IZ ZNANOSTI IN STROKE JE, PR JICIRANJE JA I RAZPE UK JE J JE IHPLOSKEV RAVNINO Sandi Berk Inštitut za geodezijo in fotogrametrijo FGG, Ljubljana Prispelo za objavo: 1999-09-02 Pripravljeno za objavo: 1999-12-08 Izvleček Obravnavana je pioblematika prikazovanja uloivljenih ploskev na ravnini. S postopkom Delaunayjeve triangulacije lahko iz niza zajetih točk tvorimo žično ogrodje ploskve. U!o-ivljeno ploskev torej aproksimiramo z ravnimi trikotnimi ploskvicami. Predstavljena je metoda razpenjanja žičnega ogrodja ploskve na ravnino. Razpenjanje izvedemo tako, da vsota kvadratov linijskih deformacij vzdolž celotnega ogrodja doseže najmanjšo vrednost. Ideja zanj izhaja iz Airyjevega merila za projekcijo najmanjših deformacij. Ključne besede: Airyjevo merilo, Delaunayjeva triangulacija, izravnava, linijska deformacija, razpenjanje, ukrivljena ploskev, žično ogrodje 1 UVOD Prvi kartografski prikazi zemeljskega površja so bili narejeni še v dobri veri, da je le-to ravno. Začetek druge stopnje v razvoju kartografije sega v obdobje antike, v čas Pitagore (6. stol. pr. n. š.), ko je dozorelo spoznanje, da je zemeljsko površje ukrivljena ploskev. Pojavili so se dokazi, da ima Zemlja obliko krogle, in posledica teh spoznanj je bil pojav prvih kartografskih projekcij (Jovanovič, 1983). Seveda pa se s problemi preslikavanja ploskev na ravnino ne srečujemo le v kartografiji. Takšne potrebe se pojavljajo tudi v konservatorstvu (npr. pri restavriranju stropnih fresk in ornamentov), v medicini in drugje. Izkaže se, da je preslikavanje takšnih, ne vnaprej opredeljivih ploskev dokaj zahtevna naloga. Namen prispevka je prikazati problematiko preslikavanja ploskev na ravnino in predstaviti eno izmed aplikativnih rešitev, uporabljenih v nekartografske namene. 2 PRIKAZOVANJE UKRIVLJENIH PLOSKEV NA RAVNINI Spomnimo se nekaterih osnovnih lastnosti gladkih ukrivljenih ploskev (npr. Jovanovič, 1983). Preseke z ravninami, ki vsebujejo normalo na ploskev v dani točki, imenujemo normalni preseki. Normalni preseki imajo lahko v dani točki različne krivinske polmere. Normalna preseka z največjim in najmanjšim krivinskim polmerom sta vedno medsebojno pravokotna in ju imenujemo glavna normalna Geodetski vestnik 43 (1999) 3 preseka. Ustrezna krivinska polmera označimo z R1 in R2 in ju imenujemo glavna krivinska polmera ploskve v dani točki. S pomočjo teh dveh polmerov definiramo polno ali GauBovo ukrivljenost ploskve v dani točki kot K = (R, · R,r1• Posebna skupina ploskev so tiste, ki jih lahko tvorimo s premikanjem premice v prostoru. Imenujemo jih premonosne ploskve; skozi vsako točko takšne ploskve lahko položimo vsaj eno premico, ki v celoti leži na ploskvi. Vendar pa to še ni zadosten pogoj, da lahko ploskev razvijemo na ravnino; premonosna ploskev je na primer tudi enodelni hiperboloid (Slika 1, levo). Ploskev, ki jo lahko brez deformacij razvijemo na ravnino, imenujemo odvojna ploskev. Za vsako točko na njej je GauBova ukrivljenost (K) enaka O. K=O Slika 1: Enodelni hiperboloid (levo) in stožčasta ploskev (desno); obe ploskvi sta premonosni, stožčasta je tudi odvojna Odvojne ploskve tvorimo s premikanjem premice vzdolž neke krivulje (vodilje ). Če jo premikamo vzporedno v dano smer, dobimo valjasto ploskev, če pa ima premica nepremično točko, dobimo stožčasto ploskev (Slika 1, desno). Le pri takšnih ploskvah lahko torej govorimo o razvijanju oziroma razgrnitvi na ravnino. Za vse ostale ploskve prehod na ravnino ni možen brez popačenja vsebine (Jovanovič, 1983). Srečamo se torej z osnovnim problemom matematične kartografije: kako ukrivljeno ploskev oziroma elemente na njej preslikati na ravnino tako, da bodo deformacije čim manjše? Preslikava ploskve na ravnino brez deformacij bi pomenila ohranitev dolžin vseh linijskih elementov, s tem pa tudi ohranitev kotov in površin. Postopek, ki nas privede do želenega rezultata, imenujemo projiciranje oziroma preslikavanje ukrivljene ploskve na ravnino. Oba pojma običajno dojemamo kot sinonima, čeprav projiciranje v ožjem pomenu izraža geometrijski postopek, kjer odnose med točkami na dani ploskvi in ustreznimi točkami na neki pomožni odvojni ploskvi (npr. plašč valja ali stožca) ali pa neposredno na ravnini vzpostavimo s pomočjo centralnega ali vzporednega snopa premic. Pojem preslikava pa izraža matematično zvezo med točkami na ploskvi in ustreznimi točkami (sliko) na ravnini. Zelo malo kartografskih projekcij je v resnici mogoče obravnavati kot geometrijsko projiciranje; poimenovanja posameznih projekcij (npr. stožčasta, valjna, horizontna), Geodetski vestnik 43 (1999) 4 ki nakazujejo nanj, imajo bolj didaktični značaj (Jovanovic, 1983). Včasih se s tem v zvezi pojavlja delitev na geometrijske in matematične k:J.rtografske projekcije. 3 DEFORMACIJE PRI PRESLIKAVAH UKRIVLJENIH PLOSKEV Velikost deformacije v preslikani točki (na ravnini) izražamo s tako imenovanim linijskim merilom. To je razmerje med neskončno majhnim linijskim elementom (daljico) na projekcijski ravnini in ustreznim linijskim elementom na ploskvi A'B' cA = lim -- , B->J\ AB 3.1 kjer sta AB dolžina loka na ploskvi, A'B' pa dolžina slike le-tega na ravnini (Maling, 1973, Jovanovič, 1983). Linijskega merila ne smemo zamenjevati z glavnim merilom oziroma deklariranim merilom karte. To je pomanjšava vsebine karte, ki jo lahko izvedemo pred ali po preslikavi na ravnino in nima vpliva na deformacije vsebine. Strogo vzeto se linijsko merilo nanaša na točno določeno smer v dani točki, odvisno . je namreč od smeri, iz katere točko B v enačbi 3.1 približujemo točki A, torej velja CA = cA(a). želimo seveda, da se razmerja med linijskimi elementi na ploskvi in ustreznimi slikami le-teh na ravnini čimbolj ohranjajo. Odstopanje linijskega merila od enote CA = 1 - CA 32 imenujemo linijska deformacija. Ta je lahko negativna ali pozitivna, odvisno od tega, ali gre za skrček ali raztezek linijskega elementa. 4 IZBIRA OPTIMALNIH PROJEKCIJ UKRIVLJENIH PLOSKEV ako torej izberemo najustreznejšo projekcijo? Za vsako ploskev lahko konstruiramo poljubno število različnih konformnih (kotno pravilnih) in tudi ekvivalentnih (površinsko pravilnih) projekcij. l',!ikoli pa za ploskev, ki ni odvojna, projekcija na ravnino ne more biti hkrati konformna in ekvivalentna. Izbiro najustreznejše projekcije določajo oblika in velikost območja preslikave, oblika ploskve, ki jo oziroma s katere preslikujemo in predvsem naš namen. Za potrebe različnih kartometričnih nalog (merjenje kotov oz. smeri, merjenje površin, merjenje dolžin) izbiramo projekcije glede na vrsto oziroma značaj deformacij (Maling, 1989). Kadar poleg ploskve, ki jo preslikujemo na ravnino, opredelimo oziroma ustrezno omejimo tudi območje preslikave, lahko govorimo o optimalni projekciji. To je projekcija, za katero so - v celoti gledano - deformacije minimalne. Gre za tako imenovano Airyjevo merilo, ki terja, da je vsota kvadratov linijskih deformacij vzdolž celotnega preslikanega območja minimalna (Maling, 1973). Zapišemo ga lahko v obliki 1f()~e 2 (a)· dal· dS = mi~ kjer je e(a) linijska deformacija v dani točki in dani smeri, S pa območje preslikave. Projekcijo, ki zadovoljuje zgoraj navedeni pogoj, imenujemo tudi projekcija najmanjših deformacij. Poleg projekcije (absolutno) najmanjših deformacij lahko govorimo tudi o konformni projekciji najmanjših deformacij in ekvivalentni projekciji Geodetski vestnik 43 ( 1999) 4 najmanjših deformacij. Pogoj je isti tudi za ti dve projekciji, seveda pa morata hkrati izpolnjevati še ustrezni pogoj konformnosti oziroma ekvivalentnosti. Izpeljava takšnih optimalnih projekcij je tudi za relativno enostavne ploskve in enostavno opredeljena območja običajno prezahtevna in analitično neizvedljiva naloga. Konformna projekcija najmanjših deformacij za preslikavo območja na elipsoidu, omejenega z zaključenim poligonom, je bila na primer predstavljena šele pred kratkim (Nestorov, 1997) in je v praksi izvedljiva le z numeričnimi metodami. 5 NEKARTOGRAFSKE PROJEKCIJE UKRIVLJENIH PLOSKEV Postopki preslikavanja zemeljskega površja na ravnino so predmet matematične kartografije. Temeljijo na tem, da je naša ploskev relativno enostavna: krogla (sfera) ali rotacijski elipsoid (sferoid). Kljub temu so izpeljave kartografskih projekcij - kot smo videli - velikokrat zelo zahtevne. Če se ne omejujemo več na kroglo oziroma elipsoid, ampak obravnavamo ploskve na splošno, se torej srečamo z velikimi problemi. Vsaka malo bolj kompleksna ploskev postane z vidika preslikavanja na ravnino v praksi analitično neobvladljiva, kar pomeni, da trud, ki bi bil potreben za izpeljavo ustreznih enačb projekcij, po vsej verjetnosti ne bi bil povrnjen. Če želimo.nalogo reševati analitično, moramo našo ploskev aproksimirati s takšno, za katero so ustrezne enačbe projekcij že izpeljane. Pri tem pa seveda lahko pride do precejšnjih odstopanj. Ena izmed rešitev problema, pri kateri se odpovemo analitičnemu pristopu reševanja naloge, bo opisana v nadaljevanju. 6 TVORBA ŽIČNIH OGRODIJ UKRIVLJENIH PLOSKEV a mersko (metrično) obravnavo ploskve je treba najprej določiti dovolj primerno razporejenih točk na njej. Gostota točk je odvisna od ukrivljenosti ploskve na danem območju in od zahtevane natančnosti. Običajno izberemo dobro določljive točke detajla na površini ploskve. Koordinate teh točk (x, y, z) lahko določimo na primer s postopki dvoslikovne fotogrametrije. Pri tem uporabimo poljuben (lokalni) pravokotni koordinatni sistem. Ploskev lahko sedaj opišemo analitično (kot aproksimacijsko ploskev določenega tipa), ali pa jo predstavimo v obliki neenakomerne trikotniške mreže. Zadnja je definirana kot mreža stikajočih se ravninskih trikotnikov, ki se glede na razporeditev točk ( odvisno od geometrije ploskve) razlikujejo v velikosti, obliki in naklonu. Trikotniško mrežo tvorimo s pomočjo niza raztresenih točk, običajno z Delaunayjevo triangulacijo. Gre za najboljšo trikotniško aproksimacijo dane ploskve; dobljeni trikotniki se kar najbolj približajo enakostraničnim (Clarke, 1995). Osnovni algoritem Delaunayjeve triangulacije v trirazsežnem prostoru je zelo enostaven. Iz niza zajetih točk na ploskvi izberemo poljubno trojico. Tvorimo najmanjšo kroglo, ki še vsebuje vse tri izbrane točke. Nato preverimo, ali je še kaka druga točka iz niza znotraj takšne krogle. Če takšnih točk ne najdemo, potem izbrana trojica predstavlja Delaunayjev trikotnik. S takšnimi preverjanji lahko poiščemo vse Delaunayjeve trikotnike. Z uporabo algoritma Delaunayjeve triangulacije je torej tvorba trikotniške mreže enolična in avtomatična. Če predhodno ne določimo roba triangulacije ( obodnega poligona), je rezultat triangulacije konveksna lupina. Z ustreznim merilom za izločanje robnih trikotnikov z zelo ostrimi koti v ogliščih lahko tudi iskanje smiselnega roba območja prepustimo računalniku. Dobljeno trikotniško mrežo imenujemo tudi žično ogrodje ploskve. Geodetski vestnik 43 (1999) 4 7 RAZPENJANJE ŽIČNIH OGRODIJ UKRIVLJENIH PLOSKEV Po zgoraj opisanem postopku ploskev aproksimiramo z ravnimi trikotnimi ploskvicami; robovi le-teh (stranice trikotnikov) tvorijo palično konstrukcijo. Osnovna ideja je v tem, da dobljeno konstrukcijo preoblikujemo v ravninsko tako, da jo pri tem čim manj deformiramo. Zato bomo v nadaljevanju namesto o projekciji govorili o razpenjanju žičnega ogrodja ploskev na ravnino. Nakazano rešitev v praksi zelo enostavno prevedemo na izravnavo ustrezne trilateracijske mreže. Prave (prostorske) dolžine stranic trikotnikov dobijo vlogo dolžinskih opazovanj. Rezultat izravnave so popravki dolžin, in sicer takšni, da žično ogrodje postane ravninsko in da je vsota kvadratov popravkov dolžin stranic, pomnoženih z ustreznimi utežmi, minimalna N 'v 2 . ~ p , · v , = 1nm, 7.1 i= 1 kjer so N število vseh stranic mreže, vi popravek dolžine i-te stranice in Pi utež i-te stranice. Pomembna je torej pravilna izbira uteži. Linijska merila stranic po razpenjanju lahko izrazimo kot C = 1 kjer jedi prava dolžina stranice. Vstavimo enačbo 7.2 v enačbo 3.2 in izrazimo linijsko deformacijo i-te stranice v e, = 1 - c. = - _c_ ' d, 7.2 7.3 Za optimalno razpenjanje smiselno uporabimo Airyjevo načelo, da je vsota kvadratov linijskih deformacij vzdolž celotne konstrukcije minimalna N 'v ? • ~ e~ = mm. 7.4 i=l Enačba 7.4 je le drugačen zapis enačbe 7.1 in upoštevaje enačbo 7.3 dobimo ? ? 1 e~ = P, · v~ • P, = -2 · , d, Utež dolžine i-te stranice mora torej biti obratnosorazmerna kvadratu dolžine. Takšen izbor uteži nam zagotavlja, da je vsota kvadratov linijskih deformacij vzdolž celotne konstrukcije pri razpenjanju minimalna. Rezultat postopka je optimalno razpeto žično ogrodje ploskve, kar je zelo dobra aproksimacija optimalne projekcije (projekcija najmanjših deformacij) dane ploskve na ravnino; z zgoščevanjem točk na ploskvi bi se namreč vse bolj bližali rezultatu, kakršnega bi dobili s takšno optimalno projekcijo. ako zastavljeno trilateracijsko mrežo izravnamo kot prosto ravninsko mrežo. Postopek izravnave je iterativen. Kot začetne približne koordinate vzamemo kar koordinate zajetih točk ( oglišč trikotnikov) brez z-koordinate. Prvi približek je torej pravokotna projekcija žičnega ogrodja na ravnino xy. Ogrodje prej v lokalnem koordinatnem sistemu obrnemo tako, da je regresijska ravnina vozlišč ogrodja ( oglišč Geodetski vestnik 43 ( 1999) 4 trikotnikov) čimbolj horizontalna. Opozoriti je treba, da pri izravnavi trilateracijskih mrež pričakujemo majhne popravke opazovanj in zato smemo sisteme enačb le-teh linearizirati. V našem primeru lahko to storimo le, če je ploskev dovolj blizu odvojni. V nasprotnem primeru je zadostitev pogoja minimalnih deformacij nekoliko bolj zahtevna naloga. 8 PRAKTIČNI PRIMER RAZPENJANJA NA RAVNINO Opisani postopek razpenjanja na ravnino je bil razvit in uporabljen za ravninske prikaze fresk v cerkvi sv. Marije Alietske v Izoli. Med drugimi izdelki sta naročnika, Občina Izola in Medobčinski zavod za varstvo naravne in kulturne dediščine Piran, za potrebe restavratorskih del zahteval osem takšnih na ravnino razpetih fotografij fresk. Izvajalec projekta je bil Inštitut za geodezijo in fotogrametrijo FGG (Oven, Berk, 1998). Mersko dokumentiranje objektov kulturne dediščine danes temelji na trirazsežnih modelih objektov, ki jih tvorijo žična ogrodja posameznih stranskih ploskev (Kosmatin Fras et al., 1998). Zato so vse faze zajema in predstavitve tovrstnih ploskev že utečena zadeva. Prikazani so rezultati zajema in obdelave ene izmed fresk, ki je na polkrožnem oboku na stropu cerkve. Freska je bila zajeta z 92 detajlnimi točkami. Z Delaunayjevo triangulacijo smo dobili žično ogrodje freske (Slika 3), ki ga tvori 126 trikotnikov in 217 stranic trikotnikov. Razpenjanje je torej v našem primeru pomenilo razrešitev predoločenega sistema 217 enačb s 184 ( = 2x92) neznankami. Postopek je terjal 5 ponovitev izravnave. Razdalja med skrajnim levim in skrajnim desnim vogalom freske se je z razpetjem na ravnino povečala s 4,792 m na 6,113 m, torej za 1,321 m (tj. 27,6 % ). Največja linijska deformacija stranice ogrodja je pri tem znašala 0,0094 oziroma 9,4 %o. Po izvedenem razpenjanju žičnega ogrodja smo dobili ravninsko ogrodje (Slika 4), ki je služilo kot osnova za ravninski prikaz dane vsebine. Šlo je za skanirano fotografijo freske oziroma ornamenta (Slika 2). Vklop je bil izveden s prevzorčenjem, in sicer po odsekih glede na izbrane detajlne točke (vozlišča žičnega ogrodja). Uporabljena je bila bilinearna transformacija. Končni rezultat je bil na ravnino razpeta fotografija freske (Slika 5), natisnjena v merilu 1:10. Slika 2: Fotografija freske Geodetski vestnik 43 (1999) 4 Slika Slika 4: Na ravnino razpeto žično Slika Na ravnino razpeta Geodetski vestnik 43 (1999) 4 v Se nekaj podatkov o uporabljenem instrumentariju in programski opremi: Stereopari so bili posneti z mersko kamero Rolleiflex 6006. Stereoizvrednotenje z zajemom karakterističnih točk fresk je bilo izvedeno na analitičnem instrumentu Adam Promap System. Za tvorbo žičnega ogrodja je bil uporabljen (posebej za to izdelani) program Delaunay, za razpenjanje tega ogrodja na ravnino pa program Trim (Berk, Janežič, 1995). Prevzorčenje skaniranih fotografij glede na razpeto ogrodje je bilo izvedeno s programom Adobe Photoshop. 9 ZAKLJUČEK Prikaz ukrivljenih ploskev na ravnini v splošnem ni možen brez deformacij vsebine. Za enostavne ploskve (plašč krogle in rotacijskega elipsoida) je na voljo široka paleta kartografskih projekcij, s pomočjo katerih imamo deformacije tako ali drugače pod nadzorom. Kadar pa je naša ploskev bolj kompleksna, jo sicer lahko aproksimiramo z lepše prilegajočo se ploskvijo višjega reda, izpeljati ustrezno projekcijo zanjo pa je vse prej kot enostavna naloga. V prispevku je predstavljena možnost, pri kateri se odpovemo analitični rešitvi. Vsako ploskev lahko na podlagi niza raztresenih točk na njej aproksimiramo z ravnimi trikotnimi ploskvicami. Najboljšo možno aproksimacijo dobimo s postopkom Delaunayjeve triangulacije. Stranice dobljenih trikotnikov tvorijo žično ogrodje ploskve, ki ga razpnemo na ravnino tako, da so deformacije minimalne. Takšno razpenjanje je zelo dobra aproksimacija optimalne projekcije ploskve na ravnino. Opisani postopek lahko z zamenjavo vlog posameznih količin prevedemo na izravnavo ustrezne trilateracijske mreže. Za razpenjanje lahko uporabimo obstoječo programsko opremo za izravnavo geodetskih mrež. Na ravnino razpeto žično ogrodje ploskve nam nato služi kot podlaga za ravninski prikaz vsebine, ki se nahaja na njej. Viri in meratmra: Berk, S., Janežič, M, TRIM - program za izravnavo triangulacijskih mrež. Geodetski vestnik, Ljubljana, 1995, letnik 39, št. 4, str. 271-279 Clarke, K C., Analytical and Computer Cm1ography. 2nd Edition. Prentice-Hall, Englewood Cliffs (Newlersey), 1995 Jovanovič, V, Matematička kartografija. Vojnogeografski institut, Beograd, 1983 Kosmatin Fras, M. et al., Sodobne oblike metričnega dokumentiranja objektov kulturne dediščine. Geodetski vestnik, Ljubljana, 1998, letnik 42, ŠI. 4, str. 383-390 Maling, D. H., Coordinate Systems ancl Map Projections. George Philip and Son Limited, London, 1973 Maling, D. H., Measurements from Maps. Principles ancl methods of cartomelly. Pergamon Pres:o~ Oxford, 1989 Nestorov, l. G., Camprel, A New Acliptive Conformal Cartographic Projection. Cartography and Geographic Information Systems, American Congress on Surveying ancl Mapping, Bethesda (Mwyland), 1997, Vol. 24, No. 4, pp. 221-227 Oven, K, Berk, S., Izdelava fotogrametričnega posnetka stropa cerkve sv. IVI arije Alietske v Izoli. Tehnično poročilo. Inštitut za geodezijo in fotogrametrijo FGG, Ljubljana, 1998 Recenzija: Sergej Čapelnik dr. Bojan Stopar Geodetski vestnik 43 ( 1999) 4 OLLING, PROJECTING, STRETCHING OF CURVED SURF ACES INTO A PLANE Sandi Berk Institute of Geodesy, Cartography and Photogrammetry FGG, Ljubljana Received f or publication: September 2 1999 Prepared for publication: December 8 1999 Abstract Problems of representing curved surf aces on the plane are discussed. Fram a set of captured points, a wire frame of the swface can be created using the Delaunay triangulation. In this way, the curved surf ace is approximated by small planar facets. A method of stretching of the wire frame of the surface onto a plane is presented. The stretching is perf ormed in such a manner that the sum of squares of linear distortions throughout the frame, as a whole, reaches a minimum value. The idea comes from the Airy's criterion far the projection of minimal distortions. Keywonls: adjustment, Airy's criterion, curved surface, Delaunay triangulation, linear distortion, stretching, wireframe 1 INTRODUCTION The first cartographic representations of the Earth were made in good faith that it is a fiat and disk-shaped form. The beginning of the second step in the development of cartography dates back in the antiquity, the Pythagorean era (6th century BC) when the notion of Earth as a curved surface had begun to ripen. Evidence arose proving the Earth is a sphere. The consequence of this was the appearance of first cartographic projections (Jovanovič, 1983). However, problems arising from the projection of surfaces do not occur in cartography only. Such needs also exist in the conservation of cultural heritage ( e.g. restoration of frescos and ornaments), medicine and elsewhere. It has become obvious that the mapping of surfaces, which cannot be predefined, represents a serious problem. The purpose of this paper is to illustrate the problems arising in projecting curved surfaces onto a plane. Its aim is also to present one of the applicable solutions used in non-cartographic purposes. 2 REPRESENTING CURVED SURFACES ONA PLANE Lei us recall some of the basic characteristics of smooth curved surfaces ( e.g. Jovanovič, 1983). The sections with planes including a normal onto the surface at Geodetski vestnik 43 (1999) 4 the given point are called normal sections. At the given points, the normal sections may have different radii of curvature. The two normal sections, the one with the highest and the one with the lowest radius of curvature, are always mutually perpendicular. They are called principal normal sections. The corresponding radii of · curvature are designated as R 1 and R 2 and are called principal radii of curvature at a given point. By using the two radii we may define the full or the Gaussian curvature of a surface at a given point: K=(R,-R,f. A specific group o surfaces consists of those surfaces that can be generated though moving a straight line in space. These are called ruled surfaces; at least one straight line lying wholly in the plane can be placed through each point of such a surface. However, this is nota sufficient condition allowing us to unroll the surface onto a plane. For example, a onesheet hyperboloid is also a ruled surface (Figure 1, left). A surface that can be unrolled onto a plane without any distortions is called a developable surface. For each point lying on such a surface, the Gaussian curvature equals O. K=O Figure 1: Onesheet hyperboloid (left) and conical surface (right); both surf aces are ruled surfaces, the conical surf ace is also developable one Developable surfaces are generated by moving a straight line along a curve (directrix). Provided the straight line is moved parallel to itself in the given direction, a cylindrical surface is obtained. However, provided the straight line has a fixed point or vertex, a conical surface is obtained (Figure 1, right). Only with such surfaces it is possible to speak about unrolling or unfolding onto a plane. All other surfaces are impossible to project onto a plane without deforming the content (Jovanovič, 1983). Now, we are facing the basic problem in mathematical cartography: how to project a curved surface and its elements onto a plane by reducing the deformation of the content to a minimum level. A projection of a surface onto a plane without deformation would mean the lengths of all linear elements as well as the angles and areas have been preserved. procedure bringing us to the desired result is called projecting or mapping of curved surface onto o plane. Both terms are usually taken to be synonymous, although in a narrow sense, projecting denotes a geometrical procedure where relations between points in a given surface and their corresponding points in an Geodetski vestnik 43 (1999) 4 auxiliary ruled surface ( e.g. curved surface of a cylinder or cone) or directly in a plane are set up with a central or parallel bundle of straight lines. The term mapping denotes the mathematical connection between points on a surface ancl the corresponding points (image) in a plane. There are few cartographic projections that can actually be treated in terms of geometric projecting; names of individual projections ( e.g. conical, cylindrical, horizontal) indicating the type serve merely in didactic purposes (Jovanovič, 1983). In literature we may encounter the division of cartographic projections into geometrical and rnathematical. 3 DEFORMATIONS IN CURVED SURFACE MAPPING rrhe extent of the deforrnation in a mapped point (in a plane) is denoted with the linear or particular scale. This is a ration between an infinitesimal linear element ( a straight line) in the projection plane ancl the corresponding linear element in the surface. Therefore, A'B' c 1 = lim--, • ' 13->A AB , 3.1 where AB stand for the are length in a plane and A'B' for the lcngth of the image of the former in the plane (Maling, 1973, Jovanovič, 1983). The linear scale should not be mistaken for the principal scalc or the stated scale of the map. This is a reduction of the map content which can be performed prior to or after the mapping into a plane. The recluction has no effect on the cleformation of the content. Technically speaking, the linear scale is related to a specifically clefined direction in a given point, for it depends on the clirection from which the point B in the equation 3.1 is neared to the point A. This rclation is shown in the following equation:c A = c A ( a) . The ratios between the linear elements on t~1e surface and th~ir respective_images m the plane neecl to be preserved to the h1ghest extent poss1ble. The cleviat1ons of the linear scale from the principal unit is called lincar clistortion. Linear distortion may be either positive or negative, depending on whether the linear element is contractecl or extendecl. 4 SELECTING OPTIMAL CURVED SURFACE JPROJECTIONS 3.2 The question imposing itself is how to select the optimal projection. A ranclom number of clifferent conformal as well as equal-area projections can be constructed for each surfacc. However, this is not possihle for surfaces not being developable for the projection into a plane cannot be conformal and equal-area at the same tirne. The selection of the optimal projection is clictated by the shape and sizc of thc mapped region, and by the shapc of the smface that is being mapped or from which it is being mapped, as well as by our intentions. For the purposes of various cartomctric tasks ( angle or clirection measurement, measmement of area, rneasurement of length), projections are selectecl according to the type and thc nature of distortions (Maling, 1989). Whcn thc mappcd region is dcfined or properly outlined as well, beside the surface being mapped into the plane, we may speak about an optimal projection. On the whole, this is a projection containing minimal distortion. What we have here is the Airy's criterion requiring the sum of squared Geodetski vestnik 43 ( 1999) 4 linear distortions along the entire mapped area to be minimal (Maling, 1973). The mathematical form of the criterion is as follows: JI(2f e2 (a). da). dS = min~ S a=O where e( a) denotes linear distortion in a given point and direction, and S denotes the mapped area. The projection conforming to the abovementioned criterion is called the projection of minimal distortions. . Beside the projec~ion_ of (abs~ll~tely) ~ini~al distortions, we may als.o speak about a conformal pro3ect1on of mm1mal d1stortions as well as about a equal-area projection of minimal distortions. The condition stands for the two projections as well. However, they also need to comply with the conformity and the equal-area condition. The derivation of such optimal projections is usually too demanding and a task impossible to perform analytically even for relatively simple surfaces and mapped regions with simple definitions. The conformal projection of minimal distortions for the mapping of an area of an ellipsoid bound with a closed polygon was introduced only recently (Nestorov, 1997). In practice, the projection can be performed only through numerical methods. S NON-CARTOGRAPHIC PR.OJECUONS OF CUR.VED SURFACES rrhe procedures of mapping the earth's surface into a plane are a subject of mathematical cartography. The procedures are based upon the fact that we have to deal with a relatively simple surface: sphere or a ellipsoid of revolution (spheroid). Notwithstanding, the derivation of cartographic projections - as we have seen - can be often a rather demanding task. If we do not limit our deliberations to a sphere or ellipsoid but start dealing with surfaces in general, we encounter complex problems. Each even slightly more complex surface becomes in practice analytically insuperable for the point of view of mapping into a plane. This means that the effort needed for the derivation of corresponding projection equations, probably would not pay off. However, if we desire to solve the problem analytically, we need to approximate the surface in question to such a surface for which corresponding projection equations have already been derived. One of the solutions to the problem in which we renounce the analytical approach shall be described in the text that follows. 6 FORMAUON OF WIRE FRAMES OF CURVED SURi