IZ RAZREDA 41 Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023 Preiskovanje obsegov in ploščin drevesnih listov Exploring Tree Leaf Areas and Perimeters dr. Jasmina Kolbl Osnovna šola Gornja Radgona Izvleček V članku je opisan primer dejavnosti, ki je osnovana z namenom, da učenci samostojno, s procesom prei- skovanja na različnih stopnjah zahtevnosti oblikujejo specifične zaključke. Primer dejavnosti je namenjen razvijanju gradnikov matematične pismenosti v 7. razredu osnovne šole. Mogoče ga je uporabiti tudi v višjih razredih osnovne šole, ga ustrezno nadgraditi, pri čemer spodbujamo učence, da na različne načine, z drugač- nimi metodami, določijo ploščino in obseg drevesnih listov. Ključne besede: obseg, ploščina, matematična pismenost, kritično mišljenje Abstract This article describes an activity designed to help students draw specific conclusions independently through investigation at different levels of complexity. It aims at developing the building blocks of mathematical lit- eracy in the 7th grade of primary school. It can also be used in the upper grades of primary school, building on it as appropriate, encouraging pupils to determine the area and perimeter of tree leaves in different ways and using diverse methods. Keywords: perimeter, area, mathematical literacy, critical thinking 1 Uvod Raziskovalna spoznanja (Bransford, Brown in Cocking, 2000; Farrell, Moog in Spencer, 1999; Freeman idr., 2014; Kolbl, 2019; Marentič Požarnik, 2008; Prince, 2004) kažejo, da se učenci največ nauči- jo in tudi izboljšajo učne strategije, če so sami dejavno vključeni v proces učenja in imajo možnost, da sami konstruirajo svoje znanje. Ob tem so številne raziskave (Bransford idr., 2000; Krnel, Družina in McCloughlin, 2011; Prince, 2004) potrdi- le, da utegneta biti trajnost in uporabnost znanj, ki so usvojena na dejaven način, pod določenimi pogoji bolj kakovostna, kot če so informacije zgolj privzete, ne pride pa do oblikovanja poglobljenega znanja. Pokazalo se je tudi, da je transfer znanja največji, kadar je aktivno učenje dopolnjeno z učiteljevo razlago, ki znanje pomaga uokviriti v širši kontekst (Brans- ford idr. 2000, 2012). Tako so npr. ugota- vljali (Bransford idr., 2000), da učenci, ki z dejavnim preiskovanjem odkrijejo geo- metrijske pojme, to znanje znajo uporabiti v novih in netipičnih situacijah, medtem ko se učenci, ki so jim pojme razložili uči- telji, formule pa so se naučili, v novih si- tuacijah niso znašli in tožili, da »tega niso jemali pri pouku«. Geometrija je pomemben del človekovega življenja. Koristna je tudi v vsakdanjem ži- vljenju, npr. ko moramo ugotoviti, koliko ploščic potrebujemo, da prekrijemo tla v dnevni sobi, koliko barve je treba kupiti za pleskanje sten otroške sobe in podobno. Običajno se učenci srečujejo le z osnov- nimi geometrijskimi liki: s kvadrati, pra- vokotniki, krogi ali trikotniki, redkeje pa s kakšnimi bolj nenavadnimi oblikami. Glede na ugotovitve smo se odločili, da z učenci 3. vzgojno-izobraževalnega obdo- bja izvedemo dejavnost iz sklopa geome- trija, in sicer tako da bi bili učenci dejavno vključeni v proces učenja. V tem prispev- ku je predstavljeno, kako določiti obsege in ploščine drevesnim listom. V predsta- vljeni dejavnosti učenci prednostno razvi- jajo podgradnika • 1.5 pozna in v različnih okoliščinah uporablja ustrezne postopke in orodja • 1.4 prepozna, razume in uporablja ma- tematične pojme v različnih okolišči- nah matematične pismenosti in za dosega- nje zastavljenih ciljev (glejte Prilogo 1) s procesom preiskovanja na različnih sto- pnjah zahtevnosti oblikujejo specifične zaključke, pri čemer se urijo v razvijanju različnih veščin in procesov kritičnega mišljenja (npr. KM3 – Prepoznavanje in opredeljevanje problemov, KM5 – Siste- matično opazovanje in izpeljava sklepov, KM12 – Vrednotenje in odločanje). 2.2 Določanje obsegov in ploščin drevesnim listom 2. 1 Predpriprava Z učenci 7. razreda osnovne šole smo pri- mer izpeljali v okviru dneva dejavnosti. IZ RAZREDA 42 Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023 Pred izvedbo smo šli na krajši učni spre- hod in nabrali ustrezen material (vsak učenec je nabral vsaj pet različnih dreve- snih listov). Podobno dejavnost smo izvedli z učenci 8. razreda pri pouku matematike. Dreve- sne liste smo nabrali v okolici šole. Med nabiranjem smo se pogovarjali o različnih metodah, s pomočjo katerih bomo dolo- čili obsege in ploščine nabranih drevesnih listov. Ob tem smo ponovili tudi osnovne enote za merjenje obsegov in ploščin. V učilnici na mizo položimo vse potreb- no za preiskovalno delo: prazni listi - mali karo, sukanec, škarje, ravnila, tehtnica. Vsak učenec prejme Učni list (Priloga 2), na katerega si bo zapisoval rezultate. 2. 2 Določanje obsegov drevesnih listov Vsi učenci so za določanje obsega dreve- snih listov izbrali način prerisa listov, nato so s pomočjo sukanca določili obseg obri- sanega lista. Slika 1: Določanje obsega drevesnega lista. 2. 3 Določanje ploščine drevesnih listov Učenci so s preštevanjem kvadratkov do- ločili ploščino drevesnih listov. Nekateri učenci so si pomagali tako, da so določili enoto (1 cm 2 so natanko štirje kvadratki) in prešteli oziroma določili približno vre- dnost, saj se pri tovrstnih oblikah ni na- tančno izšlo. Slika 2: Določanje ploščine drevesnih listov. Slika 3: Določanje ploščine drevesnih listov. Nekateri učenci 8. razreda so se lotili do- ločanja ploščine drevesnih listov še na drugačen način, preko tehtanja. Stehtali so celoten list, nato 1 cm 2 lista in s sklepa- njem izračunali ploščino celotnega lista. Ker tehtnica ni bila dovolj natančna, da bi lahko stehtali tako majhne kose, so stehta- li 4 cm 2 lista in nato ustrezno določili vre- dnost ploščine. Za večino učencev pa je bil način določanja ploščine drevesnih listov s pomočjo tehtanja prezahteven. Slika 4: Risanje 1 cm 2 lista V 9. razredu sem učence le seznanila z de- javnostjo in jih spodbudila, da razmislijo, kako bi s pomočjo tehtanja ugotovili plo- ščino drevesnih listov. Približno polovica vprašanih učencev je samostojno in brez pomoči ugotovila, da preko mase 1 cm 2 li- sta lahko sklepamo na celotno ploščino li- sta. Vsi učenci se niso strinjali, da iz mase 1 cm 2 lista kar določimo celotno ploščino lista, saj je treba upoštevati še druge de- javnike, kot so debelina lista in listne žile. Sklenili smo, da je ploščina lista, določena s tehtanjem, samo približna vrednost, za bolj natančen rezultat je potreben druga- čen pristop. 2. 4 Primerjanje obsegov in ploščin drevesnih listov Pri primerjavi obsegov različnih listov so učenci ugotovili, da imajo med približno enako velikimi listi (torej listi z enako plo- ščino), večji obseg tisti, ki so bolj »nazob- čani« (npr. javor). Za razumevanje pojma »obseg drevesnega lista« so se nam porajala različna vpraša- nja. Pri tej dejavnosti smo iskali obseg obrisa- nega drevesnega lista kot ga vidimo s pro- stim očesom. Kaj pa če rob dela drevesne- ga lista pogledamo pod mikroskopom? Kaj vidimo? Kaj ugotovimo? Za razumevanje pojmov ploščina in ob- seg lika ter njuno razlikovanje je v nada- ljevanju zapisanih nekaj nalog (Priloga 3, avtorica mag. Mateja Sirnik), ki jih lahko uporabimo pri pouku matematike. Učenci 7. razreda so že z opazovanjem velikosti drevesnih listov podali približno oceno glede primerjave med ploščinami nekaterih drevesnih listov. Npr. trije listi akacije imajo enako ploščino kot en list oreha. Za natančnejšo primerjavo tako obsegov kot ploščin drevesnih listov je bila potreb- na računska utemeljitev. Učenci so si po- magali z žepnim računalom. Učenci 8. razreda so takoj po tehtanju znali napovedati razmerje med ploščina- mi nekaterih drevesnih listov, čeprav po- jem »razmerje« pri matematiki obravna- vamo šele v 9. razredu. Npr. masa nekega lista je 4 g, masa drugega pa 12 g. Učenci so iz tega napovedali, da je ploščina ve- čjega lista trikrat tolikšna kot manjšega. Svojo napoved so nato preverili še z raču- nanjem ploščin obeh listov in določitvijo razmerja. PRILOGA 1 43 Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023 ZAPIS PRIMERA DEJAVNOSTI V PODPORO RAZVIJANJU MATEMATIČNE PISMENOSTI Globalni cilj/tematski/učni sklop: Matematični problemi in problemi z življenjskimi situacijami Trajanje: 45 min Naslov/ime dejavnosti: Razišči obseg in ploščino drevesnih listov in poišči različne kriterije za njihovo primerjavo Vključeni (pod)gradniki MP in KM (kritičnega mišljenja): MP 1.5 pozna in v različnih okoliščinah uporablja ustrezne postopke in orodja MP 1.4 prepozna, razume in uporablja matematične pojme v različnih situacijah KM 5: Sistematično opazovanje in izpeljava sklepov, KM 12: Vrednotenje in odločanje, KM 3: Prepoznavanje in opredeljevanje problemov Operativni cilji dejavnosti (vsebinski, procesni): Učenec: - ve, da štirje kvadratki na listu mali karo predstavljajo 1 cm 2 , - razišče načine za določitev obsega/ploščine drevesnim listom, - išče različne kriterije za primerjavo obsegov in ploščin drevesnih listov, - se uri v predstavljanju in interpretaciji svojih rezultatov. Aktivnost učencev/učenk Podgradnik MP (KM) Vloga učitelja/učiteljice Pričakovani rezultati/dokazila Sodeluje v razgovoru. Poda uvodna navodila za delo in vodi razgovor o ploščinah in obsegih likov. Ve, da ploščine listov merimo v cm 2 , obsege v cm. Vsak učenec samostojno razišče obseg in ploščino svojih drevesnih listov, ki jih je nabral (Priloga – učni list_1. naloga) MP 1.5 a, c, d MP 1.4 a, d, e KM 3, 5 Nadzira delo in po potrebi pomaga. Narisani obrisi listov na papir (mali karo) in viden pravilen postopek za ugotavljanje obsega in ploščine lista. Izpolnjen učni list. Vsak učenec samostojno išče možne kriterije za primerjavo obsegov in ploščin drevesnih listov (Priloga – učni list_2. naloga). KM 12 Nadzira delo in po potrebi pomaga. Zapisani kriteriji za primerjavo obsegov različnih drevesnih listov in ploščin. Predstavi in interpretira svoje rezultate ostalim sošolcem. MP 1.3 a, b Vodi predstavitev dela. Uspešno izvedene predstavitve posameznikov. Opomnik in dodatni napotki za izvedbo dejavnosti (predpriprava): Pred izvedbo primera dejavnosti opravimo učni sprehod v bližnji gozd: vsak učenec poišče vsaj 5 različnih drevesnih listov ali jih prinese od doma. Vsak učenec prejme ustrezne prazne delovne liste (mali karo) za raziskovanje, daljšo nit oziroma nekaj podobnega za merjenje obsega in večje ravnilo, ki mu bo v pomoč pri določitvi obsega lista. Matematika v šoli, št. 2., letnik 29, 2023 PRILOGA 2 UČNI LIST Razišči obsege obrisov drevesnih listov in ploščine nabranih drevesnih listov 1. Čim bolj natančno določi obseg in ploščino vsakega drevesnega lista, ki si ga nabral. 2. Primerjaj obsege in ploščine različnih listov. Ali najdeš povezavo med njimi? Zapiši ugotovitve. Zaključek Izvedena dejavnost se je tako v 7. kot v 8. razredu izkazala za zelo uspešno. Učenci so z zanimanjem rešili vse naloge in izkazali veliko mero ustvarjalnosti. Nekateri so z različnimi barvami popestrili videz rezultatov ali si na tak način pomagali do pravilnega rezultata. Največ pomoči so učenci potrebovali pri določanju primerjav med obsegi obrisov listov različnih drevesnih listov in med ploščinami drevesnih listov. Sklepamo, da so se težave pojavljale, ker učenci komaj v 9. razredu spoznajo pojem razmerje in poenostavljeno razmerje. Velja poudariti, da je dejavnost mogoče uspešno izvesti medpredmetno ali celo kot dan dejavnosti. Viri Bransford, J. D., Brown, A. L. in Cocking, R. R. (2000). How people learn: brain, mind, experience and school: Expanded Edition. Wash- ington: National Academy Press. Bransford, J. D., Brown, A. L. in Cocking, R. R. (2012). Učni transfer. Vzgoja in izobraževanje, 43(5), 45–59. Farrell, J. J., Moog, R. S. in Spencer, J. N. (1999). A guided inquiry chemistry course. Journal of Chemical Education, 76(4), 570–574. Freeman, S., Eddy, S. L., McDonough, M., Smith, M. K., Okoroafor, N., Jordt, H. in Wenderoth, M. P . (2014). Active learning increases student performance in science, engineering, and mathematics. Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(23), 8410–8415. Kolbl, J. (2019). Vpliv vodenega aktivnega učenja kemije na spremembo razumevanja kemijskih pojmov. Doktorska disertacija. Uni- verza v Ljubljani: Pedagoška fakulteta. Marentič Požarnik, B. (2018). Psihologija učenja in pouka: Od poučevanja k učenju. Ljubljana: Državna založba Slovenije. Prince, M. (2004). Does active learning work? A review of the research. Journal of Engineering Education, 93(3), 223–232. Rupnik Vec, T. idr. (2022). Miselni procesi in veščine kritičnega mišljenja. Zavod RS za šolstvo. https://www.zrss.si/pdf/Kriticno_misljenje_NAMA_gradniki.pdf Sirnik, M. idr. (2022). Matematična pismenost: opredelitev in gradniki. Zavod RS za šolstvo. https://www.zrss.si/pdf/Matematicna_pismenost_gradniki.pdf 44