Cycle bases of reduced powers of graphs - Hammack, Richard H. (Ars mathematica contemporanea, 2017)
Definiramo konstrukcijo, za katero menimo, da je nova. Če je dan graf ?$G$? in pozitivno celo število ?$k$?, potem je reducirana ?$k$?-ta potenca grafa ?$G$?, ki jo označimo ?$G^{(k)}$?, konfiguracijski prostor, v katerem postavimo ?$k$? enakih žetonov na vozlišča grafa ?$G$?, tako da je na vsakem vozlišču največ ?$k$? žetonov. Dve konfiguraciji sta sosedni, če lahko eno transformiramo v drugo tako, da premaknemo en žeton vzdolž povezave v neko sosedno vozlišče. Predstavimo trditve, ki se nanašajo na strukturne lastnosti reduciranih potenc grafa in, kar je najbolj pomembno, zagotavljajo konstrukcijo minimalne baze ciklov potenc ?$G^{(k)}$?. Konstruiranje minimalne baze ciklov je zanimiv kombinatoričen problem, ki je koristen tudi v uporabah, ki vključujejo konfiguracijske prostore. Na primer, če je ?$G$? graf prehodnih stanj modela markovskih verig stohastičnega avtomata, potem je reducirana potenca ?$G^{(k)}$? graf prehodnih stanj za ?$k$? identičnih (a ne nujno neodvisnih) avtomatov. Pokažemo, kako se da konstrukcijo minimalne baze ciklov grafa of ?$G^{(k)}$? uporabiti za dokaz, da od stanj odvisno parjenje avtomatov ne krši načela mikroskopske reverzibilnosti, kot se zahteva pri fizikalnih in kemičnih aplikacijah.
Keywords: grafi; markovske verige; produkti grafov; prostori ciklov