «/ + 92 = 66 b) 3*— 4«/+ 52 = 10 6x + y + 72 = 29 x + hy — 2 z = 5 x = 5 — 5 j/ + 22 — 361«/+ 2092 = — 95 — 319«/+ 2092 = — 11 — 42 y = — 84 y = 2. 12*+ 18//+ 242 = 30 \ 18* — 21«/+ 242 = 27 Ji 20*+ 22«/+ 242 = 26 | — 38 + 112 = —5 11 2 = 33 2 = 3. * = 5 — 10 + 6 = 1. — 1 + 42 = 5 42 = 6 3 168«/ = 0 y = o. 101 Slika I. -X § 30. Določanje točkine lege in načrtavanje linearne funkcije. I. V vsaki premici z določeno točko O ločimo z ozirom na to točko dvojno smer: 1. smer od točke O na desno (oziroma navzgor) imenujemo pozitivno smer ter jo zaznamujemo z znakom -j-, 2. smer od točke O na levo (oziroma navzdol) pa zovemo negativno smer in jo zaznamujemo z znakom —. Lego točk M u M 2 . .. v premici X t X (slika I.) z v M t -0 — -» M, ozirom na točko O dolo- A; \ ’’ čimo popolnoma natanko, ako povemo, kakšno lego imajo daljice 0M 1 , Oil/ 2 ... z ozirom na točko O in kolika so njih merska števila. Da¬ ljice OM u OMo .. . se imenujejo odsečnice ali abscise točk M,, il/ 2 ..., premica X 1 X se zove os odsečnic ali abscis in točka O je njih izhodišče ali začetek. Abscise točk M x , M 2 . .. zaznamujemo z x x , x 2 ...; v vsakem teh znamenj se nahaja znak o legi in mersko število dotične daljice. Tako n. pr. izrazimo z absciso x x dolgost daljice OM x in da je ta daljica pozitivna; z absciso x 2 izrazimo dolgost daljice OM 2 in da je ta daljica nega¬ tivna. Razdalja točk M L in M 2 je torej = x x — x 2 ali pa = x 2 — x x ; prva razdalja je pozitivna, druga negativna. Če pa točke M x , M 2 . M 3 ... ne leže v eni in isti premici, toda v eni in isti ravnini, iz¬ beremo si v ravnini teh točk za podlago dve sekajoči se premici X x X in Y t Y, ki stojita pravokotno druga na drugi in tvorita skupaj pravokotno soredje (slika II.). Premica X x X se zove os odsečnic ali abscis (odšečnična ali abscisna os), premica )\Y pa os rednic ali ordinat (rednična ali ordinatna os); obe premici skupaj se imenujeta sorednični ali Slika II. X: -X Določanje toč¬ kine lege v pre¬ mici. Odsečnica in os odsečnic. Zaznamovanje odsečnic. Določanje točkine lege v ravnini. Pravokotno so¬ redje = d as rechttvinklige Koordinaten- system. Os odsečnic ali odšečnična os = die Abszissen- aclise. Os rednic ali rednična os = die Ordinaten- achse. Sorednični osi = die Koordinaten- achsen. 102 Sorednici == die Koordinaten. Odsečnica = die Abszisse. Rednica = die Ordinate. Koordinatno iz¬ hodišče ali koor¬ dinatni začetek = der Koordina- tenursprung oder Koordinaten- anfang. Predznak koor¬ dinat. Kako poiščeš do¬ ločenima koordi¬ natama pripada¬ jočo točko. Stalnica = die Konstante. Premenljivka = die Variable. koordinatni osi. Abscisna os je v smeri od 0 proti A' (na desno) pozitivna, v smeri od O proti (na levo) pa negativna. Ordinatna os je v smeri od O proti F (navzgor) pozitivna, v smeri od O proti Y x (navzdol) pa negativna. Ako načrtamo od točke (slika II.) vzporednico z ordinatno osjo do abscisne osi, dobimo daljici Y 1 P 1 in OP l , ki določujeta lego točke 3/j in se zoveta sorednici ali koordinati točke M t . Daljica OP 1 — X! je odseč¬ nica ali abscisa, daljica iV'i) = y 1 pa rednica ali ordinata točke 3/,. Da sta x 1 in y t koordinati točke M ly zapišemo v znakih tako-le 3/, (x ly y 1 ). Na isti način naj¬ demo in zaznamujemo tudi koordinate točk 3/ 2 , 3/ s .. ., v znakih 3/ 2 .(x 2 , */ 2 ), M s {x 3 , y a ) ... Presečišče O koordinatnih osi se imenuje koordi¬ natno izhodišče ali koordinatni začetek. Točkini koordinati sta pozitivni, kadar ležita v smeri pozitivnih delov koordinatnih osi (abscisa na desni od ko¬ ordinatnega začetka, ordinata pa nad abscisno osjo), sicer pa sta negativni. Tako ima n. pr. točka 3/, pozitivno ab¬ sciso (x 1 ) in pozitivno ordinato (y 1 ); točka 3/ 2 ima nega¬ tivno absciso (x 2 ) in pozitivno ordinato (y 2 ) ; točka M a ima negativno absciso (x 3 ) in negativno ordinato (y a ) i. t. d. Koordinate znanih ali določenih točk zaznamujemo navadno na ta način, kakor smo zaznamovali koordinate točk 3/ l5 3/ 2 , M 3 ...; koordinate neznanih ali nedoločenih točk 3/ pa zaznamujemo z x in y, v znakih 3/ (x, y). Določenima koordinatama x 3 in y t poiščeš pripadajočo točko 3/j, ako izbereš daljico za enoto dolgostne mere, načrtaš s pomočjo te enote na abscisni osi absciso x t ter postaviš v krajišču te abscise pravokotnico, ki odgovarja po legi in merskem številu ordinati y t . Istotako najdeš tudi točke M 2 (x 2 , y 2 ), M a (x 3 , y 3 ) ... Vsako točko določujeta popolnoma natanko njeni ko¬ ordinati; določenima koordinatama pripada samo ena točka. II. Količine, ki obdržijo med računanjem ali kakem preiskavanjem vedno iste vrednosti, se imenujejo nepre- menljive ali stalne količine (stalnice); količine pa, ki izpreminjajo svoje vrednosti, se zovejo preinenljive količine (premenljivke). Stalnice in premenljivke se 103 zaznamujejo kakor znanke in neznanke v enačbah. Medse¬ bojno zvezo med stalnicami in premenijivkami izražajo enačbe. Premenljivke so neodvisne in odvisne. Neodvisna je premenljivka, če smemo za njo postaviti vsakršno vred¬ nost, ki se strinja z bistvom premenljivke; odvisna pa je premenljivka, ako določa njeno vrednost kaka druga premenljivka. Tako n. pr. pripada v enačbi y = 2x — 3 vsaki posebni vrednosti premenljivke x popolnoma določena vred¬ nost premenljivke y\ x je torej neodvisna, tj pa odvisna premenljivka. Vsaka odvisna premenljivka se zove tudi funkcija, t. j. v navedenem primeru vrednost izraza 2x — 3, katerega smo zaznamovali z y. Funkcija se ime¬ nuje linearna ali prve stopnje, če se nahaja premen¬ ljivka le v prvi potenci. Tako je n. pr. številni izraz ax -j- b ali y = ax -\-b cela linearna funkcija premenljivke x. Da je j funkcija premenljivke x, zapišemo kratko tako le: j = f (x) ali j = (p (z) ali y — F (x) i. t. d. Neodvisna in odvisna premen¬ ljivka. Funkcija = die Funktion. Linearna funkcij a = lineare Funk¬ tion. Včasih nima linearna funkcija take razvite oblike Razvita in neraz- i_i i? , . . vita funkcija = Kakor ij = ax o, ampak se nahaja kakor neznanka v e x P iizite und enačbi, iz katere je treba funkcijsko vrednost šele določiti. i,n P Iiz ; te Funk - Tako smemo n. pr. v enačbi 2x 3y — 5 = 0 neznanko y smatrati za tr-ovo funkcijo. Take funkcije se zovejo ne¬ razvite funkcije. Vsaka enačba prve stopnje s premenljivkama x in y Srta . = die Funktions- ima po prejšnjem paragrafu neizrečeno veliko razrešitev > linie. kajti za vsako posebno vrednost neodvisne premenljivke x se da iz enačbe določiti vrednost za odvisno premenljivko y. Dve taki vrednosti za x in «/, ki pripadata druga drugi, tvorita dvojico enačbenih korenov. Če si mislimo vsako dvojico enačbenih korenov kakor točkini koordinati z ozirom na določeno soredje, smemo reči, da predočuje vsaka razrešitev dotične enačbe določeno točko. Čim manje se razlikujejo zaporedne vrednosti, ki jih izberemo za x, tem manjša je tudi razlika pripadajočih funkcijskih vred¬ nosti in tem bliže ležijo točke, ki predočujejo te razrešitve, če preide ena razrešitev nepretrgoma v drugo, najdemo v sliki nepretrgano vrsto točk, ki tvorijo črto (funk¬ cijsko črto). Funkcijska črta je zelo važna, ker s 104 Načrtavanje raz¬ vite linearne funkcije. Izpremembe linearne funkcije. pomočjo te črte najlaže spoznamo in pregledamo funk¬ cijske izpremembe. a) Linearno funkcijo ij = 2x — 3 predočimo s sliko, ako izberemo za premenljivko x nekatere vrednosti, n. pr. x — ... — 1, 1, 2, 3 ..., potem izračunamo pripadajoče funkcijske vrednosti y ... o, 1, 1, 3 . . ., nadalje poiščemo navedenim razrešitvam ustrezajoče točke in sicer tako, kakor smo poprej razložili, in končno nari¬ šemo skoz te točke funkcijsko črto (slika III.). Čim več točk se določi, tem laže in natančneje se da narisati funkcijska črta. Če postavimo v funkcijo y = 2x — 3 za premenljivko x = —oo, najdemo funkcijsko vrednost y — — oo ; ako se pre- menljivka veča in bliža ničli (n. pr. x = — 20, — 15, — 8. . .), se veča tudi funkcija (y — — 43, — 33, — 19...); ko je pre- menljivka x = 0, je funkcijska vrednost = — 3 (to število je drugi člen določene funkcije); ko dobi premenljivka x vrednost, ki je določena po korenu enačbe 2 x — 3 = 0 (torej x = -§■), dobi funkcija vrednost = 0; ako se vrednosti premenljivke večajo od naprej (n. pr. x = 5, 9, 11...), ostane funk¬ cija pozitivna in dobiva vedno večje in večje vrednosti (y = 7, 15, 19...); ko je x = -(- oo, je tudi' y = - 1- oo. Ker smemo po navedenem za premenljivko x postaviti vsako vrednost od — oo do -f-oo in ker ležijo pripadajoče funkcijske vrednosti med istima mejama, raste torej funk¬ cija 2x—3 od —oo do -j-oo, če raste premenljivka x od - OO do -|- oo; ta funkcija dobi vrednost = 0 samo v slučaju, ki je določen po korenu enačbe 2x — 3 = 0. Predznak funkcijskih vrednosti se izpremeni, ko postane Slika III. X 105 funkcija = 0. Vse te funkcijske izpremembe vidimo in spo¬ znamo iz slike, če si natančneje ogledamo funkcijsko črto. Funkcija y = 2x — 3 raste enakomerno. Od točke M t do M 2 (slika III.) raste premenljivka za 2 enoti, funk¬ cija pa za 4 enote; razmerje med funkcijskim prirastkom in prirastkom premenljivke je = f = 2 (t. j. funkcijski prirastek na enotnem prirastku premenljivke). Od točke M.> do iYg, oziroma od točke M s do M i raste premenljivka po enoti, funkcija pa po 2 enoti; razmerje med funkcijskim prirastkom in prirastkom premenljivke je = 2. Če si iz¬ beremo ponavljajoč druge točke v funkcijski črti, vsako¬ krat najdemo, daje razmerje med funkcijskim prirastkom in prirastkom premenljivke = 2. (To število se nahaja v funkciji kot koeficient premenljivke.) Iz navedenega smemo torej sklepati, da se funkcijska črta enakomerno vzdiguje in da mora biti zaraditega prema črta. b) Pri linearni funkciji 3y -j- 2x — 5 ali v razviti obliki y = — \x -j- f so razmere obratne od prejšnjih. Funkcijsko črto najdemo, ako poiščemo n. pr. razrešitvam: x = ... — 5, — 2, 4, 10 . .. y .. 5, 3, 1, 5 ... pripadajoče točke in narišemo skoz te točke črto (slika IV.). če postavimo v funkciji y = — f a?-(-■§■ za premen- ljivko x = — oo, najdemo funkcijsko vrednost y — -)- oo; ako se premenljivka veča in bliža ničli (n. pr. x — — 20, —17, —11. . .), se manjša funkcija (y = 15,13, 9...); ko je premenljivka x = 0, je funkcija = f (ta vrednostjo drugi člen določene funkcije); ko dobi premenljivka vrednost, ki je dolo¬ čena po korenu enačbe — = ° ( tore i x == |) dobi funkcija vrednost = 0; ako se vrednosti premen¬ ljivke večajo od f Slika IV. Kako raste linearna funkcija. Načrta vanj e ne¬ razvite linearne funkcije. Izpremembe linearne funkcije. 106 Kako pojema linearna funkcija. Lastnosti linearne funkcije. Kako se razre¬ šujejo enačbe prve stopnje s pomočjo funkcij¬ skih črt. naprej (x = 16, 22, 31...), ostane funkcija negativna in dobiva vedno manjše in manjše vrednosti (ij = — 9, —13, —19.. .); ko je x = -j-oo, je y = — -oo. Navedena funkcija se torej manjša od -(- oo do — oo, če se veča premen- ljivka a: od — oo do -j- oo, in izpremeni svoj predznak v slučaju, ko postane njena vrednost = 0. Funkcija y = —— )— -g- pojema enakomerno. Od točke M x do M<> (slika IV.) raste premenljivka za 3 enote, funkcija pa se zmanjša za 2 enoti (t. j. negativni prirastek 2 enot); razmerje med funkcijskim prirastkom in pri¬ rastkom premenljivke je = Od točke d/ 2 do d/ 8 , oziroma od točke J/ 3 do d/ + raste premenljivka po 6 enot, funkcijski zmanjšek pa znaša po 4 enote (t. j. negativni prirastek 4 enot) ; razmerje med funkcijskim prirastkom in prirastkom premenljivke je = = — -f. Če si izberemo ponavljajoč druge točke v funkcijski črti, vsakokrat najdemo, da je razmerje med funkcijskim pri¬ rastkom in prirastkom premenljivke = —f. (To število se nahaja v funkciji kot koeficient premenljivke.) Iz nave¬ denega smemo torej sklepati, da pada funkcijska črta enakomerno in da mora biti zaraditega prema črta. Iz linearne funkcije v razviti obliki (y = ax - f- b) spoznamo trojno: 1. da funkcija raste (pojema), če je koeficient premenljivke pozitiven (negativen); 2 da je razmerje med funkcijskim prirastkom in prirastkom pre¬ menljivke enako koeficientu premenljivke; 3. da je funk¬ cijska vrednost enaka drugemu funkcijskemu členu, če je premenljivka x = 0. Dve enačbi prve stopnje z dvema neznankama imata samo eno skupno razrešitev; zakaj enačbama pripadajoči funkcijski črti (če nista vzporedni) imata samo eno skupno točko. Kako se skupna razrešitev najde s pomočjo računa, izvedeli smo v prejšnjem paragrafu; tukaj hočemo še ome¬ niti, da moremo skupno razrešitev tudi najti s pomočjo slike. Ako poiščemo enačbama ustrezajoči funkcijski črti in narišemo skupni točki teh črt koordinati ter ju izme¬ rimo kolikor mogoče natanko, najdemo (približno) skupno razrešitev obeh določenih enačb. Zakaj je ta razrešitev navadno le približna? 107 § 31. Uporaba enačb prve stopnje. Marsikatere naloge iz aritmetike, geometrije in vsak- Kako se tvori j° danjega življenja se dad<5 razrešiti s pomočjo določilnih enačb. V to svrho izbereš občno število, n. pr. x, y ali z, kakor znamenje za tisto število, katerega iščeš, ter napraviš s tem številom vse tiste izpremembe, ki se zahtevajo v nalogi. Na ta način najdeš dva številna izraza, ki sta po pogoju naloge enaka. Ako izenačiš ta izraza, stvoriš enačbo, katero je treba razrešiti. Preizkus napraviš, ako preiščeš, ali ustreza najdeni koren vsem pogojem naloge. Včasih se mora najdeni koren (posebno če je izražen z občnimi števili ali pa negativen) tudi raztolmačiti, t. j. določiti se mora, ali imajo negativni, oziroma ulomljeni koreni v do- tičnem slučaju kakšen pomen, ali so brez pomena, in pod katerimi pogoji sploh je naloga mogoča. Kako je treba pri stvarjanju enačbe ravnati v posameznih slučajih, spo¬ znaš iz naslednjih razrešenih nalog. Naloge. 1. Pri katerem številu je polovica, tretjina Razmere med in četrtina skupaj za toliko večja od 163, za Beliehimgen kolikor je dotično število, povečano za 1, manjše zwisch 78 m M N ,- 1 - 1 - Telo B , hitrost: 2| m, čas: x sekund. Telo A dohiti telo B v točki N čez x sekund; telo A preteče pot LA", t. j. a-krat po 4 m ; telo B preteče pot 3/A 7 , t. j. »krat po 2| m. Razlika teh poti je po pogoju na¬ loge = 78 m ; torej je 4,r — 2^x = 78. Iz te enačbe najdeš x = 52. b) Telo A, hitrost: 4 m, čas: y sekund. L -> P M I -- -I- -I 78 m < - Telo L, hitrost: 2|w, čas: y sekund. Telesi se srečata v točki P čez y sekund ; telo A pre¬ teče pot LP— 4=y metrov, telo B pa pot MP= 2 ’ f y metrov. Po nalognem pogoju je 4y-j-2£y = 78; iz te enačbe najdeš y = 12. 118 29. Ob šesti uri gre od kraja A proti kraju B brzovlak, ki porabi za to daljavo 3^ ure; ob sedmi uri gre od kraja B proti A poštni vlak, ki potrebuje za to pot 5| ure. Kdaj se srečata vlaka? Razrešitev. Brzovlak, hitrost: , čas: (a? —J— 1) uro. o4- Poštni vlak, hitrost: —, čas: x ur. Vlaka se srečata v točki C. Brzovlak preteče pot AC = ~(,jp —j— 1), poštni vlak pa pot BC — ^ • x. Po nalognem pogoju je ~ (a? —j— 1) — ^x = AB ; iz te enačbe najdeš x = P 5. Vlaka se srečata ob osmi uri trideseti minuti. 30. Sel ima prehoditi razdaljo od kraja A do kraja B ; ob dvanajsti uri sta si pota, ka¬ terega je že prehodil in katerega še ima pre¬ hoditi, kakor 2 : 3; ko še prehodi 8 km , sta si pota, katerega je že prehodil in katerega še ima prehoditi, kakor 6:5. Kako daleč je od .4 do B ? Razrešitev. Ob dvanajsti uri je sel v točki C; pot AC je že prehodil, pot BC še ima prehoditi. Po pogoju naloge je ^16': CB == 2: 3. Nekoliko časa pozneje je po pogoju naloge prehodil pot (AC -f- 8) km, pot (CB — 8) km pa še ima prehoditi; torej je (AC -f- 8) : (CB — 8) = 6 : 5. Iz navedenih sorazmerij najdeš AC = 22 km in CB = 33 km-, pot AB je potem AC-j- CB = 55 km. 31. Kurir prehodi razdaljo od A do B v do¬ ločenem času; če bi napravil vsako minuto po 3 korake več, bi prehodil dotično razdaljo 8 minut prej; če bi pa napravil vsako minuto po 12 korakov manj, bi prišel v kraj B za 36 minut 119 pozneje, nego bi moral priti. Koliko korakov napravi kurir vsako minuto in kako daleč je 0 d A d o B ? (3 koraki = 2 metra.) Razrešitev. Kurir napravi vsako minuto po x korakov in prehodi pot od A do B v y minutah; pot AB je torej = xy korakov. Če bi kurir napravil vsako minuto po a? -j— 3 (oziroma po * — 12) korakov, bi prehodil isto pot v y — 8 (oziroma v ^ —j— 36) minutah ; torej je AB = — (» -)- 3) (y — 8), oziroma (» — 1 2)(y 36) korakov. Iz navedenih izrazov stvoriš enačbi, iz katerih najdeš x = 132 in y — 360. Pot AB = 47520 korakov = 31680 metrov. 32. Kdaj pokrijeta kazalca na uri med šesto in sedmo uro drug drugega? Kdaj tvorita med šesto in sedmo uro pravi kot? Razrešitev. Kazalo na uri je razdeljeno na 60 enakih delov, ki se imenujejo minutne črte. Hitrejši kazalec pre¬ teče v 1 uri vseh 60 minutnih črt, v 1 minuti torej 1 mi¬ nutno črto ; počasnejši kazalec preteče v 1 uri 5 minutnih 5 1 črt, v 1 minuti torej ^ ^ minutne črte. a) Ob šesti uri kaže hitrejši kazalec na število 12, počasnejši pa na število 6. Čez » minut pokrijeta kazalca drug drugega; med tem preteče hitrejši kazalec »krat po 1 minutno črto, počasnejši pa »krat po ^ minutne črte. Razlika teh potov znaša toliko minutnih črt, kolikor jih je od števila 12 do števila 6 na urnem kazalu, t. j. 30 minutnih črt. Torej je » — ^ — 30; iz te enačbe S 8 najdeš » = 32 jj. Kazalca pokrijeta drug drugega 32mi¬ nute po šesti uri. b) Kazalca tvorita y minut po šesti uri pravi kot. Pravi kot obsega 15 minutnih črt na kazalu. Ako prišteješ poti od števila 12 do števila 6 (t.j. 30 minutnim črtam) pot počasnejšega kazalca v y minutah ter odšteješ od te vsote pot hitrejšega kazalca v y minutah, mora razlika znašati 15 minutnih črt, v znakih (3O-f--0— y = 15. Razliko 15 minutnih črt tudi najdeš, ako odšteješ od poti 120 Geometrijske naloge. hitrejšega kazalca v ij minutah pot od števila 12 do števila 6 in pot počasnejšega kazalca v ij minutah, v znakih y — (30 = 15. Iz navedenih enačb najdeš ii — 16tt in v = 49 tt. Kazalca tvorita med šesto in f/ 11 J 11 £ sedmo uro torej dvakrat pravi kot, prvokrat 16pr minute 1 11 in drugokrat 49^ minute po šesti uri. 33. Dve točki se pomičeta po krožnici, ki meri 840 m , v isto smer in se snideta vsakih 35 sekund; če se pa točki pomičeta v nasprotno smer, se srečata vsakih 12 sekund. Kako hitro se pomičeta točki? Razrešitev. Točka A preteče vsako sekundo x, točka B pa y metrov. V prvem slučaju dohiti točka A točko R; točka A mora torej preteči vso krožnico in še toliko, kolikor preteče točka B ; razlika teh poti je = dolgosti krožnice, v znakih 35 x — 35 ij = 840. V drugem slučaju se srečata točki, ko pretečeta skupaj pot 840 m, v znakih 12x -j- 12 y — 840. Iz teh enačb najdeš x = 47 in ij = 23. 34. Zunanji kot na osnovnici enakokrakega trikotnika in zunanji kot na vrhu sta si kakor 29:32; kolik je notranji kot na osnovnici? Razrešitev. Zunanji kot na osnovnici je sokot notra¬ njega kota ji na osnovnici, zunanji kot na vrhu pa je dvakrat tolik kakor notranji kot na osnovnici. Po nalog- nem pogoju je torej (180° — /9):2/3 = 29:32; iz tega sorazmerja najdeš /? = 64°. 35. Obsrediščna kota dveh enakih krogovih iz¬ sekov, katerima znašata polumera 20 cm in 16 cm, se razlikujeta za 27°; kolik je manjši teh kotov? Razrešitev. Če sta dva izseka različnih krogov plo- ščinsko enaka, sta loka (oziroma pripadajoča obsrediščna kota) obratno sorazmerna s polumeroma; kajti iz pogoja \= lj Y sledi l’h — »r : r. Pri navedeni nalogi je manjši izmed obsrediščnih kotov a in leži v krogu z večjim polumerom. Ker sta si 121 izsekova ploščina in krožnina kakor pripadajoča obsre- diščna kota, veljajo obrazci p : r 2 n = (a 27°): 360° in p : R 2 jt = a: 360°. Ako izenačiš vrednosti za p, najdeš a = 48°. 36. Izmed dveh pravilnih mnogokotniko v ima prvi dvakrat toliko stranic kakor drugi in notranji kot prvega m nogokotnika je za 10° večji nego notranji kot drugega mnogokot- nika. Koliko stranic ima drugi mnogokotnik? Razrešitev. Notranji kot pravilnega mnogokotnika je določen po obrazcu —, kjer pomeni n število stranic in R pravi kot. Pri navedeni nalogi ima prvi mnogokotnik 2 n, drugi pa n stranic, n = 18. 37. Višina pravokotnega trikotnika je za 2*7 dm večja ko manjši hipotenuzni odsek in za 3’2 - drn manjša ko večji hipotenuzni odsek; kolika je hipotenuza? Razrešitev. Hipotenuza je x, njen manjši odsek je y, njen večji odsek pa x — y. Po pogoju naloge je v — 2* 7 = y in z? —(— 3 • 2 = x — y, kjer pomeni v hipotenuzi pripadajočo višino. S pomočjo geometrijskega izreka v 2 = y(x — y) najdeš v = 17*28 in * = 35*06. 38. Dva pravokotna trikotnika imata enaki hipotenuzi; ena kateta prvega trikotnika je za 4 m manjša, druga pa za 8 m večja, nego sta kateti drugega trikotnika. Koliki sta kateti prvega trikotnika, kije za 34 m 2 večji od drugega? Razrešitev. Kateti prvega trikotnika sta x in y, dru¬ gega pa i-f 4 in y — 8. Po pogoju naloge sta kva¬ drata nad katetama prvega trikotnika skupaj enaka vsoti kvadratov nad katetama drugega trikotnika, v znakih x 2 y 2 — (a; -j- 4) 2 —|— (z/ — 8) 2 ; gledč na trikotnikovi ploščini je — — 34 = ^ ~ 8 -. Iz navedenih enačb u ^ 2 ^ najdeš x = 9-g in y = 9g-. Matek, Aritmetika. 123 V. Računski načini tretje stopnje. A. Vzmnoževanje. § 32. Pojasnila o vzmnoževanju. Ako postavimo določeno število a m krat kot faktor, pravimo, davzmnožujemo ali potencujemo število a s številom m, v znakih a m = a • a • a ... ( m krat) = A. Število a, ki se mora večkrat postaviti kot faktor, se ime¬ nuje osnovno število ali podloga; število m, ki pove, kolikokrat je treba podlogo postaviti kot faktor, se zove potenčni eksponent; število A, katerega najdemo pri vzmnoževanju, je vzmnož ali potenca. Vzmnoži ali potence so torej produkti enakih faktorjev. Potence po¬ sebnih števil izračunaš, ako pomnožiš podlogo ponavljajoč s samim seboj. Z ozirom na zgoraj navedeno pojasnilo o vzmnože¬ vanju smemo reči, da podloga (a) utegne biti ali celo ali ulomljeno, absolutno ali algebrajsko število, potenčni eks¬ ponent (m) pa mora biti absolutno celo število, ki je večje od 1. Po pojasnilu o vzmnoževanju in z ozirom na pravila pri množenju najdemo: a) V n = 1 • 1 • 1... = 1. Vsaka potenca od 1 je 1. b) 0 m = 0 • 0 • 0... = 0. Vsaka potenca od 0 je 0. c) (+ a) m = (+«)•(+ «)•(+«).•■ = + a". Vsaka potenca pozitivne podloge je po¬ zitivna. d) (— a) 2 "* = (—«)•(—»)•(—«)... = + a 2m . Soda potenca negativne podloge je pozi¬ tivna. e) (— a ) 2 " 1 - 1 = (—«)• (— a) • (—»)...= — a 2m ~\ Liha potenca negativne podloge je ne¬ gativna. Vzmnožiti, vzmnoževati = = potenzieren. Osnovno število = die Grundzahl. Podloga = die Basis. Potenčni ekspo¬ nent = der Po- tenzexponent. Vzmnož = die Potenz. Kakšnost pod¬ loge in potenč- nega eksponenta. Potence s pod¬ logo 1 in 0 in potence algeb raj¬ skih števil. Matek, Aritmetika. 10 r. 124 Seštevanje in od¬ števanje potenc. Kako množiš po¬ tence z enakimi podlogami. Kako vzmnožiš z vsoto. Kako deliš po¬ tence z enakimi podlogami. § 33. Računski zakoni o potencah. I. Istoimenske potence (potence, ki imajo enake pod¬ loge in enake eksponente) seštevaš in odštevaš po istih pravilih, po katerih se istoimenski izrazi sploh seštevajo in odštevajo. N. pr. a m -(- la"' = 8a"‘; ax"‘ — bx'“ = (a — b)x"‘. II. Po pojasnilu o vzmnoževanju je: a m • a n = a • a • a. . . (m krat) • a • a • a. . . (nkrat), t. j. podlogo a je treba (m -f- n) krat postaviti kot faktor; torej je a m • a n = «”*+». Potence iste podloge množiš, ako pridržiš skupno podlogo ter sešteješ potenčne ekspo¬ nente. N. pr. (2a — b) ix ~ 3y • (2a — J)«?/— _ (2 a — b) x 2 y Ako čitaš enačbo a m • a n = a m + n v obratnem redu, najdeš: Število vzmnožiš z vsoto, ako ga vzmnožiš z vsakim sumandom ter pomnožiš dobljene po¬ tence. N. pr. 2 III. * * * * * * X + 3 2 3 • 2 X = 8 • 2 X . III. Po pojasnila o potencah je: aa • a • a... (m krat) a n a • a • a... (nkrat) ' Ako je » > », se dasta dividend in divizor navedenega kvocijenta akrat zaporedoma deliti s številom a; potem stoji število a še (m — «)krat kakor faktor. Torej je a m :a n = a m ~ n . Potence iste podloge deliš, ako skupno podlogo vzmnožiš z diferenco iz dividendovega in divizorj evega eksponenta. N. pr. (« — l) re + 3 : (1 — a) s = (a — 1)” + 3 : [— (a — l)] 3 = = (a — 1) “+ 3 : — (a — l) 3 = — (a — 1) ”. 125 Obratno je: Število vzmnožiš z razliko, ako vzmnožiš število z minuendom in subtrahendom ter deliš prvo potenco z drugo. N. pr. g2x— 3 __ g2x . 33 _ 1 . 32 ^ IV. Po pojasnilu o vzmnoževanju je: ( ab) m — ab • ab • ab ... (m krat), ali če zameniš faktorje med seboj, je ( ab )"* = a • a • a ... (m krat) • b • b • b... (m krat); torej (ab) m = a m • b m . Produkt vzmnožiš s številom, ako vzmno¬ žiš vsak faktor z dotičnim številom. N. pr. (2abf- (3ax) 3 = 4 a 2 ž > 2 • 27 a s x 3 = 108 <*W. Obratno je: Potence enakih eksponentov množiš, ako vzmnožiš produkt njih podlog s skupnim eks¬ ponentom. N. pr. (2 a -f- 3by • (2 a — 36) 4 = (4a 2 — 96 2 ) 4 . V. Po pojasnilu o potencah je: W = rrr-( wkrat ), ali če izvršiš nakazano množenje, je /«V» a ■ a-a . . . (mkrat) a m \b/ b ■ b ■ b .. . (»»krat) b m ' Kvocijent (ulomek) vzmnožiš s številom, ako vzmnožiš dividend (števec) in divizor (ime¬ novalec) z dotičnim številom. N. pr. /3a*\2 /2bx\3 9 aV 8 bV _ bx 5 U by) ' V 3 ay) ~~ 16 by ' 27 ahf — 6 ay h ' Obratno je: Potence enakih eksponentov deliš, ako vzmnožiš kvocijent njih podlog s skupnim eks¬ ponentom. N. pr. (25a 2 — 16 6 2 ) 3 : (5a —• 4i ) 6 = = (5a + 4č») 5 . Kako vzmnožiš z razliko. Kako vzmnožiš produkt. Kako množiš potence z ena¬ kimi eksponenti. Kako vzmnožiš kvocijent, oziroma ulomek. Kako deliš po¬ tence z enakimi eksponenti. 10 * 126 Kako vzmnožiš potenco. Kako vzmnožiš s produktom. Razširjanje prvotnega pojas¬ nila o potencah. Pomen potence a 1 . Pomen potence a°. Pomen potence z negativnim eksponentom. VI. Po pojasnilu o vzmnoževanju in z ozirom na ra¬ čunski zakon pod II. je: (a 1 ”)" = a m • a’ n • a ’"... (»krat) = a m + *“ + i” + ...( nkr at) = a mn . Potenco vzmnožiš s številom, ako pomnožiš potenčni eksponent z dotičnim številom. N. pr. (— a *) 3 • (— a 2 ) 6 + (— a 3 ) 3 • (— a 3 ) 3 = = (— a 12 ) ■ a 12 -f (— a 15 ) • (— a 9 ) = — a 2i + a 2i = 0. Obratno je: Število vzmnožiš s produktom, ako vzmno¬ žiš dotično število z enim faktorjem in znesek z drugim faktorjem. N. pr. 2 io = (2 3 ) 2 - 32 2 = 1024. Pri vzmnoževanju potenc smeš potenčne eksponente zameniti med seboj; zakaj (a m ) n = a mn = (a n ) m . VII. Po prvotnem pojasnilu o potencah nimajo izrazi a 1 , a° in a~ x nobenega pravega pomena; zakaj število a enkrat, oziroma ničkrat ali minus »krat postaviti kot faktor, je brez zmisla. Pomen teh izrazov se da določiti s pomočjo računskih zakonov, ki sta izražena v enačbi a m ~ n = a m : a’\ če smatramo namreč ta zakona veljavna tudi za slučaje m — n = 1, m — n — 0 in m — n ----- — x. To pa smemo storiti, ker kvocijent a m ~ n , pomnožen z divizorjem a n , da vsakokrat dividend a m za produkt. Pomen izraza as 1 določiš tako-le: a 1 = a m + 1 ~ m -- a m +1 a m a ■ a ■ a ... (m- j- 1)krat a ■ a ■ a ... (m krat) Dividend in divizor navedenega kvocijenta se dasta m krat zaporedoma deliti s številom a\ če to storiš, dobiš rezultat a. Torej je a 1 = a. Prva potenca vsakega števila ima isto vrednost, katero ima dotično število. Z ozirom na postanek 0 je «° = a m ~ m = a m : a'“ = 1. Ako vzmnožiš kako število z 0, je vzmnož vselej e naka 1. 127 Z ozirom na postanek negativnih števil je - \ A / ' - ; - -. a m + x a m . a x Dividend in divizor navedenega kvocijenta se dasta deliti s številom a m . Torej je a~ x = Vsaka potenca z negativnim eksponentom je enaka obratni vrednosti dotične potence s pozitivnim eksponentom. 1 Ker je a~ x = — = \-j , smemo torej reči: Določeno število vzmnožiš z negativnim številom, ako vzmnožiš obratno vrednost pod¬ loge z dotičnim pozitivnim številom. N. pr. 0-75- _ ©- -(J)*- S = »S- Iz enačbe a~ x = — sledi a x = ——. Z ozirom na te a x a x enačbi smeš torej vsako potenco, kije faktor celega števca, prestaviti kakor faktor v imenovalec, in vsako potenco, ki je faktor celega imenovalca, prestaviti kakor faktor v števec, ako izpremeniš eksponentov predznak. N. pr. 2 — i a~ 2 b 3 3J 3 j/ 3 3-1 x 2 2 S pomočjo enačb a~ x = ~ in a x — moreš vsako potenco izraziti kakor potenco s pozitivnim, oziroma negativnim eksponentom. Ker se dado torej potence z ne¬ gativnimi eksponenti smatrati kakor neka pretvorba potenc s pozitivnimi eksponenti, je jasno, da se računa s potencami, ki imajo negativne eksponente, po istih računskih zakonih, kateri veljajo za potence s pozitivnimi eksponenti. N. pr. (a - 1 b ~ 3 ) 3 . (a 2 b - 4 )~ 2 : (— a ~ 4 b ~ 5 ) 4 . = = a ~~ 3 &~ 9 • : a - 10 č >~ 20 = = a - 16 &- 20 = « 9 i 19 . Kako vzmnožiš z negativnim celim številom. Kako računaš s potencami nega¬ tivnih eksponen¬ tov. 128 § 34. Kvadrat in knb. Kako kvadruješ I. Druga potenca se imenuje kvadrat. Določeno dvočiemk. gtevilo povišati na drugo potenco se pravi kvadrovati. Kvadrat binoma izračunaš po obrazcu (a -j -b) 2 - a 2 -(- 2 ab -f- b 2 , katerega najdeš, ako pomnožiš binom a -j- b s samim seboj. Navedeni obrazec velja tudi za binom a — b (algebrajsko vsoto); zakaj (a — b) 2 = [a -f (— 6)] 2 = a 2 + 2 o(— b ) + (— b) 2 = = a 2 — 2ab -j- b 2 . Kvadrat vsakega binoma je torej alge- brajska vsota iz kvadrata prvega člena, iz dvojnega produkta obeh členov in iz kvadrata drugega člena. Kako kvadrujes Kvadrat mnogočlenskega izraza najdeš, ako porabiš mnogočlenik. ¥1 ,, pravilo za binom ponavljajoč. N. pr. Kvadrat mnogočlemka a -j- b -f- c izračunaš, ako smatraš izraz a -j- b za določeno število in potem računaš po pravilu za binom, v znakih {a -\- b -j- c) 2 = (a -f- b) 2 -j- 2 (a -|- b) c -(- c 2 = — a 2 -j- 2 ab -j- b 2 -|- 2 (a -)- b) c -j- c 2 . Istotako postopaš tudi pri kvadrovanju mnogočlenika ab -\~ c -\- d ali kateregakoli drugega mnogočlenika, v znakih {a + b + c + df = (a + b -f c) 2 + 2(o + b + c)d + d 2 = = a 2 -(- 2 ab -j- b 2 -j- 2 (a -)- b) c -f- c 2 -}- 2 (a -|- b -(- c) d -)- d 2 . Iz navedenega posnamemo za kvadrovanje mnogo- členskih izrazov to-le pravilo: 1. Od prvega člena dobiš kvadrat. 2. Od drugega in vsakega naslednjega člena dobiš dve sestavini in sicer dvojno algebrajsko vsoto predstoječih členov, pomnoženo z dotičnim členom, in kvadrat tega člena. 3. Navedene sestavine sešteješ algebrajsko. Ker je 2 ab -)- b 2 = (2 a -f- b)b, 2(a -j- b)c -f- c 2 = [2 (a -f- b) -)- c] c, i. t. d., 129 združiš pri kvadrovanju mnogočlenika sestavine drugega in vsakega naslednjega člena v eno sestavino, ako dvojni algebrajski vsoti predstoječih členov prišteješ dotični člen (ga pripišeš z neizpremenjenim predznakom) in dobljeni znesek pomnožiš s tem členom. Vsako dekadično število je vsota iz določene mno¬ žine dekadičnih enot. N. pr. 4769 je vsota iz 4 tisočic, 7 stotič, 6 desetic in 9 enic, v znakih 4769 = 4T+ 7S + 6D -j- 9K Kvadrat dekadičnega števila najdeš torej po istem pravilu, po katerem kvadruješ mnogočlenik. Ker se pri dekadičnem številu mestna vrednost vsake naslednje kva- dratove sestavine zmanjša za en red, se pri napisavanju pomakne vsaka naslednja sestavina za eno mesto proti desni. Primerjaj navedeno kvadrovanje! 4769 2 22743361 ali krajše: 4769 2 = 16 87-7.... 609 946-6... 5676 9529• 9> . 85761 22743361 Pravilo za kvadrovanje dekadičnih števil izražamo tako-le: 1. Od prve številke dobiš kvadrat. 2. Od druge in vsake naslednje številke dobiš dve sestavini in sicer dvojni produkt predstoječega števila, pomnožen z dotično številko, in kvadrat te številke. 3. Navedene sestavine pišeš zaporedoma drugo pod drugo, pomakneš vsako naslednjo za eno mesto proti desni ter jih sešteješ. Kvadratove sestavine dvoštevilčnega števila izračunaš in sešteješ obenem, ako izračunaš najprej kvadrat enic, potem dvojni produkt iz enic in desetic in končno kvadrat desetic. Ako se nahaja v dekadičnem številu kaka ničla, jo preskočiš med kvadrovanjem, naslednjo sestavino pa po¬ makneš za tri mesta proti desni; zakaj kakor vsaka Kako kvadruješ dekadično število. 130 Kako kvadruješ desetinsko, kako nepopolno število. številka da tudi ničla pri kvadrovanju dve sestavini, ki sta posamič = 0. Sestavine druge in vsake naslednje številke spojiš v eno sestavino, ako dvojnemu predstoječemu številu pri- šteješ dotično številko (jo pripišeš) in dobljeno vsoto po¬ množiš s to številko. Da se mora v tem slučaju vsaka naslednja kvadratova sestavina pomakniti za dve mesti proti desni, je jasno. Desetinsko število kvadruješ istotako kakor celo šte¬ vilo. Med kvadrovanjem se ne brigaš za desetinsko piko. V kvadratu odšteješ dvakrat toliko desetink, kolikor jih je v podlogi; zakaj produkt ima toliko decimalk, kolikor jih imata oba faktorja skupaj. Nepopolno število kvadruješ, ako ga pomnožiš na okrajšani način s samim seboj. Opomnja: Mnogoštevilčni izraz kvadruješ na tale način; Izračunaj najprej kvadrate vseh členov, ti so vsi pozitivni. Potem poišči vse dvojne produkte dveh členov pričenši s prvim in drugim, prvim in tretjim i. t. d., potem z drugim in tretjim, drugim in četrtim i. t. d. do predzadnjega z zad¬ njim in dodaj dotičnim produktom prave predznake. N. pr. (a 2b — 3c — d) 2 = a- 2 —(— 4 6 2 —[_ g c 2 _|_ 4 a b — — 6ac — 2ad — 12 bc — 4 bd -(- 6 cd. II. Tretja potenca se imenuje kub. Določeno število povišati na tretjo potenco se pravi kub o vati. Kako kubuješ Kub binoma izračunaš po obrazcu dvočlenik. (a -f bf = a s -f 3 a% -f3ab 2 -f 6», katerega najdeš, ako pomnožiš kvadrat binoma a -f- b s tem binonom. Navedeni obrazec velja tudi za binom a — b ; zakaj (a-b ) 3 = [a + (-&)] 3 = «3 . (_./,) j - 3 «( />) 2 |-( A)3 = = a 3 — 3a 2 6 -f 3 a& 2 — b 3 . Kub vsakega binoma je torej algebrajska vsota: a) iz kuba prvega člena; b) iz trojnega kvadrata prvega člena, pomnoženega z drugim členom; c) iz trojnega prvega člena, pomno¬ ženega s kvadratom drugega člena; d) iz kuba drugega člena. 131 Kub mnogočlenskega izraza najdeš, ako porabiš pra¬ vilo za binom ponavljajoč. N. pr. Kub mnogočlenika a-j- b -f- c izračunaš, ako smatraš izraz a b za določeno število in potem računaš po pravilu za binom, v znakih (a + 6 + c) 3 = (0 + 6 ) 94 .3(o + 6) a c-f 3(a + 5)c 2 + c 3 = = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab * 1 2 + b 3 + 3 (a + b) 2 c + 3 (a + b)c 2 + c 3 . Istotako postopaš tudi pri kubovanju mnogočlenika a + b + c + d ali kateregakoli drugega mnogočlenika, v znakih (a + b + c + df = (a + b + c) 3 + 3(o + b + cfd + + 3(o + b + c) d 2 + d® = «s + 3 a aft + 3o6 8 + 6 8 + + 3 (o + ž>) 2 c + 3 (o + 6) c 2 + c 3 + + 3(o + 6 + c) 2 (ž + 3(o + b + c) d 2 + cž 3 . Iz navedenega posnamemo za kubovanje mnogočlen- skih izrazov to-le pravilo: 1. Od prvega člena dobiš kub. 2. Od drugega in vsakega naslednjega člena dobiš tri sestavine in sicer: a) trojni kvadrat predstoječe alge- brajske vsote, pomnožen z dotičnim členom; b) trojno predstoječo algebrajsko vsoto, pomnoženo s kvadratom dotičnega člena; c) kub dotičnega člena. 3. Navedene sestavine sešteješ algebrajsko. Ker je vsako dekadično število vsota iz določene množine dekadičnih enot, ga kubuješ po pravilu za mnogo- členske izraze. Primerjaj kvadrovanje dekadičnih števil! Pravilo za kubovanje dekadičnih števil izražamo na¬ vadno tako-le: 1. Od prve številke dobiš kub. 2. Od druge in vsake naslednje številke dobiš tri sestavine, in sicer: a) trojni kvadrat predstoječega števila, pomnožen z dotično številko; b) trojno predstoječe število, pomnoženo s kvadratom dotične številke; c) kub dotične številke. 3. Navedene sestavine pišeš zaporedoma drugo pod drugo, vsako naslednjo pomakneš za eno mesto proti desni ter jih sešteješ. Kako kubuješ mnogočlenik. Kako kubuješ dekadično število. Ako se nahaja v dekadičnem številu kaka ničla, jo preskočiš med kubovanjem, naslednjo sestavino pa po¬ makneš za štiri mesta proti desni. Kako kubuješ 586^ Desetinsko število kubuješ istotako kakor celo število. Med kubovanjem se ne brigaš za de¬ setinsko piko; v kubu pa od- šteješ trikrat toliko desetink, kolikor jih je v podlogi. Nepopolno število kubuješ, ako ga postaviš trikrat kakor faktor ter izvršiš množenje na okrajšani način. Enako visoke potence enakih in neenakih podlog. sledi a m = b m . Ako vzmnožiš vse člene določenega sorazmerja z istim številom, dobiš zopet sorazmerje; zakaj iz a:b — c: d najdeš (a : b) m - (c : d) m in a m : b m = c m : d m . 2. Enako visoke potence neenakih abso¬ lutnih števil so neenake in si cer j e tis ta ve čj a, ki ima večjo podlogo. § 35. Vzmnoževanje enačb in neenačb. Razreševanje eks¬ ponentnih enačb. 1. Ako vzmnožiš enaka števila z enakimi števili, dobiš enake vzmnoži. Dokaz. Iz a = b a = b a = b pomnoženo Dokaz. Iz a b a > b a > b pomnoženo 133 3. Vsaka pozitivna (cela) potenca pravega Potence pravega ii* i . , _ , , . ulomka. ulomka je zopet pravi ulomek, ki je tem manjši, čim večji je potenčni eksponent. Dokaz. Ako pomeni a vrednost pravega ulomka, je 1 )> a in 1 > « ) v 1 > « 1 „ ... _ \ pomnoženo, 0 _ 9 1 pomnoženo, 1 .1. d.; d (l J O/ Ct~“ J a )> « 2 a 2 a 3 torej je 1 )> a > a 2 > a 3 ... Iz navedenega sledi, da se zaporedne potence pravega ulomka manjšajo in bližajo vrednosti = 0, če se potenčni eksponent veča in bliža vrednosti = oo. 4. Vsaka pozitivna (cela) potenca nepra- Potence ne P ra- vega ulomka. vega ulomka je zopet nepravi ulomek, ki je tem večji, čim večji je potenčni eksponent. Dokaz. Ako pomeni a vrednost nepravega ulomka, je 1 <( a in 1 < a j a = a j a <( a 2 pomnoženo, 1 < a d 2 = a 2 a * 2 < a 3 4 } pomnoženo, i. t. d.; torej je 1 2 = 3«2> 3 /2^P; b) ( 147 -f 2^128 —3 /l2 — 2(16 — /o4 = = |/49 • 3 -j- 2 j|/64 • 2 — 3 (/4 - 3 — 2p'8~2 — ^27- 2 =; = 7/3 + 8 3 /2 — 6/3 — 4 3 ^2 — 3 3 /2 = /3~+ f/2 ; 4 VT« 3 —(— Z>3 _|_ . Y /o» + 6 8 — |/> = = j/'((/a 3 +2> 3 + /a 3 )! /a 3 4~2, 3 — /(z 3 ) = = \[ (|/'^rp) 2 _ (/p ) 2 = 3 j/a 3 -j-ž , 3 — « 3 = = j/ Ifi = 2, ; (2* + Si,).(/’|f T |S == /(2x 4~ Sy)(2x — = ^(2* + 3#-/f4| = 3y) = /4a; 2 — 9?/ 2 ; Kako koreniš kvocijent (ulomek). f) (|/5~— 1) • / 104- 2/5 = |/(/5 —l) 2 - (/" 10 4~ 2[/5 = = |/"(T—^2/5 • j/" 10 4-2/6"= |/40 — 8/5^ = = 2 j/~ 10 —2|/K III. Kvocijent (ulomek) koreniš s številom, ako koreniš dividend (števec) in divizor (ime¬ novalec) z dotičnim številom ter deliš dobljena korena, v znakih Kako deliš ko¬ renske izraze. zakaj po pojasnilih o korenjenju in računskih zakonih o potencah najdeš Obratno najdemo: Korenske izraze z enakimi korenskimi eksponenti deliš, ako deliš njih radikande ter 141 koreniš ta kvocijent s skupnim korenskim eksponentom, v znakih rn , m r— vn / -- \ a : / b = \ a : b. Če pa imajo korenski izrazi različne korenske eks¬ ponente, jih je treba najprej pretvoriti po pravilu pod I. na izraze z enakimi korenskimi eksponenti in potem se izvrši deljenje po navedenem pravilu. IV. Po pojasnilu o vzmnoževanju in z ozirom na pravilo pod II. najdemo torej /m ,—\ n m ,— m ,— m , l(/&l = ( / a • \/ a • / a ... \n krat) = m . - m r — = j a • a • a ... = j a n \ \\Ta) = [a n , t.j. Korenski izraz vzmnožiš s številom, ako vzmnožiš njegov radikand z dotičnim številom. J fyi ! —\ m m . — Iz enačbe \ v a) = Ja n izvajamo tudi: Za rezultat je vseeno, v katerem redu vzmnožiš in koreniš določeno število. N. pr. a) ((/^25a 2 /; 4 ) = |/"(/25a 2 6 4 ) = ^25a 2 & 4 — bab 2 . , . /® 2 '-j- 2x -j-l\ 3 _ a? 3 —f— 3ic 2 —)— 3a: -j— 1 j/ 'a? 2 — \a;— 1/ x 3 — 3x a -jr3x — 1’ c) [\/a) ‘\V a f m \v a ) = /x, —\3 y — 2 + 2® — 3y + 2 — x / x / —\ x = \\ a) = a) = a. d) ab 2 Y — |/ a 4 6 2 • |/a 4 & 8 = Ya% w = a 2 b s Ya 2 b. V. Po pravilu pod I. najdemo |/cr = j/ «>» = a m , t. j. Potenco koreniš s številom, ako deliš po¬ te n č n i eksponent s korenskim eksponentom. Kako vzmnožiš korenski izraz. Kako koreniš potenco« 11 * 142 Kako koreniš korenski izraz. Kako koreniš število s pro¬ duktom. Pomen korena z negativnim eks¬ ponentom. Korenski izraz se pri tem izpranem v potenčni izraz («“), ki ima po pojasnilih o vzmnoževanju le tedaj določen pomen, kadar je ~ celo število. N. pr. mx -(- m m , -; n*«, ~r "• , 1 a) yj a mx + m = a —= a x + l . b) |/a 2re + 1 & 3,l + 2 = | /a 2n • a • b 3n - b 2 = a 2 b 3 ^ab' 2 . VI. Ako razstavimo število a na n enakih faktorjev in potem še vsakega izmed teh faktorjev na m enakih faktorjev, dobimo iz števila a povsem mn enakih faktorjev, t.j. v znakih m _ / n .— mn ,— y \ a = a . Korenske izraze koreniš, ako pomnožiš korenske eksponente med seboj. Obratno je: Število koreniš s produktom, ako ga ko¬ reniš z enim faktorjem in znesek z drugim faktorjem, v znakih mn ,— a = fn. Po navedenem je torej m ,- n i - / n r — mn ,— / m ,— |/ |/ a — ~\ a = y \ a, t. j. Za rezultat je vseeno, v katerem redu iz¬ vršiš korenjenje določenega števila. N. pr. a) \[y ŠT = J/V81 = \f9 = f/f = l/3. j, ,61/25 , / . 3 / 216 25 . 6 /Š J/ K' 27 = |/ ' 125 * 27 = '5'". c) [/"a 6 /a • (/"a 3 /ct 6 = ^/a 20 • a • [/"^a 18 • a 5 .= \f a 21 • /a 23 — (/a 44 = /a 44 == a \fa° . -— W /- VII. Korenski izraz a nima po prvotnem pojas¬ nilu o korenjenju nobenega pravega pomena; zakaj radi- kand a na minus n enakih faktorjev razstaviti, je brez zmisla. Pomen tega korenskega izraza določimo s pomočjo 143 pravila, ki je izraženo v enačbi "'[A = če smatramo namreč to pravilo o pretvarjanju korenskih izrazov ve¬ ljavno za vsak korenski izraz. Potem najdemo z ozirom na pomen potence z negativnim eksponentom /a - 1 Določeno število koreniš z negativnim številom, ako koreniš obratno vrednost ra- dikanda z dotičnim pozitivnim številom, v znakih „ „ r - Šf« = |/i' r a. Korenski izraz z negativnim eksponen¬ tom je enak obratni vrednosti dotičnega ko¬ renskega izraza s pozitivnim eksponentom, v znakih 1 V« = \ a S pomočjo pravila o pretvarjanju korenskih izrazov se da tudi določiti pomen potenc in korenov z ulomlje- fH r - nimi eksponenti. Zakaj iz korenskega izraza \ a n naj¬ demo po omenjenem pravilu: Iz navedenega izvajamo pravili: Določeno število vzmnožiš z ulomkom, ako ga vzmnožiš s števcem in znesek koreniš z 2L m r - imenovalcem, v znakih a m = y a n . Določeno število koreniš z ulomkom, ako ga vzmnožiš z obratnim ulomkom, v znakih Kako koreniš z negativnim celim številom. Kako vzmnožiš, kako koreniš z ulomkom. 144 Kako računaš s potencami ulom- ljenih eksponen¬ tov. Kako računaš s koreni ulomlje- nih eksponentov. Kvadratni koren mnogo členskega izraza. Da veljajo za potence z ulomljenimi eksponenti isti računski zakoni kakor za potence s celimi eksponenti, uvidimo iz naslednjega: 1. ns r - ns r - MS r -j- -[/a ms ■-[ a nr = — Ja'" s + nr = m m — - n J - n r— - -n , -- - - r 7—7-7- , 7 .— 2. a n -h n — \ a m • \ b m = \ a m • b m = /(ab) m = («&)"; «s , - ns . - : - y a ms \j a nr = 3. a n : a s = ^a'“ : / a r - ms — nr ns , - - = -|/ a m8 ~ nr = a ns = a m r n s m m 4. a Tl : b n n , n r ja m : \fl m Vi S korenskimi izrazi, ki imajo ulomljene eksponente, se računa po istih pravilih kakor s potencami, ki imajo ulomljene eksponente; zakaj n , — m ja = a . Če je v potenčnem izrazu eksponent negativno ulom- ljeno število, je treba negativni predznak spojiti s števcem. P 1- m «SES^ —»1 a n — a V« § 38. Kvadratni in kubični koren. I. Iz pojasnil in pravil § 34. sledi, da najdeš ureje¬ nemu mnogočleniku kvadratni koren na ta-le način : 1. V prvem členu urejenega radikanda se nahaja kvadrat prvega korenovega člena. Prvi korenov člen najdeš torej, ako poiščeš prvemu radikandovemu členu kvadratni koren. Kvadrat prvega korenovega člena odšteješ od ra¬ dikanda. 145 2. V prvih členih radikandovega ostanka se nahajata sestavini, ki ju dobiš pri kvadrovanju od drugega kore- novega člena, in sicer v prvem členu tega ostanka je dvojni produkt iz prvega in drugega korenovega člena. Drugi korenov člen najdeš torej, ako deliš prvi člen radikandovega ostanka z dvojnim že znanim korenom. Potem izračunaš kvadratovi sestavini drugega korenovega člena (ali vsako sestavino posebej ali pa obe sestavini skupaj) ter ju od- šteješ od radikandovega ostanka. 3. Naslednje korenove člene izračunaš na isti način, kakor si našel drugi člen. N. pr. j/" 9x i — 24x 3 — 14a; 2 -j- 40x —|— 25 = 3x 2 — 4 x — 5 _ 9x i — 24as 3 — 14x 2 : (Gx 2 — 4a;)-(—4x) — 24x 3 + 16a; 2 + _ — _ — 30z 2 + 40;»-f 25 : (6a; 2 — 8x — 5)-(—5) — 30x 2 -|- 40aj -f- 25 0 ~ Ali krajše: j/" 9x i — 24a: 3 — 14a; 2 -|- 40* -j- 25 — 24x 3 — 14* 2 — 30a; 2 + 40a:+ 25 0 Iz 8 34. sledi nadalje, da najdeš dekadičnemu številu Kva,lr atni koren ° dekadičnega ste- kvadratni koren tako-le: viia. 1. Razdeli določeno število od desne proti levi na oddelke, vsak oddelek po dve številki; prvi oddelek na levi utegne imeti tudi le eno številko. 2. Prvo korenovo številko najdeš, ako poiščeš število, katerega kvadrat se nahaja v prvem oddelku. Kvadrat prve korenove številke odšteješ od prvega oddelka in ostanek spojiš z drugim oddelkom. 3. Ako odbiješ popolnemu drugemu oddelku zadnjo številko ter deliš to, kar ostane, z dvojnim že znanim = 3a; 2 — 4* — 5 : 6x 2 — 4x : 6x 2 — 8* — 5 146 Kvadratni koren ulomkov. Kvadratni koren nepopolnega kvadrata. korenom, dobiš drugo korenovo številko. Potem izračunaš kvadratovi sestavini druge korenove številke ter ju od- šteješ od popolnega drugega oddelka. Ostanek spojiš s tretjim oddelkom. 4. Naslednje korenove številke izračunaš istotako, kakor si našel drugo številko. 5. Ko si vzel vse radikandove oddelke v račun, najdeš ostanek == 0, ako je radikand popoln kvadrat. Desetinsko število koreniš z 2 na isti način kakor celo število. Zapomniti si je treba samo to, da razdeliš desetinsko število na oddelke od desetinske pike in sicer celote na levo, desetinke pa na desno, in da postaviš v korenu desetinsko piko, prej ko vzameš prvi oddelek de¬ setink v račun. N. pr. j/9|4(P64j89 = 30‘67 40 :6 4064 :606 42889 : 6127 0 Navadnemu ulomku poiščeš kvadratni koren, ako koreniš števec in imenovalec z 2. Ako je radikand mešano število, ga pretvoriš na ne¬ pravi ulomek in potem postopaš kakor pri ulomku. Ako radikand ni popoln kvadrat, ne moreš kvadrat¬ nega korena določiti popolnoma natanko, temveč le pri¬ bližno na toliko decimalk, kolikor jih potrebuješ. Primerjaj §36.1 V to svrbo pripišeš radikandu toliko ničel kakor decimalke (ali si jili misliš pripisane)*, kolikor jih je treba, ter računaš z njimi kakor z veljavnimi številkami. Istotako postopaš tudi pri desetinskih številih, ki niso popolni kvadrati. Pri periodičnih decimalnih ulomkih po¬ rabiš namesto ničel tiste številke, ki se ponavljajo. Navadnemu ulomku, katerega števec in imenovalec nista popolna kvadrata, določiš kvadratni koren, ako raz¬ širiš dotični ulomek tako, da postane imenovalec popoln * Pri računanju ravnaš navadno tako, da pripišeš vsakemu na¬ slednjemu ostanku po dve ničli. 147 kvadrat, in potem koreniš števec in imenovalec z 2, ali pa ako pretvoriš dotični navadni ulomek v desetinskega in koreniš zadnji ulomek z 2. Ako računaš kvadratni koren števila, ki ni popoln kvadrat, na več decimalk, postaja račun vedno bolj težaven in dolgočasen. Takšen račun smeš okrajšati tako-le. Ko si določil na navadni način n veljavnih številk kvadratnega korena, deliš zadnji ostanek z dvojnim že znanim korenom na okrajšani način (pri tem odbiješ takoj divizorju zadnjo številko) in najdeš na ta način še (n — 1) zanesljivo šte¬ vilko kvadratnega korena. Dokaz. Recimo, da je A radikand, a že izračunani in x še neznani del kvadratnega korena, torej )fA — a- j— m. Iz te enačbe najdemo A — a 2 -|- 2 ax -(- x 2 , torej 2 ax = = A — a 2 — x 2 in x = Ako vzamemo za x vrednost, ki jo izraža kvocijent napravimo pogrešek, katerega absolutna vrednost je = Ker se s tem, da premaknemo v radikandu A desetinsko piko za 2, oziroma za 4, 6 ... mest, izpremeni samo mestna, ne pa številčna vrednost korenovih številk, si smemo zaradi lažjega do¬ kaza misliti, da ima korenov del a mestno vrednost enic. Potem je x < 1 in tudi x 2 <( 1. če se znani korenov del a piše z n številkami, je a 5 10 M— k Iz sledi x 2 <( 1 j 2a S; 2-10'- 1 / deljeno X 2 ^ 1 1 2^ < 2 • l0«-i ’ t. j. absolutna vrednost pogreška ~ znaša manj ko od (n — 1). decimalke (čitaj: a manj prve decimalke). Iz kvocijenta Kjer pomeni A — a 2 zadnji ostanek in 2 a dvojni že znani koren, se da torej (n — 1) decimalka določiti s po¬ močjo okrajšane delitve. Ako je treba n. pr. številu 125 določiti kvadratni koren na 5 decimalk, izračunati moraš povsem 7 kore- 148 novih številk, torej 4 na navadni način, 3 pa s pomočjo okrajšane delitve. Primerjaj izvršeno nalogo! j/ljŠ5 = 1P18034.. 25 :21 400 :221 17900 : 2228 76 :2236 9 0 Kvadratni koren Ako je treba n. pr. nepopolnemu številu 3 - 1416 .. neP steviia! Sa določiti kvadratni koren tako natanko kakor mogoče, moreš na navadni način najti le 3 korenove številke; s pomočjo okrajšane delitve določiš še potem 2 korenovi številki. Kubični koren n. \ z pojasnil in pravil § 34. sledi, da najdeš ureje- mnogočlenskega . .. , ji *• izraza. nemu mnogoclemku kubični koren na ta-Ie način: 1. Prvi korenov člen najdeš, ako poiščeš prvemu radikandovemu členu kubični koren. Kub prvega koreno- vega člena odšteješ od radikanda. 2. Drugi korenov člen najdeš, ako deliš prvi člen radikandovega ostanka s trojnim kvadratom že znanega korena. Potem izračunaš kubove sestavine drugega kore- novega člena ter jih odšteješ od radikandovega ostanka. 3. Naslednje korenove člene najdeš na isti način, kakor si našel drugi korenov člen. N. pr. ^š^^x^\-3x^-\-28x 3 — 9x 2 — 54x — 27 = x 2 — 2x — 3 x 6 — 6x 5 -f- 3x 4 -j-28x : 3x 4 -— 6x 5J r 12x i — 8x 3 + —_+ — 9x 4 -f 36x 3 — 9x 2 — 54x— 27 : 3x 4 —12x 3 -f 12x 2 — 9x 4 -j-36x 3 — 36x 2 _|_ — _j_ 27x 2 — 54x— 27 _ + + 0 149 Dekadičnemu številu poiščeš kubični koren tako-le: 1. Razdeli določeno število od desne proti levi na oddelke, vsak oddelek po tri številke; prvi oddelek na levi utegne imeti tudi manj številk. 2. Prvo korenovo številko najdeš, ako poiščeš število, katerega kub se nahaja v prvem oddelku. Kub prve kore- nove številke odšteješ od prvega oddelka in ostanek spojiš z drugim oddelkom. 3. Ako odbiješ popolnemu drugemu oddelku zadnji dve številki ter deliš to, kar ostane, s trojnim kvadratom že znanega korena, dobiš drugo korenovo številko. Potem izračunaš kubove sestavine druge korenove številke ter jih odšteješ od popolnega drugega oddelka. Ostanek spojiš s tretjim oddelkom. 4. Naslednje korenove številke izračunaš istotako, kakor si našel drugo številko. 5. Ko si vzel vse radikandove oddelke v račun, najdeš ostanek = 0, ako je radikand popoln kub. Desetinsko število koreniš s 3 na isti način kakor celo število. Zapomniti si je treba samo to, da razdeliš desetinsko število na oddelke od desetinske pike in sicer celote na levo, desetinke pa na desno, in da postaviš v korenu desetinsko piko, prej ko vzameš prvi oddelek de¬ setink v račun. N. pr. ^7K953|589 = 4‘29 14 953 : 48 96 1 488 1 4865589 : 5292 4 7628 ) 10206 729 ) 0 Ako radikand ni popoln .kub, moreš tretji koren do¬ ločiti le približno. V to svrho pripišeš radikandu toliko ničel kakor decimalke (ali si jih misliš pripisane), kolikor jih potrebuješ, ter računaš z njimi kakor z veljavnimi Kubični koren dekadičnega šte¬ vila. Kubični koren nepopolnega kuba. 150 Pretvarjanje ulomka z iracio¬ nalnim imeno¬ valcem. številkami. Ker postaja takšen račun vedno bolj težaven in dolgočasen, smeš ga okrajšati tako-le. Ko si določil na navadni način n veljavnih številk kubičnega korena, deliš zadnji ostanek s trojnim kvadratom že znanega ko¬ rena na okrajšani način in najdeš tako postopajoč še (n — 1) zanesljivo številko kubičnega korena. Primerjaj, kar se je zgoraj omenilo pri kvadratnem korenu. § 39. Pretvarjanje korenskih izrazov. Včasih se dado korenski izrazi pretvoriti na obliko, ki je enostavnejša in za uporabno računanje pripravnejša od prvotne. Na take pretvoritve se hočemo tukaj ozirati. I. Ulomek, katerega imenovalec je iracijonalen monom ali binom, se da pretvoriti na ulomek, kateremu je ime¬ novalec racijonalen. Tu sem spadajoči primeri imajo eno izmed oblik: s s s \[a n \ a + \ b \[ a +- \f b kjer pomeni s ulomkov števec. s a) Pri ulomku m , - stvoriš imenovalec racijonalen, \ a n ako pomnožiš števec in imenovalec z izrazom \ a m ~ n . Potem je: s __ s/a m ~ n _ s\fa m - n s / a m ~ n m r - m . - m , -’ m . - j / a n \>a n ■ | /a m ~ n \J a m a b) Pri ulomku s \fa -j- \f b stvoriš imenovalec racijo¬ nalen, ako pomnožiš števec in imenovalec z izrazom \f ul \Tb. Potem je s _ s(\Ta -[ - f b) _ s(\f a -j- / b) + |Fb (|/a + a -j- V^b) a — b 151 Istotako postopaš tudi pri naslednjih primerih: s _ s(a -\-\f b) _ s (a + fb ) (i \ b (a b ) (a —|— f b ) a 2 — b _£__ _ s([/ r a + / b) _ sC]fa + ]fb){\f~a\f b ) \f a it \fb /« — f'b a — b Če je imenovalec trinoin, se vzameta dva člena skupaj za število in potem se postopa kakor pri binomu. N. pr. s __ s(/2 + /3 — |/6) /2-j-y r 3 ' : Ki ~ (^2 + /3) a ^ (|Č6) 2 s(j 2-f [Č3 — |Č6) _ s(^2 + |Č3— /6) (2/6 + 1) 2^6 — 1 _ 23 _ a(7^2-f 5/3 — ^6 — 12) 23 Včasih sta slučaja pod a) in b) združena. N. pr. s \f \f a-\-]fb s^\fa-\-]fb s |/~ /~a-\- ]f b (/o~— \"b ) |/a |/T a — 6 _ s [/"(a — &)((ča~—(č & ) a — & c) Pri ulomku stvoriš imenovalec 2 - n±1 /a ± ‘^Vb racijonalen, ako pomnožiš števec in imenovalec z izrazom, ki ga najdeš pri delitvi (a + b): ( \ a + ~ /b ). N. pr. s sC\f a 2 -f~ Y~ab -f- fčp) _ ]/ r a—\ r b (]fa — ]fb)C^a 2 -f- Vab -(- \/W) s C\T<^ + V a b + a — b 152 Pretvarjanje vsote (razlike) dveh korenskih izrazov v en ko¬ renski izraz. II. Iracijonalnemu izraza \f a _|_ fb + |f a — \f b daš novo obliko, ako kvadruješ navedeni izraz in doblje¬ nemu znesku poiščeš kvadratni koren. \la + fh +Ja-fb = /(T« + / & ± \[a— ]f b)“ \f 2a + 2\/ r aŽ— Tako pretvarjanje je primerno, kadar je a 2 — b po¬ poln kvadrat. Pretvarjanje ira- III. Iracijonalni izraz v a -\-\fb pretvoriš v slučaju, cijonalnega ko- ' renskega izraza da je a 2 — b popoln kvadrat, na enostavnejšo obliko »a enostavnejšo Q e ravna § z izrazoma \f a, -j- \f b -j- [/ ^ — \Tb in |/"a -j- /& — [/"a — | fb tako kakor pod II., dobiš \f a \f b J f a — ( fb — |/"2 a -f- 2 f a 2 — b, |/"a -j- b — |f a — \fb = j/~ 2 a — 2\f d 2 — b ; in ako sešteješ, oziroma odšteješ te enačbi, najdeš \f a + fb = \Z~2a -\- 2f a 2 — ~b + \f 2 a — 21 /a 2 Tako n. pr. sledi iz enačb |Al+ 6/2 + |[ 11 — 6/2 = /22 -f 2|/l21 -- 72 = /36 = 6 (/"ll + 6/2— |/ll — 6/2 = (/"22 — 2/121 — 72 = 1 8 = 2/2 (Al + 6/2 = 3 + /2. 40. Korenjenje enačb in neenačb. Razreševanje iracijO' nalnih in eksponentnih enačb. Enako visoki ko¬ reni enakih in neenakih radi- kandov. 1. Ako koreniš enaka števila z enakimi števili, dobiš enake korene; zakaj ako razstaviš enaka števila na istotoliko enakih delov, morajo vsi ti deli biti enaki med seboj, v znakih m j - I /a = m r— j b , če je a = b. 153 Ako koreniš vse člene določenega sorazmerja z istim številom, dobiš zopet sorazmerje; zakaj iz soraz¬ merja a : b = c: d najdeš [a\b = \[ c \ d in Y a: m \[b — m fč: m fd. Srednja geometrijska sorazmernica med dvema šte¬ viloma je enaka kvadratnemu korenu iz produkta dotičnih dveh števil; zakaj iz stalnega sorazmerja a:b = b:c sledi 6 2 == ac in b = |/oc. 2. Ako koreniš neenaka števila (a )> b) z enakimi števili, so koreni tem večji, čim večja je radikandovavrednost, v znakih / a )> / b ; zakaj jasno je, da so faktorji, na katere razstaviš radikand, tem večji, čim večji je radikand. 3. Ako koreniš nepravi (pravi) ulomek z neenakimi števili, je koren tem manjši (večji), čim večji je korenski eksponent. Dokaz, a) Ako je radikand večji od enote (a )> 1), so faktorji, na katere razstaviš radikand, očividno tem n r — 2 n ,— manjši, čim več jih napraviš, v znakih \ a > \ a. b) Iz. 1 = 1) n r — 2 nr- deljeno / a )> \ a ) sledi r a 4 * * * * 9 a 4. Enačba, v kateri se nahaja neznanka v radikandu, se zove iracij onalna. Tako enačbo razrešiš, ako ji od¬ praviš korene in potem postopaš kakor pri racijonalnih enačbah. V to svrho prestaviš člene tako, da stoji koren¬ ski izraz z neznanko sam v enem enačbenem delu; potem vzmnožiš oba enačbena dela s korenskim eksponentom. Ako se nahaja v enačbi več korenskih izrazov z neznanko, se ponavlja navedeno pretvarjanje. Primerjaj naslednje razrešene enačbe! Razno visoki ko¬ reni enega in istega ulomka. Iracijonalna enačba = irratio- nale Gleichung. Razreševanje iracionalnih enačb. 154 Razreševanje eksponentnih enačb. a) (/"2a? —}— 3 =5 b) i^x-\-13 — |/^o? —j— 6 = 1 2x-\-3 — 25 /x-j-13 = 1-j— —|— 6 2x — 22 x-|-13 — l-|-a;_J-0-j-2(/a:-[-6 35 = 1L 6 = 2j/V+6 3 = (/a; -j- 6 9 = x -(- 6 x = 3. c) Enačbi 3 (/ cc —j— 5 — 2\/ y — 3 = 5 hfx + b + 3\/y — 3 = 21 razrešiš, ako določiš najprej vrednosti korenskih izrazov (smatraš ta izraza kakor neznanki) in potem še-le vred¬ nosti neznank. 9(/sc -j- 5 — 6 yxj — 3 = 15 10|/š~+5-f 6[/y — 3 = 42 19/*+"5 = 57 [/a; -[-5 = 3 a? -j— 5 = 9 x = 4, 9 — 2|/t/^—= 5 - 2/^“3" = - 4 = 2 y - 3 = 4 2/ = 7- 5. Pri razreševanja eksponentnih enačb uporabljaš računske zakone o potencah in korenih in se ravnaš po pojasnilih § 35. N. pr. a) - j - x — 5 3 a? —(— 15 2*+5 = 2-Z.2—-Š X — 5 _ 2 J_ 3«-|- 15 2*+ 5 —2 “' x — 5 _ g _!_ 3a; -f- 15 a: -J- 5 # — 5 = — 2^. X 155 (DMSMl) 1 X = 5 _ 2 § 41. Umišljena ali imaginarna in sknpna ali kompleksna števila. 2 n r — I. Sodi koren iz negativnega števila (v znakih \ — A) se ne da določiti s pomočjo algebrajskih celih, ulomljenih in iracijonalnih števil; zakaj ni najti števila, katero vzmno- ženo s korenskim eksponentom 2 n bi dalo rezultat = — A. Zato moramo sode korene iz negativnih števil smatrati za neko novo vrsto števil. Ta števila se zovejo umišlj ena ali imaginarna števila, ker nimajo stvarne podlage; cela, ulomljena in iracijonalna števila pa se imenujejo stvarna ali realna števila. V naslednjem se hočemo 12 r Umišljeno število = imaginare Zalil. Stvarno število = reelle Zahl. Matek, Aritmetika. 156 Pojasnilo imagi¬ narnega števila in imaginarne enote. Kako se računa z imaginarnimi števili. Navadna oblika imaginarnega števila pri raču¬ nanju. le na obliki |/ — A in /—1 imaginarnih števil ozirati. Številni izraz A — 1 se imenuje imaginarna enota in se zaznamuje navadno s črko i. Občno pojasnilo o korenih je: Vsak koren ([ Aj.), vzmnožen s korenskim eksponentom, da radikand za re¬ zultat, v znakih (VA)" = A. To pojasnilo velja tudi pri imaginarnih številih; torej je (l /—A) 2 = — A in (/— l) 2 = — 1, t.j. Imaginarno število je tisto, katerega kva¬ drat je enak negativnemu realnemu številu. Imaginarna enota je tista, katere kvadrat je enak negativni realni enoti. Ker imajo računski zakoni o korenih zgoraj nave¬ deno pojasnilo za podlago, zato veljajo vsi ti zakoni tudi pri imaginarnih številih. Vsako imaginarno število se da smatrati za produkt iz realnega števila in imaginarne enote; zakaj po račun¬ skih zakonih najdemo |A— A = (AZ • (— 1) = [a • |A— 1 = ai, ker je a = f A in i = \ — 1 . Kadar je treba računati z imaginarnimi števili, se ta števila najprej pretvorijo na obliko ai in potem se z njimi računa kakor z realnimi števili; številni znak i se smatra kakor občno število ali kakor faktor, pri katerem si je treba zapomniti, da je * 2 = — 1, * 3 = i 2 • i = — i, i 4 = = * 2 • i 2 = —(— 1, i. t. d. N. pr. a) 3 /AT 64_7 9 + |/- 12| — 2\ r - 2* = = 24 i — 21 i + $i — 3i = \i. b) ( 2 |/— 27 -f ]/~ 75 — 51/ —- 8) - 2[A— 6 = = (6»|/T-f-5i|/3 — 10*|A2) -2i [6 = = (11*|A3 — 10i(/2)-2t|/6 = — 66/2 + 40^3“ 157 c) (26 f— 20 + 39 /— 35 — 65 (/—45) : 13 //^5 = = (52*/5 + 39*/35 — 195*/5): 13*/5 = = (39?/35 — 143*/5): 13*(/5 = 3/7 _ — 11. <0 (— 5/28):(— 3/^7)) = (— 10/T): (— 3*/7) = = (— 10t|/Yj:(- 3* 2 /7) = (—10*/7):3/? = — “i. II. Vsota iz realnega in imaginarnega števila se ime- Sk "P n0 število = komplexe nuje skupno ali kompleksno število, v znakih zahi. a -J- bi, kjer pomeni a realni, bi pa imaginarni del kom¬ pleksnega števila a -|- bi. Številni izraz a -(- bi je obča oblika vsakega mogo¬ čega števila; zakaj ta izraz predstavlja za b = 0 vsa mogoča realna števila, za a = 0 vsa čisto imaginarna števila, za a = 0 in b = 0 ničlo (začetek štetja) in za slučaj, da sta a in b različna od ničle, vsa kompleksna števila. Realnim in imaginarnim številom je ničla skupna. Kompleksni števili a -/ bi in a — bi , ki se razlikujeta spojeno kom- , , , , , . . . . pleksni števili = le v predznaku imaginarnega dela, se imenujeta spojeno kon jugiert kom- kompleksni. P lexe Zahlen - Dve kompleksni števili a-{-bi in c -/ di sta enaki, ako sta njuna realna (a in'c) in imaginarna dela (bi in di) med seboj enaka. Iz zgoraj navedenih pojasnil sledi, da se s kompleks- Kak ° se računa . . * . . y i ... s kompleksnimi mnn števili računa istotako kakor z realnimi števili; s št eviii. številnim znakom * se ravna kakor z realnim faktorjem in namesto * a se postavi — 1. Račun s kompleksnimi števili je izvršen, če ima rezultat obliko kompleksnega števila. Primerjaj naslednje izvršene račune! a) (a -j- bi) -f- (c -(- di) = (a -f- c) -)- (b -/ d)i. b) (a -/ bi) — (c -)- di) = (a — c) -j- (b — d) i. c) (a -j- bi) (c -/ di) = (ac — bd) -f- (bc -f- ad)i. a -J- bi (a - f- bi) (c — di) (ac -j- bd) -j- (bc — ad)i c -J- di e s -|- d 2 _ c 2 - f- d 2 18 * 158 Računski rezultati kompleksnih števil so navadno kompleksna števila. Vsota in produkt dveh spojeno kom¬ pleksnih števil sta realni števili. N. pr. (a -j- bi) -(- {a — bi) = 2 a. (a -)- bi) (a — bi) — a 2 — b 2 i 2 = a 2 -j- b 2 . Kako predočuje- mo s sliko ima¬ ginarna in kom¬ pleksna števila. Imaginarna števila in njih zvezo z realnimi števili predočujemo v sliki tako-le. Iz enačbe i 2 = — 1 sledi so¬ razmerje (-)- 1): i — i: (— 1), t. j. imaginarna enota je srednja geometrijska sorazmernica med pozitivno in ne¬ gativno (realno) enoto. Če predstavlja O A po¬ zitivno, OB negativno enoto in ako narišemo nad daljico BA polu- krog in OC X BA, je OA:OC = OC: OB, torej OC = i. Ako na- črtamo daljico OC več¬ krat na premici YY t v smer OY in OY u dobimo v smeri OY pozitivna imaginarna števila -j- i, —j— 2 ž, -f- -f-3 i, ..., v smeri OY t pa negativna imagi¬ narna števila — i , — — 2 1 , — 3 i, . . . Vrsta imaginarnih števil stoji torej pra¬ vokotno z ozirom na vrsto realnih števil. Kompleksno število a -f- bi predočimo v sliki, ako predočimo realni del a — OD , -n imaginarni del bi = D 1 ^ 1 . Točke sekajočih se premic XX x in YY t predstavljajo ne¬ pretrgani vrsti oziroma realnih in imaginarnih števil in določujejo ravnino, v kateri predstavlja n. pr. točka E ± kompleksno število a -f- bi. Kakor točka E 1 predočuje tudi vsaka druga točka te ravnine neko kompleksno število, n. pr. točka E 2 predstavlja kompleksno število — a -f- bi, točka E 3 kompleksno število — a — bi in točka E± kom¬ pleksno število a — bi. 159 VL Enačbe druge stopnje. Enačbe višjih stopenj, M se dado pretvoriti na enačbe druge stopnje. Logaritmovanje. Kvadratne funkcije. Diferenci- jalni kvocijent in integral. § 42. Razreševanje enačb druge stopnje z eno neznanko in njih lastnosti. I. Urejena enačba druge stopnje (kvadratna enačba) ima vobče obliko x 2 -j- ax -j- b - - 0 in utegne biti ali čisto ali nečisto kvadratna. Cisto kvadratna je tista enačba, pri kateri se nahaja neznanka samo v drugi potenci, v znakih x 2 -(- b = 0 ; nečisto kva¬ dratna pa je enačba, če se nahaja neznanka v drugi in prvi potenci, v znakih x 2 -\- ax b = 0 ali x 2 -j- ax = 0. a) Čisto kvadratno enačbo x 2 -|- b = 0 razrešiš, ako prestaviš znani člen v drugi enačbeni del in potem poiščeš vsaki enačbeni strani kvadratni koren, v znakih x 2 + b = o x 2 = — b x = + f — b, ali x t = -|- \f — b in x 2 = — | h—b. čisto kvadratna enačba ima dva nasprotna realna ali imaginarna korena. Zakaj številni izraz ]f — b predstavlja realno število, če ima b neg ativno vred¬ nost; če pa ima b pozitivno vrednost, je j — b imaginarno število. b) Nečisto kvadratno enačbo x 2 -f- ax -(- b = 0 raz¬ rešiš, ako prestaviš znani člen v drugi enačbeni del, pri- šteješ obema deloma izraz potem koreniš novo enačbo z 2 in poiščeš vrednost za x po že znanih pravilih, v znakih Kvadratna enačba =■-- qua- dratische Glei- chung. Čisto kvadratna enačba = rein quadratische Gleichung. Nečisto kva¬ dratna enačba = gemischt quadra- tische Gleichung. 160 Urejevanje kva¬ dratnih enačb. x 2 -f- ax -)- b = 0 + ax -f (J)' = ^ — b i. a i /rf 7 • a . /"a 2 7 ali *! = — ~2 v 4 — ^ in ^2 — — 2 — \ ~i — h' Neznanko urejene kvadratne enačbe x 2 -)- ax -(- b = 0 najdeš torej po obrazcu Ct“ Izraz -j- — b je za kvadratno enačbo zelo važen; zakaj predznak tega izraza določa kakovost enačbenih ko- a 2 renov. Ako je izraz - b pozitiven, ima enačba ** a 2 dva različna realna korena; ako je -j- — b enak ničli, sta enačbena korena realna in enaka; a 2 če je pa j - b negativen, sta korena spojeno kompleksni števili. c) Enačbo x 2 -f- ax = 0 razrešiš, ako jo razstaviš na faktorja in potem izenačiš vsakega teh faktorjev z ničlo, v znakih x 2 -j- ax = 0 x (x -f- «) = 0, torej x = 0 ali x -f- a = 0; iz tega sledi x 1 = 0 in #2 — - Ako je treba razrešiti kvadratno enačbo, ki nima nobene izmed navedenih oblik, moraš dotično enačbo naj¬ prej urediti, t. j. pretvoriti jo moraš na eno izmed nave¬ denih oblik, in potem postopaš kakor zgoraj. Urejevanje enačb se izvršuje po že znanih pravilih, katera hočemo tukaj kratko ponoviti in popolniti. 1. Izvrši računske načine, katere nakazujejo oklepaji. 2. Odpravi ulomke, oziroma korene ter skrči in okrajšaj dobljene izraze kolikor mogoče. 161 3. Prestavi vse enačbene člene v levi enačbeni del ter jih uredi po padajočih potencah z ozirom na neznanko. 4. Deli vse enačbene člene s koeficientom neznanke v najvišji potenci. Samo po sebi se razume, da red omenjenih pretvar¬ janj ni v vsakem slučaju isti, ki je tukaj naveden; ampak pretvarjanja se izvršujejo v tistem redu, ki je dotični na¬ logi najbolj primeren. Enačbo j/cc —J— 2 — \ x — 5 =1 urediš, ako jo ku- buješ po obrazcu (a— bf = a 3 — b 3 — 3a 2 6-f 3ab 2 = a 3 — P— 3ab(a — b), potem porabiš znano vrednost za a — b in nadalje po¬ stopaš po že znanih pravilih. f/a: -j- 2 ■— Vx -— 5= 1 x -j- 2 — (x — 5) — 3 ]f x -f- 2 Y x — 5 • C/x -j~ 2 — \fx — 5) = 1 ~T" — 3 f/x? —3x — 10 = — 6 3 fx 2_3 £C __10 = 2 x 2 —3x— 18 = 0. Enačbo |/2x +"2 + |/x — 3 — /aT+2 = \[2x — 5 urediš, ako pustiš v vsakem enačbenem delu po dva ko¬ renska izraza, potem kvadruješ enačbo in nadalje postopaš po že znanih pravilih. f 2x -\-~2 -j- paT^/3 = \fx-\-2 -j- \[2x — 5 3x — 1 —{— 2 p2a: 2 — 4x —“6 = 3x — 3 -|- 2 p2x 2 —x —10 p2x 2 — 4x — 6 = — 1 + p2x 2 — x — 10 2x 2 — 4x — 6 = 2x 2 —x — 9 — 2 [2x 2 — x — 10 2 \[2x 2 "—x — 10 = 3x — 3 x 2 — 14x —(— 49 == 0. Pri iracijonalnih enačbah je treba vsakokrat posku¬ siti, ali ustrezajo najdeni koreni dotični enačbi. 162 Kaj da vsota, kaj produkt obeh ko¬ renov kvadratne enačbe. Enačb eni trinom = das Glei- chungstrinom. Korenski faktor = der Wurzel- faktor. Lastnost enačbe- nega trinoma. Binomske enačbe == binomische Gleichungen. II. Urejeni kvadratni enačbi x 2 -)- ax -f- b = 0 sta ko- rena x x = — 2 ' ' J — & m x 2 = — 2 v J ~ lz teh izrazov sledi, da je x i + x 2 = — a in = j — ( j — = Vsota obeh korenov urejene kvadratne enačbe je enaka nasprotnemu koeficientu dru¬ gega člena; produkt obeh korenov je enak tretjemu členu. S pomočjo tega izreka stvoriš prav lahko kvadratno 3 1 enačbo, če poznaš oba korena. Ako sta n. pr. j in —j ko- rena, 30 a = j + {-j) = p h = 4 ‘ 4 ) = ~B in kvadratna enačba x 2 — ~x — ~ — 0 . z lo Levi del urejene kvadratne enačbe, t. j. izraz x 2 -j- ax -j- b se imenuje enačbeni trinom. Razlika med enačbeno neznanko in onačbenim korenom se zove korenski faktor. Če sta n. pr. x t — —^ -j- Vj — b in x 2 = = — ~ — j/ ^ — b korena enačbe x 2 -j- ax -j- b = 0, sta x — x x in x — x 2 korenska faktorja te enačbe. Enačbeni trinom urejene kvadratne enačbe je enak produktu obeh korenskih faktorjev. Zakaj z ozirom na prejšnji izrek najdeš (x (x X 2 ) — x 2 — j —j— x 2 ) X -j - X^X 2 — X 2 —j— dX —[— b. Iz te lastnosti sledi, daje enačbeni trinom de¬ ljiv z vsakim njegovih korenskih faktorjev. § 43. Enačbe višjih stopenj, ki se dado pretvoriti na kvadratne enačbe. Enačba, v kateri se nahaja samo ena potenca ne¬ znanke, se imenuje binomska. Urejena binomska enačba ima obliko x n -j- a — 0 . Kako se urejene binomske enačbe tretje in četrte stopnje razrešujejo, kažejo naslednji primeri. 163 a) Enačbo x s -)- 8 = 0 razrešiš, ako razstaviš levo stran te enačbe na faktorja po obrazcu a 3 -j- b 3 — = (a-)-b)(a 2 — ab-\-b 2 ) in potem izenačiš vsakega teh faktorjev z ničlo. Iz (x -j- 2) (x 2 — 2x -(- 4) = 0 sledi x -j- 2 = 0 ali pa x 2 — 2x -j- 4 = 0; torej je x t = — 2, x 2 = 1 -j- \[ — 3 in x 3 = 1 — f — 3. b) Enačbo x 3 —27 = 0 razrešiš, ako jo razstaviš na faktorja po obrazcu a 3 — h 3 — (a — b)(cfi-\- ah -(- b 2 ) in potem postopaš kakor v prejšnjem primeru. Iz (x — 3) (aj 2 —j— 3 ec —j— 9) = 0 sledi x — 3 = 0 ali pa x 2 —j— 3x —j— 9 = 0; torej je x 1 = 3, x 2 = f (— 1 —f— |/ — 3) in x 3 = — f (1 +/— 3.) c) Enačbo x i — 4 == 0 razrešiš, ako razstaviš levi del te enačbe na faktorja po obrazcu a 2 — b 2 = ( a-\-b)(a — b) in potem izenačiš vsakega teh faktorjev z ničlo. Iz (x 2 -j- 2) (x 2 — 2) = 0 sledi x 2 -(-2 = 0 ali pa x 2 —2 = 0; torej je x x = ]/"— 2, x 2 = — \ r — 2, x 3 = \ r 2 in x i = — /2. d) Enačbo x iJ r 16 = 0 razrešiš, ako jo razstaviš na faktorja po obrazcu a 2 -f- b 2 = a 2 — b 2 i 2 = (abi) (a — bi) in potem postopaš kakor v prejšnjem primeru. Iz (x 2 -j-4 i)(x 2 — 4 i) sledi x 2 ~|- 4 i = 0 ali pa x 2 — 4 i = 0; torej je = 2 [ — i, x 2 = —2 f — i, x s = 2 ji in x± = —2| fi. Vrednostima \fi in [ —i najdeš drugo obliko, ako vzmnožiš in koreniš izraza |/ 0 -f- i -f-10 — i in |/ 0 —( -i — [/0 — i z 2 ter sešteješ, oziroma odšteješ dobljeni identični enačbi, v znakih j/cTfi + |/0 — i = [2 70 -i 2 = l/2 sešteto, r _ r __ _oziroma | 0 |- i — 1 / (I — ( = )/- 2 X 0 — = (/— 2 odšteto /< = 34+_vEI m /• y . Iz navedenih primerov izvajamo, da ima vsaka binomska enačba tretje in četrte stopnje Razreševanje binomskih enačb tretje stopnje. Razreševanje binomskih enačb četrte stopnje. 164 toliko korenov, kolikor znaša potentni eks¬ ponent neznanke. Istotako je tudi pri binomskih enačbah višjih stopenj. Način razreševanja binomskih enačb tretje in četrte stopnje se uporablja tudi pri drugih enačbah, ki niso binomske. N. pr. e) Enačbo (x — 3) 3 — (5 — x) 3 = 0 razstaviš na fak¬ torja kakor binomsko enačbo pod b). Iz \(x — 3) — — (5 — x)} [(x — 3) 2 -j— (u? — 3) (5 — x) -{- (5 — x) 2 ] = 0 naj¬ deš korene x t — 4, x 2 = 4 -(- \J — 3 in x 3 = 4 — |/— 3. f) Enačbo x 4 — 625 = 26 ir (25 — x 2 ) razrešiš, ako raz¬ staviš levo stran te enačbe na faktorja kakor binomsko enačbo pod c), potem prestaviš člen desne strani na levo stran in razstaviš dobljena izraza zopet na faktorja. Iz (x 2 -f 25) (x 2 — 25) + 26 x (x 2 — 25) = ( x' 2 — 25) (x 2 -j- 25 -f- -j- 26 x) — 0 najdeš korene x 1 = 5, x 2 = — 5, x 3 = — 1 in x 4 = — 25. g) Enačbo (3 — x) 3 = x — 3 pretvoriš na enostav¬ nejšo obliko, ako prestaviš člena desne strani na levo stran in potem razstaviš enačbo na faktorja. Iz (3 — x) 3 -|- -(- (3 — x) = (3 — x) [(3 — cc) 2 —j— 1] = 0 najdeš korene x± = 3, X '2 === 3 —J— l — 1 in Xg — 3 — -— 1. h) Pri enačbi * 9 x — 3 kakor pri prejšnjem primeru, x — 3' 3 4 . (* + 3 )t^ 4 Iz postopaš istotako x -f- 3 x' i — 9 3 -3, x — 6 4 = 0 najdeš korene x t = Xo = 5 in Xo 1 . Trinomske enačbe = trino- mische Glei- chungen. II. Ako ima urejena enačba obliko x”‘- i r ax n - \- b = 0, se zove trinomska. V trinomski enačbi se nahaja ne¬ znanka v dveh različnih potencah. Trinomske enačbe se dadč na tej učni stopnji razrešiti, če jih je mogoče pre¬ tvoriti na kvadratne enačbe. To se da izvršiti, ako je potenčni eksponent m dvakrat tolik kakor potenčni eks¬ ponent n. V naslednjem se hočemo torej ozirati le na take trinomske enačbe, ki imajo obliko x 2,[ -l- ax n -I- b — 0 ali i_ j_ "-f- ax in -\- b = 0. X 165 Trinomska enačba x 2n -j- ax n \ b — 0 je kvadratna z ozirom na neznanko x n ; zakaj ako postaviš x n = y (torej x 2n = y 2 ), dobi navedena enačba obliko y 2 -j- ay b = 0. Iz te kvadratne enačbe najdeš in če postaviš namesto y vrednost x M , dobiš binomsko enačbo -i± /?-», x " katero razrešiš po pravilih za binomske enačbe. 2 2 Trinomska enačba x n -|- ax 2n -j- b = 0 (ali \ x-\-a v x-\-b = 0) je kvadratna z ozirom na neznanko — g n __ J_ J_ x 2n = yx; zakaj ako postaviš x 2n = y (torej x n = y 2 ), ay -f- b = 0. Iz te kva- dobi navedena enačba obliko y 2 -f dratne enačbe najdeš a , .A y = -*±V: je ali če postaviš namesto y vrednost x 2 ^ = - 5 ± /AA m , = (_ |+/JZ2)-. N. pr.: a) Iz enačbe x 4 — 3a: 2 — 4 = 0 ali iz y 2 — 3 y — 4 = 0 (če postaviš x 9 - = y) najdeš y = x 2 — 4, —1; torej je x = 2, —|—. i. b) Iz enačbe |/cc-(-5|/x—14 = 0 ali iz y 2 -(- hy — — 14 = 0 (če postaviš \fx — y) najdeš y = [x — 2; torej je x = 64. Drugi koren, ki se najde pri razrešitvi, velja za enačbo \ x — 5j/x — 14 = 0. c) Iz enačbe (x 2 — 6x-)-ll) 2 — 4(x 2 — 6x-)-ll) -j-3 = 0 ali iz y 2 — 4y -|- 3 — 0 (če postaviš x 2 — 6x -(- 11 = y) najdeš y = x 2 — 6x -j- 11 = 3, 1; torej je x x = 4, x 2 = 2, Xg — 3 —j— i in x ^ — 3 1 . d) Iz enačbe x 2 -j- 15x — /x 2 -\- 15x = 90 ali iz y 2 — y = 90 (če postaviš \fx 2 -\-\hx= y) najdeš y = — ]/ x 2 -)-15x = 10 ali — 9; torej je x 2 -f- 15* = 100 in x = 5 ali — 20. Druga dva korena sta iracijonalna. Razreševanje trinomskih enačb. 166 Obratne enačbe = reziproke Gleichungen. Lastnost obrat¬ nih enačb. Razreševanje obratnih enačb tretje stopnje. e) Iz enačbe 2x 2 — 3* -)- 1 = y r 22x 2 — 33% -j- 1 ali iz y-\- 1 = |čll?/^j-l (če postaviš 2x 2 — 3x = y) najdeš y = 2x 2 — 3% — 0, 9; torej je % = 0, 3, — f. f) Enačbo — I ^W^x = § razrešiš, ako po¬ staviš \f = y. Iz y — i = najdeš potem y — = = 3, — torej je x 1 = 2 in x 2 = — 54^ III. Ako imajo pri urejeni enačbi členi, ki so enako oddaljeni od začetka in konca enačbe, enake ali pa na¬ sprotne koeficiente, se imenuje dotična enačba obratna. Občna oblika obratne enačbe je x n -|- ax n ~ 1 -|- bx n ~ 2 -|- ... -j- bx 2 -f- ax -j- 1 — 0. Obratna enačba ima lastnost, daje obratna vrednost vsakega korena te enačbe zopet ko¬ ren dotične enačbe. Dokaz. Če je število k koren obratne enačbe x n -f- ax n ~ x -j- bx n ~~ 2 -)- ... -j- bx 2 -j-«x-j-l =0, t. j. v znakib k n -|- ak" — 1 -j- bk n ~ 2 —]— ... —)— bk 2 -j- ak -j- 1 = 0, je tudi število — koren iste enačbe; zakaj če postaviš v le ^ levi del navedene enačbe namesto % vrednost — in pre¬ tvoriš vse člene na skupni imenovalec, najdeš izraz 1 -j- ak -(- bk 2 -j- ... -f- bk n ~ 2 ak’ 1 — 1 -|- k" k" ’ katerega števec je po izrekovem pogoju = 0. Število ~ zadostuje torej navedeni enačbi in je zato koren te enačbe. Dokaz za drugo obliko obratne enačbe je navede¬ nemu sličen. a) Obratno enačbo tret j e stopnj e x 3 -f - ax 2 -(- ax -(-1 — 0 razrešiš, ako razstaviš najprej po dva člena z enakim koeficientom in potem ves levi del enačbe na faktorja ter izenačiš vsakega izmed končnih faktorjev z ničlo. Iz x 3 -|- ax 2 -j- ax -f-1 = (a; -j- 1) ( x 2 — % -f-1) -j- ax (x -)- 1) = = (x l)(x 2 — x -(- 1 -)- ax) — 0 sledi a? —[— 1 = 0. 167 ali pa x 2 -j- (a — 1) as —|— 1 = O ; % = - ~ torej je x x in x 3 = - Prav tako postopaš tudi pri razreševanju obratne enačbe x 3 -j- ax 2 — ax — 1 = 0. Po istem načinu kakor obratne enačbe tretje stopnje razrešujejo se tudi enačbe, ki imajo obliko x s -)- ax 2 + abx + b s = 0, x 3 — ax 2 -j- abx — b s — 0. b) Ako deliš obratno enačbo četrte stopnje x iJ r ax 3 -\- ž>£c 2 —j— »a; —j— 1 = 0 s faktorjem x 2 in zbereš po dva člena z enakim koeficientom, najdeš (* 2 + :J) + « (* + ~) +* = o. Če postaviš a? + ^ = y, je er 2 -J- 2 + ~ = y 2 , torej x 2 -(- — = y 2 — 2. Navedena enačba dobi potem obliko y 2 -j- ay -(- b — 2 = 0. Iz te kvadratne enačbe najdeš y = -f ±/f^+~2, in potem dobiš iz enačbe x + ~ = -|±^-& + 2 štiri korene za neznanko x. Na isti način razrešujejo se tudi enačbe, ki imajo obliko x 4 _j_ ax s _|_ j )X 2 _j_ amx _j_ w 2 _ Q_ Če pa ima obratna enačba četrte stopnje obliko x i a x 8 — ax — 1 = 0, kateri manjka člen z drugo potenco neznanke, se da prav lahko razstaviti na fak¬ torja. Iz z 4 -f ax 3 — ax — 1 = (x 2 + 1) ( x 2 — 1) + ax(x 2 — 1) = = (x 2 -l)(i 2 + l+ m) = 0 sledi x 2 — l = 0 in rr 2 -f - ax -|- 1 = 0; torej je x t = 1, x 2 — — 1) % = 2 H - V j 1 in x i 2 V 4 1- Razreševanje obratnih enačb četrte stopnje. 168 Občna pojasnila o razreševanju kvadratnih enačb z dvema neznankama. Ena izmed dolo¬ čenih enačb je linearna. Iz določenih enačb se izvede linearna enačba. Iz določenih enačb se določi kaka zveza med neznankama. § 44. Kvadratne enačbe z dvema in več neznankami. Alco imajo kvadratne enačbe po več neznank, moreš jim korene natanko določiti le tedaj, kadar imaš toliko neodvisnih in nenasprotnih enačb, kolikor je neznank. Tudi tukaj se razreševanje izvršuje vobče po istih načinih, ki se uporabljajo pri enačbah prve stopnje. To velja posebno o enačbah z obliko ax 3 -j- by 2 = c. Sicer pa primerjaj na¬ slednje podatke! I. Ako je ena izmed določenih enačb kvadratna, druga pa linearna, se uporablja navadno zamenjalni način, t. j. iz linearne enačbe se določi vrednost ene neznanke in ta vrednost se postavi v kvadratno enačbo, katera se potem razreši po pravilih prejšnjih odstavkov. Zamenjalni način se tudi uporablja, kadar sta določeni enačbi kvadratni z obliko ax 2 — by 2 = c in xy = d. II. Iz določenih enačb se izvede po računskih zakonih najprej linearna enačba, ako je mogoče. Iz te nove enačbe in ene izmed določenih enačb najdeš potem korene kakor v prejšnjem slučaju. N. pr. a) Iz enačb xy -)- x = 4 in xy -j- y — 3 najdeš li¬ nearno enačbo, ako odšteješ eno od druge. x = 2, — 2 in y = 1, — 3. b) Iz enačb x 2 -j- xy = 21 in xy -f- y l = 28 najdeš li¬ nearno enačbo, ako deliš eno z drugo. x = + 3 in y = -j- 4. c) Iz enačb (x — 2) (y - f- 2) = 18 in (7 — x)(y — 3) = 2 najdeš linearno enačbo, ako izvršiš nakazane računske načine in potem sešteješ enačbi. x = 8, 5 in y = 1, 4. III. Iz določenih enačb izračunaš najprej ali vsoto, ali razliko, ali produkt, ali kvocij* nt, ali kako drugo zvezo neznank, in potem postopaš kakor popraj. N. pr. a) Iz enačb x 2 -j- y 2 = 52 in xy = 12 (x — y) najdeš razliko naznank, ako odšteješ dvakratno drugo enačbo od prve in iz dobljenega zneska izračunaš x — y kakor ne¬ znanko iz kvadratne enačbe. x = 6, — 4, — 13 + \[— 143 in y = 4, — 6, 13 + (/—143. b) Iz enačb x 2 -(- xy -j- y- = 3a 2 -)- b 2 in x 2 — xy -\-y 2 = = a 2 -f-3 b 2 najdeš produkt neznank, ako odšteješ drugo enačbo od prve. Ako potem prišleješ dobljeni produkt 169 neznank prvi določeni enačbi, oziroma ga odšteješ od druge, dobiš enačbi, iz katerih se da vsota, oziroma razlika ne¬ znank izračunati. Iz teh rezultatov najdeš x = + (a -)- b) in y = -f- (a —• b). c) Ako je treba enačbi f- (x — y) — [x — y = 1 in \ x -j- y -[- ]/ x — ij = 5 razreš iti, izr ačunaš iz prve enačbe vrednost korenskega izraza \/x — y kakor neznanko iz kvadratne enačbe in pote m najd eš iz druge enačbe vred¬ nost korenskega izraza | fx-\-y. Iz teh rezultatov dobiš 13 . 5 * = -a m y = 2- d) Enačbi -)- 4 ]f — f r = 5 in x 2 - y 2 = = x ~\-lhy razrešiš, ako določiš iz prve enačbe vrednost korenskega izraza (/^ ' - in potem najdeš iz tega rezul¬ tata in druge enačbe x = 1, 8, 1 in y = 15, 7, 0. e) Ako je treba enačbi 2x 2 xy — 4 y 2 = 8 in 4x 2 — — 4 xy — 3 y 2 = 0 razrešiti, določiš najprej iz druge enačbe vrednost kvocijenta zakaj ako deliš drugo enačbo s y x številom tj 2 , postane kvadratna z ozirom na neznanko —. Potem najdeš iz dobljenega rezultata in prve enačbe = —|— 3, —|— -|-|/'— 2 in y = + 2, + ^— 2. f) Enačbi x 2 -f- 2 xy — 3 y 2 = 5 in 2x 2 — 3 xy -|- y 2 = 3 razrešiš, ako postaviš y = tx , potem deliš eno enačbo z drugo in iz dobljene nove enačbe poiščeš vrednost ne¬ znanke t. Nadalje postopaš kakor v prejšnjih slučajih. x = 2 in y = -\- 1. g) Enačbi x -j- y — xy == 1 in x 2 y -)- xy 2 = 30 raz¬ rešiš, ako postaviš x -j- y — u in xy — z ter določiš naj¬ prej vrednosti za u in z. Potem najdeš x — 1, 5, — 6 in V = 5, 1, 1. h) Iz enačb x — y .= 2 in x 3 — y s — 98 najdeš produkt neznank, ako kubuješ prvo enačbo ter porabiš v dobljenem rezultatu določeni vrednosti za i — y in x 3 — y 3 . Potem najdeš x = 5, — 3 in y = 3, — 5. i) Iz enačb x -f- y = 8 in x i y l — 706 najdeš pro¬ dukt neznank, ako kvadruješ prvo enačbo, v dobljenem 170 Logaritmovati = logarithmieren. Logaritmand = d er Logarith- mand. Osnovno število ali podloga == die Grundzahl oder Basis. Logaritem = der Logarithmus. Logaritem šte¬ vila 1 in katere¬ koli podloge. znesku prestaviš člen 2xy v drugi enačbeni del, potem kvadruješ to enačbo ter porabiš določeno vrednost za x i y i . Koreni so x — 3, 5, 4 -p /— 97 in y = 5, 3, 4 + /—"97. k) x : y = u:z x -j— y "J - u —j— z == 21 xz = 24 x 2 y 2 - f- m 2 -|- z 2 = 125. Ako kvadruješ drugo enačbo ter porabiš xz = yu = 24 in x 2 -j- tj 2 -j- u 2 -f- z 2 = 125, najdeš novo enačbo, iz katere se dasta s pomočjo druge določene enačbe določiti vred¬ nosti za x -j- z in y —(— u. Potem je: x = 3, 8, 6, 4; y = 6, 4, 8, 3; m = 4, 6, 3, 8; 3 = 8, 3, 4, 6. § 45. Občna pojasnila o logaritmih. Ako razstavimo določeno število A na enake faktorje a ter določimo, koliko je teh faktorjev, pravimo, da lo- garitmujemo število A z ozirom na število a, v znakih A — a x . Določeno število A se zove logaritmand ali krajše „število“ sploh, znani faktor a se imenuje osnovno število ali podloga, neznano število x pa logaritem. Da je x logaritem števila A z ozirom na podlogo a, za¬ pišemo tako-le: x = “log A, ali kadar je podloga znana, tudi tako-le x = log A. Logaritem določenega števila je torej tisti potenčni eksponent, s katerim se mora znana podloga vzmnožiti, da dobimo dotično število za rezultat, v znakih “log A = x in a x = A. Logaritem števila 1 je za vsako podlogo enak 0; zakaj a° — 1 Logaritem katerekoli podloge je enak 1; zakaj a 1 = a. Logaritmi enega in istega števila z ozi¬ rom na različne podloge so različni; zakaj če bi v enačbi A = a x = bv bila eksponenta x in y enaka, bi morali tudi podlogi a in b biti enaki. 171 Iz 2° = 1, 2 1 *= 2, 2 2 = 4, 2 3 = 8, 2* = 16,... 3° — 1, 3 1 = 3, 3 2 = 9, 3 3 = 27, 3 4 = 81,... i. t. d. sledi, da si moremo misliti števila ležeča med 2, 4, 8,16,. .. oziroma med 1, 3, 9, 27, 81,. .. tudi kakor potence pod¬ loge 2, oziroma kakor potence podloge 3, i. t. d. Števila na¬ ravne številne vrste se torej dado izraziti kakor potence ene in iste podloge. Če to storimo in pregledno sestavimo dotične eksponente, dobimo logaritemski sestav. Logaritemski sestav je pregledna razvrstitev tistih potenčnih eksponentov, s katerimi moramo določeno pod¬ logo vzmnoževati, da dobimo števila naravne številne vrste za rezultate. Ker ne moremo z vzmnoževanjem negativnega števila dobiti vsakega pozitivnega števila in ker je vsaka potenca od 1 zopet 1, smemo za podlogo logaritemskega sestava vzeti le pozitivno število, ki je različno od 1. V rabi sta dva logaritemska sestava. Pri računanju s posebnimi števili rabimo večinoma navadni, dekadični ali Briggov logaritemski sestav, ki ima za podlogo število 10. Za višjo matematiko je posebno važen naravni, hiper¬ bolični ali Neperjev logaritemski sestav, ki mu je podloga iracijonalno število 2'71828 . .., katero za¬ znamujemo s črko e in ga dobimo, ako seštejemo brez¬ končno številno vrsto: 1 + T + T71 + TT^TŠ + 1727374 + • ■ • § 46. Računski zakoni o logaritmih. 1. Logaritem produkta je enak vsoti lo¬ garitmov vseh faktorjev, v znakih log ABC — log A -j- log B -j- log C. Dokaz. Recimo, da je log A = m, log B = n in log C = p - torej A — a n \ B = a’ 1 in C = a‘>. Potem je ABC = a m -a n -a p = a m + n + p in log ABC — ali če namesto m, n, p postavimo njih vrednosti, najdemo log ABC — log A -)- log B -\- log C. 13 r Logaritemski sestav = das logarithmische System„ Briggov logari¬ temski sestav == das Briggs’sche logarithmische System. Neperjev logari¬ temski sestav = das Neper’sche logarithmische System. Kako logaritmu- ješ produkt. Matek, Aritmetika. 172 Kako logaritmu- ješkvocijent, ozi¬ roma ulomek. Kako logaritmu- ješ potenco. Kako logaritmu- ješ korenski izraz. Logaritmi deka- dičnih enot višjih redov in dekadič- nih števil sploh. 2. Logaritem kvocijenta (ulomka) je enak razlikilogaritmovdividendaindivizorja(števca in imenovalca), v znakih log ~ — log A — log B. Dokaz. Recimo, da je log A = m in log B = n , A. €t m , torej A — a m in B = a’\ Potem ie ^ = — - a m ~ n in B a n log ~ = m — m; ali če postavimo namesto min« navedeni vrednosti, najdemo log ~ = log A — log B. 3. Logaritem potence je enak logaritmu podloge, pomnoženemu s potenčnim eksponen¬ tom, v znakih log A p — p log A. Dokaz. Recimo, da je log A = m, torej A = a m . Potem je A p = (a"') p = a pm in log A p = pm\ ali če po¬ stavimo namesto m njegovo vrednost, najdemo log A p = p log A. 4. Logaritem korenskega izraza je enak logaritmu radikanda, deljenemu s korenskim eksponentom, v znakih log ‘ A = lo ^ = ~ log A. _ i Dokaz. Ker je po računskih zakonih A — A p , naj¬ demo po prejšnjem izreku p- 11 log A = lo g A p = p log A. § 47. 0 Briggovih logaritmih. I. Z ozirom na navadni, dekadični ali Briggov logari¬ temski sestav si je treba števila naravne številne vrste misliti kakor potence podloge 10. Briggovi logaritmi dekadičnih enot višjih redov so pozitivna cela števila. 173 Dokaz. Iz 10° = 1, 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, i. t. d. sledi, da je logi = O, log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, i. t. d. Briggov logaritem vsakega celega števila, ki ni dekadična enota, je iracijonalno število. Dokaz. Recimo, da je A celo število, ki ni dekadična enota višjih redov. Če bi bil logaritem od A racijonalno m število bi morala veljati enačba 10” = A ali 10” = A n . Ta enačba pa je le mogoča, če sta števili 10“ in A n se¬ stavljeni iz enakih prafaktorjev, t. j. iz prafaktorjev 2 in 5 in sicer iz vsakega teh faktorjev istotolikokrat. Število A bi bilo potem enako dekadični enoti višjih redov, kar pa nasprotuje izrekovemu pogoju. Torej mora log A ležati med dvema zaporednima racijonalnima številoma in je zato iracijonalno število. Briggovi logaritmi dekadičnih števil, ležečih med 1 in 10, so večji od 0, pa manjši od 1, ii ii 10 ii 100 , „ „ „ 1 , „ „ „ 2 , „ „ 100 „ 1000, „ „ „ 2, „ „ „ 3, i. t. d. Logaritmi dekadičnih števil so torej sestavljeni iz celega števila in nepopolnega decimalnega ulomka; celote se ime¬ nujejo značilka ali karakteristika, pridejani deci¬ malni ulomek pa se zove pridavek ali mantisa. Iz zgoraj navedenega sledi, da je karakteristika pri enoštevilčnih številih enaka 0, pri dvoštevilčnih enaka 1, pri troštevilčnih enaka 2, pri četveroštevilčnih enaka 3, i. t. d. Vobče smemo reči, da je karakteristika za enoto manjša od števila številk, s katerimi se pišejo celote do- tičnega števila. Ako pomnožiš, oziroma deliš določeno de- kadično število s kako potenco od 10, se iz- premeni le karakteristika dotičnega števila. Značilka = die Charakteristik. Pridavek = die Mantisse. Kako določiš ka¬ rakteristiko celih števil. Kdaj se izpre- meni karakteri¬ stika. Dokaz. Ako je A dekadično število, je po računskih zakonih , . .. , , , log A- 10” = lo gA-\-n, log w» = lQ g A — n • 13 * 174 Kdaj imajo šte¬ vila isto mantiso. Logaritmovnik = die Logarith- mentafel oder das Logarith- menlnich. Logaritmi deka- dičnih enot niž¬ jih redov in de¬ cimalnih števil. Kako določiš karakteristiko pravih decimal¬ nih ulomkov. V prvem slučaju se logaritem števila A poveča, v drugem zmanjša za n enot, t. j. izpremeni se le karakteristika, mantisa pa ostane ista. Briggovi logaritmi takih števil, ki se ujemajo v za¬ porednosti številk, se ujemajo v mantisi, razlikujejo pa v karakteristiki. Mantise dekadičnih števil so se pregledno sestavile v logaritemske tablice, ki se zovejo logaritmovnik. II. Briggovi logaritmi dekadičnih enot nižjih redov so negativna cela števila. Dokaz. Iz 10" 1 = 0-1, 10“ 2 = 0-01, 1()- 3 = 0-001, i. t. d. sledi, da je log 0-1 = — 1, log 0 - 01 = — 2, log 0’001 = — 3, i. t. d. Ako delimo števila naravne številne vrste s poten¬ cami od 10, dobimo desetinska ali decimalna števila, ki imajo po zgoraj navedenem iste mantise kakor cela števila. Mantise vseh decimalnih števil, torej tudi pravih de¬ cimalnih ulomkov, so pozitivne in odvisne le od zapored¬ nosti številk. Kar se tiče karakteristike pri decimalnih številih, si je treba sledeče zapomniti. Dokler se nahajajo v decimalnih številih celote, določimo karakteristiko kakor pri celih številih. Pri pravih decimalnih ulomkih pa je karakteristika negativna in znaša toliko enot, kolikor ničel stoji pred prvo veljavno številko dotičnega decimalnega ulomka. Ničla, ki nadomestuje celote, se pri tem tudi vzame v poštev. Resničnost navedenega pravila uvidimo iz naslednjih pri¬ merov. „ log 0-2 = log ^ = log 2 — 1 = 0-30103 — 1, log 0-03 = log ~ = log 3 — 2 == 0"47712 — 2, log 0-007 = log ~ = log 7 — 3 = 0-84510 — 3, log 0-000351 = log^ = log 3-51 —4 = 0-54531 — 4, i. t. d. Negativna karakteristika se postavlja za pozitivno mantiso. Ce sta v logaritmu dve karakteristiki, se skrčita v eno. N. pr. 1-30103 — 2 = 0-30103 — 1. 175 Vsak negativni logaritem pretvoriš na obliko s pozitivno mantiso, če mu toliko enot prišteješ in odšteješ, kolikor jih je ravno treba. N. pr. — 2-34467 = 3 — 2-34467 — 3 = 0-65533 — 3. Ako določimo pri kateremkoli celem ali desetinskem številu red njegove prve (na najvišjem mestu stoječe) šte¬ vilke ter ga primerjamo s karakteristiko, vidimo, da se ujemata te dve števili. Kako se poišče s pomočjo logaritmovnika določenemu številu pripadajoči logaritem in kako določenemu logaritmu pripadajoče število, uči navodilo v logaritmovniku. Ako izračunamo številu 10 ponavljajoč kvadratni koren, najdemo logaritme nekaterih decimalnih števil, le¬ žečih med 1 in 10. N. pr. 10* = j/lO = 3-16228, torej je log 3-16228 = i = 0*5; 10* = i/ W = / 3-16228 = 1-77828, torej je log 1-77828 = i = 0-25; 10* == j/"1-77828 = 1-33352, torej je log 1-33352 = = | = 0-125; i. t. d. Rezultati teh računov so sestavljeni v naslednji tablici: S pomočjo te tablice izračunaš logaritem števila, le¬ žečega med 1 in 10, n. pr. števila 3'7, tako-le. Število 3"7 razstaviš na take faktorje, ki se nahajajo kakor števila v Logaritmi neka¬ terih decimalnih števil. Kako izračunaš logaritem števila, ležečega med 1 in 10. 176 Kako najdeš lo¬ garitem števila, večjega od 10. Logaritem ničle. Logaritemska funkcija in loga¬ ritemska črta. omenjeni tablici, in potem sešteješ logaritme vseh dotičnih faktorjev. Faktorje števila 3-7 pa najdeš, ako deliš 3'7 s številom 3-16228, ki se nahaja v tablici in je manjše od 3• 7; dobljeni kvocijent P17004 deliš z naslednjim manjšim številom tablice (t. j. z 1*15478); novi kvocijent deliš zopet z naslednjim manjšim številom tablice, i. t. d. Število 3-7 je potem enako produktu vseh zaporednih divizorjev in zad¬ njega kvocijenta, ki se bliža enoti in se sme zato izpustiti. če je pa število, kateremu je treba izračunati loga¬ ritem, večje od 10, razstaviš dotično število najprej na dva faktorja, izmed katerih je eden manjši od 10, drugi pa neka potenca od 10, in potem postopaš slično kakor v prejšnjem slučaju. N. pr. 157 = 1 -57 • 10 2 in log 157 = log 1-57 + 2. Ker se vrednost 10 -B bliža ničli, če postaja « vedno večji, smemo sklepati, da je 10 _GO = 0 in log 0 = — oo. Kako so logaritmi od¬ visni od logaritmanda in kako se z njim izpreminja- jo, spoznamo najbolje, ako načrtamo funkciji y = log x funkcijsko črto. Po pojas¬ nilih o logaritmih sme pre- menljivka x imeti le po¬ zitivne vrednosti. Za x = 0 je funkcija y = — oo. Za vrednosti od x — 0 do x — 1 je funkcija y nega- 177 tivna in se veča. Za x = 1 je funkcija ij = 0. Za vrednosti od x — 1 do x = oo so funkcijske vrednosti pozitivne in se večajo. Pridejana slika predočuje črto (logaritemsko črto), ki pripada funkciji y = log x. Posamezne točke M u M 2 , M 3 ... te črte najdeš s pomočjo navedenih podatkov. Logaritemska črta izide od negativne ordinatne osi v neskončni daljavi, se vzdiguje sprva prav hitro, pozneje pa polagoma, preseče pozitivni del abscisne osi in se raz¬ teza ob tej osi v pozitivno smer. § 48. Uporaba Briggovih logaritmov. S pomočjo Briggovih logaritmov se dado računski načini druge in tretje stopnje zelo okrajšati in včasih iz¬ vršiti tudi v takih slučajih, kjer nam manjka potrebnih pravil. V ta namen smatramo rezultat računa za neznano število, kateremu se da iz podatka določiti logaritem po računskih zakonih. Primerjaj naslednje naloge! 1. Logaritmi določenih izrazov: a) 14-568 X 1‘293 X 0-037429 = x, log x = log 14 • 568 -|- log 1 • 293 -f- log 0 • 037429 = = 1-16340 0-11160 _ 0-57321 — 2 log x = 0-84821 — 1 sc = 0-70503. b) (— = — x. Ako se nahaja v računu nega¬ tivno število kakor podloga ali radikand, se smatra med računanjem to število za absolutno in po končanem računu se določi rezultatov predznak po računskih zakonih. log x = 3 (log 43 — log 65) = 1 1 (0 log x 63347 81291 }X3 82056 — 1) X 3 46168 46168 28952 in — (—H)’ = —0-28962. Računanje z logaritmi. 178 Razreševanje eksponentnih enačb. Ako je pri odštevanju logaritmov minuend manjši od subtrahenda, se prvemu toliko enot prišteje in odšteje, da postane razlikna mantisa pozitivna. , -Vč) 7 !33047 c ) V 4-9648 — x ’ log x = |(log 0-23047 — log 4-9648) = O 4 -36261 —T 0-69590 (3-66671 — 5) : 5 log * = 0-73334 — 1 x = 0-54117. Pri odštevanju logaritmov v se je minuendu toliko enot prištelo in odštelo, da je postala razlikna karakteristika deljiva s 5. d) |/"|/"l8 ' 7 —p 9'2 = x. Pri navedeni nalogi se mora vrednost vsakega ra- dikandovega dela posebej določiti, da je mogoče nakazano odštevanje izvršiti. log jAl8 - 7 = | log 18‘7 = 1-27184:2 = 0-63592, |/18 * 7 = 4-3243. log V9-2 = -jlog 9-2 = 0-96379:3 = 0-32126, V 9^2 = 2-0954. x = Y 4 • 3243 — 2-0954 = V 2 ■ 2289, log x = ^log 2'2289 = 0-34809:3 = 0-11603 x = 1-30626. 2. Eksponentne enačbe: Dvočlensko eksponentno enačbo razrešiš, ako iz¬ raziš oba enačbena dela kakor potenci iste podloge in potem izenačiš potenčna eksponenta; ali pa, ako logarit- muješ dotično enačbo in potem poiščeš po že znanih pra¬ vilih vrednost za neznanko. Mnogočlensko eksponentno enačbo razrešiš, ako prestaviš člene tako, da se nahajajo 179 v vsakem enačbenem delil le potence iste podloge, potem razstaviš dotične izraze na faktorje in skrčiš kolikor mogoče, nadalje pa postopaš kakor pri dvočlenskih eks¬ ponentnih enačbah. Mnogočlenska eksponentna enačba se torej pretvori v dvočlensko s pomočjo računskih zakonov. Izmed ostalih eksponentnih enačb moremo razrešiti na¬ dalje le take, ki imajo obliko kvadratnih enačb ali se dadč pretvoriti na to obliko. N. pr. a) Tročlensko eksponentno enačbo a 2x -\- ba x -j- c = 0 razrešiš, ako postaviš a x = tj (torej a %x = y 2 ) in določiš iz kvadratne enačbe y 2 -j- by -j- c = 0 vrednost za y. Potem najdeš iz dvočlenske eksponentne enačbe vrednost za x. x /— 2 x /— b) Pri tročlenski eksponentni enačbi \ a b /a - j- -j- c = 0 postopaš istotako kakor v prejšnjem primeru. c) Po računskih zakonih o potencah pretvoriš eks¬ ponentni enačbi 25* — 3-5* = 10 in 3 1 + z -\-3 2 ~ z = 28 na obliko kvadratnih enačb in sicer obliki 5 2 * — 3 ■ 5* = 10 28 in 3* 2 -y3 2 = — 3. Iz teh enačb najdeš potem na isti način kakor pod a) vrednosti x = 1 in z — 2, — 1. d) Dvočlensko eksponentno enačbo 3 2 *-4* _1 = 5* razrešiš, ako jo logaritmuješ in potem poiščeš po že znanih pravilih vrednost za x. 2x log 3 -|- (x — 1) log 4 = x log 5 x(2 log 3 -)- log 4 — log 5) = log 4 log 4 log 7-2 Po računskih zakonih se je skrčilo: 2 log 3 -j- log 4 = == log 9 -|- log 4 = log 36 in log 36 — log 5 = log ^ = = log 7 • 2. log 4 log 4 2 log 3 -j- log 4 — log 5 log 36 — log 5 0-60206 0-85733 = 0-7023. 180 Logaritemska enačba = loga- rithmische Glei- chung. Razreševanje logaritemskih enačb. e) Mnogočlensko eksponentno enačbo 2*— 11* = = 2*+ 4 — 11* + 4 razrešiš, ako jo najprej pretvoriš v dvo- čiensko in potem postopaš kakor pri prejšnji nalogi. H*-M— ll c = 2* + 4 — 2* 11 * (11 — 1 ) = 2 *( 2 4 — 1 ) 11*•10 = 2*-15 11*-2 = 2*•3 x (log 11 — log 2) = log 3 — log 2 x log 3 — log 2 log 11 — log 2 log 1'5 log 5'5 = 0-2378. 3. Logaritemske enačbe: Enačba, pri kateri se nahaja neznanka v logarit- mandu, se zove logaritemska. Logaritemsko enačbo razrešiš, ako jo najprej s pomočjo računskih zakonov pre¬ tvoriš v dvočlensko z obliko log A = log B, potem iz¬ enačiš logaritmanda in nadalje postopaš po že znanih pra¬ vilih. N. pr. 1 2 a) Logaritemsko enačbo s —,-L ; - = 1 raz- ' a 6 — log x 1 log x rešiš, ako postaviš log x = y in izračunaš najprej vred¬ nost za y. Iz log x — 4, 3 najdeš x = 10000, 1000. b) Enačbo x lo s* -1 = 100 razrešiš, ako jo logarit- muješ in potem postaviš log x = y. Iz log x = 2, — 1 najdeš x = 100, ^ c) log x -j- log (x -)- 1) = 2 log (x — 1) log [a- (x -j- 1)] = log (x ■— l) 2 x (x —j— 1) = (x. -l) 2 /v* — — 1 JU - d) \ log (4® -j~ 1) = log 3 -\- | (log 50 -j- log *) — 1 log ]f\x -(- 1 = log 3 -f- log |/ 50 x — log 10 log [/4 .x -j- 1 = log x — 2. 181 § 49. Lastnosti kvadratne fnnkcije. Cela funkcija druge stopnje ali kvadratna funkcija ima vobče obliko tj = ax 2 -\-bx-\- c in se uničuje v slu¬ čajih, ki sta določena po korenih enačbe clx 2 -j- bx -J- c = 0. Kvadratna funkcija ax 2 -)- bx c je enaka produktu dveh linearnih funkcij. Dokaz. Navedena funkcija se da pretvoriti na obliko ax 2 —j— —(— c = a {x 2 -)- ^x -j- v kateri se sme faktor x 2 -I- — x -4- — smatrati za enačbeni 'a ' a trinom, ki je po § 5. enak produktu korenskih faktorjev, t. j. dveh linearnih funkcij, v znakih ax 2 -|- bx c = a(x — x t ) (x — x 2 ). N. pr. 3x 2 -)- 4x -j- 1 = 3(x 2 -\- -j- i) = = %{x -f- -j- 1) = (3x -(- l)(x -)- 1). Ako se kvadratna funkcija ax 2 bx -j- c uničuje za vrednosti x t in x 2 , je po prejšnjem ax 2 -)- bx -\- c = a(x — a^) (x — x 2 ). Iz te identične enačbe sledi, da je funkcija ax 2 -)- bx -(- c negativna (pozitivna) za vse med x 1 in x 2 ležeče x-ove vrednosti, če je a pozitiven (negativen), sicer pa se pred¬ znak funkcijske vrednosti ujema s predznakom stalnice a. Kvadratna funkcija ax 2 -j- bx -|- c dobi za x = — ~ najmanjšo vrednost, če je a pozitiven; a CL največjo vrednost pa, če je a negativen. Dokaz. Navedena funkcija se da tako-le pretvoriti: ax“ bx — a(x 2 4- —x —) V 'a 'at b 2 4 a 2 b 2 4 a 2 = a(x 2 -\-~, = a ( X + ^Y + ( C - la)’ C -) Oblika kvadratne funkcije. Kvadratna funk¬ cija je sestav¬ ljena iz linearnih funkcij. Predznak kva¬ dratne funkcije. Naj večja in naj¬ manjša vrednost kvadratne funkcije. 182 V tej algebrajski vsoti se izpreminja prvi sumand, če se x izpreminja; drugi sumand pa ima stalno vrednost 7,2 = c — -j—. Za pozitiven a je prvi sumand pozitiven in dobi za x = — s— najmanjšo vrednost = 0; v tem slu- u CC čaju ima torej tudi funkcija ax 2 -j- bx -j- c najmanjšo vred- l ) 2 nost = c — 4( -. Za negativen a je prvi sumand negativen in dobi za x — — ~ največjo vrednost = 0; v tem slu- a d čaju ima tudi funkcija ax 2 -j -bx c največjo vrednost fi 2 = c -j-. 4 a N. pr. 3x 2 -j— —(— 2 = 3(x 2 -\-~x -f |) = 3 ( x + §)" + -§> —■ 3a; 2 + 6x — 2 = — 3(.r 2 — 2x -j- J) — 1 — 3(* — l) 2 . 2 2 Prva funkcija dobi za x = — ^ najmanjšo vrednost = g-, druga pa za x — 1 največjo vrednost = 1. Funkciji x -(- a : določiš najmanjšo absolutno vrednost, ako jo pretvoriš na obliko = v f (*+~y - /"(*— 1 )*+ 4 °- Iz te oblike sledi, da dobi funkcija a; ~ najmanjšo ab¬ solutno vrednost, če ima prvi radikandov člen najmanjšo vrednost. Torej je x = | fa in x ^ — 2| f a. Da se najde največja, oziroma najmanjša vrednost kvadratnih funkcij tudi še na drug način, spoznali bomo iz naslednjega odstavka. Uporabne naloge. 1. Osnovnica nekega trikotnika je a in vsota ostalih stranic m; koliki morata biti stranici b in c, da ima trikotnik naj večjo plo¬ ščino? 188 Razrešitev. Ako postaviš v obrazec za ploščino p = = \fs (s — a) (s — 5) (s — c) vrednosti s = w in c = m — 6, najdeš izraz p = — a 2 ) [a 2 — (26 — m) 2 ], kateri dobi največjo vrednost (p = ^-jA» 2 —a 2 ), če je 26 — m = 0; potem je 6 = ~ in c = 2. Iz neke točke D na hipotenuzi določe¬ nega pravokotnega trikotnika se spustita pravokotnici na kateti. Kje mora ležati točka D, daje ploščina nastalega pravokotnika naj¬ večja? Razrešitev. Kateti pravokotnega trikotnika sta a in 6, hipotenuza je c. Napravi primerno sliko! Če pomeni x hipotenuzni odsek, ki je po točki D določen in kateti a priležen, in če sta y in z pravokotnici iz točke D na kateti, najdeš iz podobnih trikotnikov vrednosti za y in Potem je ploščina nastalega pravokotnika p = yz ab(cx — x 2 ) , lx x\ ob -,!x 1\ 2 ah \- c = T~ a H7- 2 ) - Ta izraz dobi največjo vrednost (p = če je ~ ~ = 0, torej x = ,y, t. j. točka D mora ležati v središču hipo- tenuze. 3. Očrtaj določenemu kvadratu najmanjši enakokraki trikotnik tako, da leži ena k v a - dratova stranica na trikotnikovi osnovnici! Razrešitev. Kvadratova stranica je a. Vrh očrtanega enakokrakega trikotnika mora ležati na somernici kva- dratove osnovnice. Napravi primerno sliko ! Če pomeni x razdaljo trikotnikovega vrha od določenega kvadrata, najdeš iz podobnih trikotnikov vrednost za trikotnikovo osnovnico, namreč y — ——. Ploščina enakokrakega trikotnika je potem 184 Funkcijska črta kvadratne funkcije. Krivulja = die Kurve. y(a -|- x) a (a -f- x ) 2 P = ' 2 — 2^~ = {[2a + \f(x + f)*] = f [a« + \f(* - |j S + 4« a ]- Ta izraz dobi najmanjšo vrednost (^ = 2a 2 ), če je x — = 0, torej x — a. § 50. Načrtavanje kvadratne funkcije in njen diferencijalni kvocijent. Geometrijsko podobo kvadratne funkcije y = — jx 2 -f- rj- 2x 5 najdemo, ako poiščemo n. pr. razrešitvam: pripadajoče točke ter narišemo skoz te točke funkcijsko črto. Primerjaj sliko! Če pridenemo navedenim razrešitvam še naslednje: vidimo, da raste funkcija y = — jx 2 —j— 2a; —j— 5 od — oo do 9 in potem pojema od 9 do — oo, če raste premenljivka od — oo do -f- oo. Za x = 4 dobi funkcija največjo vred¬ nost = 9. Ker pripadajo enakim prirastkom premenljivke različni funkcijski prirastki, oziroma zmanjški, mora funk¬ cijska črta biti kriva (krivulja). Iz funkcijske črte spo¬ znamo, kje in kako raste (pojema) funkcija in kje dobi največjo, oziroma najmanjšo vrednost. Da je mogoče iz prirastka premenljivke in iz funkcijskega prirastka (zmanj- ška) izračunati trigonometrijsko tangento tistega kota, katerega tvori sekanta, oziroma tangenta funkcijske črte s pozitivno smerjo abscisne osi, bomo videli iz naslednjega. Recimo, da pripada določeni vrednosti x = OP funk¬ cijska vrednost y = PA. Če se x poveča za Ax, se funk- 185 cijska vrednost poveča za Ay , torej je v sliki OB = x-\- Ax in BB — y -j- Ay. Sekanta AB , ki gre skoz točki A in B, tvori s pozitivno smerjo abscisne osi kot /?, katerega trigonometrijska tangenta je določena po prirastkih Ax in Ay, v znakih tang /3 = . Če zavrtimo sekanto AB okoli točke A tako, da se točka B bliža točki A, se manj¬ šata prirastka Ax in Ay. Ko se točka B stika s točko A, preide sekanta AB v tangento AT; kot /3 preide v kot a, katerega tvori tangenta AT s pozitivno smerjo abscisne osi; izmerljiva prirastka Ax in Ay preideta v neizmerno majhna prirastka dx in dy, ki se zoveta diferencijala; in diferenčni kvocijent — = tang /3 preide v diferen¬ cialni kvocijent d J'- = tang a, v znakih iim ^ (lim = limes = meja ali mejna vrednost). Diferencijalni kvocijent funkcije y — f(x) z ozirom na premenljivko x zaznamujemo tako-le £ = >- = /» Diferenčni kvo¬ cijent = Diffe- renzenquotient. Diferencijal = das Differential. Diferencijalni kvocijent = Differential- quotient. Kako zaznamu¬ jemo in izraču¬ namo diferenci¬ jalni kvocijent. 186 Pomen diferen¬ cialnega kvocijenta. Kako spoznamo, da kvadratna funkcija raste, oziroma pojema. Kdaj dobi kva¬ dratna funkcija naj večjo, ozi¬ roma najmanjšo vrednost. ter izračunamo njegovo vrednost po pojasnilu dy_ _ (tl + dy) — y __ f(x -)- dx) — f(x) dx dx dx ’ t. j. ako postavimo v določeno funkcijo namesto x izraz x -j- dx in odštejemo od tega izračunanega zneska vrednost prvotne funkcije ter delimo dobljeno razliko z dx, najdemo kvocijent, v katerem je člen s faktorjem dx neizmerno majhen (= 0) in se sme zategadelj izpustiti. V našem primeru je dy _ — \(x -j- dx) 3 -|- 2{x -j- dx) -(-5 — (— \x 2 -)- 2x -(- 5) _ dx dx = + = _ 1 x + 2 - 1 £ dx = _I* + 2. Diferencijalni kvocijent za določeno točko funkcijske črte pomeni torej trigonometrijsko tangento tistega kota a , katerega tvori geometrijska tangenta v dotični točki s pozitivno smerjo abscisne osi, v znakih = tang a. Če se geometrijska tangenta AT porniče po funkcijski črti tako, da se dotikališče A bliža vrhovni točki C, je kot a oster in se manjša; diferencijalni kvocijent je pozitiven in se manjša. Ko se točka A stika z vrhovno točko C, postane kot a = 0° (tangenta CT je vzporedna z abscisno osjo) in diferencijalni kvocijent dobi vrednost = 0, v znakih (E = = 0. če drči geometrijska tangenta CT po funkcijski črti dalje na desno, postane kot a top (= a L ) in diferencijalni kvocijent negativen. Dokler se vzdiguje funkcijska črta, raste funkcija in prirastek dy je pozitiven; torej je tudi diferencijalni kvocijent ^ pozitiven, ker smatramo namreč prirastek dx vedno za pozitivno količino. Če pa pada funkcijska črta, pojema funkcija in prirastek dy in diferencijalni kvocijent j 7 x sta negativna. Obratno smemo sklepati, da raste dolo¬ čena funkcija tako dolgo, dokler je njen diferencijalni kvocijent pozitiven; če pa postane diferencijalni kvocijent negativen, začne funkcija pojemati. Ko je diferencijalni 187 kvocijent = 0, je funkcija največja (najmanjša). Iz enačbe % — f'( x ) — 0 določiš torej tisto vrednost premenljivke x, za katero dobi funkcija največjo, oziroma najmanjšo vred¬ nost. Prvi slučaj se nahaja pri funkcijah, ki rastejo, drugi pa pri funkcijah, ki pojemajo do dotične premenljivkine vrednosti. V našem primeru je diferencijalni kvocijent = — $x-\-2, ki je pozitiven od * = — oo do i = 4; negativen pa od x = 4 do x = -)- oo. Iz enačbe — }x -(- -j- 2 = 0 najdeš vrednost x = 4, za katero dobi nave¬ dena funkcija največjo vrednost = 9. Geometrijsko podobo kvadratne funkcije y = 2x 2 — — 6x -)- 9 najdemo n. pr. s pomočjo razrešitev: Primer za tolma¬ čenje kvadratne funkcije. Napravi primerno sliko! Diferencijalni kvocijent navedene funkcije je = 4x — 6. Ker je ta izraz od x — — oo do x — f negativen, od x = % do x = -f- oo pa pozitiven, pojema torej funkcija y = 2x 2 — 6x -f- 9 od x = — oo do x = f, od x = f do x = -j- oo pa raste. Za # = f- dobi funkcija najmanjšo vrednost = 4^. Če poiščemo kvadratni funkciji y — ax 2 -f- bx -4- c Kako se razrešu- jejo enačbe s po- geometrijsko mesto ter izmerimo abscise presečišč lunk močjo funkcij- cijske črte in abscisne osi, najdemo razrešitve kva- skih * rt - dratne enačbe ax 2 -f- bx c — 0. Če ima funkcijska črta z abscisno osjo dve, oziroma eno skupno točko, ima na¬ vedena kvadratna enačba dve, oziroma eno realno raz¬ rešitev; če pa nima funkcijska črta z abscisno osjo no¬ bene skupne točke, nima omenjena kvadratna enačba no¬ bene realne razrešitve. Primerjaj § 5! Ako poiščemo dvema kvadratnima funkcijama (ozi¬ roma kvadratni in linearni funkciji) geometrijski mesti ter izmerimo koordinate skupnih točk, najdemo skupne razrešitve dotičnili dveh enačb, če imata funkcijski črti skupne točke, imata dotični enačbi realne razrešitve; če pa nimata funkcijski črti nobene skupne točke, nimata omenjeni enačbi nobene realne razrešitve. 14 r. Matek, Aritmetika. 188 Naj večja in naj- na j manjša vred¬ nost funkcije — Maximum und Minimum der Funktion. Drugi diferencij alni kvocijent. Ako prvi diferencijalni kvocijent še enkrat diferencujemo, dobimo df(x) drugi diferencijalni kvocijent. Ako je f'(x ) = , potem je f" (r \ _ d f( x ) _ _ d 2 A x ) J { > dx dx dx 2 Na isti način pišemo f"'(x) = in splošno /W(as) = p Drugi diferencijalni kvocijent f"{x) ima za f'(x ) isti pomen, kakor prvi diferencijalni kvocijent f'(x) za funkcijo f(x). Če je f"(x) pozitiven, potem raste f(x), če je pa negativen, se f(x) zmanjšuje. Ako pomeni torej f(x) določeno funk¬ cijo, potem pove negativni kvocijent f"(x), da se zmanjšuje f'(x), da se zmanjšuje torej naklonski kot tangente do- tične funkcijske črte. Ako postane za gotovo vrednost premenljivke x funkcija f'(x) = 0, potem je tangenta vzporedna z abscisno osjo in na istem mestu ima /( x) svojo naj večjo ali pa najmanjšo vrednost. Ako je drugi diferencijalni kvocijent negativen, t. j./"(x) <( 0, potem se f(x) zmanjšuje, torej tudi naklonski kot. (Primerjaj sliko v začetku § 50, kjer postaja kot a vedno manjši, ako se pomika točka A čez B proti C.) V tem slučaju kaže funk¬ cijska črta svojo konkavno stran abscisni osi in v točki C ima f(x ) svojo največjo vrednost. V nasprotnem slučaju je f(x) = 0 in f"(x) > 0 in naklonski kot raste, funk¬ cijska črta pa kaže svojo konveksno stran abscisni osi in funkcija y = f(x) ima tu svojo najmanjšo vrednost. (Na- črtaj dotično sliko.) Iz navedenega izvajamo pravilo: Funkcija y = f(x) doseže svojo najmanjšo vrednost (minimum), če je f(x) — 0 in f"(x) > 0, in svojo naj večjo vrednost (maksimum), če je f\x ) = 0 in f"(x) < 0. O p o m n j a: Izpeljava višjih diferencijalnih kvocijentov ne spada v obseg te knjige. Naloga. Poišči najmanjšo in največjo vrednost kvadratične funkcije y = ax‘ ž -j- bx -j- c. 189 Razrešitev. Prvi diferencialni kvocijent je y' = 2ax-\- b b 2 -j- b = 0, iz tega dobiš x = — in y — c — . Drugi diferencijalni kvocijent je y" = 2a in je pozitiven, če je a b 2 pozitiven, potem pa je y = c — j— najmanjša vrednost v b 2 funkcije y. Ce je a negativen, ima y = c — največjo vrednost. (Do istega sklepa smo prišli na drug način v § 49.) Dostavek. Ako preleti neko telo v času t pot O A = s in v času t x pot OA x = s-,, potem je AA X — s* — s odvisna od časa t ± — t m je torej funkcija časa. Ako je dalje razlika t x — t = At izredno majhna, je tudi pot Sj — s — As primeroma majhna. Diferenčni kvocijent nam potem služi za merilo hitrosti (v) gibanja, ali matematično izraženo v — lim~ = to se pravi: prvi diferencijalni kvocijent pota z ozirom na čas je enak hitrosti gibanja dotičnega telesa. Pri enakomernem gibanju je hitrost stalna in zato čiv Čl 2 S — = 0 ali po zamenjavi = 0. Pri neenakomernem gi- banju pa se hitrost izpreminja, zato je ^ 0. Izraz — ali ~ pomeni ipremembo hitrosti v časovni enoti in se zove pospešba (g). Če je pospešba g 0 in stalna, potem je gibanje enakomerno pospeševalno, če je g < 0, je gi¬ banje pojemalno. Primer. Pri metu navzgor je n. pr. pot s — 60 1 — 4 - 9č 2 . Iz tega sledi v — ^ = 60— 9 - 8č in g = ~ = —9’8. Pospešba je stalna in negativna, gibanje je torej enako¬ merno pojemalno. § 51. Diferencijalni kvocijenti nekaterih najnavadnejših funkcij. Mejno vrednost funkcije S1 ” - za x — 0 najdemo tako-le. Mera določenega kota ACB = % (primerjaj sliko!) je pripadajoči lok AB — x, katerega polumer je r — CB = 1. Če narišemo BE 1 AC in AD 1 AC, vidimo iz slike, daje 14 * Mejna vrednost „ , sina; lunkcije-• 190 Diferencijalni kvocijent potence. ^.Diferenco vati = differenzieren. BE<^AB <^AB ali pa z ozirom na pojasnila o trigono- metrijskih funkcijah sin x < * <4 tang x. Iz te neenačbe sledi, da je -— > — > —— ali 1 4>-4> cos x. Ce se premenljivka x manjša in bliža ničli, se cos x bliža 1. Ko po¬ stane x = 0, sta obe meji funk- sin* , . , . . sin* cije — enaki; torej je - = = 1 za x = 0. 1. Diferencijalni kvocijent funkcije y = x m najdemo tako-le. Ako porabimo deljivost ~ 2 b -f-... -j- ab m ~~ 2 + J"- 1 , ki velja za cele pozitivne m , dobimo v našem slučaju izraz (x -f- dx) m ~ 1 -j- (x -f - dx) m ~ 2 x -f- -)- ... -j- (x -j- dx)x m ~ 2 -|- x m ~k Ker je dx = 0, je vsak izmed m sumandov navedenega kvocijenta enak x = mx m ~ 1 ali dy (a>.-j- dx) m - dx (x -j- dx) ■ x m - x u , torej je dx d(x m ) dx = mx” Diferencijalni kvocijent sinusa. Po tem pravilu se difer encuj ej o (se išče dife¬ rencijalni kvocijent) potence, katerih eksponent je celo pozitivno število. Da smemo po istem pravilu diferencovati tudi take potence, katerih eksponent je ali negativno ali ulomljeno število, bomo pozneje spoznali. 2. Diferencijalni kvocijent funkcije y == sin x najdemo tako-le. S pomočjo goniometrijskega obrazca, po katerem se sinusi odštevajo, dobimo dy dx sin (x -j- dx) smx 2 cos ( x + t) sin dx = cos ( . dx\ X + Yf- sin : dx 191 torej je z ozirom na zgoraj navedeno mejno vrednost dy . d (sin x) ~ = cosx ali —^—- = cosa?. dx dx 3. Na isti način kakor poprej najdemo tudi diferen- cijalni kvocijent funkcije y = cos x. dy _ cos (x -f- dx) dx dx COS X 2 sin (* + ir) sin dx ~ 2 ~ dx . / . dx\ sin- torej je dy dx sina; ali d (cos a;) — 1 = — sin x. dx 4. Ako poiščemo diferencijalni kvocijent funkcije y = /( x) -f- k, kjer pomeni k stalnico, najdemo dy = f{x + dx)+k- \f{x) -f- k\ = f(x+dx)-f{x) = dx dx dx ' ^ ' Ker se ta rezultat popolnoma ujema z rezultatom, ki ga dobimo, če diferencujemo funkcijo y = f(x), smemo skle¬ pati, da je diferencijalni kvocijent vsake stal¬ nice = 0, v znakih m = n dx Če diferencujemo funkcijo y = k • f(x), kjer pomeni k stalnico, najdemo dy k • /(x -f- dx) — k • f(x) ^ f(x -|- dx) — / {x) dx d/x dx = k-f(x). Stalni faktor ostane torej pri diferencovanju neizpremenjen, v znakih M = Je >f{x). Diferencijalni kvocijent kosinusa. Diferencijalni kvocijent stal¬ nice. Stalni faktor pri diferenco vanju. 192 Diferencialni kvocijent alge- brajske vsote. Kako se diferen- cuje nerazvita funkcija. 5. Ako poiščemo diferencialni kvocijent funkcije y — f(x) -j- gp (a;), dobimo dy f(x -j- dx) + (p (x -|- dx ) — f f(x) + go ( x)\ dx dx f(x -|- dx) — f{x) (y) — 0, n. pr. 6 2 a? 2 —(— a 2 ?/ 2 — aW = 0 diferencujemo tako-le. Če raste neodvisna premenljivka x za dx, se odvisna premenljivka y izpremeni za dy- torej je tudi f(x -j- dx) -j- gp (y -f- dy) = 0. Iz enačb /0'+ dx ) -f (y) = Q dx ' dx ali f( x J r dx)—f(x) , cp(;y J rdy) — cp(y) . dy = Q dx ‘ dy dx to je f(x) + _ a — x dx dz dx 2 \Az ’ \[2ax — x 2 ’ Diferencovanje potenc z nega¬ tivnimi in ulom- 1j enimi ekspo¬ nenti. 194 b) Po pravilih o diferencovanju sinusa, algebrajske vsote in potence najdeš ~ = cos (x 2 — a 2 ) • ^ g ' ^ = 2 x cos (x 2 — a 2 ). Isti rezultat tudi dobiš, ako postaviš x 2 — a 2 = z. Potem je y = sin 2 in dy_ dx d (sin z) dz — = cos z • 2x = 2 x cos (x 2 dx a 2 ). 2. Včrtaj določenemu krogu največji enako¬ kraki trikotnik! Razrešitev. Napravi primerno sliko! Ako je v višina enakokrakega trikotnika, je po lastnostih pravokotnega trikotnika polovica osnovnice enaka geometrični sredini med daljicama v in 2r— v, v znakih f = y^v(2r — v). Trikot¬ nikova ploščina je potem p = vfv(2r .— r) = ^2 rv 3 — v i . Če ima. p največjo vrednost, velja isto tudi za j) 2 = 2rv 3 — v*. Ako diferencujemo to funkcijo z ozirom na premenljivko v in dobljeni diferencijalni kvocijent izenačimo z ničlo, naj¬ demo 6 rv 2 — 4r 3 = 0 in v = fr. Potem je trikotnikova osnovnica = r|/3 in krak = rf 3, t. j. zahtevani tri¬ kotnik je enakostraničen. 3. Določi tisti pokončni valj, kateremu je površj e P in kateremu se da očrtati najmanjša krogla! Razrešitev. Obrazec za valjevo površje je P= 2rn(r-\-s). Središče očrtane krogle leži v presečišču diagonal osjega preseka. Polumer R očrtane krogle je določen po enačbi R 2 — r 2 -f- ^ in prostornina te krogle po obrazcu k = + P k ali če postaviš s = ^-r, najdeš 195 P 2 Prostornina k je najmanjša, če dobi funkcija 5 r 2 -V- m — najmanjšo vrednost. Potem je torej je in 4. Včrtaj določeni krogli pokončen valj z najmanjšim plaščem! Razrešitev. Valjev plašč je določen po obrazcu p — 2rus in stranica po enačbi s = 2\[R 2 — r 2 ; torej je p = 4 nr R 2 — r 2 = 4it [f R 2 r 2 — r 4 . Plašča je naj¬ manjši, če dobi funkcija j f R 2 r 2 — r 4 najmanjšo vrednost. Potem je 2R 2 r — 4 r 3 2 i^R 2 r 2 — r 4 torej r = in s = R^ 2, t. j. valj je enakostraničen. Isti rezultat tudi najdemo, ako sklepamo tako-Ie. Plašč p je najmanjši, ako dobi funkcija R 2 r 2 — r 4 naj¬ manjšo vrednost i. t. d. 5. Odprava nedoločenega izraza $ s po¬ močjo diferencijalnega kvocijenta. Ako dobi funkcija y = za x — m nedoločno obliko ker je f(x) = 0 in (p(x ) = 0 za x = m, najdemo pravo vrednost funkcije, ako diferencujemo števec zase in imenovalec zase. Dokaz. Ako se števec in imenovalec funkciji y = —^ f( x _i_ \ x \ t ' ' j stalno izpreminjata, potem je y -f- Ay = ^ ali tudi y —j— Ay = ‘fl ~ ker je v našem slučaju za v 1 J cp(x -j- Ax) — y(xy a | ^ 196 x = m tako f(x) — 0 kakor cp {x) = 0. Ako števec in imenovalec delimo z Ax, dobimo: f(x -f- &x) — f(x) I . __Ar_ y y cp (x -|- \x) — cp ( x ) ‘ \x Če se bliža prirastek Ax ničli, stori isto tudi At/ in enačba dobi obliko df{x) __ dx _ f'(x) y a? |- — 1 za x = 0. (Pri¬ merjaj nalogo v začetku § 51.) 2. y — X — če je * — 0. S pomočjo dife- rencovanja pa dobiš y = 2sing — = = 1 za * = 0. 3- y = 1 = # m * = 1- Z diferenco- 3^2_ 2x _1 vanjem dobiš y — —f za x = 1, ako pa se enkrat diferencuješ, potem je y = = f za x = 1. § 52. Pojem o integralu. Diferencovati. Integrovati = integrieren. Integral „= das Integral. Integralni znak = das Integral- zeichen. I. Če poiščemo določeni funkciji y = f{x) diferenci- jalni kvocijent y' — f'(x) ali pa diferencijal y'dx = f\x)dx , pravimo, da diferencujemo določeno funkcijo. N. pr. Funkcija x 3 ima diferencijalni kvocijent 3x 2 in diferencijal 3 x 2 dx. Ako poiščemo obratno določenemu diferencijalnemu kvocijentu f'(x) ali pa določenemu diferencijalu f\x) dx 197 prvotno funkcijo /(#), pravimo, da integrujemo dolo¬ čeni diferencijalni kvocijent ali določeni diferencijal, v znakih ff'(x)dx — f(x). Znak / se imenuje integralni znak in se čita „integral“; prvotna funkcija f(x) se zove integral. Vsak integral ima to lastnost, da je njegov diferencijal enak izrazu, ki stoji pod integralnim znakom; torej je dJf'(x)dx — f\x)dx. Tako n. pr. pripada diferen- cijalu 3 x 2 dx integral x a ; kajti diferencijal funkcije x B je 3x 2 dx. Funkciji f(x) in f(x) -j- k se razlikujeta po stalni ko¬ ličini k in imata isti diferencijal f'{x)dx. Obratno smemo sklepati, da pripadata diferencijalu f'(x)dx integrala f(x) in f(x) -)- k. Ker je zadnji teh izrazov splošnejši in preide v prvega za k = 0 , ga smatramo navadno za zahtevani integral ter ga imenujemo obči ali nedoločeni inte¬ gral. Torej je vobče Jf'(x}dx = f(x) -Jr- k. 1 . 3. Naslednji nedoločeni integrali so posebno važni: /-£ YYl —j— 1 f dx — x -j- k ; 2. Jx m dx = -j—r -f- k • J i > j m _|_ i i > /sin x • dx — — cos x-\-k; 4. /cos x- dx = sin x k. O resničnosti teh integralov se prepričaš, ako jim poiščeš diferencijale ter primerjaš te diferencijale z izrazi pod integralnim znakom. Vsak stalni faktor dif er en cij ala se sme postaviti pred integralni znak, v znakih J kf(x)dx = k f f(x) dx. Integral algebrajske vsote najdeš, ako al- gebrajsko sešteješ integrale vseh sumandov, v znakih / [/(*) zh ( P t x )\ dx = / f( x ) dx +f

- - dx -’ / y t 1 — F ( x d — F (*») m) - Tx , y/ \ _ ^ (^w) ■ F(x n —i) HXn) ~ Tx ‘ Ako pomnožimo vsako teh enačb z diferencijalom dx ter seštejemo zneske, najdemo f(x 1 )dx-\-f(x^)dx-] r f(x s )dx...-i r f(x,)dx = F{x n ) — F{x^) ali krajše izraženo Xn Jf{x)dx = F(x n ) — F(x 1 ). Določeni integral funkcije f(x) med me¬ jama x 1 in x„ je enak F(x n ) — F(x x ), kjer pomeni F(x) nedoločeni integral funkcije f(x). Uporabne naloge. 1. Kolika je ploskev, ki leži med funkcij¬ sko črto y = \[ §x in abscisno osjo od x — 0 do a; = 6? Razrešitev. Po prejšnjih pojasnilih je zahtevana ploskev 6 6 _ — 6 1 p — Jydx = J\ 6x • dx = |/ 6 Jx 2 dx = = /S- [M = ^ _ o 3 - |.6 a = 24. 2. Kolika j e ploskev, katero oklepata sinu- sova črta y = sina: in abscisna os od x — 0 do x = n? Razrešitev. Primerjaj sinusovo črto v geometriji! n n n p == f ydx — f sin xdx = — [cos x\ o 'o o - — (cos n —- cos o) = -j- 2. 200 Slika II. 3. Določi prostornino krogle! Razrešitev. Ako položimo skoz središče določenega polukroga (slika II.) pravokotno soredje, velja med koor¬ dinatama (cc, ij) vsake točke polukrogovega oboda in med stalnico r enačba x 2 - j- y 2 = r 2 . Če zavrtimo polu- krog okoli pre¬ mera AB za 360°, nastane krogla. Pri tem vrtenju nariše vsaka po- lukrogova ordi¬ nata krožnico. Ako razdelimo premer AB = 2r na neizmerno veliko enakih delov ter napra¬ vimo skoz vsako razdelišče pre¬ sek, ki stoji pravokotno na AB, razpade krogla na neizmerno veliko valjastih plošč, katerih polumeri so zaporedne polukrogove ordinate in katerih višine so neizmerno majhne (= dx). Vsota vseh teh plošč tvori krogli no prostornino, to je v znakih + r -f- f V k — jy 2 tt‘dx == n f y 2 dx — jtf(r 2 — x 2 )dx = +>• — jv[r 2 x — -|-ai 3 ] = jr[r 3 —^r 3 -)-r 3 — -|-r 3 ] = ^r a jv. 201 VIL Postopice. § 53. Aritmetične postopice. Vsaka izmed številnih vrst: a) 2, 5, 8, 11, 14, 17 i. t. d., b) 36, 33f, 314, 284 i. t. d. ima lastnost, daje razlika po dveh zaporednih števil (prejšnje število vzeto za subtrahend) vedno ista. Vsaka taka šte¬ vilna vrsta se imenuje aritmetična postopica, njena posamezna števila se zovejo členi in sicer prvi, drugi, tretji... člen, in stalni razliki po dveh zaporednih členov se pravi postopična razlika. Če zaznamujemo z a 1: a. 2 , »g, «4 i. t. d. zaporedne člene, zapišemo pogoj za arit¬ metično postopico v znakih tako-le: 0 2 - $4 — Oq O 2 — Og — ... — d. Aritmetično postopico imenujemo rastočo (padajočo ali pojemajočo), če se njeni zaporedni členi večajo (manj¬ šajo). V prvem' slučaju je postopična razlika pozitivna, v drugem negativna. Primerjaj zgoraj navedeni postopici ter določi pri vsaki razliko! Vsak naslednji člen aritmetične postopice najdeš, ako prišteješ prejšnjemu členu razliko. Iz prvega člena izra¬ čunaš torej vse naslednje člene, ako prišteješ prvemu členu ponavljajoč razliko, t. j. v znakih O 2 — o x —j— d x o% = O 2 "j - d/ ■ - o x — j— 2 d x a t = a s — d - cz-l —j— 3 d, a n = czj —j— (n — 1) d. Izraz a n , = a x -j- (n — 1 )d se imenuje občni člen aritmetične postopice; on določa, kako izračunaš iz prvega člena in razlike katerikoli člen aritmetične po¬ stopice. Aritmetična po¬ stopica = arith- metische Reihe oder Progression. Pojasnila. Tvorbeni zakon aritmetične postopice. Občni člen arit¬ metične posto¬ pice. 202 Vsota aritme¬ tične postopice. Vriniti = inter- polieren. Ako odšteješ od zadnjega člena aritmetične postopice ponavljajoč razliko, najdeš zaporedoma vse prejšnje člene, t. j. v znakih Oj n —1 O n d , Oj n — 2 “— Oj fi 2 (I, Oj n — 3 Oj n 3 d, % = a„ — (n — 1) d. Ako izrazimo člene aritmetične postopice po zgoraj navedenih načinih, dobi vsota iz n členov obliko s n = «1 -j- («i + d) + {o -{- 2d) -j- ... -f- [% -j- (n — 1) d], ali pa s« = Oj, , —(— (o n — d) —J— (o n — 2d) —|— ... —j— [d, — (n — 1) d]. Če seštejemo te enačbi, najdemo 2 s n = (o^ — |— On) -j— (o-j -j— o „) —j— (cij —)— o n ) —(— ... n-krat in s„ = y(«! + a n ). Izraz s n = y(a 1 -)-a„) se imenuje vsota aritme¬ tične postopice; on določa, kako moreš iz prvega in zadnjega člena in iz števila členov izračunati vsoto. Ako je treba med določeni števili a in & postaviti (vriniti) n števil tako, da tvorijo vsa ta števila z a in b skupaj aritmetično postopico, morajo števila, katera iščeš, imeti obliko a-j-d, a 2 d, a -|- 3 d ,... a, nd , kjer je razlika d še neznana. Za členom a -\~ nd pride število b. za katero velja isti tvorbeni zakon ; torej je b — a -j- (n -j- 1) d. Iz te enačbe določiš razliko za arit¬ metično postopico in sicer je d ■ + 1 Naloge. 1. Prvi člen aritmetične postopice je — 5, razlika = 8 in vsota = 1463; koliko členov šteje postopica? 208 Razrešitev. Ako porabiš obrazca za občni člen in vsoto, dobiš enačbi a n = 5 -|- (m — 1)8 — — 3 -f- 8n in 1463 = y(5 + <*»), iz katerih najdeš po zamenjalnem na¬ činu n — 19. 2. Pri aritmetični postopici je produkt iz 7. in 15. člena = 630 in vsota med tema členoma ležečih členov znaša 185|; kolik je prvi člen in kolika razlika (kako se glasi postopica)? Razrešitev. Po pogoju naloge je a 7 • a 15 = 630 in a s -f- a 9 -j- a 10 -f-... -j- a u = 185|. Iz teh podatkov dobiš s pomočjo obrazca za občni člen dve enačbi z neznankama a ± in d. Potem najdeš a x — 5^, 47f- in d = -p 2j. 3. Vrini med 16 in 250 toliko členov, da dobiš aritmetično postopico z vsoto 1995. Ko¬ lika je razlika te pošto pice? Razrešitev, če se vrine n členov, šteje postopica (n + 2) člena; prvi člen je 16 in zadnji 250. Iz obrazca za vsoto najdeš n = 13. Členi postopice so: 16, 16 -f- d, 16 -j- 2d, ... 16 -j- 13 d, 250 = 16 + Ud. Iz pogoja 250 = = 16 -J— 14cž najdeš d = 16|. 4. Razdeli število 225 na več delov tako, da je vsak naslednji del za 2 večji od prej¬ šnjega in da je zadnji del = 29. Kolik je prvi del in koliko je delov? Razrešitev. Zahtevani deli tvorijo aritmetično posto¬ pico, pri kateri je razlika = 2, zadnji člen = 29 in vsota = 225. Obrazca za občni člen in vsoto dasta enačbi 29 = % -)- 2(w — 1) in 225 = + 29), iz katerih naj¬ deš 11 = 15 in a x = 1. 5. Štiri števila tvorijo aritmetično posto¬ pico; vsota vseh štirih števil je = 58 in vsota njihovih kvadratov = 966. Katera so števila? Razrešitev. Zahtevana števila so: x — 3 d, x — d, x -)- d, a? —(— 3 d. Iz pogojev naloge najdeš x = 14^ in d = + 2^. Števila, katera iščeš so: 7, 12,17, 22 ali obratno: 22, 17, 12, 7. Matek, Aritmetika. 15 r. 204 Geometrijska postopica = geometrische Reihe oder Pro- gression. Pojasnila. Tvorbeni zakon geometrijske postopice. 6. Koliko troštevilčnih celih števil je de¬ ljivih s 17, in kolika je njihova vsota? Razrešitev. Troštevilčna števila, ki so deljiva s 17, tvorijo aritmetično postopico, kateri je razlika 17. Oblika teh števil je 17w, kjer pomeni n neko celo število. Po pogoju naloge mora biti 100 < 17 m < 1000, torej ' < n < —p)- 2 - ali drugače izraženo 5ff < n < 58Iz zadnje neenačbe sledi, da more n vsako izmed vrednosti 6, 7, 8 ... 56, 57, 58 imeti. 53 števil torej zadostuje navedeni nalogi; prvo teh števil je 17- 6 = 102 in zadnje 17*58 = 986. Vsota vseh zahtevanih števil znaša s = -^(102 -f- 986) = 28832. § 54. Geometrijske postopice. Vsaka izmed številnih vrst: a) 3, 9, 27, 81, 243 i. t. d., 7,1 O 16 32 64 1 2 8 i + A 8 > —i X5) T3T5) fnnr '• >'• a - ima lastnost, da je kvocijent po dveh zaporednih števil (prejšnje število vzeto za divizor) vedno isti. Vsaka taka številna vrsta se imenuje geometrijska postopica, njena posamezna števila se zovejo členi in stalnemu kvo- cijentu po dveh zaporednih členov se pravi postopični kvocijent. Če zaznamujemo z a u a 2 , a 3 i. t. d. zaporedne člene, izrazimo pogoj za geometrijsko postopico v znakih tako-le: ^2 ^3 ^4 _ Cl± G>2 flg Geometrijsko postopico imenujemo rastočo (padajočo ali pojemajočo), če se njeni zaporedni členi večajo (manj¬ šajo) ; v prvem slučaju je postopični kvocijent večji od enote, v drugem pa pravi ulomek. Primerjaj zgoraj na¬ vedeni postopici ter določi pri vsaki kvocijent! Vsak naslednji člen geometrijske postopice najdeš, ako pomnožiš prejšnji člen s kvocijentom. Iz prvega člena 205 izračunaš torej vse naslednje člene, ako pomnožiš prvi člen ponavljajoč s kvocijentom, t. j. v znakih a 3 = a 2 k = a ± k 2 , a± = a s k — ajc 3 , a n = a-Jc"- 1 . Izraz a n = a-Jc n ~ 1 se imenuje občni člen geome¬ trijske postopice; on določa, kako izračunaš iz prvega člena in kvocijenta katerikoli člen geometrijske postopice. Vsota iz n členov geometrijske postopice je po na¬ vedenem Sfi — “J— ajc —|— cijc 2 —|— ... —j— ajc n b Če pomnožiš to enačbo s kvocijentom k , dobiš ks n = ajc -]- ajc 2 -j- ajc 3 —... —j— ajc". in ako odšteješ od te enačbe prvo, najdeš s n (k — 1) = a-Jc ”— a x in s„ = a ' ^ _ 1 — . Izraz s n = - se imenuje vsota geometrij¬ ske postopice; on določa, kako moreš iz prvega člena, kvocijenta in števila členov izračunati vsoto. Pri padajočih geometrijskih postopicali pojemajo (se manjšajo) zaporedni členi. Čim večje je število členov, tem bolj se bliža vrednost zadnjih členov ničli. Na isti način kakor zgoraj najdemo vsoto takih brezkončnih postopic in sicer s = a ± -f- ajc -)- ak 2 -(-... brez konca ) ks = ajc -\- ak 2 -j- ak 3 -(-. i s (1 — k) = a u torej s = 1 J odšteto Izraz s — določa vsoto padajočih brez¬ končnih geometrijskih postopic. Občni člen geometrijske postopice. Vsota geome¬ trijske postopice. * Vsota padajoče brezkončne geometrijske postopice. 15 * 206 Kako se med do¬ ločeni števili vrinejo novi členi. Ako je treba med določeni števili a in & vriniti n takih števil, ki tvorijo z a in b skupaj geometrijsko postopico, morajo števila, katera iščeš, imeti obliko ak, ak 2 , ak 3 , ... ak n , kjer pomeni k še neznani kvocijent geometrijske postopice. Za ak" pride število b, za katero velja isti tvorbeni zakon; torej je b — ak n + 1 . Iz te enačbe dobiš kvocijent za geo¬ metrijsko postopico in sicer je k Naloge. « 1. Določi vsoto naslednj e postopice : 1 3 Razrešitev. Ako urediš navedeno postopico tako-le: i_|_ i-Ll_L _L 2 , 2 , 2 | 3 ' 3 3 T35T-"T38T34T3eT"-! dobiš dve brezkončni geometrijski postopici, katerima se dasta vsoti določiti. 2. Vsota iz 1. in 3. člena geometrijske po¬ stopice je 9f in vsota iz 2. in 4. člena 14f; kako se glasi postopica? Razrešitev. Po pogoju naloge je + % = 9f in «2 + «4 = 14f. Če porabiš pri teh podatkih obrazec za občni člen ponav¬ ljajoč in razstaviš dobljena zneska na faktorje, najdeš «h(l + k 2 ) = ^ in (1 + & 2 ) = H 1 - Ako deliš zadnji enačbi eno z drugo, dobiš k = f. Potem najdeš % = 3. 3. Produkt iz 1. in 8. člena geometrijske postopice znaša 4374 in vsota iz 4. in 5. člena 135; kolika je vsota 8 členov? 207 Razrešitev. Po pogoju naloge je di • d 8 ■— 4374 in —j— d§ = 135. Ako porabiš obrazec za občni člen, dobiš a\W = 4374 in a x k 3 (1 -f k) = 135. če deliš kvadrat druge enačbe s prvo, najdeš kvadratno enačbo, iz katere dobiš k — f, Potem je a x = 16, 273f in s 8 = 788 4. Vsota treh števil, ki tvorijo geometrij¬ sko postopico, znaša 21; vsota njihovih kva¬ dratov je 189. Katera so števila? Razrešitev. Po pogoju naloge je <^1 -J— d 2 —j— = 21 in d~ —(— a 2 —[— d 3 = 189 ali drugače izraženo a^l-j-k-f-k 2 ) = 21 in a*(l -j- /fc 2 -f k*) = 189. Ako deliš kvadrat prve enačbe z drugo, najdeš obratno enačbo četrte stopnje, iz katere dobiš k = 2. Potem je a x = 12, 3. Zahtevana števila so: 12, 6, 3 ali 3, 6, 12. Druga razrešitev. Ako odšteješ od kvadrata prve enačbe drugo in dobljeni znesek deliš s prvo enačbo, naj¬ deš vrednost produkta a x k. Iz te vrednosti dobiš s pomočjo prve enačbe iste rezultate kakor zgoraj. 5. Prvi, drugi, peti in zadnji člen aritme¬ tične postopice tvorijo štiri zaporedne člene geometrijske postopice. če znaša vsota te četveročlenske postopice 80, kolika je vsota aritmetične postopice? Razrešitev, če tvorijo členi a, a d, a -f- 4d in «-{-(« — 1 )d aritmetične postopice štiri zaporedne člene geometrijske postopice, je a -j- d a-j-4%, naraste 100 K kapitala z obrestmi vred v 1 letu na (100 -f p) kron, 1 K kapitala torej na -®±-kron = (l + +) kron. Vrednost 1 + 4 = h na katero naraste kapitalova enota z obrestmi vred v 1 letu, imenujemo obrestovalni faktor. 209 Ker je vrednost kapitalove enote čez eno leto enaka k, Kak <> izračunaš ima kapital a čez 1 leto vrednost a, = ak, t. j. kapita- Ato¬ lov o vrednost čez 1 leto najdeš, ako pomnožiš čenem času. prvotni kapital z o b r e s t o v a 1 n i m faktorjem. Prvotni kapital za drugo leto je a t in naraste z obrestmi vred koncem tega leta na vrednost a 2 = a x k = ak 2 . Ka¬ pital tretjega leta je a 2 in dobi koncem tega leta vred¬ nost a 3 = a 2 k = ak 3 i. t. d. Čez n let ima torej kapital a vrednost a n = ak n . Enačba a n = ak n določuje vrednost kapi¬ tala, naloženega na obrestne obresti, čez ;«let. Iz te enačbe se da določiti tudi vsaka izmed količin a, k, n; iz pogoja za obrestovalni faktor k = 1^ najdeš procente. Kadar se obresti kapitalizujejo (pridenejo h ka¬ pitalu) poluletno, je obrestovalni faktor k = 1 + ^ in namesto n se postavi 2 n. Enačba a n = ak’ 1 ne velja samo za kapitale, naložene na obrestne obresti, temveč tudi za količine sploh, ki se večajo po stalnem razmerju kakor n. pr. prebivalci kake dežele, množina lesa v gozdu i. t. d. Ako naložiš v začetku ali koncem vsakega leta isti Kako izračunaš znesek r na obrestne obresti, najdeš vrednost vseh teh zneskov P o doio- zneskov v začetku, oziroma koncem n-tega leta tako-le. «enem času. Prvi znesek je naložen (n — 1) leto na obrestne obresti; vsak naslednji znesek pa 1 leto manj ko prejšnji. Torej je vrednost 1. zneska ob času zadnjega vplačila 11 2 . 3 . 11 11 v« v 11 11 11 11 11 = )-k n ~ 1 , = rk n ~ 2 , = rk n ~ 3 , „ (n 1). „ n 11 in vsota vrednosti vseh n zneskov je = r(l + k + k 2 + ...-\-k«- 2 + k”-') ali skrčeno po pravilu prejšnjega paragrafa k n — 1 n = r S k — 1 ‘ 210 fon _ \ Enačba s„ = r k ~ y določuje vrednostvseh skoz nlet vplačanih zneskov r in sicer ob času zadnjega vplačila. Iz te enačbe se dasta do¬ ločiti tudi količini r in m; z ozirom na količino k se ne da enačba razrešiti na tej stopnji. Na obrestne obresti naloženi kapital a, ki se koncem vsakega leta poveča, oziroma zmanjša za znesek r, ima po zgoraj navedenem na koncu n-tega leta vrednost b = ak n + - ~ . K — 1 Iz te enačbe moreš določiti tudi količine a, r in n. Renta = die Rente. Enačbi za rente. Znesek, ki se komu skoz nekatera leta izplačuje, se imenuje renta. Renta je ali vsako leto enako velika (stalna) ali včasih tudi po določenem zakonu izpremenljiva; izplačuje se navadno koncem (redkokdaj v začetku) vsa¬ kega leta, oziroma poluletja. Renta se mora kupiti, t. j. za rento se mora poprej neka vsota (vloga) ali enkrat ali ob določenih obrokih plačati. Pri vsaki renti je važna njena gotova vrednost, t. j. tisti znesek, ki bi se moral v začetku onega leta, v katerem se prvokrat izplača renta, zanjo plačati. Ako naložiš gotovo vrednost (a) rente na obrestne obresti, dobiš za časa zadnje rente isti znesek, kakor če bi naložil vsako rento r takoj, ko jo dobiš, na obrestne obresti, t. j. v znakih Iz te enačbe se da izračunati vsaka izmed količin a , r in n. Ce bi se renta dobivala skoz n let in sicer v začetku vsakega leta, bi zanjo veljala ta-le enačba ak n ~ x = r ~ 1 . k — 1 Vrednosti določenih kapitalov, ki jih je treba izplačati ob različnih obrokih, se dado med seboj primerjati le po njih gotovih vrednostih ali po tistih končnih vrednostih, katere dohijo posamezni kapitali za časa zadnjega obroka, ki se jemlje v poštev v dotičnem slučaju. 211 Naloge. 1. Sedanji vrednosti dveh kapitalov se raz¬ likujeta za 1000 K. Večji kapital je naložen po 4%, manjši po 4^%; čez 20 let bo prvi kapital dvakrat tolik ko drugi. Kolik je vsak kapital? Razrešitev. Večji kapital je x, manjši x — 1000. Vrednosti teh kapitalov čez 20 let sta x • l - 04 20 in (x — 1000) • 1-045 20 . Po pogoju naloge je *■ D04 20 = 2(x — 1000) • 1'045 20 . Iz te enačbe najdeš x = 2 jr| TQ | j o — 1831 • 92 K. 2. Kapital 3000 Kje 15 let in sicer v začetku po 5%, pozneje po 4% naložen na obrestne obresti in naraste v tem času na 58327 K; ko¬ liko časa je bil naložen po 5%? Razrešitev. Kapital je wlet po 5% in (15 — n) let po 4% naložen. Iz enačbe 58327 = 30000 • 1‘05“ • l , 04 15-n najdeš n log 58327 — log 30000 — 15 log 1-04 logi'05 — logi'04 = 8 let. 3. Nekdo si izposodi 2400 K po 3|% in posodi ta denar drugemu po 5%; koliko ima dobička v 9 letih? Razrešitev. Dobiček znaša vsako leto 1|% 0< i kapitala 2400 K, t. j. 36 K. Ti zneski se obrestujejo po 5% in na¬ rastejo v 9 letih na s 9 = 36 • 10 n 5 'r 1 = 396-98 K. J 0-05 4. Od nekega dolga se plača koncem vsa¬ kega leta 250 K. Če znaša dolg čez 15 let še 1300 K in se obresti računaj o po 4|%, o) kolik je bil prvotni dolguj čez koliko let bi bil dolg popolnoma poravnan? Razrešitev, a) Iz enačbe a ■ 1-045« — 250 • 1 ' 0 q 5 ^ — = 1300 najdeš prvotni dolg a — 3356-85 K. 212 b) Iz enačbe 3356-85 • 1-045” = 250 • 1 0 04o naideš n — lo g 10000 ~ »°g 3957 ' 67 _ 2 i- 05 let najaes n log-1*045 t. j. dolg bo poravnan čez 21 let, ce bo zadnji obrok ne¬ koliko večji od prejšnjih. 5. Parni stroj velja 17.000 K, popravljalni stroški znašajo poprečno na leto 1160 K in vsakih 25 let je treba kupiti nov stroj. S ka¬ terim kapitalom se dado vsi ti stroški enkrat za vselej poravnati, če se je stroj ravno kupil in se obresti računajo po 4%? Razrešitev. Obrestne obresti dotičnega kapitala čez 25 let morajo biti enake kupni ceni parnega stroja, po¬ večani za oni znesek, na katerega narastejo popravljalni stroški v 25 letih, t. j. v znakih a • p 045 25 — a = 17000 4- 1160 • . 1 0-04 Iz te enačbe najdeš a = 39208-4 K. 6. Kdaj se plača 24000 K za rento 1000 K, ki se dobiva skoz 24 let, če se obresti računajo po 3f%? Razrešitev. Gotovi vrednosti rente in kapitala, ki se plača za rento, sta enaki. Torej veljata enačbi a • P0375 24 = a- 1-0375” = 1000 - 24000, 1'0375 24 _ l O-0375 iz katerih je treba gotovo vrednost a iztrebiti, najdeš 1-0375” = 0- 9-1-037524 1- 0375 24TT1 in n = 11-62 let. Potem 7. Koliko moraš skoz 20 let in sicer v za¬ četku vsakega leta vložiti pri zavarovalnem društvu, da dobivaš potem skoz 12 naslednjih let rento 600 K, če se računajo obresti po 4%? 213 Razrešitev. Gotova vrednost vseh vlog je enaka go¬ tovi vrednosti 12 letne rente. Torej veljata enačbi a • T04 19 == x • l-042o_i (Rji ’ a • T04 32 = 600 • 10412-1 0-04 • Ako iztrebiš iz teh enačb gotovo vrednost «, najdeš x 600 T0413 1-0412 — 1 1-0420 _ 1 = 181-85 K. Rente so lahko časovne ali pa dosmrtne. Časovne rente se izplačujejo določeno število let, dosmrtne rente pa se izplačujejo do smrti dotične osebe. Računi o dosmrtnih rentah se opirajo na verjetnost dolgosti živ¬ ljenja in so v knjigi uvrščeni vsled tega za računi o ver¬ jetnosti. ¥111. Sestavbe ali kombinacije. Določene stvari ali določena znamenja sestavljamo ali kombinujemo (v širšem pomenu besede), ako jih pravilno uredimo, oziroma razporedimo, ali ako napra¬ vimo iz njih oddelke, ki ustrezajo določenim pogojem. Stvari ali znamenja, ki se kombinujejo, se zovejo pr veki ali elementi, vsak spoj več elementov pa se imenuje skupina ali ko m pleksij a. Posamezne elemente za¬ znamujemo ali s črkami ali s števili naravne številne vrste (s kazali) ali pa tudi tako, da si izberemo neko črko, kateri pridenemo kazala, n. pr. %, a 2 ? « 3 , « 4 ... Izmed dveh elementov je tisti višji (nižji), ki stoji pozneje (po¬ prej) v abecedi, ali ki ima večje (manjše) kazalo. Tako je n. pr. element 5 višji od elementa 3 in element c nižji od elementa d. Izmed dveh skupin je tista višja, v kateri najdeš od leve proti desni poprej višji element, n. pr. sku¬ pina adbc je višja od skupine acbd. Najnižja skupina je tista, v kateri ni višjega elementa pred nižjim, najvišja pa tista, v kateri ni nižjega elementa pred višjim. V najnižji skupini so elementi naravno urejeni od najnižjega do naj¬ višjega, v najvišji skupini pa sledijo elementi drug dru¬ gemu v obratnem redu. Tako je n. pr. obede naj nižja in edeba najvišja skupina. Sestavljati = kombinieren. Sestavba = die Kombination. Prvek = das Element. Skupina = die Komplexion. Kazalo = der Zeiger oder Index. Pojasnila. 214 Premeščati = permutieren. Premeščaj = die Permutation. Kako se tvorijo premeščaji in ko¬ liko je njih šte¬ vilo iz določenih elementov. § 56. Permutacije. Ako prestavljamo določene elemente na vse mogoče načine in sicer tako, da se nahajajo v vsaki skupini vsi elementi, pravimo, da premeščamo elemente. Posamezne skupine se imenujejo premeščaji ali permutacije. Šte¬ vilo premeščajev iz n elementov zaznamujemo z znakom P n . En element ima samo en premeščaj, v znakih P* = 1. Dva elementa a in b imata dva premeščaja in sicer ab in ba, v znakih P 2 = 2 = 1 • 2. Premeščaje iz treh elementov a , 6, c stvorimo, ako združimo element a s premeščajema elementov b in c, potem element b s premeščajema elementov a in c, končno element c s premeščajema elementov a in b , t. j. abc, acb, bac , bca , cab , cba. Število premeščajev je v tem slučaju: P s = 3 • P 2 = 1 • 2 • 3. Premeščaje iz štirih elementov a, b, c, d stvorimo, ako združimo najprej element a s premeščaji ostalih ele¬ mentov b, c in d, potem element b s premeščaji ostalih elementov a, c in d, nadalje element c s premeščaji ostalih elementov a, b in d, končno element d s premeščaji ostalih elementov a, b in c, t. j. ščajev v teh slučajih je določeno po izrazih P 5 = 5 • P 4 = 1 • 2 • 3 • 4 • 5, Pc = 6 • P 5 = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 - 6, P n = n • P„_ 1 = 1 • 2 • 3 • 4 • ... n. 215 Za produkt 1 • 2 • 3 • 4 •... (m — 1) • n rabimo znamenje n! in ga čitamo faktorjelni n. Torej je P„ = 1-2-3 •... n = n! Število premeščajev iz določenih elemen¬ tov je enako produktu naravnih števil od 1 do števila, katero pove, koliko je elementov. Iz zgoraj navedenega izvajamo, da najdemo vse pre- meščaje določenih elementov po tem-le pravilu. Ako zapišeš elemente v naravnem redu od najnižjega do najvišjega, stvoriš najnižji premeščaj. Iz vsakega prejšnjega preme- ščaja najdeš naslednji višji premeščaj, ako greš v zadnjem premeščaju od desne proti levi, dokler ne prideš do ele¬ menta, na čigar mesto je moči postaviti višji element izmed onih, ki mu sledijo na desni; ta element zapišeš na dotično mesto; elementi pred njim ostanejo nespre¬ menjeni, ostali pa pridejo za njim v naravnem redu. Ako se nahaja med določenimi elementi več enakih, postopaš pri tvorjenju vseh mogočih premeščajev istotako, kakor če so vsi elementi različni. N. pr. Ako se nahaja med določenimi n elementi p enakih, določiš število vseh mogočih in med seboj različnih pre¬ meščajev tako-le. Pridenemo li enakim p elementom kazala (t. j. pri zgoraj navedenem primeru b u b 2 . b 3 ), postanejo vsi elementi različni in število premeščajev je potem do¬ ločeno po izrazu n!. Če razvrstimo vse te premeščaje v oddelke tako, da se premeščaji vsakega oddelka razločujejo med seboj samo po različnih razporedbah elementov s kazali (n. pr. ab^b^bg, ab t cb 3 b 2 , ab 2 cb ± b 3 , ab 2 cb 3 b l5 ab^b^^ ab 3 cb 2 bi), dobimo v vsakem oddelku po toliko premeščajev, kolikor jih dado elementi s kazali, v znakih p!, in oddelkov je toliko, kolikorkrat se nahajajo premeščaji enega oddelka v vseh premeščajih, t. j. v znakih n!’.p!. Ako izpustimo potem kazala (smatramo elemente s kazali za enake), do- 216 bimo v vsakem oddelku po en premeščaj, in število vseh različnih premeščajev se ujema s številom vseh oddelkov. Število premeščaj ev iz n elementov, med katerimi je p enakih, je torej ^. Ako se nahaja med n elementi p enakih in izmed ostalih zopet r enakih elementov, najdemo na isti način kakor zgoraj, da je število vseh različnih premeščajev določeno po izrazu ni 1•2 • 3 • 4 ■ ... n p Ir! 1 • 2 • 3 • . . . p • 1 • 2 • 3 • . . . r' Naloge. 1. Koliko četveroštevilčnih števil moreš iz elementov 3, 0, 7, 4 napraviti tako, da se nahajajo v vsakem premeščaju vsi ti elementi? Razrešitev. Ker ne moreš pri zahtevanih četverošte¬ vilčnih številih elementa 0 postaviti na najvišje mesto, dobiš povsem tri skupine števil, izmed katerih ima prva element 3, druga element 4 in tretja element 7 na naj¬ višjem mestu. Vseh teh števil je 3 krat P 3 = 3*3! = 18. 2. Kolika je vsota vseh četveroštevilčnih števil stvorjenih iz elementov 1, 2, 3, 4 in sicer tako, da se nahajajo v vsakem številu vsi na¬ vedeni elementi? Razrešitev. Element 4 more oziroma na mestu enic, desetic, stotič in tisočic stati tolikokrat, kolikor preme¬ ščajev je mogočih iz ostalih elementov, t. j. P 3 = 3! = 6. Množina enot, katere izražamo z elementom 4, je torej 6 • 4 + 6 • 40 -j- 6 • 400 -f 6 • 4000 = 26664. Na isti način najdemo, da predočujemo z elementi 3, 2, 1 oziroma 19998, 13332, 6666 enot. Vsota števil stvorjenih iz elementov 1, 2, 3, 4 znaša 66660. 3. Koliki premeščaj je cdaeb od obede ? Razrešitev. Premeščaj cdaeb ima tretji element c na prvem mestu in se nahaja zato v tretji skupini. Pred to skupino sta še dve, vsaka po 24 premeščajev. Prvi pre¬ meščaj tretje skupine je torej 49. in ima element a na 217 drugem mestu. Takih premeščajev je 6; potem sledi 6 pre¬ meščajev z elementom b na drugem mestu; sedaj se začnejo premeščaji z elementom d na drugem mestu in drugi pre¬ meščaj izmed teh zadnjih je v nalogi naveden. To da skupaj 62 premeščajev. § 57. Kombinacije. Določene elemente sestavljamo ali kombinujemo, ako napravimo iz njih vse mogoče skupine po dva, po tri, po štiri ... elemente tako, da niso v dveh skupinah isti ele¬ menti. Skupine po dva elementa se zovejo ambe ali dvo¬ jice ali kombinacije drugega razreda, skupine po tri elemente so terne ali trojice ali kombinacije tretjega razreda, skupine po štiri elemente se ime¬ nujejo kvaterne ali četverice ali kombinacije četrtega razreda, skupine po pet elementov so kvin- terne ali peterice ali kombinacije petega raz¬ reda i. t. d. Elementi se smejo smatrati za kombinacije prvega razreda in se zovejo potem unije ali samice. Kombinacije so dvojne: a) brez ponavljanja, b) s po¬ navljanjem ; pri prvih sme imeti skupina en in isti element le enkrat, pri drugih tudi večkrat. Število vseh mogočih kom¬ binacij r-tega razreda brez ponavljanja, oziroma s ponav¬ ljanjem iz n elementov zaznamujemo s K’ n oziroma s k?’’ I. Iz n določenih elementov stvorimo vse ambe brez ponavljanja, ako združimo vsak element z vsakim višjim elementom. N. pr. iz elementov a, b , c, d dobimo te-le ambe: ub, ac , ad, bc, bd , cd. Vse mogoče ambe in sicer vsako po dvakrat bi pa tudi dobili, če bi združili vsak element z vsakim izmed ostalih elementov; zakaj ako združimo ele¬ menta b in d med seboj, dobimo ambi bd in db , ki sta enaki. Število vseh različnih amb iz n elementov je torej T t 2 _ n (n — 1 ) _ n (n — 1 ) _ (n\ » — 2 — 1-2 — V2/ ' Iz n določenih elementov stvorimo vse terne, ako na¬ pravimo iz teh elementov najprej vse ambe brez ponav¬ ljanja in potem združimo vsako ambo z vsakim višjim elementom, katerega ni v ambi. N. pr. Iz elementov a, b, Kombinacija == die Kombination, Kako stvorimo iz določenih ele¬ mentov kombi¬ nacije brez po¬ navljanja in kako določimo njih število. 218 c, d dobimo te-le terne: abc , abd, acd, bed. Vse mogoče terne in sicer vsako terno po trikrat bi pa tudi dobili, če bi združili vsako ambo z vsakim elementom, katerega ni v ambi; zakaj ako združimo n. pr. ambe ab, ac, bc ozi¬ roma z elementi c, b, a, dobimo terne abc, acb, bca, ki so enake med seboj. Število vseh različnih tern brez ponav¬ ljanja iz n elementov je torej jr 3 Jj2 _ n — 2 n (n — 1 )(« — 2 ) /n\ » n’ 3 1-2-3 \3/ ' Iz n določenih elementov stvorimo vse kvaterne brez ponavljanja, ako napravimo iz teh elementov najprej vse ambe in terne brez ponavljanja in potem združimo vsako terno z vsakim višjim elementom, katerega ni v terni. N. pr. Iz elementov a, b, c, d najdemo to-le kvaterno: abed. Vse mogoče kvaterne in sicer vsako kvaterno po štirikrat bi pa tudi dobili, če bi združili vsako terno z vsakim ele¬ mentom, katerega ni v terni; zakaj če združimo n. pr. terne: abc, abd, acd , bed oziroma z elemeti d, c, b, a, najdemo kva¬ terne abed, abde, aedb, beda , ki so enake med seboj. Šte¬ vilo vseh različnih kvatern brez ponavljanja iz n elementov je torej r ^ri n — 3 n(n — 1 ){n — 2)(m — 3) ( n\ — K n 4 — 1-2-3-4 U/' Na isti način, kakor smo stvorili kombinacije tretjega in četrtega razreda ter določili njih število, stvorimo tudi kombinacije višjih razredov ter določimo njih število. Šte¬ vilo vseh kombinacij r-tega razreda brez ponavljanja iz n elementov je torej n(n — 1 ) (n — 2) ... (n —■ r -j- 1 ) IT273... r Znamenje se čita „w nad r u in je po obliki ne¬ pravi ulomek, katerega števec in imenovalec imata isto- toliko faktorjev; prvi faktor v števcu je enak številu vseh elementov, vsak naslednji pa je za 1 manjši od prejšnjega; faktorji v imenovalcu so števila naravne številne vrste od 1 do tistega števila, ki izraža red kombinacije (pove, koliko elementov je v kombinaciji). 219 II. Iz n določenih elementov stvorimo vse ambe s ponavljanjem, ako združimo vsak element s samim seboj in z vsakim višjim elementom. N. pr. Iz elementov a, 5, c, d dobimo te-le ambe: aa, ab , ac, ad , bb , ž>c, M, cc, cd , fM. Število vseh amb s ponavljanjem iz re elementov naj¬ demo tako-le. Če bi združili vsak element s samim seboj in z vsemi določenimi elementi, bi dobili vsako ambo po dvakrat. Število vseh različnih amb s ponavljanjem je torej jsP, 2 __ n [n -p 1) » — 1 • 2 ' Iz n določenih elementov stvorimo vse terne s po¬ navljanjem, ako napravimo iz teh elementov najprej vse ambe s ponavljanjem in potem združimo vsako ambo z najvišjim elementom, ki se nahaja v ambi, in še z vsakim višjim elementom, katerega ni v ambi. N. pr. Iz elementov a, b , c, d dobimo te-le terne: aaa, aab, aac, aad , abb , abc , abd, acc , acrf, add, bbb , Mc, &M, Mc, Meč, Meč, ccc, ce:eč, cdd , ečečtč. Število vseh tern s ponavljanjem najdemo tako-le. Če bi združili vsako ambo najprej z elementoma, ki se nahajata v dotični ambi, in potem še z vsemi določenimi elementi, bi dobili vsako terno po trikrat. Število vseh različnih tern s ponavljanjem je torej K p, n n (n —{— 1) («■ —f— 2) 1 - 2-3 Iz določenih elementov stvorimo vse kvaterne s po¬ navljanjem, ako napravimo iz teh elementov najprej vse ambe in terne s ponavljanjem in potem združimo vsako terno z najvišjim elementom, ki se nahaja v dotični terni, in še z vsakim višjim elementom, katerega ni v terni. N. pr. Iz elementov a, b , c, d dobimo te-le kvaterne: aaaa, aaab y aaac , aaad , aabb, aabc, aabd , aacc, aacd , aadd , abbb , abbc, abbd , a&cc, ez&ccč, aMeč, accc, accd , accW, addd, bbbb , bbbc, MM, Mcc, bbcd, bbdd , Mce, bccd , bcdd, bddd , cccc, ccM, ccdd, cddd, dddd. Število vseh kvatern s ponavljanjem najdemo tako-le: če bi združili vsako terno najprej z ele¬ menti, ki se nahajajo v dotični terni, in potem še z vsemi Matek, Aritmetika. 16 r * Kako stvorimo iz določenih ele¬ mentov kombi¬ nacije s ponav¬ ljanjem in kako določimo njih število. 220 določenimi elementi, bi dobili vsako kvaterno po štirikrat. Število vseh različnih kvatern s ponavljanjem je torej jy-p, i jrv, 3 w -j- 3 n (n —j — 1) (« -j- 2) [n -j- 3) » 4 1 • 2 • 3 • 4 Na isti način, kakor smo stvorili kombinacije tretjega in četrtega razreda s ponavljanjem ter določili njih število, stvorimo tudi kombinacije višjih razredov s ponavljanjem ter določimo njih število. Število vseh kombinacij r-tega razreda s ponavljanjem iz n elementov je torej T7-P, r _ »(ll-fl)(» 4 - 2 )...(» 4 -I-— 1 ) » — 1 • 2 • 3 . . . r Iz navedenega je razvidno, da se število vseh kombinacij kateregakoli razreda s ponavljanjem razločuje od števila vseh kombinacij istega razreda brez ponavljanja le v tem, da pri prvih kombinacijah zaporedni faktorji v števcu za 1 rastejo, pri drugih pa za 1 pojemajo. Naloge. 1. V koliko točkah se seče n premic, a) če j e p vzporednih, b) če jih grejo skoz isto točko? Razrešitev, a) ‘n premic določuje toliko presečišč, ko¬ likor amb brez ponavljanja moreš napraviti iz n premic. Vzporedne premice se sečejo v neskončni daljavi; p vzpo¬ rednih premic ima presečišč v neskončni daljavi. V naši nalogi je torej — (g) točk določenih. — b) Ker se presečišča p premic stikajo v eni točki, je v tem slučaju rezultat = (”)— (|) + 1. 2. Na koliko načinov moreš 12 kart med tri osebe tako razdeliti, da dobi prva po 3, druga po 4 in tretja po 5 kart? Razrešitev. Prva oseba dobi vse kombinacije tretjega razreda brez ponavljanja, t. j. v znakih K* 2 = (g 2 ) == 220. Pri vsaki teh kombinacij ostane še 9 kart, katere je treba kot kombinacije četrtega, oziroma petega razreda brez ponavljanja (K* = K“ = 126) razdeliti med drugo in tretjo osebo. Torej odgovarja vsaki izmed 220 razdelitev za prvo osebo po 126 razdelitev za drugo in tretjo osebo. 221 3. Pri kolikih elementih se razlikujeta števili tern s p o n a v 1 j an j e m in brez ponav¬ ljanja za 36? Razrešitev. Iz pogoja naloge K *' 3 — K* = 36 naj¬ deš a = 6. § 58. Premene. Določene elemente premenjavamo, ako napravimo iz njih vse mogoče skupine po dva, po tri, po štiri... ele¬ mente, in sicer tako, da smejo nekatere skupine imeti iste elemente, toda v različnem redu. Skupine po dva elementa se zoveje premene (variacije) drugega razreda, sku¬ pine po tri elemente so premene (variacije) tretjega razreda i. t. d. Ako se v premenah ne sme, oziroma sme ponavljati en in isti element, se imenujejo premene brez ponavljanja, oziroma s ponavljanjem. Število vseh mogočih premen (variacij) r-tega razreda brez ponavljanja, oziroma s ponavljanjem iz n elementov zaznamujemo z P’’, ozi¬ roma z V p ’ n Ako napravimo iz določenih elementov vse mogoče kombinacije brez ponavljanja in premestimo elemente vsake kombinacije, dobimo vse mogoče premene. Premene r-tega razreda brez ponavljanja so torej premeščane kombinacije r-tega razreda brez ponavljanja in njih število je izraženo z K = O • r / = n ( n — 1) (n — 2) •••(« — r -j- 1). Iz določenih elementov stvoriš premene brez ponav¬ ljanja tudi tako-le: Ako združiš vsak element z vsakim drugim elementom, stvoriš premene drugega razreda. Pre¬ mene tretjega razreda najdeš, ako združiš vsako premeno drugega razreda z vsakim elementom, katerega ni v do- tični premeni. Premene višjih razredov brez ponavljanja stvoriš na isti način kakor premene tretjega razreda. Iz n določenih elementov stvoriš premene s po¬ navljanjem tako-le: Ako združiš vsak element z vsa¬ kim določenim elementom, dobiš premene drugega raz¬ reda s ponavljanjem; njih število je V p ’ 2 = n - n = n 2 . Premene tretjega razreda s ponavljanjem najdeš, ako Premena die Variation. Kako stvorimo iz določenih ele¬ mentov premene brez ponavljanja in kako določimo njih število. Kako stvorimo iz določenih ele¬ mentov premene s ponavljanjem in kako določimo njih število 16 * 222 Kako se množijo binoini, ki se ujemajo v prvih členih. združiš vsako premeno drugega razreda z vsakim dolo¬ čenim elementom; njih število je V*’ 3 = n 2 • n = n 3 . Pre¬ mene višjih razredov s ponavljanjem stvoriš na isti način kakor premene tretjega razreda. Število vseh premen r-tega razreda s ponavljanjem iz n elementov je torej V*' r = n\ n Naloge. 1. Koliko je četveroštevilčnih števil, v katerih se a) nobena številka ne ponavlja, b) se številke ponavljajo? Razrešitev. Četveroštevilčna števila so premene če¬ trtega razreda brez ponavljanja (s ponavljanjem) iz 10 šte¬ vilnih znakov, samo da se ne dado rabiti tiste premene, ki imajo element 0 na najvišjem mestu. Takih premen pa je toliko, kolikor je mogočih premen tretjega razreda brez ponavljanja (s ponavljanjem) iz 9 (10) številnih znakov. a) ( 1 4 °).41 — (D -3! = 4536. b) 10* — 10 3 = 9000. 2. Ploskve kock za igro so zaznamovane s pikami od 1 do 6. Kateri meti s tremi koc¬ kami dado vsoto 16? Razrešitev. Vsi različni meti s tremi kockami tvorijo premene tretjega razreda s ponavljanjem. Izmed teh metov so v našem slučaju porabni samo tisti, ki dado vsoto 16, to sta meta 6 —j— 6 —(— 4 in 6 —J— 5 —{— 5 (ali krajše zazna¬ movano : 664, 655) in vsi njiju premeščaji. Nalogi zadostu¬ jejo torej meti:466, 646, 664, 556, 565, 655. § 59. Binomske potence. Ako hočemo najti pravilo, kako se vzmnožujejo binomi, je treba več takih binomov, ki se ujemajo v prvih členih, zaporedoma pomnožiti drugega z drugim in dobljene produkte primerjati med seboj. N. pr. (x -f- a) (x -|- b) = x 2 -(- (a -j— &) a; -|— ab. (x -f- a) (x -|- b) (x -f- c) = x 3 -j- (a -f- b ~ c)x 2 -j- —j— {(ib —j— (ic —j— &c) x —j— uho. 223 ( x + «)(* + h )( x + c )( x + d ) = xiJ r (« + 6 + c -j- d)x B -f —{— ( ob -j— oc —j— od —j— bc —j— bd — {— cd j x 2 —j— -(- (obe -)- abd -j- acd -j- bcd)x -)- obed. i. t. d. Iz navedenih primerov vidimo: a) Prvi člen vsakega produkta je tolika potenca od x , kolikor binomov se je pomnožilo ; v naslednjih členih se manjšajo potence od x po enoti; v zadnjem členu ni no¬ bene potence od x, t. j. x°. b) Koeficient prvega člena je 1; koeficient drugega, tretjega, četrtega . . . člena je oziroma vsota vseh kom¬ binacij prvega, drugega, tretjega . .. razreda brez ponav¬ ljanja iz drugih binomskih členov in sicer vsaka kombi¬ nacija vzeta kakor produkt tistih elementov, ki se na¬ hajajo v njej. c) Število produktovih členov je za 1 večje od šte¬ vila binomskih faktorjev. Ce se binomi, katere je treba pomnožiti, ne uje- Kako se vzmno- majo samo v prvih, ampak tudi v drugih členih, torej "" K '° a = b = c — d — se navedeni primeri spremenijo v (x -}- a ) 2 = x 2 -j- ^ ax -)- a 2 . (ar -J -a ) 3 — x 3 ax 2 (<>) a%£ ~\~ 1,3 ■ (x -j- ay = x i -\- ax 3 -j- (?) « 2 * 2 -j- (3) a 3 x -j- a*. (x + a)" = ar” -j- (”) aar w ~ 1 -|- + g) a 3 a — 3 + + ••• + (.* 3 )»- v +(,” 2)«—‘* ! + + (, ” 1) «—'* + »■■ Zadnja enačba izraža pravilo, po katerem se vzmno- žujejo binomi. V tem pravilu je: 1. Ako vzmnožiš binom s številom n, dobiš (n -(- 1) člen. Potence prvega binomskega člena padajo od n do 0, potence drugega binomskega člena pa rastejo od 0 do n. V vsakem členu je vsota potenčnih eksponentov enaka n. 224 Binomski koefi¬ cient — der Binomial- koeffizient. 2. Koeficienta prvega in zadnjega člena sta enaka enoti. Koeficienta srednjih členov (binomski koeficienti) imajo vobče obliko zgornje kazalo n je stalno, spodnje kazalo r pa se izpreminja in se ujema z eksponentom drugega binomskega člena. 3. Ako je drugi člen a negativen, se smatra binom za algebrajsko vsoto, v znakih x — a = x -f- (— a), in potem se vzmnožuje po zgoraj navedenem obrazcu. Če zaznamujemo koeficient prvega člena z in koeficient zadnjega člena z pripadajo n-ti potenci na¬ slednji binomski koeficienti: ( n \ /n\ /n \ (n \ / n \ / n \ / O/j \l/5 \2/5 \3/*••— 3/5 \» — 2/5 \n Lastnosti binomskih koeficientov so: Lastnosti binomskih koeficientov. a) Po dva binomska koeficienta, ki sta v zgoraj navedeni vrsti enako oddaljena od za¬ četka in konca, sta enaka. Zakaj iz n (n — 1) 1-2-3 (» — r -|- 1) r (n — r)! n! (h — r)! r!(n — r)! n (n — 1) . . . (r -j- 1) rl 1-2-3 ... (n — r) rl n! (n — r) fr! sledi, da je (”) = ( n 1 r ). V b) Vsota dveh zaporednih binomskih koefi¬ cientov neke potence da binomski koeficient naslednje višje potence. Zakaj ako seštejemo izraza najdemo (*) + ( ( n (n — 1 ) r) — 1-2- (4t) . . (n — r -(- 1) 3 - 1 ) — r) n r -\- 1 ) 1-2-3 n (n — 1) . . . . . (r + 1) {n — r + 1 ) 1-2-3 [n -J- 1) n (n — 1) ... (n D 1-2-3 (r+1) b+4i) = (n + 1\ = V -h l) ■ 225 S pomočjo te lastnosti se dado iz binomskih koefi¬ cientov neke potence izračunati binomski koeficienti na¬ slednje višje potence in sicer je 1 1 1 1 2 1 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 ~ “16 5 1 i. t. d. c) Absolutna vsota vseh binomskih koefi¬ cientov določene potence je = 2 n . Zakaj ako po¬ stavimo v izrazu (oc -|- a) n in njegovemu rezultatu x — a — 1, dobimo a* = (;)+(?)+(?)+• ■ •+(,, ” i )+(, -1)+(;)■ c^Algebrajska vsota vseh binomski h koefi¬ cientov, ki zaporedoma menjavajo predznak, je pri vsaki potenci = 0. Zakaj ako postavimo v izrazu (x — a) n in njegovem rezultatu x = a = 1, dobimo 0 = (S) - (?) + (5) - (S) + ••■ + (- D- (?) ■ Paskalov tri¬ kotnik — Pascalsches Dreieck. l. 2 3. Naloge. (2 a — 3 by = (2 o)* + (J) (2 a) 3 (— 36) + (|) (2 a) 2 (— 3 6) 2 + + (f)2a(— 36)® if- (_ 31)* = 16a 4 — 96a 3 6 + 216a 2 6 2 — — 216a6 3 + 816 4 . Šesti člen od (f — |)° J e = (^(f) (—|) = 7 — UT' ( 3x 2 5 a 2 \i 2 ~ha — 3z) ^istl Člen, V katerem se nahaja x 9 ! Razrešitev. Iz da mora biti 24 — 3r = 9; torej je r /12\/3» 2 W 5 7128«’*» •l e = UMgJ V lix) = l 2 )x 24 - 3r sledi, 5. Zahtevani člen 25 226 IX. Matematična verjetnost. 60. Absolutna in relativna verjetnost. Matematična verjetnost — mathematische Wahrscheinlich- keit. Absolutna verjet¬ nost = absolute VVahrscheinlich- keit. O verjetnosti kakega dogodka govorimo v mnogih oblikah. Dogodek je lahko mogoč ali nemogoč, verjeten ali neverjeten, malo verjeten ali zelo verjeten ali tudi gotov. O matematični verjetnosti je mogoče govoriti le tedaj, ako so vsi dogodki, ki se primerjajo, istovredni, t. j. enako mogoči, enako verjetni. Tako n. pr. niso isto¬ vredni dogodki pri kockah, ki so na eni strani obtežene; pri kroglah razne velikosti ali teže; pri igralnih kartah, ki se na hrbtu poznajo; pri prosilcih za isto službo i. t. d. Matematična verjetnost je lahko dvojna: enostavna in sestavljena. Enostavna matematična verjetnost se zopet loči v absolutno in relativno. Matematični iz¬ raz za absolutno verjetnost kakega dogodka je razmerje med številom ugodnih in številom mogočih slučajev. Da je račun natančen, je treba vedeti vse ugodne in vse mogoče slučaje istega dogodka. Ako znači torej u število ugodnih, m število mogočih slu¬ čajev in v verjetnost dogodka, potem je U m * Pri tem je lahko u — 0 ali u <^m ali u ~ m. V prvem slučaju je dogodek nemogoč in v — 0 , v drugem slučaju je dogodek več ali manj verjeten in v 1, v tretjem slu¬ čaju pa je dogodek gotov in v — 1. Izraz za matema¬ tično gotovost je torej v = 1. Dogodek je malo ver¬ jeten, če je v << precej verjeten, če je v > in negotov, če je v = Verjetnosti nasprotna je neverjetnost. Ako znači kakor poprej m število mogočih in u število ugodnih slu¬ čajev, potem je m — u število neugodnih slučajev. Matema¬ tična verjetnost, da se dogodek ne primeri, je i\ = ——- = U ^ = 1 — — = 1 — v. Iz enačbe = 1 — v pa sledi v 1 -j- v — 1, t. j. vsota matematične verjetnosti in neverjetnosti je enaka gotovosti. 227 Naloge. 1. V vrečici so enake pločice z loterijskimi števili od 1 do 90. Kolika je verjetnost, da po¬ tegneš enoštevilčno število? Razrešitev. Enoštevilčnih števil je devet, dvoštevilčnili pa 81 (od 10 do 90). Verjetnost v = ~ = ^ to se pravi: v desetih slučajih potegneš povprečno le enkrat enoštevilčno število. 2. Dve kocki imata svoje ploskve zaznamo¬ vane s pikami 1 do 6. Kolika je verjetnost, da dobiš pri enem metu obeh kock skupno 8 pik? Razrešitev. Vsota pik obeh kock je najmanj 2 in naj¬ več 12, enako mogoče pa so tudi vsote med 2 in 12. Vsoto 8 dobiš v sledečih slučajih: 2 —j— 6, 6-(-2, 3-j-5, 5 -j- 3, 4 -f- 4. Ugodnih slučajev je torej 5, mogočih pa je 6 • 6 = 36, ker se lahko vsaka ploskev ene kocke zveže z vsako plosk¬ vijo druge kocke, v = 3. Vneki žari je 9 belih, 8 rdečih in 5 mo¬ drih krogel. Kolika je verjetnost, da ne po¬ tegneš bele krogle? Razrešitev I. Za belo kroglo neugodnih slučajev je 1 3 8 —j— 5 = 13, vseh mogočih pa je 9 -f- 8 -f- 5 = 22. v = 2 - 9 . Razrešitev II. Verjetnost, da potegneš belo kroglo, 9 je v = hh, in verjetnost, da je ne potegneš, je = _ . _ _ _9 _ 13 — 1 ® — 1 22 ~~ 22 * Ako primerjamo verjetnosti dveh dogodkov, nastane relativna verjetnost, t. j. verjetnost, da se določeni dogodek prej zgodi od drugega dogodka. Ako je za dogodek A t ugodnih % slučajev, za A 2 ugod¬ nih « 2 slučajev i. t. d., in skupno m slučajev mogočih, tedaj se lahko izračuna verjetnost, da se n. pr. dogodek A 1 prej zgodi kakor A 2 . Za oba dogodka je tq -(- u 2 mogočih slu¬ čajev, torej je verjetnost, da se A x prej zgodi kakor A 2 , enaka v == -4 1 -—. Ako delimo števec in imenovalec s šte- U 1 I U 2 vilom m, dobimo % m _ *’[ «i_i% ®i + v i ’ m m Relativna ver¬ jetnost relative \Vahrscheinlich- keit. 228 Sestavljena ver¬ jetnost = ab^e- leitete Wahr- scheinlichkeit. kjer pomenita v 1 in v 2 absolutni verjetnosti za dogodek A-l in A 2 . Iz tega računa sledi splošno pravilo: relativna verjetnost, da se določeni dogodek prej primeri kakor drugi, je enaka razmerju med absolutno verjetnostjo prvega dogodka in vsoto absolutnih verjetnosti obeh dogodkov. Opomnja. Ako sta samo dve vrsti dogodkov mogoči, postane relativna verjetnost enaka absolutni. Naloge. 1. Kolika je verjetnost, da z dvema kockama prej vržeš dve enaki števili kakor pa neenaki? Razrešitev. Mogočih slučajev je 6-6 = 36, za enaki števili ugodnih je 6 (in sicer 11, 22, 3 3, 44, 55, 66), torej za neenaki 30. Potem je ^ 36 1 ® ~ _6 , 30 6 30 “l” 36 in tolika je tudi absolutna verjetnost za enaki števili. 2. V neki žari je 10 belih, 7 črnih in 8 ze¬ lenih krogel. Kolika je verjetnost, da po¬ tegneš prej belo kakor zeleno kroglo? Razrešitev. Absolutna verjetnost za belo kroglo je »i = za zeleno kroglo v 2 = J.-, torej relativna verjet¬ nost za belo kroglo v = (Relativna verjetnost za zeleno kroglo bi bila v = —= *-.) Vi Vn y § 61. Sestavljena verjetnost. Sestavljena verjetnost se kaže v več oblikah, o) Ver j etn os t dveh ali več dogodkov, ki se izključujejo. Verjetnost, da se zgodi izmed dogodkov A y A 2 A 3 ... ali A-l ali A 2 , je enaka v = v t -|- % kjer po¬ menita % in v 2 absolutni verjetnosti za A x in A 2 . V dokaz temu si mislimo število vseh mogočih slučajev m in od teh za A 1 ugodnih u u za A 2 pa u 2 . Potem je — — in u m v 2 = Slučajev, ki so ugodni za A t in A 2 , je m 1 -)-m 2 ; torej je verjetnost, da se primeri ali A 1 ali A 2 , enaka u i ~r u 2 _ i u 2 v i v m, m I ni 1 229 Opomnja. Pravilo velja seveda tudi za več določenih dogodkov A t A 2 A s ... Ako vzamemo vse mogoče slučaje, potem je seveda v ----- —j— —j— v 3 — |— ... -j— v n = 1, to se pravi: en dogodek se gotovo pripeti. Naloge. 1. V neki žari je 7 belih, 8 rumenih, 9 rde¬ čih in 10 modrih krogel. Kolika je verjetnost, da potegneš belo ali rdečo kroglo? Razrešitev. Absolutna verjetnost za belo kroglo je 7 9 7 = g|, za rdečo kroglo v 2 = torej verjetnost za belo ali rdečo kroglo v = v ± -)- v 2 = 2. Kolika je verjetnost, da vržeš z dvema kockama več kakor pet pik? Razrešitev. Vsote, ki znašajo več kakor 5, so 6 do 12 in treba bi bilo izračunati verjetnost za vsako vsoto po¬ sebej. Račun bi dal » = | + ~ + | + ^ + | + | + 1 13 13 -P 36 = i8’ Hitreje pa dobiš znesek jg, ako izračunaš ver¬ jetnost za števila 2, 3, 4, 5. Vsoto 2 dobiš enkrat (11), vsoto 3 dvakrat (12, 21), vsoto 4 trikrat (13, 31, 22) in vsoto 5 štirikrat (14, 41, 23, 32), torej je v = 1 2 ,~ :! 4 = jg, in verjetnost, da ne dobiš teh vsot 2 do 5 je % = 1 — v — t _ _5 _ 13 "7 1 18 — 18‘ b) Verjetnost zaporednih dogodkov, t. j.ver¬ jetnost, da se določeni, med seboj neodvisni dogodki za¬ poredno vrše. Sestavljena verjetnost je v tem slučaju enaka produktu verjetnosti posameznih dogodkov, ali v znakih: v = • v 2 • v 3 ... v n . Dokaz. Vzemimo iz vrste dogodkov A 1 A 2 A 3 ... A n samo dva n. pr. A t in A 2 . Za prvi dogodek je ugodnih u t slučajev in mogočih m u za drugi dogodek odnosno u 2 in m 2 slučajev. Število ugodnih slučajev, da nastopita oba do¬ godka zaporedno, je u t • u 2 , ker se lahko vsak slučaj prvega dogodka spoji z vsakim slučajem drugega dogodka. Isto 230 velja za mogoče slučaje obeh dogodkov, katerih je torej m x • m 2 . Verjetnost, da nastopita oba dogodka zaporedno, je v = — — — __ v v n a i s ti način dokažemo m i m 2 m l m 2 tudi obrazec za več dogodkov. c) Verjetnost ponovitve istega dogodka, t. j. verjetnost, da se določeni dogodek večkrat zapored po¬ novi. Ta verjetnost se izpeljuje iz prejšnje. Ako se namreč ponovi isti dogodek, potem je v x = v 2 = v 3 = ... = v „. Iz tega sledi obrazec: v = v t n . Naloge. 1. Nekdo zapiše trikrat zapored vselej drugo dvoštevilčno število. Kolika je ver¬ jetnost, da zapiše trikrat zapored liho šte¬ vilo? Razrešitev. Dvoštevilčnih števil je 90 (od 10 do 99), od teh je 45 sodih in 45 lihih števil. Verjetnost za liho 45 1 44 število je prvič v x — ^ drugič ^ in tretjič v B = Verjetnost, da se zapiše trikrat zapored liho šte- vilo, je torej v = • v 2 • v H = 99 ’gg’§ 8 - Kakor kaze dob¬ ljeni produkt, se da ta naloga rešiti tudi brez sestavljene verjetnosti. Tri dvoštevilčna števila zapišemo lahko ( 9 3 °)krat, tri liha dvoštevilčna števila pa (g 5 )krat, torej je verjetnost v 45 ■ 44 • 43 1. -ir __ 45 - 44 - 43 šoA^bs 90 • 89 ■ 88 1 - 2-3 43 356 • 2. V žari je 9 belih in 6 črnih enakih kro¬ gel. Kolika je verjetnost, da vzamemo naj¬ prej dve beli in potem dve črni krogli, a) ako vržemo beli krogli nazaj, b) ako obdržimo beli krogli? a) 15 krogel se da sestaviti po 2 v eno skupino (g 5 ) krat, t 9 ) dve beli (jj) krat. Verjetnost za beli krogli je % — verjet- («) (2) nost za dve črni krogli na sličen na.čin v 2 = Verjetnost, ( 2 °) 231 da vzamemo dve beli in potem dve črni, je v = v t • v 2 = _ (2) (2) 9 - 8 -6 -5 12 _ , ... . A - ^ • jlšj = 15.14.15 . 14 = 245- Ravnotolika je tudi ver¬ jetnost, da vzamemo dve črni krogli in potem dve beli. (») h) Verjetnost za beli krogli ostane ista: (2) verjetnost za črni krogli je sedaj drugačna. V žari je nam¬ reč samo še 13 krogel, 7 belih in 6 črnih. Verjetnost ( 6 ) za dve črni krogli je v 2 — Verjetnost za dve beli (2) / 9 \ C 6 ) krogli in potem za dve črni je v = v 1 -v 2 — = 9.g.g.5 g (2)12) = 15 14 13 12 = gj* Verjetnost za dve črni in potem za dve beli krogli bi bila v = = T5 9 r = gj, torej ravnoista. (¥) (?) 3 . Deset oseb srečka za neko nagrado. V to svrho vzame vsaka oseba iz žare, v kateri je 9 belih krogel in 1 rdeča, po eno kroglo ter jo obdrži. Kolika je verjetnost, da po¬ tegne tretja oseba rdečo kroglo? Razrešitev. Ko pride tretja oseba na vrsto, jev žari še 8 krogel in med njimi mora biti tudi rdeča krogla. Verjet¬ nost, da je rdeča krogla še v posodi, t. j. verjetnost, da sta 9 8 8 prvi dve osebi dobili beli krogli, je v t = • g- = 1Q . Verjetnost, da potegne tretja oseba rdečo kroglo, je v 2 = ^. Verjetnost obeh zaporednih dogodkov je zato “ 1 v = v 1 • v 2 = ]0> Isti rezultat dobimo tudi za vsako drugo osebo; torej je vseeno, v kateri vrsti iščejo osebe rdečo kroglo. 4. Kolika je verjetnost, da z eno kocko v treh metih vsaj enkrat vržeš 6 pik? 5 Razrešitev. Verjetnost, da ne vržeš 6 pik, je v 1 = g. Verjetnost, da trikrat zapored ne vržeš šest pik, je v 2 = (!) '. Verjetnost, da v treh metih vsaj enkrat vržeš 6 pik, je nasprotna verjetnosti v 2 , torej v = 1 — v 2 m 232 § 62. Matematično upanje. Matematično upanje - inathe- matische Hoffuung 1 . Pogosto so nakazani gotovi dobitki, ako se ugane določeni dogodek. To se dogaja zlasti pri stavah in igrah, pri srečkanju in zavarovanju. Upanje na tak dobitek je seveda odvisno od velikosti dobitka in od verjetnosti do- tičnega dogodka ter raste sorazmerno z dobitkom in z verjetnostjo. Ako sta dobitek in verjetnost dvakrat, tri¬ krat, . . .n krat večja, je tudi upanje na dobitek dvakrat, trikrat, .. ./»krat večje. Izraz za matematično upa¬ nje je produkt dobitka in verjet.nosti, v znakih U = d-v, kjer pomeni U upanje, d dobitek in v verjetnost. Da bolje spoznamo pomen matematičnega upanja, pretvorimo na¬ vedeno enačbo v drugo obliko. V obliki sorazmerja se glasi obrazec tako-le: U: d = v : 1, z besedami: mate¬ matično upanje in dobitek sta v istem razmerju kakor verjetnost in gotovost. Ako zamenimo v = dobimo U: d — v : m , t. j. matematično upanje in dobitek sta v v istem razmerju kakor število ugodnih in število mo¬ gočih slučajev. Obrazec za matematično upanje se lahko neposredno uporablja pri stavah. Čim večja je verjetnost kakega do¬ godka, tem več se sme staviti na isti dogodek. Pri vsaki pravilni stavi je torej stava (ali pravzaprav vložka stave) enaka matematičnemu upanju. Ako pomeni s stavo; d do¬ bitek, v verjetnost in U matematično upanje, potem je s = 77 in s = d • v ali s : d = u : m. St wett c die P™ me dsebojnih stavah je verjetnost dobitka navadno' der Einsatz. različna, zato morajo biti vložke stave tudi različne, da so stave pravilne. Ako je za prvo osebo % = d • v t in za nasprotnika pri istem dobitku s 2 = d • v 2 , potem sledi iz obeh enačb s-l : s 2 = z besedami: stave posamez¬ nikov morajo biti sorazmerne z verjetnostjo, da se dobitek zadene. Iz tega sorazmerja pa sledi tudi • s 2 = ® 2 * s it z besedami: pri pravilni stavi je matematično upanje za oba igralca isto. 233 Naloge. 1. Nekdo dobi 6 K, ako vrže s tremi koc¬ kami dve enaki števili. Koliko mora vložiti, da bo stava pravilna? Razrešitev. Za dobitek ugodni slučaji so sledeči: 112, 113, 114, 115, 116; 221, 223, 224, 225, 226; 331, 332, 334, 335, 336; 441, 442, 443, 445, 446; 551, 552, 553, 554, 556; 661, 662, 663, 664, 665. Vsega skupaj je 30 • 3 = 90 ugodnih slučajev, ker se vsaka skupina lahko na tri načine po¬ kaže, n. pr. 112, 121, 211. Mogočih slučajev 6-6-6 = 216, kolikor je premen šestih elementov tretjega razreda s po¬ navljanjem. Verjetnost je torej v = = d • v 90 216 12 in stava 6 K • 12 2-5 K. 2. A stavi proti B 2 K, da potegne iz žare, kjer je 10 belih in 5 črnih krogel, ravno dve črni. B pa stavi nasprotno 20 I\. Ali je stava pravilna? © _ 2 21 ’ Razrešitev I. Verjetnost za osebo A je v 19 (?) za osebo B pa je v 2 = 1 — v t = Iz sorazmerja 2 19 s 1 : s , == v 1 : v 2 sledi torej 2 : s 2 = ^ •' 9 ) in iz tega s 2 B bi moral staviti 19 K, stava je torej nepravilna in sicer 19. za B neugodna. Razrešitev II. s pomočjo enačbe s = d • v. Dobitek stave je to, kar sta obe osebi pri stavi vložili, torej d = s 1 -)- s 2 = 22 K. Verjetnost dobitka za osebo A je t 6 ) 2 v 1 = ~ — ht, torej mora biti stava za osebo A enaka (?) 2l = tl K = Ker J ' e A v,ožil sam0 2 K ’ «! = 22 K je stava nepravilna in sicer za A ugodna. § 63. Matematična nevarnost. Z upanjem na dobitek je vedno združena nevarnost izgube. Čim več se stavi, tem večja je nevarnost. Čim večje upanje, tem manjša nevarnost. Matematična nevar¬ nost izgube (riziko) je torej tem večja, čim večja je Matematična ne¬ varnost ina- themati^ches Risi ko. 234 verjetnost izgube in čim večja je izguba saina. Matema¬ tični izraz za nevarnost izgube je produkt izgube in verjetnosti izgube. Ako pomeni M ne¬ varnost izgube, s stavo, ki se lahko izgubi, v verjetnost dobitka, potem je N = s • (1 — v). Ako je namreč v verjetnost dobitka, potem je (1 — v) ver¬ jetnost izgube. Pri pravilni stavi je nevarnost izgube pri obeh igralcih ista. Naloga. Nekdo stavi 30 h, da vrže z dvema kockama vsaj deset pik. Kolika je matematična nevar¬ nost izgube? Kolik mora biti dobitek, da je stava pravilna? Razrešitev. Verjetnost, da vrže 10, 11 ali 12 pik, je sestavljena in sicer je enaka v — V er ‘ jetnost, da ne vrže toliko pik, je enaka v 1 = 1 — v = 5 ^ Nevarnost izgube je potem N = 30 • ^ — 25, torej 25 h. Da je stava pravilna, mora biti s = d • v. Iz tega se dobi dobitek d = — = ^ = 180. Dobitek znaša torej 180 h. * I Opomnja. Pri računih o matematičnem upanju in o nevarnosti je treba osebne ozire in koristi posameznikov izključiti. Za bogatina je izguba 100 K malenkost, za siro¬ maka dobitek 100 K premoženje! Osebni ali moralični riziko je pač za posameznika velikega pomena, splošnim računom pa se nekako upira. § 64. Verjetnost dolgosti človeškega življenja. Iz splošne statistike o življenju in smrti ljudi enega rodu ali ene generacije, t. j. ljudi, ki so bili v istem letu rojeni, dobimo nekak pregled umrljivosti ljudi in dolgosti življenja. Na ta način si lahko sestavimo pregledne tablice, koliko izmed določenega števila novorojencev je doživelo 235 eno leto, dve leti, tri leta i. t. d. Take tablice zovemo navadno tablice umrljivosti ali bolje tablice še ži¬ večih ljudi. Sledeča tablica umrljivosti je posneta po oni, ki jo je sestavil Deparcieux. Predelana je v toliko, da je število novorojencev označeno s 1000, prvotna tablica pa ima pri tretje!etnikih število 10.000. Leto 0 1 2 3 4 5 6 7 8 g 10 n 12 13 14 15 16 17 18 19 Število še živečih Leto Število še živečih Leto Število še živečih Leto Število še živečih Leto Število še živečih 555 550 543 539 533 528 523 517 512 506 501 495 490 484 479 473 468 462 457 453 Umrljivost ni v vseh letih ista. V prvem letu jih pov¬ prečno umrje 255, v sedmem 10, 37. letu 6, v 71. letu 13, v 88. letu 5 i. t. d. Še bolje se kaže izprememba umrljivosti, ako jo izrazimo v odstotkih. Umrljivost znaša v prvem letu 25-5%, v sedmem U57%, v 37. letu 1*28%, v 71. letu 6-16%, v 88. letu 25% in v 94. letu 100%- Umrljivost je pri novorojenih zelo velika, potem pa hitro pojema in po¬ zneje zopet raste in sicer vedno hitreje. Verjetnost življenja in verjetnost smrti. Ako pomeni A„ število ljudi, ki so stari m let, A n+x pa število ljudi, ki dožive n + * let, potem je verjetnost, da učaka kaka a-letna oseba še x let, enaka Matek, Aritmetika. A n -f x A n 17 r. Tablica umrlji vosti = die Sterbetafel. 236 Verjetna starost = \vahrschein- liche Lebens- dauer. Ako pomeni nadalje B„+x — A n — A n+X število »-letnih ljudi, ki so v teku xlet umrli, potem je verjetnost, da umrje »-letna oseba v teku x let, enaka B n 4 - x An — A n 4 - x . An x . v 1 = — r — = -= 1 — - T — =1 — V. An An An Iz tega sledi v -j- v t — 1 = gotovost, ker je prav gotovo, da bo dotičnik doživel še a? let ali pa ne. Verjetna starost »-letne osebe je doba, v kateri umrje polovica vseh »-letnih oseb. Verjetno starost 15 letne osebe dobiš, ako v tablici umrljivosti poiščeš A 15 — 578, to število deliš z dvema in dobljeni znesek 289 iščeš v istem razpredelku dalje. Na ta način dobiš približno leto 63 (natančneje po interpolaciji 62'9). Dotična oseba utegne živeti še 48 let. Naloge. 1. Kolika je verjetnost, da učaka 25 letna oseba 50. leto? Razrešitev. Iz tablic umrljivosti dobiš A 25 = 528 in A h0 = 396, torej je verjetnost » = ^- 0 = ||^ = j = 0 - 75. 2. Kolika je verjetnost, da umrje 35 letna oseba med 50. i n 60. 1 e t o m ? Razrešitev I. Med 50. in 60. letom umrje A 50 — /1 60 oseb, torej je verjetnost v = = 0169... Razrešitev II. Verjetnost, da učaka 35 letna oseba ji 50. leto, je % = verjetnost, da umrje ta oseba v sle- ^35 £ _ dečih 10 letih, je v 2 = --- A —Sestavljena verjetnost za ^50 £ ^ _ £ oba zaporedna dogodka je v = • » 2 = in A _ A ~ -^50 v = kakor poprej. •^50 3. Koliko od « (200) oseb v starosti n (40) let živi še t (30) let? Razrešitev. Število še živečih pojema, kakor kažejo tablice umrljivosti, zato je m:x = 4„:4„ +( . Iz tega dobiš x = m- A -±- = 200 • ^> = 200 • = 9419 ... Od 200 oseb v starosti 40 let doživi 70. leto 94 oseb. X. Zavarovanje na življenje in smrt. § 65. Osnovni pojmi. Zavarovanje na življenje in smrt je zelo mnogovrstno. Posamezni slučaji pa se dajo splošno uvrstiti v dve glavni skupini: 1. zavarovanje na dosmrtno rento in 2. zavarovanj e na smrt. Dosmrtno rento dobiva za¬ varovana oseba, kolikor časa živi. Pri zavarovanju na smrt pa izplača zavarovalna družba po smrti zavarovane osebe določenim dedičem gotovo vsoto ali kapital. V obeh slu¬ čajih pa mora oseba, ki se zavaruje, zavarovalnici plačevati določene zneske, ki se zovejo z a varščin e ali premije. Premije so ali enkratne, ali časovne, če se pla¬ čujejo določeno število let, ali pa dosmrtne. Premije so odvisne od velikosti zavarovanega kapitala oziroma rente, od obrestne mere in pa od starosti dotične osebe. Izračunanje premij se vrši vsled tega na podlagi tablic umrljivosti. Teh tablic pa zavarovalne družbe ne jemljo iz splošne statistike (kakor Deparcieux), marveč iz lastnih izkušenj iz umrljivosti oseb, ki so se zavarovale. Izkušnje so namreč pokazale, da je umrljivost pri zavarovancih na smrt večja kakor pri onih na dosmrtno rento. Nasprotno pa je v korist zavarovalne družbe, da zavarovanci na smrt dolgo žive, zavarovanci na dosmrtno rento pa kmalu umrjejo. Vsled tega zahtevajo zavarovalnice od prvih zdravniško izpričevalo, od drugih pa ne. Na ta način sta se udomačili polagoma dve vrsti tablic umrljivosti: 1. za zavarovanje na smrt in 2. za zavarovanje na dosmrtno rento. Prve tablice kažejo večjo umrljivost. V knjigi natisnjena tablica za zavarovanje na rento se zove „Tablica 17 angleških družb“, katero sta sestavila Laudi in Lazarus za moške osebe. To tablico uporabljajo tudi nekatere avstrijske zavarovalnice. Za količine D ,,,, M„ in N n je v knjigi vzeta obrestna mera 3%. Druga tablica za zavarovanje na smrt je znana pod imenom „Tablica 23 nemških družb 11 , katero so v Zavarovanje na življenje in smrt = die Lebens- versicherung, Todesfallversi- cherung. Zavarščina = die Pramie. 238 Čiste premije = Nettopramien, nečiste premije --- Brutto- pramien. Premijske re- serve —Pramien- reserven. Berlinu sestavili po podatkih in izkušnjah nemških in av¬ strijskih zavarovalnic in sicer za moške in ženske. Za količine D n , M n in N n je v knjigi vzeta obrestna mera 4%. Iz tablic umrljivosti izračunane premije so mate¬ matične ali čiste premije. Zavarovalnice pa zahte¬ vajo nekoliko večje premije, takozvane nečiste ali ta¬ rifne premije. Prirastek se menja po starosti zavaro¬ vanca in znaša 10% do 30%. S to doklado si pokrijejo zavarovalnice upravne stroške in nagrade zavarovalnih potnikov in ž njimi si tudi ojačijo takozvane premijske reserve, da se ubranijo prevelikim izgubam ob času epi¬ demij i. t. d. Premijske reserve nastanejo na sledeči način: Ako se n. pr. zavaruje vseh 91.578 oseb v starosti 30 let za 1000 K vsaka na smrt, potem plača vsaka dosmrtno čisto premijo 17• 91 I\, torej skupaj 1,640.161‘98 K. Čez eno leto plača zavarovalnica za vseh 808 umrlih oseb znesek 808.000 K, torej preostane še družbi 832.161’98 K. Na koncu drugega leta preostane družbi 90.770-17*91 — 818 • 1000 = 807.690’70 I\. Ti preostanki se vedno manjšajo in v poznejših letih mora družba več zavarovalnine izplačevati, kakor pa dobi premij od še živečih ljudi. Preostanki prvih let tvorijo premijsko reservo zavarovalne družbe in se porabijo za izplačevanje zavarovalnine v zadnjih letih. Premijske reserve so potemtakem podlaga in bistvo zavarovanja sploh. § 66. Zavarovanje na dosmrtno rento. Naloge. 1. Neka n-letna oseba se zavaruje na do¬ smrtno rento r kron, ki naj se ji izplačuje na koncu vsakega leta. Koliko mora plačati z a - varščine v začetku prvega leta? (Enkratna pre¬ mija.) Razrešitev. V rentni tablici umrljivosti pomeni A„ število še živečih »»-letnih oseb. Ako se vse te »-letne osebe enako zavarujejo, izplača zavarovalnica na koncu prvega leta rento r vsem A n+1 še živečim osebam; na koncu dru¬ gega leta izplača družba isto rento vsem A n + i še živečim 239 osebam i. t. d. Zavarovalna družba izplača torej na koncu prvega leta znesek r • A n+h na koncu drugega leta r ■ A„ +2 , potem r-A n+ 3 i. t. d. do tistega leta, ko izmed A „oseb ni nobena več živa. Sedanja vrednost posameznih zneskov je e_ r-An + i i r-An + 2 , r-A n + 3 | »••■<<« + 4 , , r-A„ + x k l k* I P ! P p • V tej vsoti pomeni h obrestovalni faktor ter znaša v naših tablicah 1‘03, x pa pomeni število let, ki jih preživi še zadnja izmed A lt oseb. Ta sedanja vrednost se razdeli na vse A„ osebe enako, torej pride na eno osebo znesek P» = A ali P n -AL n P /.An- j-1 i An- j-2 | An-\- B i i An-{-x\ Al \T 1 P ' P r • • • “r / Dobljeni izraz P„ je iskana enkratna premija za »-letno osebo. Navadno pa damo temu obrazcu drugo obliko. Ako množimo namreč števec in imenovalec posameznih ulomkov s faktorjem k”, dobimo / An + l An \k» + 1 _ 1 A n A 2 | An -j - 3 | 1 An + X \ 1 l-n -f- 2 I /£ 11 -f- 3 ' * * * I Jc n x / * Ulomki D. K 11 An+l K ' k” +1 se zovejo po I. N. Tetensu: še živečih 11 . Vsota teh ulomkov je /1 A n -j- 2 j , I' n + 1 , i. t. d. Diskontovana števila N n = />, -j- Pn+ 2 ^«+3 4" ' ' • + Diskontovana števila še živečih = diskontierte Zahlen der Le- benden. katera je odvisna od starosti zavarovanca in od obrestne mere ter v rentnih tablicah že izračunana za 3 %• Enkratna premija »-letne osebe za dosmrtno rento se torej dobi po skrčenem obrazcu Primer: r = 1000 K, k = 1-03, n = 30. Iz rentnih tablic umrljivosti dobiš Z> 30 = 25502 in N so = 528870 in po računu P 80 = 20.738 K. Opomiija. Ako bi se renta izplačala v začetku leta, potem bi bila enkratna premija Pl za eno rento r večja, torej Pl = P n + r . 240 Odložena renta— anfgeschobene Rente. 2. Neka w -1 e t n a oseba se zavaruje na do¬ smrtno rento r kron, ki naj se ji izplača prvi¬ krat čez m let, ako v tem času še živi. Koliko znaša enkratna premija? (Odložena renta.) Razrešitev. Ker se izplačevanje začne šele čez m let, odpadejo v vsoti N n vsi členi prvih m let, torej členi X>, !+ i-j-.D«+ 2 + in ostanejo še členi D n+ „,. +1 -\- -j- P>t-f m+2 ~\~ ‘ • • “I - Dn~\-x = A Obrazec za enkratno premijo ima sedaj obliko Nn D n Primer: n = 30, m = 10, k = 1 ■ 03, r — 800 K. Iz rentnih tablic umrljivosti dobiš P 30 = 25502 in N w = 313001 in po računu P 30 , 10 = 9819 K. Zavarovanje na doživetje = Erlebens- versicherung. 3. Neka n-letna oseba se zavaruje za znesek z kron, ki naj se ji izplača, ko doživi še mlet, če pa prej umrje, ne izplača zavarovalnica nič. Koliko znaša enkratna premij a? (Zavarovanje na doživetje.) Razrešitev. Ako se zavarujejo vse M-letne osebe A „ za isti znesek z kron, izplača družba čez m let vsem A n + ,„ ose¬ bam, ki takrat še žive, po s kron, torej skupaj z • A n+m kron. Sedanja vrednost tega zneska je S = — "* , kjer po¬ meni zopet k obrestovalni faktor. Ta sedanja vrednost se razdeli na vse osebe A n enako. Enkratna premija za eno osebo je potem p S Z • A. n -j- m Z • h n • A. n -j- m n Z7z An • h m A n • h n + m Ako pomenita ulomka ~ = D n in ^”+2 ~ zopet diskontovani števili še živečih oseb, dobimo za P„ obrazec : p _ „ Dn+m Dn ‘ Primer: n — 35, m = 20, z = 3000 K, k — 1'03. Iz rentnih tablic umrljivosti dobiš Z> 85 = 21061 in D- nh = 8941'3 in po računu P 3r , = 1274 K. Opomnja. Ta način zavarovanja se redkeje primeri, važen pa je za mešano zavarovanje „na doživetje ali na smrt“, ki je sedaj najbolj v navadi. 241 § 67. Zavarovanje na smrt. Naloge. 1. Neka u-letna oseba se zavaruje za znesek 2 kron, ki naj se po njeni smrti na koncu leta izplača določenim dedičem. Koliko znaša aj en¬ kratna premija P n , dosmrtna premija j)„? Razrešitev a). Ako se zavarujejo vse u-Ietne osebe A„ za isti znesek z kron, mora zavarovalnica izplačati na koncu prvega leta znesek 0 kron za vse osebe, ki umrjejo v prvem letu. Vprvem letu umrje A„ — A„ +1 = B n+1 oseb, vdrugem letu A n+1 — A n + 2 = B n+ 2 oseb, v tretjem A„ +2 — A n+3 = — B„ + 3 i.t. d. Zavarovalnica izplača v zaporednih letih vsoto z • B, ,-|_i -j- z • B n j ^2 H - z • Rjj+ 3 -j - • • • H - z • B n j rX) ako čez x let ni nobena od A„ oseb več živa. Sedanja vred¬ nost teh zneskov je ali S A z • h r ' B n -{- 1 \ B n-\-2 \ B n- j- 3 + Bn k 2 k 3 i Bn -1 k x B, B n2 | B n- 1 “ 3 1 1 T»aA i 3 1 • • • ~r kP+if +A Enkratna premija za eno osebo znaša potem Pn S_ A n z • k n An (Bn-\-\ \k n +1 Ulomki B n - = C kn+1 + kn + 2 vejo „Diskontovana števila umrlih 44 in so odvisna od starosti zavarovancev in od obrestne mere. Ako uve¬ demo še okrajšavo I Bn- f- 2 T” 7,- « + 2 ' B n- f- 2 _ B n- j- C r , ' I 2 i-1. d. se zo- AL n = -j- C n +2 -j- + 3 “}••••*{■ Cn+X, Jc n dobimo za enkratno premijo obrazec P„= z • • M „ ali r, Mn Pn= Z • jr- . Un Izračunana števila in M n je treba vzeti iz tablice umrljivosti za zavarovanje na smrt. V naši tablici je obrestna mera 4%. Primer: n = 35, z = 2000 K, k = l - 04. Iz tablice poiščeš B 35 = 22155 in M s5 = 7820-33 in po računu P 35 = 706 K. Zavarovanje na snirt = Todesfall- versicherung. Diskontovana števila umrlih diskontierte Zahlen derToten. 242 Opomnja. Enkratna premija je za zavarovanca navadno prevelika, zato si dotičnik razdeli plačevanje na več let (časovna premija) ali pa na vse življenje (dosmrtna premija). Razrešitev b). Enkratna premija P„ mora biti enaka sedanji vrednosti vseh dosmrtnih premij p n . To vrednost pa lahko izračunamo po obrazcu za dosmrtno rento: P„= ako izenačimo r = p n . Tako dobimo za P„ ■L' n j\j ]\jr dve enačbi P„ = p n 'Tr Pn = 2 • Iz obeh enačb pa Js n 1J n sledi dalje M Primer: Ako vzameš ista števila kakor pri prvem vprašanju a), dobiš iz tablice za zavarovanje na smrt M 35 = 7820-33 in N 3 - a = 369107 in po računu p 35 = 42■ 37 K. Opomnja. Ako zavarovalnica v prvih treh letih v slu¬ čaju smrti ne izplača še nikake zavarovalnine, izračuna se premija po obrazcu P„ = 2 — ^ oziroma p„ = z —^ - 1' n 4.' n (Zavarovanje s poskušnjo treh let.) 2. Neka a-letna oseba se zavaruje na smrt za znesek z kron, ki naj se izplača določenim dedičem po njeni smrti. Koliko mora zato pla¬ čevati v začetku vsakega leta skozi m let, ako jih doživi? (Časovne premije.) Razrešitev. Ker se tu čez m let ne plačujejo nobene premije več, odpadejo v obrazcu p„ = 2 vsi členi čez mlet dalje, torej členiD M + m + 1 +X» M+m + 2 -f.. ,-\~D n + x = = N n + m . Imenovalec N n se potem zmanjša za N n + m . Za M-letno časovno premijo »-letne osebe dobimo potem obrazec Primer: n = 30, m == 15, k = p04, 2 = 400.00 Iv. Iz tablice dobiš M 30 = 8944-17, N M = 497588, N Vo = 190476 in iz tega p 30:15 = 1165 K. Mešano zavaro¬ vanje = gemischte Ver- sicherung. 3. Neka »-letna oseba se zavaruje za znesek 2 kron, ki naj se ji izplača, ko doživi še m let, ali pa določenim dedičem, ako umrje pred tem časom. 243 Kolika je a) enkratna premija, b) časovna pre¬ mija? (Mešano zavarovanje na doživetje ali na smrt.) Razrešitev a). Enkratna premija P, h , H se tukaj se¬ stavlja iz dveh delov, iz premije za zavarovanje na do¬ živetje po obrazcu P„ = z- 1 ^—— in iz premije za zava- i M Vn rovanje na smrt P„ = z • ~ kjer pa je treba v števcu M n odbiti vse člene po m letili, ker takrat plačevanje na vsak način preneha. Druga premija dobi torej obrazec P n = z •- - -. skupna premija je potem Dn _ jj pl ^ Dn -j- m -j- Mn — Mn -f- m n, m -L n “j ^ n % * : • ■L* n Razrešitev^). Časovna premija p n>m se plačuje kvečjemu mlet. Enkratna premija P», m mora biti enaka sedanji vred¬ nosti vseh časovnih premij p„.,m- To vrednost pa dobimo iz N obrazca premije za dosmrtno rento P„ = r • V tem obrazcu je treba le še izenačiti r. — p n , m in v števcu odbiti vse člene od m let dalje, ker takrat plačila prenehajo. Iz tega sledi P n = p„ m • Aw ~ T . Ker pa je v našem slučaju P„= P„, m = = z • ? n + m ~ i,n - " , potem sledi iz navedenih enačb D n Dn -4- m -f - Mn — Mn -f- m P n, m & * — at , • M ’ JSn — P>n tn Primer: n = 40, m = 20, k == l - 04, z = 20.000 K. Iz tablice umrljivosti dobiš D i0 = 17263, I> 60 = 5313 - 1, M 40 = 6817-36, 4/ 6 o = 3295'76, N i0 = 268539, N eo = 52640-5, iz teh podatkov pa izračunaš potem P i0 ,20 = 10.235 K in P40.20 = 818-4 K. Opomnja. Zavarovalnice izplačajo navadno osebi, ki je doživela 90 let, že celo zavarovalnino, četudi se je za¬ varovala samo na smrt in ne tudi na doživetje 90 let. Zato pa tudi 4% tablica za zavarovanje na smrt pri 90. letu pre¬ neha. Vsled tega odpadejo v obrazcih P n ,,„ in p„, m vsi členi D„ 4 . M n + m in X n + m in obrazca za premijo v nalogi 3. preideta v krajša obrazca naloge 1. Matek, Aritmetika. 18 r. 244 3% tablica za zavarovanje na dosmrtno rento. 245 246 4% tablica za zavarovanje na smrt. 247 Matek. Aritmetika. I9 r. Vadbe in naloge. K § 1. Ako je a neko število naravne številne vrste, kako se glasi naslednje število? Kako se glasi število, ki je za 2, 3, 5, b enot večje od a? K § 2. 1. Kakšen pomen imajo izrazi x y -j- z, (x ij) -)- z, * + (.!/ + 2. Izračunaj na pamet po računskih zakonih: a) 37 + 52; b) 86 4 79; c) 217 + 47 -f 58. 3. Izračunaj na najkrajši način: a) 73 + 49 + 7; b) 73 + 49 + 1; c) 237 + 992 -f 8; d) 96 + 65 -f 4 + 35; e) 9994 + 893 + 7 + 6; f) 115 -f 286 + 97 + 3 -f- 14 + 85. 4. Pojasni s pomočjo računskih zakonov seštevanje mnogo- imenskih števil! N. pr. a) 8° 17' + 90° 28'; b) 27° 31' 45" 4 54° 28' 36". 5. 2a 4 7a 4 13»4 8&. 6. 3a 4 46 4 4 8& H - 9®H - 10&. 7. a-\-2b-\-3c-\-ka-\-Qb-\-&c-\-ha^7b-\-c. 8. (2 a 4 3 b 4 4 c) 4 3 a. 9. [(7 m 4 8 n) 4 3 m\ 4 5 n. 10. 9 m 4 (8 m 44»). 11. 6 n 4 (4?» 4 5» 4 2p). 12. 3 a 4 4 (5« + 4- 13. (7«4'8 6)4 (9«46i) 4(2«44i). 14. (15 «4 [5 «4(75 4«)]} 4 2 b. 15. [3* 4 4i/ 4 2 z\ 4 [6*4 4y 4 5 z\ 4 [2* 4 % + 7 4 16. [(2«4 3&) 4(5«4 24 4 {[4«4 (5«44 4 66}. 17. Zameni a = 4 in b = 5 v 16. nalogi. Matek, Aritmetika. II K § 3. 1. Ako je m število naravne številne vrste, kako se glasi potem število, ki je za 1, 5, n enot manjše od m? 2. Katero število je za 3/ večje od 2«— 3x? Izvrši na različne načine: 3. 32« — 9 « — 14«. 5. 26 « — 25 6 — 6 — a. 7. 27 — (15 + 10). 9. 65 + (47 — 36). 11. 246 — (146 — 58). 4. 304& — 176 b — 37 b — 586. 6. 45 a — 7 x — 37a- — 8 «. 8. 9« — (6« -f- 2«). 10. 17« -j- (15« — 8«). 12. 25;r — (11 x — 15x). Razreši po računskih zakonih: 4. 11. [(3* + 5) + 2x] 16. (8 x — 4 y) -f- 7 a - . 18. (3 a — 4) — 6. - 2) — 2x] — 3. f [(4 m - 3) + 2]. • [(2 m —3 «) —(— 2 m\. -46) — (4 « — 5 6). [4 6 —(4« —5 6)]. - (58 a — 60 c). 13. (9m -f- 2n) — 6 m. 11. f(3« —]— 5) — 2x\ — 4. 15. (7 m — 3 a) 17. [(oz — 7) 4 19. (16 y — 8%) — 8 y. 20. [(5# 21. 7«4- (3a — 26). 22.15?« 23. (6x -j- 4 ij) — (3*4 _ 2;'/)- 24. 5 m - 25. 5y — (8»— 3y). 26.(8«- 27. (2x — 4) — (* — 1). 28.3«- 29. (78 a -f- 52 6 4- 37 c) 4- (48 6 — 39 c) - 30. (la 4 - 56) — [4« — (36 4- 2«)|. 31. 8 « — {4 a — [36 — (2 a — 6)]}. 32. (8«— 76) — [(5« — 46) — (2a — 6)]. 33. 8« -|- (76 — 5«) — [(46 — 2«) — 6]. 34. 8« —(76 —5«) —[46 —(2« —6)]. 35. (8« 4~ 76) — [5«—(46 — 2«) — 6]. 36. Zameni a = 4 in 6 = 3 v nalogah 34. in 35.! 37. Pojasni s pomočjo računskih zakonov odštevanje mno- goimenskih števil. N. pr. a) 18° 47' 53"— 16° 18'25"; b) 52° 17' 38" — 45° 33' 51". 38. Katero število je treba 7« — (36 — 1) prišteti, da dobiš 5 a 5 6 ? 39. Katero število moraš od števila 8* — 4 y odšteti, da dobiš 2 a: — (2 y -f- 2)? III 40. Od katerega števila moraš 8 a — 4 6 odšteti, da dobiš 2a — (26 + 2)? 41. Pretvori 3 a — (6 -)- c) v razliko z minuendom a) 4 a, b) 2 «, c) 3 a + b, d) 3 a — 1, e) 5 a — 2! K § 4. 1. Kaj dobiš, ako spojiš s številom -|- 12 (oziroma — 12) osem pozitivnih (negativnih) enot? 2. Do katerega števila prideš v podaljšani številni vrsti, ako štejoš od števila -j- 5 (oziroma — 5) za 7 enot a) naprej, b) nazaj? 3. Kako se moraš pomikati in za koliko enot, da prideš v podaljšani številni vrsti od števila 6 (oziroma — 6) do števila +15, — 14? 4. Koliko in kakšne enote moraš spojiti s številom -f- 3 (oziroma — 3), da dobiš — 11, -j- 9? K § 5. 1. (- 27) + (- 56) + (+116) + (+ 89) + (- 173). 2. (+ 48«) + (— 25 b) + (+ 7«) + (—55«) + (+376). 3. (+ 3 a) + (— 76) + (— 13c) + (+ 96) + (— 8c) + (+ 11«). 4. 35« — 466 + 59c + 166 + 21 c — 33« — 44c + 286 — 5«. 5. (—4« + 76) + (19« — 13 6) + (— 38«+ 206). 6. (13« — 256 + 16c) + (— 14« — 196 + 25c) + + (29 a — 316 — 40 c). 7. (403^ — 621// + 59.s — 108) + (— 317* + 501 y + 692; — 92). K § 6. 1. 25 — (- 13). 2. (- 25) - (+ 13). 3. (- 25) - (— 13). 4. la — (— 4«). 5. (— 5«) — (— 3«). 6. (— 12«) — (+ 6«). 7. (+ 18) - (- 17) - (+ 25) + (- 9) + (- 16). 8. (- 4x) + (- 2 x) -(-*) + (+ 9x) - (+ 8 x). 9. Izračunaj vrednost številnega izraza: x — (x — 2) + (x — 4) — (x + 6) — (x + 8) + (x 10) za x = — 4! i* IV 10. (7 a- 186) — (10« + 7&) + (— 3« + 56). 11. (3« + 2ij) — (6« — 8 y) — (— 2« + 5//) + (— 4« + 3 y). 12. 2« — [14 — (3 — 7«)] + [9 — (—2 + 8«)]. 13. 45 — [18 — (m — 2)] — [15 — (5 — 4 m)]. 14. (8* — 6 ij) + (2x — 4 ij) — [(4« + 3 y) — (8« — 5 y) — — (— x 2 y)\- 15. (5a — Ib) — [(3 a — b) — (— 2a + 3 6)] — [{la — 2 b) - — (3 a + j)]. 16. 2 m — 3 n — {2 m — [— 2 m + 3 n — (2 m + 2 n) — — (—-2 in + 3 m)]}. 17. 6j? — lij — {— 6x + lij — [(6jj — 7 y) — (— 6,r + ly) — 6a;)]}. 18. 832« — {417t/ + [469« — (315// — 178«) + (— 305« + 408//)]}. K § 7. Razreši naslednje enačbe: 1. « + 5 = 12. 2. « + a = 0. 3. « — 5 a = a. 4. 36 — « = 10. 5. 6« — « = 4 a. 6. a — b — « = 0. 7. 4 + 3« = 6 + 2«. 8. 6« — 9 = 9 + 5«. 9. 4 — 7« = 10 — 8«. 10. 9 a — 7« = 4 a — 6«. 11. 30 — (« + 4) = 10. 12. (« — 4) — 30 = 10. 13. 9 — (5 — 2«) = 3« + 1. 14. (5« — 10) — 2« = 2« — 3. 15. 20 — (5 — tj) = 6 ij — (20 + 4 ij). 16. (5 — «) — (4 — «) = (2« — 6) — (8 + «). 17. 20 + [23 — (11 + //)] = 46. 18. 4 a — [(3 a — 2«) — (4« — «)] = (5 a — 6«) — (7 a — 8«). 19. Pretvori naslednje neenačbe na najpreprostejšo obliko: a) 3« — -7 + 2« + l; b) 6«+ 8 + 7« + 5; c) 2« — 3« + 5<3« — 4« — 2; d) 4 a — 5« — 6 + 5 a — 6« — 4. v 20. Katera cela števila zadostujejo naslednjim pogojem: o) 2x —)— 3 <4 3x —|— 5 <4 6 —(— 2x; b) 5x — 6 6x — 3 <4 5x — 3; c) 4x •< 5x -)- 8 < 4x -|- 3; d) x — 2 < 2x — 1 ar -j— 1. K § 8. 1. 9x 2 • 8a s • 3 a 4 . 2. 5 a 2 • 65 • 7 «5. 3. 9x 2 • 6//• 3x// 2 . 4. 5 x f • 4 «x 2 • 2a?. 5. (+ 3) • (+ 7). 6. (— 5) • (+ 9). 7. (+ 1) • (— 6). 8. (— 4) • (— 13). 9. (— 15ax 2 ) (— 4 ax 2 y). 10. (—4x 2 // s ) • 13«x 4 // 2 . 11. 2?ra 2 (—3 am 2 )( —4«5)(-j- abc 2 ). 12. (— «¥)(-f 4a&y)(— 5 5 2 x 2 // 8 ) (— 6a s fa 3 i/ 4 ). 13. Izračunaj vrednosti izrazov: a) ( a — 2 5) (a -j- 5) (a — 4 5) (a -|- 3 5), ako je a = b ; /9) (31« — 21 5) (17« — 285) (12« — 165), ako je « = 5 in b = 7. 14. (« 2 — 2 «5 + 5 2 ) 7 « 3 5. 15. 5 « 4 (9 a 8 — 7 « 2 — 3 « -f 5). 16. (5 « 2 — 3 «5 + b 2 ) • (— 3 ab). 17. (— 2x// 2 ) (3x 2 — 5®y -f 7// 2 ). 18. [(2 m — 3«) tri 2 -j- (4w — 5 n) ra 2 ] 7mn 2 . 19. [xhf (5 x — 7 y 4 ) -j- 2x// 2 (— 3x 2 // -|- 5x// 5 )] 9 x 3 //. 20. [2 «5 (— 4 a —|— 5 5) — 3 «5 (a — 7 5)] • (— 6 a 2 5). 21. [3xij 2 (— x 2 —(— 2j cy — 5 y 2 ) — x 2 y (4x 2 — 5 xy — if)\ (— 2 xif). 22. (5 x — 2 y) (3 x — 2 y). 23. (2 a- 2 — 5 y) (7 .r 2 + y). 24. (3x -]- 5x 2 -|- 6x 3 ) (5 — 2x). 25. (— 2« 2 - 3«5 ■ 4 5 2 )(— 5« + 75). 26. (0® —7y + 8)(6® + 10y —8). 27. (5x 2 — x -j- 4) (2x 2 — 5x — 3). 28. (5«-f 35)(7a + 55)(3a + 45). 29. (x -f 1) (x +2 ) (x — 3) (x — 4). 30. (3® + 5) (2® — 3) (x — 1) — (x — 1) (® -f 2) (x — 3). 31. (2 y -|- 1) (3y -j~ 5) («/ —(— 1) —{— (ž/ 1) (.(/ 2) ( y -)- 3). 32. (3 « 4 — 2 « 3 5 -j- 5 a 2 5 2 — «5 3 -f- 4 5 4 ) (9 « 2 — 6 « -j- 5). 33. (a 4 + 3« 3 5 — 4 a 2 5 2 ) (« 3 5 — 2« 2 5 2 -f 2«5 3 ). 34. (7« + 8 ra) 2 -f (4 a — 5 ra) 2 — (8 a — 9 ra) 2 . 35. (9x — 7yf -f (11// — 6x) 2 — (14x — 9//) 2 . VI 36. (3 a + 2 b) 3 — (2 a — 3 b) 3 + (a — 4 b) s . 37. (4 a? —j— 5 //) 3 —|— (2 a; — 7 y) 3 — (3 ^ — 8 y) 3 . 38. (5 a — 1) (ba -f l)(25a 2 -f 1). 39. (3a + 46)(3o — 46) (9 a 2 + 16 6 2 ). 40. (xy -j- z) (s,j — z) ( xh/ -j- z 1 ) (x 2 iy 2 + z 0 -). 41. (* 6 — x~°y -j- x*y 2 — x 3 y 3 -j- x 2 y i — xy 5 -|- rf) (x -f- y). 42. (x* -f x 3 y -j- x 2 y 2 + x f + >/) ( x — y)- 43. (x h — x i y -)- x 3 y 2 — x 2 y 3 -)- xy i — if°) (x -j- ij). 44. (x 3 + xhy -f xy 2 -f y 3 ) (x — y). 45. (x m + 3 — 2.r m + 2 y -j- 3x m + 1 1 /— 4 x m y 3 ){x 2 -{- xy -\-y 2 ). 46. (5 a i x m — 7 a 3 bx m — 1 y n -|- 9 a 2 b 2 x m ~ 2 y 2n — 11 ab 3 x m ~ 3 y 3n -\- -)- 13 b i x m ~ 4 y 4n ) • (3 a 2 x 3 -j- 2abx i y n -j- b 2 x'°y in ). 47. [x 2 -j- (a -)- b) x -f- (a 2 -j- 6 2 )] [; c 2 — (a — b) x -f- ( a 2 — b 2 )\. 48. 6x {x — x [3 x — (x — l) 2 ] — x (x -(- 1) (x — 1)} — x. 49. (a im Y 3 a 3m b nJ r ba im b 2n -f- 7 a m b Sn -f- 9 b in ) (a m — b n ). 50. Zameni A = bx — 3 y, B = 2x — 1 in 0=1 — 2 y v naslednjih izrazih ter izračunaj njih vrednosti: a) 2AB — 3 AC — BC\ b) (A 2 — 2 BC) (B — C ); c) AB — C 2 ■ d) (. A 2 — B 2 ) C — {B 2 -f- C 2 ) A. 1. 35 abc : 7 ac. 3. 48 a 3 x 5 : 6a 2 x 3 . 5. 63 abx 3 y i : 7 ax 3 y i . 7. 80a m + 3 b n + 2 x 2 :16a 3 b 2 x, 9. 45« m + 5 iC n + 6 : 3 a 3 x°. 11. (— 24 xy): (— 8 y). 13. 18 a 4 t<% 3 : (—2 a 2 x 2 y). 14. ( K § 9. 2. 81 mn : 27 n. 4. 72 x 2 y 3 : 8 xy 2 . 6. 144 a h b 3 m : 16a 3 5. 8. 27 a i b 2 x m + 5 y 2n : 9 abx i y n . 10. 2Qa m b n xP : 5 a m ~ 1 b n ~ 2 xP ~ 3 . 12. (—27<*W):9 a s b 2 c. 91 a 2m b 3n ) : (— 13a m + 2 6 2n - s ). 15. (5 a 3 b 2 : ab 2 ) ■ 6 a 3 b 2 . 16. (21 a 2 x 5 : 3 ax \). (— 6 a 2 b 3 x). 17. [(— 18 x 2 y 3 z): 2xy\ • (— 8 x 2 y 2 z 3 ). 18. (25a 2 & 3 x : bab): b 2 x. 19. [21 m 3 n 2 : (— 7 m 2 )] : (— 3 mn). 20. (45 a 3 b i x 3 : lba 2 b 3 x) • (15a 3 6 2 : 3 a 2 b). 21. [(— 48 x 3 y 4 z°) : 6 xy 2 z 3 ] • [18 xhy i z 3 : (— 3 xy 2 z 3 )\. VII 22 . 23. 24. 25. 26. 28. 30. 32. 34. 36. 38. 40. 41. 42. 43. [27 a 7 b 4 x m + n + * : (— 3 a s x»)] : (—3 a 3 b 2 x 3 ). (24 a m + 2 b n x m + i y n + 3 : 4 a m x i y 3 ) : 3 b n y n . [75 a m + '°b n + 5 xp + -t ; (— 5 a 4 b 3 x)\ : (— 3 ab 2 x 3 ). {[85 aWc 9 : (— lla*Vc)) : (— 5 ab 2 c 3 )}: (~ b 2 c 3 ). a ±* ■ ( c + d )- 6 (a — b). c 3 — <ž 5 a 12 (a — b) 27 29 - sS^nr 3 (« + ft )- 31. 5 (* 2 -[- ?/ 2 ) x 2 — y 2 42 x 2 y 5 z 4 : 128 a 7 b 4 : 6z 2 7)/ 16« s 6 3 33. 18«¥rf 6 ■ 2(r 2 3 a s (i! 7 c 2 ' 5 a: 2 15« 3 ž 2 4 4 mV 5 «ž> 2 : 5 : 3 « 2 6. 35. 2 m (m -j- 1) : 37. ^- 4 : 3 ax 2 . 2 m 39. 5 bab : 2 (a — b). 3 (a -)- b) 6 + [( & 2 +c 2):^±.£!]: (a + j). [128 a 7 & 4 : (16a 3 5 2 : 4a 2 &)] — [(128 a 7 6 4 : 16a 3 6 2 ) : 4 a 2 l\. {(* 2 — 2 / 2 ): [(* — 2 /): (* + 2 /)]} — U ^ 2 ~ Ž/ 2 ) = (* — y)\ '• ( x + !/)}• 15« 2 ž -f 25 až 2 bab 44. 24a“6% 3 — 16a 3 b 2 x 2 8 a 2 b 2 x 2 45 7(a 2 — &2) + 8(« + ž>) 2 -9(« + &) . a -f- b 90a(x 2 — y 2 ) -f- 15b(x — y ) 2 — ib(x — y) " 15 (x - y) • 47. (128 aW -j- 224 a 7 b 4 — 288 a 3 b 5 -f- 96 a 6 5«) : (— 8 a 4 b 2 ). 48. (125 x 3 y i -j- 250 xhf — 325 xhf — 400 x e y 7 -)- 625 x 7 y s ) : : (— 25 x 3 y i ). 49. (3.C 4 -j- 5a? 3 -)- x 2 — 10 a: •— 14) : (3x 2 —[— 5a; —)— 7). 50. (2 — 1 x -j- 16* 2 — 25as 3 —|— 24cc 4 — 16# 6 ) : (2 — 3a? —j— 4x 2 ). 51. (9x 2 —16y 2 ): (3x -j- 4y). 52. (81m% 2 — G4y 2 ): (9m 2 x —8 y). 53. (27a; 3 — 343y 3 ) : (3x — 7y). 54. (16a 8 — 81 J 4 ) : (2a 2 — 36). 55. (a 3 — b 3 ) : ( a — b). 56. (a 5 -f- b 5 ) : (a -j- b). 57. ( 0 * _ b 4 ) : (a — b ). 58. (a 6 — b «) : (a + b). 59. (5a 3 4 -2a 4 b — la 3 b 2 — a°-b 3 + 2 ab 4 — b 3 ): (5a 2 — 3 ab -[- b 2 ). VIII f>0. (27 — 51x — 125x 2 — 2x 3 -|- 30 x 4 ) : (— 3 -f- 8x -)- 6x 2 ). 61. (1 — 15x -j- 72x 2 — 54x 3 — 405x 4 — 243x B ): (— 1 —|— 6ar —[— 9x 2 ). 62. (4 m 6 # — 3 m h n 6 — 16m 4 « 8 — 27 m 3 « 10 — 18 ?» 2 « 12 ): : (m 3 « 2 — 2» 2 # 4 — 3 mn 6 ). 63. (113a 2 5 2 — 136 a 3 b —j— 35a 4 —|— 125 4 — 64 ah 3 ): (5a 3 -f- Hab- — + 18 a 2 b — Qb 3 ). 64. (— 4 x 4 —9 x 5 —[— 9x 6 -f 18 x — 14 — 27 x 3 — 21 x 2 ): : (5x 3 — 10 x -[- x 2 — 14 —)— 3x 4 ). 65. (9 m 10 -)- 2m 3 n i — 12?» 4 n 6 — 7m 2 « 8 — 4» 10 ): (3 m s — 2 m i ri 2 -)- -j- m 2 n 4 — 4 n 6 ). 66. (36 x 2 — 25 v/ 4 -j- 10// 2 s 3 — z 3 ): (6x — 5y 2 -j- č 3 )- 67. (2x B -j- 6x 4 — 41 x 3 -(- 47x 2 — 21 x -j- 22): (x 2 -j- 5x — 11). 68. (a 9 — 24a 6 x 3 +192 a 3 x 6 — 512x 9 ): (a 3 — 6a 2 x + 12ax 2 — 8x 3 ). 69. (— 48 a B x 7 — 87 « 9 x s -j- 12 a u x -|- 147 « 7 x B ) : (2 a 5 x — 3 a 4 x 2 — — 5 a 3 x 3 -j- 4 a 2 x 4 ). 70. x 3m -]- x 2m y n — x m y 3n — y in ): (x 2m — y 3n ). 71. (x s y 3m — ar n + 1 y 2 m + *_|_ J. 2 n + 2 y m + l _ . ( x Zytn _ x n y 2 y 72. (»« 4 — 2 »V -j- ?i 4 ): (m 2 -f- 2m/t -j- n 2 ). 73. (49a 6 + 6« 4 — 51 a 2 — 25): (7a 3 — 6a 2 + 3a — 5). 74. [(120 — 326 a + 329 a 2 — 146 a 3 + 24 a 4 ): (4 — 3 «)] : : (6 — 7a -[- 2 a 2 ). 75. (12x 4 — 17x 3 + 16x 2 — 7x -(- 2): [(— 9x 3 + 12x 2 — 7x -f 2): :(-3 x + 2)]. K § 10. 1. (2 — x) (3 - x) = (4 + x) (3 — x). 2. (2 + x)(2x + 1) + (2 — x)(2x — 1) = 0. 3. (3x — 6) (7x — 13) = (3x — 2) (7x — 19). 4. (x 4- 2) (x + 3) — 4 = (x 4- 4) (5 4- x) — 10. 5. (5 — 6x) (2 — 3x) = 3 [(4 — 5x) -— 6x (1 — x)]. 6- [3 (y — 2) — 5] 5 — 4 (2«/ — 6) = «/ — 19. 7. 5 (y + 10) — 4 [160 — 3 (3 y — 2) 4-2y] = 2 — y. 8. 3 [4 (3 - 2 /) _ ,/] - 70 = 5 [3 + (2 y - 7)] - 7 (y 4- 5) 4- 3. 9. 3x — {6x — 3 [3x — (4x — 5)]} = 3. 10. 2x — 2 {x — 2 [x — 2 (x — 2)]} = 0. IX 11- (y H~ 8) 2 -|- (y -j- 3) 2 = ((/ -j- 12) 2 -f- (// — 5) 2 . 12. (13 x + 3) 2 — (5 a + 10) 2 = (12 x — 3) 2 . 13. a 2 (x — l) — ¥ (x — a) = a 2 (a — x ) ~ ¥ {b — x). 14. a (z — 2 a) — (b — x) 2 = 3ft 2 —4a 2 . 15. (* — a) 2 — (s — fc) 2 -f 3 (a — bf = 0. 16. 7 (y — ab) = (a -j— Z>) 2 —j— 3 (v/ —f- 6 2 ) -j- a (3 a —- b). 17. (3* — 4) 3 — (2x — 3) 8 = 19 a 3 — 8 a (9 a — 10) -j- 3. 18. 2 (a? —j— l) 3 —j— 7 (j? — 4) 2 -(- 2 (25 x — 1) = = (a? —J— 2) (as -f- 5) (x -f- 6) -j- a 3 . 19. (16a -2 — 9): (4a + 3) = 3a + 4. 20. (9 f- 12 y -|—4): (3 y — 2) = 5^ — 8. 21. (8*/ 3 — 27) : (2y — 3) = (2y - 6) (2y + 1) - 1. 22. (6 y i -bif+ H- 112/ — 4): (2f - Sy + 4) = = 3y 2 — 52/ + 13. 23. (a 4 — 8 j:' 2 + 16) : ( x 2 + 4a -f 4) = (a + 2) (x — 2). 24. (8a 4 — 22x 3 -\- 19a 2 — 2a — 24) : (4a 2 — 5a — 6) = = 2 (a — 3) (a -f 4) — 2. 25. Katera cela števila ustrezajo naslednjim neenačbam : a) 3a -J- 29 6a -|- 5 3x 23; b) 8x — 5 < 12a -j- 15 <[ 8a -(- 3; c) 6 — 9a < 21 — 6a < 15 — 9a; d) 5a -f 12 > 9x — 12 > 5a — 4. K § 11. 1. Pretvori števila a) 35624 [7], h) 32045(6], c) 72085 ]9] v dekadična števila! 2. Pretvori dekadična števila a) 9958, b) 14195, c) 68520 v številni sestav [6], oziroma [9]! 3. Pretvori: a) 460213 [7] v številni sestav [4]; b) 510423(6] „ „ „ [6]; c) 627534 [8] „ „ „ [9]! ?! X 4. 3146 + 213 + 31324 + 50421 + 42135 [7]. 5. 57016 + 124560 4 - 36425 4 - 61433 + 225347 [8]. 6. 41203 — 22412 [5]. 8. 83767 — 21875 [9]. 10. 3124 • 234 [5]. 12. 5372 • 458 [9]. 14. 6043 • 7507 [8]. 16. 384010 : 368 [9]. 18. 24420220 : 2204 [5]. 7. 532104 — 243255 [6]. 9. 706435 — 416723 [8]. 11. 2033 • 3012 [4]. 13. 4531 • 6543 [7]. 15. 231013 : 543 [6]. 17. 1522730 : 330 [8]. 19. 56432103 : 6005 [7]. K § 12. 1. Določi, s katerimi izmed števil 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 25 in 125 so deljiva sledeča števila: a) 312, 6225, 17280, 71016, 948656; b) 720, 6472, 76450, 484572, 567000; c) 534, 8625, 10692, 734520, 350496. 2. Določi praštevila naravne številne vrste od 1 do 100! K § 13. 1. Določi, ali so naslednja števila praštevila: 763, 829, 1003, 1739! 2. Razstavi na prafaktorje : 2268, 3075, 5376, 3828, 72 a s b 2 , 60 ax 2 z i ! Razstavi na prafaktorje: 3. 18 ob — 15 ac. 4. 9* 2 — 24*«/. 5. 2 a 4 — 4 a 3 + 6 a 2 . 6. 5x 3 z 2 — 15x 2 z 3 -j- 25 xz l . 7. x 2 -j- 2x 2 — x — 2. 8. a 3 - 1- 2 a 2 b — ah — 2 b 3 . 9. x s — 5 x 2 + 9 * — 45. 10. 2 a 2 * — 6 abx — a -j- 3 b. 11 . 10 ax — 15 bx — 20c* — 12 aij -f- 18 bij -|- 24 cy. 12. 4* 2 —l. 13. 9a 2 — 16& 2 . 14. 6* 2 — 54a 2 . 15. 75 a 3 b 3 — 3 ob. 16. 27 a 3 b — 48 ab 3 . 17. ( b -j- c) 2 — a 2 . 18. a 2 — (b — c) 2 . 19. 9 a 2 — (2 a — 3 b) 2 . 20. 9 b 2 — 12 b -j- 4. 21.9* 2 + 6* + l. 22. 16 a 2 — 48 ab + 36 b 2 . 23. 2a 4 — 4a 3 + 2a 2 . 24. 5* 3 + 10* 2 + 5*. XI 25. 4 a 3 b — 24 « 2 5 2 + 36 ab 3 . 26. fe 2 -j- 4 ab -j- 3 a 2 . .27. x 2 + 19« + 70. 28. x 2 — 7x -f 12. 29. a 2 — 9 ab + 20 b\ 30. 5 b 2 — 6ab + a 2 . 31. 7x 2 -f 8x;/ + f. 32. x 2 -f 4x - 5. 33. a 2 +5 — 245 2 . 34. x 2 —2x—15. 35. b 2 ~ 46c — 5c 2 . 36. 3x 2 -j-3x — 36. 37. 4a 2 -f 36a& -f 80& 2 . 38. 2x 2 — 12x — 32. 39. 5x 2 — 15 xy -f 10f. 40. x 3 -f 1. 41. x 3 — 1. 42. x 4 — 1. 43. x 5 -j- y~°. 44. x'° — y'°. 45. x 6 — y 6 . 46. l — 8x 3 . 47. 1 + 27a 3 . 48. 8 + 27x 3 . 49. x 6 -f y«. K § 14. Razstavi naslednje številne izraze na prafaktorje ter poišči njih največjo skupno mero: 1. 840, 576. 2. 336, 432, 528. 3. 561, 1155, 13864. 4. 693, 819, 9450. 5. 15« 3 &, 54 a 2 /d. 6. 12 acx, 16 abx 2 , 20 a 2 x 2 . 7. 2 ax -)- 4 bx, 6 a 2 5 —j— 12 a& 2 , a 2 — 4 & 2 . 8. 4 a 2 -j- 4 ab , 5 ab -j- 5 5 2 , 8 a 2 b -j- 8 ab 2 . 9. a 2 -f 3 a — 10, a 2 + 8 a -f 15. 10. a 2 — lOab -f- 166 2 , a 2 + 2 ab — 805 2 . 11. x 2 — 2 xy — 8 y 2 , x 2 -j - 2 xy — 3 xy 3 — 6 ?/ 3 . 12. 8 x 5 ^/ 2 — 8 x 3 // 4 , 4 xh/ 2 — 8 x 3 «/ 3 -j- 4 x 2 y 4 . 13. 12*3y 2 — 12 x 2 if, 18xy—18xy, 24 x 3 y ■— 48 x 2 y 2 -j- 24 xy 3 . Poišči največjo skupno mero naslednjih številnih izrazov s pomočjo verižne delitve: 14. 20295, 13735. 15. 14539, 25728. 16. 15548, 18590. 17. 24955, 338625. 18. 1701, 6426, 10521. 19. 78375, 65835, 13432. 20. 2x 4 — 9x 8 -j- 17x — 48, x 4 — 3x 3 + 7x — 15. 21. m 2 -J- 6 m —|— 8, m 3 — 3 m 2 — 4 m -)- 12. 22. 4» 3 — 16 m 2 + 23 m — 20, 6 m 2 —7 m — 20. XII 23. 6ar 3 -)- 16a’ 2 — 22 a? — {— 40, 9a 3 — 27 z 2 -j- 35a — 25. 24. 3a? 4 — 8a; 3 —|— lla 2 — 8* -j- 3, 2x s — 9a 2 -j-9a- — 7. 25. 6 a 3 — a 2 — 22 a -j- 15, 21 a 4 -f 25a 3 — 27 a 2 -f 21 a — 20. 26. 12a 3 — 2a 2 & — 5a5 2 — b 3 , 9a 8 -f 5«6 2 -f 2b 3 . 27. 5 x 3 — 18 xhj -j- 11 xi/ 2 — 6 y 3 , 7 a' 2 — 23 xy -j- 6 y 2 . 28. 2a 2 — 2, 5a 3 — 4a — 1, 6a 4 -~ 5a 2 — 1. 29. a 2 -|- 2 ab — 3 b 2 , a 2 6 ab — 7 b 2 , a 2 — 5 ah -|- 4 b 2 . 30. x 2 -)- 3 xij -f- 2 y 2 , x 2 -j- xy — 2 y 2 , 2 x 2 -j- 7 xy -(- 6 y 2 . Razstavi naslednje številne izraze na prafaktorje ter jim poišči najmanjši skupni mnogokratnik: 9. 12 & 2 , 15 a 2 , 24 ab 2 , 10 b 3 , 18 ab. 10. 8 a; 2 , 54 xy, 64 xij 2 , 80 ;// 2 , 81 x 2 y. 11. 5ac —j— 10, 20a' 2 —80, 6a: 2 -f 24 x + 24. 12. a 2 — b 2 , a 2 -(- 2 ab -j- b 2 , a 2 — 2 ab -j- & 2 . 13. 3 a? 3 ^/ — 3 a; 2 «/, 2x 2 y 2 -)- 2 at/ 2 , 4 a* 4 — 8ar 3 -|- 4 ar 2 . 14. 6 ar 2 — 3 a:, 24 a 4 —6 a 2 , 12 a 5 —12a 4 -(-3a 3 . Poišči naslednjim številnim izrazom najmanjši skupni mnogokratnik s pomočjo največje skupne mere : 15. 874, 943. 16. 6987, 8083. 17. 816, 765, 697. 18. 259, 3219, 7548, 19. a 3 — 49 a — 120, a 2 -)- 10 a -j- 25. 20. 6a 3 — 13a 2 — 45a — 25, x 3 -j- 2a 2 — 20a — 25. 21. a 3 — a 2 b — 5 ab 2 — 3 b 3 , a 3 — 3 a 2 b — ab 2 + 3 b 3 . 22. 5 a 4 + 7 a 3 b — ab 3 + b\ a 3 -f a 2 b — ab 2 — b 3 . 23. 4 a 5 -j- 11 a 4 8 a 3 — 2 a 2 — 4 a — 1, 3 a 4 -j- 8 a 3 -(- 8 a 2 -j- 4 a 1. K § 15. 1. 120, 168, 182. 3. 315, 441, 567, 378. 5. 2, 14, 21, 49, 90, 91. 7. 26, 35, 42, 52, 56, 60. 2. 105, 144. 270. 4. 720, 864, 1008, 1296. 6. 4, 5, 6, 10, 25, 28. 8. 16, 24, 32, 36, 40, 72. XIII 24. a- 3 — y 3 , x 2 -f- xy + y 2 , -f x 2 y 2 + yK 25. 2x 2 -j-x — 3, 10x 2 + 19^ + 6, 4x 2 + 12* -f 9. 26. 8x 2 — 6xy — 5 y 2 , 8x 2 — 14 xy + 5 y 2 , 4a; 2 + lxy — \by 2 . K § 16. Uredi sledeče ulomke po njih kolikosti: 1 5 5 7 13 19 29 „ 4 11 9 37 23 49 6 ’ 8 ’ 12 ’ 20 ’ 24 ’ 36' -- "6 ’ 16 ’ 16 ’ 40 ’ 48 ’ 60' 0 3 4 8 17 6 13 6 ' 4 ’ 15 ’ 21 ’ 30 ’ 35 ’ 42 • Pretvori sledeče ulomke na najmanjši skupni imenovalec: 4. a 5 a 3 bc 4 ac 5 cd 6’ 3 V-m' im 2 ’ 5 mx’ 12 b 2 ))} 2 ’ 7 acd 18 bmx’ , ab 2 3 ab lic« 2 1 a 2 b 13 a ' 6x 3 ’ 10 xy 2J 15x 2 y ’ 20.C/J ’ 24// s ' „ x .c 2 a; 3 _ a: -j- y x — y xy ' x — 1 ’ x 3 — 3x -J- 2 ’ x — 2 ' x 2 — xy 1 xy -f- y 2 ’ x 2 — y 2 " x —j— 5 x —)— 4 —j— 3 j; 2 -)-* — 2’ a: 2 —4’ x 3 —* 2 — 4x -f- 4 ' a: 1 3 a; # 2 -j- 1 x — 1’ aj-f-l’ x 2 —1’ a; 2 —J— 2a: —j— 1 10 . 1 — a r+v 1 -| -a 1 -j— a 2 1 — 2 rt -j - 1 “k ^ ^ 4” 1 _ n- 2 ’ 1 +2rt+ a 2 ’ 1 — 2 rt -j- a 2 ‘ Okrajšaj sledeče ulomke : XIV 26. 29. 31. 33. 27. a 2 — 8« -j- 15 « 2 — 10« -)- 21 ' (a + J) 2 — 4 c 2 « 2 — (6 -j - 2 c) 2 . »2 -|- ftg _ C 2 -|- 2 «5 a 2 — * 2 —|— c 2 —)— 2 ac ' x 3 — 5 as 2 -)- 8* — 4 as 3 — 7as 2 -)- 15as — 9 ’ a* —lab -f 125 2 a 2 + ob — 20 6 2 „.9 30. 28. « 2 -)- 6« — 16 a 2 -j- 5« — 24 ' 6 2 -j-- c 2 -)- 2«c 32. 34. « 2 — 6 2 — c 2 —j— 2 6c ' a; 8 -j- as 2 — 3as — 3 a; 8 -)- sc* — 4 as — 4' 3 a: 3 — 10 a; 2 — 18 x — 35 3 a? 3 — |— 17 as 2 -|- 27 x -)- 28 35. Izračunaj: x 2 — 4 a; -j- 4 za a? = 2. 36. za sc 37. 38. 39. 40. 2as 2 — 3 ax -j- « s a; 2 — 3 a; — 10 as 2 -f- 10x 16 x s — 5 a? 2 —j— 3 ac —|— 9 as 3 — x 2 — 21 cc —|— 45 x l -j- 2 x 3 — 18 a; 2 — 6 45 a. za sc = — 2. za sc = 3. za sc - x i -\- 3x 3 — 21.a; 2 — 9as-)- 54 - x- — 4 as — 12 za sc = x l -\- x 3 — x 2 — 4 — 12 2 as 2 — 8 3. 2 . K § 17. XV 11 . 13. 14. 15. 16. 17. 19. 20. 21 . 22 . 23. 24. 25. 26. 27. 28. 2 x o y 2 x — 3 i/ ~ x 2 -J- 5 xy — y 2 12 x 2 —18 xi/ \ 2 x 2 -\-] 8 xy' a ; 2 + 4 xy 4«/ 2 x 2 — 2 xy — 4 y 2 x — 2 y x — y * + 2 y’ x b — 16 xy i x 2 —(— 4 j? —)— 4 x 2 -)- 5 x -\- 6 x 2 — 6 x — 27 .z 2 — 6 a; — 36 a; -j- 2 ac 2 —}— 9 j? —20 x l -)- 4 x 2 y 2 ' x 2 - 1 x 2 — 2 a; — 3 ' x 2 — 3 x — 10 “ x 2 + 10 .r + 16 ' + x 2 -j- x — 1 c 2 — 2 a’ — 24 ' 2 _ 5 _, 4 1 3 x — 1 2 a; — 3 ' 18. 2 a- x — 1 3 x -j- 1 4 .r — 3 2 x 2 x — 5 (/ 9 X -f- 3 y 2 x + 1 x 2 -j- 3 x -j- 2 x 2 —|— 4 x —j— 3 _ ^ x 2 + 6 a; + 6 3 a-\-b 2 a-\~ 3 b . 36 2 —cib — 6 a 2 3 a 2 — ab ~ H+Ž+^TŠ 2 ”T 18 a 2 6 — 6 ab 2 ' a — h i a -\-b x — 2 x — 3 • 6 jj -|-hy , 3 a; + 4 y 12 x -)- 4 y ' 3 x y ' 3 x 1 | 4a? —f— 1 + 4 «5 « 2 + 3«5 + 25 2 1 a 2 -\-ab — 2 b 2 6 a — 8 b i 3 a — h 2 b s + ab 2 — 2 a 2 b a + b 1 « — 45 ! « + 5 5 a-\-b ' 1 2 b a — b 2 a a -\- b 1 a a -J- 3 a 2 —j— 3cr- —)— 2 j « — 1 0+1 5 « 2 « —j— 1 « 2 + a — 2 a 2 — a + 1 (++T~ b 2 « 2 + 2«6 + b 2 ' a — 1 — 2 ■ 4 a - 4 a + 1 i « 2 + « + 1 a — 1 a 2 — 1 si - ++ i 2 xy - - 3xz. m 2 — »/? 1 J y — z « 3 + 2 a 2 — a — 2 ■ 2 « - 4 a* — 1 ’ r — y- hx 2 18 a : 2 — 6 y 54 ,r 4 — 6 y 2 27 x 4 + a; 2 f/ ^ a ? 2 + 6 »/ 61 / 6 a; 2 j/ + 2 «/ 2 K § 18. „ 24 « 2 5 3 K „ 2 ‘ 25+p- 5 ^' 4 - ^ *(* + *)• XVI ab O. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21 . 22 . 23. 24. 25. 26. 27. 29. 31. 32. 33. a 2 — b 250 « 6 3 • 2;r + 3 625 ab 2 10. (a; 2 — 4) 37-3 (a 2 —45 2 ) 27« 3 6 2 15 xy 2 a -\- 2b a 2 — 3«6 -|- 2 6 2, a; 2 -j- 4 a; -f- 4 is. (i + »)-0 + rr3- 25 x 2 ij 3 a 2 b / 33m 3 \ / 6«% 2 \ \ 4a s x 3 / \ 11 mi/ 2 /' x 2 -\~4x-\-3 x 2 —9 ■ — 3 x -f- 1 ic 2 —)— 6 ac —j— 5 x 2 -\- 4 x — 5 x 3 — 6 jj —[— 5 x 2 — 4x — 5 ‘ 14. 16. 18. 20 . 2 ab ccl ( 3 acx\ 2 dm / ' a 2 — b 2 «6 (i 9 — x x 2 — 5* — 6 Ml « -(- b (c —j— 3 a -j - 2 a 2 — 4 « 4 — 16 a -)- 1 « 2 — 2« — 3 a 2 ~\- 4a -\~ 3 a 2 -\-2 a — 3 a 2 — 4 a 3 4 + 1 ^ x 2 ~\- bx -)~ 6i m- m 2 — 1 «6 % xy ab — 2 )(”- + )(i - 4+ «-(-&/ a ) 2' A) 2 XVII 39. 41. 43. 45. 47. 49. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 105 a 2 V . - , „ hlx*y*z # 19 x 2 y 16 mn 2 * 8 mn x — y V * »)• 21 bx 2 y 3 _ 14r< 2 i/% 25 « 2 C2 S ' 45 6 2 c 2 r' «• (»-A 4 ■(» + !)• a: + 2 j/, ):(2* + 3;/>. 46. (l + ;t4S+XC'+ »*>• («• T$f) = (. + «. ■ 2 «6 -j- b-' 48. (x«-!,*):(i + I). (4x»-{,):(2x + i). y a — 2 6 e n 6 a 2 -|-{>«6 - 6 6 2 50 - ' 2 «+ 36 =( 3 «” 2 &). M 26 (»- (i (a 2 a 4 - 2 6 / " \ a — 2 6 «-(-2 6 4 + 4 G +4 f + ;j) : (“ + 4 )• (x -f- 3): (l /.e — 2 V " 6 x — y x -\-2 f). »)• x 2 4- 5 x 4- 6/ : : 4 ž>v). 58. (« 2 - ž> 2 ): - (t2 + 2 ^+ l 3 : («3 _ b s } _ 8 n s 6 ./ 6« 2 ~ 27 c Matek, Aritmetika. XVIII 68. (gj*® + lxy + .§ž/ - j): (J* + {)• „„ (xy 7 x s 43 x l x b 4* 6 \ by ' \Y 6 1 12y ~~ 607 2 ~~ W 3 ~ ~W' / x 2x 2 3a" 3 4 j- 4 \ ■ \2y 1 4? Vj/ 4 /' 3 a \ 2& 2 / 1 70. 1_15 32 71. 2 TAJ 3 J/ 2 3 4 -r~y 72. « 2 -f- 6 a -f- J 2 i ' 6 — a ab m 73. 75. 2 a 3 m am , . -h 4« — m 1 am a — m 3^ + 3 ?/ _ 5 j -f 6 ;/ ^ 4*_ 2 2 2/ 4)/ 1 y x — y * + V ( X + V 74. )(l + 3V) 76. a -\- b a — b a b XIX 77. a 2 — ab -)- ž> 2 a — b a — b a -f- b a a — b a — 2b n-fi 3« —)— 4 6 1 2 a —f- 3 b | 3 b 3a + 46 a i T Razreši sledeče enačbe: 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86 . 87. 88 . 89. 90. 91. 92. X | X ir + T' X 6 " f — 9 = * X n 23 66 ' 3x — 8 16 x — 20 TT 3 x-\- 2 7 x — 1 x -f- 1 a: — 2 x — 1 34 2 - 3j? — 16 4 1 _ —5_I-= 0. r — 9 \ - 4 a: — 2 3 x — 3 x - 4 — 4 10 = 2’ 2a; 3 x z 3x — 6 5x -j- 6' 5 6x 2 + 2x 18.r ž — 2 42a; 2 — 14x ' II* XX 93 . 94 . 95 . 96 . 98 . 99 . 100 . 101 . 102 . 103 . 105 . 107 . 3x + 1 ]2x — 8 5x - 2 x 2 - x — 2 5 y — 3 a 2x — 5 9x — 6 5x — 3 1 - 7x 6x — 4 18 x — 12 ‘ 3x - 1 2x — 11 4 a — 3 x 2 — 2x — 3 x 2 — 5 j? —f— 6 3 y a 2 a — y — n + ^— 1 m — m —f- n 1 ni — n n + m 97 u ~ a 1 H —(— n ' * y — b 2 a IT it-*’ a — b i b — c _ a — b , v — « — « ' » — fe 6 — i/ ' a — i/ ’ V — « 1 y y — a “ « -)- 6 — a 6 0 — 2 / 2ab 2 b 2 - a 2 c — a y' y - b 2 — b • « — x (a + = (a — x) (a — — a. “2 = 0. 3x 2 - 2 1 — * 1 4- x 1 —)— 2 « —« 2 1 i.B. 3 1 + 1 3 ' x 104 . -(- 6x * + “2 x -f- 2 2*4-1 T x — 3- x + 1 2x T + *- — 3 — 3 = 1 3x 106 . 108 . X ~T 6 a + b a — b ' o -j- 6 1. 628-34—(75-894 + 2. aj 65-382 • 74 9; c) 168 • 0-795; 3. a) 26-21429 : 283; c) 32145678 : 378-23; K § 19. 91-34 + 87-256 + 156-7). b) 0-1964-0-273; d) 3-9268-478. b) 376-094 : 51-64; d) 2-621429:0-09263. 4. a) 17 ■ 64 • 8-jV ; d) 418-59 : 16f; b) 3-985 • 6f; e) 512f: 13-67; XXI c) 20-13 :7f; f) 604 X V: 11-33. 5. Razreši naslednje enačbe: 3'07 x i x — O'08 3x a) b) 16 1 8-4 5-4 x 3x ) 8 2 __ 0-94 5 x x - 0-00925: + 27; c) (* — 0-1) 2 — 3jt(jt — 2-1) = 8-8 — (2.r + 6-8)(.r —0-6). K § 20. Pretvori naslednje navadne ulomke v decimalne : 15 37 67 117 „ 29 26 _8_ 1000 1- 16’ 50’ 80’ 125' "• 33’ 41’ 111’ 909" 13 ^ 92 3121 ’• li’ 135’ 205’ 404 " Pretvori naslednje decimalne ulomke v navadne: 4. 0-072, 0-9518, 7'750, 17-525. 5. 0-06, 26-752, 8-567, 0-4378. 6. 0-73, 15-351, 0-79324, 0-01926. 7. Izračunaj: a) 6-4-5-27, 2+3 - 0-(3, 0-8-048; b) 1-037:245, 2-4:115, 1 06:0-426. K § 21. Uredi naslednja števila po njih popolnosti: 8'3 .., 17 456 .., 8-12.., 174-56.., 82-4.., 0 • 75 . ., 0-73.., 10-7823.., 875-6.., 0-0092 ..! K § 22. 1. Določi naslednje vsote tako natanko, kakor je mogoče: a) 3-58.. + 6f + 13H + 23| + 4A- i) 4f + 7ff + 6-4835.. + 18 T V + 31f. c) 9-f + 4^- + 16f + 20 t 3 t + 47-264... XXII 2. Določi naslednje vsote na dve decimalki: a) 1*+ 8-538..+ 34*+ 3-65 + 12* b) 7| + 51 + 94 + ll| + 15 T V. c) 0-956+ 28*+ 45*+ 50H+ 4*. 3. Določi razliko po dveh vsot v nalogah 1. in 2.! K § 23. 1. Izračunaj naslednje produkte tako natanko, kakor je mogoče: a) 5-693.. X 8-24, b) 974-623.. X584, c) 7-645 X 9-783 . d) 695 X 78-642 . e) 76-54.. X 93-257 .., f) 48'536.. X 8'724 . ., (j) 3-546.. X 4-297.. X 6'825 . ., h) 15-2346.. X 15-2346..X 15-2346.. 2. Izračunaj naslednje produkte tako natanko, kakor se zahteva: a) 7'4619 X 3-258 (na 2 decimalki). h) 18-5789 X 52-483 (na celote). c) 82-5134.. X 37-089. . (na 1 decimalko). d) 1521-34 X 265-87 (na desetice). e) 73264 X 8956 (na tisoče). f) 603-3284.. X 0-9576 (na 3 decimalke). 3 == (a -j- 6) x. XXV 7. Izrazi naslednja sorazmerja z najmanjšimi celimi števili: 9. Poišči aritmetično, geometrično in harmonično sredino števil a) 4, 16; b) 1 • 2, 2*7; c) 2~, 35^; d) m 2 , w 2 ; e) m -j- m, m — n: f) —, m. 10. Harmonična sredina med 8 in * je 5; koliko znaša 11. Poišči na isti način x, če je prvo število a in harmo¬ nična sredina c (n. pr. a ff O - 4, c = 0• 6)! 12. Dokaži, da je aritmetična sredina dveh različnih števil a in b večja ko geometrična sredina! Iz (a — b) 2 > 0 sledi (a — b) 2 -)- 4 ab > 4 ab ali (a -j-, b) 2 1 > > iab i. t. d. 13. Razdeli število 60 (270) na tri (štiri) dele, ki so si kakor 3 : 4 : 5 (6 : 7 : 8 : 9)! 14. Razdeli število 3710 v razmerju 15. Poišči neznanke iz naslednjih podatkov: a) x : y — 2:5 b) x : z = h : 6 y : z = 2:3 y :u — 2:3 y : u = 5:9 z :u = 4:3 x -]— y —z —(— u = 705 ; x -j- y -f- z u = 555. (Poišči najprej zaporedno sorazmerje!) XXVI 16. Razdeli število 9150 na tri dele x, y , 2 tako, da so si x : y = 5:3 in z:y = 3:4! 17. Razreši naslednje enačbe: a) 13 : (13 — tj) = 39 : 30; b) (25 — y ): 3 == f: 11; c) (a — x): (x — b) = a:b; dJ (1 -|- x) : (1 — x) — (1 -f- a 2 ): 2 a; e) (x — 200): (x -|- 100) = (x — 72): (x -j- 394) ; f ) (7« — 3): (14*3) = (5« + 3): (10js + 9); 9) 1 : (* + 1 ) = (* — 2a ): (a + *)(* ~ 2 ); , . a -j- b . a — 1 _ a — b , a -)- 1 1 a -f- 1 * x — 1 a — 1 ’ x 1 ’ K § 27. 1. 17.j m sukna velja 131 K 25 h; koliko velja 9 |m istega blaga? 2. A pride od kraja M do kraja N v 8f ure, če prehodi vsako uro po 4500m; koliko časa potrebuje R, ki prehodi vsako uro po 3600 m, za isto pot? 3. Posadka 7500 mož ima živeža za 48 tednov; čez koliko časa se sme posadka povečati za 500 mož, da se bo shajalo z ostalim živežem od te dobe še 255 dni? 4. 10 delavcev napravi prekop v 15 dneh; sprva dela samo 6 delavcev; čez 5 dni se najmeta še 2 delavca in 3 dni pozneje se najmejo še 4 delavci. V koliko dneh se dovrši delo? 5. Iz 16 kg preje se napravi 70 m platna, ki je po 78 cm široko; koliko metrov po 116 cm širokega platna se napravi iz 36 kg preje? 6. Stavbišče, ki je 15 \m dolgo in 12 \m široko, velja 3797’5 K; koliko velja drugo stavbišče, ki je 27 m dolgo in 18 \m široko? 7. 36 zidarjev dozida stavbo v 90 dneh, če delajo po 10 ur na dan; koliko zidarjev se mora čez 40 dni še najeti, da se ostalo delo izvrši v 30 dneh, če delajo vsi delavci na dan po 12 ur? 8. V katerem času da določena glavnica po 5|% naložena iste obresti kakor po 4f% naložena v 45 dneh? XXVII 9. Po koliko procentov moraš naložiti kapital, da dobiš v 5 letih 1533 K obresti, ako da isti kapital po 5% v 4 letih 876 K obresti? 10. Koliko obresti da 5240 K glavnice naložene po 44% a) v 3 letih 5 mesecih, b) v 2 mesecih 18 dneh? 11. Kateri kapital da po 54% naložen v 7 mesecih 2204 K obresti? 12. Po koliko procentov moraš 2424 K naložiti, da dobiš v 225 dneh 136 - 35K obresti? 13. V katerem času da 5844 K glavnice po 4| % naložene 7444 K obresti? 14. A si izposodi 780 K; koliko mu je plačati s 44% ob¬ restmi vred čez 2 leti 3 mesece? 15. Koliko kapitala moraš naložiti po 44%, da dobiš čez 2 leti 3 mesece z obrestmi vred 704 - 8 K nazaj? Prvotni kapital -f- obresti tega kapitala = končni kapital z obrestmi vred. 16. Po koliko procentov moraš naložiti glavnico 4530 K na 2 4 leta, da dobiš za 165'82 K manj obresti ko od 3450 K glav¬ nice naložene po 34% v 5| leta? 17. A kupi železniško delnico 400 K imenovane vrednosti, ki nese 5% obresti, za 344 K; po koliko procentov je naložil svoj denar? Delnica nese obresti od njene imenovane vrednosti. 18. Trgovec prodaja kilogram nekega blaga z 20% do¬ bičkom po l - 44 K; kolika je kupna cena? Po čem bi moral kilogram prodajati, da bi imel 274% dobička? 100 K kupne cene da 120 K prodajalne cene, če se pro¬ daja blago z 20% dobičkom. 19. Ako se prodaja meter sukna po 4 K 86 h, znaša dobiček 8%; koliko procentov znaša dobiček ali izguba, če se prodaja meter po 4 K 32 h? 20. A ima dolg 524'4 K plačati čez 3 mesece; koliko znaša gotovo plačilo, če se mu dovoli 5 % letnega diskonta? Gotovo plačilo -f- diskont = dolg. — Diskont se računa pravilno od gotovega plačila kakor obresti. Pri trgovskih XXVIII dolgih, posebno pri menicah, se računa diskont (sicer ne¬ pravilno) od dolga. 21. Nekdo plača za dolg 7258'05 K, ki bi ga moral porav¬ nati čez 2 leti 9 mesecev, 6350 K gotovo; po koliko procentov se je računal diskont? 22. Menica na 1720 K, ki se je 15. novembra izdala za 2 meseca, se proda 10. decembra s 5diskontom; koliko se plača za menico? Dan, katerega se menica proda, se ne jemlje v poštev pri izračunanju diskonta, sicer pa se štejejo dnevi po koledarju. 23. Menica na 800 K, ki doteče 2. avgusta, se proda 29. junija za 796'11 K; po koliko procentov se je računal diskont! 21. Razdeli 1004’5 K med štiri osebe tako, da dobi A toli¬ kokrat po 3 Iv kakor B po 4 K, C tolikokrat po 9 K kakor B po 10 K in I) tolikokrat po 25 K kakor C po 24 K; koliko dobi vsaka oseba? 25. K skupni kupčiji, pri kateri je 400 K izgube, da A 400 K na 5 mesecev, B 1000 K na 2 meseca, C 600 K na 4 me¬ sece in D 1200 K na 3 mesece. Koliko izgubi vsak? 26. Kosmata teža nekega blaga znaša 540 kg, tara 6^%> 17% čiste teže se kupi za 3 - l K; kako drago se mora prodati vse blago, da se zasluži 18%? K § 28. Uredi naslednje enačbe: 1. 3x 3 -j- x 8 . o X _ ^ “'5 3 x ■ X 0. O 1 _ 1 1 « + X ___ C - x-|“3 1 ' x - 3' ‘2 a 3 x 4a 3x' 5. (3x — 4) (2x — 1) — (4x — 3) (x -j- 5) = 2x 2 -\- 5.r — 4. 6. (10x 4 — llx 3 -|-14x 2 — 7x — 6):(5x 2 — 3x — 2) == = 2x 2 -|- x — 3. Ms - D’+(t- 6 )‘= (!*)*• XXIX 8 . ^ + a — x 1 — (IX —j— 9. 11 . 12 . *- + — // 1 2 -y 2 2/-1 1 ‘J - 5 « —j— ;c 1 4 2 + V 5 — X a 2 — j : 2 ' (/ 2 - 4 4 3. 10. 'Z 2 — 4?/ -}- 3 1 2 4 - = 2 v 7 ^ -j- 12 — 9 ^ 1 . -I q .'/ “j - 3 rt // —■ 2 rt y —j— 2 rt ' * _ i7i ~~ //+TT« = i/ + 7 ay 4- 12 a 2 45 8 64 y 24 6 + 9 j/ 4// — 6' K § 29. Razreši naslednje enačbe: 13. 14. 3 ;/ 7 // o 2 H 43 3 3(3 — 2//) 3+2// 4y 2 < 13// — 3 6 5?/ + 2 8 !)• 5 XXX 1 k ^ y -f~ 1 i 5;/ — 1 ___ 7// - - 4 . žJ 4»/ — 10 6*/ - 15 10// — 25 3/ 16. 17. 9y — 0-1 , 5»/ — 2 0'8//+ 7 20j/ + 6 ' y -j- 0-3 9y + 2'7 v - 3 i y — 4 _ 2 ž/ _ 0 !/ - 4 i y + 3 y + 7 0-97. 18. (a — «/) (a -f- b) — (a -j- y) (a — b) = a (3 b — «/). 19. a 2 (i/ — b ) — b- (y — a) = a (tj -f- a ) — «(// — ») Hi[ - ft) 4 ‘ a + 2 6 ; 2 < / 4" & 6 ' 21 . »45 — 6) c _ bc a 2 b 2 bi/ (a -\- b)y ' a b' 22. «(3y-2o) [ 6(3//- 2 6) «4^ ! 3« 4" & 00 y — « i v - h _ 1 j_ v - « - h ‘ 2 / 4-« ' y 4- 6 1 2 / + « 4- &' H- 6 )- Razreši naslednje enačbe po primerjalnem načinu : 24. 3 ,r — 2 y = 5 25. 5 * -f- 4 «/ = 2 2*4-3y = 12. 3*-f5«/ = —4. 26. 2 ar + 5«/ = 31 7x —2 y = 11. Razreši naslednje enačbe po zamenjalnem načinu: 27. 4*+ 5 y = 23 28. 3ar— 10«/ == 12 3*— «/ = 3. 0 - 4x-{-«/ = 3. 29. x : y == 11 :19 2x — 3 y = 10. Razreši naslednje enačbe po načinu enakih koeficientov 30. 4*4-9«/ = 51 31. 3* -{- 5«/ = 93 8* — 13«/ = 9. 4* + 7 y = 128. 32. 8 ar —j— 9«/ = 77 7* — 12«/ = — 32. XXXI 38. Razreši naslednje enačbe po načinu nedoločenih koeficientov: 33. 8 a: — 5 y = 25 34. 3 x — 4 y — 4 3 a? —j— 7 y — 36, 4,r-j-3 >j = 72. 35. 3x — 15 y = — 2 4x — 9 y = — 1. Razreši naslednje enačbe: 10 _ 13 3 y ~ 6 10__ 181 3x 2 y 90 6 , 5 36. - + = 15 x 1 y 36_9^ _ g X 11 37 JL 6 • 2x h+ 8 X — 1 v + 1 2 y + 1 3 2 n 12 " 39. x — 1 4 1 40. 8 — 3 / + 9 2x — 3j/ 6 4x + y , 6 41. v — i ^ 7 x — 1 y - 1 i 1 1 1l + l> b = 1 x — a a 2x — 3 y 1 4 x y 48" x — a y -)- b 2 . a b ab a 2 — ~ab Uredi sledeče enačbe ter jih razreši po načinu, ki je nalogi najprimernejši: 42. x — y = i(5x — 6y) x — y -)- 48 — 5 (6x — 7»/). 43. (3x —j— 2?/):(2a" — |— 3?/) = 8:7 7 x — 8 y = 24. 44 - t-£(* + !) = y~ b ■t — t (y + 1) = * + 3 - 45. (x — 5y + l):(3* — 7y + 3) = 7:9 (2 x — y — 6): (7,x -j- 9 tj -j- 6) = 1:5. x — 6 _ x V V + 5 4 x -f- y 25 46. 2x-)-3;y | t _ x4-2y “f - (x — y) 4- 3;/ (x + 12): y = x: («/ — 8). X — 3 y 2 = 20 (x + 2/) — 4i/" XXXII ;/ (2 x — 5) ' = * 11 ?/ - 9 51. 52. I 1 Tl _ 3 X -r - O // _ 1 ‘ ' 17 3 4* + 15// + 7 8»/ —(— 5 * + 12i/— 43 5* — 7 18 6 TT~ 0 . 5*-)- 13 8// —3*—5 7* — 3 // —j— 28 2 6 “ 3 ^ 7 :( 3// f 8 + 4.r) = 4:21. 53. 2 x ; j | 7// -j- 6* +11 “9 3?/+ 2 18 o a; —j— 3 // —j— 2 19 5*—17 2 6 _ 54. oo. 50. 2 7 (14.r -)- 3): (7// — g) = (4.r -+ 3) : ( 2 y + -) (8 .k —j— 5): (6t/ —J— -1) = (4x + 1): 3 y. 7 x , 84* — 5(7*// - j- 3) __ 5 (14* — 90//) X 5// — 7 1 1 + 10// (3 - 12 l+~4 + ) : ( 3 Ž/ + 2 ) = 1: (6^ — 1). •» — («+■ 6 ) z/ = 6 (6 — a) x -f- abtj — b~. 58. — a 2 57. 2 * 2 ;(/ — (* 2 * — a , 2 // + b _ a + b b 2 ' a 2 ab a + b ' a — b * tj 4ab 59. a — b a + b a 2 — b 2 ' a (* — a) 1 b (tj + 5) _ a 2 — b 3 a -j- b a — b 2 ctb 2 XXXIII 60. y + 3z = 39 3y 2x = 48 42 — 3x = 18. 61 . 3 ^ — 4y --- 6 2z-\-3x = 26 5 y — 6* = 18. 62. 4x-y-\-3s = 20 63. = 2 2x+3y + lis = 55 4a; _ 3 16* + 3«/ + 312 = 170. 2z = 2 6* -j- 9 y — I62 = 2 . 68. (* + l):( 2/ :-f 1):(2 + 1) = 1:2:3 4x J r 3y-\-2z = 55. 69. 4* — 3 y -j— 2 2 — u = 19 5 sc —(— 4 // — 32 — 2 u = 39 6 * -f- 2// — 52 — 3 u = 26 3 x — 5 y -\- 3 z — 4 u = 12. 70. 2*+ 3 y = 22 4y -(- 52 = 31 6 2 + 7« = 32 8 h -j- 9* = 61. 71. 3x:4y = 6:5 4*: 62 = 4:3 3 * : 8 m = 3:1 lx — 6y + 82 — 10« = 40. 72. ' — 4® + 2y + 3« = 5 -— 3 x — 2 2 -f- 4 w = 4 y — 5 2 -\- 2 u = 3 3* — 4 ?/ + z = 2. Matek, Aritmetika. III r. XXXIV K § 30. 1. Načrtaj točke M t (3, 0), M 2 (5, 2), M a (0, 4), J/ 4 (— 6, — 2), M h (— 4, 7), M 6 (7, —4) ter določi razdaljo njih vzmetov a) v abscisni, 6) v ordinatni osi. 2. Načrtaj naslednje linearne funkcije: a) y = —4x-)-B, b) y = Qx — 8, c) 2 x — 3 ?/ = 1, d) h y — lx = 13, e) 4z + 5 y = 0, f) ~\r = °- K § 31. 1. Pri katerem številu je tretji del za 7 manjši ko četrti in peti del skupaj ? 2. Katero število smeš z 10 (11) pomnožiti, da najdeš isti rezultat, kakor če prišteješ dotičnemu številu 10 (11)? 3. Katero število je za toliko manjše ko 160, za kolikor je njegov 3kratnik večji od 160? 4. Katero število moraš za 2, 8, 18 povečati, da tvorijo zneski stalno sorazmerje? 5. Za koliko moraš povečati število 339 in zmanjšati šte¬ vilo 355, da sta si zneska kakor 21 : 22? 6. Katerega števila kvadrat je za 120 večji od kvadrata za 10 zmanjšanega števila? 7. Ako prišteješ določenemu številu 4, najdeš mnogo¬ kratnik števila 100; ako pa odšteješ dotično število od 801, najdeš istotolik mnogokratnik števila 15. Katero je to število? 8. Razdeli 60 na dva dela tako, da najdeš kvocijent 2 in delitveni ostanek 3, če deliš večji del z manjšim! 9. Katero število moraš števcu ulomka prišteti in od imenovalca odšteti, da najdeš obratni ulomek? 10. Poišči dve števili, ki imata te-le lastnosti: ako povečaš prvo številko za 3 in zmanjšaš drugo za 3, znaša njun kvocijent 3; če pa povečaš vsako izmed števil za 2, je njun kvocijent 2. 11. Kvocijent dveh števil znaša 5 in delitveni ostanek 5; ako povečaš prvo število za 9 in drugo za 1, je njun kvocijent 6. Kateri sta števili? XXXV 12. Ako prišteješ številoma 5 in 8 določeni števili, najdeš vsoti, ki sta si kakor 2:3; če pa odšteješ isti dve števili od 5 in 8, najdeš razliki, ki sta v razmerju 1 : 2. Kateri sta do- tični števili? 13. Vsota dveh števil je za toliko večja od 150, za kolikor je polovica razlike istih dveh števil manjša od 150; če deliš večje teh števil z manjšim, najdeš kvocijent 4 in delitveni ostanek 2. Kateri sta števili? 14. Ako prišteješ števcu in imenovalcu določenega ulomka 7, najdeš ulomek 4; če pa odšteješ od števca in imenovalca istega ulomka 2, najdeš ulomek Kolik je dotični ulomek? 15. Produkt dveh števil znaša 25425 in postane za 565 večji, če povečaš en faktor za 5. Katera sta faktorja? 16 . Učenec množi dve števili in najde zmnožek, ki je za 454 premajhen; ta znesek bi bil prav, če bi zmanjšal prvo število za 5 in drugo za 1. Pri drugem množenju najde učenec znesek, ki je za 750 prevelik; ta znesek bi pa bil prav, ako bi povečal prvi faktor za 1 in drugega za 3. Kateri števili je množil učenec? a _5 17 . Izrazi ulomek ——g—r-^ kakor razliko dveh ulomkov! « 2 — o ci -j— 6 18. Razdeli 67 na tri dele tako, da sta si prvi in drugi del kakor 3:4 in da je tretji del za 3 manjši od drugega! 19. Določi tri števila z naslednjimi lastnostmi: ako deliš vsoto prvega in drugega števila s tretjim številom, najdeš kvocijent 3 in delitveni ostanek 3; ako deliš vsoto prvega in tretjega števila z drugim številom, najdeš kvocijent 2 in delit¬ veni ostanek 1; če pa deliš vsoto drugega in tretjega števila s prvim številom, najdeš kvocijent 1 in delitveni ostanek 1. 20 . Izrazi naslednje ulomke kakor vsoto dveh ali več ulomkov, katerih imenovalci so faktorji določenega ulomka! 21. Ako odbiješ četveroštevilčnemu številu začetno šte¬ vilko 5 ter pripišeš ostalemu številu na desni ničlo, najdeš za 4 večje število; katero je to število? v d v -j- a ' (2 -j- 3 n) (5 — 4 a) ’ 39-j-re 15 -j— 88 « —j- 124 a 2 (1+ 2a)(l + 3a)(1 -f 4 a) 1 — a ff 2 a — ci¬ ni* XXXVI 22. Ako odbiješ peteroštevilčnemu številu začetno števiko 1 ter jo pripišeš ostalemu številu na desni, najdeš število, ki je za 2384 manjše od 3 kratnika prvotnega števila; katero je to število? 23. Katero šesteroštevilčno število se podvoji, ako mu od¬ biješ začetni številki 28 ter ju pripišeš ostalemu številu na desni? 24 . Številčna vsota dvoštevilčnega števila je 6; ako zameniš številki med seboj, najdeš število, ki je za 6 večje od trikrat¬ nika prvotnega števila. Katero je to število? 25 . Dve dvoštevilčni števili se pišeta z istima številkama. Če postaviš prvo teli števil pred drugo ter deliš to novo število z drugim številom, najdeš kvocijent 64 in delitveni ostanek 38; če pa postaviš drugo število pred prvo ter deliš to novo število s prvim številom, najdeš kvocijent 158 in delitveni ostanek 21. Kateri sta števili? 26 . Dve števili, ki se pišeta z istima številkama, sta si kakor 13:31; njiju vsota znaša 88. Kateri sta števili? 27 . Troštevilčnemu številu je številčna vsota 17; prva številka na levi je četrti del naslednjega dvoštevilčnega števila, prva številka na desni pa je deveti del pred njo stoječega dvo¬ številčnega števila. Katero je to število? 28 . Ako zameniš pri troštevilčnem številu, katerega šte¬ vilčna vsota znaša 11, stotice z enicami, najdeš število, ki je za 29 manjše od dvojnega prvotnega števila; če pa zameniš desetice z enicami, najdeš za 36 večje število od prvotnega. Katero je to število? 29 . Izmed treh bratov je prvi 22, drugi 15 in tretji 12 let star; čez koliko let bo prvi brat toliko star kakor njegova mlajša brata skupaj? 30. Oče je star 83 let, sin 55 let in liči 39 let. a) Pred kolikimi leti je bil oče 3 krat toliko star kakor sin? b) Čez koliko let bo oče 2 krat toliko star kakor hči? 31. Sin pravi: pred baleta je bil moj oče 5\krat toliko star kakor jaz in čez 5| leta bo oče 2fkrat toliko star kakor jaz; koliko sem star jaz in koliko moj oče? XXXVII 32. V dveh sosednjih sobah je skupaj 44 oseb; če gre iz druge sobe v prvo sobo toliko oseb, kolikor jih je v prvi sobi, je v vsaki sobi enako veliko oseb. Koliko osebje bilo v vsaki sobi? 33. V družbi je 3 krat toliko gospodov kakor gospa; ko so 4 gospodje odšli s svojimi gospemi, je bilo v družbi 4 krat toliko gospodov kakor gospa. Koliko gospodov in gospa je bilo v družbi? 34. Pri nekem zborovanju je glasovalo 8 oseb več ko tretjina izmed navzočih za predlog, 4 osebe manj ko četrtina pa proti predlogu; če 26 oseb ni glasovalo, koliko oseb je bilo pri zborovanju? 35. Neka družba naroči skupen obed v gostilni. Če bi bili vsi udje prišli k obedu, bi plačal vsak tolikokrat po 10 h, kakor je imela družba udov; ker pa 5 udov ni prišlo k obedu, je moral vsak izmed navzočih razen prejšnjega deleža še 60 h plačati po vrhu. Koliko udov je imela družba? 36. Neki igralec napravi dve igri; v prvi igri izgubi polovico svojega premoženja in ^K, v drugi igri izgubi polovico ostanka in -|K. Če mu ostane še 5 K, koliko denarja je imel sprva? 37. Vrtnar zasluži vsak dan, kadar dela, hrano in lf K; za vsak dan pa, kadar ne dela, mora plačati gospodarju f K za hrano. Čez 30 dni znaša vrtnarjev zaslužek 36 K; koliko dni je delal vrtnar? 38. Dva soda držita skupaj 351 l vina; ako vzameš iz prvega soda šesti del, iz drugega pa tretji del, ostane v obeh sodih enako veliko vina. Koliko drži vsak sod? 39. V nekem razredu sedi v vsaki klopi po 6 učencev, v zadnji klopi pa le 1 učenec; če bi pa sedelo v vsaki klopi po 5 učencev, bi morala 2 učenca stati. Koliko klopi in koliko učencev je v razredu? 40. V tovarni dela 62 delavcev, mojstrov in pomagačev; vsak mojster zasluži na dan 4 K, vsak pomagač pa le polovico toliko; če bi vsakemu mojstru znižal dnino za 0'8K in vsa¬ kemu pomagaču povečal dnino za istotoliko, bi postal dnevni zaslužek vseh delavcev za 25'6 K večji. Koliko mojstrov in koliko pomagačev je v tovarni? XXXVIII 41. V vsakem izmed dveh sodov je nekoliko vina; iz prvega soda ga preliješ v drugega toliko, kolikor ga je v tem sodu; potem ga preliješ iz drugega soda v prvega toliko, ko¬ likor ga je ostalo v tem sodu; končno ga preliješ iz prvega soda v drugega toliko, kolikor ga je še ostalo v tem sodu. Če je sedaj v vsakem sodu 121 vina, koliko ga je bilo sprva? 42. Ako denem iz levega žepa v desnega 10 h, je v tem žepu 3 krat toliko denarja kakor v levem; če pa denem iz desnega žepa v levega 10 h, je v tem žepu 7 krat toliko denarja kakor v desnem. Koliko denarja je bilo sprva v vsakem žepu? 43. Trije igralci napravijo tri igre. V prvi igri izgubi A in mora B -u in C'-u toliko plačati, kolikor ima vsak izmed njiju; v drugi igri izgubi B in mora A - u in 6'-u toliko plačati, kolikor ima vsak izmed njiju; v tretji igri izgubi C in mora A - u in B - u t oliko plačati, kolikor ima vsak izmed njiju. Če ima po tretji igri vsak igralec 32 K, koliko je imel sprva? 44. A pravi B- u: če mi daš 700 h, imam 2 krat toliko denarja, kakor ga ostane tebi; B pravi C- u: če mi daš 1400 h, imam 3 krat toliko denarja, kakor ga ostane tebi; C pravi A- u : če mi daš 420 h, imam 5 krat toliko denarja, kakor ga ostane tebi. Koliko denarja je imel vsak? 45. A kupi 4 m modrega, 6 m črnega in 11 m sivega sukna za 175 K. Če bi bil meter modrega sukna za j K cenejši in meter sivega sukna za \ K dražji, bi bile cene modrega, črnega in sivega sukna v razmerju 7:6:5. Koliko velja 1 m sukna vsake vrste? 46. Trgovec proda blago s 3% izgubo za 356 K 96 h; kolika je kupna cena? 47. A proda stot blaga za 55 K 20 h in ima 15% dobička; po čem je kupil stot? 48. Če proda trgovec kilogram blaga po 1 K 35 h, ima 8% dobička; koliko procentov dobička ali izgube ima, če proda kilogram po 1 K 16 h? 49 A plača čez 1 leto 5 mesecev za izposojeni kapital in 4|% obresti 6382 K 50 li; kolik je bil kapital? XXXIX 50. Pri katerem kapitalu, ki je po 5% naložen, se zmanj¬ šajo letne obresti za 125 K, če ga naložiš po 4f%? 51. V katerem času dasta glavnici 4400 K po 5% in 5500 K po 4^ % naloženi skupaj 1870 K obresti? 52. A ima \ svojega premoženja po 4%-% naloženega v državnih papirjih, •§ po 4% na posestvih, ostanek po 3^% v hranilnici ter dobi skupaj 7060 K letnih obresti; koliko premo¬ ženja ima A? 53. 60 delavcev, katerim se je dnina zvišala za 15%, zasluži skupaj na dan 124 K 20 h; koliko je zaslužil vsak delavec na dan prej, ko se je zvišala dnina? 54. A posodi JS-u določeni kapital po 4f% na 9 mesecev in C-u drugi kapital po 5^% na 8 mesecev ter dobi od obeh skupaj 297 K obresti; če bi zamenil kapitala med seboj, bi postale letne obresti za f K manjše. Koliko je posodil vsakemu? 55. Dva kapitala, izmed katerih je prvi za 400 K večji od drugega, dasta enake letne obresti, ker je naložen prvi kapital po |% nižje; če bi zamenil pri teh kapitalih odstotke, bi bile letne obresti prvega kapitala za 30 K večje nego drugega. Kolika sta kapitala in po koliko procentov sta naložena? 56. A si prihrani nekega leta { in v naslednjem letu \ svojih v obeh letih enako velikih dohodkov in ima koncem drugega leta 2100 K prihranjenega denarja; koliki so bili letni dohodki, če je prihranek prvega leta naložil po 5%? 57. Trgovec proda 65 m sukna z 12% dobičkom in 35 m istega sukna, ki je bilo nekoliko poškodovano, s 6% izgubo ter ima pri vsem tem suknu 34 K 20 h dobička. Po čem je kupil meter sukna? 58. Oče zapusti svojima otrokoma, sinu in hčerki, svoje premoženje ter določi, da ima sin od svoje dedščine izplačati staremu služabniku 8%, hčerka pa od svoje dedščine stari služabnici 5%. če je služabnik dobil 700 K manj ko trikrat toliko kakor služabnica in sin 17500 K več nego hčerka, koliko je podedoval vsak otrok? 59. Trgovec kupi kos sukna, meter po 5 K 20 h, in ima pri prodaji vsega sukna 40 K dobička; če bi pa bil prodal meter XL po 40 li ceneje, bi imel le 20 K dobička. Koliko metrov je meril kos in po čem je prodal meter? 60 . Za dolg 2880 (1560) K, ki bi se moral plačati čez 4 leta '(8 mesecev) brezobrestno, se plača takoj 2400 (1508) Iv; po koliko odstotkov se je računal diskont? • 61 . A mora plačati 15000 K čez 2 leti; plača pa 3000 K takoj in ostanek v 4 enakih obrokih, ki so enako daleč narazen. Kdaj se mora plačati prvi obrok? 62 . Nekdo mora plačati 450 K čez 4 mesece, 560 K čez 5 mesecev in ostanek čez 8 mesecev; kolik je ostanek, če bi moral ves dolg poravnati čez 5|- meseca? 63. A mora plačati 1200 K čez 4 mesece in 1500 K čez 7 mesecev; plača pa čez 5 mesecev toliko, da sme ostanek obdržati 9 mesecev. Kolika sta zadnja obroka? 64 . Nekdo proda državne papirje, ki jih je prevzel po njih imenovani vrednosti, z 2^-% izgubo za 2437‘5 K; kolika je imenovana vrednost teh papirjev? 65 . Menica se za 21 (54) dni prej, ko doteče, proda z (9)% diskontom za 900 (5327 - 1) K; na koliko se glasi menica? 66. A ima 1. julija plačati dve menici, izmed katerih je druga za 600 K večja od prve. Dne 1. junija plača za obe menici skupaj 7935 K. Na kateri vrednosti se glasita menici, če se diskont računa pri prvi menici po 3^-% i n pri drugi po 4%? 67 . Razdeli 452 K med A , B in C tako, da dobi A toliko¬ krat po 1 K kakor B po 70 h, in C tolikokrat po 80 h kakor B po 1 K. Koliko dobi vsak? 68. Razdeli določeno vsoto denarja tako, da dobi A \ do- tične vsote manj 2 K, B \ dotične vsote in še 8 K po vrhu, C pa ostanek, ki je za 1 K večji od X-evega deleža. Kolika je dotična vsota in koliko dobi vsaka oseba? 69 . Razdeli določeno vsoto tako, da dobi A 1000 K in | ostanka, B ^ novega ostanka in še 500 K, C pa ostalih 2500 K. Koliko pride na vsako osebo? XLI 70. Koliko litrov vina po 96 li in po 1 Iv 28 h moraš zme¬ šati, da dobiš 160 l vina po 1 K 8 h? 71. Koliko litrov 80% špirita moraš priliti 25 l vode, da postane špirit 60%? 72. Koliko vode mora trgovec priliti 15’ 5 hi kisa po 20 K, da bode hektoliter veljal 16 K? 73. Koliko kilogramov srebra po 0'72 in po 0'6 čistine moraš zliti, da dobiš 4} kg srebra po 0'65 čistine? 71. Koliko bakra moraš pridejati 500 g srebra po 0‘93 čistine, da ima zlitina 0 - 75 čistine? 75. Ako zliješ 24 kg srebra s čistino 0'8 in 12 kg srebra druge vrste, najdeš srebro s čistino 0 - 75; koliko čistino ima srebro druge vrste? 76. Ako zliješ 6^-% srebra z 19 ^kg srebra druge vrste, najdeš srebro, ki ima 0 - 8125 čistine; če pa zliješ 6£% srebra prve vrste in 2 \kg srebra druge vrste, ima zlitina G'6875 čistine; kolika je čistina vsake vrste? 77. Srebrar zlije dvojno srebro, ki ima 0 - 9 in 0 - 75 čistine, z 10% bakra ter napravi srebro, ki ima 0‘6 čistine. Koliko srebra vsake vrste mora vzeti, da bode zlitina tehtala 40 %? 78. A ima tri srebrne palčice po 0 - 9, 0 - 8 in 0’72 čistine, ki tehtajo skupaj 2000^; ako zlije prvo in drugo palčico, dobi čistino 0• 84; če pa zlije drugo in tretjo palčico, dobi čistino 0’75. Koliko tehta vsaka palčica? 79. Specifična teža dveh snovi je 11 • 4 in 0• 24; koliko gramov vsake snovi moraš spojiti, da dobiš 1 kg sestavljene snovi, ki je tako težka kakor voda? 80. Koliko kilogramov snovi s specifično težo 0’45 moraš spojiti z 10% snovi, kateri je specifična teža 3f, da ima se¬ stavljena snov specifično težo = 1? 81. Koliko zlata in srebra je bilo v kroni kralja Hierona sirakuškega, če je krona tehtala na zraku 20 funtov, pod vodo pa 18f funta? 82. Koliko kubičnih metrov smrekovega lesa, ki ima spe¬ cifično težo 0 - 65, moraš zvezati z granitno kocko, ki ima XLII 2 - 85 specifične teže in 10 m 3 prostornine, da plavata spojeni telesi popolnoma v vodi? 83. Zlatar ima tri kovinske palice. Prva palica je sestav¬ ljena iz 4 dkg zlata, 8 dkg srebra in 12 dkg bakra; druga iz 8 dkg zlata, 10 dkg srebra in 2 dkg bakra; tretja iz 10 dkg zlata, 6 dkg srebra in 14 dkg bakra. Koliko vsake palice moraš vzeti, da napraviš zlitino, ki ima 10 dkg zlata, 10 dkg srebra in 11 dkg bakra? 84. J. mora iz dveh zlitin, izmed katerih je prva sestav¬ ljena iz 27 delov bakra, 15 delov kositra in 8 delov svinca, druga pa iz 11 delov bakra, 9 delov kositra in 5 delov svinca, napraviti novo zlitino, ki ima 250 kg bakra in 188 kg kositra. Koliko svinca ima nova zlitina in koliko kilogramov moraš vzeti od prve in druge zlitine? 85. Vodnjak, ki drži 9117w 3 vode, se da napolniti potreb ceveh; po pivi cevi priteče v 3 urah 144m 3 vode, po drugi v 4 urah 231 m 3 in po tretji v 5 urah toliko, kolikor po drugi cevi v 4 urah. V katerem času napolnijo vse tri cevi skupaj vodnjak? 86. Vodnjak napolni cev A sama v 3 urah in cev B sama v 4^ urah; v katerem času napolnita obe cevi skupaj vodnjak? 87. Vodnjak napolni cev A sama v 4 urah in cev B sama v 8 urah; cev C pa izprazni polni vodnjak v 6 urah. V katerem času se napolni vodnjak, ako odpreš vse tri cevi obenem? 88. Cevi A in B skupaj napolnita vodnjak v 24 minutah; vodnjak se tudi napolni, ako teče voda po cevi A 20 in po cevi B 27 minut. V katerem času napolni vodnjak vsaka cev sama? 89. Ako priteče v vsakih 3 minutah 20 l vode v vodnjak, manjka po določenem času še 40 l , da ni vodnjak poln; če pa priteče v vsakih 5 minutah 52 l, je v istem času 72 l vode več priteklo, nego drži vodnjak. Koliko drži vodnjak? 90. Vodnjak napolnita cevi A in it v 70 minutah, cevi A in C v 84 minutah, cevi it in C' v 140 minutah. V katerem času napolnijo vse tri cevi skupaj vodnjak? XL1II 91. A in B dovršita delo v 20 dneh; čez 9 dni zboli A in B dovrši ostalo delo v 24f- dneva. Koliko časa bi potreboval vsak sam za isto delo? 92. 2 drvarja posekata določeni kos gozda v 8f dneva. Prvi drvar dela 2 dni, drugi pa 4 dni; tako sta dovršila | svo¬ jega dela. V katerem času bi izvršil vse delo vsak drvar sam? 93. 8 zidarjev napravi zid v 6 dneh, 9 drugih zidarjev pa v 4 dneh; če najmeš 6 zidarjev prve vrste in 3 zidarje druge vrste, v koliko dneh dovršijo ti delavci isto delo? 94. Ako povečaš posadko neke trdnjave za 2000 mož, pora¬ bijo živež 15 dni prej; če pa zmanjšaš posadko za 3000 mož, shajajo z živežem 24 dni dalje. Kolika je posadka in koliko časa shaja z živežem? Posadka ima x mož in shaja z živežem y dni. če bi bil samo 1 mož za posadko, bi shajal z živežem a; krat y dni; (a; -(- 2000) mož shaja z istim živežem (x -j- 2000) ti del od xy dni in to je po pogoju naloge = y — 15, i. t. d. 95. Dve telesi, ki sta 847 m narazen, se pomičeta drugo proti drugemu in pretečeta vsako minuto oziroma po 4 m in 7 m-, čez koliko minut znaša razdalja med telesoma 110 m? 96. Telo A se porniče po neki premici in preteče vsako sekundo 4 - 6 in; 40 sekund pozneje se začne pomikati od iste točke v isto smer telo B , ki preteče vsako sekundo 4'8 m. Kdaj se snideta telesi? 97. Od kraja A gre sel, ki prehodi vsako uro po 6 km, proti kraju B; f ure pozneje gre od kraja A kurir, ki prehodi vsako uro 11 km, proti kraju B. a) Kdaj doteče kurir sela? b) Čez koliko časa prehiti kurir sela za toliko pota, za kolikor je bil sprva za njim ? 98. Postaji A in B sta 153 km narazen. Od postaje A gre proti B vlak, ki preteče vsako sekundo po 8 m\ 1| ure pozneje gre od postaje B proti A drugi vlak, ki preteče vsako sekundo po 10 m. Kdaj in kje se srečata vlaka? XLIV 99. Od točk A in B , ki sta 42 m narazen, se pomičeta telesi M in K v isto smer; telo M preteče vsako sekundo po 4 m, telo N pa po 2 • 8 m. Kdaj in v kateri razdalji od B se snideta telesi, če se začne pomikati telo M 15 sekund pozneje ko telo JV? ICO. Razdalja krajev 4 in Ji znaša 135 hm. Od kraja A gre ob 6. uri zjutraj tovorni vlak proti B\ ob 7. uri zjutraj gre od kraja B proti A brzovlak, ki prevozi vsako uro 45 hm. Ko je prevozil brzovlak £ razdalje od B do A, se srečata vlaka. Koliko prevozi tovorni vlak v 1 uri? Ob koliki uri se srečata vlaka? Kdaj pride brzovlak v kraj A in tovorni vlak v kraj B? 101. A in B potujeta od kraja M do kraja N. A prehodi v 5 urah 66 km, B pa v 3 urah 22 hm. Ko je B prehodil že 16 \hm, se poda A na pot in pride 2£ure prej do kraja N ko pa B. Koliko časa je rabil A za pot in kako daleč je od M do N? 102. Kdaj se pokrijeta urna kazalca med četrto in peto uro? 103. Koliko časa preteče med tem, da se urna kazalca pokrijeta dvakrat zaporedoma? 104. Dve telesi se pomičeta po krožnici od iste točke v nasprotno smer in pretečeta vsako sekundo loka po 3° 12'30" in po 1° 17' 30"; kdaj se srečata telesi? (Krožnica, katero telesi pretečeta, meri 360°.) 105. Na dveh istosrediščnih krogih se pomičeta telesi A in B v isto smer; telo A preteče svoj krog v 27• 322.. dneh, telo B pa svojega v 365‘24. . dneh. Čez koliko časa sta telesi istodobno dvakrat zaporedoma na istem polumeru? Kolik pot (koliki del od 360°) preteče telo A, oziroma telo B v 1 dnevu? Koliko pot v x dnevih? Razlika teh poti (lokov) je = 360°. 106. Dve telesi sta 420 m narazen; ako se telesi pomičeta drugo proti drugemu, se srečata čez 70 sekund; če se pa telesi pomičeta drugo za drugim, se snideta čez 5 minut 50 sekund. Kako hitro se pomičeta telesi? 107. Od krajev A in B, ki sta 66 hm narazen, gresta sela drug drugemu nasproti. Ako gre sel iz kraja A za 5 ur poprej, XLV sreča sela iz kraja B čez 7 ur; če pa gre sel iz kraja B za 2 uri poprej, sreča sela iz kraja A čez 8 ur. Koliko kilometrov prehodi vsak sel v 1 uri? 108. Na okroglem drsališču, ki meri 380»», dohiti boljši drsalec slabejšega vsakih 76 sekund, če drsata drug za drugim ; če pa drsata drug proti drugemu, se srečata vsakih 20 sekund. Koliko pot preteče vsak drsalec v 1 sekundi? 109. Dve točki se pomikata po krožnici, ki meri 180 m, v isto (nasprotno) smer s hitrostima po 18 m in 12 tn; koliko časa preteče, da se točki snideta dvakrat zaporedoma? 110. Dve telesi se pomikata po krogovem obodu, ki ima 80 m v premeru, v nasprotno smer in se srečata vsakih 16 sekund; če se pa telesi pomikata v isto smer, se snideta vsakih 64 sekund. Kako hitro se pomikata telesi? 111. Dve telesi sta 80 m narazen. Ako se telesi pomikata drugo proti drugemu, sta čez 8 minut še 4 m narazen; če se pa telesi pomikata drugo za drugim, sta čez 50 minut 40 sekund še tudi 4 m narazen. Koliko pot preteče vsako telo v 1 minuti? 112. Od krajev A in B gresta sela drug drugemu nasproti. Sel iz kraja A se poda 3 dni pozneje na pot in prehodi na dan 8 km več ko sel iz kraja B. Ko se srečata sela, sta si pota, katera sta prehodila, kakor 5:6 in njuni hitrosti sta si kakor 4 : 3. Koliko kilometrov prehodi vsak sel na dan in kako daleč je od A do B ? 113. Kolesar se pelje ob 8. uri od kraja A do kraja B , ki je 15 km oddaljen, in nazaj do kraja A. Pešec gre ob 8. uri 20. minuti od B proti A. Kolesar sreča pešca ob 9. uri in ga potem dohiti ob 9. uri 48. minuti. Koliko prehodi pešec in koliko prevozi kolesar v 1 minuti? 114. Kolesarja A in B se odpeljeta od dveh krajev, ki sta 2 km narazen, istodobno v isto smer in se snideta čez 50 minut; če se pa B odpelje 5 minut prej ko A, dohiti ko¬ lesari kolesarja B čez 75 minut. Koliko prevozi vsak kolesar v 1 minuti? 115. Popotniku je prehoditi pot od kraja A do kraja B v določenem času. Ko je že hodil polovico dotičnega časa, spozna, XLVI da bi prišel v kraj B za 2 uri prepozno; zato se podviza* pre¬ hodi vsako uro po 2 km več ko do sedaj in pride v pravem času v kraj B. Če bi bil takoj od začetka prehodil vsako uro po 3 km več, bi bil prišel v kraj B za, 2 uri prezgodaj. Kako daleč je od A do B in koliko je popotnik sprva prehodil vsako uro? 116. Izračunaj trikotnikove kote, če je kot /9 za 17° 25' večji od kota a in kot y za 2° 47 / večji od kota /9! 117. V enakokrakem trikotniku je kot na vrhu 3krat tolik kakor vsak kot na osnovnici; koliki so notranji koti? 118. Vsota dveh trikotnikovih kotov, ki sta v razmerju 2:3, znaša 31krat toliko kakor tretji kot; koliki so trikot¬ nikovi koti? 11!). Ako povečaš trikotnikov kot a za 1° in kot /9 za 11°, so si trikotnikovi koti kakor 3:8:4; koliki so koti? 120. V paralelogramu je deveti del enega kota za 12° manjši ko sedmi del priležnega kota ; koliki so paralelogramovi koti? 121. Zunanja kota na hipotenuzi pravokotnega trikotnika sta si kakor 13: 17; koliki so notranji koti? 122. Koliko stranic ima mnogokotnik, katerega koti me¬ rijo 2880°? 123. V katerem pravilnem mnogokotniku je razlika med notranjim in zunanjim kotom 150°? 124. Ena kateta pravokotnega trikotnika je za 4‘4 dm večja ko njen vzmet na hipotenuzo ; vzmet druge katete na ■ hipotenuzo znaša 16’9 dm. Kolika je hipotenuza? 125. Vsota obeh katet pravokotnega trikotnika znaša 223 m\ če povečaš krajšo kateto za 60 m in zmanjšaš večjo za 90 m, postane ploščina za 1950 m 2 večja. Koliki sta kateti? 126. Ako povečaš eno kateto pravokotnega trikotnika za 8 cm in drugo za 2 cm, se poveča hipotenuzni kvadrat za 144 cm 2 in ploščina trikotnikova za 24 cm 2 -, kolike so trikot¬ nikove stranice? XLVII 127. Vsota iz osnovnice in višine nekega trikotnika znaša 40 cm; če povečaš osnovnico za 6 cm in zmanjšaš višino za istotoliko, se ploščina poveča za 42 cm 2 . Kolika je osnovnica in kolika višina? 128. Trikotnikova osnovnica in višina sta si kakor 6:5; ako povečaš vsako teh daljic za 9 cm, se ploščina poveča za 189 cm 2 . Izračunaj osnovnico in višino prvotnega trikotnika! 129. Ako zmanjšaš stranico določenega kvadrata za 0 - 5 m, se ploščina zmanjša za 31 m 2 ; kolika je stranica? 130. Pravokotnikovi stranici sta v razmerju 3:5; ako zmanjšaš manjšo stranico za lm in povečaš večjo stranico za istotoliko, se ploščina zmanjša za 7 m 2 . Koliki sta stranici? 131. Romb se poveča za 324 m 2 , če povečaš vsako pre- kotnico za 6 cm; če pa povečaš eno prekotnico za 6 cm, drugo pa za 4 cm, se rombova ploščina poveča za 54 cm 2 . Koliki sta prekotnici? 132. Ako načrtaš iz točke ležeče zunaj določenega kroga tangento in sekanto, je tangenta za 16 cm manjša od sekante in za 8 cm večja nego zunanji sekantni odsek; kolika je tangenta? 133. Neka tetiva določenega kroga razpolavlja drugo tetivo; izmed odsekov prve tetive je eden za 3 cm večji, drugi pa za 2 cm manjši nego polovica druge tetive. Koliki sta tetivi? 134. Na ravnini stojita dva stolpa 60 m narazen in sta oziroma 50m in 40m visoka; med tema stolpoma leži vodnjak, ki je enako oddaljen od obeli stolpnih vrhov. Kako daleč je od vodnjaka do vsakega stolpa? 135. Na sredi okroglega ribnika, katerega premer znaša 10 m, raste trstika, ki sega lm nad vodo; če nagneš trstiko, sega ravno do brega. Kako globok je ribnik? XLVIII K § 32. 1. (- af + (— a) 4 — (-§ a) 3 — (— a) 2 . 2. 4(— bf — 3(— bf -f 2(— bf — 3(— 6) 2 . 3. 5 • (— 1) B + 4 • (— l) 4 + 3 • (— l) 3 + 2 • (- l) 2 . 4. (- 2) B + (- 2) 4 + (- 2) 3 + (- 2) 2 . 5. ( - 3) B - (— 3) 4 + (— 3) 3 — (— 3) 2 . 6. 3 • (— 2) 4 — 4 • (— 3) 2 —|— 5 • (— 2) 3 — 3 • (— 3) 3 . 7. (— 3) 2 • (— 2) 3 — (— 3) 3 • (— 2) 2 -f- (— 2) 4 • (— 3) 2 - ( 3) 3 • ( 2) 3 . 8. Zameni a — — 2 v izrazu: 2a 5 — 3a 4 -f-4a 3 — 5a 2 + 6a — 7. 9. Zameni b = — lv izrazu: ( 6 _ 1 ) 5 _ (& + 1 )4 + 10. Zameni x = — 5 in y 2{x — y*) -f 3 (y — x 2 ) 1 1 a) (5 + 2) 3 (6 - l) 2 ' 4 v izrazih: 2(x — j/) 2 — 3(x x- — I/ 2 K § 33. 1. Skrči naslednje izraze : a) 12a° — 13 b 6 + 14a 5 — 15& 6 + 245 6 ; b) fa 2n — 0‘75a" — -f a 2n — 0 - 645a” -j-4o a 2 ” — 0‘395«"; c) 3a 2 — {56 2 — [— 5« 2 — (7a 2 — 35 2 )]}. a m ■ a n = a m + n . 2. a ix ~- 53(2a 2 — 3b) 3x ~ 4 -2(2 a 2 — 3b) 1 + 2x -(2a 2 — 3b) x ~ 2 . (x 3 2 x 2 y -j- 2 xy 2 -)- y s ) • ( x 8 — 2 x 2 y -(- 2xy 2 — y s ). (a 3x + s -j- a 2 ® + 3 _)_ a®+ 4 ) • (a 2 — a). (a® — 5a® _1 -j- 6a®~ 2 — 8 a® -3 — Ga® -4 ) • (2a® + 3 — — 3a® + 2 -|- 4a® + 4 — 5a®). 5 C0 — 4 ^2 w -J— 1 2^7 “f - 2 im — 5 5 — im ^8 — 3 m 6 a 2 + 3», 9 a 2m “ 3 5a 7 — m ' (f a 2 ® -2/ — f a 22/ — fa 5ž/-2 ®) • ia 3 ®- 2 *'. (!v/ 5 «— * - f!/ 3 ” -2 + fy") • (f^ 3, ‘ -2 — iy 2n ~ 1J r 10«/ M )- Razstavi naslednje izraze na faktorje: a) x 3 fe) a: m + 4 _j_ x * + 3 _|_ x m + 2 • 16. 18. 19. 20 . 21 . 22 . 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. c) » + 3J>»+l a 3nJ2»» + X. <9 33^+3_[_ 32*4:2 1 3*41. 5*4-3_5*4-2—5*-M. a m :a n = a m_ ". a * +y _4. a *_j, + 4_ 17. (— a) 7-2 ®: (—- a) 5-2 ®. (— 35a 2 ®~ 3ž, - 4s ): 7a® _4j, + 52 . a 9 (a; — f/) 5 : (— a) 8 (?/ — a:) 2 . a x b y (a — l) 3 : a x ~ 1 b y ~~ 2 (1 — a) 2 . (a — 1) 3 (& — l) 4 : (1 — a) 2 (l — bf. (— 135ad 4 + 270®“ — 108a; 8 ): (— 27a: 7 ). (a 2 ®-*' -|- a 3y ~ 2x — a 4 '"- 3 ®) \a y - &x . (9* 2m + 3 ž/”^ 1 — 12a;’” + ’ t «/“ -2 ): 3a; m + 3 x/*-". (a 8 — 6 8 ): (a 9 -f a 4 & -f aV -f b% (— 49 a 12 — 6 a 10 -j- 51 a 8 -j- 25 a 8 ): (— 7a 5 -|- 6 a 4 — 3a 3 -f- 5 a 2 ). (a: 3 " — 2 x 2n -f- 4 x n — 8): (x n — 2). (x 3m — y 3n ) : (x 2m -j- x m y n -j- y 2n ). (27a 4 ®+ 8y — 6a 2 ® + 4 *'-{- |): (3 a 2x + iy -f- 2a® + 2y + D- (6a? 4 ”—8x 3 “ — \x 2n -)- x n -[- : { 3 x 2n — x n — -J-). 9 a 106 4-4©-K 4-0 Matek, Aritmetika. IV r L 32. Okrajšaj naslednje ulomke: a) d) a° a x + i ' a m + 3 n-f 3 ' V e ) l xJ rV' ■” -(- a 2 m — 3 n c) f) a ix +y ’ a n + i — a” -1 a 2 » + 1 — a 2 ” — 3 ’ 33. Razstavi naslednje izraze na faktorje: b) a n ~ 1 b — 2a n ~ 2 b 2 -j- a n ~ 3 b 3 34. 36. 37. a) a n —a w —1 -|-a* - c) a 2n ~ 1 b 2n ~~ 3 — a 2n ~ 3 b 2n ~ 3 ; d) ba 2, ‘ + 3 b n - 1 — 20a n ~ 1 b 3n + 1 ; e) 2*— 4 _|— 2*— 3 _ 2 x — 2 \ f) 4 3 *— 3 _. 42^—2 _|_ ^,x— 1_ 5 ax 4 3 ž>‘ 2 ic 2 4 a 2 «/ 4 6% 3 2a?/ 56 8 x 3 ‘ 7 a 3x ~~vb iy ~ 2x 21 a 9x ~ 35. ba m - l b m ~ 2 ^a m ~ 2 x 3 ~ n 3x M + 1 ?/ re + 2 ’ 2 b 3 y n ~ 3 —10# (* + «/) m+1 (x-\-y) m ~" l — 2x i 1 — 3x 2 4 38. 22a 2x + 2y b 3x ~ v ' 11 a 6y + 3x b 9x ~ 7!/ ’ Izvrši odštevanje v naslednjih izrazih: a) ^ - - V — - b) / x n x n — a Poišči največjo skupno mero in najmanjši skupni mnogo¬ kratnik naslednjim izrazom: a) x 3n —64 y 6m in x 2n y 3m —16 y 1m ; b) a 2x + z a z b 3y in a ix b z — b 3y + z . r n — 4 * (ab) m =a m .b m ; (^)* a m b m ' 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. (3 ax ) 2 • (2 ay) 3 • (2 axy)^. (— 3a&) 2 • (— 5ac) 3 • (— 2 bcf • (— abcf. (l|)Ml!) 2 +(2f)B.(3f) 3 . (3 ■ (H) 4 • (3-J) 4 - (- 3|) 3 • (- *)» • (-1) 8 - /a 2 —6 2 \5 / a V r > / 6 \s | / a *— 6*\3 /c + tf\ 3 / c —d\ 3 V ab / ’ Va 4- 6/ ‘ \a — 6/ l \c 2 - <ŽV ’ \a 2 -f- 6 2 / ' \a 2 — 6 2 / (i) 6 - (-tV) 3 +(-I) 4 -(- (■— H ) 4 — (-3|) 3 +(21) 2 . /2 ax — 3 bi/ i) 3 - 36 ~t~ y \ 3 , 2 62 : — 3a\2 ) + ( 1 --w )• LI 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. / xy \ 2 /3 xy\ 3 /2 ab\± \5až>/ \4 ab) \3xi/) e±r +, -c 3xy> a — 6\>» + l (J y V« 4- b) a -f - b/ \a -f- &/ [(-4f) 3 :(2|) 3 ] + [(- 3f) 2 :(-1|) 2 ]. / a 3 — b s \ 2. / a 2 -|- ab -f & 2 \2 \a; 2 — y v \ £c —(— «/ / /o — ž>\\ /a 2 — S 2 !«. /a; — y\« \a; -|~ */' " — V 2 ' V 66. [(3 a) v -f- (61)»][(3«)»- (55)»]. 67. [(3 a 2 —hab —2 b 2 ) w *Y v - [(« — 2 &) 5 *]«». es. a«+i&) m - a« - i&) m - a« 2 +15 2 )™. (55)*]. iv* Lil 69. Določi vrednost naslednjih izrazov: a) 6 - 8 ; h) 4 - 3 ; c) 0 - 4 - 1 ; d) 0 ‘ 125- 3 e) 9 - 3 - 2 ; f) _L. g) ( 5 1 )- 2 ; h) (g)” 1 ; i) (_ 2 ) s .(- 5 )- 3 .(- 3 ) 0 .(- 6 )->. 70. Odpravi v naslednjih izrazih negativne eksponente: a) 2 l a‘ 2 x~ 3 y i ] V 3a 2 m~ 3 y —1 2 b 2 n~~ 2 x~ i c ) 71. Pretvori naslednje izraze na obliko celih števil: 5 a . 2ax —3 _ . 12a~ i b a ) b ’ ' b~ 1 y ’ ^ 25* — 3 i/ 2 ' 72. Skrči naslednje izraze kolikor mogoče: a) |a - 5 + |a - 5 —f «- 5 —|a- 5 ; h) 9a“ 3 ž> 2 + 13a 4 &- 4 27 a 3 12 a\ ~T r ’ c| 2«/ OT 5cc— ” 12 y~ m ' 73. Določi naslednje produkte: a) (—5a _6 6 3 )-(—• a 4 5^ 3 ); b) (—5-J-a -3 6 2 ) • (—8a s &~ 5 ) c) (— 6 a~ 3 b~ 2 ) • (— 4a 2 6 —1 ) • (— 2a 2 & -2 ); d) (|a- 5 +|a- 4 — fa -3 + |a“ 2 + a" 1 ) • (— 20a 5 ); e) (8a- 4 —5a~ 2 —3)-(4a“ 4 —2a~ 2 + l). 74. Določi naslednje kvocijente: a) a ~ 20 : a ~ 12 : a ~ 3 ; b) ( x — y) n ‘-{y — x)~ 3 ] c) (16»- 3 — 12a- 2 — 24a-‘ + 6):6a- 4 ; d) (a- 7 — a~ 3 -\- 16a):(a- 4 + 3a— 2 + 4); e) (9* 2 + 2 + a:- 2 ): (3* — 2 -j- X- 1 ). 75. Določi naslednjim izrazom rezultate: a) (- , 2 »-n— 2 . .. / Aa~ 2 b 3 \~ 2 , / a~ 2 b 3 \- s l > 1 -FI 1 ; ^ V- J=i 3=0 [8(4»^- . ' 1 ( 3 - %& 8 )- 2 ] 3 ’ Lili f) 3 [(«-»)"•]« + 4 [(a 9 ) - »J - 4 — 6 [(a - 4 ) 3 ] - - 3 _ 1 _ 5 [(a-S g) (— |)- 3 • (a- 4 &- 6 )- 3 • (a-*b 5 )- 5 : 9 a~*b~*; h) (i a ~ 2 )~ 3, (|« u )~ 8 ' a -13 : (— a- 4 ) 5 - (2a 3 a;)~ 3 . 1. 3. 4. 6. 7. 8. a 9. K §34. (5 a 2 — 4x 2 ) 2 -\- (5a 2 -|~ 4a? 2 ) 2 . 2. (5x 3 -f 6y 3 ) 2 — (5;c 3 (2o + 56 2 ) 2 — (3 a — 7ž< 2 ) 2 -f (4 a — 9 & 2 ) 2 . \4& ' 3 J ' \26 a)" V5^ a) (4 -j- 2a — a 2 ) 2 ; b) (3x 2 — 4 xy — 2v/ 2 ) 2 . (8* 2 — 5a:;«/ -f- 6t/ 2 ) 2 — (7x 2 — 9 xy — 4?/ 2 ) 2 . •> (“‘- j+IL h > ( 4a, -? + IS)’- (--i+i)'-(-+i-i )’• 7 1 2 \ 2 _ / 4 ^_ 2 , 8*/ ' u "L / 3x 2 2a; ®Ž/\ 2 _J_ /2a: 2 , a: 4«A2 V4^" 3 2*/ \37 “T 2 ~ V/ ' <3y 11. o; (6a 3 — 5a 2 -f 4a — 3) 2 ; 12. (4 -j- 3* -j- 2# 2 -f- 5* 3 ) 2 — (4 — 13. (2® — 3y) 4 = [(2x — 3«/) 2 ] 2 . 14. (3a -j- 2&) 8 = {[(3a -|- 2&) 2 ] 2 } 2 . 15. (7x — 3«/) 4 — (5® — 4t/) 4 . 17. (5x 2 — 6t/- 2 ) 2 — (2® — 3 y - 1 ) 4 . 18. (3x~ 1 y 2 — 4 xy~ 2 Y — (3 xy ~ 2 — hx~ 1 y 2 ) i . 19. — |® 2 2/- 2 ) 4 + (*®y -1 + i» 2 y- 2 ) 4 . y (9a 6 —6a 4 +7a 2 3® -f 2x 2 — 5® 3 ) 2 . 16. (3® + 2) 8 — (2® -T; 6 y 3 ) 2 . W 2x/ ' 8 ) 2 . 3) 8 . LVI 28. (3 a + 4 bf + (3a — 4-bf. 29. (5 .-z 2 -f 6 x ) 3 — (5x 2 — 6 x) 8 . 30. (7 a 2 b — 8 ah 2 ) 3 —( 6 a 2 6 — 9ab 2 ) 3 . 31. a«+ p) 3 +d« - w- 32. (I ^- 1 + |a ~ 2 & 2 ) 8 -j- (fai ” 1 — qo /6 aV 56 3 i/ 2 \ 3 /3a 2 x 3 , 6 s »/ 2 \ 3 V5% 2 3ax 2 / \56*/ 2 I Wax 2 ) ' / 4a 3 a: 2 , 55«/ 3 \ 3 / 5a 3 x 2 lby 3 \ 3 \3b~ 2 y ~ 3 "T" 2a — 1 x^ 2 / \6 b~~ 2 y~ B 4 a~ 1 x~ 2 / ' 35. a) (a 2 -j- 2a — 3) 3 ; b) (4x 2 — 5« — 6 ) 3 . 36. (4a 2 — 5a + 6) 3 — (3a 2 — 8 a — 5) 3 . 0 - * / a : 2 a ; ^ \ 3 ,, /, 2 a ; 2 , 9 a ; 4 \ 3 37. a) (3 g* V ’ ^ "3^" ^ 80 V • Razreši naslednje eksponentne enačbe: LV 13. 8-* • 4 3 * = 16* + 5 . 15. 0-5 10 *- 9 = 2 3 ~~ 13x . 17. (l-i)7 = 0-75*- 3 . 19. 2 x + 3 + 2 x = 144. 14. 8 2 * + i = 0 - 125 4—3 A 16 . /3.\2a; - \ 5/ 9* 18 . 4 « 32 ‘ 20. 3 X = 270 — 3 x ~ 2 . 21, 2 3x ~ 2 — 2 3x ~ 3 — 2 3x-4 = 4. 22. 2 X — 1 — 2 X ~ 3 = 3 x — 3 —|— 3 x — 4 . 23. 8 X = 7 x -!+7 x . 24. 7 x +8-7 x - 1 = 735. 25 5 2x + 4 — 2 - 5 2x + 3 = 15 x + 2 . 26. 4* + 3 — 13.4* + i = 2 3 *- 1 — 2 3x ~ 3 . 27. 9 • 5 X —)— 8 • 5 X + X = 1225. 28. 7 • 3 X + 1 — 5 X + 2 = 3 X + 4 — 5 X + 3 . 29. 4 x + 3 -f 2 X + 2 = 36 • 2 X . 30. 3 2x —I— 4 * 3 2x “ 2 — 4 • 3 2x ~ 1 = 27. 31. a x - a y = a h a x : a y — 1: a. 33. a ix ~ y : a y ~ x = a a x + y. a 8x ~ 2y = 1. 35. 17* = + 289 2 x + y = 128. 32. 42 ^- 3 . 2 3y-2 = 1024 3 x 2 • 3 y ~ 3 = |. 34. 3 3x ~ iy : 3 y - x ~ 1 = 1 2 2x- 3. 2 5 -3y _= 0-5. 36. 4 4 *~ 3 - 2 2y ~~ w = 64 9 2 *_4 : 3y-2 _ K § 36. 1. Razstavi: a) število 64 (x 3 ) na 2, 3, 6 enakih faktorjev; b) število 81 (y 4 ) na 2 in 4 enake faktorje; c) število a 86 na 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 enakih faktorjev ! 2. Določi kvadratne korene naslednjim številom : 4, —j— 9, + 16, 25, 36, 49, + 64, -f 81, + 100! 3. Koreni s 3 naslednja števila: 8, — 27, -(-64, 125, -J- 216, — 343, — 512, + 729, 1000! 4. Kakšno število je: (/2, |/3, /5, |/7? 5. Ali moreš določiti kvadratni koren številom: — 4, — 9, — 16? LVI 6. Kolika je vrednost naslednjih izrazov : a) \ 6, j /a, /l, (/% VO, |/0; b) \f a-\fa\ c) |fb •'\[b • ][b\ d) |fx • \fx-Yx • \fX 1 ? K § 37. m ,— m ,— m ,— a/x±by x — (a±b)y x. 1 . a \[b — 2b]f a — 2 a \fb — 861 / « — hb \/ a 6 a \fb. 2. 6 ]f a — 2 b — 8 \[a — 2 b — 5 ][a — 2& —|— 7 (/a — 2 b. 3. 8 m fa- 12 Yb- (7 Yb- 37a) ~ Cfa - 7b). 4. 8|/2 — [7 7% — (3[/2 - 2p2) — (5|/2 — ^2)]. / a = ~7 a p . 5. Pretvori naslednje korenske izraze tako, da dobijo enake korenske eksponente: a) [x,]fx i , (/c 3 ; b) '\fa 2 , (/"F, [dab 2 ; c) \Ta, |/a 2 F, ]/a°b 7 ; d) a h b b . 6. Pretvori naslednje korenske izraze na enostavnejšo obliko: a) yx 2 . |/ 2/ 15 , |/ a 12 , ~|/a 5 , j^36; j; 'j/32; cj (/25, k'8, f/27, f/81, 8 /64, ’j/l25. c) Y27 a 3 b 3 ; f) V / 64527 *; m , - m j — m ,— [/ ab = y a • [/ b. 7. «; /9.49-64; 6) 1 64 - 125; d) (/32 a/ 5 ; e) |/"^16 8 -8l»; g) |/'”|/ 8“. 27 m . L VII 8. a) /x 3 ; b) / 4 a 3 b ; c) (75 ; d) (32 ; ej ( 80 ; f) 9) i'81; 3 /48; 9 s /54; *) /l«; l) /128; (/aj OT + “ ; n) /1200; o^) (/243; p) y x m + 1 y m + 2 . 9. Skrči naslednje izraze kolikor mogoče: a) /24 -f (''54 — ( 6 — ( 96 -f /l50; ' b) 3 /l2 - 4/27 + 2(A75 - 5/48 - /l“08; c) 2 (/63 + 3( 700 — 4/l75 -f 5(''28 — (112; /) ( 18x -f- ( 147 x — 2 (/ 32x — /l92x -f /72/; e) 13 a 2 x (/ 5 ax B — 3 ax s (/ 45 a 2 x — 2 a 2 (/ 80 ax 1 -f- -f- 2 ax /245 a 3 x B ; f) ( 4 a -(- 4 b — ( 16 a 3 4- 16 a 2 b -f- /25 ab 4 —)— 25 ž> 5 ; g) 4/1 —j— « 2 — /9 -j- 9a 2 — x/x 2 -|- a 2 x 2 -j- /x 4 (l -j- a 2 ) ; h) 5 3 /54 — 7j/ 16 + 13(2 — 2 /l28 ; i) 7 S /250 — 9 3 /432 + 5 3 /686 — 8 (41024; k) 3 3 /48 — 2 (4750 + 3/l35 — 7 ( 320 + (625; l) (454 a 4 /> 4 c— (4I6a 4 6c 4 + /l28a6 4 c 4 — /250 a 4 /> 4 c 4 ; m) 2 Ya 3 -/ a' 6 x — 5/8 -|- 8 x -f- a /27 -j- 27x — /64 -(- 64 x. 10. Izvrši naslednje množitve : a) /8 • /2; b) (18 • (6 • /Š; c) (6a • ( Bi • (3 +; d,) (16 • ( 6 • /9 ej /l0a 3 & • ( 20 a+. (' 50 a/4; f) /f 9 ) Vm-VII’’ h) ; i) ; k )\[3 + /5- |/"3-/5; /; /’aS-6*.|/ r ^|; m) \/a> + fSr=T> • j/”« 3 — /a 6 —■ 6 6 ; LVIII r) '{7-1 y-+f+f + ‘ . 11. (2/8~— 7 |/18 — /50 + 4 /72) • /2. 12. (5/Š“— 2/l8 + 3/50 — 3 /72 — 5 /200) . 3 |/0. 13. (5//— 3 /2)(3/¥ + 2/3) — (4 — 2 /6) (2 + 3/6). 14. (8/0 — 2/12 — /8+2/6 — /Š — /2). 15. (3/10 —5/3 +/15) (3/2 —/3 +/15). 16. j/*+y + / 2xy - j/cc + y- /2 xy — — /V« + 2x 2 + /a — 2# 2 • |/"/a + 2& 2 — /a — 2a; 2 . 17. (/6 — /3) 2 + (5 — 2 /6 f — (3/2 — 2/3)*. 18 . ((A + /II — |/4 — / iT)“+ (/7 — /13 + |/*7 + /13)“ 19. (/a + b — /a + /V) (/a + 6 + /a — /&). 20. Izvrši naslednje množitve: f) (2 /a + 3 /a 2 5 + 4 j/"a& 2 ) • /+; 9) (|/ a 2 • /^ + 3 /a B • /6 + 4a /& 3 ) • /ž» 2 - /a ; h) (4/5 — 2 3 /3) (3/5 + 8 3 /3 ); i) (3/7 + 4 4 /3) (2 /7 - 2 4 /3) ; (/a& + 3 ]fxy) (5 \f ab + 4/x+ ; l) (2 - /3 + 3 /5) (2 + /3 - 3 /5). a) /2- 3 /3- 4 /5; c) \f ab • \[ab 2 • / a 3 b ; d!) /a 11 • /& 2 • /a 6 & 4 ; LIX 21. Izvrši naslednje množitve : a) 2 • (/3 ; b) 3 • [/ 2 ; c) 2 ■ d) 5 • (/ ()' 2; v a# 1/ y h) (a + 6). 0 a -)- 1 rti + 1 ’ 1.) . ?/ **+*? + ? . n 1 . j/”(^+jd_ 2 . »; (5 — 3 ]/¥) - |/"3 — |/2 ; n) (2|/2 -f |/6). (/7--4 |/3; 0; (1 + /2) • j/7 + 5/2; p) (j/3 - 1) • j^l + /3. OT _ "j/ a 22., a; tl; v/sl; «J Z 1 8g.*& 27 c 4: f) & / 3« 25 « 2 ’ y» o 8a 3 & 3 27 c 3 23. /2^ + 3|/‘lJ-2/4+2^3|- |/lg. 24. 16 ¥ - : f + /" 1000 : 25. Izvrši naslednje delitve: a) 15 3 /81 a 4 & 5 : 5 ^3 o& 2 ; 6; (10 f 12 : 2 /l8) : 4 |/I*; c) |/a 3x + 2 : |/a 2 * + 2 ; e) /a 2 — a 2 i 2 : |/l — 2 + f/a®) : (f/& — / a); k) (6 /8 + 8 6 /9 — 9 f/288 — 6 f/18) : (3 /2 + 2 3 /Š). 27. Izvrši naslednje delitve : a) x : /z; b) a : /a; e) (a -(- x): /a 2 v.2 . c) 16:/2; d) 3 : f/3; f) (* + 2/):|/f-z-f ; ■V- ar — y z h) 1 :/; 2 « -(- 6 2 a 3 —■ 3a 2 ž> + 6 3 ’ 3 / v) t x —y)-r x tJ t a ! y + y" i) (a — &):(/a-f/T; k) (x-~y):(]fx — ]f y)\ l) (* — v) : ( 4 /a: + 4 /«/) ; m; (3 — 5 3 /25): (f/3 — 3 /5); (a: -)- 4\fxy -f 3y) : (\f x -f- fy); ■!)/'” m — % — (— —j— 2 / «« _ j j \f m f m — [n v) ( a H - / ft "f - 1) * W a ~\~\f a -)-1)- LXI ( 75 ) - v*. 28. a) (J^Ta 3 //*)*; b) c) (tfaFbf- (KaPj 3 ; d) (2 '\[2f -f (2v / "2&) 2 ; e ; • (T« 2 ^)”; /; / g) fa-{\[a) • [\f a) ; h) (\f ab^c^f • (^a 2 & 4 c 6 )°; o 6 ». vj . ( 7 ir _4m . (v&r~ 5a:_l ; 29. |/9« + ^ + |/(5# + 30. ( 5 /210) 3 -(j/210) 2 + (V280) 9 .(V280) '-(V280) 10 . 31. a) (| Ati?: + .|/ r : 3 - ys ) ^ (| 4- y« 2 — 6 2 |/2 4 , a — y « 2 — b c) (|/~2 -j- j/2 -(- j/^2) 2 ; —(/a& 2 ) 2 ; e; (/2 - 3 /2>; f) (3|/3 - 2^2) 3 ; g) (a — 3/a 2 -f- 4[/a) 3 . d) |/V B Ž> 21 ; 9) V ’ , -4- M ,-; k) — a mx +* \ a " = a ~' b) |f a 14 & 36 ; e) | f a 16 5 20 ; h ) y 6 x-j-9y , l ) V C nx-\-y . . a ? x w _ V r £ 15^20 1 /) |/a: 17 ?/ 25 0 30 ; a 4rr-8y J12*-4 l ) J/ c 4+16j/ i . 2 m — - m) *\ a im x\ x / a x + 1 . ^ j/ F 7 - 1 c- -4 ’ ^ ^ 2 »-fl ^ 3 w -}-2 /i4» — 3 5 p) a l ~ n b 2-2» LXII a = / a a. 33 i. a) \/]fx\ b) V \ 64; c ) / /27 _ /125’ d) cftb 1 • ; e) 31/~ \f a — 4(/ /a -|- 5 j/" \ r a ; f) |/"a/2a; g) [/"m/Sm; /j) [/" 3 / 3 ; *,) |/ a /a 2 ; h) 3|/ 3(/i73; l) 2 [/" n; o; p/1000 + 2/'2/2, I —3 /-— m /- w ^ [/ a/a 2 —{— 31/ a 2 /a; rj / al/a 2 • ( /a ■ /a 3 ); r (x -f - y) 8 •; Vx — y • /a: -f y x — y ~J X — J/ 7 “ - i/"«- 34. Izračunaj vrednosti naslednjih korenskih izrazov: a) 27; b) f 16; cj 1 I 5 ; d) ~\f 0’25; ej (/ a • \ a ; f) |/ a 8 : [/a; a 2 : [/a; i) \/~ a: (/"a; It) y a : \ a; i— 3 b 6 c 9 x ~ 6 if m J! nr - n t — JI a n = j a m ; / a — a m . 35. Izračunaj vrednosti naslednjih izrazov: a) 8 f ; b) 25^; c) 27“^; d) 49°' 5 ; e) 64 1 ' 6 ; _ 2 TT ^<-0’125)-T; gr) f/ 8; h) / 49 ; - 0 - 2 /- fc; - y 2. 0-4/- v 9; lxiii 36. Izvrši našlednje račune: a) a 2 : o 3 ; b) 5^ • 5 2 • 5 T -(- • 9 T • 9; c) 15a~ T :3o^; d) 6 a 4 • 5 aj : 15 a T2 ; e) f) l/T+^512; 37. a) (* T -)- ij 3 )(* T — y ff ); 9) . 2 i 36 18 _ 27 ’ h) (x 3 : y 2 ) 5 . b) (2a — 3ž$)(5a*+66*). 38. (a ib 2 2 a 2 & 3 ) (a 5 — a 5 &). 39. (30 * — 33* 7 — 15*^ + 25* T + 9* T ) : (3** — 5* 3 ). 40. ( x 2 — 81 • V 9 20484676" 4. ^362673936. 7. |f 103lg. 5. V 1475789056. 8. \f 485380^. 9. Izračunaj naslednjim številom kvadratni koren na 6 veljavnih številk: a) 2-63, b) 6-584, c) 1735, d) |, e) 18 f). 4^, g) 2, h) 3, i) 5. 10 . Določi naslednje korene na 5 veljavnih številk: a) |/"2 —j— /2, b) ]f 2 — /3, cj |/9 + 4/6! 11 . Določi naslednjim številom kvadratne korene tako natanko kakor mogoče: a) 0-1907.., b) 335-779.., c) 1-84235.. 12 . Poišči naslednjim mnogočlenikom tretji koren: 3 a > 8 - i \ 27 o h ) (U* 3 o* 4 */ 2 - 2 45 2 32 y 6xh/ i — 8 y 6 . , 25 „ 125 64 c) 8a 6 — 12a 5 + rf) 343 — 735 ic -[■ ej 64a; 6 —144a* 5 f) g) h) i) x 6m — x 5m + - 16 ^r is« 4 - 2U+ ‘ 13a 3 + 9a 2 3a + 1. 819,/; 2 — 545x 3 - (- 234a: 4 -j- 204 a 2 x 4 — 171 a 8 « 3 + 60oc 6 + 8* 6 . 1. 27 81 1 729' k) a ~ 6m + i2 — 6a- 7 “ + 3 + 12a- 8 ”*- 6 — 8a- 9 '”- 15 . l) 8 a — 60/a 2 6 + 150i+6 2 — 1256. m) x 3 — 3x%-\-6xi — 7-\-Qx~i--3x-i-{-x- 2 . -oj 05 LXV 13. Koreni naslednja dekadična števila s 3: a) 9261, b) 12167, c) 50653, d) 357911, e) 614125, j) 4492125, g) 347428927, h) 14'348907, i) 0-087528384, k) 78-402752. 14. y f/^20661046784. 15. 8 /ll26162419264. 20. Določi naslednjim številom kubične korene tako natanko kakor mogoče: a) 13-279.., b) 2-618379.., c) ~. K § 39. 1. Izrazi naslednje ulomke z racijonalnim imenovalcem: 1 5 |f ab 1^8: /2’ 2^3’ ]/ a 2 b \[2-\/2 x ’ 3 a 1 3x^5 a \[ 2 — 1 2^5 — |Al0 a) b) <') d) e ) Matek, Aritmetika. Vr. LXVI 2. Odpravi v naslednjih ulomkih iracijonalni imenovalec: a) 1 /2 /6 — 1 /3 + /2 ^ 5/5 — 2/3 . /2 —l’ 2-/2* 3/5 + 5 ’ / 3 -/ 2 ’ /5-/3 n 2 a + 3 /& a — /a& /#«/ 1 — /l — « 2 . 3 a — 2]fb \[ ah — b x^y-\-y^x l + /l — a 2 a + b + /a 2 + b 2 /as.—j— y — /a; — y a + & — /a 2 + & 2 /as —j— «/ -j— /a? — y / 2 /3 + /2 —[— j/~ 2 /3 — /2 /" 2/3 + /2 — |/ 2/3 —/2 d) 5 +/5 . f a — /& , /3 — /2 |//5 + /3 l' 5-/5’ r « + /&’ 2 + /2 _ /10 j/a + /tt2_ & 2 ^ ^ 2 + /3 ’ (/5-/2) 2 ’ p’ j/# 2 + /* 4 — y i J/^* 2 — /a: 4 — t/ 4 3. Odpravi korene v imenovalcih naslednjih izrazov: a) 1 + 2/3 _^ /2 + /3 — ■ /5 ^ 4 — /6 _. 2 + /3 + /5 1 /2 + /3 + /5 ’ 3 + /2 — /6 ’ 1 — /2+ /3 3/6 — 5/2 + 2/3 ^ 1 + /2 — /3’ 5 —2/2+ 3/3 ’ 60/2+ 12/3 5/6 + 3/2— 2/3 ’ _1_ 3 + /5 3-/2 /5 — /3 _ /3 + /2 ’ /3 + 4 /5’ /3 —- /2 ’ 4 /5- 4 /3 ! 2 /TO 3 /3- 3 /2 3 S /3-2 S /9 UJ B r — 9 , 3 /— 1 3 r— . 8 ,— 1 3 ,— o 3 * 2-/2 2 + /7 /3 + /2 4/9— 3/3 LXVII 4. Pretvori naslednje binome v samo en korenski izraz: |/3 + |/5 + |/3 — /5, /e + /Tl — /lT; b ) /8 + /39 — ////39, /8 + /28 + — /28; c; |/"5 -j- 2 I/6 - zh j/^5 — 2/6, |/ll + 6 /2 + /ll — 6 /2; /2 + 1/7 + 1/2 — 1 |/Y, /+++/++, e) /a + /2 a — 1 + /a — /2 a —- 1, j/ a . + / aa ._£ ± [/ a; — / a* ax - t : 4 /; /« + & + 2 /a& + /«+& — 2 / 06 , /2 a + 2/<+=-~"P _j_ / 2 « —2/<+=+ 2 . 5. Pretvori naslednje korenske izraze v binome: a) /~2 + [3, /V— 2/2, |/12 — 8 (/2, /"7 + 2 / 10 ; y /11 + 2/šo, /18 + 8/2, /"7/2+ 4/ 6 , /2/5+ /16; oj /la— 2 /4 a 2 — 9 /+ /" 2 » + 35 + /24a&, /8 a 2 — & 2 + 4 a /4 a 2 — b 2 ; d) // 2 -— 2/x 2 — «/ 2 , //a: 2 + «/ 2 + 2x \f x 2 + !/ 2 , /a 2 + 5 ax —- 2 a \f ax + 4cc 2 . LXVIII K § 40. Razreši naslednje iracijonalne enačbe: 1. 5—/31 — 2« = 0. 2. 19 — 4/2* + 3 = 7. 13. (/* — 5)(/x — 4) = (/*— 3)(/x — 2). 14. (/* + l): (/* + 4) = (/* + 3): (/* + 8). 15. (7 — 2/*): (10 + /x) = (9 — 4/®): 2/®.- 16. /x 2 + 3* + 7 = 1 + /x a + x + 4. 17. /2aT^3 = 8 — /2® + 13. 18. \fx + 4 + /* — 1 — /4* + 5 = 0. 19. /16*+ 9 — /+—T — /9*+ 10 = 0. 20. /4* + 2 = 2/ 2 *—'5 — /2* — 10. 21. 2/*'+!] + /* + 33 = 3/® + 13. 22. /"2* — 3 + /5*+ 14 + |/2* — 3 — /5++I4 = 8. 23. /a — * + /& — * = /a + & — 2*. 24. /a* + & = /a* — 6 + /2 b. 25. /* — 36 — /x — 3a = /a — 6. 26. /« — * + /& — x a . 5. j/20 — 3/5*+ 1 = 2. 6. 2 3 /* — 3 = 3 S /x — 27. 7. 2 j/25 + /* = ^200 + 6/5* — 29. 10. /* — 3 + /® + 17 = A . 1 /* +17 12. /8* — 7-+=JL = /2* + 3 /2++3 1 LXIX 27. x — 2a — | fx 2 — b 2 — (x — a)^l ) 28. 2/x-f 3 \[y = 13 l]fx — 4 \fy = 2. 30. ]/x — y -f- f 2y 3 |/x — y \fx 2 — b 2 J 20. ‘ 2 fx + 5' — 3 \!'y 5="2 = 3 3 \fx -j- 5 — 4 — 2 = 5. x = 8. 2^2?/ — a; — — 1. 31. 8^2x —3 y — 3^3a:-|-7 34—44 + 24—~7i - 54= r f - 64-4 + £4=54 + + f4=75, e; 6«4- 63-j- 34— 112ffl 3 ž> 3 + 2a&4= 343a& — — 54— 28ffl 3 &, f) 3 a 3 4— 12 a& 6 + 2a 2 6 2 4= 27a 3 & — 54— 48 a 7 ?/ 5 — — 4a 2 &4— 75a 3 6 3 . 2. 4=2 • 4=40 • 4— 5 • 4—43 ■ 4— 4. 3. (24—”27 4- 4—75 — 54—4) • 24— 6. 4. (— 34— 5 + 44— 8 — 34- 7 + 54—9) • (— 44—3). 5. (24—4 + 4 ==: 5)(— 2j/=^3 - 4=5). 6. (34=4 + 54=5)(54=5 + 34=3). 7. (64=7 — 34—4)(64=7 -f 34—4). 8. (54—4 + 64=3)'+ (24=8 — 54=4) 2 . 9. (5 4=4 4- 4 4=4) 2 — (2 4=6 — 3 4=4)\ 10. (54=2 + 24=4) 3 + (24=3 — 34-=2) 3 . 11. |4 = =i5: f 43. 12. f46: |4=5. 13. 14=T5: f 4=5. 14. 14=48 :f4=3. 15. (124=6 — 34^3 +154=9 — 214=15): 34=3. LXXI 16. (26 /— 20 + 39/— 35 — 65/— 45): 13 /— 5. 18. (1 — /=^4) + (3 — /=15) — (2 — /“49). 19. (/=~6 + 2i' 28/—12 V 2x 2 3/— 2/ 10 /— 25’ d) /—27 1 *> 3/— 7 ’ 10 2 — /=^ 8 ’ f) /— 3 -/ /— 2 /=^3— /=^2’ 7/2 O /5 — /— 2’ 9) k) 4/—3 — 2/— 5 3/—4 —4/—2’ /2 -/ / — 3 /3 — /—~2' LXXII 32. Pretvori naslednje binome v en korenski izraz: a) |/3 + /—16 +1/3 — /—16, b) j/^2+ /=^6+ /2 — /=^5, c; /—3 + 4* + /— 3 — 4*', rfj / 7 + /—15 + /7 — /—15. 33. Pretvori naslednje korenske izraze v binome: aj /ll — 60», 6; /— 3 + 4t, c) K 6 + 8/^10, d) /—16 + 30*, e) ]f — 2 + 4/^+5, f) \ 9 — 2*/ŠT, ft) /+ * = |/0 + * — i(/2 + |/ — 2). 1. 2 . 3. 5. (i. 7. 8 . 10. 12. 13. 15. 16. K § 42. Uredi naslednje enačbe: (9 + x)(l — x) + (9 — x){l + x) = 76, (5x 2 — l) 3 — (2 + 3x 2 ) 2 = (3 — 4x 2 ) 2 . x -j- 2 _ 3 , V!>x lOa; 2 — 5x x ' 4a; 2 — 1 4 T LZ I 2x + 1 ' — 1 3x ■ 0. 2 _ x + 2 _ 33 x — 3 x 2 -J- 2x + 4 x % — 8 ‘ 1 _ 1 _ __ _2 _ 1 x 2 —1 x 2 —x 15x x 2 + x ' 6a: 2 — 3 2ax a 2 — a: 2 ' 6 — x a + b 9. 11. a — x b + x b -\- x a — x x — a x — 2 b 26 + 6- /4a 7 = 1. x — a x — [/ a. 14. /x+« — /c* — x = / 2x. x + a — b /x + : 0 . LXXIII — 1 — |/3» —: 6 4~ \f2x 2a — \/ x — 3« = 0. 0 . 17. / 3 ® 4 - 1 — \[2x 18. |/» — a -j- |/» — 19. [a(x — b) — \^b(x — a) — | f {a — b)(x — 2b) = 0. 20 . /3(x — 2) + + |/* + 2 = /3(x + l). 21. \fx 4 a — \fhx — 3 a — 4 b 2 b ^ x —j— (l J_j_ 1 _ 2x 1 + |/1 — x 1 1 — j/l — x 9 23. -f /1 — * 2 a 2 x -|- \f 4« 2 ■ + 2 a 2 x — \ 4 a 2 24. l/~x 2 -j- a 2 — 2a \fa b 2 -j- x x. ax \fx 2 — b 2 Razreši naslednje enačbe: 25 . x 2 + 15 » + 56 = 0 . 26 . » 2 — 13 » — 140 = 0 . 27 . 5» 2 + 7 » = 24 . 28 . 12» 2 = 20 » — 3 . 29 . 16» 2 — 24 » - j - 11 = 0 . 30 . 24» 2 — 14 » = 3 . 31 . ( 12 + »)(» — 3 ) = (12 — »)(» + 3 ). 32 . (» + 3) 2 — 4» 2 = (» -f 1 )( 4 » — 5 ). 33 . (5 -f ») 2 — 11 (5 + »)(4 — ») + 24(4 — ») 2 = 0 . 34 . (» + 1 ): (» -f 3 ) = (» + 11 ): ( 3 » — 3 ). 36. 40. 42. 43. _ _ _ _ » 2 —2a; —j— 4 x 2 -)- ix -f- 4 a: 3 -j-8 «. (44 = «(I4) - w- (44)’+ 44 = »• Matek, Aritmetika. VI r. LXXIV 1- (^Y- 9 45§ ia + 20 = 0. 48. (^)‘+ ^J+1=0. 49. *» + žj.,/5 = 2/6. 50. x(x + 2/Tl) = 6/2. 51. * + 7/® = 30. 52. 2x — 3/T^7 = 4. 53. x — 10 — 2|/x 2 — 3x + 5 = 0. 54. /x + 2 + /2® + 7 = 4. 55. 2 -f- /2x + 8 = 2(/x + 5. 56. /2x 2 — 1 ----- /2x 2 — 25 = 2. 57. 2/3^+l — 3/2x —1 = 1. 58. /7x—13 — /5* + l = 12. 59. /2at -j- 2 -f- |/sc -j- 2 = x. 60. /10 — x -f- /x — 5 = j/ x. 61. (/"ar —J— /10 -f- \f x — /10 = /6x — 11. 62. 3/x + 8 — /^=8 = 2/2x + 2. 63. |/2a? —|— 3 — [x + 1 — /* — 2 = 0. 64. /5 + /» + /7 + /x = |/2(6 + /x). 65. /(x — 1) (x — 2) -f- (/ (x — 3) (x — 4) = /2. 66. /3x -j- 6 — /3x -|- 1 — /2x — 1 = 0. 67. 3 /72 — x — 3 /16^x = 2. 68. Vx -f /2 — J/® — [2 = /2. 69. 3 /x + 2 — /x — 5 = 1. 70. /(1 -|- x) 2 — /(1 — x) 2 = \/1 — x 2 . 71. x 2 -f- 2ax — 2 ab — & 2 = 0. 72. x 2 — 2abx = a i -(- a 2 6 2 -)- & 4 . 73. x 2 — (a -j- l)x ab = 0. 74. x 2 — (a — &)x — ab — 0. 75. x 2 — ( a 2 -(- 6 2 )x -)- a 3 & — až> 3 = 0. 76. (a — x) 2 -)- (6 — x) 2 = (a — b) 2 . 77. abx 2 — (a 2 -(- b 2 ) x -f- 2 a 2 — 3 — 2 Z> 2 = 0. 78. 10ač>x 2 — (25a 2 -f- 4 6 2 )x +. 25a 2 — 4& 2 = 0. 79. (ax -j- b) 2 -f- (a — bx){ax — b) = x(a- j- b) 2 . 80. 2 (x 2 + 1) (a 2 —b 2 )— 5x (a 2 — b 2 ) -f 3 ab (x 2 — 1) = 0. LXXV 81 . 83. 85. 87. 88 . 89. 90. 91. ^tl b +{a~b){a—b — x) = 0. x — a -f- i x -f- a x — a _ ia(a-\-b) v -f- a b(2a b)' \f x -j- b 2 -f- h \[x -j- a 2 — 2 ab. x — a a i. a* -h x[2x 2 x ]/x -\- \f a 92. 91. X + a - j— a?. x b X \fx — \f~a~- 8 a ?>[ x 93. [ AT* i i/TE* = 1 'a-j~b''a-j-b X — b 95. 96. \[a 1 -j- x 2 j/c 2 -j- (b — x) 2 ^ 1 —)— a? —f— j/" 1 — x \f 1 —|— a: \[ x |/ 1 — x a —j— |/ a; a b‘ \fa. I fx = s = J*— — b x X — |/a? —)~ a -j- \[x~ 3 / 3 ; — = \f 2x. 97. 98. °\fa-\-x — Yx—b = a \fš(a b). Uporabne naloge, 99. Produkt iz tretjega in četrtega dela nekega števila znaša 108; koliko je število? 100. Katero število je treba za 5 povečati in za 5 zmanj¬ šati, da znašata kvadrata dobljenih zneskov 178? 101. Poišči tri števila, ki so si kakor in katerih kvadrati znašajo skupaj 4525! 102. Poišči število, katerega dvanajsterokratnik je za 45 manjši od kvadrata dotičnega števila! vi* LXXVI 103. Pri dvoštevilčnem številu je številka na desni za 3 manjša od številke na levi; če pomnožiš to število s številko na levi, dobiš 42 kratno številčno vsoto dotičnega števila. Katero je to število? 104. Ako zameniš pri dvoštevilčnem številu, katerega šte¬ vilčna vsota znaša 5, številki med seboj ter pomnožiš obe števili, najdeš produkt 574. Katero je število? 105. Številčna vsota dvoštevilčnega števila znaša 13; ako deliš to število s produktom obeh številk, dobiš kvocijent 2 in ostanek 5. Katero je to število? 106. Vrednost nekega ulomka znaša če povečaš števec in imenovalec za 12, dobiš ulomek, ki je 5 krat večji od onega ulomka, ki ga najdeš, če zmanjšaš števec in imenovalec za 6. Kako se glasi ulomek? 107. Dve pozitivni celi števili sta si kakor 3:2; če zmanjšaš prvo število za 1 in povečaš drugo za 2, znaša vsota njunih kvadratov 2581. Kateri sta dotični števili? 108. Več oseb napravi skupno potovanje, za katero je treba 432 K plačati. Ker sta bili 2 osebi prosti vseh stroškov, je morala vsaka izmed ostalih oseb za 3 K več plačati. Koliko je bilo oseb? 109. Oče zapusti svojini otrokom 14400 K, katere je treba razdeliti na enake deleže. Kmalu po očetovi smrti umrjeta 2 otroka in vsak izmed ostalih otrok dobi potem za 1200 K več, nego bi bil dobil sprva. Koliko otrok je bilo? 110. A proda blago za 96 K in ima toliko odstotkov do¬ bička, kolikor kron je plačal za blago. Za koliko je kupil blago? 111. Nekdo ima 5600 K kapitala; od obresti prvega leta porabi 152 K in ostanek priklopi h kapitalu. V drugem letu dobi 256'5K obresti. Po koliko procentov je naložen kapital? 112. Zidarja A in B sezidata zid v 18 dneh. V koliko dneh bi dovršil A sam delo, če B potrebuje za isto delo 15 dni več nego ^4? 113. Cevi A m B napolnita neko posodo v 2-f ure; cev A sama napolni posodo 4 ure poprej ko cev B. V katerem času napolni vsaka cev sama dotično posodo? LXXVII 114. Dve telesi se pomikata enako hitro po krakih pravega kota od vrha proč. Prvo telo se je začelo pomikati 7 sekund poprej ko drugo telo in je po 12 sekundah 65 m oddaljeno od drugega telesa. Kako hitro se pomikata telesi? 115. Dve telesi se začneta istodobno pomikati po krakih pravega kota od vrha proč in pretečeta oziroma po 4’8» in 1’4 m vsako sekundo. Po koliko sekundah sta telesi 100 m narazen? 116. Po krakih pravega kota se pomikata dve telesi proti vrhu in pretečeta oziroma po 5 m in 3 • 6 m vsako sekundo. Po koliko sekundah sta telesi 26 m narazen, če sta bili v začetku po 60 m oddaljeni od kotovega vrha? 117. Od krajev A in B, ki sta 152 hm narazen, se peljata istodobno voza drug proti drugemu in se srečata po 12 urah. V koliko minutah preteče prvi voz 1 hm , če rabi drugi voz za 1 hm eno minuto manj ko prvi? 118. Dva kolesarja se peljata istodobno od krajev A in B drug proti drugemu. Ko se po 78 minutah srečata, je prvi ko¬ lesar 1560 m več prevozil ko drugi in pride 12} minute poprej v kraj B ko drugi kolesar v kraj A. Kako daleč sta kraja A in B narazen? 119. Na 3000 m dolgi cesti se zavrti zadnje kolo nekega voza 200 krat manj ko sprednje kolo, katerega obseg je za } m manjši od obsega zadnjega kolesa; kolik je obseg zadnjega kolesa? 120. Ako podaljšaš eno stranico nekega kvadrata za a = 11 } cm in zmanjšaš stikajočo se stranico za istotoliko, dobiš pravokotnik s ploščino p — 860 m 2 ; kolika je kvadra- tova stranica? 121. Pri pravokotniku meri osnovnica 118 cm in višina 59 cm, Ako zmanjšaš višino za nekoliko centimetrov in podaljšaš osnovnico za dvakrat toliko centimetrov, se zmanjša ploščina za 3698 cm?. Kolike so stranice novega pravokotnika? 122. V pravokotniku se osnovnica in višina razlikujeta za 23 m in diagonala meri 65 m; kolike so stranice? 123. V pravokotnem trikotniku meri ena kateta krat to¬ liko ko druga kateta, hipotenuza pa 82 m; kolika je vsaka kateta? LXXVIII 124. V pravokotnem trikotniku meri liipotenuza 25 m in njej pripadajoča višina 6’72 m; kolika sta hipotenuzna odseka in koliki kateti? 125. Ploščina poševnokotnega trikotnika znašaj = 360 cm 2 in dve stranici merita 29 cm in 25 cm-, kolika je tretja stranica? 126. Kolik je polumer kroga, če je neka tetiva za 2 cm manjša od premera in njena središčna razdalja = ^ polumera? 127. Za koliko je treba krogov polumer r = 7 cm podaljšati, da bode tangenta, katero narišeš iz krajišča tega podaljška na krog, enaka t = 24 cm? 128. Površje pokončnega valja znaša P = 706 - 86.. cm 2 in višina v = 8 cm; kolik je polumer osnovne ploskve? 129. Prostornina 7 cm visokega valja se poveča za 2552 cm 3 , če povečaš polumer osnovne ploskve za 2 cm in višino za 3'5 cm; kolik je polumer osnovne ploskve? (it = ^-.) 130. Površje pokončnega stožca znaša P = 1385'44. .cm 2 in stranica s = 40 cm; kolik je polumer osnovne ploskve? 131. Prostornina stožca postane 2| krat večja, če povečaš polumer osnovne ploskve za 8 cm; kolik je prvotni polumer? 132. Ako povečaš polumer krogle za 10^ cm, se prostor¬ nina poveča za 92169 cm 3 ; kolik je prvotni kroglin polumer? (* = ¥)• 133. Določi enačbe, ki imajo naslednje korene: a) ]f —-1 in — | f — 1; b) —|— 3J/^2 in — 3|/2; c) 10 in — 1; d) — 9 in — 13; e) 2| in — f; f) 0‘7 in —2’4; g) 1 -)- \f% in 1 — \f~2-, h) |/"2 -f- — 3 in /2 — |/- i) 2a + 3ž>/2 in 2a — M\[2\ k) j n lj \f<* + \fb in \fa ~]fb _ m) (/a \[ a \Tb ]f (I —j— ]/ c in ia /a — (a — b 3 ; LXXIX 1. x 8 = 4. x 3 — 7. * 6 — 10. (7 — 12. (2x - 13. (x — 15. x 3 — 17. x 3 — 18. x 3 — 20. x» — 11X* K § 43. 1. 2. x 3 = — 1. 3. **'+ a 3 = 0. a 3 = 0. 5. 8x 3 + 27 = 0. 6. 64x 3 — 125 = 0. 1 = 0. 8. 3x 6 — 2187 = 0. 9. 64x 6 = 15625. x) 3 — (7 + x) 3 = 0. 11. (2x — 5) 3 + (5* — 2) 3 = 0. - 3) 3 + (x -f 9) 3 = 0. a) 3 — ( h — x) 3 = 0. 14. x(x 2 — 8) = 8(1 — x). 3x 2 = 10 x. 16. x 3 -)- 3x 2 — (x -[- 3)(2x -j- 15) = 0. 8x 2 -|- (x —- 8) 2 -j- 6x(x — 8) = 0. a 3 = a 2 (a — x). 19. (x 2 — 4) (x 2 + 4) = 240. 21. x 4 —j— 64 = 0. 22 , - 81 = 0. — 18x 2 = 9(x 2 —l) 2 — 65. 23. ; 4- \T ■ — \f a 36 24. x 4 — 13x 2 + 36 = 0. 4x * 2x 2 _ 3 “3 3~ 64' 28. x« + 23x 3 — 108 = 0. 30. 3x 6 — 7x 3 = 6. 32. 3x 3 — 4 x\fx = 160. 34. <«-2)>+(4 Tj ) , = 35. (3 ''1=04-1 M0-01. 25. 6x 4 — 11 x 2 = 35. 27. (9x 2 ) 2 — 41 (3x) 2 -j- 400 = 0. 29. x 6 + 27 = 28 x 3 . 31. 2x 3 — 5x^x = 1323. 33. 6x- 4 — 5x~ 2 + l = 0. 82 9 ’ 36. 38. \3 -f-, x 2 -f 1 , — 1 x 2 — 1 "T" -j- 1 x 2 -f-3 _ 1 37. 3x 2 +4 , 3x 2 — 4 26 3.r 2 — 4 I 3x 2 4-”4 “ X' 17 —x 2 40. (x 2 —3) 2 x 2 -f 3’ 7 (x 2 — 3) + 6 = 0. 1 3x 2 4 4 ' 39. x 2 4- (f) 2 = 260. 41. x/25^= y>2 - 12 . 42. (x -j- \ x) 4 4~ (x -J -][ x) 2 44. ][x i — 3 Y x 2 — 54. 46. 4x 4 "&Vx = 21 5 M 48. x 2 — 8x4-5 = 2[x 2 - 49. 2x 2 -\-3[x 2 — x 4-1 = 1332. 43. ]fx — 8 ]/x = 9. 45. 2 \ f 2x — |/44 - 2. 47. /x 2 +l7 — ^417 = 6. 8x 4" 40. 2x -j- 3. LXXX 50. (* 2 + 3 x -f l) 2 — 12(* 2 + 3*) = 1. 51. ( x 2 —j— 6a7 —j— 8) 2 — 3 x 2 — 18* = 24. 52. (3* 2 + x — 2)2 — 30* 2 — 10* + 36 = 0. 53. /* 2 -j- 3* -j- 8 + / * 2 + 3 x — 3 = 11. 54. 4* 2 -f 6* + /2*24- 3 x -f 9 = 60. 55. (* — 5)2 4- /42^1044432 = 13. 56. (* — 4)24- fx 2 — 8*-f 31 = 5. 57. /^f 24 = /* 2 — 9 4- /»2 — I6. 58. j/72 — » — /l6 —4r = 2. 59. O/* 2 _ 2»/» = 10. 60. * 3 4~ * 2 4~ * 4~ 1 = 61. x 3 — » 2 4" x — 1 = 0. 62. * 3 4- 3*2 — 3* — 1 = 0. 63. * 8 — 3^*2 4- 3 j* — 1 = 0. 64. 7* 3 — 43*2 _ 43» 4- 7 = 0. 65. 20* 8 4-31*2— 31* — 20 = 0. 66. * 8 4- 2*2 — 4* — 8 = 0. 67. * 3 -f 3* 2 + 15* 4- 125 = 0. 68. 27* 3 4-12* 2 _ 8* — 8 = 0. 69. 8* 3 4- lO* 2 _4 15x _4 27 = 0. 70. * 4 4- * 3 — 4* 2 -4*4-1 = 0. 71. * 4 — 12* 3 + 29*2 _ 12* 4- 1 = 0. 72. 3* 4 — * 3 — 24*2 _ x 4. 3 = 0. 73. 6* 4 -(- 5* 3 — 38* 2 4~ 5* 4“ 6 = 0. 74. 24* 4 — 50* 3 — 173* 2 — 50* + 24 = 0. 75. 10* 4 + 27* 3 — llO* 2 4_ 27* 4.10 = 0. 76. 6* 4 — 13* 3 4- 13* — 6 = 0. 77. * 4 — 16* 3 + 16* — 1 = 0. 78. 2* 4 4- 5* 3 — 5* — 2 = 0. 79. * 4 — 2* 3 4- 2* — 1 = 0. 80. * 4 + 5* 3 4- lO* 2 -4.15* + g = 0. 81. * 4 — 3* 3 — 8 * 2 — 15* 4~ 25 = 0. 82. * 4 — 5* 3 4~ lO* 2 — 10* _]— 4 = 0. 83. * 4 — 7* 3 4- 28* — 16 = 0. LXXXI 84. 3*- 1 = /9. 86. (3 1 -*) 1- * — 1. 88. io* 2 -5*+6 = 100. 90. 2* + 1 = —‘/5. 92. 3 • 4*+ 2 = 4^3 2 *+ 1 . 94. 3 2 *— 5 • 3* + 6 = 0. 96. 2* + 2~ x = J. 98. 3* + 2 + 3 2 -* = 82. 85. 8 2 * + 2 = yw- x . 87. lO***-« = 100 2 « 3 -*). 89. x —\[2 = 4*+ 3 . 91. 3-2" = 4^9. 93. —y 2-/5- —/10 = 1. Q - /5\sx 15/5+ . 25 A 9a - “ab) + T = °- 96. 2*+2~ 97. 6‘ + * + 6 1 — = 13. 99. 8* + ‘ — 8 2 *- 1 = 30. 100. 3 2 * = 100(3*“ 1 — 1). 101. 3/l2 = 360 + 6-/12. 102. /f28 +-/128 = 20. 103. /l6 s + /l+ = 272. 104. 5-/3 + 3"/3 = 10. 105. 12-/10 — 5-/10 = 25. 106. /2-3 3 *+l0 = 3 + /3 3 *— 2. 107. | log (a? + 1) + log /x — i = 2 — log 2. 108. log (x — 1) + log (x + +) = 2 log 5. 109. log (x 2 + x /2 + l) + log Gr 2 — x /2 + l) = log 3 + log 5. 110. log/*— 1 + log/a; + f = 15 — log2. 111. *’°s* = 578. 112. \fx^ Vx ~ = 10. 113. * l0 ®* — 114. a: 21 °s*- 5 = 0-01. 117. 3*'°®* + 100»- lo »* = 40. 118. * lo s* — 4*-' 0 ®* = 3. 119. x 2iogx ~ e + 12 = 7* lo s*- 3 . 120. x l °s x — 96**»^ = 400. K § 44. 1. 2* 2 — 3 f = 71 3* 2 + 2 f = 165. 2. 12* 2 + by 2 = 233 3* 9 + 7/ = 202. 3. 4* 2 + y 2 = 5 3«/ 2 — 20x 2 = 7. LXXXII 5. x 2 — 2/ 2 = 32 x — 3 y — 0. 7. x 2 -j- xy -f- y 2 — 63 x — y 3 = 0. 9. 2x 2 — 5 xy -j- 3 ij 2 = 48 3x — y — 11. 11. (x — 4) 2 +( ž / + 4 ) 2 = 100 x -f- y = 14. 13. (a + 2 ) 2 + ( 2 / + 3 ) 2 = 32 (* + 2 ) — (?/ —3) = 0 . 15. 7x 2 — 52/ 2 = 163 \xy = 28. 17. x: 2 / = 3:2 |/" a — 2 — / 2/^3 = 1. 19. xy-\- x = 18 X2/ — y — 10. 21. (a + 1 )(y — 2) = 30 (x-2)(y + l) = 24. 23. x -j- f xy ~\-y — 14 X!/ = 16. 25. x 2 —j— y 2 —J— xy — 52 • 75 2 xy — 7. 27. x 2 -(- y 2 -(- x -(- y = 510 x 2 -\- y 2 — x — y = 490. 29. x 2 — xy = 76 xy — y 2 — 60. 31. \[2x - | f3y = 4 2 x — 32/ = 88 . 33. (a — 5 ) 2 + (j/ — 3 ) 2 = 20 (x — 5) (y - 3) = 8 . !. 2 2/ — 3x = X2/ aj-f = 4. I. 4x 2 -j- 6y 2 — 4x — y 62 / — 2 x = 1 . >. (3x — 2y) 2 —-(2x — 3y) 2 = 80 4x — 5 y = 5. 12. (x - 4) + (y - 3) = 6 (x — 4) ( 2 / — 3) = 8 . 14. x 2 — y 2 = 11 xy = 30. 16. |/x -j- \f y — 12 ® + 2 / = 74. 18. /a^f- 4 — 1 = 1 5x — 3 y = 16. 20 . 2 xy — y = 21 xy — 2x = 4. 22. (a — 2 ) 2 — (y — 3 ) 2 = 44 (a — l ) 2 — (y — 5) a = 17. 24. x 2 — 3 x 2 / —(- 2/ 2 = 17f 2 x 2 / = 5. 26. x 2 —|— xy —j— 2/ 2 = 49 x 2 — xy —{— 2/ 2 = 19. 28. x 2 —j— xy = 170 2/ 2 -j- xy = 119. 30. j/x -f- / 2 / =10 |/x 2 /- = 16. 32. (x + 2 2/) 2 -f (2x — 2/) 2 = 26 (x + 22 /)( 2 x — 2 /) = 5. 34. (x —j— 2/) 2 — 3 (x —{— 2 /) = 270 xy = 80. LXXXIII * + 10 . 10’ 100 ” ” ” ” 4. Določi naslednjim enačbam logaritmand: oj 4 log x = 0, &J 4 log a; = —1, c) 4 log a: = — d) 3 loga; = 4, e) 5 log a; = 1, f) 6 log x = f, i < 7 j 10 log a; = — 1, h) 10 log x i T, tj 10 log a; = — f. cj * log 10 = |, 5. Določi naslednjim enačbam podlogo : a) x log 10 = 2, b) x log 10 = —1, e) * log 2 = 3, f) x log 2 = — 2, h) "Iog0 - 1 == —1, i) "log0'01 = 2. d) "log 8 = g) "log 343 = 3, 3 T) 3 b - a ; 2 — ; 1. log (7 ab ). 4. log (o 2 — b 2 ). 7. log 2 ^ 10 - 1O £ 2xy 13. log ab 2 c 3 . '«• '""i j, 19. iog(^) s . 22. log | /hcy 2 ^ 25. log X 2 |/ o i&F' K § 46. 2. log [5 (o — 3 b)}. 5. log (4 a; 2 — 9 y 2 ). 8 ' ^3(S) ' .. . 4a 2 — 96 2 11 * 0g 25a; 4 — Se«/ 4 ' 14. log (ate) 2 . i’. ios idr- en- w(£M)‘]- 23. log 8 a 2 \fb 3 x. 26. log \[a 2 b 2 . 3. log (a -)- b) (m -|- ra). 6. log a (a; 2 — 1). _ 5 mx 9- ... , 63 a 4 — 28 ž> 4 12. log 18a 2_ 86 2 • ... 5 a 2 x 3 15. log^. 18- log ( . 21. log [ab. 2 (/a; a]fy 24. log 27. log j/ 3 a* LXXXVI1I 33. Izrazi naslednje logaritme s pomočjo računskih zakonov z logaritmi praštevil: a) log 96, b) log 75, c) log -|4, d) log 0'75, e) log /72, f) log 3 /||. 34. Pretvori naslednje mnogočlenike v enočlenske izraze, t. j. poišči izraz, katerega logaritem so naslednji podatki: a) log x -)- log tj — log 2; b) log a — (log b -j- log c); c) 3 log a -j- 2 log b — 4 log c; d) loga; — 2 log«/ — 3 log z; e) i log a — ■§• log b — \ log c; f) loga; -j- |log y — flogz; g) |(2 log a + 3log b) — '-[log (a + b) -f log (a — 6)]; h) log 3 —|— log 5 -|- log 7 — f log 3-|-31oga — f log &; i) log (a + b) 4- 2 log a — 4 [log (a — b) + 3 log 6]; h) 21og3-i(21og5 + llog7) + flogll; 1) 2 log (x — y) — ^log (x 4 -y) ~ |log(a; 2 — xy + «/ 2 ); m) |[log3 4- 51og« 4- flog(a — b) — 2(loga;- - log y)]. K 47. 1. Izračunaj po računskih zakonih Briggove logaritme števil: a) 6, 14, 20, 25; b) f, 4, 4fi 14 j c) /lo, /2, Vn če je log 2 = 0-30103, log 3 = 0-47712, log 5 = 0-69897 in log 7 = 0-84510. 2. Poišči naslednjim številom Briggove logaritme: a) 83, b) 113, c) 837, d) 1008, e) 3807, f) 6025, g) 8 -476, h) 83 -95, LXXXIX i) 7648-3, k) 4509-8, l) 37-4968, m) 2*53694, n) 1-04736, o) 46358, p) 179265, r) 310486, s) 114257, t) 0-69583, u) 0-036728, v) 0-00416953. 3. Poišči naslednjim logaritmom pripadajoča števila: a) 0-24055, b) 1*57287, c) 2-61278, d) 3-02816, e) 0-66058 — 1, f) 0-27161 — 2, g) 0*89009 — 3, h) 2-01396, i) 1-46370, k) 0-40016, l) 0-55342 — 2, m) 0-25893 — 1, n) 0-68102 — 3. K § 48. Izračunaj s pomočjo logaritmov naslednje izraze: 1. 13-794-7-2495. 2. 0-27306-15-796. 3. 3 -1593 - 0 • 0237 • 6 • 8345 • 0 • 45792. 4. 0-36:2-7453. 7. 17-963 : 38 ' 402 •1F2756- 10. 1-035 25 . 4 ji • 0-29674 3 16 . 3 17. I/ČP97315. 20. ^^roei 2 . 23. V- 5. 1:0-94276. — 13-179 8 * 4-256 - 0-27965' 11. 7-1414 2 . 0-47236 5-9731 • 2488 ■ (— 1926) 6. 35: 521347 12. 0-61734 3 . v 4 14. (— y) 5 . 15. (- 16.1/15. 18. ^78-125- 0-34963. 19. ^—10. «. vm- »v 014. i/ 87 i/8l05 ' * 93-24 3 •26. vm. P 24 ' 1 ”^; 937 . 27. log 2 • 0255 log 1-04 25. 28. 38-922 13 ji * 3/5-p 6 111/ 4V124 25-348 log 33-607 " 0 „ log 0-98765 -y * log 0-03893 • 30. log 0-071289 31. Va + t/4 32. \f 52 — 31/10 V8 7 ? log 0-267 ' 33. /2 4-l/2 + |/2. 34. j/" 10 —j— j/IO. 35. ^|/l8-7 —- 3 /9-2. 37. |/8-16 2 + 10-12 2 . Matek, Aritmetika. 36. (1-04 — 5 /0-3) 3 . 38. j/58-81 2 — 53-69 2 . VII xc Razreši naslednje eksponentne enačbe: 39. 3" = 0-5. 40. 10* = 2-71828. 41. 25~* = 11. 42. 2 3 * + 4 - 2 2 + * = 5. 43. 2 2 *- 3 3 *= 2'0477. 44. 3 2x .b 3x ~ i = 7 X ~ 1 -11 2 - X . 45. 2 X -3*- 1 .4®- 2 = 5. 46. 6 3 ~ 4 * == 0-006 7 - 4 *. 47. (J) = 5-301-+ 1 . «(S)^=S' 49.FI0 = 2. 50. 'j/2 5 + 3 - r = 5. 51. ^2— 1 = 52. /ŠO^-jJA(§r + ‘- Y I(¥)"*• 53. 3*+ 4 —3*- 1 = 3 • 2 3 . 54. 3*-)- S*!" 1 = 2* + 3 . 55 3 1 + ix _ 2 3x ~ 5 = 2 3x ~ 1 _ 3 4 *. 56 . 3 -* - j — 3 * + 1 —(— 3 ^+ 2 —|— 3 *+ 3 = 4 *+ 4 * 'J rj2x—l g3*—2 72 * + l g3*4-2_ 58. 2— 1 -2«' + 1 = 1 32* : 32/4-3 = 1. 60. \ x -j— 7 y = 3 (a: -f- 7 tj) • 2 X = 1296. 62. i2^-V& = 12 iW-V^ = *• 64. h v • X /4 = 400 2» + 1 -^3 = 72. 59. 3*-5* = 405 2* • 7 V = 112. 61 . 5 ^ 2 * • = 12 /žF*: j/lF 3 *' = 3-375. 63. ^4.|^8 = 1 V2- y ][2 = 1-41421. 65. Yx^ = 1024 3/x = 2 ^ 729 . Razreši naslednje logaritemske enačbe: 66. 2 log a: = 3 log 4. 67. -|-loga: = 21og3. 68. ^log(* — 1) = 1 — log 5. 69. loga: -)- log (x -[- 1) = 21og(l — x). 70. log (x -)- 5) — log (x — 5) = 2. 71. log (x -(-2) — log (a: — 2) = 0 - 43512. 72. log (a: + 2) — log (x + 1) =• 0-02345. 73. log (2a: -—1) — log (a; -(- 9) =p — 1. XCI 74. log (a; — 1) — log (2*— 4) = log(*-|-2)— log (2* -j-11). 75. log (5 x) -f- log (2* -j- 3) = 1 —(— 2log (3 — *). 76. log (16*) — log (2*) -j- log (3*) = log 9 -j- log 4 — log 6. 77. log 5 -f |-log(3* -)- 4) = log7 -j- log[f2x — 5. 78. \og(\Tx — 5) — log(/*— 3) = log(i/*—2) — log(|A*— 4). 79. log3 -f- |log (4* — 2) — log |/3ac —|— 2 = 21og 2. 80. log (4 — x) —|log(*— 2) = log^ + 2. 81. 2 lo % x = 8. 82. 5’°s( 2 *) = 625. 83. 3 lo s x = 10. 84. 2 l0 s x = 3. K § 49. 1. Razstavi naslednje trinome na faktorje: a) x 2 — 17* -f- 70 ; b) * 2 3* — 88 ; c) 3* 2 — 14* -f- 8 ; d) 3* 2 -j-10* —153; e)6* 2 -f* —1; f) 20* 2 +17*— 24; g) acx 2 — (a 2 —(— 6c)as —j— ab; h) acx l — (3 ab — bc)x — 3 b 2 ; i) abx 2 —|— (« —j— ž>) as —(— 1; k) abx 2 -j- ( a 2 — b 2 ) * — ab. 2. Za katere vrednosti premenljivke * so naslednji izrazi pozitivni in za katere negativni: a) x 2 — 14* -j— 45; b) x 2 — 3 * — 4; c) x 2 -(- 8 * -j- 15 ; d) 2* 2 — * — 2; e)8* 2 -f~4* — 1; f) —- 2x 2 — * -j- 10. 3. Določi naslednjim izrazom največjo, oziroma najmanjšo vrednost ter povej obenem vrednost premenljivke za ta slučaj: a) x 2 ~\~ x \ \ b) x 2 — ac —J— 1; c) 3x 2 — 8 * -j- 6; d) ax 2 — bx — c ; e)ax-\- g)x-aJ r ~^ r : h) X ‘ 2x 2 - 1 . J/ x 2 5 X 2 -j- 1 i) x |/9 k) x 2 -j- (a -f- b) x -|- a 2 — ab -j- b 2 ; l) x 2 -(- (a — b) x — a 2 — ab — b 2 . 4. Razstavi število a na dva sumanda tako, da dobi njun produkt naj večjo vrednost. 5. Razstavi število a na dva faktorja tako, da dobi njuna vsota naj večjo vrednost. 6. Razdeli daljico a na dva dela tako, da dobi vsota kva¬ dratov napravljenih iz teh delov najmanjšo vrednost. VII* XCII 7. Včrtaj določenemu trikotniku največji pravokotnik tako, da leži dvoje pravokotnikovih oglišč v eni trikotnikovi stranici, tretje in četrto oglišče pa v ostalih trikotnikovih stranicah. 8. Včrtaj določenemu kvadratu (krogu) največji pravo¬ kotnik. 9. Včrtaj določenemu pokončnemu stožcu pokončni valj z največjim plaščem. 10. Včrtaj določeni krogli pravilno četverostranično prizmo z največjim plaščem (površjem). 11. Kateri pokončni valj (stožec) ima naj večji plašč, če je obseg osjega preseka določene velikosti. 12. Včrtaj določeni krogli pokončni val z največjim plaščem. Načrtaj funkcije: a) y = 1 -j— 6 žc —j— 8x 2 , b) y = 12 — x — 6x 2 , c) y = x 2 — 2x — 15, d) y = x- ~\- 2x — 3 ter določi presečišča funkcijskih črt z abscisno osjo! Določi diferencijalne kvocijente naslednjim funkcijam: K S 50. K 51 . 2. y = x 2 — \x -j- |. 4. y = {a -f- bx ) (c — dx). 6. y — a sin x —|— b cos x e. 8. x 2 -j- y 2 = r 2 . 10. y 2 = 2px. 12. tj 2 = sin«. 3 . y — ax 2 -|- bx c. 9. b 2 x 2 —- a 2 y 2 — a 2 b 2 . 11. y = 2px -f- ~ x2 - 13. y = ax 2 + ~ 14. y — {a bx) 2 . m 19. y — \[ a -f- bx. 20. y = a -\-bx - j- cx 2 . XCIII 21. y = a sin a«. 22. y = asin(/?— ax). 23. y = cos(x 2 — a 2 ). 24. (x — a) 2 -j- (y — b) 2 = r 2 . 25. Določi, za katere vrednosti premenljivke rastejo, ozi¬ roma pojemajo naslednje funkcije: a) y = x 2 -j- lx -j- 12, b) y = 2x 2 — 3cc — 9, c) y = x 2 — 6x -j- 13, d) y — ^x 2 — ~ — 1. 26. Določi, za katere vrednosti premenljivke so naslednje funkcije pozitivne, oziroma negativne. a) y = x 2 — x — 2, b) y — — x 2 — 2 a? —f— 3, c) y = 4x 2 -j- 8x -j- 3, d) y = — ix 2 -f T \x -f 2. 27. Načrtaj funkcijo y = 2 —(— 3a? —|— 4x 2 ter določi kot, katerega tvori geometrijska tangenta v točki x = 3 funkcijske črte s pozitivno abscisno osjo. 28. V kateri točki funkcijske črte y = 2 -f- 2x -|- x 2 tvori geometrijska tangenta s pozitivno abscisno osjo kot 45° (60°)? 29. Določi funkcijam pod 26. največjo, oziroma najmanjšo vrednost! 30. Načrtaj iz točke M, ki ima od središča O nekega kroga razdaljo a, tangenti na krog ter spoji dotikališči A in B med seboj in s točko 0. Kolik mora biti krogov polumer, da je trikotnik AOB naj večji? 31. Kateri pokončni stožec s stranico a ima največjo pro¬ stornino? 32. Določi izmed pokončnih stožcev s prostornino h tistega, ki ima najmanjši plašč. 33. Določi najmanjši pokončni valj, če je diagonala osjega preseka = d. 34. Včrtaj (očrtaj) določeni krogli pokončen stožec z naj¬ večjo (najmanjšo) prostornino. K § 52. Določi naslednje integrale: 1. Jxdx. 2. Jx 2 dx. 3. Jx~ 3 dx. 4• • 5. / aD dx. 6. f[x - dx. XCIV .3 i/a? 2 > I dx. 14. J- 16. dx „ r dx c rdx J Vx' 10. / (ax -|- b) 2 dx. 12. /^3a; 3 + 4x- 3 +2 3 /# 13. / (a sin x -(- b cos x) dx. 15 * /** + 2 &* + 6 » ' 16 ‘ f^faT+i 17. /x|/a 2 -j- x 2 • dx. xdx 9. / (ax 2 — bx — c) dx. 11. / (x -(- a) (x — a) dx. bx ' 18. ■h xdx 19. ■A xdx l/a 20. / l/a 2 — Vl + X 21. / sin (ax -(- /?) cčx. 22. / cos (ax -j- /3)cfe. 23. / 3 x dx. 26. f[x- dx. 24. / (a -j- 6x) dx. o n ~2 27. / cos xdx. 25 -/S- 28. /sinax^x. o 29. /sin4xdx. 30. /cos4xcčx. 6 o 31. Zavrti funkcijsko črto y = [8x okoli abscisne osi do njene prvotne lege ter izračunaj prostornino nastalega telesa od x = 0 do x = 6. K § 53. 1. Določi pri naslednjih aritmetičnih postopicah občni člen in vsoto iz n členov: a) c) n, n ' n 3 n - 1 2. Pri aritmetični postopici 12 členov znaša zadnji člen 1\ in vsota 54; kolik je prvi člen in kolika razlika? 3. Aritmetična postopica šteje 6 členov; kolik je prvi člen in kolika vsota, če je zadnji člen = 0 in razlika = — 2? 4. Kolik je prvi in kolik zadnji člen aritmetične postopice, ki šteje 16 členov, če je razlika == O 1 27 in vsota = 52 - 08? xcv 5. Koliko členov aritmetične postopice da vsoto 2808, če znaša prvi člen 2 in razlika 10? 6. Koliko členov postopice 9, 13, 17... je treba sešteti, da dobiš vsoto 8640? 7. Vrini med člene postopice 1, 5, 9... po 8 novih členov tako, da dobiš zopet aritmetično postopico ! 8. Koliko členov moraš med 8f in 10^ vriniti, da dobiš aritmetično postopico z vsoto 21 lf? 9. Določi pri postopici 50, 48, 46. .. tisti člen, kije enak 27. delu vsote vseh prejšnjih členov! 10. Pri aritmetični postopici znaša vsota iz 9. in 20. člena 21, vsota iz 10., 16. in 28. člena pa 28; kako se glasi postopica? 11. Peti in drugi člen aritmetične postopice se razlikujeta za 18 in vsota prvih 5 členov znaša 75; kolik je prvi člen in kolika razlika? 12. Peti člen aritmetične postopice znaša 15, vsota prvih treh členov je = 22^ in vsota zadnjih treh členov = 75; ko¬ liko členov šteje postopica in kolika je njena vsota? 13. Vsota iz drugega in 16. člena aritmetične postopice znaša 6^ in produkt istih dveh členov je = 1\\ kolika je vsota prvih 16 členov? 14. Razdeli število 400 na 25 delov tako, da tvorijo ti deli aritmetično postopico in da je deveti del = 11! 15. Kolika je vsota sodih števil naravne številne vrste od 37 do 73? 16. Koliko znaša vsota četveroštevilčnih števil, ki so de¬ ljiva z 29? 17. Dolg 4350 K, ki ne nosi nobenih obresti, se poravna tako, da se plača prvo leto 600 K in vsako naslednje leto za 50 K manj; v koliko letih je dolg poravnan? 18. Okoli točke v ravnini leži 6 kotov tako, da se dotikajo zaporedoma drug drugega in daje vsak naslednji za 9° 12'večji od prejšnjega. Koliki so posamezni koti? 19. A izkoplje vodnjak, ki je 12 m globok, in dobi za prvi meter 9 K 60 h in za vsak naslednji meter po 2 K 40 h več. Koliko znaša ves zaslužek? 20. Ploščina pravokotnega trikotnika, katerega stranice tvorijo aritmetično postopico, znaša 294 din 2 ; kolike so stranice? XCVI 21. Večja kateta pravokotnega trikotnika, katerega stranice tvorijo aritmetično postopico, meri 24:dm; koliki sta ostali stranici? 22. Številke troštevilčnega števila tvorijo aritmetično po¬ stopico. Ako deliš to število z njegovo številčno vsoto, dobiš 26 za kvocijent; če pa prišteješ dotičnemu številu 198, dobiš število, v katerem se nahajajo iste številke v obratnem redu. Katero je to število? 23. Dve telesi se začneta pomikati istodobno v isto smer od ene in iste točke. Prvo telo preteče vsako sekundo po 20 m , drugo telo pa v prvi sekundi 12 m in v vsaki naslednji sekundi po 2 m več. Kdaj dohiti drugo telo prvo? 24. Po obodu nekega kroga se pomikata dve telesi isto¬ dobno od ene in iste točke v nasprotno smer. Prvo telo preteče v prvi sekundi 3° in v vsaki naslednji sekundi po 1° več; drugo telo preteče v prvi sekundi 1|° in v vsaki naslednji sekundi po 6° več. Kdaj se srečata telesi prvokrat in kdaj drugokrat? 25. Popotnik gre od kraja A in prehodi prvi dan 40 km in vsak naslednji dan po 2 km manj. Od kraja B, ki leži 40 km za krajem A, gre en dan pozneje kurir, ki prehodi prvi dan 40 km in vsak naslednji dan po 5 km več. V koliko dneh do¬ hiti kurir popotnika? K §54. 1. Določi vsote naslednjih geometrijskih postopic: a) 1 —)— te —j— -j— £c 3 —j— ... —(— a; ” 2 —j— M x , b) a; 5 -j- x*y -[- x 3 y 2 -j- x 2 y 3 -j- xy i -j- y 5 , c) a 6 -[- a°b -j- a 4 & 2 -|- a s b s -j- -|- ab 6 -j- b G . 2. Določi vsote naslednjih brezkončnih geometrijskih postopic: X 1 , 1 | 1 , 1 , a ) 2 + 4 + 8+ I6+--- 7\ 1 3,9 27 . b ) 1 ~ 4 + Tfi ~~ iu + • ■ • ,5 1 . c ) ¥ + 16 _3 10 64 — + 60 ' d) a — b -|- a - —_ -I- ((3 _ ) I i I 1 JL _L e ' 32 T35T Q8 r 911 "T • • • 6 5 + • • • (« > b) f) 2|5j^|5|2,5| J J a I 82 T as T o ( T as T st T • • ■ XCVII 3. Kolik je prvi člen geometrijske postopice, katere ko¬ ličnik je = 1| in sedmi člen = 68-J4? 4. Kolik je realni količnik geometrijske postopice, pri kateri je a) prvi člen = 2 in dvanajsti člen = 4096; b) peti člen = 648 in sedmi člen = 1458? 5. Koliko členov postopice 1, 3, 9, 27... moraš sešteti, da dobiš vsoto 3280? 6. Prvi člen geometrijske postopice je 6, količnik f in zadnji člen lf-ff; koliko členov šteje postopica in kolika je njena vsota? 7. Koliko členov ima geometrijska postopica in kolik je njen zadnji člen, če je prvi člen = 4, količnik = 3 in vsota = = 118096? 8. Prvi Člen geometrijske postopice je 7 (3200), zadnji člen 15309 (25) in vsota 22960 (6375); kolik je količnik in ko¬ liko členov šteje postopica? 9. Kolik je količnik brezkončne geometrijske postopice, katere prvi člen je = 1 in vsota = 3? 10. Določi peti člen brezkončne geometrijske postopice, katere količnik je £ in vsota 20. 11. Vrini med števili 5 (16) in 405 (4096) tri člene tako, da tvori vseli pet členov geometrijsko postopico! 12. Vrini med števili x 8 in y 8 sedem členov tako, da dobiš geometrijsko postopico! 13. Vrini med 16 in £ toliko členov, da dobiš geometrijsko postopico z vsoto 31 f! 14. Med členoma 17496 in 1024 geometrijske postopice se nahaja šest členov; kolik je količnik? 15. Razlika med 4. in 6. členom geometrijske postopice je 756, razlika med 4. in 5. členom pa 432; kako se glasi po¬ stopica? 16. Vsota iz 6. in 10. člena geometrijske postopice znaša 27|, razlika med 12. in 4. členom je 242ff; kolik je prvi člen in kolik količnik? 17. Osem števil tvori geometrijsko postopico; vsota prvih štirih števil je 15 (85) in vsota ostalih števil 240 (21760) ; katera so števila? xcvm 18. Razdeli vsak člen postopice 3, 48, 768... na 4 dele tako, da tvorijo vsi ti deli geometrijsko postopico! 19. Tri števila, katerih vsota znaša 117, tvorijo geometrijsko postopico; če pomnožiš srednje teh števil z vsoto ostalih števil, dobiš 2430. Katera so števila? 20. Štiri števila tvorijo geometrijsko postopico; prvo število je za 36 večje od drugega, tretje za 4 večje od četrtega. Ka¬ tera so števila? 21. Šest števil tvori geometrijsko postopico; vsota prvih 5 števil je 484, vsota zadnjih 5 števil pa 1452. Kako se glasi postopica? 22. Ako prišteješ 4 členom aritmetične postopice zapore¬ doma števila 1, 4, 11, 24, dobiš geometrijsko postopico; kako se glasi aritmetična postopica? V- r 23. Ako odšteješ prvim 4 členom geometrijske postopice zaporedoma števila 3, 4, 5^, 8, dobiš aritmetično postopico; kako se glasi geometrijska postopica? 24. Aritmetična in geometrijska postopica se ujemata v prvem členu; druga člena teh postopic sta si kakor 3:2 in tretja člena kakor 5:4. Vsota iz prvega in četrtega člena geometrijske postopice znaša 81. Kako se glasita postopici? 25. Razdeli 248 K med 5 oseh tako, da dobi vsaka naslednja oseba dvakrat toliko ko prejšnja! 26. Nekdo si prihrani meseca januarja 1 h in vsak naslednji mesec trikrat toliko ko prejšnji mesec. Koliko si prihrani v 1 letu? 27. Številke troštevilčnega števila tvorijo geometrijsko po¬ stopico; število in njegova številčna vsota sta si kakor 124: 7, če prišteješ dotičnemu številu 594, dobiš novo število, v katerem se nahajajo iste številke v obratnem redu. Katero je število? 28. Iz soda, v katerem je 100 l vina, se vzame 1 l vina in vlije 1 l vode vanj; ko se vino in voda zmešata, se vzame iz soda 1 l te zmesi in vlije 1 l vode vanj i. t. d. Kolikokrat je treba navedeno mešanje ponoviti, da ostane v sodu še 40 l vina? 29. Recimo, da imamo neizrečeno veliko takih enakostra¬ ničnih trikotnikov, pri katerih je stranica vsakega naslednjega trikotnika enaka višini prejšnjega. Kolika je vsota vseh teh trikotnikov, če je stranica prvega trikotnika = a? XCIX BO. Včrtaj določenemu kvadratu (enakostraničnemu trikot¬ niku) krog; temu krogu včrtaj kvadrat (enakostranični trikot¬ nik), temu kvadratu (enakostraničnemu trikotniku) zopet krog i. t. d. Koliko znašajo a) obsegi, b) ploščine vseh kvadratov (enakostraničnih trikotnikov, krogov)? K § 55. 1. Kolika je vrednost kapitala 4567 K, naloženega po 4i%, čez 15 let? 2. Kapital 4050 K se po 5% obrestuje; kolika je njegova vrednost čez 20 let, če se obresti kapitalizujejo a) celoletno, b) poluletno? 3. Neko mesto ima 105842 prebivalcev; koliko prebivalcev bode imelo čez 11 let, če se prebivalstvo množi po 2%? 4. Kapital 2710 K je 10 let po 4%, potem 5 let po 3f°/o in 7 let po 3^% naložen na obrestne obresti; kolika je nje¬ gova končna vrednost? 5. Dva kapitala znašata skupaj 5500 K in narasteta v 8 letih na 7977'57 K. Eden teh kapitalov je naložen po 4^% in njegove obresti se kapitalizujejo celoletno, drugi kapital pa je naložen po 5% in njegove obresti se kapitalizujejo poluletno. Kolik je vsak kapital? 6. Gozd ima 75000 m 3 lesa; koliko lesa je bilo v gozdu pred 24 leti, če se računa letni prirastek po 1|%? 7. Nekdo ima čez 10 let dolg 4000 K plačati; kolika je gotova vrednost tega dolga, če se računajo obresti po 4|% in kapitalizujejo poluletno? 8. Kateri kapital naložen po 4% naraste v 14 letih na isto vrednost, katero dobi kapital 1980 K po 4v 18 letih? 9. A ponudi za hišo 32000 K takoj, B 35000 K po dveh letih in C 38400 K po 4 letih; katera ponudba je za proda¬ jalca najugodnejša, če se računajo obresti po 4f-%? 10. Izmed dveh kapitalov je eden trikrat tolik ko drugi. Manjši kapital je naložen po 5%, večji za 4|%. Če se vred¬ nosti teh kapitalov čez 12 let razlikujeta za 6000 K, kolik je vsak kapital? c 11. V katerem času naraste kapital 7500 K na 16000 K. če se obresti računajo po 41% in kapitalizujejo a) celoletno, b) poluletno ? 12. V katerem času se podvoji določen kapital naložen na obrestne obresti po 4% (5%)? 13. Koliko časa mora kapital 15324 K po 5% naložen biti, da se poveča za 8431 K? ~~14. Po koliko odstotkov je kapital 5450 K naložen, če naraste v 23 letih na 12023'3 K? 15. Prebivalstvo nekega okraja je naraslo v 11 letih od 19332 oseb na 29761 oseb; za koliko odstotkov se poveča prebivalstvo v 1 letu? 16. Po koliko odstotkov je kapital 3000 K naložen, če zna¬ šajo obresti v 2| leta 1408 K in se kapitalizujejo poluletno? 17. Kapital 3500 K, ki je po 4% naložen, se poveča kon¬ cem vsakega leta za 410 K; kolik je kapital čez 10 let? 18. Koliko moraš skoz 20 let in sicer v začetku vsakega leta po 5% naložiti na obrestne obresti, da dobiš po 20 letih 20000 K? 19. Koliko moraš skoz 15 let in sicer koncem vsakega leta plačati v hranilnico, ki računa obresti po 5% in jih ka- pitalizuje poluletno, da imaš čez 15 let 3292'71K premoženja? 20. Pri prodaji nekega posestva ponudi kupec A 20000 K takoj in skoz osem let po 400 K koncem vsakega leta, kupec B ponudi skoz 20 let po 1400 K v začetku vsakega leta. Katera ponudba je ugodnejša? 21. Kapital 1000 K je po 3f % naložen na obrestne obresti. Koliko moraš temu kapitalu koncem vsakega leta pridejati, da se kapital podvoji čez 10 let? 22. Nekdo naloži določen kapital in skoz 30 let koncem vsakega leta 450 K po 4£°/o na obrestne obresti. Če ima čez 30 let 45000 K premoženja, kolik je bil prvotni kapital? 23. Čez koliko let naraste kapital 5760 K, ki se koncem vsakega leta poveča za 575 K, na vrednost 24.825 K, če se računajo obresti po 4%? 24. Nekdo je v 22 letih vse svoje premoženje, ki se je obrestovalo po 5%, izdal in sicer tako, da je vsako leto po¬ rabil 6000 K. Koliko je bilo premoženje? CI 25. Gozd ima sedaj 30810 m 3 lesa; koliko lesa bo v gozdu čez 13 let, ako se koncem vsakega leta izseka po 1280 m 3 in se prirastek računa po 2%? 26. Nekdo ima plačati 2000 K čez 5 let, 3000 K čez 7 let in 5000 K čez 10 let. S katerim kapitalom se da ves dolg takoj poravnati, če se računajo obresti po 4%? 27. Neka občina mora za popravljanje mosta plačati vsako leto po 200 K. S katerim kapitalom se da ta služnost od¬ kupiti ? 28. S kolikim kapitalom si kupiš rento 1240 K, ki jo boš dobival skoz 25 let, če se računajo obresti po 3%? 29. Koliko moraš plačati za rento 1000 K, ki jo boš do¬ bival poluletno skoz 12 let, če se obresti računajo po 3£%? 30. Nekdo naloži 27000 K po 5% na obrestne obresti s tem pogojem, da bi od petega leta naprej skoz 14 let in sicer koncem vsakega leta dobival rento. Kolika je renta? 31. Kapital 20000 K je 20 let po 5% naložen na obrestne obresti. Kolika renta se dobi od tega kapitala skoz 10 nasled¬ njih let? 32. Koliko let se dobiva letna renta 200 K od kapitala 3074'5 K, ki je po 5% naložen na obrestne obresti? 33. Nekdo si kupi poluletno rento 800 K s kapitalom 30000 K; koliko časa bo dobival rento, ako se obresti računajo po 4 %? 34. A ima skoz 14let koncem vsakega leta 3675 K plačati; koliko mora a) za vsakega teh obrokov, b) za vse obroke skupaj plačati 10 let pozneje, če se računajo obresti po 4%? 35. B ima rento 1600 K dobivati skoz 15 let; ako prvih 4 rent ne vzdigne, koliko znaša potem vsaka izmed naslednjih 11 rent, če se obresti računajo po 4|%? 36. Nekdo plača skoz 12 let in sicer v začetku vsakega leta po 1500 K zavarovalnemu društvu, da bi potem od 18.leta naprej skoz 15 let dobival rento koncem vsakega leta. Kolika je renta, če se računajo obresti po 4£%? 37. Renta 2400 K, ki se dobiva skoz 20 let, se zamenja za rento, ki bi se dobivala skoz 30 let; kolika je zadnja renta, če se računajo obresti po 5%? CII 38. Koliko poluletno rento dobiš skoz 20 let za celoletno rento 18000 K, ki traja skoz 12 let, če se računajo obresti po 5%? K § 56. 1. Koliko in katere premeščaje dobiš a) od besede „miza“, b) od besede „roma“, c) od besede „leten“? 2. Koliko premeščajev napraviš iz elementov 1, 2, 3, 4, 5, 6 in sicer takih, ki se začnejo a) s 5, b) s 54, c) s 546? 3. Koliko peteroštevilčnih števil napraviš iz elementov a) 1, 3, 5, 7, 9, b) 2, 4, 6, 8, 0? 4. Koliko in katera peteroštevilčna števila napraviš iz šte¬ vilk 3, 3, 5, 6, 6? 5. Kolikokrat moreš premestiti faktorje produktov : abcdef, a 2 bc — aabc, a% 2 cd, x i y 2 z i , a m ~ n b n ? 6. Kako se glasi a) 14. premeščaj iz elementov „aimt “, b) 32. premeščaj iz elementov „ablot u , c) 114. premeščaj iz ele¬ mentov „adJcoš“ ? 7. Koliko različnih razporedeb dado ena bela, dve črni in tri rdeče krogle? 8. Kolikokrat more 7 gostov svoja mesta pri mizi za¬ menjati, dokler niso sedeli v vsakem mogočem redu? 9. Koliko različnih elementov moraš imeti, da se število premeščajev 42krat zmanjša, če se število elementov za 2 zmanjša? K § 57. 1. Napravi vse kombinacije drugega, tretjega in četrtega razreda a) brez ponavljanja, b) s ponavljanjem iz elementov 1, 2, 3, 4! 2. Na koliko načinov se da: a) produkt obede razstaviti na dva dela, izmed katerih ima eden po 2 in drugi po 3 faktorje; b) produkt abcdef razstaviti na dva dela, izmed katerih ima vsak po 3 faktorje? 3. Koliko amb, tern, kvatern in kvintern dobiš a) od vseh 90 števil naše loterije, b) od 5 števil, ki se enkrat izžrebajo? 4. Na koliko načinov se da: a) 12 kart med dve osebe tako razdeliti, da dobi ena po 3 in druga po 9 kart; b) 12 kart med tri osebe tako razdeliti, da dobi prva po 3, druga po 4 in cin trelja po 5 kart; c) 32 kart med 4 osebe tako razdeliti, da dobi vsaka oseba po 8 kart? 5. Koliko premic in koliko trikotnikov določuje n točk, izmed katerih ne leže po 3 v eni in isti premici? 6. Koliko presečišč tvori: a) n premic v obče; b) 7 premic, izmed katerih so 3 vzporedne ; c) 9 premic, izmed katerih se 4 sečejo v eni in isti točki? (Vzporedne premice imajo presečišča v neskončni daljavi.) 7. Iz koliko elementov se da napraviti 435 amb brez po¬ navljanja? 8. Pri koliko elementih je število kvatern brez ponavljanja 6 krat toliko ko število amb brez ponavljanja? 9. Koliko elementov mora biti, da sta si števili tern s po¬ navljanjem in brez ponavljanja kakor 15:7? K § 58. 1. Napravi vse premene drugega, tretjega in četrtega raz¬ reda a) brez ponavljanja, b) s ponavljanjem iz elementov 1, 2, 3, 4! 2. Koliko premen drugega, tretjega in četrtega razreda da 10 elementov in sicer a) brez ponavljanja, b) s ponavljanjem? 3. Koliko dvo-, tro- in četveroštevilčnih števil je mogoče napisati s številkami 3, 4, 5? 4. Koliko peteroštevilčnili števil se da napisati š števil¬ kami 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 in sicer tako, da se v enem in istem številu ne ponavlja nobena številka? 5. Kako se spremeni rezultat prejšnje naloge, če se tudi ničla jemlje v poštev? 6. Koliko premen prvega, drugega, tretjega in četrtega raz¬ reda s ponavljanjem napraviš iz elementov — “ (pika, črta)? 7. Koliko različnih metov je mogočih a) z dvema kockama, b) s tremi kockami? 8. Kateri različni meti dveh (treh) kock dado vsoto 8 (12) ? 9. Iz koliko elementov napraviš 380 premen drugega raz¬ reda brez ponavljanja? 10. Pri koliko elementih sta si števili premen tretjega razreda brez ponavljanja in s ponavljanjem kakor 5:9? 11. Pri koliko elementih je število premen drugega razreda brez ponavljanja 20krat manjše od števila premen tretjega razreda? CIV K § 59. c) sedmi člen od (|- — ~) 9 , d) peti člen od + ^)\ 16. Določi: a) v rezultatu od tisti člen, v katerem se nahaja a 4 ; b) v rezultatu od - (- |^) 1# tisti člen, v katerem se na¬ haja a; 2 . 17. (cc 2 + 3) 6 — (* 2 — 3) B . 18. (|/3 + l) 8 + (/3 — l) 8 . 19. (2 -(- \[2 ) 7 — (2 — |/2) 7 . 20. (/-—4 + 3 , » m' (^)‘ K § 60. 1. Nekdo ima v vrečici 10 avstrijskih in 10 ogrskih kron. Kolika je verjetnost, da vzame iz vreče avstrijsko krono? 2. V neki žari je 6 belih in 8 rdečih krogel. Kolika je verjetnost, da potegneš a) eno belo in eno rdečo kroglo, b) dve rdeči krogli, c) dve beli krogli? 3. Kolika je verjetnost, da vržeš z dvema kockama dve enaki števili? 4. Kolika je verjetnost, da vržeš s tremi kockami tri raz¬ lična števila, ki tvorijo aritmetično progresijo? cv 5. Kolika je verjetnost, da vržeš s tremi kockami tri enaka števila? 6. Med 32 igralnimi kartami je polovica črnili in polovica rdečih. Kolika je verjetnost, da potegneš ravno štiri rdeče? ■ 7 . Katera verjetnost je večja, da vržeš z dvema kockama vsoto 5 ali pa s tremi kockami vsoto 7? 8. Iz neke žare, v kateri je 5 belih, 6 modrih in 9 rdečih krogel, potegni štiri krogle. Kolika je verjetnost, da bodo med temi a) dve beli, ena modra in ena rdeča krogla, b) dve rdeči in dve modri, c) štiri rdeče? 9. Nekdo kupi v gledališču na slepo srečo vstopnico za sedež v pritličju, v katerem je 10 vrst po 20 sedežev. Kolika je verjetnost, da dobi ravno sedež na kraju, ako so dohodi na dveh straneh in tudi po sredi? 10. Neka miza je dolga 2 m in široka lm in je razdeljena v enake kvadrate s stranico 2 dm. Na to mizo se vrže okrogla plošča s polumerom 4 cm. Kolika je verjetnost, da plošča ne pade na noben rob kvadratov? Navodilo. Da plošča ne pade na rob, mora središče plošče biti vsaj 4 cm od vsakega roba oddaljeno. Ugodne slučaje tvorijo vse točke, ki leže v kvadratih, kojih stranice so 4 m oddaljene od stranic kvadratov na mizi, in ki merijo 2 dm — 8 cm = 12 cm. Mogoči slučaji so vse točke v prvotnih kvadratih. Verjetnost je potem enaka razmerju vsote ploščin zmanjšanih kvadratov in vsote prvotnih kvadratov. 11. V takozvani mali loteriji se dvigne pri vsakem srečkanju izmed števil 1 do 90 pet števil. Kolika je verjetnost, da se za¬ dene a) eno število, b) dve števili (ambo), c) tri števila (terno)? 12. Kolika je verjetnost, da se izmed petih že stavljenih števil v mali loteriji zadene a) eno število, b) dve števili, c) tri števila? Navodilo: v a (JW?) (?) ’ v b SW±) ( 9 a°) ’ v c = G) • ( : O 13. Pri nekem srečkanju se je izdalo 500 srečk in se je določilo 10 dobitkov. Kolika je verjetnost, da zadene vsaj en dobitek oni, ki iina 20 srečk? Navodilo. Išči najprej verjetnost, da ne zadene nobenega dobitka. Matek, Aritmetika. VIII r. CVI 14. Kolika je verjetnost, da je v mali loteriji med petimi dvignjenimi števili vsaj eno enoštevilčno? 15. Kolika je verjetnost, da z dvema kockama vržeš prej dve neenaki števili kakor pa enaki? 16. V posodi je 10 belih, 7 črnih in 8 zelenih krogel. Ko¬ lika je verjetnost, a) da potegneš prej belo kakor pa zeleno kroglo, b) prej eno belo in eno zeleno kakor pa dve črni? K § 61 . 1. Kolika je verjetnost, da vržeš z dvema kockama vsoto 4 ali 6? 2. Kolika je verjetnost, da vržeš z eno kocko v treh metih vsaj enkrat število 5? 3. V žari je 5 belih in 7 rdečili krogel. Kolika je verjetnost, da potegneš trikrat zapored rdečo kroglo, a) ako deneš vsako¬ krat kroglo nazaj, b) ako jo obdržiš? 4. Nekdo drži na pol zakrito v roki 12 enakih šibic in eno krajšo. Kolika je verjetnost, da potegneš štirikrat daljšo šibico in je ne vrneš? 5. Izmed 15 oseb plača ona neko stavo, ki potegne krajšo šibico. Kolika je verjetnost, da dobi četrta (sedma) krajšo šibico? 6. Kolika je verjetnost, da dobiš izmed 54 tarok-kart v treh dvigih vsaj enkrat tarok, ki je višji kakor 17? V koliko dvigih doseže verjetnost vrednost ^? (Tarokov je 22.) 7. Nekdo ima v žepu 20 novcev po 10 vinarjev in sicer 10 iz leta 1906 in 10 iz leta 1907. Kolika je verjetnost, da vzame trikrat zapored novec iz leta 1906 in četrtič šele iz leta 1907? 8. Koliko metov je treba, da postane verjetnost pri treh kockah vselej dobiti vsoto 3 enaka |? 9. Kolika je verjetnost z eno kocko trikrat število 5 vreči in potem dvakrat kako drugo? 10. Nekdo iztrga iz knjige, ki ima 200 lističev, trikrat za¬ pored šop zaporednih lističev. Kolika je verjetnost, da jih vsako¬ krat ravno deset iztrga? (Aritmetične postopice.) CVII K § 62. 1. Nekdo dobi 3 K, ako vrže s kocko 4 pike. Koliko je matematično upanje? 2. Pri neki loteriji se je izdalo 50.000 srečk. Koliko je matematično upanje glavnega dobitka, če znaša isti 1000 K? 3. V žari so med 15 belimi kroglami 3 rdeče. Nekdo stavi 20 vinarjev in dobi 1 K, ako potegne rdečo kroglo. Ali je stava pravilna ? 4. Igra pikč ima 32 kart, med njimi je 12 podob. Oseba A stavi z osebo B 20 h proti 30 h, da dvigne iz kupa teh kart podobo. Kdo je na boljšem pri stavi? 5. Kdor v mali loteriji zadene ambo, dobi 240kratni znesek stave, pri terni pa 4800kratni znesek. Kolikere zneske bi mo¬ rala uprava loterije plačati, ko bi ne zaračunila upravnih stro¬ škov in bi ne iskala sama nič dobička? 6. A stavi proti B 22 h, da vrže z dvema kockama v enem lučaju dve števili, izmed katerih je vsaj ena 6. Koliko mora B staviti? 7. A se zaveže plačati B- u dve kroni, ako vrže B novec, ki ima na eni strani podobo na drugi pa številko, in se po¬ kaže podoba; 4 K, če vrže dvakrat zapored podobo; 8 K če vrže trikrat zapored podobo, in tako naprej. Koliko mora sta¬ viti B , ako hoče 5 krat (n - krat) ponoviti igro? (Peterburška naloga.) K § 63. 1. Nekdo stavi 2 K, da ugane izmed 5 danih imen ravno pravo ime. Kolika je matematična nevarnost? 2. A stavi proti B 30 h, da potegne iz žare, v kateri je 6 belih in 9 rdečih krogel, ravno belo kroglo. Kolika je ne¬ varnost za vsako osebo, ako stavi B 45 h? 3. Nekdo stavi 1 K, da ugane v dveh poskusih določeno število med 10 in 20. Kolika je nevarnost izgube? 4. Oseba A se zaveže plačati osebi B toliko kron, kolikor pik vrže B z eno kocko. Koliko mora staviti B ? Kolika je nevarnost izgube za vsako osebo ? (I. N. Tetensova naloga.) Navodilo. Verjetnost je za vsako število pik isto (nam¬ reč |). Matematično upanje za B se sestavlja iz matematičnega vin* CVIII upanja posameznih dobitkov (ter znaša 3’5 K). Izguba za B je torej pri eni piki 2'5 K, pri dveh 1*5 K, pri treh 0’5 K, pri več pikah pa je že dobiček. Enako se izračunajo izgube za A pri 6, 5, 4 pikah. 5. Na koncu leta 1909 je bilo še 66.305 neizžrebanih 40 kronskih ljubljanskih srečk iz leta 1878. Dne 2. januarja 1910 so bili izžrebani sledeči dobitki: po 1 dobitek za 50.000 K, 3000 K in 2000 K, 5 dobitkov po 1000 K, 4 dobitki po 600 K in 788 dobitkov po 60 K. Koliko je bilo takrat matematično upanje zadeti en dobitek? Kolika je bila nevarnost izgube, če je veljala srečka 50 K? 6. Nekdo kupi za 4 K srečko državne loterije. Koliko je upanje na kak dobitek sploh in kolika nevarnost izgube? Navodilo. Po igralnem načrtu iz leta 1909 je bilo vseh srečk 400.000. Dobitkov je bilo 18.399 in sicer: po 1 dobitek za 200.000 K, 40.000 K, 20.000 K, 10.000 K, 5000 K, 4000 K, 3000 K, 2000 K, 1600 K, 1400 K, 3 dobitki po 1000 K, 6 do¬ bitkov po 500 K, 9 dobitkov po 400 K, 10 dobitkov po 300 K, 16 dobitkov po 200 K, 15 dobitkov po 180 K, 22 dobitkov po 150 K, 108 dobitkov po 100 K, 1200 dobitkov po 20 K in 17.000 dobitkov po 10 K. K § 64. 1. Kolika je verjetnost, da učaka 20letna oseba 30. leto? (Pri teh nalogah naj se uporablja Deparcieuxova tablica.) 2. Kolika je verjetnost, da umrje 351etna oseba med 60. in 70. letom? 3. Kolika je verjetnost, da učakata dva novoporočenca petindvajsetletnico poroke, ako ima ženin 33 let in nevesta 22 let? Kolika je verjetnost, da čez 25 let nobeden več ne živi? 4. Izmed dveh bratov je eden 20 let star in drugi 15 let. Kolika je verjetnost, a) da oba še 30 let živita, bj da samo mlajši še 30 let živi ? 5. Kolika je verjetna starost a) 40 letne, b) 65 letne, c) 70 letne osebe ? K § 66. 1. Izračunaj iz rentnih tablic umrljivosti (za poskušnjo) diskontovano število D n za a) 5 letne, b) 18 letne, c) 65 letne osebe. Obrestna mera je k = 1-03. CIX 2. Izračunaj iz istih tablic diskontovano število umrlih (C„) za a) 50 letne, h) 75 letne, c) 86 letne osebe, (k — l - 03.) 3. Koliko je treba založiti za 28 letno osebo, da bo uživala od 29. leta dalje dosmrtno rento letnih 900 K? Koliko je treba v resnici plačati, ako zahteva zavarovalnica 15% doklado na čisto premijo? 4. Neka 50 letna oseba ima pravico do dosmrtne rente letnih 600 K. Koliko je renta sedaj vredna? 5. Neka 50 letna oseba plača 14.333 K za svojo dosmrtno rento letnih 1000 K, ki se izplačujejo na koncu vsakega leta. Čez koliko let je zavarovalnica že na škodi, ako je obrestna mera 3 % ? Navodilo. Sedanja vrednost že izplačanih rent mora biti večja kakor 14.333 K. 6. Za 30 letno osebo je nekdo založil 20.000 K. Kakšno rento bo uživala dotična oseba do svoje smrti, če se renta pla¬ čuje v začetku vsakega leta? (Glej opomnjo v §66 pri nalogi 1.) 7. Neka 25 letna oseba je zavarovana na dosmrtno rento letnih 800 K, ki naj se ji prvikrat izplačajo čez 15 let, ako je takrat še živa. Koliko znaša a) enkratna čista premija, b) en¬ kratna tarifna premija z 10% doklado? 8. Koliko mora plačevati 30 letna oseba skozi deset let v začetku vsakega leta, da si pridobi pravico do dosmrtne rente letnih 1000 K, ki se prvikrat izplačajo čez 15 let? (Časovne premije.) 9. Neki oče zavaruje svojo novorojeno hčerko za doto 3000 kron, ki naj se ji izplačajo, ko doživi 20. leto, ako pa hčerka prej umrje, ne izplača zavarovalnica nič. Koliko mora oče založiti? (Zavarovanje na doživetje s pomočjo 3% tablice.) 10. Neki oče zavaruje svojega novorojenega sina za 1200 K, ki naj se mu izplačajo za prostovoljsko leto, ako doživi 21 let. Koliko mora oče založiti za sina? K § 67. 1. Neka 28 letna oseba se zavaruje na smrt za 2000 K, ki naj se po njeni smrti (na koncu leta) izplačajo določenim de¬ dičem. Koliko znaša a) enkratna premija, b) dosmrtna premija? cx 2. Neka 34 letna oseba se zavaruje na smrt z zneskom 3000 K. Koliko dobijo dediči po njeni smrti, ako zavarovalnica odbije pri izplačanju za upravne stroške i. t. d. 16 %? 3. Koliko znaša dosmrtna premija za 42 letno osebo, ki se zavaruje na smrt za 4000 K, ako zavarovalnica v prvih treh letih ne izplača še nobene zavarovalnine? 4. Neka 36 letna oseba se zaveže plačevati skozi 10 let, če jih doživi, v začetku vsakega leta premijo 600 K. Koliko dobijo dediči po njeni smrti? 5. Neki 40 letni oče hoče zapustiti svojim otrokom 30.000 K premoženja. Koliko mora skozi 20 let, če jih doživi, plačevati v začetku vsakega leta? 6. Neka 25 letna oseba se zavaruje na doživetje ali na smrt za znesek 10.000 K, ki naj se izplača, ko doživi 65. leto, ali po njeni smrti dedičem, ako prej umrje. Kolika je a) enkratna premija, b) časovna premija? 7. Neki 28 letni oče zavaruje za slučaj svoje smrti svojo prvorojeno hčerko za 2000 K, ki naj se ji izplačajo, ko dopolni 20 let. Koliko mora plačevati letne premije do 20. leta ali pa do morebitne svoje prezgodnje smrti? Čez koliko let bo za¬ varovalnica že na dobrem? Ponavljalne naloge. 1. Razstavi naslednje izraze na faktorje: a) x 2 — y 2 — (as —j— y ) 2 ; b) a 3 — 1 — (a — l) 3 ; c) a 2 —■ b 2 — 2 bc — c 2 ; d) 8 a 3 -j- 27 b 3 —2 a — 3 b\ e) x i — 625 —- 26x(x 2 —- 25); j) 16* 2 -f- 48 xy -\- 36t/ 2 —- 25^ 2 ; g) 2x 2 -f- lx — 5; h) 4* 2 -j- 4ax -j- a 2 — b' 2 . 2. Poišči naslednjim izrazom največjo skupno mero: a) 2x 3 —■ 2xy 2 -f- x 2 -(- xy, 4jc 4 —(— 4 xy 3 \ b) 4:X 3 y- — 8x 2 y 3 , 2 x 3 y—■ 8x 2 y 2 8xy 3 , 2x i y — 16#«/ 4 ; c) 4a 3 + 17a 2 -f 23a +10, 8a 3 — 2a 2 —23a — 10; d) 6x 3 -|- 4 x 2 y — 6xy 2 — 4 y 3 , 9x 2 -f-18 xy -j- 8 y 2 ; e) 2a 3 -j- 7a 2 + la -f 2, 3a 3 + 4a 2 — 5a — 2, 4a 3 -j-7a 2 — 3a — 2. CXI Poišči naslednjim izrazom najmanjši skupni mnogokratnik: a) 2x 3 y — 4a : 2 y 2 -(- 2xy 8 , 3 x i y -j- Qx 3 y 2 3 x 2 y 3 , 5 x 3 y 2 — hxij i ; h) 2x 3 -|- 2y 3 , 3x s — 3x 2 y-j-3xy 2 , 4x 3 -j- 4x 2 y; c) a 3 -j- 4 a 2 -f- 5a -j- 2, a 3 -\- 5 a 2 —j— 8 a —|— 4; d) 9« 4 -f 9a 3 +14a 2 — 9a + 7, 3a 4 + 5a 3 -f a 2 — lOa —14. ■ 4 . x 2 — 3a? —j— 2 4. Določi ulomkoma 7 g _j^ 10 5. Okrajšaj naslednja ulomka: a n + 2 — 2a“-j- a n ~ 2 in a) V a n + 2 -|_ a n + 1 -j- a n -j- a n ~ 1 ’ Določi naslednjim računom rezultate: vrednost za x = 2. a 4 — a 2 & 2 -j- & 4 a 6 — ž> 6 6 . 7. 8 . 9. 3a* ~P K—1 5 2 ). )■ ' 10. (x- 1 y~ 5 — 2xy~ 3 -(- 3 x 3 y~ 1 ) • (o: -— 5 -|- 2xy ~ s — 3* 3 y _1 ). 11. (4a 2a: + 6 ž> 6 «' + 16a 6 6 3 yc 3 ^-f 16a 6 - 2iC c 6 - ! '): (2a* + 3 & 3j, + -f- 4a 3 — *c S! '). 12 . 13. 14. 15. 16. 17. 18. 12a 6 2 a 3 3 +D- / 2^+ + y 2 \3 _ / 2a-|-y \3 # / a; + V \ 3 V 3 x -\- y / ' '3x — y/ ‘ '3 x -\- y' (— 4x~ 2 -j-15 x _1 —- 24 —(— 9ac —|— 4x 2 ): (— 4x~ 4 -j- 3x -3 -f- x~ 2 ). /a 3 -)- ž 3 \ 2 / a — b \ 2 /a — b\ s /b — c\3 /c — a\ 3 \ a — b ) \a 8 — ab -\- bV 'a — e/ '6 — a) \c — b/ (- !)"■ (§)’• (- ?)’+ [(- !)’• (- - -K-iN-in- (16a 2 -j- 40ab + 2hb 2 f-(4a- 55) 4 : (16a 2 — 25& 2 ) 3 . CXII 19. 5-s. (§) 2 .(_a2)-H-(l|) 2 -(-« B )- 2 . 90 (- _ -V b _\ _ _L_ K _ \J> a*/ ‘ V> 2 "f" a 2 / "T" \6 2 “T a 2^ • \ h 2 „>} «• (K + H)'-C 2 a _ 36\3 36 2a )*• 22. («•-$+*)*-(" )’• 1\* 3 23. (« a +J-s)’-(»*-J + 5)'. 24. Pretvori naslednje izraze na enostavnejšo obliko ter jih skrči kolikor mogoče: a) 2/275 — 3/99 — 7/88 + 3/198 — /704; i) 2Vo T 87B- |p2^ + f/l89- „ + I _ °+<» E3 + 2(1 - ; ' a _ / 0 2 __ j a + / a 2 _ i ' $ 2/a+ + y 3 — /(x + y) 3 + /(+ ~ /) (*■ — 2/); e; 3 3 /24 + 4^81 — 2[+92 + 3^375 — 2 /1029; 3 \[ 35-g-: /)4|/2|-2/20g „ . 1 — /a . 3/a . 3a-k/a ^r+^+r^Tš+T^-.-' h) 10/288 + 3[/81 — 5/242 — /128 f 2 3 /648 — 4 3 /375; OlfVŽ-i/TŽ + VVŠ: k) l/e/28— (/12/7 + 21/3/7 — 2 4 /63. 25. Izvrši naslednje množitve: «; (2/30 —3/5 +5/3)(/8+ /3 —/5); j; ( 3 /x + ][y ) 2 - ([+ — 3 /«/) — (/a; + 3 /y) • (fx — 3 /|/) 2 ; c) ( 6 / a 5 + 2[+ 2 — 4/a)([/+ — 2[+ + 4/a); d) (/« + /&)(/» — /a& + /+(/a — /&); «; (/5-2)[/9 + 4/5j_+_(/l0 + /6)/4- /15; a) /2/3 — 3/5 • /4 + 2/15; CXI1I h) (3 —/ 5)^9 + 41/55 ( 1 2 5 \ / 1*1 1\ a -(- a 1 — a 3 — +)(l -f- « 2 -j- a 3 -|- a 1 ’) ; ( 1 2 5 \ / 1 1 6 \ 4a 2 — 3 + — 2+)(+ — 2 «* + 3a TT ) ; 26 . Izvrši naslednje delitve : b) (a -)- \f ab -(- b) : (\f a — |fab -)- /&); c) (12 — 6/6 -j- 6 /15 — 9 /10) : (2 /3 — 3 fž) ; d) (24 a 5 + f« 1 / |) : (6 a 7 + « :i + §) ; ( 7 5 2 9 2 1_\ / 2 3 \ 6x T — 8x^ -(- 3 x' iT} — 4x 70 /: \3x 7 — 4x T ). 27. Določi rezultate naslednjih računov : a) (x 2 — 2 xy -\- y 2 ) 3 ; 1 ») c) | f x 2 | / x«/ 2 : (/"t/ /4/; cž) ((/"x 2 /x 3 : (/"x 2 /x 3 ) • /x 2 ; 4 —\ 2 C * /) /Y": 2x 3 /^ 2 Y V 5 a 2 '/a 3 x / 2. T) 28. Določi vrednosti naslednjih izrazov: a) 32 7 ; b) 16 175 ; c) 81 °' 25 ; d) 0‘027 9 __4_ _ _ _ 1 • 5 -/- ' 0 * 8 / -T e ) (—0 - 008) 7 ; j) |/49 ; <,) /g; h) / 5jg. 29. Izrazi naslednje ulomke z racijonalnim imenovalcem: a) |/2a : 2 —/ 3 x /«/. (/+ 3 x /«/ /2 /5+ /3— /2’ 4+ ^ a) /3 + /5 2 +/=-9 6) d) f) 12(1 + / 2 )_. 3 + /2 —/7’ _2___ /.5 — /2 ! 9 14 -/ 2 — 2/5 — /To ’ /=+’ (1 + 0 - ( 1 - 0 - - 3 > 0 1 -f i B *3 > CXIV k) l) 2 -]- /— 3 2 — /— 3 2 — f —3 2 + |/=^3 ’ ]f a /— 6 , /'a — /— b |f a — /— b [a —j— |/^— b 30. Pretvori naslednje binome v monome: a) /9 + 2^8 - /9-2/1; b) /6 + /M + [& ~ /20 ; c) [l + \T=^> -f / 7 - j/ lo ; d) /4+ 4* — \[\ — ^ [o —J - b —j— 2 / cib —|— [Oj —j— b — 2 [A; f) j/aT^Aj/VArT -)- j/ a; — (A* — 31. Pretvori naslednje korenske izraze v binome: a) |/"l0 — 2 |/21; &) [/ISA- 15/8; c) /ll — 60/; d) [-3 — 4 ,*; e; /—3 + 2*/l0; /j /—2 + 4/=l 32. [A(16 a 6 — 24 cf B -j- 25 a 4 — 20 a 3 -{- 10 a 2 — 4 a -|- 1). 33. /(ja 2 -j « 3 A - 4 ffi!1 “H tV afi )- 34. /(a 6 — 6 a 5 & + 21 a 4 & 2 — 44 a s ¥ -f 63 a 2 6 4 — 54 až> 6 + 27 6 6 ). 36. Izračunaj s pomočjo logaritmov naslednje izraze: .;/W r " /0-8465 c; (/18P4 - 3 /0-973) 3 ; d) j//8P43 — /2P72. 37. Izračunaj (| -f- / — 4) 8 . 38. Določi sedmi člen od [[— a -{-\[&) 1 ". 39. Določi v rezultatu od (■§/'* — -|/a^ tisti člen, v katerem se nahaja K cxv 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. Razreši naslednje racijonalne enačbe z eno neznanko: (2a:-f 3)(3a: + 2) 7(x -f- 3)(x -1) (3a; 4- l)(a> + 1) 10 22 14 —|— 2 a? 1 49 — a; 2 7 , 14 - 2 a;' x 2 — 11 a:-f-30 ' x 2 ——(— 18 2a: -J- 3 3a; — 2 _ 2a; -J- 1 x‘ — x x X 2 - 1 +; a: 2 -j-a: x 1 4a; 2 -j-4a;-j-1 1 4a; 2 —4a; -f- 1 4a; 2 - (s±4Y+' J -srH + 12 = f > 4 2x -j- 3 | 3a: 3^-T ! 2^4-“3 ~~ x l — 3x 2 -\-13x 2 29 9 "9 5-2. (;X 2 — . x 44 4 ») = T- 6 33 x 2 — 5 a;' 1 8a:' 2a; —j— 3 - q 2 — 49. (x 2 —5x) 2 -(- 55x = llx 2 —30. 50. x 2 (x 2 — 4x + 4) = 8x(x — 2) — 15. 51. z 3 — 27 + 37(3 — x) = 0. 52. (2 x + l) 3 — ( 3x — |) = 0. 53. — 256 + 41 (16 — x 2 ) = 0. 54. 3x 3 — 13x 2 -j- 13x -— 3 = 0. 55. 3x 4 — 10x 3 -|- 10x — 3 = 0. 56. 3x 4 — 10x 3 +6x 2 — 10x + 3 = 0. 57. x 3 -f- 3x 2 — 6x — 8 = 0. 58. x 4 -j- 3x 3 -j- 4x 2 -|- 12x -f- 16 = 0. Razreši naslednje iracijonalne enačbe z eno neznanko: 59. j 8 + - j = 2. 60. + + _ 6 V x — 3 — |/3 j/* -(- 6 n —- \fx — 13« 61. |/3x+~~5 + ]f¥x = f 12x + 9. 62. |/8x + 25 — \[ x -^ = +19. £C —j— 1 4 V2++lj' CXVI 64. . fa 2 -\-x | ,[x — l 2 r -j—r 65. /4« — 7 +/5 66. 67. 68. - 4 = |/15« — 11. /2« -j- 4 -)- fx -f- 3 = /8« -f- 1. \f x Fr ^ | i/ ^ ~ 2 _ j [ 4x-{- 3 y x - y x + 2 ~ V X -1 • i/ X + 1 i i/ ^ — 1 _ VL y x-l' y x + l~ 4 £c -f- a 69. 70. 71. 72. /« -)- 2 a -f- 4 /^+^ + 3a r or. — n. 0. (« — 4) 2 —j— |/^a; 2 — 8« -|- 40 = 6. ,+ 4-2^= ^ . x — 4 a = |/a(a-f-4). 73. 74. 75. 76. 77. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. \f x -j- 2 a [x -(- 4 -)- /« —|— 11 = /« -}- 31 -f- /« — 4. /4« — 1 -j- 2\fx —(— 10 — /4« —j— 71 = 2 ]fx — 2. /3« -|- 1 —- /2« — 1 ]f2x — 6 = |/ 3 x — 6. /« 2 + 17 — ^« 2 + 17 = 6 . iz« 2 "— i -f- -i-z« 2 — i 78. 15 4 ' /72 — x — /16 — x = 2. \f x — 1 -j- ]f x -j- 6 -(- \[x — 29 = 0. Razreši naslednje enačbe z dvema in več neznankami: « - f 4| y_ 21 Q 1 **!T 2$ —[— d v 3y-4 35 . 2a 12 m ~ H 3 y + H 9. i H 171 _f i 3 . 21« 3 __ 21y -j- 5 3 ^8 4 6 - H. |/f/h! = 3— /j in 2 as —j— 3«/ = 66. /2« — /3?/ = 3 in 3 |/'«-f-/ 62 / = 7|/"2. « — 1 — /« 2 -j- 2« — 7 ■«/ -j— 7 in V- f 4 = \ff-\- 2y + 3« -j- 25. CXVII 86. lo/f + g = 13 + /|i + 19 25 in rfh+%+^h+ 87. 88 . 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 2 I 16 11 _ 20 25 “ ^ U - = 1 — in 13 3 /FR’ 0. 3\fx .-f- 5 4F4 5 36 ]f x -j- 6 ~y ]fy — 1 = 6 in 4a: -f- 3y = 42. a;«/ 2 —j— «/ —j— 1 = 0 in a% 2 —J— a; —j - y = 3. x 2 — 9 xy —(— 7 1 / 2 = 13 in 7 xy — 6i/ 2 —j— 12 = 2 a; 2 — 3xy y 2 — 0 in 5 Qx 7y = 18. 2 a; 2 -(- 3 xy -)- 4 ij 2 = 24 in 3 a; 2 —- 5 xy — 2 «/ 2 -|- 15 = 0. x 2 — tj 2 -)- x — y — 2 \f a in (a; 2 — «/ 2 ) (x — = a. 2xy — |fxy = 66 in 2 (x —■ yf — 3 (a; — y) = 35. x 2 -\- xy = 78 in y 2 xy = 91. x 2 -\-y\fxy = 9 in tj 2 -)- x \f xy = 18. \fx — y — 5 - G in fx-\-y J r \]fx—y = 3, \ x — y o M 2x 3|/2 2a: * + y —.4 v 5 a; +y y 2y 5 in x 2 -f- y 2 = 5. x — y = 61 in \x r x — y Vy = i in a: 2 -f - ž/ 2 25. 218 35 X V in x — y = 2. ' n? 2 ?/ 2 —(— 2 / 4 = 133 in x 100 . 101 . 102 . 103. x -\- y = |/"a5 -)- \[y — 2 —[— 42 in f x — \fy = l. 104. 105. 106. = 5. 104. [x -f- \fy — 12 in (H? -| - \f y 2 \f = 2 in xy-x-y = 54. a: -f- y — z = 6 107. x -\-y -\- z = 42 x 2 -\-y 2 z 2 = 50 x : y = y: z xy xz -\-yz = 47. i/(x -j- s) = 272. CXVIII 108. x:y == z : u 109. (x -(- ^) 2 -f- (y -)- u ) 2 = 208 x — u = 3 -)- w(a; g) = 48 ?/ — £ == 1 x -j— y —j— z —ti 20 x 2 -f- «/ 2 -|- S 2 -(- U 2 = 41. X -)- y = 14, Razreši naslednje eksponentne in logaritemske enačbe: 110. 2*(*- 2 )-4*- 2 -0'5* + 2 = 1. 111. — j/P-3 *- 1 = 72. 112. 2 • 9* + * — 3-4* = 6 -4*+!+6-9*. 113. 2 x -\-2 x + 1 -\- 2*+ 2 = 7 *-s_[_ 7 ®-i. 114. 5 2 *~l — 3--f = 3"+f — 5 2 "-|. 115. 7 2a: + 1 — 3-2 3 *- 1 = 9 • 2 S:C —2 -j- 5 • 7 2 * - ‘. 116. 3y r 4 3x + 1 + l/9 3 *+ 4 = 6 3 /4 ¥J + 4 — i^9 i *+' 7 . 117. 3/Š/+ 3 — 9/2® = 6-2-*+ 3 -f 8/9*+b 118. /3 4x +l + /2-3 4x + 3 = 5. 119. /P^+4 -f /6 — 3 2x = 4. 120. 4 2x -f 5 • 4* = 36. 121. (f) 2 *- 3(fr + 2 = 0. 122. mgM = 15 .3* + 2. 123. 2 x + 3 + 2 3 -*= 124. 4 23C+ 1 — 4 x + t = 144. 125. 5/64 — 6-/64 = 8. 126. */9 — 12/3 -f- 27 = 0. 127. Vi-f^2 +1 = 0. 128. 3*'+ 2 = ™/9 8 - x in 2^+ 2 = —/s 10 - 3 *. 129. 3*+i.—= 36 in 7*- 1 •= 5. 130. 3 X -)- 4 y = 265 in 3*-4» = 2304. 131. 2* + 3^ = 13 in 4 x -f-9*'=97. 132. 2y*+ 3y- x = ^ in 4*//+5*/| = |. 133. log (a; — 3) = O - 90309 -j- log# — log(x -\- 3). 134. 2 log (4* — 3) = log (a; —3) —(— log (2« -j- 1). 135. *log (* — 1) + log (3* + 2) — log 3 = $ — log 2. j) 3 • 137. x 3 + '°z* = 10000. 136. 3 — logx ■ \ogx 138. 3x lo s x lOOic - ' 10 ®'* = 35. 139. x l °s y =4 in xy = 200. 140. 2 l °s x 3'ogv = H in 2 l0 s- r • 3*°g y = 18. 141. 53io g ^j_ 33 io g y = 854 i n 5iog*.3iogV _ 45 142. y x - (- 16 tj~ x = 17 in ]fy - j- \[y~ x — 2'5. u *- w in y=.3-iog*. Uporabne naloge o enačbah. 27 -L 34 * 144. Razstavi ulomek , Q . . ' — , ‘ „ . na vsoto dveh (3 4 x) (6 7 x) ulomkov! ... n , . . , 18 o 2 -f-106 a 4-150 , , , 145. Razstavi ulomek 7—p- r, na vsoto treh (a + 2) (a + 3) (a + 4) ulomkov! 146. Razstavi trinom l5x 2 -\-llx — 12 na faktorje! 147. V katerem številnem sestavu se je množitev 26- 35 = 888 izvršila? 148. Neko dekadično število se piše v dveh številnih se¬ stavih s številkami 532 in 365; ako je podloga drugega šte¬ vilnega sestava za 2 večja od prvega, kolika je podloga prvega številnega sestava in koliko je dekadično število? 149. V katerem številnem sestavu se piše dekadično šte¬ vilo 39698 s številkami 60408? 150. Razstavi število m na dva faktorja tako, da dobi vsota njunih kvadratov naj večjo vrednost! 151. Vrednost nekega ulomka je Če povečaš števec za 8 in zmanjšaš imenovalec za 8, dobiš ulomek, ki je za 14 večji od onega ulomka, ki nastane, če zmanjšaš števec za 8 in po¬ večaš imenovalec za 8. Kako se glasi ulomek? 152. Če pomnožiš dvoštevilčno število s številom, ki ima isti številki v obratnem redu, dobiš produkt 1729. Če pa deliš prvo število z drugim, dobiš kvocijent 4 in ostanek 15. Katero je to število? cxx 153. Očrtaj določeni krogli pokončen stožec a) z najmanjšo prostornino, b) z najmanjšim površjem ! 154. Včrtaj določeni polukrogli pokončen valj z največjim plaščem! 155. A kupi za 400 K sukna; če bi plačal za vsak meter sukna 1 K manj, bi dobil za isti denar 20 metrov več. Koliko metrov sukna je kupil? 156. A in B imata pri skupni kupčiji 340 K dobička. B je 400 K več vložil ko A. Če dobi A na kapitalu in dobičku 3360 K nazaj, koliko je vložil? 157. Dve točki sta določeni po M 1 (%, y t ) in iW 2 (a? 2 , «/ 2 ). Poišči v abscisni osi tisto točko M , za katero je izraz MM\ -|- MM\ najmanjši. 158. V trapezu so tri stranice enake in sicer je vsaka = a. Kolika mora biti četrta stranica, da je trapezova ploščina naj- večja? 159. Tri števila, katerih vsota znaša 28, tvorijo stalno so¬ razmerje. Ako pomnožiš notranji člen tega sorazmerja z vsoto zunanjih členov, dobiš produkt 160. Katera so števila? 160. V katerem sorazmerju je vsota vseh štirih členov 72, produkt notranjih členov 140 in vsota kvadratov vseh členov 2050? 161. B proda njivo za 513 K; za koliko je kupil njivo, če je imel pri prodaji tretjino toliko odstotkov dobička, kakor je zanjo plačal? 162. A ima 24000 K kapitala in porabi od obresti vsako leto 800 K, ostanek pa priklopi h kapitalu. V začetku tretjega leta ima 24820 K kapitala. Po koliko odstotkov je bil naložen kapital ? 163. Koliko časa in po koliko odstotkov moraš 2400 K kapitala naložiti, da dobiš 288 K obresti in to tudi tedaj, če naložiš isti kapital za 1 leto manj in po 2% više? 164. Cev A napolni neko prazno posodo v 2 urah poprej, ko izprazni cev B isto polno posodo. Ako odpreš obe cevi 20 ur, je posoda le do polovice napolnjena. V katerem času napolni prva cev prazno posodo in v katerem času izprazni druga cev polno posodo? CXXI 165. A potrebuje za neko delo 2 dni več in B 4^ dneva več nego A in B skupaj. V katerem času izvršita A in B skupaj dotično delo? 166. Delavci neke tovarne so enako plačani in zaslužijo 65 K na dan. Če bi tovarna 7 delavcev odpustila in vsakemu izmed ostalih delavcev dnevni zaslužek za 40 h znižala, bi znašal dnevni zaslužek 39 K 60 h. Koliko delavcev je bilo sprva in koliko je vsak zaslužil? 167. Načrtaj skoz točko C določenega kroga tangento in s to tangento vzporedno tetivo AB. Kolika mora biti razdalja med točko C in tetivo AB , da je trikotnik ACB največji? 168. Določi izmed vseh prisekanih stožcev, ki imajo enake višine in pri katerih znaša vsota polumerov v osnovnih ploskvah 2a, tistega, ki ima najmanjšo prostornino. 169. Sprednje kolo nekega voza se zavrti na 1260 m dolgi cesti 105 krat več nego zadnje kolo. Če bi bil obod vsakega kolesa za \ m manjši, bi se sprednje kolo na isti poti le 80 krat več zavrtelo ko zadnje kolo. Kolik je obseg vsakega kolesa? 170. Dve telesi se pomikata po krakih pravega kota proti vrhu in pretečeta po 6 m in 8 m vsako sekundo. V začetku sta telesi oziroma 103 m in 76 m oddaljeni od kotovega vrha. Po koliko sekundah sta telesi 109 m narazen? 171. Dve telesi se pomičeta po premicah, ki stojita pravo¬ kotno druga na drugi, proti njiju presečišču in pretečeta vsako sekundo oziroma po 3 m in 4 m. V začetku svojega premikanja sta telesi 20 m in po 2 sekundah 10 m narazen. Kako daleč je bilo sprva vsako telo od presečišča premic? 172. Sela A m B gresta istodobno od istega kraja M proti 60 km oddaljenemu kraju N. Sel B prehodi vsako uro j- km več ko A in pride za f ure poprej v kraj N. Koliko km prehodi A in koliko B v eni uri? 173. Dva popotnika gresta od krajev A in B, ki sta 45 km narazen, istodobno drug proti drugemu in se srečata po 5 urah. Prvi popotnik pride 2\ ure poprej v kraj B ko drugi v kraj A. Kje sta se srečala? 174. Kolesar se pelje ob osmih zjutraj od kraja A proti 9 km oddaljenem kraju B in odtod proti kraju C. Istodobno Matek, Aritmetika. IX r. CXXII odide od kraja B proti kraju C pešec, ki potrebuje za vsak kilometer 4} minute več kot kolesar. Če kolesar dohiti pešca' ob 11. uri 20. minuti predpoldne, koliko pot napravi vsak v 1 minuti? 175. Pri katerem mnogokotniku je število diagonal za 18 večje od števila stranic? 176. Ena kateta pravokotnega trikotnika je za 17 m večja od druge. Če podaljšaš manjšo kateto za 20 m in večjo za 10 m, postane kipotenuza za 20 m večja. Kolika je krajša kateta? 177. Hipotenuza pravokotnega trikotnika meri 35 m in vsota iz ene katete in njenega vzmeta na hipotenuzo znaša 33’6 m\ koliki sta kateti? 178. Določi stranice pravokotnega trikotnika, če znaša vsota iz ene katete in liipotenuze 50 m, vsota iz druge katete in liipotenuze pa 81 m. 179. Določi izmed pravokotnikov z obsegom 2 s tistega, ki ima a) največjo ploskev, b) najmanjšo diagonalo. 180. Očrtaj kvadratu s stranico a najmanjši enakokraki trikotnik tako, da leži kvadratova osnovnica na trikotnikovi osnovnici. 181. Včrtaj določenemu kvadratu enakokrak trikotnik tako, da je njegov obseg najmanjši in da leži vrh v kvadratovem oglišču. 182. Ako načrtaš skoz točki x t = — -f- m in x 2 = = — - m funkcijske črte y — ax 2 4- bx 4- c tangenti, sta a (l kota teh tangent s pozitivno abscisno osjo suplementarna. Do¬ kaži to! 183. Pri katerem pokončnem valju je obseg osjega preseka najmanjši, če ima plašč (površje) določeno velikost? 184. Pokončnemu stožcu s stranico a naj se očrta pokončni valj z največjim plaščem. Kolik je polumer skupne osnovne ploskve? 185. Včrtaj določeni krogli pravilno tristranično (šestero- stranično) prizmo z največjim plaščem. 186. Očrtaj določeni krogli pokončni prisekani stožec z najmanjšim plaščem (najmanjšo prostornino). CXXIII 187. Pri koliko elementih je razlika med številom kom¬ binacij četrtega razreda s ponavljanjem in številom kombinacij četrtega razreda brez ponavljanja 32^ krat toliko ko število elementov? 188. Pri koliko elementih se števili premen in kombinacij tretjega razreda brez ponavljanja razlikujeta za 5 kratno število elementov? 189. Pri koliko elementih je število premen tretjega raz¬ reda s ponavljanjem za 225 večje nego število premen tretjega razreda brez ponavljanja? Uporabne naloge o postopicah. 190. Razdeli 756 K med več oseb tako, da dobi prva oseba 80 K in vsaka naslednja za‘4 K manj ko prejšnja. Koliko je oseb? 191. Pri kateri aritmetični postopici je osmi člen enak kvadratu četrtega člena in šesti člen enak srednji geometrijski sorazmernici med 4. in 11. členom? 192. Kako se glasi aritmetična postopica, ki šteje 21 čle¬ nov, če znaša vsota prvih 20 členov 650 in vsota zadnjih 20 členov 710? 193. Vrini med prvi in drugi člen postopice 2, 5, 8 ... to¬ liko novih členov, da je vsota vrinjenih členov, ki tvorijo arit¬ metično postopico, le za 1 manjša ko vsota prvih 20 členov prvotne postopice. 194. Katero liho število je za 1 manjše ko peti del vsote vseh prejšnjih lihih števil? 195. Vsota iz 5. in 8. člena aritmetične postopice znaša 21 in vsota iz kubov istih dveh členov 2457; kolika je vsota prvih 33 členov? 196. Pri aritmetični postopici z razliko \ znaša vsota prvih n členov 236^; ako prišteješ k tej vsoti naslednjih 7 členov, dobiš 418^. Določi n in prvi člen! 197. Štiri števila tvorijo aritmetično postopico; produkt vseh 4 števil je 880 in razlika med kvadratoma srednjih števil znaša 39. Katera so števila? IX* CXXIV 198. Stranice pravokotnega trikotnika tvorijo aritmetično postopico in hipotenuzi pripadajoča višina meri 21 • 6 m; kolike so stranice? 199. Določen kapital je naložen po 5% i n se poveča vsako leto za 250 K; ako znašajo po 10 letih letne obresti vsega ka¬ pitala 1812-5 K, kolik je prvotni kapital? 200. Kako se glasi geometrijska postopica, pri kateri je 11. člen za 7|| večji od tretjega in 9. člen za 1-J večji od petega? 201. Pri geometrijski postopici 4 členov znaša vsota prvega in zadnjega člena 172 in vsota srednjih členov 28; kolik je prvi člen in kolik kvocijent? 202. Ako prišteješ prvim 4 členom aritmetične postopice zaporedoma števila 5, 6, 9, 15, dobiš geometrijsko postopico; kako se glasi aritmetična postopica? 203. Ako odšteješ zaporedoma od prvih 4 členov geome¬ trijske postopice prve 4 člene aritmetične postopice, dobiš raz¬ like 1, 2, 8, 24. Kako se glasi geometrijska in kako aritmetična postopica? 204. Vsota geometrijske postopice, ki šteje osem členov, znaša 250; vsota sodih členov je za 150 večja od vsote lihih členov. Kako se glasi postopica? 205. Kolika je vsota brezkončne geometrijske postopice, pri kateri je produkt prvih treh členov 1728 in vsota iz kubov teh členov 15768? 206. Kolika je vsota brezkončne geometrijske postopice, pri kateri znašajo prvi trije členi 351 in naslednji trije členi 13? 207. Koliko členov moraš med 3 in 46875 vriniti, da dobiš geometrijsko postopico z vsoto 58593? 208. Razdeli določeno vsoto denarja med 5 oseb tako, da tvorijo deleži geometrijsko postopico in da znašata 2. in 3. delež 8400 K, prvi in tretji pa 10000 K. Koliko denarja seje razdelilo? 209. Določi 5 števil tako, da tvorijo prva 4 števila arit¬ metično postopico z vsoto 30 in zadnja tri števila geometrijsko postopico in da je produkt iz 3. in 5. števila 24 krat večji od drugega števila! cxxv 210. Krogli s polumerom r se včrta pravilni tetraeder, tetraedru se včrta krogla, tej krogli se včrta zopet tetraeder i. t. d. Kolika je prostornina a) vseh krogel, b) vseh tetraedrov? 211. Določeni kocki se včrta krogla, tej krogli se včrta kocka, tej kocki se zopet včrta krogla i. t. d. Kolika je vsota prostornin a) vseh kock, b) vseh krogel? 212. Kapital 25110 K je po 3f % naložen na obrestne obresti. Za koliko se mora ta kapital zmanjšati koncem vsa¬ kega leta, da bode njegova vrednost čez 10 let znašala 25604 K? 213. Neki kapital, ki je po 4^°/o naložen, se je v 18 letih podvojil, akoravno se je koncem vsakega leta zmanjšal za 420 K. Kolik je bil kapital? 214. Kapital 1300 K se koncem vsakega leta poveča za 200 K; drugi kapital znaša 5960 K in se koncem vsakega leta zmanjša za 200 K. Čez koliko let bosta kapitala enaka, če se računajo obresti po 4 % ? 215. Nekdo ima vsaka tri leta po 4000 K plačati in sicer povsem 10 krat. S katerim kapitalom se da ta dolg takoj po¬ ravnati, če se računajo obresti po 3^%? 216. Nekdo si izposodi pri hranilnici kapital 8000 K. Ta dolg hoče tako poravnati, da plača skoz 15 let koncem vsa¬ kega leta enako vsoto ; kolika je ta vsota, če hranilnica za po¬ sojeni denar računa obresti po 5%, za prejeti denar pa po 4%? 217. Kapital 10000 K se naloži 10 let po 4% na obrestne obresti; skoz koliko naslednjih let dobiš od tega kapitala rento 1825 K? 218. Kolik kapital moraš 18 let po 5% naložiti na obrestne obresti, da dobiš potem skoz 13 naslednjih let rento 1200 K? 219. A hoče od 20. leta naprej skoz 16 let in sicer koncem vsakega leta dobivati rento 1000 K. Koliko mora sedaj za rento plačati, 5e se obresti računajo po 4^%? 220. Nekdo ima skoz 15 let dobivati rento 1250 K; koliko časa se mora tej renti odpovedati, da dobiva potem skoz 12 let rento 1785'5 K, če se računajo obresti po 31%? 221. Letna renta 1000 K, ki se ima še 10 krat izplačati, se zamenja za poluletno rento 597 - 7 K; koliko časa se dobiva zadnja renta, če se računajo obresti po 4%? CXXVI 222. Pri igri „domino“ so kameni zaznamovani z vsemi kombinacijami dveh števil od 0 do 8. Kolika je verjetnost, da obrneš kamen, ki ima število 5? 223. Kolika je verjetnost, da vržeš z dvema kockama šte¬ vili 2 in 6? 224. Na tleh, ki imajo obliko pravokotnika s stranicama 6 m in 3 m so enaki krogi v mozaiku, ki se dotikajo od zunaj in imajo premer 3 dm. Na tla vržeš okroglo ploščo s premerom 2 dm. Kolika je verjetnost, da plošča nikjer ne leži čez rob krogov ? 225. Pri neki dobrodelni ustanovi so določili s srečkanjem vsakoletne nagrade za pet revnih nevest. V nekem letu se oglasi 40 deklet in med njimi tri sestre. Kolika je verjetnost, da a) nobena teh treh sester ne dobi nagrade, V) da jo dobi ena, c) dajo dobi najstarejša, d) dajo dobita dve, e) dajo dobe vse tri, f) da jo dobita mlajši dve. 226. Kolika je verjetnost, da potegnem iz 32 kart igre „pike“, kjer so štiri kralji, dvakrat zapored kralja? 227. Nekdo zapiše štiri različna troštevilčna števila. Kolika je verjetnost, da so prva tri števila liha, četrto pa sodo? 228. Kolika je verjetnost, iz posode, kjer je 11 enakih krogel, trikrat zapored sodo število krogel vzeti, četrtič pa liho, a) ako se vsaka krogla vrže vedno nazaj, b) ako se vsaka krogla obdrži? 229. V vrečici so loterijske številke od 1 do 90. Nekdo stavi 10 vinarjev, da potegne število, ki je manjše od 46. Kolik je dobitek pri pravilni stavi? 230. Kolika je verjetnost, da vrže kdo s tremi enakimi novci dvakrat zapored vsaj po dve podobi? Kolika je nevarnost izgube, ako je stavil 2 K? 231. Kolika je verjetnost, da učaka 5 leten otrok a) 35. leto, b) 55. leto ? 232. Kolika je verjetna starost a) dveletnega otroka, b) 9 let¬ nega dečka, c.) 18 letnega mladeniča, d) 35 letnega moža? 233. Izračunaj za poskušnjo iz 4% tablice umrljivosti za zavarovanje na smrt diskontovano število še živečih (I>„) za a) 23 letnike, b) 43 letnike, c) 73 letnike. CXXVII 234. Za novorojenca je založil nekdo 60.000 K. Kakšno rento bo užival dotičnik do svoje smrti? Obrestna mera 3%. 235. Neka 30 letna oseba se zavaruje na doživetje 60 let ali na smrt za 1000 K in plačuje zato letnih 29‘69 K tarifne premije. Koliko znaša čista letna premija? Za koliko % J' e ta¬ rifna premija večja?. 236. Ista naloga za 35 letno osebo, ki se zavaruje za 2000 K na doživetje 65 let ali na smrt in plačuje 61 - 56 K letne tarifne premije. Zgodovinski dostavki Matematična veda se je razvijala le polagoma, kakor je potreba zahtevala. Tako nam zgodovina priča o starih Feni- čanili, da so bili izvrstni trgovci, torej gotovo dobri računarji. Egipčane so vsakoletne poplave reke Nila kmalu prisilile, da so zgradili nasipe, prekope in vodotoke, in tako so se izurili v zemljemerstvu inv praktični geometriji. Stari Kaldejci so častili zvezde kakor božanstva in postali na ta način prvi zvezdogledi. Pa tudi.Indijci in Kitajci niso zaostali za njimi; opazovali so solnčne in lunine mrke in zvezde repatice ter nam ohranili naj starejšo astronomsko kroniko. Prvi korak do znanstvene matematike sploh so bili šte¬ vilni sestavi. Od Asircev in Babiloncev smo prejeli seksa- gezimalni številni sestav, ki se kaže še sedaj v razdelitvi kroga na stopinje, minute in sekunde in istotako v razdelitvi časa. Izvrstni računarji so bili stari Indijci. Od njih imamo takozvani pozicijski številni sestav, ki sloni na dvojni vrednosti vsake številke. S pomočjo tega sestava je omogočeno z malim številom znamenj kratko in hitro računanje z velikimi števili. Zlasti uvedba ničle pomeni velik napredek v pismenem šte- viljenju. Indijski številni sestav je tako duhovit in vendar tako preprost, da se je le čuditi, kako da se je seznanila Evropa ž njim šele v srednjem veku (v 13. stoletju) po Arabcih iz Španske. Indijci so tudi že razreševali enačbe prve in druge stopnje. (Glej staroindijsko nalogo št. 135 na strani XLVII.) Drugi koren in negativna števila so jim bila tudi že znana. V razreševanju nedoločnih enačb pa so jih prekosili Kitajci. O napredku starih Egipčanov v aritmetiki nas poučuje pisar A limes (Amasis med 2000 in 1700 pr. Kr.) v svoji zbirki računskih vaj. Poleg celih števil obdeluje tudi navadne ulomke CXXIX s števcem ena. V tej zbirki so razrešene tudi nekatere enačbe z eno in dvema neznankama. Stari Grki so gojili v prvi vrsti znanstveno geometrijo, pa tudi v aritmetiki in algebri so dosegli lepe uspehe. Naj¬ važnejši zastopnik aritmetike je bil filozof Pitagora (rojen na otoku Samu okrog 570 pr. Kr.), ustanovitelj italske šole v Krotonu v južni Italiji. Njegova šola se je bavila zlasti z last¬ nostmi celih števil, s proporcijami in progresijami. On je prvi razvil matematično teorijo tonov in je sklepal iz razdalje plasti, v katerih se sučejo svetovi, na »harmonijo sfer“. Na geome¬ trijski način je prišla ta šola do pojma iracijonalnosti. Sčasoma pa se je izgubljalo njeno delovanje bolj in bolj v računske igrače in v brezplodne mistične spekulacije s celimi števili. S Platonom (ki je bil rojen okrog 430 pr. Kr. v Atenah) je zopet oživelo zanimanje za pravo aritmetiko. Platonova šola na akademiji v Atenah je uvedla v matematično znanost nove indirektne dokaze. Vendar pa so Platonovci gojili arit¬ metiko bolj kot pomožno vedo, isto velja tudi za največjega učenjaka starega veka, za Aristotela. Ko je uničil macedonski kralj Aleksander docela samo¬ stojnost grških držav, je začela matematična veda na Grškem propadati in Atene niso bile več središče znanstvenikov, njih mesto je prevzela nova Aleksandrija v Egiptu. Nasledniki Aleksandra Velikega v Egiptu so bili Ptolemejci, ki so si mnogo prizadeli, da se je razvila v Aleksandriji grška (helenska) ma¬ tematična veda do one stopnje, da je več ko tisoč let noben narod v Evropi ni prekosil. Naj znamenitejši matematik prve aleksandrijske dobe je Evklid (okoli 300 pr. Kr.) V svoji knjigi »Elementa 11 ( otopela ) je zbral vse matematično znanje tedanjega sveta. Ta knjiga je bila pozneje stoletja in stoletja vzor pregledne razvrstitve in metodičnega dokazovanja. Aritmetiko obdeluje pisatelj v 7., 8. in 9. knjigi. V isto dobo spada tudi Eratosten (rojen okrog 276 pr. Kr.), ki je znan po svojem načinu, kako se dobijo vsa praštevila do po¬ ljubne meje (Eratostenovo sito). Nekako ločen od teh dveh in od središča v Aleksandriji je živel na Siciliji Arhimed (rojen 287 pr. Kr. v Sirakusah). Njemu pa je služila aritmetika le v toliko, kolikor jo je rabil za svoje geometrijske in mehanične študije. cxxx V aleksandrijski dobi so se uvedli pismeni računi. Po¬ prej in tudi še dolgo pozneje so imeli nekako pripravo „abacus“, kjer so na deski ali na palčicah sestavljali kroglice in vozle in ž njimi računali. Še celo v srednjem veku so na ta način računali „abacisti“, sčasoma pa so jih čisto izpodrinili „algoritmiki“, ki so računali po indijskem, oziroma po aleksandrijskem načinu. Ko so si osvojili Rimljani Egipet, je začela helenska mate¬ matična veda nazadovati. Šele za rimskih cesarjev Hadrijanov in Antoninov je zopet nekoliko oživela. V tej drugi aleksan¬ drijski dobi je poleg slavnega astronoma Klavdija Pto- lomeja (okrog 125 do 160 po Kr.) za aritmetiko in algebro posebno važen Diofant iz Aleksandrije (sredi 4. stoletja po Kr.). V svoji knjigi „13 aritmetičnih problemov 41 je položil temelj sedanji algebri. Bil je zelo izurjen in iznajdljiv v razreševanju določilnih in nedoločilnih (diofantičnih) enačb. Poskušal je že tudi uporabljati algebro v geometriji, kar je šele v novejši dobi slavni Descartes takorekoč iznova začel v analitični geometriji. Med Rimljani, ki so bili toliko časa gospodarji sveta, se ni pokazal noben odličen zastopnik matematične vede. Učili so se pač pri Grkih in prevajali njihova dela, toda dosegli niso nikdar svojih učiteljev. Kot izvežbani juristi so prvi spoznali obrestne obresti. Od Rimljanov imamo več matematičnih iz¬ razov, ki so še sedaj splošno v rabi. Ti izrazi pa so nastali v poznejši latinski dobi, ko so prevajali grške pisatelje. V tem oziru je posebno znan Avrelij Kasiodorij (475—570 po Kr.). Po razpadu velikorimske države je jela tisočletna grško- rimska kultura hirati in matematična veda se ni mogla dalje razvijati. Leta 640. so pridrli mohamedanski Arabci v Egipet in kalif Omar je dal zažgati v Aleksandriji slavno veliko knjižnico. In zdelo se je, da je to smrtni udarec helenski in staroveški kulturi sploh. Toda ravno isti zmagonosni Arabci, ki so si z mečem v roki podvrgli severno Afriko in pridrli tudi na Špansko, ravno ti so postali nekaki posredovalci staroklasične kulture. Arabske visoke šole v Bagdadu in Damasku in pozneje v Kor- dovi so se ponašale s pravimi učenjaki matematične vede. Arabci so bili v prvi vrsti učenci Grkov, pa tudi od vzhodnih Indijcev so prejeli marsikaj (n. pr. številni sestav). Posebno sta se odlikovala arabska matematika Mohamed ibn Musa (okrog 800 po Kr.) tudi Alchvarismi imenovan in CXXXI pa T hab it ibn K ur ra h. Arabci so že poznali pri drugem korenu dvojno vrednost in razreševali so že enačbe tretje stopnje, pa tudi algebro so uporabljali v geometriji. Beseda algebra sama je arabskega izvora. Na visoki šoli v Kordo vi se je seznanil z arabskimi matematiki francoski menih G e r b e r t (poznejši papež Silvester II., 940—1003), ki je pač prevzel arabske številke, pa je vendar ostal še abacist. Doba od 10. do 16. stoletja je za aritmetiko in algebro doba posnemanja grških in arabskih učenjakov. Nekaka izjema je 13. stoletje, ko je živel duhoviti računar Leonardo Pisano (literarno delovanje okrog 1202—1228). Njegovo delo „Liber Abaci“ (dovršeno 1202) obsega vso tedanjo aritmetiko in al¬ gebro. Za poskušnje pri računih je rabil in tudi dokazal staro¬ indijsko poskušnjo z devetinskimi ostanki. Njegov sodobnik dominikanec Jordanus Nemorarius (umrl 1236) je rabil za števila že črke. Ali za tisto dobo sta bila Leonardo in Jor¬ danus preučena, sodobniki ju niso umeli in prešlo je zopet nekaj stoletij, da je zopet oživelo zanimanje za to vedo. Za križarskih vojsk so upoznali laški kupci arabske in bi¬ zantinske računarje in na laških visokih šolah so se učili pozneje Nemci algebre. Na to spominjajo stare računice „Die \velsche Praktik 14 in pa „Die Kofi“ od laške besed9 cosa = reč, ki je pomenila neznanko. Iz arabskih virov sta črpala angleški menih Roger Bacon in Nemec Albertus Magnus. Iz 16. stoletja so na glasu laški matematiki Hi er onim o Cardano iz Milana (1501—1576), Niccolo Tartaglia iz Brescie (1501—1557) in Lodovico Ferrari (1522—1565). Cardano je dal splošni obrazec za razreševanje enačb tretje stopnje, pri njem se nahaja tudi že drugi koren negativnih števil. Sedanjo pisavo korenov je začel Girard (1600), izraz za realna in imaginarna števila pa je rabil šele Descartes. Ima¬ ginarno enoto je uvedel naj večji nemški matematik Karl Fri- derik Gau6 (1777—1855), ki je dokazal potem s pomočjo kompleksnih števil, da ima vsaka algebrajska enačba toliko korenov, kolikršna je stopnja enačbe (Dissertation 1799). R. Descartes je uvedel sedanjo pisavo potenc in rabil za ne¬ znanke črke x, y. z... Leonhard Euler (1707—1783) pa je prvi jel rabiti za funkcijo pisavo /(*). Tatarglia se je pečal z iracijonalnimi imenovalci ulomkov in je prvi pravilno izračunal CXXXII obrestne obresti. Kako se enačbe 4. stopnje s pomočjo Carda- novega obrazca razrešujejo, je prvi dokazal Ferrari. Šele v no¬ vejšem času je Gaufi dokazal, da se algebrajske enačbe pete stopnje in višjih stopenj splošno ne dajo razrešiti. Iz 16. stoletja se tudi pogosto omenja Francesco Maurolico (1494—1575), ki je prvi uvedel induktivni sklep od n na n -(— 1. Največji francoski matematik v tej dobi je brezdvomno Franco is Vište (Vieta, 1540-—1603). Obdelal je zlasti pro- porcije in „regeldetrijo“. Uvedel je v računih vseskozi pozitivna in negativna števila. Računska znamenja -j— in — pa je prvi rabil slavni slikar in filozof Leonardo da Vinci (1452 — 1519). Namesto posebnih števil je uvedel Vičte občna števila in je postal tako ustvariteij občne aritmetike. Izmed nizozemskih matematikov sta posebno znana L u - dolf von Ceulen (1540—1610), ki je preračunal število n na 35 decimalk, in pa Simon Stevin po svoji algebri (1585), kjer je praktično začel z računi decimalnih števil. Prvi se je pač že poskušal z njimi Nemec Regiomontanus (Joh. Miiller 1436-1476). Z uvedbo decimalnih ulomkov, še bolj pa z iznajdbo loga¬ ritmov se je razvijala matematika odslej jako hitro. Za prvenstvo iznajdbe logaritmov sta se kosala Švicar J o s. Biirgi in pa Škot John Neper (Napier), ki je prvi dal natisniti (1614) razpravo o logaritmih, in sicer z osnovnim številom e = 2'71828... (naravni ali hiperbolski logaritmi). Deset let pozneje je izdal Anglež Henry Briggs prve tablice logaritmov števil 1 — 20.0,00 in 90.000 — 100.000, in sicer z osnovnim številom 10 (Briggovi ali navadni logaritmi). Za njim je Nizozemec Adrian Vlacq dopolnil še logaritme števil 20.000 — 90.000. Kmalu nato so se prikazale tudi tablice logaritmov goniometrijskih funkcij. Naš rojak baron Jurij Vega je Vlacq-ove tablice popravil in pomnožil ter jih izdal pod naslovom „Thesaurus logaritmorum“ (1794) na 10 decimalk. V 17. stoletju se je pečal posebno z aritmetiko Francoz Pičrre de Fermat (1608—1665), ki je začetnik znanstvene teorije števil. Obdelal je zlasti kombinacije in pa račune o verjet¬ nosti. Na istem polju so delovali še: Francoza B1 ai s e Pascal (1623—1662) in Pibrre Simon Laplace, potem oba švi¬ carska brata Jakob in Janez Bernoulli (1654—1705, CXXXIII 1667—1748) in Anglež Isaak Newton (binomski stavek 1676), pozneje tudi še Leibniz, Euler, Lagrange i. t. d. Jako je napredovala matematična veda z iznajdbo infinite¬ zimalnih računov (z diferencijali in integrali) po Newtonu in Leibnizu. Ta račun se je razvil, kakor povestnica uči, iz geome¬ trijskih problemov. Že Arhimed je bil napravil nekak začetek s svojo metodo izčrpanja (ekshauscijsko metodo), ko je primerjal ploščino kroga s ploščino včrtanega in očrtanega mnogokotnika. Isti način je uporabljal pozneje z dobrim uspehom Lali Bona¬ ventura Cavalieri (okrog 1591-1647), pozneje tudi Angleža Barrow in Wallis in Francoza Roberval in Fermat. Ko je nato še Renč Descartes (1596—1650) v svoji znameniti knjigi „Geomčtrie“ (1637) dal podlago za analitično geometrijo, bili so se izpolnili vsi pogoji in dovršile vse predpriprave za infi¬ nitezimalni račun. Odločilen korak sta napravila Anglež Isaak Newton (1642—1727) in pa Nemec Gottfried Wil. von Leibniz (1646—1716). Newton je poslal svojo razpravo 1. 1669. akademiji v London, v tisk pa je prišla šele 1. 1736. Leibniz pa je izdelal svoj rokopis 1. 1675. in ga dal tiskati 1. 1684. Vsled tega je nastal med njima dolgotrajen znanstveni prepir za prven¬ stvo. Vsekako pa je Leibnizova zasluga, da je uvedel v mate¬ matiko znake za nove račune diferencijalov in integralov in s tem določil enotno pisavo in enotni matematični jezik. (M. Cantor, Vorlesungen iiber Geschichte der Mathem., 4 deli 1880—1907.) Infinitezimalni račun je odslej obvladal vso matematično vedo in odkril znanosti sploh čisto nova pota. Matematična veda se je razvijala odslej z neznansko hitrico. Uporabljali so novi račun v geometriji, v fiziki in astronomiji, v moderni tehniki i. t. d. Cela vrsta učenjakov raznih narodov je tekmo¬ vala odslej v spopolnitvi teh računov in je dovedla na ta način matematično vedo na tako visoko stopnjo, da se lahko ponaša s pridevkom najeksaktnejše vede sploh. Izmed domačih pisateljev matematikov se več¬ krat omenjajo: 1. Andrej Kobal (Kobavius, rojen v Cirknici 1594, umrl v Trstu 1654). Bil je profesor matematike na jezuitskih šolah v Ljubljani in je spisal knjigo o astronomiji. 2. Joahim Košutnik (rojen v Beljaku 1714, umrl v Mariboru 1789) iz reda jezuitov. Bil je profesor na akademični CXXXIV gimnaziji na Dunaju, pozneje pa v Gradcu vodja zvezdarne. Spisal je 1.1754. knjigo „Prima elementa Arithmeticae, Algebrae, Geometriae, Trigonometriae planae et sphaericae, Architecturae civilis et militaris“. (Posneto iz razprave Fridol. Kaučiča ^na¬ meniti Slovenci 14 .) 3. Baron Jurij Vega (rojen Veha v Zagorici pri Mo¬ ravčah 1754, utonil v Donavi 1802), profesor matematike na vojaški šoli na Dunaju. Vega je bil tudi slaven junak, ki se je odlikoval v vojskah s Turki in s Francozi in je postal na¬ zadnje baron in podpolkovnik. L. 1783. je izdal logaritemske in trigonometrijske tablice na 7 decimalk, ki so doživele 60 izdaj. L. 1794. pa je izšel njegov veliki logaritmovnik „Thesaurus logarithmorum“ na 10 decimalk. Za šolsko rabo je izdal svoja predavanja o višji matematiki „Vorlesungen iiber Mathematik“ (1786—1802). 4. Dr. Franc vitez Močnik (rojen v Cerknem na Go¬ riškem 1814, umrl 1892), profesor matematike v Lvovu in Olo¬ mucu. Služboval je pozneje v Ljubljani kot deželni šolski svetnik in v Gradcu kot nadzornik. Pisal je zlasti učne knjige za ljudske in srednje šole. Njegove knjige so doživele mnogo izdaj ter se še rabijo. Preložili so jih v slovanske in razne druge jezike ter šobile v rabina Avstrijskem, Ogrskem, Laškem in Nemškem. '/v-T NARODNA IN UNIUERZITETNA KNJI2NICA Iziil -- --. s rNA 'Tj,, .v - **?r*