i i “Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 136 — #1 i i i i i i SPOMINSKAPLO ˇ S ˇ CAFRANCUHO ˇ CEVARJU MARKO RAZPET Pedagoˇ ska fakulteta Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2000): 01A55, 01A60, 01A70 Matematiku Francu Hoˇ cevarju so 20. junija 2009 v rojstni Metliki odkrili spominsko ploˇ sˇ co. Prispevek vsebuje njegov kratek ˇ zivljenjepis in delo ter predstavi nekaj njegovih znanstvenih objav. MEMORIALTABLETTOFRANCHO ˇ CEVAR OnJune20,2009amemorialtablettomathematicianFrancHoˇ cevarathisbirthplace inMetlika, Sloveniawasunveiled. Thisarticlecontainshisshortbiographyandwork, and presents some of his scientific publications. I. Ko smo odkrivali spominsko obeleˇ zje matematiku Francu Joˇ zefu Ho- ˇ cevarju (1853–1919), smo se lahko v mislih vsaj za hip preselili v svoja osnovnoˇ solska in dijaˇ ska, morda tudi vˇ studentska leta, ko smo bolj ali manj uspeˇ sno stopali v svet matematike. Nekomu je bila morda preteˇ zka, dru- gemu se je zdela nepotrebna, tu in tam pa se je le naˇ sel kdo, ki z njo ni imel posebnih teˇ zav. ˇ Se veˇ c, vzljubil jo je in postala mu je celo ˇ zivljenjska nuja in uˇ zitek, kot se je izrazil prof. Josip Plemelj (1873–1967). Nedvomno je za to potrebno imeti nekaj nadarjenosti, ki pa jo je treba ˇ se odkriti. Pri tem panesmemopozabiti, datonivse: polegnadarjenostisozauspehpotrebni tudi pogum, delavnost in vztrajnost. In zato so po navadi dobrodoˇ sli dobri uˇ citelji in profesorji. Franc Hoˇ cevar je imel to sreˇ co, da je na gimnaziji v Ljubljani imel izvrstnega in priljubljenega profesorja, ki je spoznal njegove sposobnosti in ga popeljal v svet matematike, tako da jo je vzljubil za vse ˇ zivljenje. Po konˇ cani gimnaziji je mladi Franc odˇ sel na cesarski Dunaj, kjer je ˇ studiral matematiko in fiziko pri samih uglednih znanstvenikih tistegaˇ casa. Ludwig Boltzmann (1844–1906) je bil njegov profesor matematike in pri njem je mladi Franc tudi doktoriral, star komaj 22 ali 23 let, po podatkih v [4] leta 1875, po [2] pa leta 1876, in sicer se je v svoji doktorski disertaciji posvetil nekaterim doloˇ cenim integralom. Postal je doktor filozofije in takoj za tem asistent na dunajski tehniˇ ski visoki ˇ soli. V ˇ solskem letu 1875/76 je 136 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 i i “Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 137 — #2 i i i i i i Spominska plošˇ ca Francu Hoˇ cevarju naTerezijanskiakademijinaDunajuopraviltudivsepredpisaneobveznosti, ki so mu dovoljevale pouˇ cevati na srednjih ˇ solah. Kot zanimivost povejmo ˇ se, da je pri Boltzmannu leta 1879 doktoriral tudi Ignac Klemenˇ ciˇ c (1853–1901) z raziskavami o obnaˇ sanju stekla po raz- bremenitvi. Da Slovenci na Dunaju njega dni niso bili od muh, pove tudi podatek, da je Boltzmann doktoriral pri Joˇ zefu Stefanu (1835–1893). Atuditistiˇ casisobilitrdizazaposlitvevvelikihuniverzitetnihsrediˇ sˇ cih, kajti mladih doktorjev znanosti se je z leti kar nekaj nabralo in le redki so imeli sreˇ co, da so ostali na Dunaju. Toda monarhija je imela tudi druga visokoˇ solska srediˇ sˇ ca, starejˇ sa, novejˇ sa in nastajajoˇ ca, kjer se je morda laˇ ze dobilo sluˇ zbo. TakosejeFrancHoˇ cevarumaknilnaTirolsko,kjerjedveletipouˇ cevalna gimnaziji, obenem pa je na univerzi v Innsbrucku spoznal ˇ se nekaj znanih matematikov in se habilitiral za privatnega docenta, kar mu tiste ˇ case ni dajalorednihprejemkov,ampaklepravicopredavatinauniverziinupati,da se medtem najde mesto pravega docenta. Hoˇ cevarju se je upanje uresniˇ cilo in zlahka je postal na nemˇ ski tehniˇ ski visoki ˇ soli v Brnu najprej izredni in natoredniprofesor. Tudiˇ casdelovanjanaMoravskemjebilzanjleprehodno obdobje, kajti ˇ cez ˇ stiri leta so ga povabili v Gradec, kjer je na tamkajˇ snji slovititehnikipredavalmatematikoinstemsodelovalpriizobrazbiˇ stevilnih 136–143 137 i i “Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 138 — #3 i i i i i i Marko Razpet inˇ zenirjev, tudi iz slovenskih deˇ zel, in dolga leta opravljal funkcijo dekana strojne fakultete ter prejel naslov dvornega svetnika. V Gradcu je ostal Hoˇ cevar do svoje smrti. Veˇ c podrobnosti o njegovemˇ zivljenju in delu lahko preberemo v [4, 5, 6, 8]. Hoˇ cevarjujeˇ caspouˇ cevanjanagimnazijizagotovokoristil, kajtinapod- lagisvojihbogatihpedagoˇ skihizkuˇ senjjevnemˇ sˇ cininapisalcelovrstoodliˇ c- nih uˇ cbenikov za aritmetiko in geometrijo za gimnazije in realke. Zelo se je zavzemal tudi za uvedbo odvoda in integrala v srednjeˇ sole. Veliko njegovih uˇ cbenikov so prevedli v druge jezike takratne monarhije in jihˇ se dolgo upo- rabljali. ˇ Zal smo Slovenci ostali v takratnem spletu zgodovinskih okoliˇ sˇ cin brez prevoda Hoˇ cevarjevih del. Hoˇ cevarjeveuˇ cbenikeˇ sepravposebejodlikujejojedrnatost, jasnost, pre- glednost, razumljivost, a kljub temu ne naˇ skodo matematiˇ cne natanˇ cnosti. Uporablja preprost in lahko razumljiv jezik, skrbi za uravnoteˇ zenost med teorijo in uporabo, izbira primerne in koristne naloge, tako da vzbuja pri dijakih zanimanje za predmet. Zaradi vsega naˇ stetega je nedvomno prav, da je Franc Joˇ zef Hoˇ cevar do- bilspominskoploˇ sˇ covsvojemrojstnemmestuMetlika. VsodelovanjuBelo- kranjskega muzejskega druˇ stva, DMFA ter Obˇ cine Metlika so jo na pobudo metliˇ skega uˇ citelja matematike Joˇ zeta Vraniˇ carja odkrili 20. junija 2009, torej 90 let in en dan po Hoˇ cevarjevi smrti, in sicer na metliˇ ski komendi. Kljub moˇ cno deˇ zevnemu vremenu se je slovesnosti udeleˇ zilo precej ljudi od blizu in daleˇ c, med njimi tudi podpredsednica DMFA Nada Razpet in ˇ ca- stni ˇ clan prof. Duˇ san Modic. Zbrane so pozdravili metliˇ ska ˇ zupanja Renata Brunskole, direktorica Belokranjskega muzeja v Metliki Andreja Brancelj Bednarˇ sek in minister zaˇ solstvo inˇ sport dr. Igor Lukˇ siˇ c, nekaj besed o Ho- ˇ cevarju pa je dodal avtor tega prispevka. Slovesnost so povezovali domaˇ ci recitatorji, zaglasbenevloˇ zkepasoposkrbelidomaˇ citamburaˇ si, kisovnesli v prireditev nekaj znaˇ cilnega belokranjskega melosa. Spominsko obeleˇ zje v Metliki, odkrito v ˇ cast matematiku Francu Hoˇ ce- varju, se je tako pridruˇ zilo verigi obeleˇ zij v Zagorici, Moravˇ cah, Cerknem, Ljubljani, Gornjem Gradu, Novem mestu in ˇ Strukljevi vasi ter na Bledu in Kamnem Potoku. Lahko bi bilo Metliki, vsej Beli krajini, Sloveniji in svetu v ponos. II. Povejmoˇ senekajoznanstvenidejavnostiFrancaHoˇ cevarja. Objavilje celovrstorazprav,kisegajoodproblematikesrednjeˇ solskegamatematiˇ cnega 138 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 i i “Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 139 — #4 i i i i i i Spominska plošˇ ca Francu Hoˇ cevarju poukadopodroˇ cijmehanikeinelektrotehnike,najveˇ cpavˇ cistomatematiko. Njegove matematiˇ cne razprave obravnavajo probleme iz diferencialnega in integralnega raˇ cuna, diferencialnih enaˇ cb, sistemov diferencialnih enaˇ cb, al- gebre, teorije ˇ stevil, neskonˇ cnih vrst in produktov, numeriˇ cne analize in analitiˇ cne geometrije v prostoru. Veˇ c ˇ clankov je posvetil algebraiˇ cnim for- mam in deljivosti le-teh z linearnimi in kvadratnimi formami. Opravil je obseˇ zno in pestro delo, ki se lahko kosa z delom marsikaterega matematika v naˇ sem ˇ casu. V Slovenijiˇ zalˇ se vedno nimamo zbranih vseh Hoˇ cevarjevihˇ clankov. Na sreˇ co so na svetovnem spletu v bazi podatkov pri Zentralblatt f¨ ur Mathe- matik dostopni povzetki. Tako si lahko ustvarimo vsaj pribliˇ zno predstavo, o ˇ cem je pisal. Oglejmo si ˇ se nekaj njegovih znanstvenih rezultatov. 1. Vˇ clanku ¨ Uberdieunvollst¨ andigeGammafunktion(Onepopolnifunkciji gama) je Hoˇ cevar naˇ sel razvoj nepopolne funkcije gama v vrsto. Ta je za pozitivni realni spremenljivki a in x definirana z integralom (uporabimo oznake iz [1, 3]): γ(a,x) = x Z 0 t a−1 e −t dt. (1) Podintegralske funkcije pa ne integriramo po celotnem poltraku (0,∞) kot pri funkciji gama, ki je dana z integralom Γ(a) = ∞ Z 0 t a−1 e −t dt, zato ji pravimo nepopolna. Integrala (1) se lotimo z metodo per partes: γ(a,x) = 1 a t a e −t x 0 + 1 a x Z 0 t a e −t dt = 1 a x a e −x + 1 a γ(a+1,x). Tako smo naˇ sli rekurzijo γ(a,x) = 1 a x a e −x + 1 a γ(a+1,x). ˇ Ce jo uporabimo veˇ ckrat, najdemo razvoj v vrsto γ(a,x) = 1 a x a e −x 1+ x a+1 + x 2 (a+1)(a+2) +··· , ki je uporabna za majhne x in velike a. 136–143 139 i i “Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 140 — #5 i i i i i i Marko Razpet 2. Znano je, da je naravno ˇ stevilo, ki je zapisano v desetiˇ skem sistemu, deljivo z 11, ˇ ce je alternirajoˇ ca vsota njegovih ˇ stevk deljiva z 11. Hoˇ cevar je to pravilo v ˇ clanku Zur Lehre der Teilbarkeit der ganzen Zahlen (K te- oriji deljivosti celih ˇ stevil) posploˇ sil na naravno ˇ stevilo n, ki je zapisano v ˇ stevilskem sistemu s poljubno osnovo b: n =a r a r−1 ...a 2 a 1 a 0 (b) =a r b r +a r−1 b r−1 +···+a 1 b+a 0 . (2) Pri tem so a r ,a r−1 ,...,a 1 ,a 0 ˇ stevkeˇ stevila n vˇ stevilskem sistemu z osnovo b. Velja 0 ≤ a k < b. V zapisu (2) razdelimo ˇ stevke od desne proti levi v skupine po q ˇ stevk: ...|a 3q−1 ...a 2q+1 a 2q |a 2q−1 ...a q+1 a q |a q−1 ...a 1 a 0 |. Nato definiramo cela ˇ stevila m 0 =a q−1 ...a 1 a 0 (b), m 1 =a 2q−1 ...a q+1 a q (b), m 2 =a 3q−1 ...a 2q+1 a 2q (b), ... in alternirajoˇ co vsoto m =m 0 −m 1 +m 2 ±··· = X r≥0 (−1) r m r , ki je tudi celo ˇ stevilo. Velja trditev: ˇ Ce ˇ stevilo b q +1 deli m, potem b q +1 deli tudi n. Dokaˇ zemo jo pa tako. Najprej je: n = X k≥0 a k b k = X r≥0 q−1 X s=0 a qr+s b qr+s = X r≥0 b rq q−1 X s=0 a qr+s b s = X r≥0 b rq m r . Oglejmo si razliko: n−m = X r≥1 m r (b qr −(−1) r ). Za lihe indekser, denimor = 2j+1, dobimo vˇ clenih zgornje vsote na desni strani faktorje (b q ) 2j+1 +1, ki se dajo razstaviti: (b q ) 2j+1 +1 = (b q +1)P(b,q,j), kjer je P(b,q,j) celo ˇ stevilo. 140 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 i i “Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 141 — #6 i i i i i i Spominska plošˇ ca Francu Hoˇ cevarju Za sode indekse r, denimo r = 2j, pa dobimo v ˇ clenih vsote na desni strani faktorje (b q ) 2j −1, ki se tudi dajo razstaviti: (b q ) 2j −1 = (b 2q ) j −1 = (b 2q −1)Q(b,q,j) = (b q +1)(b q −1)Q(b,q,j), kjer je Q(b,q,j) neko celo ˇ stevilo. Torej je celo ˇ stevilo n−m deljivo z b q +1. Sedaj takoj spoznamo: ˇ ce b q +1 deli m, potem deli tudi n. Oˇ citno za b = 10 in q = 1 dobimo kriterij deljivosti naravnega ˇ stevila n z 11. 3. Franc Hoˇ cevar se je ukvarjal, kot smoˇ ze zapisali, tudi z diferencialnimi enaˇ cbami in sistemi diferencialnih enaˇ cb. V svojem prispevku Zur Integra- tion der Jacobi’schen Differentialgleichung Ldx+Mdy+N(xdy−ydx) (K integraciji Jacobijeve diferencialne enaˇ cbe Ldx+Mdy+N(xdy−ydx)) je podal eleganten zapis reˇ sitve diferencialne enaˇ cbe dx a 1 x+b 1 y+c 1 −x(a 3 x+b 3 y+c 3 ) = dy a 2 x+b 2 y+c 2 −y(a 3 x+b 3 y+c 3 ) , ki ima same realne koeficiente. Uporabimo nekoliko modernejˇ so obravnavo. Avtor si je pomagal z matriko A, ki jo je priredil zgornji enaˇ cbi: A =   a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3   . Kadar ima matrika A razliˇ cne lastne vrednosti λ k ,(k = 1,2,3), obstajajo linearno neodvisni lastni vektorji v k = [α k ,β k ,γ k ] t ,(k = 1,2,3), in reˇ sitev dane diferencialne enaˇ cbe v implicitni obliki, to se pravi njen integral, je (α 1 x+β 1 y+γ 1 ) λ 2 −λ 3 (α 2 x+β 2 y+γ 2 ) λ 3 −λ 1 (α 3 x+β 3 y+γ 3 ) λ 1 −λ 2 = konst. Avtor se ni izognil obravnavi primera, ko sta dve lastni vrednosti matrike A konjugiranokompleksni,inprimerov,koimamodvealivsetrilastnevredno- sti matrike A med seboj enake. Ugotovil je tudi, da je integral obravnavane diferencialneenaˇ cbealgebraiˇ cen,ˇ cesorealnidelivsehtrehlastnihvrednosti matrike A med seboj enaki. TakoobravnavaJacobijevodiferencialnoenaˇ cboVjaˇ ceslavVasiljeviˇ cSte- panov (1889–1950) v [7] (nemˇ ski prevod iz ruˇ sˇ cine) s pripombo, da jo tako predava tudi Dmitrij Fjodoroviˇ c Egorov (1869–1931) na univerzi v Moskvi. 136–143 141 i i “Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 142 — #7 i i i i i i Marko Razpet 4. Vˇ clanku ¨ Uber die Integration eines Systems simultaner Differentialgle- ichungen (O integraciji nekega sistema simultanih diferencialnih enaˇ cb) se je Hoˇ cevar lotil sistema diferencialnih enaˇ cb dx 1 X 1 −x 1 X =... = dx n X n −x n X = dz X n+1 −zX , kjer je X homogena funkcija poljubne stopnje h in X 1 ,...,X n+1 linearne homogene funkcije spremenljivk x 1 , ..., x n , z. Dokazal je, da se tedaj, ko je h celo ˇ stevilo in X =a 1 x h 1 +···+a n x h n +a n+1 z h , sistem da reˇ siti z integracijami do konca. 5. Ob koncu omenimo ˇ se Hoˇ cevarjevo prizadevanje za uvedbo odvoda in integrala v srednje ˇ sole. Verjetno je sledil Felixu Kleinu (1849–1925), ki je tudi videl potrebo po uporabi odvoda in integrala za korektno obravnavo fizikalnih problemov. Hoˇ cevar je v prispevku Sind die Elemente der Infi- nitesimalrechnung an den Mittelschulen einzuf¨ uhren oder nicht? (Ali gre uvajati elemente infinitezimalnega raˇ cuna v srednje ˇ sole ali ne?) najprej orisal obseg in potek pouka matematike na avstrijskih univerzah, visokih tehniˇ skih in srednjihˇ solah vkljuˇ cno z izobrazbo strokovnih uˇ citeljev. Priˇ sel je do spoznanja, da je treba dotakratno uˇ cno snov skrbno prereˇ setati in v teorijo funkcij vpeljati odvod in integral. Podal je nekaj predlogov, katere vsebine bi se dalo skrˇ citi na raˇ cun novih. S problemi, kaj sodi in kaj ne sodi v pouk matematike, se tudi pri nas ukvarjamo zadnja desetletja. LITERATURA [1] M. Abramowitz in I. Stegun, Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables, Dover publications, New York, 1972. [2] J. Blackmore, Ludwig Boltzmann, His later life and philosophy, 1900–1906, Book one: a documentary history, Kluwer, 1995. [3] I. S. Gradstein in I. M. Ryzhik, Tables of integrals, sums and products, ur. Jeffrey, Academic Press, New York, 1994. [4] J. Povˇ siˇ c, Bibliografija Franca Hoˇ cevarja, SAZU, Ljubljana, 1978. [5] J.Povˇ siˇ c,Franc Hoˇ cevar: ob stoletnicinjegovega rojstva,Obzornikmat.fiz.3(1953)4, str. 97–102. [6] J. Povˇ siˇ c, Prispevek Franca Hoˇ cevarja pouku elementarne matematike, Obzornik mat. fiz.8 (1961) 2, str. 87–92. [7] W. W. Stepanow, Lehrbuch der Differentialgleichungen, VEB deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1956. 142 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 i i “Franc Hocevar 1” — 2009/10/15 — 13:42 — page 143 — #8 i i i i i i Spominska plošˇ ca Francu Hoˇ cevarju [8] P. ˇ Siˇ sma, Mathematics at the German Technical University in Brno, Franzbecker, Berlin, 2006. VESTI MATEMATI ˇ CNE NOVICE Predavanje profesorja Efima Zelmanova na Fakulteti za matema- tiko in fiziko v Ljubljani Prvega junija 2009 je profesor s Kalifornijske univerze v San Diegu imel na FMF v Ljubljani predavanje z naslovom Asymptotic properties of finite groups and finite dimensional algebras. Profesor Zelmanov je leta 1994 na Mednarodnem matematiˇ cnem kon- gresu v Z¨ urichu dobil Fieldsovo medaljo, najbolj prestiˇ zno nagrado na po- droˇ cju matematike. Zato je njegov obisk privabil matematike iz vse Slove- nije. Profesor Zelmanov je znan po svojem delu na podroˇ cju neasociativne algebre, natanˇ cneje Jordanovih in Liejevih algeber. Najveˇ cjo slavo pa si je pridobil, ko je z uporabo svojih rezultatov reˇ sil dolgo neosvojljivi Omejeni Burnsidov problem iz teorije grup. Predavanje je pokazalo izredno ˇ sirino metod, ki jih obvlada profesor Zelmanov – od teorije ˇ stevil do kombinato- rike in teorije grafov. Posluˇ salci smo lahko obˇ cudovali njegovo navduˇ senje nad matematiˇ cnim raziskovanjem. Efim Izakoviˇ c Zelmanov se je rodil v Habarovsku leta 1955. Zaˇ cetni del svoje kariere je naredil v Novosibirsku. Leta 1987 je emigriral iz Sovjetske zveze. Od leta 1990 dela v ZDA. Kot smo lahko videli, je profesor Zelma- nov skromen in dostopen znanstvenik. Fotografije s predavanja profesorja Zelmanova si lahko ogledate na portalu flickr [1]. (Najenostavneje je, ˇ ce v internetni brskalnik vtipkate Efim Zelmanov flickr.) Nova matematiˇ cna priznanja Nobelove nagrade za matematiko ˇ zal ni. Kot nekakˇ sno nadomestilo je dolgo ˇ casa veljala . Dve do ˇ stiri take medalje podeljujejo vsaka ˇ stiri leta na Mednarodnem matematiˇ cnem kongresu. Dobitniki Fi- eldsove medalje morajo biti mlajˇ si kot ˇ stirideset let. V denarju nagrada ni obilna in znaˇ sa okrog deset tisoˇ c EUR. ˇ Se zmeraj pa nosi izreden prestiˇ z. 136–143 143