Za Presekom je že četrt stoletja rednega izhajanja. Da bi zaznamovali ta lepi jubilej, smo prvo številko šest indvajset ega letnika sestavili nekoliko drugače kot običajno. Upamo, da bo zato še posebej všeč našim mlajšim bralcem, ki starejših letnikov Preseka ne poznajo. Pričujočo številko posvečamo številnim bivšim in sedanjim sodelav- cem: ustanoviteljem revije , avtorjem, urednikom, recenzentom in lek- torjem, tehničnim sodelavcem, risarjem, ilustratorjem in vsem ostalim, ki so kakorkoli prispevali k temu, da se je do danes nabralo Presekov za kup, visok za "celega človeka". V zahvalo za preteklo delo in kot vzpodbudo za naprej! Odgovorna urednica I PRESEK list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje 26. letnik, leto 1998/99, številka 1, strani 1-64 VSEBINA MATEMATIKA FIZIKA ASTRONOMIJA RAČUNALNIŠTVO NALOGE ZANIMIVOSTI, RAZVEDRILO NOVICE TEKMOVANJA IZ STARIH ŠTEVILK NA OVITKU Okrnjena Fibonaccijeva št evila (M itja Rosina) 20-21 Človeška moč (Janez Strnad) 2-7 Lunina kimanja (Marijan Prosen) 26-28 Srečna števila z računalnikom (Martin J uvan) 14-17 Prav posebno število! Pa je to tudi res? (Marija Vencelj) 13 Dotikajoči se krogi (Martin Juvan) 31 Velikani na Marsu (Vida Kariž Merhar) 40 Križanka "Tu smo že pe tindvajset let " (Marko Bokalič) 32-33 Slovenski d ijaki na letošnj ih olimpiadah iz matematike in fizike .. . . 7 34 . t ekmovanje za Zlato Vegovo priznanje (Aleksander Potočnik) 53-54 18. državno t ekmovanje iz fizike za Zlata Stefanova priznanja (Zlatko Bradač, Mirko Cvahte) 54-55 36 . fizikalno tekmovanje srednješolcev Slovenije (Ciril Dominko) 56-58 42 . matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije (Matjaž Željko) 58-60 19. mednarodno matematično t ekmovanje mest - reš . iz XXV/ 6 , str. 378 (Aleš Vavpetič) 61-64 ČLANKI Množenje na prste (Jože Vrabec) 10-12 Odkritje pulzarja v ostanku supernove 1987 A (Andrej Čadež) . 18-19 Zasukaj premico (Boris Lavrič) 23-25 Tri modre (Vilko Domajnko) 28-30 Metoda "ostrega pogleda" v programiranju (Tomi Dol en c) 34-37 "Breztežn o st anje" (Janez Strnad) 38-39 Obojestranska praštevila (Edvard Kramar) 42-4 3 NALOGE Poskusi - premisli - odgovori (Zvonko Trontelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Praznični okrasek (Marija Vencelj) 19 Enake vsote (Boris Lavrič) 31 Mavrična uganka (Marija Vencelj) 41 Nenavadna premica (Dušan Repovš) 41 Kriptaritem z dvema kartama (Peter Petek) 42 Preprost preizkus - napačna razlaga (Andrej Likar) 44 Ali znaš pokriti šahovsko desko z dominami? (Egon Zakrajšek) . . III RAZVEDRILO, ZANIMIVOSTI Oda kvadratni enačbi z baladnim priokusom (Tomaž Pisanski) .. . 8-9 Nevarna lit eratura (Peter Petek) 21-22 Bistrovidec (Vladimir Batagelj) 22 REŠITVE NALOG IZ STARIH ŠTEVILK 45-49 TEKMOVANJA 50-52 Presekov srebrni jubilej (I in IV foto Peter Legiša) I , II , IV Fizika I ČLOVEŠKA MOČ Pojma dela in kinetične energ ije so v fiziki razčistili šele dobrih sto let po drugem Newtonovem zakonu, čeprav je izrek o kinetični energij i neposre- den nasledek tega zakona. Vendar so že pred tem razpravlja li o delu , ki so ga imenovali napor , moment aktivnosti in še kako drugače . Morda je bil eden od razlogov takratnega povečanega zan imanja za delo t isto delo, ki ga opravi človek med delavn ikom . To je mogoče razumeti, ker so v tedanjem času v glavnem izkoriščali delo ljudi in živali. Delo so računali tako, da so silo pomnožili s potjo njenega prijemališča. Pri tem so vsaj za delo tež e uporabljali enoto kilogrammeter, kot da bi ne šlo :1:3 težo , am pak za maso. Zanimala jih je še moč, to je delo na časovno enoto. Tudi to ime se je ustalilo pozneje. Moč so dobili, ko so silo pomnožili s hitrostjo njenega prijemališča. V 17. stoletju je italijanski fiziolog Giovanni Borelli človeka obrav- naval kot sestavo vzvodov in osi. Francoz Antoine P are nt si je let a 1702 pr izadeval z mehaničnimi enačbami pojasniti delovanje telesa. Že tedaj je privlačilo pozornost vprašanj e, kolikšno delo naj bi človek opravil v delavniku, ki je tedaj navadno trajal 10 ur. Tisti , ki so resnično delali, niso računali in tistim, ki so računali , ni bilo treb a opravljati te vrste dela . Slednj i so posredovali številne podatk e, ki so se med seboj znatno razlikovali, a jih - presentlj ivo - sp loh niso poskusili poenotiti. Philippe de La Hire je let a 1699 v poročilih francoske akademije zna- nosti trdil , da človek lahko deluje na drugo te lo v vodoravni smeri s silo, ki ustreza te ži 14-kilogram ske uteži. V istem zvezku je Gu illaume Amon- tons, znan po pri spevku k plinskim zakonom, poročal , da je pri brusilcih stekla izmeri l malo manjšo silo. Brusilec naj bi s silo, ki ust reza teži 12,5-kilogramske uteži, klado s smi rkom potiska l po steklu s hit rostjo 0,49 mis po deset ur na dan. Ob moči 60 W bi tako v osmih urah opravil delo 1,7 MJ ali 0,50 kWh. Tedaj so za razdaljo up orab ljali enot i pariški čevelj (0,325 m) ali angleški čevelj (0,305 m) in za maso funt (0,5 kg) . Zmešnjavi se izognemo, če vse podatke preračunamo v naše enote in se omejimo na osemurni delavnik. Pri t em upoštevamo, da je te ža enega kilograma en aka 9,8 n ewtona. 1 MJ, m egajoule , j e milijon joulov, 1 kWh, kilowattura, pa 1000 W·3600 s, to je 3,6 MJ . Charles Augustine de Coulomb, ki je izmeril silo med naelekt renima te lesoma, je pr ed dvesto leti objavil obsežno ra ziskavo o delu človeka. Ugotovi l je, da delo razmeroma dobro izkoristi naprava, pri kateri se de- lavec po st opnicah povzpne v košaro , se z njo spusti in pr i tem dv igne br eme, malo manj še od svoje teže, se znova povzpne in to ponavlj a. Take nap rave so pogosto up orablj ali (slika 1). Pri eni od njih se je delavec v IFizika 15 minut ah dvignil za 75 metrov in pri masi 70 kg dosegel moč 86 W. Coulomb najbrž ni poznal podatka Ang leža Johna Theophila Desaguili- ersa, ki je nav edel za moč pri hoji navzgor skoraj dvakrat več, 156 W . Pač pa je zvedel od prijatelja , ki je vodil odpravo na otok Tenerife, da je njegovo moštvo doseglo višino 2923 metrov po hoji, ki je trajala 7 ur in ~. Tako je dobi l za moč rezult at 72 W in za osemurn o delo 0,58 kWh. Po Bad- jurovem vodniku po slovenskih vrho- vih naj bi se planinec v eni uri pov- zpel v povprečju za 400 m. Temu ustreza za 70-kilogramskega človeka moč 76 W. Pri osemurni hoji bi pla- nin ec opravil delo 0,61 kWh. Prijatelj J amesa Watta John Robison je navedel podatke za gu- galnici podobno črpalko . Mladenič z maso 68 kg in dodatnim bremenom 15 kg je tekal z ene strani vzvoda na drugo in poganjal črpalko z močjo 151 W . V osmih urah je opravil delo 1,2 kWh. Angleški kaznj enci so po- ganjali mlin tako, da so v vot lem va- Iju hodili na mestu. V šestih urah so se tako dvignili in spustili efekt ivno za 2630 m. Pri te m bi z močjo 83 W v osmih ur ah oprav ili delo 0,66 kWh. Povprečje starih pod atkov za moč človeka od 60 W do 156 W je 100 W , kar bi lahko imenovali človeš­ ka moč. V osemurnem delavniku bi s to močjo opravili delo 0,8 kWh. Da- nes večino dela opravijo stroj i. Po višji zimski tarifi za električno delo (16 tolarjev/ kW h) bi to stalo nekaj manj kot 13 to larjev, po nižji tarifi 3 Slika 1. Stara naprava , pri kateri se je delavec vz pe l po stopnicah na ploščad v višini L, se z njo spustil in dvigni l pri t em posodo z vodo z m alo manjšo t ežo od svo je . V višini K se je posoda spra- znila in plošča se je sp ust ila sama, ko se je delavec vz pe njal po sto pnica h , ki niso na risa ne. Fizika I pa še manj . Zar adi tega sta dandan es človeško delo in človeška moč v uporabljenem pomenu besede nep omembna. Zanimivo je zasledovati, kako so primerj ali človeka s konje m. Že pri La Hiru najdemo pod atek , da konj zmo re sedemkrat to liko kot človek, in pri Amontonsu, da zmore šestkrat to liko. Drugi so razmerje postavili med 2,5 in 14. Nekdo je pr edl agal razmerje 5,87, a je up ošteval , da konj dela na dan 8 ur , človek pa 10 ur , in t ako prišel do efekt ivnega razmerj a 4,6. Angleži so večinoma navaj ali večj e raz merje ; brez dlake na jeziku je eden od njih pojasnil , da za enega konj a zaleže 5 Angležev, a 7 Francozov ali Nizozemce v. J ames Wat t je za merjenje moči parnih stro jev vpeljal kot enoto konjsko moč, za katero je veljal dogovor , da ustreza 735 W , dokler je mednarodni sistem enot ni ukinil (slika 2). Nobe n konj ne more dalj časa delati s tolikšno močjo , zato so Wat tovo enoto nehali povezovati z močjo konj . Slika 2. Stara nap rava , ki je izkor i š č ala potisno si lo konj . P o podatkih iz druge ro ke za tako napravo je J . Watt določil konjsko moč. Fizika V štiridesetih letih prejšnj ega stoletja sta nemška zdrav nika ob misli na človeka kot stroj razvila energijski zakon. Robert Mayer je leta 1842 slutil, da se energija ohrani, čeprav je to povedal z drugimi besedami . Her- mann von Helmh oltz je najprej raz iskoval kemij ske reakcije, ki potekajo v človeškem telesu , in prišel do sklepa, da se v bistvu ne raz likujejo od reakcij v neživi nar avi. Let a 1847 je podrobno obdelal potencialno ener- gijo in jo postavil v zvezo s kinetično energijo. Tr i let a pozneje je Rudolf Clausius zapisal energijski zakon, kot ga up orablj amo v te rmodina miki .6.W n = Q + A . Sprememba not ranj e energije je enaka delu in toploti . Energijski zakon je spremenil pogled na človeško delo. Helmholtz je zapisal: "Večina fiziologov v prejšnj em st oletju in na začetku t ega [19. stolet ja] je menila , da poj ave v živih telesih določa glavni dejavnik, ki so ga imenovali "življenjska sila". [. . . ] Nasprotno pa sedanji rod trdo dela, da bi našel prave vzr oke poj avov, ki potekajo v živem telesu. Ne mislijo, da obstaja kaka druga razlika med kemijskimi in mehaničnimi pojavi v živem telesu in zunaj njega, kot tista , ki jo je mogoče pojasniti z bolj zapletenimi okoliščinami . Vid eli smo, da energijs ki zakon podpira to misel. Zakon kaže pot , po kateri to temeljno vpraš anje lahko rešimo s poskusom ." To se je zares zgodilo. Upoštevajmo zapisani energijski zakon za časovno enoto v stacionar- nih okoliščinah : Pk = PQ +P' Telo, v katerem se "not ranja energija" 1 pri kemij skih reakcijah v časovni enot i manj ša , oddaja to plotni to k in mehanično moč . Vse tri količine Pk , Pq in P so potemtakem negati vne. Oddano mehanično moč P merimo z ergomet rom, na primer z izpo- polnj eno različico sobnega kolesa z merilniki za hitrost , srčni utrip, moč. Pk določimo preko porab e kisika iz zraka , ki ga dihamo. Oddanega toplo- tnega toka ni t reba meri ti , ampak ga izračunamo kot razliko Pq = Pk - P. 1 To ni res. Delo bi morali razdeliti na delo tl aka in preostalo delo A t er ugotoviti, da se pri konst antnem tlaku vsota spremembe notranje energije in negativnega dela t laka uj em a s sprem embo en talp ije. Pk je potemtakem zmanjšanje entalpije na časovno enoto. Ker besede ent a lpij a srednješolci ne pozn aj o, jo nadome st imo z "no t ranjo ener- gijo" . Če se ne spre me ni prostornina in je delo t la ka enako nič , postanejo nar ekovaji odveč. Fizika I P or abo kisika raziščimo pri oksidacij i glukoze enega izm ed oglji kovih hi- dratov: C6 H12 0 6 + 60 2 ~ 6H2 0 + 6C 0 2 · En mol glukoze z maso 180 g porabi 6 molov kisika s prostornino 136 dm'' pri t emper aturi O °C in navadnem zračnem tlaku ter sprosti 2,87 MJ, to je preračunano na kubični decim eter kisika 2,87 MJ/ 136 = 21 kJ in na gram glukoze 2,87 MJ/ 180 = 16 kJ . Pri nesprem enj eni te mperatur i se prostornina ne spreme ni znat no, če je voda v kaplj evinskem stanj u; na začetku in na koncu imamo 6 molov plina. Pri drugih sestavinah hrane dobimo pod obne vrednosti, kot kaže prva preglednica . snov ogljikov hidrat belj akovina maščoba spreme mba "not ranje energije" na maso 17 kJ / g 18 39 sprem emba "not ranje energ ije" na prostornino kisika 21 k.l / dm'' 19 20 V povprečju sme mo računat i , da 1 dm3 porabljenega kisika ustreza 20 kJ. V podrobnosti je poraba kisika odvisna od sestava hran e. Vrhunski šport nik lahko v minu ti porabi na kilogr am mase po 70 cm:' kisika in se po te m razlikuje od zapečkarja, ki zmore le 4 desetine tega. Druga preglednica vsebuje nekaj podatkov o tem, kolik šn a je poraba kisika na kilogram mase človeka in na minuto in kolikšn a oddana me-, hanična moč . opravilo sprehod, delo doma kolesarjenj e 16 km/h, pr sno plavanj e 1,6 km/h nogomet , žaganje drv košarka dirkač na kolesu 44 km /h poraba kisika 10 cm3/kg .m 20 25 30 70 oddana moč 230 W 465 580 700 1500 Človek lahko razvije zelo veliko moč , na primer 1500 W , a le zelo kratek čas 6 s, moč 750 W zmore 1 minuto, moč 240 W zmore 35 minut in moč 150 W zm ore 5 ur. Podatki so približni in prvi zade vajo vrhunske športnike. Tudi ko počivarno in ne oddajamo mehanične moči , oddajamo toplotni tok okoli 80 W . Fizika - No vice Po ustalj eni navadi lahko določimo izkoristek človeškega stroja P/Pk. P ri kolesarj enju dosežemo 0,19, pri poti skanju vozila malo manj , pri pr e- metavanju peska z lopato pa veliko manj. J ames Joule je izkoristek konj a ocenil že leta 1864. V 24 ur ah lahko konj opravi delo 38 MJ in poje 6 kg sena in 6 kg ovsa. Na kilogram hrane odpad e t ako 3,2 MJ dela. Pri sežigu 1 kg mešanice sena in ovsa v kisiku se sprosti 12,8 MJ toplot e, tako da je izkor ist ek 3,2/12 ,8 = 0,25. Po podatkih za izkoristek sklepamo, da človeško ali živalsko te lo ne deluje podobno kot parni st roj , pri katerem je izkoristek odv isen od razlike najv išje te mperature in te mperature okolice. V takem stro ju bi morala biti te mperaturna razlika vsa j 75 sto pinj , da bi dosegel izkoristek 0,2. Tako visoke te mperature te lo ne bi pr eneslo. Delovanj e človeškega te lesa bolj spominja na galvanski člen , ki mu pogosto dodamo novo snov za elektrodi in elektrolit. Morda na podobnost s parnim st ro jem nap elje pod atek o sežigni to- ploti. Zares spremembo "not ranje energije" pr i oksidaciji navadno izme- rim o pri sežigu v kisiku. Tod a človeškemu ali živalskemu te lesu hrane ni t reba najprej sežgati in potem nastalo toploto izkoristiti , kot jo izkori sti parni stroj . Pač pa v mišicah poteka pet vrst dokaj zapletenih kemij skih reakcij . Pri t reh od njih se ob razgradnji snovi v te lesu in ob razgradnji hrane energija sprošča. Pri preostalih dveh pa na novo nast aneta snovi, ki sta se prej razgradili , za kar se porabi energija, sproščena ob raz gradnji hr ane. Precejšen del sproščene energije se porabi za delo pri krčenju mišic in nastan e precej manj toplote kot ob sežigu v kisiku. Janez Strnad SLOVENSKI DIJAKI NA LETOŠNJIH OLIMPIADAH IZ MATEMATIKE IN FIZIKE Letošnji mednarodni tekmovanji mladih iz matematike in fi- zike sta priredili dve otoški državi . Z 29. fizikalne olimpiade na Islandiji sta Matija Mazi in Martin Zadnik prinesla po- hvali , na Taj vanu pa je na 39. matematični olimpiadi Tadej Starčič osvojil bronasto medaljo, Ajd a Skarlovnik in Matjaž Titan pa sta prejela pohvali. Udeležencem , predvsem pa nagrajencem obeh olimpiad čestitamo. Iz starih številk I ODA KVADRATNI ENAČBI Z BALADNIM PRIOKUSOM Kdor s kvadratno se enačbo skuša, tole pesem naj posluša! Lepa je enačba ax 2 + bx + c = O znanka. a. b. c poznamo,x neznanka. O, algebra ljuba mamka, brž z rešitvijo postrezi in razčleni, kdaj korena sta enaka, kdaj realna, spet kompleksna; brž z rešitvijo postrezi, o, algebra ljuba maroka I In rešitev je že znana x = (-b ± 1D)/(2a), a v njej D diskriminanta vsa rešitvi je predana. Z ničlo D se neizprosno v boj junaški brez predsodka vrže nadvse ponosno! In se skušata izrodka, kdo močnejši je, kdo večji! V začetku boja sta enaka D = O Rešitev x = -b/(2a) tam sameva! Vendar, glej ga spaka! D uspeva; D > O In rešitev kar razpade kakor Pegam na dva kosa, ko ga Lambergar napade. Tu korena sta realna, nebogljena, samosvoja in vsa tuja. O, usoda, ti si kalnal Glej! I??! Boj ni končanI D omaguje! D O Korena vedno bolj sta skupaj, za hip sta eno ••• D = O je res že vse zgubljeno? Nikoli, človek, ne obupaj! Ko nič (Ol je razuzdana diskriminanto poteptala D < O iz R oba koren.. zletela sta zravnana. o,~~~omPleksna ti ravnina! V njej mir svoj prepotrebni korena bosta žila. Obdaja sinja ju modrina. Tako sta konjugiranost dobila, popolnost, da le malo takih, ju loči premica realna nikoli več ne bosta se združila. In kaj zdaj to? Je sploh mogoče!? Enačba jočel a sabotira, a - O enačba umira a se izniči, a = O in jo zmaliči ••• Prelepa ti kvadratna enačbica preudarna, usoda je zavratna. Odslej boš linearna bx + c = O Tomaž Pisanski PRESEK 1 (1973/ 74), št evilka 3 I Iz starih številk y=-3 y=O x Iz starih številk I MNOZENJE NA PRSTE 8 '----- 7 lO Vsakemu prstu na roki prire- dimo eno od števil med 6 in 10; ~ezincu 6, prstancu 7, sredincu 8 , ka z a l cu 9, palcu 10. Ne bom vas vprašal, ali znate seštevati na prste. Tako dolgo je že, odkar ste se tera naučili, da ste že pozabili, kako je b i - lo, ko še niste znali. Ali pa znate tudi množiti na prste? Seve- da, boste rekli, saj je množenje (vsaj množenje naravnih števil) le seštevanje več enakih sumandov. Na primer: 3-2 = 2 + 2 + 2 ; in ta račun je kaj lahko napraviti na prste. Toda v mislih imam drugačno tehniko množenja _ Od prej omenjene še loči predvsem v treh stvareh : hitrejša je, privede nas malo dlje kot do 10 in še daleč ni tako "sama po sebi razumljiva", kot je seštevanje na prste. Gotovo se vsakomur zdi, da bi seštevanje na prste sam odkril, če se ga ne bi bil naučil od drugih. Za metodo množenja, ki jo name- ravam opisati, pa česa takega najbrž ne boste trdili. Seveda pa je moral tudi to metodo nekdo odkriti. Kdo je to bil, ni znano, kajti metoda je stara že več tisočletij. V starih časih je bila splošno znana in baje se je ponekod ohranila prav do današnjih dni. Pa naj bo dovolj uvoda, pre- idimo k stvari . Privzeli bomo, da znamo na pamet poštevanko do 5, in pokazali, kako na prste zmnožimo dve izmed števil 6,7,8, 9,10 (za ta račun bomo potrebo- vali v resnici le poštevanko do 4). Množenje bomo razložili na primeru. Recimo, da hočemo izraču­ nati, koliko je 7·8 . Položimo obe roki predse z dlanmi obrnjenimi proti sebi. Staknimo prstanec leve roke (predstavljajoč število 7) s sredincem desne roke (število 8); sicer pa naj se prsti ne doti- kajo . Mislimo si vse prste razdeljene v tri s kupine (glej sliko): I Iz starih številk ul v prvi s kup ini naj bosta prsta, ki se dotikata, in vsi prsti pod njima; v drugi skupini prsti leve roke nad dotikajočima se prsto- ma; in v tretji s kupini prsti desne roke nad dotikajočima se prs- toma. Produkt, k i ga iščemo, je zdaj enak (število prstov v 1.skupini) x 10 + + (število prstov v 2.skupini) x (število prstov v 3.skupini); v našem primeru torej 7'B = 5'10 + 3'2 = 56. Preprosto, kajne? Z malo vaje se lahko človek tako izuri, da vidi rezultat v trenutku. Toda, ali res pride vedno pravi rezul- tat ? Poizkusimo še 9·6 : 9·6 = 5'10 + 1·4 = 54 Zdaj najbrž že verjamete v pravilnost te metode (čeprav sicer veste , da z dvema primeroma ni mogoče dokazati pravilnost kake s plošne trditve). Ce pa kdo še dvomi , naj sam preizkusi vse mož- ne primere. Gotovo ste tudi že ugotovili, da vam ta računska meto- da življenja ne bo kdo ve kako olajšala; saj najbrž obvladate po- števanko do 10 . Zabavna je pa l e! Za marsikoga bi bila s tem stvar opravljena . Za nas pa še ne sme bit i . Ne spodobi se za Presek, da s e ne bi na konc u vprašali, 112 Iz starih številk I od kod pravilnost te čarobne metode. No, odgovor je takle : metodo utemeljuje enačba, ki velja, kot se prav lahko sami prepričate, za poljubni števili x in y : (5+x)(5+y) = 10(x+y) + (5-x)(5-y) Takoj bomo pokazali zvezo med to enačbo in našo računsko metodo. Za x in y si moramo iZbrati taki števili, da bo na levi strani enačbe stal prav produkt, ki ga želimo izračunati; v našem pri- meru 7.8 bi torej vzeli x=2, y=3. Na desni strani enačbe je x+y 5-x = 5-y število prstov v 1 .skupini število prstov v 2 .skupini število prstov v 3.skupini (a+x)(a+y) = 2a(x+y) + (a-x)(a-y) Tako je stvar jasna! Seveda pa je zgornja nadomestimo spoljubnim torej enačba še vedno pravilna, če število 5 drugim številom. Za vsako število avelja Od tod lahko dobimo nova računska pravila. Na primer, če obvlada- mo poštevanko do 9, lahko dve števili med 11 in 15 zmnožimo po- dobno kot prej, le da zdaj upoštevamo relacijo, ki jo dobimo, če vstavimo v zadnjo enačbo a=10. Izračunajmo za primer 13'14: 2 13'14 = 7' 20 + 7·6 = 182 Podobno lahko množimo poljubni dve števili med 16 in 20, če pozna- mo produkt vsakih dveh števil med 10 in 14; v zgornji enačbi mora- mo vzeti a=15. In tako naprej. Po knjigi: N.A.Court, Mathematics in Fun and in Earnest . Jože Vrabec PRESEK 3 (1975/ 76), števi lka 1 I Naloge - Iz starih številk PRAV POSEBNO ŠTEVILO! PA JE TO TUDI RES? Šestmestno število 142857 ima pr esenetljivo lastnost: Če ga pomnožimo z 2, 3, 4, 5 ali 6, dobimo zapored šestmestna števila 285714, 428571 , 571428 , 714285 , 857142, ki se vsa zapišejo z natanko istimi števkami kot prvotno število. Še več! Vrstni red števk je v vseh šestih številih enak, če privzamemo, da zadnji števki v številu sledi njegova prva števka (množenje z 2, 3, 4, 5 ali 6 t orej samo ciklično permutira št evke števila 142857) . Marija Vencelj a) b) Je število 142857 nekakšen ' s lučajni čudež ' med števili ali obstaja kakšna aritmetična razlaga za opisano lastnost? Ali ima še kakšno število podobno lastnost (to je, da množenja z nekaj zaporednimi začetnimi naravnimi št evili samo ciklično permutirajo števke št evila) ? R POSKUSI - PREMISLI - ODGOVORI V prazen plastičen kozarec ali v jogurtov lonček položi surovo jajce. Nato postavi kozarec z jajcem pod vodovodno pipo in jo počasi vse bolj in bolj odpiraj. Ker bo voda pričela teči čez rob kozarca, je najprimerneje, da delaš ta poskus kar v umival niku. Pojav, ki ga boš opazil med poskusom, bo najbolj izrazi~ če je iztok vode iz pipe oddaljen od vrha plastičnega kozarca za kakšnih 10 do 15 cm. Lahko si pomagaš tako, da podaljšaš pi po z gumijasto ali s kako drugo cevjo. Dobro opazuj in nato opiši pojav ter ga poskusi razložiti . Odgovore pošljite uredništvu Preseka pod oznako PPO do 10. ok- tobra 1979. Avtorji treh najboljših odgovorov prejmejo knjižne nagrade. Zvonko Tronte~j PRESEK 7 (1979/80) , številka 1 Računalništvo I SREČNA ŠTEVILA Z RAČUNALNIKOM V predzadnji št evilki lanskega let n ika Preseka nas je pr ofesor Grasselli "poskušal" prepričat i , da je šte vilo 13 srečno (glej prispevek J. Grasselli, Nesrečno število 13 je srečno , Presek 25 (97/98) , str. 258-260). O te m , ali mu je to usp elo ali ne, ne bomo razpravljali, pogled ali pa bomo, kako lahko s pomočjo računalnika reši mo nalogo, ki jo je zastavil na koncu pri sp evka . Pred lagal je, da poiščemo vsa srečna števila do 1000. P redno pa se lot imo naloge, se spomnimo, kako sploh pridem o do srečnih št evil. Začnemo z zaporedjem vseh nar avn ih št evil 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, . . . Na prvem koraku iz zaporedja odvržemo vsa soda št evila . Ost ane zapo- redje 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, . . . Na drugem kor aku v (že zm anj šanem) zapore dju pogled amo drugo število, t o je 3, in iz zaporedja odv ržemo vsako tretje število . Ost ane 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 27, ... Na tretj em kor ak u pogledamo tretji element trenut nega zaporedja, to je 7, in iz za poredja odvržemo vsak sedmi člen . Ostane 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 27, ... Gotovo ste uganili nadalj evanj e. Na četrtem koraku pogledamo četrt i člen , ta je enak 9, in izločimo vsako deveto št evilo. Nato sledi peti korak, pa šesti it n . Št evila , ki "preživijo" prav vse kor ake, imenujemo srečna. P ostopek, ki smo ga op isali, imenujem o U1amovo rešeto . Močno spo- minja na znano Eratostenovo rešeto, s kat erim lahko določimo praštevila do neke vn aprej izbrane meje. Prepričan sem, da ste pr ogram za iskanje praštevil z Eratostenovim rešetom že kdaj napisali, saj gre za programer- ski izziv, s katerim se v mladosti sreča vsak "resen" programer. Ulamovo rešeto je sicer podobno, a vendarle nekoliko drugačno . P ri Eratost en o- vem rešetu je odločitev o tem , ali bom o šte vilo izločili ali ne, odvisna od ostanka pri deljenju, pri Ulamovem rešet u pa je kriter ij mesto št evila v že zmanjšane m za po redj u. Zato bo progr am za sejanje z Ulamovirn rešetom malce bo lj zapleten kot program za sejanje z Eratostenovim rešetom. Računalništvo Program bomo zapisali v programskem jeziku pascal. Števila , ki so kandidat i za srečna števila, bomo v programu hranili v tabeli tab. Ker bomo prvi korak sejanja opravili kar sami, bomo na začetku v tabelo vp isali liha števila. Pri tem bodo indeksi v tabeli tekli od 1 do 500, vrednost tab Ci ] pa bo 2 . i - 1. V sprernenljivki n bomo ves čas hranili podatek, koliko kandidatov za srečna števila je še v tabeli t ab. Na začetku bo n enako 500 (toliko je lihih števil do 1000). S števcem k bomo šteli korake. Začetna vrednost bo enaka 2. Jedro programa bo zanka while. V vsaki ponovitvi zanke bomo opravili en (k-t i) korak sejanja. Zanko bomo ponavljali toliko časa, dokler bo k-ti element tabele (tega bomo hranili tudi v sprernenljivki d) manjši ali enak n. Vemo, da nadaljnji koraki ne morejo več izločiti števil iz tabele, saj je v tabeli premalo števil. V vsaki ponovitvi zanke bomo iz tabele odstranili števila, ki so na mestih d, 2 . d, 3 . d , . . . To storimo tako, da števila, ki so na mestih d + 1, d + 2, .. . , 2· d - 1 pomaknemo za eno mesto v levo (v tabeli smo pred njimi odstranili eno število, in sicer tisto na mestu d}, števila na mestih 2 . d + 1, . .. , 3· d - 1 za dve mesti v levo it n . Premikanje izvedemo v zanki for , pri čemer bomo poleg števca zanke, tega bomo označili z j , uporabili še pomožni števec i. Ko j teče od vrednosti d + 1 do n , vsakič pogledamo, ali je de ljiv z d. Če je deljiv, ne storimo ničesar (pripadajoči eleme nt tabele tako preskočimo in ga s tem izločimo). Kadar pa j ni deljiv z d, pripadajoči element tabele tab premaknemo za nekaj mest naprej. Kam ga moramo prestaviti, nam pove števec i. Vsakič, ko premaknemo kak element, ta števec povečamo za ena. Kadar pa elementa ne premaknemo, to pa je vsakič, ko je j de ljiv z d, števec i dodatno zaostane še za eno mesto za števcem j . Začetna vrednost števca i bo d (na tem mestu v tabeli t ab nastane prva "luknja", ki jo je treba zapolniti) . Po koncu zanke f or seveda ne smemo pozabiti na popravek vrednosti spremenljivke n in na pripravo spremenljivk k in d za novi korak izločanja. program SrecnaStevila; { Poišče srečna števila do konstante meja. } const meja = 1000; vel = (meja + 1) div 2; { 500 } var tab: array [1..vel] of integer; {tabela s kandidati} n: integer; {koliko kandidatov je še v tabeli } k: integer; {števec korakov } d, i, j: integer; { toliko kandidatov j e "preživelo" k-ti korak} { priprava na naslednji korak } Računalništvo I begin { Zaporedje lihih naravnih šte vil do konstante m eja. } for i:=l to vel do tabli] := 2 * i - 1; n .- vel; {Po prvem korak u ostane toliko kandidatov. } k := 2; d := t abl k]; while d <= n do begin i := d; { indeks prvega šte vila, ki ga odvržemo } for j := d + 1 to n do if j mod d <> O then begin tabli] := tab[j]; i := i + 1; end; n .- i - 1; k := k + 1; d := tablk]; e n d ; {while} { Izp is srečnih števil. } for i:= l to n do wr it e (tab[i]:5); wr it eln; e n d . Pravijo, da je znanje čim več različnih jezikov v življenju zelo po- membno. No, mo rda pri tem res niso miš ljeni programski jeziki , a vseeno poskusimo gornjo rešit ev zapisati še v programskem jeziku C. Čeprav sta t ako pasca l kot C postopkovna progr amska jezika, pa je med nji ma vseeno kar nekaj raz lik. Omenimo samo nekatere, ki bo do vp liva le na zapis našega progr ama. V C-ju konstante običajno definiramo s pomočjo pred procesorjevega ukaza #define. C t udi loči male in velike črke , v navadi pa je, da s predprocesorjem definirane simbole pišemo z velikimi črkami. Tako bosta meja in vel p ost ali MEJA in VEL. Zanka for je v C-ju precej splošnejša kot v pascalu in pravzaprav ustreza pascalski zanki while (skupaj z inicializacijo spremenlj ivk) . Namesto operatorje v mod in div iz pascala imamo v C-ju op eratorj a %in / (op erator / pomeni celoštevilsko deljenj e le tedaj , kadar sta oba op eranda celošt evilska izraza; če je vsaj ede n od operandov realno število, pot em se t udi deljenje izvede v real nem). Za prirejanj e namesto := uporabljamo =, v pogojih pa za primerjanje namesto pasca lskih = in <> uporabljamo == in != . Ena od bolj zoprnih last nosti C-ja je, da se v t abelah elem enti ved no začno z indeksom O. To bo vp livalo tudi na zapis našega programa. Pri inicializaciji t abele tab bo št evec i t ekel od Odo 499, eleme nt tab [iJ pa bo na začetku dobil I Računalništvo vrednost 2 . i + 1. Tudi pri izločanju števil bomo mor ali naredit i ust rezni premik indeksov, saj d-t i element zaporedja ne bo več tab [d] , ampak t.ab Id - 1] . Tako bomo izločali eleme nte z indeksi d-l,2·d-l , . . . Tudi števec korakov k bo imel za ena manjšo vrednost . Z up orabo ope ratorja ++ bo mo zapis programa v O-ju še nekoliko "zgostili" . Vrednost izraza im e++ je (st ar a) vrednost spremenlj ivke im e, "stranski" učinek pa , da se vr ednost t e sp reme nlj ivke poveča za en a. #include 1* PoiSče srečna Stevila do konstante MEJA . *1 #define MEJA 1000 #define VEL ((MEJA + 1) I 2) 1* 500 *1 int main(void) { int tab [VEL] ; 1* tabela s kandidat i *1 int n; 1* koliko kandidatov je Se v tabeli *1 int k; 1* Stevec korakov *1 i nt d, i, j ; 1* Zaporedje lihih naravnih Stevil do konstante meja . *1 for (i = O; i < VEL; i++) tab[i] = 2 * i + l j n = VEL; 1* Po prvem kor aku ostane toliko kandidatov. *1 for (k = 1, d = tab [k] ; d <= n j k++, d = tab[k] ) { i = d - 1 ; 1* indeks prvega Stevila, ki ga odvržemo *1 for (j = d; j < n; j ++) if (j % d != d - 1) tab[i++] = tab[j]; n = i ; 1* toliko kandidatov je preživelo k-ti korak *1 } 1* Izpis srečnih Stevil . *1 for (i = Oj i < n; i++) printf(I%5d", tab[i]); printf("\n" ) ; return O; } Naj tudi sam zaključim z nalogo . Ugotovite, katero je bilo (oziroma bo) zadnje "srečno" let o v tem tisočletj u in katero bo prvo "srečno" let o v prihodnjem tisočletju . Z majhno spremembo enega od gornj ih programov tega ne bo težko storit i. Mart in Juvan Iz starih številk I ODKRITJE PULZARJA V OSTANKU SUPERNOVE 1987 A ,c"1/ r--r--,---~--,--~--, 10.tJ loj 1. 0 Oo' o, ...... ...: ... • r , : • 0 .10U.Ol vnlJna doba (SI diagramu vrtiina doba ( s) - podaljše- Astronomi, k i so opazovali na štir i metrskem daljnogledu mednarodnega obser- vatorija pr i Cerro Tololu v Čilu, so 18. januarja 1989 odkrili pulzar v ostanku supernove v Magellanovem oblaku . Njeno eksplozijo opazujejo od februarja 1987 (glej Presek letnik 16, št . 1) . Iz pribl ižno sedmih ur opazovanja so ugoto- vili, da utripa pulzar s frekvenco 1968,629 S-l . Hitrosti , s katero se zmanjšuje ta frekvenca , pa še niso izmeri li. Sij pulzarja v vidnem području se je med sedemurnim opazovanjem spreminjal med 18. in 19. magn itudo. Če upošte- vamo razdaljo do pulzarja, to pomeni, da seva v vidnem področju pribl ižno stokrat več kot Sonce. Prav verjetno je, da je pri tem pulzarju vidno sevanje le majhen del vse oddane energi je za razli ko od Sonca, kjer predstavlja vidno sevanje pr ibl ižno 30 odstotkov vse oddane energije . Frekvenca pulza rja je izredno visoka . Zato še vedno preverjajo, če niso morda zamenjal i vmesnega pulza za ponovitev osnovnega. Taka pomota bi pripisala pulzarju dvo jno fre - kvenco . Ponoven poskus opazovanja z 2,5 metrskim daljnogledom v Las Campanasu dne 31 . januarja 1989 ni uspel. Daljnogled bi mogel zaznat i pulza r, če bi imel sij 20 . magnitud , kar pa je 2,5 krat manj od najšibkejšega sija 19m izmerjenega pr i Cerro Tololu. Prvo odkritje rojstva pulzarja je za astronome zelo vesel dogodek. Saj so tak pojav že nekaj let napovedovali kot možen, nihče pa ni mogel predvide- vati, da ga bomo opazova li že tako kmalu. Zato si bom kljub skopim podatkom privoščil nekaj komentarjev . Pulzarje poznamo že dobrih dvajset let (odkriti 1967) . Kmalu po odkritju se je uveljavila hipoteza, _- 'o'" da so pu lzarji nevtronske zvezde, '.a ki ostanejo po eksploziji supernove (glej Presek letnik 3, št. 4). Mnogi po- javi so kazal i na obstoj močnih ma- gnetnih polj na pulzarjih, zato ni bilo težko pojasniti radijskega utripanja z elektromagnetnim vplivom hitro vrte- čega se magneta na okoino snov. Ma- gnetno zaviranje vrtenja se opazi kot upočasnjevanje pulzarja in ta pojav so pri pulzarjih tudi v resnici opazili. Na sliki iz leta 1985 so zbrani re- zultati meritev za 256 pulzarjev v I Iz starih številk vanje vrti Ine dobe v sekundi (s.s-1). Iz tega diagrama je razvidna določena ko- relacija (stat ist i čna zveza) med vrt ilno dobo pulzarja in hitrostjo podaljševanja te dobe. Pulzarjem , ki se hitro vrtijo, se vrtiina doba v splošnem mnogo hitreje podaljšuje kot počasnejšim pulzarjem. To lahko tudi pričakujemo, če po- mislimo, da raste navor magnetnega zaviranja z visoko potenco hitrosti vrtenja. Vidimo pa tudi, da zveza ni enolična, kar verjetno kaže, da jakost magnetnega polja ni enaka za vse pulzarje . Na žalost, novega pu lzarja še ne moremo vrisati v d iagram na sliki, ker še niso izmer ili daljšanja vrtiine dobe (za to je potreben daljši čas opazovanja) . Vendar nam že sam podatek o njegovi vrtiini dob i (to je 1/ f rekvenca - 500 Jis) namiguje, da ta pulzar precej odstopa od skup ine dosedaj znanih. Po hitrosti vrtenja bi ga raje uvrstili v drugo vrsto med tako imenovane milisekundne pulzarje: nekatere njihove predstavnike so odkrili pred pr ibližno tremi leti . Vendar pa nastanek najnovejšega pulzarja ni v skladu s predstavami o naravi milisekundnih pulzarjev. Ti naj bi po mnenju astronomov imeli tako velike hitrosti zato , ker so v tesnem paru s še eno zvezdo, ki jim stalno dodaja snov. Tirna vrtiina količina vpadajoče snovi, ki je velika, naj bi se tako prelivala v vrtilno količino pulzarja. Za tak mehanizem je na novo odkritem pulzarju malo prostora. Zato lahko s precejšnjo gotovostjo pričakujemo, da bo novi pulzar precej spremenil našo sliko o naravi teh nenavadnih zvezd. Andrej Čsde ž PRESEK 17 (1989/90), številka 2 PRAZNiČNI OKRASEK Izpod stropa sobe visi kovinski okrasek iz prečk , ribic, krogel in zvončkov . Kateri dve različni stvari , ki visita na mestu , označenem z vprašajem, držita sistem v ravnotežju? Pri tem je te ža vrvic zanemarljiva, ne pa tudi teža prečk. Marija Vencelj PRESEK 17 (1989/90), številka 2 Matematika I OKRNJENA FIBONACCIJEVA ŠTEVILA V četrti št evilki Preseka (25.letnik, 1997/ 98, str.232) vas je Sandi Klavžar ponovno seznanil z zaporedj em Fibonaccijevih šte vil. Dobimo ga z rekurzivno formu lo Fn = Fn - 2 + Fn - I ali pr eprosteje - naslednji člen zaporedja dobimo tako , da seštejemo pr ejšnj a dva člena. Če začnemo s FI = 1 in F2 = 1, dobimo zaporedje 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . . . Kot vidimo, zaporedje hit ra "zbezlja". Dosti bolj kratka zaporedja dobimo, če vsakič up oštevamo le zadnjo števko: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, O, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9, O, 9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, O, 3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1, O, (1, 1, 2, . . .) Če začnemo z drugačno vrednostj o FI in F2 , pa dobimo 2, 2, 4, 6, O, 6, 6, 2, 8, O, 8, 8, 6, 4, O, 4, 4, 8, 2, O, (2, 2, 4, ... ) ali 1, 3, 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, 9, 2, (1, 3, 4, . . .) ali 2, 6, 8, 4, (2, 6, 8, . .. ) ali 5, 5, O, (5 , 5, O, . . .) ali O, (O, O, O, . ..). Takoj opazimo, da so zaporedja periodična. To hitro razumemo. Iz dveh zaporednih števil enolično sledi nas lednje št evilo in potem vsa naslednja . Ker je različnih dvojic enomes t nih šte vil le 100, pridemo pr ej ali slej do dvoj ice, ki smo jo že imeli in od tam dalje se cikel ponovi . Mat ematika - Iz starih številk Vidimo, da ne nastane samo en cikel, ampak jih je kar šest . Njihove dolžine so 60, 20, 12, 4, 3, 1. Vsota dolžin je seveda 100, ker se mora zvrstit i sto dvoji c, vsaka samo po enkrat. Da ne more nastati samo en cikel, sledi iz naslednjega razmisleka: Če seštejemo dve lihi števili , dobimo sodo število, liho-l-sodo da liho, sod o-l-liho spet liho , liho-l-liho pa spet sodo število. Tor ej si sledijo v zap oredju po dve lihi št evili in eno sodo. Če cikel sploh vsebuje liha števila, jih je dvakrat toliko kot sodih. Če bi bil cikel en sam, bi moral vsebovati 50 lihih in 50 sodih števil, kar po prejšnj em ni mogoče . Če množimo števila v prvem zaporedju z 2, dobimo drugo zap oredje (ki porabi precej "odvečnih" sodih števil) . To zaporedje ima kraj šo peri- odo. Množenje prvega zaporedja s 5 pa nam da peto zaporedje (ki porabi "odvečne" petke, saj je prvo zap oredje izkoristilo dvakrat manj petk kot ostalih lihih števil). Zaporedje z začetkom O, O ima najkraj šo periodo. Ost aneta še dva cikla, tretji in četrti, z začetkoma 1, 3 in 2, 6. Okrnjena Fibonaccijeva št evila smo pravzaprav vp eljali z rekurzivno formulo Gn = mod([Gn _ 2 + Gn - i ], j ), j = 10. Pri tem smo z mod(N,j) označili ostanek, ki ga dobimo, če število N delimo z j . V našem primeru je vsota [Gn - 2 +Gn - i ] vedno manjša od 2j , in torej to vsoto bodisi pus timo pri miru bodisi ji odštejemo i . če dosega ali presega j . B ra lce vabim, da poiščejo zaporedja okrnjenih Fibonaccije- vih števil še za module j = 3,4,5, 6, 7,8, 9, . .. Ugotovite za vsak j , koliko ciklov dobit e in kakšni so! Računate lahko "peš", problem pa je zelo primeren t udi za računalnik , saj vam operacije mod ne bo tež ko sprogramirati , vkolikor že ni vgrajena v vaš računalnik. Mitja Rosina NEVARNA LITERATURA Matematik E. Schmidt je bil doma v Tartuju na Estonskem, delal pa j e v glay nem v Berlinu. Ko se je nekoč v začetku stoletja - torej še za časa carizma v Rusiji - vračal domov, je imel med drugimi knjigami tudi delo iz teorije množic. Vestni uradniki, ki so pazili na meji, da ne bi prišle v Rusijo ka~ šne prekucuške ideje, so v tej knj i gi na več mesti hopazil i izraz "moč mno- žice". To jim je zvenelo tako prevratniško, da so knjigo na mestu zaplenili. Iz starih številk I Schmidt je omenil to dogodivščino kolegu matematiku C. Caratheodoryju, ki je tudi delal v Berlinu, bil je Grk po rodu, Grč i j a pa j e bi l a t iste čase še pod t urškim ot omanskim imperi jem. Pet er Petek " ~lekaj podobnega se j e zgodil o tudi men;' '' j e rekel Ca ra t heodory . "Ko sem šel na obisk k sorodni kom v Grčijo, sem imel med prtljago tud i neko franco - sko knjigo o mehani ki. V knj ig i je bil omenj en st roj, ki napravi 50 vrtlja- jev v minuti (cinquant e rev oluti ons per minut e ) . Turški uradniki so mi jo ročno zaplenili, saj bi petdeset re volucij na minuto zamajalo še tako t rdno državo. " PRESEK 12 (1984/ 85) , številka 1 BISTROVIDEC[1'-- _ Po le ti 1981 j e ob iska l Lju b l j a no pr of . T. D. Pa r s a ns s Penn St a - te Univ e r s i t y , ZDA. Eno izmed nj e gov i h preda vanj je bil o pos ve- če n o prob lemu 'ubež ni kov i n zasle dova l cev'. Pr i tem je omeni l t ol e nalo go : Ravba r Hi tr i Ja ka s e j e skril pred 2 and a ~ j i v podzem s ko ja mo, katere načrt prikaz~ j e s lika : VHOD Na j ma nj kolik o ža ndar j e v je po t reb nih , da bod o lahk o za gotovo u l ovi li ra vbarja Jako, če vemo , da s o žan darji poč asnej š i? Vlad i mi r Ba ta ge l j PRESEK 9 (1981/ 82) , številka 3 I Iz starih številk ZASUKAJ PREMICO Kakšno ploskev opiše premica, ko jo sučemo okoli dane osi? Nekaj posebnih položajev premice zlahka obvladamo: a) Premica seka os vrtenja. b) Premica je vzporedna osi vrtenja . V obeh primerih premica in os ležita na skupni ravnini, zato iskano rotacijsko ploskev takoj prepoznamo: /E§57 / ~ 7 I i I i ~-.;..--: , . .>~. A plašč neomejenega dvojnega stožca A ravnina A,B premica B plašč neomejenega valja Drugače je pri splošnem položaju premice, ki ga nismo zajeli va) ali b). c) Premica in os vrtenje sta mimobelni. Tu si bomo pomagali z ravnino . ki bo Ila skozi os vrtenja, in si ogledali presek iskane rotacijske ploskve s to ravnino. Dobljena presečna krivulja namreč pri vrtenju okoli osi opiše ploskev, ki si jo [elimo ogledati. Označimo s p premico. ki jo bomo zavrteli okoli osi r. Polo!imo skozi p ravnino n, ki je vzporedna r. Pri konstrukciji te ravnine si lahko pomagamo z ugotovitvijo, da na njej ležijo vse vzporednice z r, ki sekajo p . Nato pravokotno na n postavimo ravnino . Seveda bomo enačbo zapisali v koordinatnem sistemu, s katerim smo opremil i ravnino <1> . Pravokotno na r postavimo poljubno ravnino n. Ta naj seka premice p , r , s zaporedoma v točkah P, R in S. Razmerje dolžin PS in AS zaradi lege P na prem ici p ni odvisno od izbire ravnine n, zato postavimo k = PS / AS . Z zasukom točke P okoli osi r naj P preide v točko T(x, y) krivulje K, ki leži na <1>. Poglejmo na sliko. r lxi = RT Iyl =OR Upoštevajmo tudi , da velja TR = PR in da je tr ikotnik PRS pravokoten . Dobimo x 2 = TR2 = PR2 = PS 2 + RS2 = (kAS)2 + OA2 = k 2y2 + a 2 torej je krivulja K v izbranem kocrdinatnem sistemu na <1> dana z enačbo x 2 - k2y 2 = a2. Potemtakem je K hiperbola, iskana ploskev je dobljena z rotacijo te hiperbole okrog premice r in jo zato imenujemo (enodelni) rotacijski hiperboloid. S tem smo odgovorili na uvodno vprašanje, prispevek pa sklenim z nekaj opombami in vprašanji za radovednega bralca: I Iz starih številk 1. Pot, ki naj se pripeljala do ro ta c ijskega hiperboloida , pove , da je le-ta sestavljen iz samih premic (je premonosna ploskev). Poleg prem ic, ki jih dobimo z vrtenjem pokoli r , ležijo na njem tudi premice, ki j ih dobimo z vrtenjem zrcalne slike p' prem ice p glede na <1> okol i osi r. Glej sliko. 2. Pri iz pe ljavi enačbe krivulje K smo brez besed privzeli , da premica p ni pravokotna na ravnino <1> . Kakšna je rotacijska ploskev, ki jo opiše p , če je p pravokotna na <1>? 3. Zadržimo se še nekoliko pri opisani konstrukciji . Naj bo q vzporednica s p in naj vsebuje točko O . Zasukajmo q okrog r , tako da obleži na ravnini <1> . Dokaži, da smo dobili asimptoto hiperbole K . Dvojn i stožec, ki ga opiše q pri vrtenju okoli r , imenujemo asimptotiC!ni stožec rotacijskega hiperboloida . 4. Plašč pokončnega valja z višino v naj sestavljajo napete elastične nitke, vzporedne os i valja in pritrjene na robova osnovnih ploskev valja - krogov spoimerom r . t.e zasučemo e no od osnovnih ploskev, torej krog, za pravi kot okrog središča, plašč valja preide v del rotacijskega hiperboloida. Kol ikšen je kot ob vrhu osnega preseka njegovega asimptotičnega stožča? 5. Kakšno telo opiše kocka pri vrtenju okoli svoje glavne diagonale? Boris Lavrič PRESEK 18 (1990/91), številka 3 Astronomija I LDNIN A KIMAN JA V šoli in t udi v običajnem vsakdanu pogovor večkrat nanese na Luno in posebno na to, da kaže Luna Zem lji vedno isto polovico (poluto, st ran ; pesniško obraz, lice). To drži. Zelo natančna opazovanj a pa pokažejo , da je st var le bolj zapletena . Luna kro ži okrog Zem lje. Obkroži jo v en em zvezdne m ali siderskem mesecu , to je v 27i dneva. V istem času se Luna t ud i enkrat zavrt i okrog svoje vrtilne osi. Rečemo , da sta obhodni čas in vrtilni čas Lune enaka. Če bi se Luna gibala okro g Zem lje natančno po kr ožni ci s središčem v sred i š č u Zemlje, hi kazala opazovalen na Zemlji res vseskozi isto po lovico. Luna pa se gib lje okrog Zem lje po elips i. Zemlja ne leži v sred išču elipse, ampak v enem njeni h gorišč (slika 1) . Ko je Luna na svoj em tiru v legi 1, je Zemlj i najbližja (ta točka tira se imenuje prizemUe ali perigej) , ko pa je v legi III , je od nje najdlje (odzemlje ali apogej ). Po dr ugem Kep lerj evem zako nu (poglej v kak ast ronomski učbenik ) se giblje Luna v prizemlju z največj o hitrostjo 1,09 krn / s , v od zem lju pa z najmanj šo 0,97 krn /s (povprečna hit rost na vsem t iru je 1,02 knr / s) . B II z /(opazova l išče na Ze mlji) / Lunin tir B Slika 1. K ra zlagi Luninega kirn anj a a li libracij e levo- d esno : Za rad i lažj ega razume- vanja je sploščenost e lipse p r ikaza na pre t irano . Vri sane so št ir i Lunine lege na četrt mes eca (vsakih 6 ,83 dni ) . Zemlja je na menoma n arisa na kot točka Z, ki pravza prav predstavlja opazovališče . Luna se torej giblje okro g Zem lje neenakomern o, vendar pa se (skoraj) enakomerno vrti okrog svo je vrti Ine osi. IAstronomija z Slika 2. Lunino kimanje gor-dol. Slika 3 . Polna Luna , fotografira na v različnih dnev ih. P ri pozornem pregledu fotogra fij opazimo posledico Luninih libracij - periodičnega prikimavanja in odkimavanja Lu ne okrog ravnovesn e lege zarad i: gibanja Lune po el iptičnem t iru (librac ija v do lžini - kim anje levo- desno); naklona Luninega ekvatorja proti ravnin i tira , ki je spet naklonj en k ravnin i Zeml ji nega gibanja okrog Sonca (libracija v širini - kimanje gor- do l); majhnih nepravilno st i v vrte nj u Lune kot posledice nepravilne oblike ( fizična libracija ) id r. Zato v da ljšem obdob j u vid imo več kot polovico , to je okoli 3/ 5 Luninega površja. V legi 1 vidi opazovalec Z na Zemlj i točko A v središču Lunine na- videzne ploskvice ali, kot večkrat rečemo , diska . V prvi četrt ini meseca prep otuje Luna več kot ~ obo da elipse , sa j je ob pri zemlju njena hitrost največj a. V tem času se Lun a zavrt i okrog svoje vr ti lne osi za 900 • Astronomija - Iz starih števi lk 1 V legi II opazovalec točke A ne vidi več v središču diska , ampak od njega nekoliko levo. Ob desnem Luninem robu se mu odkrijejo področja, ki prej niso bila vidna. V legi III čez pol meseca spet vidi točko A v središču diska. V bližini odzemlja se Luna giblje počasneje. Zato nar edi v tretj i četrtini meseca kraj ši lok do lege IV, ko je z Zemlj e vidna točka A nekoliko desno od središča diska, ob levem Luninem robu pa postanejo vidna prej nevidna področj a. Luna se giblje po t iru , ki je enkrat nad ravnino ekvatorja, drugič pod njo. Ko je Luna najvišje nad nebesnim ekvatorjem, vidimo nova področja ob njenem spo dnjem rob u, ko je najnižje pod ekvatorjem, pa nova področja ob zgornjem rob u. Tem ponavlj ajočim se pojavom rečemo Lunine libracije ali nihanja oz. kimanja, saj jih je več . Slika 1 natančnej e pojasnjuje le eno - libracijo v dolžini . Lunine libracije so odkrili v 17. stolet ju poljski astronom Hevelij in It alijana Riccioli in Galilei. Zarad i libracij je z Zemlje vidn e več kot polovico Lun e, ali natančno 59% njenega celotnega površja. Po zas lugi vesoljskih sond, ki so t udi fot ografirale z Zemlje nevidno st ran Lune , pa poznam o skora j celot no Lunino površje. Marijan Pros en TRI MODRE Za začetek si najprej le bežno oglejmo tri modre iz precej davnih časov . Prve modre se je domislil Kitajec Gonsung Long, ki je živel približno 200 let pred našim štetjem , za časa vladavine dinastije Zhou (beri : Cu). Takole gre: "Vzemi za laket dolgo palico in jo slehernega dne prelomi na pol. Na- slednjega dne boš dal na pol le še njeno polovičko, nato le še četrtino, ... Pa vendarle palice na tak način nikdar ne bo zmanjkalo. Niti čez desettisočgene- racij ne, ki bi morebiti nadaljevale z lomljenjem ostankov te palice." Druga modra prihaja iz glave starega Grka Zenona, ki jo je domisli l pribli- žno kakšnih 200 let pred življenjem Gonsung longa. Pravi pa takole : " Recimo, da bi rad šel po ravni črti od točke A do točke 8. Da bi prišel do 8 , moram najprej prehod iti polovico razdalje med A in 8 . Recimo - razda- ljo A-8-; . In - da bi prišel do 8 1 , moram najprej priti do 8 2 , ki leži na polovic i poti med A in 81' To lahko kar naprej ponavljam . Zmeraj je pač treba prehodi- ti najprej polovico poti pred seboj. In v okviru takšnega razmišljanja je seveda precej jasno, da se sploh nikdar ne bom premaknil z mesta v točk i A. Sleherno gibanje je torej nemogoče'" Iz starih številk --1 ali Tretja modra je zelo blizu druge. le nekaj desetletij pred Zenonom jo je povedal Demokrit. Tudi on je bil iz Grčije. "Vzemi jabolko in ga prereži na pol. Nato razpolovi dobljeno polovičko. Zatem razpolovi preostalo četrtino jabolka; zatem razpolavljaj spet in spet. Dokler gre. Povej, največ kolikokrat ti bo uspelo razpolavljati jabolko na tak način?" Pa poglejmo, koliko je skupnega v teh treh domislicah in v čem se med seboj razhajajo. Gonsung Long pravi tole: Polovica palice in še njena četrtina in še njena osmina in še njena šest- najstina in še ... - to vse skupaj (kar so ostanki pri lomljenju palice na sleher- nem izmed korakov) je zagotovo manj od začetne ene cele palice. Pa če še tako dolgo lomim in kopičim ostanke. Torej 1 1 1 1 1 - +-+-+--+-- + .... 2 4 8 16 32 1 1 1 1 1 - + -- + -- + -- + -- + 2 22 23 24 2s Tak zapis pomeni, da se vsota na levi sicer zares "zelo zelo" približa vre- dnosti 1, vendar je pa žal nikdar ne doseže. Zmeraj ji vsaj še malo manjka. Gonsung long pravi, da niti desettisoč členov v tej vsoti ni dovolj, da bi bila njena vrednost 1. Dovolj bi jih bilo kvečjemu neskončno (?) mnogo. Vsi pa vemo, da je to (neskončno) zelo zelo zelo daieči Zenon pa o istem problemu modruje iz natanko nasprotne strani. In sicer pravi takole: "Res je, da z lahkoto prehodim polovičko razdalje med A in B. Ničkoliko­ krat sem jo žel Res je, da z lahkoto prehodim tudi njeno četrtino, pa njeno osmino, njeno šestnajstino, oo. Vse to gre prav zlahka. Toda - prvi korak, tisti , prvi! Njega ne zmorem storiti. Pa saj ne, da bi bil predolg, o, ne! Prej obratno, zelo kratek bi riaj bill Toda - ne vem, kdaj ga naj storim. Brž, ko se odločim - sedaj I, spoznam, da bi že prej, še pred tem, moral storiti tistega za polovico krjšeqa , In še pred njim tistega ..." Torej drži, da bi naj bila vsota vseh teh njegovih premikov AB AB + -- +.... 32 16 AB AB AB + -- + --- + - - 8 4 2 Iz starih števi lk I kar ves premik od A do B + AB + 2 -AB če ... - če bi le bil sposoben poiskati začetek. No, sedaj pa je že jasno. Vidimo, da je Zenonova vsota povsem identična z Gonsung Longovo , le da je njen zapis zrcalen . To pa že pomeni, da oba moža- karja trdita pravzaprav eno in isto! Gonsung Long pravi, da se v njegovi vsot i na levi strani ne da priti do konca in da je zatorej treba kar v neskončnost . Zenon pa, da se v njegovi vsoti na levi ne da stopiti na začetek. Treba bi b ilo začeti v neskončnosti. To pa je zares težko, seveda! Vendar pa zaplet, ki je nastal, navidez prav presenetljivo "neproblemati- čno" razvozla Demokrit. Na prvi pogled se zdi Demokritov problem skorajda povsem enak Gonsung Longovemu. Razlika je le v tem, da Demokrit razpolavlja jabolko, Gonsung Long pa palico. Toda! Demokrit pravi, da lahko (jabolko) razpo lavljam le tako dolgo, dokler ne pridem do delca, ki je nedeljiv . Do atoma torej! ln pr i njel.1 se ves ta postopek razpolavljanja seveda ustavi . Mimogrede - z nekaj srednješolske matematične spretnosti se da brž izra- čunati, da noben Demokrit ne bi mogel jabolka razpoloviti več kakor gO-krat. Več o tem najdete v članku (2). Sklep: Pri braniu tega članka bi morda kak bralec prav zlahka zašel v nevarne miselne vode, češ - "Zdaj pa zares ne vem več, kje ima ta svet rep in kje glavo! Očitno, da je na njem prav vse mogoče ... kakor kaže modrovanje teh treh iz davnih časov. Vsak po svoje pač modruje ..." Izrek : No, no, saj tako hudo pa spet ni! Dokaz: Kajti, če bi bilo resnično vse mogoče, potem bi bilo mogoče tudi to, da bi si nekdo izmislil reč, ki si je ni mogoče izmisliti. Takšne reči si pa seveda ni mogoče izmisliti, saj si je vendar ni mogoče izmislitil Več kakor jasno! Potemtakem torej ne drži, da bi bilo na tem svetu prav zares vse mogoče. Vilko Domajnko Literatu ra: (1) Li Van , Du Shiran, Chinese Mathematics, Clarendom Press , Oxford, 1987 , str. 21 (2) Tomaž Fortuna, Demokritovo jabolko, Presek, 3 (1975176), ~t. 4, str . 177 (3) Dirk J . Struik: Kratka zgodovina matematike, DZS Ljubljana, 1978, str . 53 PRESEK 16 {1988/89}, številka 4 I Naloge - Iz starih številk DOTIKAJOČI SE KROGI Morda vam je pogled zastal na spodnjih slikah "dotikaj očih se kr ogov" . Vabim vas, da poskušate razbrat i pr avi lo, po katerem so sestavlje ni zgornji liki , in napisat i računalniški program, ki bo narisal "dot ikajoče se kroge" še višj ih redov (krogi na zgornji sliki so redov 1, 2 in 3). Če pa so vam ljubši matemat ični izzivi , izračunajte , iz koliko krogov so sestavljeni "dot ikaj oči se krogi" reda n (iz zgornje slike razb eremo, da so krogi reda 1 sestavljeni iz eneg a kro ga, krogi red a 2 iz št irih , kr ogi reda 3 pa iz t rina js t ih krogov). Martin Juvan ENAKE VSOTE Kartonlki so opremljeni s številkami od 1 do 9 in zloženi v tri stolpce, kot kale slika spodaj levo. Prestavite tri kartončke tako, da bodo stolpci ostali na svojih mestih, vsota številk pa bo v vseh treh stolpcih enaka. Seveda je flo delo gladko od rok. zato enako nalogo opravite le s kar- tončki , ki jih kale slika spodaj na desni. []~~ ~@]~ ~~~ 141021 [!J[!]~ ~~@] ~~@] 131418 Boris Lavrič PRESEK 18 (1990/91), številka 3 Zanimivosti - Razvedrilo I KRIŽANKA "TU SMO ŽE PETINDVAJSET LET" PRIHOOV REKRE DELNASELJA ŠMARJE PROSTORZ ŠPORTNIK CEBELJI NA~ PRI GROSUPLJEM NAMENOM TEKAC SAMEC TUHIBIVANJA POVAB- SL AZ1 LJENEC (J02EF NA P~~OHCETl ?• ~~~~IK GRČiJI PODOLGOVAT KOSLESA SPRAVOKOTNIM PREREZOM NASILNASKUPINA TITAN SENCEN PROSTOR GLASBENI INTERVAL GRICV JE- RUZALEMU GRODNII ~~6~ SMUCAR MASCOBNA PlAST NA POVRŠiNI MLEKA ORGANSKE SPOJINES KARBONIL- NO SKUPINO OVRATNI NAKIT NA VRVICI ?. IVO JAN VZPETINA V LJUBLJANI LJUBITELJ. NEPROFE- SIONALEC 2. OSEBA EONINE AMERCIJ VELIKA PAP1GA KAREL ERBEN ZVEZDA V ORLU (PASTIR) NAOCNIKI STRUP V TOBAKU MEHKO US~Ž IZ DIVJADI CUTILO ZAVID SKOTSKI IGRALEC (DAVIDI RDECABAR- VA KART PIANIST BERTON- CELJ IVAN KUŠCER NEM.SKL (WERNE FIN. MES TURKU I Zanimivosti - Razvedrilo AC. CENTERV Z~r UPOKOJENI ? SISTEM AMERiŠKI ? AVTOR;rAJANJU v DOl ENE PROFESOR, ANTON SPOZNANJ, NAJVECJIDESNI PRITOK TENlSAC ODPRTINA MARKONJSKi COlJNI VI INE KIOHRANI • JEGLIC VEDA VOLGE, DOLG1478 km (MARTIN) VZlDU • BOKALICNAZIV K DRVARSKI L KOPNINA,OBDANA Z DROG ZA EL VODO PLAVUENJE \ LESA REC,CAV I KlRANJU ? PISARNiŠKI USLul BE· NEC ~SIMON IC SLAP BENEŠKI OGWIKO· SAVINJE VLADAR VOO1K OKlE~i:J EM CUTILOZA C2HsSLUH NEZNANKA KITAJSKI @ ALBERT V ENACBI POLITIK EINSTEIN ~ ENLAJ ?~VANJA JED MEHKA TRINITRO· MLADA I J~~~~g;NDLAKA I CISTILNO VULKANNA SREDSTVO FILIPINIH TUKAJ UREJENA LAHKA ~ PRIPRAVA KRAK REKE NATRNKU MENAM ;A WUDSTVO \ VGANI lV. STRUPENA JA KACA ZL!T~jZ K5~~~i<1SREBROM FILISTEJSKI I:J~2~c VELIKAN PESNIK (FRAN) VECJA ? JADRNICA, SKUNER MAJHEN SESALEC SL FILMSKI GE~;tA REtJSER ~(IGOR) ASTRONOM (GEORGE) ~D, KN~~f~' K AM, RZIK s, (EDWIN) TO ST. PlOSC. BANJA MERA MRŠENJE ~ URBAN JARNIK ŠPANSKI TEl EK KRAW CESTNI CARLOS STROJ SOL @l lTARICA OWNEKISLINE Iz starih številk I METODA "OSTREGA POGLEDA" V PROGRAMIRANJU Metodo "ostrega pogleda" uporabljamo v vseh vejah znanosti, pa tudi na dru- gih področjih, ki ustvarjajo probleme. Opis metode je zelo preprost. Zastavljeni problem najprej dobro definiramo in po možnosti kam zapišemo. Nato se ostro zagledamo v njegovo definicijo. Ko ostrina pogleda doseže določeno stopnjo, se nam posveti rešitev . * Danes si bomo ogledali dva problema. Za oba obstajata preprosti rešitvi po načelu "kar mi najprej pade na pamet" ali "z glavo skozi zid". Vendar so taki postopki po pravilu potratni , kar bomo ugotovili z oceno časovne zahtev- nosti (pojem časovne zahtevnosti smo že spoznali v Preseku XIV/2). Potem si bomo problem ostro ogledali in sestavili kratka, elegantna in predvsem učinko­ vita postopka za njuno reševanje. Poskusite z reševanjem tudi sami, še preden preberete prvo rešitev! Naloga 1. Tabelo a z n elementi krožno premakni v levo za k mest. Če je npr . n = 10, k =3 in tabela a ABCDEFGHIJ je po končani operaciji tabela atakale : DEFGHIJABC Pri reševanju ne smemo uporabljati dodatnih tabel. Rešitev , ki se je dokaj hitro spomnimo, je naslednja: napišemo del pro- grama, ki tabelo krožno premakne za eno mesto v levo, nato pa ga uporabimo k-krat na isti tabeli . for j := 1 to k do begin pom := a [ 1 ]; for i:= 2 to n do a [ i - 1 ] := a [ i ]; a [ n ] := pom; end; Brez težav analize lahko ugotovimo, da je število korakov (stavkov, ki se izvrši- jo) v tem programu približno k ,. n. Ker k ni fiksen, vzamemo kar njegovo povprečno velikost n/2. Število korakov je torej neka kvadratna funkcija (poli- nom) spremenljivke n. Tako ocenimo, da je čas izvajanja programa sorazmeren kvadratu števila podatkov, kar zapišemo kot O(n 2 ) . To pomeni, da program za * Metoda je seveda zasnovana optimistično. Kot bomo spoznali veni od naslednjih številk Preseka, samo od rešitve toliko dlje, kolikor bolj gledamo naravnost vanjo. I Iz starih števi lk obdelavo dvakrat večjega števila podatkov porabi štirikrat več časa. Rad i bi našli hitrejš i postopek, pri katerem bi čas rasel sorazmerno s količino po - datkov . Zato se ostro zazremo v problem in opazimo naslednje. Vzemimo podpro- gram Obrni, ki zrcali poljuben podvektor tabele a (npr. ABC -s- CBA). Najprej zrcalimo prvi del tabele (od prvega do k-tega elementa). nato ostanek, na koncu celotno tabelo. In glej! Krožni premik je opravljen. Oglejmo si na prej- šnjem primeru, kako to poteka . Obrni (1, k); Obrni (k + 1, nj; Obrni (1, nj; Tudi podprogram Obrni ne dela težav . ABCDEFGHIJ CBADEFGHIJ CBAJIHGFED DEFGHIJABC procedure Obrni (prvi, zadnji : integer); var i : integer; pom: char; begin for i := prvi to (prvi+zadnji-l) div 2 do begin {zamenjaj i pom := a [ i l; a [ i 1:= zadnji-i+l; a [ zadnji-i+l 1:= pom; end; end; {Obrni} Poskusi ugotoviti, kakšna je časovna verjetnost tega postopka! Naloga 2. Dana je tabela avelikosti n, ki vsebuje celoštevilčne vrednosti. Poiš či največjo vsoto, ki jo lahko dobimo s seštevanjem členov nekega strnje- nega podzaporedja v tej tabeli. Če je torej vhodna tabela 55 -14 -100 11 13 -17 8 44 -16 2 je rešitev vsota elementov a [ 4 1., a [ 8 l, to je 59. Problem je seveda povsem preprost, če v tabeli ni negativnih števu, saj je iskana število kar vsota vseh elementov tabele . Težave nastanejo , ko naletimo na negativno število - se ga splača vključiti v podzaporedje? Privzemimo, da je iskana vsota enaka O, če v tabeli nastopajo le negativna števila. Seveda lahko takoj zapišemo " but n- verz ijo" programa: za vsak par indeksov levi in desni (1 < = levi < = desni < = n) izračunamo vsoto a [ levi..desni 1in pogledamo, če je večja od doslej največje vsote. Ustrezni del programa v pascalu je kratek in lahko razumljiv: Iz starih številk I maxVsota := o; for levi := 1 to n do for desni := levi to n do begin vsota := O; for i := levi to desni do vsota := vsota + a [ i ] { zdaj je to vsota podzaporedja a [ levi..desni] ~ if vsota> maxVsota then maxVsota ;= vsota; end; write ('Iskana vsota je " maxVsota) ; Vendar pa je ta postopek časovno zelo potraten, kar bomo takoj ugotovili. Iz programa lahko razberemo, da se zunanja zanka "obrne" ravno n-krat, pri tem pa se vsakič (n-Ievi)-krat izvede druga zanka. Torej je število izvajanj notra- njega sklopa stavkov (med begin in end) približno n2 /2, torej O(n 2 1. sam sklop pa zahteva zase O(n) časa (notranja zanka v njem ima največ n korakov). Tako smo ugotovili, da celotni postopek potrebuje za izračun rezultata O(n 3 ) kora- kov. To pa pomeni, da se število korakov programa - in s tem čas izvajanja- poveča tisočkrat, če vhodno tabelo desetkrat podaljšamo, ali drugače: če bi kak računalnik opravil s tabelo desetih elementov v npr. 10 milisekundah (kar je zmerna hitrost), bi za tisoč elementov potreboval skoraj tri ure! Torej se zazrimo zopet v problem. Zgornji postopek se očitno da izboljšati . Delnih vsot ni treba računati vsa- kič na novo, saj lahko vsoto zaporedja a [ levi..desni 1izračunamo tako, da vsoti elementov a [ levi..desni-l 1prištejemo še vrednost a [ desni l. Tako smo se znebili notranje zanke in zmanjšali število vseh operacij na O(n 2 l. maxVsota := o; for levi ;= 1 to n do vsota ;= O; for desni ;= levi to n do begin vsota ;= vsota + a [ i ]; l zdaj je ta vsota podzaporedja a [ levi..desni 1} if vsota> maxVsota then maxVsota := vsota; end; write ('Iskana vsota je " maxVsotal; Dobljeni programček je že prav simpatičen in smo z njim lahko kar zadovoljni. Vendar pa nam žilica ne da miru. Ali bi postopek lahko še pospešili? Razmišljamo takole: če poznamo rešitev za tabelo a [Li - 1 l, kako bi I Iz starih številk dobili rešitev za razširjeno tabelo a [ 1 .. i ] ? Ta pristop je pogosto uporaben, kadar imamo opravka s tabelami. Za naš primer velja naslednje: podzaporedje z maksimalno vsoto v tabeli z i elementi lahko vsebuje novi (j-ti) element ali pa ne. Zato ves čas spremljamo dve spremenljivki: maxDoslej pove, koliko zna- ša rezultat za že obdelani kos tabele, maxDesni pa je največja vsota takega pod- zaporedja, ki vsebuje skrajni desni element tega kosa. To si lahko ogledamo na primeru: 1 2 3 -10 1 2 ? maxDoslej =6, maxDesni =3 Ko tabelo razširimo, se vrednosti mexoesni poveča za vrednost novega elemen- ta (razen če bi tako postala negativna - v tem primeru dobi v skladu z našim dogovorom vrednost O) . Če je s tem postala večja od maxDoslej, popravimo tudi to spremenljivko. Ko dosežemo konec tabele, je maxDoslej iskani rezultat . Zapis programa je zelo kratek: maxDoslej := O; maxDesni := O; for i .= 1 to n do begin maxDesni := maxDesni + a [ i ]; it maxDesni maxDoslej then maxDoslej :=maxDesni; end; write ('Iskana vsota je " maxDoslej) ; Iz programa lahko hitro razberemo, koliko časa porabi: edina zanka se obrne natanko n-krat, znotraj nje pa ni stavkov , katerih izvršitev bi bila odvisna od števila podatkov. Maksimalni čas izvajanja programa je torej D(n). Kaj smo z izboljšavo postopka pridobili razen očitne "elegance" progra- ma? Oglejmo si to na nekoliko pretiranem primeru. Če gornji postopek razu- memo, lahko s papirjem in svinčnikom izračunamo rezultat za tabelo z deseti - mi elementi v približno eni minuti. Za sto elementov bi potrebovali deset mi- nut, za tisoč pa uro in štirideset minut - če bi imeli potrpežljivost računo­ vodje. In že smo prehiteli računalnik, ki računa po prvotnem postopku! Pa tudi za 10000 elementov bi naš pridni računovodja potreboval le 17 ur ali dva zelo delovna dneva, medtem ko bi se računalnik mučil več kot tri mesece! Se pa že splača malo "ostreje pogledati" problem, mar ne? Tomi Dolenc PRESEK 15 (1987/88), številka 4 Iz starih številk I "BREZTEŽNO STANJE" Kamen. ki ga spus timo z okna. prosto pada. Ni težko izračunati. kolikšen čas pada . če poznam o višino okna nad tlemi in zanernarimo zračni upor . Uporab imo pač enačbo za enakomerno pospešeno gibanje. Tudi drugi kamen. ki ga spustimo z okna. prosto pada. enako kot pada prvi. Ko spustimo z okna oba kamna. oba enako padata in oba hkrati zadeneta tla. če smo ju spustili sočasno . Kamen glede na drugi kamen med padanjem miruje. Ce bi človek. ki prosto pada. iz rok spustil kamen. bi oba . človek in kamen. padala enako hitro . Le bi bila tedaj človek in kamen v zaprtem prostoru . bi človek lahko mislil. da mirujeta (ali se gibljeta premo enakomerno) daleč od vseh drugih teles. Na to ugotovitev se opira Einsteinova splošne teorija relativnosti. Ta teorija gravitacije. v kateri lahko vidimo izpopolnitev Newtonovega gravitacijskega zakona. je sicer zelo zapletena. Kot vidimo. pa enega od njenih dveh osnovnih načel ni težko razumeti. To načelo povemo lahko na več načinov . Nsčelo o univerzalnosti prostega padanja pravi. da padajo v določeni točki vsa telesa z enakim pospeškom . ki ni odvisen od njihove sestave . Nsčelo o ekvivalentnosti pravi. da se težka masa . ki meri odziv telesa na gravitacijo drugih teles. na primer na težo na površju zemlje. ujema z vztrajnostno maso. ki meri upor telesa proti pospeševanju. Za prosto padajoče skupino teles veljajo enaki zakoni fizike kot za sku pino teles. ki je tako daleč od vseh drugih teles. da ni treba upoštevati njihovega delovanja. Učinek gravitacije in učinek pospešenega gibanja se izravnata . Albert Einstein je pripovedoval. da je leta 1907 sedel v stolu v bernskem patentnem uradu. ko se mu je nenadoma utrnila misel: "Le nekdo prosto pada. ne čuti svoje teže." Pozneje jo je imenoval "najsrečnejšo misel svojega življenja". Za opazovalca . ki prosto pada . v njegovi neposredn i okolici ni učinkov gravitacije. Le vrže nekaj teles. ta glede nanj mirujejo ali se gibljejo premo enakomerno . Opazovalec ima pravico reči. da miruje. Gravitacijsko polje obstaja samo relativno. podobno kot obstaja pri indukciji električno polje samo za opazovalca . ki se giblje glede na magnet. V Preseku ne moremo dalje zasledovati splošne teorije relativnosti. Lahko pa nekaj povemo o gibanju teles v prosto padajočem laboratoriju . V tem laboratoriju. pa naj prosto pada kot dvigalo. ki se je pokvarilo. kot letalo. ki so mu prenehali delovati motorji (glej Presek 15 (1987 j88) 369) . ali kot umetni satelit. prosta telesa mirujejo. ker padajo z enakim pospeškom kot laboratorij . Navado imamo reči. da so telesa v tem laboratoriju v breztežnem stanju . Pri tem moramo biti previdni: ne smemo trditi . da je pospešek teles glede na laboratorij natančno enak nič . Zaradi upora in trenja padajočega I Iz starih številk dvigala. zaradi upora letala ali zaradi gravitacije med telesi laboratorija. lahko dosežemo milijonino ali nekaj milijonin zemeljskega teznega pospeška. Zato raje govorimo o mikrogravitaciji. Umetnih satelitov si ne more privoščiti vsakdo. Prosto padajoči labora- torij "kot pokvarjeno dvigalo" je dosti cenejši. Toda laboratorij je treba prej ali slej zavreti in čas izvajanja poskusov je omejen (kot na letalu z ugasnjenimi motorji) . Zanimiva raziskovalna ustanova Center za uporabno vesoljsko teh- nologijo in mikrogravitacijo deluje od leta 1985 v Bremnu v ZR Nem- čiji . Njegov del je 144 metrov vi- soki stolp . V stolpu je 110 metrov visoka cev s premerom 3.5 metra. iz katere močne črpalke v poldrugi uri izsesajo zrak do tlaka stotisočine milibara. Tako bo mogoče v cevi narediti na dan tri poskuse. pri ka- terih bo posebej oblikovana posoda okoli 4.7 sekund prosto padala. Te- lesa v njej se bodo glede na posodo gibala nepospešeno. po domače - dosegla bodo breztežno stanje. Na- tančneje moramo reči, da bo njihov pospešek glede na posodo manjši od milijonine do stotisočine pospeš- ka prostega padanja. V posodi so nameščeni računalniki in naprave za merjenje in zapisovanje podatkov. Poskusom je namenjena notranjost posode s premerom 40 centimetrov in višino 2 metra. ki lahko sprejme naprave z maso do 200 kilogramov. Potem. ko posodo na vrhu sprožijo. prosto pada. Na dnu stolpa se zaustavi v 8 metrov visokem prostoru zdrobnim polistirenskim prahom. Med padanjem posode nameravajo proučevati vprašanja hidrodinamike. fizike zgorevanja in materiale v breztežnern stanju. To je povezano z izbiro najugodnejših možnosti pri vesoljskih poletih . Naprava naj bi začela delovati ob koncu prejšnjega leta. Pozneje mislijo podvojiti čas trajanja poskusov tako. da bodo posodo z napravami izstrelili z dna stolpa do vrha. od koder bo prosto padala do dna. Janez Strnad PRESEK 17 (1989/90), števi lka 5 Zan imivosti - Razvedrilo I VELIKANI NA MARSU Ob pristanku Pathfinderja na Marsu smo o t em planetu veliko slišali . Ve- liko je bilo tudi ugib anj o tem , ali obstaja na njem kakšna ob lika življenja ali ne. V tovrstna ugibanj a se na tem mestu ne bomo spuščali, poglejmo pa le, kako veliki bi bili Marsovci, če bi imeli enako konsti tucijo in enake snovne lastnosti kot . Zemlj ani. Seveda bomo predpostavili t udi, da so pogoji za življenje na Marsu enaki kot na Zemlj i. Mars si torej pr edstavljajmo kot pomanjšano Zemljo. Njegov pr emer je namreč enak 0,54 polmera Zemlj e, tež ni pospešek na površini Marsa pa je petina Zemljinega. Razmislimo še, od česa je odvisna višina pov- prečnega Zemlj ana oz. povprečnega Marsovca . Noge so tiste, ki moraj o nositi celotno težo telesa. Če bi bila teža človeka pr evelika , bi se mu noge zlomile, če pa bi bila pr emajhna , bi imel človek povsem drugačno konsti- t ucijo. Sklepamo, da je višina povprečnega človeka sorazmerna razmerju njegove teže Fg in pr eseka S : t eža telesa = Fg = pgh S = pgh . (1) pr esek nosilnih delov telesa S S Pri tem smo s h označili višino povprečnega Zemlj an a, z p povprečno gostoto človeškega t elesa , z 9 pa težni pospešek na površini Zemlj e. Napišim o kvocient (Fg/ S)m še za Marsovčka: (2) (3) V tej enačbi nam gm pomeni tež ni pospešek na površini Marsa, hm pa je višina povprečnega Marsovčka. Višin a hm pa je t isti pod atek , ki nas zan ima. Predpostavili smo , da imata Zemlj an in Marsovček enako mejo trdno- st i, torej st a kvocienta Fg / S za oba enaka . Zato dobimo, ko izenačimo enačbi (1) in (2) , za višino Marsovčka izraz: 9hm = - h o gm V to enačbo vstavimo 9 = 10 m/ s2 in gm = 2 m/s2 ter dobimo oceno za višino povprečnega Marsovčka hm = 5h. Če je višina povprečnega Zemljana 170 cm, bi bil povprečni Marsovček visok kar 850 cm . Z Marsovčki oz. kar Marsovci to rej ne bi bilo dobro igrati košarke! Vida K anž Merhar Marija Vencelj I Iz starih št evilk MAVRIČNA UGANKA Zadnjega šolskega dne opoldne sta se s spričevaloma v torbah skupaj vračala iz šole Špela in Janez. Nenadoma je skozi dež posijalo sonce. Janez je vzkliknil: " Glej, mavrica!" "Lažeš!" je odvrnila Špela in se ni niti ozrla. - Kako je Špela vedela , da jo hoče Janez potegniti? ".~ ~ I ti ~ eh PRESEK 17 (1989/90) , številka 2 NENAVADNA PREMICA* Znotraj kocke z robom a se nahaja nekaj krogel s skupno površ! no S, ki je večja od na 2 • Dokaži, da obstaja premica, ki seka vsaj [~] + 1 teh krogel in je pravokotna na eno stransko plQ skev. (Oglati oklepaj [x] pomeni največje celo število, ki ne presega realnega števila x.) Duifan Repovif * Prispevek je ilustriral Božo KOB PRESEK 7 (1979/ 80), številka 2 I 42 Iz starih številk I KRIPTARITEM Z DVEMA KARTAMA V kriptaritmu - skrivnostnem računu - pomeni ista črka vedno isto številko, različne črke različne številke. Kaj se skriva za zapisom AS S = FANT Rešitve nam pošljite do 1. 4. z oznako "za PIRH • Peter Petek PR ESEK 12 (19S4/S5), številka 3 OBOJESTRANSKA PRAšTEVILA * Praštevilo je naravno število, večje od 1, ki jedeljivo le z 1 in s samim seboj . Taka štev ila so na primer 2, 7, 41 in 173 . Oboje- stransko p ra ~ t e v i l o pa imenujmo praštevilo, ki ostane praštevi- lo, tudi če ga zapišemo v obratnem vrstnem redu. Na primer šte- vilo 13 je že tak o, saj je tudi 31 praštevilo . Izkaže se, da je takih števil kar precej. Očitno so vsa enomest- na praštevila, to je 2, 3, 5 in 7, obojestranska praštevila. Dvo- mestnih takih števil je devet, tromestnih pa kar 43, med štiri- in večmestnimi pa jih je še mnogo več. Za zgled jih zapišimo še nekaj: 11, 13, 101, 333, 337, 769, 1283, 39397 in tako dalje . Večmestna obojestran ska praštevila se lahko začenjajo le s .te- vili 1,3,7 ali 9. Zakaj? Nekatera med omenjenimi števili imajo še eno lepo lastnost, n~M­ reč ne spremenijo se, četudi jih zapišemo v obratnem vrstnem re- du, imenujmo jih s imetrična prašteviZa. Taka števila so na pri- mer 11,101 in 383. Tudi simetričnih praštevil je veliko. Edino dvomestno tako število je 11, tromestnih simetričnih praštevil je 15, petmestnih 93, medtem ko štirimestnega simetričnega pra- števila ni nobeneqa. Slednje je sicer malo presenetljivo, vendar bomo dokazali splošno ugotovitev: Razen ~tevila 11 ni nobene~a simetrianega pra~tevila zapisanega s sodim ~tevilc~ deaimaZnih mest. * te je komu všeč, lahko taka števila imenuje o li ve t ~a rp praštevila . I Iz starih števi lk Preden bomo to uqotovili, dokažimo, da je vsako število oblike 10 2m- 1 + 1, m s 1, 2, ... deljivo z 11. Uporabimo matematično i ndukc i j o (glej Presek V/2). Za m s 1 je to očitno res, naj bo 102m- 1 + 1 s 11k , k E N in si oglejmo, kaj dobimo, če m zamenja- mo z m + 1 : EJ2 ( m+l ) - 1 + 1 s 10 2(10 2m- 1 + 1) - 99 s 10 2.11 k - 99 . To število pa je zODet deljivo z 11. Oglejmo si sedaj desetiški zapis simetričneQa 2n-mestnega števila ... +a2 . 10 + al Zapišimo zgornji izraz malo drugače N = a d 102n- 1+1) + 10a 2(10 2n- 3+1) + .oo + Ke r so po dokazanem vsa števila v oklepajih deljiva z 11, je tu- di število N deljivo z 11 in torej ne more biti praštevilo, ra- zen seveda, če je N = 11. Iz obojestranskih praštevil lahko poskusimo sestavljati kvadrat- ne sheme z lastnost jo, da kakorkoli preberemo število v njih, vedno dobimo praštevilo. Primer ta ke sheme, sestavljene iz dvo- mestnih števil, je 1 3 7 1 Kakorkoli preberemo število v nJeJ, vodoravno, navpično ali po diaqonali v kakršnikoli smeri, vedno dobimo nraštevilo. Primer take~a kvadrata, sestavljenega iz štirimestnih praštevil , je tudi 3 9 1 1 7 5 2 9 1 5 8 3 9 1 3 3 Nasploh pa je kar težko najti kvadratno shemo števil s tako le- pimi lastnostmi. Nekoliko lažje j e najti kvadratno shemo pra- števil, če zahtevamo, da je število praštevilo le v primeru, ko ga preberemo po vrstici ali stol pcu v poljubni smeri. Posku- si najti sam kakšneqa od teh! Edvar d Kramar PRESEK 10 (1982/83), številka 4- Iz starih številk I POSKUSI - PREMISLI - ODGOVORI I~-------------- PREPROST POSKUS - NAPACNA RAZLAGA ~ o pot naredimo eksperiment , ki ga najdemo opisanega v starej- ših učbenikih kemije. V umivalnik nalijemo vodo. Na vodo polo- žimo kos lesa - ladjico, nanjo pa navpično pritrdimo kraj~o svečo . Najlažje jo prilepimo s kapljajočim parafinom, ko jo prižgemo. Večji kozarec (mogoče tak za vlaganje zelenjave) nato poveznemo na ladjico s svečo in sicer tako, da potopimo rob ko- zarca v vodo. Tako zapremo dostop svežemu zraku v kozarec. Sve- ča porabi ves kisik, ki je bil v zraku, in ugasne.Ker v povez- njenem kozarcu ni več kisika, ga nadomesti voda iz umivalnika . Res se vodna gladina v kozarcu dvigne in sicer za približno 1/5 dela prostornine kozarca. Ker je v zraku približno 20 volumskih odstotkov kisika, sklepajo iz tega, da s tem poskusom lepo pri- kažemo kolikšen prostorninski del kisika je v zraku . Razlaga, ki smo jo dali, je hudo sumljiva . Bralce pozivamo, naj poiščejo šibke točke naše razlage . Izmislijo naj si poskuse, ki bodo podpirali njihove argumente . Kako pa bi morali narediti tak poskus, da bi bil še vedno preprost, a "čist", se pravi brez napačnih trditev? Odgovore pošljite najkasneje do l. avgusta letos. Najpopolnejše odgovore bomo nagradili. Andrej Likar 1 I , PRESEK 8 (1980/81), številka 4 I Iz starih številk REŠITVE NALOG IZ STARIH ŠTEVILK POSKUSI - PREMISLI - ODGOVORI Deset bralcev nam je pos lalo opis posku sa , ki smo vam ga zast~ vili v 1. le tošnj i številki Prese ka. Osmim se je poskus posre- č il i n vsi ste ga prav opisal i. Ma l o tež je j e bilo ra zložiti poskus i n še najbolj smo bili zadovoljni z odgovorom Damjana Kobala iz gimnazije v Ajdovščini. Knjižno nagrado Leksikon Ca~ karjeve založbe - Fiz ika bo prejel po pošti . Zakaj se v kozarcu dvigne in ostane v tem položaju sveže, suro vo jajce, na katerega teče primeren cure k vode iz vodovodne p! pe? Upoštevati moramo sledeče : - Ob lika j ajca . Vodni tok se na vrhu jajca razdel i in obl iva jajce . - Ob li k a k o z ar c a. Tudi oblika kozarca pomaga pri usmerjanju vodnega toka . Zanimivo je, da poskus ne uspe v veliki posodi . - Vodnemu to ku ob jajcu na jlaže sledimo , č e s pipeto vnesemo v vodo par kap ljic barvila (tudi običajno črnilo je dobro). Ko j e vodni to k iz pipe stalen, - pravimo, da smo dosegl i stacio- narno stanje - obstane jajce v pokončni legi. Opazimo tudi , da je tok vode ob jaj cu največkrat nesimetr ičen glede na navp i čno os i n j ajc e je pomaknjeno proti robu koza rca . Vodni tok se st! sne med j a j ce i n koza r ec, zato je t am hit ros t vode večja kot ob drugih delih jajca . Po Bernoullijevi enačbi je v zoženem prostoru med jajcem in koza r cem tlak manjši ko t drugod v okol! c i j aj ca . Sile za radi tlačnih raz lik urav novesijo majhno razli ko med te žo jajca i n vzgonom . Gostota svežega, surovega j a j ca j e samo malo večja od gostote vode . Jajce tako ostane na po vr~ j u, del ga celo g1ed a i z vod e . Zvonko Tr onteZj PRESEK 7 (1979/ 80), številka 3 PRAZNiČNI OKRASEK _ 0' _ Krogia in ribica. Marija Vencelj PRESEK 17 (1989/ 90), številka 2 Iz starih števi lk I ENAKE VSOT E Leva naloga : Sedmico iz prvega st o lpca nadomestite z osmico. le-to pa z dvojko . Namesto dvojke postavite sedmico. Desna naloga: Šestico v tretjem stolpcu nadomestite s štirico, le-to s sedmico, namesto sedmice pa postavite primerno obrnjen kartonček s šestico - torej zdevetico. Boris Lavrič PRESEK 18 (1990j 91) , številka 6 MAVRIČNA UGANKA Po imenih sodeč hod ita sošolca v šolo nekje v Sloveniji , ki leži vsa med 45° in 47° severne zemljepisne širine. Zadnji šolski dan je v drugi polovici junija, takrat pa je na tej zemljepisni širini opoldne sonce tako visoko na nebu, da bi bila vsa mavrica pod obzorjem . Špela je videla, kako visoko je sonce, in ker bere Presek, takoj vedela. da mavrice ne more videti .* Marija Vencelj PRESEK 17 (1989j 90), številka 2 NENAVADNA PREMICA Vzemimo nasprotno, da taka premi ca ne obstaja. Projiciramo vse krogle na eno od stranskih ploskev kocke. Potem je vsaka točka te ploskve prekrita z največ projek cijami, ker bi v nasprotnem primeru veni i zmed toč k na tej stranski ploskvi obs tajala no rmala, ki bi se kala vsaj [~] + 1 kroglo , kar pa bi bilo se-ve v na sp r otju z našo pred- postavk o . * V 2. šte vilki 17 . letnik a Preseka izvemo v č la nku Marije Vencelj: Glej, mavrica!, da mavrice ne moremo videt i, če je sonce več kot 42° nad obzorje m. I Iz starih števi lk To pa pomeni , da je vsota vseh plo ščin projekcij, torej plo š či na vse h velikih kr ogov ( glavnih krogov) teh kr oge l p ~ [ ~]a 2 . Ker je pov rši na kro gle 4 kra t več ja od pl o š či n e njenega glavnega kroga, j e res ka r pa je v oč itnem protislavju s predpostav ka, da ta površina presega na 2 . Torej iskana normala vedno obstaj a - vedn o lah- ko najdemo premico z zahtevano lastnost jo . Du šan Repovš PR ESEK 7 (1979/80) , številka 2 Kriptaritem Z dvema kartama Objavljamo rešitev, ki jo je poslala Martina Knapp: Največje število, ki ga potenciramo in še dobimo štirimestno število, je 21 3 • Potenčni eksponent mora biti večji od 1, torej je lahko 2 ali 3 . Ostanejo nam še naslednje možnosti: Če te vrednosti izračunamo, 1i~ = 144,322 = 1024,422 = 1764,522 = 2704, 62 2 = 3844, 722 = 5184,822 = 6724,922 = 8464 in 133 = 2197 , vidimo, da le število 133 ustreza kriptaritmu. PRESEK 13 (1985/86), številka 1 PREPROST POSKUS - NAPACNA RAZLAGA Na vpr aš anj e , ki smo vam ga zastavili v 4 . številki lanskega letnika Preseka, smo prejeli tri odgovore. Pravilno sta razu- mela vprašanje in nanj odgovorila Aleš Jesenše k iz Litije in Matija Drobnič i z Ljubljane . Zarad i izč rpn osti s kora j v ce lo t i objavljamo Alešev odgovor . Iz starih številk I "Sprememba prostornine, ki jo običajno opazujemo pr i opisanem poskusu je predvsem posled ica r a z t e zanj a in krčenja z r a ka. Pri gorenju sveče se sproš ča toplota, ki pov zroči, da nam zrak za- radi raztezanja uhaja iz koza r ca . Ko plamen ugasne, se zrak o- hladi in voda napolni preostalo prostornino . Izid poskusa je odvisen od tega, koliko vročega zraka zajamemo, ko pokrijemo svečo in od tega koliko zraka uide i z kozarca zaradi segrevanja med pokrivanjem. Najbolj se dvigne voda, če pokrijemo svečo po- časi, da se zrak v čaši pošteno segreje. Skoraj nič pa, č e jo potisnemo pod kozarec, ki je že na pol v vodi. Pri gorenju sve- če nastajata namreč oglji kov dioksid in voda . Ogljikov dio ksid skoraj povsem nadomesti porabljeni ki s ik , voda pa se kondenzira . Vodna gladina se zato dvigne le za malenkost . ee hočemo pokaza- ti porabo kisika v kozarcu, moramo oks i di r a ti sn ov, ki pr i r e - akciji ne oddaja plinov . Podvomil pa sem, da bi mogla sve ča pod koza rc em porabit i ves kisik." Aleš predlaga napre j, da bi v koza rcu pos kusili z oks idacijo železne volne. Predlaga, da bi jo za žgal i s pomočjo električ ­ nega toka iz baterije . Na žalost ne pove, ali je ta poskus na - redil. Prav gotovo pa bi lah ko z železno volno poka zal i porabo kisika , če bi jo pustili nekaj dni ovla ženo v kozar cu. Pr i po- čas nem rjavenju bi volna posrkala ves kisik iz zrak a. Aleš ima prav, ko dvomi, da bi lahko sveča posrkala i z zra ka ves kisik . Gorenje je buren pojav, ki pa brž zamre, ko je ki - sika premalo. ~e bolje bi bilo, da bi svečo prižgali pod poveznjenim kozar- cem na električni način. Okoli stenja navijemo tanko žič ko iz cekasa ali iz železne volne in jo pri ključimo na baterijo. (Opomba uredništva) M3 t i j a je poskusil z oks idaci jo vol frama v koza rcu. V ta namen j e uporabil avtomobilsko žarnico. ki ji je razbil ste kleno buč­ ko in jo priključil na transformator. Na žalost mu pos kus ni uspel zaradi "tehničnih" težav . I Iz starih številk 49 Alešu in Matiji se zahvaljujemo za izčrpna odgovora. V prizna- nje bosta dobila knjigo V.L.Ginzburga: Sodobni problemi fizike in as t ro f t zi ke. Bralce vabimo, da nam še poročajo o ponovitvah in variantah o- pisanih poskusov. ** Sveča je iz parafina, ki ga sestavljajo normalni alkani C H2 2 z velikim številom ogljikovih atomov (n = 20 do 30).Vgas?i'i je dodan še čebelji vcsek in razn i s t r j e v a l c I ;{o t n p r , s t e a r i n s k a kislina. Pri popolnem q o r e n j u molekule CnH2 2 do- bimo n molekul CO in (n+1) molekul tl2.0' pri tem pa senporabi' (3n+l)/2. molekul fi2.' Molekule vode se kondenzirajo, molekule CO2 pa ostanejo v plinu . Oelni tlak C0 2. je 2.n/(3n+1) delnega tlaka OZ' ki se je porabi 1 pri gorenju. V i de a l n e m primeru bi se torej zmanjšala prostornina zraka v posodi za (n+l)/(3n+l) del napo vedane 1/5. kat' je pri velikem n Zil približno 1115 k o t je pravilno ugotcvil Matija Drob :Jič. Naloga, ki vam jo zastavljamo tokrat, pa je takale: Prav gotovo ste se poleti večkrat jezili nad oljnatimi madeži, ki so jih na morski gladini pustili motorni čolni. Priznati pa morate. da so ti madeži olja prav lepih barv. Podoben pojav lah- ko opazujete tudi po dežju, ko je ob robu ceste polno luž , pre- kritih z oljnatimi madeži. Ali opazite kakšno razliko, če opazu- jete 1uže stoje ali pa če ob njih počepnete? Doma naredite podoben poskus z milnico. Najlaže je, če uporabi- te kar kupljen lonček milnice za "spuščanje mehurčkov" s plas- tičnim okvirčkom vred. Pomočite okvirček v milnico in ga podr- žite v navpični legi, da dobite na zgornji strani okvirčka ze- lo tanko plast milnice. Dsvet1ite mi1nično opno z močno žarnico in ugotovite, kakšna je videti v odbiti svetlobi! Podobne poskuse si lahko zamislite tudi sami. O vseh opazova- njih nam pišite in jih poskušajte tudi razlo žiti. Povprašajte tudi sta~še in učitelje . Odgovore nam pošljite do T. decembra 1981. Najboljše bomo nagradili. Marj an Hribar Metka Luzar VZaahy PRESEK 9 (1981/ 82) , številka 2 Iz starih številk I SAMOSTOJNA SLOVENIJA NA FIZIKALNIH IN MATEMATIČNIHOLIMPIADAH 33. MEDNARODNA MATEMATIČNAOLIMPIADA V MOSKVI Mednarodna matematična olimpiada je bila organizirana v Moskvi. Udeležilo se je je 65 držav. Slovenija ni bila povabljena . Ruska federacija, ki je po razpadu Sovjetske zveze prevzela organizacijo matematične olimpiade, se je sklicevala na dejstvo, da pravno nasledstvo Jugoslavije še ni rešeno, zato se Slovenija obravnava kot država, ki se hoče na novo vključiti. Pravilnik pa določa , da se iz take države prvo leto povabi samo opazovalca . Tekmovalci lahko sicer sodelujejo že prvo leto, vendar tekmujejo izven konkurence in na lastne stroške. Ker sem na 32. matematični olimpiadi na ~vedskem osvojil bronasto kolajno, smo poskušali najti način, da bi se lahko udeležil tekmovanja . Ugotovili smo, da lahko sodelujem kot gost kake druge države, ki nima kompletne ekipe. Švicarski ekip i smo predlagali , da me vzamejo medse, kar so z navdušenjem sprejeli. Tomaž Cedilnik PRESEK 20 (1992/ 93), številka 5 XXIII. MEDNARODNA FIZIKALNA OLIMPIADA Mednarodno tekmovanje srednješolcev v znanju fizike je bilo lani v mestu Espoo na Finskem. Udeležila sta se ga tud i dva dijaka iz Slovenije, Krešimir Macan in Tadej Mali s SN~ v Ljubljani in vodja ek ipe Bojan Golli. Čeprav so se naši dijaki udeleževali tega pomembnega tekmovanja že od druge olimpiade naprej , nastop Slovenije kot samostojne ekipe ni bil samoumeven , saj država organ izatorica vab i nove dr žave po lastni presoji. Ker so se gostitelji še dobro spominjali uspešno organizirane olimpiade v Portorožu leta 1985, s povabilom ni bilo težav. Slovenija je sedaj postala stalna udeleženka olimpiad , saj statut pravi, da morajo organizatorji naslednjih tekmovanj obvezno povabiti vse udeleženke predhodnih olimpiad. Letos bomo zato lahko nastopili na olimpiadi v ZDA , ki bo v začetku julija . . .. PRESEK 20 (1992/93), številka 6 I Iz starih številk USPEH NAŠiH OLlMPJJCEV V WILLlAMSBURGU IN ISTANBULU Ob podpori Ministrstev za znanost in tehnologijo ter za šolstvo in šport sta se letos lahko udeležili fizikalne olimpiade v Williamsburgu v ZDA in matematične v Istanbulu v Turčiji tudi petčlanski slovenski reprezentanci. Na tekmovanju sta obe ekipi dosegli lep uspeh . Vsaka se je vrnila s po dvema bronastima kolajnama in s po eno pohvalo . Podrobnejše poročilo bodo pripravili udeleženc i obeh olimpiad za eno kasnejših številk. PRESEK 21 (1993/94) , št evilka 1 25. MEDNARODNA FIZIKALNA OLIMPIADA Po dodatnem izbirnem tekmovanju so se na letošnjo olimpiado iz fizike, ki je bila v Pekingu (Kitajska) od Il. do 19. julija , uvrstili: Arpad BRUMEN, Gimnazija Murska Sobota; Matjaž VENCELJ, Gimnazija Bežigrad Ljublja- na; Jure VRHOVNIK, Gimnazija Bežigrad Ljubljana; Primož KUŠAR, Sred- nješolski center Ptuj - gimnazija; Metka DEMŠAR, Gimnazija Šentvid Lju- bljana . Dobili so eno pohvalo in dve posebni bronasti medalji: eno za teoretični in eno za eksperimentalni del tekmovanja . PRESEK 22 (1994/ 95), št evilka 1 POROČiLO S 35. MEDNARODNE MATEMATiČNE OLIMPIADE V HONG KONGU Na letošnji matematični olimpiadi je bila najuspešnejša ekipa ZDA, ki je osvojila vse možne točke (in seveda šest zlatih odličij) , slovenska ekipa pa se je vrnila domov s tremi pohvalami. Prejeli so jih: Jernej BARBiČ , Iztok KAVKLER, in Primož MORAVEC. Po razglasitvi rezultatov nas je čakalo še zadnje dejanje 35. MMO: slavnostna večerja (v kitajskem slogu) , kjer se je v krut i praksi izkazala za resnično naslednja t rditev: Dve tangenti (beri: palčki) ne določata natanko lege krogle (beri: okrogle drevesne gobe) v prostoru. PRESEK 22 (1994/ 95), številka 3 Iz starih števi lk I LEPI USPEHI SLOVENSKIH DIJAKOV NA OLIMPIADAH IZ MATEMATIKE, FIZIKE IN RAČUNALNIŠTVA Z računalniške olimpiade na Nizozemskem je naša srednješolska ekipa pri- nesla dve srebrn i in eno bronasto medaljo, na fizikalni v Avstraliji so tek- movalc i dobili eno bron asto in eno pohvalo, matematiki pa so v Kan adi dosegli tri pohvale. PRESEK 23 (1995/96), številka 1 ZNOVA BLESTEČl USPEHI NAŠIH DIJAKOV NA OLIMPIADAH IZ MATEMATIKE IN FIZIKE Slovenski dijaki so se na olimpiadah iz matematike in fizike letos spet imenitno odrezali. Na 27. mednarodni fizikalni olimpiadi, ki je potekala v Oslu na Norveškem, je Klemen Žagar (Gimnazija Šentvid, Ljublj an a) osvojil sre- brno medaljo, Mih a Vuk bronasto medaljo, Anže Slosar in Peter Jeglič (vsi t rije so dijaki Gimnazije Bežigrad v Ljubljani) pa st a dobila pohvali . S 37. mednarodne matematične olimpiade v Bombayu v Indiji pa je naša ekipa prinesla dve bronasti medalji . Osvoj ila sta ju Igor Klep s Srednješo lskega cent ra P tuj in Matj až Konvalinka z Gimnaz ije Bežigrad . PRESEK 24 (1996/ 97) , številka 1 38. MEDNARODNA MATEMATIČNAOLIMPIADA Po določilih Pravilnika o tekmovanju srednješolcev v znanju matema- tike je državna te kmovalna komisija izbrala ekipo, ki je zastopala Slovenijo na Mednarodni matemat ični olimp iadi v Argent ini. V ekipo so se uvrstil i: Matjaž Konvalinka , Matija Mazi , Martin Milanič , Tadej Starčič , Matjaž Titan in Andrej Vodopivec. Domov so prinesli dve bronasti medalji in dve pohvali. PRESEK 25 (1997/98), številka 1 28 . MEDNARODNA FIZIKALNA OLIMPIADA Po izbirnem te kmova nju za olimpijsko ekipo so se na letošnjo 28. med- narod no olimpiado iz fizike, ki je potekala med 13. in 21. julijem v mestu Sudbury, Kanada, uvrstili : Igor Verst ovšek , Miloš Jeft ič , Matej Marinč in Gaš per Tkačik, vsi iz Gimnazije Bežigrad Ljublj ana , ter Matej Horvat iz II . gimnazije Maribor. Domov so prinesli en o bronasto medaljo in t ri p ohvale . PRESEK 25 (1997/98), števi lka 1 I Tekmovanja 34. TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE Najboljš i sedmošolci in osmošolci s področnih tekmovanj so se v soboto, 16. maja 1998, pomerili v šestih regijah na državnem tekmovanju za Zlato Vegovo priznanje. Nanj se po veljavnem pravilniku uvrsti do 0,5% vseh sedmošolcev in do 1% vseh osmošolcev s posameznega področja. REGIJA 7. razred 8. razred Ljubljana 83 134 Maribor 40 70 Celje 25 41 Koper 18 21 Nova Gorica 14 18 Novo mesto 18 32 SKUPAJ 198 316 Zlat o Vegovo priznanje so prejeli sedmošolci, ki so osvojili najmanj 13 od 25 možnih točk, in osmošolci , ki so osvojili najmanj 13 od 25 možnih točk. Nagrade najuspešnejš im tekmovalcem 7. razred I. nagrada Gašper Žerovnik, OŠ Medvode, Medvode. II. nagrada Žiga Novšak, OŠ Boštanj, Boštanj ; Maja Furek, OŠ Martina Konšaka, Maribor. III. nagrada Domen Rovšček, OŠ Franceta Bevka, Tolmin; Ivo List , OŠ Oskarja Kovačiča, Ljubljana; Andrej Matiacic, OŠ Srečka Kosovela, Prosek, Italija. Tekmovanja I 8 . razred I. nagrada Klemen Šivic, OŠ Dr . Ivana Korošca, Borovnica ; Tonček Gradi šek, OŠ Dr . Vita Kr aigherja, Ljubljana; Mojca J azb ec, OŠ Komen , Komen ; Mat ic Glavan , OŠ Marj an a Nemca, Radeče ; Matija Perne, OŠ Pet ra Kavčiča , Škofja Loka; Ana Šinkovec, OŠ Petra Kavčiča, Škofja Loka ; Aleš Frece, OŠ Slivnica pri Celju; Tj aša St epišnik Perdih, OŠ Šmarje pri J elšah ; Mojca Lakner , OŠ Vič , Ljubljana ; Maj a Ropret , OŠ Žirovnica. II. nagrada Neja Nastran, OŠ Ivan a Groharj a, Škofja Loka . III. nagrada David Danev, OŠ Gust ava Šiliha, Velenj e. Aleksander Potočnik 18. DRŽAVNO TEKMOVANJE IZ FIZIKE ZA ZLATA STEFANOVA PRIZNANJA Oddelek za fiziko Pedagoške fakultete v Mariboru in Društvo matemati- kov, fizikov in astronomov sta bila organizatorja tekmovanja iz fizike za osnovnošolce. V pr edavalnicah in laboratorijih Pedagoške fakultete v Ma- rib oru se je 9. maja 1998 pomerilo 35 ekip iz 7. razredov in 36 ekip iz 8. raz redov. Tekmovalci so reševali t ri teoretične in dve eksperimentalni nalogi. Naloge za področna in držav no tekmovanj e so pripravili učitelji Pedagoške fakultete Maribor, pri organizaciji pa je sodelovala Jelka Sa- kelšek. P red dr žavnim tekmovanj em so bila 4. aprila 1998 področna tekmo- vanj a v devetih mestih , kjer so tekmovanja organizirali in vodili: Ma- teja Šumej (Šentjur) , Fran c Pogorelčnik (Radlje ob Dravi) , Mirko Cvahte in Zlatko Bradač (Maribor) , Loredana Sabaz - Deranja in Aljoša Žerjal (Koper), Milojka Frank (Nova Gorica), Mojca Mur in Karl a Kr ajnik (Po- ljane), Edo Dečko (Murska Sobot a) , Milena Košak (Novo mesto) ter Vesna Har ej in Jelka Sakelšek (Ljubljan a). Tekmovanja Sodelovalo je 356 ekip iz 7. razredov in 383 ekip iz 8. razredov, sku- paj 1478 učencev . Tekmovalci so na področnih tekmovanjih reševali 5 teoretičnih nalog. Na državnem tekmovanj u so Zlata Stefanova priznanja prejeli : Šola 7. razred OŠ Oskarj a Kovačiča, Ljubljana OŠ Karla Destovnika - Kajuha, Ljubljana OŠ Gornji Petrovci OŠ Ledina, Ljubljana OŠ Toneta Čufarja, Maribor OŠ Tabor, Logatec OŠ Tonet a Čufarja, Ljubljana OŠ Davorin Jenko, Cerklje OŠ Naklo OŠ Frana Erjavca , Nova Goric a OŠ Dr. Franceta Prešerna , Ribnica OŠ Narodnega heroja Rajka, Dol pri Hrastniku OŠ Ljudski vrt , Ptuj 8. razred OŠ Petra Kavčiča, Škofja Loka OŠ Narodnega heroja Maksa Pečarja, Ljubljana OŠ Du šana Bordona, Koper OŠ Toma Brejca, Kamnik OŠ Ivana Groharja , Škofja Loka OŠ Rače OŠ Dr. Ivana Korošca , Borovnica 1. OŠ Lendava OŠ Ivanjkovci OŠ Fran a Kocb eka , Gornj i Grad OŠ Riharda Jakopiča, Ljubljana OŠ Dol pri Ljubljani OŠ Lenart Tekmovalca (ki) Ivo List, Miha Veršnjak Gorazd Gotovac, Boštjan Čeh Dani el Grah, Tina Kerčmar Borut Likar, Žiga Vavpotič Katja Šiling, Jernej Pirš Gašper Žejn , Simon Merlak Tilen Thaler , J an ez Zorman Nuša Dremelj , J anja Zaplotnik Andreja Pavlin, Margareta Ciglič Petra Šinigoj , Rok Prislan Aleš Lampe, Nejc Nadler Tadej Borovšak, Marko Pol ak Tine Ačimovič , Marko Ferme Matija Perne, Luka Strasner Urša Tičar, J ure Merčun An a Antončič, Matjaž Boži Rok Ručigaj, Martin Pregl Maj a Bratuž, Blaž Hribernik Matevž Kmetec, Boštjan Ferlič Klemen Šiv ic, Sim on Vrhovec Sebastjan Somi, Dušan Markovič Boštjan Kosec, Mitja Mar Andraž Drčar , Lucija Ročnik Klemen Slavič, Andrej Lajovic Matevž Bokalič, Jernej Jalovec Mitja Krajnc, Robi Rajšp Zlato priznanje so prejeli sedmošolci, ki so osvojili najmanj 71 od 100 možnih točk, in osmošolci, ki so osvojili najmanj 74 od 100 mo žnih točk. Tekmovalkam in tekmovalcem čestitamo za dos ežen e rezultate. Zlatko Bradač, Mirko Cvahte Tekmovanj a I 36. FIZIKALNO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV SLOVENIJE Podobno kot v prejšnjih letih je tudi letos potekalo tekmovanj e sre dnje- šolcev iz fizike v štirih skupinah A, B, C in D, razdeljenih po snovi, in v treh stopnjah. P rve stopnje - regijskega tekmovanja - se je udeležilo okrog 1000 dija- kov iz 53 srednjih šol. Tekm ovanj e je potekalo 28. marca 1998 istočasno na osmih srednjih šolah po vsej Sloveniji. Organi zirale so ga naslednje sred- nje šole: Gimnazija Šentvid Ljubljana, Gimnazij a Vič Ljubljan a, Šolski center Ptuj - gimnazija, Šolski cente r Velenje - gimna zija, Srednja šola J esenice, Šolski center Nova Gorica , Srednj a pomorska šola Portorož in Srednja šola za elektrote hniko in gost instvo Zagorj e ob Savi. Tekmovaln e komisije, sestavljene iz profesorj ev fizike s sodelujočih šol, so popravile iz- delke in predložile tekmovalce za dr žavno tekmovanje iz posam ezne regije. Državno t ekmovanje je bilo 18. aprila . Po predlogu regijskih komisij se ga je v skupini A udeležilo 45 t ekmovalcev , v skupini B 33, v skupini C 26 in v skupini D 21. Skupaj 125 te kmovalcev iz 37 srednjih šol. Organiz ator dr žavn ega tekmova nja je bila Gimnazija Škofja Loka. Poleg izvedbe te kmovanja so organizatorji pripravili t udi program za men- torje in tekmovalce. Tako so si mentorji, medtem ko so njihovi tekmovalci reševali naloge, ogledali Selško dolino, po koncu reševanj a nalog pa so si tekmovalci ogledali zgodovinske in kul turne znam enitosti Škofje Loke. Tekmovanj e je izvedla tekmovalna komisij a DMFA Slovenije, stroške tekmovanja pa sta kril a Minist rstvo za šolstvo in šp ort in organizator državnega tekmovanja. Pri izvedbi tekmovanj a in ocenitvi izdelkov so pomagali študenti Fakultet e za matematiko in fiziko. Na razglasitvi re- zultatov, ki ji je prisostvoval tudi minist er za šolstvo in šport dr. Slavko Gab er, je komisija podelila 7 prvih nagrad , 13 drugih , 16 t retjih in 31 pohval. Podelj ene nagrade in pohvale Skupina A 1. nagrada Andraž Hubad , Gimnazija Bežigrad Ljubljan a ; Andrej Košmrlj , Gimnazija Be- žigrad Ljubljan a ; Mate Car, Gimnazi ja Murska Sob ota . II. nagrada Gr egor Tavčar , Gimnazija Bežigrad Ljubljan a ; Mitja Cent rih, Šolski cente r Celje - gimnazija Lava; An drej Muhič , Gimnazija Novo mesto; Aleš Česen, Gimnazija Kranj . I Tekmovanja III. nagrada Uroš Leskovšek , Šolski cente r Celje - gimnaz ija Lava; Dr agan Simeonov , Gim- nazija Bežigr ad Ljubljana; Maru ša Koser , Gimnazija Bežigrad Ljubljana ; J ernej Kukovič , Šolski cent er Celje - gimnazija Lava . Pohvala Tomaž Gru šovnik , 1. gimnazij a Maribor ; Davorin Lešnik, Šolski cente r Ptuj - gim naz ija; Peter Skube , Srednja šola Črnomelj ; Marko Ušaj , Škofijska gimnazija Vipava; Žiga Dremelj , Gimnazija Kranj ; Franj a Pajk, Gimnazija Škofja Loka ; J akob Tom še, Gimnazija Vič Ljublj ana ; Damjan Go lob , Gimnazija Novo mesto; Iztok Drobnič , Šolski cent er Brežice; Vikto r Vrhunc, G imnazija Kr anj . Skupina 'B 1. nagrada Matej Kanduč , Srednj a vzgoj it eljska šola in gim nazija Ljublj ana ; Iren a Majcen , Gim nazija Bežigrad Ljubljana . II. nagrada Izt ok Pižorn, 1. gimnazija v Celju . III. nagrada Ton i Kočevar , Šolski cent er Novo mesto; Stanislav Pišek , Šolski cent er P tuj - gimnaz ija; David Št ula r , Gimnazija Kranj . P o hvala Luka Jalen , Gimnazija Šent vid Ljublj an a ; An draž Tori , Gimnazija Bežigrad Ljubljana ; Tomaž Weiss , II. gimnaz ija Maribor ; Lovro Žiberna , II . gimnazija Marib or; Andrej Klobčar , Šolski cent er Novo mesto; Nejc Košnik, Gimnazija in ekono mska srednja šola Trbovlje; Jure Maglica, Gimnazija Celje - cent er ; Beno P olanec, II. gimnaz ija Maribo r ; Žiga Virk, Gimnaz ija Vič Ljubljana ; Mat ej Močnik, Tehniški šolski cent er Nova Gor ica ; Bogd an Pregelj, Tehniški šolski cent er Nova Go rica; Izidor Sabot in , Gimnazija Murska Sobota. Skupina C 1. nagrada Primož Buh, Gimnazija Šentvid Ljubljana . II. nagrada Vas ilij Cent rih , Šolski cent er Ce lje - gimnazija Lava ; Marko Kežmah, II . gim na- zija Maribor; Gregor J erše, Gimn azija Kranj ; Matej P erkuš , Gimnazija Ravn e na Koroškem . III. nagrada Du šan J an , Gimnazija Tolmin; Rob ert Kulovec , Gimnazija Bežigr ad Ljubljana ; Mitja Perko, Gim naz ija Bežigrad Ljubljana ; Jure Potočnik , Gimnazija Kranj ; Matej Rizman, II. gimnazija Maribor ; Anže Zupanc, Šolski cent er Ce lje - gim- na zija Lava . Tekmovanja I Pohvala Miran Bi.irmen, Gimnazija Murska Sobota; Urban Simončič , Šolski cente r Novo mesto ; Andrej Kavčič, Gimnazij a Bežigrad Ljubljana; Jovan Lončar, Tehniški šolski cente r Nova Gorica. Skupina D 1. nagrada Klemen Naveršnik, Gimnazija Bežigrad Ljubljana. II. nagrada Andrej Grubišič , II. gimnazija Maribor; Martin Zadnik, Srednja šola za elek- t rotehniko in računalništvo Ljublj ana; Natan Osterman, Gimnazija Bežigrad Ljubljana; Matija Mazi, Gimnazija Bežigrad Ljublj ana. III. nagrada Blaž Zupančič , Šolski center Brežice; Mat ija Gams, Gimnazija Bežigrad Lju- bljana; Janko Boltar, Gimnazija Koper. Pohvala Andrej Pukšič , Šolski center Celje - gimnazija Lava; Gregor Resman , Gimnazija Bežigrad Ljublj ana; Martin Knapič , Gimnazija Šentv id Ljublj ana; Aleš Štimec, Šolski center Brežice; Aleš Štampfl, Škofijska klasična gimnazija Ljubljana. Izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 22. maj a na Fakult eti za matematiko in fiziko, Oddelek za fiziko . Udeležilo se ga je 10 naj- bolj ših t ekmovalcev iz skupine D z državnega te kmovanja. Na letošnjo 29. mednarodno olimpiado iz fizike, ki je potekala med 2. in 10. julijem v Reykjaviku, glavnem mestu Isl andije, so se uvrstili: Martin Zadnik, Sred- nj a šola za elekt rotehniko in računalništvo Ljubljana , Klem en Naveršnik, Matij a Mazi, Natan Osterman, vsi z Gimnazije Bežigrad Ljubljana , in Blaž Zupančič , Šolski center Brežice. Ciril Dominko 42. MATEMATIČNOTEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV SLOVENIJE V sobot nem do poldnevu 16. maj a 1998 se je 163 dij akov z 48 gimnazij in srednj ih šol v prostorih Gimnaz ije Tolmin spopadlo z nalogami na 42. ma- tematičnem te kmovanju srednješolcev Slovenij e, popoldne pa so se podali na izlet v kob ariški in tolminski muzej. Za uspešno reševanje nalog je državna tekmovalna komisija pod elila naslednje nagr ad e in pohvale: I Tekmo vanja Prv i letnik P rva nagrada Mojca Miklavec , Škofijska klasična gim nazija Ljubljana ; Davorin Lešnik, Šolski center - gimnazija P tuj ; Matija Pretnar, Gimnazija Bežigr ad Ljubljana . D ruga nagrada Matej Kocjan, Šolski center Novo mest o. Tretja nagrada Tina Šantl- Te mkiv , G imnazija Bežigrad Ljubljana ; Miha Papler , G imnazija Kranj ; Gregor Karer , Šolski cente r Nova Gori ca ; Andrej Košmrlj , Gimnazija Bežigrad Ljubljana , Fr anj a Pajk, Gimnazija Škofj a Loka . P ohval a Martin Lukan , Tehniški šolski center Nova Gorica ; Andrej Muhič , Gimnazija Novo mest o; Eva Rejec, Škofijs ka klasična gimnazija Ljubljana; Vita Stajnko, Gimnazija Frana Miklošiča Ljutom er; Jurij Dreo, Šolski center Br ežice - gim- nazij a Br ežice; Bojan Fr atina , Gi mnazija Bež igr ad Ljublj an a ; Sergej Omladič, G imnazija Bežigrad Ljubljana; Matij a Ukmar , Sr ednja šola Post ojna ; Eva Mi- lošev, Gimnaz ija Bežigr ad Ljubljana ; Rok Strniša, Gimnazija Ledina Ljubljana; Katj a Šva ra , Gimnazija Bežigr ad Ljubljana ; Tadej Beočanin , Gimnazija Be- žigrad Ljubljana ; J anko Klem en šek , Gimnaz ija Velenj e ; J anez Krajnc, Šolski center Celje - gimnazija Lava ; Boru t Vaupotič , III. gimnazija Maribor. Drugi le tnik D ruga nagrada Iren a Majcen , Gimnazija Bežigr ad Ljublj ana ; Sašo Jelenčič , Gimnazija Bežigr ad Ljubljana; Matjaž Ur lep , Šolski center Ce lje - gimnazija Lava. Tr etj a nagrada Matevž Planki, Gimnazija Celje-Center ; Sunil Sah, Gim nazija Bežigr ad Lju- blj ana ; J aka Hajnšek , Šolski center Celje - gimnazija Lava . Pohval a Simon Mlekuž, Gimnazija Tolmin; An že Žagar, Gimnaz ija Šentvid Ljubljana; Dragan Zdovc, Gimnaz ija Fran a Miklošiča Ljutomer; Aleksandra Bergant, Šol- ski center Rudolfa Maistra Kamnik; Matej Kanduč , Srednja vzgojiteljs ka šola in gimnazija Ljubljana; J olanda Timošek , Šolski center Slovenj Gradec - gim na- zija; Iztok Grilc, Gimnazij a in ekono mska srednja šola Trbovlj e; Grega Hr ibar, Gi mnaz ija Kranj ; Mat ic Novak , Gimnaz ija Bežigrad Ljublj ana ; Rok Orel, Gim- nazija Vič Ljubljana ; Maj a Tomšič, Srednja šola Post oj na. Tekmovanja 1 Tretji letnik Prva nagrada Jure Kališnik, Šolski center Celje - gimnaz ija Lava; Samo Juretič , Gimnazija Nova Gorica ; Ajda Skarlovnik, Gimnazija Bežigrad Ljubljana. Druga nagrada Gregor J erš e, Gimnazija Kranj; Primož Lukšič, Gimnazij a in ekonomska srednja šola, Trbovlje; Tomaž Weiss, II. gimnazij a Maribor. Tretja nagrada Dušan J an, Gimnazij a Tolmin; Mateja Škrlec, Gimnazija Fr ana Miklošiča Lju- t omer. Pohvala Gorazd Karer , Šolski center Nova Gorica; Nen ad Ko s, 1. gim nazija Maribor; Pet er Varga , Dvojezična srednja šola Lendava; Maja J eromel, II. gimnazija Maribor; Urška Bokal, Gimnazija Bežigrad Ljubljana ; Miran Biirrnen , Gimna- zija Murska Sobota; Luka Devjak, Gimnazija Ledina Ljubljana . Četrti letnik Prva nagrada Matija Mazi, Gimnazija Bežigrad Ljubljana. Druga nagrada Tadej Starčič, Gimnazij a Bežigrad Ljubljana ; Matjaž Titan, Gimnazija Murska Sobota. Tretja nagrada Martin Milanič, Gimnazij a Koper ; Matej Rizman, II. gimnazija Maribor; Primož Berlič, Gimnazija Ledina Ljubljana; Gregor Ucman, Gimnazija Poljane Lju- blj ana ; Blaž Zupančič , Šolski center Brežice - gimnazija Brežice. Pohvala Martin Knapič, Gimnazij a Šentvid Ljubljana; Hana Hollan, Šolski center Brežice - gimnazija Brežice; Tomaž Kosem , Šolski center Ce lje - gimnazija Lava; Andrej P erne , Škofijska klasična gimnazija Ljubljana; Damir Podlesek, Gimnazija Mur- ska Sobota; Janko Boltar, Gimnazija Koper; Aleš Justin, Gimnazija Bežig rad Ljubljana ; Andrej Pukšič , Šolski center Celje - gimnazija Lava . Po določilih Pravilnika o tekmovanju srednješolcev v znanju matema- tike je državna tekmovalna komisij a na podlagi rezultatov dveh izbirnih testov in državnega tekmovanja izbrala ekipo, ki bo zastopala Slovenij o na Mednarodni matematični olimpiadi na Tajvanu. V ekipo so se uvrstili: Dušan Jan, Jure Kališnik, Martin Milanič, Ajda Skarlovnik, Tadej Starčič in Matjaž Titan. Matjaž Željko I Tekmovanja 19 . M E D N AR OD N O MATEMATIČNO TEKMOVANJE MEST - R eši t ve iz XXV , P-6 , str . 378 R ešit ve nalog prvega d ela Prva sk u p ina 1. Naj bosta d in u hit rosti človeka, ko se premika navzdol in navzgor, t er e hitrost stopnic. Naj bo 1 do lžin a stopnic. Ted aj je čas vzpona in spusta po stopnicah, ki se premikajo navzgor , enak __ + _1_ _ 1 d +u u+ e d- e - (u + e)(d - e) ' čas vzpona in sp ust a po stopnicah , ki se pr emikajo navzdol, pa _ 1_ + _ 1_ = 1 d+u . u- e d+ e (u- e)(d+ e) Ker je d > u , je (d + e)(u - e) = du - e2 + ue - de < du - e2 - ue + + de = (d - e)(u + e). To rej bo vzpon in spust hi trejši po dvigajočih se stopnicah . 2. Enačbo preoblikujem o v (y - z)(y + z ) = 1997 - x 2 . Naj bo x = 2t , Y - z = 1 in y + z = 1997 - 4t2 . Od tod dobimo 2y = 1998 - 4t 2 in 2z = 1996 - 4t 2 . Torej je x = 2t , Y = 999 - 2t 2 in z = 998 - 2t2 rešitev enačbe za vsako celo število t . 3. Naj leži točka L na nosilki st ranice B C tako, da je B L = D III . Triko- t nika AB L in ADM sta skladna. Zato velja <[K AL = <[B AL + <[K AB = = <[D AM + <[J( AB = <[iVIAK + + <[KAB = <[AM D = <[AL I<. Tako je t rikotnik K AL enakokrak, zato je AK = KB+BL = KB +DM. D ,.--- -: lIJ C'------::..:....L-----::::~_-----.:>L 4. P okažimo, .da vsaka premi ca seka največ m + n - 1 polj ša hovnice velikost i m x n . Plošča je razdeljen a z m - 1 navpičnimi daljicami t er n - 1 vodoravnimi daljicami , torej skupaj m + n - 2 daljicami. Ko premica pr eid e iz eneg a po lja v drugo , seka eno izm ed m + n - 2 daljic. Ker vsako daljico lahko seka največ enkrat, pom eni , da seka največ m + n - 1 polj . Tekmovanja I a) Na plošči velikosti 3 x 3 vsaka premica seka največ 5 po lj, zato potrebujemo vsaj dve pre- mici, ki sekata vsa polja. Slika kaže primer, kako to naredimo z dvema premicama. b) Na plošči velikosti 4 x 4 vsaka premica seka največ 7 polj, zato potrebujemo vsaj tri pre- mice, ki sekajo vsa po lja. Slika kaže primer, kako to naredimo s tremi premicami. 7 20 25 14 5 18 13 6 9 24 21 8 19 4 15 12 17 2 23 10 1 22 11 16 :3 Druga skupina 1. Glej rešitev naloge 4 iz prve skupine. 2. Če velja a = b, se včrtana in pričrtana krožnica dotikata stranice c v njenem razpolovišču. Torej lahko predpostavimo, da je a > b. Naj se včrtan krog dotika stranice a v točki D, stranice b v točki E in stranice c v točki F. Potem je a - b = (BD + CD) - (AE + CE) = = BD - AE = BF - AF = ~. Naj bo G dotikališče pričrtane krožnice z nosilko a, H njeno dotikališče znosilko b ter K dotikališče s c. Tedaj je AK - BK = AH - BG = = (CH -CA) -(CG-CB) = = CB -CA = a-b = ~ . Torej mora za stranice trikotnika ve- C D B G ljat i enakost c = 3(b - a). 3. Preoblikujemo enačbo in dobimo 6 =(x - y)(x - z)(y - z). Za vsako celo število t je x = t + 3, Y = t + 1 ter z = t rešitev zgornje enačbe. 4. Skakač lahko obišče vseh 25 po lj šahovnice 5 x 5 tako, da na vsako polje skoči natanko enkrat. Spodnja slika prikazuje tak sprehod. Če želimo, da se dva skakača ne bosta napadala, stoji na dveh zaporedno obiskanih po ljih največ en skakač . Torej lahko na tablo postavimo naj- več 13 skakačev . Če želimo imeti na šahovnici 13 skakačev, jih moramo postaviti na polja z lihimi števili. Torej je postavitev le ena. I Tekmovanja Rešitve nalog drugega dela Prva skupina 1. Velja Xn+2Xn+l = X n + lXn - 1. Pri X k = O je Xk - lXk-2 = 1. Potem je Xk -2Xk-3 = 2. Od to d sledi , da je X2X l = k - 2, kar pomeni , da je k - 2 = 19 . 97 = 1843. Torej je k = 1845. 2. Vsaka celica leži na natanko t reh trakovih, zato lahko njen polo žaj opišemo s koordinat ami (a,b, c), kjer velja 1 :::; a, b,c :::; 10 in je c = a +b ali c = a + b - 1. Celice (1,4,4) , (2,7,8) , (3,3,5) , (4,6,9), (5,2,6) , (6,5, 10) in (7,1,7) zadoš- čajo pogojem na loge (glej sliko). Recimo , da lahko izberemo osem celic, ki zadoščajo pogojem na- loge. Tedaj obst ajajo vsaj tri iz- med njih , katerih prva koordinata je večj a od 5. Vsaka od te h celic ima drugo koordinato 1, 2, 3, 4 ali 5. Prav tako obstajajo vsaj tri celice, ki imaj o tretjo koordinato manjšo od 6. Tudi te celice imaj o drugo koordinate 1, 2, 3, 4 ali 5. To bi pomenilo, da obstaja celica, ki ima prvo koordinato večjo kot 5 in t retjo manj šo kot 6. Take celice ni , zato je največj e šte vilo celic, ki jih lahko izberemo, 7. Druga skupina 1. a) Glej točko b). b) Dovolj je pokazati , daje produkt števil 1±V2± " ·± J 100 celo število, saj je to število enako produktu števil -1 ± v2± . . . ± J 100. Na j bo p polinom v 99 spremenljivkah X l, . . . , Xgg, ki je ena k produktu vseh polinomovoblike 1 ± X l ± . .. ± Xgg . Če spremenljivko X i zamenjamo z - X i , dobimo isto vr ednost . Torej v polinomu p ne obstaja člen , ki bi vseboval Xi z lihim eksponentom. Zato v vseh členih polinoma p vse spremenlj iv ke n ast opajo z sod imi eksponenti. Od t od sle d i , d a j e p(V2 , .. . , J 100) celo število. 2. Odgovor je prit rdil en . Pri kodiranju vsaki črki priredimo neko besedo. Im enujmo te besede bazične besede. Recimo, da Dimova koda ni dob ra. Tedaj obst ajata dve različni zap oredji SI in S 2 bazičnih besed , ki dast a isti niz črk S. Naj bo S najkraj ši niz, ki ima to lastnost. Tedaj je dolžina niza S vsaj 10001. Zap oredje S 2 vsebuje vsaj 1001 bazičnih besed. Vsakemu začetku bazične besede v S2 , recimo i-ti Tekmovanja I črki v S, priredimo bazično besedo v SI, v kateri stoji ta i-ta črka niza S, dodatno pa še njeno pozicijo v prirejeni bazični b esed i. Ker ima abeced a 33 črk, ki jih je Dima zakodiral z največ 10-črkovnimi besedami, v S2 pa je najmanj 1001 bazična b eseda , obstajata taki št evili h in t2 (h < t2), da velja: Črka na mestu h v S je enaka črki na mestu t2 v S , obe st a del dveh pojavitev iste bazične besede in se nahajata na ist i po ziciji v obeh pojav it vah te besede v Sl ' S črkama na mestih t : in t2 se v S2 začne bazična beseda. Iz niza S izrežemo vse črke od h do t2 - 1. Tako smo dobili dva kr ajša niza; preostanek naj bo S', izrezani del pa S" (analogno s črticami označimo razdelitvi teh nizov na bazične besede: S~ , S& in S~' , Sn . Če je bila poz icija tI -ve črke v bazični besedi zaporedj a SI različna od 1, potem sta S~ in S& različni zapor edj i bazičnih besed, ki dajeta isti niz črk S' . Če je bila pozicija h -ve črke v bazični besed i zaporedja SI enaka 1 in sta S~ in S& enaki zaporedj i bazičnih besed, pa morata biti S~' in S~ različni zaporedj i bazičnih besed, ki spet dajeta isti niz črk S". V vsakem primeru torej najdemo krajši niz, ki ga lahko razdelimo na različni zaporedji bazičnih besed, kar je v protislovju spredpostavko, da je S najkrajši niz s to lastnostjo . Aleš Vavpetič PRESEK list za m lade matemat ike, fizike, astroname in računalnikarje 26. letnik, šolsko leto 1 998 / 99 , številka 1, strani 1 - 64 UREDNIŠKI ODBOR: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Miran Černe (glavni urednik), Vilko Domajnko, Roman Drnovšek (novice), Darjo Felda (tekmovanja) , Bojan Golli , Marjan Hribar, Boštjan Jaklič (tehnični urednik) , Mar- tin Juvan (računalništvo), Sandi Klavžar, Boris Lavrič, Andrej Likar (fizika) , Matija Lokar, Franci Oblak, Peter Petek, Marijan Prosen (astronomija), Marija Vencelj (matematika, odgovorna urednica) . Dopisi in naročnine: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - Po- družnica Lj ublj ana - Komisija za t isk , Presek, Jadranska c. 19, 1001 Ljubljana, p .p . 2964, tel. (061) 1232-460 , št . ŽR 50106-678-47233. Naročnina za šolsko let o 1998/ 99 je za posamezne naročnike1.800 SI T , za skupinska naročila šol 1. 500 SIT, posamezna številka 3 60 SIT, za tujino 50 DEM (25 ECU), devizna nakazila SKB banka d.d . Ljubljana, va l-27621-42961/9, Ajdovščina 4, Ljubljana. List sofinancirata MZT in MŠŠ Ofset tisk DELO - Tiskarna, Ljubljana Po mnenju MZT št. 415-52/92 z dne 5.2 .1992 šteje revija med proizvode iz 13 . točke tarifne št. 3 zakona o prometnem davku, za katere se plačuje 5% davek od prometa proizvodov. © 1998 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1358 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana BISTROVIDEC ALI ZNAš POKRITI šAHOVSKO DESKO Z DOM INAM I ? šahovs k i deski odž agaš dve pol j i na d veh n asp r otnih vo galih, t ako ko t k a ž e s l i ka . Z enaintrideset im i dominami , od k a t e r i h vsaka pokr ije točno d ve pol ji , pokrij tako obrez a no šahovn i c o . PRESEK 2 (1974/75), številka 1