i i “947-Lavric” — 2010/6/14 — 14:56 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 16 (1988/1989) Številka 5 Strani 316–322 Boris Lavrǐc: BLIŽJE K RAZDALJI Ključne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/16/947-Lavric-razdalja.pdf c© 1989 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. /"0-/!=I"O-/·'ILOII 1 L. II 1 II II 1 BLIŽE K RAZDALJI \ \ I, I I 've / I I / / /" /" ;' ;'.-- Ko govorimo o razdalji med dvema krajema na Zemlj i, navadno mislimo s tem dolžino najkrajše prometne poti, ki ju povezuje (kraja pri tem nadomestimo z določenima točkama). A ne vedno. Dobro vemo, da obstajajo bližnjice, pri iskanju teoretično najkrajše poti pa se za hip pomudimo ob pojmu zračna razdalja . Zaradi enostavnosti privzemimo, da ima Zemlja obliko krogle. Potem je zračna razdalja med dvema točkama (krajema) na njej dolžina najkrajše poti, ki ju veže in leži na površju krogle. Torej je to dolžina krajšega od obeh lokov, na katera razdelita točki glavni krogein i krog *, ki poteka skoznju. Zračna razdalja je seveda največkrat krajša od " promet ne" , ni pa najkrajša mogoča razdalja. Če sta kraja daleč narazen, brž opazimo, da bi raven predor skozi Zemljo meril dosti manj kot zračna razdalja med njima. V slednjem primeru smo za razdaljo med točkama vzel i dolžino daljice, ki ju veže. S tem smo že na tretji način opredelili razdaljo . Vsakič smo (nasploh) namerili razl ično dolžino, čeprav smov vseh treh primerih iska- li najkrajše pot. Različnost je posle- d ica različnih prostorov, po katerih smo smeli potovati. V prvem primeru smo se gibali le po prometnih poteh , v drugem po vsem površju krog le, v tret- jem pa povsod. Zaznamujmo z At množico točk v prostoru in povzem imo povedano v bolj splošno opredelitev. Razdalja v At (ali notranja razdalja) med točkama A in B množice Atje dolžina najkrajše poti od A do B, ki v celoti poteka po množici .AL Označimo jo z d.M. (A, Bl. Če je .M. ves prostor, znak poenostavimo in pišemo le d(A,B). Pot v At. lahko ponazorimo s sledjo točke, ki se giblje po množici .At,al i z nepretrgano vrvico, položeno v .AL - dolžina poti je tedaj dolž ina napete ne- * Glavni krogeini krog je presek površja krogle z ravnino, ki gre skozi središče krogle. 316 razteglj ive vrv ice. Za množi io .M je seveda smiselno zahtevati , da je iz enega kosa, še bolje pa, da sta poljubni dve točki iz .M. povezani s potjo, k i ima končno dolžino in poteka po .M. Za polju bni toč k i A, B E .M. očitno velja neenakost d(A,B) ~d.M. (A,B) t če pa je množica.M. konveksna, so najkrajše poti po At dalj ice, to rej razdalj i d in dM. sovpadata. Kadar je .M. ploskev , najkrajše povezave med njen im i točkami imenujemo geodetične kri vulje (v geodeziji - vedi o oblik i in razsežnostih Zemlje - igrajo najkrajše poti pomembno vlogo) . Na krogli so geodetične krivulje ('geodetke') loki glavnih krogelnih krogov. Tudi na plašču valja se je preprosto znajti: če ga odvijemo na ravni no, geodetke postanejo daljice. Najkrajše poti na p lašču so torej del i vijačnic . Na manj preprostih ploskvah geodetične krivulje precej težje določimo . Že na površju kvadra pogosto najkrajše poti ne vid imo na prv i po - gled, čep rav vemo, da je na posamezni stranski ploskvi le-ta daljica . Za ilust racijo si oglejmo znano Dudeneyevo uganko o muh i in pajku , objavljeno leta 1903. Prednja in zadnja stena kvadraste 10m do lge sobe sta kvadrata s 4 m dolgo stranico. Na prednji steni je 1/3 m od stropa in po 2 m od obeh stranskih sten oddaljen pajek , ki je opazil muho, ujeto na zadnji steni sobe t metra od tal in po 2 m oddaljeno od stranskih sten. Kako naj pajek pride do muhe po najkrajši poti ? Površje kvadra (sobe) razgrn imo na ravnino. Če to storimo na pravi način, se najkrajša pot poka že kot daljica od pajka do muhe . Med maloštevilnimi mrežami kvadra (ki jih dobimo, ko razgrnem o njegovo površje) ni težko najti "'-~t----- ----- PI I h M 317 ustrezne . Narisana je na sliki, ki nam pomaga določiti tudi iskano razdaljo, ta I meri 13 +m. Pajek se sprehodi kar po petih mejnih ploskovah sobe. Tudi pri ravninskih množicah včasih ni preprosto določiti najkrajše razdalje med dvema točkama. Naj bosta za zgled naslednj i vprašanji ob slikah. Na levi sliki je načrtan tloris pretirano urejenega dela velemesta, na desni pa z danimi razdaljami mreža poti med vasmi v Koromand iji. ODO B 0000 DD?CJ O DOC] A Kje vodi najkrajša pot med točkama A in B? Katera vas leži najdlje od Medoceda? Vrnimo se spet na Zemljo, poenostavljeno v kroglo. Najk rajše poti po njej že poznamo. Kako bi določili razdaljo med dvema krajema, če poznamo njuna zem ljepisna položaja - torej njuni geografski dolžini in širini? Za izra- čun bomo potrebovali nekaj znanja o osnovnih lastnost ih kotnih funkcij. Za N 318 (1)OA~ = --!!..--, cos a bralca, ki mu je ta snov domača, bosta zadostovali sliki in kratek komentar k njima. NA I = R t ga , N8 1 = Rtg~ (2) Tu je R polmer Zemlje, a zem ljepisna šir ina točke A, (3 zemljepisna širina točke 8 , z 'Y pa označ imo razl iko zemljepisnih dolži n točk A in 8. Kosinusni izrek za trikotnik NA 181 in OA 181 nam da enakosti Če vstavimo vanju zvezi (1) in (2). po kratkem računu dobimo cos 8 = cos a cos ~ + sin a sin ~ cos 'Y odkoder lahko izračunamo kot 8 in dolžino loka A8, ki meri R 8 (8 v ra- dianih). Na kr ogli ima vsaka točka svojo najbolj oddaljeno družico - imenujemo jo antipodna točka. Razdalj a med njima je poleg tega tudi največja mogoča oddaljenost med dvema točkama na krogli. Kako je s podobnimi lastnostmi pri splošni prostorski množici M? Če obstaja tako število p ~ O, da razdalja d (oziroma d M. ) med polju- bnima točkama iz .M. ne presega p , rečemo, da je .M. omejena za razdaljo d (oziroma d.M. ). Sfera je omejena za obe razdalji. Če je r polmer sfere ':! , lahko vzamemo p = 2 r pri razdalj i d in p = 11r pri razdalji d