      P 47 (2019/2020) 48 Kvadrat, včrtan krožnemu sekstantu M R Krožnemu izseku s središčnim kotom 90◦ pra- vimo tudi krožni kvadrant, na kratko kvadrant, ker je to četrtina kroga. Krog lahko razdelimo na štiri skladne kvadrante. Če pa ima krožni izsek sre- diščni kot 60◦, imenujemo tak izsek krožni seks- tant, na kratko sekstant, ker je to ravno šestina kroga. Krog lahko razdelimo na šest skladnih sek- stantov. Kot vemo, lahko to naredimo zelo prepro- sto z ravnilom in šestilom. Kvadrant in sekstant sta določena s polmerom r . Oglejmo si sekstant s središčem S in polmerom r (slika 1). Njegova simetrala s preseka krožni lok v točki G in razdeli sekstant na dva krožna izseka s središčnim kotom 30◦. Njuni simetrali SC in SD pa ju razdelita na krožna izseka s središčnim kotom 15◦. Vzporednici p in q k simetrali s skozi točki C in D presekata polmera sekstanta v točkah A in B. Točke A,B,C in D so očitno oglišča pravokotnika. Trdimo, da je pravokotnik ABCD kvadrat. Najprej opazimo, da je trikotnik SBA enakostra- nični s stranicami dolžine |AB| = |SB| = |SA|. Tri- kotnik SBC pa je enakokraki, ker sta enaka kota BSC in SCB. Oba merita 15◦. Zato sta njuni nasprotni stranici enaki, |SB| = |BC|. Torej je res |AB| = |BC|. Pravokotnik ABCD je kvadrat. Naj bo a stranica kvadrata ABCD. Izrazimo jo s polmerom r sekstanta. Uporabimo enakokraki triko- tnik SCD. Njegova kraka imata dolžino r , višina v SLIKA 1. Krožni sekstant z včrtanim kvadratom. z nožiščem H na stranici CD pa je vsota višine ve = a √ 3/2 enakostraničnega trikotnika SBA in stranice a kvadrata: v = ve+a. Uporabimo Pitagorov izrek v pravokotnem trikotniku SCH: (a √ 3/2+ a)2 + (a/2)2 = r 2. Ko izraz na levi strani zgornje relacije poenostavimo, dobimo najprej (2+ √ 3)a2 = r 2       P 47 (2019/2020) 4 9 in nato z malo računanja še a2 = r 2 2+ √ 3 = r 2(2− √ 3) = r 2(8− 4 √ 3) 4 = r 2( √ 6− √ 2)2 4 . Stranica a kvadrata ABCD in njegova ploščina p sta nazadnje a = r 2 ( √ 6− √ 2), p = r 2(2− √ 3). To pomeni, da znamo vsakemu sekstantu sime- trično včrtati kvadrat, ki ima dve svoji oglišči na pol- merih in dve na loku sekstanta. Če to naredimo na vseh šestih sekstantih istega kroga in odstranimo ne- kaj odvečnih črt, dobimo sliko 2. V pravilnem dva- najstkotniku imamo na obodu izmenoma šest kva- dratov in šest enakostraničnih trikotnikov, na sre- dini pa pravilni šestkotnik. Vsi pravilni liki imajo enako stranico. SLIKA 2. V vseh šest sekstantov včrtani kvadrati. Naloga A. S pomočjo slike 1 in izraza za a izpelji vrednosti sin 15◦ = √ 6− √ 2 4 , cos 15◦ = √ 6+ √ 2 4 , tg 15◦ = 2− √ 3, cot 15◦ = 2+ √ 3. Naloga B. V kvadrant s polmerom r simetrično včr- taj kvadrat, ki ima dve svoji oglišči na polmerih in dve na loku kvadranta. Dokaži, da ima tako včrtani kvadrat stranico a = r √ 10/5 in ploščino p = 2r 2/5. ××× Barvni sudoku V 8× 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2× 4) nastopalo vseh osem števil. 5 2 4 4 6 7 3 5 1 6 8 2 5 7 1 8 2 1 5 8 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ×××