 P50(2022/2023)4 8 Nekrogelne leˇ ce A L Leˇ cesostaraiznajdba. Poznalisojihževstarem Egiptu, pa v antiki, predvsem zbiralne kot sred- stvozaprižiganjeognja. MendajeNeron,ˇ ceverja- memoPliniju,uporabilkristalnorazpršilnoleˇ copri opazovanjugladiatorskihiger v Rimu. V srednjem veku so jih uporabljali kot bralne leˇ ce, preprosto so stekleno kroglo razpolovili. Steklene krogle na- polnjenezvodosodonedavnauporabljaliˇ cevljarji vTržiˇ cu,dasojimzbralesvetloboizpetrolejkena delovno površino. Pravo zanimanje za leˇ ce pa je nastopilo v drugi polovici 13. stoletja v severni Italiji, ko so jih zaˇ celi uporabljati kot oˇ cala za korekcijo vida. Takrat so masovno brusili in gladili steklene leˇ ce za oˇ cala, naj- prejvFirencahinBenetkah,poznejepatudinaNizo- zemskeminvNemˇ ciji. NaNizozemskemjebilokrog leta1595narejenprvimikroskop,nekajpoznejetudi daljnogled. Leˇ ce so zanimiva tema v šolah, od osnovne preko srednje do prvih letnikov tehniških fakultet na uni- verzah. Geometrijsko optiko dandanes na fakulte- tah obravnavajo le pregledno in na hitro, v mojem ˇ casu šolanja pa smo leˇ ce in leˇ cja obravnavali kar po- drobno. Pri tem smo obravnavali napake pri presli- kavanju s krogelnimi leˇ cami, ki so bile takrat edino na voljo. Na predavanju profesorja Janeza Strnada sem si ga drznil vprašati, ali bi kakšna druga oblika leˇ ce imela manj napak ali pa sploh nobene. Takrat, pa seveda v preteklosti tudi, bi masovna izdelava ta- kih leˇ c bila povsem neizvedljiva. Odgovoril mi je, da z nekrogelnimi leˇ cami ne bi kaj prida pridobili, saj imajo tudi te svoje muhe. Z napredkom tehnologije, predvsem z iznajdbo laserjev in z neslutenim razvojem raˇ cunalništva pa so nekrogelne leˇ ce postale zanimive. Danes njihova uporaba precej poenostavi zapletena leˇ cja optiˇ cnih naprav. Bistvena pridobitev nekrogelne ploskve (ali nesfe- riˇ cne, kot radi reˇ cemo s tujko) je odprava krogelne aberacije. Krogelne leˇ ce le približno zberejo vzpo- redni svetlobni curek v toˇ cko. To dobro vidimo pri leˇ cah,kisovelikevprimeriznjihovogorišˇ cnorazda- ljo. Nasliki1soprikazanipredleˇ covzporednižarki po lomu na prvih ploskvah leˇ ce, in sicer na krogelni (a), paraboloidni (b) in iskani nekrogelni ploskvi (c). Prikazaniso žarkiin prerezi ploskev zravnino, v ka- teri leži optiˇ cna os. Ploskve imajo seveda enake pre- rezevvsakiravnini,vkateriležioptiˇ cnaos. Pravimo, da so ploskve osno simetriˇ cne. SLIKA1. Žarki po lomu na a) krogelni ploskvi, b)paraboloidniploskvi,c)nekrogelni ploskvi  P50(2022/2023)4 9 Da si ne grenimo življenja, bomo odslej obravna- vali le lom žarkov, vzporednih z optiˇ cno osjo, le na eni zakrivljeni ploskvi, ki omejuje steklo. Pri leˇ cah imamo seveda dva loma, na prvi, vstopni, in drugi, izstopni strani leˇ ce. Slika, ki jo tvori prva zakri- vljena ploskev, pa služi drugi ploskvi kot predmet. ˇ Ce razumemo, kaj se dogaja s svetlobo na eni plo- skvi,niveˇ ctežkoobravnavatipreslikavepriprehodu svetlobe skozi obe ploskvi. Vidimo, da se robni žarki pri krogelni ploskvi lo- mijopreveˇ cinnezadenejogorišˇ ca,kigatvorijoobo- sni žarki. Zakrivljenost krogelne ploskve je preve- lika, ˇ ce hoˇ cemo, da se vsi žarki po lomu zberejo v eni toˇ cki. Na misel nam pride, da bi paraboloidna oblika ploskve, ki se na robu ne krivi tako moˇ cno, bila boljša. Na sliki 1 (b) pa vidimo, da se parabolo- idna ploskev premalo krivi, saj se obrobni žarki pre- malo lomijo. Krogelno in paraboloidno ploskev smo izbrali tako, da imajo pri obeh obosni žarki gorišˇ ce na istem mestu. Iskana ploskev bo torej nekje med tema ploskvama, glej sliko 2. Kako priti do nje? SLIKA2. Oblike lomnih ploskev – krogelna ploskev (spodnja), parabolo- idna ploskev (zgornja) in iskana ploskev brez krogelne abera- cije (ki je med obema prejšnjima ploskvama). Priiskanjuteploskvesipomagamosskiconasliki 3. Žarek A, vzporeden z geometrijsko osjo ploskve in od nje oddaljen za r, se v toˇ cki L lomi in zadene gorišˇ ce F. Vpadni kot α in lomni kot β in lomni ko- liˇ cnik steklan so povezani preko lomnega zakona: sin(α) sin(β) =n. Kotγ jedoloˇ censtrikotnikom∆ LFG,kjerjetoˇ ckaG preseˇ cišˇ ce navpiˇ cnice skozi toˇ cko O in vodoravnice skozi F. Takoj vidimo, da je kot γ kar razlika kotov α in β, kot α pa enak kotu nagiba ploskve v toˇ cki L. Raˇ cunanje gre sedaj kot po maslu. Ker je β=α−γ, velja: sinβ= sinα n =sinαcosγ−cosαsinγ. ali: sinα( 1 n −cosγ)=−sinγ q 1−sin 2 α. Levo in desno stran kvadriramo, da odpravimo kva- dratni koren na desni strani in dobimo: sin 2 α= sin 2 γ 1 n 2 +1− 2cosγ n . Sledi izraz za tangens kotaα: tgα= sinγ cosγ− 1 n . Ker je kotγ znan, trikotnik ∆ LFG pa pove, da velja: sinγ= r q (f +z) 2 +r 2 , in cosγ= f +z q (f +z) 2 +r 2 . Koordinatni sistem z abscisor in ordinatoz na sliki 3 z izhodišˇ cem v toˇ cki O smo postavili tako, da je z(r) ≤ 0, gorišˇ cno razdaljo f pa obravnavamo kot pozitivno (f >0). ˇ Ce smo dobili pravi izraz, preverimo s progra- mom, ki lahko sledi žarkom tudi skozi leˇ cje. Tega smo že uporabili pri risanju slike 1 a) in b). Napisali smo ga tako, da se žarek, ko naleti na ploskev, lomi vskladuzlomnimzakonom. Pritemmoramovedeti za naklon lomne ploskve. Le-tega pa smo pravkar izraˇ cunali. Iskano nekrogelno ploskev najdemo prav zato, ker poznamo naklonski kot tangentne ravnine α v vsaki toˇ cki prostora. Zaˇ cnemo pri r = 0, kjer je z=0, si izberemo primerno majhen korak∆ r in do- loˇ cimo spremembo ∆ z razdalje od osir do ploskve.  P50(2022/2023)4 10 Vednoznovaizraˇ cunamotgαinsepokorakihodda- ljujemo od središˇ ca prir =0, priˇ cemer spremembo ∆ z vsakokrat izraˇ cunamo takole: ∆ z=−tgα∆ r. Tako smo prišli do ploskve brez aberacije, na sliki 2 prikazane v prerezu z robom zelenega lika. S slike c) vidimo, da smo prav zadeli, saj se prav vsi žarki, tudi obrobni, sekajo v gorišˇ cu. Krogelno aberacijo smo tako povsem odpravili. SLIKA3. Skica pri iskanju ustrezne nekrogelne ploskve Seveda to velja le za vzporeden snop žarkov v smeri optiˇ cne osi ploskve. Kaj pa, ˇ ce pade snop po- ševno? Ali se bodo vsi lomljeni žarki spet zbrali v eni toˇ cki? Pa poskusimo! Program za sledenje žar- kov nam bo spet prišel prav. Na sliki 4 (a) vidimo potek žarkov po lomu v tem primeru. Žal, kot vi- dimo, se žarki ne sekajo v eni sami toˇ cki. Prav to je mislil profesor Strnad v odgovoru na moje vpra- šanje. Pri krogelni leˇ ci je zaradi simetrije krogelna aberacija neodvisna od nagiba vpadnega snopa. Pri majhnih kotih vpada pa se nesferiˇ cna leˇ ca dobro od- reže. SLIKA4. Žarki po lomu poševnega vzporednega snopa na nekrogelni ploskvi (a) in po lomu žarkov iz bližnjega toˇ ckastega predmeta na tej ploskvi (b) Doslej smo obravnavali le snop vzporednih žar- kov, torej svetlobo zelo oddaljenih toˇ ck. Za konec si oglejmo, kako dobro nesferiˇ cna leˇ ca preslika bližnjo toˇ cko. Na sliki 4 (b) imamo potek žarkov po lomu na nekrogelni ploskvi. Vidimo, da robni žarki pre- cej zgrešijo sliko toˇ cke, ki jo tvorijo obosni žarki. V primeri s krogelno ploskvijo pa je nekrogelna tudi v tem primeru še vedno boljša. Spoznanja, do katerih smo prišli v obravnavi ne- krogelnih leˇ c, s pridom izkorišˇ cajo pri naˇ crtovanju leˇ cij za objektive v sodobnih kamerah, med drugim tudi v kamerah pametnih telefonov. Tudi v oˇ cala vgrajujejo nekrogelne leˇ ce. Dajejo ostrejši in nepo- paˇ cen vid, oˇ ci so bolj sprošˇ cene kot pri krogelnih le- ˇ cah. Leˇ ce v oˇ calih so tudi tanjše in zato lažje. Po- sebnopriveˇ cjihdioptrijahnekrogelneleˇ ceskorajne popaˇ cijopogledanaoˇ cioˇ calarja,karjelahkoprikro- gelnih leˇ cah precej moteˇ ce. ×××