i
i
“923-Petek-naslov” — 2009/6/3 — 8:38 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 16 (1988/1989)
Številka 5
Strani 282–287
Peter Petek:
TETA AMALIJA IN KAOS
Ključne besede: računalništvo.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/16/923-Petek.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
TETA AMALlJA IN KAOS
Nastopajo: teta Ama/ija, nje ne čeki Jožice, Po/anca, Tomaž in trije raču­
na/niki
Prolog
J.: Zakaj si nas pa danes povabila? Nobenega rojstnega dne ne praznujemo.
A.: Ne, ne, saj ne gre za rojstni dan. Le stric Alfonz, ki dela na pošti, mi je za
danes posodil tr i računalnike .
T.: Oh , fino! Zelo radi se igramo Vojno zvezd, Lačnega Horaca , Smučanje in
kar je še takih igric.
A. : Zmotil si se! Tokrat bo igrica čisto matematična. Ustvarili bomo kaos.
P.: Kaos? Mama vedno pravi, da imam v sobi kaos, če je ne pospravim. In
kolikor te poznam, nam gotovo ne boš dovolila, da ti razmečemo stano-
vanje.
A.: Priznam, kaos je nekoliko ponesrečena beseda za matematični pojav, ki ga
bomo spoznali. Grška beseda xaos pomeni nered, razsulo. Stara verstva so
učila , da je bil v vesolju kaos, preden so bogovi vzpostavili red.
J.: Zdaj sem pa res radovedna, kaj je to kaos!
A.: No, najprej bomo popili čaj in pojedli pecivo, ki sem ga pripravila, potem
pa lepo po vrsti. Kaos pride šele na koncu.
(Pijejo čaj in jedo pecivo.)
I. dejanje. Ponavlja se preprost račun
A.: Prep rost račun: Izberemo si X in O in 1 in izračunamo X' = (1 + R)X-
- RX2
T. : Ampak teta , kaj je tu zanimivega . Osnovne raču nske operacije obvladamo
že vrsto let.
P.: InkajjetukajR?
A.: Število R imenujmo parameter našega računanja . Vedno mora biti pozi-
tivno. Ko izračunamo X', ga postavimo na mesto X in spet računamo po
istem pravilu . In ta račun ponavljamo in ponavljamo in ponavljamo.
T.: To je vse?
A.: Vse! ln ravno v tej preprostosti je čar zadeve! Za vajo vzemi R = 0,5,
X = 0,7 in napravi nekaj korakov!
282
T.: (računa s svinčnikom) 0.5, izračunam 0.805, naslednje število je
0.8834875. Joj, teta, računanje na roko je tako utrudljivo!
P.: Medtem, ko si ti računal, sem jaz že sestavila program, ki bo računal na-
mesto nas. Število N pove, kolikokrat želimo ponovit i račun .
10 INPUT "R, X , N"; R, X, N
20 FOR I = OTO N
30 PRINTI,X
40 LET X = (1 + R) X - R X X
50 NEXT I
A.: Sedite zdaj vsak za svoj računalnik, nakrmite ga s programom in se malo
igrajte . Vzemite različne R in X, le za začetek predlagam, da ne vzamete
prevelikega R; manjši od 1 naj bo .
(Otroci izbirajo, računalniki računajo - glej sliko 1!)
0 . 700('00
O.U()S O()O
o, 8S:;" ['.R
O. 9?. 49 :~ t:.
0 . 9[, 5 3 [, 3
0. S8 2 lJE- 2
(I. c:, ; OSf;O
("I. 9S~·1399
O. ' iS"i b B9
O. ~ S 6 8 :j 2
u , 9 5 9 '~ 2 0
O. ~ ~!~: 71 o
O. 9 ~.~·B ~; ~\
(I. S ~; S9~:8
O. 9 ' l9Sf./'
O. 9 S S Sl'.2
O. S ~i9~i9 1
0 .99 9 995
0. 9 99998
0 . 9 99 999
s
:,
lo
7
"
)
2
10
11
} "/
1 ~~
l ij
}~.
}E-
17
l B
19
20 2 015105
0 .7
0.8
0 .65 +-----r-----r-----r----.,--
0.9
0.75
0.85
0 .95
R=O.5 X=O. 7 N=20
A.: No, kaj opazite?
P.: Števila nraščajo .
T.: Vedno bliže so enojki.
J.: Če dovolj dolgo računaš, se pa kar enke ponavljajo. Ampak t je najbrž
zaradi zaokroževanja , ker se nekaj zadnjih decimalk v računalniku izgubi.
A.: Res je. Zdaj pa parameter povečajte malce čez 1. Kaj opazite?
J .: Vzela sem R = 1.2, X = 0.5 in dobila (slika 2) oo.
283
1 O . ~ O O O O O 11 ]. 0 0 0 0 0 0
2 0. 80 0000 12 ]. 000 000
3 0. 9 9200 0 1 3 1 . (;()(lOC10
4 1 . 001523 14 1 . 0 0 0 0 0 0
~ 0 . 9 9 % 93 1 5 1. 0 000 00
(. 1 .0 000 (,] lb 1. 00 0000
"/ 0 .9 9 9 9 HR 17 ]. 0 0 0 0 0 0
R ]. 0 0 0 0 0 7 ] 8 1. 0 0 0 0 0 0
9 1 . 0 0 000 0 19 1 .0 0 0 0 0 0
10 ] . 0 0 00 0 0 2 0 1 . 0 0 0 0 00
Že v četrtem koraku postane X večji od ena, nato so števila izmenoma
večja in manjša od ena, a kmalu se začno ponavljati enke.
A.: Prav, poigrajte se še tako, da pri istem R izbirate različne začetne X.
T.: Kakšne posebne razlike ne opazim, način obnašanja je vseskozi enak . Le
ko sem za šalo vzel X = 10, je računalnik po nekaj korakih ugotovil pre-
koračitevobsega.
A.: Seveda. No, pravzaprav je X lahko največ (1 + R)2/ 4R.
II . dejanje. Parameter narašča, dolžina se podvaja.
A.: Zdaj pa si R izberimo večji kot 2 , le manjši kot 2.45 naj bo! Kaj opaziš,
Jožica?
J.: R = 2.3, X = 0.7 , N = 50 : račun se ne ustali pr i enk i kot prei, ampak št e-
vila nekaj časa skačejo , dokler se ne začneta izmenoma ponavljat i dve
števil i. (slika 3)
1.2 u , I u u uuu
2 1 .18300 0
t.15 3 0 . 68 ~ () 7 5
1. 1 4 1 . 18 1294
1. 05 5 O. (;88723
6 1. 1 81 8 0 5 ..
7 0.fi 87631 oo
0.95 8 1 . 181 5 58
0. 9 9 0 . 587945
1 0 1 .1131 701
0. 8 5 11 0 . 6137853
0. 8 1 2 1. lU l b Fl 9
0. 7'5 lJ 0 . fiH78 BO
14 1. 1Blf>92
0.7' 15 0. 6 B78 72
0 .6:5 l b 1 .101691
0 .6 17 0. 6 87 8 7 4
I I IB 1 .181692
o 10 20 19 0. (1)7873
2 0 1 . lB lf.'i2
R=2 .3 X=O. 7 2 1 0 .587B "/4
~ : 1 .1 81 6 9 2
23 0 .6878 74
'o, ,,, 1.181'-:'92_ 'i
284
A.: Ker se števili ponavljata v vsakem drugem koraku , pravimo, da imamo
cikel dolžine dva. Vzemite sedaj R malo večji od 2.45.
(Vsi računajo)
T .: Dobil sem cikel dolžine 4. Vzel sem R = 2.48 .
P.: Jaz pa cikel dolžine 8 pri R = 2.56
A.: Ugotovite s poskušanjem, kdaj se cikel dolžine 2 spremeni v cikel dolžine 4
in kdaj le-ta v 8-cikel!
(To je naloga za naše bralce !)
T.: Ampak teta, kaj ni vmes še cikla dolžine 3 , potem pa še ciklov dolžine 5, 6
in 7?
A.: Ne, dolžine ciklov se le podvajajo . Cikel dolžine 3 boš našel v ocvirku na
koncu . Kaj pa pride za 8-ciklom?
P.: Gotovo cikel dolžine 16, pa 32 in tako naprej. In pri tem so prirastki R , ki
povzročijo podvojitev dolžine , vedno manjši. Ampak zdi semi, da bo zara-
di zaokroževanja v raču na l n i ku to že težko opaziti .
III . dejanje. Kaos
A.: Povečajmo R čez 2.57 in zašli bomo v kaos.
J .: Kaos! Takoj moram poizkusiti.
(Spet vsi računajo)
J .: N ičesa r posebnega ne opazim. Vzela sem R = 2.9, izgleda pa tako, kot bi
bila števila slučajno posejana (slika 4) .
o 10 20 30 40 50 60 70 80 9 0 10 0
R=2.9 X=O. 6 N=100
285
T.: Jaz pa sem vzel R =3.2 in spet sem prekoračilobseg .
A .: Oh, pozabila sem reči , da ne smete s parametrom čez tri. Ta navidezna ne-
urejenost, ki jo je opazila Jožica, je že kaos . Vendar bomo tud i v kaosu
opazili nekaj pravilnosti. Najprej bomo programu vgradili zvonček , na
interval širine D okrog točke S ga obesimo. In vsakič, ko pade X v to oko-
lico, bo zacingljal.
15 INPUT'~'D";S,D
35 IF ABS(S - Xl < D/= THEN PING
J.: Izbrala bom R = 2.95 , X = 0.6, N = 1000, pa S = 0.7 in širino intervala
0.01 . Zanima me, kolikokrat bo zazvonilo.
(Računalnik računa in enkrat zacinglja.l
T.: Jaz bom pa le razširil interval in vzel D = 0.1
(Računalnik neprestano cinglja.)
A.: Kamorkoli med O in 1 postavite zvonček, na še tako majhen interval, prej
ali slej bo zazvonilo. Seveda, če vzamete zelo ozek int erval, bo treba dolgo
čakati. Vzeti bo treba primerno velik N.
Druga zanimiva lastnost je pa občutljivost na začetno vrednost. Jožica in
Polonca, izberita si isti R, isti N, le začetna X -a naj bosta čisto malo
različna.
(Jožica in Polonca poženeta vsaka svoj program - glej sliko 5!)
, • '1
1 , 3
1 . 2
1 . 1
I
0 .9
0 . 8
0. 7
0.6
0.5
0. 4
0.3
0.2
O. 1
O
X= O. 8 0 0 1
O
R=2 . 9
286
5 10 15 2 0 25
N=30
30
1.: banajst korakov h lahb nekeko sledimo podobne X 4 ,  patem se &ma 
popolnoma razideta. 
A.: Da, Be taka majhna spremernba zalletne vredmsti pwmo6i povrem dm- 
gaCm zapordie 3tevil. 
Wloe 
2% konec le £e ocvimk re nalte bralce. V m i t e  R = 2.83, tarej nredi kaosg, in 
pofsnite program. Kaj oparite? V resnici sm skriva v tej p r m *  formuli L 
prewj skrivnd. 
ReterPletek 
slib AndH Vitek