     
P 51 (2023/2024) 56
Mnogokotniške oblike
naravnega števila
B̌ K
Proučevanje števil s pomočjo razporejanja ena-
kih predmetov v različne geometrijske oblike je
verjetno predstavljalo ena od najbolj osnovnih ma-
tematičnih aktivnosti starodavnih ljudstev. Triko-
tniška in kvadratna števila ter njihovo povezavo
z vsoto zaporednih naravnih oziroma lihih števil
naj bi poznali že pitagorejci v 6. stoletju pred na-
šim štetjem, o splošnejših mnogokotniških števi-
lih pa je prvi pisal Nikomah iz Gerase okoli leta
100 našega štetja. Nekatera naravna števila lahko
predstavimo na več mnogokotniških načinov – šte-
vilo 36 je denimo hkrati trikotniško in štirikotni-
ško (oziroma kvadratno). V tem prispevku si bomo
ogledali postopek, ki danemu naravnemu številu
poišče vse njegove mnogokotniške oblike in ga
preizkusili na številu 2024.
Naj bo n ě 3 naravno število. Potem k-to n-kotni-
ško število Pnpkq predstavlja število objektov, razpo-
rejenih v pravilni n-kotnik tako, da je na posamezni
stranici k objektov. Parametru k v tem primeru re-
čemo red n-kotniškega števila. Poseben primer mno-
gokotniških števil so trikotniška števila, ki predstav-
ljajo vsoto zaporednih naravnih števil in jih izraču-
namo po formuli P3pkq “ 1 ` 2 ` . . .` k “ kpk`1q2 , in
štirikotniška oziroma kvadratna števila, ki predsta-
vljajo vsoto zaporednih lihih števil P4pkq “ 1 ` 3 `
. . .` p2k´ 1q “ k2.
Splošno formulo za Pnpkq najlažje izpeljemo z
razrezom mnogokotnika na trikotnike. Za poljuben
par n,k lahko ustrezni n-kotnik razrežemo na en tri-
kotnik reda k in pn ´ 3q trikotnike reda k ´ 1 (Slika
2), torej je
Pnpkq “
kpk` 1q
2
` pn´ 3q pk´ 1qk
2
“ pn´ 2qk
2 ´ pn´ 4qk
2
.
S preoblikovanjem tega izraza dobimo formulo za n-
SLIKA 1.
Trikotniško število reda 4 je enako 10, štirikotniško število reda 4 je enako 16 in petkotniško število reda 4 je enako 22.
     
P 51 (2023/2024) 5 7
SLIKA 2.
Razrez n-kotniškega števila na trikotniško število reda k in pn´
3q trikotniških števil reda k´ 1 za primer n “ 7 in k “ 5.
kotniško število reda k v obliki
Pnpkq “
k
2
p2 ` pn´ 2qpk´ 1qq .
S to formulo lahko zdaj izračunamo mnogokotni-
ška števila za dana n in k, denimo P7p3q “ 18. Nekaj
vrednosti za majhne k in n smo zbrali v Tabeli 1.
Bralka in bralec bosta zdaj zlahka sama preverila,
da iz mnogokotniške formule za primera n “ 3 in
4 dobimo že znani formuli za trikotniška oziroma
štirikotniška števila P3pkq “ kpk ` 1q{2 in P4pkq “
k2. Prav tako za vsa števila n ě 3 velja tudi, da je
Pnp1q “ 1, saj je prvo n-kotniško število vselej enako
1, in Pnp2q “ n, torej je vsako n-kotniško število reda
2 kar enako n (z drugimi besedami, vsako naravno
število n ě 3 je n-kotniško na trivialen način).
Zdaj pa se vrnimo h glavnemu vprašanju iz uvoda:
kako za dano naravno število N določiti vse njegove
mnogokotniške oblike? Iz dosedanjih ugotovitev in
Tabele 1 lahko razberemo, da je število 15 mnogoko-
tniško na (vsaj) 3 načine:
15 “ P2p15q “ P3p5q “ P6p3q.
Za vsak izbrani n P N se vprašanje, ali je N “
Pnpkq za kakšen k, z mnogokotniško formulo pre-
vede na reševanje kvadratne enačbe v neznanki k.
Nemški matematik Gustav Wertheim pa je leta 1897
opisal splošen postopek, kako ugotoviti, ali je dano
število N mnogokotniško za katerikoli n, in določiti
njegovo mnogokotniško obliko Pnpkq. Osnova po-
stopka je naslednji izrek.
Izrek: Naravno število N ima mnogokotniško
obliko Pnpkq za neki števili n ě 3, k ě 2, natanko
tedaj, ko je k delitelj števila 2N in za naravno
število ℓ “ 2Nk velja, da je ℓ ą k in je
ℓ´2
k´1 na-
ravno število. Tedaj je n “ ℓ´2k´1 ` 2.
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Sedemkotniško
Šestkotniško
Petkotniško
Štirikotniško
Trikotniško
P7pkq
P6pkq
P5pkq
P4pkq
P3pkq
k
1
1
1
1
1
1
7
6
5
4
3
2
18
15
12
9
6
3
34
28
22
16
10
4
55
45
35
25
15
5
81
66
51
36
21
6
112
91
70
49
28
7
148
120
92
64
36
8
TABELA 1.
Tabela n-kotniških števil reda k za majhne n in k.
     
P 51 (2023/2024) 58
SLIKA 3.
Tri mnogokotniške oblike števila 15.
Dokaz. Denimo, da je N “ Pnpkq “ k2 p2 ` pn´ 2qpk´
1qq za ustrezni števili n,k. Potem sledi 2N “ kℓ za
ℓ “ 2`pn´2qpk´1q P N. Za n ě 3 velja ℓ ě 2`1¨pk´
1q ą k in izrazimo lahko n “ ℓ´2k´1 ` 2, torej mora biti
izraz v ulomku celo število. S tem smo preverili, da
so vsi pogoji potrebni. V obratno smer razmislimo
takole. Denimo, da imamo ustrezni števili k, ℓ kot v
izreku. Če vstavimo n “ ℓ´2k´1 ` 2 v formulo za Pnpkq,
po krajšem izračunu dobimo Pnpkq “ N .
Izrek nam da preprost algoritem, s katerim lahko
določimo vse mnogokotniške oblike danega števila
N , če poznamo njegov razcep na prafaktorje. Za
vsak delitelj k števila 2N , tako da je 2 ď k ă
?
2N ,
določimo število ℓ “ 2Nk (pogoj k ă
?
2N pomeni, da
je k ă ℓ). Če je ℓ´2k´1 naravno število, potem je iskano
število stranic enako n “ ℓ´2k´1 ` 2, sicer pa ustre-
zna oblika ne obstaja. Vsak par celoštevilskih rešitev
pn,kq da mnogokotniško obliko števila N “ Pnpkq.
Za prvi zgled uporabimo opisani algoritem za šte-
vilo N “ 15. Velja 2N “ 30 “ 2 ¨3 ¨5. Ker je
?
2N ă 6,
je dovolj preveriti delitelje k “ 2,3,5 ă 6 števila 2N :
Za k “ 2 dobimo ℓ “ 2Nk “ 15. Število
ℓ´2
k´1 “
13 je celo in zato je n “ 13 ` 2 “ 15 ustrezna
rešitev. Našli smo torej trivialno mnogokotniško
obliko 15 “ P15p2q.
Za k “ 3 dobimo ℓ “ 10 in število ℓ´2k´1 “ 4 je zopet
celo. Torej je n “ 6 in velja 15 “ P6p3q.
Za k “ 5 dobimo še ℓ “ 6 in n “ ℓ´2k´1 ` 2 “ 3, torej
je 15 “ P3p5q.
Dobili smo natanko tri mnogokotniške oblike števila
15 (Slika 3), ki jih poznamo že od prej.
Za drugi zgled uporabimo opisani algoritem še za
število N “ 60. Potem je 2N “ 120 “ 23 ¨ 3 ¨ 5 in
velja
?
2N ă 11. V tem primeru so ustrezni delitelji
k “ 2,3,4,5,6,8,10. Za vsakega izračunamo ustre-
zni ℓ ter pogledamo, ali je ℓ´2k´1 celo število, nato do-
ločimo n. Toda smiselno rešitev najdemo le v dveh
primerih, kot kaže Tabela 2.
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
10
8
6
5
4
3
2
k
12
15
20
24
30
40
60
ℓ “ 2N{k
10/9
13/7
18/5
22/4
28/3
19
58
ℓ´2
k´1
/
/
/
/
/
21
60
n
TABELA 2.
Uporaba algoritma na številu N “ 60.
Tako smo preverili, da ima število 60 natanko dve
mnogokotniški obliki. Poleg trivialne P60p2q še 21-
kotniško P21p3q.
Kot smo napovedali na začetku, lahko z uporabo
algoritma obravnavamo še letošnjo letnico 2024 “
23 ¨ 253. Izkaže se, da ima natanko dve mnogoko-
tniški obliki. Poleg (trivialne) 2024-kotniške P2024p2q
ima še 74-kotniško obliko P74p8q. Pravilnost te tr-
ditve lahko bralec in bralka preverita sama. Nado-
budnim programerjem in programerkam pa prepu-
stimo še zanimivejši izziv: napisati računalniški pro-
gram, ki bo na osnovi opisanega algoritma določil (in
morda celo narisal?) vse mnogokotniške oblike da-
nega števila N .
ˆ ˆ ˆ