G


G









̌


G  G         ̌  
P 50 (2022/2023) 1 27
S kotaljenjem krožnice do
astroide in kardioide
E Č̌
Astroida je krivulja, katere ime izvira iz grške
besede aster, ki pomeni zvezda. Ima namreč obliko
zvezde s štirimi kraki in zato zanjo uporabljamo
tudi ime zvezdnica. Poimenovanje kardioida prav
tako izhaja iz grščine. Oblika krivulje spominja na
srce, zaradi česar jo imenujemo tudi srčnica. Ogle-
dali si bomo tri načine, kako ti dve krivulji nari-
šemo v GeoGebri - z animacijo sledi točke, kot ogri-
njačo množice daljic in direktno s parametrično
enačbo krivulje.
Astroido uvrščamo med hipocikloide. To so kri-
vulje, ki jih opiše točka na krožnici, ki se kotali po
notranji strani druge krožnice. Oblika krivulje je od-
visna od razmerja med polmeroma obeh krožnic. Da
nastane astroida, morata biti polmera kotaleče se no-
tranje krožnice in zunanje krožnice v razmerju 1 : 4.
V nadaljevanju bomo ves čas obravnavali primer, ko
ima notranja krožnica polmer 1, zunanja pa 4.
Konstrukcija astroide v GeoGebri s sledjo gibanja
točke:
Zunanjo krožnico narišemo z ukazom
Krožnica((0,0),4).
Za kotaljenje manjše krožnice ustvarimo drsnik a
z vrednostmi med 0 in 2π . Hitrost drsnika zmanj-
šamo na 0.5 in ponavljanje animacije nastavimo
na naraščajoče. Začetno vrednost drsnika nasta-
vimo na 0.
Središče manjše krožnice se bo gibalo po krožnici
s središčem v koordinatnem izhodišču in polme-
rom 3. Za središče vnesemo ukaz S=(3*cos(a),
3*sin(a)).
Manjšo krožnico narišemo z ukazom
Krožnica(S,1) in jo preimenujemo v k.
Na manjšo krožnico dodamo točko A z ukazom
Point(k) in jo po krožnici premaknemo v točko
(4,0).
SLIKA 1.
Točka A′ na manjši krožnici opiše astroido, medtem ko se ko-
tali po notranji strani večje krožnice. Aplet najdete na spletnem
naslovu https://www.geogebra.org/m/znfgyerr.
Točko A′, ki bo opisovala astroido, vstavimo z
ukazom Zasuk(A,-3*a,S).
Skrijemo točko A in narišemo daljico z ukazom
Daljica(S,A’).
Vklopimo sled točke A′ in z vklopom animacije
drsnika izrišemo astroido.
Zgornjo astroido lahko dobimo tudi kot ogrinjačo
družine daljic. Eno krajišče teh daljic naj leži na y-
osi, drugo na x-osi in dolžina daljic naj bo enaka 4.
Ogrinjača je nato krivulja, ki je tangentna na vsako
izmed narisanih daljic.
Konstrukcija astroide v GeoGebri kot ogrinjače
množice daljic:
Ustvarimo drsnik a z vrednostmi med −4 in 4. Pri-
rastek drsnika nastavimo na 0.2. Drsnik naj vre-
dnosti ponovi le enkrat, torej nastavimo enkratno
naraščajoče ponovitve.
Točko A, ki se bo z vrednostjo drsnika premikala
po y-osi, ustvarimo z ukazom (0, a).
Narišemo krožnico z ukazom Krožnica(A,4), da
bo dolžina daljic ves čas ustrezna.
G  G         ̌  
P 50 (2022/2023) 128
SLIKA 2.
Astroida nastane tudi kot ogrinjača družine daljic. Aplet naj-
dete na spletnem naslovu https://www.geogebra.org/m/
qw9v7ymh.
Z orodjem Presečišče določimo točki B in C , kjer
krožnica seka x-os.
Narišemo daljici AB in AC .
Vklopimo sledi daljic, skrijemo odvečne objekte in
vklopimo animacijo drsnika.
Najlažje sicer astroido narišemo s pomočjo njenih
parametričnih enačb. Uporabimo ukaz Krivulja(4*
cos(t)^3,4*sin(t)^3,t,0,2*pi). Omenili smo,
da astroido uvrščamo med hipocikloide. Bralca in
bralko vabimo, da raziščeta tudi druge krivulje, ki jih
dobimo, če spremenimo razmerje med polmeroma
obeh krožnic.
Kardioida je poseben primer epicikloide. Za raz-
liko od hipercikloid so to krivulje, ki jih opiše točka
na krožnici, ki se kotali po zunanji strani druge kro-
žnice. Oblika krivulje je znova odvisna od razmerja
polmerov obeh krožnic. Kardioida nastane, če imata
obe krožnici enak polmer. Bralec in bralka naj po-
skusita konstrukcijo astroide s sledjo gibanja točke
prilagoditi tako, da bo točka A′ opisala kardioido. V
pomoč naj jima bo slika 3, kjer imata krožnici pol-
mer 2.
Kardioido lahko dobimo tudi kot ogrinjačo daljic.
Namesto konstrukcije z drsnikom kot pri astroidi
bomo tokrat daljice konstruirali s pomočjo ukaza
Zaporedje. Ogledali si bomo primer, ko krožnico
s točkami razdelimo na 60 skladnih lokov. Točke
oštevilčimo. Izbrano n-to točko povežemo s točko,
ki ji pripada številka 2n po mod 60. Dobljene da-
ljice predstavljajo tangente na kardioido.V GeoGebri
SLIKA 3.
Točka A′ opiše kardioido, medtem ko se krožnica k kotali po
zunanji strani enako velike krožnice. Aplet najdete na spletnem
naslovu https://www.geogebra.org/m/swafjau7.
daljice izrišemo z ukazom: Zaporedje(Daljica(
(cos(2*pi*n/60),sin(2*pi*n/60)),(cos(4*pi*
n/60),sin(4*pi*n/60))),n,0,60). Bralec in bral-
ka lahko poskusita daljice po zgornjem postopku
tudi sešiti na debelejšo lepenko. Kardioido hitreje
narišemo s pomočjo njenih parametričnih enačb.
Uporabimo ukaz Krivulja(4*cos(t)-2*cos(2t),
4*sin(t)-2*sin(2t),t,0,2*pi).
Epicikloide in hipocikloide imajo številne zanimi-
ve lastnosti. Več o njih pa ob kaki drugi priložnosti.
SLIKA 4.
Kardioida nastane tudi kot ogrinjača družine daljic.
×××