OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE ISSN 0473-7466 OBZORNIK MAT. FIZ. LJUBLJANA LETNIK 55 ŠT. 5 STR. 161–200 SEPTEMBER 2008 C KM Y 2008 Letnik 55 5 i i “kolofon” — 2008/11/26 — 17:46 — page 1 — #1 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, SEPTEMBER 2008, letnik 55, številka 5, strani 161–200 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: Zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski račun: 03100–1000018787 Devizna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Mirko Dobovišek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Nada Razpet, Peter Šemrl, Vladimir Bensa (tehnični urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21,00 EUR, za druge družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 33,38 EUR, za tujino 30,00 EUR. Posamezna številka za člane stane 4,18 EUR, stare številke 2,17 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič- nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport. c© 2008 DMFA Slovenije – 1726 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate- matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle- ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni- ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na- pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 161  #1 HUYGENSOVA NALOGAMARKO RAZPETPedago²ka fakultetaUniverza v LjubljaniMath. Subj. Class. (2000): 26E60V prispevku bomo elementarno, brez uporabe diferen ialnega ra£una, re²ili Huygen-sovo nalogo. THE HUYGENS PROBLEMThe Huygens problem is solved in an elementary way, without using the dierential al ulus.Holandski matematik, zik in astronom Christiaan Huygens (16291695)je pri ²tudiju entralnih trkov idealno proºnih krogli najprej obravnaval entralni trk dveh krogli . Krogli a z maso M s hitrostjo v0 tr£i v mirujo£okrogli o z maso m, pri £emer je m < M . Po trku naj ima krogli a z maso Mhitrost u, druga krogli a pa hitrost v. Huygens je poznal zakon o ohranitvigibalne koli£ine in zakon o ohranitvi kineti£ne energije, kar bi danes zapisaliv obliki: Mv0 = Mu + mv , 1 2 Mv20 = 1 2 Mu2 + 1 2 mv2.Iz prve ena£be izrazimo hitrost u in jo vstavimo v drugo ena£bo. Za hitrostikrogli dobimo izraza: v = 2M M + m v0 , u = M − m M + m v0 .Zaradi pogoja 0 < m < M dobimo rela ijo v0 < v < 2v0.Med krogli i postavimo n drugih idealno proºnih krogli , ki imajo povrsti mase m1, m2, . . . , mn, pri £emer je m < m1 < m2 < . . . < mn < M .Krogli a z maso M naj s hitrostjo v0 tr£i v mirujo£o krogli o z maso mn. Potrku le-ta s hitrostjo vn = 2Mv0/(mn + M) tr£i v krogli o z maso mn−1, kiima po trku hitrost vn−1 = 2mnvn/(mn−1 + mn). Ta potem tr£i v mirujo£okrogli o z maso mn−2. Tako gredo trki naprej, dokler nazadnje krogli a zmaso m1 ne tr£i v mirujo£o krogli o z maso m, ki se odbije s hitrostjo v.O£itno je hitrost slednje dana s formulo: v = m1m2 · · ·mnM (m + m1)(m1 + m2) · · · (mn−1 + mn)(mn + M) · 2n+1v0 . Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 161 HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 162  #2 Marko RazpetHuygens se je vpra²al, kak²ne morajo biti mase m1 < m2 < . . . < mn,da bo hitrost v zadnje odbite krogli e najve£ja. Videli bomo, da se to zgoditakrat, ko so mase m < m1 < m2 < . . . < mn < M v geometri£nemzaporedju s kvo ientom q = n+1√M/m.V matemati£ni analizi pa bi Huygensovo nalogo zastavili v naslednjiobliki.1. Bodita a in b poljubni pozitivni ²tevili, pri £emer je a < b. Poi²£ipozitivna ²tevila x1, x2, . . . , xn, pri katerih funk ija u : Rn+ → R+, podanas predpisom u(x1, x2, . . . , xn) = x1x2 · · ·xn (a + x1)(x1 + x2) · · · (xn−1 + xn)(xn + b) , (1)doseºe maksimum. Problem najdemo v zbirki [2℄ v skupini nalog na temoekstremov funk ij ve£ spremenljivk in naj bi se re²eval z uporabo par ialnihodvodov.V primeru n = 1 seveda vzamemo u(x1) = x1 (a + x1)(x1 + b) .V Huygensovih £asih verjetno takih nalog ²e niso re²evali z odvodi. Znanipa so ºe bili binomski koe ienti, le da jih ²e niso pisali v dana²nji obliki.Blaise Pas al (16231662) jih je razvrstil v svoj trikotnik, ki pa so ga poznalinekateri matematiki ºe veliko prej. Pierre de Fermat (16011665) je poznalpotrebni pogoj za ekstrem odvedljive funk ije v jeziku tangent na njen grafin Isaa Newton (16431727) je razvil svoj innitezimalni ra£un uent inuksij. Zato se nekoliko vºivimo v tiste £ase, ko je bil diferen ialni ra£un ²ev povojih, in re²imo Huygensov problem povsem elementarno, brez uporabepar ialnih odvodov.V ta namen bomo najprej dokazali neenakost, ki nam bo hitro dalaºeleni rezultat. Pri tem si bomo pomagali z dobro znano neenakostjo medaritmeti£no in geometri£no sredino pozitivnih ²tevil. Naj bo n naravno²tevilo in a1, a2, . . . , an poljubna pozitivna ²tevila. Izraz A(a1, a2, . . . , an) = (a1 + a2 + · · · + an)/nimenujemo aritmeti£na, izraz G(a1, a2, . . . , an) = n √ a1a2 · · · anpa geometri£na sredina ²tevil a1, a2, . . . , an.162 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 163  #3 Huygensova nalogaVselej velja neenakost G(a1, a2, . . . , an) ≤ A(a1, a2, . . . , an) , (2)v kateri ena£aj nastopi, £e in samo £e je a1 = a2 = . . . = an.2. Lotimo se sedaj neena£be, s katero bomo re²ili Huygensovo nalogo.Naj bo n naravno ²tevilo in u1, u2, . . . , un poljubna pozitivna ²tevila.Dokazali bomo, da velja neenakost (1 + u1)(1 + u2) · · · (1 + un) ≥ ( 1 + G(u1, u2, . . . , un) )n , (3)v kateri nastopi ena£aj, £e in samo £e je u1 = u2 = . . . = un.Najprej razvijemo izraz na levi strani (3) in dobimo: (1 + u1)(1 + u2) · · · (1 + un) = 1 + n ∑ k=1 sk(u1, u2, . . . , un) .Pri tem so sk, k = 1, 2, . . . , n, osnovni simetri£ni polinomi spremenljivk u1, u2, . . . , un: s1(u1, u2, . . . , un) = u1 + u2 + · · · + un , s2(u1, u2, . . . , un) = u1u2 + u1u3 + · · · + un−1un ,... sn(u1, u2, . . . , un) = u1u2 · · ·un .Kot vemo iz osnov kombinatorike, ima s1 natanko n = (n1) £lenov, s2 natanko ( n 2 ) £lenov, v splo²nem je vsak £len v sk produkt k faktorjev, torej je sk vsotanatanko c(n, k) = (nk) monomov ai = ai(sk). Za njihovo aritmeti£no sredinodobimo enakost sk = c(n, k)A(a1, a2, . . . , ac(n,k)) .Hitro lahko ugotovimo, da katerakoli izbrana spremenljivka ur nastopa v sk natanko c(n − 1, k − 1)-krat. To je tolikokrat, na kolikor na£inov lahkoizmed preostalih n − 1 spremenljivk u1, u2, . . . , un brez ur izberemo k − 1 spremenljivk. Zato lahko izrazimo geometri£no sredino monomov ai = ai(sk), ki sestavljajo sk: G(a1, a2, . . . , ac(n,k)) = (a1a2 · · · ac(n,k)) 1 c(n,k) = (u1u2 · · ·un) c(n−1,k−1) c(n,k) . 161–167 163 HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 164  #4 Marko RazpetSedaj uporabimo neenakost (2) za vsak sk posebej. Dobimo neenakost sk(u1, u2, . . . , un) ≥ c(n, k)(u1u2 · · ·un)m(n,k)za k = 1, 2, . . . , n. Pri tem je m(n, k) = c(n − 1, k − 1)/c(n, k).Ker pri pogojih n ≥ 1 in k ≥ 1 velja m(n, k) = ( n−1 k−1 ) ( n k ) = (n − 1)! (k − 1)!(n − k)! · k!(n − k)! n! = k n ,pri £emer vzamemo 0! = 1 in zato c(0, 0) = 1, dobimo v splo²nem neenakost sk(u1, u2, . . . , un) ≥ c(n, k)(u1u2 · · ·un)k/n = ( n k ) (G(u1, u2, . . . , un)) k.Kdaj v pravkar dokazani rela iji velja ena£aj? Natanko tedaj, ko je a1 = a2 = . . . = ac(n,k) za vsak sk, k ≥ 1. Za s1 se to zgodi, £e in samo £e je u1 = u2 = . . . = un. Prav tako za preostale sk.Tako smo na²li (1 + u1)(1 + u2) · · · (1 + un) ≥ 1 + n ∑ k=1 ( n k ) ( G(u1, u2, . . . , un) )kin z upo²tevanjem binomske formule nazadnje iskano neenakost (1 + u1)(1 + u2) · · · (1 + un) ≥ ( 1 + G(u1, u2, . . . , un) )n .Damo ji lahko tudi naslednjo obliko: G(1 + u1, 1 + u2, . . . , 1 + un) ≥ 1 + G(u1, u2, . . . , un) .Ena£aj pa v njej velja samo v primeru u1 = u2 = . . . = un.Enakost z binomskimi koe ienti k ( n k ) = n ( n − 1 k − 1 ) ,ki smo jo izpeljali z izra£unom ²tevil m(n, k), lahko interpretiramo popol-noma kombinatori£no, kot je to narejeno v [1℄. Re imo, da izmed n osebizberemo k oseb za neki odbor, nekdo od teh pa bo njegov predsednik. Nakoliko na£inov je to moºno narediti? Odbor je moºno sestaviti na (nk) na£i-nov, predsednika v njem pa na k na£inov, torej lahko odbor s predsednikomnaredimo na k(nk) na£inov. Lahko pa ravnamo tudi takole: najprej izberemopredsednika, kar lahko naredimo na n na£inov. Druge £lane odbora, teh je k − 1, pa izbiramo med preostalimi n − 1 osebami. To lahko naredimo na ( n−1 k−1 ) na£inov, torej odbor s predsednikom lahko izberemo na n(n−1k−1) na£i-nov. Ker po obeh postopkih dobimo isto ²tevilo, res velja zgornja enakost.164 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 165  #5 Huygensova naloga3. Neenakost (3) bomo sedaj ²e nekoliko posplo²ili. Vzemimo pozitivna²tevila a1, a2, . . . , an in b1, b2, . . . , bn ter postavimo u1 = a1/b1, u2 = a2/b2,. . . , un = an/bn. Neenakost (3) nam da: ( 1 + a1 b1 )( 1 + a2 b2 ) · · · ( 1 + an bn ) ≥ ( 1 + G ( a1 b1 , a2 b2 , . . . , an bn ))n ,iz £esar dobimo po preureditvi neenakost: G(a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn) ≥ G(a1, a2, . . . , an) + G(b1, b2, . . . , bn) . (4)V njej pa ena£aj nastopa natanko tedaj, ko sta vrsti i [a1, a2, . . . , an] in [b1, b2, . . . , bn] propor ionalni.Neena£ba (3) je brez dokaza navedena v [5℄, splo²nej²o neena£bo (4) parazvije Kre£mar v [4℄ popolnoma druga£e.Neenakost (4) lahko korak za korakom posplo²imo. Naj bodo namre£ a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn in c1, c2, . . . , cn sama pozitivna ²tevila. Tedajvelja neenakost G(a1 + b1 + c1, a2 + b2 + c2, . . . , an + bn + cn) ≥ ≥ G(a1, a2, . . . , an) + G(b1, b2, . . . , bn) + G(c1, c2, . . . , cn) . (5)Ena£aj v njej pa velja natanko tedaj, ko so vrsti e [a1, a2, . . . , an], [b1, b2, . . . , bn] in [c1, c2, . . . , cn] propor ionalne.4. Postrezimo s preprostim primerom. V Kre£marjevi zbirki problemov [4℄je tudi tale naloga:Dokaºi, da za poljubna pozitivna ²tevila x, y in z velja neenakost: (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz .Kdaj v njej velja ena£aj?V zbirki je ta naloga re²ena druga£e. Uporabimo lahko neenakost (4) za n = 3 in a1 = x , a2 = y , a3 = z , b1 = y , b2 = z , b3 = x .Dobimo (x + y)(y + z)(z + x) = (G(x + y, y + z, z + x))3 ≥ ≥ (G(x, y, z) + G(y, z, x))3 = (2 3 √ xyz)3 = 8xyz ,kar je bilo treba dokazati.Enakost velja samo v primeru x/y = y/z = z/x = λ. To pomeni: x = λy, y = λz, z = λx. ƒe vse te tri ena£be med seboj zmnoºimo, dobimo xyz = λ3xyz, kar pomeni λ = 1 in s tem x = y = z. 161–167 165 HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 166  #6 Marko Razpet5. Da bi laºe poiskali maksimum funk ije (1), si oglejmo funk ijo v(x1, x2, . . . , xn) = (a + x1)(x1 + x2) · · · (xn−1 + xn)(xn + b) x1x2 · · ·xnb , (6)ki je obratna vrednost funk ije u, deljena z b zaradi laºjega ra£unanja. Poi-skali bomo minimum funk ije v in s tem maksimum funk ije u. Da bi lahkouporabili neenakost (3), zapi²emo: v(x1, x2, . . . , xn) = ( 1 + a x1 )( 1 + x1 x2 ) · · · ( 1 + xn−1 xn ) ( 1 + xn b ) .V zgornjem izrazu je n + 1 faktorjev. Sedaj lahko uporabimo neenakost (3)za spremenljivke u1 = a x1 , u2 = x1 x2 , . . . , un = xn−1 xn , un+1 = xn b .Takoj vidimo, da je njihova geometri£na sredina enaka G(u1, u2, . . . , un, un+1) = n+1 √ a b ,zato iz (3) sledi v(x1, x2, . . . , xn) ≥ ( 1 + n+1 √ a b )n+1 = ( n+1 √ a + n+1 √ b )n+1 b .Iz zveze bu(x1, x2, . . . , xn)v(x1, x2, . . . , xn) = 1 kon£no dobimo u(x1, x2, . . . , xn) ≤ 1 ( n+1 √ a + n+1 √ b )n+1 .Sedaj bomo pokazali, pri katerem izboru spremenljivk x1, x2, . . . , xn je vzgornji neenakosti ena£aj. Takrat namre£ funk ija u doseºe svoj maksimum.Od prej vemo, da ena£aj nastopi samo v primeru u1 = u2 = . . . = un = un+1,oziroma natanko tedaj, ko sta propor ionalni vrsti i [x1, x2, , . . . , xn, b] , [a, x1, . . . , xn−1, xn] ,kar pomeni, da obstaja tako pozitivno ²tevilo q, za katero je x1 a = x2 x1 = . . . = xn xn−1 = b xn = q .166 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 167  #7 Huygensova nalogaIz teh rela ij dobimo: x1 = aq , x2 = x1q = aq 2, . . . , xn = xn−1q = aq n, b = aqn+1.Ker je 0 < a < b, je q > 1 in a < x1 < x2 < . . . < xn < b .Nazadnje lahko ugotovimo, da ²tevila a, x1, x2, . . . , xn, b sestavljajo nara²£a-jo£e geometri£no zaporedje s kvo ientom q = n+1√b/a. Torej doseºe funk ija u svoj maksimum v to£ki (aq, aq2, . . . , aqn) prostora Rn+, in ta maksimum jeenak 1/(n+1√a + n+1√b)n+1. S tem smo re²ili Huygensovo nalogo v eloti.Zahvaljujem se profesorju Ivanu Pu lju, ki me je opozoril na Huygensovonalogo. LITERATURA[1℄ A. T. Benjamin in J. J. Quinn, Proofs that really ount, The art of ombinatorialproof, MAA, 2003.[2℄ B. P. Demidovi£, Sbornik zada£ i upraºnenij po matemati£eskomu analizu, Nauka,Moskva 1972.[3℄ G. H. Hardy, J. E. Littlewood in G. Pólya: Inequalities, A ademi Press, Cambridge1952.[4℄ V. A. Kre£mar, Zada£nik po algebre, Fizmatgiz, Moskva 1961.[5℄ D. S. Mitrinovi¢ in D. Mihailovi¢, Linearna algebra, analiti£ka geometrija, polinomi,Graževinska knjiga, Beograd 1962.VESTIOB 80. OBLETNICI ROJSTVA FRANCETA KRIšANIƒASlovenski misle , naravoslove in matematik, profesor Fran e Kriºani£ seje rodil 3. mar a 1928 v Mariboru, umrl pa je 17. januarja 2002 v Ljubljani.’olal se je v Mariboru, Apa£ah ter v Ljubljani. ƒeprav je ve£ino svojegaºivljenja preºivel v na²em glavnem mestu, je vselej rad poudarjal, da se po-£uti ’tajer a. Matematiko je ²tudiral na tedanji Prirodoslovno-matemati£nifakulteti Univerze v Ljubljani, kjer je leta 1951 diplomiral, leta 1955 padoktoriral. V letih 1959 in 1960 se je izpopolnjeval v Moskvi pri znameni-tem profesorju Gelfandu. Za rednega profesorja je bil izvoljen na Univerzi vLjubljani leta 1975. 161–167 167 HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 168  #8 VestiNa²tejemo lahko elo vrsto uradnih ter neuradnih obveznosti in funk ijprofesorja Kriºani£a. Med drugim je bil dvakrat predsednik Dru²tva ma-tematikov, zikov in astronomov Slovenije ter dekan tedanje Fakultete zanaravoslovje in tehnologijo. Pomembno je prispeval k oblikovanju sedanjegaIn²tituta za matematiko, ziko in mehaniko ter sodeloval pri snovanju po-diplomskega ²tudija matematike v Ljubljani in pri nastanku smeri tehni£namatematika kot prvega nepedago²kega ²tudija matematike na Univerzi vLjubljani in sploh na Slovenskem.Profesor Kriºani£ je ²ir²i javnosti najbolj znan po svojih srednje²olskihmatemati£nih u£benikih, ki jih je napisal v za£etku ²estdesetih let. Ob njihso zrasle mnoge genera ije slovenskih gimnazij ev in po njih ²e zmerom radisegajo nekateri gimnazijski profesorji. Nekoliko manj sre£e je imel z drugogenera ijo svojih u£benikov, ki je bila po mnenju nekaterih na²ih profesorjevpreve£ revolu ionarna in so potem kmalu utonili v pozabo.Med najve£je zasluge profesorja Kriºani£a gotovo sodi uvajanje novihmatemati£nih podro£ij in z njimi povezanih drugih podro£ij v slovenskoznanost. še v petdesetih letih je za£el uvajati seminarje, ki so se jih pogo-sto poleg matematikov udeleºevali tudi ziki in raziskoval i drugih podro£ij,ne samo s Fakultete za naravoslovje in tehnologijo, temve£ tudi s Fakulteteza elektrotehniko, Strojne fakultete ter z Instituta Joºef Stefan. Na tehseminarjih so ²tudirali nova podro£ja matematike, funk ionalno analizo, to-polo²ke grupe, diferen ialne operatorje, komutativne Bana hove algebre inaproksimativne metode.Veda o ustroju in delovanju elektronskih ra£unalnikov je bila ena najpo-membnej²ih novosti, ki jih je prinesel k nam. Tako je leta 1960, takoj povrnitvi iz Moskve, iz²lo v Knjiºni i Sigma prvo delo na to temo v Sloveniji,Elektronski aritmeti£ni ra£unalniki, v kateri je profesor Kriºani£ pribliºal te-danje stanje tega podro£ja slovenski zainteresirani javnosti. V tistih £asihje bilo treba veliko znanja in iznajdljivosti pri programiranju teh okornihra£unskih strojev. Mnogi med nami smo takrat iz te knjige prvi£ izvedeli,kako ti stroji zares delujejo in zakaj je bilo tako pomembno poznati binarniprin ip zapisa ²tevil. Razvoj podro£ja ra£unalni²tva in informatike je sko-kovit in dandana²nji deluje informa ijska tehnologija tako kompleksno, danam pogosto za razumevanje njenega delovanja ni ve£ treba poznati vseh po-drobnosti. Tudi programiranje se ne ukvarja ve£ s podrobnim opisom del innalog, ki naj jih ra£unalnik opravi, temve£ prevladuje objektno programira-nje, ki izhaja iz podatkovnih struktur. Teºi²£e je na projektiranju aplika ijekot skupine objektov, ki medsebojno sodelujejo z izmenjavo sporo£il. Seveda168 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 169  #9 Ob 80. obletnici rojstva Franceta Križaničapa se vsaka ²e tako dolga in strma pot, kot pravi kitajska modrost, za£ne sprvim korakom.Opisana knjiºi a pomeni prvi zgodovinski korak v smer ra£unalni²tva ininformatike na Slovenskem, hkrati pa je le del literature, ki jo je ustvarilprofesor Kriºani£. Le njegovi sodobniki morda danes ²e pomnijo, da se je vmladosti ukvarjal elo z leposlovjem. Menda naj bi v starih £asih v NUK-uimeli elo dve karti i z njegovim imenom in priimkom, na eni je bil zapisankot pesnik, na drugi kot matematik. Njegov talent literata se je razmah-nil predvsem v poljudnoznanstvenih delih, kot sta Kratko£asna matematika(1951) in Kriºem po matematiki (1960). Pa tudi v kasnej²ih resnih univerzi-tetnih u£benikih je razvijal izviren, so£en in duhovit izraz, tako v nasprotju zdotlej uveljavljenim togim in resnim pisanjem matemati£nih tekstov. Kdo odmatematikov ne pomni njegove Linearne algebre in linearne analize (1969),Navadnih diferen ialnih ena£b in varia ijskega ra£una (1974) ter Linearneanalize na grupah (1982). Kot u£beniki so to prave mojstrovine, ob katerihso zrasle ele genera ije matematikov.V kasnej²ih delih se je vse bolj usmerjal v ziko, saj je nanjo gledalkot na nedeljivi del matematike. Njegova stara ljubezen do ra£unalnikovse je spet pokazala, ko se je nau£il jezika TEX za pisanje matemati£nihbesedil in opisnega jezika PostS ript za izdelavo risb ter postal eden vodilnihstrokovnjakov tega jezika v Sloveniji. Sam je napisal in uredil nekatere svojemonograje v eloti. V ²tevilnih £lankih za Obzornik za matematiko inziko je prikazoval nova podro£ja matematike, pisal o pouku matematike,predstavljal sodelav e ob njihovih ºivljenjskih jubilejih, re enziral knjige,nekatere £lanke pa je tudi prevedel.Tesno povezana z njegovim osebnim literarnim slogom je tudi njegovaterminologija. V pre ej²nji meri odstopa od ustaljene, ki pogosto suºenjskoposnema anglo-latinsko izrazje. V£asih je ²el v iskanju osebne note po mne-nju marsikoga korak predale£. Ko je na primer iskal primeren prevod izrazaintertwining operator, se je ob ruskem vzoru spletaju²£isja operator od-lo£il, da gre ²e korak dlje in hudomu²no uporabil izraz spleti£na. Ko smoga poslu²ali na predavanjih, so nam iz njegovih ust taki in podobni terminizveneli naravno. Ko pa smo kasneje sami predavali to snov, se je le malokdoodlo£il za kak tako slogovno obarvan prevod. Po drugi strani pa na primervsi, ki enimo slovenjenje, uporabljamo za teorijo, v kateri nastopajo sple-ti£ne, raje Kriºani£ev prevod upodobitve grup kot anglo-latinski polprevodreprezenta ije grup. Tudi £e se torej ne bodo ohranili prav vsi njegovi ter-mini, pa bo vseeno njegov prispevek k slovenski matemati£ni terminolo²ki Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 169 HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 170  #10 Vestizakladni i velik.V enem svojih govorov je profesor Kriºani£ povedal:Tovari²i, naivno se motite prvi£: nisem znanstvenik, nisem strokovnjak,prav ni£ globokoumnega ni v meni. ƒetudi bi  ponevedoma  v misel zabre-del, priob£iti bi je ne znal.Tovari²i, naivno se motite drugi£: na²a teorijska misel ni v ²krip ih.Cvete. Zavzemamo se in izpostavljamo upo²tevajo£, moralni smo. Odlo£ilobo gospodarstvo, uporabnik, tako kot je hotel Platon. Bog var, da £evlje sodilbi kopitar.Da ni vse roºnato, je kriva majhna pegi a na na²em ob£estvu, u£itelj ²evedno obremenjuje na²e gospodarstvo. Pa ne bo dolgo, le ²e malo, na²el boobljubljeno repi²£e, nam vsem v nemajhen ponos in rodovom za zgled: leto4000 bomo dosegli dva tiso£ let pred rokom.Tudi tretji£ ste se zmotili: to se ni za smejat, to se je za zjokat.Toda motimo se, pa najsi bomo tovari²i ali gospodje, £e verjamemo nje-govi skromni izjavi, da ni bil znanstvenik in ne strokovnjak. In ²e bolj semotimo, £e verjamemo, da ni bilo v njem prav ni£ globokoumnega. In tuditretji£ se motimo in najbolj od vsega, £e verjamemo, da ne bi znal priob£itimisli, pa £eprav bi ponevedoma zabredel vanjo. Prav nasprotno, profesorKriºani£ je bil vse to in najbolj od vsega slovenski matemati£ni pisatelj.Mislim da je prav, da posebej izpostavim njegovo javno delovanje v £asu²olske reforme usmerjenega izobraºevanja, ko se je v razpravo ve£krat po-lemi£no vklju£il z govori, katerih odlomke v univerzitetnih krogih v£asih²e danes itirajo. Med najbolj znanimi njegovimi itati je misel o kle£e£iuniverzi: Univerze nimamo ve£ in bolje je, da je ni. Kle£e£a in mol£e£auniverza je na ionalna sramota, sramota zase in sramota za tistega, predkaterim kle£i in mol£i. In £eprav nam zveni njegov jezik danes nekolikoarhai£no, je njegova misel ²e prav tako ºiva, kot je bila takrat. Mar ni tudidanes pred nami visoko²olska reforma, pred katero so vse evropske univerzepokleknile, tako kot so pokleknile takrat univerze neke zdaj ºe pokojne dr-ºave. Mnoge podrobnosti so druga£ne, nekatere pa nas ²e preve£ spominjajona tiste £ase, od dvostopenjskega ²tudija do usmerjenosti programov v ve£jouporabnost. Ali ni torej vzklik Bog var, da £evlje sodil bi kopitar spet namestu?Mar ni tudi danes zdrsnil deleº sredstev, ki ga v na²i drºavi namenjamoznanosti in visokemu ²olstvu, med najniºje v Evropi? Ob tem, ko kvalitetnimin mednarodno uveljavljenim univerzam dohodek realno in elo nominalnozmanj²uje, taista drºava ustanavlja nove in nove univerze ter vanje usmerja170 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 171  #11 Ob 80. obletnici rojstva Franceta Križaničaºe tako skromna sredstva. In medtem ko se vse ve£ sredstev zliva v privatneuniverze, po²ilja drºava drºavne univerze po denar k privatnikom. Ali nitorej primerjava s Tav£arjevim letom 4000 in u£iteljevim repi²£em spet namestu?Odkar se je profesor Kriºani£ poslovil od nas, pogre²amo predvsem nje-govo duhovitost, ki nam je razsvetlila prenekateri dan. še ob njegovi 70-letni i sem za £asopis Delo napisal nekaj besed o njegovem ºivljenju in delu.Takrat je bil ºe v pokoju, a je ²e vedno prihajal na fakulteto; in ko me jeprvi£ po tistem sre£al, se je hudomu²no nasmejal in me o²vrknil, da sem£lanek napisal preve£ niz dlako.Za zaklju£ek je morda najbolj primeren njegov tekst, ki, kolikor vem, nibil nikoli objavljen. Gre za prijavo profesorja Kriºani£a za ponovno izvolitevv naziv rednega profesorja, potem ko je eden od zakonov rednim profesorjemodvzel nazive.Naziv rednega profesorja mi bo ugasnil, nikdar se nisem potegoval zanj,u£iteljski pokli pa sem na na²em TOZD z veseljem opravljal. Prav rad bomdelo z njim ²e naprej zdruºeval, £e me seveda ²e potrebuje. In £e se res neda delati brez naziva, naj mi katerega dodeli, vseeno katerega.ƒe pa Svet TOZD Matematika in mehanika sodi, da je moje delo kon-£ano, ali pa sem po merilih kakorkoli neustrezen, naj me mirne du²e preu-smeri. Matjaº Omladi£NEKAJ SPOMINOV NA FRANCETA KRIšANIƒALeta 1964 sem se vpisal na II. (’ubi£evo) gimnazijo v Ljubljani. Matema-tiko me je u£ila Marija Milenkovi£, temperamentna in zavzeta profesori a,navdu²ena za novosti. Uporabljali smo povsem nove u£benike Aritmetika,algebra in analiza IIII Fran eta Kriºani£a. Knjige so bile sveºe, intelektu-alno spodbudne. (Nekaterim so²ol em pa je delal teºave abstraktni za£etek skolobarji in obsegi.) Posebno v²e£ so mi bile aplika ije: linearno programira-nje, naravna rast, ena£ba Ciolkovskega . . . Knjige so izstopale med na²imiu£beniki in ime Kriºani£ nas je fas iniralo.So²ole Andrej Detela je pri²el nekega dne z novi o, da profesor Kriºani£ob dolo£enem £asu hodi vzdolº Rimskega zidu. In res sva tam pri£akalabradatega moºa. Andrej ga je fotograral (kot je ºe prej na skrivaj medurami fotograral ve£ino na²ih gimnazijskih profesorjev). Profesor je to Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 171 HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 172  #12 Vestiopazil in se radovedno ozrl na naju. Morda bi mu bilo v²e£, £e bi vedel, daje bila fotograja narejena z aparatom Smena 8 iz zdaj kultne leningrajsketovarne LOMO.Pozneje, v drugem ali tretjem letnikugimnazije, sem se udeleºeval predavanj zasrednje²ol e. Profesor Kriºani£ je govoril omatemati£ni induk iji, veriºnih ulomkih indiofantskih ena£bah. šal sem se hitro izgu-bil v snovi, ki je bila si er o£itno zanimiva.Tudi enemu od drugih poslu²al ev ni bilovse jasno in je posku²al z vpra²anjem. Si erprijazni profesor je ponovil tisto, kar namni delalo teºav. Nekako nismo mogli vzpo-staviti pravega stika. Na mojo matemati£nosamozavest ta izku²nja ni delovala najbolje.Sredi mojega obiskovanja gimnazije jena²a profesori a matematike (ponovno) od-²la u£it v Afriko in s tem smo se ºal poslovilitudi od Kriºani£evih u£benikov. Sem pa sam po Kriºani£evi knjigi Vektorji,matrike, tenzorji iz Knjiºni e Sigma pre²tudiral vektorski ra£un. K temu meje spodbudilo zvezno matemati£no tekmovanje za srednje²ol e, na kateremme je teplo neznanje te snovi. Knjiºi a mi je bila v²e£; vsebovala je primere,ni pa bilo vaj.V drugem letniku univerze smo matematiki skupaj s ziki pri Kriºani£uposlu²ali eloletni te£aj Diferen ialne ena£be (tri ure predavanj, dve uri vajna teden). Kot literaturo nam je profesor navedel knjige [1, 2, 3, 4℄ in zavaje [5℄. (Navajam zadnje izdaje in angle²ke prevode ruskih originalov, £eobstajajo.) Za drugi semester pa nam je svetoval kak u£benik matemati£nezike. še prvo uro nas je profesor Kriºani£ vpra²al: Ali ste se ºe za£eli u£iti?ƒe ne, je ºe prepozno. Lahko re£em, da je bilo opozorilo umestno, saj sem sezelo hitro izgubil v snovi. Predavanja so bila na zelo visokem nivoju, pre-davatelj stvari ni ponavljal, kak ra£un ali dokaz nam je prepustil za doma£onalogo. Kot profesorja Ivan Vidav in Niko Prijatelj (in verjetno ²e kdo drugod na²ih takratnih u£iteljev) je profesor Kriºani£ predaval na pamet, brezzapiskov. (Kot mi je potrdil profesor Anton Suhadol , je Fran e Kriºani£imel izreden spomin.) Vsaj deloma je vodil tudi vaje. ’e danes rad ²tuden-tom povem njegov rek: Diferen ialne ena£be delimo na dva tipa: tiste, ki jih172 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 173  #13 Nekaj spominov na Franceta Križaničaznamo re²iti, in tiste, ki nastopajo v praksi. Poseben vtis je name naredilaelegantna obravnava problema dveh teles, vklju£no z izpeljavo Keplerjevihzakonov. Za pisni izpit je po pripovedovanju starej²ih kolegov veljalo, daklasi£ni ortogonalni polinomi ne pridejo v po²tev. ƒe je ºe pri²el kak robniproblem, ga je bilo mogo£e re²iti z nekaj iznajdljivosti. Na mojem izpituºal ni bilo tako. Kakorkoli sem se loteval diferen ialne ena£be, ki je pri²la izFourierove metode, ni ²lo. Profesor Kriºani£ je pri²el mimo, opazoval mojbrezplodni trud in kon£no tiho rekel: Ali ne spoznate Laguerra? Takratsem prvi£ videl, kak²no zlato sr e ima profesor Kriºani£. Tudi si er po mojihizku²njah v primeru, ko ga je kdo prizadel, ni sku²al vrniti milo za drago.Zanimivo je, da se je znal v pogovoru zelo hitro in duhovito odzvati, a tehsvojih sposobnosti ni izkori²£al za to, da bi prevladal. Vsekakor pa je iskri-vost njegovega duha vzbujala spo²tovanje pri sogovornikih.V poletnem semestru drugega letnika nam je profesor Kriºani£ predavalVi²jo algebro. Z vektorji v evklidskem prostoru, determinantami in delomamatrikami nas je zelo u£inkovito seznanil ºe vi²ji predavatelj Milan Ziegler vprvem letniku. Kriºani£ev kurz je za£el z ena£bami tretje in £etrte stopnje.Dokaz osnovnega izreka algebre je imenoval Dama s psi£kom (po znani no-veli A. P. ƒehova), saj je uporabljal indeks (ovojno ²tevilo) krivulje, ki sene oddalji preve£ od neke kroºni e. Sledile so kvadratne matrike, kon£norazseºni vektorski prostori in linearni operatorji nad njimi, lastne vredno-sti, unitarni in evklidski prostori, spektralna teorija za normalne operatorje,ploskve drugega reda in vztrajnostni moment sistema masnih to£k. Natosmo vzeli funk ije matrik, Jordanovo formo, tenzorsko algebro (vklju£no skonvolu ijo ali, po njegovo, pregibom, tenzorskim in zunanjim produktom).Tenzorji so bili za nas pre ej teºak zalogaj, saj ni bilo pravih zgledov invaj. Na kon u se je profesor vrnil k polinomom, vpeljal rezultanto dvehpolinomov, diskriminanto in dokazal Sturmov izrek o ²tevilu realnih ni£elpolinoma z realnimi koe ienti. Vse to smo naredili v dveh urah predavanjin uri vaj na teden v enem semestru. Spomnim se, da mi je po pisnem izpitupokazal eno nalog v mojem izdelku, zmajal z glavo in obrnil dlan. Sklepalsem, da bi matriko v rezultatu moral ²e transponirati. Vseeno mi je dal 10.V vi²jih letnikih in pozneje sem se udeleºeval popoldanskih £etrtkovihpostdiplomskih seminarjev, na katerih je predaval tudi Fran e Kriºani£, meddrugim o funk ijah ve£ kompleksnih spremenljivk. Po seminarju smo imeli£aj in pi²kote. Ti seminarji so nekako zdruºevali oddelek. Nanje so prihajalitudi nekateri ziki in elo profesor Ludvik Gyergyek s Fakultete za elektro- Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 173 HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 174  #14 Vestitehniko. (Gyergyekov predmet Vezja in servomehanizmi smo poslu²ali tudi²tudenti tehni£ne matematike. Tradi ijo £etrtkovih druºenj je po mnogihletih zdaj obudil Tomaº Pisanski.)Profesor Kriºani£ je tudi si er rad pre²tudiral kaj novega in to znanjedelil z drugimi. Posebno veselje pa je imel s prevodi tujih izrazov. Kotpoznavale besedne umetnosti je znal uporabiti tudi bolj arhai£ne besede.Novi termini so nas v£asih presenetili. Tako v Vektorjih, matrikah, tenzorjihgovori o izprijenih ploskvah drugega reda. Marsikateri duhoviti izum se jeobdrºal.V prvem letniku tretje stopnje (1972/73) nam je profesor Kriºani£ pre-daval Topolo²ke in Liejeve grupe. Prvi del tega kurza je verjetno imel prvi£in mi je bil prav v²e£.Kmalu potem, ko sem leta 1977 doktoriral, mi je profesor Kriºani£ pre-dlagal, da prevzamem kurz matematike za biologe, si er bo to moral nareditipredstojnik, to pa je bil on sam. Odgovoril sem mu, da sem za to, rad pa bi,da me nekoliko razbremenijo pri vajah. Odkimal je in s tem je bilo najinegarazgovora kone  predavanja je prevzel sam.Znano je bilo, da je profesor Kriºani£ zelo navezan na vse v zvezi z Ru-sijo. V£asih se je s fakultete odpeljal z avtomobilom moskvi£, ki je imelprepoznavno ²katlasto obliko. Kroºi anekdota, da je dejal naslednje: Pozaslugi tega avtomobila sem videl pol Evrope  ko sem se vozil z vlakom iskatrezervne dele zanj. Ve£inoma pa je s Prul prihajal pe², poleti z markantnimslamnikom na glavi. Neko zimo mu je na tej poti v bliºini fakultete spodr-snilo in posledi a je bil kompli iran zlom noge, zaradi katerega je moral ve£mese ev leºati doma.Okrog leta 1980 je pri²lo do polemik o Kriºani£evem poskusnem u£benikuMatematika za prvi razred srednjega usmerjenega izobraºevanja (1980). Najposkusim stvari prikazati tako, kot se jih spomnim sam.Po presku²anju na nekaterih ²olah je Zavod za ²olstvo pri²el do sklepa,da ta knjiga ne bo primerna za elotno srednje²olsko popula ijo. Zato jeAleksander Cokan prosil Ivana ’tal a (ki je pred tem napisal u£benike zasrednje tehni£ne ²ole), naj £im prej pripravi alternativni u£benik za prviletnik. Tudi ta rokopis ni bil povsem ustrezen. Teºave je moral re²evatiEgon Zakraj²ek kot vodja ustrezne komisije pri Zavodu za ²olstvo. On se jev £asovni stiski obrnil name, morda zato, ker sem v nekem internem doku-mentu izrazil pomisleke ob nekaterih pristopih v Kriºani£evem poskusnemu£beniku. ’e danes ne razumem, zakaj niso ponatisnili starih Kriºani£evih174 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 HUYGNAL1  2008/11/26  17:27  page 175  #15 Nekaj spominov na Franceta Križaničaknjig, morda s kakimi minimalnimi spremembami. A verjetno avtor potem,ko je napisal nove, ne bi bil za to. Ker sva dolo£ene dele alternativne knjigenapisala ali revidirala z Egonom Zakraj²kom, sva postala soavtorja. Takojje bilo treba pripraviti tudi nadaljnje zvezke. Tako sem po sili razmer pa-del v pisanje srednje²olskih u£benikov. Ko je Egon kako leto kasneje od²elv ZDA, sem moral prevzeti ²e ve£ dela.Spomladi 1983 me je Fran e Kriºani£ kli al domov, mislim, da zaradirazdelitve dela. Povedal sem mu, da prebolevam virusno plju£ni o. Koje to sli²al, mi je dejal, da je sam ve£ let zaporedoma imel enake teºavenatan£no v £asu zimskih po£itni . Ko se mu je zgodilo to zadnji£, je takoreko£ iz postelje od²el z vlakom v Minsk, se tam sprostil v druºbi s prijateljis tamkaj²nje univerze in po tistem se mu bolezen ni ve£ ponovila.Po polemikah v zvezi z u£beniki se je profesor Kriºani£ deloma umikaliz skupnega ºivljenja oddelka. Pri tem so prakti£no vsi starej²i profesorjiv tej debati ostali vsaj nevtralni. Profesorju Ivanu Ku²£erju je bilo izre nov²e£, da je Kriºani£ upo²teval ºelje zikov in dele innitezimalnega ra£unadal v u£benik matematike za drugi razred srednje ²ole. Tudi nekateri mlaj²ikolegi so s profesorjem Kriºani£em obdrºali zelo dobre odnose.Poljudna Kriºani£eva knjiga Nihalo, prostor, del i (1982) mi je bila v²e£,tako da sem z veseljem napisal re enzijo (mislim, da elo dvakrat). Pred£asom sem se pogovarjal s starej²im parom, ki je v ²tudentskih letih prija-teljeval s Kriºani£em. Po njunem pripovedovanju je imel vzdevek Firduzizaradi velikega zanimanja in tudi ukvarjanja s poezijo. To sem pozneje pre-bral tudi v njegovi avtobiografski knjigi [6℄. šal je v na²em pokli u tako, daumetni²ka nadarjenost in prenjenost nimata veliko moºnosti za izraºevanje.Mlaj²i kolegi smo pred izidom knjige [6℄ le iz nekaterih itatov in prebliskovv Kriºani£evih knjigah lahko sklepali o tej strani njegove zanimive osebnosti.LITERATURA[1℄ El'sgol' , L. E., Dierential equations and the al ulus of variations, Mir, Moskva1970.[2℄ Petrovskij, I. G., Ordinary dierential equations, Prenti e Hall, Englewood Clis,1966.[3℄ Stepanov, V. V., Kurs dieren ial'nyh uravnenij, GITL, Moskva 1958.[4℄ Coddington, E. A. in Levinson, N., Theory of ordinary dierential equations, M Graw-Hill, New York 1955.[5℄ Filippov, A. F., Sbornik zada£ po dieren ijal'nym uravneniam, Nauka, Moskva 1979.[6℄ Kriºani£, F., Splo²no in posebno (nakladanja in otepanja), Ljubljana, Studia humani-tatis, 2003. Peter Legi²a Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 175 LOMOB  2008/11/26  17:21  page 176  #1 NEGATIVNI LOMNI KOLIƒNIKJANEZ STRNADFakulteta za matematiko in zikoUniverza v LjubljaniPACS: 41.20.JbZadnje £ase v zikalnih revijah pogosto obravnavajo negativni lom. ƒlanek posku²apreprosto opisati osnove pojava in njegovo ozadje.NEGATIVE INDEX OF REFRACTIONLately in physi s journals negative refra tion is often dis ussed. In the arti le a simpledes ription of the basi s of the phenomenon and its ba kground is given.Lomni koli£nikV ravnem elektromagnetnem valovanju v homogeni in izotropni snoviopi²emo spreminjanje faze s faktorjem ei(~k·~r−ωt). V tem primeru v Maxwel-lovih ena£bah rotor nadomestimo z i~k× in odvod po £asu z −iω. Takopridemo do zvez med jakostjo elektri£nega polja ~E , jakostjo magnetnegapolja ~H in valovnim vektorjem ~k: ~k × ~E = ωµµ0 ~H in ~k × ~H = −ωεε0~E .Navadno vzamemo dielektri£nost ε in permeabilnost µ za pozitivni. V temprimeru vektorji ~E , ~H in ~k sestavljajo desni trirob. Valovni vektor je enakousmerjen kot Poyntingov vektor ~P = ~E × ~H, ki opi²e gostoto energijskegatoka. Fazna in skupinska hitrost imata enako smer. Fazna hitrost pove, kakohitro potuje faza, to je sprememba polja. Skupinska hitrost pa pri valovanju,ki ima disperzijo, se pravi, da je fazna hitrost odvisna od valovne dolºine,poda hitrost, s katero potujeta skupina valov in energija.Iz zapisanih ena£b pa izhaja, da vektorji ~E , ~H in ~k sestavljajo levi tri-rob, £e sta dielektri£nost in permeabilnost negativni.1 Valovni vektor imanasprotno smer kot gostota energijskega toka, po doma£e valovi potujejo vnasprotno smer kot energija. Fazna hitrost ima nasprotno smer kot skupin-ska hitrost.1Tako snov so zato imenovali levo. To ime pa ni posre£eno, saj pojav ni povezan zro£nostjo.176 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 LOMOB  2008/11/26  17:21  page 177  #2 Negativni lomni količnikIz Maxwellovih ena£b sledi valovna ena£ba s kvadratom hitrosti svetlobe c2 = 1/(εε0µµ0). ƒe sta dielektri£nost in permeabilnost pozitivni, lomni ko-li£nik snovi vpeljemo kot n = c0/c = (εµ)1/2 s hitrostjo svetlobe v vakuumu c0 = 1/(ε0µ0) 1/2. Pri prehodu iz vakuuma v snov vpadni kot α z lomnimkotom β povezuje lomni zakon sinα/ sin β = c0/c = n.Leta 1904 je Hora e Lamb v mehaniki prvi£ obdelal moºnost, da imaskupinska hitrost nasprotno smer kot fazna hitrost. Odtlej so o tej mo-ºnosti velikokrat razpravljali, pogosto tudi za elektromagnetno valovanje.Leta 1967 se je Viktor G. Veselago z In²tituta ruske akademije znanostiP. N. Lebedev v Moskvi na£elno vpra²al, ali je mogo£e, da sta dielektri£nostin permeabilnost hkrati negativni [1℄. Ali v tem primeru lahko po snovipotuje elektromagnetno valovanje?Dielektri£nost in permeabilnost sta analiti£ni funk iji, katerih imagi-narna dela sta povezana z absorp ijo. Na to je treba biti pozoren pri ra£una-nju. Vzemimo, da sta dielektri£nost in permeabilnost enaki−1 in ju zapi²imokot ε = µ = eiπ. Za lomni koli£nik dobimo n = e 12 iπ · e 12 iπ = eiπ = −1. Tonapelje na misel, da je treba prvotno ena£bo za lomni koli£nik popraviti: n = s(εµ)1/2. (1)ƒe sta dielektri£nost in permeabilnost obe pozitivni, je s = +1, £e sta obenegativni, pa je s = −1. V obeh primerih po snovi lahko potuje elektroma-gnetno valovanje. ƒe je dielektri£nost pozitivna in permeabilnost negativnaali dielektri£nost negativna in permeabilnost pozitivna, pa je lomni koli£-nik imaginaren. V teh primerih po snovi ne more potovati elektromagnetnovalovanje. Na meji take snovi se valovanje odbije. Slika 1. Pri obi£ajnem lomu iz vakuuma v snov z n > 1 se ºarek lomi proti vpadnipravokotni i (levo). ƒe je n = 1, se ºarek ne lomi (£rtkano). Pri negativnem lomu izvakuuma v snov z n < 0 je lomni kot negativen (desno) in za n = −1 enako velik kotvpadni kot (£rtkano). 176–184 177 LOMOB  2008/11/26  17:21  page 178  #3 Janez StrnadZ negativnim lomnim koli£nikom so povezani ²tevilni nenavadni pojavi.Najprej zapi²imo lomni zakon za prehod valovanja z obmo£ja 1 na obmo£je 2: sin α sin β = n2 n1 = n12 = s2(ε2µ2) 1/2 s1(ε1µ1)1/2 . (2)Pri prehodu z obmo£ja s pozitivnim lomnim koli£nikom na obmo£je s pozi-tivnim ali z obmo£ja z negativnim lomnim koli£nikom na obmo£je z negativ-nim velja lomni zakon v obi£ajni obliki. Pri prehodu z obmo£ja s pozitivnimlomnim koli£nikom na obmo£je z negativnim ali z obmo£ja z negativnimlomnim koli£nikom na obmo£je s pozitivnim pa se v lomnem zakonu pojavidodaten znak minus. Tedaj govorimo o negativnem lomu. Pri obi£ajnemlomu merimo lomni in odbojni kot od vpadne pravokotni e v enakem smi-slu, tako da vpadni in lomljeni ºarek leºita na nasprotnih straneh vpadnepravokotni e. Pri negativnem lomu pa je lomni kot negativen, tako da vpa-dni in lomljeni ºarek leºita na isti strani vpadne pravokotni e (slika 1). Slika 2. Poljubno velika planparalelna plast iz snovi z n = −1 preslika predmet breznapak, zna£ilnih za le£e, in brez neostrosti zaradi uklona.Obratna vrednost gori²£ne razdalje le£e iz snovi 2 na obmo£ju 1 je soraz-merna z razliko n12 − 1. Pri obi£ajnem lomu je razlika enaka ni£, £e postanelomni koli£nik le£e enak lomnemu koli£niku okoli e in n12 = 1, tako da niloma. Pri negativnem lomu pa je razlika enaka −(|n12|+1). Zaradi spreme-njenega znaka mora biti v tem primeru zbiralna le£a na sredini tanj²a kotna robovih in razpr²ilna na sredini debelej²a kot na robovih. Zanimiv je lomna planparalelni plasti iz snovi z lomnim koli£nikom n = −1 v vakuumu.Lomni kot je enak negativnemu vpadnemu kotu, vrh tega ima snov podobnelastnosti kot vakuum, zato se na njej ni£ svetlobe ne odbije. Planparalelna178 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 LOMOB  2008/11/26  17:21  page 179  #4 Negativni lomni količnikplo²£a z debelino d to£kast predmet v razdalji a < d preslika v to£kasto slikov razdalji d− a (slika 2) [1℄. Pri zelo veliki plo²£i ni omejitve zaradi uklona,da se to£kast predmet preslika v kroºe s premerom valovne dolºine kot priobi£ajni le£i [24℄. Vendar plast nima pravih lastnosti le£e, saj vzporednega²opa ºarkov ne zbere v gori²£ni ravnini.Na obmo£ju z negativnim lomnim koli£nikom bi opazili obratni pojavƒerenkova. Pri obi£ajnem pojavu ƒerenkova naelektreni dele , ki se gibljepo snovi hitreje, kot potuje po njej elektromagnetno valovanje, seva stoº£astovalovno £elo z valovnim vektorjem pod ostrim kotom proti smeri gibanja.Pri obratnem pojavu ƒerenkova bi bil ta kot top. Na obmo£ju z negativnimlomnim koli£nikom opazijo obratni Dopplerjev pojav. V verigo £lenov, kijih sestavljata po dva kondenzatorja in du²ilka z nelinearno induktivnostjo,so poslali ostro elektromagnetno motnjo in za njo radijske valove. Valovi sfrekven o okoli 1,3 GHz so se odbili na motnji, ki se je oddaljevala s hitrostjo 0,26c, in se vrnili s frekven o okoli 1,6 GHz [5℄.Dielektri£nost in permeabilnostDielektri£nost in permeabilnost sta odvisni od frekven e. Na hitro sioglejmo zna£ilno frekven£no odvisnost dielektri£nosti. Molekule snovi si mi-slimo sestavljene iz elektronov, ki so harmoni£no vezani na pozitivne mo-lekulske ostanke. V snovi, ki ni pregosta, lahko pribliºno vzamemo, dana elektron deluje izmeni£no elektri£no polje v valovanju E0e−iωt. Magne-tne sile zanemarimo. Ena£ba gibanja za elektron se glasi m(ẍ + γẋ + ω20x) = −e0E0e−iωt. Konstanta γ upo²teva du²enje, ω0 = √K/m pa jelastna kroºna frekven a elektrona. Elektri£ni dipolni moment elektrona pe = −e0x prispeva k elektri£ni polariza iji P = ε0(ε − 1)E = ZNpe,£e je N ²tevilo molekul v prostorninski enoti in v vsaki molekuli niha Z elektronov. Z nastavkom x = x0e−iωt sledi kompleksna dielektri£nost ε = 1 + ZN e20/(mε0(ω20 − ω2 − iγω)) z realnim in imaginarnim delom: Re ε = 1 + ZN e20 mε0 · ω20 − ω2 (ω20 − ω2)2 + ω2γ2in Im ε = ZN e20 mε0 · γω (ω20 − ω2)2 + γ2ω2 .Imaginarni del kaºe zna£ilno resonan£no krivuljo, ko kroºna frekven a elek-tromagnetnega valovanja ω doseºe in preseºe lastno kroºno frekven o elek- 176–184 179 LOMOB  2008/11/26  17:21  page 180  #5 Janez Strnadtrona ω0. Realni del, ki ga je treba upo²tevati v lomnem koli£niku, pa poprehodu skozi resonan o lahko spremeni znak (slika 3). PSfrag repla ementsGHz PSfrag repla ements ε, µ GHz log j j0 ω 2πSlika 3. Krivulji po zapisanih ena£bah za Re ε in Im ε z ZN = 1,8·1028 m−3 in γ/ω0 = 0,1(levo). Dielektri£nost (£rtkano) in permeabilnost (pik£asto) metamateriala, s katerim soD. Smith in sodelav i prvi£ opazovali negativni lom, na nakazanih frekven£nih pasovihpostaneta negativni (desno zgoraj). Ozna£eni vrh prepustnosti (sklenjeno) pri£a, da jena ozkem frekven£nem pasu lomni koli£nik negativen (desno spodaj). Narisani sta tudiprepustnosti za elektri£ni del metamateriala (£rtkano) in za magnetni del (pik£asto). PoJ. B. Pendryju in D. R. Smithu [3℄.Negativna dielektri£nost se potemtakem lahko pojavi na ozkem frekven£-nem pasu po prehodu skozi resonan o. Pri tem je treba ra£unati tudi zdisperzijo in absorp ijo. Pri kovinah, na primer srebru in aluminiju, se re-sonan a pojavi na vidnem obmo£ju, na katerem te kovine mo£no odbijajosvetlobo. V polprevodnikih pa leºi resonan a na obmo£ju valovnih dolºinokoli desetine milimetra ali na infrarde£em obmo£ju.S podobnim ra£unom je mogo£e zajeti tudi permeabilnost. V snovi simislimo drobne ovoje s tokom s harmoni£no vezanimi magnetnimi momenti.Dobimo podobno zvezo za permeabilnost. Tudi njen realni del lahko priprehodu skozi resonan o postane negativen. To se primeri pri nekaterih180 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 LOMOB  2008/11/26  17:21  page 181  #6 Negativni lomni količnikferomagnetnih in antiferomagnetnih snoveh, le da leºi resonan£na frekven apri pre ej niºjih frekven ah. MetamaterialiDa postane lomni koli£nik negativen, morata dielektri£nost in permea-bilnost biti negativni na istem frekven£nem pasu. Take snovi v naravi nisona²li. Za mikrovalove so jo naredili tako, da so sestavili iz enakih £lenovvezje, ki ga je mogo£e opisati kot metamaterial z efektivno dielektri£nostjoin efektivno permeabilnostjo, £e so £leni manj²i od £etrtine valovne dolºine.John B. Pendry in sodelav i z Imperialnega kolidºa v Londonu so leta 1999pri²li na misel, da bi za magnetni del uporabili drobne kovinske obro£e zreºami [6℄. Obro£i z induktivnostjo in reºe s kapa iteto delujejo kot nihajnikrogi.Zamisel so preizkusili David Smith in njegovi sodelav i s Kalifornijskeuniverze v San Diegu [7℄. Na plo²£i e iz organskega stekla so nalepili tankebakrene listi£e v obliki dveh obro£ev z reºama na nasprotnih straneh. Zaelektri£ni del pa so na drugi strani plo²£i nalepili bakrene trakove. Plo²£i eso sestavili v mreºo in tako dobili metamaterial z negativnima efektivnimadielektri£nostjo in permeabilnostjo (slika 3). Na takem metamaterialu soopazovali negativni lom v ravnini. V valovni vodnik so vstavili prizmo izmetamateriala, tako da je vanjo valovanje s frekven o 10 GHz vstopalo podpravim kotom, izstopalo pa po²evno [8℄. Pri tem so se prepri£ali, da se jevalovanje lomilo na nasprotno stran kot na enaki prizmi iz teona s pozi-tivnim lomnim koli£nikom. Nekateri raziskoval i so podvomili, da je ²lo zapravi negativni lom, £e² da sta motili velika disperzija in oslabitev in je bilsprejemnik preblizu prizme. Dvome je ovrgla raziskovalna skupina s Ka-lifornijskega tehni²kega in²tituta, ki je ponovila poskus z bolj oddaljenimmerilnikom [9℄. Nato so to storile ²e druge raziskovalne skupine.Nadejajo se, da bo mogo£e s telesi iz nehomogenega in anizotropnegametamateriala po volji vplivati na potovanje valovanja. Pendry, Smith, ki jemedtem pre²el na univerzo Duke v Durhamu, in sodelave so premislili, kakobi elektromagnetno valovanje z dolo£eno valovno dolºino speljali mimo delaprostora in naredili telesa v njem nevidna za to valovanje [10℄. Izra£unaliso, kako bi se morali spreminjati dielektri£nost in permeabilnost krogelnelupine, da ne bi mogli videti teles v njeni notranjosti. Valovanje bliºnjegato£kastega izvira bi bilo v oddaljenosti tako, kot da lupina ne bi metala sen e. 176–184 181 LOMOB  2008/11/26  17:21  page 182  #7 Janez StrnadNapravo so preizkusili v preseku krogelne lupine z ekvatorsko ravnino [11℄.Zares so izdatno zmanj²ali sipanje valovanja s frekven o 8,5 GHz v smerinazaj in v smeri naprej, tako da predmeta ni bilo mogo£e videti in opazovatinjegove sen e. Vidna svetlobaPred kratkim so Henri Leze z Drºavnega in²tituta za znanstvena raz-iskovanja v Parizu ter Jenier Dionne in Harry Atwater s Kalifornijskegatehni²kega in²tituta v Pasadeni opazovali negativni lom tudi z modrozelenosvetlobo [12℄. Pri vidni svetlobi je bilo treba uporabiti druga£en prijem, sajni mogo£e sestaviti metamateriala iz trakov in obro£ev z reºami. Svetlobo sospeljali po valovnem vodniku iz tanke plasti sili ijevega nitrida Si3N4 medplastema kovine. Po 500 nm debeli plasti nitrida med plastema srebra spozitivnim lomnim koli£nikom je lahko potovalo valovanje, ki je ustrezalove£ nihajnim na£inom TM s pre£nim magnetnim poljem.2 Po 50 nm debeliplasti nitrida med plastema srebra in zlata z negativnim lomnim koli£nikompa je lahko potovalo valovanje, ki je ustrezalo enemu samemu nihajnemuna£inu TM. Ta posebnost v stanj²ani plasti zahteva posebno pojasnilo. Va-lovni vodnik so na vseh straneh za²£itili s plastjo aluminija, da so se izognilimotnjam od zunaj.V tanj²i plasti so fotoni delovali na povr²inske plazmone, to je kvanteplazemskega nihanja elektronskega plina ob meji kovine z dielektrikom. Ssklopitvijo povr²inskih plazmonov s fotoni so nastali polaritoni, s katerimimoramo opisati valovanje, namesto da bi ga opisali s fotoni. Hitrost tegavalovanja je mo£no odvisna od frekven e. Na pasu med lastno kroºno fre-kven o povr²inskih plazmonov in plazemsko frekven o elektronov v globinikovine postane lomni koli£nik negativen. S tem, da so srebro nadomestiliz zlatom, so premaknili obmo£je negativnega lomnega koli£nika od ultra-vijoli£ne k modrozeleni svetlobi. Za rde£o svetlobo je lomni koli£nik ostalpozitiven.Skozi 400 nm ²iroko reºo v vrhnjih plasteh so posvetili s polariziranimlaserskim urkom z magnetnim poljem vzdolº reºe. Valovanje je potovalo po2V valovnih vodnikih je pri re²evanju Maxwellovih ena£b treba upo²tevati vsakokratnerobne pogoje. Vsaki od lastnih re²itev ustreza na£in (modus) z zna£ilno krajevno odvisno-stjo obeh polj. Pri transverzalnih magnetnih na£inih TM je magnetno polje pravokotnona smer potovanja.182 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 LOMOB  2008/11/26  17:21  page 183  #8 Negativni lomni količnik Slika 4. V valovni vodnik s 500 nm debelo plastjo sili ijevega nitrida niso namestilinobene prizme (zgornja vrsta), dve ploski prizmi s 50 nm debelo plastjo nitrida (srednjavrsta) ali eno tako prizmo (spodnja vrsta). Posnetek so naredili s tipalnim elektronskimmikroskopom (levi stolpe ) in z opti£nimmikroskopom pri osvetlitvi z leve z rde£o svetlobo(srednji stolpe ) in modrozeleno svetlobo (desni stolpe ). Za modrozeleno svetlobo je billomni koli£nik negativen in je pri²lo do negativnega loma, za rde£o svetlobo pa je bil lomnikoli£nik pozitiven in ni pri²lo do negativnega loma [12℄.delu valovnega vodnika z debelej²o plastjo nitrida in pozitivnim lomnim ko-li£nikom. Nato je naletelo na obmo£je s tanj²o plastjo nitrida in z negativnimlomnim koli£nikom. Obmo£je je imelo obliko prizme s ploskim trikotnikomkot osnovno ploskvijo in s prvo mejno ploskvijo pravokotno na os valov-nega vodnika. Uporabili so dve enaki, drugo proti drugi obrnjeni prizmi alieno samo prizmo. Prepu²£eno valovanje so skozi ravno ali ukrivljeno reºo vspodnjih plasteh zaznavali z objektivom s petdesetkratno pove£avo in pol-prevodni²kim merilnikom CCD, hlajenim s teko£im du²ikom. Naredili so trivrste poskusov. Pri prvem so brez prizem opazovali premo potovanje valo-vanja. Pri drugem poskusu so opazovali odklon valovanja pri prehodu skozi 176–184 183 LOMOB  2008/11/26  17:21  page 184  #9 Janez Strnaddve prizmi, pri tretjem pa odklon pri prehodu skozi eno prizmo. Vsakegaod poskusov so naredili z modrozeleno svetlobo z valovno dolºino 514 nm inz rde£o svetlobo z valovno dolºino 685 nm. Pri drugi in tretji vrsti posku-sov so jasno zaznali odklon modrozelene svetlobe zaradi negativnega loma,medtem ko se rde£a svetloba ni odklonila (slika 4). Tudi izidi teh poskusovso bili vezani na ravnino.Negativni lom vneto raziskujejo in ²tevilo £lankov o njem v raziskovalnihrevijah pre ej hitro nara²£a. Raziskovanja v veliki meri podpirajo voja²kikrogi. Tudi drugi si obetajo izbolj²ane naprave. Za zdaj uporabljajo izbolj-²ane valovne vodnike, antene in le£e za mikrovalove. Za bliºnjo prihodnostmed drugim omenjajo pove£ano gostoto pri zapisovanju podatkov na DVDin izbolj²ano lo£ljivost pri opazovanju biolo²kih vzor ev.LITERATURA[1℄ V. G. Veselago, Elektrodinamika ve²£estv s odnovremenno otri atel'nymi zna£enijami ε i µ, Uspehi zi£eskih nauk 92 (1967), str. 517.[2℄ J. B. Pendry, Negative Refra tion Makes a Perfe t Lens, Phys. Rev. Lett. 85 (2000),str. 39663969.[3℄ J. B. Pendry in D. R. Smith, Reversing Light With Negative Refra tion, Phys. To-day 57 (2004) 6, str. 3743; The Quest for the Superlens, S ienti Ameri an 295(2006) 6, str. 6067.[4℄ J. B. Pendry, Negative refra tion, Contemp. Phys. 45 (2004), str. 191202.[5℄ N. Seddon in T. Bearpark, Observation of the Inverse Doppler Ee t, S ien e 302(2003) 5650, str. 15371540.[6℄ J. B. Pendry, A. J. Holden, D. J. Robbins in W. J. Stewart, Magnetism from Condu -tors and Enhan ed Nonlinear Phenomena, IEEE Trans. Mi rowave Theory Te h. 47(1999) 11, str. 20752084.[7℄ D. R. Smith, W. J. Padilla, D. C. Vier, S. C. Nemat-Nasser in S. S hultz, Compo-site Medium with Simultaneously Negative Permeability and Permittivity, Phys. Rev.Lett. 84 (2000) 18, str. 41844187.[8℄ R. A. Shelby, D. R. Smith in S. S hultz, Experimental Veri ation of a NegativeIndex of Refra tion, S ien e 292 (2001) 5514, str. 7779.[9℄ A. A. Hou k, J. B. Bro k in I. L. Chuang, Experimental Observations of a Left-Handed Material That Obeys Snell's Law, Phys. Rev. Lett. 90 (2003) 13, str. 137401-14.[10℄ J. B. Pendry, D. S hurig in D. R. Smith, Controlling Ele tromagneti Fields, S ien e312 (2006) 5781, str. 17801782.[11℄ D. S hurig, J. J. Mo k, B. J. Justi e, S. A. Cummer, J. B. Pendry, A. F. Starr inD. R. Smith,Metamaterial Ele tromagneti Cloak at Mi rowave Frequen ies, S ien e314 (2006) 5801, str. 977980.[12℄ H. J. Leze , J. A. Dionne in H. A. Atwater, Negative Refra tion at Visible Frequen ies,S ien e 316 (2007) 5823, str. 430432.184 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 i i omej-obz  2008/11/28  10:43  page 185  #1 i i i i i i ’OLA OMEJITVE PRI OCENJEVANJU ZNANJA MATEMATIKE V GIMNAZIJAH MARJAN JERMAN Fakulteta za matematiko in ziko Univerza v Ljubljani in SAMO REPOLUSK Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru Math. Subj. Class. (2000): 97C40, 97B70 Pravilnik o ocenjevanju znanja v srednjih ²olah, ki je za£el veljati v ²olskem letu 2005/06, in interni pravilniki posameznih gimnazij na nekaterih podro£jih omejujejo av- tonomijo u£iteljev pri ocenjevanju znanja. Avtorja sku²ata prikazati, kako se prednosti in slabosti trenutnih re²itev kaºejo pri pouku matematike, ter vzpodbuditi premislek o trenutnem stanju in morebitnih moºnih izbolj²avah. LIMITATIONS ON THE ASSESSMENT OF MATHEMATICS IN SECONDARY SCHOOLS The state regulations on the assessment of upper secondary school students (eective as from the school year 2005/06) and internal statutes of individual secondary schools limit the autonomy of teachers in some areas of student assessment. The authors wish to present how the existing solutions inuence the mathematics curiculum and to initiate a reection on the present situation and possible improvements. 1. Uvod Pravilnik o ocenjevanju znanja v srednjih ²olah, ki je za£el veljati v ²olskem letu 2005/06 ([5], v nadaljevanju pravilnik), ²e bolj pa interni pravilniki posameznih gimnazij precej natan£no dolo£ajo pravila in omejitve pri ocenjevanju znanja. Mnogo profesorjev je pou£evalo ²e v obdobju, ko so bila ta pravila veliko bolj ohlapna, omejitve pa bistveno blaºje in je bila avtonomija u£iteljev na podro£ju ocenjevanja neprimerno ve£ja. Zato so nekateri u£itelji ²e toliko bolj ob£utljivi za ob£asne zlorabe pravil. Avtorja bi rada s tem prispevkom postavila na tehtnico na eno stran ºeljo po £im bolj Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 185 i i omej-obz  2008/11/28  10:43  page 186  #2 i i i i i i Marjan Jerman in Samo Repolusk prijazni ²oli, pravice dijakov v £edalje bolj liberalnem svetu in varovalke pred morebitno samovoljo slabih u£iteljev, ki bi svojo avtoriteto gradili na strahu in sankcijah, na drugo stran pa pogosto prepri£anje, da pretirane omejitve pri ocenjevanju poleg slabega ob£utka nezaupanja u£iteljem povzro£ajo tudi slab²o pripravljenost dijakov na pouk, zmanj²anje delovnih navad, slabitev ra£unskih spretnosti, pove£ano ²tevilo neupravi£enih pritoºb nad ocenami, teºave z avtoriteto ter posledi£no slab²e znanje dijakov. Pomembno je poudariti, da namen prispevka ni vsiljevati mnenja av- torjev, temve£ le spodbuditi kriti£no premi²ljanje o ustreznosti trenutnih pravilni²kih re²itev in ²olskih praks. U£itelji bi morali biti veliko aktivneje vklju£eni v konstruktivno debato in politiko oblikovanja ²olskih pravil. Tudi dobro premi²ljeni in utemeljeni pravilniki ne morejo biti ve£ni in morajo med svojo veljavo zdrºati teºo razprav in strokovnih argumentov. Le s po²tenim dialogom, priznavanjem legitimitete nasprotnih mnenj in z odprtostjo pri sprejemanju kon£nih odlo£itev lahko doseºemo ravnovesje. Prav tako je pomembno vedeti, da £lanek ni in ne ºeli biti znanstveni prispevek o razli£nih postopkih pri ocenjevanju. Ve£ino na£inov, ki bodo v £lanku omenjeni, so znanstveno in statisti£no natan£no obdelali ºe slovenski strokovnjaki na posami£nih podro£jih. Pri vsakem na£inu ocenjevanja ºeliva spomniti le na to, da imajo poleg veliko dobrih, preizku²enih in premi²lje- nih kvalitet vgrajene tudi pasti, ki se jim laºje izognemo, £e se jih dobro zavedamo. Kljub temu da bistveni del prispevka temelji na izku²njah z ocenjevanjem pri pouku matematike, bi se dalo veliko premislekov skoraj brez prevedbe uporabiti tudi pri drugih predmetih. Avtorja sta zelo hvaleºna ve£ profesorjem matematike, ki so jima med dalj²imi pogovori pomagali dolo£iti najbolj problemati£ne to£ke, povedali svoje izku²nje in predloge za moºne izbolj²ave. 2. Preverjanje znanja pred pisnim ocenjevanjem Druga to£ka 5. £lena pravilnika predpisuje obvezno preverjanje znanja pred pisnim ocenjevanjem. Preverjanja se ne sme ocenjevati. Na£in preverjanja znanja ni natan£no dolo£en in ga lahko na£eloma vsak u£itelj izvaja po svoje. V dnevnik je sicer priporo£ljivo vpisati vsaj uro ali dve pred pisno nalogo naslov Preverjanje znanja pred pisno nalogo, vendar pa preverjanje znanja nikakor ne pomeni zgolj pisanja predtesta ali 186 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 i i omej-obz  2008/11/28  10:43  page 187  #3 i i i i i i Omejitve pri ocenjevanju znanja matematike v gimnazijah re²evanja pri£akovanih testnih nalog. Sem sodijo tudi sprotna kratka ustna preverjanja razumevanja med obravnavo snovi ali vajami, pregled doma£ih nalog, ki se nana²ajo na ocenjevano snov, samostojno ali skupinsko re²evanje delovnih listov, skupna ponovitev potrebne teorije, utrjevanje matemati£nih konceptov s pomo£jo IKT in ²e kak²en u£inkovit na£in, ki ga je razvil vsak u£itelj posebej skozi dolgoletno prakso. Prednosti (1) Na ta na£in dijaki dobijo pregled £ez celotno snov, ki se bo ocenjevala. (2) Pred ocenjevanjem dobijo vpogled v trenutno znanje in laºje na£rtujejo, katere vsebine je treba ²e podrobneje usvojiti. (3) Pisna ocenjevanja niso ve£ tako stresna, ker dijak vsaj pribliºno ve, kako bo ocenjevanje potekalo. Pri tem moramo biti zelo previdni, da dijaki ne dobijo vtisa, da so predtesti skoraj enaki testom z malenkostnimi spremembami. Slabosti (1) Po neuradnih informacijah nekaterih u£iteljev obstaja na posameznih osnovnih ²olah praksa, da u£enci pred pisno nalogo pi²ejo predtest s podobnimi nalogami, kot bodo na samem testu, re²itve pa mora u£itelj informativno to£kovati, da dijaki vedo, koliko znajo. Ponekod naj bi tak²no prakso od u£iteljev zahtevali celo ravnatelji in jo utemeljevali s ²olsko in²pekcijo. Za tak²no ravnanje ni nobene zakonske osnove. To je lahko le stvar prostovoljnega dogovora celotnega kolektiva ali posa- meznega aktiva, nikakor pa ne dolºnost posameznikov, ki bi podlegli pritiskom star²ev in groºnjam z in²pekcijo. Tak²ne prakse v srednji ²oli ne smemo dopustiti, ker ne prispeva k vzgoji odgovorne osebnosti. Zaradi tak²ne prakse dijaki pri£akujejo na pisnem preizkusu prakti£no identi£ne naloge. Nekateri med njimi se tudi zato nau£ijo naloge re²e- vati po receptih, brez razumevanja. ƒe naloge na preizkusu niso zelo podobne, seveda sledi ve£je razo£aranje in v£asih tudi iskanje krivde drugje namesto pri sebi. (2) Poleg tega pomeni tak²na praksa za u£itelja dvakratno delo s sestavlja- njem, pregledom in popravljanjem pisnih nalog. U£itelji so ºe sedaj 185–197 187 i i omej-obz  2008/11/28  10:43  page 188  #4 i i i i i i Marjan Jerman in Samo Repolusk dovolj obremenjeni s sestavljanjem pisnih nalog, z njihovimi ponovi- tvami, popravami ob konferencah, popravnimi izpiti, izrednimi roki in z razredni²kimi posli, ki matematikom skoraj nikoli ne uidejo. Pri ta- k²nem na£inu dela dobi u£itelj ob£utek, da se vse njegovo ºivljenje vrti samo ²e okoli sestavljanja in popravljanja testov, za profesionalno rast na podro£ju matematike in didaktike pouka pa mu zmanjka volje in energije. Preverjanje znanja pred pisnim ocenjevanjem je priporo£ljivo, na£ini pre- verjanja pa naj bodo dovolj liberalno zastavljeni in v veliki meri prepu²£eni presoji u£itelja. Zaradi enotnosti na ²oli je morda koristno, da celoten aktiv matematikov uporablja podobne metode. 3. Vnaprej dolo£eni kriteriji za ocenjevanje in meje za ocene Prva in druga to£ka 4. £lena pravilnika dolo£ata, da mora u£itelj dijake vnaprej seznaniti s kriteriji za ocenjevanje, to£kovnimi vrednostmi posami£- nih nalog in mejami za ocene. Prednosti (1) Na ta na£in so preizkusi znanja bolj objektivno ocenjeni. U£itelj kasneje ne more spreminjati kriterijev za ocenjevanje in deleºev ocene, ki jih prinesejo posamezne naloge. (2) U£itelj praviloma bolj pazljivo sestavi test. Kasnej²e re²evanje neuspe- lih preizkusov znanja s prerazporeditvijo to£k ali z niºanjem praga za pozitivno oceno ni ve£ mogo£e. (3) Dijak ima ºe med pisanjem soliden pregled, kak²no oceno lahko pri£a- kuje. Slabosti (1) V £asu pred omejitvami so profesorji po zelo slabih rezultatih preizkusa znanja pogosto upravi£eno presodili, da je na primer ºe 45 % vseh to£k dovolj za pozitivno oceno. 188 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 i i omej-obz  2008/11/28  10:43  page 189  #5 i i i i i i Omejitve pri ocenjevanju znanja matematike v gimnazijah (2) Nekateri dijaki se, namesto da bi pokazali, koliko znajo, osredoto£ijo na izrabo pravil igre in na naloge, ki jim prinesejo ve£je ²tevilo to£k. šal so znane tudi ²pekulacije s ponovitvami namenoma neuspelih preizkusov. (3) V£asih pretiran normativizem ne deluje po pri£akovanjih. To se sicer redko izkaºe pri ocenjevanju na maturi, ko mora biti zaradi objektivnosti to£kovnik zelo natan£no dolo£en. Zgodi se, da je treba zaradi zvestega sledenja to£kovniku dijaka z nestandardno nepopolno re²itvijo oceniti z ve£ ali manj to£kami, kot bi si realno zasluºil. (4) Nekateri eksperimenti (npr. [1]) kaºejo, da dosleden normativizem pri to£kovanju ne pripomore bistveno k objektivnosti ocene. ’e ve£, po- gosto se izkaºe, da je intuitivno ocenjevanje bolj u£inkovito, rezultati ocenjevanj pa primerljivi. Zato lahko u£itelju prepustimo presojo, kako bo ocenjeval. Pri tem se opira na svoje matemati£no znanje, dolgoletne izku²nje in ob£utek za pravi£nost. (5) V ZDA pogosto meje za ocene dolo£ijo kasneje, tako da so ocene pri- bliºno normalo porazdeljene. Na ta na£in se da kompenzirati nekatere nepredvidene anomalije in nepri£akovane rezultate pri posameznih na- logah. Zahteve po jasnosti kriterijev in mej za pozitivno oceno so koristne in po- ²tene. Tudi odrasli pri£akujemo jasne okvire delovanja tako v sluºbi kot na banki, v restavracijah, na servisih itd. V tem primeru pravila niso zato, da bi grenila ºivljenje, ampak prispevajo k bolj²emu delovanju druºbe. Preve£ toge zahteve po enakih mejah za ocene pri vseh predmetih in pri vseh preiz- kusih znanja ter natan£no izdelani in vnaprej dolo£eni to£kovniki zagotovo ne pripomorejo k odgovornemu, objektivnemu in po²tenemu ocenjevanju. 4. Ponavljanja in neupo²tevanje slabih rezultatov pri preizkusih znanja Prva to£ka 13. £lena pravilnika dolo£a, da se negativne ocene ne upo²te- vajo, ocenjevanje pa se ponovi, £e je tretjina ali ve£ pisnih izdelkov ocenjena negativno. Druga to£ka istega £lena dovoljuje, da se lahko pod posebno strogimi pogoji (soglasje u£iteljskega zbora in dijakov ºe na za£etku ²olskega leta) tretjina zvi²a na mejo, ki ne presega polovice. 185–197 189 i i omej-obz  2008/11/28  10:43  page 190  #6 i i i i i i Marjan Jerman in Samo Repolusk Prednosti (1) U£itelj bolj pazljivo sestavi pisni preizkus, katerega teºa je primerna za ve£ino dijakov. (2) U£itelj je motiviran, da dijake na preizkuse £im bolje pripravi. (3) V£asih k neuspehu prispeva tudi nerodno izbran £as testiranja, na pri- mer pred prazniki ali po njih ali pa £as, ko se pi²e ²e veliko drugih preizkusov. V teh primerih ponovno testiranje da bolj realne rezultate. (4) Ni ve£ mogo£e, da bi se nesorazmerno teºak preizkus izrabil za kazno- vanje ali discipliniranje dijakov. Slabosti (1) V£asih tudi ve£je ²tevilo negativnih ocen pokaºe realno stanje v razredu. Z neupo²tevanjem prvih ocen in ponovitvami pisnih nalog tak²no stanje le preloºimo ali zameglimo. (2) To je slaba popotnica dijakom za ºivljenje. Ne smejo pri£akovati, da bodo v osebnem ali poklicnem ºivljenju po neuspehih vedno dobili novo priloºnost in se jim zato ne bo treba ºe prvi£ potruditi. (3) šal so znani primeri, ko se dijaki dogovorijo, da bodo z velikim deleºem negativnih ocen blokirali preizkus znanja. (4) Na nekaterih gimnazijah se je ponavljanje pisnih preizkusov znanja iz- rodilo do te mere, da interni pravilniki predpisujejo obvezno dvakratno zaporedno pisno preverjanje ne glede na ²tevilo negativnih ocen na pr- vem testu. Sodelovanje pri drugem preverjanju je prepu²£ena odlo£itvi dijakov, £e si ºelijo izbolj²ati oceno. Kombinacija s predtesti povzro£i upravi£en ob£utek, da je ve£ji del pouka matematike namenjen pre- verjanju znanja, povzro£a stalen stres in daje ogromno odve£nega dela u£iteljem. Ob zgornjih premislekih se lahko vpra²amo: Ali bi se dalo najti kak²no bolj²e dolo£ilo glede ponavljanja pisnih nalog? Ali bi lahko namesto sedanje prakse vpisa bolj²e ocene morda (ponovno) vpeljali povpre£no oceno obeh testov? Kaj pa, £e bi zahtevo po ponavljanju preprosto £rtali iz pravilni²kih dolo£il in prepustili ponavljanje u£iteljevi strokovni presoji? Morda pa smo zadovoljni s sedanjo re²itvijo in ni treba ni£esar spreminjati? 190 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 i i omej-obz  2008/11/28  10:43  page 191  #7 i i i i i i Omejitve pri ocenjevanju znanja matematike v gimnazijah 5. Prepoved delnih ocen Pridobivanje delnih ocen je v neskladju z ve£ £leni pravilnika. Pred uvedbo pravilnika pa so bile delne ocene pogoste, ²e posebej pri matematiki in pri pouku jezikov. Tudi sedaj bi lahko delne ocene omogo£ili s formalnim trikom, £e bi interni akt strokovnega aktiva ob strinjanju s star²i delne ocene deniral kot ocene s sorazmerno manj²o teºo, ki pa bi jih bilo treba dosledno zapisovati v redovalnico. Prednosti prepovedi (1) Delne ocene so ²e bolj kot ustno spra²evanje odvisne od subjektivne presoje u£itelja. (2) Zaradi ogromnega ²tevila predmetov v posameznem letniku teºko od dijakov pri£akujemo sprotno znanje vedno in povsod. (3) Pri nenatan£nih pravilih o zaklju£evanju delnih ocen lahko pride do nejasnosti, zmede in potencialnih manipulacij. Slabosti (1) Z delnimi ocenami se je dalo v zelo kratkem £asu sproti s kratkimi vpra- ²anji ali nalogami pred tablo preverjati in delno oceniti znanje ve£jega ²tevila dijakov. Dijaki so bili zato motivirani, da so pred poukom vsaj beºno preleteli osnovne pojme iz prej²njih ur. (2) To je bil eden od na£inov, kako za£eti novo ²olsko uro z osveºitvijo starih vsebin. (3) Mnogi dijaki so se raj²i redno pripravljali na kraj²a ugotavljanja znanja kot pa enkrat na obseºnej²e ustno ocenjevanje, saj so tako bolj sproti delali in laºje pri²li do bolj²e kon£ne ocene. (4) Z delnimi ocenami se je ponekod ob£asno ocenjevalo in spodbujalo tudi opravljanje doma£ih nalog. (5) Kon£na ocena, ki je bila po vnaprej dolo£enih pravilih zaklju£ena iz delnih ocen, je kazala raven znanja in delo dijaka £ez dalj²e obdobje. 185–197 191 i i omej-obz  2008/11/28  10:43  page 192  #8 i i i i i i Marjan Jerman in Samo Repolusk Za ukinitev delnih ocen ni bilo pravih tehtnih argumentov. ’e ve£, mno- gim dijakom je tak²en na£in sprotnega ocenjevanja ustrezal. ƒe bi spet do- volili delne ocene, tega nikakor ne bi smeli narediti s so£asnim pove£anjem administrativnih dolo£il, npr. z uniformiranimi dolo£itvami, kak²no teºo naj ima posamezna delna ocena, kam naj se vpi²e ipd. S tem bi u£iteljem nalo- ºili ²e ve£ dela in bi to pomenilo dejanski poseg v avtonomijo in nezaupnico u£iteljevemu strokovnemu delu. 6. Prepoved ocenjevanja doma£ih nalog Posodobljeni u£ni na£rt [6] daje velik pomen rednim in dobro na£rtova- nim doma£im nalogam. Dobro izbrane doma£e naloge ne pomagajo le pri utrjevanju snovi, obvladovanju spretnosti in pri pripravah na ure, ampak pri dijakih razvijajo tudi delovne navade. Pravilnik nikjer izrecno ne prepoveduje ocenjevanja doma£ih nalog. Ta- k²no ocenjevanje bi bilo pogojno moºno ob zelo liberalni interpretaciji tretje in £etrte to£ke 7. £lena pravilnika, kjer bi doma£e naloge ²teli pod druge naloge ali pa bi moºnost njihovega ocenjevanja dolo£il strokovni aktiv. Za- nimivo je, da je bilo ocenjevanje doma£ih nalog po interpretaciji M’’ v izrecnem neskladju z 2. £lenom starega pravilnika o preverjanju in ocenjeva- nju znanja v gimnazijah. Prednosti trenutne pravilni²ke re²itve (1) Znanje matematike ni nujno odvisno od dijakove delavnosti. Pri zelo bistrih dijakih, ki niso konformisti£ni in ne marajo prisile pri u£enju, lahko z obveznimi doma£imi nalogami vzbudimo odpor do predmeta. Prav tako ni prav, da bi zmanj²ali realno oceno znanja matematike di- jakom, ki jih matematika ne zanima preve£, brez ve£jih teºav pa doseºejo pozitivno oceno. (2) Posredno s tem pri dijakih razvijamo odgovornost. Ve£ina jih prej ali slej sama ugotovi, da je delo doma£ih nalog koristno, kljub temu da ni ocenjeno. Slabosti (1) Nekateri u£itelji se pritoºujejo, da dijake teºko prepri£ajo, naj redno delajo doma£e naloge, ker njihovega dela ne smejo ovrednotiti z oceno. 192 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 i i omej-obz  2008/11/28  10:43  page 193  #9 i i i i i i Omejitve pri ocenjevanju znanja matematike v gimnazijah Dijaki tako ne delajo doma£ih nalog, slabo so pripravljeni na ure, ne razvijejo ra£unskih spretnosti, u£ijo se kampanjsko in prej ali slej pride do teºav. Znana je sicer praksa, ko u£itelji posredno nagrajujejo re- dno opravljanje doma£ih nalog z obljubo po zaklju£evanju navzgor ob koncu leta ali pa neopravljanje doma£ih nalog kaznujejo z (napoveda- nim) ustnim spra²evanjem ali pa z ukinitvijo privilegijev napovedanega ustnega spra²evanja. (2) Nekateri tuji avtorji so mnenja, da je doma£e naloge nujno ocenjevati, £e ºelimo, da doseºejo svoj namen (prim. [2, str. 44]), drugi avtorji pa so previdnej²i in zavra£ajo ocenjevanje pravilnosti oz. nepravilno- sti re²evanja doma£ih nalog, podpirajo pa ocenjevanje opravljenosti oz. neopravljenosti doma£ih nalog (prim. [3, str. 2737] in [4, str. 70]). (3) Z oceno iz doma£ih nalog lahko ovrednotimo dijakove sposobnosti sa- mostojnega in £asovno neomejenega re²evanja problemov skozi dalj²e obdobje. Prestroge sankcije pogosto povzro£ijo odpor, nesmiselno prepisovanje in razli£ne na£ine izogibanja. Veliko ve£ doseºemo s pozitivnim ravnanjem. Dijake poskusimo vzpodbuditi k re²evanju doma£ih nalog npr. na naslednje na£ine (prim. tudi [3] in [4]): (1) Damo manj doma£ih nalog, a te naj bodo skrbno izbrane, da pokrijejo £im ve£ razli£nih konceptov obravnavane vsebine. Ob£asne izjeme so vaje, kjer je treba utrditi kak²na klju£na proceduralna znanja. (2) Redno spreminjamo oblike doma£ih nalog (dril, besedilni problemi, do- kazi, rekreativne naloge, bralne vaje, preiskovanja, elektronska u£na gra- diva . . . ), saj tak²en na£in razbija ob£utek monotonosti in ve£a pripra- vljenost za delo (prim. [3, str. 28]). (3) Pri pregledu doma£ih nalog lahko predstavimo razli£ne strategije raz- mi²ljanja in na£ine, kako se lotiti problemov. (4) Dijakom redno dajemo povratno informacijo o opravljenih doma£ih na- logah. ƒe nam jih ne uspe redno pregledovati, jim omogo£imo vsaj dostop do pravilnih re²itev. (5) Dijakom napovemo, da bo pisni preizkus vseboval npr. eno nalogo, ki bo zelo podobna kak²ni iz nabora doma£ih nalog. To je sicer zelo nevarno, 185–197 193 i i omej-obz  2008/11/28  10:43  page 194  #10 i i i i i i Marjan Jerman in Samo Repolusk £e nimamo dobre mere. Na² dober namen se lahko izrodi podobno kot je ºe opisano v to£ki (1) slabosti obveznih preverjanj znanja pred pisnim ocenjevanjem. (6) Dijakom omogo£imo, da pri ustnem ocenjevanju s predstavitvijo svojega na£ina re²evanja doma£e naloge pridobijo del ustne ocene. 7. Predpisano ²tevilo ustnih ocen Druga to£ka 12. £lena pravilnika predpisuje vsaj dve ustni oceni v ²olskem letu, razen v primeru, ko je s katalogi znanj ali z u£nim na£rtom dolo£eno druga£e. Izku²nje ve£ine u£iteljev matematike kaºejo, da je pogosto zelo teºko med ²olskim letom kvalitetno pridobiti dve predpisani ustni oceni. Zato sedmo poglavje posodobljenega u£nega na£rta o vrednotenju doseºkov predlaga vsaj eno ustno oceno. Prednosti (1) Komunikacija pri ustnih preverjanjih je veliko bolj interaktivna kot pri pisnih preverjanjih. Dober u£itelj vodi dijaka skozi snov tako, da dobi celoten vpogled v dijakovo razumevanje. ƒe ima teºave, mu pomaga s podvpra²anji, idejami in prakti£nimi nalogami. ƒe to ne pomaga, lahko spremeni temo in preveri razumevanje drugih vsebin, ki sodijo v sklop preverjanja znanja. Izku²en u£itelj s pozitivnim in £love²kim odnosom zna v ve£ini primerov odpraviti dijakovo tremo in neutemeljen strah. (2) Pri ustnem spra²evanju dijak pokaºe svoje sposobnosti izraºanja in ko- munikacije. ’ele pri ustnem spra²evanju lahko nekateri dijaki s poseb- nimi potrebami (npr. slabovidni in legasteniki) pokaºejo svoje pravo znanje. (3) Ustno spra²evanje je lahko tudi dobra oblika ponavljanja in utrjevanja znanja za preostale dijake v razredu. (4) Z ustnim spra²evanjem lahko zelo dobro preverjamo znanje bolj teo- reti£nih tem (npr. poznavanje in razumevanje denicij in izrekov) in geometrijskih predstav. 194 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 i i omej-obz  2008/11/28  10:43  page 195  #11 i i i i i i Omejitve pri ocenjevanju znanja matematike v gimnazijah Slabosti (1) Nekateri dijaki imajo zelo velik strah pred javnim nastopanjem ali pa teºave z ustnim izraºanjem. Med spra²evanjem lahko popolnoma odpo- vedo, kljub temu da preverjane vsebine solidno obvladajo. (2) ƒe ºelimo dati realno in pisni oceni vsaj pribliºno enakovredno ustno oceno (z internim aktom aktiva sicer lahko teºo ustne ocene tudi zmanj- ²amo in s tem omogo£imo kraj²a ocenjevanja), mora biti spra²evanje dovolj obseºno in temeljito. Za posami£nega dijaka lahko to pomeni £asovno tudi do polovico ²olske ure, kar je pri danem obsegu ur, pred- pisanih vsebinah in dodatnih obveznostih zelo teºko (pri 32 dijakih in dveh ustnih ocenah bi samo ustno spra²evanje pokrilo 32 ²olskih ur, kar je enakovredno dvomese£nemu pouku matematike na gimnaziji  tak²na izraba £asa ni predvidena v nobenem u£nem na£rtu). (3) Pri mnogih matemati£nih vsebinah je bolj kot razumevanje teoreti£nega ozadja pomembno solidno obvladovanje ra£unskih spretnosti. V teh pri- merih je pisno preverjanje dosti bolj u£inkovito in £asovno ekonomi£no. (4) V problemati£nih razredih lahko ustno spra²evanje povzro£i probleme z zaposlenostjo in disciplino preostalih dijakov. (5) Ustno spra²evanje je veliko bolj subjektivno kot pisno ocenjevanje. Mo- ºnost nepo²tene ocene je bolj verjetna zaradi osebnega poznavanja dijaka in morebitnih socialnih pritiskov. Prednosti in slabosti ustnega preverjanja znanja kaºejo, da je najbrº nemogo£e najti univerzalno priporo£ilo. Pogostost in temeljitost spra²evanja naj bo prepu²£ena predvsem u£iteljevi presoji, ki pa je odvisna od tipa preverjane snovi, dinamike predelave u£nega na£rta ter speci£nih u£iteljevih in dijakovih preferenc. 8. Napovedano ustno ocenjevanje znanja Kljub temu da pravilnik ne predpisuje napovedanega ustnega ocenjeva- nja, pa napoved za teden vnaprej zahteva ve£ina internih pravilnikov ²ol. 185–197 195 i i omej-obz  2008/11/28  10:43  page 196  #12 i i i i i i Marjan Jerman in Samo Repolusk Prednosti (1) Dijak ve, kdaj bo vpra²an, zato ima dovolj £asa, da se na spra²evanje dobro pripravi. Za u£itelja in preostale dijake je tak²no spra²evanje veliko bolj prijetno in koristno. (2) Pri zares velikem ²tevilu predmetov, ki se pou£ujejo v istem letniku, je teºko pri£akovati, da bo dijak hkrati dobro pripravljen na vse pred- mete. Zaradi napovedanih terminov si lahko dijak vnaprej enakomerno porazdeli bolj intenzivno u£enje razli£nih predmetov. (3) Spra²evanje tako ne more biti trenutna kazenska sankcija. Slabosti (1) Dijaki se lahko z razli£nimi neupravi£enimi izgovori in izostanki izo- gibajo spra²evanju. Nekatere ²ole izogibanje spra²evanju kaznujejo z ukinitvijo napovedi spra²evanja. (2) Med letom dijaki niso sproti toliko pripravljeni, kot bi bili sicer. U£ijo se v kosih, samo pred ocenjevanji znanja. Ali bi morda dobro premi²ljena kombinacija napovedanega ustnega spra- ²evanja (za celo oceno) in redno pridobljenih (nenapovedanih) delnih ocen ohranila prednosti in se izognila slabostim? Ali obstaja ²e kak²na druga dobra re²itev, ki so jo u£itelji izoblikovali sami (sedaj ali pa v letih pred omejitvami)? Ali lahko odlo£itev o napovedi prepustimo dogovoru med ak- tivom, u£iteljem in dijaki? 9. Pritoºbe nad ocenjevanjem Na ²olah v£asih prihaja do pritoºb nad u£iteljevim delom in ²e posebej nad ocenjevanjem, kljub temu da se u£itelj drºi pravil. Temu bi se veliko- krat izognili, £e bi kot samoumevno sprejeli re²evanje problemov po na£elu postopnosti. To bi marsikje otoplilo tako odnose med kolegi v zbornici in z vodstvom. O konkretni teºavi se je treba temeljito pogovoriti in jo posku²ati dobronamerno re²iti, pri tem pa se je treba pri re²evanju teºav v naslednjem vrstnem redu obrniti: (1) najprej na u£itelja samega; 196 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 i i omej-obz  2008/11/28  10:43  page 197  #13 i i i i i i Omejitve pri ocenjevanju znanja matematike v gimnazijah (2) £e ne pride do dogovora, na razrednika, ki nikoli ne sme omalovaºevati kolega pred dijaki; (3) potem na svetovalnega delavca; (4) ²ele potem na ravnatelja oz. na interno ²olsko komisijo, ki je namenjena re²evanju pritoºb; (5) in £e res ne more priti do dogovora, na direktorja ali na in²pekcijo. Tak²en postopek je obi£ajna praksa na nekaterih ²olah in prispeva k ve£jemu zaupanju med u£itelji v zbornici. Njegovo dosledno upo²tevanje tudi pripomore k samovzgoji vseh udeleºencev v u£nem procesu. 10. Sklep Spo²tovanje zakonov in pravilnikov zagotavlja odgovorno in kvalitetno sobivanje ljudi v druºbi. Kadar se zdi, da zakoni tega ne omogo£ajo dovolj, je treba o njih razpravljati in jih sku²ati izbolj²ati. Veljavni pravilnik precej radikalno omejuje u£iteljevo avtonomijo pri ocenjevanju, ²e posebej, £e pra- vila primerjamo s preteklo dolgoletno in v glavnem uspe²no prakso. Ve£ina pravil in omejitev je smiselna in dobro premi²ljena, nekatera pa se vsaj zdijo kot nezaupnica u£itelju in velikokrat doseºejo napa£en u£inek. Zato bi bilo nujno, da v prihodnosti u£itelji praktiki sodelujejo pri podobnih (in seveda tudi druga£nih) odmevih ob aktualnih vpra²anjih iz ºivljenja na²e ²ole. LITERATURA [1] D. Kobal, Iluzija objektivnosti ali objektivnost odgovornosti, Obornik mat. z. 54 (2007) 1, str. 1828 [2] S. G. Krantz, How to Teach Mathematics (druga izdaja), AMS, Providence, Rhode Island, 1998 [3] A. S. Posamentier, B. S. Smith in J. Stepelman, Teaching Secondary Mathematics  Techniques and Enrichment Units (sedma izdaja), Pearson Education, Upper Saddle River, New Jersey, 2006 [4] J. A. Van de Walle, Elementary and Middle School Mathematics  Teaching Develop- mentally (²esta izdaja), Pearson Education, Boston, 2007 [5] Pravilnik o ocenjevanju znanja v srednjih ²olah, http://www.uradni-list.si/1/content?id=57605 [6] U£ni na£rt za pouk matematike v gimnazijah, Spletne u£ilnice ²tudijskih skupin ZRS’, podstran Matematika-GIM, http://info.edus.si/studijske/ 185–197 197 novi e  2008/11/26  17:12  page 198  #1 VESTI MATEMATIƒNE NOVICEPrimoº Morave je re²il enega od S hurovih problemovV £lanku [1℄ je Primoº Morave na²el pozitiven odgovor na vpra²anje,ki je mu£ilo ºe slavnega matematika Issaia S hura (18751941). Kot mi jesam napisal:Problem, ki ga je S hur zastavil, je bil, ali se da eksponent S hurovihmultiplikatorjev kon£nih grup danega eksponenta n omejiti s funk ijo, ki jeodvisna le od n. Dokazal sem, da to drºi, elo za lokalno kon£ne grupe.Tedaj nisem vedel, da je to njegov problem, zato je £lanek v resni i boljosredoto£en na druga vpra²anja. Na zgodovinsko ozadje me je opozoril Avi-noam Mann (urednik v Israel J. Math.), ki pravi, da je bil problem (si erne pod kak²nim posebnim imenom) del folklore. Poleg tega je dokaz (pozi-tivnega odgovora) razmeroma kratek . . . , uporablja pa ²e rezultat iz mojegaprej²njega £lanka. Vse temelji na pozitivni re²itvi skr£enega Burnsideovegaproblema (the restri ted Burnside problem), za katero je Zelmanov leta 1994dobil Fieldsovo medaljo.In skromno pristavlja:ƒisto po pravi i, stvari ne ²tejem kot hud doseºek, uporabil sem le nekajmo£nih kanonov in manj²i trik . . .ARS MATHEMATICA CONTEMPORANEA  nova matema-ti£na revija s sedeºem v SlovenijiPetega septembra smo na Fakulteti za matematiko in ziko imeli pra-znik: predstavitev prve ²tevilke nove revije s podro£ja diskretne matematike.Idejni o£e je Tomaº Pisanski. On in Dragan Maru²i£ sta ustanovna in glavnaurednika. Tehni£na urednika sta Ted Dobson z Mississippi State Universityin Marko Boben. Spletno in tiskano verzijo pripravlja Alen Orbani¢, poma-gata mu Boris Horvat in Primoº Luk²i£. Uredni²ki odbor ima 31 £lanov iz 11drºav. Izdajatelji so DMFA, IMFM in Univerza na Primorskem. Revija jeprosto dostopna na spletu [2℄. Prva ²tevilka prina²a 10 £lankov. Predvidenista dve ²tevilki na leto. Upamo, da bomo tiskano verzijo lahko zamenjevaliza druge revije in s tem pomagali na²i Matemati£ni knjiºni i. Revijo v elotire enzira Mathemati al Reviews.198 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 novi e  2008/11/26  17:12  page 199  #2 Matematične novice Glavna urednika Tomaº Pisanski in Dragan Maru²i£ na predstavitvi prve ²tevilkerevijeNa predstavitvi so poleg glavnih urednikov govorili ²e rektor Univerzena Primorskem Rado Bohin , direktor IMFM Matjaº Omladi£, predsednikDMFA Milan Hladnik in Ted Dobson (ki skrbi za razdeljevanje rokopisovre enzentom).Najbolj iskani £lankiNa strani MaFiRaWiki [3℄ najdemo (£isto na dnu) uvrstitve slovenskihmatematikov na seznam Top 25 najbolj iskanih £lankov £etrtletja v mate-mati£nih revijah zaloºbe Elsevier [4℄. Nekaj teh uvrstitev smo predstaviliv prej²njih novi ah. Zdaj imamo po zaslugi Tomaºa Pisanskega popolnpregled do septembra 2007. MaFiRaWiki je, kot pi²e v uvodu, posve£enzbiranju znanja o matematiki, ziki in ra£unalni²tvu in na njem najdemopre ej zanimivega.Holywood in matematikaRevija Noti es of the Ameri an Mathemati al So iety (dostopna na med-mreºju na [5℄) ima tudi rubriko Book List. V njej je seznam matemati£nih Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 199 novi e  2008/11/26  17:12  page 200  #3 Vestiknjig, dostopnih ²ir²emu ob£instvu, ki so iz²le v zadnjih dveh letih. Ustavimose tokrat ob ameri²ki knjigi [6℄, ki naj bi otrokom, najstni am in najstnikomv starosti 1114 let zmanj²ala strah pred ²olsko matematiko. Naslov bi pre-vedli nekako kot Matematika ni zoprna  kako preºivi² matematiko v vi²jihrazredih osnovne ²ole in pri tem ne znori² ali si polomi² nohte. Sama knjigaza nas verjetno ni toliko zanimiva kot dejstvo, da jo je napisala lmska igralkaDani a M Kellar. Dobrih trideset let stara avtori a je svojo umetni²ko ka-riero za£ela ºe kot otrok in nastopa predvsem v nadaljevankah. Vmes je²tiri leta ²tudirala matematiko na univerzi UCLA, diplomirala summa umlaude in kot dodiplomska ²tudentka postala elo soavtori a £lanka iz ma-temati£ne zike [8℄. Intervju z njo lahko poslu²amo ali naloºimo kot MP3datoteko [7℄ na ameri²kem National Publi Radio, kjer je skupaj z drugimigosti nastopala v oddaji S ien e Friday. (Upam, da bo datoteka dostopnatudi ob natisu tega Obzornika, si er pa boste morda v arhivu na²li kakodrugo zanimivost.) LITERATURA[1℄ Morave , P., S hur multipliers and power endomorphisms of groups, J. Algebra 308(2007), str. 1225.[2℄ Ars Mathemati a Contemporanea, http://am .imfm.si/.[3℄ Glavna stran  MaFiRaWiki, http://wiki.fmf.uni-lj.si/.[4℄ S ien eDire t Top 25 Hottest Arti les (uspehi slovenskih matematikov),http://wiki.fmf.uni-lj.si/wiki/S ien eDire t_Top_25_Hottest_Arti les .[5℄ Noti es of the AMS, http://www.ams.org/noti es/.[6℄ M Kellar, D.,Math Doesn't Su k: How to Survive Middle-S hool Math Without LosingYour Mind or Breaking a Nail, Hudson Street Press 2007.[7℄ Women, Girls, and Math (intervju z Dani o M Kellar),http://www.s ien efriday. om/pages/2007/Sep/hour2_092107.html .[8℄ Chayes, L., M Kellar, D. in Winn, B., Per olation and Gibbs states multipli ity forferromagneti Ashkin-Teller models on Z2, Journal of Physi s A: Mathemati s andGeneral 31 (1998), str. 90559063. Peter Legi²a58. TRADICIONALNO SREƒANJE NOBELOVIHNAGRAJENCEVOd 29. junija do 4. julija letos je v nem²kem mestu Lindau, ki leºi obBodenskem jezeru na Bavarskem, potekalo 58. tradi ionalno sre£anje Nobe-lovih nagrajen ev. Poleg 24 dobitnikov Nobelove nagrade se ga je udeleºilo200 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 novi e  2008/11/26  17:12  page 201  #4 58. tradicionalno srečanje Nobelovih nagrajencev557 mladih znanstvenikov z vsega sveta. Med njimi sva bili tudi dve znan-stveni i iz Slovenije, ki sva se na razpis za sre£anje Nobelovih nagrajen evprijavili Slovenski akademiji znanosti in umetnosti.Vsakoletna sre£anja Nobelovih nagrajen ev v mestu Lindau so svetovnopriznani forum za prenos znanja med razli£nimi genera ijami znanstvenikov.V sklopu predavanj na sre£anjih se lotevajo predvsem aktualnih znanstvenihtem in predstavljajo podro£ja znanstvenih raziskav v prihodnosti. Letos jebil forum posve£en ziki, govorili so tudi o aktualnih problemih globalnegasegrevanja in re²evanja energetske krize. Mladi znanstveniki imajo tako napredavanjih, seminarjih in z medsebojnim druºenjem odli£no priloºnost zasodelovanje in izmenjavo informa ij z najve£jimi imeni znanstvenega sveta.Ti prihajajo v to idili£no nem²ko mesto vse od leta 1951. Takrat sta se zikaiz Lindaua, dr. Franz Karl Hein in prof. dr. Gustav Parade, s £lanom ²vedskekraljeve druºine, grofom Lennartom Bernadottom, dogovorila za sre£anja,ki naj bi aktualni in prihodnji znanstveni eliti pomenila nekak²no okno vsvet. Prva leta so bila sre£anja namenjena le Nobelovim nagrajen em, leta1954 pa je grof Bernadotte pri£el vabiti tudi nadarjene ²tudente z nem²kihuniverz, kasneje pa ²e mlade znanstvenike z vsega sveta.Po odhodu nobelov ev se nas je nekaj deset mladih znanstvenikov ude-leºilo ²e ²tiridnevnega pokonferen£nega programa. Najprej so nas sprejelina In²titutu za ziko Univerze v Stuttgartu, kasneje pa ²e na In²titutu zaraziskavo trdne snovi Maxa Plan ka, kjer smo se seznanili z raziskavami ma-terialov in tehnologij prihodnosti kot tudi ²tudijami kompleksnih materialovin nanostruktur. Pregled priznanih znanstvenih ustanov smo kon£ali na Raz-iskovalnem entru Karlsruhe, kjer se ukvarjajo z nanotehnologijo, nuklearnoziko in astroziko ter meteorologijo in klimatologijo.Naj na kon u itiram Nobelovega nagrajen a, profesorja dr. Ivarja Gia-verja iz Norve²ke: Za Nobelovo nagrado mora² biti radoveden, tekmovalen,kreativen, samozavesten, skepti£en, predvsem pa mora² imeti sre£o . . . .Video posnetki predavanj Nobelovih nagrajen ev v mestu Lindau so za-beleºeni na spletni strani sre£anj http://www.lindau-nobel.de/.Maja Fo²ner Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 5 XIX i i “kolofon” — 2008/11/28 — 12:01 — page 2 — #2 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, SEPTEMBER 2008 Letnik 55, številka 5 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA Članki Strani Huygensova naloga, Marko Razpet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–167 Negativni lomni količnik, Janez Strnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176–184 Šola Omejitve pri ocenjevanju znanja matematike v gimnazijah, Marjan Jerman in Samo Repolusk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185–197 Vesti Ob 80. obletnici rojstva Franceta Križaniča, Matjaž Omladič . . . . . . . . . . . . 167–171 Nekaj spominov na Franceta Križaniča, Peter Legiša . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171–175 Matematične novice, Peter Legiša . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198–200 58. tradicionalno srečanje Nobelovih nagrajencev, Maja Fošner . . . . . . . . 200–XIX CONTENTS Articles Pages The Huygens problem, Marko Razpet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–167 Negative index of refraction, Janez Strnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176–184 School Limitations on the assessment of mathematics in secondary schools, Marjan Jerman and Samo Repolusk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185–197 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167–XIX Na naslovnici je kocka iz metamateriala s stranico 25 mm, ki lomi mikrovalove v „napačno“ smer. Fotografijo je posnel dr. Minas H. Tanielian pri družbi Boeing v Seattlu. Obema se zahvaljujemo za prijazno dovoljenje za objavo (glej članek na strani 176).