LIST ZA MLADE MATEMATIKE O O FIZIKE ASTRONOME I Z D A J A DMFA SRS UVODNIK ~-------------_..............- Uredniški odbor je s klenil, da vsaj delno uresničimo želje bralcev in razširimo obseg Preseka~ Za zdaj smo to storili s knj i ž i cami , ki dopolnjujejo Prese k in sestavljajo zbirko Pre- sekova knjižn ica. Lan i je bi la to zbirka rešenih nalog Tek mu j - mo za Vegova priznan ja , ki jo je napisal Pavle Zajc. Letos je izšla knjižica Marjana Prosena Astronomska opa zovan ja , ki ste jo prejeli hkrati s 4. številko Prese ka. Zal je zaradi omeje - nih finančnih možnosti morala iziti 4 . številka Preseka le na 32 st raneh . Potrudili se bomo, da v prihodnje ne bo več ta kih polovičnih rešitev. Na eni od zadnj i h sej uredniš kega odbora smo se zelo razveseli li pisma in priložene l. številke lista MaZa z nanost , ki so ga izdali člani matematično-fizi kalno-astronomskega krožka kočev­ ske gimnazije . Pravijo, da bo vsebina tega glasila taka, da bo pomagala dijakom pri učenju in jim natrosila še marsikaj zani - mivega , kar se pri pouku ne sliši, pa še kakšno zabavno zgodbo · o ljudeh, ki so pristavili tako velike kamne k zgradbi matema- tike, fizike in astronomije, da jih vsaj po imenih vsi poznam~ Prva številka kaže , da so držali obljubo . Isk reno jim želimo, da s svojim listom čimbolj uspejo . Veseli bomo naslednjih šte- vilk; gotovo bo v njih kak sestavek , ki bo zanimiv tudi za bralce Preseka in bi ga bilo dobro ponatisniti v Preseku . KO S pričujočo številko k o n č u j e m o V. letnik Preseka, bi se ra- di najtopleje zahvalili in dali priznanje vsem tistim profesor jem, članom matematično-fizikalnih a~tivov, ki s svojo pri za- devnostjo in z delom, ki ostane skrito mnogim očem, tako uspe~ no pomagajo , da pride Presek do res velikega števila mladih bralcev. Zvonko TronteZj 193 PRE S E K UVODNIK MATEMATIKA TEKMOVANJA - NALOGE BISTROVI DEC PISMA BRALCEV NALOGE PREMISLI IN REši REšiTVE NALOG ASTRONOMIJA FIZIKA NA OVITKU NOVE KNJIGE LIST lA t'1.AII: WiIDIATIKE, FIZIKE IN ASTIUftIE 5. U977!l8) ŠT, 4, STR. 193 - 224 v S E BIN A 193 (Zvonko Trontel j) 195 Pravokotni t rikotnik (Ivan Pucelj) 198 Devetnajsta matematična olimpijada (Gorazd Cvet ič) 200 Rešitve iz: P V/2 (Marjan Hribar) 201 Al i je mogoče (Tonaž Pisanski) 202 (Mati Ida Lenarč ič) 206 Na loge iz arhiva (Tonaž Pisanski) 209 (Jože Dover), Naredimo iz muhe slona (Dušan Repovš) 211 Križanka "Geonetr iiski liki" iz P V/3 (Pavel Gregorc) 211 Tri na loge bral ~ev (Tomaž Pisanski) 214 Enica zmaguje (Tomaž Pisanski) 215 Vesolje, 2. del (Janez Strnad) 220 Enajsta šo la iz fizike, 4. del , Svetloba in barve na nebu ( Ivan Kuščer) Pr ispodoba za razširjajoče se ve~ol je: balon- ček napihujemo, na njem nalepljene etike- te, ki ustrezajo jatam galaksij, se raz- mika jo (glej članek Vesol je). II, I I I Enajsta šola iz fiz ike. Sl. 40, 41 . 42. 43. 44 , 45a, 45b in 46 . IV (Andrej eadež) MATEMATIKA___II PRAVOKOTNI TRIKOTNIK Saj poznaš Pitagorov izrek: če je trikotnik pravokotni , je vsota kvadratov krajših dveh stranic enaka kvadratu najdaljše stranice. 10b r a t Pita goro v e ga iz reka. Poglejmo trikotnik s stranicamia = 7, b = 24, (J = 25. Zlahka preverimo, da velja a 2 + b? = (J2 , saj je 72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 25 ~. Nastane pa vprašanje, ali je ta trikotnik tudi pravokotni? Seveda, rečete, preskusi- mo to z risanjem in z merjenjem. Nerodno pri tem pa je, da iz- meriti s kotomerom poljubnega kota pravzaprav natančno ne mo- remo. S tem vprašanjem pridemo v zad rego še bolj v primeru a = 6887, b = 2184, (J = 7225; tudi zdaj lahko preveriš, da ve- lja 6887 2 + 2184 2 = 7225 ~ načrtovanje tega trikotnika pa pov- zroča težave že zaradi velikosti stranic. No, obe zadnji nalo- gi sta le posebna primera tele: Ali je pravilen izrek: (1) če je vsota kvadratov krajših dveh stranic trikotnika ena- ka kvadratu največje stranice, je trikotnik pravokotni . Ta izrek drži! Poglejmo namreč premislek, ki ga potrjuje! Recimo, da ima naš trikotni k ABG stranice a, b i n (J in da ve- lja a 2 + b 2 = c 2 . Načrtajmo poleg njega pravi kot 1hOk. Prene- simo na krak h stranico a = BG in na krak k stran ico b = AG, začetna točka pa naj bo vedno izhodišče O, končni točki ozna- čimo Aj , B j , torej imamo a = DA J , b = OBj ' Tako smo dobili poleg trikotnika ABG še pravokotni trikotnik A j BjO , ki ima najdaljšo stranico Aj B j. Zanj seveda velja Pitagorov izrek in 195 k A a B , h b a B zato je pravi lna enakost DAr + OBr = Aj Br, torej a 2 + b 2 = Aj B f· Toda vemo, da je a 2 + b 2 = c 2 in ta ko s kl epamo , da mora vel ja- ti A jB j = c . Vidimo, da so stran ice tri kotni kov ABC in OA jB l paroma ena ke. Zda j se še sp omnimo: ee se dva t ri kot ni ka u j ema- ta v stranicah , s t a si skl adna . Torej sta si t ud i naša dva t r ikotnika s kl adna , kar pomeni, da je potemta kem tudi ABC pra- vokot ni triko tnik . Izrek (1) i menuj emo obratni izre k k Pitagorovemu. V prime ru A sta tedaj oba tri kotni ka pravokotna; zani mi v i so tudi d rugi t ri kot ni ki s c e l o š t e vi l č n i m i stranicami a , b , c , ki ustrezajo pogoju a 2 + b 2 = c 2 . Tak e t r ojice ( a , b, c) imenujemo 2 Pi t agOr Sk e t rojice . Pi t ago rske t r oj i c e . Naj sta m , n ce l i šte vili, m > n. Nared i mo t r oj i co ( 2) a = m2 - n 2 b = 2mn c = m2 + n 2 Vidn o j e , da vel ja: (m2 - n2 ) ~ + (2 mn )l. = (m2 + n 2) , ka r po- meni, da je ( 2) pitago rs ka troji ca. š t ev i l t m in n se i menu je - ta gene ratorja pitagors ke trojic e . ee števila a , b , c v ( 2) ni majo skupnega faktorja, imenuj emo ( a, b, c) pri miti vna pit a- gorska trojica . Na podlag i (2) lahko oblikujemo poljubno mnogo ta kih trojic; ne kaj jih kaže tabela m n a b c 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 7 6 13 84 85 11 6 8 5 132 157 196 Pitagorske trojice imajo premnoge zanimive lastnosti; poglejmo nekatere: V primitivni pitagorski trojici je eno izmed števil d e l j i vc s3. To vidimo tako: Pri deljenju celega števila s 3 so mogoči o- stanki O, 1, 2. Nadalje velja, če ima pri deljenju s 3 število ostanke O, 1, 2, ima kvadrat tega števila ostanke O, 1, l. Zdaj pa opazujemo tabelo za pitagorske trojice glede na ostan- ke pri deljenju s številom tri. če je m deljiv s 3 ali pa če je n deljiv s 3, je b deljiv s 3. če pa m in n nista deljiva s 3, je m2 - n 2 = a deljiv s 3. V primitivnih trojicah (a,b,a) a nikoli ni deljiv s 3. Poskusi dokazati, da je trojica (a,b,a) primitivna natanko te- daj, ko je m tuj proti n in nista oba liha. Ivan Puaelj ENAJSTA SOLA IZ FIZIKE, 4. del (Ivan Kuščer) - naplsl pod sli- kam i. Tekst jenast ran i 22O- 224, sli kepane 2. in 3. strani ov itka Sl. 40 . Odsev Sonca na cirrusih. 51.41. Na mokrih vejah drevesa se vidijo kolobarji okrog luči, ki stoji za drevesom. Sl. 42. Ta hrošč je zelen zaradi interference svetlobe . 51. 43. Svetloba Sonca, ki je še za hribom, se uklanja na vejicah dreves. Sl. 44. Zadimljena spodnja plast zraka je modrikasta. (Na meji obeh plasti se pojavi megla.) Sl. 45a.Zaradi sipanja svetlobe je zvečer nebo modro, zarja pa lepo . rdeča. (Foto C. Velkovrh) 51. 45b.Medtem ko za hrbtom fotografa še s i j e zahajajoče Sonce, se na vzho- du že vzdiguje Zemljina senca, ki jo sončni žarki projicirajo v zrak. Posnetek je bil narejen z višine 3000 m ob izredno jasnem zimskem večeru. Zobček na senci je naredil hrib, na katerem stoji fotog raf. Sl. 46. Skczi rosno šipo se okrog luči vidijo kolobarji . 197 TE K MOVAN'-'A - NALOG E~- - DEVETNAJSTA MEDNARODNA MATEMATIčNA OLIMPIADA Od 3 . do 13. julija 1977 je bila v Beogradu 19. mednarodna ma- tematična olimpiada. Na njej je sodelovalo 155 tekmovalcev iz 21 dežel Evrope, Azije in Afrike. Povprečna starost tekmoval- cev je bila od 18 do 19 let . Večina ekip posameznih držav je bila osemčlanska, njihovi člani pa izbrani med nagrajenci državnih prvenstev. V jugoslovanski ekipi sva bila tudi dva Slovenca - Matjaž Vidmar iz Nove Gorice in Gorazd Cvetič iz Maribora. Tekmovalci smo 6. in 7. julija reševali po tri težje matema- tične probleme (vsak dan smo imeli na razpolago štiri ure za tri naloge) . Boljši tekmovalci so dosegli prvo, .drugo ali tre- tjo nagrado. Matjaž Vidmar je dobil tretjo nagrado, Gorazd Cv~ tič pa drugo nagrado. Upam si trditi, da je bil najin uspeh zelo dober, saj sva prvič v zgodovini matematičnih olimpiad . slovenska predstavnika dosegla po eno od nagrad. Med prvonagr~ jenci je treba še posebej omeniti angleškega matematika Ric- kardsa, ki je izdelal za 2. in 3. nalogo tudi posplošitvi. Na,i boljše ekipno povprečje je imela ekipa iz ZDA. Tudi Jugoslova- ni smo bili ena boljših ekip. Seveda pa so razvrstitve po dr- žavah na tem tekmovanju neuradne, kajti tekmovanje je indivi- dualnega značaja. Po 7. juliju je sledil za vse člane ekip teden razvedrilnih programov, medtem ko je mednarodna komisija pregledala naše izdelke. Vrstili so se izleti na Djerdap, Resavska petino, šumadijo, ogledi Beograda ipd. Clani jugoslovanske ekipe smo se tudi pomerili z Romuni v nogometu , a žal izgubili. Med se- 198 boj smo se spoznali mlad i vseh mogočih narodnost i. Slabo zna- nje jezi kov je ponavadi od tehtala prisrčnost medsebojni h st i- kov. še posebej do bro smo se Jugoslovani spop rijateljili s Kubanci. Alži rci . Mongol i i n Fra ncozi . Olimpiada je bila slo- vesn o za ključena s podeli tvijo nagrad vsem najboljšim . Vsem udele žencem pa bo ostala v lepem spominu . Nalog e: 1 . Znot raj danega kva d r a t a ABCD so konstruira ni enakost ran ični t r i kotnik i ABK. BCL . CDM. DAN. Do kaži . da t vor i j o središča daljic KL. LM. MN . NK in s red i šča dalj ic AK. BK. BL. CL. CM . DM . DN. AN ogli š ča pra viln ega 12-k otn ik a. (N i zozems ka ) 2. V k o n čn em zaporedju r e a l ni h š tevil je vs ota poljubn ih sedem zaporedn ih č l e n o v negativna, vsota poljubnih enajst zapor ei ni h č lenov pa poz i tivna. Določi n a j v e č j e možno število čle­ nov t ak ega za por edj a . (SR Vietnam) 3. Dano j e naravno število n > 2. Naj bo V n množica števil ob- like l +k. n. kj er je k =1 . 2 . 3 .. .. . Za š t evi l o m E V n rečemo . da je nerazcepno v V n • č e ne obstajata števili p . q E V n • da bi veljalo: m=p.q . Doka ži. da obsta ja š t evilo p E V n • ki se na več ka kor en način lah ko predstavi kot produ kt. ka t e r ega faktorji so nerazcepni v V n , ( Nizozems ka) 4. Na j bo a.b .A .B dana četvo r ka real nih števi l . Ogle jmo si fu nkcijo: f( x) = 1- a. cosx-b.sinx-A .cos 2x- B .sin2x . če je f( x) ~ O za vsa k reale n x . dokaž i. da je a 2+b2 ~ 2 in . A2+B2 ~ 1. (Vel. Britanija ) 5. Naj bosta a i n b pozitivni celi števili . Pri deljenju šte- vil a a 2+b 2 z a+b dobimo kvoci ent q in osta nek r. Poi šči vse par e (a. b). za ka t ere velja: q 2 +r = 1977 . (ZR Nem č ija) 6 . Naj bo f fun kcija. defini rana za vsa ko pozitivno celo štev~ lo. ki ima tudi za vr ednos t i pozit i vna ce l a števila . če za vsak n velja neena kost : r( n+1) > f( r(n)). doka ži. da je za vsa k n: r(n) = .n ! (Bolga rija) Gor az d c oe t-i č 199 BISTROVIDECI)-L--I __ TIGE R V KLETK I odgovor iz P V/3 Na vp ra šan je smo dobi 1i š t i ri odgovore. Noben ne pojasnjuje fo tog rafije v ce l ot i , zato vsem tale razlaga. Objektiv fotografs kega aparata je bil naravnan tako, da je na f ilmu nastala ostra sl i ka tig ra. Tega je .de l no zas l anj a l a r e - šet ka, ki je bila veli ko temne j ša in lah ko vzamemo, da ni odd~ jala svetlobe . Ker je z delov tigra za pali cami vpadlo v ob- jektiv manj svetlobe kot z de lov med pa licami, so ustrezni d~ li slike temnejši. S slike npr . razberemo , da bo sli ka v oko- 1ici toč ke l' , ki pripada delu tigra v okol i c i toč ke 1, manj svetla kot sli ka v okolic i toč ke 2' , ki pripada de lu tigra v okolici toč ke 2. Spomnimo se še, da je za nastanek slike do- vol j, da vpada svetloba na del leče. Marjan Hribar rešet ka objektiv film ~ TIGER l' F ' 2 ' • 200 Naslednja naloga je namenjena š ahi s t om. Ali je mogoče na šahovnici na stavit i pozicijo , v kateri je črni brez poteze - v patu samo s črnimi figurami? Tomaž Pisans ki (Ilus tr . Alenka Pot n ik) PRE S E K - list za mlade matematike, fizike in as tronone , j . letnik, šolsko leto 1977/78, 4. številka, str. 192 - 224. Izdaja Društvo matematikov, fizikov in astronomov, SR Slovenije. Uredniški odbor: Vladimir Batagelj (Bistrovidec), Danijel Bezek, Andrej Čadež (astronomija), Jože Dover (Premisli in reši), Tomaž Fortuna, Pavel Gregorc (uganke, .kr i ženke }, Marjan Hribar (fizika), Andrej Kmet (Presekova knjižnica - matematika), Ljubo Kostrevc, Jože Kotnik, Edvard Kramar (Tekmo- vanja - naloge), MatiIda Lenarčič (pisma bralcev), Norma Mankoč-Borštnik (Presekova knjižnica - fizika), Franci Oblak, Peter Petek (Naloge bralcev), Tomaž Pisanski (matematika), Tomaž Skulj, Janez Strnad (glavni urednik), Zvonko Trontelj (odgovorni urednik), Marijan Vagaja, Ciril Velkovrh (ured- nik, Nove knjige, Novice, zanimivosti). Rokopis je natipkala Metka Zitnik, jezikovno ga je pregledala Sandra Oblak, opremila pa sta ga Borut Delak in Višnja Kovačič, slike je narisal Slavko Lesnjak. Dopise pošiljajte in list naročajte na naslov : Komisija za tisk pri Društvu matematikov, f l z-lkov in astronomov SRS - PRESEK, Jadranska 19,61001 Ljub- ljana, p.p. 227. tel. 265-061/53, štev. žiro računa 50101-678-48363, deviz- ni račun pri Ljubljanski banki štev. 32009-007-900. Naročnina za šo lsko le- ~o je za posamezna naročila 30.-din, za skupinska pa 25.-din; za inozemstvo 2 $ = 36.-din, 1300Lit, 36.-Asch. Posamezna številka stane 8.-din. , Lis t sofinancirajo republiška izobraževalna skupnost in temeljne izobraže- · va l ne skupnosti v Sloveniji ter raziskovalna skupnost Slovenije. Ofset tisk časopisno in grafično podjetje "DELO", Ljubljana. list izhaja ' š t ,i ri kra t letno v nakladi 23.000 izvodov. e1978 Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS. 201 PISMA BRALCEV Pr ejel i smo tole zanimivo pismo: Pozdravljeni! Ker se vam oglašamo prvič, bo najbolje , da se najprej predstavimo . Smo učenci , ki zvesto obiskujemo matema- tični krožek n a oš narodnega heroja Vi nka Megla , Tomaž pri Or - možu . Naša men t or i c a je to v . Anica Ra jh . Delo v kro žku je zelo zanimivo . Rešu j emo tudi naloge iz Prese - ka . I mamo sv o j stenčas , na katerem pri k a zuj emo naše delo , saj rišemo razne konst rukcije , kar pa je z e l o zanimi vo še po seb e j v mod e r n i ma t ema t i k i. Pripravil i smo tud i r a z s t av o na ših del in pri zadevamo si v tekmovanju za Pr e s e k ov o značko . To značko si je pr i služi lo že nekaj krožkarjev . Zanimivo nalogo v zad - njem Preseku smo r e š e v a l i vsi kro žkarji . Hribar Alojz je naše l kar 31 r e š i te v. Helena P. 15 re šitev , Nataša K. 6 rešitev, Mar ta M. 4 re šitve , Milena R. 4 rešitve , Lizika K. 3 rešitve , Ivan L . eno re šitev in Olga K. eno r e š i t ev . Zabavno je bilo , ko smo ugotovili , da ni nihče ime l drugačnih rešitev kot Hri - bar . Zato smo sklepali , da ima naloga 31 rešitev in vam jih pošiljamo . Sp re j mite mn og o pozdravov ter ponovne energije za sestavljanje t a k o prijetni h nalog , ki nas po šten o p r e po t i j o. Veseli smo tako bogatega dela v vašem krožku. Lepo ste ovredn~ tili Presekovo z n a čk o ! Vsakemu posebej in vsem že li mo še dosti uspehov . Tudi vi poskušajte sestaviti kako zanimivo nalogo za Presek. Srečno! 202 BARBARA KRPAč iz šmartnega pri Slovenj Gradcu se je oglasila z naslednjim pismom: Pozdravl jeni ! Sem ua e n k a 6 . razreda i n s em nar oaena n a Pre s e k. Čeravno n e k a t eri h na l og n e z n am re šit i , mi t a r evi ja zel o u ga- ja. Že l i m si, da bi Presek izhajal pogosteje in mi slim, da j e to ž el ja mn og i h. Se s t avi l a sem dve nalog i i n s k leni l a , da vam j i h p o š l j em. In še ve liko usp e h ov v am želim pri urejanju r evi- j e. Barbara, hvala ti za lepe želje in zlasti za pomoč. Res bomo samo s s kupnim prizadevanjem nabrali toliko prispevkov, da bo- mo mogli ustreči mnogim bralcem s . pogostejšimi številkami Pre- seka. JOZE KAKER iz črne na Kor oš kem nam je poleg rešitev poslal še podobni nalogi in je zraven napisal: Pr e s e k je d obra r evija, v endar j e v se pr emal o na log, k i jih pošil jajo b ra l c i. želim vam vel i ko uspeha pri sestavljanju ta- k o z animi v e r evije,kot je Pre sek ! Hvala, Jože, za vzpodbudo bralcem! V želji, da ji bodo prislu~ nili, te lepo pozdravljamo. Piši nam še kdaj! BOJAN LESKOVšEK iz Celja piše tako : Lep po z dra v! Na Pres ek sem naročen že tretje l eto in m~ Je ze - lo všeč. Pridružujem s e tis tim, k i s i ž el ijo, da bi Presek iz- hajal v ečkrat na leto. Mi sl im t udi, da j e premalo prostora na- menjenega za astronomijo, z a katero se zelo zanimam. Prilagam tud i rešitv e nekaterih nalog. Zelo smo veseli tvojega večletnega sodelovanja in ti želimo še nadaljnjega poglabljanja v astronomiji. Bojan, oglasi se še! 203 VANJA MARZIDOVšEK iz Polja nam je poslala vsebins ko in oblikov no lepo pismo. Uporabila je namreč papir običajnega fo rmata (A-4) za take namene, kar bi priporočili vsem naš im dopisni- kom. Vanja med drugim pravi: Im am tudi neko ž e Ljo, pa ne g Lede Pres e ka, paa pa b i se rada z ah v a Li La t ov . Leviaar j e v i iz OŠ Po Lje , ki me j e na vdušiLa za ma t emati ko in pismo zaključuje z željami po uspehu pri nadaljnjem delu. Vanja, lepo je, da čutiš hvaležnost. Tudi mi se ti pridružuje- mo in obenem se zahvaljujemo vsem učiteljem, ki nudijo mladim veselje ob matematiki, fiziki in astronomiji. BOJANA PLAKOLM, Pekre pri Mariboru, nam je zapisala ob nalogi "Premisli in reši", za katero pravi, kot vsi bralci, da jo vedno najraje rešuje, š e naslednje: Na r evi j o sem n ar oaena že od 6 . r azreda OŠ. Ta kra t s o se mi zd e Le na Log e pr ecej te žke , z ato pa zdaj, k o obis kujem 1. raz- r ed g imnazije, rada Listam tud i po s tarih števiLkah . Mnoge na- Loge r ešim. Bojana, našla si zaklad, ki se skriva v Preseku. Zbirka Prese- kov iz vseh letnikov lahko nudi tudi bodočim generacijam vedno zanimive in za njih vedno nove naloge. Zato je tudi za tebe vsaka naloga iz starih štev ilk lahko nova in za večino od teh boš našla tudi rezultate. Sicer nam jo pošlji in ti bomo z ve- seljem posredovali odgovor pa čeprav ni naloga iz zadnje šte- vilke ali zadnjega letnika. TANJA KOšIR iz škofje Loke in MARKO KOLBEZN iz Ljubljane v svo jih pismih omenjata isto željo. Zelita, da bi tudi letos izšla 5. številka, v kateri bi bile naloge za tekmovanja. 204 Veseli nas, da sta s takim veseljem reševala naloge iz omenje- ne številke. Peto številko bomo še kdaj izdali in bomo zanjo skušali najti zanim ivo vsebino. MAJDA HOMOVEC iz Crnega vrha nad Idrijo nam je napisala ob po- slani rešitvi : Ne vem , če je pravilna, vendar enkrat lahko poskusim . Presek preberem vsakokr at in tudi rešujem naloge . Sem učenka 8 . raz - reda OŠ. Za matematiko s em se začela z animati v 7 . ra z redu. Preje se nisem zanimala zanjo . Sedaj pa vidim , ko~ikv skritega ima v sebi matematika in mord a prav tako f iz i k a. Mislim , d a si bom tudi poklic izbrala t am, kje r je več ma t ema t i k e. Le po vas pozdravljam in vam ž e l i m veliko uspeha in vse najbol jše v le tu 1 9 78. Draga Majda, v kol i kor t i je pripomogel tudi Prese k, da si vzljubila matemati ko, smo zelo vesel i i n t i želimo pri i zbi r i poklica srečo. Ali se nam boš oglasila tudi kot s rednješol ka? Hva l a za pismo in lepo pozdravljena . GORAZD SVALJEK iz Maribora piš e ta kole: Dragi Presek ! Hodim v tretji letnik gimnazije in revija mi je všeč. Vese liZo pa bi me , če bi v e čkra t objavili kaj v z ve zi s fotografijo {zanimivosti fotografiranja} . V prostem času se ukvarjam s fotog rafijo in vprašanje o tigru m ~ n i delalo teža~ Gora zd, kot navdušen fotograf gotovo že imaš ka kšn e izkušnje na tem področju , mogoče t udi kak š ne zanim ive slike, da bi jih lahko objavili v Prese ku. Radi bi te razveselili in zato si b~ mo prizadevali najti tudi ka j v zvezi s fotografijo. V upanju, da se boš kma l u oglasil, bodi lepo pozdravljen. Matilda Lenarčič 205 NALOGE~'----- - NALOGE IZ ARHIVA V uredništvu imamo skromen arhiv. V njem so prispevki, ki iz tega ali onega vzroka niso zagledali belega dne. Včasih zmanj- ka prostora, pa prispevek zastari, včasih pa je prispevek tako nedodelan, da ga ne moremo objaviti v celoti. Ko sem brskal po arhivu, sem našel tele naloge: 1. V naslednjo tabelo vpiši manjkajoče številke: NARAVNO GIBANJE PREBIVALSTVA V SR SLOVENIJI V LETIH 1969 - 1973 (v tisočih) - L e t o š t e v i 1 o živorojeni umr1i naravni prirast Skupaj v petih 1et ih 141 ? ? 1969 28 19 9 1970 27 17 ? 1971 ? 17 ? 1972 29 ? 1.1 1973 ? 18 11 2. škatla z darilom meri 20cm krat 10cm krat 5cm in je prevezana s trakom tako, kot kaže slika 1 . Kako dolg trak potrebujemo, če potrebujemo za pentljo 40cm ? 206 3. Eifflov stolp v Prizu je visok 300 m. Zgrajen je iz pribli~ no 8000 t on železa. Ka ko visok bi bil, če bi tehtalI kg .? 4. Baje je najvišji človek na svetu meril 273 cm, najnižji pa 39 cm. Kolikokrat je bil velikan težji od pritlikavca? 5. Ste nska ura bije 6. Teh 6 udarcev je odbila v 5 sekundah. V koliko sekundah bo ura odbila opoldne 12 udarcev? 6. Zapiši število 1 z vsemi desetimi številkami! 7 . Zapiši deset s petimi devet kami ! 8. Za pi š i s t o s petimi enakimi številkami! 9. Po polju je šla žen i ca z racami. Sreča jo boter in reče: " Bog daj srečo botra, da bo kmalu sto rac! ~ . Zenica pa mu odgovori : "Ko bom imela še enkrat toliko , pa še pol toliko, in še četrt toliko kot jih imam sedaj, pa" še eno zraven, bo pa zar e s sto.~ Kol i ko rac je imela takrat? 10. Naslednje like nariši z eno potezo: a d b c 11. S kol ik i mi ničl ami se ko n č u j e produkt števil od 1 do IDO ? 12 . Venem zaboju je 100 črnih, v drugem pa 100 belih kroglic Se žemo v za boj s črnimi kroglicami, jih nekaj poberemo in damo v zaboj z belimi kr og l ic ami . V drugem zaboju kr og l i - ce dobro premešamo i n na slepo izberemo enako š~evilo kro- glic, ki jih spet prenesemo v prvi zaboj. Ali je v prvem 207 zaboju več belih kroglic, kot je v drugem zaboju črnih? Za konec pa še dve nalogi, ki zahtevata več znanja in sta namenjeni predvsem srednješoleem. 13. V krožnico vpišemo pravilni n-kotnik z oglišči P1' P2' ••• ... ,Pn ' Naj bo P poljubna točka na kr o ž nem loku P1Pn' Dokaži, da je izraz: P1P,PP 2 + P2P,PP3 + ... + Pn- 1P'PPn - PnP'PP 1 neodvisen od položaja točke P. 14. Trije enaki pravokotni trikotniki se stikajo s hipotenuzami, tako kot kaže sl ika 3. Pri tem tvo rijo šestkotn ik. Izraču­ naj ploščino, obseg, pol- mer včrtanega in očrtane­ ga kroga tega šestkotni- ka. Znani sta dolžini ka- tet: a = 5 cm in b = 12cm. Prvo nalogo je predlagal Ciril Kavčič, drugo so sestavil i ne- kateri člani uredniškega odbora. Naloge štev. 3, 4, 5, 6, 7, 8 in 10 so nam poslali dijaki koprske gimnazije. Avtor 9. na- loge je Damjan Kozole z osnovne šole "Milke Kerin", Leskovec. 11. in 12. nalogo so reševali krožkarji v šentvidu. 13 . nalo- go je poslal Vladimir Kolar iz Maruševca pri Varaždinu. 14. nalogo je zastavil Branko Hrovat iz Domžal. Tomaž Pisanski OB VESTILO AKTIVE MATEMATIKOV IN FIZIKOV NA ŠOLAH KAKOR TUDI POSAMEZNIKE, K~ ŠE NISO PLAČALI NAROČNINE ZA LETOŠNJE šTEVILKE PRESEKA, VLJUDNO PROSIMO, DA TO STORIJO ČIMPREJ. ZARADI PERSONALNIH TE- ŽAV VAM LETOS ŠE NISMO UTEGNILI POSLATI INDIVIDUALNIH OPOMINOV! 208 ,. " PREMISLI IN REŠi _ _ _ II Za nalogo iz PRESEKA V/2 smo prejeli 270 pravilnih rešitev; nekateri so pos l a l i celo več rešit ev. Gotovo s e s trinj ate z na mi, da bi zavzelo teh 270 imen preveč prostora v Preseku. Zat o jih tokrat raje spustimo. Vse reševalce prosimo, da nam pri- hodnjič pripišejo naslov (Etbin iz Divače, neznana reševalca iz Ljubljane in Maribora). Objavljamo splošno rešitev magičnega kvadrata, ki jo je napi- sal avtor na l oge Tomaž Pisanski. Magični kvadrat ima ob liko a f b d g 12 e h števila c, b , c , d , e , f, g in h moramo dol o č tt i tako, da bo vso ta po vseh vrsticah, stolpcih in di agona l a h enaka 30. Zado- ščeno mora biti naslednjim enačbam: a + b + 12 30 ( 1) a + d + e = 30 ( 2 ) f + g + h 30 (3 ) a + a + f 30 ( 4 ) b + d + g 30 ( 5 ) 12 + e + h 30 ( 6 ) a + d + h 30 (7) f + d + 12 30 ( 8 ) ee seštejemo enačbe (2), (7) in ( 8) dobimo: (a+a+f} + (d+d+d) + (12+ e+h) = 90 Upoštevam o enačbi ( 4 ) in (6 ) in dobimo: 209 30 + 3d + 30 = 90 kvadratih 3 x 3 je d tretjina 8 . Zdaj pa si vrednost za a enačb uvidimo, da ima magi čni oziroma d = 10. V vseh magičnih vsote. Iz enačbe (8) izhaja f i zbe remo. Označi mo jo z x . Iz kvad rat na sled njo obli ko: x 22-x 8 i 8-x t o x+2 12 x - 2 20- x Vsa ka vrednost za x da j e rešitev na l oge . č e se om ejimo na ne- negativ na cela števila, mora bit i x ~ 2 in x f 18 . če pa zaht! vama, da so vsa števi la v kvadratu pozitivna, lahko i zbiramo x med 3 in 17. Dobimo torej 15 r ešitev . Pri x = 10 dobimo re- š i te v 10 12 8 8 10 12 12 8 10 ki je edin a "simetričn a". Kak š na pa j e sime t ri ja, naj ugotov i br al ec . Iz žrebani so bili: Andreja Ajster, o.š . Kos t anj ev ic a na Krk i ; Igor Likar , o.š . J. Mihevca, Idrija; Metka Palčič, o.Š . A.T. Linhart, Radovljica. Za nagr ado prej mejo knj i go : Batagelj -Pi sans ki: RE šENE NAL OGE IZ MATEMATI KE Z REPU BLIš KIH TE KMOVANJ 1. ,II . Lj udj e često pravijo : "Gl ej ~o, i z muh e dela slona!" kadar kdo pretirava . Ali je kdo med vami že kda j pomislil, kak o bi l a hko "v r e s nic i " naredili iz muhe slona ? Kako? Tako MUHA kot SLON sta besedi s štirimi č r k ami . Domenimo s e, da l ahko naenkrat s premen imo le en o arko v be sedi in posku simo sestaviti zapore - d je besed , ki nas pripelje od MUH A do SLO N. Na primer ta kole: MUHA -MUKA-LU KA -LUKS-LA KS-LAQS-KAOS-KROS-TRO S-TRON-BRON-BROD- -PROD-PLOD-HLOD-HLAD -SLAD-SLAN-SLQN 21 0 Tako , dragi mladi pr ijatelji, zda j pa na del o! Posk usite najti čim kra j š a zapo red ja besed i n to ne samo za be s edi MUHA i n SLON, marveč si lahko izberete za z a č e t e k tud i kaj lažjega , npr. MIR-P8K (M IR-PIR-PIK-PEK), kasneje pa si zastav ite težje probleme. Razmisl ite, kakšen postopek je najboljši za reš eva- nje tovrstn i h problemov i n poskusite najti nek splo šen "re - cept" za sestavljan je besedn ih zapo r ed ij. Pišite nam o rezu l- tat ih vašega dela bodis i doma bodisi v s kup i ni, v krožku . Dušan Repovš Dragi bralci, vabi mo vas, da pos kus it e nar edit i iz muhe slona- to j e nova nalog a - in nam pošljete rešitev do 30.VI.1978. Jo že Dover REŠiTVE NALOG~--- Reš itev križanke "Geometrijski li ki " iz P V/3 , str. 160 ~- ~~ElI1.06 t:,:: "~ ~=~. ,,- . ,es., l WIS T t Rt ENJ( "E~'O ""UHI " AA1A bl KEN -~ fi:=! O P R A V I L O T R A P E Z"0f'E"'''• .,.""',.. ~P R A V O K O T N I Kfi R E M O N T ~." IZKll " = L E t N I K ~ O E Ž N,..N_ K O R E K T O R ~ S AA'_ JAJ~EtE I K R A E O O "OVlC. . ...... 'E •• ' EtJ A O M -w A R T- GASU K S I'01El.ENJE S K O M I N E S lANA """'- ES. , N ~ A 'r e RU I -;;;;;- G I mu '" O ,,~ ~ K I R 1HE · T E L E K S H.'.S.' T A M I L E C"" 'NTEA '."<.0. lE:' ~R O M B SNCJI" A T O M~ A N ~ O G E L ~ L I "UlCl\' M A T E .~~ 1 ~K V A O R A T "=~ A T ,~,1,,","""'"' .) ~ ~ ~-~. I N N B E • ..lJ!bo , O A Z A ~ ,j R K O S ":\~~1 S T I Č A N M N O G O K O T N I K S E K I R A ~ A A R SloJI.,..., S A 'l~NA V A O I.~. ._" Se. t ~. ' I Pa , l e CregO rL 21 1 REŠiTVE NALOG~'---- - TRI NALOGE BRALCEV - Rešitve iz P V/2, str. 98 Rešitve so nam poslali : Simona eufer, o.š. Radovljica; Marjan Majcen, Slovenj Gradec; Hinko Rosulnik, Vodice; Tatjana Kerec, Maribor; Miran eerne, o.š . Franceta Bevka, Ljubljana; Branko Simšič, gimnazija Postojna; Nikola .Bursač, o.š . Franceta Bevka, Ljubljana; Dejan Simič, o .š . "Stevan Sindjelic", Veliki Popo- vič; Lojzka Levstek, Velike Lašče; Marija Zupan, o.š. Mokro- nog; Erika Kristan, o .š. Remšnik; ' Ludv i k Huč, Sentrupert; Bo- jan Leskovšek, gimnazija Celje; Suzana Ujčič, o.š. "Dušan Bor- don", Koper; Majda Skrinar, b.š . Pinko Tomažič, Koper; Marjan SantI, Remšnik; Janko Vezonik, RadeIca; Cir il Močnik, Cerkno; Mojca Solar, o.š. Dr. Jože Potrč, Ljubljana; Simona Vidmar, Brezovica pri Ljubljani; Igor Ziberna, gimnazija Miloša Zidan- ška, Maribor; Mirjam Brilej, 'g i mnaz i j a Celje; neznani bralec iz Maribora; Nataša Cent~,' o.š. Velike Lašče ; Andreja Salamon, o.š. Tržišče; Albina Hamer, ·p.š.c. Celje; Nada Lavrih, o.š. Ivan Skvarča. Zagorje ob Savi; Nataša Lorbar, o.š . Valentin Vodnik, Ljubljan~; Simon Jug, Skofja Loka; Maruša Zorec, Ruše; Mirela Pahor, š.c. "Vojvodina", gimnazija Tolmin; Matjaž Straus, o i š , v Ljubljani; Romana Lazanski, Zalec; Neli Habjan, o i š • Ziri; Janko Božič, o i š • "Jurij Dalmatin", Krško; Danijela Fabjan, o i š • "Vojko šmuc v ; : Izola; Milan Zniderič, VII. gimna- zija Ljubljana; Simona Kogovše k, o.š. Ivan Cankar, Vrhnika; Andreja Vesel, o.š. Bršljin, Novo mesto; Agata Trojar, o.š. "Peter Kavčič", Skofja Loka; Andreja Ajster, o.š. Kostanjevica na Krki; Damjan Lavrenčič " Vrhpolje; ~1arjana š e š ko , p .š.c. Ce- lje; Marija Buhvald, o.š. Franja Goloba, Prevalje; Milan Petr~ jan, o i š • Mačkovci; Maja Arh, Stara Fužina; Nadja Kapelj , Col; 212 Andreja šinkovec, o.š. Spomenik NOB, Cerkno; Marija Haladin, o.Šo Spomenik NOB, Cerkno; Bogdan P učko, o.Š. bratov Polanči­ čev, Maribor; Janko Kogovšek, matematični krožek o.Šo Dobr ava pri Ljubljani; Jure Javornik, Ljubljana; Andrej Jakobčič, No vo mesto; Tilka Božič, Mežica;"Stanko Rebern ik, Maribor; Heda Ko- čevar, Ljubljana; Zdenka Peternelj, o.Šo Spomenik NOB, Cerkno; Edita Renko, Kranj; Robert Trampuš, o.šo Ivana Cankarja, Vrhni ka; Rosana Hvala, o .š-, Spomenik NOB, Cerkno; Kos vl esje , o i š , Velike Lašče. Starost očeta iz prve na loge je 48 let, prvi sin je star 16 let, drugi 18 let, prva hči ima 20 in druga 24 let. Tudi magi čni kvadrat i z druge naloge ni bi 1 pre težak. Mojca šolar ga je izpolnila takole: 1 6 3 7 1 2 2 . 3 5 nekateri pa tud i drugače. Za tretjo nalogo smo prejeli manj rešitev, nekaj jih je bilo celo napačnih. Med pravilnimi poglejmo rešitev Dejana Simiča: Stranici pravilnega petkotnika ustreza središčni kot a = 72°. Če od a odštejemo kot 60°, dobimo iskani kot 12°. BA Ker je mogoče s šestilom in ravnilom vsak kot razpolovi- Kako se kons truira pravilni petkotnik,si lahko ogledate v P IV/4 str. 228, Rado Torkar: Konstrukcija pravilnega petkot- nika. Na jpogostejši napačni sklep pa je razviden iz s like: Ce tetivo BC razdelimo na pet enakih delov, se središčni C kot 600 ne razdel i na pet ena - kih delov. Račun pokaže, da je a ; 1 Oo53 '36" . 213 cti, S1 Je nekaj naših bralcev zamislila, da bi z zaporednim razpolavljanjem prišli do ko- ta 12°. Misel je dobra, ven- / dar bi potrebovali neskončno ///'// ~ .i->-----K mnogo korakov. Kotu 12 0 se /~ ~-~ __ 't lahko z razpolavljanji polju - ~_ bno približamo. Najprej dva- A --r~lT:.ct~~-- B °OC ln~!t:l krat razpolovimo kot 60°. 00- ~ M - ~ ~ bimo kot, ki meri 15 0 • Polovica tega je 7,5°. Kot 12° leži med 7,5° in 15°, zato poiščemo sredino med njima, ki meri 11,25°. Zdaj poiščemo sredino med 11,25° in 15° in tako naprej . Tomaž Pisanski ENICA ZMAGA - Rešitve iz P V/2, str. 99 Rešitve so poslali Mojca Solar, o.š. Dr. Jože Potrč, Ljublja- na; Janko Božič, o.š. "Jurij Dalmatin", Krško; Milan Zniderič, VII. gimnazija Ljubljana; Andreja Habjan, Komenda; Andrej Ja- kobčič, Novo mesto; Tomaž Mencinger, Ljubljana; Mark Domijan, Ljubljana; Heda Kočevar, Ljubljana; Znidarič Milan je nalogo rešil takole: 4-2-1,6-5-4,1-3 -6,10-6-3,7-4-2,13-9-6,11-12-13,14-13-12, 12-8-5,3-6-10,15-10-6,6-5-4,4-2-1. Heda Kočevar in Andrej Jakobčič pa sta poiskala položaj z osmi mi kamni, iz kate~ega ni mogoča nobena poteza več. Igrala sta takole: 6-3 -1,13-9-6,7 -8-9,10-9-8,4-8-13,1-2-4. Ostali so jima kamni na poljlh 4,5,G in 11,12,13,14,15. Tomaž Pisanski 214 ASTRONOMIJA VESOLJE 2. DEL I I Na kozmol oš kem na čelu gr adimo te oretične modeLe v esoLja , s ka- te rimi pos kuš amo za j e t i t ud i ra zvoj veso lja v prihodnosti . ( Mod et j e v tem prim eru poe nostavlj ena sli ka , v ka ter i upošte- vamo s amo ne kat ere bi s t ve ne poteze , vse drugo pa odmislimo. Poenostavitve so toli kšne , da dopuščajo preproste račune . Nji- hovi rezultat i so samo okvirni, a so uporabno vodilo za nadall nja pr euč e va nja . ) Kot izhodi šče je pr i pr av en modeL vesoLja v Newtonovi mehaniki. Te ži š ča jat vzamemo za to č kas t a telesa, ki sestavl jajo kr ogl as t obla k. Za povp re čno gosto to snovi, ki se s i ce r s časom sprem inja, zaht evamo , da j e v izbranem trenutku enaka po vsem obla ku. Hit r ost teles je usmerjena od sredi š ča obla ka navzven (Sl. 6). Tega modela ni tež ko zajeti z r a č u n o m. Zaradi začetne hitrosti se telesa oddaljujejo drugo od drugega, a med njimi deluje pr1 vlačna gravita cijska sila . Po izreku o k i n e t i č n i in potencial- ni energiji je polna ene rgija vsakega telesa v oblaku konstan! na. Polno energijo sestavljata pozitivna k i n e t ič n a ene rgija in nega t i vna gravi tacijs ka potencialna energija: ( 4 ) Kons t a nt no polno energijo W smo zapisali kot produ kt dveh kon- stantnih koe fi c i ent ov k in a z negativnim znakom. Razdaljo te - lesa od sred i šča ob laka zapišemo kot r(t) = R (t )r (t 1 ) , ta ko da je f unkc ij a r az šir jan ja R (t ) brez enote in je v izbranem tre- nut ku enaka ena : R(t1) = 1. 21 5 Enačba (4) ima tri vrste rešitev R( t) . Pri pr vi Je koeficient k pozitiven in prevlada potencialna energija nad k i n e t i č n o. V tem primeru se vesol je najpre j razširja in nato krči, zopet raZSlrJa in tako dalje . Pri drugi je koeficient k negativen in prevlada k i n e t i č n a ene rg ija nad potencialno, pri tretji pa je koeficient k ena k nič i n je kinetična energija enaka absolutni vrednosti potencialne. V obeh zadnjih primerih se vesolje raz- ši rja brez konca . V vseh treh pa hitrost r azš i r j anj a s časom pojema(pri drugi vrsti rešitev velja to seveda le, dokler tra- ja razš ir janje). (a) k >O .... ................ .. ...... .. .... .... ........ ...... .. ...... .. .......... .. .. .. ........ ...... .. .... ...... ...... .... .. .......... ...... .... .... .. ...... ...... .. .. .... .. .... .. .... .............. .. ........ .. .. ........ .... .. .. .. .. ........ .... .... .... .. .. .. .. .... ...... ...... .... ........ ........ .... .. ........ .. ........ ........ .... .. .... .. .. .. ...... .......... ...... .. ...... .. ........ .... .. .. .... .. .... .. .... ...... .. .. ...... .. ::::::::::::::::: :::::::::::::::::oo:.:.:.:.:.:.:.:. :::::::::::::::::. . :.:.:.:.:.:.:.:.:. .. . _čas iiiiiiiiiiiiiili! .. .... ...... .......... .. ...... ...... .. .... .. .. .... .. .... .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. ...... ...... .... .... .... .. .. .... .... .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. ...... .... ........ .. .. ...... .. .. .. .. .. .... ........ .... .... .... ...... .. .......... .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. ...... .. .. .. .. .. ........ .... .. .. .... .... .. .... .. .... .. .... .. .. .. ........ ........ ...... ...... .. .. ................ ........ ...... .. .... .. .. .... .. .. .... , ........ . · .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· . , . . .. .. . Sl. 6.: Razširjanje vesolja (os nova je model v Newtonovi mehani ki ) . ee je k > O in p > P , sledi razširjanju krčenje (al, če pa je k ~ O in p ~ Pm' se ves~lje razširja neprestano (bl. Vel i kos t hitrosti je določena z zahtevo, da je od časa odvisna povprečna gostota snovi v danem trenutku po vsem oblaku enaka. Na splošno je hi t ros t tem manjša, čim bolj je telo oddaljeno od središča oblaka, odvisna pa je tudi od koeficienta k . 216 e j aj / - - --- - - - - ;;51. 7 . : / () / / / / / // / / / / / // / . / ,~ / / '_J .' / / ~, / L · ---1 / / "'-... ...... -- --- ...;;"\ I _ --- ---:::- / \ / ' ) ( , \ / I \ bJ / . / \ / / / / I / . _ J I C ~- --- I _-- -~-..J k O (a}, k = O (b) in k < < O (c) . Fotog rafija razšir- jajočega se balončka, ki u- s t r eza pr imeru (a), j e na nas lovn i s tran i; za druga dva pr imera ni ta kega pre- prostega pos kusa . Predstavljat i si mor amo , da prebi valec dvorazsežnega sve- ta ne more iz na r isane plos- kve, kot mi ne mo remo iz na- šega trirazsežnega prostora . Pomembno vlogo imaj o krivu- l j e, po katerih j e razdalja med dan ima točkama najmanjša - geodetke . Za k > O (a) so to glavni krogeIni kr og i; skozi dano točko narisan glavni krogeIni krog seka vse druge (ni vzportedn lc' "} . Za k = O (b) so to prem ice in je mogoče na r i sa ti k dani premi- ci s kozi dano točko natanko eno vzpo redn ico . Za k < O (c) j e mogoče k dan i geodetki na- r isati neskončno geodetk , ki prve ne sekajo (neskončno "vzporednic") . Pomembna količina je me jna go stota snov i Pm' Tri vrste rešitev se ločijo po r azme r j u med povprečno gostoto snovi v vesolju in mejno gostoto : k > O ustreia P > P , k < O ustreza P < Pm in m . -27 3 k = O ustreza p . = Pm' Mejno gos t ot o ocenimo z Pm = 5.10 kg/m. Povprečna gostota vidne, to je sevaj o če snovi, v današnjem ve- solju je znatno manjša od mejne gostote. Venda r kaže , da je v gala ks i jah i n med njimi še s nov, ki ne seva. Ali je te nevidne snovi dovolj, da bi povprečna gostota snovi presegla mej no go- stoto, pa po sedanjih podatkih še ni mogoče zanesljivo ugoto- viti. Na vprašanje, ali se bo vesolje v daljni prihodnosti začelo krčiti ali se bo raz širjalo kar naprej, za zdaj to rej ne mo remo odgovoriti. 21 7 Z modelom vesolja v Newtonovi mehaniki se ne moremo zadovolj iti, ker grav i- tacije ne moremo popolnoma opisati z Newtonovim gravitacijsk im zakonom. Upo rabit i moramo Einsteirwvo spl ošno teorijo re la t i vnost i. že v Einsteinovi - pos?bni teoriji relati vnos t i, k i ne zajema gravitac ije, obravnavamo čas na ena ki osnovi ko t koordinate. Čas in trirazsežni prostor, ki sta v Newto- novi mehaniki popolnoma ločena, se zlijata tu v štirirazsežni prostor-čas . V posebni teoriji relativnosti je prostor-čas raven , v splošni teoriji re- lativnosti pa opišemo gravitacijo z ukrivljenostj o prostora-časa. že ravnega š t i r i r azsežnega prostora-časa si ne moremo nazorno predstavlja- ti , še bolj velja to za ukrivljenega. Gre za teorijo , katere glav- no orodje j ~ dokaj zapletena matematika. Tvegajmo nekaj besed o modelu ve- solja V sp l om"i t eoriji re l ativnosti, ne da bi se zatekli k računom. Prese- netljivo je , da obveljajo v tem modelu rešitve H(t) iz modela v Newtonovi mehaniki in da so tri vrste takih rešitev , pač glede na znak parametra k . Vendar je pomen funkcije R(t ) in parametra k zdaj drugačen kot v prejšnjem modelu . Omenimo samo, da je parameter k povezan z ukrivljenost jo triraz- sežne ploskve, ki ustreza danemu času za opazovalce, gibajoče se skupaj s teži šči jat galaksij . Ta ploskev ima pozitivno ukrivljenost, če je k večji kot nič , ima ukrivljenost nič (je ravna), če je k enak nič, in ima negativ- no ukrivljenost, če je k manjši kot nič. To so samo besede , ki najdejo svoje opravičilo v računih in s katerimi si ne znamo dosti pomagati, saj si tr irazsežnih ploskev in njihove ukrivljeno- sti nazorno ne predstavljamo. Ne da bi se spuščali v račune, pa lah- ko storimo korak dalje , če se zadovoljimo s prispodobo . Namesto trirazsež- nih ploskev v štirirazsežnem prostoru vzamemo dvo razsežne ploskve v tri- razsežnem prostoru. Te si brez težav predstavljamo. Zaradi kozmološkega na- čela mora biti ukrivljenost v vseh točkah enaka. Dvor3zsežn? ploskev s po- zitivno ukrivljenostjo je tedaj krog la, plos kev z ukrivljenost jo nič ravni- na in ploskev z negativno ukrivljenost jo sedlasta ploskev. V tem okviru je mogoče celo ponazorit i razširjajoče se vesolje za primer, da je parameter k pozitiven. Na kroglast balonček nalepimo etikete, k i ustreza jo jatam galaksij.(Eti kete, k i se med napihovanjem balončka ne razte- zajo , so pripravne za ponazor itev jat galaksij : razš i rjanje vesolja namreč ne vpl iva na notranje razmere v gravitacijsko vezanih skupinah teles: v ja- tah, galaksijah, planetnih sistemih. Razdalja Zemlja -Sonce ostane zaradi razš irjanja vesolja popolnoma nepr izadeta.) Ko balonček nap ihuj emo , se ve- solje razširja in se jate odmikajo druga od druge (s l i ka na ov i tku in sl. 7a). Opazova lec na kateri kol i jati vidi, da se druge jate oddaljujejo od njega in se mu zd i, da je on v središču razšir janja. Tu je zares izpolnjeno kozmološko nače l o . (V modelu v Newtonovi mehaniki to načelo ni bilo v celo- ' ti izpol njeno, ker je imel oblak odlikovano središče in mejo .) Tudi ko je število razsežnosti za eno večje kot v naši prispodobi, ostanejo v veljavi nekatere ugot ov i t ve . Kot je površina krogle končna, a nima meje, je pri pozitivnem k vesolje končno (ima končno prostornino) , a nima meje. Za k ~ O pa je vesolje neskončno (nima končne prostornine) in nima meje. V modelu vesolja v splošni teoriji relativnosti brez težav pojasnimo Hub- blov zakon (v modelu v Newtonovi mehaniki ga ne moremo). V prispodobi veso- lja z razširjajočim se balončkom si mislimo, da potujeta po glavnem kro- gelnem krogu, to je po naj kra j š i zveznici dveh jat galaksij, druga za drugo v majhnem razmiku dve kresnici . Njuna hitrost glede na balonček je konstant na in ustreza hitrosti svetlobe. Če bi imel balonček ne spremen l j i v radij, 218 bi bil razmik med kresnicama, ki mu ustreza valovna dolžina svetlobe, kon- stanten. Ker pa se balonček veča, se veča tudi ta razmik. Vzemimo , da je ob času t , ko gresta kresnici mimo prve jate (ko se tam i zseva svetloba), raz mik me8 njima sorazmeren z A. Ob poznejšem času , ko gresta mimo druge j a t e- (ko tam svetlobo sprejmejo), je razmik med njima sorazmeren A' . Če ustreza radiju balončka funkcija R(t) , velja A' /A = R(t)IR( t ). Iz tega sledi enačba (3), ko postavimo z = R(t)IR( t ) - 1 = LR( t) - R(t )YIR( t ) = e (t - t )/e, in vpeljemo oddaljenost med ja~ama: l = e (t - t ) .oRačun eelja samo zg ča­ sovni r azmi k t - t , ki j e zelo majhen v primer~ s Hubblovim časom ,. o Na koncu omenimo še neko pomanjkljivost vseh dosedanjih mode- lov vesolja. Vesolje se od drugih fizikalnih sistemov razliku- je po tem, da nima okolice. Doslej pa smo se delali, kot da je mogoče vesolje opazovati iz okolice. Toda vesolje lah ko opazu- je samo opazovalec v njem samem. V vesolju pa ni moglo biti opazovalcev, preden so nastale zvezde. če hočemo računati s časom tudi na bolj zgodnjih razvojnih stopnjah, moramo premis- l i t i , s katerimi pojavi ga določimo. Ob približevanju "trenut- ku O", ki smo ga doslej opisovali kot "začetek" razširjanja ve solja ali veliki pok, naletimo tako na resne težave. Mogoče je "trenutek O" le pripravna kol ičina v računih in nima globljega fi zikalnega pomena. Zaradi tega ne smemo govoriti o nastanku ve- solja - ali o njegovem "začetku" - kot govorimo o nastanku zve zde. Pri opisovanju vesolja moramo biti previdni pri rabi poj- mov, ki jih uporabljamo za opis drugih fizikalnih sistemov ali v vsakdanjem življenju . J an ez S t rn ad ma~.G)(@ žvečilna guma preseneča BAZOOKA TORBA BAZOOKA MAJ ICA BAZOOKA KAPA BAZOOKA SET BA ZOOKA ZNAČ KA BAZOOKA NALEPKA 219 ENAJSTA šOLA IZ FIZIKE 4. DEL SVETLOBA IN BARVE NA NEBU Svetlobni pojavi na nebu so bili od nekdaj v veselje pesnikom in drugim umetnikom, pa tudi fizikom. če hočemo te pojave razu- meti, moramo nekaj vedeti o odboju in lomu svetlobe ter še o uklonu in interferenci. človek bi mislil, da odboja v zraku nikjer ne vidimo, ker ni ravnih površin. Da se motimo, pove slika, ki je bila posneta iz letala (Sl. 40). Globoko pod nami je plast k~prenastih oblakov - cirrusov - na kateri se razločno zrcali Sonce. Vemo, da ~o taki oblaki iz ledenih kristalčkov in domnevati moramo, da so kristal- čki ploščati, kot kake majhne snežinke. Ko počasi padajo, se sa- mi od sebe postavijo v približno vodoravno lego, da pričarajo videz ogledala. Podoben razmazan odboj dobimo na rahlo valovitem morju, na katerem se pokaže nekakšna zlata cesta. Takšno "cesto" vidimo tudi na lastnih vekah, če na pol zamižimo, ko gledamo v luč. Lahko jo tudi naredimo na urnem steklu, s tem da čezenj potegne- mo s potno dlanjo. Odsev luči na steklu je potem prekri žan s svetlo črto, ki stoji pravokotno na potnih sragah. črta je se- stavljena iz drobnih zrcalnih sli k luči, ki jih naredijo posamez- ne srage. Podobno je z valovi na morju. Ob prvem spomladanskem dežju poglejmo skozi še golo vejevje proti luči! Zdi se , kot da bi bile veje razporejene v kolobar- jih (S1. 41) . Razlaga je podobna kot prej: luč odseva vselej s tistega dela veje, ki stoji v tangentni smeri na namišljen krog okoli luči. če kdo. razlagi ne verjame , naj pogleda v luč skozi šop steklene volne. Tudi če so vlakna še tako pomešana, se zdi- jo zvita v kroge. Z lomom svetlobe znamo razložiti, zakaj je zahajajoče Sonce na videz ploščato. 2arki s spodnjega robu Sonca se močneje lomi- jo, tako da je ta rob videti bolj privzdignjen kot zgornji. Tudi mavrico, ki je nemara najbolj imenitni svetlobni pojav 220 -- na nebu, s.i V glavnih potezah razložimo z odbojem in lomom . Sončna svetloba se lomi, ko vstopi v kapljico, se zadaj odbije in se spet lomi ob izstopu . V določenih smereh se zbe r e posebno dosti te svetlobe - ta nam pričara mavrico . Barve se kažejo za- radi disperzije, se pravi zato, ker ima svetloba z različno va- lovno dolžino v vodi različno hitrost in se zato različno močno lomi. Starod avna ra zlaga z lomom ne more pojasniti vseh značilnosti mavrice. Drobni pisani pasovi na notranjem robu glavne mavrice se na ta k način že ne dajo razložiti. Ti pasovi so odvisni od velikosti deževnih kapelj in nastanejo zaradi uklona in interfe- rence svetlobe. O obojem se moramo natančneje pomeniti. Najprej nekaj besed o interferenci! Najlaže jo razumemo , če si ogledamo svetlobo, ki odseva s tankega milnega mehurčka ali z razpoke v ledu ali s pla sti olja na vodi. V odbiti svetlobi je plast videti barvasta . Barva se ~premeni, če spremenimo debe- lino ali če plast nagn emo, tako da se spremeni vpadni kot . Veliko lepš i kot na milnem mehurčku ali oljni plasti je in- terferenčni pojav pri odboju svetlobe na krilih nekaterih zele - nih h roščev (Sl. 42). Ko hrošča nagnemo , se zelena barva prelije v modro, kar dokazuje, da imamo res opraviti z interferenco in ne s kakim zelenim barvilom. Hroščeva krila so narejena iz ena- komerno r azmaknjenih tan kih plasti, ki so ločene z zrakom . Raz- mik je toli kšen, da je za pravokotno odbite žarke pot do druge plasti in nazaj ravno za valovno dolžino zelene svetlobe daljša kot pot do prve plasti . Zato se zelena svetloba ojačeno odbije . Ojačenje je izredno močno, ker prispevajo k temu tudi nadaljnje plasti. Dolgo so ljudje zavidali hroščem, katerih živozeleni odsev niso znali ponarediti z nobenimi poskusi. šele v novejši dobi so se ·naučili izdelovati enakomerne skladovnice tankih plasti, ki učinkujejo podobno kot hroščeva kr i l a . Naredijo jih z izme- ničnim naparevanjem dveh različnih snov i v vakuumu. Med takšne izdelke spadajo i nterfe ren čni filtri, ki prepuščajo samo svet- lobo določene barve, čeprav v njih ni nobenega barvila. Ko fil- ter nagnemo, se barva spremeni. 221 Uklon je ime za pojav, da gre valovanje lahko okrog ovir. Pri zvočnem valovanju se ne zdi to nič čudnega, ker okrog ogla dobro slišimo. Da bi kaj videli okrog ogla, si pa ne upamo trdi- ti. Vendar poglejmo previdno proti Soncu, ki ga zastremo z o- strino noža! Zares: ostrina se blešči, čeprav je Sonce zakrito. Svetlobni valovi se uklanjajo ob ostrini . Uklanjajo se dosti manj kot zvok, ker je valovna dolžina tolikokrat krajša. Oglej si še sliko 43! Zdaj se lahko povrnemo k pojavom na nebu. Ko smo se prej po- govarjali o kapljicah v megli, smo pozabili vprašati, kako ve- like so pravzaprav. Včasih ugotavljajo to tako, da jih lovijo v plast olja in jih 'pot em gledajo pod mikroskopom. Nekaj pa zvemo tudi z opazovanjem svetlobe, ki se uklanja na kapljicah . Ker se uklanja na vse strani, pravimo, da kapljice sipljejo svetlobo. Zaradi te svetlobe vidimo meglo in oblake. Debelejše kapljice sipajo bolj kot majhne, pri čemer je po- membno razmerje velikosti v primeri z valovno dolžino . če je kapljica manjša kot valovna dolžina, siplje modro svetlobo moč­ neje kot rumeno ali rdečo. Zato je razsuta svetloba videti mod- rikasta, medtem ko je prepuščena svetloba rdečkasta. Oboje opa- zimo pri dimu, v katerem je obilo prav drobnih kapljic katrana . Skozi zadimljen zrak je Sonce videti rdečkasto. Ko pa si z vrha hriba ogledujemo zadimljeno plast, se zdi modrikasta (Sl. 44). Sipanje svetlobe na prav drobnih delcih se da razložiti tudi na bolj preprost način, ne da bi bilo treba študirati uklon in interferenco. Izmenično električno polje svetlobnega valovanja vzbudi v delcu dima električno nihanje. Delec deluje zato kot majhna antena, ki oddaja elektromagnetne valove (to je svetlo- bo) na vse strani. Smerna porazdelitev teh valov je enaka kot pri majhni radijski anteni paličaste oblike. Na enak način sipajo svetlobo tudi molekule v zraku. Zaradi molekul je nebo modro. če se svetloba v zraku ne bi sipala, bi bilo nebo tudi podnevi črno kot ponoči. Večerna svetloba, ki ima daljšo pot skozi zrak, je iz že navedenega vzroka rdečka­ sta. Vse jutranje in večerne zarje si na ta način lahko razlo- žimo (Sl. 45a). 222 Ko Sonce zaide, potem ni nebo najprej na vzhodni s tran i. Ob zelo j as nem vremenu se vzd i qu j e mrak kot kaka temna zavesa. To je senca Zemlje, ki jo zadnji sončni žarki projicirajo v zrak (Sl. 45b). Megla ima razmeroma debele kapljice in siplje zato vse se- stavine bele sve~lobe približno enako močno. To slišimo v šol f, tako da se že nič več ne čudimo. Pa vendar ni vse tako prepro- sto. Namesto megle vzemimo les kov ali kak drug cvetni prah in z nj im potresimo šipo! Lisičjakovi trosi so tudi dobri za ta na- men; pomembno je samo, da so zrnca prahu vsa enako vel ika. Pri pogledu s kozi potreseno šipo v oddaljeno luč se pokažejo mav- rični kolobarji. Kolobarji se kaže j o zaradi interference svetlobe, ki se ukla- nja na nasprotnih robovih posameznega trosa. V tisti smeri, v kateri je za svetlobo določene barve razlika poti ravno enaka celi valovni dolžini ali njenemu mnogokratniku, se ta svetloba ojači, tako da prevpije druge barve . če je tros drobnejši, je za ena ko razliko poti potreben večji odklon žarkov. Razumljivo je torej, da dobimo z drobnejšim prahom večje kolobarje. Na ta na- čin celo lah ko določujemo veli kost cvetnega prahu , ne da bi po- t rebovali mikros kop. Na mnogih področjih fizike se upo rablja ta nač in me rjenja. Na podoben način so celo določevali veli kost in zg radbo protona , le da so namesto svetlobe na njih sipal i hitre elektrone. Za č u d o ne dobimo prav nobenih kolobarjev, če potresemo šipo z moko namesto s cvet nim prahom. To je zato, ker so delci moke različno veli ki. Za vsako velikost zrnc dobimo svoj kol obar. številni kol oba r j i se pre krijejo , ta ko da se barve zl ijejo v razma zan bel soj. Tako šele razumemo, zakaj je megla bela . Zato, ke r so v njej različno velike kapljice , · ki so vse precej veli ke v primer i z valovno dolžino. Na misel nam prihaja, da velikost kapljic v megli morda ni vselej t a ko hudo razli čna. Izjemoma se namreč vendarle vidijo kolobarji okrog Sonca in Lune, č e p r a v so redkokdaj tako lepi kot tisti s cvetnim prahom. Tudi skozi š i po , ki jo z dihanjem orosimo, se vidijo kolobarji (S l . 46). če še malo dahnemo, se 223 kolobarji pomanJsaJo, ker se kapljice zdebelijo . Po daljšem pos- kušanju pa se kolobarji razmažejo, ker so kapljice že preveč različne. Lep kolobar okrog Lune dobimo samo, če je oblačna koprena šele pravkar nastala, kajti le v mladem oblaku so kapljice pri- bližno enako velike. Ko se oblak postara, se kolobar razmaže, ka r ka že, da so ka pl jice posta 1eneena ke. Na svoj nači n se nam- reč gredo kapljice kapitalizem; majhne hujšajo, debele se pa na njihov račun redijo. To je že zopet zaradi površinske napetosti. Zaradi nje namreč drobnejše kaplje izhlapevajo z večjim tlakom, kot že vemo. Debelejše ka pl j e , ki so zadovoljne z manj prenasi- čeno vlažnost jo , pa si prisvajajo odvišn o vodno paro . Kadar se ob sicer jasnem zimskem dnevu pojavi tanek oblak, se včasih zaleskeče v mavričnih barvah. Takrat vemo, da ima po- samezen del oblaka . same približno enako velike kapljice. Prav kmalu, včasih še preden pripraviš fotografski aparat s teleob- jektivom, pa barve že zbledijo, ker so s e povečale velikostne razlike med kapl jicami. ..', "'C 'i" i': 'i': Spomini na enajsto šolo so mi ljubi tudi zato, ker v njej nisem bil sam. Imel sem čudovito družbo, ki jo je povezovala želja, da bi naravi iztrga li ka ko skrivnost, vsaj kako majhno, če že ne veliko. Drug od drugega smo se nalezli navdušenja in drug drugemu pomagali videti, kar bi posamezniku ostalo skrito. Ničesar lepšega ne morem želeti mladim bral cem, kot da bi doži- veli podobno navdušenje, pa najsi bo ob kak r š ni ko l i dejavnosti že . Vesel bom, če bom s svojim pripovedovanjem vzbudil kaj ta-o ·ki h načrtov. Ivan fu ščer Podnapisi k slikam s o na str . 197 . 224 NOVE KNJIGE Kopern ika . Predstavi je Kopernik .srečal s Eug•cmusz A Vb" ~ Nikolaj Kopernik Eugeniusz Rybka, NIKOLAJ KOPERNIK, Državna založba Slovenije 1974, 91 str. , Cena 52 .-din . Knjiga Nikolaj Kopernik j e del ob šl r ne j š eqa dela "Štiristo let kopernikan- ske misl i", ki ga je v počastitev petstoletnice Koper n l koveqa rojstva (1. 1472) napisal poljski astronom Eugeniusz Rybka . V uvodnih poglavjih obravnava avtor mladost Nikolaja nam njegovo družino in izobrazbo ter pokaže, kako se problemi, ki so postali smisel njegovega življenja. V naslednjih poglavj ih avtor poroča o letih, ko je nastajalo Kopernikovo glavno delo - hel iocentrična teorija o zgradbi vesolja. Razen tega pa govo- ri tudi o drugih Kopernikovih dejavnostih, predvsem o njegovih uspehih pri upravljanju poljske pokrajine Varmije in o njegovih uspešnih anal izah mone- ta rnih kriz, ki so tedaj pretresale Evropo. Kopernik je predstavljen celo- vito in bralec lahko dobi vtis o izjemni ustvarjalni moči tega vel ikega astronoma. Tekst je opremlj en z natančnimi podatk i in citati, kar nam še bolj pribl iža Kopernikov čas. Skoraj polovica dela pa je posvečena razpravi o Kopernikovem znamenitem de - lu "De revo1utionibus", ki zajema šest knjig. Avtor nam v zgodovinskem okviru tedanje stopnje razvoja znanosti pred- stavi vel ičino Kopernikovega dela . Po- sebej je poudarjena novost , ki jo je Kopernik uvedel v reševanje problemov tedanje astronomije s tem, da je vel i- ko mističnih podmen izvrgel i z teorije in jih nadomestil s strogim logičnim sklepanjem, katerega podlaga so bila opazovanja . Seveda pa so bila Koperni- kova opazovanja, gledano iz današnje perspektive, še vedno precej skromna, zato si je moral včasih vendarle poma- gati s postulati , ki so se mu "del i lo gični. Take vrzeli v opazovalnem mete: rialu se vedno ponavljajo ob nastanku vel ikih teorij. Kopernikova vel ičina je bi la v tem, da j ih je spoznal in je, čeprav včasih naivno, vztrajal pri sv2 jem delu in ustvaril za tiste čase ce- lovito sliko o svetu. Knjiga Nikolaj Kopernik je prav gotovo zanimivo branje za vsakogar , ki ga zan ima nastajanj e znans t ven i h teorij in razvoj znanost i nasploh. Andrej Čadež