PRESEK - list za mlade matematike. fizike. astroname in računalnikarje 20. letnik. leto 1992/93. številka 4. strani 193-256 VSEBINA ASTRONOMIJA MATEMATIKA FIZIKA TEKMOVANJA NALOGE REŠiTVE NALOG NOVICE RAZVEDRilO NOVE KNJIGE NA OVITKU Severna krona (Ma rijan Prosen) 210- 213 Števila , ki so vsote dveh kubov (Ivan Vidav) 226-231 Ornamenti na ravn ini (M ilena Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . 244-249 Smučanje pri veleslalomu (Janez Strnad) 232- 236 Lom svetlobe za okras (And rej Likar) 256, III Program republiškega tekmovanja srednješolcev iz fizike (Ciril Dominko, Bojan Golli) 197-199 Naloge s 30. srednješolskega tekmovanja iz fizike (C iril Dominko, Bojan Golli) 205-209 18 . izbirno tekmovanje srednješolcev iz matematike - rešitve s str. 191 (Matjaž 2eljko) 214 -217 Popravek urnika tekmovanj iz matematike v letu 1993 (Darjo Felda) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 36. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije (Darjo Felda) : . . . . . . . . . . . . . . 238-241 27 . občinsko tekmovanje osnovnošolcev iz matematike - rešit ve s st r. 166 (Aleksander Potočnik) 250-252 1. državno tekmovanje osnovnošolcev iz matematike (Aleksander Potočnik) 253-255 Jetniki in kape (Neža Mramor) 193 Še ena iz številskih sestavov (Borut Campelj). . . . . . . . . . . . . . 199 Skrit račun (Presek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 231 Naloge za mlajše bralce (Borut Zalar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 249 Naloga za sistematične bralce (Borut Zala r) . . . . . . . . . . . . . .. 256 Potovanje Jacka Londona - s st r. 145 (Viktor' Velkavrh) .. . .. 196 Sprehajanje po krožnici - s str. 71 (Marko Lovrečič Saražin) 202-204 O zlati verigi - s str. 136 (Borut Zalar) 213 lzračunaj tetivo - s str. 129 (Marija Vencelj) . . . . . . . . . . . . . . 236 Križanka Ob stoletnici slovenskega matematika - s st r. 160 (Marko Bokalič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Naloga iz številskih sestavov - ~ str. 192 (Borut Č a rn p elj ] . . . 255 St efanova stoletnica (Janez Strnad) 194-196 Profesor Ivan Vidav - nagrajenec Republike Sloven ije za znanstveno delo (Marija Vencelj) . . . . . . . . . . . . .. 200-202 Ob 350. letn ici rojstva Isaaca Newtona (Roman Drnovšek) 218-222 Vabilo na marčevski mesečni sestanek Astronomskega - društva Javorn ik (Mirjam Galičič) 241-242 Obvestilo Maranda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Križanka Ob stoletnici smrti slovenskega fizika (Marko Bokalič) 224-225 Ni časa za šolo (Neža Mramor) 242 Utrinek (Janez Zupan) 255 Svatensson I., Miselni vzorci in spomin (Izidor Hafner) 217 Prosen M.. Mala astronomija (Bogdan Kilar) 222-223 Sitar S., Jožef Stefan (Tomaž Pisanski) 223 Grasselli J ., Diofantski približki (Boris Lavrič) 237 Zaobljena steklena kocka z mehurčkom zraka na sredi (foto Andrej Likar). Glej tudi članek na strani 256. . . . . . I Jo žef Stefan na znamki (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Potočnik na znamki (Marijan Prosen) . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . IV 193 JETNIKI IN KAPE Pred mnogimi leti seje neki kitajski mandarin odločil. da pomilosti nekaj svojih jetnikov. Poklical je trojico jetnikov in jim ukazal , naj se postavijo drug za drugim v vrsto . Potem jim je pokazal pet kap, dve beli in tri črne . Vsakemu jetniku so na glavo nataknili kapo, vendar nobeden ni videl barve svoje kape . Pač pa je tretji v vrsti videl kapi prvega in drugega, drugi je videl kapo prvega , prvi pa ni videl nobene kape . Mandarin je obljubil, da bo pomilostil vsakega , ki ugane barvo svoje kape . Drugi in tretji jetnik sta molčala in očitno nista vedela, kakšni sta barvi njunih kap . Prvi jetnik je malo razmišlj al, potem pa je mandarinu povedal barvo svoje kape . Kakšne barve je bila njegova kapa? Neža Mramor (Prirejeno iz knjige Miodraga Petkovi ča "Zanimljivi ma- ternati čki problemi ".) PRESEK list za mlade matematike, fizike. astronome in računalnika rje 20. letnik, šolsko leto 1992/93. številka 4. strani 193 - 256 UREDNiŠKI ODBOR: Vladimir Batagelj , Tanja Bečan (jezikovni pregled), Dušica Boben (oblikovanje teksta) , Mirko Dobovišek (glavni urednik), Vilko Dornajnko. Roman Drnovšek (novice) , Darjo Felda (tekmovanja) , Bojan Golli, Marjan Hribar, Boštjan Jaklič ( tehnični urednik), Martin Juvan (računalništvo),Sandi Klavžar, Edvard Kramar, Boris Lav rič , Andrej Likar (fizika) , Matija Lokar , Franci Oblak, Peter Petek, Pavla Ranzinger (astronomija), Marjan Smerke (svetovalec za fotografijo), Miha Štalec, Jana Vrabec (nove knjige), Marija Vencelj (matematika, odgovorna urednica) . Dopisi in naročnine: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - Podružnica Ljubljana - Komisija za tisk, Presek, Jadranska c. 19 , 61111 Ljubljana, p.p . 64, tel. (061) 265-061/53 , št. LR 50101-678-47233. Naročnina za šolsko leto 1992/93 po 1.11 .1992 je 800 SIT, za skupinska naročila šol 640 SIT, posamezna številka 160 SIT, za tujino 12000 LIT, devizna nakazila SKB banka d.d . Ljubljana, val-27621- 42961/9, Ajdovščina 4, Ljubljana. List sofinancirajo MZT, MŠŠ in MK Ofset tisk DELO - Tiskarna , Ljubljana Po mnenju MZT št. 415 -52/92 z dne 5 .2 .1992 šteje revija med proizvode iz 13. točke tarifne št. 3 zakona o prometnem davku , za katere se plačuje 5% prometni davek. Tekst je oblikovan z računalnikom SLlM 286, ALTECH, Ljubljana © 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1141 I'/O/i/CE . STEFANOVA STOLETNICA 7. januarja je minilo sto let od smrti slovenskega fizika Jožefa Stefana , ki je odkril zakon o sevanju. To je edini fizikalni zakon, ki nosi ime po kakem Slovencu . Pot do njega je bila zavita in maloje Stefanu pomagala tudi sreča . Poskusimo na kratko opisati glavne korake na tej poti. Stefana je zelo zanimala termodinamika , ki se je začela razvijati z od- kritjem energijskega zakona sredi prejšnjega stoletja . Pozneje se je razvila kinetična teorija plinov, ki je lastnosti plinov pojasnila z zamislijo , da jih ses- tavlja množ ica drobnih molekul. Te se hitro gibljejo in trkajo med seboj in s steno posode. Med drugimi pojavi so raziskali v njenem okviru tudi prevaja- nje toplote v plinu. Napovedi o tem pa ni bilo mogoče preskusiti . Dotlej še nikomur ni uspelo , da bi prevajanje toplote v plinu zajel z merjenjem. Toplota prehaja s telesa na telo z nižjo temperaturo pri prevajanju, kon- vekcij; in sevanju. Pri prevajanju prehaja skozi rnirujočo snov, na primer skozi stene hladilnika . Pri konvekciji jo prenaša tok plina ali kapljevine, na primer pri sušenju las s suš ilnikom. Sevanje lahko potuje tudi skozi prazen prostor , na primer s Sonca na Zemljo. Prevajanje toplote v plinu je mogoče raziskati , če izločimo konvekeijo in sevanje . Stefan je izmeril prevajanje toplote v tanki plasti zraka ali drugega plina med valjastima bakrenima posod icama (slika 1) . Plast je bila tako tanka , da se v njej ni mogla razviti konvekcija , temperaturi obeh posodic pa sta se tako malo razlikovali , da je bilo sevanje zanemarljivo. Svoje ugotovitve je Stefan objavil v letih 1872 in 1875. Z njimi je podprl napovedi kineti čne teorije plinov, med njimi tudi napoved, da prevajanje v plinu ni odvisno od tlaka. Sevanje so tedaj opisovali z zakonom, ki sta ga leta 1817 postavila Francoza Pierre Louis Dulong in Alexis Thčrese Petit . Segreto dokaj veliko bučko živosrebrnega termometra sta zaprla v večjo hlajeno kroglasto posodo in opazovala , kako' hitro se je ohlajala . Merjenje sta ponavljala pri vse nižjem tlaku in se nadejala , da sta i z l oči l a prevajanje in konvekeijo , ko je tlak padel na nekaj tisočin navadnega zračnega tlaka . Stefan je na osnovi svojih merjenj vedel , da sta se sicer izognila konvekciji , ne pa prevajanju. Na pomanjkljivost Dulong-Petitovega zakona je Stefana opozorila ne- navadno nizka t emperat ura sončnega površja , ki jo je napovedal zakon . Poskušal je najti boljši zakon . Postavil je domnevo , da je gostota energij- skega toka , to je energija, ki jo izseva kvadratni meter površja segretega telesa v sekundi , sorazmerna s potenco absolutne temperature. To tempera- turo z n ičlo pri -273 "C so začel i uporabljati v kinetični teoriji plinov in je Dulong in Petit še nista poznala . Zakaj je Stefan tako domneval, ni povedal. Irskega fizika in kemika Johna Tyndalla je zanimala infrardeča svetloba , to je nevidna svet- loba z večjo valovno dolžino , kot jo ima rdeča svetloba. S termobaterijo je meril gostoto e- nergijskega toka te svetlobe , ki ga je oddajala platinska žička , ko jo je segrel z električnim to- kom . Toda niso ga zanimale podrobnosti in ni meril temperature , navedel je samo barvo, v kateri je žarela žička . Med drugim je ugotovil, da je gostota energijskega toka pri belem žaru žičke l1,7-krat večja kot pri temnem rdečem žaru. Pisec uspešnega učbenika termodinamike Adolph Wi.illner je navedb i barve dodal poda- tek o temperaturi: temno rdečemu žaru 525 °C in belemu žaru 1200 0c. Jožef Stefan je poz- nal podatka v učbeniku in je izračunal absolutni temperaturi : (525 + 273) stopinj = 798 stopinj in (1200 + 273) stopinj = 1473 stopinj . (Dan- danes v tej zvezi ne govorimo o stopinjah , ampak okelvinih.) Ugotovil je, da je moral razmerje temperatur potencirati s 4 , da je dobil prib ližno 11,7. Tako je prišel leta 1879 do zakona , ki ga imenujemo po njem : I j = aT4 . V njem jej gostota energijskega toka, T ab- solutna temperatura in aStefanova konstanta . Stefan je izračunal površinsko temperaturo Son- ca in kot prvi dobil smiseln podatek okoli 6000 kelvinov . 195 s R r G N B '------.. ....----'C Naprava, s katero je Jožef Stefan prvi izmeril toplotno prevodnost plinov. Med valjast ima bakrenima posodica- ma je bila tanka plast zraka ali kakega drugega plina . No- tranja posodica je bila priključena na živosrebrni mano- meter. Stefan je napravo potopil v vodo s kosi ledu in opazoval, kako je pojemal tlak in z njim temperatura v notranji posodici. fi J 196 Stefan je mislil , da njegov zakon samo nekoliko bolje opiše sevanje teles kot Dulong-Petitov . Toda pokazalo se je , da je zakon pomembnejši in ve- lja popolnoma splošno , a le za telo , ki vse vpadlo sevanje absorbira. Tako telo , imenovali so ga črno, pri dani temperaturi od vseh teles najmočneje seva. Stefanov u čenec Ludwig Boltzmann je leta 1884 zakon izpeljal s ter- modinamičnimiprijemi . Podrobno raziskovanje sevanja črn ega telesa je Ma xa Plancka in druge fizike pripeljalo na prag kvantne fizike. Jožef Stefan je bil kot fizik vsestranski : delal je poskuse , meril (pri toplotni prevodnosti plinov), računal (pri zakonu o sevanju) in segel na vsa območja tedanje fizike . Poleg tega je v mladosti pisal slovenske pesmi in poljudnoznanstvene sestavke in jih objavljal v tedanjih revijah . Prvi je tudi opozoril na pomen Prešerna za Slovence . Janez Strnad Stefanova življenjska pot 24.3 .1835 je bil rojen pri Sv .Petru, ki je zdaj del Celovca . 1845 začne obiskovati gimnazijo v Celovcu . 1857 opravi profesorski izpit in napiše prvo znanstveno razpravo . 1858 opravi strogi izpit in dobi naslov doktor . 1860 postane dopisni član akademije znanosti . 1863 postane najmlajši redni profesor na Avstro-Ogrskem . 1865 prejme Liebenovo nagrado ter postane redni član akademije znanosti in direktor fizikalnega inštituta na univerzi. POTOVANJE JACKA LONDONA - Rešitev s str. 145 V zgodbi zvemo, da bi dodatnih 50 milj potovanja s polno hitrostjo skrajšalo potovanje za 1 dan . Le bi se torej Jack London vozil še 100 mi lj s polno hitrostjo , bi bilo potovanje krajše za dva dni in bi prispel v tabor v predvidenem easu. Od tod sklepamo, da je po prvem dnevu ostalo do konca potovanja še 100 milj . Ker je pisatelj teh sto milj vozil s ~ polne hitrosti in pri tem izgubil dva dni , je za ta del poti potreboval 5 namesto 3 dni. Polna hitrost bi torej bila IgO milj na dan . Od tod pa že lahko izračunamo, da je razdalja od Skagwaya do tabora enaka 133~ milje . Viktor Velkavrh PROGRAM REPUBLIŠKEGA TEKMOVANJA SREDNJEŠOLCEV IZ FIZIKE Zaradi spremenjenih programov fizike v srednjih šolah je Komisija za popu- larizacijo fizike v srednji šoli spremenila program v posameznih tekmovalnih skupinah . SPLOŠNA PRAVILA 1. Skupine A, B in C približno obsegajo snov prvega , drugega in tretjega letnika novega programa za gimnazije. Dijaki z gimnazij praviloma tekmujejo po tem razporedu, dijaki z drugih srednjih šol pa izberejo skupino, ki najbolj ustreza njihovemu znanju in zanimanju . Dijaki, ki so veni od teh skupin že osvojili nagrado, naslednje leto ne morejo ponovno tekmovati v isti skupini. 2. Skupina D obsega nekoliko skrajšan program mednarodnega tekmovanja (fizikalne olimp iade) in je namenjena predvsem dijakom četrtega letnika . V tej skupini lahko nastopijo tudi uspešni dijaki nižjih letnikov. 3. Dijaki, ki se bodo udeležili mednarodne olimpiade, bodo izbrani med najuspešnejšimi tekmovalci iz skupine D. 4. Tekmovalci v skup inah B in C morajo imeti pregledno znanje snovi iz predhodne skupine A oziroma skupin A in B. 5. Za reševanje naloge zadošča znanje srednješolske matematike. Znanje integriranja ali reševanja diferencialnih enačb ni potrebno. 6. V nalogah lahko nastopajo novi fizikalni pojmi , pojavi in naprave, ki se pri pouku ne obravnavajo , če so v nalogi posebej opisani in razloženi . 7. Pri reševanju nalog lahko dijaki uporabljajo računalnik, srednješolski učbenik fizike in fizikalni priročn ik. Raba zbirk rešenih nalog ni dovoljena. 7. Tekmovalci rešujejo praviloma štiri naloge . Za reševanje imajo na razpo- lago 2.5 polne ure v skupinah A, B in eter 3 ure v skupini D. 8. Komis ija si bo prizadevala , da bo v prihodnje vsaj v skupini D tudi eksperimentalni del tekmovanja . Skupina A Statika - Sile. Ravnovesje točkastega telesa . - Navor. Ravnovesje togega telesa . Težišče . - Elastične sile. Hookov zakon. Raztezanje žic. Stislj ivost. 198 Hidrostatika - Hidrostatični tlak . Vzgon . - Površinska napetost. - Boylov zakon . Gibanje - Premo enakomerno in neenakomerno gibanje. Skupina B Sestavljena gibanja . - Vodoravni in poševni met. - Enakomerno in neenakomerno kroženje. II. Newtonov zakon . - Sile pri kroženju. - Gravitacijska sila. Gibalna količina - Izrek o gibalni količini . Sila curka . - Izrek o ohranitvi gibalne količine. Trki . Energija - Kinetična, potencialna , prožnostna energija. Energijsk i zakon . - Delo. Moč . Toplota - Toplotno raztezanje snovi . - Plinski zakoni (izotermna , izohorna in izobarna sprememba) . - Kalorimetrija . - Prevajanje toplote. Skupina C Električni tok - Ohmov zakon . Kirchhoffovi zakoni . - Električno delo. Moč. Električno polje Električna sila . Električna poljska jakost. - Električno polje točkastih nabojev . - Električno polje ravne plošče in kondenzatorja . - Influenca . - Energija električnega polja . Magnetno polje - Magnetna sila. Magnetni navor . - Magnetno polje dolge tuljave in ravne žice. - Energ ija magnetnega polja . Snov v električnem in magnetnem polju . Gibanje nabitih delcev v električnem in magnetnem polju . Indukcija pri premikanju vodnika v magnetnem polju . Indukcijski zakon . 199 Skupina O Mehanika - Newtonovi zakoni. Gibalna količina. Kinetična in potencialna energija. Delo. Moč . Ohranitveni zakoni . - Kroženje . Gravitacija . - Vrtenje togega telesa okoli stalne osi . Navor. Vrti Ina količina . Vztrajnostni moment. Kotaljenje. Toplota - Plinska enačba . - Kinetična teorija plinov . - Notranja energija. Delo. Toplota. - Izotermna in adiabatna sprememba . Toplotni stroji. - Prevajanje toplote . Elektrika in magnetizem - Električna sila. Jakost električnega polja . Potencial. - Kapaciteta kondenzatorja . Dielektrik. - Ohmov zakon . Kirchhoffovi zakoni. Delo in moč pri stalnem in izmeničnem toku. - Magnetno polje ravnega vodnika in dolge tuljave. Sila in navor v magnetnem polju. - Indukcijski zak on . Induktivnost tuljave. - Izmenični tok skozi kondenzator in tuljavo . - Gibanje delcev v električnem in magnetnem polju. - Električne naprave in inst rument i. Nihanje in valovanje - Nihalo na vzmet. Te žno nihalo. Energija nihanja . - Električn i nihajn i krog. Energ ija kondenzatorja in tuljave. - Valovanje na struni in na vodni površini. Zvok . - Valovni pojavi . Interferenca , odboj , lom , lastna nihanja , uklon elektromagnet- nega valovanja na rež i in rnre žici. - Geometrijska optika . Enačba leče. Enačba presl ikave. - Sevanje črnega telesa. Wienov in Stefanov zakon. Delci in valovanja - Fotoefekt. Energija in gibalna količina fotona . - De Brogliejeva valovna dolžina delcev v curku. - Energijski nivoj i v vodikovem atomu . Optični spektri . - Radioaktivnost. Razpadni čas . Razpolovna debel ina . - Energijske bilance pri jedrskih reakcijah . Ciril Dominko, Bojan Golli ŠE ENA IZ ŠTEVILSKIH SESTAVOV Reši enačbo lICa) . 44(c) = 88(d) - 22(b) ' če velja, posamezno števko števila - in bazo, v kateri je število nastopajočih številih enaka. da je razlika med zapisano, pri vseh Borut Lampe!j PROFESOR IVAN VIDAV - NAGRAJENEC REPUBLIKE SLOVENIJE ZA ZNANSTVENO DELO Slovenske matematikeje pred novim letom razveselila vest , da je naš u či­ telj prof. dr. Ivan Vidav ede n od do- bitnikov prvih državnih nagrad Re- publike Slovenije za znanstveno de- lo. In to tiste z najuglednejšim pred- znakom - za življenjsko delo . Preseku je še posebej v čast , da tako velik znan stvenik kdaj pa kdaj napiše prispevek tudi zanj . V tej št evilki objavljamo nagrajenčev č l a n e k o številih , ki so vsote dveh kubov. Kot naročen je prispevek ob podel itvi nagrade že čakal priprav- ljen na Presekovi uredniški mizi. Tako nam ene od profesorjevih dejavnosti - skrbi za popularizacijo matematike - ni potrebno posebej predstavljati . Skrbna razlaga obravnavane snOVI, IZ katere veje ljubezniva naklonjenost tudi do manj veš čega bralca Preseka , govori sama zase . Rojen na Opčinah pri Trstu je profesor Vidav odraščal in do matu re obiskoval šolo v Mariboru . Nato je na Univerzi v Ljubljani študi ral mate- matiko . Sam pravi, da ga je v matematiko privedlo pravzaprav zanimanj e za ·ast ronomijo . Kakorkoli že, komaj tr iindvajse t leten je ne le diplomiral , am- pak tudi že kar doktoriral iz matematike. Njegova doktorska diserta cija o Kleinovih izrekih v teoriji diferencialnih ena čb sodi še v k lasično matematiko. Že s tem delom je profesor Vidav močno opozoril matematični svet nase, njegov veliki učitelj Josip Plemelj pa je spozna l, da je rešen skrbi za svoje nasledstvo v slovenski matematiki. Znanstveno delovanje profesorja Vidava se je kmalu razširilo in preus rne- rilo na sodobnejša matematična področja. Z njegovim delom je postala ana l- iza vodilna smer v slovenski matematiki . Pojmi kot so Banachove algebre, C*-algebre in algebre ope ratorjev na Hilbertovem prostoru , krepko zvezne pol- grupe , anal iti čne funkcije z vrednostmi v normiran ih prostorih bralcem Preseka seveda ne pomenijo veliko. Zato povejmo le, da je profesor Vidav sam ali s 201 sodelavci napisal kar štirideset znanstvenih člankov, leta 1970 dobil Kidričevo nagrado za delo s področja krepko zveznih polgrup in njihovo uporabo v fiziki, po vsem svetu pa je postal znan z delom o metrični karakterizaciji sebi adjungiranega operatorja na Hilbertovem prostoru . Eden najglobljih rezultatov v algebri operatorjev upravičeno nosi tudi njegovo ime: Vidavov in Palmerjev izrek. Matematično delo profesorja Vidava pa ni omejeno le na znanstveno raziskovanje. Prav nasprotno! Nagrajenec je eden tistih neverjetnih in redkih ljudi , ki ob vrhunskem znanstvenem delu najdejo dovolj časa in volje tudi za zavzeto pedagoško in široko strokovno delo. To trditev potrjuje okoli trideset prispevkov za slovenski strokovni reviji Obzornik za matematiko in fiziko in Presek ter kar osemnajst napisanih knjig . Poleg učbenikovvišje matematike in monografij , napisanih kot pomoč pri dodiplomskem in podiplomskem študiju matematike , najdemo v zbirki tudi tri knjige, namenjene srednješolcem in ljubiteljem matematike.* Vsaka njegovih knjig je zgled povezave matematične strogosti in izjemne razumljivosti . Tudi kot univerzitetni učitelj matematike je profesor Vidav opravil ve- likansko delo . Dolga leta je zaradi pomanjkanja kadrov opravljal z velikim · pedagoškim žarom in nedosegljivo kvaliteto najmanj dvojno učno obveznost. Predaval je številne specialne matematičnepredmete za študente matematike , nekaj časa tudi višjo matematiko za študente tehniških fakultet . Njegova za- sluga je tudi organizacija znanstvenega dela iz matematike pri nas . Bil je prvi pobudnik podiplomskega študija matematike na ljubljanski univerzi in ob njegovem začetku prevzel glavnino dela kot predavatelj in mentor. Tako je kar šestnajst slovenskih doktorjev matematike izdelalo svojo disertacijo pod njegovim vodstvom . Naš profesor kljub upokojitvi leta 1986 še sedaj predava v okviru podiplomskega študija za matematike-pedagoge. Se bi lahko pripovedovali o njegovem delu v Društvu matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, a naj za mlade Presekove bralce zaključimo s po- datkom, da je bil vrsto let tudi predsednik komisije za tekmovanja mladih matematikov . Za svoje delo je prejel številna družbena priznanja, ki pa so ob njegovi veliki skromnosti pomeni la več njegovim sodelavcem in učencem , kakor nje- mu samemu . Tako je dobitnik Prešernove nagrade za leto 1952, Kidričeve nagrade leta 1970, nagrade AVNOJ leta 1981 in Žagarjeve nagrade za leto Mladim bralcem utegne biti še posebej všeč knjižica Rešeni in nerešeni problemi matematike, ki jo lahko kupite ali naročite po po šti pri Komisiji za tisk DMFA , Jadranska 19, Ljubljana, tel. (061) 265-061/ 53 . 202 1988. Leta 1958 je bil izvoljen za dopisnega člana Slovenske akademije znanosti in umetnosti, od leta 1962 pa je njen redni član . Je zaslužni profesor Univerze v Ljubljani , kar je najvišji naziv , ki ga podeljuje slovenska Alma mater . Spoštovanemu profesorju iskreno čestitamo k nagradi in mu hkrati vošči­ mo vse lepo tudi ob življenjskem jubileju. Marija Vencelj SPREHAJANJE PO KROŽNICI - Rešitev s str. 71 Namesto da bi oštevilčili n točk na krožnici, zapišimo števila od 1 do n kot zaporedje: . 1, 2, 3, . . . , n - 2, n - 1, n. (1) Prečrtajmo vsak drugi člen tega zaporedja, začenši z 2 . S tem obdržimo natanko vsa liha števila in sedaj imamo dve možnosti: • n = 2nI je sodo število. Ostanek zaporedja je . 1, 3, . . . , 2nI - 3, 2nI - 1. 5tevilo nI je prav število členov novega zaporedja. Naslednji člen, ki ga je treba prečrtati, je 3 ; • n = 2nI + 1 je liho število. V tem primeru je ostanek zaporedja 1, 3, .. . , 2nI - 1, 2 nI + l . Zadnje prečrtano število je bilo 2nl , torej moramo naslednjič prečrtati 1, ker 2nI + 1 ostane. Dobimo 3, 5 , . . . , 2nI - 1, 2nI + 1. Tudi v tem zaporedju je število členov enako nI . Naslednji člen, ki ga je treba prečrtati, pa je 5. Oba primera, tako sodi kot lihi , lahko spravimo pod skupno streho na naslednji način: Naj bo n = 2nI + co, pri čemer je Co enak bodisi O (n je OCC/-' IC /\101 tlt:"L_' II~L 111L__l sodo) bodisi 1 (n je liho). Uvedimo oznake Xl = 1, X2 = 2, '" , Xn-l = n - 1, Xn = n za člene zaporedja (1) in konstru irajmo novo zaporedje s predpisom Yi = x2i+2co-l, (2) pri čemer; preteče vsa naravna štev ila od 1 do nI . V novem zaporedju imamo nI členov in naslednji , ki ga je treba prečrtati, je Y2 . Nato pa se vsa zgodba ponovi! ~tevilo nI je bodisi sodo ali liho, zato je nI = 2n2 + CI, pri čemer je Cl enak O ali 1. Upoštevajmo pravilo (2) tako, da nadomestimo X z Y in Co s Cl , ter naredimo novo zaporedje Zi = Y2i+2cl-I· (3) Tokrat; teče od 1 do m- V izrazu (3) lahko Y2i+2cl-I nadomestimo z izrazom (2) in dobimo Zi =Y2i+2cl-I = x2 .(2i+2q-I)+2co-1 = x4i+4q +2co-3 ' Le upoštevamo. kako so bili definirani Xl • . . . , X n , pa lahko zapišemo Zi = 4; + 4CI + 2co - 3. Poleg tega velja S ponovitvijo postopka pridelamo naslednje zaporedje členov Wi, za katerega velja w; = Z2i+2 c2 - I = 8; + 8C2 + 4CI + 2co - 7. Tukaj ; teče od 1 do n3 . pri čemer je oz = 2n3 + C2 in C2 je enak O ali 1. Seveda je n = 4n2 + 2CI + Co = 8n3 + 4C2 + 2CI + Co. Sponavljanjem postopka tako pridobivamo nova zaporedja, ki so podzaporedja prejšnjih in imajo čedalje manj členov . Le je na k-tem koraku število členov enako nk . Je Posamezen člen pa se izraža z 204 Ker število č l e n ov v zaporedjih pada , bomo po končno mnogo korakih os- novno zalogo števil " i z č r p a l i". Naša naloga pravzaprav sprašuje po zad njem preostalem številu , torej po zaporedju opisane oblike z enim samim č l en om . Pa naj bo nk = 1 za neki k. Tedaj iz (4) sledi n = 2k + 2 k - 1Ck_1 + .. .+ 2q + Co, Co, Cl, . . · , Ck-1 E {O, 1}, kar je dvojiški zapis števila n , ki ima k + 1 mest . Sedaj zlahka izračunamo krožn i ostanek an števila n , saj je to edini č l en tega zadnjega zaporedja. Dobimo ga , če v (5) postavimo i = 1: an = 51 = k k 2 2k= 2 + 2 Ck-1 + .. .+ 4C1 + Co - + 1 = = 2k Ck-1 + ...+ 4C1 + 2co + 1. Navodilo za konstrukcijo krožnega ostanka je torej naslednje : V dvo- jiškem zapisu števila n prestavimo vodi lno enico (tj. tisto z leve strani) na konec (desno stran). pa dobim o krožni ostanek, zapisan v dvojiškem sestavu. 5 e eno navodilo dobimo, če nekoliko preračunamo: k an = 2 ck -1 + ... + 4Cl + 2Co + 1 = = 2 . (2 k - 1ck _ 1 + ...+ 2q + co) + 1 = = 2 . (2 k + 2k -=l ck _ 1 + + 2q + Co - 2 k ) + 1 = = 2 · (2 k + 2 k - 1Ck_1 + + 2q + co) - 2k+1 + 1 = =2n - 2 k+1 + 1. Ker je k + 1 število mest v dvojiškem zapisu za n, je k edino celo število z lastnostjo 2k :s n < 2k +1 . Za kro žni ostanek torej velja formula an =2 n - 2r + 1, kjer je r najmanjše celo število , za katerega je 2r > n . P ri n = 2001 je np r. 211 > 2001 > 210 in an = 2 . 2001 - 211 + 1 = 4002 - 2048 + 1 = 1955 . Dvojiški zapis je običajni način predstavitve števil v ra čunaln iku . Naloga za računalnikarje : Sprogramirajte "prestavljanje vodilne enice na konec"! Marko Lovrečič Saražin ~"-'/ITll-'I' ior« 1" , ' . . ."len _vnllLn · . • ~ ~ 1~ • • • NALOGE S 30. SREDNJEŠOLSKEGA TEKMOVANJA IZ FIZIKE Kot smo obljubili v prejšnji številki Preseka, objavljamo besedila nalog, ki so jih tekmovalci reševali 23. maja 1992 v Celju. Rešitve bomo objavili v naslednji številki. Skupina A 1. Vlak prične voziti enakomerno pospešeno s postaje. Tretji vagon vozi mi- mo nas 3,0 s. l.ez koliko časa po tistem , ko je mimo nas odpeljal tretji vagon , pripelje do nas vagon , ki bo mimo nas vozil le 1,0 s? Na začetku speljevanja stojimo pri prednjem odbijaču prvega vagona . (Dolžino vago- na merimo od začetka prednjega odbijače do konca zadnjega odbijača .) 2. Na ravni podlagi stoji pravilna 4-stranična piramida, katere stranske ploskve so enakostranični trikotniki s stranicami 1,0 m. Teža piramide je 800 N, koeficient lepenja med piramido in podlago je 0,60 . V kateri višini moramo potiskati na stransko ploskev s silo 450 N v vodoravni smeri, da se piramida prevrne preko roba? V kateri višini pa, če je sila 600 N? Rešitve komentiraj! 3. Zgraditi želimo balon, ki bo nosil skupno težo 2000 N in bo napolnjen s helijem s specifično težo 1,6 N/m3 . Na razpolago imamo dovolj platna, zanima pa nas, ali bo dovolj trdno . Natezno trdnost platna določimo tako, da na primer 1 dm širok trak platna obremenimo v smeri vzdolž traku in izmerimo silo, pri kateri se trak strga . Izračunaj , kolikšna vsaj mora biti natezna trdnost platna , da se balon pri počasnem dviganju ne bo raztrgal. Specifična teža zraka je 12 N/m3 . 4. V spodaj odprtem valju z maso 500 g, presekom osnovne ploskve 100 cm2 in višino 20 cm je bat z maso 100 g, ki je z lahko vzmetjo s koeficientom 200 Nim pritrjen na zgornjo (notranjo) osnovno ploskev valja. Na vrhu valja je majhna luknjica. Valj postavimo navpično in vzmet se ravno toliko raztegne, da pride bat do spodnje osnovne ploskve valja . Potem zamašimo luknjico in valj previdno spustimo v vodo z gostoto 1,0 kg/m3 tako, da se med potapljanjem ne prevrne . Izračunaj, kako globoko se potopi spodnja osnovna ploskev valja. Bat dobro tesni. 206 Skupina B 1. Skozi cev, ki je ukrivljena kot kaže slika a, teče voda . Kolikšen naj bo kot ep , da bo na koleno cevi delovala sila , ki bo po velikosti enaka polovici sile, ki deluje na koleno, če je cev ukrivljena za kot 180 0 (Glej sliko b)? a) b) 2. Sa tel it kroži v ekvatorialni ravnin i Zemlje z zahoda proti vzhodu . Nad določeno točko na Zemlji se poja vi vsakih 11 ur. Na kolikšni višini kroži sa te lit? Masa Zemlje je 6 ,0 . 1024 kg, radij Zemlje je 6400 km , grav itacijska konstanta pa 6 ,67 . 10-11 Nm2/kg2 . 3. Plošča drsi s hitrostjo 2,0 mis po ravni podlagi brez trenja . Nanjo pade z višine 1,0 m v reča peska, ki ima enako maso kot plošča , in obleži na plošči . lzra č unaj hitrost p lošče po padcu vreče peska . lzra ču naj še , s katere višine moramo spustiti vrečo peska na ploščo, da se ta hipoma ustavi, če j e koeficient tre nja med podlago in ploščo 0,2, hitrost plošče tik pred padcem v r eče nanjo pa 2,0 mis. 4 . Votlo aluminijasto kroglo z zunanjim premerom 20 cm in debelino sten 1,4 cm ohladimo in potopimo v vodo pri O°e. Kolikšna mora biti začetna temperatura krogle , da bo ta po daljšem ča su lebdela v vodi? Gostota alumin ija je 2,70 kg/dm 3 , vode 1,00 kg/dm3 in ledu 0,92 kg/dm 3 . Specifična ta liina toplota ledu je 336 kj/kg, specifična toplota alum inija pa 880 Jkg-1K-1. Skupina C 1. Kondenzator s kapaciteto 0,01 f.LF je nabit na 1000 V, kondenzator s kapaciteto 0,5 f.LF pa na 400 V. Pri prvem poskusu zvežemo obe pozi- t ivni elektrodi preko upornika za 1000 kf2 in obe negativni elekt rodi preko enakega upornika . P ri drugem poskusu pa en kondenzator obrnemo , ta ko da sta preko upornikov povezan i pozitivna z negativno in negativna s poz- itivno elektrodo . Za oba poskusa izra čuna]. kolikšni sta končni napetosti in kolikšen del za čet ne energije se pretvori v toploto na upornikih? 207 2. Na dveh velikih navpi čnih ploščah na medsebojni razdalji 20 cm je enakomerno razmazan naboj , na levi je površinska gostota 10-5 As/m2, na desni pa -10-5 As /m2. Z majhno kroglico z 'maso 5 mg se naj- prej dotaknemo leve plošče . Pri tem steče na kroglico v t renutku naboj 10-10 As. Kroglico nato postavimo na sredino med plošči in jo sunemo navpično navzgor . l.ez nekaj časa se kroglica vrne nazaj v začetno točko . Skiciraj pot kroglice. Trk kroglice s ploščo je prožen. a) S kolikšno hitrostjo smo kroglico izstrelili? b) Z diagramom prikaži odvisnost vodoravne komponente sile od vodo- ravne komponente hit rosti kroglice za časovni interval, v katerem se kroglica večkrat odbije. 3. Vodnik , po katerem teče tok 1000 A, se nahaja v ravnini kvadratnega ž i č n ega okvira s strani co 1 m. Okvir vlečemo stran od vodnika s kon- stantno hitrostjo 5 m is . Pri tem sta dve stranici okvira vzporedni z vodnikom . S kolikšno silo vlečemo okvir v trenutku , ko je bližja stranica okvira od vodnika oddaljena 10 cm? Upor okvira je 10-3 n. 4. Vodoraven curek enkrat ionizira-nih atomov 12e pospe šimo z napetostjo 400 V in nato vodimo skozi komoro z dolžino 1 dm, v kateri je elektri čno polje 105 VIm v navpi čni smeri. a) Določi gostoto in smer magnetnega polja v komori, pri kateri se curek ne bo odklonil. b) Za koliko se curek odklon i od vodoravne smeri, če se hitrost ionov spremeni za 0,1 %? c) Hitrosti ionov v curku niso enake , temveč so porazdeljene v do- ločenem inte rvalu okoli hitrosti, pri kateri se curek ne odkloni . Do- loči širini hitrostnega intervala , če curek naredi pego z višino 1 mm na zaslonu na steni komore, ki je na nasprotni strani vstopne odpr- tine . Masa atoma ne je 2,0 .10-26 kg, osnovni naboj pa 1,60 .10-19 As. Skupina D Opomba: Zaradi velikeg a števila vprašanj tekmovalna komisija ne pričakuje, da boš odgovoril na vsa zas tavljena vprašanja . Vendar upoštevaj, da bomo pri izbiri ekipe za mednarodno olimpiado z večjo težo upoštevali pravilne odgovore na 4. nalogo. 1. Po klancu z naklonom 10° se brez drsenja kotali cev s tanko steno in z maso 4 kg. V cevi je palica valjaste oblike in z maso 0,5 kg, ki se prav tako kotali brez drsenja . Ko telesi spustimo , je palica v taki legi, da se 208 glede na cev med kotaljenjem ne premika. a) Kolikšen je pospešek sistema? b) Kolikšen kot oklepa zveznica med osje cevi in osjo palice s pravokot- nico na klanec? Privzameš lahko , da so vsi koti majhni, kar pomeni, da za majhen kot a velja cosa == 1 in sina == o . 2. Iz vrvi naredimo krožno zanko in jo vrtimo v vodoravni ravnini z veliko kotno hitrostjo WQ okrog navpične osi . Kolikšna je lahko frekvenca stoječega valovanja, ki nastane na vrvi? 3. Vodoraven curek enkrat ioniziranih atomov 12C pospešimo z napetostjo 400 V in nato vodimo skozi komoro z dolžino 1 dm, v kateri je elektri čno polje 105 Vjm v navpični smeri . a) Določi gostoto in smer magnetnega polja v komori, pri kateri se curek ne bo odklonil. b) Za koliko pa se curek odkloni od vodoravne smeri, če se hitrost ionov spremeni za 0,1 %? c) Hitrosti ionov v curku niso enake , temveč so porazdeljene v do- ločenem intervalu okoli hitrosti, pri kateri se curek ne odkloni . Do- loči širini hitrostnega intervala , če curek naredi pego z višino 0,3 mm na zaslonu na steni komore, ki je na nasprotni strani vstopne odpr- tine. d) Razpršenost hitrosti je posledica visoke temperature ionov predno jih začnemo pospeševati. Oceni to temperaturo. Osnovne konstante: NA = 6,02.1026 kmol- l , Co = 3,0.108 mjs, eo = 1,602.10-19 As, k = 1,38 .10-23 JjK. 4. Izkoristek svetleče diode (LED) določamo z merjenjem svetlobnega toka (svetlobne moči), ki ga dioda oddaja, in merjenjem električne moči , ki jo troši. Svetlobni tok merimo s fotodiodo . V svetleči diodi se del električne energije porablja za vzbujanje elektronov v višji nivo. Ko se vzbujen elektron vrne v osnovni nivo, odda foton z energijo : W r = hcj). , če je h Planckova konstanta, c hitrost svetlobe in Avalovna dolžina oddane svetlobe. Izkoristek diode vpeljemo kot razmerje med oddanim energijskim tokom svetlobe in električno močjo P, ki jo troši dioda: TJ = j P. Ko svetloba pade na občutljivo površino fotodiode, del fotonov izbije nekaj elektronov iz kovine in v fotodiodi steče tok . Kvantni izkoristek fotodiode vpeljemo kot q = Nej Nr , če je Nr število vpadlih fotonov in Ne štev ilo izbitih elektronov v izbrani časovni enoti . 209 Podatki za fotodiodo so: kvantni izkoristek fotodiode občutljiva površina fotodiode valovna dolžina svetlobe q = 0 088 3 mmx3 mm A =635 nm. Pri eksperimentu merimo padec napetosti UFO na 1 MQ-skem uporniku, ki je zvezan zaporedno s fotodiodo. Merimo še tok (1LEO) in napetost ( UL E O) na svetleči diodi . Rezultati značilne meritve so zbrani v tabeli : UFO [V] I LEO [J.L A] ULEO [V] UFO [V] I LEO [J.L A] U L E O [V] 1.806 2.70 1.752 0.903 1.123 1.7 05 1.637 2.30 1.742 0.711 0.889 1.7 08 1.511 2.08 1.735 0.448 0555 1.673 1.225 1.61 1.722 0.315 0.410 1.6 59 1.117 1.4 3 1.718 0.192 0.258 1.6 37 Napetost na fotodiodi, ko nanjo ne svetimo s svetlečo diodo, je 0.006 V. a) Določi, pri katerem toku skozi fotodiodo ima svetleča dioda največji izkoristek. b) Da določimo največji izkoristek svetleče diode. moramo izmeriti še celotni svetlobni tok <1>, ki ga svetleča dioda oddaja . Pri meritvi privzamerno , da dioda seva svetlobo v obliki stožca. Fotodiodo pre- mikamo v radialni smeri od osi stožca in na različnih oddaljenostih ri od osi izmerimo naslednje napetosti: ri [mm] UFO [V] r : UFO r, UFO r: UFOI I I O 1.8 33 15 0.997 30 0.681 45 0.082 3 1.906 18 . 0 .642 33 0.266 48 0.071 6 1.8 46 21 0.313 36 0 .119 51 0.066 9 1.750 24 0.343 39 . 0 .097 54 0 .050 12 1.347 27 0.637 42 0.089 57 0.045 c) Skiciraj in komentiraj, kako si predstavljaš eksperimentalno posta- vitev in nariši električno vezje . d) Ali lahko iz zgornjih meritev oceniš napako rezultata( (Prirejena eksperimentalna naloga z XXI. mednarodne olimpiade na Nizozem- skem.) Ciril Dominko, Bojan Golli OC-Ol1"'l1'''' lO, ,_, 1" _, , _ , m: , , SEVERNA KRONA Vneti opazovalci nočnega neba so že davno opazili, da sedem s prostim očesom vidnih zvezd med ozvezdjema Volarja in Herkula oblikuje skupinico, ki je razporejena v polkrogu in spominjajo na krono . Zato so to skupinico zvezd poimenovali kar ozvezdje Krona. Pozneje so ozvezdje preimenovali v Venec , ker so na zvezdnih kartah začeli upodabljati ozvezdje Južna krona. Danes najdemo v zvezdnih kartah obe: Južno in Severno krono . (Glej Karti severnega in južnega neba, Presekova knjižnica 31, 1989 .) Severno krono z lahkoto izsledimo na nebu . Posebno lepo je vidna z lovskim daljnogledom . V sred ini te majhne, a silno ljubke skupinice zvezd leži najsvetlejša med njimi (0:). To je zvezda Alfeka (Gemma), kar po naše pomeni Biser (sl ika 1) . Slika 1. Del pomladnega zvezdnega neba , ki prikazuje tudi lego ozvezdja Severna krona (Corona Borealis). Ozvezdje je vidno od marca do oktobra . Ozvezdje Severna krona je s svojimi sedmimi v značilnem polkrogu raz- porejenimi zvezdami podžigalo ljudsko domišljijo, da je spletla o njem številne zgodbe. Eno od njih smo priredili za bralce Preseka . Vzeli smo jo iz grške 211 mitologije. Pripoveduje o snidenju prelepe Ariadne, hčerke kretskega kralja Minosa, z zmagoslavnim grškim herojem Tezejern in o njunem žalostnem slovesu. (V enciklopediji ali zgodovinskem učbeniku preberi mit o Tezeju, kajti tu bomo povedali le tisti del zgodbe, ki je povezana z zvezdnim nebom.) Ko je Tezej premagal strašno pošast , krvoločnega Minotavra (ki so mu morali prinašati v labirint najlepše mladenke in najpostavnejše mladeniče, da jih je požrl) in se je z Ariadnino pomočjo vrnil iz labirinta, se je odločil , da z otoka odpotuje domov v rodno Grčijo. S seboj je odpeljal Ariadno, ki se je v Tezeja zaljubila. Na poti domov se je Tezej izkrcal na otoku Naksosu . Tu se mu je v sanjah prikazal bog rodovitnosti, vina in veselja Dioniz in mu rekel, da so bogovi pravzaprav njemu namenili Ariadno za ženo. Tezej si ni upal biti neposlušen do bogov. Z veliko žalostjo v srcu je zapustil otok , kjer je na skalnati obali še spala Ariadna . Njena glava je bila ovenčana z zlato krono, v katero so bili vgrajeni rubini. To krono (venec), ki jo je skoval sam bog ognja in kovaških spretnosti Hefajst, je Tezeju slovesno izročila nereida Tet ida kot svatbeno darilo. Ko se je Ariadna zbudila in spoznala, da jo je zapustil nezvest i Tezej , je začela iz obupa jokati. Približal se ji je Dioniz. S čela ji je snel krono in jo vrgel v nebo. Medtem, ko se je dvigala, so se njeni dragoceni kamni spreminjali v zvezde in se utrdili na nebesnem svodu tako, da so se ohranili v obliki krone . Ariadna, razočarana nad nezvestim Tezejem, ki mu je z zvijačo rešila življenje in si zato nakopala očetovo jezo , je bila ginjena nad nenadno čudovito prijetno spremembo, da pred njo stoji sam bog Dioniz. In privolila je, da postane njegova žena . Zvezdna krona na nebu pa naj ostane tam za vse večne čase kot spomin na Ariadnino lepoto in ljubezni bogov do nje. Na zvezdnih kartah so Severno krono prikazovali kot lovorjev venec, tiaro, venec iz ptic , cvetov, listov (slika 2). (esto jo imenujejo Ariadnina krona, Hefajstova krona, Srebrno kolo, Ščit , Krožnik. Pri nas je zanjo udomačeno ime Kolo svete Katarine ali tudi Marijina krona. To naj bi bilo kolo, na katerem so do smrti i z rn u či li sv. Katarino okrog leta 305 v Aleksandriji . V tem ozvezdju je leta 1866 izbruhnila slavna nova - zvezda T Severne krone . Nenadoma je zablestela in bila osem dni tako svetla kot zvezda Biser, potem pa je njen sij hipno zbledel in zvezda je postala nevidna. Leta 1946 je ta zvezda ponovno tako močno zasveti la in po kratkem času spet ugasnila . Gre za ponavljajoče se novo. Mnogo ljubiteljev astronomije usmerja svoje daljnoglede v to področje neba, da bi morda spet zapazili porast sija te zvezde. 212 a) c) b) Slika 2. Ozvezdje Severna krona, kot so ga prikazovali v zvezdnih atlasih : a - 17 . stoletje, b - 18 . stoletje, C - 19 . stoletje. Še bolj zanimiva pa je spremenljivka R Severne krone . Običajno izbruh snovi iz notranjosti zvezde povzroči povečanje sija zvezde. V nekaterih prime- rih pa gre za bolj zamotan pojav, pri katerem izbruh snovi iz notranjosti zvezde v vrhnje plasti zvezdne atmosfere ne povzroči zvečanja sija, ampak prav obratno - oslabljenje . Take so na primer zvezde tipa R Severne krone . Danes je znanih le okoli petdeset zvezd te vrste. Prvo, to je prav R Severne krone , je odkril angleški astronom Pigott že leta 1785 . (Tedaj je bila to deveta po vrsti odkrita spremenljivka; danes je znanih okoli 30 000.) Taka zvezda ima navadno sij, ki je na meji vidnosti človeškega očesa (6 m) . To je njen maksimalni sij . Nenadoma , povsem nepričakovano, njen sij zelo oslabi, tako da zvezdo lahko opazujemo le z daljnogfedom . Zmanjšanje sija (svetlobe) ni vedno enako (slika 3) . Vse zvezde te vrste so nadorjakinje. Spreminjanje njihovega sija lahko opazujemo z daljnogledom manjše povečave. Marijan Prosen 213 l:tt]AJlJOtli1J 1860 1865 1870 l : t~l~rl I ] 1875 1880 1885 1890 I : ~ 1895 1900 1905 1: 1910 1915 1920 Slika 3. Spreminjanje sija zvezde R Severne krone od 1859 do 1924. Zakaj pride do takega spreminjanja sija? Najbrž gre za občasne izbruhe plinastega ogljika, ki v hladnejših plasteh zvezdne atmosfere kristalizira in tvor i grafitne oblake. Ti vpijejo (absorbirajo) svetlobo, ki prihaja iz notranjosti zvezde. o ZLATI VERIGI - Rešitev s str. 136 Vitez lahko ostane v gostilni vseh šest dni. Ne smete spregledati, da lahko gostilničar vrača vitezu "drobiž" . Plačilo poteka takole: Najprej vitez prepili četrti obroček in tako dobi verigo (1,2,3), verigo (5,6) in poškodovani obroček (4). Prvi dan da gostilničarju obroček (4) . Drugi dan mu da verigo (5,6) in dobi nazaj obroček (4). Tretji dan mu da verigo (1,2,3) in dobi nazaj verigo (5,6). Letrti dan mu da še obroček (4) . Peti dan mu da verigo (5,6) in dobi nazaj obroček (4), ki ga šesti dan preda gostilničarju, in odjezdi naprej brez prebite pare v žepu . Borut Zalar · -'-'//"'-l" tor« l"Ic" ''-'1' m u: " 18. IZBIRNO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV IZ MATEMATIKE - Rešitve s str. 191 Prvi letnik 1. Kvadrat celega števila ima lahko pri deljenju s 3 ostanek O ali 1. 5tevilo 3x +y ima enak ostanek pri deljenju s 3 kot y , zato leva stran ne more imeti ostanka 1 pri deljenju s 3; tak ostanek pa ima desna stran, saj je 1111 = = 370·3 + 1. 2. Ni težko videti , da morajo biti števila x, y in z različna . Ker je sistem neenačb simetričen v vseh treh spremenljivkah, lahko predpostavimo, da x < < Y < z. Iz druge neenačbe sledi f(x - y) < x - y , od koder dobimo po deljenju z (x - y) < O neenačbo f > 1. Ker je z > y , mora biti y > O. Iz tretje enačb e podobno izpeljemo neenačbo f > 1. Ker je z > y , mora biti z < O. Skupaj z neenakostjo y > O pa pridemo v protislovje spredpostavko y < z. Takih števil torej ni. 3. Ker je LOBA = LOCA = f , je kot LAD B pravi in leži zato točka O na krogu , očrtanem tr ikotn iku l::!,.ABC. Ker je CE simetrala kota LACB. velja: AC = BC . Od tod sledi AE = (/ AE BE A('·AB . be .-1 B AC + BC ' ozrrorna m = a+b ' Računajmo: PADE = ~m. OD = - ime - 4(~~2b) in PAEC = - lm v - 1 m . ab - ~ Tore;' D- 2 e - 2" e - 2(a+b)" u- P _ P + P _ be2+2ab A D C - ADE AEC - 4(a+b) . 4. Pobarvajmo polja al , b2, c3, d4 , e5, f6 , g8 in f7 črno , vsa ostala pa belo. Drugi igralec lahko vedno premakne trdnjavo na č rn o polje , saj mora prvi vedno premakniti f ig ur o na belo polje in je na začetku ig re figura na črnem polju. Ker je polje h8 belo, bo drugi igralec pri opisani st rategiji vedno zmagal. Drugi letnik 1. Postavimo koordinatno iz ho d i š če v središče trikotniku očrtanega kroga . Potem so krajevni vektorj i oglišč trikotn ika enako dolgi in s skalarn im pro- 215 duktom lahko preverimo , da ima višinska točka trikotnika krajevni vektor h= =a+b+c. Iz pogoja naloge sledi Ih-al = lal oziroma (h-a).(h-a) = a·a. Od tod izpeljemo b· c= - !,kar nam da LBAC = f. 2. Izraz preoblikujemo : xO u· ' /, , h , r ' t hI, .r IJ . 1 / / ( . V točki x = O pa funkcija ni definirana. 3. Enakost ploščin trikotnikov 6ABT, 6BCT in 6CAT nam da: !aha = !bhb = ~ . !ab. Sledi: ha = ib in hb = ~a . Po Pitagorovem izreku dobimo x2 = = (la? + (~b)2 in y 2 = (~a)2 + + db? V trikotniku 6ABT ve- lja c2 = x 2 + y 2 - 2xy cos tp ln !xy sin tp = tab . Sledi: ctg tp = ~~:: = -~C~ + ~) . 4. Z Sl. 52 , 53 in 54 označimo vsote na mejnih ploskvah. Ker vsak rob pripada dvema mejnima ploskvarna , je SI + 52 + 53 + 54 = 2(1 + 2 + ...+ 6) = 42. 5tevila Si ne morejo biti enaka , saj 42 ni deljivo s 4. Tretji letnik 1. Ker je piramida pokončna , je AD = BO = d in zato iz pogoja LA O B = = ~ sledi BA = dV2. Polmer kroga , očrtanega trikotniku ABC je r = = abtp/2 , kjer smo za = BC in b = AC označili neznani dolžini stranic, s p pa p loščino tega trikotnika . Z upoštevanjem zveze p = iabsin tp izpeljemo r = 2~Ynt. Pri pokončni tristrani piramidi sovpada nožišče višine piramide s središčem osnovnici očrtanega kroga in lahko izračunamo višino piramide po Pitagorovem izreku : h = d , h -~.1 . Prostornina piramide je torej :V Sin ep 216 2. Ker sta števili ain b racionalni, je 2 + ..fitudi rešitev enačbe. Po Vietovi f 1, id v .. k čb 10 5ormu I naj emo se tretji oren te enac e: 3(2-'I2)(2+J2) = 3 ' 3. Piši mo p(x) = anxn + an_lX n- l + ...+ alx + ao. Za poljubni različni vrednosti x in y binom (x-y) deli p(x)-p(y), saj so vsi členi v p(x)-p(y) oblike ak(x k - yk) za k = 1" , ., n. Tak polinom ne obstaja , ker 6 - 2 = 4 ne deli p(6) - p(2) = 2. 4 . Z elementarnimi trigonometrijskimi transformacijami pokažemo, da je f( x) == log2 povsod, kjer je f sploh definirana . Očitno je T> f = IR\ {J + br ; k E Z:}. Četrti letnik 1. Splošni člen aritmetičnega zaporedja z diferenco d in začetnim členom al je an = al + (n - l)d. Potem velja 16 = a4 + aa + an + a13 = 4(al + 8d) in al + a2 +. " + a17 = 17(al + 8d) . Iskana vsota je torej 68 . 2 . Ni težko preveriti , da se lahko kvadrati celih števil končajo le na 1, 4 , 5, 6, 9 in O, Le je zadnja števka 5, mora biti predzadnja 2; vsota števk tega števila je 999 ·5 + 2 == 2 (mod 3). Le se število konča na 50 , 51, 54 ali 59 , pa iz 50 == 2 (m od 4) , 51 == 3 (mod 4) , 54 == 2 (mo d 4), 59 == 3 (mod 4) sledi trditev naloge, saj ima kvadrat naravnega števila pri deljenju s 4 lahko ostanek le O ali 1. Le pa se število konča na 56, je vsota števk 999 ' 5 + 6 == O ( moci 3) in 999 ,5 + 6 t:. O (moci 9) . Tudi v tem primeru število ni popolni kvadrat, saj je deljivo s 3, ni pa deljivo z 9. 3. Iz rekurzivne zveze dobimo z odštevanjem (n + l)(n + 2)f(n + 1) - n(n + l)f(n) = (n + l)f(n + 1). Od tod izpeljemo (n + l)f(n + 1) = nf(n) = ... = 2f(2). Seveda je f(2) = l. Od tod ni več težko videti f(1992) = 19292 f(2) = 3J"a4 ' 2 2 4. Gorišči elipse z enačbo \ + y2 = 1 (a > b) sta FI = (O, -e) in a b F2 = (O , e , kjer smo označili e = Ja 2 - b2. lskano gorišče je torej F = = (O, 132 - 12 ) = (0 ,5). Stevilska izsrednost elipse je E: = ~ = 153 in 217 od tod ni težko opaziti , da je podana premica ravno vodnica elipse. Lastnost vodnice pa je d(F, T) 5 E. = ---:._~ air, T') 13 Iskano razmerje lahko i z ra ču n amo tudi analitično . Matjaž Željko POPRAVEK URNIKA TEKMOVANJ IZ MATEMATIKE V LETU 1993 Izbirno tekmovanje za srednješolce bo v soboto , 17. aprila , državno pa 22. maja. Darjo Fe/da Svantesson I., MISELNI VZORCI IN SPOMIN, Cankarjeva založba, Ljubljana 1992, str. 94 Miselni vzorci so posebna tehnika zapisovanja . Ta se od običajnega (Iinearne- ga ) zapisovanja stavkov drugega za drugim razlikuje po strukturi , ki odraža zgradbo in odnose med rečmi , ki jih opisujemo. Spoznali bomo , kaj mise lni vzorci so , kako jih sestavlja mo in uporablja- mo . Pri te m ima posebno vlogo iskanje ključnih besed , to je nosilk informacije . Knjiga pojasnjuje tud i delovanje možganov, tipe spomina in načine ur- jenja spomina z uporabo mnemonike. Kot primere uporabe miselnih vzorcev pisec navaja reševanje problemov , obnav ljanje in povezovanje (knj ig, predavanj) , nevihto možganov in porajanje misli te r zapisovanje (na sestankih , predavanjih) . Pogrešamo pa primere uporabe v matematiki . Posledica takšnega načina dela je krepitev spomina , prihranek časa , urejenost pri delu in razvijanje kreativnosti . Knjigaje napisana v enostavnemjeziku, obogatena z mnog imi ilustracija- mi, zato bo razumljiva tud i mlajšim . Izidor Hafner OB 350 . LETNICI ROJSTVA ISAACA NEWTONA Sir Isaac Newton , eden največjih učenjakov vseh časov , je bralcu bolj ali manj dobro znan . Newtona poznamo predvsem kot utemeljitelja osnovnih zakonov fizike, manj pa kot matematika , ki je razvil za sodobno znanost tako nujno potrebni orodji, kot sta diferencialni in integralni račun . Po takratnem julijanskem koledarju je bil Newton rojen na božičn i dan leta 1642 v Woolsthorpu v Angliji, po današnjem gregorijanskem koledarju pa je njegov rojstni datum 4. januar 1643 . Rodil se je po očetovi smrti in prezgodaj, tako da so ga komaj ohran ili pri življenju . Mati se je čez tri leta pono vno poročila in pustila malega Newtona pri starih starših . Kot otrok Newton ni bil dovolj močan, da bi sodeloval v nasilnih igrah svojih vrstnikov . Zato si je poiskal tako zabavo , kjer se je lahko pokazal njegov genij . Po lastnih načrtih je konstruiral različne mehanske naprave, kot so zmaji , sončne ure, vodne ure , lutke. V prvih letih šo lanja se je Newton zdel rahlo počasen pri učenju in ni kazal pretiranega zanimanja za šolo . Nekoč ga je napadel razredni nasilnež, ki pa je bil tud i najboljši učenec v razredu. Po nasvetu enega od učiteljev ga je Newton izzval na pošten boj in ga premagal. Od tedaj je poleg svojih pesti poskušal prav tako dobro uporabljati tudi svojo glavo in kmalu postal najboljši učenec v šoli. Preden se je vpisal na univerzo, je pomagal materi na kmetiji . (Njegov očim je bil tedaj že mrtev.) Menda se je izkazal za najslabšega poljedelca na svetu . Njegov stric , ki je predaval na koledžu Trinity v Cambridgeu in je kmalu odkril Newtonovo nadarjenost, si je prizadeva l, da bi študiral v Camb ridgeu . To se je leta 1660 tudi zgod ilo in štiri leta kasneje je Newton diplomiral, vendar brez posebnih odlik . V letih 1664 in 1665 se je po Londonu razširila epidimija kuge , zato se je Newton pred prežečo nevarnostjo umaknil na materino kmetijo , kjer je imel veliko časa za razmišljanje . Tedaj naj bi (star komaj 23 let) odkril infinit ezimalni račun, ki vključuje odvajanje in integriranje funkcij . Neodvisno od njega je do enakih rezultatov prišel tudi nemški filozof in matematik Gottfried Leibniz (1646 - 1716) , s katerim se je kasneje Newton zapletel v borbo za prvenstvo. Ko so namreč "navadni" ljudje zvedeli za izredno pomembnost infinitezimalnega računa (čeprav večina ni vedela , kaj to sploh je) , je naenkrat postalo pomembno, kdo ga je odkril: Anglež ali Nemec . Zato danes osnovnemu izreku analize, ki povezuje odvajanje in integriranje funkcij, pravimo Newton-Leibnizova formula . Newton se je takrat ukvarjal tudi z neskončnimi vrstami in med drugim posplošil binomski izrek . S pomočjo 219 indukcije je lahko pokazati , da za poljubni realni števili a ln b ter poljubno naravno število n velja zveza (a + bt = an + n an-1 b + ...+ (~) an- k bk + ...+ na bn- 1 + b" kjer smo (za k = 1,2,3, .. . n) vpeljali binomski simbol ( n) = n· (n - 1) . . . . . (n - k + 2) . (n - k + 1) k 1·2·3· .. . - k Newton je to formulo razširil na primer , ko je n poljuben ulomek. Tedaj se vsota na desni ne konča , pač pa se nadaljuje v neskončno vrsto . (Bralec naj sam poskusi zapisati vrsto za funkcijo .;r+X.) Na materini kmetiji se je Newton tud i začel spraševati , če ista sila , zaradi katere pade j a bo lko z drevesa navpično na tla , drži v svojem prijemu tudi Luno. To je bila začetna misel, ki je vodila do odkritja osnovnega zakona gravitacije . Newton je teoretično dokazal, da je pospešek premo sorazmeren gravitacijski sili, ki upada s kvadratom razdalje od središča Zemlje. Z upoštevanjem , kolikokrat je zemeljska gravitacija na oddaljenosti Lune manjša od tiste na površju Zemlje , je izračunal pospešek Lune. Ker je bila ta vrednost za eno osmino manjša od izmerjene vrednosti , je podvomil o pravilnosti svoje teorije in je zato nadaljno obravnavanje problemov gravitacije odložil za približno petnajst let . V teh letih se je Newton ukvarjal tudi z optiko. Eksperimenti s svet- lobo in tako dobljena spoznanja so mu prinesli slavo . Leta 1667 se je vrnil v Cambridge in čez dve leti nasledil svojega profesorja matematike Isaaca Bar- rowa (1630 - 1677) , ki je odstopil profesorsko mesto svojemu nedosegljivemu učencu. Newton j e izdelal tudi zrcalni daljnogled, ki zbira svetlobo z odbojem paraboličnih zrcal in ne več z lomom pri prehodu skozi lečo. O njem je leta 1672 poročal Kraljevi družbi in kmalu nato je bil izvoljen za njenega člana. Zanimivo je, da so tudi današnji teleskopi grajeni po zgledu Newtonovega . Leta 1684 je Newtona njegov prijatelj Halley (1656 - 1742) vprašal, kako bi se gibali planeti, če bi med njimi obstajale privlačne sile, ki bi upadale s kvadratom razdalje . Newton , ki se je s tem vprašanjem že ukvarjal , mu je takoj odgovoril, da po elipsah in da je to tudi dokazal. Na tem mestu velja pripomniti, da je Newton vedno odlašal z objavo svojih rezultatov, ker se je po objavah že večkrat sprl s svojimi kritiki . Tokrat pa ga je Halley le prepričal, naj o vsem tem napiše knjigo . Tako je leta 1687 (na Ha lleyeve stroške) izda l knjigo , ki velja za največje znanstveno delo , kar jih je bilo kdaj napisanih . 220 Leta 1731 so v ča st Isaaca Newtona sko- vali medaljo v kovnici v londonskem Towru. Na eni strani je podoba slavljenca , na drugi pa ale- gor i čna figura matematike z lat inskim napisom "Felix cognoscere causas" (Srečnež, ki pozna vzroke) . Podoba prikazuj e Znanost, ki v rokah drži upodobitev sončnega sistema . \...-. , ../' f -, -.j / . \::-... f -~ - / ,/ /' /' . , ti •.~,#..., I J , ;:'c-.t, -, 1 J. Strnad: Do Newtonovih zakonov - Ob tristoletnici "Principov", Presek 14 (1986/87), štev. 7 Njen naslov je Philosophiae Naturalis Principia Mathema- tica oziroma v prevodu Mate- matični principi naravoslovja in je, kot je bilo takrat v navadi, napisana v latinščini. V njej je Newton na eleganten način po- dal celotno podobo vesol ja. Ja- sne razlage in privlačne mate- matične izpelj ave so v evropskih učenjakih vzbujale občudovanje in spoštovanje. Presek je "Prin- cipom" ob tristoletnici njihovega nastanka posvetil celo številko.1 Potem ko je leta 1687 New- .ton pred kraljem Jakobom II. us- pešno branil pravice univerze v Cambridgeu, so ga izvolili za po- slanca v parlamentu . Hodil j e na vse seje , vendar ni nikoli govo- ril. Ob neki priložnosti je sicer vstal , zato so vsi onemeli, da bi slišali velikega znanstvenika . To- da Newton je le prosil , naj zaradi prep iha zaprejo okno. Petdesetleten je Newton doživel živčni zlom in skoraj dve leti preživel v odmaknjenosti. Nekateri mislijo , da se je pri al- kimističnih poskusih zastrupil z živim srebrom ali s talijem, drugi pa so prepričani , da so neverjetni napori osemnajstmesečnega pi- sanja "P rincipov" zahtevali svoj davek . 221 Leta 1696 je bil Newton imenovan za nadzornika državne kovnice denarja , čez tri leta pa je napredoval do upravn ika kovnice. Na tem mestu je bil odgovoren za kovanje denarja . Imenovanje je bilo sicer za Newtona velika čast , vendar se je s tem prekinilo njegovo znanstveno delo. Novo delovno dolžnost je izpolnjeval s takšnim zagonom, da je povzročil pravo revolucijo . Postopke kovanja denarja je izpopolnil do take mere , da je postal strah in trepet ponarejevalcev . 5vicarski matematik Johann Bernoulli (1667 - 1748) in nemški mate- matik Gottfried Leibniz sta leta 1696 evropskim matematikom postavila dva problema. Eden izmed njiju je naslednji problem : Zamislimo si dve točki , ki j u slučajno izberemo v prostoru , vendar ne na isti višini. Po kakšni krivu- lji se mora brez t renja in samo pod vplivom sile teže gibati točka, da bo v najkrajšem času prispela iz zgornje točke v spodnjo? To je tako imenovani problem brahistokrone (= najkrajšega časa) . 2 Potem ko so se evropski ma- tematiki z njim ukvarjali že šest mesecev , je zanj zvedel Newton. Utrujen od težkega dela v kovnici se je pravkar vrnil domov . Problem je rešil še isti dan in njegovo rešitev (skupaj z rešitvijo drugega problema) anonimno sporočil Kraljevi družbi . Ko je Bernoulli videl rešitev, je v trenutku prepoznal avtorja. "Prepoznal sem leva po njegovih šapah ," je vzkliknil. Newton je bil trdno prepričan v obstoj vsevednega Stvarnika vesolja, sam sebi pa se je zdel kot deček, ki se igra na morski obali in se zabava s tem , da občasno najde kako lepo školjko, pri tem pa pred njim leži veliki ocean resnice popolnoma neodkrit. Da je bil res zelo skromen (ali pa se je znal takega delati) , vidimo iz nekega leta 1676 napisanega pisma, kjer je zapisal : "Le sem videl dlje kot drugi ljudje, je to zato, ker sem stal na ramenih velikanov." Seveda so tudi drugi ljudje v tistem času stopali na ramena ist ih velikanov, toda le Newton je videl najdlje . Veliki učenjak je bil vedno zelo prevzet s svojim delom in zato odmaknjen od dogajanj v okolici. O njegovi raztresenosti kroži precej zgodb . Le gre verjeti eni izmed njih, je Newton nekoč pri jahanju razjahal svojega konja in ga začel voditi po klancu navzgor. Ko pa je hotel konja ponovno zajahati, je presenečen ugotovil, da v roki drži samo uzdo , medtem ko se njegov konj veselo potepa naokrog. 2 Radovedni bralec si lahko rešitev tega problema ogleda v knjigah F. Križanič: Navadne in parcialne diferencialne ene čbe, 1. Vidav : Variacijski račun. 222 Newton je bil že za življenja spoštovan kot malokateri znanstvenik . (Z njim se morda lahko primerjata le grški matematik Arhimed in nemški fizik Einstein .) Dosegel je vsa priznanja in časti , na katera lahko človek v svoji akademski karieri tiho upa . Vse od leta 1703 do smrti je bil predsednik Kraljeve družbe, leta 1705 pa mu je kraljica Ana podelila plemiški naziv. Ko je 20. 3. 1727 v Londonu umrl , so ga z vsemi častmi pokopali v westminstrski opatiji . Veliki francoski književnik Voltaire (1694-1778) , ki je bil takrat v Angliji na obisku , je z občudovanjem ugotavljal , da so matematika počastili, kot drugod počastijo le kralje . Roman Drnovšek Prosen M., MALA ASTRONOMIJA, Math, Ljubljana 1991, 96 str. Pri založbi Math d.o .o. v Ljubljani je leta 1991 na 96 straneh izšla knji- ga astronoma Marijana Prosena : MALA ASTRONOMIJA. Plodoviti pisec je tokrat dopolnil slovensko poljudno-znanstveno astronomsko literaturo s knji- go , ki na relativno malo straneh veliko pove. Knjigi se pozna , da je pisana s pedagoškimi izkušnjami in z ljubeznijo do stroke, ki ji avtor pripada . Knjiga je namenjena predvsem srednješolski mladin i, dobrodošla pa bo vsakemu , ki želi dobiti o sodobni astronomij i kolikor toliko zaključeno osnovno podobo. Knjiga je pisana tako, da bralca spodbuja k premišljevanju in samostoj- nemu študiju ter daje tudi navodila za preprosta astronomska opazovanja . Snov je razpo rejena v 6 poglav ij. Uvodnemu poglavju Ast ronom ija - naravoslo vna veda , sledijo poglavja : Nebesna krogla , Opazovalne naprave , Osončje , Zvezde , Galaksije. Bralcu bosta ob zaključku knjige dobrodošla povzetek obravn avane snovi in sklep , ki nakazuje pot naprej . Na koncu vsakega poglavja so vaje in vprašanja , ki naj vzpodbudijo k samostojnemu delu in študiju . K temu naj pripomore seznam Viri in literatura , kjer so naveden i v slovenskem jez iku dostopni poljudni članki in knjige iz astronomije. V Dodatku nahajamo 4 zvezdne karte (žal brez razlage za uporabo) ter mnoge koristne podatke in tabele o Zemlji, Soncu , Luni, planetih in zvezdah . Slike so primerne, tekst pri nekaterih slikah pa preskop , nekaj jih je brez teksta (npr. slika na strani 33) . Ra čuna lniške slike so zanimive, vendar so nekatere blede oziroma premalo kont rastne (sliki na straneh 32 in 47) . Žal na svet u skoraj ni knjige brez pomanjkljivosti . Tako tudi Mala astronomija ni izjema : Na strani 11 beremo razlago (slika in tekst) , da je Veliki voz le del ozvezdja Velikega medveda , na straneh 82 in 91 pa avtor Ursa Major prevaja z Veliki voz. Obrazec za izračun zemljepisne širine na strani 16 je napačen, tekst in slika pa sta pomanjkljiva . Obrazec na strani 20 spodaj velja tudi v primeru , če je deklinacija negativna . Na strani 24 se je za premer Sonca zap isalo 1,4 milijarde km namesto 1,4 milijona km, na strani 51 2000 planetoidov namesto 4000 , na strani 86 pa letnica 1848 namesto 1846. Tekst v zgledu na strani 53 je pomanjkljiv, saj bralcu ni kar tako jasno, zakaj velja a = r /2. Moti tudi neskladnost nekaterih podatkov: Na strani 31 ima Uran 5 satelitov, na strani 86 pa 15. Na strani 42 je navedeno , da vsebuje Sonce 330000 Zemljinih mas , na strani 84 pa 333000 mas Zemlje. Na strani 67 je oddaljenost Sonca od središča Galaksije 30000 svetlobnih let, na strani 87 pa 25000 . Zelo dobrodošlo bi bilo tudi stvarno kazalo , ki pa ga knjiga nima. Navedene pomanjkljivosti (ki jih skrben pregled lahko odpravi) bistveno sploh ne zmanjšujejo vrednosti knjige; zato jo priporočamo vsem, ki jim je namenjena. Bogdan Ki/ar Sitar S., JOŽEF STEFAN, Park, ljubljana 1993, 176 str. Večina študentov po svetovnih univerzah med študijem nikoli ne sliši za dosežke kakega Slovenca . Po drugi strani pa je nemogoče študirati fiziko kjerkoli na svetu , ne da bi trčil i na delo in ime slovitega Slovenca Jožefa Stefana , ki je umrl pred 100 leti. Žal se le redki fiziki po svetu zavedajo, da je bil Stefan Slovenec, pa tudi sam i se prema lo zavedamo, da je mogoče z našo znanostjo vsaj tako uspešno promovirat i Slovenijo, kakor je to mogoče na primer z literaturo. Precejšnji del Sitarjeve odlične knjige govori o razmerju med umetnostjo in znanostjo , saj je mladi Stefan deloval tudi kot pesnik in publicist . To pa ni edino, v čemer se Sitarjevo delo loči od običajne biografije. Poleg Stefanovega življenja in dela je v knjigi skiciran tudi razvoj slovenske fizike skupaj z drugimi zanimivimi zgodovinskimi podatki , ki Stefana plastično postavljajo v čas in prostor ter osvetljujejo neizbrisno sled, ki jo je ta veliki Boltzmannov učitelj zapustil nam vsem . Prepričan sem, da bo lahko knjiga služila inventivnemu učitelju v šoli za obvezno branje in govorne vaje , saj kar spodbuja diskusije, v katerih bodo lahko učitelji in učenci dopolnjevali avtorjeve pouda rke, pa če se z njegovimi . pogledi strinjajo ali ne. Menim, da knjiga sodi na police vsakega mladega razumnika . Tomaž Pisanski 224 KRIŽANKA @ WOČAN ~ l'CM\bl.VlNASTA ET1OP8l' t 8lCNENSlQ ~" , lOPAR , . ',o' ;I.~ ~ ~ t\~. JMEZ I8lR'lAD \;:. " /' .::tk,- ~.. / o' ~ :~ oo PM y in, ker sta x in y naravni štev ili, je x najmanj za 1 veeji od y , torej x ~ y + 1. Zato velja ocena Potemtakem je 3y2 < m in od tod y < Jm/3 . 229 V izraz m + x 3 vstavimo za x po vrsti O, 1, 2, ... do največjega naravnega števila , ki ne presega Jm/3 , in vsakokrat pogledamo, ali je ta izraz popolni kub. Tako spet v končno mnogo korakih ugotovimo, ali je enačba (5) rešljiva in, če je , najdemo rešitev. Zgled 1. Naj bo m = 169. Tu je Jm/3 = J169/3 < S. V izraz 169 + x3 vstavimo za xštevila od Odo 7. Pri x= 7 dobimo popolni kub x 3 + 169 = 73 + 169 = 343 + 169 = 512 + S3. Zato je 169 razlika dveh kubov naravnih števil: 169 = S3 - 73. Ker lahko pišemo 169 = S3 + (_7)3 , je 169 tudi vsota dveh kubov celih števil. Zgled 2. Vzemimo m = 200, tako da je J m/3 = J200/3 < 9. Preskus pokaže, da izraz 200 + x 3 ni popolni kub za nobeno naravno število x med O in S. Zato število 200 ni razlika dveh kubov. Le ima enačba (1) dve različni rešitvi v celih številih x in y , smo izrazili m na dva načina kot vsoto dveh kubov celih števil. Najmanjši pozitivni m, pri katerem obstajata dve taki rešitvi , je 91. Imamo namreč Ali obstajajo naravna števila, ki se dajo na tri različne načine izraziti kot vsote dveh kubov celih števil? Obstajajo in celo taka so, ki jih lahko izrazimo na več kakor tri načine . Kako pridemo do njih? Ena metoda je tale: Namesto celoštevilskih rešitev enačb e (1) iščemo njene racionalne rešitve, to je take, kjer sta x in yracionalni števili. Seveda je vsaka rešitev v celih številih tudi racionaina rešitev, narobe pa ne velja in je zato racionalnih rešitev v splošnem dosti več kakor celoštevilskih. Izkaže se, da ima enačba (1) pri nekaterih m celo neskončno racionalnih rešitev (celoštevilskih pa je vselej le končno mnogo) . Povejmo brez dokaza , da to velja pri m = 7 in m = 9. Tukaj tudi ne bomo opisovali metod, ki nas privedejo iz danih racionalnih rešitev do novih takih rešitev . Naj bo torej m število, pri katerem ima enačba (1) neskončno racionalnih rešitev , in naj bo r > 1 poljubno naravno število . Izberimo si r racionalnih rešitev enačb e (1) , ki jih zaznamujmo z (6) Za vsak indeks i velja zveza xr + yr = m. Vsi Xi in Yi so racionaina števila in se dajo zato zapisati v obliki okrajšanih ulomkov . Le je D najmanjši skupni imenovalec teh ulomkov, so DXI, DYI, DX2, DY2, ... , DXr, DYr cela števila . 230 Oglejmo si zdaj enačbo X3 + y 3 = 03 m . Za vsak indeks i zadoščata x = DXi in Y = 0Yi tej enačbi . Res je (7) X3 + y 3 = (OXi)3 + (OYi)3 = 03(xr + Yr) = 03 m . Tako smo našli r celoštevilskih rešitev e~ačbe (7), število 03 m pa se da na r različnih načinov zapisati kot vsota dveh kubov celih štev il, namreč 03 m = (OXI)3 + (OYI)3 = (OX2)3 + (OY2)3 = ...= (Oxr)3 + (OYr)3 . (8) Zgled. Povedali smo, da ima enačba neskončno racionalnih rešitev . Vzemimo naslednje tri 5 4 73 17 Xl = 2.Y1 = -1 ; X2 = 3 ,Y2 = 3; X3 = 38 ,Y3 = -38 ' Najmanjši skupni imenovalec teh ulomkov je O = 114. Zato lahko zapišemo število 7 X 1143 = 10370808 na tri načine kot vsoto dveh kubov: Vizrazitveh (8) niso vselej vsi kubi pozitivni , ker so lahko nekatera izmed števil Xi in Yi negativna . V pravkar navedenem zgledu sta dva kuba negativna . Velja pa tole : Le ima enačba (1) pri nekem m neskončno racionalnih rešitev , ima tudi neskončno pozitivnih racionalnih rešitev. Zato smemo privzeti , da so vse rešitve (6) pozitivne. Tako pridemo do števila 0 3 rn, ki se da zapisati na r različnih načinov kot vsota dveh kubov naravnih števil. Pri natančnejšem ogledu izrazitve (9) opazimo, da imata 190 in 152 skupni faktor 38, nadalje 228 in 114 skupni faktor 114, 219 in 51 pa skupni faktor 3. 5tevilo 10370808 smo sicer izrazili na tri različne načine kot vsoto dveh kubov, vendar ne kot vsoto dveh kubov tujih si celih števil. Ali sploh obstajajo naravna števila, ki se dajo zapisati na tri načine kot vsota dveh kubov tujih si celih števil? Obstajajo, in sicer je najmanjše med njimi število 3242197, pripadajoča izrazitev pa se glasi I 231 Se vedno nismo povsem zadovoljni : Zadnji člen je tu negativen. Paul Vojta pa je našel leta 1983 število , ki se da izraziti na tri razl ične načine kot vsota dveh kubov pozitivnih tujih si celih števil. In sicer je 15170835645 = 5173 + 24683 = 7093 + 24563 = 17333 + 21523 . (11) Ni znano, ali obstajajo števila , ki se dajo na štiri načine zapisati kot vsote dveh kubov tujih si naravnih števil. Na koncu se spet povrnimo k Ramanujanu . Hardy ga je tedaj v bolnišnici vprašal , če morda pozna najmanjše naravno število, ki se izraža na dva različna načina kot vsota dveh četrtih potenc naravnih števil. Ramanujan je odgovoril , da ga ne pozna , da pa mora biti to štev ilo po njegovem mnenju izredno veliko. V knjigi An Introduction to the Theory of Numbers navajata avtorja Hardy in Wright ta le primer (12) Presek 5tevilo 635318657 je najmanjše s to lastnostjo. Naloge 1. Koliko je od 1 do 1000 naravnih štev il, ki so vsote dveh kubov naravnih štev il (oziroma so kubi)? 2. Katera izmed števil 218, 360, 728, 866, 930 se dajo zapisati kot razlike dveh kubov naravnih štev il? 3. Razstavi na prafaktorje števila , ki nastopajo vizrazitvah (3), (10) in (11)! 4. Dokaži, da nobeno liho praštevilo ni vsota dveh kubov naravn ih števil! Navodilo: V zadnjih dveh nalogah si pomagamo z identiteto x 3 + y3 = (x + y)( x2 - _ x y + y2) . Ivan Vidav SKRIT RAČUN Poišči rešitev naslednjega kriptograma : VI DAV = 7 · (A5)2 Posamezne črke pomenijo števke v desetiškem zapisu, razl ične črke seveda različne števke. / I., ,- - "" SMUČANJE PRI VELESLALOMU Tekmovalec v veleslalomu vidi ob štartu pred seboj klanec in prva vratca. Po kateri poti naj se požene, da bo najhitrejši? Ali naj se usmeri naravnost proti notranjemu količku? Ta pot je najkrajša , a ni najboljša, če količek ne stoji v smeri naravnost proti dolini . Tekmovalec najbolj pospeši, če se usmeri naravnost proti dolini. Toda ta pot ga vodi od količka proč in je daljša. Tekmovalec ne razmišlja, ampak po izkušnjah poišče srednjo pot. Najprej se požene naravnost proti dolini , da čim prej doseže kolikor mogoče veliko hitrost, in nato postopno zavija proti količku. Podobno vprašanje so si postavili matematiki že pred koncem 17 . sto- letja . Po kakšni krivulji v navpični ravnini naj se giblje drobno telo, da bo v najkrajšem času prišlo iz začetne točke v končno? Najbolje je misliti na preluknjano kroglico, ki drsi brez trenja po debelejši žici z obliko poti od prve do druge točke. O krivulji s to lastnostjo, imenovali so jo brahistokrono, so razpravljali Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 do 1716) in brata Jakob (1654 do 1705) in Johann Bernoulli (1667 do 1748). Starejši Bernoulli velja za začetnika variacijskega rečune prav zaradi svojega prispevka k spoznanju (v letih 1696 in 1697), da je brahistokrona eik/oida. To krivuljo opiše točka na obodu valja, ki se kotali po vodoravni podlagi, ne da drsel (slika 1) . y - - x Slika 1. Po cikloidi se giblje točka na obodu valja, ki se enakomerno kotali po vodoravni podlagi in nič ne drsi . Pri smučanju je klanec brez grbin nagnjena , ne navpična ravnina. Od začetne točke, to je od štarta, do končne, to je do notranjega količka, dospe tekmovalec najhitreje, če se smuča po cikloidi . Ciklcida je obrnjena tako, da ima ost v začetni točki . Pri tem zanemarimo trenje smuči na snegu in zračni upor ter ne upoštevamo, da se tekmovalec poganja s palicami. Francoski smučarji so se namenili misel podrobneje preskusiti. Izbrali so si gladek zglajen klanec z nagibom do- brih 26° in postavili točko, do katere se bilo treba prisrnučati, 37 metrov po klancu v smeri proti dolini in 19 metrov vstran (slika 2). Nato so se trije dobri smučarji spustili od prve točke do druge po raznih poteh . Iz- merili so jim čas in določili pot. Za- peljali so zdaj po cikloidi, zdaj po zveznici med točkama ali vmesnih krivuljah . Zares so namerili po kri- vulji, ki se je skoraj prilegala ciklo i- di , za desetino sekunde krajši čas kot po zveznici (slika 3). Pri času okoli štiri sekunde in pol je vredno upoštevanja . Slika 2. Smučar bi rad porabil najkrajši čas za pot od točke O do točke P. Po cik- loidi rabi čas 4,52 sekunde, po premici pa 4,65 sekunde. Lego smučarja v zapored- nih desetinah prvega č asa (0,452 s) kažejo to čke . Po ustreznih točkah je mogoče pre- soditi, kako smučar po prem ici zaostaja za smučarjem po cikloidi. 40 m y 10 233 20 m Doslej smo razmišljali le o vožnji od štarta do prvih vratc. Od prvih vratic naprej vozi tekmovalec podobno kot pred prvimi vrati , le da že ima določeno hitrost . Tako je, kot bi se začel smučati više na klancu . Lim večja je začetna hitrost, to je hitrost v prejšnjih vratcih, tem manj je cikloida ukrivljena (slika 4). Tako razumemo načelo današnjih tekmovalcev: potegni naravnost (od vratc do vratc), suči kratko (ob količku) - francosko TDVC: tirer droit , virer court . Naše razmišljanje ga naknadno potrjuje . Načelo je uporabno pri veleslalomu , pri katerem je treba prevoziti 70 do 90 vratc na klancu z višinsko razliko okoli 300 metrov in srednjim nagibom okoli 25 0 . Smiselno prilagojeno pa lahko uporabijo tudi pri superveleslalomu in celo pri smuku. Ker ima večjo hitrost, pa tekmovalec ne vozi tako tesno ob kotičku kot pri veleslalomu, da smučanje ne bi postalo manj zanesljivo. 234 napaka 8 t r - - - - - - - - -. ... ~, napaka t1 • t, 4,8 4,7 4,6 4,5 o x 0,4 0,8 x A o 1,2 0246mx Začetna hitrost 50km!h-----t 40 km/h - --__• okm/h Slika 4. tim večja je hitrost v prejšnjih vratcih, tem bolj raven je tir, po katerem je čas za smučanje do naslednjih vratc najkrajši. Premislek po tej risbi potrjuje načelo "potegni naravnost, suči kratko" . Slika 3. Na navpično os je nanesen čas, ki ga rabi smučar za pot od točke O do točke P, na vodoravno pa parameter o. Ta pa- rameter podaja, kako se tir razlikuje od cikloide (o = O). Pri premici meri o = 1. Točke kažejo izmerjene vrednosti za tri ra- zlične smučarje, ki so se spustili po šestih različnih tirih. Krivulja kaže izračunani čas . Račun da za cikloido čas 4,52 sekunde in za premico 4,65 sekunde . Izmerjeni čas je zaradi trenja, ki smo ga zanemarili , nekoliko daljši. Napako pri merjenju časa in pri določanju parametra kaže črtkani pravokotnik. Podatki so vzeti iz članka Gilberta Reinischa Ski: le ehemin le plus eourt n 'est pas le plus rapide (Smučanje: najkrajša pot ni najhitrejša) Recherche 23 (1992) 356. I 235 Posp remimo razmišlja nje z računi . V ravnino z nagibom a postavimo pravokotn i koordinati sist em z izhodiščem v za četn i točki , vodoravno osjo x in osjo y v smeri naravno st v dolino (s lika 1). Mislimo na preluknjano kroglico, ki se brez trenja giblje po ukrivljeni žici. Na kroglico deluje poleg teže še sila žice, ki je vselej pravokotna na smer gibanja . Ta ko sila žice na kroglici ne opravi nobenega dela. V izreku o kinetičn i in potencialni energiji upoštevamo tedaj samo kinetično in potencialno energija : njuna vsota se ne sprem inja . Kroglica na začetku miruje v izhodišču , zato je t edaj vsota kinet i č n e in potenc ialne energije enaka nič . in ta ka ost ane : 1 2 -mv - may = O. 2 a = 9 sin a je komponenta težnega pospeška 9 po klancu navzdol , to j e v smeri osi y . Mase kroglice m se lahko takoj znebimo . Negat ivni znak poten cialne energije opo zarja na to , da višina pojema , ko y na ra šča . Hitros t je določena kot kvocient krat kega odseka poti ds in časovnega razmika d t , v katerem kroglica prepotuje odsek v = d s j d t . Ta ča sovni razmik je d t = = dsj J 2ay in časovn i razmik od za četne točke TI (0.0) do končne točke T2 (Xl . yd dobimo ta ko, da prispevke za vse kratke odseke seštejemo 1 (2) ds t = (1) J2ay· Treba je določiti t ir y (x ), pri katerem je čas t najkrajši pri določeni začetn i in končni točki . Naloga ni lahka in sod i v variac ijski račun . Tu jo bomo preskočili in kar zapisali odgovor. Las je najkrajši , če se kroglica giblje po cikloidi: X = R(tp - sin tp), y = R(l- costp) . R je radij valja , s kotaljenjem katerega nastane cikloida , tp pa njegov zasuk . Krate k odsek poti iz računamo s Pitagorovim izrekom : ds= V(dyjdtp)2 + (d xjdtp )2dtp = J2R(1-costpdtp= Ji"Ydtp in s t em dobimo kar t = j!;tp. 236 Z našimi podatki cx = 26 ,1°, a = 9, 8ms- 2 sin 26,1° = 4,32 m/s2 , Xl = 19 m in YI =37 m najprej numerično rešimo enačbo xI/YI =0,514::;:; = ('PI - sin'Pl)/(l - COS'Pl) in dobimo 'PI = 1,44 radiana. S tem sledi R =yI/(l- cos 'PI) =42 ,8 m in tI = JR/a'Pl =4,52 s . Za primerjavo izračunajmo še čas po najkrajši poti , po odseku premi ce, za katero. velja Y = (yI/xl)X. V tem primeru je ds =VYi lxi + 1dx in l XI t= O 2(yi +xi) = 4,65 s . aYl Po tiru , ki je manj ukrivljen kot cikloida , a bo lj kot premica , dobimo vmesne čase (slika 3). Janez Strnad IZRAČUNAJ TETIVO - Rešitev s str. 129 Nalogo so najbrž brez težav ugnali tudi osnovnošolci . Pa si rešitev kljub temu oglejmo. Polmer 53O tretje krožnice oklepa v točki O s tangento t pravi kot. Prav tako oklepa s t pravi kot spojnica 52 E, kjer je E razpo lovi šče tetive Be. To pomeni, da sta tr ikotnika 6.A52E in 6.A53D podobna. Ker so polmeri krožnic enaki 1, sledi iz sorazmerja : E5 2 : A52 = 053 : A53 E52 = ~ in nato z uporabo Pitagorovega izreka za trikotnik 6. B E5 2 še: 5 - - 8 BC=2BE=- 5' A Marija Vencelj ' . /"'" IC ILI" lIL: C . ' . ~ ''-''~LI' IL ut: Grasselli J., DIOFANTSKI PRIBLIŽKI , DMFA Slovenije, Lju- bljana 1992,204 str. (Knjižnica Sigma; 51) Med najzanimivejše matematične rokopise iz grško-rimske anti ke sodi Dio- fantovo delo Arithmetica (šest ohranjenih knjig) , ki je nastalo okoli leta 250. Obravnava enačbe s celimi števili in išče njihove celoštevilske in racionalne rešitve. Danes se po Diofantu imenujeta kar dve področji teorije števil : dio- fantske enačb e in diofantski približki. Prav taka sta tudi naslova Grassellijevih knjig - kratkih uvodov v ti dve področji. ..Diofantske enačbe" so izšle leta 1984 v Knjižnici Sigma, "Diofantski približki" pa ob koncu lanskega leta. Teorija diofantskih približkov je s pomembnimi rezultati znanih mate- matikov polno zaživela v drugi polovici prejšnjega stoletja. Klasični del te teorije proučuje določene zakon itosti in vedenje racionalnih števil na realni premici. Marsikateri dosežek te teorije se da s preprostimi sredstvi približati bralcu , ki nima posebnega matematičnega predznanja . V tem duhu je pisana naslovna Grassellijeva knjiga . Preglejmo prav na kratko njeno vsebino . Potrebno gradivo iz splošne teorije števil je pisec zbral v uvodnem poglavju . Večji del tega poglavja zavzema teorija verižnih ulomkov. Nanjo je naslonjen marsikateri dokaz v nadaljevanju knjige , osrednjo vlogo pa odigra v drugem poglavju , kjer se avtor ukvarja z racionalnimi približki iracionalnih števil. Poleg Dirichletovega izreka tu obdela hkratno aproksimiranje siste- mov števil in zato (na elementaren način) uvede pojem racionalne odvisnosti , poglavje pa zaključi z izrekom Minkowskega . V tretje poglavje vključi tudi znameniti Kroneckerjev izrek, v nekoliko zahtevnejšem zadnjem poglavju pa govori o enakomernosti porazdelitve sistemov števil na premici in na ravnini. V kratkem dodatku pisec dopolni obdelano snov z nekaterimi globljimi rezultati , ki pa jih zaradi zahtevnosti navede brez dokazov . Vsako poglavje ilustrirajo zgledi iz obravnavane snovi , sklene pa ga bogat izbor različno težkih nalog . Rešitve teh nalog so zbrane na koncu knjige. V Grassellijevi knjigi je teorija diofantskih približkov prvič sistematično obravnavana v slovenskem jeziku. Knjiga je napisana jasno in razumljivo. Z izjemo nekaterih razdelkov , ki so posebej označeni, za njeno razumevan- je zadostuje le poznavanje preprostih lastnosti celih, racionalnih in realnih števil. Zato je knjiga dostopna širokemu krogu bralcev - tudi mladim bralcem Preseka, ki jih matematika dovolj privlači. Boris Lavrič 36. MATEMATiČNO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV SLOVENIJE Leto 1992 je vlada Republike Slovenije razglasila za Plemljevo leto , saj Je minilo 25 let od smrti velikega slovenskega matematika prof dr. Josipa Plem- lja. Pri Komisiji za popularizacijo matematike v srednji šoli smo zato menili, da bi bilo lepo, če bi se najboljši slovenski mladi matematiki - srednješolci zbrali na Bledu , Plemljevem rojstnem kraju. Gostiteljici sta bili Srednja šola gostinsko turistične in ekonomske usmeritve ter Osnovna šola prof dr. Josipa Plemlja . V soboto, 4 . aprila 1992 se je v kraju ob jezeru zbralo 162 učencev (41 + 42 + 37 + 42) s 37 srednjih šol. T ri ure in pol so imeli na voljo za reševanje naslednjih na log : Prvi letnik 1. V prazna polja tabele vpiši števila , tako da bodo vsote števil iz po treh zaporedn ih polj tabele med seboj enake in da bo vsota vseh števil v tabeli enaka 217 . 2. Za naravna števila aa , al , a2 , .. ., a1992 velja Dokaži , da je aa = al = a2 = ... = a1992 . 3. Trije rnušketirji Athos, Porthos in Aramis so po kratkem pogovoru pod lipo odjahali vsak v svojo smer. Kot med vsakima dvema smerema je 120° . Njihove hitrosti so 10 km/h, 20 km/h in 40 km/h . Dokaži, da so njihovi položaji v vsakem trenutku oglišča pravokotnega trikotn ika . 4. V trapezu ABCD z osnovnicama AB = 2a in CD = aje LDAB = 43° ln LABC =47° . Kolikšna je razdalja med razpoloviščemaosnovnic? Drugi letnik 1. Dokaži, da obstajata kvečjemu dve praštevil i, ki sta enaki vsoti četrtih potenc petih zaporednih praštevil. 2. Dokaži, da je med števili oblike 3+6n , kjer je n naravno število , neskončno mnogo popolnih kvadratov. I 239 3. Reši sistem enačb x+y+xy=19 y+z+yz=l1 z + x + z x =14 4. Dan je pravokotni trikotnik ABC s pravim kotom pri C. Nad AC narišimo polkrožnico , ki seka hipotenuzo v točk i E. Tangenta na polkrožnico skozi E seka stranico BC v točki D. Dokaži, da je trikotnik EB Denakokrak . Tretji letnik 1. Dano je 2n pozitivnih štev il al < a2 < a3 < . . . < a2n ' Kako jih je treba postaviti v pare, da bo vsota n produktov po dveh števil iz posameznih parov največja? 2. Za realni števili a in b velja a3 - 3a2 + 5a = 1 in b3 - 3b 2 + 5b =5. Izračunaj a + b. 3. Dokaži, da je x (x + l)( x + 2) · · ·( x + m - 1) > 1+1.+1.+..+.1-x 2 3 m m ·(m-1) ·(m-2)· ··3 ·2 .1- ' če je x poljubno pozitivno štev ilo in m naravno število. 4. V enakokrakem trapezu ABCD je LDAC = 450 . Oglišče C zavrtimo okrog D za kot 900 v smeri urinega kazalca in dobimo točko E. Kolikšen je kot LEBC? Četrti letnik 1. Dokaži, da je za poljubna cela števila al, a2 , .. ., an število lal - a21 + +la2 - a31 + ...+ /a n- 1 - ani + lan - all sodo . 2. V tetivnem štirikotniku A BC Dvelja BD= AB+AD sin ep + sin iJ ' kjer je ep = LADB in iJ = LABD. Dokaži, da je ep + iJ = 900 . 240 3. Poišči realni števili a in {3 (O :::; o , {3 < 1r) tako, da bo obstajala funkcija f : IR --+ IR , za katero bo veljalo f(x . sin a) - f(x . sin(1r + a)) = cos(x + a) ln f(x. cos{3) + f(x . cos(1r + {3)) =cos(x + {3) za vsak x E IR. Poišči še funkcijo f(x). 4. V Indiji Koromandiji lahko pridemo z letalom iz poljubnega mesta v katerokoli drugo mesto. Le ni direktnega leta , lahko tja pridemo s preseda- njem. Med potovanjem iz enega mesta v drugo lahko v vsakem mestu pri- stanemo največ enkrat. Rečemo, da je dolžina poti med mestoma enaka številu vzletov , ki jih doživimo na potovanju med tema dvema mestoma. Dokaži: če obstajata dve najdaljši poti , se sekata. Tekmovalna komisija je podelila skupaj 6 prvih, 6 drugih ln 15 tretjih nagrad ter 43 pohval. Najboljši so bili: Prvi letnik Druga nagrada: Mitja PIRC (Gimnazija in ekonomska šola Brežice). Tretja nagrada: Tadej NOVAK (SENŠ RM Kamnik) , Anže SLOSAR (Gimnazija Koper) in Nataša HOtEVAR (CSŠ - Gimnazija Velenje). Pohvala: Marko :LNIDARIt in Domen KROPIN (II. gimnazija Maribor), Dejan VELUŠ· tEK , Robert ŠiFRER in Matej CEPIN (Gimnazija Bež igrad Ljubljana), Uroš MALI (SŠTZU Novo mesto), Peter KINK (Gimnazija in ekonomska šola Brežice), Damjan MURN (Gim - nazija Novo mesto), Andrej STUDEN (Gimnazija Kranj), Andrej BARTOLIt (NSC Nova Gorica) ter Sonja VIRAG (Gimnazija Murska Sobota) . Drugi letnik Prva nagrada: Domen PRAŠNIKAR (Gimnazija Bežigrad Ljubljana), Srečko MAKSI- MOVIC (Gimnazija Poljane Ljubljana) in Boštjan KUZMAN (CSŠ - Gimnazija Velenje) . Druga nagrada: Jernej KOVAtit in Petra IPAVEC (Gimnazija Bežigrad Ljubljana) . Tretja nagrada: Iztok KAVKLER (Srednja tehniška šola Celje), Marko OREŠKOVlt (Gimnazija Bežigrad Ljubljana), Gvido CIGALE (Gimnazija Jurija Vege, Idrija) in Damijan DOLINAR (SENŠ RM Kamnik) . Pohvala: Sonja RATEJ il] Urban SENItAR (Srednja tehniška šola Celje), Kruno ABRA- MOVlt, Miha MIHlt in Rok KOVAtit (Gimnazija Kočevje), Dam ijan KUHAR (Gimnazija Kranj), Andrej ERHATlt (II. gimnazija Maribor), Dejan PARAVAN in Narvika BOVCON (NSC Nova Gorica), Jože PI:LEM (Gimnazija Josipa Jurčiča, Ivančna Gorica), Ivor GRU- BIŠlt (CSUI Jesenice), Tadej tEPELJNIK in Meta DEMŠAR (Gimnazija Šentvid Lju- bljana), Primož MORAVEC (Gimnazija Novo mesto) , Sabina MIHELJ (Gimnazija Koper) , Maja POHAR (Gimnazija Poljane Ljubljana) , Tanja VEBER (Gimnazija Celje), Samo JE- VERICA (Gimnazija Bež igrad Ljubljana) , Mitja MARKOVIt (SKSMŠ Maribor), Sebastijan HROVATIN (Srednja šola Postojna) ter Ana KLANJŠtEK (Gimnazija Tolmin). 241 Tretji letnik Prva nagrada: Mitja MASTNAK (Srednja tehniška šola Celje) in Bojan GORNIK (Gim- naz ija Novo mesto) . Tretja nagrada: Tomaž URBlt (Gimnazija Novo mesto) in And rej SRAKAR (Gimnazija Bežigrad Ljubljana) . Pohvala: Jernej DOLENŠEK (Srednja tehniška šola Celje). Marko KRAJNC in Samo FiŠiNGER (II. gimnazija Mar ibor): Četrti letnik Prva nagrada: Tomaž CEDILNIK (Gimnazija Bežigrad Ljubljana). Druga nagrada: Gregor ŠEGA in Gregor PETKOVŠEK (Gimnazija Bežigrad Ljubljana) ter Gregor IRT (Gimnazija Vič Ljubljana) . . . Tretja nagrada: Damjan DEMŠAR (CSUI Jesenice). Elvis BELAC (Gimnazija Koper) . And rej STROJNIK in Mojca VILFAN (Gimnazija Bežigrad Ljubljana). Tomaž SUŠNIK (Gimnazija Šentvid Ljublja na ) in Rob i MOHORtit (Gimnazija Novo mesto). Pohvala: Peter LUZEV lt (Srednja tehniška šola Celje). Marko SLAPAR (Gimnazija Kranj). Mojca P IŠKURIt in Marko KUKRIKA (Gimnazija Bežigrad Ljubljana), Matjaž KOTNIK (II. gimnazija Maribor). Smiljan VODOVNIK (Gimnazija Ravne). Tomaž REJEC (Gimnazija Tolmin) in Rok DEZELAK (Gimnazija Trbovlje). Pri Komisiji za popularizacijo matematike v srednji šoli smo na osnovi rezultatov tega in prejšnjih tekmovanj ter mednarodnega tekmovanja mest do- ločili pet olimpijcev. Letrtošolec Tomaž Cedilnik in tretješolci Bojan Gornik, Marko Krajnc, Mitja Mastnak ter Andrej Srakar naj bi odpotovali na 33. Med- narodno matematično olimpiado. a nas organ izatorji žal niso povabili. Darjo Felda VABilO NA MARČEVSKI MESEČNI SESTANEK ASTRONOMSKEGA DRUŠTVA JAVORNIK ki bo 16. 3. 1993 ob 17h v predavalnici F2 na Fakulteti za fiziko, Jadranska 19. Ljubljana . (Tja vas pripelje mestni avtobus številka 1, smer Mestn i log.) Spored: • METEORJI, predavanje mag. Arama Karaliča. Izvedeli boste. kaj so meteorji in kako jih opazujemo. Predavatelj bo predstavi l tudi mednarodno meteorsko organ izacijo IMO in vas seznanil z možnostjo priključitve opazovanjem v južni Franciji. 007'ICll°I' It ',,' '_'''L_'''L_ ' • Astronomska opazovanja. - Poročila o opazovanjih na Javorniku v januarju in februarju 1993 (Niko Štritof, Jure Dobnikar in drugi) . - Vsi, ki ste opazovali sami, pa o tem še niste poročali, ste vabljeni , da nam opišete svoje rezultate in vtise . - Rezervacije observatorija za april in maj 1993. • Poročilo o letnem srečanju slovenskih astronomov. Poročal bo predsednik ADJ , dipl. astronom Aleš Arnšek. • Pogovor o mladinskih raziskovalnih nalogah s področja astronomije . Dijaki, ki iščete nasvet, samo mentorja ali mentorja in temo, oglasite se! Mesečni sestanek je odprtega tipa; pridete lahko vsi, ki vas zanima astronomija ali delo v društvu . Vabljeni vsi, ki se želite česa naučiti ali pa svoje znanje in izkušnje posredovati drugim . Za 10 ADJ: Mirjam Galičič NI ČASA ZA ŠOLO "Pa saj za šolo nimam časa" je Janezek razložil šolski socialni delavki. "Spim po osem ur na dan , kar skupaj znese. fče ima,vsak dan 24 ur, približno 122 dni na leto . Ob sobotah in nedeljah ni šole, kar pomen i 104 dni letno. Poletne in zimske počitnice skupaj so kakšnih 75 dni. Približno po dve uri na dan jem, kar znese skupaj 30 dni na leto, vsaj dve uri na dan pa potrebujem za svoj' prosti čas - za šport in zabavo - torej še 30 dni na leto ." Medtem ko je razlaga l, je Janezek na list pap irja pisal številke, na koncu pa jih je seštel : spanje (8 ur na dan) 122 sobote in nedelje 104 počitnice 75 hrana (2 uri na dan) 30 prosti čas (2 uri na dan) 30 skupaj 361 dni "No, vidite," je nadaljeval. "Tako mi ostane samo štiri dni na leto za bolezni in druge nepredvidene dogodke. In pri tem sploh nisem štel božiča in prvega maja!" "Presneti mule , že spet me hoče na finto vreč, " si je momljala socia lna delavka in se praskala po glavi. Toda vse števi lke so se lepo seštele. Kaj je narobe z Janezkovim računom? Neža Mramor (Iz knjige Martina Gardnerja "Entertaining Mathematica l Puzz les") l'IOII"ICE OBVESTILO Od novembra 1992 je pri Marandu v veljavi poseben cenik Borlandovih izdelkov, ki velja za vse v. šolstvu . Tako lahko sedaj po posebno ugodnih pogojih kupijo programe vse neprofitne šolske ustanove, vsi zaposleni v šolstvu kot tudi vsi učenci , dijaki in študenti. Slednji morajo ob nakupu priložiti veljavno potrdilo o šolanju. Da je ponudba res izjemna, nam povejo cene paketov (v ceno ni vračunan 5 % prometni davek) : Turbo Pascal 7. 0 9.990 SIT Turbo Pascal za Windows 11 .990 SIT BorIand Pascal 7.0 24 .990 SIT Turbo C++ za Windows 11 .990 SIT BorIand C++ 19 .990 SIT BorIand C++ & AF 29.990 SIT Paradox 4.0 Academic 14 .990 SIT Quattro Pro 4.0 Scholar 14 .990 SIT Quattro Pro za Windows 14 .990 SIT Programe lahko kupite tud i v trgovini komisije za tisk DMFA Slovenije na Jadranski 19, Ljubljana . OB STOLETNICI SMRTI SLOVENSKEGA MATEMATIKA - Rešitev s str. 160 1.\w '=' ....... ~ ~ - - ~ ~ J:I:O =1- c@~ - @ ~ -$.s u K A N A ~ P o T o Č N I K -, ~ š ~ oR o G E R B o o L Ž I T E V ~ A T E M A T I K ~ A K I r.;;- K A R L F R A N C I M o Č N I K -S v I o L A == al :a:: - == ...;;.. T I ~ L A o S @ R '=_. - .=. .:;:& E K E T A ~ o s c og Č ..... '1:.-";: -T E R lit::.~ M S A R A C I N - S U R R E A L I Z E M ~D A K A R - I~ N K ~ ~ ~ ~ -=? ~T R G A R o A K A N o N I ~ , L L- ...~~.:=. , R I K o ~ o J S T N I Š ,,"- ~~~' " ,1 A ' H I A = It E 1:1::A N I T - -......... : R K N o ~ A S A M- . . II IDon .l'=' ~ V A N I ln ""';"'" n "",.\ 5 Z A R A T U S T R A--- .~~.Ll I ~.~A M o N =- A N T "'="' E M A = A N.- /ill.' - '-/ill.' - ,l/ I." -' --" ,'" ICI,' I"", ORNAMENTI NA RAVNINI Ob besedi ornament pomislimo na okrasne trakove, geometrijske vzorce s starogrške keramike. c.., ki jih sestavljajo večkrat ponovljeni osnovni vzorci ali motivi, Morda se ob tem spomnimo tudi slike, ki jo dobimo, če poljuben pred- met postavimo med dve vzporedni, nasproti si stoječi ravni zrcali . Njegova slika je neskončnokrat ponavljajoči se vzorec, torej ornament , ki je simetričen ne glede na obliko predmeta samega . Bralcem Preseka prikličimo v spomin katero od slik iz španske Alhambre in članek Ornamenti na traku iz 3. številke lanskega Preseka ter zapis o ornamentih in grupah iz letošnje 2. štev ilke. Definicijo ornamenta na ravnini bomo naslonili na definicijo ornamenta na traku. Ornament na ravnini naj bo vsaka risba na ravnini , za katero obstajata dva nevzporedna neničelna vektorja ain 6, da velja: 1. Risba je neobčutljiva na translaciji Ta in Tb. To pomeni, da po premiku za a oziroma 6 risba preide sama vase . 2. Risba ni neobčutljiva na nobeno translacijo Tka in na nobeno translacijo Tkb, kjer je O < k < 1. To pomeni , da pri nobenem premiku , krajšem od lal v smeri a, in pri nobenem premiku , krajšem od 161v smeri b, risba ne preide vase . V letošnji 2. številki Preseka smo srečali pojem ravninske mreže, določene s parom nevzporednih vektorjev . Očitno je , da je že množica vozlišč ravninske mreže zelo preprost ornament na ravnini (slika 1) . Vzemimo poljuben ornament na ravnini z ustreznima vektorjema ain 6 iz definicije in si oglejmo tema vektorjerna pripadajočo ravninsko mrežo . Ta je seveda odvisna od izbire začetne točke . Ob primerni povezavi štirih vozlišč te o o o o o ~ o o o o a o o o o Slika 1. Vozlišča mreže kot najpreprostejši ornament. Jr - -y- - -7'- - "f / / / / / / / /~_~Jlm!I~~-~7 / / / / / / / / eJ.. - - 0- - -0- - -4 Slika 2. Osnovni paralelogram ornamenta . 245 mreže lahko dobimo paralelogram . V primeru , da v notranjosti paralelograma ni nobenega vozlišča mreže, ga imenujemo osnovni paralelogram ornamenta (sl ika2) . Pri tem dve sosednji stranici štejemo k paralelogramu, preostalih dveh pa ne. Zaradi druge zahteve iz definicije ornamenta sledi , da ima osnovni pa- ralelogram od nič različno ploščino. Le na osnovni paralelogram delujemo s translacijsko grupo, ki jo generirata t ranslaciji Ta in Tb' napolnimo vso ravnino in sicer prekrijemo vsako točko ravnine natanko enkrat. Delornamenta, ki leži v osnovnem paralelogramu, imenujemo osnovni vzorec. Slika 3. Tipi čn i lik ornamenta. o o Osnovnih paralelogramov danega ornamenta je zaradi poljubne izbire začetne točke v mreži neskon čno mnogo. Zato je tudi osnovnih vzorcev neskončno mnogo. Zares pa so nekateri med njimi posebej opazni . Lahko bi rekli, da so tipični za dan i ornament. Le v osnovnem paralelogramu po dve in dve vzporedni stranici nado- mestimo s skladnima krivuljama , dobimo zopet lik, s katerim napolnimo vso ravnino, če nanj delujemo s transla- cijsko grupo , ki jo generi rata Ta in Tb. Tudi v tem primeru dob imo vsako točko natanko enkrat. Vsake- mu liku s to lastnostjo pravimo ti- pični lik ornamenta . Vsi tipični li- ki zopet niso enako opazni . To je odvisno od posameznega ornamen- ta (slika 3) . Vsem ornamentom je skupno, da simetrijska grupa vsakega ornamen- ta vsebuje translacijsko grupo , ki jo generirata dve nevzporedni translaciji. Spomnimo se , da je simetrijska grupa grupa vseh izometrij , ki ornament ohranjajo . Seveda pa se simetrijske grupe razli čnih ornamentov lahko med seboj razlikujejo . Le imata dva ornamenta isto simet rijsko grupo , pravimo , da st a iste vrste. Že v č la nk u Ornamenti in g rup e sm o omenili , da je na ravnin i 17 krist alografskih grup , to je grup , ki ohranjajo ravninsko mre žo. Prv i je že leta 1891 navedel vse ruski kristalograf Fedorov, strogo matematično pa sta njihov obstoj dokazala leta 1897 Fricke in Klein in neodvisno od njiju še Nieggel in Polya leta 1924. Pravimo jim tudi tapetne grupe , kar je za ravninske grupe zelo primeren izraz. Na ravnini imamo torej 17 različn ih vrst ornamentov. Shematsko so prikazane na sliki 4. 246 I M M M M S ru S ru ~ M M M co 8co 8 ru S ru SM M M M M M M 8CD8 co8 s ru S ru - - _ .. M M M M ~ (:fP c8:J S S S S S M M M M ~ ~ ~M M M M S S S S S M M M M ~ qp S S S S S M M M M H H H H H H H H M M M H H H H j H H fi M M M .M H H H H H H ri ri M M M H H H H i H H H M lAJ M lN M t~:-iJM lAJ M lAJ MM lAJ M lN M -\-< -\-<- 4 ter a > 1. Ker je število a( a + 3) sodo za vsako naravno število a , je b za vsak a E IN celo število . Vidi se, da je b > 4 za vsak a > 1. Sledi, da je rešitev neskončno mnogo in so oblike: a E IN\{l}, b = a(a: 3); npr. : (2,5). (3, 9) , (4 ,14) , (5 , 20) , . . . Borut Campe!j UTRINEK Jure je razlagal sošolcu Igorju : "Ne vem, zakaj učitelj vedno zaplete reševanje matematičnih problemov z uvajanjem neznanke x . Sam to vedno rešujem veliko bolj enostavno in tudi bolj zanimiva je matematika na tak način. Naj bo problem še tako težak , enostavno ga rešim s pomočjo znanke Petre." Janez Zupan LOM SVETLOBE ZA OKRAS Pred leti mi je v neki izložbi lepih predmetov vzbudila pozornost steklena skulptura v obliki kocke z zaobljenimi robovi, sredi nje pa je bil večji zračni mehurček. Oblikovalec je prav spretno izrabil lom svetlobe, saj pri izbranih zornih kotih vidimo hkrati celo štiri slike tega mehurčka (slika na naslovni strani). Oglejmo si ta predmet podrobneje . Po obliki je to krogla , ki jo prisekamo s kocko. Središče krogle je v presečišču telesnih diagonal kocke, premer krogle pa je nekaj manjši od diagonale stranskih ploskev kocke. Krogia tako zaobli vse oglate dele kocke, ravni deli telesa pa imajo obliko kroga . Razdalja med nasprotnima ravnima ploskvama je pri našem predmetu 4,6 cm, polmer krogle 6,0 cm, premer zračnega mehurčka na sredi pa je 0,8 cm. Ko gledamo skulpturo vzdolž telesne diagonale kocke, vidimo štiri slike zračnega rnehurčka. Slika na sredi je povečana , saj deluje obla ploskev kot povečevaln o steklo, le da je mehurček v steklu. Ostale tri slike nastanejo z lomom svetlobe na stranskih ravnih ploskvah . Sedaj pa naloga za naše bralce . Ali lahko s slike določimo lomni kvocient stekla, iz katerega je predmet, če poznamo še naštete mere? - Mehurček v steklu tudi lomi svetlobo. Skulpturo položimo na sliko v knjigi. Svetloba , ki gre skozi mehurček, tvori močno pomanjšano sliko (slika 1 na naslednji strani) . Mehurček lomi svetlobo tako kot razpršiina leča . Ali znate izračunati pomanjševalni faktor? Andrej Likar NALOGA ZA SISTEMATiČNE BRALCE Naloge na matematičnih tekmovanjih in v srednješolskih časopisih lahko razvrstimo v tri skupine: Nekatere naloge rešimo s trikom; nekatere zahte- vajo poznavanje izrekov, identitet ali neenakosti, ki jih večina ne pozna (te naloge so tudi vzrok za neobjektivnost rezultatov marsikaterega tekmovanja, saj priviligirajo učence s šol, kjer imajo boljše mentorje in krožke) ; nekatere naloge pa zahtevajo sistematičen pristop k reševanju . V to skupino spada tudi naslednja naloga . Natančno preverite vse možnosti in pazite, da kakšne ne pozabite. Naloga. Trojica (1 ,2,3) ima to lastnost, da je vsota dveh števil vedno deljiva s tretjim. Poiščite vse trojice neničelnih paroma različnih števil, ki imajo to lastnost. Borut Zalar Slika la. Zračni mehurček deluje kot razpršiina leča . Slika lb . Povečani srednji del s like la . JOŽEF STEFAN NA ZNAMKI Jožef Stefan 1835~1893 Ministrstvo za promet in zveze ter slovenska pošta sta ob stoletnici sm rti slovenskega znanstvenika Jožefa Stefana iz- dala lepo znamko , ki jo je po doprsnem kipu, delu kiparja A. Savinška , oblikoval arhitekt Janez Suhadolc . Znamka je velika 40 .32 x 28 , 8 mm, tu pa j e predstavljena na povečanem motivu znamke in z žigom prvega dne, 22 . januarja 1993, ko je bila izdana . Jane z S trnad POTOČNIK NA ZNAMKI Ob stolet nici rojs tva našega rojaka Hermana Potočnika, ki je med prvimi na črtoval vesoljsko ladjo s č l oveš ko posadko in utiral nove poti v astronavtiki , j e v Sloveniji izšla priložnostna znamka . Zasnoval in oblikoval jo je arhitekt Grega Košak . Podobno znamko so . izdali tudi Avstrijci. Pomembne obletnice pa smo se spom- nili tudi pri Preseku. Tako v prejšnji številki Preseka lahko prebereš krajši prispe- vek o življenju in delu tega znamenitega znanstvenika. Marijan Prosen