Elektrotehniški vestnik 74(1-2): 67-72, 2007 Electrotechnical Review: Ljubljana, Slovenija Uporaba direktne Ljapunove metode za ugotavljaje stabilnosti elektroenergetskih sistemov z univerzalnim prečnim transformatorjem Valentin Ažbe, Rafael Mihalič Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko, Tržaška 25, 1000 Ljubljana, Slovenija E-pošta: valentin. azbe@fe. uni-lj. si Povzetek. Članek obravnava ugotavljanje tranzientne stabilnosti elektroenergetskih sistemov (EES) s pomočjo direktne Ljapunove metode. Za uspešno uporabo teh metod za EES, ki vsebujejo naprave FACTS, moramo vpliv teh naprav primerno upoštevati. Do sedaj uporaba te metode v EES z univerzalnim prečnim transformatorjem (UPT) ni bila povsem mogoča, kajti primeren prispevek te naprave v energijski funkciji EES še ni bil poznan. Ta članek prikazuje postopek ugotavljanja prispevka UPT v energijski funkciji EES z ohranjeno strukturo. Po nekaj predpostavkah smo določili izraz za energijsko funkcijo UPT, ki ga lahko dodamo katerikoli obstoječi energijski funkciji EES z ohranjeno strukturo omrežja. Ustreznost energijske funkcije EES z UPT smo preverili na testnem sistemu generator - toga mreža in jo uporabili za ugotavljanje kritičnega časa odstranitve motnje v testnem sistemu z več generatorji. Energijska funkcija se je izkazala za ustrezno. S tem smo omogočili uporabo direktne Ljapunove metode za EES, ki vsebujejo UPT. Ključne besede: Naprave FACTS, Ljapunove metode, regulacija elektroenergetskih sistemov, tranzientna stabilnost elektroenergetskih sistemov, univerzalni prečni transformator Application of the direct Lyapunov method for transient-stability assessment of electric-power systems with the unified power flow controller Extended abstract. The paper deals with the direct Lyapunov method for transient-stability assessment of electric-power systems (EPS). To be able to successfully apply direct methods or other energy function-based calculations in EPSs that include flexible AC transmission system (FACTS) devices, the influence of these devices has to be properly considered. In power systems incorporating unified power-flow controllers (UPFCs) this is currently not always possible because the present EPS energy functions do not involve appropriate UPFC actions. This paper presents a method for incorporating the transient-stability improvement function of the most versatile FACTS device, i.e. the unified power-flow controller (UPFC), into the energy function for multimachine systems. A UPFC is presented by the injection model in Fig. 2. The model equations (1) - (4) are the basis for construction of the energy function. These are modified in the same way as swing equations in [4] and summed together (9). The first integral of this sum is the energy Prejet 31. julij, 2006 Odobren 31. januar, 2007 function for a UPFC and can be obtained only by intuition. Assuming constant controllable parameters, the energy function (11) can be determined. It can be added to any existing structure-preserving energy function as an additional term that represents the effect of a UPFC. According to Fig. 2c, the energy function (11) is equal to the sum of the reactive powers Qsi and Qsj and represents the total reactive power injected into the power system by the UPFC. Comparing this energy function to those of some other FACTS devices, we see that they all correlate with the injected reactive powers. In the case of FACTS devices that do not act as current or voltage sources, e.g. the static var compensator (SVC), controllable series compensation (CSC) and phase-shifting transformer (PST), the energy function is equal to half the sum of the reactive powers. In the case of a static series synchronous compensator (SSSC) and UPFC, the energy function is equal to the sum of the reactive powers. Because constant controllable parameters of a UPFC might not be suitable for studying the UPFC's contribution to the transient-stability enhancement, the application of the newly constructed energy function is extended to the application of sectional-constant controllable parameters using (12). Adequacy of the newly constructed energy function was tested for a UPFC in a longitudinal test system. Critical clearing times (CCTs) obtained by the direct Lyapunov method were equal to the CCTs obtained by simulation, consequently the energy function proved to be adequate. The application of sectional-constant controllable parameters was demonstrated in an IEEE nine-bus three-machine test system. The UPFC was controlled to act like an SSSC. From the results we see that the CCTs obtained by the direct method for both the SSSC from [7] and the presented UPFC acting as an SSSC are identical. This proves that consideration of the sectional-constant UPFC parameters as described above can be applied in calculations to approximate various continuous (non-discrete) control strategies. Using the newly constructed energy function, the application of the direct Lyapunov method for an EPS that includes UPFCs is possible. Keywords: FACTS devices, Lyapunov methods, power system control, power-system transient stability, UPFC 1. Uvod Članek obravnava eno izmed metod ugotavljanja tranzientne stabilnosti elektroenergetskih sistemov (EES), to je direktna Ljapunova metoda. Ta metoda je imela zaradi svoje enostavnosti velik pomen pred nastankom računalnikov. S pojavom računalnikov so prišle v ospredje digitalne simulacije EES, s katerimi korak za korakom rešujemo sistem nelinearnih diferencialnih (nihajnih) enačb. Kljub čedalje večji hitrosti računalniških simulacij le-te niso primerne za sprotno (on-line) ugotavljanje tranzientrne stabilnosti, temveč le pri načrtovanju elektroenergetskih omrežij. Želja upravljavcev prenosnega omrežja po sprotnem ugotavljanju tranzientne stabilnosti je ponovno zbudila zanimanje za direktno Ljapunovo metodo, ki bi pri tem lahko imela ključno vlogo. Osnovni del direktne Ljapunove metode je konstrukcija primerne Ljapunove funkcije, s katero EES namesto z nizom nelinearnih diferencialnih enačb opišemo z nizom algebrajskih enačb. Konstruiranih je bilo več različnih Ljapunovih funkcij, a se je za edino uporabno izkazala funkcija, ki pomeni sistem kot vsoto kinetične in potencialne energije po odpravi motnje [1] in jo dobimo z integriranjem nihajnih enačb sistema. Ta energijska funkcija je bila za EES brez naprav FACTS že določena, z nastankom naprav FACTS pa je nastala potreba po določitvi njihovega vpliva na energijsko funkcijo EES. Članek prikazuje določitev energijske funkcije EES, ki vsebuje najbolj vsestransko napravo FACTS, tj. univerzalni prečni transformator (UPT). Določena je na modelu EES z ohranjeno strukturo, kar med drugim omogoča upoštevanje več naprav FACTS hkrati. V nadaljevanju je predstavljen princip direktne Ljapunove metode, v naslednjem poglavju sledi opis UPT, v 4. poglavju izpeljava energijske funkcije, v 5. poglavju numerični primeri ugotavljanja tranzientne stabilnosti EES in v 6. poglavju sklep članka. 2. Direktna Ljapunova metoda Uporabo direktne Ljapunove metode za ugotavljanje tranzientne stabilnosti EES lahko ilustrativno prikažemo na mehanskem modelu kroglice na skledasto oblikovani površini kot v [2]. Model je prikazan na sliki 1. Površina skledaste oblike pomeni potencialno energijo sistema po odpravi motnje. Za omrežje s tremi generatorji jo lahko predstavimo kot ploskev v tridimenzionalnem prostoru, kjer horizontalni osi predstavljata rotorski kot dveh generatorjev glede na tretjega. (t.j. S in S glede na sliko 1), vertikalna os pa potencialno energijo sistema. Potencialna energija ima lokalni minimum v stabilni ravnovesni točki, ki ustreza rotorskim kotom po končanem prehodnem pojavu po odpravi motnje. Okrog te točke potencialna energija tvori površino skledaste oblike, ki je stabilno območje obratovanja sistema. Slika. 1: Kroglica na površini potencialne energije Figure 1: Ball on a potential-energy surface Stanje sistema (tj. kote rotorjev) predstavlja kroglica, katere kinetična energija predstavlja kinetično energijo sistema in se kotali po površini potencialne energije. V stacionarnem stanju kroglica miruje na dnu sklede v stacionarni ravnovesni točki. Ko nastane motnja, npr. kratek stik, kroglica pospešuje proti vrhu sklede, vse dokler motnja ni odstranjena. Glede na vsoto kinetične in potencialne energije kroglice v trenutku odstranitve motnje se lahko le-ta odkotali čez rob oz. prevoj sklede, kar pomeni nestabilno stanje, ali pa niha v skledi in se vrne na dno, kar pomeni stabilno stanje. Za ugotavljanje tranzientne stabilnosti sistema vsoto kinetične in potencialne energije kroglice primerjamo s kritično energijo, tj. potencialno energijo EES na meji stabilnega območja. Meja stabilnega območja poteka po prevojnih točkah, kot je prikazano na sliki 1. Eno od meril tranzientne stabilnosti je kritični čas odstranitve motnje (critical clearing time - CCT). To je čas, v katerem mora biti motnja odstranjena, da sistem ohrani stabilnost. Za povsem točno ugotovitev CCT bi morali določiti kritično energijo v točki, kjer bi kroglica pri tem CCT dosegla mejo stabilnosti. Ker to točko lahko določimo le s ponavljanjem simulacije, si pomagamo s poenostavitvami. Prvi način poenostavitve je, da za kritično energijo določimo potencialno energijo v najnižji sedelni točki. S tem je ugotovljeni CCT vedno manjši od dejanskega in je tako »na varni strani«. Vendar se je izkazalo, da so ti rezultati preveč konservativni in s tem predaleč od dejanskih, še zlasti pri EES z večjim številom generatorjev in s tem z večjim številom sedelnih točk, ki so lahko precej oddaljene od dejanske trajektorije kroglice. Druga možnost izbire kritične energije je vrednost potencialne energije v točki sedla, ki je najbliže trajektoriji kroglice. Tretja možnost je metoda PEBS (potential energy boundary surface), s katero kritično energijo določimo kot vrednost potencialne energije v točki, kjer kroglica prečka mejo stabilnosti, če motnje ne odstranimo. S tem se izognemo matematično zapletenemu iskanju sedelnih točk. Izvedemo le eno simulacijo, t.j. simulacijo sistema z neodpravljeno motnjo. CCT določimo kot trenutek, ko je na trajektoriji kroglice z neodstranjeno motnjo vsota kinetične in potencialne energije kroglice (t.j. energija sistema z odpravljeno motnjo) enaka potencialni energiji kroglice na meji stabilosti. Za sistem generator - toga mreža postane tridimenzionalna krivulja na sliki 1 dvodimenzionalna z eno samo prevojno točko, ki določa mejo stabilnosti. Trajektorija takega sistema (kroglice) je enoumno določena, zato se morajo CCT, določeni po direktni metodi, povsem ujemati z rezultati simulacijske metode. Pogoj za to je seveda pravilna energijska funkcija EES, po kateri računamo vrednost potencialne in kinetične energije. Tako lahko na sistemu generator - toga mreža s primerjanjem CCT, dobljenih s pomočjo simulacije in direktne metode, potrjujemo ustreznost energijske funkcije EES. 3. Prenosne karakteristike UPT Uj. Regulabilni parametri so UT, ( in 1q, medtem ko je 1T odvisen od injicirane delovne moči v serijski veji. Slika 2: a) model UPT; b) diagram fazorjev napetosti; c) injekcijski model Figure 2: a) model of the UPFC; b) phasor diagram; c) injection model Injekcijski model serijske veje UPT je predstavljen v [3]. Je enak splošnemu injekcijskemu modelu statičnega sinhronskega serijskega kompenzatorja (SSSC - static synchronous series compensator). Dodamo še jalovi tok vzporedne veje in po nekaj matematičnih operacijah dobimo izraze za injekcijski model UPT. P = UUt X. P = - ^T sin (j + Vt ) TRS UU X sin (O + V ) TRS Qi = cos(v ) + U, • I, X. Qj= - TRS Uj -Ut X cos (O + v) (1) (2) (3) (4) Za upoštevanje UPT v energijskih funkcijah EES le-tega predstavimo z injekcijskim modelom. Za sistem brez upoštevanja izgub UPT lahko zapišemo kot serijsko vezan napetostni vir z reaktanco XTRS in vzporedno priključenim tokovnim virom. Model naprave, nameščene med zbiralki i in j, ter diagram fazorjev napetosti predstavlja slika 2 (a-b). Tok 1T je v fazi z U in predstavlja izmenjavo delovne moči med serijsko in vzporedno vejo. 1q je jalovi tok paralelne veje in je v večjem delu operacijskega območja neodvisen od velikosti napetosti kjer je 6y = o, - 6jglede na sliko 2. 4. Energijska funkcija UPT Energijska funkcija kot integral nihajnih enačb EES z ohranjeno strukturo je konstruirana v [4]. Ta energijska funkcija V je zapisana kot vsota kinetične energije Vk in potencialne energije Vp. V = V + Vp (5) Energijska funkcija (5) je izpeljana za EES brez naprav FACTS. Ker je določena za EES z ohranjeno strukturo, vpliv UPT določimo kot dodatek k energijski funkciji (5). Glede na postopek izpeljave (5) v [4] ta dodatek določimo kot integral vsote injiciranih delovnih in jalovih moči (1) - (4), ki jih preoblikujemo enako kot nihajne enačbe EES v [4]. Pri tem je energijska funkcija odvisna od regulacijske strategije oz. od poteka regulabilnih parametrov v času prehodnega pojava in je za vsako regulacijsko strategijo ni mogoče najti v analitični obliki, temveč ostaja v obliki integrala in je s tem odvisna od poti. Naš pristop k reševanju tega problema je, da smo energijsko funkcijo izpeljali za konstantne regulabilne parametre, ki omogočajo najmanj zapleteno določanje energijske funkcije. Uporabo tako določene energijske funkcije smo razširili na odsekoma konstantne parametre. Tako se v času prehodnega pojava regulabilni parametri lahko večkrat skočno spremenijo. V preteklosti je že bilo ugotovljeno ([3], [5]), da mora UPT za največje izboljšanje tranzientne stabilnosti injicirati največji UT in Iq. S tem je predpostavka, da sta UT in Iq konstantna (t.j. nastavljena na maksimum), povsem upravičena. Upoštevanje konstantnega kota ^ na splošno ni najbolj primerno za izboljšanje tranzientne stabilnosti, vendar pa je ob upoštevanju možnosti uporabe izpeljane energijske funkcije tudi za odsekoma konstantne regulabilne parametre ta način upoštevanja ustrezen. Upoštevanje odsekoma konstantnih parametrov je opisano v poglavju 4.2. Ob upoštevanju, da so UT, Iq in cpI konstantni, lahko konstruiramo energijsko funkcijo UPT. 4.1 Konstruiranje Ljapunove energijske funkcije Za konstrukcijo energijske funkcije UPT sledimo postopku iz [4], ki opisuje konstruiranje energijske funkcije za EES brez naprav FACTS. Injicirane delovne moči (1) in (2) pomnožimo s časovnim odvodom posameznih kotov napetosti & in & in jih seštejemo: p = sin( + a, ) si u v v u / j A TRS (6) Enačbe (3) in (4) delimo z Ui in Uj in množimo s časovnim odvodom U& in U&: i j Ui QsLUf=U&UTcos (p)+U& • i (7) T T i X V T ' i q vi trs (8) Q » UUT , s =--j—L cos ( +aT) U j v tu j Yi. TRS Enačbe (6) - (8) seštejemo: U. X T .[U]. sin (j + a ) + U&. cos ( > > PRVA^^ \_y p ZADNJA > PRVA J kjer je Vp= Vp + Vupfc (13) Oznaka PRVA pomeni prvo vrednost potencialne energije Vp v odseku z, oznaka ZADNJA pa zadnjo vrednost potencialne energije Vp v odseku z vzdolž trajektorije sistema. Vsota, izražena v drugem delu (12), pomeni vsoto posameznih skokov potencialne energije pri spremembi kota ( T. Enačbo (12) lahko posplošimo za upoštevanje skočnega spreminjanja kateregakoli od regulabilnih parametrov UPT. Za kratkek stik blizu zbiralke 2 smo izračunali CCT s pomočjo simulacijske metode korak za korakom ter po direktni metodi s pomočjo novo konstruirane energijske funkcije. Rezultati za različne največje vrednosti UT in Iq in za različne kote ( so predstavljeni v tabeli I. Delovna bremena so modelirana kot konstantne admitance, tako kot v [4], zato je njihov vpliv v direktni metodi določen numerično. Kot je razvidno iz tabele I, so rezultati digitalne simulacijske in direktne metode identični, kar potrjuje pravilnost konstruirane energijske funkcije (11). Koti ( so izbrani tako, da je povečanje tranzientne stabilnosti maksimalno. Pri drugih kotih je povečanje tranzientne stablinosti manjše, lahko pa pride tudi do zmanjšanja tranzientne stabilnosti. TABELA I Kritični časi odstranitve motnje Simulacijska metoda Direktna metoda Ut [pu] CPT [°] Iq [pu] čas [ms] čas [ms] 0 0 0 133 133 0.1 85 0 144 144 0.15 85 0 149 149 0 0 0.1 142 142 0.15 85 0.1 156 156 0.15 85 0.2 162 162 Naslednji numerični primer prikazuje izračun CCT, ko so regulabilni parametri odsekoma konstantni. Izračun smo izvedli na IEEE devetvozliščnem sistemu s tremi generatorji [8], ki ga prikazuje slika 4. 5. Numerični primeri Ugotovljeno energijsko funkcijo UPT (11) smo najprej preverili na longitudinalnem sistemu generator - toga mreža. Za določanje CCT smo uporabili metodo PEBS, opisano v 2. poglavju. Testni sistem predstavlja slika 3. Sestavljen je iz generatorja, priključenega na togo mrežo prek dveh odsekov dveh vzporednih 500 kV daljnovodov. UPT moči 265 MVA je vključen v sredini vodov prek serijskega transformatorja s kratkostično napetostjo uk=3.75 %. Pred in med motnjo sta parametra Ur in Iq nastavljena na vrednost 0. Na zbiralko 2 smo priključili breme. Generator je predstavljen klasično, začetna napetost je bila nastavljena na 1 p.u. in kot 300. Predvideli smo odstranitev motnje, torej je konfiguracija sistema pred motnjo in po njej enaka. Slika 3. Testni sistem generator - toga mreža Figure 3. Single-machine infinite-bus test system Slika 4: IEEE devetvozliščni sistem z enim UPT Figure 4: IEEE nine-bus test system with one UPFC Regulabilni parameter ^ se skočno spreminja tako, da je pretok delovne moči med serijsko in vzporedno vejo UPT čim manjši (t.j. niha okrog vrednosti 0, pri tem je amplituda nihanja lahko poljubno majhna, odvisno od velikosti koraka spreminjanja kota qT). Poleg tega smo vzporedni jalovi tok Iq nastavili na vrednost 0. Tako UPT obratuje kot SSSC. Pri izračunu CCT smo za upoštevanje skokov potencialne energije upoštevali (12) in (13). Rezultati so zbrani v tabeli II. Izračunane CCT smo primerjali z rezultati v [7], kjer je predstavljen SSSC v enakem IEEE devetvozliščnem testnem sistemu. Rezultati so v obeh primerih enaki. Izračun lahko upoštevamo kot dokaz, da v direktnih metodah ugotavljanja tranzientne stabilnosti lahko odsekoma konstantne parametre uporabimo za aproksimacijo zveznih regulacijskih strategij. Tabela II Izračunani CCT po direktni metodi za SSSC v [7] in za UPT, ki obratuje kot SSSC SSSC upt SSSC upt ^t [pu] ^t [ pu] CCT [ms] CCT [ms] brez SSSC brez UPT 245 245 0 0 234 234 0.1 0.1 241 241 0.2 0.2 247 247 0.3 0.3 253 253 Z dodatnimi numeričnimi primeri smo ugotavljali občutljivost metode na širino koraka, v katerem predpostavimo, da so regulacijski parametri konstantni. Izračuni kažejo, da med trajanjem prvega nihaja dovolj le par skočnih sprememb, da je sprememba CCT manjša od 1 ms, kolikor znaša integracijska konstanta numeričnih izračunov. 6. Sklep Za uporabo direktne Ljapunove metode ugotavljanja tranzientne stabilnosti EES smo konstruirali energijsko funkcijo EES, ki upošteva vključitev UPT. Ker je energijska funkcija določena za sistem z ohranjeno strukturo, omogoča upoštevanje več UPT hkrati. Energijska funkcija je določena za konstantne regulabilne parametre UPT in razširjena za uporabo pri odsekoma konstantnih parametrih. Ustreznost energijske funkcije smo preverili s primerjavo rezultatov ugotavljanja kritičnih časov odstranitve motnje po direktni in simulacijski metodi na testnem sistemu generator - toga mreža. Ustreznost upoštevanje odsekoma konstantnih regulabilnih parametrov smo preverili na IEEE devetvozliščnem sistemu s tremi generatorji, pri čemer smo kot injicirane napetosti UPT skočno spreminjali tako, da je obratoval kot SSSC. S primerjavo rezultatov med UPT in SSSC smo potrdili ustreznost upoštevanja odsekoma konstantnih parametrov. Rezultati numeričnih primerov kažejo, da UPT lahko izboljša tranzientno stabilnost EES. Ugotovljeno energijsko funkcijo bi lahko uporabili tudi za regulacijsko strategijo UPT za čim večje izboljšanje tranzientne stabilnosti na podlagi numeričnega iskanja največjega odvoda energijske funkcije EES znotraj posameznega časovnega odseka s konstantnimi regulacijskimi parametri, kar bo smer nadaljnjega dela. 7. Literatura [1] P. Sauer, M. A. Pai, "Power System Dynamics and Stability," Prentice Hall, 1998. [2] T. Athay, R. Podmore, S. Virmani, "A practical method for the direct analysis of transient stability," IEEE Trans. Power Apparatus and Systems, vol PAS-98, pp 573-582, March/April 1979. [3] K. R. Padiyar, V. Immanuel, "Modelling of SVC for stability evaluation using structure preserving energy function," Electric Power & Energy Systems, vol. 16, str. 339-348, 1994. [4] Th. Van Cutsem, M. Ribbens-Pavella, "Structure preserving direct methods for transient stability analysis of power systems," Proceedings of 24th Conference on Decision and Control, str. 70-77, December 1985. [5] L. D. Colvara, E. B. Festraits, S. C. B. Araujo, "Power System Stability Analysis With FACTS Effects," Proceedings of the 2nd IASTED International Conference, Power and Energy Systems, str. 227-232, Junij 2002. [6] R. Mihalic, "Določitev obratovalnih parametrov prečnega transformatorja za izboljšanje obratovalnih razmer in povečanje prenosne zmogljivosti elektroenergetskega sistema," doktorska disertacija, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko in računalništvo, Ljubljana, 1993. [7] U. Gabrijel, "Naprave FACTS v energijskih funkcijah elektroenergetskih sistemov", Doktorska disertacija, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko, Ljubljana, 2003. [8] P. M. Anderson, A. A. Fouad, "Power System Control and Stability", IEEE Press Power Systems Engineering Series, Revised Printing, 1999. Valentin Ažbe je diplomiral leta 1996, magistriral leta 2003 in doktoriral leta 2005 na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani. Leta 2000 se je zaposlil na Fakulteti za elektrotehniko kot mladi raziskovalec. Raziskovalno delo opravlja v Laboratoriju za preskrbo z električno energijo. Od leta 2005 je zaposlen kot asistent na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani. Ukvarja se z analizo elektroenergetskih sistemov in naprav FACTS. Rafael Mihalic je diplomiral leta 1986, magistriral leta 1989 in doktoriral leta 1993 na Fakulteti za elektrotehniko in računalništvo v Ljubljani. Po diplomi je postal asistent na omenjeni fakulteti na Katedri za elektroenergetske sisteme in naprave. Med letoma 1988 in 1991 je bil zaposlen pri SIEMENS AG Erlangen na inštitutu za razdeljevanje električne energije in načrtovanje omrežij. Od leta 2005 je redni profesor na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani. Je član CIGRE, član IEEE, predsednik ŠK B4 SLOKO CIGRE. Področje delovanja vključuje predvsem analizo elektroenergetskih sistemov in naprav FACTS.