Računica

za

meščanske šole.

I. del.

Spisal

France Hauptmann,

profesor na c. kr. učiteljiščih v Gradcu.

Velja vezana 80 vinarjev.

Na Dunaju.

V cesarski kraljevi zalogi šolskih knjig.

190(1.



64141

Šolske knjige, v ces. kr. zalogi šolskih knjig na svetlo dane, se
ne sinejo prodajati draže, nego kaže naslovni list.

Pridržujejo se vse pravice.


Natisnil Karel Gorišek na Dunaju.

1

I. Avstrijsko-ogrske mere.

Naše sedanje mere so bile uvedene z zakonom z dne 23. julija
k 1871. Razvrščene so po desetnem ali metrskem sestavu, ki so ga
rabili najprej na Francoskem.

Osnovna ednica,  obenem ednica dolgostne mere  je
40000000ti del dolžine zemeljskega poldnevnika (meridijana) in se
zove meter  m.

Neposredno izvedene ednice so kvadratni meter  (m 2 ) za
ploskovno in kubični meter  (m 3 ) za telesno mero.

Iz vsake teh ednic se izvajajo s pomočjo množitve ali delitve
po desetnem zakonu nove ednice. Množilne ednice označujemo
s predpostavljeno grško besedo d ek a za 10, h ek to za 100, kilo
za 1000, myria  za 10000; delilne ednice pa s predpostavljeno
latinsko besedo deci za centi za mili  za

Nekatere teh ednic so dobile kot posebne praktične ednice
posebna imena, n. pr. ar (a)  = 100 m 2  kot ednica zemljiške mere in
liter (Z) = 1 dm %  kot ednica otle mere (za tekočine in zrnja).

Utežna ednica, kilogram  (kg)  je teža enega kubičnega
decimetra prekapane vode največje gostote (pri 4° C  v brezzračnem
prostoru).

Na Francoskem velja gram  (g),  to je teža enega kubičnega centimetra
prekapane vode od 4° C za utežno ednico. 1000 gramov = 1 kilogram.

Metrski merski sestav je uveden v vseh evropskih državah razen Anglije.
Na Ruskem in v severnoameriških državah se utegne uvesti v kratkem času.

Hauptmann, Računica za meščanske šole. I. (X. 297. Fol. 2 06.)

1

2

1. Metrske mere.

a)  Za dolžine. — Merska ednica = 1 meter = lm.

Pretvorno število (pretvornik) = 10 ali

b)  Zaploskve.  — Merska ednica = 1 kvadratni meter = lm 2 .

Pretvornik == 100 ali -j-fo.

c)  Za telesnine. Merska ednica = 1 kubični meter = 1 m 3 .

Pretvornik = 1000 ali

d)  Otle mere.
1  hi  =100 1

1 dkl*  =10 1
liter = 1 1
1 dl  = 01 1
lcl  = 001 1
1 ml  = 0'001 1

e)  Uteži.

It (tona) = 1000&9  1 g = 10 dg = 100 cg  =

1 q  (metrski cent) = 100 kg  1000 mg
k i 1 o g r a m = 1 7cg  1 dg  = 01 g
ihg*  =0 -ikg l C g —  001 g

1 dkg  = 0'01 kg  1 mg —  0001 g
Ig  = 0'001 kg

*) V pouku so nepretrgane vrste merskih ednic potrebne. Ednice, ki niso

v Avstriji zakonite, so drobno natisnjene.

3

2. Vrednostna mera.

Ednica vrednostne mere je krona  (K) = ,100 vinarjem (h).
Kronska zlata veljava se je v Avstro-Ogrski uvedla dne 2. avgusta
1. 1892; od dne 1. januarja 1. 1900 je v državi edino veljavna.
Srebrni goldinar (gld po 2 K), ki je še v prometu, je izza prejšnje
avstrijske srebrne veljave.

Po kronski veljavi se kujejo:

a)  zlatniki po 20 K (zlati dvajsetaki); 164 iz 1% čistega zlata.

„ „ 10 K (zlati desetaki); 328 iz 1 kg „ „

b)  drobiž: Srebrn po 5K (srebrni petaki) in po 1K; niklast

po 20h (dvajsetice) in po 10h (desetice); bronast po 2 h in lh.

V zasebnem prometu ni po zakonu nihče obvezan, srebrnega
denarja sprejemati več nego za 50 K, niklastega ne več nego za 10 K
in bronastega ne več nego za 1 K.

1K = igld, 20 h = 10 krajcarjev, 10 h = 5 kr, 2 h = 1 kr,
1 h — 2  kr.

Papirnati denar.  Bankovci po 10K, 20K, 50K, 100K, 1000K.

3. Časovna mera.

1 leto je čas, v katerem dovrši zemlja enkrat svojo pot okrog solnca.

Navadno leto ima 365 dni, prestopno pa 366 dni.

1 dan je čas, v katerem se zavrti zemlja enkrat okoli svoje osi.

1 teden = 7 d * **)  (dni) 1*** (ura) = 60™ (minut)

1 d  (dan) = 24 71  (ur) 1“ (minuta) — 60' (sekund).

*) d od dies (latinski) = dan.

**) U od hora (latinski) = ura.

1 *

4

4. Kotna mera.

Krogov obseg se deli na 360 ednakih lokov, ki jih imenujemo
ločne stopinje,  kot v središču kroga na 360 ednakih delov, ki
jih imenujemo kotne stopinje.

Vsaki ločni stopinji pripada ena kotna stopinja, zato se oboje
izkratka imenujejo stopinje.

1°  (stopinja) = 60' (minut), 1' (minuta) = 60" (sekund).

5. Števne mere.

1 dvanajsterica (tucat) = 12 komadov.

1 razstavka = 10 snopov.

1 kopa = 6 razstavk = 60 snopov.

1 bala papirja = 10 risov, 1 ris = 10 knjig,

1 knjiga = 10 lež, 1 leža = 10 pol.

6. Nekatere starejše mere.

1 dunajski črevelj = 0'31608m.

1 dun. seženj po 6 črevljev = l'89648m.

1 dun. laket = 0'77756 m.

1 avstrijska milja = 4000 sežnjev — 7585'936m.

1 avstr, oral = 1600 kvadratnih sežnjev = 57'5464 a.

1 vagan = 6F4864 Z, 1 vedro = 56‘589 Z.

1 dun. cent po 100 funtov = 56'006 kg.

7. Tuje veljave.

V Nemčiji: 1 marka (M) = 100 penezov (pfg), 1M= 1K 18h;
1K = 85 pfg.

Na Francoskem: 1 frank (fr) = 100 centimov (cts), 1 fr = 95 h;

1 K = 1 fr 5 cts.

II. Utrditev številnega sestava.

1. Dekadni številni sestav.

Števila pojmiti se učimo s pomočjo štetja.  Štejemo pa, kadar
opetovano stavimo ednico, n. pr. če po vrsti delamo korake. Ako si
zapomnimo, kolikokrat smo postavili ednico, si pridobimo pred¬
stavo števila.

a b

M

F=

3 E

2 D

Števila izrazujemo jezikovno s števniki,  pismeno s številnimi
znaki, številkami.

Števil je neizmerno mnogo. Da pa za izražanje števil ni treba
neizmerno mnogo števnikov in številk, si je uredil človeški um
številno vrsto s pomočjo osnovnega števila.
Vobče se rabi osnovno število 10, grški d ek a;
številna vrsta, po tej osnovnici osnovana, se
imenuje desetni ali dekadni številni
sestav.

Imaš li na črti a (slika 1) določiti število
milimetrov, preštej vso vrsto. To je tem težav-
neje, čim daljša je črta. Da si olajšaš delo, si
pregledno razdeli vrsto, tako da narediš pri
vsakem desetem milimetru zarezo, pri vsaki deseti
desetici močnejšo zarezo i. t. d, Na sliki 1 b je
predočeno število 1 St. + 2 D + 3 E.

Enake vaje na metrski palici, razdeljeni
na dm, cm, mm.

Na krajši način se pismeno označi število,
ako se izpuste znaki dekadnih ednic (.. T, St, D, E)
in seštevalni znaki, a se postavijo številke
^ 1 St v  P rvotn i vrsti druga poleg druge = 123.

V zapisanem številu pomeni prva šte¬
vilka na desni straniednice, druga na
levi od nje desetice, tretja stotice
i. t. d.

Ako korakaš v taki vrsti od leve na desno,
vidiš, da je

M StT DT T St D E d st t dt stt m

...44 4 4444‘4444 44...

/

Slika 1.

vsak člen, do katerega prideš, desetina njegovega
prednika (Vrsta celih števil (celot).

Ako razširiš to vrsto po istem zakonu
preko ednic (na desno), tako da postaviš 10- del
ednice na desno od nje kot desetino (d), 10. del desetine zopet na
desno kot stotino (st), od tele zopet 10. del kot tisočino (t) i. t. d.,
dobiš vrsto desetinskih ali decimalnih števil.  Obe vrsti

6


se pismeno ločita s piko, ki se postavi med mesti ednic in desetin
nekoliko nad vrsto (decimalna pika). " 1,11,1,1 ,<llW » | ™ l,rr

V desetnem sestavu se izgovarjajo vsa števila s pomočjo števnikov, eden,
dva, . . . devet, deset, sto, tisoč, milijon, bilijon . . . pišejo pa se s šte¬
vilnimi znaki (številkami! 1, 2, ... 9 in 0 (nič, ničla).

Število 55'5 je pisano s tremi enakimi številkami, toda vsaka
ima po svojem stališču drug pomen. Vsaka izmed njih znači pet
enot, a te enote so različne; prva petka na desni pomeni desetine,
poslednja na levi desetice. Torej je v pisani številki dvojna vrednost,
nepremenljiva ali številčna  in premenljiva ali mestna.

Vaj  e: 1. Na katerem mestu stoje D, T, M . . ., st, d, dt, m . . .?

2. Preberi števila: a)  726, 2904, 6578, 40560, 109‘604,

b)  700800090, 0’005, 0'008036, 0'0509006.

3. Zapiši števila: 15 celot 4 desetine; 60 celot 4 stotine;
5 tisočin 8 desetic; 3 milijonice 8 stotič in 4 ednice; 0 celih
15 tisočin; 3 celote 108 stotisočin; 0 celih 5009 milijonin.

2. Pretločevanje števil.

Metrske mere so osnovane na desttnem številnem sestavu; zato pa so
tudi metrske mere jako prikladne za predočevanje števil. Števila si predočujemo
1. na metrskih moral) in utežih, 2. na kronskem denarju, 3. na kovinskih
ali papirnatih ploščah razne velikosti in barve, predstavljajočih razne vrste
denarja, 4. na kvadratih, kockah in drugih tvorih, ki se dado po desetnem
sestavu razkosati in zopet sestaviti.

V dolgostni meri.  Ce vzameš meter kot ednico (E), tedaj
ti predočuje dekameter 1 desetico (D), hektometer 1 stotico (St),
decimeter 1 desetino (d), centimeter 1 stotino (st) i. t. d., slično
vsaka druga dolgostna ednica, n. pr. milimeter, miriameter, . . . .
To kažejo pregledno tele vrste:

1 {im  1 Jan  1 hm  1 dkm  1 m  1 dm  1 cm  1 mm

1 DT IT ISt ID 1E ld 1 st lt

1 DM IM 1 StT 1 DT IT 1 St ID 1E

1 E 1 d 1 st 1 t 1 dt 1 stt 1 m 1 dm i. t. d.

Metrske dolgostne mere nam torej ali na tanko predočujejo
ali pa vsaj pojasnjujejo cela števila od ednice do 10 milijonic in
desetinska števila od 1 do 10 milijonin. N. pr. 4 m 1 dm  2 cm
predočujejo število 4St 7D 2E = 472, ako se meri z ednico lem;
ako pa je ednica = 1 m, dobiš 4 E 7 d 2 st = 472.


7

V aj a. 1. Katero številno vrsto predočujejo kronski denarji po
10K, po 1K do lh, uteži po Ikg — lmg,  otle mere po 1 lil —lml'1

2. Kako se izpremene prejšnje vrste, ako je 1 km,  1 dkm,  1 cm
ednica ?

3.  Predoči števila: a)  548 za E = 1 cm in za E = 1 m,

b)  7306 za E = 1 m, 1 mm; c)  8010 za E = 1 km,  1 dm ;
d)  45'21 za E = 1 dm,  1 dkm e)  0'74056 za E = 1 km.

3. Vaje v pretvarjanju . l )

A.  Pretvarjanje višjih ednic na nižje ednice.

*1. Pretvori:

a)  1 m, 2 m, ... 10 m,  . . . 100 m ... v dm,  v cm, v mm.

b)  1 dkm,  1 hm,  1 km,  1 u.m  i

. na nižje ednice.

c)  15 m, 250 m, 6 /cm, 40 km,  4 \un  )

*2. Koliko l, dl, d  je 1, 2, . . . 10, 20, . . . 100, 500 hi  ?

*3. Pretvori 8, 80, 15, 150, 205, 648 . . . kron, desetakov,

dvajsetakov na desetice, na vinarje.

*4. Pretvori 1, 2, ... 10 g, 1, 6, 60 ... ton na kg, dkg, g.

*5. Koliko pol papirja je a)  v 3, 18, 45 ležah; b)  v 4, 12,

66 knjigah; c)  v 9, 16, 44 risih; d)  2, 5, 9 balah?

B.  Pretvarjanje nižjih ednic na višje.

*1. Koliko cm, dm, m  je 1, 2, . . . 10, 40, 400, 342, 4782 mm?

*2. Izrazi 5000, 600, 540, 54, 50, 5 ... m v dkm, hm, km.

*3. Koliko metrov je 1500, 72400, 34764 dm,  cm?

*4. Pretvori na K 800, 760, 145, 63, 90 795 h.

*5. Pretvori na kg  5000 g,  480 g,  270 dkg,  75 g,  2940 dg.

i) Te vaje se lahko združijo z dotičnimi operacijami ali pa se naj ondi
vsaj ponavljajo.

*) Z zvezdico zaznamovane vaje naj se v prvi vrsti rešujejo na pamet.

8

C.  Pretvarjanje večimeuskih količin*) na enoimenske,
to je na skupno mero.

*1. Pretvori 1. na nižje, 2. na višje  ime:

a)  8 m  60 cm; b) lm h dm 4: cm; c)  2 km 4: hm  6 dkm  8 m.

2 .  Železniška proga meri 1 u.m  3 km  5 m; premeri jo s skupno
mero m,  potem km,  nato tim  in določi mestno vrednost vsake številke.

3. Štirioglat steber (prizma) meri na dolgo 2 m h dm 8 cm
4 mm,  na široko lm  6 cm,  na debelo 8 dm 2 cm  5 mm;  premeri ga
zaporedoma z vsako teli ednic kot skupno mero (mestna vrednost?)

Na takih, nalogah se da pojasniti, kako se celo ali desetinsko število
z 10 množi, oziroma z 10 deli.

*4. Pretvori a) 5 K 80 h, 41 K 9 h, 4018 K 57 b, na K.

b)  3 hi  20 l,  25 hi  8 l  na l, hi; c) 2 ha  80 a, 60 ha  75 a na a, ha.

Množitev, oziroma delitev s 100.

*5. Istotako: 6 kg  2 g,  9 kg  25 g,  17 kg  50 g,  340 kg  536 g  na g, kg.

Množitev, oziroma delitev s 1000.

D.  Pretvarjanje enoimenskih količin na večimenske.

*1. Pretvori tele enoimenske količine na večimenske:

a)  64 dm,  412 cm,  1508 mm,  8'62 m,  45’456 dkm  ;

b)  42 dl,  172 cl,  305 l,  76‘24 l,  0‘93046 M ;

c)  16 g,  390 dkg,  1562 dg,  2'448 kg,  0'325649 kg.

2 .  Pretvori tele količine na druge enoimenske:

a)  l’28m, 360‘8 dm,  6219'4cm, 4'5702 km,  0'6508jm;

b)  306 l,  58‘04 hi,  275 dkg,  0‘9146 q, 1212 a.

*3. a)  Koliko vinarjev je 18 K, 320 K, 52'85 K, 56 desetakov?

b)  Koliko desetic je 46 K, 650 K, 8'6 K, 21 dvajsetakov?

Količina  je vse, kar se da meriti s primerno mero. Števila se dado
meriti s številnimi ednicami, so torej tudi količine. V računstvu je vsaka količina
(n. pr. 6 K) določena 1. po kakovosti merske ednice (1 K), 2. po številu ednic
(mersko število, 6). — Ako je merska ednica imenovana, je količina izražena
imenskim številom; neimenska števila  dobiš, kedar meriš z brezimensko
ednico 1.

Enoimenska, ali večimenska števila  se dobe po tem, kakor se
količina meri ali le z eno ali z več različnimi merskimi ednicami.

Pretvarjati večimenska števila  v enoimenska je isto, kakor
z raznimi merami merjeno količino meriti z eno, skupno mero.

9

*4. Koliko vinarjev je + A, |, ■&, f|, MK?

*5. Koliko l (dkg)  je 4, f, f, M, M hi (kg)?

*6. Preračuni na nižje celote: MK, B-^j-K, zshl, i%kg,  2M w -

E.  Pretvorno število ni desetna e d ni ca,

*1. Koliko dni je a)  8, 12, 40 tednov; b)  4, 9, 16 mesecev;
c)  2, 3, 10 let?

*2. a J Koliko ur je 2, 6, 20 dni; b)  koliko minut je 3, 8, 30 ur?
*3. Koliko ur je 120, 360, 540, 720, 2880 minut?

*4. Pretvori na večimenske količine: a)  96 dni, b)  54 ur,
c)  175 minut, 5948 sekund.

*5. Preračuni: 3, 60, 400, 920 dni na ure (minute, sekunde).
*G. Koliko dni (ur, minut) je 5, 27, 680 let?

*7. Koliko minut je 4, 4, f; i, f; i, • • • I; h  • ■

B .

T? 5


■ ■ ii'i  tV, • • • it; • . • Mi ■sVi • • • M ure ’

*8. Koliko sekund je: 4, f, f, f, -+• M, M minute?

*9. Koliko komadov je a)  6 tucatov, b)  8 tucatov 6 komadov?
10. Koliko komadov je: 4, 4, + f, f, 4, f, 44, 54 tucatov?

4. Rimski številni znaki.

Rimljani so računili v desetnem sestavu, a pisali so samo
s sedmimi znaki: Iza'l, V za 5, KzalO, L za 50, C za 100, D za 500
im M za 1000.

Iz teh znakov so sestavljali vsa druga števila, in sicer tako,

1. da so pisali isti znak dvakrat, kvečjemu trikrat zaporedoma, n. pr.
II = 2, XXX = 30, CC = 200 (znakov V, L, D niso ponavljali);

2. da so stavili nižji znak od višjega na desno: VI = 5 + 1 = 6,
XIII = 10+3=13, LII=52, CCX=210, DCLXVI=666, MDCCCLIII;

3.  da so stavili nižji znak na levo od višjega, I le pred
V in X; X le pred L in C, C le pred D in M; IV = 5 — 1 = 4,
IX = 10 - 1 = 9, XL = 50 - 10 = 40, CD = 400, CM = 900.

Torej je XVI = 16, XXVIII = 28, XXXIX = 39, XLIX = 49,
CXCIX = 199, CDLXIV = 464, MCMIV = 1904.

Vaje:  1. Beri: VII, XVI, XXIII, XXIX, XLIV, LXXIX, CCCXV,
DXXXIV, CMIII, MXLVIII, MDCCCXCIX.

2.  Zapiši z rimskimi znaki: a)  desetice do 100, h)  stotice
do 1000, c)  števila od 1 — 100; od 1880 — 1905.


10

III. Računanje z Tečimensldmi in enoimenskimi
Števili (Ponovilo).

1. Seštevanje.

Na pamet: *1. a)  Štej od 5, 8, 10, 16 . . . naprej za 3, 6,
15, 32 . . .

b)  od 118, 204, 528 . . . naprej za 20, 30, . . . 12, 25, 44 . .

*2.  Koliko je: a)  320 in 140, 450 in 210, 560 in 330 =?

b)  112 + 170, 238 + 120, 445 + 90, 627 + 340 = ?

c)  254 + 86, 206 + 198, 525 + 265, 694 + 408 =? i. t. d.

Pismeno : Način pismenemu računanju se najjasneje izvaja iz računanja
z večimenskimi količinami metrske mere, ki se naj vežba pri vseh operacijah
toliko, kolikor je še potrebno za jasno razumevanje mestnih vrednosti.

3. Ulico, ki je bila 6 m 5 dm  4 cm široka, so razširili za 3 m
2 dm  5 cm ; koliko je široka sedaj ?

Odgovor: (6 m 5 dm  4 cm)  + (3 m 2 dm  5 cm) - ?

a)  Izračunanje
večimenski:

6 m 5 dm  4 cm
3 m 2 dm  5 cm

+

b)  enoimenski
v centimetrih:

600 cm 50 cm 4 cm
300 cm 20 cm 5 cm

StET

6 5 4 cm
3 2 5 cm

c)  enoimenski
v metrih:

6 m ttt  m tto*
3m rom, ,[j»
0

E d st
6'54 m
3 ‘2 5 m

4.  Izmed dveh hiš meri prva v dolžini 2 dkm  3 m 8 dm,  druga
1 dkm  4m 6 dm ; kolika je dolžina obeh hiš skupaj?

DE d

a)  Večimenski: 2 dkm  3 m 8 dm b )  enoimenski j 2 3‘8m

1 dkm  4 m  6 dm  v metrih: l 14'6 m

= 3 dkm  7 m 14 dm  1 3 8'4 m

1 m

= 3 dkm  8 m

4 dm
4 dm


11

Ako začneš seštevati pri količini najvišjega reda, dobiš vsoto 1, iz nje
razstavivši 14 dni  vsoto 2. Delo je krajše, ako začneš vselej seštevati
pri količini najnižjega reda  (gl. b).

Izprva seštevaj vedno s polnim poimenovanjem raznih ednic.

5. Seštevaj večimenski in enoimenski:

a)  4 K 2 Des. 3 h b)  24 dkg  8 g c) 421 8 dl bel
8 K 5 Des. 6 h 16 dkg  7 g  15 l  3 dl  7 cl

6 .  Seštevaj s poimenovanjem ednic:

a)  Pet tisoč sedem sto šestnajst in devet sto štirinosemdeset;

b)  Štirinsedemdeset tisoč dvaindevetdeset in osem tisoč šest

sto pet;

c)  16 cel. 364 desettisočin in O cel. 907 tisočin in 12 cel.
84 desettisočin.

d)  1 M 85 T 611 E e)  3 StM 208 T 567 E
4 M 633 T 29 E 78 M 23 St 40 E

7 .  Istotako: a)  40 803
6 978
15094

d)  13578 i e)
72'54
518'06

b)  825 354
790082
5082 574

c)  1826 698 325
83974566
312128 702

0'5164

0'905

07208

f)  5418'015
49'34
1650’0905

Števila  (količine) seštevati se pravi, iskati  š t ev i 1 o (koli¬
čino), ki ima toliko enot, ko likor dana števila  (dane količine)
skupaj. Kaj so seštevanci  (sumandi ali adendi), kaj je vsota?

8 .

Seštej vsako tehle skupin:

a)  5'6 l

b)  1458

mm

162’48 l
0-5296 Jd
28'300 el

632 cm
37'502 m
0"78004 km

9 . Iz Ogrske se je izvozilo centov

c)  406 g
978 mg
45"06 dkg
12079 kg

12

10. Seštej: a)  9 S  38” 50 3  b)  1818 let 9 mesecev 24 dni

21 A  45™ 6* 88 let 4 mesece 10 dni.

11. 136 d  15* + 205 d  20* + 26 d  11* = ?

Izračuni vsoto na leta, mesece, dni in ure.

12. A šteje sedaj 57 let 10 mesecev 3 dni, njega oče je' za
29 let 3 mesece 14 dni starejši; koliko je star oče?

IB. a)  Kotje v trikotniku imajo: <7 A = 54° 30', B = 94° 45',
C = 30° 45'; kolika je njih vsota?

b)  V drugem trikotniku je ^ A = 104° 13' 51", •<£ B = 28°
35' 14", <£ C = 47° 10' 55". Izračuni njih vsoto.

c)  V tretjem so namerili za A = 60° 17' 59", < B = 75°
39' 48", C = 44° 1' 50"; za koliko se je merilo napačno?

*14. a)  2 tretjini + 5 tretjin + 8 tretjin + 1 tretjina =?

&n + ! + •§ + ¥=? cj |: + | + | + + ¥ = ?

^t + i + 4 + f = ? e)  1 ^ + 3 + 6 iV — ?

f)  + M + 4 2 0 tt  + l^tr + 8-gV =?

15. Izračuni vsoto treh števil, prvo je 2756, drugo je za 923,
tretje za 1078 večje od prvega.

16. V skupno trgovino da A 3520 K 50 h, B 1214 K 60 h več
nego A in C 1842 K 80h več nego B; koliko denarja so zložili vsi trije?

17. Voznik naloži 2 q  25 kg  moke, 51 kg  80 dkg  soli, 40 kg
70 dkg  zabele, 13 kg  60 dkg  kave, 35 kg  50 dkg  sladkorja, 18 kg
50 dkg  sveč in 45 dkg  8 g  razne začimbe; koliko težo ima na vozu,
ako tehtajo ovitki skupaj 11% 63 dkg  6 gl

2.  Odštevanje.

Na pamet: *1. a)  Štej od 100, 200, 560, . . . 1000 . . .
nazaj za 10, 20, 30 . . .

b)  Od 200, 340, 820 . . . nazaj za 4, 5, 9, 15 . . .

c)  Od 468, 736, 921 . . . nazaj za 10, 20, 30, 50 . . .

d)  Od 298, 527, 955 . . . nazaj za 6, 8. 12, 18, 25 . . .

*3. a)  Za koliko je število 58, 72, 114 ... večje od števila 30, 48?

b)  Za koliko je število 80, 130 . . . manjše od števila 240, 315?

*B. Dopolnilne vaje: 15 in koliko = 24, 36 + • = 60,
109 + • = 154, 318 + • = 400, 870 + • = 1000, 2430 + ■ = 3565 . ..


13

Pismeno: 4 . V desni skledici tehtnice leži 8 dkg  6 g,  v levi
5 dkg  4 g\  koliko utež je dodati v levi skledici, da nastane ravnotežje?

To se pravi: 5 dkg 4:g  in koliko  je 8 dkg  6 <7?

Poišči torej utež, ki jo dodaš k 5 dkg  4 g , da dobiš 8 dkg  6 g.

Izračuni najprej na pamet. — Pri pismenem računanju piši dane količine,
manjšo pod večjo, tako da stoje količine istega imena druga pod drugo.

8 dkg  6 g  Govori: 4 g  + ■ = 6^; odgovor zapiši pod g.

o dkg  4 g  5 dkg  + ■ = 8dkg-, „ „ „ dkg.

? ”

Količina 8 dkg  6 g  je tukaj smatrati za vsoto dveli istovrstnih količin,
izmed katerih je ena (5 dkg  4 g ) že znana a druga (3 dkg  2 g)  naj se poišče.

Iz vsote dveh števil (količin) in iz enega sumanda
poiskati drugega, se pravi odštevati.  Znana vsota se imenuje
zmanjševanecali minuend,  znani sumand se zove odštevanec
ali subtrahend;  sumandu, ki ga iščeš, pa se pravi ostanek,
razlika ali diferenca.

Pri katerem redu, ali najvišjem ali najnižjem, zgoraj lahko začneš odštevati?

5. Od dm 2 dm  sukna se za obleko odrežejo 3 m 5 drn;  koliko
sukna še ostane?

Ako začneš odštevati, bodisi na pamet ali pismeno, pri količini najvišjega
se vrši račun takole:

2 dm

reda
9 m
3 m

5 dm

6 m 0 dm

— 3 dm
5 to 10 dm

— 3 dm
5 to 7 dm

9 to — 3 m —  6 to.

2 dm  — 5 dm  = ? Razstavi 5 dm —  2 dm  + 3 dm.
2 dm —  2 dm  — 3 dm  == ? 2 dm  — 2 dm =  0.
Torej imaš od 6 m še odšteti 3 dm.

Zato zopet razstavi: 6 to = 5 to + 10 dm.

5 to 10 dm  — 3 dm —  5 m 7 dm.

Da se ogneš zamudnemu razstavljanju, kadar je v minuendu število
manjše nego v subtrahendu, začni tudi tukaj odštevati pri količini najnižjega
reda, daj pa nalogi, ne da bi jo bistveno izpremenil, tako obliko, da bo na
vsakem mestu minuenda večje število nego na pripadajočem mestu subtrahenda.

Pri odštevanju s pomočjo doštevanja  rabimo v tem
primeru zakon o stanovitosti diference.

N. pr.: 1. Minuend 16 + B = 21, 21 + 10 = 31

subtrahend 12

diferenca 4

+ B

Ji

4

17 + 10 = 27

t. d.


14

Ali 2.

a

a

C

B

Slika 2.

kos a, ali prikrajšaš za isti kos b. Iz 1. in 2. izhaja:

Razlika med dal¬
jicama AB in CD
(=2cm, slika 2.)
se ne izpremeni,
ako obe daljici
podaljšaš za isti

Diferenca se ne izpremeni, če prišteješ minuendu
in subtrahendu isto število (količino) ali če odšteješ
od obeh  isto število (količino),

S pomočjo tega zakona rešiš 5. nalogo takole:

Uporaba.

10  dm

9 m 2 dm  j

3 m B drn \
1  m

Doštej v minuendu decimetrom 10 dm  in v subtrahendu
metrom istotoliko, rekoč : 5 dm  in 7 dm  — 12 dm,
1 TO in 3 to  so 4 to  in 5 to  i. t. d.

Preizkušnja. Seštej razliko in subtrahend; kaj moraš dobiti?
In kaj, ako odšteješ razliko od minuenda?

6. Odštevaj v tehle nalogah večiinenski in enoimenski (Prim.
str. 10, 3* a, b , c.)

a)  8 to B dm  6 cm i b)  9 St 7 D 6 E

4 m 3 dm B cm 1  — 4 St B D 3 E —

c)  39 Z 4 dl  7 d d)  2B E 9 d 8 st

13 Z 9 dl  4 d  j — 16 E 8 d 9 st —

e)  125 K 81 h f)  67 kg  78 dkg g)  154 ha  26 a
69 K 49 h — 45 kg  59 dkg  — 36 ha  88 a  —

h)  6 T OSt 4D 8E f) 9 St 2 D 1 E 5 d 6 st 3 t
3 T 6 St 0 D 5 E - 8D6E5d7st2t —

7. Odštevaj s poimenovanjem ednic:

8. a)  (4508 + 3055) - 6822 = ? b)  9010 - (2998 + 952) = ?
c)  (42718 + 26092) - (31095 + 15966) = ?

9 .  Od glavnice 50816 K se vzame 12704 K, od ostanka zopet
toliko i. t. d. kolikokrat je to mogoče?

15


10. Trgovec kupi blaga za 7044 K 60 h, pa ga proda za
7569K 75h; koliko je dobička?

11. Oče zapusti mlajšemu sinu 8520 K, starejšemu za 1560 K
manj; a)  koliko dobi starejši; h)  koliko oba skupaj?

12. Štirje zaboji blaga tehtajo skupaj 1240 %, zaboji sami 24%,
30 % 50 dkg,  32 % 50 dkg  in 35 kg ; koliko tehta čisto blago ?

13. Oče šteje sedaj 45 let 7 mesecev 26 dni, mati 39 let 8 mes.
16 dni; za koliko je oče starejši od matere?

14. Slavni matematik in podpolkovnik baron Juri Vega se je
rodil dne 23. sušca 1. 1754; koliko je bil star dne 26. kimavca
1. 1802., ko so ga blizu Dunaja mrtvega potegnili iz Donave?

15. Cesar Franc Jožef I. se je rodil dne 18. avgusta 1. 1830.,
vlado je prevzel dne 2. decembra 1. 1848.; a)  kolike starosti je
bil takrat, b)  kolike starosti je sedaj?

'16. Odštevaj na pamet: a)  f — §, -jjj  — Jrr, tos  — ttjV;

b)  8i — 3, 4 — 2i, 1 %  — f, 2f — f, 15yk — 8-& = ?

*17. Odštevaj zaporedoma i  od 8, -g  od 6, |- od 12 i. t. d.

IS. 6 — -grh 40 j s  — 26 -fg, 405 — 290 f-j- — ?

19. Tovorni voz odpelje blaga za 518-^; grede priloži na prvi
postaji 54 f g,  na drugi odloži 1251 g, na tretji priloži 140 g,  na
strti odloži 98 f q ; koliko težo ima še na vozu ?

20. Ako tehta živo govedo 514f%, zaklano in iztrebljeno
265 1- kg, a)  kolik je odpadek? b)  Ako tehta koža 56% 24 dkg,
koliko tehta drob in kri?

21. Predor za železnico skozi Karavanke meri od severne strani
4 km 8 hm d dkm  2 m 1 dm,  od južne 3 km  8 dkm,  2 dm\ a)  za koliko
je severna stran daljša od južne? b)  Kolika je dolžina vsega predora?

" 3. Množitev.

Na pamet. *1. a)  Ponovi 1-, 2-, . . . 10 kratnike števil od
1 do 10 (množilka)

b)  Povej mnogokratnike števil 1, 2, 3, . . . 10.

c)  Pomnoži števila 20, 30, . . . 100, 200, . . . 1000 z 1, 2,
3, . . . 10.

d)  Koliko je 20-, 30-, . . . 100- . . . krat 1, 2, ... 10?

e)  Pomnoži števila 1, 2, . . . 100 s števili 11, 12, . . . 20.

16

*2. Koliko komadov je 2, 3, . . . 10, 11, 20, 50 . . . dvanajsteric?
*3. Koliko dni je 2, 3, 4 ... 10, 11 . . . 20, 30 . . . tednov?

* 4 . Koliko dni je 2, 3, 4 . . . 10, 12, 15, . . . 20 . . . mesecev?

* 5 . Koliko mesecev je 2, 3, 4 ... 10, 12, ... 20 .. . let?
*6. Koliko je a)  2 krat 1K 20h, 2K 20h, 3K 40h, 4K 80 li...?

b)  3 krat 1 K 30 h, 2 K 60 h, . . . 3 kg  20 dkcj,  4 m ±dm  . . . ?

c) 4-, 5-, 10-, 15 krat 20 h, 25 h, 50 h, 75 h, 80 h . . .?

Pismeno. Prehod od seštevanja do množenja.

7. a)  Za eno suknjo je treba 2m 1 dm dem  snovi; koliko
za 3 enake suknje? — Kako se sklepa?

Za 1. suknjo 2 m 1 dm  3 cm  snovi

„2. „ 2 m  1 dm, dem „  Krajše: (2m 1(7to3cto)X3 = ?

„3. „ 2 m 1 dm d cm  . „

Za vse 3 suknje . ?

Enoimenski v

213

213

213

?

+

centimetrih:

213 cm  X 3 = ?

Beri; 3 krat 213 cm  ali 213 cm  množenih s 3.
Kako se računi ? Kje se lahko začne množitev ?

b) V  družbi peterih oseb pobirajo za siromaka, vsaka oseba
da 7 desetic 5 vinarjev; koliko se je nabralo?

Vsi skupaj dado 5 krat (7 ds 5 h) ali (7 ds 5 h) X 5 = ?

5 krat 7 ds je ... 35 ds = 3 K 5 ds

5krat 5h „ ... 25h = _ 2 ds 5h j +

Pismeno množiš hitreje, ako začneš, prav kakor pri seštevanju in od¬
števanju, množiti pri količini najnižjega reda. Torej:

/_ , r n? v k  o 5 krat 5 h = 25 h = 2 ds 5 h.

-^'-1-1 5 h pod h, 2 ds dalje — 5 krat 7 ds = 35 ds

= 3 K 7 ds 5 h in 2 ds = 37 da = 3 K 7 ds.

Še krajše enoimenski:

75 h X 5 — ? ali 075 K X 5 = ?

Množiti se pravi, prvo število (količino) sešteti
tolikokrat, koli k orkratkaže drugo število.  Število (količina),
ki se mora večkrat sešteti, se imenuje množenec ali multiplikand;
številu, ki kaže, kolikokrat je treba sešteti multiplikand, se pravi

17

množitelj ali multiplikator, znesek množitve pa se zove
zmnožek ali produkt. Produkt pomeni vsoto iz enakih sumandov.
Produkt je ali nakazan (75 h X 5) ali izračunan  (375 h).
V izračunanem produktu ne poznaš ne multiplikanda ne multiplikatorja.
kri množitvi imenovanih števil (količin) sta produkt in multiplikand
istoimenska,  multiplikator je vselej brezimenski.

Če sklepaš in če računiš na pamet, izgovarjaš multiplikator, ki ima
vedno pri sebi besedico „krat“, pred multiplikandom ; če pa računiš pismeno,
ga postaviš na desno od multiplikanda, vmes pa množilni znak (poševni
križ X ali piko).

A.  Množenje z enoštevilčnim številom.

*8. a)  314X2, b)  231X3, c)  1302X2, d)  11042X2=?

* 9 . a)  436X8, b)  729X6, c)  2733X3, d)  17504X5=?

*10. a)  4'2X2, b)  5'6X3, c) 4’8X6, d)  7‘5X9=?

11. a) 8064X4, b)  90442 X 5, c)  208360X8, cZ) 348002X6=?

12 .  a)  16'05X2, b)  532'48X3, c)  405'905X9, <Z)0‘049 28X7 =?

Uri se v poimenovanju ednic, n. pr. 2518 X 6 = ?

9 fi’1 « v f_b Računi: 6 krat 8 st = 48 st = 4 d 8 st; 8 st pod stotine,

- 4 d dalje; — G krat 1 d = 6 d in 4d = 10 d = 1 E

13 7-08 Odi.  t. d.

Za preizkušnjo seštej multiplikand tolikokrat, kolikorkrat kaže multiplikator!

* 13 . Ako zasluži delavec na dan 2K 50h, koliko v 2, 4, 5 dneh;
v 1, 2, 3 . . . tednih (po 6 delavnih dni)?

*14. Ako velja 1 kg  moke 36 h, koliko plačaš za 2, 3, 6, 8 %?
*15. Ig sladkorja velja 96K,  koliko 4, 5, 9 centov?

*16. Obrtnik si prihrani na mesec 25'4 K, koliko v2,3,4mesecih?
*17. 1 Z čistega vinskega cveta tehta 79 dkg  3 g ; za koliko tehta
8 Z vode več nego 8 Z alkohola ?

18 . Ako gre na eno stran tiskane knjige 2 096 črk, koliko
črk je na 5, 8, 9, 10 . . . straneh?

B.  Množenje  Z 10, 100, 1000 ... (z dekadnimi edmcami).

19. a)  Za srajco potrebuješ 3 m  8 dm  5 cm  platna; koliko za
10  enakih srajc?

b)  Srebrni goldinar tehta 1 dkg  2 g  3 cg h mg;  koliko tehta 100
srebrnih goldin arj ev ?

Hauptmann, Raounica za meščanske sole. I. (X. 297. Fol. 2/06.)

2

18

c)  1 m žameta velja 7 K 8 ds 4 h ; koliko 10, 100, 1001 ) . . .
metrov?

a)  Za 10 srajc potrebuješ 10 krat 8 m 8 dm  5 cm  platna.

Večimenski: (3 m 8 dm  5 cm)  X 10 = ?

= 3 dkm  8 m 5 d m  0 cm

Računi: 10 krat 5 cm —  50 cm  = 5 dm  0 cto;  0 cm pod cm, 5 dm,
dalje . . . Krajše enoimenski v centimetrih:

385 cm X 10 = ? lOkrat 5 E = 50 E = 5 D 0 E pod E,

—  3850 cto  5 1) dalje; lOkrat 8 D — 80 D = ... .

ali enoimenski v metrih:

3 85 m X 10 = ? lOkrat 5 st — 50 st = 5 d, pod desetine.

38 5 to  lOkrat 8 d = 80 d = 8 E, pod E . . .

Vsaka multiplikandova številka se je pomeknila za eno
mesto više fna levo).

20.  Množi s poimenovanjem mestne vrednosti: *)

*a)  56, 408, 5062 r  2 - 5, 40'6, 5‘072 ... z 10;

*b)  312, 312, 8832, 88‘32, 670 208 ... s 100;

* c)  78, 7'8, 0'78, 0‘0845, 0D05496 ... s 1000;
d)  12‘345 678 X 10000, 0‘8069463 X 1000000 = ?
Kako se množi  z 10, 100, 1000 . . . ?

21 .  Množi po redu a)  na pamet, b)  pismeno:
lOkrat 1 to = 10 to  lOkrat 1 E =11)

lOkrat 1 dkm  = 100 w lOkrat ID = 1 St

E X D — D
D X D = St

lOkrat 1 ,um = 100 000 m I lOkrat 1 DT — 1 StT

DTXD = StT

Istotako: lOOkrat 1 to,  lOOkrat 1 dkm . .  ., lOOOkrat

1 TO — ? • . .

22.  Istotako:

lOkrat 1 dm  = 10 dm  = 1 m
lOkrat 1 cto —- 10 cm  = 1 dm

lOkrat ld =1 E d X D = E
10 krat 1 st = 1 d st X D = d

lOOkrat 1 dm — 100 dm —  10 to
lOOkrat lem =100 cto  = Im

100 krat ld=lD  dXSt  = D
lOOkrat 1 st = 1 E st X St = E i. t. d.

*) Računanje z mestnimi vrednostmi vežbaj toliko, kolikor je še potrebno za
trdno podlago pismenemu računanju.

19

*23. Koliko velja 10, 100, 1000 ... m  trakovja a)  po 16 h.
h)  po 1 K 25 h?

*24. Koliko velja 10, 100, 1000 kg  masla po 2 K 54 h?

*25. Koliko mesa dobiš za 10, 100, 1000 . . .K, ako plačaš
za 68 dkg  mesa 1 K ?

*26. 1 dkg  čaja je po 12, 15, 20, 24 h, po čem je kgl

*27. 1 ltg  moke velja 40 h, koliko velja 1 q,  10 g, It,  10 t  moke?

*28. Ako velja 1 dkg  sladkorja 9'6 h, koliko 1 hg, 1 kg,  1 tl

•'•'■'29. Ako velja 1 dm  snovi po 1, 2, 3, 4, 5 . . . desetic, koliko
K daš za lm?

*30. Ako je 1Z jabolčnika po 20, 15, 32 ... h, počem je 1 dkl,
1 hi,  10 hll

*S1. Kolik je 10-, 100-, lOOOkratnik od 40 g,  75 dkg,  4 K 36 h,
51 l  6 dU

32.  Množi s poimenovanjem ednic:

a)  64, 504, 9027, 67 500, ... X 10, 100, 1000 . . .;

h)  67058, 0'083 04, ... X 10, 1000, 1000000

c)  12'8 X 10 + 1'08 X 100 + 3'405 X 1000 = ?

d)  0'8475 X 10 000 — 5'946 X 1000 = ?

e)  (41'45 X 10 + 72'036 X 100) - 0'6014 X 1000 = ?

33. 1) Ako je treba za 1 obleko 3 m 1 dm,  2 cm  sukna, koliko
a)  za 30, h)  za 200 enakih oblek?

2) Je li 1 hi  vina po 54 K 65 h, koliko plačaš a)  za 20,
h)  za 400 hll

3) Ako porabiš na dan po 2 kg  4 hg  8 dkg  živeža, koliko

a)  v 2, b)  10, c)  40 . . . mesecih, d)  v 4 000 dneh?

K 1 a)  Za 20 oblek se rabi 20krat (3 m 1 dm  2 cm)  sukna.
Večimenski: (3 m  1 dm  2 cm) X 20 = ?

6 Dm  2 m 4 dm  0 cm = 6240 cm

Računi: 20krat 2 cm = 40 cm = 4 dm  0 cm,  i. t. d.
ali: 20kratnik je lOkrat 2kratnik, množi torej z 2, potem z 10.

Enoimeuski v metrih: 3'12 m X 20 = ?

62‘40 m

Računi: 20krat 2 stotini je 40 stotin = 4 desetine 0 stotin i. t. d.

34.  Ako tehta 1 vreča moke 85 kg  60 dkg,  koliko a)  20,

b)  40, c)  300 vreč?

2  *

20

35. Posestniki neke srenje plačujejo na leto 4 635 K 80 h
davka, koliko a)  v 4, b)  30 . . . letih?

86. Kvadrat ima a)  3 m 6 cim. b)  4 dm  8 cm 5 mm, c)  1 km
3 hvi  5 dkm  6 m obsega; kolik je obseg 50 kvadratov? d)  Kolik
pa je obseg, ako pomenijo dana števila stranice istih kvadratov?

37. Množi s poimenovanjem ednic:

a)  60, 92, 13'4, 2806, 45 716 ... z 80;

b)  2’317, ll - 03, 44’702, 533 - 0082 ... s 600;

c)  0-05136, 0-000814, 0"61000248 ... s 5000.

C. Množenje z mnogoštevilčnimi števili.

38. Neka šola potrebuje pozimi na dan poprek 3 q  57 kg
premoga, koliko v 1 \  meseca ?

V 1^ meseca t. j. v 45 dneh ... 45 krat (3 q  57 kg)  = ?

a)  Na pamet:  40krat 3 q,  40krat 57 kg;  5krat 3 q  i. t. d.

b)  Pismeno.  Večimenski:

(3 q  57 kg)  X 45 = ? Računi: 5 krat 7 kg,  5 krat 50 kg .. .

17 r/ 85 kg  40 krat 7 h( J  = 280  kg  = 2 q  80 kg  ;

i/io qa  z. 40 krat 50 ka —  2000 kg —  20 q  in

142 f / 80  ^ 2q=22q; J  *

160 q  6o kg  40  krat 3 q —  1 20 q,  in 22^ = 142 q . .  .

Enoimenski: 3"57 q  X 45 = ?

1428

17'85

= 160"65 q

Množi tudi enoimenski v kg  ter pazi v zadnjih dveh primerih na
medsebojno ležo delnih produktov.

Ako začnemo množiti z multiplikatorjevo številko najnižjega
(najvišjega) reda,  se pomakne vsak nastopni delni produkt za
eno mesto više  na levo (niže  na desno).

31). a)  23 X 15, 78 X 31, 91 X 37, 1 305 X 81 = ?

b)  5762 X 306, 16’4 X 201, 0’4038 X 415 = ?

c) 16022 X 12040, 605'048 X 78000, 07302 X 508 = ?

d)  0-030842 X 1628, 42097183 X 5999 = ?

*40. 1 kg  riža velja 52 h, koliko plačaš za 15 kg  ?

41. Njiva je dala 25terni sad; koliko je pridelal kmet, ako
je vsejal 248 l  rži?

42. Vrtnar vsadi na vsako svojih 18 gredic po 45 zeljnih sadik;
koliko sadik mu je treba?

*44. Knjigovezec naredi iz 1 knjige pisnega papirja po 25 pi¬
sank, koliko pisank iz 36 knjig papirja?

44. Brzovlak prehiti v sekundi po 15 m 66 cm; kako daleč se
pripelje v 1 uri?

D.  Lastnosti produkta.

45.  a)  Stalnost produkta.  Na sadnem vrtu stoji v 8 vrstah
po 24 dreves; koliko je dreves?

a) 8krat 24 dreves; . . . . 24 dr. X 8 = 192 dr.

P) Ako pa šteješ drevesa pocrez, jih je

24 krat po 8 dr.; . . . . 8 dr. X 24 = 192 dr.

Torej je 24 X  8 = 8 X 24.

Produkt se neizpremeni, ako zamenjamo multipli-
kand in multiplikator med seboj;  Zategadelj se oba skupno
imenujeta činitelja ali faktorja.

Po tem zakonu se lahko vzame malostevilčni faktor kot multiplikator;
ob sklepanju pa se faktorja nikakor ne smeta zamenjati.

b)  Primerjaj produkte v naslednjih vrstah:

24 X 2 24 X 5 36 X 6 36 X 6

24 X 4 12 X 5 36 X 3 18 X 6

24 X 8 6X5 36 X 2 12 X 6

Ako se en faktor pomnoži na 2-, 3-, 4- . . . kratnik,
ali zmanjša na i ... (na polovico, tre tj in o, četrtino),
se pomnoži oziroma zmanjša istotako produkt.

46.  Izračuni tele produkte, pa glej, kateri so enaki:

a)  (328 X 3)X 7 = (328 X 7) X 3 = 328 X 21 = ?

b)  (105 X 13) X 4 — (105 X 4) X 13 = 105 X 52 = ?

c)  (916 X 0‘8) X5 = (916 X 5) X 0'8 = 916 X4'0  = ?

d)  1875 X 63 = (1875 X 9) X 7 = (1875 X 7) X 9 = ?

Produkt pomnožiš s številom, ako pomnožiš le en

faktor s številom.

Ako imaš število množiti zaporedoma z ve S faktorji, ga pomnožiš lahko
naenkrat z njih produktom.

Ako se da multiplikator razstaviti na več faktorjev, smeš s temi
množiti zaporedoma.


22

Produkt iz več faktorjev smeš zmnožiti v poljub¬
il e m redu. (izvoli si tistega, po katerem najlažje računiš.)

*47. V vsaki sobi 8razrednice je v 3 vrstah po 9 klopi, a)  koliko
je vseh klopi, b)  koliko učencev ima prostora v tej šoli, ako sedi v
vsaki klopi dvoje učencev?

48. Tovorni vlak ima 32 voz, na vsakem je poprek 96'55 q
tovora, vsak q  je poprek vreden 54 K; koliko velja vse blago
tega vlaka.

E.  Prva glavna primera sklepnih računov.

49. Najemnik plačuje mesečno po 65 K 33 h najemnine; koliko
plača a)  v 1 letu, b)  v 10 letih, c)  2^ lt., d)  3 lt. 9 mesec.?

Na pr. Najemnina za 1 i leta = ? (1 i 1. = 15 mesec.)

I.  Pregledni! V 1 mesecu . . K 65'33 najemnine (pogojni- ali nadstavek).
napis: j „ 15 mesecih. . x „ (vprašalni-ali podstavek).

II.  Glavni j Ako je v 1 mesecu najemnine G5'33 Ii, se plača v 15 mesecih
sklep: | lokrat 65*33 K najemnine.

III. Določitev računskega načina: Množitev, multiplikand je 65*33 K, multipli-

kator pa 15.

IV. Izračunanje (ali na pamet ali pismeno): K 65*33 X 15 = ?

V.  Odgovor a)  kratek: Najemnine za 1-J 1. je . . . K . . h.

b)  celoten: Ako je mesečne najemnine . . .

VI.  Računska slika na šolski tabli!

Ker sklepamo od najemnine 1. meseca na najemnino 15 mesecev, se
z o ve to sklep z enote na množino . . . I.

*50. a)  Glavnica daje v 1 letu a)  48 K, p) 508 K obresti;
koliko obresti v 2, 5, 12, 20 . . . letih?

h)  Koliko obresti daje v primeru v.) v primeru (3) 8-, 15-,
4 kratim glavnica?

*51. Parni mlin namelje v 1 mesecu 280 q  moke; koliko a)  v 10
mesecih, b)  v 1 letu, cj v 4 letih 3 mesecih, d)  v 5leta?

52. Izvirek daje na minuto 0*8045 hi  vode; koliko a)  v 1 A ,
b) l d , c)  1 tednu, d)  1 mesecu?

53. 1 ml  živega srebra tehta 13*5956 g ; koliko tehta a)  75,
b)  110 ml, c) 11, d) 1 hi  živega srebra?

*54. S konji zvoziš tovor v 2 d  6 7 ‘ 40“, z voli bi potreboval
Škrat toliko časa; koliko je to?


23

* 55 . Osebni vlak vozi z Dunaja do Gradca 7 h  10 m , z Dunaja
v Ljubljano 1 uro manj nego 2krat toliko časa; koliko časa potrebuje
ta vlak z Dunaja do Ljubljane, z Gradca do Ljubljane?

56 .  Izmed treh vinogradov je dal prvi 4375 hi  vina, drugi
4krat toliko, tretji 5krat toliko kolikor drugi; a)  koliko vina je
dal tretji vinograd, h)  koliko vsi trije skupaj?

57 .  Mesto je imelo pred polstoletjem 48 750 duš, sedaj jih ima
31 krat toliko; koliko duš bo štelo črez daljnjih 50 let, ako
narašča prebivalstvo po isti meri?

58 .  Kolar izdela v enem letu 25 voz po K 234'60 in 16 voz
po K 174'80; kolik je njega letni izdelek?

59 .  Konjski mešetar proda 40 konj po 525 K, pa kupi 50 drugih
po K 31575; koliko denarja mu ostane?

60 .  Kolo se zavrti v 6 minutah 324krat; kolikokrat v 54 minutah?

Sklepaj: V 6 minutah . . . 324krat;

54 minut je 9krat 6 minut,
v 54 min. 9krat  toliko; 324 X 9 = ?

Tukaj se sklepa z množine na mnogokratnik te množine . . II

* 61 . 8 m snovi velja 20 K 80 h, koliko a)  24, h)  40, c)  56,

d)  96 m?

*62. Za 160 K dobiš 5 hi  36 l  vina; koliko vina za a)  320,
h)  640, c)  800, d,)  960 K ?

63 . Ako plačaš za 25 kg  moke 7 K 50 h, koliko a)  za 50,
h)  75 kg, c)  za 1 q, d)  2^ q, e) za lt  moke?

* 64 . Zaloga krme zadostuje za 15 konj na 4 mesece; koliko
časa bi z isto krmo izhajalo a)  5, 3, 1 konj, h)  30, 60, 120 konj?

* 65 . Če prehodiš na dan po 18 km,  prideš od A  do B  v 12 dneh;

koliko dni bi potreboval za isto daljavo, ko bi prehodil na dan
a)  po 9, 6, h)  ko bi na dan prevozil s kolesom po 36, 54, 72 km ?

66. V cinobru (Idrija) je vedno spojenih po 25 g  živega srebra
s4j žvepla; a)  koliko žvepla se spaja z 1 kg  živega srebra;
h)  koliko pa živega srebra z 1'28 kg  žvepla?

Orehi.

¥: 67 . Katero število je za 12 večje (manjsč) nego a)  20, h)  32, c)  51 ?

* 68 . Katero število je 2-, 3-, 4-, . . . 12krat toliko, kolikor
a)  16, h)  30, c)  45?

'00. 2-, 3-, 4- . . . lOkratnik nekega števila je 60; koliko
je število?

*70. Bratec ima 2krat toliko v hranilnici kolikor sestrica, oba
skupaj imata 24 K ; koliko ima vsak?

*71. 2kratnik in 3kratnik nekega števila skupaj dasta a)  45,
b)  60, c)  150, d)  525; katero je vsakokrat število?

*72. Od katerega števila moraš 2kratnik še pomnožiti s 5, da
dobiš a)  20, b)  50, c )  80?

Kateremu številu moraš došteti njega 3kratnik in 5kratnik,
da dobiš a)  18, b)  27, c )  72?

*74.  Od katerega števila je 3kratnik za a)  12, b)  20, c)  33
večji nego število samo?

*75. Deček je potrojil svoj prihranek ter ima sedaj a)  20 h,
b)  96 b več, nego prej; koliko ima sedaj (poprej)?

4. Delitev.

Na pamet:  *1. Ponovi merilko in delilko od 1 do 100, n. pr.
5 v 15; petina od 15 = ?

*2. Kolikokrat je 2, 4, 7 ... v 24, 40, . . . 100, 200 .. . 680,
1000, 2480?

*3. Meri 30, 45, . . . 90, 120, 300, ... 600 s 3, 5, 15!

*4. Meri 24, 36, 48, . . . 96, 132, 144, .. . 432, 1728 s 6, 12!

*5. Katera števila od 1 do 100 se dado meriti s 7, 9,
11, 12 ... ?

*6. Kolikokrat je 12 v 48, 84, 108, 168, 336, 972 i. t. d.

*7. V nalogah 2) — 6) nadomesti meritev z delitvijo!

*8. a)  Deli, b)  meri števila 11, 13, 17, 23, ... z 2, 3, 4 .. !

Pismeno:  1. a)  V koritu je 9 hi  6 dkl  3 Z vode; kolikokrat
moreš s 3-litersko posodo zajeti iz nje?

S posodo črepati iz korita, dokler je kaj v njem, bi bilo mudno delo,
istotako ako bi od koritove vsebine zaporedoma odštevali po 3 Z, dokler ni
ostanek 0; dosti krajše se računi po meritvenem načinu  tako le:

Sklepaj: S posodo se da tolikokrat zajeti vode, kolikorkrat so 3 Z v
(9 hi  6 dkl  3 l).  Kako računiš na pamet?

25

a)  Večimenski:

St . .

(9 hi  6 dkl  3 O : 3 Z = 3 2 1

Beri: 9 hi . .  .je meriti s tremi 1 itri.

Računi: 3 Z so v 9 Z 3krat, v 9 hi  300 krat, 3 pomeni stotice i. t. d.

b)  Enoimenski v litrih: c)  Neimenski:

St D E St D E

9 6 3 Z : 3 Z = 3 2 1. 963 : 3 = ?

K c) 3 v 9 je 3 krat, v 9 St. 100 krat toliko, 3 pomeni St. 300 krat

3. je 9 St; torej so St natanko izmerjene. 3 v 6 je 2 krat, v 6 D 10 krat
toliko, 2 pomeni D (ali 2 je desetičnega reda) i. t. d.

Preizkušnja.  Da se prepričaš, ali si računil prav, računi, ali
je 821krat 3 Z res 963 Z.

1. b)  Dediščina, ki znaša 3205 K, naj se enakomerno razdeli
med 5 dedičev; koliko dobi vsak dedič?

Sklepaj : Vsak dedič dobi petino (peti del, 4;) od 3205 K.

Na pamet računajoč vzemi -g- od 3000 K, -jt od 200 K i. t. d.

TStDE StDE

Pismeno: 3205 Iv : 5 — 641 K
20

5

Beri: 3 205 K naj se deli na 5 delov.

Računi: Ker od 3 T ne da cele T, izpremenimo T v St in prištejemo
takoj dani 2 St (= 32 St, prvi delni dividend), -g od 32 St je približno
6 St; torej je 6 stotičnega reda. 5 krat 6 St je pa šele 30 St, torej
imamo še (32 St— 30 St =) 2 St deliti s 5. St izpremeni v D i. t. d.

Preizkušnja se izvrši ali s seštevanjem ali z množenjem
641 Iv X 5 = 3205 K.

V nalogi la)  je število 963, v Ib)  število 3205 smatrati za produkt
iz dveh faktorjev, katerih eden je znan (3, ozir. 5), drugega (321, ozir. 641)
je bilo treba iskati.

Kačun, v katerem se iz produkta dveh faktorjev in iz enega
faktorja išče drugi faktor, se imenuje delitev v širšem pomenu
ali divizija.

Dani produkt je deljenec ali dividend, dani faktor delitelj ali
divizor, iskani faktor ali znesek divizije se imenuje količnik ali
kvocijent.

Glavno svojstvo divizije: Kvocijent, pomnožen z divi-
zorjem, da dividend.  Po tem pravilu se delajo preizkušnje
pri vsaki diviziji.

26

Divizija  je  ali  meritvena,  kadar sta dana produkt in multipli-
kand, (gl. nlg. la), ali pa delitvena,  ako sta dana produkt in
multiplikator (gl. nlg. 1 b).  Pri meritvi sta dividend in divizor
istoimenska, kvocijent pa vselej brezimenski; pri delitvi (v ožjem
pomenu) sta dividend in kvocijent istoimenska, divizor pa brezimenski.

Kvocijent je ali nakazan (12 m : 3) ali izračunan (4 m).

*2.  Presodi, kakšne so tele divizije:

a)  6 m  : 2 m = ? b)  20 l  : 4 = ? c)  48 : 16 = ?

15 hj  : 3 = ? 32 g  : 8,? = ? 100 : 25 = ?

Kako prašaš, kadar meriš; kako, kadar deliš? •

^.'Deljenje z enoštevilčnim številom.

*3. Deli, potem meri:

a)  36 : 3, 48 : 4, 808 : 8, 550 : 5, 9099 : 9 = ?

b)  65 : 5, 84 : 7, 324 : 3, 2856 : 8, 60 504 : 4 = ?

c) 34 701 : 3, 728 082 : 9, 3860452S : 6 = ?

d)  58'8 : 7, 121'32 : 3, 5016'576 : 8, 7004'95 : 5 = ?

e)  0'396 : 9, 0‘0436 : 4, 0'086052 : 6, 2'40075 : 5 = ?

"V prejšnjih primerih je kvocijent celo število,  dividend se da
brez ostanka meriti ali deliti  z divizorjem. V tem primeru pravimo:
Dividend je merljiv  ali raz  d el en  z divizorjem, dividend je divizorju
mnogokratnik,  divizor pa dividendu mera  (delitelj ali faktor).

*4. a)  Ponovi množilko ter določi mnogokratnike in njih mere!

h)  Povej mere (delitelj e) od števil 30, 36, 40, 48, 60, 64, 72,
96, 100, 120, 144, 480 .. . 12, 1’8, 2*6, 4*2, 20'4 . . .!

c)  Povej mnogokratnike števil 8, 10, 12, 15, 16, 18, ...!

h)  Deli in meri: a)  13 : 2, 25 : 4, 88 : 3, 129 : 4, 5067 : 5;
b)  113 : 2, 14'6 : 4, 28‘6 : 5, 9108 : 8, 0'5275 : 6 = ?

Kvocijent sedaj ni celo število,  dividend ni merljiv ali razdelen z
divizorjem. Ostanek  se da tako pri delitvi kakor pri meritvi razviti v obliki
u lo m k a.

DE a)  Delitev: -j (četrtina) od 7 D je 1 D, ostanejo

N. pr.: 75 : 4 = 18 f 3 D; 3 D + 5 E == 35 E; \  od 35 E = 8 E,

35 ostanejo 3 E; 0< 1 1 D =  i; J od 3 E so

3 (tri četrtine).

b)  Meritev: 4 E v 7 E so 1 krat, v 7 D 10 krat toliko, 1 pomeni D;
lOkrat 4 E so 4 D; torej še (7 D—4 D =) 3 D niso izmerjene.


27

3 D -j- 5 E = 35 E; 4 E y 35 E = 8  krat, 8  pomeni E. Ostanek
8  E se meri s 4 takole:

4 E se ne nahajajo v 1 E, le -J od 4 E (t,. j. 1 E) se nahaja v 1 E.

Zato: 4 E v 1 E = — 4 E v 3 E dado 3 krat toliko, t. j. tri četrtine,

ali: 4 v 3 = §. — Beri: Štiri v tri so tri četrtine.

Primerjaj še: -5  od 20 = 10, od 20 se nahaja v 10 le g,

•§ od 30 = 20; od 30 se nahajata v 20 le §, 20:30  = | i. t. d.

B.  Deljenje z 10, 100, 1000 ... (s potencami števila 10).

*5. Na pamet: a)  Kolikokrat je 1 m v 1 m, 1 dkm,  1 hm . .
v 1 cim, 1 cm,  1 mm?

Kolikokrat se nahaja vsaka izmed ednic 1 mm, 1 cm, 1 dm . . .
1 km,  1 (j .m  v vsaki višji, kolikokrat v vsaki nižji ednici?

b)  Koliko je * (desetina), -jhs  (stotina), imio (tisočina) . . .
od 1 m, 1 dm, 1 cm  — 1 dkm,  1 hm,  1 km,  1 a m?

Iz takih vaj izhaja dekadna delilka (merilka):

()  Koliko je *, tAtf> t<sW  . . . od 1, 2, 3 . . . 100 . . . 1000?

200 , ... 10 , 20 ?

Kolikokrat je 10, 100, 1000, ... v 1, 2, . . . 10, 12, . . .
20 , . . . 100 ?

6. a)  Popotnik prehodi v 10 urah 4 [trn 2 km  5 hm\  koliko
pota prehodi poprečno vi uri?

Določi računski način ter ga zvrši najprej na pamet.

Pismeno:  1) Večimenski, 2) enoimenski v 1 x 111 , km, hm,.

N. pr. v \xm:  4'25 \xm :  10 = 0’425 jxm.

Govori: 355 - od 4 celot = 4 d, 4 pomeni d, torej 0 celih, vmes deci¬
malno piko. tV od 2 d = 2 st. 2 pomeni st; od 5 st = 5 t. Odgovor!

b)  Mojster plačuje pomočnikom na teden po 100 K ; v koliko
tednih jim izplača 4850 K ?

10 : 20 = i;

1 : 1 = 1  1:10  = *
10 : 1 = 10  10 : 10 = 1
100:1  = 100  100:10  = 10

Koliko je *, .

3

• TOO>

to 4 oo  Od 1000, 2000, . . . 100,

28

Ako odšteješ 100 K od 4850 K, si odvzel plačo za 1 teden; glavnica
zadostuje za toliko tednov, kolikorkrat se da po 100 K odšteti od 4850 K,
t. j. kolikorkrat je 100 K v 4850 K. — Tolikokrat, kolikorkrat 100 v 4850, torej

4850 : 100 = 48'50.

100 v T 10 krat, 100 v 4 T 40 krat, 4 pomeni D.

100 v St 1 krat, 100 v 8 St Škrat, 8 „ E

100 v D 100 v 5 D = y 5 o“!  5 „ d. — Odgovor!

Vsaka dividendova številka se je pomeknila za eno, dve

tri mesta niže (na desno).

*7. Deli in meri z 10, 100, 1000, . . . upoštevajoč mestne
vrednosti:

a)  50, 80, 420, 2810, 6350, 54900, 863000, 112044 .. .

b)  7’2, 25'4, 3675, 24018, 4290762, 7301085 . . .

«8. a)  240 : 20; 630 : 70; 9280 : 80; 70350 : 30; 8924 : 40 = ?

b)  26'8 : 40; 329‘5 : 500; 43’56 : 600; 22032 : 9000 = ?

Kako se torej meri in deli z 10, 100, 1000 . . . 1

*9. a) 1 m  sukna velja 6 K, 8 K 40 h, . . .; koliko velja
1 dm,  1 cm?

b)  1 kg  olja velja 2 K, 1 K 40 h, . . .; koliko 10 dkg,
1 dkg, 1 gl

c) 1 q  moke velja 36 K, 32 K 60 h, . . .; koliko 10 kg,  1 kg?

d)  1 hi  vina velja 52 K, 60 K 80 h, . . .; koliko 10 Z, 1 11

e)  100 K izposojenega denarja da na leto 3 K, 5 K obresti;
koliko obresti dobiš od 10 K, od 1 K?

C. Deljenje z mnogoštevilčnimi števili.

10, Vreča kave tehta 62 kg,  koliko vreč tehta 11 ton 4 q  8 kg.

Sklep: Toliko vreč, kolikorkrat je 62 kg  v 11 t  4 q  8 kg.

St

11408 kg :  62 kg —  1 . . * . . Poišči prvi delni dividend
520 in določi mestno vrednost

prvi številki kvocijenta.

62  se v 1 ne nahaja, v 11 tudi ne, v 114 najmanj lkrat;  prvi
delni dividend (114) obsega število vseh stotič, zato ima 1 mestno vrednost
St i. t. d. Naslednje kvocijentove številke pomenijo torej D, E, d . .

Iz mestne vrednosti prve kvocijentove številke
se lahko vnaprej določi kvocijentu obseg, in kadar
treba, 1 e ž a decimalne pike.

29

11. Določi v naslednjih divizijah vnaprej mestno vrednost prvi
številki kvocijenta, potem zvrši račun:

a)  462 : 11, 1728 : 12, 7560 : 30, 4599 : 21, 8712 : 36 = ?

b)  13875 : 925, 45156 : 284, 810775 : 7175 = ?

e)  8316 : 66, 44'88 : 34, 97034 : 58, 0'03185 : 91 = ?

12.  Ostanek razvij na decimalni ulomek:

a)  314'06 : 42, 5176'5 : 817, 90o76 : 119 = ? (3 dec.)

(4 dec.) (6 dec.) (7 dec.)

b)  807625 : 2164, 011638 : 2547, 0‘082 536 : 999 = ?

I).  Nadaljnji glavni primeri sklepnih računov.

1. a)  Za 15 a  pašnika se plača 2190 K, koliko velja 1 a?

b)  Golob preleti v 7 urah 987 km,  koliko preleti v 1 uri?

Tukaj se sklepa a)  od cene 15 arov na ceno 1 ara in b)  od daljave
v 7 urah na daljavo v 1 uri.

To ,je sklep z množine na enoto.III

*2. Kmetovalec pridela v 5 letih skupaj a)  260 q, b)  532'5 q
pšenice; koliko je poprek pridelal v 1 letu?

20 delavcev zasluži na dan skupaj a)  64 K. h)  82 K 60 h;
koliko zasluži poprek 1 delavec na dan?

*4. Kolo se zavrti v 30 minutah a)  2160krat, b)  8025krat;
kolikokrat se zavrti v 1 minuti, v 1 sekundi?

*5. Glavnica da v 12 letih a)  1452 K, b)  108'36 K obresti;
koliko obresti da v 1 letu?

6. Za 35 kg  blaga plačaš a)  117 K 60 h, b)  27 K 30 h
po čem je poprek 1 kg  blaga?

*7. Glavnica 500 K da a)  v 3 letih, b)  v 4'5 letih gotove
obresti; kolika glavnica da v 1 letu istotoliko obresti?

*8. Na parobrodu je živeža a)  za 64 ljudi skoz 14 dni, b)  za
80 ljudi skoz 6 tednov in 4 dni; koliko dni izhaja 1 človek z istim
živežem ?

9 . a)  Topova krogla preleti v 12 sekundah 5742 m, koliko v
1 sekundi?

b)  Ako preleti v 1 sekundi 500 m, koliko sekund rabi za
3 km  4 hm  20 m?

30

* 10 . Ura prehiti v 15 dneh za 4 minute 50 sekund; a)  za
koliko v 3, 5 dneh?

b)  Koliko kaže črez 15 dni, ako kaže sedaj 10 min. 20 sek. črez
11 uro ? .

K a)  Sklep: 3 dnevi so jt (petina) od 15 dni, v 3 dneh prehiti za
| od 4 min. 50 sek. Ker se sklepa s 15 dni na 3 dni, imamo tukaj

sklep z množine na nje mero.JV

*11. Ako velja 20 kg  riža a)  12 K 80 h, b)  11'20 K, koliko
velja 2, 4, 5, 10 kgl

* 12 . 36 zidarjev dozida poslopje v 54 dneh; v koliko dneh
a)  18, 9, 6 zidarjev, b)  72, 108 zidarjev?

* 13 . V tvornici zasluži 350 delavcev na dan 1312 K 50 h; koliko
poprek 50, 70, 10, 7, 5 delavcev, 1 delavec?

* 14 . Glavnica da v 2 letih 4 mesecih 792 K 84 h obresti;
koliko a)  v 1 letu 2 mesecih, b)  v 7 mesecih, c)  v 4 mesecih,
d)  v 1 letu 9 mesecih?

15 .  Kolesar prevozi v 18 minutah 6 km, 1 hm  9 dkm  2 m ;
koliko a)  v 9, b)  v 6 min.?

16 .  V 8 min. 8 sek. se razširi zvok v zraku 162 km  5 hm  4 m
daleč; kako daleč a)  v 2 min. 2 sek., b)  v 1 sekundi?

17 .  Svetloba pride od solnca do zemlje (t. j. 159 305 160 km

daleč) v 8 min. 8 sek,; kako daleč a) v 8  sekundah, b)  v 1 sekundi?

18 .  V vodnjak priteče v 32 urah 649'44 hi  vode; koliko

a)  v 16, b)  8, c)  4 urah, d)  v 64, e)  96 urah?

19 .  Ako velja 2 q  40 kg  leče 100 K, 1. koliko leče se dobi za

a)  25 K b)  200 K; 2. koliko velja a)  40 kg, b)  24 q  leče?

20.  A  kupi 12 kg  sladkorja za 9 K 48 h; koliko plača B.  ki
vzame le 5 kg  sladkorja?

Pregledni j 4 12 kg  sladkorja.9’48 K

napis \ B b kg  „ .x

i 12 kg  sladkorja velja ....  9'48 K
Sklepi: . 1 kg  „ n  j 2  (dvanajstino) od 9'48 K (deljenje z 12)

I  5 kg  „ „ 5 krat toliko. 9'48 K X 5 = ? (Množenje s 5.)

12

K 9'48 : 12 = ?

K  (T79 X 5 =
x = 3'95 K. — Odgovor!

Izračunanje:

31

Tukaj se sklepa od cene 12 kg  na ceno 1 kg  in odtod na ceno 5 kg.

To je sklep z množine na enoto in z  enote na drugo množino. V.

V to skupino spadajoči računi se zorejo trostavni računi ali eno¬
stavna, regeldetrija. Račune, ki jili rešujemo s pomočjo prvih štirih glavnih
sklepov, zovemo dvostavne račune.

21 . 4 kg  olja veljajo 4 K 96 h; koliko a)  3, h)  7, c)  20 hj ?
* 22 . Ako plačaš za i kg  rozin 56 h; koliko a)  za 3, b)  za 8,
c)  za 21 kg c !

•'■'■'23. Knjiga ima 240 strani po 42 vrst; koliko strani bi imela,
ko bi bilo na vsaki strani le 40 vrst?

24 . Hleb sira tehta 32 kg  in velja 48'64 K; 1. koliko velja
hleb po a)  40, h)  25, c)  8 kg\  2. koliko je dobička, ako se 1 kg
tega sira proda po 1'60 K ?

*'25. Vsota se razdeli med 20 ubožcev, vsak dobi po 7 K 20 h;
1. kolika je vsota? 2. Koliko dobi vsak, ako je a)  9, b)  15,
c)  40 ubožcev?

26 .  Iz vodne cevi priteče vsakih 30 sekund po 13'86 l  vode;
1. koliko oj v 6, b)  v 20 sekundah? 2. Koliko a)  v \  uri, b)  v 1 uri?

Sklepajoč n. pr. s 30 sekund na 20 sek., ne sklepaj na enoto,
ampak na 10 sekund (kot skupno mero)  in odtod na 20 sekund.

27 .  Parni stroj vzdigne vsakih 15 minut a)  12 hi, b)  4 \ hi
vode; v koliko časa a)  16 hi, b)  100 hll

■•'28. Glavnica daje na leto po 872 K 40 h obresti; 1. koliko

a)  v  ib)  v f leta, c)  vsak mesec? 2. Koliko a)  v 3 letih,

b)  5 -g letih?

■•' 29 . 1 kg  čistega zlata velja 3280 K; 1. koliko velja a)  1 hg,

b)  1 dkg, c)  J g‘t  2. Koliko vrednost ima a)  250 g, b)  500 g,

c)  750 g  zlata?

30 .  Veliko jabolko tehta 200 g ; koliko jabolk gre a)  na 4 q,

b)  6 i c)  17 q  38 %?

31 .  Kompanija 236 mož je imela živeža za 30 dni, a)  ko je
bilo nekaj moštva padlo, so ostali izhajali z istim živežem 40 dni;
koliko moštva je še bilo; koliko mož je bilo padlo?

b)  ko seji  pridruži oddelek, zadostuje živež le za 24 dni;
koliko mož se je pridružilo?

32

E.  Lastnosti kvocijenta.

1. Mlin zmelje v 1 tednu (po 6 dni) 102 hi  pšenice in 84 hi
rži; koliko hi  žita zmelje poprek na dan?

V 1 dnevi . . . £ od 102 hi  + %  od 84 M —  31 hl\  ali

„ 1 „ . . . £ od (102 + 84) hi  = i  od 186 hi —  31 hi.  Torej je:

(102 + 84) : (j = (102 : 6) + (84 : 6j.

I. Vsoto dveh števil razdeliš s tretjim številom, ako raz¬
deliš vsak sumand posebej ter sešteješ kvocijente(alinaopak).

Posamezne račune zvrši po onem redu, ki da najkrajši račun.

2. a)  (115 : 12) + (29 : 12); b)  (64 : 15) — (19 : 15);
c)  (54 + 27) : 9 = ?

3. Kmet proda 50 q  sena za 250 K in 50 q  slame za 120 K;
počem je dal poprek 1 q?

4. Vrtnar vsadi 2 vrsti drevesec, v vsaki vrsti po 60; koliko

drevesec je vsadil? — Ako napravi 2-, 3-,. . krat toliko vrst, pride na
eno vrsto le . od števila drevesec v prvem primeru. Zato:

60 X 2 = (60 : 2) X (2 X 2) = (60 : 3) X (2 X 3) = ?

II. Produkt se ne izpremeni, ako en faktor razdeliš
s kakim številom, drugega pa pomnožiš z istim številom.

5. a)  48 X 50 = (48 : 2) X (50 X 2) = ?

b)  216 X 50, 84 X 25, 255 X 20, 1408 X 500 = ?

*6. Učenec napiše 180 črk enakomerno na 6 vrst, koliko črk
spravi na 1 vrsto? — Koliko vrst potrebuje, ako dene £, £, . .

2krat, 3krat . . . toliko črk na vrsto?

7. a)  Drsalec predrsa v 1® po 6'4m;  kako daleč pride
v 3 m  20®?

b)  Kako daleč pride 1. v 1” 40®, 2. v 6 m  40®, ako predrsa
vi* 1. po 12'8 m, 2.  po 51364 m?

8. Primerjaj kvocijente v naslednjih vrstah:

a)  64 : 2 = ?, 32 : 2 = ?, 16 : 2 = ?, 8 : 2 = ?, 4 : 2 = ?

b)  36 : 3 = ?, 36 : 6 = ?, 36 : 12 = ?, 36 : 24 = ? i. t. d.

Kako se izpremeni kvocijent, ako pomnožiš a)  dividend, b)  divizor z
2, 3, 4 ...;  kako, če vzameš od dividenda ali divizorja 2-, 3-, 4 . . del?

9. Gospa kupi svile a)  60 m za 330 K, b)  28 m za 126 K;
po čem je lm, 25 m svile ?

33

10. 96 : 24 = ?

48 ‘ 12 = ? Kako nastane iz prve teh divizij vsaka naslednja,

.  0  _ ^ kako P a lz  poslednje vsaka prednja divizija?

Primerjaj kvoeijente!

8  : 2  = ?

III. Kvocijent se ne izpremeni, ako dividend in
divizor razdeliš z istim številom, ali pomnožiš z istim
številom.

5. Krajšanje kvocijenta. — Razdelnost števil.

A.  Krajšanje.

Po prejšnjem pravilu se divizije velikih števil lahko pretvorijo v divizije
manjših števil. Kako ?

Krajšanje kvocijenta je le koristno, kadar se dasta dividend in divizor
istočasno z istim številom meriti ali deliti.

Vsako število, s katerim se da več števil meriti
ali deliti, se zove njih skupna mera (skupni delitelj, skupni
faktor).

B.  Razdelnost števil.

Razdelnost mnogih števil lahko spoznavaš iz poštevanke. N. pr.:
S katerimi števili se dado meriti (deliti) 12, 15, 18, 24, 40, . . . 100 ?

Imenuj mere (delitelje, faktorje) števil 20, 32, 45, 60, 72, 80,
96, 120 ...!

1. Razdelnost  z 2 in 5.„

Katera izmed števil 18, 30, 55, 64, 70, 81 . . so razdelna z 2,
katera s 5?

354 = 350 + 4 Ker so desetice in njih mnogokratniki vselej

P825 = 1820 + 5 razdelili z 2 in 5, razstavi število v D in E.

So li ednice razdelne z 2 ali 5, razdelno je tudi
celo število z 2 ali 5.

Števila, ki so razdelna z 2 , imajo le 2 , 4, 6 , 8  ali 0  ednic (soda
števila), s 5 razdelna števila po 5 ali 0 ednic.

Hauptmann, Računica za meščanske šole. (X. 297. Fol. 2,06.)

3

34

Z 2 so razdelna vsa soda števila.

S 5 so razdelna števila, ki imajo 5 ali 0 ednic.
Števila, ki imajo 1, 3, 5, 7 ali 9 ednic, zovemo lika  števila.

Katera izmed števil 22, 35, 54, 86, 102, 135, 273, 650,
1375, 4910,12800 ... se dado deliti z 2 ali 5, katera z 2 in 5 (= 10)?

2. Razdelnost  s 4 in  25.

Število 10 ni razdelim s 4 in 25, pač pa 100 in njega mnogo¬
kratniki. Zato razstavi število na dva sumanda, tako da obseza prvi
sto tiče.

N. pr. 937 = 900 + 37 : 4? 4075 = 4000 + 75 | : 25?

Število je razdelno s 4 ali 25, ako je iz najnižjih
dveh številk sestavljeno število razdelno  s 4 ali  25.
Preišči: 172, 368, 675, 1250, 6148, 18 900, 902 708 . . .!

Kateri dve številki sta na najvišjih mestih onih števil, ki so
razdelna s 25?

3. Razdelnost  Z 8 in  125. — Podobno kakor v 2. najdeš:
Število je razdelno  z 8 ali  125, ako je iz najnižjih

treh številk sestavljeno število razdelno  z 8 ali  125.

Preišči: 324, 432, 696, 375, 712‘8, 9250, 45160, 397400,
65875, 184840, 395 600, 807+625 . . .!

Da se prejšnja tri pravila ujemajo, izvira iz tega, ker je 10 = 2- 5,
100 = 4-25,  1 000 = 8 • 125.

Katera števila so razdelna z 10, 100, 1000, . . .?

4. Razdelnost  s 3 in  9.

Razstavi število na dva dela, izmed katerih je eden vselej razdelen
s 3 ali 9. N. pr.:

45 387 = 4 DT + 5 T + 3 St + 8 D + 7 E.

4 DT = 4 X (9999 + 1) = 4 X 9999 + 4

5 T = 5 X (999 + 1) = 5 X 999 + 5

3 St = 3 X (99 + 1) = 3 X 99 + 3

8 E = 8 X (9 + 1) = 8 X 9 + 8

_ 7 E = __ _ 7

45387 = (4 • 9999 + 5- 999 + 3-99 +  8-9) + ( 4 + 5  + 3 + 8 + 7)

T" ~ w  n. ~

Vsota I je razdelna s 3 in 9, naj ima dano število kakršnekoli številke;
vsota II obseza številčno vsoto danega števila. Torej:


35

Število je razdelilo s3 ali9, ako je njega številčna
vsota razdelna s 3 ali 9.

Preišči: 63, 87, 291, 837, 1476, 4851, 8544, 9572, 4935,
376'84, 23 745, 78 003, 6102702, 7814'09, . . .!

5 .  Razdelilo  st  s 6 , 12 , 15 , 18 , 20 , 21 , 24 , . . Vsako s <>

razdelilo število mora biti razdelno s faktorji 2 in 3. Kdaj torej ? i. t. d.

Preišči: 42, 56, 78, 96, 102, 144, 225, 345, &8o, 931464. .!

6. Preišči mere telile števil: 242, 363, 4 554, 18 524,

6479'33, 753'687, 1*076066, 304876 . . . !

7. Zvrši tele divizije v najmanjših številih:

a)  4792:1024, c)  20544: 7500, e)  67548 : 872 = ?

b)  41768 : 9080, d)  33984 : 978, f)  98'325 : 17975 = ?

8. Katera števila iz vrste 1 — 100, 100 — 200, ... so
razdelna in s čim?

Vsako število, ki je razdelno z drugimi števili (ki ima po več
mer, deliteljev ali faktorjev), se zove sestavljeno število.

Sestavljena števila se dado razstaviti na faktorje.

N. pr.: 4 = 2X2,  12 = 2 X 2 X 3, 30 = 2 X 3 X 5,

25 = 52!

Števila, ki niso razdelna z nobenim drugim številom, zovemo
praštevila. N. pr.: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i. t. d.

Poišči praštevila med 1 — 100!

9. Rodbina potroši v 2-| mesecih 656'25 K, koliko poprek na dan?

10 .  1 avstrijiki oral = 0'575464 ha,  koliko oralov je 6874486 hal

11. Ako se proda 306 t  6 q  20 kg  svilnih mešičkov za 1393 290
italijanskih lir, po čem je bil 1 kg,  1 t, 2 q  mešičkov?

12 .  Relse (šine) za 19170 m dolgo železnico veljajo 552096K;
koliko za 1 m, 1 km,  1 \xm,  750 m  dolgo progo ?

13 .  Nekdo kupi avstr. 2 jJatov za 5107 K 50 h, frankov za
120 K in rubljev za 691 K 20 h. Ako velja 1 zlat 11 K 35 h,
1 frank 96 h, 1 rubelj 2 K 56 h, koliko komadov dobi vsake vrste?

6. Množenje z desetinskinii števili.

1. 1 hi  vina velja 56 K ; a)  koliko velja 10 hi,  100 KI,  1000 hi.  . ?

b)  Koliko velja 1 dkl,  1 l,  1 dl  . .?

c)  „ „ 2 dkl,  3 l,  5 dl .  . ?

3

36

a)  10 hi  velja 56 K X 10
100 hi  „ 56 Iv X 100

h)  1 dkl  = j hshl  velja * od 56 K = 56 K X 01 = ?
1 l  = t&tt  n ižir j, 56 K = 56 K X O 01 = ?

Z 01, 0'01, 0'001 . . množiti se pravi z 10, 100, 1000.. deliti.
c)  2 dkl—  i oi 2 tj hi  veljata 2krat 3 ^ od 56 K =56 K X 1 % =56 K X 0'2 =?
3 1 =ihhl  veljajo 3krat od 56 K =56 K X T -jhr=56 K X0'03= ?

Z 0'2, 0‘03, 0'005 .. množiš, ako množiš z 2, oziroma 3,
5 . . ter deliš z 10, oziroma  100, 1000 . . .

2. Kaj se pravi: a)  20 X 345 X točTj 7060 X toVcj

42800 X x 0 - 000 ?

h)  25 X 01, 416 X 0’01, 6400 X 0'001, 490 X 0'0001?

c)  4'8 X 960 X 01, 12'6 X 0'01, 718'25 X 0‘0001?

d)  16 X 0'4, 85 X 1’8, 24'5 X 0’06, 738'4 X 0’008,

175 X 1'234 = ?

3. Ako velja 1 kg  kave 3 K 96 h, koliko a)  24, 30, 45 kg ;
h)  15 Jr d kg ; c)  53 dkg  8  g; d)  1 kg  70 dkg, e)  3 kg  6  dkg  4 g  ?

Na pr.: 24 dkg  = • 3 ^ 5 - kg —  0’24 kg  velja K 3'96 X 0’24 — ?

KJT96 X 0'24 =
.0792

015 84
= K 0'95 L 04
= K 0‘95

O'24 = -f T |g-; računi torej:

2 krat 1*0  od 3'96 = ? 4kratko' °d 3’96 = ?

oi st da t; | T g-g- od st da dt. i. t. d.

Ako zapišemo delske produkte po njih enakoimnosti pod multiplikand,
pride decimalna pika v produktu ravno pod decimalno piko multiplikandovo.

Sicer se pa določuje njena leža iz mestne vrednosti najnižje številke v
produktu: 6  st X 4 st = 24 dt = 2 t 4 dt; desettisočine stoje na
četrtem decimalnem mestu; torej ima produkt 4 decimalke (0 celot).

Primeri prejšnji produkt s produktom celili števil  396X24!
V čem se ujemata?

37

Z de set inskimi števili se množi kakor s celimi
števili; leža decimalne pike se določa iz mestne vred¬
nosti najnižje številke v produktu.

Kako najdeš število decimalk v produktu naravnost  iz števila
decimalk posameznih faktorjev?

Od produkta K 0'9504 je mogoče izplačati le K 0*95 = 95 li; zato
sta številki 04 odrezani.

Ako pa je plačati K 3'95 X 0'24 = Ii 0'94 L 80, in bi plačal 94 h,
bi bilo to za ^li premalo;  če pa zaokrožiš račun ter plačaš 95 h, je
to za -j-%- h preveč.  V katerem primeru je pogrešek  manjši?

Ako je prva odrezana številka 5 ali večja od 5, se zadnja
pridržana številka  popravi (poviša)  zal. Poprava = korektura.

4.  V naslednjih produktih določi vnaprej število njih decimalk
iz mestne vrednosti najnižjih številk v faktorjih, potem izračuni:
a)  40 X 0'8, 64 X 01, 517 X 0’35, 3128 X 0146, 6045 X 0'0579 = ?
h)  2‘6 X 1'8, 7'46 X 55'4, 177'2 X 3‘52, 48’927 X 84‘2 = ?
c)  2156 X 0’904, 70120 X 0'09725, 0‘0975 X 0'00468 = ?

5. Zaokroži zneske naslednjih produktov:

a)  K 6875 X 5612 na h d)  15’50684 q  X 3'08 na kg

h)  07136 kgX  90'55 ,, g e)  3’29624 hi  X 19'5 „ l

c)  35'854 m X 9102 „ mm f)  410’8036 jxm X 7'25 „ hm.

6.  Za 1 t premoga plačaš 11 K 84 h; koliko a)  za 0'9 t,
h)  21'25 t, e)  2 q, d)  5 q  50 kg , e)  4 -| q, f)  9 f ql

7. Koliko velja 73'54 laktov sukna, če velja lm 9 K 65 h,
ter je 1 laket = 07776 m?

8. Zemljepisna milja obseza 0'978 184 avstr, milj po 7'585 94 km ;
koliko km  gre na 1 zemljepisno miljo? (na m).

9. Zemeljski premer ima 1681'212 74 avstr, milj; koliko je
to v krni  (Glej nalogo 8.)

10.  Nekdo kupi 57615 kg  blaga, kg  po 7 K 25 h, od tega
proda § po 7 K 85 h kg,  ostanek pa po 6 K 95 h; koliko ima
dobička ali škode?

11.  Trgovec kupi 472 ruskih četverti pšenice; a)  koliko ima
plačati, ako je 1 četvert = 2‘0991 hi,  1 hi  pa po 21 K 35 h ?

b)  Trgovec proda 200 četverti pšenice in sicer hi  po 22 K 64 h,
od ostanka pa po 20 K 45 h; koliko pridobi ali izgubi?

38

7. Deljenje z desetinskimi števili.

Na pamet. Meri a)  0*1 : 0*1; 0'2:0'1; . . 0‘9:0'1;

01  = ?

b)  0'8 : 0’4; 0’36 : 012; 0*064 : 0'08; 4'2 : 0'6; 12*8 : 3*2 = ?

c)  1 : 0‘01; 2 : 0’01; 1 : 0*001; 3 : 0'001; 18 : 0'06 = ?

e)  1 dm  v 1 m = ?
1 dm  v 1 dkm =  ?
1 dm  v 1 hm  = ?

Pismeno.  1 a.
dobiš a)  za 17 K 28 h, b)  4 K 56 b, c)  120 K ?

K a)  Toliko kg,  kolikorkrat je 0'48 K v 17'28 K. — fEnoimenski v K).

Merite? . 17 28 K . 0 48 K »16 4 g v  172 je blizu tolikokrat

2 88 kolikorkrat 5 v 17, t. j. 3 krat. —

— 48 so st. 17 2 so d ; st v d = 10 krat;

torej ima 3 mestno vrednost D i. t. d. — Odgovor 1

1 b.  Orač izorje a)  v 3 urah 14*25 a  njive; b)  v 4 \  urah
20’88 a  njive; koliko arov izorje v 1 uri?

Sklep, a)  V 1 uri 3  od 14 25 a,.  — Če se ravnamo po tem sklepu,
smemo v primeru b)  reči: V 1 uri tolik del od 20'88 a,  kolikor kaže
število 4'5.*)

Delitev . . 20'88 a  : 4*5 = 4*64 a  45 del od 208 = 4, d : d = E;

2 88  4 so E; decimalna pika i. t. d. —

180 Odgovor 1

Deleč s desetinskimi števili delaj prav kakor pri deljenju s
celimi števili. Najprej določi prvo kvocijentovo številko in nje
mestno vrednost, postavi v kvocijentu decimalno piko ter računi kakor
s celimi števili.

2.  Z vitlom vzdigneš v 1 sekundi tovor 25 cm  visoko, v koliko
sekundah a)  0'875 m, b)  12'25 m  visoko?

*) Pravzaprav zahteva naloga več sklepov. — 4 -i = is. _ _|

Ali: V ure . . 20'88 a,  v JjA 45. del od 20-88 a  in v i h  10 krat
toliko — 2  x 10.

4  5

Ali pa: V E ure . . 20-88 a,  v 9. del od 20-88 a  in v 1» 2krat
toliko = 2 JL 8 JLa x 2 = ?

89

S.  Vodna pipa da v 1 minuti 1575 l  vode; v koliko minutah

a)  315 Al, b)  28'35 hU

4. Avstrijska srebrna krona ima 4175 <7 čistega srebra; na
koliko srebrnih kron gre a)  20'875 g, b)  1 kg, c)  5 kg  40 d k g  8 g
6 dg  5 cg  čistega srebra? CcJ  enoimenski v g.)

5. Srebrni goldinar tehta 12'3457 g ; koliko jih gre a)  na 1 kg,

b)  na 6 kg  481 g  4 dg  9 cg  2'5 mg  ? (Enoimenski v g.)

6. Iz 3'56 q  žita se dobi 2'9904 q  moke; koliko moke a)  iz
1 q , b)  iz 10 q, c)  iz 72 \ q  žita?

7. Polk prekoraka v 10‘25 urah 44'075 km,  koliko a) \  1 uri,
h)  v 1 minuti, c)  v 4 urah 6 minutah?

K c)  V 1 uri 44'075 km :  10'25 = ? V 41 ure = ?

8. Glavnica da v 1 letu 1846‘84K obresti; oj od kolikokratne
glavnice se dobi 6463'94 K obresti?

b)  Kolika je ta glavnica, ako je prva 46171 K?

1). V koliko časa dobiš od 5872'35 K toliko obresti kolikor
od 879'85 K v 3 letih 6 mesecih?

10 . Za 33’25 m platna se porabi 4‘375 kg  preje; a)  koliko preje
za 16'5 m  platna; b)  koliko platna dobiš iz 20 kg  preje?

11. Nož velja 2'35 kg-, a)  koliko nožev dobiš za 9'40 K,
16'45 K, 42'30 K; h)  koliko velja 15, 32 takih nožev?

12. Razvij naslednje kvocijente: a)  736'42 : 91’8 na 3 decimalke.

b)  8960 : 0'945 na 1 dec.; c)  0'052 96 q  : 49 na dkg ;

d)  460'805 hi  : 5’36 na cl, e)  345 073344 m  : 62832 na mm.

IB. a)  (64 X 27) : 16 = ? (64 : 16) X 27 = ?

h)  (840 : 2'8) : 100 = ? (840 : 100) : 2‘8 = ? 840: 280 = ?

c)  612 : 36 = (612 : 9) : 4 = ? (45 : 2*6) : 0’2 = 45 : 0 5 = ?

K a)  Množitve in delitve kakega števila se laliko zvrše v kateremkoli redu.
K h)  in c)  Ako je število zaporedoma deliti z več števili, se lahko
deli s produktom teh števil. — Ako je divizor sestavljeno število, se lahko
zaporedoma deli z njega faktorji.

14. a)  1896 : 42 = ? 12460 : 28 = ? 870‘48 : 72 = ?

b)  5670 : 63 = ? 9'856 :  5*6 = ? 0’9504 : 4'8 = ?

15. a)  (6'539 : 1*3) : 10 = ? (6'539 : 10) : 1'3 = ?

h)  (1728:0'6): 0'15 = ? (1728:1*5): 0‘6 = ? 1728:0'9=?

16. a)  (90'6 + 4‘036 + 81T)4 + 5'4064) : 640 = ?

h)  (129 5 - 97152 + 21‘305 - 108'47) : 0‘54 = ?

40

8. Računski prikrajški.

Računiš li, bodisi na pamet ali pismeno, vselej premisli, katera pot je
najlažja in po kateri ti je računiti z najmanjšimi števili.

A.  Pri množenju.

1. Eden ali oba faktorja imata na koncu ničle.

N.pr.: 530X12; 81400 X 24; 19*42X7400; 18000X900 = ?

2. Ena multiplikatorjeva številka je 1.

N. pr.: 1478 X 61; 3560 X 129; 5*44 X 5*16; 23*205 X 108 = ?

3. Multiplikator je 11.

N. pr.: 444X11; 6666 X 11; 548'32Xll;  0*15074X11=?

TZ1  «. j j  _„ Ali: 11 krat 4 E, 11 krat 7 D i. t. d.; ali pa

---—___~ 4 doli, 4 in 7 = 11, 1 D se zapiše; 1 in 6 + 7

= 7414  = 14, 4 St. i. t. d.

4. Multiplikator se da razstaviti na faktorje.  (Gl. str. 21.)

a)  812 X 35 = (812 X 5) X 7 = ? 14620 X 45 = V

b)  6150 X 56; 60*84 X 44; 1*4975 X 2*8 = ?

5. Množenje s 5, 25, 125.

5 = 10:2; 25 = 100:4; 125 = 1000:8.

*a)  64 X 5; 82 X 5; 128 X 5; 240 X 5; 6240 X 5 = ?
b)  60X 25; 116X25; 408X25; 34*2X25; 3*1416X25 = ?
e)  808 X 125; 720 X 125; 4056 X 125; 7*4408 X 125 = ?

6. Multiplikator je 9, 99, 999, 9999 . . .

85*347 X 99 = ?

8534*7 . . . lOOkratni multiplikand,

— 85*347. . —1 kratni multiplikand.

= ?

a)  428 X 9; 604 X 99; 7*432 X 999; 12*08 X 999 = ?

b)  222*222 X 99; 117*685 X 9999; 0*82096 X 9999 = ?

7. Delavci v tvornici dobivajo na dan a)  420 K ; b)  254 K plačila,
koliko v 5, 25, 125 dneh?

8. Jablan ima 99 vej, na vsaki veji je 99 jabolk; a)  koliko
je vseh jabolk; b)  koliko so vredne, če se vsaka računi po 2*5h?

9. Ako použije vojak vsakih 6 dni 15*978 kg  trde hrane; koliko
hrane je treba bataljonu 999 mož v 1 dnevi, v 1 mesecu?

9= 10 — 1,

99 = 100 — 1,
999 = 1000 — 1,


41

B.  Pri deljenju.

10. Dividend in divizor imata skupno mero. Glej:

Krajšanje kvocijenta.  (Str. 33, 5 i. 35, 7.)

11. Divizor se da razstaviti na faktorje, s katerimi se lahko
deli. (Gl. str. 40, 4.)

Na pamet:  a)  -g-od 84 = (£ od 84): 3 = ? tV od 96, 108, 180,
720, 852 = ?

b)  od 75, 105, 345; * od 240, 560, 8120, 32, 68, 104 = ?

Pismeno:  c)  642:32; 6104:56; 1815:33; 4067'28 : 28 = ?

d)  16224 : 48; 48’5632 : 64; 6237 08 : 72 = ? (Gl. str. 39, 13
j. 40, 4.)

12. Divizor je 5, 25, 125.

5 = i* 25 = - 3 -” 0 , 125 = — 750 : 5 = (750 :  10) X 2 = ?

Ako razdeliš z 2-, 4-, 8 kratnim divizorjem, dobiš le ■%,  -J- kvocijenta;

zato je tega še treba pomnožiti z 2, 4, 8 i. t. d.

a)  420:5; 650:5;  840:5; 2070:5; 13280:5; 32’6:5 = ?

b)  2400 : 25; 3200: 25; 16 400 : 25; 6654‘4: 25 = ?

c)  8000 :125; 18 000 :125; 427 000 :125; 623'25 :125 = ?

IB. a)  Ribič nalovi v 1 mesecu (v 25 delavnikih) 15 600 morskih

rib;  koliko rib nalovi poprek v 1 dnevu, v 20 dneh?

b)  Ako tehtajo vse ribe 520 kg ; koliko jih pride poprek na
1 dan?

c)  Ako dobi za kg  rib 45h;  koliko si pridobi na teden?

14. Krčmar iztoči na dan 1 hi  25Z piva; v koliko dneh iztoči
50 hi , 375 hi , 600 hi  piva ?

Orehi.

*15. Kolika je 2kra(na razlika med 41 h in 45h;  kolika je
\  te razlike?

*16. Ako dodaš polovici neke vsote 5 K, dobiš 13 K ; kolika
je vsota?

*17. Deček je izdal £ svojega denarja in še 1 h, pa mu je
ostalo 7 h; koliko je imel ?

*18. Poišči število, čigar je za 24 manjša, nego število!

9. A  je prihranil f tega kar B,  oba skupaj 15 K ; koliko
vsak posebe?

42

C.  Skrajšano množenje.*)

N. pr.: Avstrijsko-ogrska država obseza blizu 10843 avstr, kva¬
dratnih milj; koliko je to v /cm 2 , ako je 1 avstr, kvadr. milja
blizu = 57546420 m 2 ?

n.)  575 4R4 90 V 10842 = o  Naj nižja mesta v produktu

a)  niso natančna, ker faktorja
nista natančna, vrhutega zahteva
naloga le cele km 2  Zato ni
treba, množitev popolnem zvršiti
kakor pod a).  Ker je 1 kiv? —
1 milijonu m 2 , je dosti, ako se
v produktu še izračunijo milijonice,

= 623 975'832060 /cm 2

vsa nižja mesta pa izpuste. (61. pravokotno črto v a.)

Poišči ona mesta v multiplikandu, ki jih je pomnožiti
s posamnimi mesti multiplikatorja, da še dobiš milijonice  (gl. b).

UM M StT DT T St D B DTTStUB

b)  5 7 5 4 64 L 20X10843 = ?

5 7 5 4 6 4 -

4 6 0 3 2-

2 3 0 0 -

1 7 1

= 6 2 3 9 6 7 milijonic m 2
= 6 2 3 9 67 km?

0 E XI  DT — 0 DT, . . odpade.
2 D X 1 DT = 2 StT, . .

-4 St XI DT = 4 M, se zapiše.

0 E X 8 St = 0 St . . . odpade.

G T X 8 St = 48 StT . .

4 DT X 8 St = 32 M, se zapiše.

5StTX4D  =20  M, se zapiše,

i. t. d.

Znesek pod h)  je proti onemu pod c) za 8 milijonov premajhen. To izvira
od tod, ker so se zanemarili delni produkti: 6 T X 8 St = 48 StT == blizu 5 M ;
4 DT X 4 D = 15 StT = blizu 2 M in 5 StT X 3 E = 15 StT = blizu 2 M.

Da se ogneš temu pogrešku, vštej popravo,  ki jo dobiš, ako z vsako
multiplikatorjevo številko pomnožiš predidočo številko multiplikandovo (gl. c).

c)  57 5464 l 20 X 10843 = ?

34801

575464.. lkrat 2= 2, poprava 0, lkrat 4=4, zapiši i. t. d.

46037 .. 8krat 6 = 48, poprava 5, 8krat 4 = 32, in 5 je 37, 7 zapiši i. t. d.

2 302 .. 4krat 4=16, poprava 2, 4krat 5 = 20, in 2 je 22, 2 zapiši i. t. d.

173 .. 3krat 5 = 15, poprava 2, 3krat 7=21,  in 2 je 23, 3 zapiši i. t. d.

= 623976

Da se poprava lože izračuni, zapiši multiplikator tako pod multiplikand,
da dasta po dve in dve številki, stoječi druga nad drugo, milijonice za

*)  Za meščanske šole.

43

produkt (gl. c). Pri tem pridejo multiplikatorjeve enote pod
ono mesto multiplikandovo, ki naj se še kot naj nižje prikaže
v produktu, vse druge številke pa v obratnem redu.

na skrajšan način s popravo na desetmilijonice (gl. d),
tedaj je produkt proti onemu pod a)  premajhen
za več kot 1 DM.

Da dobiš kolikor možno zanesljiv produkt,
računi skrajšano množeč na eno mesto V6C,
nego se zahteva ter jemlji popravo kakor pod c).

Na ta način se zmanjša po¬
grešek v produktu,  ako multiplikator
nima nad 10 številk, pod ednice
na j nižjega izračunanega reda.

Obdržiš li v produktu a)  milijonice, a brez poprave,, tedaj imaš za več
nego 8 StT premalo, pogrešek je večji od -g- milijona; ako pa popraviš
milijonice (gl. c), imaš ne celo za 2 StT preveč, pogrešek je zdaj manjši
od -g- milijona.

Računiš li cJ

d)  57546420 X 10843
34801

62396 DM

= 623960 M

1.  Pomnoži na skrajšani način kar najbolj natančno:

a)  1375 g  X 485 = ? (na kg) d)  918 X 77 = ? (na T)

b)  86073 l  X 5216 = ? (na hi) e)  5123 X 916 = ? (na St)

c)  4 235 076 mg  X 6025=? (na dkg) f)  0’845 X 163 = ? (na E).

2.  Izračuni popolno in skrajšano ter primeri zneske:

a)  13-518 X 8'27 = ? (1 dec.) c)  71'922 X 0-7586 = ? (na E)

b)  10'4128 X 0736 =7(3 dec.) d)  0'0866 X 54'235 = ? (4 dec.).

3 .  Svetloba prehiti v 1 sekundi 308000 km,  koliko v 9 min.
45 sek. ?

4 .  Dunajska mestna železnica je prepeljala neki dan 85094 ljudi;
koliko bi to bilo v 1 letu (365 dni) ob enakem prometu? (na T).

5. Ako daje glavnica na leto 1409"45 K obresti; koliko
a)  v 1"364 letih, b)  4'092 letih, c)  0'8675 letih? (na h).

6. Ako znaša zračni tlak na 1 cm * 1 2 3 4 5 6 * * 9  zemeljske površine 1"0336 kg,
kolik tlak mora prenašati človek, čigar površje je 14772"5 cm 3 ?
(Na kg).

1.11  petroleja (od 0° (?) tehta 0'836 kg j  koliko tehta aJ  15 l,
1 1  laškega olja (od 0« (?) tehta 0’916 kg b)  4"568 l, c)  0'0725 l
1 1  morske vode (od 0° C)  tehta l - 026 kg  ) vsake teh tekočin? (na g.)
S. a)  4690 X 916 X 178 (na DT);

b)  0*864 X 0’9063 X 2\315 (na dt) = ?

9. Izračuni naloge 5—9 str. 37 tudi na skrajšani način!

44

D.  Skrajšano deljenje.*)

N. pr.: Površina naše zemlje je 5099B37 p« 2 , lunina pa
378807 pm 2 ; kolikokrat tolika je zemeljska površina, kolikršna je
lunina? (Meritev.)

a)  50991537 fm 3  : 378807 = 13'462 . . .

1311467

175046o

23  52320 Zemeljska površina je 13-46 . . . krat

_l79478o (blizu 13 krat) tolika, kolikršna je lunina.

37166o

• * «

V dividendu in divizorju so najnižja mesta nezanesljiva; zato so
nezanesljive tudi iz njih izvirajoče številke v delitvenih ostankih in torej
tudi dotične številke kvocijenta. Ako so dvomljive le D in E, so nenatančne
vse številke v ostankih desno od črte (gl. a), zato tudi naslednje številke
kvocijentove.

Smoter skrajšanemu deljenju je ta, da izključimo nezanesljive številke
v divizorju in v delitvenih dividendih (gl. b).

M .. T StT ... St D

b)  5099 L 537 : 3 L 7 L 8 L 8 L 07 = 13’46
1311

175

24

- 1. Deliti se začne kakor pri popolnem deljenju.

3 v 5 = 1 krat, 3 StT v 5 M = 10 krat toliko; torej 1 pomeni D.

2. Ako naj se kvocijent razvije na 2 decimalki, ima 4 številke (1 . ‘ . .);
prav toliko jih moraš obdržati v divizorju (3788 St, torej odreži 07) !

3. Po okrajšanem divizorju se ravna število mest v okrajšanem dividendo
(5099 T, odreži 537)1

4. Pomnoži z najdeno številko kvocijentovo, oziraj se na popravo i. t. d.

Manjkajoča mesta v dividendo lahko izpolniš z ničlami; ako pa ima

divizor premalo številk, deli izprva kakor navadno in določi le zadnje kvo¬
cijentove številke na okrajšani način.

1. Razdeli Da okrajšaui način (okrajšani divizor in prva kvocijentova
številka sta že določena):

a)  6978 : 52 L 3 = 1 . d)  6'3925 : 8 - 4 L 57 = . ' 7 .

b)  79412 : 254' L 9 = 3 . . e)  67 - 485 : 0’516 = 1 . .

c) 43'802 : 9’6 L 5 = 4 ' . f)  7M3582 : 84 - 2 L 64 = . ' . 8 .

*) Za meščanske šole.

45

2.  Razdeli okrajšano: a)  7450 : 5’642 na D = ?

b)  58734 : 67'295 na st; c)  95*2 : 0*68324 na d = ?

d)  4'376 : 328*4 na t; e)  25843 : 314159 na dt = ?

3. a)  735*4K : 78*567 na h; c)  934 m : 48'318 na cm = ?
b)  72‘2 kg  : 9’6365 nag;  d)  64’5 hi  : 0'0852 na l —  ?

4. Koliko dunajskih centov po 56*006 kg  gre na 1 tono?
(na funte).

5. 1 avstr, milja — 7'585 km,  1 korak = 075859 m; koliko
korakov gre na 1 avstr, miljo? (na celote).

6. Koliko m je 1 dun. laket, ako je 1 m = 1*286077 dun. laktov?

Izračuni a)  popolno na 6 decimalk, b)  okrajšano na 5 in c)  na 4 dec.,
nato primeri med seboj kvocijente ! — Vzameš li od zadnje kvoeijentove
številke pod b)  popravo, tedaj je znesek natančnejši od onega pod c).

Zato je tudi pri okrajšanem deljenju treba izračuniti
najmanj eilO mesto več,  nego se zahteva, ter ga morda popraviti.

7. Ako velja 1 zlat 11*36 K, koliko jih dobiš za 5479*75 K ?

a)  Okrajšano na celote; b)  popolno na celote; kolik je ostanek

v K in h ?

8. Desetkronski zlatnik ima 3*04878 g čistega zlata; koliko se
jih nakuje iz 9 dkg  4 g  5 dg  6 cg  8 mg  čistega zlata?

9. Šolska soba meri 208*463 530m 3 ; koliko učencev ima prostora
v njej, ako se računi na vsakega 4*150 m 3  prostornine? (na celote).

Orehi.

*10. Ako velja 15 dkg  blaga za 60 h več nego 10 dkg,  po čem
je dkg, kgl

11. V 8 urah se pokosi 15 a  travnika več nego v 5 urah;
koliko v 1 uri?

*12. Ako dobi 5 konj v 2 dneh 6 kg  manj ovsa nego 4 konji
v 3 dneh, koliko ovsa se daje konju na dan?

*13. Sestrina obleka je za 8 K dražja od bratove, obe skupaj
veljata 48 K ; koliko velja vsaka teh oblek?

■14. Misli si celo število, doštej mu 3, vsoto pomnoži z 2 ter
mi povej znesek! Jaz ti povem mišljeno število.

46

IV. Navadni ulomki.

1. Pojasnjevanje ulomkov.

Deli: a)  1 m  : 10 — m  = 0'1 m; 5 : 3 = = 1 f .

b)  42 kg  : 100 = 42 dkg  = kg  = 0‘42 kg.

Meri: a)  45 l  : 8 1  = 5|; b)  3 : 4 = f.

Ako merimo ali delimo, divizor pa ni mera ali delitelj dividendu,
ne dobimo v kvocijentu čistih celot, ampak ulomljena števila, ki se
v obliki ts, i ■  • • imenujejo navadni,  v obliki 01, 0'42 ... pa
d e se tinski (decimalni) ulomki.

A.  O pomenu ulomka.

Nazorila: Na enake dele razdeljene daljice (gl. sliki 3, a  in b),
metrska palica, metrski računski stroj, ploskve i. t. d.

_1_ _ __2_

a)  -:- 1-1 -i- 1-1-!-1-1 b)

£ Slika 3. |-

a)  Ako se 1 celota  (enota) razdeli na 3 enake dele,  se
zove vsak del ena tretjina,  £. Združiš li 2 takšna dela, dobiš:

1 tretjina + 1  tretjina = 2 krat ena tretjina =
2  tretjini.

V številkah: + -3- = 2 k r a t =  •§. Primeri •. lm+lm=2m

b)  Ako pa razdeliš 2 enoti na 3 enake dele, je 1 tak del =
1 tretjini od 2 in po sl. 2 b)  = -3- + h — s,  torej sta f = 2 : 3

a)  | = k X  2 *) b)  | = 2: 3

Ulomek | pomeni 2 krat 1 tretjino od 1 celote ali 1 tretjino
od 2 celot.

Koj pomeni f, |, f, . . . ?

Ulomek f je sestavljen iz dveh faktorjev, „dve“ in „ena tret¬
ji na“.  Faktor l  zovemo ulomkovo ednico aliulomnico,  faktor 2,
ki kaže število ulomnic, pa ulomkov števec.

Ulomnica je ulomek, ki ima 1 za števec.

*) Pri računanju na pamet govori „2krat pri pismenem računanju pa
množena z 2“.

47

V ulomkih f, f, § . . . imenuj  e j o števila 3. 4, 5 . . . kakovost
ulomnice, zato se vsaka zove imenovalec  ulomka.

Ker sta § = 2 : 3, je vsak ulomek nakazana divizija (kvocijent),
ki ima števec za dividend, imenovalec pa za divizor.

B.  Razvrstitev ulomkov.

a)  Ulomki z enakimi  u lom  ni  čarni  (enakimi imenovalci)

se zovejo istoimenski  (istovrstni). N. pr.: f, f . . .

Katere ulomke imenujemo raznoimenske?—  Daj primerov!

b)  Števila f, f, . . . imajo sicer ulomkovo obliko, pa stoje
za cela števila; zato so dozdevni ulomki.

Vsako celo število se da pretvoriti na dozdeven ulomek. N. pr. :

1 _ 2 _ 3 _ .O _ 1(1 .— 24

L Z  — Z  — •••) o — # — 3  ...

c)  Ulomki f, ^ . , . so pravi  ulomki.

d)  Desetinska (decimalna) števila so pravi  ulomki, ker nastanejo
iz celot s pomočjo deljenja na 10, 100, . ... enakih delov; le njih
imenovalec se ne zapisuje, temveč se spoznava na številu decimalk.

c)  Vsote iz celot in ulomkov zovemo mešana števila;  dado
pa se pretvarjati na prave ulomke. — 5f- — 5 + f = J jf + § = V-.

C.  O vrednosti ulomkov.

1. a)  Ako sta si števec in imenovalec enaka, je ulomek = 1; kajti
obseza vse kose enote, ki se je razdelila na enake dele. — f = 1.

h)  Ako je števec manjši od imenovalca, ne obseza ulomek vseh
kosov ene enote, torej je manjši od 1. — §<C1, f <C 1.

c)  Ako je števec večji od imenovalca, je ulomek večji od 1;
kajti obseza več kosov, nego jih ima ena razdeljena enota. Taki
ulomki se dado pretvoriti ali na cela ali na mešana števila,
o 1 • -| = 44-4 = 14- -§- = * 4 -4 -a  =  o

5  IT -*• TT ^ 4 4 ' 4

2. a)  Izmed dveh istoimenskih ulomkov je oni večji, ki ima
večji števec. — f >f>i.

b)  Ulomnica (ulomkova ednica) je tem večja, čim manjši je njen
imenovalec. — Primeri: £  K, | K, }  K, ^K, ^jK, K, Vo K .

j—j-j— ' £  c)  Izmed dveh ulomkov z enakimi

4  - ;  števci je oni večji, ki ima manjši imeno-

| 1 j j j  | f I  valeč (t. j. večjo ulomnico, gl. sl. 4).

1 \ 1 2^2

4 t, 4 S-

Slika 4.

48

D.  Primerjanje ulomkov imenskim številom.

a)  2 m —  2 krat 1 m  = 1 m X 2;

b)  5 dm  + 3 dm  = 8 dm ; .

c) 6 K — 2 K = 4 K;.

d)  2 kg  X 3 = (2 X 3) kg  = 6 kg',

e)  8 h : 4 h = 2; .

f) 6 g : S = 2 g- . . . .

Imensko število
Ulomek

■I = 2 krat  4=4X2.

5 I 3 -
ITT T T(T -

8

10 -

f X3=(2X3)i = |.

8.4 — o
la • TT “•

6 . o _ 2

U • o — U-

iz merske ednice in merskega števila,
iz ulomnice in števca.

Z ulomki se večinoma računi prav kakor z imen¬
skimi števili.

je produkt

2. Izpreminjanje ulomkov po njih vrednosti.

A.  S pomočjo celega (operacijskega) števila.

I. Množitev ulomkov.

1.1X2

i  + £ —  1;

4 ks  ‘I — 4 1 4
¥ A O ¥ > ¥

14 — 1_2 — 4
¥ — 3 — *•

Ulomek, pomnožen s svojim imenovalcem da števec.
Primeri temeljno svojstvo divizije str. 25.

2. Primeri med seboj ulomke v naslednjih skupinah (gl. sl. 5):
A  Slika 5. B

1 2 3 4 5 6

"SO 2U 2<T ‘20’ 2TT 2<X

i, I, i; i, t, t; A> A> tu;  A, Tir. m nr,

A A A M H H it M M M it M i§ it

Mi? = 1 dm

- 1 - -A- -A,- J- -A- -A- A, 4f; A> • • .
Kako izhaja vsak naslednji iz svojega prednika?

Množiti števec je toliko kolikor množiti ulomek.

3. Primeri na sl. 5.: A, A> i, i; A A, I, f!

Kako izhaja vsak ulomek iz svojih prednikov?

Deliti imenovalec je toliko kolikor množiti ulomek.

4X3 , 1

Torej: iX 2 = |X3 = — ? .

A X 2

10  : 2 -

A

X 4 =

3

20.4

49

Iz 2. in 3.: Ulomek se pomnoži, ako pomnožiš samo
njega števec, ali ako razdeliš samo njega imenovalec. I.
V a j e. 4 . Množi: a)  4, 4, i, . . A, • • A, . . z 2, 3, 4, . . 10!

^ f X 2; | X 4; 4 X 3; | X 6; | X 7; * X 9; * X 10 = ?

Množi: oj 4> 4 > • • z  2; 4, ‘t> 44i . . s 3!

6; f X 2; 4 X 3; | X 4; 4 X 3; A X 5; 44 X 6; 44 X 10 = ?

*6. I X 9; A X 10; A X 5; A X 8; A X 6; || X 3;
A 2 u X 25 — ?

II. Delitev ulomkov.

4

1.  Primeri na sl. 5. lete ulomke: f, f, 4; A, A, A; 4°,

A; Mi A, A) A '■

Kako izhaja vsak naslednji iz prvega ?

Deliti števec je toliko kolikor deliti ulomek.

2. Primeri na sl. 5.: 4, 4; },  A; i A, A; t, A; I, Al

Kako izhaja vsak naslednji iz prvega ?

Množiti imenovalec je toliko kolikor deliti ulomek.

6:3  1  „ . 2

: 574 = ?

2:2  „

O --6

? 5

Torej: §:2 = -g-

: 3  =

4:2 =

o ’ * • - '4X2’ T '

Iz 1. in 2.: Ulomek se razdeli, ako razdeliš samo
njegaštevec, aliakopomnožišsamonjegaimenovalec. II.

Pri sklepanju in računanju na pamet razločuj deljenje od merjenja 1 N. pr.:
1 a.  Koliko je 4 od f? — -g- °d -g- = ■§-, prav kakor: 4 od 6 K = 2 K.

1 b.  Koliko je 4 °d t ? — 4 °d 4 = A> od f 3 krat toliko = A-

2 v 4 = 2,

2 a.  Kolikokrat so 2 v {?

v f le 4 od 2 = f.

Ali: 2

iQ. i o
5 l 6 V

10 V 4 = A = f.*)

2 b.  Kolikokrat so 3 v f ? — 3 v 1 da 4> 3 v 4 da A; 3 v \  = A

Ali: 3 = A; A v f = 15 v 2 = A

*) Glaj krajšanje divizije str. 33.

Hauptmann, Raeunica za meščanske šole. I. (X. 297. Fol. 2/06.)

4

50

*7. Venec fig velja a) i  K, b)  K; koliko plačaš za 2, 5,
6, 10 takih vencev?

*8. Ako preleti ptič v 1 m  f km.  koliko v i, f ure, v 1 h  ?

■■•'D. Ako se 1 m volnine pri pranju skrči za -fo  svoje dolgosti,
za koliko se skrči 5 m,  10 m, 25 m iste volnine?

*10. V 1 % sladkorja je n/o vode; koliko vode je v 2 ky,  5 kg,
20 kg,  25 kg,  50 kg,  100 kg  sladkorja?

*11. Ako zmelje mlin v 5 minutah a )  to ki, k)  to ki, c) hi
zrnja, koliko zmelje v 1 minuti?

*12. Za 6 K se dobijo a)  f m, b)  -g- m zlate vezenine; koliko
za 1 K ?

*13. Ako velja 1 kg  strdi 2 K, koliko je dobiš a)  za f K,
b)  | K, c) 2i  K?

*14. Ako preleze polž v 1 h  6 m ; v koliko urah a) m,
k)  3 jo  m, c)  7 im?

B.  S sestavljenim operacijskim številom (ulomkom).

Z ulomkom množiti ali deliti doslovno nima zmisla. Ulomek je sestavljen
iz dveh faktorjev; torej je treba dveh računov (operacij), enega s števcem,
enega z ulomnico.

III. Množitev z ulomkom.

*1. Glavnica daje v 1 letu 60 K obresti; a)  koliko v 2, 3, . .
letih? b)  koliko v £,‘ -J . . . leta; c)  koliko v f, f . . . leta?
a) V  2 letih 60 K X 2 b)  V £ leta | od 60 K = 60 K X \  = ?

3 „ 60 K X 3 „ h  „ ?, od 60 K = 60 K X = ?

S i, h,  i • • • množiti se pravi deliti  z 2, 3, 4 . . .

, ‘ 0  2 60 K 60KX2

d) V f leta dobiš | od 60 K = 60 K X ^ = “g— X 2 =- g —

■§ sta 2 krat zato je produkt 2 krat tolik, kakor če množiš samo z g-.

Z ulomkom množiš, ako množiš s števcem in deliš
z imenovalcem (ali naopak) . III


51

Vaje. *2. Množi: a)  1. 2, 3, . . 10, 11, . . 20, . . . 100

i 8 o X i; H X i = ?

d)  1 kopa je 60 komadov; koliko komadov je i, J. A, J-,
Tor A, /o, žVj sV  kope?

18 X f = ?

cj 20X1|; 32Xl£; 60X2 4$; 100X641; 240X4«& = ?
*4. Po žlebu priteče vsako uro .6 hi  vode; koliko v -h,  v f,
V f, V ure?

Ako se dobi za 1 K f l  olja, koliko olja a)  za -f K,
b)  za M K?

a)  Sklep: Za f K se dobita f od f l  olja.

Na pamet: £ od \ l — l, \  od f l =  A l ; -f od f l —

3 2 3 X2

Pismeno: - X- =(f : 5)X2  = ' v  r. (Pravilo?)

4 5 4 X o

Vaje. *G. a)  f X -|; 1 X |; # X f; |Xf; $ X H;

12 X 11 = ?

b)  {f X |; $ X 14; l|Xf; HXf; f X lf; 8fXlf  = ?

c) 1 m  šifona velja K; koliko veljajo -f m, 2 4 m, 9f m?

*1. Meri  a) na sliki 5): Kolikokrat je 4, 4, sV vi?
Koliko je tedaj: 1 : 4; i; 1 : ; 1 : 1 : ^ —  ?

S i, k, i ■  • meriti  (deliti) se pravi z 2, 3, 4 . . množiti.

2. a)  Od f a  se plačuje 1 K zemljiškega davka, koliko davka
od 12 a?

Množi: a)  1, 2, 3, . . 18, 20, .
b)  4 X |; 5 X |; 8 X 6 X f;

IV. Delitev z ulomkom.

b)  2:4; 3:£; 4:*; 5 : i; . . . 10:* = ?

c)  3 : 4; 6 : i; 3 : 4; 5:4; 2 : iV; 10 : iV; 15 : =  ?

4: j = 4 X 5

4

52

Sklep: Tolikokrat 1 K davka, kolikorkrat so | o v 12 o. — 12 : ■§ = ?
«) | v 1 da o, v 12 12krat. toliko = 60; f v 12 dado 4 od 60 = 20.
P) Od -f a  1 K davka, od 4 a  -J K davka, od 1 a 5 krat toliko = | K,
od 12 a i. t. d.

b)  «) Trikratna vsota znaša 12 K; P) f neke vsote znašajo
12 K; kolika je vsakokrat vsota?

Vsota je a) 12 K deljenih s 3: j3) 12 K deljenih s f. — 12 : = ?

Ako so •§ vsote = 12 K, je 4 vsote = Aj? K in vsota o krat 4^ K = ?

, . 3 12 5

Iz oj in b) :  12 : J-  = J X  5 = 1 2 X "g . = ?

Z ulomkom se deli  (meri), ako se množi z obratnim
ulomkom  (t. j. s števcem deli, z  imenovalcem pa množi) . . IV

3. Iz I—IV. sledi:

3 . 10  5X10

10  ~ * 3 _  8 X 3

a) Q

b)

8

8

f=i-)xa=^

2  „ 8:2
15 X 3 _  15 : 3

15 ’ 3 \15

Kako se glase pravila o deljenju dveh ulomkov.

V a j e. * 4 . a)  4 : 4; 4 :  i; i : A; A '■  A; ; A : A =  ?

b)  4 :1; I: I; 4 : 4; 4: A; V  :1; 11: 44; : A = ?

c)  A '■  t; tu '■  A; 11: A ; 4 4 : 5 i; 4 4:34.

Sodček meri hi,  drugi sodček pa A hi ; kolikokrat se da
drugi sodček napolniti iz prvega?

■■■(5. Ako so ir  nekega števila = f; koliko je število?

*7. Koliko dni je 4 , 4, f, tu ,  A, M meseca?

*8. Koliko je 4, 4, t, A> A, A, 44 °4 1, 3, 10, . . 24 ur?
*9. Koliko cm je 4 , 4, -f, A, M, 41, 44, l Av»»?

* 10 . Koliko pol je a) 4, 4, A, 44. 44, 24  knjig papirje?
b)  Koliko lež papirja so 4. A, 44, 14, 44 rizrne?

*11. f neke vsote sta 135 K; a)  kolika je vsota? h)  Koliko
je 4, 4, 4 iste vsote?

* 12 . Ako velja 4 kg  sveč 1 K, a)  koliko velja 8 kg,  | kg,  64 kg?
b)  Koliko kg  sveč se dobi za 6 K, 15 K, 4 K, f K?

* 13 . Na mlinsko kolo se ulije vsako sekundo 4 hi  vode, a)  koliko
v 4 minuti, v 1 uri, v 24 urah?

h)  V koliko sekundah se ulije 1 hi, b hi,  4 hi,  4 hi  vode?


*14. Od dediščine dobi A  A, B  f in C is  t. ,j. 500 K: a)  kolika
je dediščina; b)  koliko dobita A in B?

*15. Ako se po \ q  rži zamenja za f q  pšenice, a)  koliko
pšenice se dobi za 1 q,  5 q,  ^ q, 2 q  rži?

b)  Koliko rži se mora dati za ? q,  1 {- q,  10 q  pšenice?

*16. Ako velja 1 kg  sladkorja K, koliko sladkorja dobiš za
a)  2 K, 5 K, 9 K; b)  za f K, f K, 1 f K?

*17. Od sukna, ki je lfm široko, se potrebuje Bi m; koliko,
ako bi bilo suluio a)  le 1 m, b)  1 im široko?

*1<S. V 1 dnevi se potlaka ulice; a)  v koliko dneh vsa ulica?

b)  Koliki del ulice v 3 dneh, v 1 f dni?

*11). V kad, ki drži 41 hi,  priteče vsako minuto po cevi A  7 \ l,
po cevi B  12 £ l  vode; a)  v koliko minutah se kad napolni; b)  koliki
del kadi se napolni v 12 ra , v 20“?

m.  Voz na motor prehiti v i uri £ um,  f (im ; koliko poti
premeri a) v  1”, 20 m , 25“; b)  v 1\ 3\ 5 A ?

c)  Koliko časa potrebuje za 1 jato,  8 pm; d)  za i pm,
i f pm ?

*21o Po čem je 1 hi (kg, m)  blaga, ako velja:

'd.  O stalnosti ulomkov.

Zneski, kakor n. pr. .  . se dado izraziti v manjših številih

(t. j. meriti z večjimi ulomnicami); ulomke, kakor n. pr. f- in merimo,
ako jih prej pretvorimo na skupni imenovalec (t. j. merimo s skupno mero).
Pri tem se ne sme izpremeniti ulomkova vrednost.

I. Krajšanje ulomkov (gl. str. 33. A).
a)  Na metroki palici: 5 drn = iu m =  £ m; — & = £.
75 cm = Tis m  =  iu m  —  f m; i^r = M =

200 mm  = m  =  i 2 tnr ■ =  i *; y$nr =  i^o — i_-

54

b)  Na daljici (sl. 5. str. 49): = to = I; M = f i. t. d.

V teli primerih se prvotna ulomniea nadomešča s svojim 2-, 3-,

4-, . . kratnikom, a od števila ulomnic se vzame le 2-, 3-, 4-, . . del.

c)  Da računajoč pretvoriš v f, počveteri ulomnico

1  *)

- 2*0  X 4 — )  = i , obenem pa razčveteri prvotno število

ulomnic: 12 : 4 = 3.

12 __ i2 : 4 _ 3
20 20 : 4 ~ *

Ulomek n eizpremeni svoje vrednosti, ako se števec
in imenovalec razdelita z istim številom.

To pretvarjanje se zove krajšanje ulomka.  Krajšati se
more le s skupno mero med števcem in imenovalcem (k r a j š e v a 1 n i c a).
*1. Krajšaj po redu: f, £, f, . . - 6 -; i. t. d.!

*2. Poišči naslednjim ulomkom krajševalnice pa krajšaj !

„ ) 4 9 15 18 2 4 48 ,1 27 64

a J ISi TZ,  -2T, TG,

b)

32

TfH)

432
2 16)

196
14 7)

24

BUT)

636
6 HO”)

6 82
”9 7‘9”)

1 9 6

t 1IT8

1344

"5TB0-

2220

TSTTff

Da okrajšaš ulomek z eno edino  operacijo na števcu iu imenovalcu,
vzemi za krajševalnico največo skupno mero  med števcem in imenovalcem.

A.  Največja skupna mera danih števil je ono največje število,

s katerim se dado dana števila meriti in deliti.

Ponovi pravila o razdelnosti števil!

■'*<». Poišči največjo skupno mero (M) od števil!

a)  4 in 6; 4, 6, 16; 8, 12; 10, 15, 20; 18, 24, 36.

b)  16 in 24; 20 in 30; 60 in 60; 400 in 600; 35, 70, 84.

c)  252 in 660; 540, 720, 900.

N. pr. 252 se da deliti z 2, 3, 4, 7, 9 j __ .

660 „ „ „ „ 2, 3, 4, 5, 11 j

V M spadajo vsi skupni faktorji; ti so 2, 3, 4. Njih produkt 24 pa

ni skupna mera, ker je faktor 2 preveč; kajti nahaja se že v faktorju 4.
Varnejšo pot ti kaže :

*J Po pravilu I. str. 49.

oo

B.  Razstavljanje števil na prafaktorje.

N. pr.: 528, 1980; M = ?

Razdeli vsako število z najmanjšimi prafaktorji, da dobiš nazadnje 1 za
kvocijent.

Kaj so navadna, kaj so medsebojna praštevila?

4.  Razstavi na prafaktorje: 872, 594, 1050, 4096, 9075, 12 528!

5.  Išči razstavljajoč največjo skupno mero števil!
a)  68, 76; 52, 78; 84, 168; 95, 135; 105, 231.

h)  315, 420; 720, 960; 732, 3660; 3335, 4381); 3790, 6045.
V zadnjih dveh primerih se razstavljanje ne da dognati, ako
ne spoznaš, da tičita v številih 3325 in 4389 faktorja 7 in 19, v številih
2790 in 6045 pa faktor 31. V takih primerih služi za določevanje
naj večje skupne mere :

C.  Verižno merjenje.
a)  Poišči največjo skupno mero števil 132 in 264!

V to svrho razišči najprej, ni li morda manjše število mera večjemu!

264 : 132 = 2. — M = 133.

56

b)  738 in 72; M. = ? — (Začni meriti kakor pod a).

738 : 72 = 10. — 738 = 72 . 10 + 18 j x
18 = 720 + 18 ( w

Ker ostane 18, število 72 ni skupna mera. Skupna mera mora biti
manjša od 72, kvečemu more biti 18, ker mora biti mera obeh sumandov
razstavljenega števila 738 (gl. 1). Zato merimo z 18!

72 : 18 = 4. — 72 = 18. 4, 738 = 18 .41 — M = 18.

Verižno merjenje  se vrši takole:

1. Meri večje število z manjšim! Ako je ostanek = 0, je manjše šte¬
vilo največja skupna mera obeh števil.

2. Ako pa se izkaže ostanek, meri zaporedoma vsak divizor z njegovim
ostankom! Ker meritve« ostanki pojemajo, moraš enkrat priti do ostanka 0.

3. Poslednji divizor je največja skupna mera obeli števil.

4. Je li poslednji divizor = 1 (na pr. pri številih 517 in 239), nimata
števili skupne mere, torej sta medsebojni (relativni) praštevili.

5. Meriš li dve števili z njih največjo skupno mero, na pr. 336 : 48 = 7,
576 : 48 = 12, sta kvocijenta (merski števili 7 in 12) relativni pra¬
števili.

6 .  Poišči liajvečjo skupno mero od števil!

a)  5412 in 972; c)  984 in 615; e)

b)  8415 in 6750; d)  1140 in 988;

7. Okrajšaj ulomke! a)  Mf,

851 in 597;
f)  19584 in 34944.

837

irfn>5

b)

1170 lg 45
630 ?  9 13,

8763 .
■$"2"21F»

1^28.

42 ;

30

24

B 6 1

1TE>&-

. 64
. 56’

14.25^ 78
49.65.72

8. Kolikokrat je a)  56 K v 84 K; b)  429 q  v 715 q  = ?

9.  Gora Gavrizankar je visoka 8800 m, Monte Roza 4640 m;
primerjaj njiju višini.

10.  Ako ima A  21 600 K, B  pa 12 360 K, kolikokrat toliko
kolikor B  ima A?

11.  V naslednjih primerih okrajšaj najprej, potem izračuni!

II. Razširjanje ulomkov.

a)  Na merah:  i m = 50 cm = itrn m ; — j —
| kg  = 400 g = kg ;

50

100 *

— 400

— lUOTJ*

3 h
¥

45'

4 5 h.
6 0 ,

_ 45

— 7TO-


57

b)  Na daljici (sl. 5. str. 49): k  = f = xtr = . . . —
= =  ki,  i- t. d.

V teh primerih se prvotna ulomnica nadomesti z manjšimi, a število
ulomnic se razmerno pomnoži, tako da se ne izpremeni vrednost ulomka.

c)  Da račujanoč pretvoriš f v ki,  postavi namesto ulomnice

k  nje 4. del, k :  4 —
3X4 = 12.

5X4

— ds,  P a  počveteri število ulomnic!

3 =  3 X 4 _
5 5 X 4 “

Ulomkova vrednost se ne izpremeni, ako nje ga
števec in imenovalec pomnožiš z istim številom.

To pretvarjanje se zove razširjanje ulomkov.  Število,
s katerim razširjamo, se zove razširjalnica.

*12. Razširi! a) k, i  ra -fif; b) k,  4 na  T%,  ' 2 V • • •

c) k, i,  f ra Te, ^ . .
e) ki, ki, ii  ra xtn>. tooo

Na pr. -- = —■ v

8 16

d)  i,

tu  ra Ttr

a)  Išči, koliki del prvotne ulomnice je nova ulomnica, (ali kar je isto,
kolikokratnik prvotnega imenovalca je novi imenovalec) ter pomnoži s tem
kvocijentom števec!

1 _ 3X2 ■_ 6

8 8X2 _W

2X3

b)  Sklepaj! 1 = -it, k  = ts,  t = — 11T '

*13. -f = tV;  t = it =  rij; ti =  tV;  ff — rim i' t- 6.
*14. Pretvori razširjajoč a) jtj  K, ki  K, kr,  K, fjj K, K na h;
b)  Mir kg, kg,  ff kg, ki kg  na g-, c) § d ,  f d ,  na ure!

*15. Razširi na 2- in 3kratni imenovalec!

I, I, h i, tg,  ik,  1 ts,  ‘2 A- ir, ri,  M-

A.  Pretvarjanje raznoimenskih ulomkov na istoimenske.

*16. a)  Pretvori na skupno ime (skupno mero)! “) 1 dm  in 1 cm
nam;  P) 1 dl  in 2 cl  na l ; r) 4 dkg  in 8 g  na kg;  8) 6 ur in
30 minut na dni.

58

b)  Pretvori f in na skupni imenovalec (meri ulomka s skupno
ulomnico)!

Skupni mnogokratniki od 4 in 6 so 12, 24, 36. . . . Zato se dado
-j: in -j skupno meriti z A, -gf, Te-  ... Da računiš v najmanjših številih,
vzemi za skupno mero A! To je ona skupna ulomnica, ki ima za imenovalec
najmanjši skupni mnogokratnik  prvotnih imenovalcev.

i = f

3  .

T2 ,

1

I 'J
¥1

2 .
12  •

3

%

3 X 3
12

— A-

2 X j5
12

jlo

i7-

B.  Najmanjši skupni mnogokratnik (mn) danih števil je ono naj¬
manjše število, ki se da z onimi števili brez ostanka meriti.

*17. Pretvori na skupni imenovalec! a)  i, }, h)  i, i,

c) h  I, A; d) h l  A; e)  f, A: f) l  A, £f; g)  A, M, U-

Največji imenovalec je obenem mn danih imenovalcev, torej tudi ime¬
novalec skupne ulomnice.

f)

*18. Prav tako: a) i, kb)

c)  i, t;

to; g )

7) A; h) {-.

I;

d) s,  f; e)

Prvotni imenovalci so relativna praštevila; mn je njih produkt. N. pr.:

s; mn = 15

§ in

(gl. sl.

1—5
3 —

6 ).

* =

3

3

Ti

ii

A-

Slika 6.

*lt). Prav tako: aj i in £; b) i  in i; c)  f in A; d )  i. £, f;

ej Ai A; it, it, M; A, M; h)  A, M. A-

K ej. Mnogokratniki od 15 so 30, 45, 60, 75, 90, 105,120 .. | _ ,,,,

„ „ 20 „ 40, 60, 80, 100, 120, 140 .. j mn

Produkt imenovalcev (15 X 20 = 300) ni mn, ker imata imenovalca
skupno mero 5, ki se v 300 nahaja dvakrat, torej večkrat nego je neizo¬
gibno potrebno. Ako razstaviš na prafaktorje: 15 = 3 X 5, 20 = 2.2.5
in 60 = 2.2.3.5, vidiš, da je treba neskupnim faktorjem 3 in 2.2 skupni
faktor 5 dodati le enkrat, da dobiš najmanjši skupni mnogokratnik 60.

59

20.  Določi, razstavljajoč na prafaktorje, najmanjši skupni mnogo¬
kratnik števil a)  20, 28, 36; b)  9, 12, 18, 27, 60, 84!

K a)  20 = 2.2.5 1

28 = 2.2.7 mn = 2.2.3.3.5.7 = 1260.

36 = 2.2.3.3 )

Skupna faktorja 2.2 = 4 sta pomnožena z neskupnimi faktorji 3.3.5.7;
ali faktorjem največjega števila (36) je treba še dodati neskupna faktorja
5 in 7.

K b)  9, 12, J8^ 27^  60, 84 ; mn = ?

2.3.3 3.3.3 2.2.3.S 2.2.S.7

Števili 9 in 12 prečrtamo, ker je mnogokratnik števil 18 in 60 itak
mnogokratnik števil 9 in 12. V naslednjih številih se nahajajo prafaktorji
2, 3, 5, 7 v raznem številu. Najmanjši skupni mnogokratnik zahteva faktor 2
dvakrat, 3 trikrat, 5 in 7 po enkrat.

Torej je: mn = 2.2.3.3.3.5.7 = 3780.

Razstavljanje na prafaktorje in izbiranje skupnih faktorjev od neskupnih
se opravi obenem takole:

21.  a)  Ako je znana največja skupna mera dveh števil, pa naj
se določi njiju najmanjši skupni mnogokratnik, n. pr.

1105, 1235; M = 65; mn = ?
razstavi vsako število na dva faktorja, eden je njiju M, drugi pa
mersko število; tedaj dobiš mn, ako pomnožiš M z merskima šte¬
viloma:

1105 = 65.17, 1235 = 65.19; mn = 65.17.19.
b)  Določi na ta način mn števil str. 56, 5 in str. 57 (i.

22.  Pretvori na skupni imenovalec (skupno mero) te-le ulomke!

a )  I,

_x

. 2 SL

120 ,

1  6  1 .
1^0,

3 .

TO i
247
2 7 0"!

b)

m-,

4

UT,

8

3?!

IB .
t 2 !

c)

A  65

V  lVu,

10 9
1UU,

1 3t
4  '54,

1 2 3
1 70-

6 ti 9

77 .
T5U 5

154
to IT-

d)

60

*23. Pretvori naslednje ulomke na skupno mero ter meri!

a )  'I ’  i; A : t; :  I; 9  : ■$; A ■■ 2 ; 12  : 4 -f.

b)  A : li; 7A : B|$; 6* : 5$; 3A : 3|; 12 : 6$f.

Primerjaj : 5 m v 2 « = | f v  t = t-
*24. Trije dečki imajo enake vsote denarja; od teh izda A  A,
B  §, C  2 -n-; a)  kateri je izdal več, h)  koliko ostane vsakemu, ako
so prej imeli vsi skupaj 7 K 20 h ?

*25. Razreši vaje 4. a) b) c)  str. 52 s pomočjo skupnih
imenovalcev.

26. Nekdo kupi 11 $ hi  vina po 36$ K ter proda vse vino
z dobičkom 62$ K; po čem je prodal hi  vina?

27. a)  8 delavcev zasluži v 1 dnevi 27 $ K ; koliko vsak
delavec ?

b)  Delavka zasluži v 4$ dneh 10$K; koliko v 1 dnevi?

c)  6 šivilj zasluži v 5$ dneh 69 A K ; koliko vsaka šivilja
na dan ?

4. Seštevanje in odštevanje ulomkov.

*1. a)  2 |\ha  + \ha  = ‘Aha  + (f + $)ha  = 2f ha  = 2$ ha.
h)  4_i2tB = 4 + 2 + 5_ ii _ 1 2

<!/ I T f T 5 — g — 9 — I

r)  £ — 4 = B 2  — 3 — i

c/ ^ 7> - -^

b

Z istoimenskimi ulomki računamo kakor z istoimenskimi števili.

Kako se torej doštevajo in odštevajo raznoimenski ulomki ?

61

4. a)  4m + |m + l|m = ? b)  i K + f K + 3* K = ?

e) -h  leta + f leta + lf leta = ? d)  l* a  + 2^ + %{¥ + +U d  =  ?

Reši te naloge ol)  v navadnih ulomkih, (3j v večimenskih številih,
y) v celotah nižjega reda, 8.) na decimalke!

*5. a)  l* —f 5 * 7 ‘ = ? b)  T^mes,— ^mes.= ? c)  9 T V—5| d  = ?

*6.aj9Z-l 1 &Z = ? i;i5K-3*K=? cj50K-28MK=?
d)  23 M.  -11 i§ if. = ? ej 45 Fr. - 161§ Fr. = ?

*7. 5Mm±2|f m  = ? b)  55M%-27=  ?

*8. «; 80A+10M-96ff+46|§=? 6j 1070-^-805^=?
t). «; (f+*)-(t+l*)=? 6; (12f-7f)-(5*-4i)=?

10. 1 — | + § — i + f —  A + tt —  M =  ?

*11. Kaj je več in za koliko : a)} § K  ali K ; b)  -fhy M.  ali -|§ M .;

c) ii  Fr. ali tuV  Fr.; d) kg  ali Aro kg  ?

*12. Izmed štirih vasi ob veliki cesti leži prva 4-g izven

glavnega mesta, med seboj so druga od druge narazen po 3f&»t;

izračuni njih daljavo od mesta!

13.  Če števec in imenovalec ulomka f a)  za 1 povečaš, b)  za
1 zmanjšaš, za koliko se izpremeni njega vrednost?

14.  Ulomku to  povečaj števec in imenovalec za 3, nato ju
zmanjšaj za 3; kolikrat večja ali manjša od prvega sta nova ulomka?

15.  Trgovec naloži £ svoje glavnice v posojilnici, 4 v tvorniškem
podjetju, ostanek mu da v trgovini v enem letu to je 980 K dobička;
izračuni posamezne vsote in vso glavnico!

5. Pretvarjanje navadnih ulomkov na desetinske.

Ako delitvene ostanke razvijamo na decimalke, n. pr.:

U =  47 : 20 = 2'35 = 19 : 3 = 6'3333 . . .

vidimo, da se divizija enkrat konča brez ostanka, enkrat
pa  ne. Torej dobivamo zdaj končne,  zdaj pa brezkončne  deci¬
malne ulomke. To se ravna samo po tem, kakšna je ulomnica t. j.
kakšen je njen imenovalec (divizor).

62

A.  Imenovalec je sestavljen le iz prafaktorjev 2, 5,
n. pr.. f, g, 4 , ss,  -g-, t2t.  -50, tu, 40. ■sir • • •

Ker je 10=2.5, 100=10 2 =2.2.5.5=4.25, 1000=10 3 = ? i. t. d.
dado se + in + pretvoriti v jV>  i in 2 V v liro. ■$  in tšt  v miru i. t. d.
Nazorila: Metrska palica, uteži, denarji in druge mere.

N. pr.: ^ m =  4 cm  = 0‘04; +§

A • 12 = 0'04 • 12 = 0'48.

Ali A = ?

Jt.000

1^005

_1_

_25

9 — 2 2 5 _

*1. Pretvori na decimalne ulomke! a)  4+, 8f, 1 2 1 ,  - B -; b)  §,

4 01 C 14 118..

»T, O it --

40  ■— lobo. To — Tolfo — 0 225.

3 11 61.

k? 2  . 5  .

_ .) 5 5.3. _2 2 544 512

2 5 1  v fj 8  . 12 6. 12 ”5. 8  *

3 -0 17 95 /.) 7 100 709 ,| 52

iw. x 6 , ig, -f-g-, ff . , . oj  Tnrs, Trs. TrsT.

13 3 9 7 81 67 35 K123 n 66

^o> To. ¥o. 40. oioo> d Trenj-

Navadni ulomki, katerih imenovalci so raz delni le
s faktorji osnovnice 10, se dado pretvoriti na končne deci¬
malne ulomke.

To pretvarjanje ni nič drugega kakor razširjanje na imenovalce 10, 100.
B.  Imenovalec nima nobenega faktorja  2, 5, n. pr.:

1 5. _8 16

t. 7. Tl. 2T • • •

+ = 1:7
lo—
3o-

E d st t dtsttm

01428571

_I I

2o
6o -

A  **tt

4o -

~ m

5o -

lo

Ker 10, 100, 1000 . . . niso
razdelna s 7, se tudi + ne da meriti
niti z ^g-, niti z ygg-, sploh z nobeno
desetinsko ednico. Zato se nobena divizija
ne konča brez ostanka.  Ker pa je
ta vedno manjši od divizorja, se morejo
prikazati le ostanki 1, 2, 3, 4, 5, 6. Če
nadaljujemo divizijo, se morajo pona¬
vljati prejšnji ostanki, torej tudi
prejšnje kvocijentove številke.

V  istini da + = 0442857 142857 1428... brez konca brez¬
končen  decimalni ulomek, v katerem se redno p o vračaj o
gotove decimalke.  Vračajoče se decimalke zovemo p o vračaj
ali perij  od  o, decimalni ulomek pa povraten ali perijoden.

V nakazanih operacijah se zapiše perij oda le enkrat ter se označi
s pikama nad prvo in zadnjo številko.

+ =0442857;  f = + X 2 = 0'285714; + = 0'3; + = 0'i.

_2

IT.

4- a)  f, | . . . f; b)

5 . ir, m m, m, w,  w, m, m

10  .

11.

c)  Ta. tsi

JL

t 2
13-

63

C.  Imenovalec ima zraven faktorjev 2, 5 še drugih
faktorjev, n. pr.: jp iV, t\,  li. i"o% vV, A 9 o> t 9 t% • • •

A = trs = i  : 3 = 0125 : 3 = 0'041666 . . . = 0'0416.

Isto dobiš po navadni delitvi 1 : 24 = ?

Decimalni ulomek obsega sedaj dva dela, 1. enoštevilčno — ali
večštevilčno perijodo, 2. pred perijodo pa eno ali več decimalk, ki
se ne vračajo.

Decimalne ulomke, pri katerih se ponavljajo vse decimalke,
imenujemo čisto povratne (čisto perijodne),  ulomke pa, pri
katerih stoje pred perijodo decimalke, ki se ne ponavljajo, nečisto
perijodne  decimalne ulomke.

6 .  Pretvori na decimalne ulomke!

5  7  11  13  18  61  85  81  2  9  113  819

65 12? 15"? ll? ? 24? 28? $  6 ? 48'? 54? 120? 360' • • •

7, Določi vsakemu izmed imenovalcev 2, 3, 4, . . . 20, . . .

100 kakovost decimalnega ulomka!

Navadni ulomki se pretvarjajo na decimalne, ako se števec deli z ime¬
novalcem in ostanek razvije na decimalke. Iz kakovosti imenovalca se lahko
naprej določi kakovost decimalnega ulomka.

6. Pretvarjanje decimalnih ulomkov na navadne ulomke. •)

A.  Končnih decimalnih ulomkov.

N. pr.: 0 624 — 0 cel. 6 d  2 st 41 = vntftr “f -  vuntr 4" iot =  "htoV =  tst;-

B.  Čisto perij o d n ih decimalnih ulomkov.

Vcasi se ve, iz česa je nastal decimalni ulomek, n. pr.: 4'1 = 4
0'6 = ■§. V drugih primerili je treba odpraviti brezkončno vrsto decimalk.
To se zgodi takole:

N. pr.: 0762 = 0762 762 762 7 . . .

1000 kratili dec. ulomek = 762762 762 762 ... +

_lkratni „ = 0762762762 . . . - Odštej!

OOOkratni dec. ulomek = 762'ooo ooo ooo
torej je lkratni dec. ul. = IM]  0762 = j-ff  = f$f.

') Za meščanske šole.

64

C.  Nečisto perij odrtih decimalnih ulomkov.

Sedaj loči perijodo s pred njo stoječimi decimalkami vred, potem še
perijode samo od breskončne vrste decimalk !

N. pr.: 0’63i38 = 0*63138138138 . . .

100 000 kratni dec. ulomek = 63138138138138 ... +

lOOkratni „ „ = 63138138138 ... — Odštej!

99900kratni dec. ulomek = 63075’ooo ooo ooo

1 kratni ul. 0*631L38 =  = iWs-

Pretvori na navodne ulomke!

1. 4'8, 0'46, 7*05, 2'376, 0*3096, 0*25872, 0'01024.

2.  0*36, 0*27, 87, 0*315, 0*4761, 51'45, 5*63072.

3. 016, 0*83, 0*912, 1*479!. 31058, 0*98013, 0*500702.

4.  Ko si rešil naloge str. 62, 1—5 in str. 63, 6, pretvori
zneske zopet na navadne ulomke!

Kako se dobi števec, kako imenovalec navadnega ulomka, ki je enak
končnemu, čisto perijodnemu, nečisto perijodnemu decimalnemu ulomku?

V naslednjih nalogah pretvori decimalne ulomke na navadne!

5.  01 X 0'25; 0*625 X 0*8; 6*96 X 0*33 ; 313 : 017 = ?

0. Iz 1 kg  čistega zlata se nakuje 34441 Fr.; koliko Fr. iz
3’6 kg  č. zl. ?

7. 3280 avstr, kron v zlatu ima isto vrednost kakor 34441 Fr;
a)  koliko Fr gre na 1 K, b)  koliko K na 1 Fr?

8. Zlatnik po 20 K ima 6'09756 g  čistega zlata; koliko 20 K-skih
zlatnikov se nakuje iz 3*3 kg  čistega zlata?

7. Nekoliko o računanju z netočnimi števili.*)

a)  Z brezkončnim številom decimalk perijodnik ulomkov računiti ni
niti mogoče, niti potrebno. Ako imaš n. pr. 16*72 kg  in 9"6234 kg  sešteti
ali odšteti, premisli, kolike natančnosti ti je treba v znesku 1 Ce hočeš še
g,  je treba 3 decimalk; da se pogrešek zmanjša kolikor mogoče, računi na
4 decimalke s popravo !

b)  Ako si tehtajoč blago našel utež — 2*74 . . kg,  utegne biti to
število nenatančno, in točneje tehtajoč bi morda še dobil g , dg, cg.

Za meščanske šole.

65

Števila, katerih nižja mesta so neznana ali pa so se pustila znemar,
zovemo netočna  števila. Merska števila, ki se dobe pri merjenju in tehtanju,
so večinoma netočna števila. Pri takih številih vselej premisli, koliko mest
utegne biti v znesku zanesljivih, ter računi po okrajšanem načinu !

N. pr.: a)  517'6 p.m ± 139 5436 pwi (na m) — ?

|j .m  517'66666 6 . . j Vsota = 657'2102 L 9 pm = 657'2103 \xm

[xm  139 54363 6 . . j Razlika =  378'1230 L 3 [xm = 3781230 {im.

b)  32‘82615 K X 10'503 (na h) = ? c)  9376 kg  : 4'08 (na dg)  = ?

K 32 82615 . . . kg  93767676 ..: 4’088888 L 8 ..

,, 503 0501  . = kg  22'9323 L 1

= K 34478(9 = 344 K 79 h.
d)  17320 5 . . X 9'36 = ?

15 588416. .

519615 . .

1039i230 . .

= = 16 2119 880 . ,=16‘2120
c)  3141159 . . X 16'85 . . = ?
1 88 4954 . .

2513272 . .

1'570795 . .

= 22 kg  93 dkg 2g3dg.

Multiplikand je netočno, multiplikator
pa točno število; v produktu se dobi po
okrajšanem računu čvetero zanesljivih
decimalk.

Oba faktorja sta netočni števili; njih
produkt da kvečemu eno zanesljivo
decimalko.

52’9 357915 . . . = 52’9.

Napis: «) 314159.. P) 16*85..

..5861 ..951413

~ ?  ?

Najnižje zanesljivo mesto v produktu izveš n. pr., ako vzameš oni
faktor za multiplikator, ki ima več številk ter ga postaviš v obratnem redu
pod multiplikand tako, da še imaš eno multiplikandovo številko za popravo.
Mestna vrednost one multiplikandove številke, pod katero stoje ednice
multiplikatorjeve,  je obenem mestna vrednost naj nižje še
zanesljive številke v produktu  (glej napis P).

1. 162'4070 K ± 80*92 K (na h) = ?

Ž. 60 § a  ± 42 a  (v decimalkah na nv) —  ?

3. 245"6 km  ± 79'084 km  (na m) = ?

Hauptmann, Racunica za meščansko šole. T. (X. 29 7. Fol. 2/0 6.)

5

66

4 . 6794 ..qi  4'0586 . . q  = ? (Na koliko zanesljivih mest?)

5. a)  8'3 X 0'56 (3 dec.) = ? b)  26'05 . . X 078 = ?

(Na koliko mest?)

6. a)  194‘009 . . X 66 - 47 = ? b)  340725 . . X 812 . . = ?

7. Izmed dveh njiv meri prva 78'64 . . a,  druga 46'084 .. a;
kolika je a)  njiju vsota, b)  njiju razlika; c)  koliko meri njiva, ki
je 3krat tolika kolikor njiju razlika; d)  ki je § njiju vsote?

8. Razne naloge o ulomkih.

1. Okrajšaj: lf, |f,
* 2 . Pretvori: 10 f,

7 2 .12 0

SU; 9 6 j

15 h  68

216 720 351.2 jlO 7 6 t

'3 2'4, -g-g-g-, 439 l  lTS~f !

37 .
Totr,

-I + 2,

3

"S - )

14-

5
7 1

60 — 15 x 7 ^!

*3. 4±i,iXii:i;|±A; (f + i) - f = ?

4. 2§ X 4; 2f:4;7#X45;6&:83;  1* X 5*. 1$: 5* = ?

5. Kolika je razlika a)  med 35 H kope in 19 v tj  kope; b)  med
6i h  in llf*  dopoldne; c )  med 8-p dop. in o4 A  popoldne?

6. Črešnja je dala letos 1 - 2 9 o ( J  erešenj, lani 1 Jf q ; a)  kdaj

je bila rodovitnejša in za koliko; b)  koliko se je izkupilo, ako se je

kg  vsakokrat prodal po 25 h ?

7 .  Cveterokotnikove stranice merijo 37-im, 28 f m, 26in
33im;  kolik je njegov obseg?

8. Ko sem meril trikotnikove kote, sem dobil 97 iV\ 64-§F
in 171°; a)  kolika je njih vsota? b)  Kolik je bil pogrešek pri merjenju?

J). Zaboj, poln blaga, tehta 128 kg,  prazen zaboj 12 f kg ;
a)  koliko tehta čisto blago? b)  Koliko se plača za ves zaboj, ako
se računi kg  blaga po 11 K, zaboj sam pa po 2i 8 (jK?

'10. Ako je pri 1 kg  blaga -^s  K dobička, a)  koliko je dobička

pri 75 kg! b)  Pri koliko kg  bi bilo dobička 100 K, 45K?

11 .  Njiva, ki obseza 7-g ha,  se je kupila za 2964 K; po čem
je bil ha , a!

12 .  Polž, tehtajoč 8 \ g,  je vlekel 250 g  železa; kolikokratno
svojo težo je vlekel?

13. Trgovec proda 7 { m  snovi z 2 K dobička (z 1 4 K izgube);
a)  koliko dobička (izgube) je pri lm? b)  Pri koliko m je dobička
(izgube) 7\  K?

67

*14. Kolikokrat je a) is  v 4, i, i, 3 4? b) is  v 4, f, I, ro>
-M; c) -is  v iV, -I, f, 4 ?

•15. Koliko je 4, 4, tV  od 1, 4, i, 4 uro aj na ure, b)  na minute?

16. Hribolazec porabi od živeža, ki ga ima s seboj, v 1 dnevi

4 t. j. 2 4 : a) koliko ga je vzel s seboj? b)  Koliko bi potreboval

v 6 dneh? c)  Koliko dni bi izhajal s 25 kg  živeža?

17. Ako velja 2 4 m,  3 4 to,  6 4 m trakovja a) 4 K, b) &  K,
c)  f M, d)  f Fr, po čem je 1 m vsake vrste oziroma v h, pfg., cts?

18. f Fr = f M\ a)  koliko JU je 4, 15, 100 Fr? b)  Koliko
frankov je 5, 18, 100 mark?

19. 68 4 m dolg vrt meri v širini samo f svoje dolžine; a)  kolik
je njegov obseg? b)  Koliko velja njegova ograja po 54 K od m?

20. Električni voz prevozi v 1 uri 28 km ; a)  koliko v 5,
8 4, 104 ure? b)  Kolika je pot v 1 minuti, v 1 sekundi?

21. Ako dela pešec korake po f m,  rabi za neko pot 5 4 ure;
koliko ur, ako so koraki po is,  4, !« dolgi?

Po -J to  korakajoč.5 4 are, J Ulomni napis:

„ 4  m  „ 3 krat toliko ....  ( _ 21 1 ' X 3 X 2 _

„  jV to  „ še 2 krat toliko . . 1 x  4X7

» t 7 o m  »  7. del od prejšnjega ) Okrajšaj ter izračuni!

22. Brzi sel prehodi v 1 4 ure 2 4 milje, v koliko urah 1, 6,
4 4 milj ?

23. Kmetovalec proda 4 pridelanega žita za a)  369 4  K,
b)  223 4 K; koliko bi dobil za ves pridelek, za f pridelka?

24. V kadi, ki je napolnjena do f, je a) is hi, b)  1 4 hi  vode;
koliko vode je v 3 takih do 4 napolnjenih kadeh?

25. Za | kope palic se plača 3 4 K; a)  koliko velja 1 kopa,
is  kope? b)  Koliko kop se dobi za 1 K, 16 f KV

26. 1 + 4 + 1 + 1 + 4 + 44 + n  + 44 = ?

27. a)  §41 + 444 + i¥r  =  ? b)  §44 ftf = ?

28. 141+  2§§-3§§ + 4|-§-5t% = ?

29. Od 426 § K dolga se polagoma poplača 112 4 K, 75 is  K,
57 § K in še 4 ostanka; koliko je sedaj še dolga?

30. a)  4t ^ 1t; h)

5

TS

x i|

X II; cJ

18 X 25 X 35
24 X 40 X 70

31. a) 1 n  : 25; b)  49 : 25 4; c)  (400 : M) X f = ?

32. a)  (I! X M): 14; - 6) (lf x 4  X 4) : -n  = ?

5 *

?

1

68

83. Od neke vsote dobi 4 B  pa ostanek, t. j. 306 f K;
a)  kolika je vsota? b)  kolik je 4,-jev delež?

34.  Trije bratje razdele med seboj dediščino 7260 K a)  na
enake dele, b)  tako da dobi A  -3-, B  §, C  pa ostanek; koliko dobi vsak?
c)  Koliko, ako sta vsakokrat A vsote odšteti za davek?

35. Ako da 437 4 K glavnice 17 4 K obresti, a)  koliko obresti
da 100 K glavnice? b)  Od katere glavnice dobiš 100 K obresti?

36.  Glavnica da v 1 f leta 53 A K obresti; a)  koliko obresti
v 7  leta? b)  v koliko letih 61 f K obresti?

37.  Povečaj (zmanjšaj) števec in imenovalec ulomka a)  4 za 1,
b) -h  za 2, c)  4t za 3, d) -g  za 6  ter izračuni razliko med novim
in prvotnim ulomkom!

38. Pomnoži v ulomku f£ števec z 2, 3, . . , imenovalec pa
razdeli z istim številom; za koliko je novi ulomek večji od prvotnega?
b)  kolikokrat tolik, kolikršen je prvotni ulomek, je novi?

5). Orehi.

*1. Katero je ono število, čigar 5-, 6 -, 8 -, 12 kratnik je 120?
*2. i, 4, i, • . tV  • • nekega števila je a)  6 , b)  15, c)  24;
katero je število?

*3. Na mizi leže 3 kupi vinarjev; f prvega, f drugega, | tret¬
jega kupa dado ravno 60 h; koliko h je v vsakem kupu?

*4. 1 4 neke uteži je 12 < 7 , 45 dkg\  kolika je utež?

* 5 .  2§ neke vsote sta 24 K, 56 K; kolika je vsota?

*6. Da imam še 1 krat toliko, kolikor imam in še 20 h, bi
imel ravno 1 K; koliko imam?

*7. Da je moj bratec 2krat tolike starosti, kolikršne je, manj
2  leti, bi štel ravno 10  let; koliko je star?

* 8 . Katero število je za 3 4 večje (manjše) od 24, 4 4, 7f?
*9. Katero število je 3 krat toliko, kolikršna je polovica od

l ii,  2  A?

69

*10. Od katerega števila je a)  3kratnik za 8 večji od števila
samega; b)  polovica za 5 večja od nje tretjine?

*11. Petkratna vsota je za 63 K večja (manjša) od dvakratne
(osemkratne); kolika je vsota?

*12. Od katere daljice je -i a)  za lm, b)  za 4 \ m  večja od nje •§?

*1S. Podvojena glavnica in nje tretjina sta skupaj 28 K, 700 K;
kolika je glavnica?

*14. Deček pravi: a)  ^ in i mojega denarja sta skupaj 35 h;
koliko ima denarja? b)  Koliko, ako sta | in £ skupaj 1 K?

*15. Sestrica reče: f moje gotovine so za 64 h večje od ;
koliko ima?

*16. Od komada sifona se odrežeta -f, nato -^j, ostane pa še
9 m; a)  koliko m  ima ves komad? b)  Koliko metrov se odreže
vsakokrat?

*17. Koliko velja 1 kg  blaga, od katerega sta |- kg  za 24 h
dražji od f kg  ?

*18. Koliko je a) H  od i  od 100? b)  11 od £ od 200?

*19. Stroj natke v | ure za 12 m  platna manj nego v f>  ure;
koliko natke v 1 uri, v 6 urah, v 4£ ure?

*20. Kmetica proda od svojih jabolk i, i  in i, ostane ji še
5 jabolk; a)  koliko jabolk je imela na prodaj? b)  Koliko jih je
prodala vsakokrat?

*21. i,  i in -J- mojega prihranka skupaj je za 17 K večja od
njega 4; koliko sem prihranil?

*22. Podvojeno število moje govede je za 24 manjše nego nje
3-| kratno število; koliko glav je živine?

*23. A si kupi hlače in kiobuk, skupaj za 21 K; hlače so
2 l  krat tolike vrednosti, kolikršne je klobuk; po čem je vsak komad?

*24. Trgovec izda od svoje gotovine -J in {,  dohodkov ima za
nje polovico; gotovina znaša sedaj 660 K; kolika je bila izprva?

*25. Od svojega denarja dam za suknjo, i  za popravo črevljev;

hočem plačati perici, a manjkata mi 2 K; a)  koliko denarja
imam? b)  koliko imam plačati na drobno?

70

Y. Razmerja in sorazmerja.

1.  Primerjanje istovrstnih količin.

1. a)  Za kolikoje 10 K več nego 2 K ?

h)  Kolikokrat toliko kolikor 2K, je 10 K ?

2.  Primerjaj istotako: 8 m in 2 to;  12 ^ in 72 q\  42° in 28° i. t. d.

3. Polir zasluži na dan 5 K, njegov pomočnik 2K; primerjaj
njiju vsakdanja zaslužka,

a)  Po koliko K zasluži polil’ na dan več nego pomočnik?

Odgovor najdeš z odštevanjem.

b)  Kolikokrat toliko kolikor pomočnik, zasluži polir?

Ta naloga se reši z merjenjem?

c)  Vprašanje b)  se lahko tudi glasi: Kolikokrat je pomočnikov zaslužek
v polirjevem zaslužku? — Tolikokrat kolikorkrat 2 K v 5 K.

Ali: Kako se ima, v katerem razmerju je polirjev zaslužek proti
pomočnikovemu zaslužku? — Kakor 5 K proti 2 K, piši 5 K : 2 K = ?
2 K sta v 5 K tolikokrat kolikorkrat 2 v 5, t. j. 2-g-krat; torej se ima
5K:2K  = 0:2  = 2i

4. V katerem razmerju sta daljici a)  in h)  slika 7. med seboj?

Izmeri večjo daljico z manjšo!

Ker dobiš ostanek r,  zato b  ni
skupna mera obeh daljic. Poizkusi
obe daljici izmeriti z ostankom
r  (verižno merjenje, gl. str. 55)!
Tukaj je r v a  4 krat, v b  3 krat, ali a —  4 r, b  = 3 r  in
a : b  = 4 r  3 r  = 4:3 = 1 - 3 - ali b ■■ a ~  3 r  : 4 r  = 3 : 4 = f.

Akojea=lm,ječ>=fm b=lm,a=i$m

„  „ a=5m,  „ b—f  od5w=3f m 6=2m, a— f od2m=2-|mi.t.d.

Divizije merjenja se z o vej o tudi razmerja.

a

b  I-

Slika 7.

2. Razmerja.

Eazmerje kaže, kolikokrat  je izmed dveh števil (ali istovrst¬
nih količin) drugo v drugem, — N. pr.: 6 m : 2wi = ?

Beri: Kolikokrat sta 2 tov 6 to,  ali kolikokrat ima 6  to v sebi 2 m
ali kako se ima 6  to  proti 2 m  ?

71

V razmerju imenujemo dividend prvi ali prednji člen  (p),
divizor drugi ali zadnj i člen  (z),  znesek merjenja pa razmer ski
količnik ali razmerski kvocijent (k).

6 m  : 2 m  = 3, 6 m = 2 m X 3, 2 m — 6 m : B.

p : z — k, p — z y. k, z = p : k.

Kako se računi količnik, kako prednji, kako zadnji člen ?

Razmerja 5 K : 2 K, 6q : 4:q  zovemo  količinska, 5 : 2,
6 : 4 pa številska razmerja. Vsako količinsko razmerje se da
pretvoriti na številsko. Razmerje se ne izpremeni po svoji vrednosti,
dokler se ne izpremeni njega količnik. Razmerja so enaka, ako
imajo enake količnike.

5. Izračuni količnike : a)  16 K : 8 K ; b)  30 l  : 60 l ;

cj 20*:15*; $ 36:48; e)  75 : BO; f)  1* : g)  5i:4i  = ?

6. Iračuni neznani člen: a) p :  4 = 3; b) p :  12 = 4 ;
c)  16 : z = 8; d)  24 : z = H; ej ^ : 75 = T 7 T !

•*7. Imenuj količine ali števila, ki so si v razmerju:

$1:2; b)  2:3; c) 1 : 4; $3:4; $5:8!

8. a)  Katera vsota je proti 10 K v razmerju 3 : 5, 3 : 2?
b)  Do katere glavnice je 180 K v razmerju 9:4, 6 : 5 = ?

Pretvarjanje razmerij.  Kdaj šene  izpremeni kvocijent in
torej tudi ne razmerje? Kako se krajšajo kvocijenti in ulomki?

9. Izrazi naslednja razmerja v najmanjših celih številih:

razdelita s skupno mero.

V razmerju se odpravijo ulomki,  ako se oba člena
pomnožita s skupnim imenovalcem (ali razdelita s skupno ulomnico).

10 . Izrazi razmerja pod 5 v najmanjših celih številih ter
izračuni količnike!


72

11. Istotako: a)  16 : 20; b)  86 : 24; c)  2 : f; d)  f : •&;
e)  1| : 1'5 = ?

12.  Določi nastopna razmerja: a) lm : 1 dm,  1 dm : lm =  ?

b)  1 K lih;  c) 1 kg :lg- d) Iha  : 1 a; e)  1 hi  : 1 dl = ?

13. a)  1 avstr, milja : 1 a m; b)  1 dun. cent : 1 q\

c) 1 hi  : 1 vedra? (gl. str. 3)!

14. Izmeri dolžino in širino mize, višino in širino šolske table,
vrat, oken i. t. d. ter določi njih razmerja v najmanjših celih številih !

15.  Šolsko poslopje je 154 m visoko, zvonik je 464 m visok;

a)  v katerem razmerju je višina poslopja proti zvonikovi višini?

b)  V katerem razmerju pa zvonikova višina proti višini šole?

16.  Ako velja 1 kg  sladkorja 96 h, 1 kg  kave 3'6K, 1 kg  moke
40 h, 1 kg  soli 22h, lkg  govedine 1'4K, kako se ima izmed teh
živil drugo proti drugemu?

17. Oče šteje sedaj 44let, mati 384, sin 164, hči pa 13fleta;

a)  katero je starostno razmerje dveh in dveh izmed teh oseb?

b)  Katero je bilo njiju razmerje pred 54leta?

c)  Katero ho njiju razmerje po 22letih?

d)  Kako se da starostno razmerje teh oseb združiti v eno
razmerje?

18. a)  Izmed dveh šivilj šiva prva 12 ur, druga 9 ur na dan;
v katerem razmerju sta si njijina izdelka?

b)  Ako pa prva v 12 dneh izdela toliko, kolikor druga v 9 dneh,
v katerem razmerju sta si njiju zaslužka?

Njiju zaslužka se imata med seboj, kakor :  4 — 9 = 12 — -f.

19.  Neka hiša meri na dolgo 20m, na široko 10 m; načrt te
hiše pa meri na dolgo 2 cm,  na široko lem;  po katerem razmerju
je izdelan načrt?

20.  Od zemljišča se naredi načrt po razmerju 1 : 2880; ako
je načrt 4 cm  dolg in 3 cm širok, kolika je širina in dolžina
zemljišča ?

21.  56 kg —  100 dun. Ti \  katero je razmerje 1 kg  proti 1 dun. "S'?

i kg — \\°  dun. Ž7, ali 1 kg  je 1 dun. Tl  tolikokrat kolikor kaže Vg'.

1 kg  : 1 dun. Tl  = ’ r ,° B 0  in 1 kg  : 1 dun. Tl —  100 : 56.

73

22. a)  5 kg  riža in 3 kg  sladkorja, b) 7 dkg  čaja in 31 \dkg
kave imajo isto vrednost; v katerem razmerju sta si vsakokrat
kupni ceni?

V teh nalogah se je izrazil znesek v obliki dveh enakih
razmerij; v prvem tiči vprašanje, v drugem pa odgovor.

3. Enaka razmerja — sorazmerja.

Enakost dveh razmerij se iz raz uje z razmersko
enačbo ali sorazmerjem  (s proporcijo).

N. pr.: 12:9 = 4:3.  Beri 12 se ima proti 9, kakor 4 proti 3.
V sorazmerju so lahko količinska in številska razmerja.

N. pr. : a)  B kg :  3 kg  = 60 h : 36 h; b)  6 m : 4 m = 3 : 2;

c)  8i : 9 = 25 : 27.

Enostavno sorazmerje ima štiri člene, dva prednja, dva zadnja;
dva vnanja, dva notranja člena.

1. Ali se dado iz razmerij a)  15 g :  10 g  in 3 : 2; b)  12 : 15 in
5 : 6; t c) dkg  : 5% in d)  27 K : 15 K sestaviti prava razmerja?

Sorazmerje je pravo, ako sta si njega količnika
enaka.

2. Katera naslednjih sorazmerij so prava: a)  6 : 8 = 18 : 24 ?
b)  48 : 32 = 14 : 10? c)  * : 14 = -| : 15?

Korist sorazmerij  je ta, da se da iz treh znanih členov
izračuniti četrti člen. N. pr.:

8. a) l.  X : 8 = 11 : 5; X = ? Razmerski količnik je 1 5 1 , torej mora biti
x : 8 = V" i n
r vil_S X 11

1 Ct,  X — O /\ 5  — ---

h)  II. 6: 7 = y ; 14;  y =  ?

y:

II a. y

y : 14 = t  m

— J>

14 X |

14 X C
7

'Razmerski količnik — -f, torej

Primeri, kako so členi sorazmerij I. in II. razvrščeni v izrazih I a  in II a !
Vsak vnanji člen sorazmerja je enak produktu
obeh notranjih členov, razdeljenemu z drugim vnanjim
členom.

74

Vsak notranji člen sorazmerja je enak produktu
obeh vnanjih členov, razdeljenemu z drugim notranjim
členom.

«)

4.  Reši naslednja sorazmerja po ulomnem napisu, okrajšaj  i.t.d. !

N. pr.:  x | = 96 : 72;  * - jrSJfc- *

a) x :  3 = 8:4;  b)  30 : x = 24 : 12

c)  21 : 7 = y : 16; d)  6 : H = 12 : x

5. Istotako: a)  x : 49 = 27 : 21; b)  16 : 40 = y : 25;
: 4 = 2'4 : 7*5;  d)  4 : li = 18 : y.

Preizkušnja. Postavi v sorazmerje namesto neznanke najdeno

število ter preišči, je li sorazmerje pravo!

4. Razreševanje trostavnili (regeldetrijskih) nalog s pomočjo

sorazmerij.

1. a)  Ako veljata 2 m svile 9 K, a) tedaj velja 6 m 27 K.
P) Koliko velja 15 m?

K a)  a 2 m  svile + 9 K ) Razmerje med množinami blaga = 6 to  : 2 w = 3 (1)
* 6 m  „ * 27 K | „ „ njih cenami = 27K : 9 K = 3 (2)

Iz (1) in (2) izhaja sorazmerje: 6 to:2to= 27K:9K  (3), katero
tudi velja, ako je ena izmed 4 količin neznana.

Ako sta dve vrsti količin tako zavisni druga od druge, da spada
k 2-, 3-, 4-, . . . kratni količini ene vrste 2-, 3-, 4-, . . . kratna
količina druge vrste, tedaj pravimo, da sta te dve vrsti količin premo
sorazmerni  ali da sta med seboj v premem razmerju.

Premo sorazmerne količine so n. pr. blago in njega cena, čas
in plačilo, glavnica in obresti i. t. d.

Ako se da sklepati: Čim več . . ., tem več . . ., sta količini

premo sorazmerni.

K P) | 2 m  svile | 9 K
i 15 TO  „ k  X
x : 9 K = 15 : 2
9 K X 15
2

x = 67'5 K

1. Pregledno razstavi količine !

2. Nastavi razmerje x : 9 K !

3. Sklepaj: C im v e č denarja,
tem več se dobi blaga. Količini
sta premo sorazmerni;  zato je
drugo razmerje v istem redu vzeto
(15 : 2) prvemu ednako. (Glej pušici.)

4. Rešitev. 6. Odgovor.

5. Izračunanje. 7. Preizkušnja.

75

b)  Ako zadostuje 1 hi  ovsa 6 konjem za 4 dni, a) zadostuje

tudi 3 konjem za 8 dni. P) Koliko časa izhaja z njim 12 konj?

K «) * 6 konj +■ 4 dni ) Razmerje števila konj = 6 konj s 3 konj — 2  ( 1 )

v 3 konji 8 dni | „ „ dni = 4 dni : 8 dni = £  (2)

Neednaki razmerji (1) in (2) se izenačita, ako se eno izmed njih obrne,
n. pr. drugo: Obratno razmerje dni = 8 dni : 4 dni = 2 (3).

Iz (1) in (3) izhaja: 6 konj : 3 konj = 8 dni : 4 dni
ali 6 : 3 = 8:4..  (4).

Sorazmerje (4) velja tudi, ako je edna izmed 4 količin neznana.
Spada li k 2-, 3-, 4-, . . . kratili količini ene vrste 4, i,  t . . •
drugovrstne količine, tedaj pravimo, da sta te dve vrsti količin
obratno sorazmerni ali da sta med seboj v obratnem

razm  er  j u.

Obratno sorazmerne količine so n. pr. število delavcev in čas
dela, glavnica in čas ob enakih obrestih, tovor in pot ob enakem
plačilu, dolžina in širina ob enaki ploščini i. t. d.

Obratna sorazmernost se spozna po sklepu: Cim več . . .,

tem manj.

K P) $ 6 konj | 4 dni
r 12 konj $_y_

y : 4 dni = 6 : 12

4 dn i X 6
12

2 dni

Sklepa se: Cim več dni

naj zadostuje oves, tem manj konj
ga sme zobati. Količini sta torej
obratno sorazmerni  in njiju
razmerji sta si v obratnem redu (glej
pušici) enaki.

2. Rešite sklepne račune na str. 31 i. d. tudi s pomočjo sorazmerij!

Rešite nekaj na pamet, nekaj pismeno po ulomnem napisu
(gl. str. 67) ali z pomočjo sorazmerij:

*3. Ako se dobi po 40 jajc za 2 K, a)  koliko za 6, 10, 25, 404 K?
b)  koliko velja 60, 120, 200, 500 jajc?

*4. Ako plačaš za 4 kg  sirovega masla 8 K 40 h, a)  koliko

za 1, 3, 8, 21 kgl b)  Koliko sirovega masla dobiš za 3 K 15 h,

22 K 5 h, 54 K?

* 5 . Krojaški pomočnik zasluži v 6 dneh 21 K 60 h, a)  koliko

v 3, 9, 15, 27 dneh? b)  V koliko dneh zasluži 7'2 K, 45 K?

*6. Ako donaša 964 K glavnice 89 K 60 h obresti, a)  koliko
obresti donaša 3-, 4hkratna glavnica? b)  Koliko obresti da f, -f
iste glavnice? c)  Koliko obresti dobiš od 241 K, 723 Iv, 1446 K
glavnice? d)  Katera glavnica da 224 K, 22 K 40 b obresti?

76

*7. Kmet proda -j%  pridelanega žita za 350 K; a)  koliko bi
dobil za i, za f žita, koliko za vse žito?

b)  Ako znaša f njegovega žita 54 q  60 kg,  kolika znaša ves
pridelek. §, i, f tega pridelka?

8. Od 100 kg  kave se plačuje po 74 K carine (uvoznine), koliko
je plačati od 70, 120, 250, 365 kg  ?

a)  Uvoznina od čistega laškega olja znaša po 4'8 K od
100 kg;  kolika je uvoznina od 10, 360 kg,  od 4i q  = ?

b)  Od mešanega laškega olja pa je uvoznine po 8'4 K od
100 kg;  kolika je uvoznina od f q,  1 ^ q,  2£ q7

*10. 12 komadov prtenine po 36 m  se zamenja z drugo a)  po
48 m, b)  po 32 m;  koliko komadov se dobi?

11 .  Zid, ki je 5'64 m  visok in 42 cm  debel, velja toliko kolikor
drugi zid po 4'96 m višine; kolika je njega debelost?

12.  Pridelka dveh vinogradov sta med seboj v razmerju 6:5;
ako da a)  prvi 132 hi  vina, b)  drugi 1821- hi  vina, koliko drugi,
oziroma prvi?

13.  Dve vrsti premoga dajeta ob gorenju vročine v razmerju
3:4;  a)  koliko q  prve vrste da isto vročino, katero da 24 q
druge vrste, h)  Velja li 1 q  edne vrste 1 K 26 h, koliko velja 1 q
druge vrste (2 primera)?

14.  Dvoje suknin je po širokosti v medsebojnem razmerju
a)  5:4,  b)  1£  : U;  koliko m  sukna ene vrste je treba za obleko,
za katero je od sukna druge vrste treba 2'6 m  (po 2 primera)?

15.  Izmed dveh zobčastih koles, ki se stikata, ima prvo 120,
drugo 40 zob; a)  kolikokrat se zavrti drugo kolo, ako napravi prvo
1 vrtež, 5, 8| vrtežev; b)  kolikokrat se zavrti prvo, ako seje  drugo
zavrtelo 1-, 6-, 7 f krat? c)  Ako se zavrti prvo kolo 960 krat, koliko
zob bi moralo imeti drugo, da bi se v istem času zavrtelo
1600 krat ?

10. V kuhinji se skuri v 2 urah po 8 ^ kg  kuriva v vrednosti
22 h; a)  koliko se porabi kuriva v 30 dneh, ako se na dan kuri
po 3 \  ure? b)  Koliko velja to kurivo?

77

Pregledni napis:

a b

2 uri . . 8 4 %

30 dni po 3 4 ure . x

c

22 h

y

Načrt: 1. Izračuni, koliko ur se kuri v 30 dneh! (Sklep od ednine na množino).

2. Izračuni množino kuriva za 30 dni x! (1. trostavek iz a  in b).

3. Izračuni ceno kuriva za 30 dni y! (2. trostavek iz a  in c).

17.  Na Dunaju se plačuje užitnine za vsakovrstne ribe in za
salamo po 12 h od kg,  za vino po 16 h od Z. Koliko je odšteti užit¬
nine, ako se pripelje v mesto 135 kg  rib, 52 kg  sardel, 75 kg  sardin,
2 i g  salame in 85 f hl  vina ?

18.  V nekem gospodarstvu se porabi vsakih 6 dni 0'8 m 3  drv

po 8 4 K, 11 q  premoga po 1'4 K, 2 4 Z petroleja po 38 h; a)  koliko

kuriva vsake vrste se porabi v 44 mesecih? b)  Koliko se potroši
na leto, ako je v 6 toplejših mesecih treba le 32 Z petroleja?

19.  Na 100 kg  žive teže se računi pri sloki govedi 45 kg  mesa

in 3 kg  tolšče, pri tolsti živini pa po 54 kg  mesa in 7 kg  tolšče.

Koliko mesa in tolšče da slok vol po 585 kg,  koliko tolst vol po
732 kg  žive teže?

20. 100 kg  sena ima toliko redilne moči, kolikor 310 kg  pše-
ničnice, 220 % ovsenice, 150% grahovice ali 187% krompirja;
koliko sena se nadomesti, ako se vzame po 100 % od vsake druge
krme skupaj ?

*21. Koliko obresti dobiš od 400 K, 600 K, 850 K, 1560 K glav¬
nice, ako da 100 K glavnice po 5 K obresti?

Namesto „po 5 K obresti od 100 K glavnice  v 1 letu 11 , se pravi,
glavnica je naložena „po 5 od sto, na 5 odstotkov (procentov,  $■)“.
Kaj je 1-, 2-, 3-, . . . odstotno obrestovanje?

*22. Kolike so letne obresti a)  od 1 K glavnice po 2, 3, 4§?

b)  Od 20, 50, 80, 125 K po 5$?

*23. Izračuni letne obresti a)  od 700 K po 3$; b)  460 K po 5§:

c)  880 K po 2$; d)  1000 K po 2, 3, 4, 5, 6$.

*24. a)  Katera glavnica da na leto toliko obresti kolikor 100 K
v 2, 3, 4, . . . letih? b)  Katera glavnica da v 2, 3, 4, . . . letih
toliko obresti, kolikor 100 K v 1 letu?

*25. 2400 K glavnice da v 3 letih gotove obresti; katera
niča da v 6, 9, 15 letih, v 14 leta istotoliko obresti?

glav-

78

*26. V koliko letih dobiš od 100 K toliko obresti kolikor a)  od
200 K, 500 K, 1000 K; b)  od 50 K, 25 K 75 K v 1 letu?

27.  V koliko letih da a)  2700 K, l)  3600 K, c)  6300 K isto-
toliko obresti kolikor 5400 K v 3 letih?

28.  Po koliko odstotkov da neka glavnica 60 K obresti, ako
nese po 4$, a)  40 K, b)  48 K, c)  72 K obresti?

29. Po koliko $ dobiš v 4 letih toliko obresti kolikor a)  v 3
letih po 4$; b)  v 2 letih po 6$; c)  v 3i leta po 5$?

BO. Za obrobek se potrebuje 14 cinkovih plošč po 1 m  dolgih
in 60 cm  širokih; koliko plošč bi bilo treba, da je vsaka plošča
1 m  20 cm  dolga in 40 cm  široka?

Y dosedanjih trostavnih računih sta le po dve vrsti količin (enostavna
re geldet  rij  a); ako pa je ena količina zavisna od dveh ali več drugih
količin obenem (prim. nal. 30.), rešujemo naloge s pomočjo dveh ali več
enostavnih regeldetrij ter jih imenujemo sestavljene sklepne račune
ali sestavljeno regeldetrij o.

5. Sestavljena regeldetrija.

1. V 18 dneh dovrši 28 delavcev, ako delajo po 10 urna dan,
| neke stavbe; v koliko dneh bi dovršilo 42 delavcev ob 12 urnem
delavniku vso stavbo?

V 18 dneh 28 delavcev 10 ur na dan -f stavbe

_x_ 42  _ 12 „ „ „  1 (=_ f stavbe).

V tej nalogi je čvetero količin, od vsake po dve; iz sedmero znank
je določiti osma kot neznanka.

Reši nalogo po sklepnem načinu a)  na pamet,  zapisujoč si
vmesne zneske; b)  pismeno z ulomnim napisom  pa takole:

79

TJlomni napis začni z neznanko, postavi enačaj, v isti višini ulomno
črto, v števec zapiši najprej količino, ki je z neznanko iste vrste, z imenom
vred,  vse druge znanke pa zaporedoma kot brezimenske faktorje ali v števec,
ali v imenovalec, kakor to zahteva sklepanje!

c)  Pismeno kot trostavek. V to svrho strni vse vrste znanih
količin v eno edino vrsto, sklepajoč takole:

’) Ob turnem delavniku je treba za -f stavbe 10 krat 28 delavcev = 280 delvc.

Za -g- stavbe je treba teh delavcev. —  140 delvc.

Za vso stavbo je treba 5 krat toliko delavcev . . . . = 700 delvc.

J ) Ob turnem delavniku je treba 12 krat 42 delavcev , , — 504 delvc.

i 700 delvc. 1 )
i 504 delvc. 2 )

. v | lS a

. V * X

„ _ 18 * X 700
504

25 dni.

Pri pismenem računanju se ob sklepanju navadno ne zvršujejo vmesni
računi; šele ko je ulomni napis dovršen, ga okrajšaj ter izračuni! Če si dovolj
izurjen, razvijaj sklepe le ustno, zapisuj samo ulomni napis i. t. d.

Reši naslednje naloge na več načinov;

Mlin na 4 kolesa zmelje v 6 urah 32 hi  žita; a)  koliko
zmelje na 3 kolesih v 9 urah? b)  V koliko urah zmelje na
5 kolesih 80 hi  žita ?

K a)  Ra pamet: Na 1 kolo pride v 6 urah hi =  8 M  žita, v 1 uri
f hi  = -f hi  žita; na 3 kolesa v 1 uri 3 krat -f hi —  4 hi  in v 9 urah
9 krat 4 hi —  36 hi  žita.

A  dela 4 dni po 9 ur na dan ter zasluži 24 K; koliko
zasluži B,  ako dela 6 dni, na dan po 8 ur?

*4. V 6 dneh izdelajo 4 črevljarski pomočniki 20 parov črevljev;
a)  koliko parov 3 pomočniki v 10 dneh? b)  Koliko pomočnikov
izdela 50 parov v 15 dneh?

*5. 20 q  tovora se pelje 9 hm  daleč za 7 K 20 h; koliko voz¬
nine se plača za 16 q  na 15 hm  daljave?

* 6 . Komad sukna je 24 m  "dolg. Im širok ter velja 180 K;
koliko velja drugi komad od 16 m dolžine in 1 | m širine?

7. Tla, z deščicami vložena, so Im  28 cm dolga in 4 \ m
široka ter veljajo 330 K; koliko veljajo tla 8 m dolžine in 5 m
40 cm širine ?

8. Izmed dveh soh iste višine je prva 8'4 m dolga in 5‘6 m
široka, druga je 6'3 m dolga in 4‘9 m široka; kolika je vsebina
druge sohe, ako meri prva 192'864m 3 ?

80

9 .  Izmed dveh stičnih koles ima prvo 60. drugo 18 zob ; a)  ako
napravi prvo vsakih 5 minut 850 vrtežev, koliko jih napravi drugo
vsake 3 minute? b)  Koliko zob bi moralo imeti drugo kolo, da bi
se vsakih 10 minut zavrtelo 600krat?

10 .  V trdnjavi je živeža za 540 mož na 2 meseca, ako dobi
vsak mož na dan po 1 f kg; a)  koliko sme dobiti vsak mož na dan,
ako naj z istim živežem izhaja 810 mož na 1meseca?  b)  Koliko
mož bi izhajalo 3 mesece ob vsakdanjem živežu po 2$ kg 7

11 .  V tovarni gori po zimi vsak dan po 45 plinastih luči 4 ure,
spomladi pa po 36 luči 2 J- ure; ako se plača v 1 mesecu po zimi
za svečavo 54 K 72 h, koliko v 1 mesecu spomladi ?

12 .  4 komadi bombaževine, 50 cm široke, veljajo 84 K; koliko
velja 9 komadov 70 cm široke snovi iste kakovosti?

13 .  40 delavcev dodela v 25 dneh po 10 ur na dan 180 m
železniške proge; koliko proge dodela 50 delavcev v 24 dneh po
9 ur na dan, ako je njih delavna sila -| od sile prve delavske skupine?

14 .  Ob jezu nasip uje 15 delavcev 32 dni po 9 ur, na to
12 delavcev 28 dni po 10 ur na dan; ako zasluži druga skupina
739 K 20 h, koliko je zaslužila prva skupina?

15 .  Izmed dveh parnih strojev vzdigne prvi vsaki 2 minuti
5 t  3 m visoko, drugi vsake 3 minute 6 t  2 m visoko; a)  v koliko
časa vzdigne prvi stroj 270 t na 2 m višine? b)  Na katero višino
vzdigne drugi stroj vsake 4 minute 8 ton tovora?

10 . Kotlino, ki je 3'6 m dolga, 1 m široka in 98 cm globoka,
napolnijo 3 enake dotočne cevi v 1 f ure;

a)  v koliko urah napolnijo 4 take cevi 4 m dolgo, 1‘05 m
široko in 96 cm globoko kotlino?

b)  Koliko cevi napolni v 1 uri 5‘6 m dolgo, 1'2 m široko in
80 cm globoko kotlino?

c)  Kolika je dolžina kotline, ki je 1 im široka in 77 cm globoka,
ako jo napolni 6 cevi v 2 •§ ure?

d)  Izračuni za vse tri slučaje, koliko l  vode priteče po vsaki
cevi v 1 uri in koliko drži vsaka kotlina?

81

6. Sestavljeno razmerje in sorazmerje.*)

Naloge na str. 79 in 80 se dado tudi rešiti s sorazmerji, ako se znane
vrste količin, od katerih je zavisna neznanka, spoje v eno edino vrsto (prim
rešitev c)  naloge 1. str. 79!). N. pr. :

1. Ako dobiš od 600 K glavnice v 2 letih 54 K obresti, koliko
obresti da 500 K V 3 letih (po isti obrestni meri)?

a)  600 K gl. 2 lt, 54 K obr, Sklepaj: COOK  da v 2 letili
500 K 3 lt X toliko obresti, kolikor 2 krat 600 K

= Iv 600 X 2 v 1 letu i. t. d.

b)  K 600 . 2 1 lt. 54 K obr.

K 500. 3 l it x

c)  x : 54 K = K 500 . 3 : K 600 . 2

_ K 54 . 5 _ ?

4

Po takih sklepih se
oblika a)  izpremeni v na¬
vadni trostavek b),  iz kate¬
rega izvira sorazmerje c).
To sorazmerje pa se dobi
še na drug način.

Obresti so tem večje, čim večja je glavnica in čim več časa
je naložena; zategadelj je tudi obrestno razmerje zavisno od raz¬
merja glavnic in od časovnega razmerja.

Vzemimo namreč, da sta glavnici naloženi isti čas, tedaj je

razmerje obresti.= 500 : 600 1

ako pa bi bili glavnici enaki, bi bilo obrestno

razmerje (glej napis a) .= 3 : 2 2

= 500 . 3 : 600 . 2

5  : 4

Obrestno razmerje

Ker pa sta različni glavnici  naloženi različni  čas,
morata ob enem veljati obe razmerji 1) in 2). Spojimo jih v eno
razmerje, pomnoživši njih prednja člena med seboj, pa tudi zadnja,
dobimo konečno razmerje 3, okrajšano 4.

Razmerje 4 je po obliki enostavno, a je nastalo iz razmerij
1 in 2 s pomnožitvijo istorednik členov; zato se imenuje sestav¬
ljeno razmerje.  Sorazmerja, v katerih so sestavljena razmerja,
imenujemo sestavljena sorazmerja  (prim. c).

Razmerja in sorazmerja se sestavljajo, ako se njih
istoredni členi pomnože drug z drugim.

*)  Sestavljeno, sorazmerje za meščanske šole.
Hauptmann, Računica za meščanske šole. T. (X. 297. Fol. 2/06.)

6

CO

Sestavljeno sorazmerje c dobimo sedaj naravnost iz preglednega
napisa^*, ako obrestnemu razmerju, v katerem tiči neznanka (x : 54K),
d)  x : 54 K = 500 : 600 vzporedimo posamezna razmerja

_ = 3 :  2 drugovrstnih količin, ki jih vzamemo

x ;  54 K = 500 . 3 : 600 . 2 ali v premem ali v obratnem redu,

x  = ? ravnaje so potem, je li neznanka

z drugimi količinami v premem ali v obratnem sorazmerju (gl. d).
Iz sestavljenega sorazmerja računimo neznanko po ulomnem napisu,
ki ga okrajšamo, preden se izračuni; sicer pa lahko krajšamo v
posameznih razmerjih že pred množitvijo.

'Z.  Za ves natis knjige se porabi 8000 pol papirja, ako se
tiska na stran po 42 vrst, na vrsto poprečno po 54 črk; koliko pol
je treba, ako se dene na stran po 45 vrst, na vrsto po 50 črk?

' 8000 pol | 42 vrst # 54 črk Zapiši razmerje z neznanko
* x r 45 „ i 50 ,, (x : 8000 pol) ter sklepaj od tega

x : 8000 pol = 42 : 43 S razmerja na razmerja znanih

32 = 34 : BO količin: Čim več pol se vzame,

_ ;_ 6 _ tem manj vrst pride na eno stran

x : 32 pol = 42 . (> : 1 (obratno sorazmerje, gl. puščice).

x — 32 pol . 42 . 6 = N(M>4 pol. Qj m Ye £ t em man j na

vrsto (obratno sorazmerje) i. t. d. Okrajšaj, izračuni!

3. Sel, ki koraka po 7  na dan ter prehodi vsako uro 5 km,
dospe na svoj cilj v 12 dneh; koliko dni mu je treba do cilja, ki
je 1 g krat toliko oddaljen, ako koraka po 8* na dan in po 4 km
na uro?

Rešitev z ulomnim napisom.

7 na dan po 5 km  12 d  1 oddalj.

8 h  „_ „ 4 -g  km _x_ 1 \  „

Po —  2 s 2 - ? ‘na (lan . , . treba mu \ ‘2 d ,  12
„ -g- h  „ „ treba mu 22krat 12 d ,  22

„ 1 h  „  „ „ „ l-  tega časa, 3

oh  1  8

» ° jj jj » » 8 jj n  ^

„ 1 km  na uro treba mu 5krat toliko časa, 5
„ £ km  „ „ „ n  ? krat „ „2
„ 4-g- km—- 1 km  treba mu ^ tega časa, 9

1  3

Za Ig-krat toliko daljavo •§ tega časa, 2

v števec;

v „

v imenovalec;]

v n
v števec;

V  ” i

v imenovalec;!
v števec; :

v imenovalec;/

x _ 12 * . 22 . 5 . 2,3

3 . 8 . 9.2

Okrajšaj!

Izračuni!

X -= 18 ^.

Odgovor

83

4.  Izmed dveh travnikov je prvi 180 m dolg in 125 m širok,
drugi 325 to  dolg in 240 m širok; na prvem zraste 325 q  sena,
koliko na drugem?

5. Dve njivi sta si po dolžird v razmerju 7 : 16, po širini pa
v razmerju 8:21;  a)  kako se imata njiju vsebini?

b)  Kolika je druga njiva, ako meri prva 15 £ ara?

c)  Ako da prva 32 q  žita, koliko druga, ki je za £ manj
rodovitna?

6 .  Dve sohi iste višine se imata po dolžini, kakor 8 : 12, po
širini pa kakor 6:5;  a)  kako se imata njiju vsebini? b)  Kolika je
prva, ako meri druga 102 1  to 3  ?

7. V 15 dneh izkoplje 40 delavcev rov, ki je 150 m dolg,
2 m širok in 80 cm  globok; v koliko dneh izkoplje 30 delavcev rov,
ki je 120 to  dolg, \\m  širok in 1 m  globok?

*8. Katera glavnica da po 5 ^ v 3 letih istotoliko obresti,
kolikor 4000 K po 6 °/o  v 2 letih?

1). Ako da 8200 K glavnice v 2 letih 656 K obresti, koliko
obresti dobiš od 6150 K v 3 letih?

10.  Glavnica da po 4f %  v 4 letih 190 K obresti; v koliko

letih da ista glavnica po 4 | °/o  380 K obresti?

11.  Po koliko °/o  dobiš od 6408 K v 1 letu 9 mesecih isto¬

toliko obresti, kolikor od 5607 K po 4% $  vi letu 4 mesecih?

1*2. Ako sta si dve glavnici v razmerju 5 : 4, odstotki v raz¬
merju 8 : 9, časi pa v razmerju 17 : 20 in ako da prva 680 K
obresti, koliko obresti da druga?

7.  Orehi.

*1. Koliko je a) h + h  + i; e)  f + h d) l  +U t. d.?

*2. Kaj je več in za koliko: a)  | ali b)  | ali f; c) -g  ali i;

d)  | ali |; e)  ali f \ f)  ali ig ; f ali ?

*3. Ako podvojiš in popeteriš neko daljico, dobiš skupaj a)  42 to,
b)  210 to;  katera je daljica?

*4. Od katere teže so \  inf skupaj a)  15 kg, b)  205 kg ?

Iz polnega soda se odtoči -J, potem f vsebine; ako še
ostane 11 l,  koliko l  drži sod?

6 *

84

* 6 . Od dolga se plača prvič i,  drugič \  ostanka, sedaj ostane
še 36 K dolga; kolik je ves dolg?

' A 7. Kmetovalec obdrži \  pridelanega krompirja za dom,
i  porabi za seme; proda, ostanek 3 \ q  razdeli med siromake,

koliko krompirja je pridelal?

*8. Od neke vsote se potroši i in ostane pa še 8 K;

a)  kolika je vsota? b)  Koliko se potroši vsakokrat?

*9» Popotnik prehodi prvi dan drugi f, tretji i  pota; koliki
del pota ima še pred seboj?

*10. Ako dovrši 1 delavec neko delo v 18 dneh; v koliko dneh
opravi isto delo a)  2, b)  3, c)  6, d)  9 delavcev?

*11. Ako opravi 6 delavcev neko delo v 24 dneh; v koliko dneh
opravi isto delo a)  1, b)  2, c)  3, d)  4, e)  8 , f)  12 delavcev?

*12. Deček bi rad kupil 3 J,  črešenj po 28 h, a manjka mu 6 h ;
koliko denarja ima pri sebi?

*13. Deklica kupuje dateljne; ako jih vzame 1 kg.  ostane ji
12 h; ako pa vzame f kg,  ima 12 h premalo; a)  po čem je 1 kg
dateljnov? b)  Koliko denarja ima deklica pri sebi?

* 14 . Od pridelka, ki je B krat tolik, kolikršno je bilo seme, se
prodata § in še g ostanka, tedaj še ostane 10 q, a)  kolik je pridelek?

b)  Koliko se je porabilo za setev?

■* 15 . A  si prihrani na mesec 18 K, B  1 C D  le £ od
tega kar A\  koliko si prihranijo B , C  in Z)?

' K>. Plin v širokem plamenu da 16 krat, v Auerjevi svetiljki
60krat toliko svetlobe kolikor 1 sveča; koliko Auerjevih svetiljk
nadomešča 30 širokih plinovih plamenov?

* 17 . Polovica 5 kratne vsote je a)  20, b)  45; kolika je vsota?

*18. Ako od potrojene vsote vzameš četrti del, dobiš a)  12 K,
b)  27 K; kolika je vsota?

19 . Ako povečaš število za 3 ter razdeliš vsoto s 5, dobiš 4;
katero je število?

* 20 . Ako zmanjšaš vsoto za 1 K. pa povečaš polovico ostanka
za 3 K, dobiš 9 K; katera je vsota?

* 21 . 4 m platna veljajo 1 K 20 h več nego 2 i  m; po čem je lm?

85

; *23. Ako se plača za 1 kg  masla in 1 kg  zabele skupaj 3 K 60 k,
pa je maslo za 60 h dražje od zabele, po čem je 1 kg  oboje vrste?

* 23 . Izmed dveh vrelcev da prvi vsaki 2 minuti po \ hi,  drugi
vsake 3 minute po 72 l  vode; a)  koliko vode dasta skupaj v 1 mi¬
nuti? h)  v 1 uri? c)  V koliko časa napolnita sod z 196 Z?

* 24 . Kupnina za blago je 280 K; za koliko se proda blago,
ako znaša dobiček 2 3 o kupnine?

* 25 . Ako pa je prodajnina 280 K in dobiček te vsote;
kolika je kupnina?

*26. Oče šteje sedaj 5 krat toliko let kolikor sin in 8 krat toliko
kolikor hči; ako šteje hči 5 let, koliko štejeta oče in sin?

* 27 . 60 m  visok zvonik presega dvojno višino cerkve in trojno
višino šole, vsako za 6 m; kako visoka sta cerkev in šola?

*28. Mizar kupi 3 kg  kleja po 1 K 8 h in 2 enaka skoblja,
skupaj za 8 K 44 h; po čem je skobelj?

*29. Ako se plača od nekega dolga 1, potem &,  -j B 2 , nazadnje
10 K manj nego J, je ves dolg poplačan; a)  kolik je dolg?
h)  Koliko se plača na drobno?

m iz trobe platna se izdela 12 srajc po 3 m; ostane pa še
platna 1 § m več, nego-ga je treba za eno srajco, a)  Koliko m ostane?
b)  Koliko m ima vsa troba? c)  Koliko stanejo srajce, ako se račun
m  platna po 64 h, za delo pa po 1 K 20 h od srajce?

8. Razne naloge.

a)  Koliko je bilo prebivalcev v teh kronovinah skupaj ? b)  Koliko
duš je štela vsaka izmed imenovanih kronovin več ali manj nego

86

Kranjska? c)  Za koliko je v tem desetletju narastlo v vsaki kronovini
število prebivalcev?

2 .  Na voz se naloži 8 bal kave a 60 kg,  12 zabojev sladkorja
a 56 kg,  3 vreče riža k 45 kg  in 6 zabojev dateljnov a '24 kg ; a)  koliko
tehta ves tovor? b)  Kolika je njegova cena, ako se računi kg  oziroma
po 34 K, 0‘96 K, f K in H K?

3. Evropa meri 9826037 km*;  od teh je gozdov njiv 4,
travnikov in pašnikov A; «)  koliko ha  vsake kulturne vrste ima
Evropa? b)  Koliki del nje površine je nerodoviten?

4 .  a)  Seštej : j 1. 74 q  23 kg  52 dkg  2. 21* 44“ 36"

b)  Odštej: \  29 q  75 kg  66 dkg;  10* 57“ 48 s !

5 . a)  90° — 51° 42' 25"; b)  180° — 106» 33' 48" = ?

6. Meri: 9^4 kg  16 dkg  : 56 kg  51 dkg =  ?

7 .  Deli: a)  82« 29' 56" : 4; b)  28* 46“ 18 s  : 6 = ?

S. Obseg nekega polja so merili s 15 m dolgo verižico ter našli
6 km  7 hm  8 dkm;  kolikokrat so nategnili verižico ?

1). Od mlaja do mlaja mine 2d d  12* 44“; kolikokrat se luna
pomladi v 885 d  22*?

10 . a)  51384 X 9005 ; b)  8‘4107 X 32 0855 (na tisočine) = ?

11. a)  0‘00805 X 10000, b)  805 : 10000; c)  12'56 : 1000 = ?

12 .  a)  915 X ih ; b)  70'6 X j&v; c )  390 4 X 0 0006 = ?

13 .  a)  96'16 X 25; b)  743'96 : 2’5; c)  671‘428 : 3‘6 = ?

14 .  a)  9325'0725 t  : 0'465 ... (na kg );

b)  (0’763 m X 5’38) : 78’6 (na cm)  = ?

15 .  Avstrijski zlat tehta 3'49059 g;  koliko zlatov gre na 1 kg
(na celote) = ?

16 .  1 hi  = 1'626 dun. vagana; a)  koliko dun. vaganov je
85'372 hVi b)  Koliko hi  je 40 dun. vaganov?

17 .  Ako ima knjiga 345 strani, vsaka stran poprečno 44 vrst
k 56 črk; koliko črk je v knjigi?

18 .  Za knjigo, ki se je natisnila v 2000 iztisih, so se porabile
3 bale 1 rizma 4 knjige papirja; koliko tiskanih pol obsega knjiga?

19 .  Od 1400000000 zemskih prebivalcev umrje vsako uro
poprečno 4020, rodi pa se isti čas 4200 ljudi; a)  kolik je naraščaj

87

človeštva v 1 dnevi? b)  Koliko duš utegne biti na zemlji črez
10 let?

20.  Dne 21. sušca 1. 1845. rojen človek je umrl v starosti 56 let
7 mesecev 16 dni; kdaj je umrl?

21.  Zvezdoslovec Nikolaj Kopernik je umrl dne 24. majnika
1. 1543. v starosti 70 let 3 mesecev 5 dni; kdaj je bil rojen?

22. Ščedilno društvo je plačalo ob koncu ščedilnega roka vsakemu
izmed 372 članov po 480 K; a)  koliko je razdelilo vsega skupaj ?
b)  Koliko je bil vložil vsak član, ako je znašal dobiček ^vzdignje¬
nega deleža?

23.  Kragulj požre na leto po 12000 drobnih ptic; kraljič pri¬
naša svojim mladičem po 400 žuželk na dan; tako dela okroglo
20 dni; koliko žuželk bi ostalo na leto živili, ako bi se kragulj redil
ob samih kraljičih?

24.  Ako se spravi v glavno mesto 2000 svinj, poprečno po
85 h  K in 600 telet po 21'65K, pa se plača od svinje po 379 K,
od teleta po 2'54 K užitnine, povrhu pa od vsake živali po 20 h
mitnine, a)  koliko denarja dobe prodajalci? b)  Koliko se plača
v mestno blagajno?

f)

25.

21 35 i
15W7 •

Okrajšaj: a)

96 .
TETO)

b)

343 .

T9? ,

c)  TS cf; d)

125 .

720

■S"so

■ y: 2G. Pretvori na ulomke: 11 i; 20-J; 35 A; 23Tuni 49 totto!
*27. f X 20; | : 20; 36 X |; 48 : f; (U X 5) : it = ?
28. a)  I X I; b) 4A X  c; A : 18; d)  2* : 13;
e) bb  • Iro =  ?

29.  a)  17 : f; b)  1‘6 X A X A; c) (b  : t) X (A : f) = ?

30. a) 4-1  + A; b)  (M + 1A) - 1|;

c)  ( i x u) - n  = ?

31. 4b +  5| + 6| + 7| + 9A + 8H + 19A + 13A = ?

32. a) 5U  + 33e - 21«.; b)  61 f - 52ff + 101A = ?

33. Od postaje A  do postaje B  se zviša železniška proga za
5 m 62 cm,  od B  do C  za 2f m,  od C  do D  pada za 4\ m  in od
I)  do E  še za 2 f § m ; za koliko leži postaja E  više ali niže od A?

88

•54. Od 15f m 3  drv, ki so se plačala po llfK,  sta se § po¬
kurili; koliko še veljajo ostala drva?

.35. A  si prihrani vsakega \  leta po 58 K 64 h, B  f, O §
tega zneska; koliko si prihranijo vsi trije skupaj v 1 letu?

36. Obrtnik plača v 1 letu svojega dolga; v koliko letih
poplača a)  -J; b)  -§ dolga; c)  ves dolg? d)  Kolik je dolg, ako je
njega 4 za 32 K večja od T \?

37. Ako se 1 kg  cesarskih zlatov zamenja za 3224'041 K, 1 kg
mark pa za 2944772 K; koliko K se dobi za 3 ^ kg  zlatov in
4 kg  mark?

38. Izmed dveh dečkov tehta prvi 35 kg  84 dkg , drugi 30 kg
72 dkg : v katerem razmerju sta si njiju teži?

39. Izmed dveh tekalcev predirja prvi 1 km  v 7“ 12", drugi
v 7“ 24"; v katerem razmerju sta si njiju hitrosti?

40. Daljavo 255 km  je preletel golob v 3' 1 , lastovica pa v l h  8“;

a)  kolik je bil njiju pot na secundo? b)  V katerem razmerju sta si
njiju hitrosti?

“41. a)  Izmed dveh strojev vzdigne prvi v eni uri 120 hi,  drugi
90 hi  vode na isto višino; v katerem razmerju sta si njiju deli?

b)  Koliko vode vzdigne prvi stroj, ako je drugi vzdignil 21 hi,
16 4 Ul

c)  Ako vzdigne prvi stroj neko težo 18 m , drugi isto težo 15 m
visoko, v katerem razmerju sta si sedaj njiju deli?

d)  Ako opravi prvi stroj v 20 minutah, drugi v 16 minutah
isto delo, v katerem razmerju sta si njiju delujoči sili?

(Prim. nal. 18. b  str. 72) ter glej, kdaj so v razmerju števila v istem,
kdaj v obratnem  redu kakor v napovedku.)

42. a)  Pes skoči na enkrat 1| m, zajec 17 m daleč; v katerem

razmerju sta si njiju skakaja? b)  Preskače li pes v 15" toliko kolikor
zajec v 174", kako se imata med seboj njiju poti?

43. a)  x : 44 = 56 : 154, x = ? b)  48 : y = 120 : 36, y = ?

44. a)  x : 35 = 1$ : 22, x = ? b)  4|: 8 | = y : 10f, y = ?

45. Vinska pridelka dveh kmetov sta si v razmerju 5:8;  ako

je pridelal eden 124 hi,  koliko drugi? (Dva primera).

89

46. Dve vrsti vina sta si po ceni v razmerju 3:4;  ako velja hi
ene vrste 314 K, koliko velja hi  druge vrste? (Dva primera).

*47. Glavnica da v i leta 28 K 50 h obresti; koliko obresti da
a)  v f. h)  v 4, c)  v f leta?

*48. Katera glavnica da po 4§ istotoliko obresti kolikor
a)  2000 K po 5$; h)  4270 K po 3$.

*49. V koliko letih se dobi po 3$ toliko obresti kolikor a)  po
5§ v 3 letih; h)  po 4§ v 2 letih; c)  po 6$ v 14 leta?

50. Ako zasluži pivovar pri f hi  piva po lfK;  a)  koliko
zasluži pri 1 hi  ? h)  Pri koliko hi  zasluži 100 K ?

51.  V 2 d  18 A  40 s  odteče iz jezera 9600 hi  vode; a)  v katerem
času odtečejo f one množine? h)  Koliko vode odteče v 1 uri? c)  Koliko
v 6 dneh?

52. Pekar porabi na dan za beli kruh 4 hi  mleka po 20 h od
litra in 6'1 q  moke po 30 K; koliki so ti stroški v 1 mesecu?

515. A  proda 20 hi  vina po 33 K, B  26 hi  po 274 K; v katerem
razmerju sta si njiju dohodka?

54. Kmet orje svojo njivo z 2 plugoma 3 dni, njegov sosed pa
s 3 plugi 2 4 dni; v katerem razmerju sta si njiju deli?

55. Prva čipkarica plete 5 dni po 12 ur ter naplete vsako uro
po 30 cm, m  po 1 K 20 h; druga čipkarica plete 6 dni po 10 ur,
vsako uro po 25 cm, m po 14 K; v katerem razmerju sta si njiju
zaslužka?

*56. Mlin na 4 kolesa namelje v 15 urah 72 q  moke; koliko
moke a)  na 3 kolesa v 20 urah; h)  na 2 kolesi v 24 urah?

57. 74 m tkanine, £ široke velja 60'68K; koliko velja 1924»»
tkanine, f široke, ako je nje kakovost proti kakovosti prve v raz¬
merju 3:2?

58. Šivilja A  dovrši neko šivanje v 30 dneh, isto bi šivilja B
dodelala v 24, šivilja C  pa v 20 dneh; v koliko dneh bi vse tri skupaj
zvršile to delo? (Koliki del dela v 1 dnevi i. t. d.).

59. Strešni oder ima tesati 5 tesarjev 24 dni; ko so že tesali
6 dni, odideta 2 tesarja; koliko dni imajo tesati še ostali 3? (Na¬
mesto 5 tesarjev 24 dni zvrši delo 1 tesar v 5krat 24 dneh i. t. d.)

Hauptmann, Računica za meščanske šole. I. (X. 297. Fol. 2/06.) 7

90

60 .  Posestnik proda na sejmu 3 konje š, 370 K, 2 para volov
k 450 K in 5 svinj a 85 K; od izkupila plača davka 185 K 40 h ter
nakupi za dom 60 kg  usnja k 2 K 60 h, 40 kg  podplatov k 3 K 60 h,
3 q  moke k  36 K, trobo platna k 44 m a 65 h in drobne robe za
64 K 28 h. Sestavi dohodke in stroške!

61 .  Trgovec pošlje gospodinji po naročilu 25 kg  moke a 37 h,
5 ^ kg  riža k  56 h, grudo soli k  16 ^ kg  k 22 h, grudo sladkorja
a 14f kg k  80 h, 10 l  petroleja h 36 h, 3^ kg  kave k  3'25K,
9f kg  zabele k  172 K, 4 i kg  mila k 32 h, 1 \l  špirita a 48 h.
Sestavi račun!

9. Geometrijsko naloge.

1. Pravokotnik je a)  3 m 72 cm dolg in 1 m 46 cm  širok;
b)  0'905 m dolg in 0‘318 m  širok; izračuni obseg in ploščino!

2. Pravokoten vrt ima 20| m širine in 112 m obsega; kolika
je dolžina in ploščina?

3. Sadjar si napravi sadni vrt, ki je 45 m dolg ter meri 13 a
50 m, 2 ; a)  koliko je širok? b)  Koliko nasadi dreves, ako računi na
vsako po 15 m 2  talnine?

4 .  Kvadrat ima stranico a)  12 m, b)  5’2 m, c)  4 m 8 cm  5 mm,
koliko je ploščina?

5. V trikotniku je a)  osnovnica 15 m, višina 18 m; j kolika je

b)  „ 2^ m, „ 3i to;  ) ploščina?

6. Obseg enakostraničnega trikotnika meri 5 m 16 cm; aj  ko¬
lika je stranica; b)  Višina meri ^ stranice, kolika je ploščina?

7 . Njiva ima obliko trapeča, čigar osnovnici sta a =  84 to,
b =  52 m, širina pa 46 m; a)  kolika je ploščina? b)  Ako vseje
kmet na ar po 15 kg  pšenice, koliko je vseje na vsej njivi? c)  Ako
pridela na njivi 40 terni sad, koliko je to?

8. Travnik meri 5f orala; a)  koliko je to na ha , ako je

1 oral = 0 57546 hal b)  Od ha  se računi po 42’5 K čistega dobička,

kolik je ves čisti dobiček? c)  Kolik je zemljiški davek, ako se od
ha  računi po 8'20 K?

91

9. V sobi, ki meri 7'2 m  in 5'6 m,  se polagajo tla; koliko
desak je treba, ako meri vsaka po B'5 m in 4 dml

10. Posestvo ima obliko
ABCDEF  (sl. 8) in sicer je
AB  = FC  = 384 m, EK  =
317 m; GH  = 96 m; HI  =
77 m\ ID = 62 m\ a)  koliko Aa
meri to posestvo? 6) Kolik je
ves čisti dobiček, ako se od ha
poprečno računi 35'6 K?

J>


92

Vsebina,

Stran

I.  Avstrijsko-ogrske mere.1

II.  Utrditev številnega sestava.4

t. Dekadni številni sestav.4

2. Predočevanje števil.. 6

3. Vaje v pretvarjanju.7

4. Rimski številni znaki..9

III. Računanje z večimenskinii in enoimenskimi števili (ponovilo) . 10

1. Seštevanje.10

2. Odštevanje.12

3. Množitev.15

4. Delitev.24

5. Krajšanje kvocijenta. — Razdelnost števil.39

6 Množenje z desetinskimi števili.35

7. Deljenje z desetinskimi števili.38

8. Računski prikrajški.40

IV. Navadni ulomki.46

1. Pojasnjevanje ulomkov.46

2. Izpreminjanje ulomkov po njih vrednosti.48

A.  S pomočjo celega (operacijskega) števila.48

I.  Množitev ulomkov.48

II. Delitev ulomkov.49

B.  S sestavljenim (operacijskim) številom.50

III. Množitev z ulomkom.50

IV. Delitev z ulomkom.51

3. O stalnosti ulomkov .53

I. Krajšanje ulomkov, — največja skupna mera ....  53

II. Razširjanje ulomkov, — najmanjši skupni mnogokratnik . . 56

4. Seštevanje in odštevanje ulomkov.60

5. Pretvarjanje navadnih ulomkov na desetinske.61

6. Pretvarjanje decimalnih ulomkov na navadne ulomke ... 63

7. Nekoliko o računanju z netočnimi števili.64

8. Razne naloge o ulomkih.66

9. Orehi.68

V.  Razmerja in sorazmerja.70

1. Primerjanje istovrstnih količin.70

2. Razmerja.70

3. Enaka lazmerja — sorazmerja.73

4. Razreševanje trostavnih (regeldetrijskih) nalog s pomočjo sorazmerij 74

5. Sestavljena regeldetrija.78

6. Sestavljeno razmerje in sorazmerje.81

7. Orehi.83

8. Razne naloge.85

9. Geometrijske naloge.90