OSNOVE TEORIJE OPTIČNIH PRESLIKAV, PRIREJENE ZA POTREBE SIMULACIJ FOTOLITOGRAFSKEGA PROCESA R. Osredkar Faculty of Computer Sciences and Faculty of Electrical Eng., University of Ljubljana, Slovenia Ključne besede: Fourireova optika, Frauenhoferjev uklon, MTF, fotolitografija, projekcijski poravnalniki, mikroelektronika Izvleček: V prispevku so predstavljene osnove teorije optičnih preslikav. Obravnavani so tisti aspekti Fourierove optike, Abbejeve teorije preslikav in teorije modulacijskili prenosniln funkcij (MTF), ki se nanašajo na preslikavo vzorcev s fotolitografske maske na s fotopolimerom prevlečeno rezino s projekcijskimi poravnalniki. Basics of Optical Imaging Theory Applied to the Photolithographis Process Simulation Key words; Fourier optics, Frauenlnofer diffraction, MTF, photolithography, projection aligners, microelectronics Abstract: Lithography is the cornerstone of modern IC manufacturing, and lithography tools and process characterization at the core of the lithography process engineering. Most of the ICs today are manufactured by optical photolithography. As the dimensions of the features to be fabricated on the wafer approach 0.1 ^m the classical limits of resolution of optical tools used in photolithography are approached. Understanding and optimization of the performance of the lithographic process are thus becoming less accessible by the empirical methods traditionally used in IC manufacturing process development and have to be complemented by different computer simulation tools. Such tools are based on Fourier optics to describe the performance of exposure systems, and for their use a basic understanding of the underlying optical theory is required. In this tutorial these basics are covered, with the intenion to facilitate a study of more advanced literature. All of the projection exposure systems used in IC manufacturing industry today are diffraction limited optical instruments. Consequently Frauenhofer diffraction theory is used to describe their performance. This has important consequences for imaging the fine mask patterns on the photoresist covered wafer. In orderte understand the ralation between the (spatial) Fourier transform of the mask pattern and the diffraction image formed by the objective lens in its focal plane, it is instructive to compare the Fourier transform of a pulse function and the analytical expression for the diffraction image of a line source. It can immediately be seen, that they are equal. This conclusion can be generalized to the more complex case of mask imaging. Thus the far-field electric field intensity E(yff,Zff) is given by E(yf(,Zff) = F[f(y,z)] where f(y,z) is mask transmittance function, and F Fourier transform operator The objectve lens perfoms an inverse Fourier transform of B(yn,zw), resulting in an image of the mask in the image plain of the objective lens, where the wafer is positioned. Field intensity distribution E(yi,Zi) of the image in the wafer plane is E(yi,Zi) = F-nE(y„,z„) Po(fy, fz)] = F-nF[E(y,z)] Po(fy, fz)} where F"' inverse Fourier trasform operator The pupil function Po(fy, fz) of the objective lens is introduced into the expression in order to take account of finite dimensions of the lens. From this expression the well known resolution criteria of a projection system can be extracted. Another basic optics concept allowing modeling of the aerial image on the surface of the photoresist film is the modulation transfer function (MTF). MTF is basically a measure of the contrast in the aerial image produced by the exposure system. It is also governed by the diffraction effects and MTF is therefore a function of the normalized spatial frequency ^ of the image. The resolution and the MTF(4) characterise performace of an exoposure tool, and have to be incorporated in a simulation. An implementation of these ideas in FOLIS, a photolithograhy simulation tool developed at the Microelectronics laboratory of the Faculty of Electrical Eng., University of Ljubljana, is reporte elsewhere /5/. Uvod Fotolitografija je eden od temeljev modernih postopkov izdelave integriranih elektronskih vezij in fotolitografska osvetljevalna orodja njeno središče. Velika večina takšnih orodij so danes projekcijski poravnalniki. Minimalne (tako imenovane kritične) dimenzije na sodobnih integriranih vezij segajo v področje velikosti 0,1 jxm, kar je povsem na meji, če ne celo pod njo, ločljivosti osvetljevalnih orodij. Zato predstavljajo postopki preslikave in osvetljevanja velik izziv za razvijalce mikroelektronskih postopkov in dodobra uveljavljeni, empirični pristop k reševanju litografskih problemov, ki se pojavljajo pri njihovem delu, jim v resnici ni več povsem kos. Toda uspešno ga lahko dopolnijo različna programska orodja za simulacijo fotolitografskega postopka. Njihova uporaba pa zahteva vsaj osnovno poznavanje optične teorije. Vsi projekcijski osvetljevalni sistemi, ki se danes uporabljajo v mikroelektronski industriji, so naprave, ki jim kvaliteto preslikave omejujejo ukionski pojavi. Te obravnava teorija Frauenhoferjevega uklona (uklona v daljnem polju), ki ga najpreprosteje simuliramo v okvirih Fourierove optike. Tudi če fotolitografsko preslikavo okarakteriziramo s prenosno funkcijo sistema, se upoštevanju uklonskih pojavov pri preslikavi ne moremo izogniti. Vse omenjene teme so v teoriji optike dobro in že dolgo časa poznane ter jih obravnava vrsta knjig /na primer 1, 2/ ter priročnikov /3/. Vendar se zdi, da je v praksi njihova uporaba omejena, morda v duhu pregovora, da v gozdu ni videti dreves. Fizikalni temelji sicer kompleksne optične teorije pa so razmeroma lahko razumljivi tudi v okviru znanj, ki jih razvojni inženir, delujoč na področju mikroelektronske fotolitografije, že ima. Namen tega prispevka je, da pravvtem okviru predstavi osnove relevantne optične teorije in tako olajša prvi korak pri poglobljenem študiju zahtevnejše literature. V prispevku zato ni govora o tehničnih podrobnostih projekcijskih osvetljevalnih naprav itd. Te so na voljo v literaturi /na primer v izboru literature v 4/. Prav tako v njem ni govora o simulacijskih orodjih, ki jih obravnavamo drugje /5/, pač pa so poudarjeni prav osnovni fizikalni pojmi optične teorije preslikav. Fourierova transformacija pulzne funkcije Fourierov integral neke funkcije f(x) je definiran /6/ kot LH n A(k)coskxdk+ \B(k)smkxdk kjer sta A(k)= f{x)coskxdx j m B{k)= \f(x)smkxdx Podobnost gornjih izrazov z morda nekoliko bolj domačimi izrazi za Fourierovo vrsto je očitna, če se le spomnimo, da je integral limita vsote neskončne vsote. Količini A(x) in B(x), ki ju lahko razumemo kot amplitudi kosinusnih in sinusnih prispevkov k funkciji f(x) v intervalu od k do k+dk, se imenujeta kosinusna in sinusna transformacija funkcije f(x). Oglejmo si Fourierovi transformaciji funkcije, ki predstavlja pravokoten pulz z dolžino L: f(x)= Eo, čeje |xi L/2 Ker je f(x) soda funkcija, je njena sinusna transformacija B(k) enaka O, medtem ko je 2£„ A{k)- f{x)coskxdx- E^coskxdx-—-smkL/2 -LH ^ Če v zadnjem izrazu ulomek v števcu in imenovalcu pomnožimo z L ter člene nekoliko preuredimo, je končni izraz za Fourierovo transformacijo pulzne funkcije sin kL/2 kL/2 ^ , ,. smkLU ., . , . , , . Funkcijo —mrr- v optiki srečujemo tako pogosto, da zanjo kL/2 običajno uporabljajo poseben simbol, sine kL/2. Fourierovo transformacijo pulzne funkcije torej zapišemo kot A(k) = EoL sine kL/2 Na sliki 1 sta prikazani pulzna funkcija f(x) in njena Fourierova transformacija. f(x) F(k)sA(k) Slika 1: Pulzna funkcija in njena Fourierova transformacija. Uklon če neko EM valovanje (svetlobo) prestrežemo z ravnim zaslonom v katerem je izrezana dolga, ravna reža, se skoznjo del vpadnega valovanja širi v polprostor za zaslonom. Kako to valovanje opišemo? Nalogo poskušamo rešiti s pomočjo Huygens-Fresnelovega načela /1 /, ki zagotavlja, da širjenje valovanja lahko opišemo tako, da si neko valovno čelo valovanja zamišljamo razdeljeno na primerno majhne dele, ki so vsak izvor sekundarnih, krogelnih valovanj. Ta imajo isto valovno dolžino kot vpadno valovanje, kjer koli v prostoru za izbranim valovnim čelom pa je nato vrednost nihajoče količine (pri EM valovanje na primer velikost električnega polja, oz. električna poljska jakost E) določena s superpozicijo (nekoliko grobo rečeno, vsoto) prispevkov sekundarnih valov. Pri seštevanju moramo seveda upoštevati amplitude in faze posameznih prispevkov, kar nalogo v splošnem zelo zaplete. Sorazmerno preprosto jo lahko rešimo pravzaprav le v dveh primerih. Prvi je tisti pri katerem točka v kateri iščemo valovanje, od izbrane valovne fronte ni preveč oddaljena (v tako imenovanem bližnjem polju), drugi pa, če je točka od nje zelo oddaljena (v daljnem polje). V zvezi s projekcijskim osvetljevanjem nas zanima le drugi primer. Preden se resnično lotimo seštevanja prispevkov sekundarnih valov k polju v toči T, definirajmo geometrijo problema: na zaslon padajoče valovanje naj se širi v smeri x, zaslon pri X = O naj leži v ravnini y,z, torej naj bo vzporeden valovnim frontam upadlega valovanja in reža v njem, ki ima širino L, naj leži, simetrično na os x, v smeri z. Če je dolžina reže mnogo večja od njene širine, je očitno, da mora biti rešitev neodvisna od koordinate z. Z drugimi besedami, rešitev iščemo le v ravnini x,y, kar 3-dimenzionalno nalogo praktično prevede v 2-dimenzionalno in jo znatno poenostavi. Za valovno čelo, ki je izhodišče računa, izberemo ravnino zaslona. Režo si moramo torej zamisliti razdeljeno na primerno majhne dele, ki so izvori sekundarnih valov in v neki točki T za zaslonom sešteti njihove prispevke k polju E. Električno polje ravnega EM valovanja, ki potuje v pozitivni smeri osi x pred zaslonom, opisuje enačba E(x) = Eo sinicot - kx) kjer sta cü krožna frekvenca {2nv) in k valovni vektor {2n/X, Xje valovna dolžina valovanja). Valovanje, ki se širi iz točkastega izvora, pa opisuje enačba E = (A/r) sin(o)t - kr) kjer sta A tako imenovana jakost izvora in r razdalja od izvora do točke T v kateri valovanje opazujemo. V primeru, ki ga obravnavamo, r leži v ravnini x,y. Podobnost izrazov za ravno in krogelno valovanje je očitna, pomembna razlika med njima je le v faktorju 1/r, ki pri slednjem opisuje zmanjševanje amplitude polja z razdaljo. Režo si mislimo po širini razdeljeno na majhne dele dy. Prispevek vsakega izmed njih k skupnemu polju v točki T je dE = (Ai/r) sin(cot - kr) dy kjer je Al linearna jakost izvora, A/L. Da bi dobili celotno polje, moramo gornje prispevke integrirati po celotni širini reže. V primeru daljnega polja, pri katerem je širina reže L mnogo manjša od r, faktor 1 /r brez zadrege lahko zamenjamo z 1 /R, kjer je R razdalja od koordinatnega izhodišča (sredine reže) do točke v kateri računamo polje valovanja. Tega pa ne moremo storiti pri prostorsko spremenljivi fazi valovanja kr (torej v izrazu 2nr/X), saj pri njej razdalje očitno merimo v enotah valovne dolžine in je zato faza na majhne spremembe razdalje mnogo občutljivejša kot amplitu-da. Vendar pa pri računu daljnega polja r v izrazu za fazo lahko zamenjamo s približkom r= R-ysin0 pri čemer je y koordinata izvora dy v reži (slika 2). Po tej zamenjavi je izraz za skupno električno polje v točki T A. R i/2 sin[co? - k(R - >'sinO ^dy -i/2 in ga (z zamenjavo spremenljivk) zlahka integriramo: reza SUka 2: Uklon svetlobe na reži s širino L zaslon oziroma kjer smo (kL/2)sm 0 zapisali kot ß. Primerjava izrazov za električno polje svetlobe, ki jo sevata reža in točkast izvor, pokaže, daje EM valovanje, ki izhaja iz reže, glede časovne odvisnosti in upadanja amplitude z razdaljo podobno valovanju točkastega izvora, vendar pa ni izotropno - v smereh, torej pri kotih 0, v katerih ima funkcija sincß vrednost O ga enostavno ni. Iz slike 1 je razvidno, da se to prvič zgodi, ko je vrednost njenega argumenta 71, torej pri n = {kL/2)s\n0 = {27^Ä)(L/2) sin0, oz. Lsin0 = A V slednjem takoj prepoznamo izraz, ki ga za smer uklon-skega minima prvega reda za uklon svetlobe na ozki reži s širino L daje elementarna teorija uklona /7/. Moteči časovni odvisnosti električnega polja se izognemo tako, da v izrazu zanj sin((üt-kR) zamenjamo z njegovo 1 časovno povprečno vrednostjo, ki je Po takšni zamenjavi postane enakost (do multiplikacijskega faktorja) izrazov za električno polje valovanja, ki ga seva ozka reža v zaslonu, in tistega za Fouriereovo transformacijo pulzne funkcije očitna. Enakost ni naključna. Z razširitvijo gornje izpeljave na 2-dimenzionalne reže v zaslonu in njeno manjšo po-splošitvijo se da pokazati, daje uklonska slika svetlobe, ki prehaja skozi zaslon s poljubno razporeditvijo in obliko rež, v daljnem polju, vedno enaka Fourierovi transformaciji funkcije, ki opisuje porazdelitev, obliko in propustnost rež na zaslonu. Ugotovitevje za analizo in modeliranje preslikav v projekcijskih poravnalnikih, ki se uporabljajo v mikroelek-tronski industriji, ter drugod v optiki ključna. In seveda tudi praktična, ker s pomočjo računalnikov Fourierove transformacije poljubne prostorske funkcije lahko izračunamo brez velikih zapletov. Transmisijska funkcija Maske, ki se uporabljajo pri izdelavi integriranih vezij, so navadno ravne, kvarčne plošče prevlečene Stanko plastjo kroma. Na mestih, kjer na maski ni kromove plasti, je ta za UV svetlobo izvora prozorna, na prekritih mestih pa zanjo povsem neprepustna. Kontrast med svetlimi in temnimi deli maske je velik in zato lahko strukturo na maski zelo natančno opišemo z digitalno transmisijsko funkcijo f(x,z), ki ima vrednost O kjer maska ni prozorna in 1 na njenih prozornih delih. Porazdelitev električnega polja svetlobe, ki jo določa takšna maska, je v daljnem polju preprosto E(ydp,Zdp) = F[f(y,z)] kjer F pomeni Fourierovo transformacijo. Električno polje je pri preslikavah navadno manj zanimiva količina od gostote energijskega toka, ki je sorazmerna kvadratu električnega polja. Različnim multiplikacijskim faktorjem v izrazih za gostoto toka se pogosto ognejo z vpeljavo iradiance I, ki je le kvadrat polja. Za kotno odvisnost iradiance v primeru dolge reže torej velja 1(6) = losinc^ß , kjer je lo iradianca v smeri optične osi (smeri x). Za masko, ki jo definira transmisijska funkcija maske f(y,z), podaja ira-dianco v daljnem polju izraz: l(ydp,Zdp)= |F[f(y,z)]|2 kjer so f goriščna razdalja objektiva, a razdalja od maske (predmeta) do glavne ravnine objektiva in b razdalja od glavne ravnine objektiva do ravnine slike. Proces nastanka slike si morda najlaže pojasnimo tako, da si točke v gorišč-ni ravnini objektiva, kjer se sekajo vzporedni snopi žarkov z maske, predstavljamo kot še ene izvore Huygensovih sekundarnih valov, ki interferirajo v ravnini slike. Prav ta druga interferenčna slika je slika predmeta, ki jo da objektiv (slika 3). Nastanek slike je torej posledica dvojnega uklonskega procesa: najprej uklona ravnega valovanja na predmetu in nato uklona valovanj, ki po prvem uklonu potujejo v različnih smereh, na objektivu. Tako je jasno, da pri preslikavi objektiv naredi inverzno Fourierovo transformacijo uklonske slike predmeta. maska transformocijsi«! ravnina zaslon Abbejeva teorija preslikave Pri osvetljevalnih sistemih, ki jih v industriji uporabljajo za preslikavo vzorcev z mask na silicijeve rezine, nas seveda zanimajo predvsem gostote energijskega toka (ali iradianca) na površini fotopolimera. Uklonska slika maske v daljnem polju je, kot smo videli, enaka Fourierovi transformaciji njene transmisijske funkcije in bi jo, v načelu, lahko pre-stregli in opazovali na dovolj oddaljenem zaslonu. To razdaljo zelo skrajšamo, če za masko postavimo lečo (objektiv). Ker so vsi žarki, ki iz predmeta izhajajo v smeri, določeni s kotom 6 (torej kotom med smerjo razširjanja valovanja in optično osjo sistema), med seboj vzporedni, se po prehodu skozi objektiv sekajo v eni točki. Z drugimi besedami, v goriščni ravnini objektiva nastane Frauenho-ferjeva uklonska slika predmeta. Ker je ta slika Fourierova transformacija maske, včasih o objektivu govorijo kot o transformacijski leči in o ravnini v kateri nastane transformira-na slika kot o transformacijski ravnini. V našem primeru sta goriščna ravnina objektiva in njegova transformacijska ravnina seveda ista ravnina. Na zaslonu, ki bi ga postavili v to ravnino, bi interferenčno sliko lahko prestregli in opazovali. Če takšnega zaslona ni, pa se svetloba širi še naprej in v neki drugi ravnini, imenovani ravnina slike, rekonstruira sliko maske. Položaje maske, glavne ravnine objektiva, njegove goriščne ravnine in ravnine slike na optični osi povezuje enačba leče 1/f = 1/a+ 1/b L ■T L T L -jf o ML ravnina predmeta ravnina slike Slika 3: Nastanek slike je dvojni uklonski proces: slika predmeta nastane zaradi interference svetlobe, ki izhaja iz transformacijske ravnine. M je povečava preslikave. Ločljivost Najbrž je očitno, da objektiv lahko rekonstruira popolno sliko predmeta le, če zajame njegovo celotno uklonsko sliko. Praktično je to seveda nemogoče, saj pri uklonu glede velikosti kotov 9 ni nobenih omejitev, vsi objektivi pa imajo končne premere. Če leži predmet na razdalji a pred objektivom, ki ima polmer R, je največji kot med žarki, ki izhajajo iz (majhnega) predmeta in jih objektiv še zajame 6maxtakšen, daje tg0max = R/a Razmerje R/a se imenuje numerična apertura (NA) sistema. (NA iz tehničnih razlogov navadno definirajo kot sin Omax , razlika na tem mestu ni posebno pomembna.) Če želimo z objektivom preslikati nek predmet, recimo režo, s tako majhno širino L, daje smer prvega uklonskega minimuma, ki ga določa kot 6 ravno enak numerični aperturi objektiva, torej sinG = VL = NA smo očitno na meji resolucije objektiva. Pri še manjših predmetih (ožjih režah) objektiv zajame le še svetlobo ničtega uklonskega maksimuma (torej svetlobo, ki se na reži ne ukloni in skozi sistem potuje v smeri optične osi), v tej pa ni nikakršne informacije o velikosti predmeta. Ta se skriva le v položajih minimov v uklonski sliki in če teh v svetlobi, ki jo zajame objektiv, ni, objektiv predmeta ne more rekonstruirati. Vpliv omejene kotne velikost objektiva navadno vključijo v modeliranje preslikave z zenično (pupilno) funkcijo objektiva, Po(fy, fz), ki ima vrednost 1, če je (f^y + f^z)^^^ < NAA in O, če je (f^y + f^z)^''^ > NA/A, , kjer je fytako imenovana prostorska frekvenca uklonske slike na objektivu: fy = yob/aX fz je definirana na enak način. Prostorske frekvence, ki jih objektiv lahko transformira (preslika) so očitno omejene z vrednostjo fmax = NA/X in zenična funkcija to odraža. Končna velikost objektiva pri preslikavi predmetov z velikimi prostorskimi frekvencami (kar pomeni z majhnimi dimenzijami) igra isto vlogo kot, na primer, nizkopasovni filter pri prenosu ostrih pulznih signalov. Takšen filter signale (seveda v časovni domeni) zaobli, objektiv pa podobno (v prostorski domeni) ne preslika podrobnosti predmeta, ki so skrite v velikih prostorskih frekvencah njihove uklonske slike. Zenično funkcijo vključimo v izraz za preslikavo in porazdelitev električnega polja na mestu slike zapišemo kot E(ys,zs) = FME(yo,Zo) Po(fy, fz)] = F^{F[E(y,z)] Po{fy, fz» kjer je F""' inverzna Fourierova transformacija. Iradianca na mestu slike pa je, kot vedno, | E(ys,Zs) | Povečanje ločljivosti Najmanjšo velikost predmetov, ki jih z nekim projekcijskim poravnalnikom lahko preslikamo z maske na fotopolimer in rezino, torej v načelu omejuje končna ločljivost optičnih sistemov. Vendar sta poznana vsaj dva načina kako povečati ločljivost projekcijskih sistemov /4/. Prvi temelji na dejstvu, da je uklonska slika, na primer reže, simetrična glede na ravnino x,z in da zato vključuje informacijo o velikosti reže dvakrat: enkrat v uklonskih minimih v smeri osi +y ter drugič v minimih v smeri -y. Za verno preslikavo pa takšna dvojnost pravzaprav ni potrebna in v načelu za rekonstrukcijo slike zadošča že uklonjena svetloba, ki se od predmeta širi k objektivu le, recimo, nad optično osjo sistema. Če bi objektiv z določeno NA za njegov polmer premaknili vzdolž osi y, bi po premiku njegov spodnji del zajel le še na maski neuklonjeno svetlobo, njegov zgornji del pa dodatno še uklonjeno svetlobo višjih redov. Zaradi vključitve te svetlobe v preslikavo bi bila tudi slika reže ostrejša. Prav isto bi seveda dosegli z objektivom, ki ima 2 krat večji polmer (in ustrezno večjo NA), ter z zaslonom, ki bi zastrl del objektiva pod optično osjo. Eno ali drugo bi povečalo ločljivost, toda tudi v preslikavo vneslo nesprejemljive abe-racije. Podobno bi enako povečanje ločljivosti (iz istega razloga in s podobnimi abracijami) brez premikanja ali zastiranja objektiva dosegli tudi tako, da bi masko osvetlili pod kotom 6max. Dejansko so koti izvenosnega osvetljevanja, ki še omogočajo nepopačeno preslikavo, hkrati z nekoliko večjo ločljivostjo, mnogo manjši od 0max, toda tehnika je pri konstrukciji projekcijskih poravnalnikov često uporabljena. Povsem drugačna tehnika povečevanja ločljivosti projekcijskih osvetljevalnih sistemov temelji na manipulaciji faze, s katero uklonjena svetloba izstopa iz maske /8/ . Za nek del maske lahko postavimo planparalelno ploščico iz snovi z lomnim količnikom n in debelino t, izbrano tako, da del svetlobe, ki gre skozi ploščico, glede na svetlobo, ki gre mimo nje, zaostane za fazni kot n. Debelino t fazne ploščice določa enačba 2(n-l) Deli svetlobe, ki gredo skozi fazno ploščico, pri rekonstrukciji uklonske slike seveda sodelujejo z za n spremenjeno fazo, ali z drugimi besedami, električno polje teh delov svetlobe je pomnoženo s faktorjem -1. S primerno razporeditvijo faznih ploščic po različnih delih maske je mogoče doseči, da se električno polje na določenih delih slike na rezini izniči. S fazno masko torej lahko dosežemo, da ostanejo deli rezine, ki bi bili pri osvetlitvi z navadno masko osvetljeni, neosvetljeni. Princip delovanja faznih mask je prikazan na sliki 4. V okviru Fourierove optike je maska amplituda polja ZQ masko amplituda polja na rezini l&O* fazni zasuk S/ika 4: Princip povečanja iočljivosti preslil