MATEMATIKA NOVE KNJIGE FIZIKA NOVICE NALOGE RAČUNALNiŠTVO REŠiTVE NALOG RAZVEDRILO NA OVITKU VSEBINA Naloge iz stare računice (Peter Legiša) 225 O nekaterih nerešenih problemih iz teorije števil (Joso Vukman) 229 Rakovec J ., Matematične strukture (Zlatan Magajna) 232 Hitreje kot svetloba? (Janez Strnad) 233 Franc Močnik in njegovo delo (Peter Legiša) . . 242 3. poletna šola računalništva - razpis (Andrej Brod nik) o 244 Geometrijska neenakost (Šefket Arslanaqič) 245 Želva in podprogram POLY (Rok Sosič) 246 Lomljene spirale (Roman Rojko) o o . . 252 Še o nalogi "Bližnji potenci" (Roman Drnovšek) . . . .. o .. o . .. . . o .. ... o . 254 Križanka - rešitev iz P/XII-4 (Pavle Gregorc) . 256 KRIŽANKA "Franc Močnik" (PoGregorc) . . . 240 BOLJ ZA ŠALO KOT ZARES - Umetniki. Dvojčki filate listi. Trojke - rešitev str. 256 (Dušica Boben) . . . . . o o o o . . 243,251,255 BISTROVIDEC - Sto (Vladimir Batagelj) III PISMA BRALCEV - (Ciril Velkovrh) o o . o IV Rafko Terp in, FRANC MOČNIK - ob občnem zboru DMFA SRS v Cerknem leta 1983 (Foto Valerija Gnezda) o oo I PRESEK - LIST ZA MLADE MATEMATIKE. FIZIKE IN ASTRONOME 12. letnik , šolsko leto 1984 /85, številka 5, stran i 225-256 UREDNiŠKI ODBOR : Vladimir Batagelj [bistrovldecl, Danijel Bezek , Andrej Čadež (astronomija) , Bojan Golli (tekmovanja - naloge iz fizike), Pavel Gregorc, Bojan Mohar (matematika) , Martin Čop i č , Andrej Kmet, Jože Kotnik, Edvard Kramar (odgovorni urednik) , Gorazd Lešnjak (tekmovanja - naloge iz maternatikel, Andrej Likar (Prese- kova knj ižnica· fizika) , Franci Oblak, Peter Petek (glavni urednik, naloge bralcev, premisli in reši), Dušica Boben (pisma bralcev), Tomaž Pisanski (računalništvo) , Tomaž Skulj, Miha Štalec (risbe) , Zvonko Trontelj (fiz ika), Marjan Vagaja , Ciril Velkovrh (urednik, nove knjige, nov ice} . Dopise pošiljajte in list naročajte na naslov : Društvo matematikov. fizikov in astrono- mov SRS - Podružnica Ljubljana - Komisija za tisk, Presek, Jadranska c. 19. 61111 Lju- bljana, p.p. 64, tel. (061) 265-061 /53 , št . žiro računa 50101-678-47233. Naročnina za šolsko leto 1984/85 je za posamezna naročila 250.- din, za skup inska naročila pa 200.-. List sofinancirajo Izobraževalna, Kulturna in Raziskovalna skupnost Slovenije. Ofset tisk Časopisno in grafično podjetje DELO, Ljubljana. ' © 1985 Društvo matematikov, fiz ikov in astronomov SRS - 763 li)arcm,,-'1/", I" 1C"" I"", NALOGE IZ STARE RAČUNICE Če ste že kdaj brskali po starih knjigah, se boste gotovo strinjali, da so stari uč­ beniki lahko zelo zanimivo branje. Večkrat iz njih dobimo mnogo boljšo sliko o nekdanjih časih, o stopnji znanja in o izobrazbi takratne družbe kot iz kakega Ieposlovneqa dela . Lep primer za to so računice doktorja Franca Močnika (1824-1892) . Ta slovenski matematik, doma iz Cerknega, je bil verjetno naj- uspešnejši p isec matematičnih učbenikov ne samo pri nas, ampak --:: lahko re- čemo - v vsej srednji Evropi. Njegovi osnovnošolski in srednješolski učbeniki matematike, pisani originalno v nemščini, so bili prevajani in izdajani od Prage, Lvova do Beograda in Plovdiva, od Milana do Tirane. Največ jih je bilo tiskanih na Dunaju, in to v prav neverjetnem številu izdaj (tudi šti rideset in več) . Mnoge Močnikove knjige so bile zelo hitro prevedene v slovenščino. Danes so eden najzanimivejših delov teh učbenikov naloge. Oglejmo si to- rej, na kakšnih primerih so se učili računanja otroci pred 125 leti. Toliko je namreč preteklo od izdaje Močnikove Računice za slovenske šole na deželi v avstrijanskem cesarstvu, izdane Na Dunaji. V cesarsko kraljevski zalogi šolskih bukev 1859 . Iz te knjige sem izbral nekaj nalog in jim pripisal sem ter tja kak - šen komentar . Pri tem me je vodila misel, da podatki v nalogah vsaj približno odsevajo takratno stvarnost . Besedila namenoma nisem preveč posodabljal. Za seznanitev z velikimi števili ima računica najprej nekaj statističnih po- datkov: * Kranjska pokrajina ima 14 mest, 17 trgov, 3174 vasi in šteje do 463956 ljudi. Koroška ima 319224 stanovavcev. Računica je izšla malo pred uzakonitvijo metričnega sistema. Zato so v njej še zmeraj stare mere: * Triglav je visok 9436 čevljev, Ljubelj pa 4361 čevljev nad morjem. Za koliko je Triglav višji kakor Ljubelj? * Gotovo je to, da glas veni sekundi preleti 1050 čevljev. Kako daleč je tedaj človek od hudournega oblaka, ako zmore, kar se blisk utrne, 5 sekund našteti, dokler groma ne sliši? Prav zanimivo si je skozi naloge malo ogledati tudi socialno strukturo ta- kratne družbe. Denarni sistem je bil takle: 1 goldinar = 100 krajcarjev. * V neki fabriki je 235 delavcev, kateri dobivajo vsak po 18 goldinarjev na me- sec; koliko primejo vsi skupaj v 1 mescu, koliko v 1 letu? 225 * Služabni k zasluži na dan po 70 kr ajcarjev, kol iko pa v 1 mescu? * Dninar (delavec) zasluži v pondeljek 56 krajcarjev, v tor ek pa 52 krajcarjev ; koliko je zaslužil ? * Tesar zasluži na dan 85 kr ajcarjev, ko li ko pa na teden? * Z idar zasluži v 6 dneh 10 1/ 2 go ldinarja ; koliko pa na dan? * Mat i najamejo 6 te ric. Če vsaki po 16 krajcarjev od dneva p lačajo, koliko znese plačilo (na dan) vsem? Razl ike v do hod kih so morale biti za današnje pojme večkrat nepojmljive: * Nek i pisar potegne na leto 865 gold inar jev plačila ; koliko mu ostane , če je 693 goldinarjev 51 krajcarjev izdal? * Dek la ima 24 gold inarjev letnega pl ačila . Gospodinja opazi, da ni zvesta, in ji slovo da; pet tednov je služila ; kol iko je v denarjih prejela? Dekla je torej delala praktično le za hrano in streho nad glavo . Poglejmo si, kako so v nalogah opis ani nekateri drug i dogodki. * ažbe gre v mesto svojega brata soldata obiskat: pelje ga v krčmo in mu pla ča dober obed. Dobila sta juho , govedino, nekaj kruha, boka l vina in na- zadnje pečenko in salato . PO obedu vpraša ažbe krčmarja za rač u n. Krčmar re če : juha z govedino velja 38 krajcarjev, kruh 8 krajcarjev, vino 32 krajcarjev in pečenka s salato 42 krajca rjev; zdaj pa sama zrajtajta, koli ko znese. * Jelenov Jožek, prav pr iden u čenec, gre v četrti razred nemških šol v mesto. Oče ga od pet do glave novo oblečejo; za klobuk in kapo pl ačajo 4 goldinarje, za suknjo, telovnik in hlače 17 goldinarjev, za plašč 12 goldinarjev in za obuta- lo 9 goldinarjev. Koliko jih je veljala cela obleka? Morda ste že slišali , da je bila nekdaj dobra obleka velik izdatek in je zato služila tudi dvajset let in več. Kot pravijo, pa sta bili ' tudi kvalit eta blaga in izde- lave mnogo boljši kot danes. Še nekaj nalog o živi lih : * K rčmarica plača štacunarju za 2 čo ka sladkorja, ki sta 14 funtov tehtala, 5 go ldi narjev 75 krajcarjev. PO č em je fun t plačala? (1 funt je bil pr ibli žno pol kilograma, 100 funtov je dalo 1 cent ). Primerjajte (ma loprodajno) ceno sladkor ja z (grosistično) ceno medu: * Za 18 centov strdi se plača 242 goldinarjev 64 k rajcarjev; po čem pa 1 cent? * Mesar kupi kozla za 7 goldinarjev, j alovko za 23 goldinarjev in kravo za 47 gold inarjev. Koliko znese to skup aj? * Če 1 funt telet ine 18 krajcarj ev velja , koli ko se bo dalo za 4 funte? * Funt sira velja 45 krajcarjev, kol iko velja 28 funtov? Z redukcijami elektr ike ni bilo težav; razsvetljava pa je vseeno imela svojo ceno: * Kako drag je funt voščenih sveč, če se za 21 funtov plača 9 gold inarjev 45 krajcarjev? 226 Obstajale so tudi usluge, ki jih danes ne poznamo več: * Tkavcu se plača tkavnine od vatla platna 1/5.goldinarja; koliko se mu mora plačati od 28 1 /2 vat la? * Pri Novaku so imeli čevljarja 26 dni; če so mu po dokončanem delu 14 goldi· narjev 15 krajcarjev našteli, koliko je imel zaslužka vsak dan? Nekatere naloge so bile tudi poučne: * Ako tobakar vsak dan po 3 smotke (cigare) pokadi, kakor je zdaj pri moških slaba navada, vsaka smotka pa 3 krajcarje velja, koliko tobakarvenem letu za prazen dim izmeče? Veliko nalog ima opravka s trgovino, ki je v gospodarstvu imela pomembno vlogo: * Gorenec pride na Bizeljsko vina kupovat. Veni soseski ga nakupi 195 veder, v drugi 430 veder, v tretji 355 veder in v četrti 570 veder. Koliko veder vina je nakupil? Zvemo tudi, kaj se je z vinom dogajalo pozneje : * Krčmar zmeša 4 vedra vina po 12 goldinarjev, 3 vedra po 14 goldinarjev in 5 veder po 15 goldinarjev. Kake cene bo zdaj vedro? Dobiček v trgovini je bil povezan s tveganjem: * Štacunar kupi 1 cent in 50 funtov slabše kave, cent za 38 goldinarjev in pro- daja funt po 60 krajcarjev . V kratkem, ko že 40 funtov po tej ceni proda, se cena v obče poniža in je prisiljen ostanek po 48 krajcarjev funt prodajati. Praša se, ali je na zgubi ali dobičku, če zraven tega še 4 goldinarje 30 krajcarjev pose- bnih stroškov ima? Še tri naloge s tega področja: * Za 150 glav zelja dobim 6 goldinarjev; koliko bom dobil, če ga 500 glav po ravno tisti ceni prodam? * Julika proda v mestu štruco putra za 56 krajcarjev, piskerček masla za 52 krajcarjev in lončiček smetane za 24 krajcarjev ; koliko ji vse to vrže? * Klobučar proda 36 klobukov po 4 goldinarje 15 krajcarjev: koliko izkupi zanje? Iz nalog zvemo tudi za druge veje gospodarstva: * Žebljar proda sodec (18 tavžent) žebljev po 24 goldinarjev; koliko mu vrže 95 sodčkov? * V Idriji se pridela na leto okrog 3335 centov živega srebra, koliko je to v dnarjih vredno, če se funt računa po 147 goldinarjev? * Kupec proda za 399 goldinarjev terpentina, cent po 19 goldinarjev; koliko centov je prodal? * Koliko velja 1 cent mila ali žajfe, če 9 centov 108 goldinarjev velja? * Cent premoga velja 75 krajcarjev; koliko bomo plačali za 20 centov? 227 Zdi se, da je bila sol sorazmerno draga, kar razloži , zakaj je Mart in Krpan t ihotapil prav ta proizvod : * Cent soli velja 19 goldinarjev; po čem pride četrtina centa? Bistveno večji zneski nastopajo v nalogah o lastnini, posojilih, dolgovih. Ne pozabimo, da je bil to čas brezobz irnega kapitalizma, prav tistega, kakr šnega je opisoval Karl Marx. * T rd in ima štiri kapitale posojena, od prvega vleče na leto (obresti) 95 gold i- narjev, od drugega 78 goldinarjev, od tretjega 125 goldinarjev in od čet rtega 218 gold inarjev; ko li ko dob i obrest i na leto od vseh šti ri h kapi t alov? Trdin pomeni trdosrčnega č loveka . Računica je to rej hotela povedati, da je ta oblika dohodka moralno oporečna. Seveda pa tudi tvegana: * Nekdo je 7439 goldinarjev 27 krajcar jev dolžan, ima pa le 3526 goldinarjev 84 krajcarjev premoženja ; koliko morajo posodniki zgubiti? Knjiga ni obšla takratne politične ured itve: * Naš presvetli cesar Franc Jožef 1. so bili 18. avgusta 1830 na Dunaju rojeni in so 18 let 3 mesce 14 dni stari vladarstvo avstrijanskega cesarstva nastopil i. Kdaj je bil nastop nji ~ vlade, koliko so danes stari in koliko let je že njih modra vlada? Še nekaj nalog iz obrestnega računa : * Nekdo preskrb i in nakupi svojemu tovaršu za 812 gold inarjev blaga; koliko znese povračilo za njegov trud po 2%? * Pri kupu za 428 gold inarjev se zavoljo gotovega plač ila odjenja 4%; koliko manj je treba plačati? * Neka hiša je cenjena 5780 goldinarjev in je zavarovana pri neki družbi zoper ogenj za 1/ 10 %; koli ko znese zavarovavno darilo (premija) ? Poučimo se lahko tudi o solidarnost i z lj udmi v stiski : * Med 83 pogorelcev se nabran ih 29631 gold inarjev enako razdeli ; ko liko dobi vsakteri? Vzgoja je poudarjala pridnost , gospodarnost in skromnost, kot nas pouči zgled s konca knjige: * Gospodar izkupi iz vina 225 goldinarjev, iz zrnja 186 gold inarjev , iz živine 109 goldinarjev in iz masla 45 goldinarjev. On pa plača gosposki 83 goldinarjev, družini 120 gold inarjev, za pripravo 39 goldinarjev in za sol 20 gold inarjev . Ko- liko je na leto prejel, koliko izdaj al in koliko mu ostane? Prejel je 565 gold inar- jev, odštel pa 262 goldinarjev, tedaj mu še ostane gotovih 303 goldinarjev. Pri tolikem dobičku mora biti dobra letina , skrben gospodar, pa tudi pridni ljudje. Na koncu računice se sprosti tudi slog: * Pri zdravem človeku srce v 1 minuti po 70-krat udari ; kol ikokrat v 1 uri - v enem dnevu - v 1 letu? Oh čudo, da se ne razbije! 228 Peter Legiša o NEKATERIH NEREŠENIH PROBLEMIH IZ TEORIJE ŠTEVIL Znanost se izredno hitro razvija, saj skoraj ne mine dan, da ne bi zvedeli za ka- ko pomembno znanstveno odkritje. Ali bo znanost sčasoma naš la odgovore na vse probleme, ki jih danes še ne znamo rešiti? Težko si je predstavljati, da se bomo kdaj dokopali do dokončnih spoznanj. saj se nam z razširitvijo enega problema običajno pojav i vrsta novih. Tudi matematika je v zadnjih stoletjih napredovala z vel ikimi koraki, njen razvoj v zadnjih desetletjih pa je tak, da danes ni več matematika, ki bi se lahko pohvalil, da obvlada vso matematiko. Toda kljub neslutenemu razvoju obstajajo več sto in celo več tisoč let stari ma- tematični problemi, ki še vedno čakajo na rešitev. Na tovrstve probleme nale- timo pogosto v teoriji števil, veji matematike, ki proučuje last nost i naravnih oziroma celih števil. V tem sestavku si bomo ogledali nekatere nerešene pro- bleme iz teorije števil, ki so po svoji formulaciji preprosti in lahko razumljivi, njihove rešitve pa so tako zahtevne, da jim največji matematiki niso kos. GOLDBACHOVA DOMNEVA Goldbach (1690 - 1764) je leta 1742 izrekel naslednjo domnevo: Vsako sodo število, ki je večje od dva, je vsota dveh praštevil. Matematiki se že dobrih dvesto let ubadajo s tem problemom, vendar doslej te domneve še nihče ni dokazal ne ovrgel. MERSENNOVA PRAŠTEVILA Dokažimo nas lednjo trditev: Naj bo p naravno število. Če je 2p - 1 praštevilo , potem je tudi p praštevi lo. Pišimo p v obliki p = mn, kjer je n praštevilo. Trditev bo dokazana , če dokaže- mo, da je m = 1. Oglejmo si vsoto 1 + 2m + 22m + ... + 2(n .l)m . To je v bistvu vsota prvih n členov geometrijskega zaporedja. Prvi člen tega zaporedja je 1, kvocient zaporedja pa ~. Z uporabo formule za vsoto členov geometrijskega zaporedja dobimo 1 + 2m + 22m +oo. + 2(n-l)m = ((2m)n_1) /(2m - 1) . Z upoštevanjem mn = p dobimo 2P - 1 = (2m - 1)(1 + 2m + 22m +Oo' + 229 2ln -1lml. Število 2P - 1 smo torej zapisali v obliki produkta dveh naravnih števil. Ker je 2P - 1 praštevilo in je očitno, da je d rugi faktor večji od ena, mo- ra bit i prvi faktor ena, to pa pomeni, da je m = 1. Dokazali smo torej, da je p praštevilo , če je 2P - 1 praštevilo . Samo po sebi' se vsiljuje naslednje vprašanje: ali velja ta trditev tudi v nasprotni smeri? Natan- čneje povedano, ali je vedno 2P - 1 praštevilo, če je p praštevilo? Če za p vsta- vimo zapovrstjo 2, 3 in 5, dobimo 3 , 7 in 31, torej praštevila, vendar to še ni- česar ne dokazuje . Praštevila oblike ~ - 1 imenujemo po matematiku Mersennu (1588 - 1648) Mersennova praštevila. Mersenne je vedel , da 2P - 1 ni vedno praštevi lo , če je p praštevilo, saj je poznal pr imer 2 1 1 - 1 = 2048-1= = 23.89 in še mnogo drugih . S tem pa vsi problemi v zvezi z Mersennovimi praštevili še niso rešeni. Do današnjih dni je namreč ostal odprt problem , ali je Mersennovih praštevil neskončno ali pa samo končno mnogo . V zvezi z Mersennovimi praštevili povejmo še to, da je Lucas leta 1876 do kazal, da je 2 1 2 7 - 1 praštevilo. Oglejmo si ta problem podrobneje , da si vsaj pribl ižno predoč imo , s kakšnimi problemi se srečujejo matematiki , ki re- šujejo probleme v t eo riji števil. Kako bi ugotovili naravo števila 2 1 2 7 - 1? Preizkusiti je t reba zapovrstjo, ali je to število deljivo s kater im iz mecLP!'!š.!~y.U 3 , 5 , 7 , ' " . Če ni deljivo z nobenim pra številom, ki je manjše od "';2 1 2 7 - 1 (brez posebnih te žav se namreč do kaže, da z večjimi praštevil i n i potrebno preizkušati] , potem je 2 1 2 7 - 1 praštevilo. V principu je enostavno, praktično pa je ta način neizvedljiv . Števi lo 2 1 2 7 - 1 ima namreč, zapisano v desetiškem sistemu , 39 mest in opisani pos topek bi vze l preveč časa vsakemu računarju, opremljenemu z naj sodo bnejšim računalnikom. Lucas se je torej moral pri reševanju problema dokopati do ideje, ki je spravila nalogo v okvir računskih zmogljivosti, in v tem je vrednost tega njegovega prispevka v teoriji št evil. PERFEKTNA ŠTEVILA Obstajajo naravna števila , ki so enaka vsoti vseh svojih deliteljev, manjših od števila samega. Števila s to lastnostjo bomo imenovali perfektna. Perfektni števili sta na primer 6 in 28 , saj je 1 + 2 + 3 = 6,1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Per- fektna števi la so poznali že stari Grki. Res je, da so vedeli le za štiri perfektna števila, poleg 6 in 28 še 496 in 8128, vendar je že Evklid (3 . st . pred . n. št.) do- kazal naslednjo trditev : Naj bo p naravno štev ilo. Če je 2P - 1 praštevilo, potem je število 2p -1(2P - 1) perfektno. 230 Euler (1707 - 1783) je Evklidov rezultat dopol nil s tem, da je dokazal verjet- • nost trditve v nasp rotn i smeri : Vsako sodo perfektno število lahko zapišemo v obliki 2P - 1(~ - 1), pri čemer je 2P - 1 praštevilo. Obe trd itvi skupaj bomo Evklidu in Eulerju na čast imenovali Evklid-Eul erjev izrek . Ker je dokaz tega izreka prezahteven, ga opuščamo. Z Evklid-Eu lerje vim izrekom smo torej dobili zvezo med sodimi perfektnimi števili in Mersennovimi praštevili . Kak o pa je zlihimi perfektnimi števili? S tem vprašanjem smo spet pri problemu, ki ga doslej še nihče ni rešil. Vsa doslej znana perfektna števila so namreč soda. Ni znano, če liha perfektna št evila sploh obstajajo, vendar je matematikom usp elo dokazati naslednje : če obstaja kakšno liho perfektno šte- vilo, potem je to število zelo veliko. Pa tudi s sodimi perfektnimi števili so še vedno težave. Res je, da jih danes poznamo več, kot so jih poznali Grki, toda še vedno ni znano, če je sodih perfektnih števil neskončno ali samo končno mnogo. Evklid -Eulerjev izrek nam n am reč štud ij sod ih pe rfektn ih števil preve- de na študij Mersennovih praštevil, zato je problem končnosti oziroma neskon- čnosti števila sodih perfektnih števil v tesni zvezi s problemom končnosti oziro- ma neskončnosti Mersennov ih praštev il. PITAGOREJSKE TROJICE IN FERMATOV PROBLEM Če v pravokotnem trikotniku meri ena kateta 3, druga pa 4 enote, je do lžina hip otenuze 5 enot. O tem nas prepriča Pitagorov izrek, saj je 32 + 42 = 52. Tr ikotnik s stranicami 3, 4 in 5 enot so že pred tisočletji uporabljali Egipčani za konstrukcijo pravega kota. Trojici št evi l 3,4, 5 pravimo pitagorejska trojica . V splošnem imenujemo pitagorejsko trojico vsako trojico naravnih števi l x, V, z, ki ustreza enačbi x 2 + V2 =Z 2. Takih pitagorejskih trojic je neskončno mno- go, saj je na dlani, da je pri po ljubnem naravnem št evilu n t rojica 3n, 4n, 5n tu- di pitagorejska. Kaj pa, če vzamemo namesto enačbe x 2 + V2 = Z 2 enačbo x 3 + V3 = z3 t ali pa splošno, enačbo x " + Vn = z", kjer je ek sponent n poljubno naravno število, večje od dva. Ali obst aja tud i v tem primeru trojica naravnih ali pa vsaj trojica od nič razl ičnih cel ih števil x, V, z, ki reši enačbo? S tem vprašanjem smo že pri slovitem Fermatovem problemu. Fermat (1601 - 1665) je namreč trdi l, da obstajajo t ri od nič raz li č na cela št evila x, V, Z, ki ustrezajo enačbi x" + yn =zn le v primeru, ko je n = 2, za vsa naravna števila , ki so večja od dva, pa tak ih treh od nič različnih celih števi l ni . Na rob neke knjige je Fermat zapisal , da ima dokaz za svojo trditev, vend ar ga zaradi premajhnega ro - 231 ba ne more navesti. Mnogo ljudi se je od tedaj ukvarjalo s tem problemom, med njimi je bilo nekaj največjih matematikov, vendar se še nikomur ni posrečilo dokazati ali pa ovreči Fermatove trditve. Obstajajo pa delni rezultati. Tako je na primer dokazano, da ni treh od nič različnih celih števil, ki bi ustrezala ena- čbi x" + yn = zli, če je n manjši od 2521 . Preprost dokaz za n = 5 je našel slo- venski matematik svetovnega slovesa Josip Plemelj (1873 - 1967) . Povzemimo! Probleme, ki smo jih navedli, je reševalo zelo veliko ljudi, vendar se še nikomur ni posrečilo, da bi jih rešil v vsej splošnosti. Trud pa le ni bil popolnoma zaman, saj so pri reševanju izdelali več pripomočkov in postopkov, ki so se dali s pridom izkoristiti v mnogih drugih področjih matematike . LITERATURA Ivan Vidav, Števila in matematične teorije, Ljubljana : Mladinska knjiga, 1965 in 1975. 143 str. (Knjižnica Sigma; 11) Joso Vukman Rakovec J. Matematične strukture: Primeri in rešene naloge. Lju- bljana, DMFA SRS 1985. 108 str. (Knjižnica Sigma; 39) Cena400,- (320,- din) Mnog i b ralci Preseka že poznajo knjige prof. Nika Prijatelja Matematične struk- ture 1, II, III. Srednješolci posebno radi segajo po 1. delu , ki obravnava teorijo množic. In prav njim bo pričujoča knjiga Janeza Rakovca najbolj dobrodošla . Knjiga je razdeljena na dva dela. Prvi del je vsebinsko vezan na Matemati- čne strukture I in obravnava množice, relacije in funkcije. Tu najdemo številne preproste primere, ki ilustrirajo definicije in izreke ter bolj in manj enostavne naloge . Vsaka naloga ima rešitev, odgovor ali napotek za reševanje . Omenim naj še , da so naloge povsem pr imerne za srednješolce, ki so se spoprijeli s teorijo množic . Drugi del zbirke obravnava topološke strukture. Čeprav tudi ti primeri in naloge načeloma zahtevajo le poznavanje Matematičnih struktur III , menim, da bodo zanimivejši za študente matematike , saj obravnavajo splošne topola- ške prostore in ne le topologijo realne osi, ravnine oz . prostora. Srednješolci, ki bi se radi spoznali s topologijo, pa bodo raje najprej prebrali knjigo Janeza Rakovca Osnovni pojmi topologije , ki je tudi izšla v zbirki Sigma. 232 Zlatan Magajna '-,-'/'/"r L"" HITREJE KOT SVETLOBA? Začnimo z nekoliko pustolovsko zgodbo, ki pa bi sedandanes lahko v celoti za- res primeri la. Mislimo si vesoljca na Luni na eni izmed odprav Apollo . Na temni stran i postavita v razdalji 10 m merilnika 1 in 2, ki sta občutljiva za kratkotraj- ne svetlobne bliske, in ju priključita na elektronsko napravo za merjenje časa . Po daljšem premeščanju merilnikov, preskušanju in dogovarjanju s središčem odprave na Zemlji začneta s poskusi. Pri prvem zaznata merilnika kratkotrajna in šibka bliska , in sicer merilnik 2 30 nanosekund (1 nanosekunda = 1 rnil iiar - dinka sekunde = 10-9 s) pozneje kot merilnik 1. Poskus večkrat ponovita. Če zmanjšata razdaljo na polovico , na 5 rn, zazna meri lnik 2 blisk 15 nanosekund pozneje kot merilnik 1. Pri večji ali manjši razdalji je zakasnitev vselej soraz- merna z razdaljo obeh merilnikov. Poskusa ni mogoče pojasniti drugače, kot da se premika od merilnika 1 do merilnika 2 svetlobni curek, ki bi ga videl i na površju Lune kot pego, če bi imeli dovolj občutljive oči. To ni nič nenavadne- ga. Nenavadna pa je hitrost premikanja pege, ki jo dobimo po stari navadi : de- limo pot s s časom t : u=s/t= 10m/30.1O-9 ms" =3,3 . 10~ m/s= 330 000 km /s To je več od hitrosti svetlobe v vakuurnu" c = 300 000 km /s in o tem je vredno podrobneje razmisliti. Kaj se med poskusom dogaja na Zemlji? V nekem observatorilu't" svetijo ponoči na Luno z laserjem , k i oddaja močan vzporedni curek svetlobe in ki * Svetlobna hitrost v praznem prostoru meri c = 300 000 krn /s, natančneje c = = 299 792,458 km /s. Od srede oktobra 1983 je navedena vrednost določena z dogovorom in ne več z merjenjem. Generalna konferenca za utež i in mere je namreč na zasedanju v Parizu sprejela novo definicijo metra: "1 meter je dolžina poti, ki jo prepotuje svetloba v vakuumu v časovnem razmiku 1/299 792 458 sekunde." ** Zares so v McDonaldovem observatoriju v ZDA skozi astronomski daljogled sveti li s kratkotrajnimi laserskimi bliski na Luno in lovili odbito svetlobo. Svetloba se je odbila na nekakšnem velikem mačjem očesu , ki sta ga na Luno prinesla vesoljca in ki je poskrbelo, da je bil odbiti curek natanko vzporeden vpadnemu. Po zakasnitvi, s katero se je svetloba vrni la na Zeml jo, so natančno določili oddaljenost Lune. Za pot do okoli 384 000 km oddaljene Lune in nazaj je potrebovala svetloba dobri 2 sekundi. Vrteli pa laserja niso. To in merilnika z elektronsko uro smo si izmisli l i . 233 ga vrtijo. Os vrtenja je pravokotna na zveznico s pristajališčem vesoljcev na Luni in na zveznico obeh merilnikov. Laserski curek pri tem najprej oplazi merilnik 1 in malo pozneje merilnik 2. Da se bomo laže pogovarjali, mislimo na curek elektronov namesto na cu- rek svetlobe. Namesto Lune si mislimo valjast zaslon okoli izvira tako, da je izvir na njegovi geometrijski osi. Vzemimo , da je hitrost elektronov v = 1 mis, da se zavrt i izvir enkrat v času to = 1 s in da ima valj radij r=1m.Radi bi dobili preqled nad gibanjem elektronov. V začetnem trenutku, ko začnemo meriti čas, naj bo izvir usmerjen po osi x. Elektron, ki ga tedaj zapusti, potuje enako- merno po tej osi in doseže valj po 1 sekundi. Desetino sekunde pozneje je izvir usmerjen pod kotom (2rr /to) .t = 2rr/10, torej desetino polnega kota, proti osi x . Elektron, ki ga zapusti v trenutku 0,1 s, se enakomerno giblje proti valju in ga doseže v trenutku 1,1 s. V trenutku 0,2 s je izvir usmerjen pod kotom Luna x (bJZemlja -, \ \ -, \ \ -, \ \. \ \. - 1,5 (aj Slika 1. Izvir v izhodišču se zavrti enkrat v 1 sekundi in iz njega izhajajo elektroni s hitro- stjo 1 mis. V začetnem trenutku (t = O) se gibljejo elektroni iz izvira po osi x . Ob točkah so navedeni trenutk i, ko elektroni dospejo tja. Črtkano so narisani (za mirujočega opazo- valca) t iri elektronov, sklenjeno pa trenutni sliki curka v trenutku 1 s in 0,1 s pozneje. Curek sledi izviru , kot da bi bil z njim togo povezan (a). Dodana je še trenutna slika laser- skega curka proti Luni, če se laser zavrti enkrat v 7,2 sekundah (b}, 234 2.21T/10 proti osi x in elektron, ki ga zapusti v trenutku 0,2 s, zadene valj v tre- nutku 1,2 s. Zdaj že vemo, kako gre račun dalje. Naposled kaže v trenutku 1 s izvir zopet v smeri osi x in se igra ponovi. Tiri vseh elektronov potekajo v radi- alni smeri in v tej smeri se vsak izmed njih giblje s hitrostjo v. Namesto da bi zasledovali gibanje posameznega elektrona, se lahko vpra- šamo po trenutni sliki curka. Če bi bil v valju ostanek plina, katerega molekule bi ob trkih z elektroni sevale, bi jo lahko fotografirali. Na risbi (slika 1) jo do- bimo, ko povežemo lege različnih elektronov ob enakem času, denimo v trenu- tku 1 s. Krivulja je znana kot Arhimedova spirala. Trenutna slika vtrenutku 1,1 s je enaka Arhimedova spirala, le da je za desetino polnega kota zasukana proti prvi. Mislimo si pač, da se curek vrti skupaj z izvirom, kot da bi bil z njim togo povezan. Podobnih slik smo vajeni pri daljnovzhodnih ognjenih obročih in vodnih kolesih za zalivanje vrta, le da pri njih curki isker ali vode ne izhajajo od osi. S kolikšno hitrostjo se premika pega, to je presečišče curka in ovire? Odgo- vor je preprost, saj se curek zasuče za enak kot kot izvir, pega pa je v razdalji r od izvira. Enačbo s = rl{), ki povezuje lok s s središčnim kotom 1{) in radijem r, delimo s časom: u =sit =r(21Tlto) Pri tem smo za kot vstavili 1{) = (21Tlto)t. Za naš primer je hitrost pege na valju u = 1 m.(21T/1 s) = 6,3 mis precej večja od hitrosti elektrona v. Namesto valja si lahko mislimo oviro kot del tangentne ravnine. Dobljeni rezultat velja tudi za ta primer . V rezultatu ne nastopa hitrost elektronov. Zato ga brez skrbi uporabimo tudi za svetlobni curek. Z njim izračunamo,v kolikšnem času bi se moral laser enkrat zavrteti, da bi se pega na Luni premikala s hitrostjo u = 3,3.108 mis: to = 21TrlU = 21T.3,84.105 m/3,3.108 ms" =7,2s Laser bi bilo treba vrteti razmeroma počasi. Zdaj si poglejmo nekoliko podrobneje dogajanje ob oviri, na Luni ali na valju. Točko 2 ob merilniku 2 zadenejo drugi deli elektromagnetnega valovanja ali drugi elektroni kot točko 1 ob merilniku 1. Ne valovanje, se pravi energija, ne delci torej ne potujejo s hitrostjo u. S to hitrostjo pa tudi ne moremo pre- našati sporočil od točke 1 do točke 2. Če bi hotel opazovalec ob točki 1 opa- zovalcu ob točki 2 poslati sporočilo, ki bi mu nekaj povedalo, bi moral imeti vsaj dve možnosti. Moral bi pritisniti na tipko telegrafa in jo popustiti, da bi pisalo pri drugem opazovalcu pisalo in ne bi pisalo, ali prižgati luč in jo ugasni- ti, da bi videl drugi opazovalec svetlobo in je ne bi videl. Pri curku, ki se za- vrti vselej v enakem času, pa ni teh možnosti. Če oplazi curek točko 1, oplazi nekoliko pozneje neizogibno tudi točko 2 na svoji poti, kot da bi ves čas pri- 235 tiskali tipko telegrafa ali imeli ves čas prižgano luč. Če pa bi hoteli curek preki- niti, ko bi bila pega med točko 1 in točko 2, bi morali to storiti med izvirom in točkama 1 in 2. Ukaz za prekinitev bi potoval od točke 1 v nasprotni smeri curka in sprememba v curku bi potem potovala v smeri curka do točke 2 s hi- trostjo svetlobe ali s hitrostjo elektronov. Tako bi sporočilo iz to č ke 1 do to - čke 2 zagotovo ne moglo prehiteti svetlobe. Poskus s podobnim izidom lahko naredimo s curkom elektronov v cevi katod nega osci loskopa. Curek elektronov izhaja iz segrete katode in izstopa skozi odprtino vanodi. Če je anoda na primer na napetosti 100 V proti katod i, imajo elektroni hitrost 5900 krn /s. Curek gre skozi prvi kondenzator z navpi- čnima ploščama in skozi drugi kondenzator z vodoravnima ploščama ter zade- ne fluorescenčni zaslon, na katerem vid imo svetlo pego. Če je na obeh konden - I Slika 2a Slika 2b o-o Slika 2. Kvazar 3C 273 z značilno izbok li no, k i kaže enega od obeh curkov snovi. Fotogra- fijo so naredil i s petmetrskim daljnogledom na Mt. Palomarju Ia). Osrednji del in stranska curka kvaza rja 3C 273, kakor so j ih določili z radij ski m i teleskopi na nač in , ki j e opisan v besedilu . S slik j e mogoče določit i navidezno hitrost odmikanja curkov, ki je večje od svet - lobne hitrosti (b) , Premik spektralnih črt proti rdečemu delu spektra kaže, da se kvazar odd aljuje s hitrostj o 0,16 c . Njegova oddaljenost meri skoraj 3 m il ij arde svetlobnih let. 236 zatorjih konstantna napetost, pega miruje. Pega pa se premika po zaslonu , če damo na kondenzatorju napetost, ki se spreminja s časom. S spremenljivo napetostjo dosežemo torej enak učinek kot z vrtenjem izvira. Hitrost pege lahko preseže svetlobno hitrost, če se napetost na kondenzatorjih dovolj hitro spreminja. Osciloskop mora imeti pač dovolj dober ojačevalnik, da sledi zelo hitrim spremembam napetosti na vhodu. Nazadnje omenimo še zanimiv pojav, ki so ga zasledili astronomi pri opa- zovanju kvazarjev. Ti se kažejo pri opazovanju z daljnogledam kot navadne šibke zvezde (slika 2). Vendar se zelo hitro oddaljujejo, so zelo oddaljeni in sevajo močneje kot sto milijard Sonc. Poleg tega oddajajo večinoma tudi iz- datno radijsko valovanje. Kaže, da so nekateri kvazarji sestavljeni iz dveh in nekateri iz treh delov. Pri slednjih se zdi, da se od osrednjega telesa oddalju- jeta kot stranski telesi curka sevajoče snovi na nasprotnih straneh. To so ugo- tovili po merjenjih z zelo kratkimi radijskimi valovi. Pri enem od najnatančnejših merjenj so uporabili pet velikih radiotelesko- pov v zelo veliki medsebojni razdalji: Big Pine v Kaliforniji, Fort Davis v Teksa- su, Green Bank v Zahodni Virginiji v ZDA, Algonquin Park v Ontariu v Kanadi in Effelsberg v Zahodni Nemčiji. Po dva in dva so povezali v par in opazovali hkrati z obema. Tako so pri valovni dolžini 2,8 cm dosegli ločljivost tisočinke kotne sekunde, kar je tisočkrat bolje kot pri opazovanju znajzmogljivejšimi daljnagledi. Pri kvazarju 3C 273 so lahko pojasnili opazovanja sprivzetkom, da se stranski telesi navidez odmikata drugo od drugega z nekajkratno svetlo- bno hitrostjo. Poskusimo preprosto pojasniti to veliko navidezno hitrost. Vzemimo, da odda kvazar v razdalji več milijard svetlobnih let v trenutku t = Ov točki 1 cu- rek elektronov s hitrostjo v pod kotorn e proti zveznici z Zemljo (slika 3). Ra- dijski valovi, ki nastanejo tedaj v okolici točke 1, dospejo do Zemlje po času t l = rle, če je roddaljenost kvazarja . Čas t l meri več milijard let; pojav, ki ga opazujemo danes, se je dogodil na kvazarju pred tolikšnim časom. Po času t = liv dosežejo elektroni točko 2 v oddaljenosti lod točke 1. Točka 2 je v razdalji r - I cose od Zemlje in valove iz točke 2 opazimo po ča­ su (r - I cosel Ic od trenutka, ko so elektroni zadeli točko 2 in tam sprožili sevanje valov. Do nas pridejo valovi iz točke 2 po času t2 = t + (r - I cosc) Ic. Navidezna hitrost je določena kot kvocient navidezne razdalje in časa poto- vanja. Opazovalec na Zemlji nameri tedaj prečno na smer opazovanja navi- dezno hitrost u = I sin.pl (t2 - t l ) = I sin.pl (l/v - I cos.pl c) = v sin.pl (1 - v cos.plc) Za drugi curek elektronov, ki potuje na nasprotno stran, velja podoben račun. Upoštevati moramo le, da se v njem elektroni oddaljujejo od nas, če so se v prvem curku približevali. Tako dobimo za navidezno hitrost u' = = v sinl,O/(1 + v cose/c) . Navidezna hitrost, s katero se prvi curek oddaljuje 237 od drugega, je določena z razliko Z minusom pred u' smo upoštevali, da ima ta hitrost nasprotno smer ~ot hi- trost u. Denimo, da se elektroni gibljejo s hitrostjo v = 0,9 c. (Tolikšno hitrost ima- jo elektroni s kinetično energijo 700 000 elektronvoltov .) Če je kot

a+ b kjer sta a in b kateti , e hipotenuza , h pa višina na e! REŠi TEV. Ker je e > a in e '>b, je e - a > O in e - b > O. Sledi : (e- a)(e-b ) > 0 e2 - ae - be + ab > O e2 +ab >ae +be e + ab/c > a +b e+h >a+b ker je v pravokotnem t rikotn iku h = ab/c. S tem je dokaz konča n . Oglejmo si še en dokaz iste neenakosti. Tu bomo upo rabi li tud i nekaj tr i- gonometrije . Vsak ve, da velja : če je a ostri kot t rikotnika. Od tod dobimo : 1 + 2 sina cosa + sin2 a cos2 a > sin2a + cos2 a + 2 sina cosa (1 + sina cosa)2 > (sina + cosa) 2 1 + sina cosa > sina + cosa 1 +a/e.b/c >a/e+b /e e +ab/c >a +b od tod pa zaradi h = ab/e sledi neenakost , ki jo dokazujemo. Šefket Arsleneqič, T rebinje Prevedel Bojan Mohar 245 OO('ll'\/Ol NlcTI'll'" 1_ _ 1 II 1... 1_' II~ _ ŽELVA IN PODPROGRAM POLY V prejšnjem Preseku smo si ogledali osnovna ukaza za delo z želvino grafiko - podprograma FORWARD in RIGHT. Eno izmed najpreprostejših zaporedij ukazov ima ime POLV. Želva sepo' makne za dano število korakov, obrne za dano število stopinj in ponovi posto- pek (podprogram 1). Poclpr'ogr' a m 1 ~ PROCE~JRE po l y ( stranica, kot: i nteger BEIJ I r.1 WH ILE TRUE DO BEGIN for wa r d(st ran ica) rig h t(kot ) END; END ; Izmed risb, ki so nastale s podprogramom POLV, sta dve na sliki 1. I~--·"--_·_---"---"I II \\ Il I I l / '1\, .("" "" ..,',.,..\ """':" / .. ,•.,.,." ."•., 0.0./ "·",····,' PDL ',.' (55 .. 61;::1 ) Marsikdo se bo začudil , ko bo v pod programu POLV videl neskončno zanko. Vendar moramo upoštevati , da POLV še ni 'pravi' računalniški podp ro- gram, ampak le zaporedje ukazov za želvo. Ta pa ima veliko potrpljenja in bo pač neskončno dolgo risala po zaslonu, oziroma tako dolgo, dokler je ne 246 (* 'dovo l j' vel iko $t:.ev i l o * > ustav imo· z izklopom rač u naln i ka , s tipko BREAK ali s čim podobnim . Ker je naš namen, da raziščemo želvino pot in ne vemo, kdaj se ta začne ponavljati, je podprogram POL Y z neskončno zanko kar primeren. Če pa je na računalniku prekinjanje programa zelo neprijetno ali celo uniči natipkan program, lahko POLY zapišemo drugače (podprogram 2) . F'Dc:l pl"·oqlr.a m ::;:: : F' ROCEDURE pol y ( s t rani c a,kot :integer CD I\~ ~3 T ma >: ::::: 10 00 ; \){~ f:;: i i 1'''1t:. (? <;.1 E?r' DEG1 l\~ FOR i : = 1 T O max DO 8EGIN fo r wa r d (st:.ran i c a ) right(kot) O ,ID ; EI'.ID , Neskončno zanko smo nadomestili s končno zanko, pri kateri smo zgornjo mejo do loč ili kar po občutku. Tako so odpadli problemi z zaustavljanjem pro - grama. Na isti nač in lahko preoblikujemo vse podprograme za želvo, k i imajo neskončno zanko . Taka rešitev ni najlepša, saj se lahko zgodi, da želva še ni narisala celotne poti ali pa jo je večkrat ponovila. Radi bi torej napisali podprogram POLY, kjer bi se želva ustavila natanko takrat, ko bi prvič narisala celotno pot. Pri tem nam je v veliko pomoč naslednji izrek. Naj bo celotni obrat vsota vseh kotov, za katere se obrne želva z ukazom RIGHT. Izrek oper iodi pod programa POLY : Pot, ki jo nariše podprogram POL Y , se začne ponavljati natanko takrat, ko celotni obrat želve doseže mnogokotn ik števi la 360 . Če se želva naenkrat obrne za kot, ki je mnogokratnik števila 360, potem pot ni peri od ična in želva uide v neskončnost. Poskusi dokazati izrek. Vsa og lišča poti ležijo na krogu . Dokaz te trditve je precej preprost in naj bo za domačo nalogo .Torej so vse stranice poti hkrat i tudi tetive enega samega kroga . V tem krogu pa sta natanko dve tetivi z dano dolžino in smerjo. Ena tetiva ne pride v poštev kot želv ina pot, saj bi želva v naslednjem koraku odkorakala iz kroga. Tako nam ostane le ena možna tetiva 247 stranica,kot:integer f'"' i g l"'lt (kot.) r i q h t. (2f.:· !< ot) z dano smerjo in s tem smo izrek dokazali. Želva začne ponavljati pot, ko zo- pet gleda v prvotno smer - obrnila se je za kot, ki je mnogokratnik števila 360. Zanimivo je, da smo periodo podprograma POL Y ugotovili brez vpeljave koordinatnega sistema. Želva si jo lahko sama izračuna le s seštevanjem oprav- ljenih obratov in pri tem ne potrebuje nobenih zunanjih pripomočkov. Sedaj z lahkoto napišemo popravljen podprogram POL Y, ki se bo znal pra- vi čas ustaviti (podprogram 3). F'od p r ' OCJI" 'clIH ::~; :: pr;:OCEDUHr:::: pol y 1 ..../PIF~ ob r at i nt.e<;'le~­ SEGI!'·) or.H··at. := (> ; HEF'Er=4T for ward(stranica) r ight. (kot) obrat := obrat + kot UNTIL o b r a t MOD 360 = O t~ND ; Naloga: Podprogram POLY uporabite pri sestavljanju podproqrarna NPOLY in NSTAR : PROCEDURE npoly ( n:integer) ; PROCEDURE nstar ( n:integer) ; NPOL Y naj nariše pravilni n-kotnik , NSTAR pa n-krako zvezdo . Podprogram POLY lahko malce spremenimo in opazujemo nastale slike. Na hitro si bomo ogledali nekaj preprostih izpeljank. Raziščite njihovo obnašanje pri različnih vhodnih podatkih, nato pa poskusite še sami najti po- - do bne pod programe. Z majhno spremembo podprograma POL Y dobimo NEWPOL Y (podpro- gram 4). Dva primera izhoda sta na sliki 2 . PROCEDURE newpoly ( stranica, kot:integer BEGIN WHILE TRUE DO BEBI N forward (stran i c a) for war d(stran i ca) EI"\H); END:; I ,•..... \\ \"/ "J''~::._:::_:~_:".:_: ~'_:'.:_:"l_.'._.._._.__ ...::;_ .__•._ .. ._.__..••_ _~~.I ~-'--' '' ' ''--'-'--'I" ...,•.,.... ./ \ \ \··1···_··················_·_·_······· - o' ·' "" ","l ·· .,l ::······ """'.\ .,~ ~~~:L. 1 f<(:1 2: Če spreminjamo dolžino stranice, dobimo podp rogram POL YSPI (pod- program 5). Slika 3 prikazuje učinek POLYSPI na zaslonu. P cl ej p i..··o (.=J 1r- i':\ jj) ~.:I : r"·i (.:;Jh t (kot ) -l- pr"ir" d s t E: k BI:::C3 1 \." WHILE TRUE DO BEGIN forward Cst ran i c al s tr i':\ n i c a : = s tr an i c a END; E I'·.!D ; PROCEDURE p o l ysp i s t rani ca , ko t , p r i ri':\s te k: integer Pri podprogramu POLYSPI smo spreminjal i stranice . pr i INSPI pa spre- minjamo kot (podprogram 6) . Rezultat podprograma INSPI lahko vidimo na sliki 4. F·c)(j P t- C)g to - ain 6 ~ F'F;:DCEDUF~E i n ap i ( st ran ic a,kot , r r i r astek~i nt eger BE:GIN WHILE TRUE DO BEBIN f orwa r d ( s tr ani c a ) r ight (kot) kot ~ = kot + prirastek ; H ·m; E:I"U>; Slika 4 ..--_~4It\l;j;' _-_ .......~::::::-;;~.•. .-;;lI!~' '~i;'I-1 -Qir" .::-'::---,-:-1:' ·-;Ph_"....- -'-. .::<::~::::-<: -.- --:§~--'ir.;<.j~'iG. _..----.1r. ' ~~•. l.:' e "-:-J-""::;"', \~b M tJt~ ~., '!'.":::--~Ii:i' " ,-.- _....; -._ I ' i JI I P' _. ' ./ •••• 1 .J.!i!'3 ---.-~ .,••>:.~-0 • • • =:;; ·"l-:.r- \ t ) . ~ :iE' " »: 1:ifr" "':"-" ':'':;;''-''''---~'''-' .---_' J.. _..- ' ~:--" , . .. '-,~ '1 " ... . . , j ' . .. ' -'r l '" t~~;P,;,::;=::' . .i. oo:'. I~, ...- -, .:=U>Cv.::_., I .... '. I ;_m 11 "~,o: I >;~.,..--: <., I ~~~ I i_ r-' - , r j' i ". ,' 1 I ................- ../- ..-----., ( - -.-J "R I .••••• . . _ _.__. J ..•.._--- Naloge: 1. Za večino naravnih števil n obstaja več različnih n-krakih zvezd. Napiši podprogram NSTAR 1, ki bo za dani n narisal vse možne n-krake zvezde! 2 . Kateri od podprogramov pol y(5,5) in poly(6,6) pokrije večjo površino? 3. Z opisanimi podprogrami poišči čimveč zanimivih figur! To je bilo nekaj primerov iz bogatega sveta podprograma POL Y in izpeljav. Upam, da jih je dovolj, da se boste sami spustili v nadaljnje raziskovanje njego- vih skr ivnosti . Rok Sosič Dvojčkirdatelisti V filatelističnem društvu "Znamka" so med najaktivnejšimi člani tudi štirje pari dvojčkov. Na zadnjih treh sestankih društva je bil navzoč le po eden od vsakega para. Ana, Bojana , Cvetka in Davor so bili na prvem sestanku, Emil, Mojca, Da- vor in Bojana na drugem, Mlran, Ana , Bojana in Emil pa na tretjem sestanku. Ivo je imel gripo in ni bil na sestankih. Bi znal poiskati vse pare dvojčkov? 251 LOMLJENE SPIRALE 1. Vsi vemo, kaj je mnogokotnik. Mnogo daljic spnemo tako, da postane vsako krajišče skupno natančno dvema daljicama, razen seveda obeh skrajnih. Če združimo še ti dve krajišči , dobimo sklenjen mnogokotnik . Krajiščem rečemo oglišča, daljicam pa stranice mnogokotnika. Mnogokotniku nekateri pravijo kar lomljena črta. V geometriji se običajno ubadamo s sklenjenimi mnogokotniki, katerim se stranice ne križajo. Še bolj so nam všeč konveksni (izbočeni) , med njimi pa še posebej cenimo pravilne, ker imajo vse stranice enako dolge, pa tudi notranji koti so si enaki med seboj. 2. Spirala je manj preprosta krivulja. Njena bistvena značilnost je, da po več­ krat (lahko tudi neskončno krat) obkroži določeno točko, ta pa se zaradi tega imenuje pol spirale. Po spiralah se zgledujejo vzmeti v urah, brazde na gramo- fonsk ih ploščah, nanje se spoznajo polži , pa tudi spiraine galaksije. 3. Sedaj pa bomo križali spirale z mnogokotniki. Križancem bomo rekli lomlje- ne spirsle. Naredili jih bomo tako, da bomo premico vpravilnih razmakih lomili in jo navijali okoli središčne točke (pola). Taka lomljena spirala je pravzaprav sestavljena iz tetiv kake prave gladke spirale. 4. Objavl jamo program, ki zna narisati dvojno Ioml jeno spiralo (navito v obe smeri). Prirejen je za računalnik Spectrum. Samo navijanje lomljene spira le opravi računalnik seveda po svoje. Za pol si izbere sredino zaslona, nato pa si izbere še poltrak z začetkom v polu , na njem pa nariše točko, ki je od pola oddaljena za približno polovico višine zaslona. Ta poltrak nato zavrti za izbra- ni kot, točko na njem pr ibliža polu za izbrano razdaljo , nato pa poveže točko s prejšnjo in nastala je prva stranica lomljene spirale. S takim vrtenjem poItra- ka in pomikanjem točke na njem nariše celotno Iomljeno spiralo, kolikor je pač gre na zaslon. Program nas na začetku vpraša po številu kotov, ki jih ima lomljena spirala pri enem obkrožanju pola (od tod izračuna kot vrtenja poItra- ka po formuli kot = 21T/nl, nato pa vpraša še po razdalji, za katero je vsako naslednje oglišče bližje polu (prirastek je negativna vrednost) . Opozoriti mora- mo , da število kotov ni nujno celo število . Najlepše lomljene spirale dobimo prav pri necelih vrednostih. 5. Sedaj pa ste vi na vrsti. Dopolnite ta program po svojem okusu. Vpeljite barve, naj vam program nariše le enojna lomljene spirale ali pa naj riše samo vsako drugo stranica. To je le nekaj predlogov . Pa obilo zabave! 252 100 110 120 130 150 160 170 180 190 200 220 230 240 260 270 290 310 320 330 340 350 360 REM ---------------- --- ---- REM Program za r isan je REM lomljen ih spi ral REM ------------- - - -------- LET mx=255 LET my=175 LET sx=mx/2 LET sy=my/2 LET px=23677 LET py=23678 REM mX,my ve l ikost REM sX,sy središče REM pX,py naslova koordinat prejšnje točke pri DRAW DEF FN x()=r*COS a+sx-PEEK px DEF FN y()=r*SIN a+sy-PEEK py REM funkciji za računanje oglišč lomljene spirale INP UT "Število kotov = "; n INPUT "Prirastek polmera II ; s LET a=O: LET b=2*P I/n: LET r=sy CLS : PLOT FN x(), FN y() LET a=a+b: LET r=r+s : IF ABS r>sy THEN GO TO 310 DRAW FN x () ,FN Y() : GO TO 350 Primeri vhodnih podatkov: 3 -2 4. 1 - 1 2.9 -1 Roman Rojko 253 ŠE O NALOGI »BLIŽNJI POTENCI« Prispevek je odmev na članek Tomaža Pisanskega: Rešitve naloge "Bl ižnji po- tenci", Presek 1984/85. št. 2. V tem član ku je med d rugim govor overižnih ulomkih , ki jih zapišemo v obli ki: ( 1) a 3 + __1_ kjer so ai (i = 1,2• ...•n) cela števila, ki izpolnjujejo pogoje: (2) Dolžina verižnega ulomka je v tem primeru enaka n. V omenjenem članku avtor postavlja vprašanje, kakšno mora bit i (največje celo štev ilo na rač unaln i ­ ku) rnexint, da obstaja verižni ulomek z dolž ino . večjo od 100, pri čemer št e- vec in imenovalec tega ulomka ne smeta preseči maxint. Vzemimo verižni ulomek (1) in dolo čimo aj i a j , . . _, an t ako, da bosta šte- vec in imenovalec nastalega ulomka čim manjša . Očitno mora veljati al = O. Sedaj postavimo: ...!!.L = __--'- qi ai +---'-- kjer so Pi in qi (i = 2. 3, ... , n) naravna števila in sta si Pi, qi tuj i števili. Oč itno velja: q i+l aiqi+ l + Pi+ l _P_i_ = __-'-'~ _oziroma Pi+ 1 ai + --.!!..!.-=------- qi qi+ 1 Ker sta Pi+ 1 in qi+ 1 tuji si števili , velja isto tud i za q i+ 1 in (aiqi+ 1 +Pi+ d in se torej zadnji ulomek (na desni) ne more krajšati. Torej velja: Pi =qi+l in qi=aiqi+l +Pi+ l (3) 254 Od tod ugotovimo, da ste p, inqj(pridanihpj+l,qj+tl najmanjša,česoštevi­ la aj čim manjša li = 2, 3, ..., nj . Glede na pogoje (2) določimo: a2 = 1, a3 = 1, an .1 = 1, an = 2. Izračunajmo sedaj vrednosti teh verižnih ulomkov pri raz- ličnih n : n = 2: in podobno V3 = 2/3, V4 = 3/5, Vs = 5/8. Hitro spoznamo, da v ulomkih na- stopajo števila Fibonaccijevega zaporedja. O tem zaporedju je bilo v Preseku na- pisanih že več člankov, zato bi navedli le definicijo tega zaporedja Iz definicije se lahko izpelje: 1 1 +.y5 ) k _ ( 1 -.y5 )k )t« =-- ((----.:.- .y5 2 2 Prvih nekaj členov tega zaporedja je 1, 1,2,3,5,8, 13, .... Domnevamo, da je Vn = fn lfn+ l . Če v (3) vstavirnoa.> 1,dobimo: qj=qj+1 +qj+2 inpj=qj+l' Poleg tega je V 2 = 1/2. Oboje potrjuje našo domnevo. Zdaj lahko zaključimo: števec in imenovalec ulomka, ki ima kot verižni ulomek dolžino n, nista manjša od fn+ 1 oziroma če je maxint manjši od fn+ 1, potem je maksimalna dolžina verižnega ulomka na takem računalniku (n -1). V našem primeru mora biti maxi nt manjši od flo 2 (n = 101), da v programu "verižn i" (glej omenjeni čla­ nek) ne bo prišlo do prekoračitve . Na koncu naj dodamo, da je f l 0 2 = 9,274.10 2 0 . Za zapis tega števila bi rabili 70 bitov (2 7 0 > f l 0 2 > 26 9 ) oziroma 128-bitni računalnik, ker je dolži- na besede največkrat potenca števila 2. Roman Drnovšek Trojke Napiši "nesrečno" št ev i lk o 13 in "s rečno" številko 7 samo s pomočjo trojk! Prev., pri r. iz knjige M. Polonijo , Matematički problemi za radoznalce Dušica Boben 255 oce/-l'c /"01 ne: ."L_' I~L II u:__1 REŠiTVE NALOG s strani 243,251 ,255 T ROJKE DVOJČKI FI LATELlSTI UMETNIKI Ena od rešit ev: 13 = 3.3 + 3 + 3/3 7 = 3.3 - 3 + 3/3 Bojana in Ivo, Ana in Mojca, Cvetka in Emil, Davor in Miran Maskič je pisatelj, Kistič je igralec, Škrabal ič je glasbenik in Gudalovič je slikar. Dušica Boben Slikovna križanka z geslom rešitev . P/XII·4IZ ro~. " .,YI, .'"OAIGO OC ........ " ~..g U~..... P R E fvf I C A B E L I S K ti ... ," L I T E R A T A L E T K A :.'.:.~... A S I N A R A L I o ~~./, o V ~ ",, >tI •• ~~'r n_ N A ~.. I o ::il:: - _. .~- B R o A o K Af1_4, .~,~O -S T R o N A V T I K A IN A Z S ....,... . L G . ... Š ,_. R A K S A ' P o T N I H iz N A fvf K E Ž A ""·'C P K 'rl:: N T - A K I R A "1::':' R A,-, DC•••• .. ... 0 .:=.~. o A A L o A ,~ A N N _.. N A N A o-- _. GOI"~AI A .~ o R A L o R fvf A N ""' .OJ S K I A-- . ...T.. n .."", R S N o :l::~r. ~;'. . cU J E L A "". .. . ,..,.. .... E I . _~ I B A R I T o ~g$::' B A R'00<1': 0 TlI.e,," "'- "'" "U.." o R N A T I \I:~: ~: V I S K o Z Ac.c~., o- l!li:" A N T A R E S ••V'"" A K T I N I J 256 D07'ICIlD" L7,,' '__'1'LL"'L_ STO Med vsak par sosednjih cifer v zaporedju 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ali na začetek zaporedja vstavimo minus ,ali plus ali pa ju staknemo. Vrstnega reda cifer pri tem ne smemo spremeniti. Nato izračunamo vrednost tako do- bljenega izraza. Na primer: 9-8+7+65-4+32-1 = 100 -9-8+76-5+43+2+1 = 100 PO išči še druge izraze, ki imajo vrednost 1OO! Izraz z vrednostjo 100 lahko dobimo tudi v primeru , ko so cifre urejene v na- raščajočem vrstnem redu 123+4-5+67-89 = 100 Seveda ni ed ini. Dodajmo med operacije še množenje. Tedaj dobimo na primer : 9+8+7+654x3-2x1 = 1984 Na koliko različnih načinov lahko izrazimo števila 1984, 1985 in 1986? Čeprav se lahko naloge lotimo s svinčnikom in papirjem, je veliko enostavneje sestaviti kratek program in počakati, da računalnik izpiše rezultate. Naloga ni preobsežna, saj je število vseh izrazov v prvi oziroma drugi nalogi okrog deset tisoč, pri tretji pa okrog sto tisoč. Pošljite nam svoje rešitve! Vladimir Batagelj Bistrovidec D07'ICIlO" Il ,.. ", ' __I~LL','L_ NIKOLA TESLA MED IZUMITELJI Naš sodelavec Marko Petkovšek , asistent na oddelku za matematiko na fakulte- ti za naravoslovje in tehnologijo, je bil v lanskem šolskem letu na študijskem izpopolnjevanju v Združenih državah Amerike. Ves čas je preživel na univerzi v Puttsburghu, kjer je ena izmed dvoran posvečenaJugoslaviji, v njej pa original- na slika slovenskega slikarja Mateja Sternena "Jurij Vega". Ker smo v tujino kolegu redno pošiljali Presek, nam je poz imi poslal št iri znamke, ki jih objavlja- mo v tej številki Preseka. Vas mladi bralci, pa to pot vabimo, da v enciklopedi- jah poiščete imena slavn ih mož, katerih portreti so odtisnjeni na znamkah, in nam pošljete njihove kratke življenjepise . Nekatere znamke, ki nam jih je poslal naš bralec Majcen Dani iz Celja, smo objavil i v četrti številki Preseka v Slikovn i križanki . Žal niso tiskane v št irih barvah, ker si Presek v celoti tega ne more privoščiti. Vsekakor pa smo našemu novemu sodelavcu hvaležni za poslane znamke in za sodelovanje. Tudi drugi so nam poslali znamke. Izbor najlepših bomo objavili naslednje šolsko leto . Ciril Velkovrh