     
P 46 (2018/2019) 4 11
Posebno zaporedje rombov
M R
Vzemimo pozitivni realni števili p in q, pri če-
mer je p ≤ q. Njuna sredina je na splošno vsako
število S(p, q), ki je s p in q natančno določeno in
zanj velja relacija p ≤ S(p, q) ≤ q. Najenostavnejša
sredina števil p in q je njuna aritmetična sredina
A(p,q) = (p+q)/2, ki je na pravi sredini med p in q.
Če sta p in q krajišči intervala na številski premici,
potem je A(p,q) kar njegovo središče. Prav tako je
pomembna geometrična sredina G(p,q) števil p in
q, ki jo definiramo z relacijo G(p,q) = √pq. Očitno
sta števili A(p,q) in G(p,q) s p in q natančno dolo-
čeni. Ker je A(p,q) = p + (q−p)/2 = q− (q−p)/2,
velja p ≤ A(p,q) ≤ q. Iz p2 ≤ pq ≤ q2 pa dobimo še
p ≤ G(p,q) ≤ q.
Pomembna je relacija G(p,q) ≤ A(p,q), v kateri
velja enačaj natanko takrat, ko je p = q. To vidimo
iz zapisa
0 ≤
(√
q −
√
p
)2 = p + q − 2
√
pq
= 2(A(p, q)−G(p,q)).
Primer p = q očitno ni zanimiv, zato bo v nadalje-
vanju p < q, ko velja p < G(p,q) < A(p, q) < q.
Označimo p1 = G(p,q) in q1 = A(p,q). Ker je
p1 < q1, velja p1 < G(p1, q1) < A(p1, q1) < q1 tako
kot prej za p in q. Če označimo p2 = G(p1, q1) in
q2 = A(p1, q1), velja p2 < G(p2, q2) < A(p2, q2) <
q2. Ta postopek lahko nadaljujemo v nedogled. Če
vzamemo p0 = p in q0 = q in pn+1 = G(pn, qn)
in qn+1 = A(pn, qn) za n = 0,1,2, . . ., dobimo ne-
skončni zaporedji
p0, p1, p2, . . . in q0, q1, q2, . . . , (1)
pri čemer je
p = p0 < p1 < p2 < . . . < pn < . . . < qn < . . .
< q2 < q1 < q0 = q. (2)
Brez težav vidimo, da velja
q1 − p1 <
p0 + q0
2
− p0 =
q − p
2
,
q2 − p2 <
p1 + q1
2
− p1 =
q1 − p1
2
<
q − p
4
, . . .
V splošnem pa
qn − pn <
q − p
2n+1
.
Za dovolj velik indeks n se zato pn in qn poljubno
malo razlikujeta. Prvo zaporedje v (1) je naraščajoče
in omejeno navzgor, drugo pa padajoče in omejeno
navzdol. Členi obeh zaporedij se približujejo z nara-
ščajočim indeksom n natančno določenemu številu
µ(p, q), vsako s svoje strani. Zaporedji konvergirata
proti številu µ(p, q) (glej na primer [2]). Za vsako
naravno število je
p < pn < µ(p, q) < qn < q.
Število µ(p, q) je ena od sredin števil p in q, imenu-
jemo jo aritmetično-geometrična sredina števil p in
q. Zapišemo jo lahko kot limiti: µ(p, q) = limpn =
limqn. Število µ(p, q) se s p in q ne izraža prepro-
sto, ampak z eliptičnim integralom (glej na primer
[1]).
Za p = q bi dobili v (1) konstantni zaporedji, v
(2) pa povsod enačaj in s tem G(p,p) = A(p,p) =
µ(p,p) = p.
Posebna lastnost zaporedij (1) je njuna hitra kon-
vergenca. Za ilustracijo vzemimo primer p = 8 in
q = 24. Rezultate vpišimo v tabelo 1, ki ji dodamo še
ostre notranje kote αn = 2 arctan(pn/qn) rombov.
Na 11 decimalk je µ(8,24) = 14,90893426595.
Hitro konvergenco bomo pojasnili v oceni, ki jo
bomo izpeljali. Najprej je
qn+1 − pn+1 = A(pn, qn)−G(pn, qn)
= pn + qn
2
−
√
pnqn
=
(√
qn −
√
pn
)2
2
.
     
P 46 (2018/2019) 412
4 14,908934265958 14,908934265959 89,999999999995
3 14,908928043965 14,908940487954 89,999952177126
2 14,889677745633 14,928203230275 89,851944781240
1 13,856406460551 16,000000000000 81,786789298261
0 8,000000000000 24,000000000000 36,869897645844
n pn qn αn (
◦)
TABELA 1.
Zaporedje rombov.
SLIKA 1.
Zaporedje rombov.
Zadnji kvocient razširimo:
(√
qn −
√
pn
)2
2
=
(√
qn −
√
pn
)2 (√
qn +
√
pn
)2
2
(√
qn +
√
pn
)2
= (qn − pn)
2
2
(√
qn +
√
pn
)2 .
Za vsoto korenov v zadnjem imenovalcu velja:
√
qn +
√
pn
= 2A(
√
pn,
√
qn) > 2G(
√
pn,
√
qn)
= 2 4
√
pnqn > 2
4
√
p2 = 2
√
p.
Če upoštevamo vse dobljene relacije, imamo naza-
dnje oceno
qn+1 − pn+1 <
(qn − pn)2
8p
.
To pomeni, da se v zaporedjih (1) število prvih uje-
majočih se cifer števil pn in qn pri prehodu na pn+1
in qn+1 vsaj podvoji.
Za popestritev je smiselno načrtati zaporedje rom-
bov R0,R1,R2, . . ., kjer ima Rn diagonali pn in qn.
Diagonali se v vsakem rombu sekata pravokotno, se
razpolavljata in razpolavljata kote. Na sliki 1 je za-
četek tega zaporedja. Z rastočim n rombi prehajajo
v kvadrat z diagonalo µ(p, q). V tabeli 1 in na sliki
1 lahko opazujemo tudi, kako se pri tem koti αn pri-
bližujejo pravemu kotu.
Namesto rombov lahko vzamemo pravokotnike s
stranicami pn in qn ali pa elipse z osmi pn in qn.
Pravokotniki konvergirajo proti kvadratu s stranico
µ(p, q), elipse pa proti krogu s premerom µ(p, q).
Literatura
[1] P. Eymard, J.-P. Lafon, The number π , AMS, Pro-
vidence, Rhode Island 2004.
[2] I. Vidav, Višja matematika I, DZS, Ljubljana
1968.
×××