,_....... ..~ - ,,.,.... "9"", ' .-, ~"' ..,. ~ ... ..', -,'..... . .~.... . .-..... ......•.. ........ ....-. "'"-'. .. ....•.....•.. '. .•.... ... .. ,.. -._- ••, , -<.; . •••,••_.'.•_,•••••_.•~ . ----~...- ::.-.....:::- . : ,' . -. - , <. ••.••• ••• .._~~ ~ ""..."'~ ".'. ~. ~ ~""""' " . "".4-•• • ~""' .-" .... Slika 2 X 0/ O2 X/ X3 °7 X3 X7 X2 ° KRIŽCI IN KROGCI - dopolniIna rešitev ~ O/ ° )( )(7 o, °7 )(2 )(7 )(3 O, XL. X, °7 0 " X/ ° 3 x; X XL. 0 i. O °7 X32 X/ ° 3 ° X2 0 " 0/ X" x/ ° 3 X3 Xi. o, )(, O, 0/ X3 X/ ° 3 Slika 3 ° 2 X2 °7 X 7 ° 2 X2 °7 X/ X3 Slika 4 ° 2 X" X7 0/ 0 i. X2 ° 3 X 3 X" 0 " X3 X/ 0/ O2 X2 ° 3 xl, ° 4 X3 X /0/ ° 3 O2 X2 ° 3 ° 2 X/ 0/ X, )(3 Slika 6 0 " )(3 )(2 )(7 ° 2 0, 0 , )(L. X2 ° 3 X" )(7 0 " 0/ )(1 ° ° 2 )( )(" )(/ ° 4 0/ O2 X3 O, 0 " X, X 3 X/ ° 3 0/ X" Slika 7 Slike 2, 3, 4, 6 in 7 k članku na strani 189. PRE S EK - LIST ZA MLADE MATEMATIKE, FIZIKE IN ASTRONOME letnik 12., leto 1984/85, številka4, strani 161 - 224 ASTRONOMIJA RAČUNALNIŠTVO FIZIKA TEKMOVANJA RAZVEDRILO MATEMATIKA NOVICE REŠiTVE NOVE KNJIGE NA OVITKU Najstarejši atlas kometov (Karli Dolenc) 162 Hi kvadrat z računalnikom (Tomaž Pisanski 163 Uvod v želvino grafiko (Rok Sosič) 167 Merjenje hitrosti vetra, 2. del (Jože Rakovec) IV , 17 1 O atomih (Janez Strnad) 176 Natečaji - 16. mednarodna fizikaina ol impiada v Portorožu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Nadomestni upor verige upornikov (Roman Drnovšek) 182 Zvezno tekmovanje mladih fizikov v Strumici - rešitve na str. 218 (Božidar Casar) .. . . . . . . . 185 25. mednarodna matematičnaolimpiada (Uroš Seljak) 187 PREMISLI IN REŠi - Dopolnitev rešitve Križci in krogci. Trikotni šotor na vrtu tete Amalije (Peter Petek) II. 189. 191 SLIKOVNA KRIŽANKA Z GESLOM (Pavle Gregorc) .... 192 BOLJ ZA ŠALO KOT ZARES - Ponarejena zlatnika (Tomaž Pisanski) o o 190 Obstajata vsaj dve rešitvi. Mislim, torej sem. Kje je napaka? (Izidor Hafner) 184,191 ,194 POSKUSI, PREMISLI, ODGOVORI - rešitev nalog iz P XI/3 , str. 143 in P XII/1, str . 59- Taljenje snega (Martin Čopič) o 195 Ocenjevanje približka števi la 1T na osnov preproste statistične metode (Edvard Kramar .) 196 Reševanje enačb in neenačb, v katerih nastopa aDSOIUtna vrednost - naloga str. 220 (Izidor Hafner) 201 Test hi kvadrat (Tomaž Pisanski) . . . . . . 204 Grška abeceda (Aleksandra Pirkmajer) . . . . . 209 Novi častni člani društva (Ciril Velkovrh) . . . 214 PISMA BRALCEV (Dušica Boben) o . . . . o 215 Srečanje mladih raziskovalcev računalnikarjev (Andrej Brodnik) o . . . 217 Prva letna šola fizike (Jure Bajc) . . . . . . . . . . 217 Slikovna križan ka Planimeter - iz P XII /3, str . 144 (Pavle Gregorc) .. o .. .. o . . . . . . . . . . . 220 Smullyan R o, Alica v deželi ugank . . . . . . . . . . . . 221 Šporer Z., 1,2,3, oo . mi več znamo brojati. Računanje problema nema (Dušica Boben) 221 Hišni računalnik (Peter Petek) o . . . . . . . 223 Kurillo J., S fotografom v naravi (Ciril Velkovrh) • . . .. 224, III Želvina grafika o . . . . . . . . . . .. I Slike k članku Križci in kroqci na str . 189 . II Simetrija v naravi (Foto Ciril Velkovrh) III Slike k članku na str. 171 : Anemograf VMZ 21 in ročni vetromer RVM 96, k i ju izdeluje Inštitut J. Stefan (Foto Marjan Smerke) IV \.l S('(\1~Y'H~ : !Jt>t, 161 NAJSTAREJŠI ATLAS KOMETOV Marca lani so kit ajski znanstveniki objavil i vest , da so odkrili najstarejši atlas kometov na svetu. Kot poročajo, je to svilena knjiga, ki so jo našli v bližini kraja Čangša v provinci Hunan in je po ocenah strokovnjakov st ara 22 stoletij. Neka- teri celo domnevajo, da je ta knj iga kopija še starejšega o rigina la iz leta 400 p.n .št. Knjiga vsebuje o kol i 250 risb in op isov. 29 skic (med njimi sta dve slabo ohranjeni) prikazuje in o pisuje ko mete . Kometi. so na risan i in opisan i prese- netljivo dobro . Še posebej če upoštevamo, da so tedaj opazovali še s prostim očesom. Zanimivo je, da so t ed anji astronomi že vedeli, da so repi kometov obrnjen i vedno stran od Sonca. Do te ga spoznanja so evropski astronomi prišli šele 900 let pozneje - let a 1531. V knjigi so repe kometov razvrstili v tri skupi- ne: kratki prašni rep, dolgi prašni rep in plinski rep. Poleg .tega vsebuje knjiga tudi nekaj zapisov o nenavadnih kometnih pojavih, kot je antirep (rep, obrnjen od glave kometa proti Soncu). razvidna pa je tudi klasifikacija kometnih glav. Ta dokument je nov dokaz o visoki stopnji razvitosti starokitajske astro- nomije. Prirejeno po : Sky and Telescape, Sept. 1984, Vol..§!L No 3 Karli Dolenc PRESEK - LIST ZA MLADE MATEMATIKE, FIZIKE IN ASTRONOME 12. letnik, šolsko leto 1984 85, številka 4, strani 161-224 UREDNiŠKI ODBOR : Vladimir Batagelj (bistrovidec}, Danijel Bezek , Andrej Čadež lastronomija l , Bojan Golli (tekmovanja - naloge iz fizike) , Pavel Gregorc, Bojan Mohar (matematika), Martin Čopič, Andrej Kmet, Jože Kotnik , Edvard Kramar (odgovorni urednik) , Gorazd Lešnjak (tekmovanja - naloge iz matematike) , Andrej Likar (Prese- kova knjižnica - fizika) , Franci Oblak , Peter Petek (glavni urednik, naloge bralcev, premisli in rešil , Dušica Boben (pisma bralcev) , Tomaž Pisanski (računatmštvo}, Tomaž Skulj, Miha Štalec (r isbe), Zvonko Tromelj (fizika), Marjan Vaqsj a, Ciril Velkovrh (urednik , nove knjige, novice) . Dopise poši ljajte in list naročai te na naslov : Društvo matematikov , fizikov in astrono mov SRS - POdružnica Ljubljana - Korrusij a za tisk , Presek, Jadranska c . 19, 61111 LjU - btj ana, p .p . 64 , tel. (061) 265-061 53, ' št . žiro računa 50101 -678-47233. Naročnina za šolsko leto 1984,85 je za posamezna naročila 250.- din, za skupinska naročila pa 200.-. List sofinancirajo Izobraževalna, Kulturna in Raziskovalna skupnost Slovenije. Ofset tisk Časopisno in grafično podjetje DE LO , Ljubljana . © 1985 Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS - 731 162 HI KVADRAT Z RAČUNALNIKOM V prispevku z naslovom TEST HI KV ADRAT smo spoznali statisti 6no metodo, ki na m omogo6a primer jati dej ansko por a z d e l it e v s t eo r e t i č n o . Med drug i m lahko z njo ugotavljamo, a l i j e koc k a , ki j o u po r ablj a mo pr i igri č Lovek ne jezi se, poš tena ali ne. Omenj eni č l anek j e objavl j en na s tr. 204 . S pomn i mo s e t e s t a hi k va d r a t. Denimo, da ima po skus n izidov. Na j bodo 0 1' 0 2' ... , On dej a n ske absolutne fre kvence s ka t e rimi s e poj a v l j a j o po s ame z n i izidi pri ponavl janju poskusa. Naj bodo El ' E2, ... , En teoreti6ne absolu tne frekvence. Izraz i me nuj emo hi k va drat z Cn 1) prostostnimi s t op n j a mi . V p r e j š n j e m p r isp e v k u smo sp o znali, kako lahko uporabimo izra6unano vred nost. V tem pr ispe vku pa s i ogle jmo pr og r a m v basicu, ki med dr ug i m r a 6un a v r edn ost i hi k vadrat. Me d t e m ko program preverja, ali je vg r a j e n i g enera t or slu 6a j nih š t e v i l dober, pos e bn i podprogr a m ra6una vrednost hi k va d rat . Bralci, ki ž e l i j o uporabiti pr ogr am , g a morajo prilagoditi možnostim, ki jih ima njihov r a č una Lni.k , Za l ep i zpis morajo upoštevati na primer š t evil o zn a kov v vrstici. Ogl e jmo s i n e ka j zna6iln os ti t ega prog r ama . Vr s t ic e 100 - 230: Glava programa . Vsebu je os novne podatke o prog r a mu , pomemben del pr og r a ms ke d ok umen t ac i j e . Name s t o k ome n t a r jev REM u pora bl j a mo kar i z pis PRINT. Re z e r v i r amo prostor za na j več 100 iz i do v. Vr stice 2 40 - 3 1 0 : Prog ram se stoji iz treh klicev podprogramov: priprava podatkov , r a 6u na n j e in izpis rezultatov . Pr ogram simuli r a metan je kocke. Basic , ki ga u po ra bl jamo, ima 163 HI KVADRAT, programiral T.P., dne 24.1.1985 I ";N "JN ",M ", N- 1 ",H2 kocko) <= 100 ) ploskvami" stopenj Dejanske frekvence" Teoreti~ne frekvence" Število poskusov" izidov (6 za navadno 100 THEN GOTO 1030 poskusov ";M GOTO 1050 O(N) E(N) u O( 1), n E( 1), " M 100 REM 160 PRINT 170 PRINT " Ra~unalnik me~e 'kocko' z N 180 PRINT 190 PRINT 200 PRINT 210 PRINT 220 PRINT 230 DIM 0(100), E(100) 240 PRINT " Priprava podatkov " 250 GOSUB 1000 260 PRINT " Ra~unamo hi kvadrat " 270 GOSUB 2000 280 PRINT " Izpis rezultatov " 290 GOSUB 3000 300 PRINT " Konec " 310 STOP 1000 REM Priprava podatkov ••.•.•.••••• •••••.•••.••.•.• •••• 1010 INPUT" Slu~ajno itevilo "iX 1020 RANDOMIZE(X) 1030 INPUT" Število 1040 IF N < 2 OR N > 1050 INPUT" Število 1060 IF M < 5.N THEN 1070 FOR 1 = 1 TO N 1080 LET 0(1) O 1090 LET E(I) = MIN 1100 NEXT 1 1110 FOR 1 = 1 TO M 1120 LET J = INT(RND.N) + 1130 LET OlJ) = OlJ) + 1 1140 NEXT 1 1150 RETURN 2000 REM ra~unanje hi kvadrat ....•.•.• •• •• .•. •. •. •.....•.. 2010 LET H2 = O 2020 FOR 1=1 TO N 2030 LET H2 = H2 + (0(1) - E(I»12/E(I) 2040 NEXT 1 2050 RETURN 3000 REM Izpis rezultatov • •• •. ..•. •.. •.•..••. •. • •.• . ...... 3010 PRINT 3020 PRINT "Izid Dejanska Teoreti~na 3030 PRINT" frekvenca frekvenca 3040 PRINT "•••.,••.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,• .,.,• .,•••.,.,.,• .,• .,• .,• .,.,.," 3050 FOR 1 = 1 TO N 3060 PRINT I,O(I),E(I) 3070 NEXT 1 3090 PRINT "••••••••.,• .,.,.,• .,• .,• .,.,• .,• .,• .,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,lflf" 3100 PRINT 3110 PRINT "Število izidov 3120 PRINT "Število poskusov 3130 PRINT "Število prostostnih 3140 PRINT "Vrednost hi kvadrat 3150 RETURN 164 vgrajeno funkcijo RND, k i resnici zaporedje klicev z a por e d j a števil ampak le bi bilo slučajno. vrne slučajno število med O in 1. V funkcije RND ne vrača slučajnega zaporedje š t e v i l , ki se vede , kot- da Vrstice 1000 1150 : Podprogram za branje in pripravo podatkov. Določi podatke N, M, O in E. Če bi želeli z ra čunalnikom računati hi kvadrat za primere iz prispevka TEST HI KVADRAT , bi morali ta podprogram spremeniti, tako da bi br a l podatke O i n E. Vr s t i c e 20 0 0 - 205 0 : Računan je hi kva d r a t . I z N, M, O in E n a raču n amo hi kv a d r at H2 . Vr s t ic e 300 0 - 3 150 : Pod p r og r a m za i zpis rezultatov. Iz pr i l o ž e nih p r i me rov v i d i mo , da š e ni v najle pši obliki. Tako srno i z pisali k a r pet decimalk števila hi kvadrat, č e p r a v bi zadoščali ž e d ve decimalki. Seveda pa bi lepšanje izpisa podalj šal o pr og r am , zato take izboljšave prepuščamo bral cem . Rat unalni k Me t e ' koc ko ' z N ( = 100 ) plo sk v ami O( 1 ), E( 1 ), M O( N ) [ ( N ) Dej a n s ke fre kv e nce Te o retič n e frek v e nce St e v i l o po s kuso v Pr i pr a va p oda t k ov S l u č aj n o i tevi l o ? 1984 St e v i l o iz i do v (6 z a na vadno k ock o ) ? 6 ~t evi l o poskus ov ? 6 0 0 Rat u n a mo hi kvadrat I zp i s rezu :Lta "t ov I z i d De janska Te oret i t n a ·f r e kv e nc a f r e kv e nca • • ***.****• ••••••*****•••••••••••••••** 1 i i i 1 00 2 99 1 0 0 3 10 7 10 0 4 ~ 100 s 10 3 10 0 6 9 5 1()0 ************* ************************** ~; t 0;vil 0 Lz icl ov ~ ·tevi ].o PO S k lJSO V Stev il o p r osto s tn ih ~t o p enj Vr ed n os t h i kvad r at Konec 6 6 00 ,o . ! 4 .2;0002 165 Rat.:unalnik I1'I E· t.: e ' kuc ko ' z N ( <,= 100 ) plo skval1'l:l O( 1), E( 1.) , M O( N ) E( N ) De jans ke ~rekvenc e Te or etitn e ~~e k ven c e ~tev i l o p os ku s ov 3 ;';':"5 4 101. "0 9B.O! 6 1.04 /' 9 :j Prip r ava p oda t kov S l ut.:ajno Atevilo ? 1 12 1 t e vilo i z i d ov ( 6 ZB nava dno ko cko ) ? 10 Stevi lo p os ku s ov ? 10 0 0 Rat.:una l1'lo h i kvadrat Izp is rez u l ta t ov Izid Deja ns ka ·reo l~et i č na f rekvenca f r ek venca ******* * ** * ~f * ~t * ** * **X********** *** ** *** 1 10 5 100 2 94 10 0 100 :L OO :1. 0 0 100 .1. 00 8 10:°, :1. OO 9 1 0.1. :1.00 10 106 100 * ************** ***** * ** * **********~ ~~*** S tE'vil o i z idov ~tev i l o p o skt.ls ov at evilo pr os t os tn ih s t ope n j Vr e dn os t tl i kva clrnt ho ne e 10 1000 9 2 .0200 1 Bralc a va bi mo , da pogleda v r a zpredelni c i i z prejšnj e g a pr is pe v ka, a li j e g e ne r a t o r s l uča j n i h števi l prestal pre pr ost s ta t i stični te s t . Če ga ni , mu nikak o r n e s me mo za u pa t i in moram o po I s k a t L bo l jš ega. Ce pa j e generator tes t u s p e š no p r-e s t a l , pa to š e ne pome ni, da j e dober , sa j bi se prav l a hko "sp ot aknil" ob kakšnem drugačnem testu. O g e ne r a t o r jih slu ča j ni h št e vil b omo spregovori li kdaj drugič . Tomaž Pisanski 166 UVOD V ŽELVINO GRAFIKO Izraz želva ima v računalništvu že dvajs etletno zgodovino. y začetku 60.1e t ga je uporabi l britanski nevropsiholog Grey Wa l ter za majhne robote na ko- leščkih . Kasneje so ji h izpopolnili na uni verz i MIT v ZDA. Premikali so se na ukaza FORWARD (naprej) in RI GHT (desno). To terminologijo je prevzela skupina za razvoj programskega jezika LOGO in razvijati se je začela žel vi- na grafi ka. 2elva j e bila že omenjena v Preseku Xlj4 in nam je pomagala risati zma- jeve kr i vul j e . Zmore še precej težje preizkušnje in de l če k njenega svet a bom skuša l prikazati v nasl ednj i h številkah . Večina gradiva je iz knjige, ki sta jo napisala Harold Abelson in Andrea A. diSessa - Tur t l e Geometry : The Computer as a Medium for Exploring Mathematics, MI T Press, 1981. Večina vas je verjetno že zaslutila, da bomo pisali o rač unalnikih in računalniški grafiki . Vsi programi bodo napisa ni v programskemjeziku pascal. Vsa k ukaz namišljeni želvi bo v resni ci kli c ustreznega podprograma. Podo- bni ukazi obstajajo t udi v pascalu Hi - sof t H4PT z dodatnim paket om Turt le na računalni ku ZX Spectrum. Uvod se je kar precej raz tegni l in res je že čas, da preidemo k želvi. Predstavl jajte s i , da lahko na račun a l n i škem ekranu upravljate z majhno stvarco, ki jo imenujemo žel va. Za začetek naj pozna le dva ukaza - FORWARD (naprej) in RIGHT (desno) . PROCEDURE for wa r d ( dist a nce , in teger ) PROCEDURE righ t ( a l f a ' in t eger ) ; Pri ukazu FORWARD se želva prema kne v smer, v kat ero gleda , pr i te m pa ji povemo še število korakov, ki naj jih naredi. Uk az RIGHT pa jo zavrti za dano število stopinj v smeri urnega kazal ca. Da je stvar bolj zabavna, nosi želva pero , ki pušča sled na prehojen i poti . Obi čajna rač u n a l n iš ka grafi ka ima dru gačne ukaze od želvine, zato poglej mo , kako naredimo želvo. Ukaz za risanje črt se ponavadi imen uje DRAW(X,Y) i n potegne č rto od mesta peresa do toč ke (x,y ). Poleg tega imamo še ukaz PLOT( X,Y), ki dvignjeno pero premakne v toč ko (x, y) . Torej moramo poskrbeti za prehod iz polarnega v kartez ični koordinatni sistem . 2elvo bomo opisali s trenutnim položajem in smerjo , v kat ero gle da: 167 ze l v a RECORD t x~if1 teger t y:i nteger t a ng l e : in eger END ; (* ž e l v in a x ko o r di rla t a *) (* že lvina y koordinata *) (* ž e l v i n a smer *) Napišimo najprej podprogram RIGHT. Ta je zelo prepros t, saj spremenimo le smer, v katero gle da žel va: PROCEDURE r i gh t 1 alfa :integer BEGIN zelva . tang le : = zelva . t a ng l e - a lfa END; Podprogram FORWA RD pa je malce bolj zapleten. Izračunati moramo nov želvi n položaj na vodoravni in navpični osi in narisati črto od starega do novega položaja : PROCEDURE for war d ( di stance:integer ) ; BEGI N zelva. tx : = zel va .tx ~, round(d ist ance* c os(ze lva. tang le*3 . 14 159265 / 180 .0» ; zel va.ty := ze lva . ty + r o u nd(d i stance* si n(zel va .tangle*3. 141 5 9265 / 180.0 » d r aw(z el v a .tx, z el va. t y) END; Za pisanje pravih ra č u n a l n išk i h programov nam manjka le še podprogram za ini ciali zacijo - postavitev začetnih vrednosti : 1* p ost a v imo x ko o r d i n a t o * 1 1* p o st a v im o y ko o r din a to *) (* p o s t a v im o ko t * 1 (* n ar i ~e rn o ž e l vo *) PROCEDURE inittL~t le BEGIN ze l v a .tx : = 128 z e lva . ty := 96 zel va. tangle : = o p l o t l zel v a .tx , z el va . t yl E~; S tem smo dobili orodje za upravlj anje želve s imo. Ne kaj za četni h poskusov je na sli ki 1. in kar ta koj jo lahko preiz ku- ! IF,:' l ·,11 'Il ' ,]1 '. \ ·H 1 l. I _1 I l ' :1I 'j I--n ' '1 Il T'U c' 1 I .t i i I J I ' , i l i Kako pa bi narisali kaj bolj znanega, recimo kvadrat s stranico 100? Ni č la žj ega, rešitev je podprogram 1. 158 ,-i(] h t (90 ) ,- i g h t (90 ) rig h t( 90) r i q h t; (90 ) P ROCEDURE kvadr at i ; BEGI N fOI' -- '-Jal-d ( 10 0) f m-"a,-d ( 100) f o n-Ja ,- d ( 1( 0 ) fm-wa,- d ( 100 ) END; ) ;a : i n t e g e rPROCED URE kv adrat2 VA~~ Ce podprogram posplošimo za risanje kvadratov poljubne dolžine, dobimo podprogram 2. i : integ e r- ; BEGIt~ FOR i: = 1 TO for " a l'-,i ( a ) END; END; 4 DO BEGI N I"i g ht (9 0 ) Samo en kvadrat na ekranu ni preveč zanimiv, z njegovo pomocJo pa lahko ustvari mo že kar spoštl jive vzorce. Eden je na sli ki 2, njegov program pa ima številko 3. Da ne bi porabili preveč prost ora , bo od vsakega programa napisan le bi- stveni del , ki pa ga ne bo te žko dopolniti do konca. Pogosto lah ko s ponavljan jem določenega vzorca dobimo zapletene grafike . Poglejmo podprogram 4. Nj egov uč inek je prikazan na sliki 3. Poskusimo kombinaci j i v pr ogramu 5. Rezultata sta na sl ikah 4 i n 5. Pr'og l 'am 3 : j : i ntegel" FOR j := 1 TO 60 DO BEGI N kvadr a t (50 ) r i gh t (6 ) END; Podprogram 4 : PROCEDURE k r a c a BEGI N f o r war d (32) forward (32) f o r war d (16 ) f o r war d ( 16 ) f Orl-Ja r d (32) forward ( 8 ) fo r war d ( 8 ) for war d ( 16) END; right (90 ) right(90) r i g h t ( 9 0) r i gh t (90) right (9 0 ) r-ight (90 ) r i g h t (90 ) 169 Program 5 : i : integer FOR i : = FOR i := kraca END; TO 4 DO kraca TO 8 DO BEGIN r igh t( - 451; for wa r d (401 [ -- 1 '=;L 11·..,-·, 4 -' :::;L I foIJia tua n_ol1o.0c0.- din, 7.5CXl-din. 5.0c0-din ROK zaoddaiolZVlmihd8130. miii 1~ NASLOV FizIkaina olimpiada. Jadran&ka c. 19. 61 111 Ljubljana, p. p.64 NADOMESTNI UPOR VERIGE UPORNIKOV Rešil i bomo naslednjo nalogo o električnih vezjih: Izračunaj nadomestni upor verige enak ih upornikov (glej sliko)! Vseh upornikov je 3n. upo r vsakega izmed njih pa je enak R. R ~-----~v~-----------' n - kr at Rešitev: 1. Iskan i nadome stni upor označimo z Rn . Naša naloga je določ iti Rn vodv is- nosti od R in n. Oč itno je Rl = 3R. Rn+1 dobimo iz R n » če le temu dodamo še tri upornike: 1 Rn+ 1 = R + 1 + _1_ +R R R n Rn+ 1 = 2R + R.Rn (2R + 3Rn)R (1 ) R + Rn R + s; Po tej rekurzivni formul i izračunamo : R 2 =~ R in R 3 = 14~ R . 2. Defin irajmo zaporedji Xn in Yn (n EN U {O}): X o = 1. YO = O Xn+l = 3xn + 2Yn Yn+l = Xn + Yn (a) (b) (2) Prvih nekaj členov zaporedja Xn je : 1. 3. 11. 41 ..... zaporedja Yn pa O. 1. 4. 15 . ... 182 3. Dokažimo s popolno indukcijo, da je XnRn = R -- (n E N) Yn (3) X n + Yn Xn X n + YnR + R.!..ILYn R n+1 = 2R + Za n = 1 je Rl = R~ = 3R, kar res velja. YI Predpostavimo, da (3) velja za n in pokažimo, da tedaj velja tudi za (n + 1). S tem namenom vstavi mo (3) v (1) : Xn R.R y;;- Xn+l Upoštevamo definiciji (2), pa dobimo: Rn+ 1 = R Tako je dokaz ena- Yn+l kosti (3) končan . 4. Z uporabo računalnika, na katerem lahko programiramo, je mogoče izraču ­ nati poljuben X n in Yn (s pomočjo (2)), medtem ko na običajnem žepnem ra- čunalniku pri velikih n to ni mogoče. Zato bi želeli določiti formule za X n in Yn samo v odvisnosti od n. Iz (Zb) izpelj emo X n = Yn+1 - Yn, kar vstavimo v (2a) in dobimo: Yn+2 - Yn+l = 3Yn+l - 3Yn + 2Yn oziroma Yn+2 - 4Yn+1 + Yn = O (4) Kako se v splošnem rešuje diferenčne enačbe oblike Yn+2 + aYn+l + bYn = O (a, bE R), piše na str . 116 v knjigi Alojzija Vadnala OSNOVE DIFERENČNE­ GA RAČUNA, Knjižnica Sigma. V našem primeru bomo to opravili na kratko. Rešitev diferenčne enačbe (4) i šč emo v obliki Yn = t", To vstavimo v (4) in do - bimo: oziroma t 2 - 4t + 1 = O t 1 ,2 =2± y'3 183 Ker ti ni enako t 2 , je splošna rešitev enačbe (4) enaka: Konstanti A in 8 izračunamo z upoštevanjem pogojev Yo = O in YI = 1: O=A+8 1 =A (2 +y3) + 8(2 - y3) Rešitev sistema teh dveh enačb z dvema neznankama je: A = 1/(2y3) in 8 = - 1/(2y3) . Torej je : Po kratkem računu iz x n = Yn+ I - Yn dobimo: (5) Ko (5) in (6) vstavimo v (3), je naloga rešena: 1 + y3 - (1 - y3)(7 - 4y3)n 1 - (7 - 4y3)n R 5 . Poglejmo še primere, ko je veriga upornikov neskončna. Po k~atkem premi- sleku ugotovimo: ko n raste čez vse meje, se kvocient xn /Yn približuje vredno- sti(1+Y3).Torejje:Roo=R (1+Y3). Roman Drnovšek OBSTAJATA VSAJ DVe ~ečl -1.-'/ 'li-liI ior« /',Ien _li'm u: n ZVEZNO TEKMOVANJE MLADIH FIZIKOV V STRUMICI 19. zvezno tekmovanje mladih fizikov je bilo od 13. do 15. maja 1983 v make- donskem mestecu Strumici, nedaleč od Dojranskega jezera. Pol eg srednješolcev so se prvič pomerili na zvezni ravni tudi učenci osnovnih šol. Našaekipa je bila sestavljena iz- 13 najuspešnejših tekmovalcev z republiškega tekmovanja (11 srednješolcev in 2 osnovnošolca) . Kot že nekaj let nazaj so bile tudi letos orga- nizirane skupne priprave na VTOZD FIZ IKA v Ljubljani nekaj dni pred tekmo- vanjem, kar se je izkazalo kot koristno . Že v četrtek smo odpotovali z letalom do Skopja in potem nadaljevali pot do Strumice z avtobusom . Nastanili smo sev prijetnem novem hotelu "Car Sa- moll" v vasi Bansko blizu Strumice. Dva dni časa, ki smo ga imeli do tekmova- nja, smo izkoristili za številna športna srečanja z ekipami iz drugih republik . Posebej uspešni smo bili v malem nogometu, kjer smo srbske vrstnike premaga- li kar s 5 : 1, pa tudi v namiznem tenisu smo bili strah in trepet za vse tekmo- valce. Po tekmovanju, ki je bilo v soboto od 9. do 13 ure, smo imeli organiz iran izlet na Dojransko jezero. Izkoristili smo ga za otvoritev sezone kopanja. Pri igrah z žogo v vodi se je posebej izkazal naš spremljevalec Mark Pleško. V nedelj') je bila podelitev priznanj in tudi tokrat se naša ekipa domov ni vrni la praznih rok. Posebej pa velja poudariti, da je bil Dean Mozetič že tretjič zapored izbran v našo olimpijsko ekipo . Uvrstitev naših tekmovalcev: Skupina O (osnovna šola) 1. nagrada: Jure JAVORŠEK, OŠ M. Vrhovn ik Ljubljana pohvala : Aleš MAJDiČ, OŠ M. Vrhovnik Ljubljana Skupina A (mehanika in toplota) 2. nagrada: Toni BIASIZZO, SNMKSŠ Postojna 3. nagrada: Stanko GRUDEN , Šolski center Idrija pohvali: Andrej FILIPČiČ, SŠZD Nova Gorica Matjaž KOVAČEC, Gimnazija M. Zidanška Maribor 185 Skupina B (elektrika in magnet izem) 1. nagrada: Dean MOZETiČ, Gimnazija Koper pohvali: Primož PRISTOVŠE K, SNŠ Ljubljana-Bežigrad Božidar CASAR , Gimnazija Murska Sobota Skupina C (optika in atornika) pohvala: Matjaž KAUFMAN, SNŠ Ljubljana-Bežigrad Dodajam še nekaj zanimivejših nalog z rešitvami. Skupina B, 2. naloga : Izračunaj kapaciteto vezja med to - čkama A in B (na sliki 1), ko ga poto- p imo v dielektrik z dielektričnostjo Er = 2 do ravnineA lA 2A 3A 4 ! Pri tem je kondenzator, ki se nahaja na diago - A nal i oktaedra, potopljen do polovice 1 razdalje med ploščama . Vezje je ses- tavljeno iz 13 enakih ploščatih kon- denzatorjev . Kapaciteta vezja med točkama A in B je v zraku enaka Co = = 12 pF. Predpostavi, da je e lektr ično polje le med ploščami kondenzatorjev . B A Skupina C, 3. naloga : Določi debelino vesoljske obleke astronavta, ki se nahaja daleč od vseh ne- besnih teles, tako da bo temperatura pod obleko enaka 310° K! Človeško telo ima površino 2 m 2 , človek pa na dan poje hrano s kalorično vrednostjo 16 x 106 J. Koeficient toplotne prevodnosti snovi , iz katere je napravljena obleka, je 0,026 W/ m K. Predpostavi, da se zunanja stran obleke obnaša kot absolutno črno telo. Stefan - Boltzmanova konstanta je 5,67 x 10-8 W/m 2 K4 . Skupina O, 4. naloga: Vsako jutro si skuhaš enako koli č ino č aj a z vodo iz vodovoda, ki ima ve- dno enako temperaturo . Čajnik segrevata dva greica z uporom Rl = 100 ohmov in R 2 = 150 ohmov. Ko sta greica vezana zaporedno, je čas kuhanja 10 minut. a) Kol ikšen je čas kuhanja, če sta vezana vzporedno? b) Kolikšno kol ičino juhe lahko segrejemo od OOC do 30°C, če je specifična kapaciteta juhe c = 4000 J/kgK , greica pa sta vezana zaporedno na nape- tost 220 V? (Toplotne izgube zanemari.) Božidar Casar 186 25. MEDNARODNA MATEMATIČNA OLIMPIADA Letošnje jubilejno srečanje mladih matematikov - srednješolcev iz 34 držav - je potekalo v Pragi od 29. junija do 10. julija . V jugoslovansko ekipo, ki je bila izb rana na podlagi rezultatov zveznega tekmovanja, smo se uvrstili : Roman DRNOVŠEK iz Ljubljane, Andrej DUJELLA iz Zadra, Nikola LAKIC iz Kraljeva, Aleksandar MARKOVIC iz Beograda, Uroš SELJAK iz Nove Gorice in Aleksandar ZOROVIC iz Zagreba. Finančne težave so bile krive, da letos ni bilo sicer že običajnih priprav v Beogradu, od koder smo odpotovali v Prago z letalom 2. julija. Na poti nas je spremljal Miloš ARSENOVIC, naš predstavn ik v žiriji Aleksandar VUČIC pa je odpotoval že prej. Dan kasneje se nam je pri- družil še študent matematike iz Ljubljane Aleksandar JURIŠiC . Slovesna otvoritev olimpiade je bila 3. julija , samo tekmovanje pa je pote- kalo 4 . in 5. julija. Za reševanje treh problemov smo imeli vsak dan štiri ure in pol časa. Po tekmovanju je komisija pregledovala naše izdelke, tekmovalci pa smo si ogledali Prago in njeno okolico. Videli smo Hradčane, židovski geto s pokopališčem, Steromestr:' trg s sloveč im urnim mehanizmom iz 15 . stoletja , Vaclavski trg, umetnostno galerijo in grad Karlštein. Ob večerih smo se zbirali v diskoteki, obiskali pa smo tudi slovite praške pivnice in vinarne ter si ogledali pantomimo v Črnem teatru . Organizacija tekmovanja je bila vzorna, čeprav je bilo nekaj spodrsljajev. Tako smo po krivdi organizatorja prvi dan zamudili za pol ure, velik problem pa je predstavljala tudi precejšnja oddaljenost našega prenočišča od jedilnice. Veliko smo se družili z drugimi ekipami. Izmenjali smo precej nalog ter se pogovarjali v različnih svetovnih jezikih. Izmenjali smo si tudi naslove, tako da bomo nastale vezi lahko še bolj utrdili. Slovesen zaključek tekmovanja je bil 9. julija v veliki avli Karolinuma. Da- leč najboljša je bi la tokrat ekipa SZ z 237 točkami. Osvojili so kar pet prvih nagrad in eno drugo nagrado, poleg tega pa še edino specialno nagrado za origi- nalno rešitev 5. naloge. Za njimi so se razvrstile ekipe Bolgarije, Romunije, Madžarske in ZDA. Naša ekipa je s 105 točkami zasedla solidno 14. mesto. V naši ekipi so tretje nagrade osvojili Roman DRNOVŠEK, Andrej DUJELLA, Nikola LAKIC in Aleksandar MARKOVIC . Naslednj i dan je večina ekip, med njimi tudi naša, odpotovala. Za dodatno stimulacijo prihodnjih rodov tekmovalcev naštejmo še države gostiteljice prihodnjih olirnpiad : Finska 1985, Poljska 1986, Kuba ali Švedska 1987 ,Avstralija 1988 in Zahodna Nemčija 1989. Na tekmovanju smo reševali naslednje naloge: 187 1. Naj bodo x, V in z nenegativna realna števila, za katera velja enakost x+V+z=l Dokaži neenakost o~ XV + xz + Vz - 2xvz ~ 7 /27 2. Najdi naravni števili ain b, za kateri velja: (1) produktab(a+b) nideljivs7, (2) število (a +b) 7 - a 7 - b 7 je deljiv s 77! Obrazloži odgovor! 3 . V ravnini sta dani dve različni točki O in A . Za vsako točko X iz ravnine, različno od O, označimo z a(X) velikost kota 4AOX, izraženo vradianih (O ~ a(X) < 21T, kot se meri od kraka DA v smeri nasprotni vrtenju urnega kazalca) . Označimo s CIX) krožnico s centrom v O in po lmerom OX+ a(X) DX Predpostavimo , da je vsaka točka v ravnini obarvana z eno od končno mnogo barv. Dokaži, da obstaja v ravnin i takšna točka Y , za katero je a( Y) > O,da se na krožnici C(Y) nahaja točka, ki je obarvana z isto barvo kot točka Y! 4. Naj bo ABCD takšen konveksen št irikotnik, da je premica CD tangent a na krog s preme rom AB. Dokaži, da je premica AB tangenta na krog s preme- rom CD tedaj in samo tedaj, ko sta premici BC in AD vzporedni! 5. Označimo z d vsoto dolž in vseh diagonal ravnega konveksnega poligona z n temeni (n > 3), s p pa njegov obseg. Dokaži: 2d n n + 1 n-3ŠTA LEC TK ANINE KA ZA N DELI BES TAVČAR DVI G KONJIH - ~ o.0 A·'ftV ISOK ~. "," " " KAMNIT l ~ SPOMEN IK ..i . MAJHN A ~ ~PALETA ~~i '1 ~ ,, ' t ,; .' . ~ .'\~ '~/ l ~"'~ ST .AMER. OLEG fUrKOMIK VIDOV MJUŽN I Ž UŽ EL.,SADEŽ K I Pi Či ,RI ČEVJE D.PR IT OK b it al. meji VOLGE PRI PAD- VZO REC,NIK- POZN AN A EAK IDOV OBRA ZEC KUTI NA ŽENSKA I Z VON KO Bogastvo I SP I Š IČ gozdov I Lastnost I zraslega MI ST ER I I I I IAP.RE Ž . MLIN SKI Kurosava ŽLEB- NOVO ANTON MESTO INGOLi Č ZOLAJEV ROMA N POJAV PRI Obdelana GORENJU zemlja SM UČ I (SKA ND .l IT ALI J. PESN ICA NARAVO- NEGRI SlOVEC V RED- NORDIJ , l~ JELKA NOST NI BOGOVI PA RA- PAPIR NA RA V- OIŽNIH SIL Il . ,". ~ JAP.IMPE - NOČNI 1"-RIALI ST. LOKAL POLITI K Podredni(Hirobumi) VEZNI K I I~- !LEPLJI VA ISNOV IZCELULO-ZE. '"-,I ' '~"":07",," ,a !lIIIIl RADI O- A KT IV NA PRVINA 193 °°7' ICIlO" l-7", l-.II'LL "'L .. KJE JE NAPAKA? l Peter: Janez: Peter: Janez: Peter: Janez: Peter : Janez: Peter: Lahko ti dokažem, da je vsako število a enako manjšemu številu b. Neumnost, takoj bom našel napako v tvojem "dokazu" Naj bo a = b + C, kjer je c > O. Pomnožimo levo in desno stran z a -b: a2 - ab = ab +ac - b2 - be Vržem ac na levo, na levi izpostavim e, na desni b in dobim: ala - b - cl = bla - b - c) Delim za - b - c in dobim a = b . Torej: a =b + c => a =b. Ker je a = b + c, je a - b - c = O. Iz a.O =b.O pa ne sled i a =b; npr. 10 .0 = 11 .0, toda 10* 11. Tole si ka r hitro rešil. Kako pa se kaj razumeš na ko mp leksna štev ila? Obseg kompleksnih števil je vendar moj konj iček. Kar na da n s pro- blemom . Kaj že pomeni to , da je množica " obseg"? Da za računske operacije veljajo takšni zakoni kot pri realnih št evi- lih. No, potem pa ka r na izpeljavo , da je 1 = - 1: V=T=A (YCf= i ,i2 = - 1, i = i ) v1 = v=;- A v1 VTvr= YCfV=T 1 = -1 Peter (po nekaj minutah ) : Boš končno že kaj rek el? 194 Izidor Hafner POSKUSI, PREMISLI, ODGOVORI - rešitve nalog iz P XI/3, str. 143 in P XII/1, str. 59 Dolgu jemo vam odgovore na dve prejšn ji vprašan ji. Nalogo o merjenju upo ra sta najbolje reši la Borut LIKAR in Metka BURGER , oba iz Ljubljane , žreb pa je od loč il, da do b i nagradno knj igo Borut. Odgovor je ta kle : Naprav imo t ri me ri- tve . Z baterijo , katere goniine napetost i ne poznamo , zvežemo najprej znan i upor , nato nezna ni upo r, na ko ncu pa še oba upo ra zaporedno in vsakič izme- rimo tok. Tr i meritve potrebujemo, če hočemo upoštevat i tudi notranjo upor- nost baterije in upornost ampermetra. Ta ko dob imo tri zveze. U= /I {R +Rn + Ral U=/2{Rx+Rn +Ral U = ,3 {Rx + R + Rn + Ral iz kat erih lahko i zračunamo Rx : 12 (II Rx =------- . R II { 12 Za na logo o steklenički s čajem smo prejeli samo tri od govore, od te ga je le eden pravilen. Poslala nam ga je Marjana ZU PAN iz Mengša, za kar dobi knji - go. Pri stresanju vroči čaj segreje tudi zrak nad č aj e rn , zaradi t ega se poveča pri- tisk v steklenički , ki potisne čaj skoz i cuce lj. Seved a moramo stekleničko ob r- niti , preden se pri ti sk v steklenički skozi cu celj ize nači z zunanjim pritiskom. TALJENJE SNEGA Postavljamo vam tudi novo vprašanje. Pozimi cestarji solijo ceste, da se sneg in led stalita. Seveda, boste rekli, slana voda zmrzne pri nižji temperaturi kot čista. Pa je le vredno , da si to taljenje malo ogledate. Vzemite v lonček nekaj snega, ko bo zapadel , in ga zmešajte z žlico ali dvema soli. Če imate termome- ter, ga vtaknite v mešanico, lahko pa tudi le pozorno opazujete zunanjost Io n- č k a, ki naj bo kov inski . Izid poskusa vas bo mogoče neko liko presenetil, vendar razlaga ne bo težka. Martin Čopič 195 NA OSNOVIOCENJEVANJE PRIBLl2KA .STEVILA n PREPRO~TE STATISTlCNE METODE » Pojem verjetnosti v vsakdanjem življenju pogosto srečamo. Večkrat govorimo o bo lj ali manj verjetnih dogodkih . Nekaj zgledov dogod kov, ki jim želimo izra- čunati ali vsaj oceniti verjetnost, je na primer: met šestice z igralno kocko , met dinarskega kovanca na grb, dogodek, da na slepo izberemo uporaben izdelek iz množice 10 izdelkov, izmed katerih jih je 9 uporabnih, dogodek, da čakamo na avtobus po prihodu na postajo manj od ene minute , če ta vozi redno in enako- merno na vsakih pet minut, itd. Natančna matematična definicija pojma verjet- nosti ja precej zapletena. Nekateri bralci jo bodo morda srečali v višjih razredih srednje šole ali kasne je. Povejmo samo to , da verjetnost nekega dogodka A opi - šemo s številom PlA) med O in 1. Čim bližje je to število števi lu 1, tem bolj ver- jeten je dogodek. Verjetnost dogodka, ki se pri vsakem opazovanju zgod i, je 1. Pri nekaterih poskusih lahko iz simetričnosti situacij ugotov imo, kolikšna je verjetnost posameznih dogodkov . Vzemimo za primer metanje igraine kocke . Če je kocka pravilne oblike , ni nobenega razloga, da bi na kakšno stran bol j pogosto padala. Ker je strani šest, rečemo , da je verjetnost dogodka, da pade na pr imer število 2, enaka 1/6. Verjetnost, da pade število 7 je O, verjetnost do - godka, da pade na eno od štev il 1 do 6, pa je 1. Podobno je pri metu prav ilnega dinarskega kovanca verjetnost dogodka, da pade grb, enaka 1/2. Pri vseh po - skusih pa stvari seveda niso tako preproste , lahko se še na različne načine za- pletejo. Kot približek za verjetnost nekega dogodka pogosto vzamemo štev ilo, ki ga dobimo po tako Imenovani statistični metodi . Denimo , da lahko nared imo serijo enakih poskusov in opazujemo, kol ikokrat se je pri tem zgodil naš dogo- dek. Če se je pri n ponovitvah dogodek A zgodil m-krat, rečemo, da ima rela- t ivno frekvenco ((A) = min. Če na redimo več takih serij poskusov, vsako pr i dovolj velikem n, se izkaže , da so take frekvence dogodkov bl izu dejanskih verjetnosti PlA) dogodka A . Za zgled navedimo nekaj rezultatov, ki so jih dobi- li pr i n-kratnem metu kovanca . A pomeni dogodek , da kovanec pade na cifro. 196 n 4040 8178 12000 m 1890 4086 5981 ((A) 0.4900 0.4996 0.4984 Opazimo, da so relativne frekvence blizu de janske verjetnosti PIA) = 0 .5 (Da so vse vrednosti pod 0.5, je povsem slučajno) . Bralec lahko še sam naredi nekaj serij poskusov. Pri tem je potrebno opozoriti še na nekaj stvari. Ni rečeno, da v primeru, ko število ponovitev poskusa povečamo,dobimo število, ki je bližje k 1/2 kotv prejšnjem primeru. To opazimo tudi v zgornji tabeli. Zgodi se lahko tudi, da se relativna frekvenca zelo oddalji od pričakovane vrednosti. Teoreti- čno je na primer možno, da kovanec vržemo stokrat - vsakič na grb. Ali lahko tedaj rečemo, da je verjetnost našega dogodka enaka O? Po uvodnem delu, ki nas je bežno seznanil s pojmom verjetnosti , si bomo ogledali preprost primer uporabe računalnika za ponazoritev nekega starega po - skusa iz zgodovine verjetnostnega računa. Vzemimo, da smo na večji papir nari- sali na razdalji a vrsto vzporednih premic. Nato vzamemo iglo dolžine d (zarad i enostavnosti naj bo d :s;;;; a) in jo na slepo večkrat vržemo na papir. Opazi li bo - mo, da bo-igla včasih presekala kakšno od vzporednic, včasih pa ne . Zanima nas verjetnost dogodka A, da igla seče eno od vzporednih premic. To nalogo, ki je ena od znamenitih nalog klasičnega verjetnostneqa računa, je postavil in rešil leta 1777 G. Buffon. Slika 1 7 / Opisani dogodek sicer ni ta ke vrste, kot je met kovanca ali kocke, vendar se z metodami višje matematike zlahka da izračunati njegovo verjetnost. Ker vsi bralci Preseka takega računa ne bi razumeli, bomo kar zapisali rezultat PIA) =.J!:L rra Najbo lj zanimivo pri tem je, da v rezultatu nastopa število n, ki ste ga prvič srečali na primer pri obrazcih za obseg in plo š čino kroga. Ravno ta prisotnost števila rr je vzpodbud ila vrsto ljudi k naslednjemu poskusu. Iglo so vrgli zelo ve- likokrat (n-krat) in prešteli , kolikokrat je padla čez eno od črt (m-krat). Rela- tivno frekvenco f(A) = min so vzeli za približek zgornje verjetnosti in od tod ocenili približek za število rr . 2dn rr= --- am 197 Zapišimo samo nekaj rezultatov, ki jih najdemo navedene v raznih knj igah (pri tem je a = 1) eksperimentator d leto število poskusov ocena za n Wolf 0.8 1850 5000 3.1596 Smith 0.6 1855 3204 3.1553 de Morgan 1.0 1860 600 3.1370 Fox 0.75 1894 1120 3.1419 Število tt, o katerem je Presek že pisal , ima neskončen neperiodičen decima lni zapis (rr ,; 3.14159265....l. kar pomeni, da ga ne moremo zapisati v obliki ulomka. Za računanje čim večjega števila njegovih decimalnih mest je znanih vrsta drug ih uspešnejših metod. Zgornji poskus zmetanjem igle prav gotovo ne more prinesti velike natančnosti. Vzeti ga moramo le kot zanimivost. Metanje igle lahko zelo nazorno posnemamo z računalnikom . Zaradi enostav- nosti vzemimo, da je d = a. Spodaj je narejen zgled programa v basicu za hišni računalnik ZX Spectrum, z majhnimi spremembami pa ga bo bralec lahko upo- rabil tudi na kakšnem drugem računalniku. Vzeli smo a = 50 enot in na ekranu narisali dve vzporednici na tej razdalji. Slučajnost pri metu generiramo s funkci- jo RND , ki pomeni na slepo izbrano realno število med O in 1. Lego igle določi­ mo s slučajnim kotom med 00 in 1800 (fi = PI * RND) in slučajno razdaljo ene konice igle od zgornje vzporednice (b = INT(a * RND)) . Dodali smo še s l u č aj n i pomik v levo ali desno (stavek 85). da igla pada nekako po celem ekranu , ven- dar to ne vpliva na rezultat . Program sproti ne briše igel, kar bi pomenilo , da namesto ene igle vržemo n enakih igel. Lahko pa bi uredili tudi brisanje igel. Programu se da dodati še vrsto drugih dodatkov, na primer, da zaslišimo zvok , ko igla preseka premico (stavek 130), da se tam morda pojavi svetlobni znak , uporabimo barvne učinke itd. Naj navedemo nekaj rezultatov, zaokroženih na 5 decimalnih mest n m ((A) 98 57 3.43860 234 150 3.14094 239 152 3.14474 357 220 3.24545 198 ";i metanje igle in računanje približka za število pi 5 REM 6 REt~ 7 REM 10 INPUT "število metov"; n 15 PRINT "število metov ";n 20 LET a=50: LET m=O 30 PLOT 0,70: DRAW 255,0 40 PLOT 0,120: DRAW 255,0 50 FOR i =1 TO n 60 LET b=INT(a*RND): LET fi=PI*RND 70 LET x1=a*COS(fi): LET y1=a*0.5*SIN(fi) 80 LET z1=70+b-y1: LET z2=70+b+y1 85 LET c=INT(150*RND)+50 90 PLOT c,z1: DRAW x1,2*y1 100 IF z1 < 70 AND z2 > 120 THEN GO TO 140 110 LET m=m+1 120 PRINT AT 3,3; m;" 130 BEEP 0.5,3 140 NEXT i 150 PRINT "približek za pi 160 STOP Bra lec, ki ima do sto p do računalnika, bo gotovo t udi sam poskusil posnemat i me tanje igle (ali ige l) na računalniku , pr i tem bo spreminja l program po svoj i želji. Če vzamemo večje število poskusov (n), lahko izključimo risanje , saj nas zan ima samo rezultat na ko ncu. Velja opozoriti, da prevelikega števila n pravza- pr av n ima sm isla vzeti, saj rezultati ne bodo bistveno boljši, zarad i vsakokratne- ga računanja nekaterih funkcij pa bo računalnik kar p recej časa " mle l" . Prav tako nima smis la it i na lov za čim boljšim prlbli žkorn števila 1T. Ker poznamo 199 veliko njegovih decimalnih mest, bi lahko poskus priredili tako, da bi ga preki- nili v trenutku za nas najbolj sprejemljivega približka. To pa ni poskus v zgor- njem smislu, ko je število metov vnaprej izbrano. Drug način grobe potvorbe rezultatov pa bi bil, da bi vzeli ulomek, ki je dober približek za število 1T, kot je na primer star kitajski približek 355/113, in bi nekomu sporočili, da nam je pri 355-kratnem metu igle ta sekala vzporednico 226 -krat. V resnici je prav ma- lo verjetno (da se ugotoviti celo verjetnost tega dogodka, in sicer je manjša od 0.034), da se nam bo ravno to zgodilo. Omeniti velja še dejstvo , da smo zgoraj privzeli, da je generator slučajnih števil (RND) na računalniku dobro narejen, da dobro posnema slučajno izbiro realnega števila med O in 1, kar pa je zopet le približek. Slika 2 Ob koncu naj še omenimo, da obstaja več posplošitev Buffonove naloge, na primer ravnino lahko tudi v drugi smeri razdelimo z vzporednicami, namesto igle lahko vzamemo poljuben konveksen lik iz kartona, pločevine ali podobne- ga materiala. Verjetnost ustreznega dogodka je zopet izražena s številom 1T. Edvard Kramar 200 I .' REŠEVANJE ENAČB IN NEENAČB, V KATERIH NASTOPA ABSOLUTNA VREDNOST - naloge so objavljene na str. 220 V zadnjem času na tekmovanjih srednješolcev vse pogosteje srečamo naloge, v katerih nastopa absolutna vrednost. Take naloge rešu jemo tako, da absolutno vrednost odpravimo, pri tem pa nalogo rešujemo na dveh tujih si podpodročjih . Če je treba po iskati množico rea lnih števil x , za katere je izpolnjen pogoj F( .. . , ((x) I ...), potem se nam naloga razcepi na dva dela glede na to, ali je ((x) ;:;;. O ali ((x) < o. Venem primeru iščemo števila x, za katera je ((x) ;:;;. O in F( ... ((x) ...1. v drugem primeru pa x-e, za katere je ((x) < O in Fl.. -((x) ...1. Po definiciji absolutne vrednosti: velja { a , lal = e, če je a;:;;' O če je a< O F( .. . I ((x) 1 ... ) natanko tedaj, ko je (((x) ;:;;. O in F( .. . ((x) .. .)) ali (((x) < O in F( .. . -((x) ...)) Nalogo bomo sistematično reševali takole: ((x) ;:;;' 0 Fl. .. ((x) .. .) F( ... I ((x) I ...) I y ((x) 1 201 a) 2x + 7;;;;'0 x > -7/2 2x+7=5 x =-1 12x+71=5 YI YI YI 2x+7 <0 YI x<-712 -(2x + 7) = 5 YI -2x -7 = 5 YI x= -6 Množica rešitev je enaka {-1, -6}. Kadar pogoj. ki nastopa v drevesu, nadomestimo na vseh vejah z ekviva- lentnimi pogoji, ga lahko odkljukamo , kar pomeni, da ga ni treba več upo- števati. Če imamo na neki veji med seboj protislovne pogoje (npr. x < O in x > 2) , to vejo označimo z znakom 1 (ki spominja na znak za slepo ulico, v logiki pa se pogosto uporablja za neresnično izjavo, npr. 0= 1) . Taki veji reče­ mo mrtva veja. Na koncu moramo upoštevati vse neodkljukane pogoje. Tako dobimo množico rešitev na posameznih vejah, ki je lahko tud i prazna. Celotna množica rešitev je unija množic rešitev po posameznih vejah. I x <-5 Vi·-(x+2) + (x+5) = 7 YI -2x=14 YI x= -7 YI x+2 <0 YI x <-2 x ;;;;'-5 x + 5) = 7 3=7 1 Ix+21+lx+51=7 YI 1 x +2;;;;'0 x ;;;;'-2 x+5 ;;;;'0 YI x ;;;;'-5 x+2+x+5=7 YI 2x= O YI x=O b) Množica rešitev je enaka {O, -7} . c) \ 2 I xl + 4 1= 5 x ;;;;. O 12x+4i=5 YI 2x + 4 ;;;;' O YI 2x + 4 < O YI x ;;;;'-2 x < - 2 2x+4=5 YI 1 x = 1/2 X 2 -2x + 4= 5 YI 1 -2x = 1 YI x = - 1/2 202 Rešitvi sta 1/2 in -112 . č) V V 2x-6 <0 x <3 H2x - 6) - 5 1> 1 1- 2x + 1 1> 1 -2x + 1 :;;;. O VI -2x + 1 < O V x ,,;; 1/2 x > 112 -2x + 1 > 1 V 1-(-2X+ 1) > 1 V -2x > O V 2x - 1 > 1 V Xl 2x-6:;;;'0 x :;;;'3 12x - 6 - 51 > 1 112x - 6 1-5 1> 1 V V 12x - l ll> l V 2x - 11 :;;;. O V 2x - 11 < O V x :;;;' 1112 x 1 V -(2x - 11) > 1 V x > 6 1-2X+ 11 > 1 V x <5 Na prvi veji so neodkljukani pogoji x :;;;. 3, x :;;;. 1112 , x > 6. To da za množico rešitev interval (6,00) . Na drugi veji je množica rešitev interval [3 ,5) . Na tretji veji so neodkljukan i pogoj i x < 3, x ,,;; 1/2, x < O. Množica rešitev je (-00,0) . Na četrti veji je množica rešitev (1,3). Ker je (1,3) U [3,5) = (1,5), velja {x ;II2x-61-51 >1} = (-00,0) U(1,5) U(6,00) 12x-l i

vat~ (phy sis, narava), 1Tpoa-rf>€pw ali 1TP O~-rf>€P W (prosphero , prinašaml . 210 inačici, v kateri se je npr . za razliko od vzhodne znak X izgovarjal kot "ks", znak H kot "h" itd. Nekatere grške črke so Rimljani prevzeli v nespremenjeni obliki, medtem ko so pisavo drugih priredili in tako dobili nove , podobne zna- ke. Dodati so morali tudi nekaj novih črk za glasove, za katere sprejeta grška abeceda ni imela ustreznih znakov (iz prastare grščine so npr. vzeli znak digama za označevanje glasu 'T'). Grške črke, katerih niso potreboval i, pa so Rimljani v svoji abecedi izpustili (znake theta, psi in fi so npr. uporabili za označevanje števnikov in jih začeli pisati kot C, L, M oziroma Dl. To je le kratek opis raz- vojnih posebnosti grške in rimske abecede. (3a.at~ o€ o Bl' KVK'\O~, Kal T€T/17Ju8w €-TTl1ri0o/ oul TOU ato\!o~, Kal ttoieirus TOP.ryl' T() ABf TPI.- ywvov, T€TfLrJu8w S€ Kal iT€Po/ ~1TL1T€So/ CTVP.1TI.- 1T70VTL fL€V iKaT€p~ 1T'\WPif. TOV Sul TOV atovo, TpLyWVOU , P.~Tf S€ 1Tapa,u~,\o/ rfi (3aufL TOU KWVOU fLrJT€ inw·aVTl.w> ~YfL€Vo/, Kal 1TOLfI.TW TOP.ryV El ' rfi E1TL4>avfl~ TOU KWI 'OU rIJ l ' ~E ypap.p.~v· KOLv7] A Bf------.:~--:t_-..:o.j----.-::.. St TOP.TJ TaV TC/LVOVTO, E1TL1T€?Jou Kal TOV, EV ~ EUTLI) ~ {3auL> TOV KUJVOV, fUTW ~ ZH 7Tpar; op8u.r; ovua rfi Bf, ~ S€ SuIP.fTpo> rij~ Top.Tir; fUTW ~ E~, Kal a1To TOU E rfi E~ 7Tpor; op8a.r; iiX8w ~ E0, Kal SLa. TOU A rfi E~ 1Tapa,uTJ'\or; iix8w ~ AK, Kal 1Tf1TOL~u8w W~ TO a1TO .~ K 1Tpor; TO imo BKf, OUTW, ~ ~E 1TpO' rIJ\! E<::i , Kal fI',hi4>8w n UTJP.ftOI' E1Tl rij, TOP.r" TO A, Kal SLa. TOV .\ rfi Z H 1TapaA- .\TJ,\O' iiX8w ~ A~l. I..€yw, on rj . \ ~ I ,)tIvaTa l. n XWpI.OI', o 1TapaKfLTaL 1Tapa. Try\! E0, 7TI..UTO, fXOV rlJV E~I, E,uft1TOV f,SH OP.OLo/ Tcj'J imo nuv ~E0 . 'E1Tf~EVX8w yap ~ ~0, Kal SLa fL€V TOU .\1 Tij Slika 2. Tekst Apolonija o stožnicah 211 Za grško kulturo velja, da je nepogrešljivi sestavni del naše civilizacije . Isto lahko rečemo tudi o grški pisavi , saj je grški alfabet postal osnova za številne današnje abecede , med katerimi sta tudi naša latin ica in cirilica. Samo poznavanje grških črk pa seveda še ne zadostuje, če hočemo prebrati ali napisati grško besedo. Zato naštejmo še nekaj osnovnih posebnosti grške pi - save . 1. Samoglasniki v začetku besede imajo v zapisu vedno ali krepki ali šibki pridih . Krepki pridih « ) se izgovarja kot "h", šibki pridih ( ' ) pa se ne izgovo - ri . Na pr imer ~Oov1/ (hedonš, veselje) a.P€T~ [arete, vrl ina) 2. Tudi p na začetku besede ima vedno označen krepki prid ih. Na primer P~TWP (rbetor, govornik) Dva p sredi besede lahko pišemo ali s pr idihom ali brez (-pp- al i -pp-) . 3 . Vse grške besede razen redkih izjem imajo na enem od zadnjih treh zlo- gov označen naglas. Grščina pozna tri vrste akcentov, za katere veljajo točno določena pravila : akut ('), gravis ( , ) in cirkumfleks (-) . Akut stoji na tistem od zadnjih treh zlogov, ki je naglašen. Gravis stoji le na zadnjem zlogu , če sled i besedi še d ruga beseda. Cirkumfleks pa stoj i le na dolgem zadnjem ali dolgem predzadnjem zlogu . Npr. 11aT~p (pater, oče) Il~TrIP (m~tih, mati) <{XAoao'.{!O, [philosophos, filozof) Tpovo/J.la (zvezdoslovje) aptt'}/J.T/nK~ ( računstvo) la70pta (zgodovina) 1'€W1'pal{XJr; (zemljep isec) 1'€w/J.€TpT/r; (zemljemerec) V'}'[€ta (zdravje) (2) Napiši z grškimi črkami: bios (življenje) arithrnos (število) phvsis (narava) rnathšrnat lkos (matematik) ge6metrfa (zemljemerstvo) phllosophia (ljubezen do modrosti) loq ikos (pameten) psvchš (življenjska sila. duša) politikos (državnik) musikos (glasbenik) Aleksandra Pirkmajer 213 NOVI ČASTNI ČLANI DRUŠTVA Slovensko Društvo matematikov, fizikov in astronomov šteje že preko 800 čla­ nov. Največ jih deluje v srednjih in osnovnih šolah, veliko pa jih je tudi v raznih podjetjih , inštitutih ter na višjih in visok ih šolah. Poklicna dejavnost slovenskih matematikov, fizikov in astronomov je dokaj raznol ika . Kval iteta slovenskega matematičnega in fizikalnega pouka kakor tudi znanstvenegadela je znana tudi zunaj meja naše ožje domovine. Obsežno pa je tudi udejstvovanje članov pri društvenih dejavnostih, kjer popularizacija naših strok med mladimi zavzema vidno mesto : tekmovanja, izdajanje knjig v Knjižnici Sigma ter izdajanje Prese- ka - lista za mlade matematike, fizike in astronome. Številčnost in aktivnost se odraža t~di pri imenovanju častnih članov društva. Poleg dosedanjih članov (prof. dr. Josip Plemelj, prof. dr. Lavo Čer­ melj ter prof. dr. Fran Dominko) je občni zbor društva v lanskem koledarskem letu imenoval še dva nova člana . To sta prof. dr. ALOJZIJ VADNAL in prof. Jože Povšič. Dr. Vadnala bralci poznajo po nekaterih prispevkih v našem listu. Najbolj pomembno njegovo delo v okviru popularizacije matematike pa so prav gotovo njegove knjige , ki so izšle v Knjižnici Sigma. Do sedaj je objavi l naslednja dela: Slika 1. Prof. dr. Alojzij Vadnal prejema visoko društveno priznanje 214 Elementarni uvod v verjetnostni račun, Funkcije, 1. del, Funkcije, 2. del (sku - paj z F. Lebedincernl, Rešen i problemi linearnega programiranja, Diskretno dinamično programiranje , Osnove diferenčnega računa. Drugi nagrajenec, prof. JOŽE POVŠIČ , se je več desetletij ukvarjal z zbiran jem življenjepisov in objavlje- nih del starejših slovenskih matemati - kov ter sam izdal tudi naslednje knji- ge: Bibliografija Franca Močnika, Bibli- ografija Jurija Vege, Bibliografija Franca Hočevarja, Bibliografija Riharda Župančiča, Bibliografija Josipa Plemlja in nekaterih odmevov na njegova dela v mednarodni mate- matični in fizikalni literaturi, Jurij Vega. Ob 200 letnici izida njegovega prvega logaritmovnika. ORUS1VO MATEMATIKOV . FIZIKOV IN ASTRONOMOV SR SLQVENUE Jože poojič CASTNEGA CLANA DtII.JSTV.......TlMAT1KO\I. FlZlllOV UlIA.STlKlMOMOV SIl S&..OYINUE lAIUoOI5WOJI"u.suJGU.~ IIlATVIlAna.t. FllJCf lfIl ilSTlIONOMUf NA. SllJ\l fHUlW Slika 2. Priznanje , ki ga je dobil prof . Jože POvšič . Vsa zbrana in objavljena dela toplo priporočamo mladim ljubiteljem mate- matike, obema slavljencema pa v imenu naročnikov Preseka iskreno čestitamo k visokemu imenovanju. Ciril Velkovrh PISMA BRALCEV Dragi Presek! Že dlje časa opažam, da je člankov iz astronomije v Preseku čedalje manj in da je tukaj treba nekaj storiti. Zato sem pisal že lani, a obljube, da bom tudi sam kaj pripomogel k izboljšanju stanja, nisem držal. Tokrat sem se odločil in vam končno napisal članek, k i ga povzemam po ameriški reviji Sky and Tele- scope in mislim, da bo za večino bralcev zanimiv. Zavedam se, da to ni najbolj - ša oblika populariziranja astronomije in da bi bilo bolje, če bi pisal kaj iz "do - 215 mačih logov", a mislim, da je vsaj to bolje kot nič. V prihodnje pa vam namera- vam poslati kakšen članek iz amaterske astronomije, s katero se aktivno ukvar- jam in bi jo s tem približal bralcem. Drugače mi je Presek všeč in sem zelo vesel nove računalniške rubrike, se- veda če ne bo ta ovirala množine člankov, katerim je Presek namenjen - mate- matiki, fiziki in astronomiji. Pri novi obliki Preseka pa me zelo moti, da je po- stal tisk večji, večji naslovi in sploh potrata s papirjem na vsakem koraku, kar list prav gotovo siromaši. Če revijo primerjamo z izvodi izpred npr. 6 let, je razlika v bogastvu vsebine več kot očitna. Zakaj to? Upam, da boste vsa ta vprašanja rešili tako, da bo za nas vse najbolje, in vam pri tem želim še veliko uspeha in delovne sreče. Lepo vaspozdravlja Dolenc Karli iz Titovega Velenja. Lepa hvala za Vaše pismo in za prispevek, ki smo ga z veseljem objavili. Tudi dobronamerne kritike smo veseli in si jo bomo dobro zapomnili. Glede večjega tiska in "potrata" papirja pa nismo Vašega mnenja . Morda je na prvi pogled res videti, da je sedaj na eni strani manj napisanega, toda če bi prešteli vse znake ene strani starega Preseka in novega Preseka, bi prišli do drugačnega zaključka. Sedanji Presek je pisan na novem pisalnem stroju, ki ima tudi dru- gačne črke in njihovo organiziranost. Znaki so različno široki in tako v eni vr- stici konstantne dolžine ni vedno enako število znakov, kot je to pri običajnih pisalnih strojih. In ne samo to, število znakov je v primerjavi s prejšnjim nači­ nom pisanja večje. Tako je tudi število znakov na posamezni strani večje, kljub temu da je razmik med vrsticami malce večji kot prej. Poleg tega pa smo tudi mnenja, da je novi način pisanja preglednejši in lepši. Upamo, da se po mnenju večine vendarle nismo preveč zmotili. Pisala nam je tudi Zdenka iz Nove Gorice, učenka SŠTP v Ljubljani. Draga Zdenka! Oprosti, ker ti odgovarjamo šele sedaj . A pot od pisma do odgovora ni tako enostavna in kratka. Veseli nas, da si zadovoljna s Presekom in da si uspešna v šoli . Prosila si, da bi napisali kaj o linearnem programiranju . O tem je Presek že pisal. Članek poišči v Preseku IV/l na straneh 8 - 13 . Morda bomo kdaj dru- gič še kaj napisali o tem. Če pa te stvar bolj resno zanima, se lahko oglasiš v matematični knjižnici na Jadranski 19, kjer ti bodo z veseljem poiskali še kakšno knjigo o linearnem programiranju. Lepe pozdrave tebi, tvojim sošolcem in profesorjem! 216 Dušica Boben SREČANJE MLADIH RAZISKOVALCEV RAČUNALNIKARJEV Mladi računalnikarji, ki so celo leto pripravljali naloge, so sedobili 1. junija na Fakulteti za elektrotehniko v okviru 19. srečanja mladih raziskovalcev in ino- vatorjev Slovenije Gibanje "Znanost mladini". Prijavljenih je bilo kar 17 nalog in vse so bile zelo kvalitetne, kar je potrdila tudi komisija, sestavljena iz univerzitetnih profesorjev. Z nekaj dodatki in iz- boljšavami, bi lahko bile tudi zgledne diplomske naloge. Naloge so reševale probleme z različnih področij . Tri so bile recimo "šol- sko" obarvane in so reševale problem sestavljanja urnikov. Žal ena med njim i ni bila dokončana zaradi slabe aparaturne in sistemske programske opreme. Podobno usodo sta doživela tudi interpret za jez ik EDL in BASIC. Slednjega bi verjetno ob ustreznem računalniku avtor dodelal v prav uporabno program- sko opremo, saj vključuje tudi zasnovo zaslonskega urejevalnika (Spectrum ima npr. vrstičnega) in sistem za odpravljanje napak (debugger). Kaže, da so v Celju zelo zagreti za aparaturno opremo, saj so bile vse štiri naloge s tega področja in oblikujejo nekakšno celoto. Prva naloga prikazuje osnovne elemente programiranega avtomata, ki preraste v mikroračunalnik, če mu dodamo monitorski program v bralnih pomniln ikih (ROM). Z eno od oblik teh pomnilnikov (EPROM-eraseble and electrically programmable read only memory) se je s teoretične strani spoprijela druga naloga in njene izsledke takorekoč uporabila tretja. Celoten mikroračunalnik (NANOCOMP) je bi la tema četrte naloge. Vse skupaj je zelo zanimiv projekt, toda kaj, ko mladih Celjanov ni bi lo na zagovor. Andrej Brodnik PRVA LETNA SOLA FIZ IKE Od 18. do 22 . junija je na Bledu potekala prva letna šola fizike, katere udele- ženec sem bil tud i sam. V šoli je bi lo 18 dijakov prvih letnikov srednjih šol iz vse Slovenije, ki so se najbolje uvrstili na republiškem tekmovanju iz fizike (SV 10) . Podobno kot matematiki smo tudi mi prebivali v hiši dr. Josipa Plemlja. Zajtrk smo si pripravljali kar sami, a je bil vseeno dober . Na predava- nja, ki so bila od devetih do dvanajstih , smo hodili v osnovno šolo, kjer smo tu- di kosili . V prostem času smo se kopa li v jezeru, se sprehajali v naravi, igrali košarko in posl ušali glasbo. Na predavanjih smo spoznavali merjenja in merilne inst rumente, poglablja li svoje znanje o elektroniki , pod vodstvom mentorjev izdelal i model elektronskega merilnika temperature in se za konec posvetili še Soncu in zvezdam - astronomiji. Mislim, da je bila šola glede na to , da je bi - la organizirana prvič, uspešna, pogrešal sem le računske naloge, s katerimi bi preveril novo pridobljeno znanje. Šola nam bo ostala v lepem spominu, saj smo se udeleženci pobliže spoznali med seboj, si izmenjali izkušn je in se nau- čili vsak kaj novega, nekateri več, drugi manj . . Jure Bajc 217 + 2Cx Cx DCC/-l'C /\101ol" : "LJ I"'L "'L-'U ZVEZNO TEKMOVANJE MLADIH FIZIKOV V STRUMICI - rešitve nalog s str. 185 Rešitev B-2 Zaradi simetrije vezja in zarad i enakih kapacitet kondenzatorjev so točke Al, A 2 , A 3 , A 4 na enakem potencialu oziroma med nj imi ni napetostne razlike . Na kondenzatorj ih, ki so vezani med te točke, torej ni naboja . Vodnik A 1A 2A 3A 4 lah ko skupaj z ustreznimi kondenzatorji brišemo iz vezja. Poeno- stavljeno vezje je pr ikazano na sliki 2. Izrazimo kapaciteto posameznega kondenzatorja ICx ) s kapaciteto celotne- ga nepotopljenega vezja. Velja 1---1 Co = 4( 1 ) +Cx = 3.Cx +-- 1---1 Cx Cx A r--t B Co al i Cx = - - 3 1----1 Ko vezje potopirno, se poveča kapaciteta potopljenih kondenzatorjev in diagonalnega kondenzatorja , potopljenega do polovice . Celotna kapaciteta vezja je tedaj Co = 4.(-- - - - --) + ( ) = 4Cx 1+ - - 4Cx 2C)( Co = (4/3) Co = 16 pF Rešitev C- 3 Astronavt odda vsako sekundo energ ijski tok 218 p = O/t= 185W Enak energijski tok oddaja tudi astronavtova obleka, zato lahko izračunamo njuno zunanjo temperaturo Tz j = P/S = o Tz 4 Te = 4..jP!(Sa) = 201 0 K Enak energijski tok mora seveda pre hajati tudi skozi obleko . Velja P = __S_A._(T...:N-=---_T.::..z )_ d SA.(TN - Tz )d= =3cm P Pripomniti pa je t reba, da je naloga idealizirana, saj vzamemo , da astronavt ves čas oddaja enak to plotni tok, kar pa seveda ni mogoče . Rešitev 0 -4 a) Delo, ki ga prej me č aj, je v ob eh primerih enako: mcL1T= ---- bl Če sta grelea vezana zapored no, velja U2 Božidar Casar 219 SLIKOVNA KRIŽANKA RESEVANJE NEENAČB, NASTOPA VREDNOST ENAČB IN V KATERIH ABSOLUTNA RESITEV iz P XII /3 REKA /~~~i L MITOLOGIJI POROC:E - ROMAN FILIP KUM- VALK A l SV(l INE SAlOVIC L T AE P E R S K I ...... pPARJENJESRNJAD I dl I 2x - 1 1= 1 x -1 a) lxi > Ix + 1 I b) I 2x + 1 I< IX + 1 I cl II x + 1 I - lx - 1 II < 1 1. Reši enačbe oziroma neenačbe: el I 2 V2 lxi -- 1 - 11 = 3 f) l x i - 2 Ix + 1 I+ 3 Ix + 2 I = O NALOGE 3x + 1 x-1 1<;3 o N A h) Ix + 2 I> I x - 1 I+x PER ZIJA 1 RAN UKANA TRI K 2. Dokaži, da je izjava (A 1\ Bl V V ('.4 1\ Cl~ (A ~ Bl 1\ ('.4 ~ Cl tavtologija! Torej lahko definira - mo absolutno vrednost na dva načina: MARK TWA IN FINSKI ARHITE)(T 5AARINEN M E T ~l:~~g RUMENKA -SAUDOVE STO RJAVA ARABIJE BARVA ERO y = lx I~ (x ;;;' O1\ y = xl V V (x < O1\ y = -xl ali y = lxi ~ (x ;;;. O~ y = xl 1\ 1\ (x < O~y = -xl NEKDANJI t~~'1I.'N EKA R Ž. INE RAD A Izidor Hafner 220 /\'" , ic 1//\1 I/l- r:''-''1' C " 1'- JC Raymond Smullyan, ALlCA V DEŽELI UGANK, 151 str. kart. 750.- din je zanimiva novost na našem knjižnem trgu. Knjiga sodi v področje rekreacijske mate- matike in je namenjena vsem starostim. To pove tu- di podnaslov " Zgod be za otroke pod osemdeset". Zgodbe so logične uganke, ki jih je avtor postavil v pravljični svet Lewisa Carro- lla (Alica v čudežni deželi). Alica z zdravo pametjo zelo uspešno rešuje te uganke. Želimo, da bi tako dobro šlo tudi bralcem. Uganke pa so v knjigi tudi rešene . Knjigo dobite v vseh knjigarnah in pri Državni za- ložbi Slovenije , Mestn i trg 26 Ljub ljana. SPORER Zlatko, 1,2,3, ... MI VEC ZNAMO BROJATI, Skolska knjiga, Zagreb, 1984, 16 str. SPORER Zlatko, RACUNANJE PROBLEMA NEMA, Skolska knjiga, Zagreb, 1983,190 str. + pril, velike Verjetno se še spominjate lanske 5/6 številke Preseka, "Oh, ta matematika", ki jo je napisal Zlatko Šporer , ilustriral in komentiral pa Nedeljko Dragič. Vam je bila všeč? 221 Zlatko Šporer je velik prijatelj mladih, posebno tistih , k i j im matematika dela preglavice. Spomni l se je tudi prvošolčkov in j im napisal knj igo " 1, 2, 3, ... mi več znamo broj at i". V njej se na igriv nač in nau č imo štet i do 10 in pr imerja- t i med seboj števila po velikosti. Tanko knj ižico , ki jo je prijetno ilustri ral Ra- divoje G vozdanovič, lahko p riporočate svojim mlajšim bratom ali sest ram. Če pa so že malo starejši in se že jezijo s poštevanko, množenjem in deljenjem, j im svetujte, naj preberejo knjigo "Računanje problema nema" . Tudi to je na- pisal Zl atko Šporer, i lust riral pa Zvo nimi r Lo nčar ic . V ideli boste še, kako se za- pisujejo števila z vžigalicami in z raznobarvnimi koc kami , k i ji h zlepite iz pr ilo- ženih modelov. Ker pa knj igi nista prevedeni v slovenšči no, bo pomoč mlajšim pri prebiranju nujn o potrebna. Dušica Boben . V članku RIMSKE ŠTEVILKE IN RAČUNANJE Z NJIMI. ki je bil objavl jen v tretji številki Preseka na strani 110, se zadnj i račun na stran i 119 glasi pravilno takole ( dopolnjena je tudi literatura) : M D C L x V TTTTT______________T_'1-DXXXXIX TTTT rT tut TTT tt TTTT - MMCCCXXXXV t t T ttlv Trrrr "Trr TTnr TTTrr T' T' T' T TTTT t TTTT Posebej naj opozorim na strani 30,52 in 78 v Križaničevi knjigi Križem po ma- tematiki, Mladinska knjiga 1960 in na stran 40 v Devidejevi knjigi Matematika v kulturah in epohah, Skolska kniiga 1979 (sl. prevod 1984). 222 Ivan Pucelj HISNI RAČUNALNIK , Mladinska knjiga 1984, 232 strani, (24 x x 30 cm) z barvnimi fotografijami in risbami v trdi vezavi, cena 3.300.- din Vsekakor je t reba pohvaliti Mladinsko knjigo , da seje tako hitro odzvala veli- kemu zanimanju za računalnike vseh vrst pr i nas. Ceprav se z računalniki ne ukvarjam pok licno, sem z velikim zanimanjem prebral knjigo Hišni računalniki, ki jo je po angleškem izvirni ku pripravila skupina naših strokovnjakov. Prav go- tovo je za zanimivost in preglednost knjige "kriva" množica lepih barvn ih slik , ki lepo dopolnjujejo besedilo. Na 232 straneh najdemo odgovore na najrazl ičnejša vprašanja v zvezi s hišnim rač u na l n i kom . Kakšne so teoretične osnove delovanja računaln i ka? Kateri računalniki so na voljo v svetu in pr i nas? Cene računalnikov . Ali pora- bi veliko elektrike? Kako se igramo z nj im? Programiranje v Basicu. Resda se področje računalništva tako hitro razvija , da bodo posamezn i podatki v knji gi nujno žev letu ali dveh zastareli , vendar to ne zmanjšuje vred- nosti knjige. Kdor hoče sledit i razvoju, mora tako rekoč vsak dan prebrati kaj novega. Knjigi je dodan droben Slovar računalniških izrazov , k i seveda ne more bi- ti popoln že zaradi prave računalniške naglice , s kakršno je bil sestavljen. Peter Petek NAROČILNICA DA želim prejeti knjigo: 010161 186 HiŠNI RAČUNALNIK - 3.300 din I , , ! Priimek I I Ime I I , II ! I Pla čallal bom: O po povzetju, to je v celotnem znesku ob prejemu knjige O v zaporednih mesečnih obrokih, pri čemer je najmanjši obrok 800 din, največje število obro- kov pa je 10. Pri plačilu v naj- več treh obrokih ni obresti, v 4 do 6 obrokih je 6% obresti , pri plačilu v 7 do 10 obrokih pa je 10% kreditnih obresti. Ulica (ali vas), hišna štev. I , I Podpis: .. zanaročilo po povzetju zadoščavaš naslov ln lastnoročni podpis. Zaposlen(a) pri (naslov) ~ , I ti I ' I! štev. oseb. izk. Leto rojstva Datum: .. Pošta I I ! t , I ! ! I I Poštna štev. I Strinjam se z naveden imi prodajnim i pogoj i. Znesek bom poravnallal pod pogo- j i, ki sem j ih ozna čll la) t akoj po prejemu računa in položni c natekoči račun : Mla- dinska knjiga, TOZD Za ložba, Ljubljana, 5010 1-603-46486. Iz javljam, da v pr imeru, če ne bom plačal( a ) dveh ob rokov najetega k redita, pooblaščam organizac ijo združe- nega de la, v kateri sem zaposlen(a) , da nakazuje pre ostale obroke iz moj ih redn ih osebnih dohodkov. Morebitne napake bom rek larnl ral l al najkasneje v osmih d neh; pozn ejš ih reklamac ij založb a ne bo opo- števala . Morebitne spore rešuje pristojno sodišče v Ljubljan i. 223 /"l" ic 1/1" I/l- t:Ij_'I~C " IL JC KURILLO Jurij, S FOTOGRAFOM V NARAVI. - Ljubljana, ČZP Kmečki glas, 1981. - 159 str. ; 20 cm. - Cena 400. - din. To pot vam predstavljamo že četrto slovensko knjigo o fotografiji (glej Presek VIII, str. 127, VIII, str. 188 in 189). Kot vsedosedanje ima tudi ta uvod posve- čen zgradbi fotografskega aparata, njegovim bistvenim delom ter raznim dodat- nim pomagalom . Posebno poglavje je posvečeno filmom, črno-belim in bar- vnim, z močno, srednjo in slabo občutljivostjo. Glavni del knjige nas pouči, ka- ko fotografiramo. Nadrobno je pojasnjena osvetlitev, ostrina in kompozicija, ki jih želimo oziroma moramo dobiti na filmu. Pri fotografiranju v naravi je slednje še prav posebno pomembno. Bralci Preseka so se lahko srečali z lepimi posnetki iz narave v 5. letniku Preseka, kjer je prof. dr. Ivan Kuščer objavil v nadaljevanjih opise svojih posnetkov v naravi pod skupnim naslovom Enajsta šola iz fizike . Ti članki so bili v celoti objavljeni tudi v 5. številki devetega letni- ka. Na fotografijah iz narave ne najdemo le življenja, temveč tudi mnogo zani- mivih fizikalnih pojavov, s področja matematike pa vsaj pojave simetrije (rože), kombinatorike in grafov. Pri tem so zelo uporabni fotografski pripomočki, kot so teleobjektivi (fotografiranje živih bitij) in vmesni obročki (fotografiranje majhnih predmetov iz bližine). Zadnji del knjige je posvečen naravoslovcein. Priporočamo vam, da si z veliko mere potrpežljivosti tudi sami ustvarite kolek- cijo fotoqrafi] ali barvnih diapozitivov, ki jih boste posneli sami. Na njih poišči­ te vsaj nekaj matematičnih in fizikalnih zakonov. Za astronomijo pa morate objektiv (seveda mnogo večji) nameriti v nasprotno smer. Ciril Velkovrh Slika 1. Vrane družijo se rade. Pet na žici ji h sedi. Puška po č i , ena pade. Koliko jih še sedi? (Pravilne odgovore pošljite do 1.4. 1985 na naslov: PRESEK, 611 11 Ljubljana, pp 64, s pripisom "Za fotokrožek" . Med pravilnim i rešit vami bomo izžrebali dva nagrajenca, ki bosta prejela knjižni nagradi.) Slika 2. Na živalih in rast l inah najdemo mnogo stru kturnih in barvn ih simet rij. 224