v VISINE, POTENCIAL IN GEOPOTENCIALNEKOTE doc.dr. Božo Ko/er FGG-Oddelekzageodezijo, Ljubljana Prispelozaobjavo: 1998-01-21 Pripravljeno za objavo: 1998-03-20 Izvleček V članku je predstavljena povezava med merjeno višinsko razliko in težnostnim pospeškom. Na osnovi te povezave je opredeljena razlika potencialov in geopotencialne kote, ki predstavljajo osnovo za izračun višin točk v različnih višinskih sistemih. Ključne besede:geopotencialne kote, nivojska ploskev, potencial, razlika potencialov, težnostni pospešek, višinska razlika 1 WOD Višine in višinske razlike imajo geometrični in fizikalni pomen. Običajno si višine predstavljamo kot vertikalno oddaljenost neke točke nad neko primerjalno ploskvijo. V tem primeru je višina opredeljena kot geometrična količina. Iz praktičnih izkušenj tudi vemo, da imata dve točki isto višino, kadar voda med tema dvema točkama miruje. To pomeni, da ti dve točki ležita na isti nivojski ploskvi in da višinska razlika med dvema točkama predstavlja proporcionalno mero razliki potencialov. Tako dobimo fizikalni pomen višine oziroma višinske razlike. Kateri pomen (geometrični ali fizikalni) višine oziroma višinske razlike je bolj pomemben, je predvsem odvisno od namena uporabe višin oziroma višinskih razlik. Za večino naravnih in umetnih dinamičnih procesov, ki. potekajo na Zemlji (gibanje vod, vozil in dinamika zgrajenih objektov), je primernejša fizikalna interpretacija višine in višinske razlike. Za potrebe geodezije oziroma določitve položaja točk v tridimenzionalnem prostoru pripisujemo čedalje večji pomen geometrični interpretaciji višine oziroma višinske razlike. Geometrična interpretacija je dobila še posebno veljavo tudi z uvedbo GPS-jeve tehnologije v geodetsko izmero. 2 POTENCIALINRAZLIKAPOTENCIALA V vsaki točki na površini Zemlje deluje vektor sile teže, ki je pravokoten na nivojsko ploskev skozi to točko. Tako ima vsaka točka točno določen potencial. Vse točke, ki imajo enak potencial, ležijo na isti nivojski ploskvi. V geodeziji nas zanima povezava med težnostnim pospeškom - gin merjeno višinsko razliko - dh. Vektorskemu polju W (x, y, z) težnostnega pospeška je za lažjo obravnavo prirejeno skalarno polje, tako da velja: g=gradW. Velikost vektorja sile teže je težnostni pospešek g, za katerega velja: Geodetski vestnik42 (1998)1 dW g = dh 2.1 Višinska razlika med točkama je določena z dolžino navpičnice med nivojskima ploskvama, za kateri velja W(x,y,z) = konstanta (glej sliko 2.2). Negativni predznak v enačbi pomeni, da sta veličini gin višinska razlika ( sprememba višine) dh obratnosorazmerni. Med dvema nivojskima ploskvama, ki potekata skozi točki P1 in P2, s konstantnima potencialoma W p1 in W P, , obstaja tudi konstantna razlika potencialov (W p1 - W r) . Ti dve nivojski ploskvi sta razmaknjeni za dh. Zaradi nepravilno porazdeljenih mas v notranjosti Zemlje je težnostni pospešek g na nivojski ploskvi spremenljivka. Spremembo težnostnega pospeška ( t,,.g) lahko z veliko natančnostjo merimo z gravimetri. Enota za Lig, ki se uporablja v geodeziji, je 1 gal = 10-2 ms-2 in ni zajeta v mednarodnem merskem sistemu enot SI. Če zapišemo enačbo 2.1 v obliki dW =- g dh = konstanta 2.2 in upoštevamo, da se g spreminja, potem je jasno, da se obratnosorazmerno spreminja tudi razmik med nivojskima ploskvama dh. Iz tega seveda sledi, da sosednje nivojske ploskve med seboj niso vzporedne. Če je g večji, je razdalja med nivojskima ploskvama dh manjša (Bretterbauer, 1986). v Ce želimo točkam določiti nedvoumne in od poti niveliranja neodvisne višine, potem moramo definicijo višin povezati s potencialom. Zanima nas seveda razlika potencialov, ki je neodvisna od poti, pri čemer se pojavi vprašanje, ali lahko iz podatkov o merjenem težnostnem pospešku in nivelirani višinski razliki, določimo razliko potencialov. Prvi je odgovoril na to vprašanje že Helmert leta 1884. Problem določitve razlike potencialov iz merjenih višinskih razlik in težnostnega pospeška je najprej obravnaval na enem stojišču instrumenta. višinsko razliko med točkama P2 in Ps dobimo kot razliko odčitkov (Z, S) vertikalno postavljeni nivelmanski lati na točkah P 2 in P" pri horizontalni vizuri. V tem primeru je vizura tangenta na nivojsko ploskev, ki poteka skozi optični center objektiva. Za razliko potencialov med točkama in Ps velja (Leismann et al., 1992): P, W5 - Wz= - f gdh= - ( lzgz- l5g5 ), Pz kjer so: lz, 15 .•. dolžina navpičnice skozi točki Pz, P5 med nivojskimi ploskvami (Wz = konstanta, W5 = konstanta in W = konstanta) gz, g 5 ..• ustrezna srednja vrednost težnostnega pospeška na ustreznem delu navpičnice. 2.3 Geodetski vestnik 42 (1998) l konstanta z P " z 111 '==i i i CC 111 - - Ws = konstantč ~-~-~; _,~1 :: ;' [~~---- . / dhs __________ 0 _______ Wz = konstanta Ps Slika2.l Iz slike 2.1 vidimo, da lahko rahlo ukrivljena dela navpičnice zamenjamo z odčitkoma na nivelmanski lati Z in S, ki ju zmanjšamo za vrednost dz in ds, Po Helmertu je pogrešek, ki ga pri tem naredimo v nivelmanski liniji, zanemarljivo majhen. Zato lahko vrednosti (Leismann et al., 1992) - 1 1 · g z = - f gdh m g s = - f gdh 2.4 lz ls aproksimiramo z vrednostjo, ki jo dobimo na polovici odčitkov na nivelmanski lati, saj lahko pri majhnih višinskih razlikah vzamemo, da se težnostni pospešek zmanjšuje linearno z višino. Tako lahko enačbo 2.3 zapišemo v naslednji obliki: - - Ws-Wz ~-(Z-dz) gz+(S-ds) gs. 2.5 Če enačbo 2.5 preoblikujemo tako, da so posamezni členi izraženi kot vsota oziroma razlika odčitkov na nivelmanskih latah (Z in S), srednjih vrednosti težnostnega pospeška (gz, gs) in vrednosti dz in d5, dobimo: (Z-S) (Z +S) Ws -Wz = ---(gz + &)---(gz gs) + 2 2 2.6 + (dz ;ds) (gz + gs) + (dz ;ds) (gz gs)· niveliramo iz sredine, kar je predpisano za precizni nivelman, potem je razlika - d5) zanemarljivo majhna, ker je ukrivljenost nivojske ploskve med stojiščem instrumenta in stojišči nivelmanskih lat (spredaj, zadaj) skoraj enaka. Podobno velja tudi za nivelmansko linijo, tako da lahko tretji člen v enačbi 2.6 izpustimo. Na osnovi raziskav, ki so jih opravili Baeschlin, Ramsayer in Zeger, so ugotovili, da sta zanemarljivo majhna tudi drugi in četrti člen omenjene enačbe, torej vrednost (gz - gs)· Tako dobimo: (Z-S) Ws-Wz =---(g2 +gs)· 2.7 2 Geodetski vestnik 42 (1998) 1 Poleg tega velja za razliko potencialov W 5 - W z: W5 Wz = dhzg~ = dh5 g~, kjer so: 2.8 dhz, dh5 ... oddaljenost med nivojskima ploskvama W z = konstanta in W5 = konstanta v točki P z oziroma P s g~ , g~ . . . srednja vrednost težnostnega pospeška na intervalu P z - P ~' in P s - P ~' (glej sliko 2.1). Če vzamemo za: in izenačimo enačbi 2. 7 in 2.8, ter poiščemo rešitev enačbe za razliko odčitkov na nivelmanski lati, potem dobimo enačbi: -(Z -S)= dhz g~' m -(Z -S)= dh5 _k. 2.10 g g Faktorjev merila, g~' in g~' , ni treba upoštevati, ker je njihov vpliv manjši od h10·8• g g Tako lahko enačbi 2.10 zapišemo z zadovoljivo natančnostjo v obliki: dhz =-(Z-S)= dh5. 2.11 To pomeni, da lahko razliko odčitkov na nivelmanskih latah (Z - S), na enem stojišču instrumenta, z zadovoljivo natančnostjo aproksimiramo z oddaljenostjo med nivojskima ploskvama, ki potekata skozi izmenišči nivelmanskih lat. Razliko potencialov med izmeniščema nivelmanskih lat dobimo, če pomnožimo merjeno višinsko razliko s težnostnim pospeškom na stojišču (glej enačbo 2.9). Za posamezno stojišče je ta vrednost enaka težnostnemu pospešku na višini Z: S nad stojiščem instrumenta (Leismann et al., 1992). Ker je merjenje težnostnega pospeška v tej točki nepraktično, lahko po Helmertu vzamemo za težnostni pospešek v enačbi 2.9 tudi aritmetično sredino težnostnih pospeškov, ki smo ju izmerili na izmeniščih nivelmanskih lat. Na osnovi omenjenih enačb lahko vidimo, da lahko razliko potencialov med točkama P z in P s določimo na osnovi podatkov o merjenem težnostnem pospešku in nivelirani višinski razliki. a podoben način lahko določimo razliko potencialov v nivelmanski liniji med točkama P I in P 2. Če označimo z 8hi višinsko razliko na enem stojišču instrumenta ( odčitek na lati zadaj - odčitek na lati spredaj), potem je merjena višinska razlika med točkama P I in P 2 enaka: P2 P, dhp, = Lb h;. i = pl Ker nivojske ploskve težnostnega polja niso med seboj vzporedne in ker sta vrhunjenje libele in lega kompenzatorja nivelirja tesno povezana s težnostnim poljem, višine točk niso določljive neodvisno od poti niveliranja. Iz slike 2.2 lahko vidimo, da je nivelirana višinska razlika odvisna od poti. Če si zamislimo niveliranje od P1 prek P2" do P2 ali od Geodetski vestnik42 (1998) 1 p I prek P 1 • • do P 2, dobimo različen rezultat, ker je nivelman vzdolž nivojskih ploskev P1P2 " in P 1 "P2 enak nič. Neodvisna od poti je samo razlika potencialov (WP, -Wp,), kijo dobimo z integriranjem enačbe 2.2. V praksi integral aproksimiramo z vsoto in tako dobimo (Bretterbauer, 1986): Pi P2 - WP, = - f g cth:: = L g;8h. 2.12 P1 i = P( \ dhr, P, -----------~=konstanta -------~ Slika2.2 Na sliki 2.2 so: Pi · 8h; ... višinska razlika med dvema izmeniščema nivelmanskih lat (razlika odčitkov na lati zadaj in lati spredaj) dh:, ... višinska razlika med točkama P 1 in P 2_ 3 GEOPOTENCIALNEKOTE V predhodnem poglavju smo ugotovili, da lahko razliko potencialov med točkama P 1 in P 2 določimo na osnovi podatkov o merjenem težnostnem pospešku in nivelirani višinski razliki. Takšen nivelman lahko imenujemo geopotencialni nivelman. Geopotencialni nivelmanje opredeljen kot nivelman, ki povezuje geometrični nivelman s podatki o merjenem težnostnem pospešku. Razlike potencialov posameznih točk, glede na ničelno nivojsko ploskev - geoid, je francoski geodet P. Tardi imenoval geopotencialne kote - (C). Tako velja za točko Pi: P; CP, = WPl' - Wr, = J gi dh~, , P1 kjer je: WP:' ... potencial ničelne nivojske ploskve - geoida ... potencial nivojske ploskve skozi točko Pi ... točki Pi prirejena točka na ničelni nivojski ploskvi - geoidu. V praksi integral aproksimiramo z vsoto in tako dobimo: P; CP, = L g;8h;, kjer je: 8hi ... višinska razlika na i-tem stojišču instrumenta gi ... srednja vrednost težnostnega pospeška med izmeniščema i in i-1, torej: Geodetski vestnik42 ( 1998) 1 3.1 3.2 8hi ... višinska razlika na i-tem stojišču instrumenta g; ... srednja vrednost težnostnega pospeška med izmeniščema i in i-1, torej: g izm + gizm 1-l 1 gi = 2 določimo, da je višina ničelne nivojske ploskve oziroma geoida enaka O, razlika potencialov predstavlja naravno mero za višine točk na ""''·u"'''"''"' površini. Enota za geopotencialne kote je Nm/kg, kar pomeni delo na enoto mase. Leta 1954 je Mednarodna zveza geodetov na zasedanju v Rimu sprejela, da je enota za geopotencialne kote 1 kgal m = 1 gpu (geopotencialna enota)= 10 Nm/kg = 10 m2/s2. Razlike geopotencialnih kot, med reperjema in izračunamo po enačbi (Bilajbegovic et al., 1989): fl.C P, = g dh P, P1 P1 pt' g ;, izračunamo po enačbi: 1 kjer so: g P ... težnostni pospešek na reperju P 1 1 g P ••• težnostni pospešek na reperju 2 dh ;, ... merjena višinska razlika med reperjema P I in 1 4 ZAKLJUČEK za geopotencialne kote velja, da nedvoumno opredelijo višine točk in je točk določena neodvisno od poti niveliranja, so za večino uporabnikov neprimerne, saj predstavljajo povsem fizikalno opredeljene višine točk. Glavna pomanjkljivost geopotencialnih kot je, da jih ne moremo geometrično interpretirati in niso izražene v metrih, kar je zelo bistveno za številne uporabnike. Ti dve glavni pomanjkljivosti geopotencialnih kot lahko odpravimo na ta način, da geopotencialne kote delimo s težnostnim pospeškom v določeni točki. Tako nam geopotencialne kote predstavljajo osnovo za določitev višin točk v različnih višinskih sistemih ( ortometrične višine in normalne višine), razen seveda za določitev elipsoidnih višin točk, ki so povsem geometrično opredeljene višine točk. Literatura: Bilajbegovič,A. etal., Istraživanja o izborusustava visinazaNVT SFRJ s obzirom na točnost ubrzanja sile teže. Geodetskilist, Zagreb, 1989, letnik43 (66), št. 4-6, str. 97-106 Bretterbauer, K., Das Hoehenproblem derGeodaesie, Oesterreichische Zeitschriftfuer Vermessungswesen und Photogrammetrie, Dunaj, 1986, letnik 74, št. 4, str. 205-215 Leismann, Metal., Untersuchungen verschiedener Hoehensysteme, dargestelltan einer Testschleife in Rheinland-Pf alz. Muenchen, DG K-Reihe B, 199 2, str. 3-30 Recenzija: dr. Miran Kuhar doc.dr. Bojanstopar Geodetski vestnik42 ( l 998) 1