      P 50 (2022/2023) 310 Galtonova plošča A L Nedavno mi je prišla v roke industrijsko izde- lana Galtonova plošča (glej sliko na naslovnici). Včasih smo jo naredili sami. V desko smo enako- merno pribili žebličke v več vrstah. Ti so predstav- ljali mrežo ovir za kroglice, ki smo jih spuščali po malo nagnjeni deski navzdol. Kroglice so pri tem trkale ob žebljičke, se pri tem preusmerjale sem in tja in končno, ko so se izvile iz mreže, pristale v žlebičkih na dnu. Čeprav smo kroglice spuščali z istega mesta, je vseeno vsaka izbrala svojo pot skozi žebljičke. Sedaj lahko tako ploščo kupimo v kakšni spletni trgovini. Kupljena plošča deluje enako kot doma narejena, le da je mreža ovir iz plastičnih valjčkov, plošča pa je zaprta, da množica majhnih jeklenih kroglic ne more pobegniti iz nje. Ko je plošča obrnjena na glavo, se kroglice zberejo v stožčasti posodici na dnu skozi drobno luknjico na njenem vrhu (glej sliko 1). Ko ploščo obrnemo, da je posodica na vrhu, se iz nje začnejo vsipavati krogice na mrežo ovir. Kroglice se prebijajo skozi mrežo, se od ovir odbijajo in se končno ujamejo v enakomerno nastavljene kanalčke vzdolž plošče. Ko so vse krogice v kanalčkih, opa- zimo, da so se porazdelile v obliki zvonaste krivulje. V kanalčkih dlje od sredine jih je malo, v kanalčkih blizu sredine pa več. V srednji kanalček se običajo ujame največ kroglic. S ponovnim obratom se kro- glice iz kanalčkov vsujejo nazaj v posodico in poskus lahko ponovimo. Pri vsakem poskusu opazimo zelo podobno porazdelitev kroglic v kanalčke. Včasih je v izbranem kanalčku malo več, včasih malo manj kro- glic, a njihovo število je vedno blizu povprečne vre- dnosti v tem kanalčku, ki je vrisana na plošči (glej sliko 2). SLIKA 1. Na glavo obrnjena Galtonova plošča s kroglicami v posodici Ko iztekajo kroglice skozi drobno odprtino poso- dice, nimajo vse povsem enakega startnega mesta. Tudi njihove hitrosti na mestu prvih ovir niso pov- sem enake. Res so si startna mesta zelo blizu, a tudi še tako majhne razlike se sčasoma, ko se kroglice prebijajo skozi ovire, močno povečajo. Na Galtonovi plošči je tirom posameznih kroglic zelo težko sle- diti. Zato smo jo »preselili« v računalnik. Kroglice se tudi v programu skoraj elastično odbijajo od ne- premičnih valjastih ovir, kot se to dogaja pri realni plošči. Sedaj lahko sledimo tiru dveh kroglic, ki iz mirovanja startata zelo blizu druga drugi. Na sliki 3 vidimo, da se tira na začetku poti tako malo razliku- jeta, da razlike niti ne opazimo. Potem pa se njuna tira začneta močno razlikovati in sta po izhodu iz       P 50 (2022/2023) 3 11 SLIKA 2. Število kroglic se v posameznih kanaľckih pri vsakem poskusu nekoliko spremeni, a zvonaste krivulje kljub temu ne moremo spregledati mreže povsem različna. Gibanje kroglic skozi ovire je torej zelo nepredvidljivo. Pojav spominja na te- gobe vremenoslovcev. Iz skoraj enakih začetni raz- mer se vreme lahko nepredvidljivo obrne v katero- koli smer. Zato se vremenske napovedi, večinoma si- cer presenetljivo točne, včasih povsem ponesrečijo. Govorimo o vplivu metulja, ki lahko z zamahom kril v nestabilnem ozračju v oddaljenem kraju povzroči nevihto. SLIKA 3. Kaotǐcna tira dveh kroglic pri njunih zelo bližnjih startnih me- stih - trije poskusi S kupljeno Galtonovo ploščo ne moremo opazo- vati vpliva manjšega števila ovir na porazdelitev kro- glic po kanalčkih. Radi verjamemo, da porazdelitev kroglic le pri eni oviri še ne bo zvonasta. Toda kak- šna je potem? Narediti bi morali ploščo, kjer bi vr- ste z ovirami postopoma dodajali. A z računalnikom je kakršnokoli dodajanje ali odstranjevanje ovir pač najpreprostejše. Najprej imejmo le eno valjasto oviro pod odprtino, skozi katero zaporedoma spuščamo 10000 kroglic. Kroglicam z enakim polmerom, kot ga imajo ovire, smo sledili in ugotovili, v kateri kanalček se je do- ločena kroglica ujela. Vse kroglice so spočetka mi- rovale, potem pa smo jih spuščali iz enake višine. Naključno smo spreminjali le njihovo začetno lego levo-desno, vendar tako, da so vse zadele oviro. Po- tem smo po vrsti dodajali vedno več vrstic z ovirami in opazovali končne porazdelitve kroglic (glej sliko 4). Na sliki 5 smo prikazali porazdelitve pri eni oviri (a), oviri in dodani vrsti ovir (b) do dodanih petih vr- stic ovir. Vrstice z ovirami so vedno širše, kot je to videti pri otipljivi plošči na sliki na naslovnici. Pre- gledno vidimo, kako se porazdelitve kroglic bližajo zvonasti obliki. Tej končni porazdelitvi pravimo nor- malna ali Gaussova porazdelitev. Srečamo jo pri šte- vilnih pojavih, kjer so pomembni naključni vplivi, de- nimo pri opisu difuzije delcev. Kroglice pri padanju in odbijanju od ovir dobivajo različno velike sunke, za izid poskusa so pomembne le komponente sun- kov v vodoravni smeri levo-desno. Da bi to ugoto- vitev podkrepili, smo naredili še en računalniški po- skus. Na sliki 6 je porazdelitev desettisočih kroglic, ki so prvotno bile vse v izhodišču (tega označuje ze- lena pika) in smo jih z naključno velikimi sunki sem in tja tisočkrat preusmerili. Po vsakem sunku so se kroglice ustavile, potem pa je sledil nov sunek. Spet vidimo, da je porazdelitev kroglic po zadnjem sunku prepričljivo zvonasta. Poskus priča, da na porazde- litev podrobnosti o naravi trkov ne vplivajo. Zato normalno porazdelitev v fiziki, pa tudi na drugih po- dročjih, zelo pogosto srečamo. Do matematične oblike zvonaste krivulje pridemo z naslednjim razmišljanjem. Denimo, da spuščamo z balkona na lepljiva tla lahke stiroporne kroglice. Zaradi vetra, ki naključno popihlja zdaj sem zdaj tja, vse kroglice ne padajo proti tlom enako, čeprav jih spuščamo s kolikor se da istega mesta. Na tla posta- vimo mrežo drobnih predalčkov, kamor padajo kro- glice. Predalčki naj imajo kar se da tanke stene in naj so tesno skupaj (glej sliko 7). Narišimo na tla še pra- vokotni koordinatni sistem (x,y), ki naj ima izhodišče natančno pod mestom, odkoder spuščamo kroglice. Sredina vsakega predalčka ima sedaj določeni koor-       P 50 (2022/2023) 312 SLIKA 4. Mreža treh vrst ovir (polni krožci) pod najvišjo oviro pri na- ših računalniških poskusih. Prazen krožec predstavlja trenutno lego ene od kroglic, ki se prebija skozi mrežo ovir SLIKA 5. Porazdelitve kroglic pri eni oviri (a), eni dodani vrsti ovir (b), dveh dodanih (c)..., petih dodanih vrsticah (f) dinati x in y , predalčki pa naj imajo vsi dolžino ∆x in vsi širino ∆y . V teh predalčkih se sedaj nabirajo kroglice. Radi verjamemo, da mora biti porazdelitev kroglic v predalčkih z dano ordinato y in različnimi x neod- visna od te ordinate, saj smo predpostavili, da veter pihlja v vse smeri z enako verjetnostjo, torej nobena smer, torej tudi nobena koordinata, ni na boljšem. Sedaj pa poglejmo, kako daleč od sredine našega ko- SLIKA 6. Porazdelitev kroglic po tisočih naključnih sunkih v vodoravni smeri sem in tja. Višina daljic je sorazmerna s številom kroglic v danem intervalu ∆x , ki je za x oddaljen od izhodišča, ki ga nakazuje zelen krožec SLIKA 7. Koordinatni sistem in izbrani pravokotni predaľcek s strani- cama ∆x in ∆y ordinatnega sistema padajo kroglice. Ker velja po Pitagorovem izreku r 2 = x2 + y2, vemo, kako daleč od izhodišča je padla. Označimo število kroglic, ki so padle med x− ∆x2 in x+ ∆x 2 ne glede na koordinato y s p(x)∆x, tiste, ki so padle med y− ∆y2 in y+ ∆y 2 ne glede na koordinato x, pa s p(y)∆y . Tu smo vpeljali porazdelitveni funkciji p(x) in p(y), saj ni vseeno,           P 50 (2022/2023) 3 13 kako daleč od osi x ali osi y je izbrani predalček. Da- leč od katerekoli osi je v predalčkih zelo malo kroglic ali pa je predalček celo prazen. Tudi ni vseeno, kako velik je predalček, to upoštevamo z ∆x in ∆y . Šte- vilo kroglic, ki so padle v prav izbrani predalček s koordinatama x in y , je potem p(x)∆xp(y)∆y . To je zato, ker za kroglico pri danem x ta x ne vpliva na njen y in za kroglico pri danem y ta y ne vpliva na njen x. Sedaj pa odločilni sklep: porazdelitev kroglic po r mora imeti enako odvisnost, kot velja za poraz- delitev po predalčkih z x ali po predalčkih z y . Če sta namreč porazdelitvi za x in za y neodvisni, je porazdelitev po r ravno enaka porazdelitvi po x, ko je y = 0. Na splošno mora torej veljati: p(r)∆x∆y = p(x)∆xp(y)∆y , ali p(r) = p(x)p(y) . Velja tudi: r 2 = x2 +y2 . Edina odvisnost p(x), ki zmore zadovoljiti obe zgor- nji zahtevi, je: p(x) = Aekx 2 . Ker se mora število kroglic v kanalčkih z naraščajo- čim x zmanjševati, mora biti k negativen, torej p(x) = Ae−|k|x 2 . Tu je A sorazmeren s številom kroglic. Z deljenjem p(x) s tem številom preidemo na verjetnost, kar pa za nas niti ni pomembno. Plošča nosi ime po angleškem polihistorju Fran- cisu Galtonu (1822–1911), ki je občudoval lastnost kroglic, da se vedno porazdelijo po zvonasti krivulji. Ploščo je sam izdelal in z njo navdušeno prikazoval to lastnost svojim učencem. Znan je tudi po tem, da je v statistiko vpeljal pojem korelacijskega koefici- enta, ki pove, če ena meritev kako vpliva na drugo in priporočal uporabo krivulj, ki se meritvam najbolj tesno prilegajo, namesto zgolj povprečnih vrednosti, ki so bile do tedaj v uporabi. Vpeljal je statistične metode v meteorologijo in humanistične vede. ××× Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za- porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne. 4 13 11 11 14 16 8 12 8 15 ̌ ̌  3 413 11 38 11 14 158 16 8 35 12 8 35 15 87 ×××