OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
DECEMBER 2021STR 121-160ŠT. 4LETNIK 68LJUBLJANAOBZORNIK MAT. FIZ.
C  KM Y 
2021
Letnik 68
4
i
i
“kolofon” — 2021/12/13 — 9:16 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, DECEMBER 2021, letnik 68, številka 4, strani 121–160
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 30 EUR, za tujino 35 EUR.
Posamezna številka za člane stane 6,00 EUR, stare številke 3,00 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak tretji mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
© 2021 DMFA Slovenije – 2148 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Razpet” — 2021/12/13 — 8:59 — page 121 — #1 i
i
i
i
i
i
EVDOKSOVA KAMPILA
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 14H45, 51M15
Evdoksova kampila je ena od ravninskih krivulj, ki nam pomaga rešiti antični problem
podvojitve kocke. Pokazali bomo, kako se z neoznačenim ravnilom in šestilom konstru-
ira posamezne točke kampile, dokazali bomo nekaj njenih lastnosti in utemeljili precej
natančno približno metodo za podvojitev kocke.
KAMPYLE OF EUDOXUS
The kampyle of Eudoxus is one of the plane curves that helps us solve the ancient
problem of doubling the cube. We will show how to construct the individual points of
the kampyle using an unlabelled ruler and a pair of compasses, we will prove some of its
properties, and we will justify a fairly accurate approximate method for doubling a cube.
Uvod
Evdoks iz Knida (408–355 pr. n. št.) je bil starogrški matematik in astro-
nom. Bil je Arhitov učenec v Tarentu in Platonov na Akademiji v Atenah.
Obiskal je tudi Sicilijo in Egipt. Kasneje je ustanovil svojo šolo v Kiziku
ob Marmarskem morju. Pomemben je njegov prispevek v teoriji razmerij in
nesoizmerljivih količin, kar je uporabil Evklid v svojih Elementih.
V astronomiji je Evdoks zagovarjal geocentrični svetovni sistem in za
pojasnitev gibanja planetov in Lune uvedel sistem koncentričnih sfer, ki se
vrtijo druga v drugi. S tem v zvezi je uvedel še eno krivuljo, ki jo poznamo
pod imenom »Evdoksova hipopeda«.
Problem podvojitve kocke je na svojevrsten način, s torusom, valjem
in stožcem, rešil pitagorejec in vojaški poveljnik Arhitas iz Tarenta v južni
Italiji, rojen med letoma 435 in 410, umrl pa med letoma 360 in 350 pr.
n. št. (o njegovi rešitvi več v [3, 5]). Če sledeč Arhitu uporabimo današnje
metode in oznake, potem v prostorskem kartezičnem koordinatnem sistemu
Oxyz ǐsčemo presečǐsča torusa (x2 + y2 + z2)2 = 4a2(x2 + y2), ki ima polmer
zunanjega ekvatorja 2a > 0, polmer notranjega pa 0, valja x2 + y2 = 2ax in
stožca x2 = y2 + z2. Če enačbo stožca zapǐsemo v obliki 2x2 = x2 + y2 + z2
in to upoštevamo v enačbi torusa, pridemo do enačbe a2(x2 + y2) = x4.
Upoštevamo še enačbo valja in dobimo enačbo z eno neznanko: x4 = 2a3x.
Njeni realni rešitvi sta x1 = 0 in x2 = a 3
√
2. Pozitivna rešitev je rob kocke,
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 121
i
i
“Razpet” — 2021/12/13 — 8:59 — page 122 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
ki ima dvakrat večjo prostornino kot kocka z robom a. S tem je problem
podvojitve kocke rešen.
Platon s tako rešitvijo seveda ni bil zadovoljen: ni bila narejena po ev-
klidsko, to je z neoznačenim ravnilom in šestilom, ni bila narejena v ravnini.
Morda je Evdoks Arhitovo prostorsko rešitev problema podvojitve kocke
poenostavil na reševanje v ravnini, tako da je, če uporabimo spet naše
oznake, poiskal presečǐsče krivulje a2(x2 + y2) = x4 in krožnice x2 + y2 = 2ax
v ravninskem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxy. Krivulji se sekata v
koordinatnem izhodǐsču O in še v dveh, glede na os x simetrično ležečih toč-
kah, ki imata absciso enako a 3
√
2. Do rešitve tokrat pridemo vsaj v ravnini,
Platon pa seveda tudi s tem ni bil zadovoljen.
Krivuljo, ki ima implicitno enačbo a2(x2 + y2) = x4, so poimenovali po
Evdoksu »Evdoksova kampila«. Koordinatno izhodǐsče O(0,0) je njena
izolirana točka, ki je navadno ne upoštevamo. Krivulja je simetrična glede
na obe koordinatni osi.
Pravzaprav ni nikjer dokazano, da jo je Evdoks dejansko uporabljal. Ve
se le, da mu je podvojitev kocke uspelo najti z neko krivuljo. Beseda »kam-
pila« izhaja iz grške »kampýle«, kar pomeni »kriva, zavita, upognjena«,
namreč »črta« ali »poteza«.
Problem podvojitve kocke ali deloški problem, poimenovan po grškem
otoku Delosu v Egejskem morju, je reševalo več grških geometrov, ki so celo
skušali izdelati v ta namen posebno orodje. Platon je pograjal Evdoksove,
Arhitove in Menajhmove učence, češ da njihovi napori kvarijo, kar je do-
brega v geometriji. Nastal je celo epigram (puščica, zbadljivka) v zvezi s
podvojitvijo kocke, ki je zapisan v Evtokijevih komentarjih k Arhimedovi
razpravi »O krogli in valju«.
Navedimo omenjeni epigram v prevodu Sonje Weiss (vzeto iz obsežnega
knjižnega dela v treh delih [1]):
Težkih Arhitovih del s cilindri nikar ne posnemaj;
stožnic Menajhmovih treh nikdar izsekal ne boš
niti ne boš spoznal, če božanskega črte Evdoksa
res zarǐsejo lik, tak iz zavitih kampil.
Matematik in neoplatonist Evtokij iz Aškalona v Palestini je bil pozno-
antični učenjak, rojen okoli leta 480, umrl pa je okoli leta 520. O njem se
ve bore malo. Nekaj časa je deloval v Atenah, nazadnje pa v Aleksandriji.
Več o tem na primer v [2].
Napisal je tudi komentarje k Apolonijevi razpravi »Stožnice«. Na sto-
žnice se je v srednjem veku kar nekoliko pozabilo, zanimanje zanje je spet
oživelo šele v času Keplerja in Newtona, ko je bil potreben opis gibanja
planetov v heliocentričnem svetovnem sistemu.
122 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Razpet” — 2021/12/13 — 8:59 — page 123 — #3 i
i
i
i
i
i
Evdoksova kampila
Konstrukcija točk Evdoksove kampile
Oglejmo si naslednjo konstrukcijo točk krivulje. V točki D(a,0), pri čemer
je a > 0, postavimo pravokotnico p na abscisno os. Na p izberemo točko A,
ki jo bomo kasneje premikali po tej premici. Skozi O in A načrtamo premico
q in skozi A krožnico s sredǐsčem v koordinatnem izhodǐsču O. Krožnica
preseka abscisno os v točkah B in B′, ki sta simetrični glede na točko O. V
B in B′ konstruiramo pravokotnici r in r′ na os x, ki presekata q v točkah
T in T ′, ki sta tudi simetrični glede na točko O. Ko teče točka A po premici
p, opǐseta T in T ′ dvodelno krivuljo, za katero se izkaže, da je Evdoksova
kampila. Točka T opǐse njeno desno vejo, T ′ pa levo. Krivulja je očitno
simetrična glede na obe koordinatni osi (slika 1).
V programih za dinamično geometrijo je Evdoksova kampila sled točke
T , ko v opisani evklidski konstrukciji premikamo točko A po premici p.
Slika 1. Konstrukcija točk Evdoksove kampile.
Enačbo desne veje dobljene krivulje je najlaže najprej izraziti v po-
larnih koordinatah, nato pa še v implicitni obliki v pravokotnih kartezič-
nih koordinatah. Za polarni kot ϕ vzamemo naklonski kot premice q, za
polarni radij % pa razdaljo ∣OT ∣ (slika 1). Najprej očitno veljata zvezi
∣OA∣ = ∣OD∣/ cosϕ = a/ cosϕ in % = ∣OT ∣ = ∣OB∣/ cosϕ = ∣OA∣/ cosϕ, iz
katerih dobimo % = a/ cos2ϕ. Pri pogoju −π/2 < ϕ < π/2 je torej polarna
121–127 123
i
i
“Razpet” — 2021/12/13 — 8:59 — page 124 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
enačba desne veje krivulje
%(ϕ) = a
cos2ϕ
. (1)
Obe veji krivulje imata implicitno obliko
a2(x2 + y2) = x4, (2)
ki jo dobimo iz polarne oblike z upoštevanjem zvez %2 = x2+y2 in cosϕ = x/%.
Krivulja v obliki (2) ima izolirano točko O(0,0), ki je posledica deljenja z
%, ki je lahko tudi enak 0. Evdoksova kampila je algebrska krivulja četrte
stopnje.
Slika 2. Podvojitev kocke z Evdoksovo kampilo.
Podvojitev kocke z Evdoksovo kampilo
Z Evdoksovo kampilo se da, kot smo že spoznali, podvojiti kocko. Načrtamo
krožnico s sredǐsčem v točki D in polmerom a. Njena enačba je x2+y2 = 2ax.
Sistem enačb
x2 + y2 = 2ax, a2(x2 + y2) = x4
ima trivialno rešitev (x, y) = (0,0) in netrivialni rešitvi
(x, y) = (a 3
√
2,±a
√
2
3
√
2 − 3
√
4).
V prvem kvadrantu se krožnica in Evdoksova kampila sekata v točki T , ki
ima absciso ∣T0T ∣ = b = a 3
√
2 (slika 2). Kocka z robom b ima prostornino
b3 = 2a3, torej dvakratnik prostornine kocke z robom a.
124 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Razpet” — 2021/12/13 — 8:59 — page 125 — #5 i
i
i
i
i
i
Evdoksova kampila
S tem je problem podvojitve kocke rešen, če priznamo Evdoksovo kam-
pilo za konstrukcijski element. Rob podvojene kocke je določen z absciso
presečǐsča krožnice, ki po Platonu je konstrukcijski element, in kampile kot
sled točke v opisani konstrukciji. Kot je znano, pa z neoznačenim ravnilom
in šestilom problem podvojitve kocke ni rešljiv. Zato pa tako kot v primeru
konstrukcije pravilnega sedemkotnika ali obsega kroga poskušamo najti do-
volj natančne približne metode, ki so izvedljive z neoznačenim ravnilom in
šestilom.
Možnost približne konstrukcije daljice, ki ima dolžino zelo blizu a 3
√
2,
nudi majhna ukrivljenost Evdoksove kampile v okolici točke T , ki je prese-
čǐsče kampile (2) in krožnice x2 + y2 = 2ax. Če izberemo na kampili točko
T ∗, ki je zelo blizu T , se tangenta na kampilo v T ∗ z njo zelo dobro ujema.
Zato je presečǐsče P krožnice x2 + y2 = 2ax s tangento tudi zelo blizu točke
T in abscisi točk T in P se malo razlikujeta. Za približno konstrukcijo pa
je treba T ∗ izbrati tako, da se jo da določiti z neoznačenim ravnilom in
šestilom.
Slika 3. Desna veja Evdoksove kampile, prevoja in pritisnjena krožnica.
Evdoksovo kampilo parametriziramo kar s polarnim kotom:
x(ϕ) = a
cosϕ
, y(ϕ) = a sinϕ
cos2ϕ
.
Za prva dva odvoda v točki, ki ustreza kotu ϕ, dobimo izraza
dy
dx
= 1 + sin
2ϕ
sinϕ cosϕ
,
d2y
dx2
= 3 sin
2ϕ − 1
a sin3ϕ
.
121–127 125
i
i
“Razpet” — 2021/12/13 — 8:59 — page 126 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Drugi odvod spremeni predznak pri kotih ϕ, za katere je 3 sin2ϕ− 1 = 0.
V ustreznih točkah ima krivulja prevoje. To so točke (±a
√
6/2,±a
√
3/2).
Tangente v teh točkah imajo strmini ±2
√
2, kar dobimo iz zgoraj dobljenega
izraza za odvod, in presekajo os x v točkah G±(±3a
√
6/8,0). Izkaže se, da je
polmer pritisnjenih krožnic, ki se v točkah D in D′ kampili najbolj prilegajo,
enak a. Sredǐsče take krožnice v točkiD je S(2a,0), v točkiD′ pa S′(−2a,0).
Približno ujemanje krivulje, tangent v prevojih P± in pritisnjene krožnice v
temenu D kaže slika 3.
Sedaj pa pokažimo, da je za točko T ∗ zelo primerno izbrati prevoj P+
kampile, v kateri se tangenta z njo dobro ujema. Če namesto Evdoksove
kampile vzamemo kar njeno tangento
y = 2
√
2(x − a
√
6/2) + a
√
3/2
v prevoju P+ in poǐsčemo absciso ξ presečǐsča s krožnico x
2 + y2 = 2ax,
dobimo
ξ
a
= 1
18
√
24
√
6 − 23 +
√
6
3
+ 1
9
≐ 1,259956951,
kar je nekoliko več od točneǰse vrednosti
3
√
2 ≐ 1,259921049.
Zgoraj opisani približek lahko izkoristimo za precej natančno evklidsko
konstrukcijo roba b podvojene kocke z robom a. Označimo z α polarni kot
prevoja P+ v prvem kvadrantu (slika 4). Veljajo relacije:
sinα =
√
3
3
, cosα =
√
6
3
, tgα =
√
2
2
.
Polarni radij tega prevoja je
%P =
a
cos2 α
= 3a
2
.
Za konstrukcijo je zanimiv naslednji rezultat:
tg 2α = 2 tgα
1 − tg2 α
= 2
√
2.
To pomeni, da premica skozi O in P+ razpolavlja naklonski kot premice
y = 2x
√
2, ki je vzporedna tangenti kampile skozi P+.
Ker krožnica s sredǐsčem v O in polmerom 3a/2 preseka premico x = a/2
v točki C(a/2, a
√
2), pomeni, da skozi O in C poteka premica y = 2x
√
2, ki
oklepa z osjo x kot 2α. Na premici s, simetrali kota DOC, ki ima enačbo
126 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Razpet” — 2021/12/13 — 8:59 — page 127 — #7 i
i
i
i
i
i
Evdoksova kampila
y = x
√
2/2 in ki oklepa z osjo x kot α, pa je na razdalji %P = 3a/2 prevoj
kampile. Skozenj je treba načrtati le še vzporednico s premico skozi O in
C, jo presekati s krožnico s sredǐsčem v D(a,0) in polmerom a, pa dobimo
točko P , ki ima za absciso b = ∣P0P ∣, kar je približek za a 3
√
2. Podrobnosti
so razvidne na sliki 4.
Slika 4. Približna podvojitev kocke.
Konstrukcija je približno tako natančna kot Plemljeva konstrukcija pra-
vilnega sedemkotnika (glej [4]). Pri kocki z robom a = 100 m je napaka pri
robu tako približno podvojene kocke okoli 3,6 mm, kar pa se precej pozna
pri prostornini, za katero lahko napako hitro ocenimo z diferencialnim ra-
čunom. Kocka z robom x ima prostornino V = x3, zato je dV = 3x2 dx. Za
x = 126 m in dx = 3,6 mm dobimo dV = 171 m3. Relativna napaka pa je
majhna: samo okoli 8,5 ⋅ 10−5. Dvomimo, da bi kdo v praksi podvajal tako
veliko kocko.
LITERATURA
[1] G. Kocijančič (ured.), Fragmenti predsokratikov, Študentska založba, Ljubljana, 2012.
[2] B. von Pape, Von Eudoxus zu Uhlhorn, Books on Demand, Norderstedt, 2019.
[3] M. Jerman, Reševanje treh velikih starogrških problemov, Obzornik. mat. fiz. 59
(2012), 182–192.
[4] J. Plemelj, Pravilni sedmerokotnik, Obzornik. mat. fiz. 3 (1953), 134–135.
[5] M. Razpet, Arhitova krivulja, Obzornik. mat. fiz. 62 (2015), 1–11.
121–127 127
i
i
“Likar” — 2021/12/16 — 7:06 — page 128 — #1 i
i
i
i
i
i
IZ ZGODOVINE
EULER PRED FOURIEROM
ANDREJ LIKAR
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 01A50
V prispevku obravnavamo del vsebine pisma, ki ga je Leonhard Euler poslal Christianu
Goldbachu 4. julija 1744. V njem je navedel svojo pot do za tisti čas nenavadne vrste, ki
jo je odkril med pisanjem neke razprave o diferencialnem računu.
EULER AHEAD OF FOURIER
We discuss an interesting part of a letter which was written by Leonhard Euler to
Christian Goldbach on 4th of July 1744. He reported on for that time a curious series
discovered during his work on a treatise on differential calculus.
Leonhard Euler (1707–1783) si je dopisoval s številnimi takratnimi znan-
stveniki. Dopisovanje je skrbno vodil, zato je večina pisem do danes ohra-
njena in na voljo vsakomur. Kot je impozanten njegov opus, je tudi število
pisem v obe smeri zelo veliko (okrog 3200), dopisovalcev pa je bilo okoli 300.
Skoraj 200 pisem si je izmenjal s Christianom Goldbachom (1690–1764),
profesorjem matematike v Moskvi. Eno teh, ki ga je napisal Euler 4. julija
1744, vsebuje za tisti čas presenetljivo ugotovitev, in sicer Fourierovo vrsto:
π − t
2
= sin t+
sin 2t
2
+
sin 3t
3
+ · · · , 0 < t < 2π.
Joseph Fourier (1768–1830), ki mu danes pripisujemo zasluge za odkritje
trigonometričnih vrst in jih poimenujemo po njem, je bil rojen šele leta 1768,
torej 24 let po tem pismu. Kako se je Fourier lotil vrst, je lepo opisano v
kateremkoli visokošolskem učbeniku matematike, pri nas glej na primer [1].
Kako pa se je tega lotil Euler? Zelo preprosto sicer, vsak študent drugega
semestra naravoslovja ali tehnike bi sledil razlagi, a pri tem odkimaval z
glavo.
Začel je z naslednjo vrsto:
S(t) = eit + e2it + e3it + e4it + e5it + e6it + · · ·
128 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Likar” — 2021/12/16 — 7:06 — page 129 — #2 i
i
i
i
i
i
Euler pred Fourierom
Pri tem je t realno število. Zapisano bolj strnjeno:
S(t) =
∞∑
k=1
eikt .
Tu se odkimavanje pojavi prvič. Vsekakor čudna vrsta, saj členi z narašča-
jočim k nikakor ne padajo, njihova absolutna vrednost je ves čas enaka 1.
To se še bolj jasno vidi, če uporabimo znamenito Eulerjevo enačbo
eit = cos t+ i sin t ,
torej
S(t) = cos t+ cos 2t+ cos 3t+ · · ·+ i(sin t+ sin 2t+ sin 3t+ · · · ) .
Ne realni ne imaginarni del vrste nimata smisla, vrsti sta divergentni, še
tako pozni členi opletajo na intervalu med −1 in 1. Divergentne vrste so
bile jabolko spora tudi v Eulerjevem času. Goldbach je njihovo uporabo
zagovarjal že več kot dvajset let pred tem, kar se vidi iz njegovega dopiso-
vanja z Bernoullijema. Tudi Euler je bil prepričan, da lahko divergentnim
vrstam pripǐsemo neko vsoto. S to metodo je prǐsel do osupljivih rezultatov,
posebej v teoriji števil. Vendar, le kako?
Pa si oglejmo primer. Imamo vrsto:
T = 1− 2 + 3− 4 + 5− 6 + 7− 8 + · · ·
Gotovo je vrsta divergentna, saj njeni členi po absolutni vrednosti naraščajo.
Na prvi pogled bi mislili, da je povsem nesmiselna. A razmǐsljamo lahko po
drugi poti. Oglejmo si identiteto:
1 + x+ x2 + x3 + x4 + · · · = 1
1− x
.
Velja pri |x| < 1 in je geometrijska vrsta s kvocientom x. Sedaj jo odvajajmo
po x na obeh straneh:
1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + · · · = 1
(1− x)2
.
Če zamenjamo x z −x, dobimo
1− 2x+ 3x2 − 4x3 + · · · = 1
(1 + x)2
.
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 129
i
i
“Likar” — 2021/12/16 — 7:06 — page 130 — #3 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Če sedaj hrabro postavimo x = 1, imamo
1− 2 + 3− 4 + · · · = 1
4
.
Torej smo nesmiselni vrsti pripisali vsoto. Matematiki tej vsoti rečejo Abe-
lova ali Abel-Poissonova vsota divergentne vrste.
Francoski matematik in matematični fizik Simeon Denis Poisson (1781–
1840) je postavil tudi tole definicijo:
Definicija 1. Če za dano vrsto
∞∑
n=0
an (1)
potenčna vrsta
f(x) =
∞∑
n=0
anx
n
konvergira za −1 < x < 1 ter obstaja limita S funkcije f(x), ko se re-
alno število x z leve bliža 1, imenujemo to limito Abel-Poissonova vsota ali
Abelova vsota vrste (1).
Slavni norveški matematik Niels Henrik Abel (1802–1829) je dokazal
naslednji izrek [2, 3]:
Izrek 2. Če pri pogojih zgornje definicije vrsta (1) konvergira, je njena vsota
enaka Abelovi vsoti.
Izrek velja tudi za kompleksne an.
Tudi od drugih metod sumacije divergentnih vrst zahtevamo, da v pri-
meru konvergentne vrste dajo običajno vsoto. Seveda pa je Abel vedel, da
obstajajo tudi take možnosti sumiranja divergentnih vrst, ki pripeljejo pri
isti vrsti do različnih vsot. Zato je zapisal: »Divergentne vrste so hudičeva
iznajdba . . . «
Čeprav je enačba
1− 2 + 3− 4 + · · · = 1
4
milo rečeno nenavadna, se moramo zavedati, kaj smo pravzaprav naredili.
Ko smo hrabro postavili x = 1, smo v resnici le limitirali  pri x = 1 − 
130 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Likar” — 2021/12/16 — 7:06 — page 131 — #4 i
i
i
i
i
i
Euler pred Fourierom
proti nič, pri čemer  ni nikoli res natanko nič. S še tako majhnim  pa
polagoma odrežemo vpliv zelo oddaljenih členov na vsoto. Ker vrsto zapi-
sujemo le s prvimi nekaj členi, ta odrez nekako spregledamo. V teoretični
fiziki zasledimo prav pretresljivo enačbo
1 + 2 + 3 + 4 + · · · = − 1
12
,
kjer smo na levi strani spet napisali le limite nekaj prvih členov. Gre pa za
tole limito:
lim
→0
∞∑
n=1
ne−n cos n = − 1
12
,
kar pojasni negativno vsoto.
V fiziki moramo pogosto nežno odrezati vpliv divergentnih členov na
vsoto kake vrste. To se rado dogaja pri perturbativnih računih kake fizi-
kalne količine v kvantni mehaniki. Pravimo, da vrsto regulariziramo. Naj-
pogosteje dobro deluje, če vsak člen pomnožimo z neko primerno izbrano
regulacijsko funkcijo f(k, ). Za prikazan primer, ko smo vrsti pripisali Abe-
lovo vsoto, bi namreč pri
S1() =
∞∑
k=0
(−1)k(k + 1)f(k, )
izbrali funkcijo f(k, ) = e−k = xk. V limiti  → 0 gre x → 1 z leve, kot
to terja Abelova vsota. Brez kake posebne utemeljitve pogosto izberejo tole
funkcijo:
f(k, ) = e−k
2
.
Tudi pri tej funkciji limitiramo  proti nič. Pri zelo majhnem  tako vplivamo
le na zelo oddaljen vrstin rep, drugih členov ne spremenimo kaj dosti. Z
računalnikom se prepričamo, da dobimo tudi s to funkcijo lim→0 S1() =
1
4 .
Če smo na dva načina našli vsoto zgornje vrste, jo je Euler gotovo našel
tudi za S(t), saj tu členi po absolutni vrednosti ne naraščajo. Brez zadržkov
se je lotil računanja. Vrsto S(t) je zapisal, kot se spodobi za geometrijsko
vrsto:
S(t) =
eit
1− eit
= −1
2
+ i
sin t
2(1− cos t)
= cos t+ cos 2t+ cos 3t+ · · ·+ i(sin t+ sin 2t+ sin 3t+ · · · ) .
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 131
i
i
“Likar” — 2021/12/16 — 7:06 — page 132 — #5 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Torej mora veljati:
cos t+ cos 2t+ cos 3t+ · · · = −1
2
.
Euler je torej na zelo preprost način našel vsoto tej divergentni vrsti. Seveda
je našel tisto, kar so pozneje imenovali Abel-Poissonovo vsoto. Geometrijska
vrsta
∞∑
k=1
eiktxk
namreč konvergira za |x| < 1. Njena vsota je
S(t, x) =
eitx
1− eitx
.
Ko se x od spodaj bliža 1, vsota konvergira k
S(t) =
eit
1− eit
.
Z računalnikom in z regulacijsko funkcijo f(k, ) = e−k
2
pridemo do enake
vsote.
Sedaj levi in desni strani enačbe cos t + cos 2t + cos 3t + · · · = −12
poǐsčemo nedoločeni integral in dobimo:
sin t+
sin 2t
2
+
sin 3t
3
+ · · · = − t
2
+ C .
Konstanto C določimo tako, da postavimo
t =
π
2
,
torej
1− 1
3
+
1
5
− 1
7
+ · · · = −π
4
+ C =
π
4
.
Vrsto na levi pa je Euler poznal, saj je bila takrat že znana. Poznal jo je že
Indijec Madhava Sangamagrama (c. 1350–c. 1425), v Evropi pa Škot James
Gregory (1638–1675) leta 1671, in je:
1− 1
3
+
1
5
− 1
7
+ · · · = π
4
.
132 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Likar” — 2021/12/16 — 7:06 — page 133 — #6 i
i
i
i
i
i
Euler pred Fourierom
To danes utemeljimo takole: Za |x| < 1 velja
1− x2 + x4 − x6 + · · · = 1
1 + x2
.
Integrirajmo:
x− 1
3
x3 +
1
5
x5 − 1
7
x7 + · · · = arctanx+D . (2)
Če postavimo x = 0, vidimo, da je D = 0. Vemo, da vrsta
1− 1
3
+
1
5
− 1
7
+ · · · (3)
konvergira. Zato je Abelova vsota vrste (3), ki je limita desne strani v
enačbi (2), ko gre x z leve proti 1, enaka arctan 1 = π4 . Po Abelovem izreku
je Abelova vsota enaka vsoti vrste (3).
Tako je C določen in torej na intervalu 0 < t < 2π res velja:
π − t
2
= sin t+
sin 2t
2
+
sin 3t
3
+ · · ·
Pri t = 0 je na desni strani zgornje enačbe 0, na levi strani pa π2 , prav tako
enakost ne velja pri t = 2π. To ni presenetljivo. Vrsta na desni strani zgornje
enačbe je periodična s periodo 2π. Če levo stran periodično nadaljujemo s
periodo 2π, ima pri t = 0 desno limito enako π2 , levo limito pa enako levi
limiti pri 2π, torej −π2 . Fourierova vrsta pri t = 0 konvergira k aritmetični
sredini leve in desne limite naše funkcije, torej k 0. Enako velja pri t = 2π.
LITERATURA
[1] R. Jamnik, Trigonometrijske vrste, v: I. Vidav, Vǐsja matematika II, DZS, Ljubljana,
1979, 189.
[2] G. M. Fihtengol’c, Kurs differencial’nogo i integral’nogo isčislenia, II del, Nauka,
Moskva, 1969, 397–398.
[3] Abel’s theorem, Wikipedia, dostopno na https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_
theorem, ogled 11. 10. 2021.
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 133
i
i
“Prezelj” — 2021/12/13 — 9:03 — page 134 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
F. Forstnerič, Stein manifolds and holomorphic mappings: the homotopy
principle in complex analysis, 2nd ed., Springer, Cham, 2017, 562 strani.
Pred nami je druga izdaja knjige Stein
Manifolds and Holomorphic Mappings,
avtorja akad. prof. dr. Franca Forstne-
riča. Delo je posvečeno homotopskemu
principu v kompleksni analizi, ki se po
pionirju moderne kompleksne analize Ki-
yoshiju Oka imenuje princip Oka. V gro-
bem povedano princip Oka trdi, da imajo
kohomološko formulirani analitični pro-
blemi na Steinovih mnogoterostih zgolj
topološke ovire. Moderni princip Oka
nadomesti kohomološko formulacijo pro-
blemov s homotopsko formulacijo, v po-
vezavi z ustreznimi fleksibilnostnimi po-
goji na kodomene holomorfnih preslikav.
Namen dela je bil predstaviti razvoj principa Oka od klasičnega principa
Oka-Grauert iz let 1939–1958, preko homotopskega principa in eliptičnih
mnogoterosti, pojmov, ki ju je uvedel Mikhail Gromov leta 1989, teorije
Andersén-Lempert (1992) o holomorfnih avtomofizmih kompleksnih evklid-
skih prostorov in njim sorodnih kompleksnih mnogoterosti, do noveǰsih re-
zultatov avtorja in njegovih številnih sodelavcev od l. 2000 dalje.
Glavna pojma knjige sta Steinova mnogoterost in mnogoterost Oka, ki
sta v določenem smislu dualna. Steinove mnogoterosti so zaprte kompleksne
podmnogoterosti kompleksnih evklidskih prostorov. Posledično imajo take
mnogoterosti veliko holomorfnih funkcij in s tem tudi obilico holomorfnih
preslikav v kompleksne evklidske prostore; torej so naravne domene holo-
morfnih preslikav. Po drugi strani pa mnogoterosti Oka vsebujejo obilico
holomorfnih slik kompleksnih evklidskih prostorov in so zato naravne ko-
domene holomorfnih preslikav. Zato je naravno pričakovati obstoj velike
134 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Prezelj” — 2021/12/13 — 9:03 — page 135 — #2 i
i
i
i
i
i
Stein manifolds and holomorphic mappings: the homotopy principle in complex analysis
družine holomorfnih preslikav Steinovih mnogoterosti v mnogoterosti Oka.
Potrditev in preciziranje tega dejstva so med glavnimi rezultati, predstav-
ljenimi v pričujoči knjigi.
Knjiga je razdeljena v tri večje sklope. V prvem sklopu z naslovom Stein
Manifolds (str. 2–203) se nahajajo poglavja Preliminaries, Stein manifolds,
Stein Neighborhoods and Approximation ter Automorphisms of Complex
Euclidean Spaces, kjer so predstavljene nekatere temeljne teme analize na
Steinovih mnogoterostih.
Osrednji del knjige predstavlja drugi sklop Oka Theory (str. 207–349).
Poglavje Oka Manifolds se začne z zgodovinskim pregledom klasične teo-
rije Oka-Grauert. Glavnina poglavja je posvečena moderni teoriji Oka, ki
je nastala po letu 2000. Avtor uvodoma predstavi definicijo mnogoterosti
Oka, ki jo je uvedel v enem od svojih člankov l. 2009: kompleksno mno-
goterost Y imenujemo mnogoterost Oka, če lahko vsako holomorfno pre-
slikavo f : K → Y z okolice neke kompaktne konveksne podmnožice K
kompleksnega evklidskega prostora Cn (za poljuben n) aproksimiramo ena-
komerno na K s holomorfnimi preslikavami Cn → Y . Preostanek poglavja
je posvečen dokazu glavnega izreka (izrek 5.4.4), ki pove, da holomorfne
preslikave Steinovih mnogoterosti v Oka mnogoterosti zadoščajo vsem po-
membnim rezultatom klasične funkcijske teorije v odsotnosti topoloških ovir.
Poglavje se zaključi z vrsto med seboj netrivialno ekvivalentnih karakteri-
zacij mnogoterosti Oka. V naslednjem poglavju Elliptic Complex Geometry
and Oka Theory je predstavljen koncept eliptičnosti, ki ga je uvedel v teorijo
M. Gromov v pomembnem delu leta 1989. Podrobno je predstavljen dokaz
izreka Gromova o homotopskem principu za prereze eliptičnih holomorfnih
submerzij nad Steinovimi prostori in nekatere posplošitve. Vsaka eliptična
kompleksna mnogoterost je tudi mnogoterost Oka, obratno pa ne velja. V
naslednjem poglavju Flexibility Properties of Complex Manifolds and Holo-
morphic Maps avtor razloži, kako se pojma mnogoterosti Oka in eliptičnosti
vklapljata v druge znane holomorfne fleksibilnostne lastnosti kompleksnih
mnogoterosti kot so C-povezanost, Liouvilleova lastnost, veljavnosti trans-
verzalnostnih izrekov za holomorfne preslikave in druge. Poglavje vsebuje
tudi pregled noveǰsih rezultatov po 1. izdaji knjige l. 2011.
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 135
i
i
“Prezelj” — 2021/12/13 — 9:03 — page 136 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
V tretjem, zadnjem delu knjige, z naslovom Applications (353–531), so
v poglavju Applications of Oka Theory and Its Methods predstavljeni pri-
meri uporabe teorije Oka za iskanje prerezov holomorfnih vlaknenj, upo-
raba v teoriji transverzalnosti za holomorfne preslikave, odstranjevanje sa-
mopresečǐsč, uporaba principa Oka v rešitvi holomorfnega Vassersteinovega
problema in vrsta drugih. V poglavju Embeddings, Immersions and Sub-
mersions so predstavljene konstrukcije holomorfnih vložitev in imerzij Stei-
novih mnogoterosti v evklidske prostore ter sorodne kompleksne mnogote-
rosti, princip Oka za prave holomorfne preslikave, konstrukcija holomorf-
nih funkcij brez kritičnih točk na Steinovih mnogoterostih, ter konstrukcije
pravih holomorfnih vložitev odprtih Riemannovih ploskev v evklidsko rav-
nino C2. V zadnjem poglavju, Topological Methods in Stein Geometry,
je predstavljena Eliashberg-Gompfova konstrukcija integrabilnih Steinovih
struktur na skoraj kompleksnih mnogoterostih, s posebnim poudarkom na
4-dimenzionalnih mnogoterostih in s tem povezanim ›mehkim‹ principom
Oka, ki poleg običajne homotopske deformacije preslikav dodatno dopušča
homotopno spremembo kompleksne strukture na izvorni Steinovi mnogote-
rosti.
Pričujoča knjiga je – tako kot njena predhodnica iz l. 2011 – postala
pomembna referenca za vsakogar, ki se raziskovalno ukvarja s kompleksno
analizo, posebej za tiste, ki se ukvarjajo s principom Oka v katerikoli nje-
govi različici. Gre za edino knjigo, kjer je (poleg klasične Steinove teorije)
predstavljena tako teorija Oka kot tudi teorija kompleksnih mnogoterosti z
veliko grupo holomorfnih avtomorfizmov (taki so npr. kompleksni evklidski
prostori in velika večina kompleksnih Liejevih grup in homogenih prosto-
rov). V delu je prikazano, kako sta ti dve področji kompleksne analize med
seboj intimno povezani.
Na osnovi razvoja teorije Oka v zadnjih desetletjih in še posebej uvedbe
pojma Oka mnogoterosti v literaturo je bilo leta 2020 v matematično kla-
sifikacijo MSC-2020 uvedeno novo področje »32Q56 Oka principle and Oka
manifolds«.
Jasna Prezelj
136 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Semrl” — 2021/12/13 — 9:04 — page 137 — #1 i
i
i
i
i
i
Zero product determined algebras
M. Brešar, Zero product determined algebras, Frontiers in Mathematics,
Birkhäuser/Springer, Basel, 2021, 185 strani.
Profesor Matej Brešar, avtor znanstvene
monografije, ki je nedavno izšla pri za-
ložbi Birkhäuser/Springer, je študij ma-
tematike na Univerzi v Ljubljani vpisal
leta 1983. Po končanem dodiplomskem
študiju je sledil bliskovit vzpon med vo-
dilne slovenske matematike. Zelo mlad
je leta 1990 doktoriral in samo pet let ka-
sneje že prejel nagrado Republike Slove-
nije za znanstveno-raziskovalno delo (da-
našnjo Zoisovo nagrado). Leta 2015 je
bil kot izredni član sprejet v Slovensko
akademijo znanosti in umetnosti, od leta
2021 pa je njen redni član. Je redni pro-
fesor na Fakulteti za matematiko in fi-
ziko Univerze v Ljubljani in na Fakul-
teti za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru. V letih 2014 do
2016 je bil predsednik Društva matematikov, fizikov in astronomov Slove-
nije. Vključen je tudi v raziskovalno delo na Inštitutu za matematiko, fiziko
in mehaniko v Ljubljani.
Rezultati njegovega znanstvenega dela so bili objavljeni v več kot 160
znanstvenih člankih. Sodi med najbolj citirane slovenske matematike. V
zadnjem času se odlikuje kot plodovit pisec učbenikov in znanstvenih mono-
grafij. Je avtor učbenika Uvod v algebro, ki je izšel pri DMFA Založnǐstvo.
V zadnjih petnajstih letih so izšle štiri njegove knjige pri založbi Sprin-
ger. Leta 2007 je s soavtorjema M. Chebotarjem in W. S. Martindaleom
izdal znanstveno monografijo »Functional identities«. Sledila sta učbenika
»Introduction to noncommutative algebra« in »Undergraduate Algebra. A
unified approach«, ki sta bila natisnjena v letih 2014 in 2019. V septem-
bru 2021 pa smo pričakali še njegovo zadnjo znanstveno monografijo »Zero
product determined algebras«.
Spomnimo se, da je algebra množica s tremi operacijami. Tu sta najprej
dve notranji operaciji, to sta seštevanje in množenje. Za seštevanje zah-
tevamo vse običajne lastnosti, pri množenju pa se po navadi omejimo na
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 137
i
i
“Semrl” — 2021/12/13 — 9:04 — page 138 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
zahtevo, da je asociativno. Zelo pogosto pa se obravnavajo tudi neasocia-
tivne algebre, kot so npr. Liejeve in jordanske algebre. Tretja operacija je
zunanja. To je množenje s skalarji in tu zahtevamo podobne lastnosti, kot
jih ima množenje običajnih vektorjev s skalarji.
Izkaže se, da o nekaterih algebrah lahko povemo zelo veliko, če poznamo
zgolj tiste urejene pare elementov, katerih produkt je enak nič. Kadar nam
ta informacija zadostuje za dobro razumevanje strukture algebre, govorimo
o algebri, določeni z ničelnim produktom. Ta »definicija« je bila namenoma
predstavljena nenatančno, saj želimo v tem kratkem zapisu zgolj intuitivno
predstaviti glavne matematične ideje, o katerih teče beseda v monografiji.
Vsi, ki bi želeli izvedeti več, ste toplo vabljeni k prebiranju te monografije.
Koncept algebre, določene z ničelnim produktom, je naravno zrasel iz
študija dveh na prvi pogled povsem nepovezanih problemov. Prvi je pro-
blem karakterizacije linearnih ohranjevalcev komutativnosti na centralnih
enostavnih algebrah, drugi pa je študij lokalnih odvajanj na operatorskih
algebrah. Stična točka pri obravnavi teh dveh problemov je bil študij bi-
linearnih preslikav, ki imajo ničelno vrednost na vseh parih elementov z
ničelnim produktom. V obeh primerih je bil to odločilni korak k rešitvi za-
stavljenega problema. To je potem naravno vodilo do koncepta, ki je tema
pričujoče monografije. Lahko bi rekli, da je ta koncept v začetku služil zgolj
kot glavno orodje pri rešitvi dveh konkretnih matematičnih problemov. A
se je kmalu izkazalo, da se zadaj skriva mnogo več – razvoj teorije je ves čas
stregel s številnimi uporabami v algebri in v analizi.
Že sam začetek teorije ima dualni značaj, algebrski na eni strani in ana-
litični na drugi. Avtor monografije je bil vodilni pri razvoju algebrske smeri,
pri analitičnem delu zgodbe pa je glavno vlogo odigral španski matematik
Armando Villena iz Univerze v Granadi. V monografiji se do sedaj pretežno
ločeni zgodbi združita in poenotita, kar vodi do mnogoterih poenostavitev
že objavljenih rezultatov in dokazov.
Prvi del monografije je posvečen algebraični veji teorije, drugi analitični,
tretji pa je namenjen uporabi teorije na različnih področjih algebre in funk-
cionalne analize. Prav uporabnost teorije je bila ves čas glavna motivacija
za njen razvoj.
Peter Šemrl
138 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Cencelj” — 2021/12/13 — 9:12 — page 139 — #1 i
i
i
i
i
i
Nonlinear analysis – theory and methods
N. S. Papageorgiou, V. D. Rǎdulescu in D. D. Repovš, Nonlinear analysis
– theory and methods, Springer Monographs in Mathematics, Springer,
Cham, 2019, 577 strani.
V minulih petdesetih letih se je neline-
arna analiza razvila v zelo široko interdi-
sciplinarno raziskovalno področje in no-
bena knjiga ne more v celoti predstaviti
niti najnoveǰsega razvoja na vseh njenih
podpodročjih. Avtorji knjige, ki je iz-
šla pri eni izmed vodilnih znanstvenih
založb na svetu, so se odločili pouda-
riti tiste aspekte nelinearne analize, ki se
uporabljajo pri študiju nelinearnih rob-
nih problemov. Glede na to so jo razde-
lili na naslednjih šest poglavij: 1. Pro-
stori Soboljeva, 2. Kompaktni operatorji
in operatorji monotonega tipa, 3. Teo-
rije stopenj, 4. Delna urejenost, teorija
negibnih točk, variacijski principi, 5. Te-
orija kritičnih točk in 6. Morseova teorija
in kritične grupe. Na koncu vsakega po-
glavja so dodali opombe in reference na ustrezno literaturo. Monografija je
prvi zvezek dvodelne publikacije in je v celoti posvečena razvoju omenjenih
tem v abstraktnem okviru. Naslednji zvezek, ki je v tisku pri isti založbi,
pa je posvečen najpomembneǰsim aplikacijam in modelom, ki jih narekuje
realni svet.
Prvih pet poglavij uporablja analitične metode, ki jih tisti, ki so sezna-
njeni s funkcionalno analizo, že poznajo. S šibkimi odvodi funkcij v Lebes-
gueovih prostorih na evklidskem prostoru so vpeljani prostori Soboljeva.
Tak uvod je precej uveljavljen, prvi rezultati so dokazani z regularizacijo z
gladkimi konvolucijskimi jedri. Topološki vektorski prostori niso omenjeni,
teorija distribucij pa le mimogrede. To je razumljivo glede na namen, da se
gre v delu preko sicer široke palete metod za linearne parcialne diferencialne
enačbe. Standardni rezultati o vložitvah prostorov Soboljeva pa so podani
in tudi njihovi dualni prostori so predstavljeni že na začetku. Za tem sledi
poglavje o kompaktnih operatorjih na Banachovih in Hilbertovih prostorih.
Za neskončno-dimenzionalne separabilne Hilbertove prostore je predstavljen
in dokazan Spektralni izrek. Dodani so tudi monotoni operatorji, ki se iz-
kažejo za zelo koristne za predstavitev teorije.
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 139
i
i
“Cencelj” — 2021/12/13 — 9:12 — page 140 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Naslednja poglavja izkazujejo pomen homotopije (in nato tudi homolo-
gije) parov prostorov, ki pri obravnavi nivojskih množic operatorjev dajeta
pomembne informacije. Poleg kompaktnih operatorjev so na široko obdelane
večlične funkcije (ki preslikujejo točke Banachovega prostora v podmnožice
istega prostora). Leray-Schauderjevi teoriji stopenj je dodana diskusija Bro-
uwerjeve teorije stopenj za retrakte in razširjena na primer večličnih funkcij
(kjer je s stožci vpeljana struktura delne urejenosti). Vseskozi se pred-
stavitev začne na metričnih prostorih in nadaljuje na splošnih topoloških
prostorih. Teorija kritičnih točk je uporabljena za iskanje minimumov ener-
gijskih funkcionalov, ob tem pa so predstavljeni tudi variacijski koncepti.
Zadnji poglavji, o Morseovi teoriji in homoloških grupah kritičnih množic,
od bralca zahtevata nekaj znanja algebrske topologije.
Gre za zelo dobro napisan uvod v obravnavano področje. Vsi omenjeni
izreki so pomembni in predstavljeni na kompetenten in strogo znanstven
način. Uvod je jedrnato zastavljen, vendar ne predpostavlja poglobljenega
poznavanja algebrske topologije in se podaja v to področje z vidika mate-
matične analize. Vsa orodja za študij nelinearnih parcialnih diferencialnih
enačb so vključena in razložena na dovolj jasen način za uporabo v razisko-
valnem delu. To je eden najbolǰsih uvodov za vse, ki želijo raziskovati na
področjih teoretične in uporabne nelinearne analize. Pravzaprav je ciljna
publika te knjige precej širša, saj gre za odličen prikaz področja in detajlno
in zelo navdihujočo monografijo. V celoti gledano je knjiga odličen tekst
za nadaljevalni tečaj iz nelinearne analize na podiplomskem nivoju kakor
tudi odličen referenčni priročnik za raziskovalce in učitelje teorije in upo-
rabe parcialnih diferencialnih enačb. To dokazuje tudi izjemna citiranost te
knjige: po podatkih osrednje referenčne revije Mathematical Reviews je ta
knjiga daleč največkrat citirana med vsemi matematičnimi knjigami, ki so
izšle istega leta.
Dušan Repovš je redni profesor na Univerzi v Ljubljani, na Inštitutu za
matematiko, fiziko in mehaniko pa vodi Skupino za topologijo, geometrijo
in nelinearno analizo. Objavil je že več kot 450 raziskovalnih člankov in 4
monografije, ob tem je imel več kot 400 vabljenih predavanj na konferencah
in tujih ustanovah širom po svetu. Je ustanovni član Inženirske akademije
Slovenije, član Evropske akademije znanosti in umetnosti in drugih tujih
akademij. Prejel je nagrado Republike Slovenije za znanstveno-raziskovalno
delo, priznanje ambasador Republike Slovenije v znanosti, medaljo Bogolju-
bova in druga tuja priznanja. Je urednik v več tujih revijah in član številnih
tujih matematičnih združenj.
Matija Cencelj
140 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Irsic” — 2021/12/13 — 9:14 — page 141 — #1 i
i
i
i
i
i
Domination Games Played on Graphs
B. Brešar, M. A. Henning, S. Klavžar in D. F. Rall, Domination Games
Played on Graphs, SpringerBriefs in Mathematics, Springer, Cham, 2021,
121 strani.
Aprila je pri založbi Springer izšla nova
knjiga z naslovom Domination Games
Played on Graphs (Dominacijske igre na
grafih). Avtorji monografije so Boštjan
Brešar (Univerza v Mariboru), Michael
A. Henning (Univerza v Johannesburgu),
Sandi Klavžar (Univerza v Ljubljani) in
Douglas F. Rall (Univerza Furman), ki
vsi sodijo med vodilne raziskovalce na
področju dominacijskih iger. Knjiga
predstavlja strnjen pregled različic do-
minacijske igre ter rezultatov in odprtih
problemov povezanih z njimi. V glav-
nem je namenjena raziskovalcem, tako
mladim kot izkušenim. Avtorji v knjigi
največ pozornosti posvetijo osnovni raz-
ličici dominacijske igre, ki je bila v zadnjem desetletju deležna izjemne po-
zornosti.
Knjiga je razdeljena na pet poglavij. V prvem, uvodnem poglavju naj-
demo potrebne oznake in definicije. Spomnimo se, da vozlǐsče dominira
sebe in svoje sosede. Podmnožica vozlǐsč grafa je dominacijska množica,
če dominira vsa vozlǐsča grafa. Velikost najmanǰse dominacijske množice je
grafovska invarianta imenovana dominantno število grafa G in označena z
γ(G). Določanje dominantnega števila splošnih grafov je zahteven problem,
zato je zanimivo nanj pogledati tudi z vidika teorije iger. Dominacijska igra
je tekmovalna optimizacijska igra, ki so jo leta 2010 vpeljali prav Brešar,
Klavžar in Rall. Igro na danem grafu G igrata dva igralca (Dominator in Za-
vlačevalka), ki izmenično izbirata vozlǐsča in jih dodajata v izbrano množico.
Vsako izbrano vozlǐsče mora dominirati vsaj eno vozlǐsče, ki ga prej izbrana
vozlǐsča ne dominirajo. Igra se konča, ko izbrana množica tvori dominacij-
sko množico grafa G (in torej nadaljnje poteze niso mogoče). Igralca imata
nasprotujoča si cilja: Dominator želi doseči čim manǰso končno velikost iz-
brane množice, Zavlačevalka pa teži k čim večji končni množici izbranih
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 141
i
i
“Irsic” — 2021/12/13 — 9:14 — page 142 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
vozlǐsč. Igra nima zmagovalca ali poraženca. Oba igralca preprosto sledita
strategiji, ki najbolj ustreza njunemu cilju. Če oba igrata optimalno, končna
velikost množice izbranih vozlǐsč postane grafovska invarianta. Imenujemo
jo igralno dominantno število grafa G in označimo z γg(G), če prvo potezo
naredi Dominator, in z γ′g(G), če je Zavlačevalka prva na potezi.
Izmed različic dominacijske igre v prvem poglavju natančneje spoznamo
še celotno dominacijsko igro. Spomnimo se, da vozlǐsče celotno dominira
svoje sosede, ne pa tudi samega sebe. Celotna dominacijska igra je defini-
rana podobno kot dominacijska igra, le da mora izbrano vozlǐsče na vsaki
potezi celotno dominirati vsaj eno vozlǐsče, ki ga prej izbrana vozlǐsča še
ne dominirajo celotno. Če oba igralca igrata optimalno in igro na grafu G
začne Dominator, dobljeno invarianto označimo z γtg(G).
Drugo poglavje je posvečeno dominacijski igri. Predstavljena sta nada-
ljevalni princip in strategija namǐsljene igre, ki se izkaže za zelo uporabno
tehniko dokazovanja. Nadaljevalni princip je formalizacija intuitivno jasne
lastnosti, da se igra na grafu konča hitreje, če so nekatera vozlǐsča že vna-
prej dominirana, ki pa zahteva netrivialen dokaz. Naj G|S označuje graf G,
na katerem so vozlǐsča S ⊆ V (G) že dominirana, in naj γg(G|S) označuje
število potez v dominacijski igri na G|S, kjer prvo potezo naredi Dominator
in vozlǐsč iz S ni več treba dominirati. Nadaljevalni princip pravi, da če
je G graf in B ⊆ A ⊆ V (G), potem velja γg(G|A) ≤ γg(G|B). Podobna
lastnost velja tudi za igro, kjer začne Zavlačevalka. Predstavljene so znane
zgornje meje za igralno dominantno število grafa. Leta 2013 so Kinnersley,
West in Zamani postavili domnevo, da za vsak graf G brez izoliranih vozlǐsč
in z n vozlǐsči velja γg(G) ≤ 35n. Podobna domneva je še vedno odprta tudi
za drevesa brez izoliranih vozlǐsč. Pri dokazovanju tovrstnih zgornjih mej
je izredno uporabna metoda praznjenja Bujtáseve. Najbolǰsa znana zgornja
meja v splošnem je 58n, če se omejimo na grafe z najmanǰso stopnjo 2, pa je
dokazana zgornja meja 35n. Posebej je študirana tudi podobna domneva, ki
obravnava le grafe, ki premorejo Hamiltonovo pot (tj. pot v grafu, ki vsako
vozlǐsče obǐsče natanko enkrat). Za tak graf na n vozlǐsčih je domnevna
zgornja meja enaka
⌈
1
2n
⌉
.
Določanje igralnega dominantnega števila ni enostavno niti na posame-
znih družinah grafov. Avtorji predstavijo natančne vrednosti za poti, cikle
in njihove potence ter glavnike. Karakterizirani so grafi, ki imajo igralno
dominantno število enako 2 ali 3. Posebna pozornost je namenjena vplivu
142 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Irsic” — 2021/12/13 — 9:14 — page 143 — #3 i
i
i
i
i
i
Domination Games Played on Graphs
odstranitve vozlǐsča ali povezave na igralno dominantno število grafa. Ker
študirana invarianta za ti operaciji ni monotona, so tudi (povezavno) kri-
tični grafi definirani nekoliko drugače kot običajno. Predstavljena je tudi
časovna zahtevnost problema.
V tretjem poglavju avtorji predstavijo znane rezultate o celotni domi-
nacijski igri. Analogno z zgornjo mejo za igralno dominantno število je
postavljena domneva, da za vsak graf G na n vozlǐsčih, katerega vsaka kom-
ponenta vsebuje vsaj tri vozlǐsča, velja γtg(G) ≤ 34n. Natančna vrednost
celotnega igralnega dominantnega števila je znana za poti, cikle in ciklične
dvodelne grafe. Predstavljeni so kritični in popolni grafi, rezultati o vplivu
odstranitve vozlǐsča ter računska zahtevnost problema.
Če si predstavljamo, da dominacijsko igro igra samo Dominator, je
končna množica izbranih vozlǐsč ravno najmanǰsa dominacijska množica
grafa. Bolj zanimivo je torej študirati igro, ki jo igra samo Zavlačevalka
in porodi t. i. Grundyjevo dominantno število. Pri tej igri vozlǐsča izbira
le Zavlačevalka, njen cilj je še vedno končati igro s čim več izbranimi voz-
lǐsči, različna pravila za veljavnost poteze pa porodijo več različic igre. Tej
igri (in njenim različicam) je posvečeno četrto poglavje knjige. Posebej je
izpostavljena povezava ene izmed različic z ničelno prisilo in najmanǰsim
rangom.
Zadnje poglavje predstavi še preostale različice dominacijske igre. Med
drugim spoznamo disjunktno dominacijsko igro, povezano dominacijsko igro,
Z-, L- in LL-dominacijske igre ter nekatere igre na hipergrafih. Pri disjunk-
tni dominacijski igri eden izmed igralcev poskuša zgraditi dve disjunktni
dominacijski množici, pri čemer mu drugi igralec poskuša to preprečiti. Po-
vezana, Z-, L- in LL-dominacijska igra sledijo podobnim pravilom kot do-
minacijska igra, le da so pogoji za veljavnost poteze nekoliko drugačni. Na
koncu poglavja najdemo tudi strnjen pregled preostalih različic dominacij-
ske igre – nekatere so se v literaturi pojavile že pred letom 2010, vendar
niso bile nikoli deležne tolikšne pozornosti kot osnovna verzija dominacijske
igre, ki jo obravnava opisana knjiga.
Z jedrnatim pregledom definicij, rezultatov, metod dokazovanja in od-
prtih problemov knjiga predstavlja odlično referenco tako za bolj zagrete
študente kot za trenutne in bodoče raziskovalce na tem področju.
Vesna Iršič
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 143
i
i
“CastniClan” — 2021/12/13 — 9:14 — page 144 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
Dr. Nada Razpet – nova častna članica Društva matematikov, fizikov in
astronomov
Dr. Nada Razpet je v zadnjih tridesetih
letih res veliko prispevala k uspešnemu
delovanju Društva matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije, saj je bila od
leta 1991 pa do 2020, skoraj polnih 30
let, njegova podpredsednica.
Po končanem petletnem učiteljǐsču v
Ljubljani se je vpisala na študij mate-
matike in fizike na takratni Fakulteti za
naravoslovje in tehnologijo Univerze v
Ljubljani in diplomirala leta 1974. Leta
2008 je magistrirala iz fizikalnega izo-
braževanja, leta 2014 pa je na Fakulteti
za matematiko in fiziko Univerze v Lju-
bljani zagovarjala doktorsko disertacijo z naslovom Obravnava valovanja s
hamiltonsko metodo.
Po diplomi je bila zaposlena kot profesorica matematike in fizike na
Gimnaziji Bežigrad, nato pa najprej na Zavodu RS za šolstvo kot vǐsja sve-
tovalka za opismenjevanje v računalnǐstvu, potem pa na Pedagoški fakulteti
Univerze v Ljubljani in kasneje tudi na Pedagoški fakulteti Univerze na Pri-
morskem. Vseskozi je aktivno sodelovala na različnih seminarjih za učitelje
v osnovnih in srednjih šolah s strokovnimi prispevki o zgodnjem uvajanju
naravoslovja v šole, uporabi matematičnih in fizikalnih igrač pri pouku na
nižjih stopnjah ter uporabi računalnika pri pouku geometrije.
Njena bibliografija obsega na Cobissu 544 enot in sega od fizikalnih znan-
stvenih člankov, napisanih v sodelovanju z mentorjem in drugimi razisko-
valci, do del, kjer se ukvarja zlasti z vprašanji pouka fizike. Skoraj 100 njenih
strokovnih in poljudnih člankov je objavljenih v Preseku, Obzorniku za ma-
tematiko in fiziko ter v drugih slovenskih revijah, namenjenih popularizaciji
matematike in fizike v šolah. Od leta 2004 dalje je članica urednǐskega
odbora revije Obzornik za matematiko in fiziko.
Nada Razpet je bila skoraj štirideset let zelo aktivna pri Društvu mate-
matikov, fizikov in astronomov Slovenije. Vsako leto je kot podpredsednica
društva skrbela za priprave na redne letne občne zbore in urejala Bilten
144 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“CastniClan” — 2021/12/13 — 9:14 — page 145 — #2 i
i
i
i
i
i
Akad. Prof. dr. Josip Globevnik, novi častni član DMFA Slovenije
DMFA Slovenije, ki ob tej priložnosti izide. Bedela je nad realizacijo skle-
pov upravnega odbora, opravljala vrsto drobnih tekočih nalog in zastopala
DMFA Slovenije na različnih dogodkih. Sodelovala je pri dokumentiranju
spominskih obeležij zaslužnih matematikov in fizikov, pri organizaciji pro-
slav pomembnih obletnic in pri urejanju ustreznih zbornikov in publikacij.
Na letošnjem 8. kongresu evropskih matematikov, ki je bil julija v Portorožu,
je skupaj z Izidorjem Hafnerjem in Markom Razpetom pripravila predsta-
vitev petih pomembnih slovenskih matematikov (Vege, Močnika, Plemlja,
Laha in Vidava).
Leta 2002 je bila pri društvu ustanovljena zgodovinska sekcija, ki se je
sprva ukvarjala predvsem s pripravo Vegovih proslav, pozneje pa je iz nje
nastal in zaživel seminar za zgodovino matematičnih znanosti, na katerem
Nada Razpet vseskozi aktivno sodeluje, od lani pa ga tudi vodi.
Dr. Milan Hladnik, dr. Izidor Hafner in dr. Andrej Likar
Akad. prof. dr. Josip Globevnik, novi častni član DMFA Slovenije
Akademik, redni profesor dr. Josip Glo-
bevnik v pokoju in zaslužni profesor Uni-
verze v Ljubljani, je utemeljitelj komple-
ksne analize več spremenljivk v Slove-
niji in mednarodna avtoriteta na svojem
znanstvenem področju.
Rojen je bil leta 1945 v Ljubljani. Iz
matematike je diplomiral leta 1968 na
Univerzi v Ljubljani, magistriral na Uni-
verzi v Zagrebu leta 1971 in doktoriral
na Univerzi v Ljubljani leta 1972. Po
diplomi se je leta 1969 zaposlil na Fakul-
teti za arhitekturo, gradbenǐstvo in geo-
dezijo Univerze v Ljubljani. Leta 1973 je
postal docent, leta 1978 izredni profesor
in leta 1983 redni profesor za matematiko. Leta 1988 se je zaposlil na Od-
delku za matematiko in mehaniko Fakultete za naravoslovje in tehnologijo,
izpod okrilja katere je leta 1995 nastala Fakulteta za matematiko in fiziko.
Pri njenem formiranju je sam odigral pomembno vlogo kot tedanji prestoj-
nik Oddelka za matematiko. Na fakulteti je ostal do upokojitve v letu 2012.
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 145
i
i
“CastniClan” — 2021/12/13 — 9:14 — page 146 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
Predaval je številne predmete iz matematične analize in bil mentor vrsti
diplomantov, magistrantov in doktorandov. Izjemna je bila njegova vloga
pri mentorstvu in vsestranski pomoči mlaǰsim kolegom na začetku karierne
poti.
Globevnik je prvi v Sloveniji začel raziskovanja na področju komple-
ksne analize in je leta 1975 osnoval seminar za kompleksno analizo, ki ga je
samostojno vodil do leta 2001. Vseskozi je bil intenzivno prisoten v medna-
rodnem prostoru in je gostoval na številnih univerzah in inštitutih v Evropi,
ZDA in Izraelu, pogosto za dalǰsa obdobja. Njegov znanstveni opus obsega
117 originalnih del z različnih področij matematične analize. Številna med
njegovimi deli so objavljena v elitnih matematičnih revijah. Tako ima dve
objavi v najugledneǰsi reviji Annals of Mathematics (druga objava l. 2015 pri
starosti 70 let) ter objave v Inventiones Math., American J. Math., Math.
Ann., Anal. PDE, Trans. AMS in vrsti drugih. Znanstveno je sodeloval z
uglednimi svetovnimi matematiki, med drugimi z legendarnim Walterjem
Rudinom. Ves čas svoje kariere je bil nosilec raziskovalnih nalog, projektov
in programov pri Raziskovalni skupnosti Slovenije, Ministrstvu za znanost
in tehnologijo in nato pri ARRS. Za svoje raziskovalno delo je leta 1976
prejel Kidričevo nagrado. Leta 1985 je bil izvoljen za izrednega člana Slo-
venske akademije znanosti in umetnosti, leta 1989 pa za njenega rednega
člana. Leta 2019 je prejel Zoisovo nagrado za življenjsko delo.
Josip Globevnik je opravljal številne pomembne funkcije. Bil je predstoj-
nik Oddelka za matematiko na IMFM, član univerzitetnega sveta Univerze
v Ljubljani, predsednik programskega sveta za matematiko in mehaniko
pri Raziskovalni skupnosti Slovenije, predstojnik Oddelka za matematiko in
mehaniko FNT UL, član habilitacijske komisije Univerze v Ljubljani, član
znanstvenega sveta NAMA in koordinator za polje matematika pri Mini-
strstvu za znanost in tehnologijo, član komisije za nagrade in priznanja
Republike Slovenije, načelnik Oddelka za matematične, fizikalne, kemijske
in tehnǐske vede tretjega razreda SAZU in tajnik tretjega razreda SAZU.
Poleg imen, kot so Jurij Vega, Josip Plemelj in Ivan Vidav, je akad.
Josip Globevnik v mednarodnih matematičnih krogih eden najvidneǰsih in
najbolj cenjenih ter spoštovanih slovenskih matematikov.
Akad. prof. dr. Franc Forstnerič
146 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“ObcniZbor” — 2021/12/13 — 9:22 — page 147 — #1 i
i
i
i
i
i
74. Občni zbor DMFA Slovenije uspešno izveden na daljavo
74. Občni zbor DMFA Slovenije uspešno izveden na daljavo
Letošnji, že 74. Občni zbor DMFA Slovenije, je potekal 19. novembra 2021
na daljavo preko spleta. Znanstveno popoldne pred samim občnim zborom
sta ob 17. uri s tradicionalnima vabljenima znanstvenima predavanjema za
širše članstvo začela ugledna gosta. Prvi predavatelj, fizik prof. dr. Samo
Kralj, UM FNM, prejemnik Zoisovega priznanja 2020 in državne nagrade za
šolstvo 2021, je v predavanju Tekoči kristali: poligon osnovne fizike predsta-
vil pristop k matematični obravnavi zanimivih lastnosti tekočih kristalov s
pomočjo fizike topoloških defektov. Drugi predavatelj, matematik prof. dr.
Bojan Mohar, IMFM in Simon Fraser University, Kanada, je bil v zadnjem
obdobju izvoljen med častne člane American Mathematical Society (2020),
častne člane Society for Industrial and Applied Mathematics (2018) in v
akademijo znanosti pri Royal Society of Canada (2020). V predavanju Pre-
krǐzna števila in Hillova domneva je predstavil klasični problem določanja
prekrižnega števila polnega grafa in njegovo povezavo s sorodnimi problemi
kombinatorike, geometrije in verjetnosti.
Ob začetku Občnega zbora ob 18.30 je navzoče najprej pozdravila pred-
sednica Nežka Mramor Kosta in se zahvalila vsem članom, ki so prispevali
k uspešnemu delu Društva v zadnjem letu. Med čakanjem na sklepčnost je
Barbara Japelj Pavešić, Pedagoški inštitut, v kraǰsem predavanju predsta-
Slika 1. Vabljeno predavanje prof. dr. Bojana Moharja.
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 147
i
i
“ObcniZbor” — 2021/12/13 — 9:22 — page 148 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 2. Vabljeno predavanje Barbare Japelj Pavešić.
vila nekaj zadnjih spoznanj o slovenskem matematičnem in fizikalnem izo-
braževanju v luči mednarodnih raziskav. Predavanje je izpostavilo številne
kritične točke v šolskem sistemu in je pritegnilo veliko zanimanja poslušal-
cev.
Po ugotovitvi sklepčnosti (prisotnih 57 članov, od tega 14 članov Uprav-
nega odbora) se je Občni zbor nadaljeval s potrditvijo dnevnega reda in
delovnega predsedstva, ki sem ga vodil podpisani Boštjan Kuzman. Že v
naslednji točki je Ciril Dominko, predsednik statutarne komisije, predstavil
predlog novega Statuta DMFA Slovenije, ki je bil v nadaljevanju soglasno
potrjen z glasovanjem preko ankete v sistemu Zoom. Glavna razloga za
spremembe sta bila uskladitev z Zakonom o nevladnih organizacijah ter
sklep UO o možnosti plačevanja znižanih skupinskih članarin. Ob tem so
prisotni predlagali, da bi bilo primerno ponuditi popust pri članarini tudi
za upokojene člane. Obenem so bile v statutu urejene še nekatere druge
spremembe (natančneǰsa opredelitev pristojnosti organov društva, črtanje
členov, ki omenjajo podružnice, natančneǰsa opredelitev javnega delovanja
in obveščanja, ureditev možnosti izvajanja sej (sestankov upravnega odbora,
občnega zbora in drugih) na daljavo, in uvrstitev intelektualne lastnine Dru-
štva med premoženje).
V nadaljevanju so prisotni izvolili dva nova častna člana DMFA Slove-
nije, akad. prof. Josipa Globevnika, in dr. Nado Razpet, podeljenih je bilo
148 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“ObcniZbor” — 2021/12/13 — 9:22 — page 149 — #3 i
i
i
i
i
i
74. Občni zbor DMFA Slovenije uspešno izveden na daljavo
Slika 3. Imenovanje častnih članov.
tudi pet društvenih priznanj, ki so jih prejeli Metka Jemec, Katja Kmetec,
dr. Renato Lukač, Miran Ravnjak in Franc Savnik. Več o prejemnikih je
zapisano v posebnih prispevkih.
Sledil je pregled društvenih poročil za minulo leto. Podpredsednica Mar-
jeta Kramar Fijavž je ob predstavitvi poročil poudarila, da je bila kljub pan-
demiji večina dejavnosti uspešno izvedenih in na kratko izpostavila nekaj
dejavnosti (8. evropski matematični kongres junija v Portorožu, uskladitev
tekmovalnih pravilnikov s krovnim pravilnikom MIZŠ, prijava 11 selekcij-
skih in 6 interesnih tekmovanj iz znanja na razpis za sofinanciranje, vpe-
ljava novih tekmovanj Razvoj novih analitskih metod v medicini (skupaj s
FMF, MF, IJS) in Ekonomija (skupaj z EF), uspešna prijava na Javni raz-
pis za digitalno preobrazbo nevladnih in prostovoljskih organizacij (MJU)
v konzorciju z ZOTKS, pridobitev namenskih sredstev MIZŠ in priprave
na organizacijo Evropske fizikalne olimpijade v letu 2022 ter priprave na
organizacijo Evropske deklǐske matematične olimpijade v letu 2023.
Na kratko smo preleteli tudi druga poročila, ki so v celoti dostopna v
Biltenu na spletni strani DMFA Slovenije. Med njimi so poročilo predsednice
in podpredsednice in poročila strokovnih odborov (za matematiko, za fiziko,
za astronomijo, za ženske, študentske sekcije), 14 poročil komisij o državnih
tekmovanjih, 12 poročil o sodelovanjih na mednarodnih tekmovanjih in nekaj
poročil o drugih strokovnih aktivnostih (MARS, Presekov seminar, Seminar
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 149
i
i
“ObcniZbor” — 2021/12/13 — 9:22 — page 150 — #4 i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 4. Virtualna voščila ob podelitvi priznanj.
za zgodovino matematičnih znanosti, natečaj Matematika za bolǰsi svet,
Založnǐska dejavnost). Jurij Bajc je poročal o statusu Plemljeve vile, ki je
na razpolago za društvene (izobraževalne) dejavnosti, čakamo pa na ureditev
statusa s strani občine Bled, ki bi omogočal ponovno uporabo vile tudi za
turistične namene.
Pregled poročil smo zaključili s poročilom o članstvu, ki ga je pripravil
tajnik Janez Krušič. Društvo ima trenutno 882 aktivnih članov (820 rednih,
17 družinskih, 27 študentov, 18 častnih članov), od tega 752 individualnih
in 130 kolektivnih (IJS 116, UL FGG 6 in UL FRI 8). Od zadnjega občnega
zbora se je včlanilo 25 novih članov, 33 pa je članstvo prenehalo. Med njimi
so tudi trije, ki so se za vedno poslovili, in smo jim namenili minuto molka:
Marjan Kodelja, upokojeni profesor matematike in fizike na Gimnaziji Šent-
vid, Martina Koman, upokojena profesorica matematike in fizike, dolgoletna
sodelavka in predsednica (1982–1983) ter častna članica DMFA Slovenije,
ter dr. Edvard Kramar, upokojeni profesor matematike na UL FMF, dolgo-
letni sodelavec Komisije za tisk DMFA in več let odgovorni urednik revije
Presek.
Prisotni so soglasno potrdili Računovodsko poročilo za leto 2020, ki ga
je pripravila računovodkinja Simona Puncer Klemenčič in sta ga pred tem
že potrdila Upravni in Nadzorni odbor ter je v celoti objavljeno v javno
dostopni bazi AJPES. Po večjem primanjkljaju v letu 2019 je bil izid leta
150 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“ObcniZbor” — 2021/12/13 — 9:22 — page 151 — #5 i
i
i
i
i
i
74. Občni zbor DMFA Slovenije uspešno izveden na daljavo
Slika 5. Zaključni klepet udeležencev Občnega zbora.
2020 pozitiven kljub manǰsemu prihodku od kotizacij iz tekmovanj. Tre-
nutno stanje v letu 2021 je po podatkih računovodkinje prav tako ugodno.
Pred zaključkom Občnega zbora sem v imenu Upravnega odbora povedal, da
ǐsčemo sodelavce/ustanove za (so)organizacijo naslednjega Občnega zbora
ter kandidate za organe društva za obdobje 2022–2023, in da bi želeli da-
tum naslednjega Občnega zbora z volitvami napovedati še pred poletjem
2022. Drugih pobud s strani prisotnih ni bilo, članice in člani pa jih lahko
pošljete tudi naknadno na naslov tajnik@dmfa.si, ali posameznim članom
Upravnega odbora.
Ob koncu se je predsednica Nežka Mramor Kosta zahvalila vsem sode-
lavcem in ustanovam, posebej DMFA – založnǐstvu, FMF, ZOTKS, spon-
zorjem in donatorjem, članom Upravnega odbora in različnih komisij ter
udeležencem zbora. Posebno zahvalo za sodelovanje pri pripravah in vo-
denju občnega zbora je namenila tudi meni, sam pa sem se ji zahvalil za
uspešno in izjemno prizadevno vodenje DMFA Slovenije v zadnjem letu.
Omenil sem še druge sodelavce, ki so sodelovali pri pripravi in organizaciji
občnega zbora. To so bili predvsem Marjeta Kramar Fijavž, Matjaž Željko,
Martin Klanǰsček, Aleš Mohorič in Janez Krušič.
Boštjan Kuzman
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 151
i
i
“Priznanja” — 2021/12/10 — 13:10 — page 152 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
Metka Jemec, Katja Kmetec, dr. Renato Lukač, Miran Ravnjak in Franc
Savnik prejemniki priznanj DMFA za leto 2021
DMFA Slovenije že od leta 1968 podeljuje društvena priznanja z name-
nom promocije uspešnega strokovnega in pedagoškega dela posameznikov
ali ustanov na področjih matematike, fizike in astronomije. Na 74. Občnem
zboru DMFA Slovenije 19. novembra 2021 je komisija za priznanja podelila
pet priznanj za uspešno pedagoško in strokovno delo. Prejeli so jih Metka
Jemec, učiteljica matematike na OŠ Josipa Plemlja Bled, za ustvarjalen pouk
in uspešno delo z učenci na področjih matematike, logike in razvedrilne ma-
tematike, Katja Kmetec, učiteljica matematike na OŠ Prule, za ustvarjalno
strokovno delo in navduševanje osnovnošolcev za matematiko s skupinskimi
projekti, dr. Renato Lukač, profesor fizike na Gimnaziji Murska Sobota, za
uspešno delo z dijaki, mladimi raziskovalci in ljubitelji na področjih fizike in
astronomije, Miran Ravnjak, profesor matematike na Gimnaziji Velenje, za
dolgoletni prispevek h kvalitetnemu poučevanju matematike, in Franc Sav-
nik, upokojeni profesor matematike in nekdanji ravnatelj Gimnazije Brežice,
za trajen prispevek k poučevanju matematike in računalnǐstva v slovenskih
šolah.
Iskrene čestitke vsem prejemnikom! Komisija se zahvaljuje vsem predla-
gateljem za poslane predloge in tudi v prihodnje vabi vse člane in članice
društva, da predlagajo kandidate in kandidatke, ki v svojem okolju izstopajo
s kvalitetnim strokovnim ali pedagoškim delom.
V nadaljevanju objavljamo kratke utemeljitve, ki jih je pripravila komi-
sija na osnovi prejetih predlogov.
152 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Priznanja” — 2021/12/10 — 13:10 — page 153 — #2 i
i
i
i
i
i
Metka Jemec, Katja Kmetec, dr. Renato Lukač, Miran Ravnjak in Franc Savnik prejemniki
priznanj DMFA za leto 2021
Metka Jemec, učiteljica matematike na OŠ
Josipa Plemlja, Bled, prejme priznanje
DMFA Slovenije za ustvarjalen pouk in
uspešno delo z učenci na področjih mate-
matike, logike in razvedrilne matematike.
Metka Jemec je diplomirala na smeri
Matematika-tehnika na Pedagoški fakulteti
v Ljubljani, od leta 2001 pa poučuje ma-
tematiko na OŠ Josipa Plemlja, Bled. Pri
poučevanju matematike je zelo inovativna.
Učenke in učence z didaktično dobro zastav-
ljenimi aktivnostmi spodbuja k raziskova-
nju in samostojnemu projektnemu delu, kar je večkrat odmevno predstavila
s prispevki na nacionalnih konferencah o poučevanju matematike KUPM.
Ob kvalitetnem delu pri rednem pouku pa je tudi izjemno uspešna men-
torica tistim, ki se pripravljajo na tekmovanja. S sistematičnim delom na
krožkih jih odlično motivira in opremi z znanjem, ki je potrebno za uspeh na
tekmovanju. Na državnem nivoju so njeni učenci in učenke posebej uspešni
na tekmovanjih iz matematike za Vegova priznanja, logike in razvedrilne
matematike, na katerih so v zadnjih letih prejeli skupaj več kot 60 zlatih
priznanj in več kot 10 nagrad za najvǐsja mesta. Njeni učenci se od osnovne
šole poslovijo odlično opremljeni za nadaljevanje šolanja na srednji stopnji
in se radi še kasneje vračajo k njej po nasvete. To zelo cenijo tudi njeni
sokrajani, ki so ji na predlog večje skupine učencev in staršev leta 2020 za
požrtvovalno in srčno vzgojno delo podelili tudi Zlato priznanje občine Bled.
Katja Kmetec, učiteljica matematike na OŠ
Prule, Ljubljana, prejme priznanje DMFA
Slovenije za ustvarjalno strokovno delo in
navduševanje osnovnošolcev za matematiko
s skupinskimi projekti.
Katja Kmetec je diplomirala na smeri
Matematika-fizika na Pedagoški fakulteti v
Ljubljani leta 1999. Najprej je poučevala
matematiko na OŠ Brinje, Grosuplje, od
leta 2018 pa poučuje na OŠ Prule v Lju-
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 153
i
i
“Priznanja” — 2021/12/10 — 13:10 — page 154 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
bljani. Njeno pedagoško delo je navdihujoče in prepoznavno tudi v širšem
slovenskem prostoru. Na konferencah in strokovnih seminarjih v organizaciji
DMFA, ZRSŠ in PeF je pripravila vrsto odmevnih predstavitev (Raziskova-
nje vzorcev v igri Hanojski stolpi, S čarovnijo do motivacije pri dodatnem
pouku matematike, Matematični kazino, Matematični triki in igre) in ob-
javila več strokovnih prispevkov na temo posodobitve pouka matematike
v osnovni šoli. Že vrsto let kvalitetno sodeluje s Pedagoško fakulteto pri
izvajanju študentske prakse in v različnih tekmovalnih komisijah DMFA
Slovenije. Morda najbolj dragoceno pa je njeno neposredno delo z učenci,
ki jih za matematiko navdušuje z vključevalno zastavljenimi projekti. V
zadnjih letih so bile tako izrazito opazne njene aktivnosti ob dnevu števila
Pi oziroma Mednarodnem dnevu matematike, ob katerih je k sodelovanju
pritegnila več šol in izkoristila talente učencev za matematično navdihnjeno
ustvarjanje glasbe, likovnih in kuharskih umetnin, recitiranje, snemanje fil-
mov in druge aktivnosti. Katja Kmetec je zgled delavnosti, široke razgle-
danosti, kreativnosti in skromnosti – lastnosti, ki jih redko najdemo pri eni
sami osebi, a jih pri dobrem učitelju matematike vselej cenijo tako sodelavci
kot tudi učenci in starši.
Dr. Renato Lukač, prof. fizike na Gimna-
ziji Murska Sobota, prejme priznanje
DMFA Slovenije za uspešno delo z dijaki,
mladimi raziskovalci in ljubitelji na podro-
čjih fizike in astronomije.
Dr. Renato Lukač je leta 1992 zaključil
študij fizike na takratni Fakulteti za nara-
voslovje in tehnologijo Univerze v Ljubljani. Že leto prej se je zaposlil kot
učitelj fizike in računalnǐstva na Gimnaziji Murska Sobota, študij pa je na-
daljeval in leta 1999 na Univerzi na Dunaju doktoriral na področju uporabe
numeričnih metod pri raziskavah tekočih kristalov. Že tri desetletja dr.
Lukač z veliko predanostjo do pedagoškega in raziskovalnega dela uspešno
vzpodbuja številne dijake k poglobljenemu delu na področju naravoslovja
in računalnǐstva. Dijaki so pod njegovim mentorstvom pripravili več kot 20
raziskovalnih nalog, med katerimi so bile nekatere nagrajene tudi z zlatim
priznanjem na državnem srečanju mladih raziskovalcev, osvojili pa so tudi
vidne uspehe na tekmovanjih v znanju fizike in astronomije. Kot tajnik
154 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Priznanja” — 2021/12/10 — 13:10 — page 155 — #4 i
i
i
i
i
i
Metka Jemec, Katja Kmetec, dr. Renato Lukač, Miran Ravnjak in Franc Savnik prejemniki
priznanj DMFA za leto 2021
Astronomskega društva Kmica Renato Lukač že vrsto let organizira poletne
astronomske tabore in priložnostna javna astronomska opazovanja, občasno
pa sodeluje tudi v lokalnih medijih in na znanstveni konferenci PAZU. Za-
radi njegovega aktivnega sodelovanja je Gimnazija Murska Sobota ena od
treh lokacij, kjer poteka državno tekmovanje v znanju astronomije. Dr. Lu-
kač je svoje navdušenje za astronomijo uspešno prenesel na številne dijake in
dijakinje; nekateri med njimi so zdaj že uveljavljeni raziskovalci, zaposleni
na domačih in tujih ustanovah.
Miran Ravnjak, prof. matematike na Gi-
mnaziji Velenje, prejme priznanje DMFA
Slovenije za dolgoletni prispevek h kvalite-
tnemu poučevanju matematike.
Miran Ravnjak je leta 1982 diplomiral
na smeri Pedagoška matematika na takra-
tni Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo
v Ljubljani. Od leta 1983 poučuje na Šol-
skem centru Velenje, kjer je sprva učil na
Srednji strojni šoli, zdaj pa že več kot 30
let kvalitetno poučuje na Gimnaziji Velenje,
kar vsako leto znova pokažejo tudi rezultati
mature. Na matematičnih krožkih uspešno
pripravlja dijake na tekmovanja, občasno izvaja tečaje GeoGebre za dijake
ter sodeluje v različnih strokovnih projektih. Več kot deset let je vodil ak-
tiv matematikov na šoli. Ima odlično znanje matematike in nanj se lahko
mlaǰsi sodelavci vedno obrnejo po nasvet v zvezi z obravnavo posameznih
vsebin. Njegovo pedagoško delo vključuje tudi mentorstva pripravnikom in
študentom na praksi. Je skrben razrednik in v zbornici cenjen sodelavec, ki
večkrat poskrbi za smeh tudi kot član učiteljske gledalǐske skupine TREMA.
Med dijaki in dijakinjami je priljubljen, čeprav veliko zahteva, saj tudi ve-
liko nauči. Je dosleden in prav nič raztresen – odlično računa na pamet.
Odlikuje ga smisel za humor, kar so dijaki v času dela na daljavo še posebej
izpostavili. Generacije dijakov s ponosom povedo, da jih je prav on učil
matematiko in poudarjajo dobro podlago za študij. Vsaj štirje njegovi bivši
dijaki in dijakinje so iz matematike doktorirali, še več pa jih je zaključilo
študij pedagoške smeri. Ena od njih je o njem zapisala: »Je pošten, iskren,
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 155
i
i
“Priznanja” — 2021/12/10 — 13:10 — page 156 — #5 i
i
i
i
i
i
Vesti
preprost in srčen človek in bolǰsega učitelja si ne bi mogli želeti. Naučil
nas je uporabljati, ceniti in spoštovati matematiko in nas pripravil tudi na
življenje – za to mu bomo vedno hvaležni.«
Franc Savnik, upokojeni profesor matema-
tike in nekdanji ravnatelj Gimnazije Bre-
žice, prejme priznanje DMFA Slovenije za
trajen prispevek k poučevanju matematike
in računalnǐstva v slovenskih šolah.
Franc Savnik je diplomiral leta 1963 na
Prirodoslovno-matematični fakulteti Uni-
verze v Zagrebu. Njegova poklicna pot je
tesno povezana s poučevanjem matematike
na Gimnaziji Brežice, kjer je bil vrsto let
tudi ravnatelj. Leta 1971 je bil izbran v
Komisijo za uvajanje računalnǐstva v SŠ, ki
je poskusno uvedla pouk računalnǐstva v 7
slovenskih šol. Kot eden prvih učiteljev računalnǐstva v Sloveniji je tako
25 let na Gimnaziji Brežice poučeval tudi računalnǐstvo (1971–1996), tudi
v obdobju zaposlitve na Zavodu za šolstvo SRS (1972–1979). Franc Sav-
nik je soavtor didaktičnih gradiv in učbenikov za matematiko od petega do
osmega razreda OŠ, ki jih je Zavod za šolstvo prvič izdal med leti 1976 in
1980, njihove posodobitve in ponatisi pa so pri Državni založbi Slovenije
izhajali še vse do leta 2006. Za srednješolce je objavil zbirko nalog iz ele-
mentarne matematike in zbirko nalog za intenzivni pouk. Za monografijo
Z računalnikom v matematiko (DZS, 1987) je napisal poglavje o računanju
z velikimi celimi števili, več strokovnih prispevkov je objavil tudi v revijah
Presek in Obzornik. Leta 1996 je prejel nagrado RS na področju šolstva.
Še vedno zelo aktiven se zadnjih dvajset let poglobljeno posveča izdelovanju
umetnǐskih lesenih skulptur, ki pogosto ponazarjajo posebej zanimive plo-
skve, telesa in druge matematične objekte. Matematične in tehnične izzive
njihove izdelave je večkrat predstavil strokovni javnosti, nedavno tudi v pri-
spevku za 8. Evropski kongres matematike leta 2021, na katerem so njegove
skulpture v dar prejeli tudi prejemniki nagrad Evropskega matematičnega
združenja.
V imenu komisije pripravil Boštjan Kuzman
156 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Rosina” — 2021/12/10 — 13:10 — page 157 — #1 i
i
i
i
i
i
Francu Cvelbarju v spomin (1932–2021)
Francu Cvelbarju v spomin (1932–2021)
V devetdesetem letu življenja se je
26. novembra 2021 od nas poslovil ce-
njeni kolega prof. dr. Franc Cvelbar, upo-
kojeni redni profesor na Fakulteti za ma-
tematiko in fiziko, vǐsji znanstveni so-
delavec Instituta Jožef Stefan ter častni
član Društva matematikov, fizikov in
astronomov Slovenije.
Franc Cvelbar se je rodil v Gorenji
vasi pri Šmarjeti 18. januarja 1932. Po
končanih štirih razredih osnovne šole v
Šmarjeti je šolanje nadaljeval na gimna-
ziji v Novem mestu, kjer je leta 1951 tudi maturiral z odličnim uspehom.
Leta 1958 je diplomiral iz tehnične fizike na Odseku za fiziko tedanje Fakul-
tete za farmacijo, rudarstvo, metalurgijo in kemijsko tehnologijo. Nato je
bil eno leto na plodnem izpopolnjevanju v Milanu. Doktoriral je leta 1966
na tedanji Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo (»Konstrukcija teleskop-
skega scintilacijskega parskega spektrometra in meritev spektra žarkov gama
iz zajetja nevtronov energije 14 MeV v Al27«). Od leta 1968 je bil docent
na isti fakulteti in od 1978 redni profesor fizike. Večino svojega pedagoškega
dela je posvetil posodabljanju in vodenju fizikalnega praktikuma v 3. letniku
in zanj razvil niz vaj, ki so še danes aktualne, na primer vaje iz merjenja
sevanja radioaktivnih izotopov, mikrovalovne tehnike in optike in hologra-
fije. Občasno je tudi predaval jedrske meritve, fizikalna merjenja II, fiziko
I, največkrat za matematike, fiziko jedra in razvijal podiplomski praktikum
za didaktiko fizike in za nuklearno medicino. Posvečal se je tudi delu na po-
dročju uporabne fizike ter napisal več učbenikov, zlasti o jedrskih meritvah
(merjenju ionizirajočega sevanja). Največji prispevek slovenski fiziki pa je
dal prof. Cvelbar s svojim obsežnim in zavzetim mentorstvom. Diploman-
tom je pomagal pri razvoju številnih merilnih metod, ki so pomembne v in-
dustriji, kot je merjenje vlage v lesu, študij Reedovih kontaktnikov, merjenje
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 157
i
i
“Rosina” — 2021/12/10 — 13:10 — page 158 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
na podlagi holografske interferometrije, razvoj termoluminiscentne dozime-
trije, študij plazme, tankih plasti Cr-Ta-N, razvoj vakuumskega merilnika na
podlagi miniaturne Penningove črpalke in številnih drugih. Cele generacije
fizikov nosijo pečat njegovega vestnega in vztrajnega vodenja pri raziskavah
in pri pisanju del. Sprejel je mentorstvo s številnih področij uporabne fizike
s somentorstvom kolegov iz industrije. Tako je omogočil plodno sodelovanje
Oddelka za fiziko z industrijo in pomagal vzgajati zainteresirane študente
na poti v uporabno fiziko. Pri tem je pokazal izredno širino problematike.
Bil je mentor 5 doktorantom, 7 magistrantom in kar 55 diplomantom. Zelo
se je posvetil diplomantom iz drugih inštitutov in industrije in s tem povezal
fakulteto s prakso.
Z Zavodom za šolstvo je sodeloval pri pripravi programa za predmet fi-
zikalna merjenja v srednji šoli in sodeloval pri pisanju gradiv. Napisal je
univerzitetni učbenik Merjenja ionizirajočega sevanja in skripta podiplom-
skih predavanj o ionizirajočem sevanju. Sodeloval je pri dveh zbirkah vaj.
Profesor Cvelbar je bil hkrati tudi sodelavec Instituta Jožef Stefan.
Ukvarjal se je z raziskavami v atomski in jedrski fiziki, predvsem z zaje-
tjem nevtrona. Sodeloval je v skupini, ki je prva sistematično merila sevanje
gama iz zajetja nevtronov in ugotovila, da so nekatere veljavne vrednosti
presekov za tako reakcijo previsoke. Njihove izmerjene vrednosti so bile v
nekaterih primerih tudi do desetkrat nižje kot meritve, dobljene v ZDA z
neko drugo metodo. Vendar pa so se rezultati te meritve ujemali s teore-
tičnimi rezultati in kasneje z na novo izmerjenimi rezultati. Za to delo je s
sodelavci leta 1971 prejel Kidričevo nagrado. Na področju uporabne fizike je
razvijal nevtronsko dozimetrijo z uporabo polprevodnǐskih diod v času, ko
je bilo to področje povsem novo. Temeljit pristop k temu problemu je vodil
do povsem uporabnega sistema za nadzor nevtronskega obsevanja osebja.
Profesor Cvelbar je bil tudi odličen poznavalec problemov, ki so povezani
z dozimetrijo ionizirajočega sevanja. Sodeloval je z mednarodno atomsko
agencijo IAEA na Dunaju kot izvedenec za meritve, izračune in vrednotenje
presekov pri reakcijah, kjer nastajajo fotoni. Tovrstni podatki so pomembni
pri načrtovanjih modernih energijskih izvorov.
158 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“Rosina” — 2021/12/10 — 13:10 — page 159 — #3 i
i
i
i
i
i
Francu Cvelbarju v spomin (1932–2021)
Franc Cvelbar je bil tudi družbeno angažiran, sodeloval je v društvu
Slovenski katolǐski izobraženci in nekaj časa vodil Domoznansko društvo
Šmarjeta. Leta 2007 je bil skupaj z zgodovinarjem Stanetom Grando so-
urednik zbornika »Šmarjeta in Bela Cerkev skozi stoletja«, in je napisal
več prispevkov. Leta 2008 pa je postal prvi častni občan občine Šmarješke
Toplice.
V letih 1992–1994 je bil predsednik Društva matematikov, fizikov in
astronomov Slovenije, ki ga je vodil modro in zavzeto. Leta 2000 ga je
Društvo zaradi zaslug za razvoj fizike izvolilo za svojega častnega člana.
Dosežki prvega leta njegovega predsednikovanja so bili, da se je DMFA
včlanilo v Evropsko matematično društvo, Mednarodno matematično unijo
in Evropsko fizikalno društvo; organiziran je bil seminar za srednješolske
učitelje Ionizirajoče sevanje v okolju in sodelovanje na razstavi učil – Dnevi
slovenskega izobraževanja. Drugo leto pa je bilo posvečeno predvsem Pr-
vemu kongresu matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. Tudi njegova
zasluga je, da je vse teklo tako gladko. V drugem letu je tudi pomagal
utreti pot obnovi Plemljeve hǐse na Bledu, ki je sedaj na voljo za strokovna
srečanja in izobraževanje. Kot predsednik DMFA je s svojim navdušenjem
in človeško toplino mnogo pripomogel k prijetnemu delovnemu ozračju in
zagnanosti sodelavcev v raznih sekcijah društva.
Profesor Cvelbar je bil odličen kolega, vedno je rad pomagal z nasveti
in dejanji, prevzel je številne, tudi naporne obveznosti (»Ni znal reči: ne«).
Pogrešali bomo njegovo eksperimentalno razgledanost, modre pripombe in
optimistični prijateljski nasmeh. Tudi profesorjem fizike je s svojo izkuše-
nostjo in znanjem rad priskočil na pomoč z nasveti pri pripravi in izvedbi
poskusov ne le z besedo, ampak tudi s pripomočki. S študenti in pravza-
prav vsemi je gojil odnos, ki je odražal njegovo dušo, srce: topel, prijazen in
pošten. Med kolegi je s tem pustil neizbrisen pečat, ki sega tudi čez okvire
stroke.
Mitja Rosina in Aleš Mohorič
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 159
i
i
“kazalo” — 2021/12/14 — 8:53 — page 160 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
LETNO KAZALO
Obzornik za matematiko in fiziko 68 (2021)
številke 1–4, strani 1–160
Članki — Articles
Pomnožitev hiperkocke (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–9
Učinkovitost mobilne aplikacije #OstaniZdrav (Primož Lukšič) . . . . . . . . 41–51
Brownovo gibanje z elastičnimi trki (Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52–59
Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello (Bojan Hvala) . . . . . . . . . . . . . . . 81–99
Nobelova nagrada za razvoj fizikalne kozmologije (Dunja Fabjan) . . . . . . 100–111
Evdoksova kampila (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–127
Nove knjige — New books
I. Swanson, Introduction to Analysis with Complex Numbers
(Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24–26
A. Bátkai, M. Kramar Fijavž, A. Rhandi, Positive operator semigroups:
from finite to infinite dimensions (Marko Kandić) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27–28
P. Doreian (ur.), V. Batagelj (ur.), A. Ferligoj (ur.), Advances in Network
Clustering and Blockmodeling (Anja Žnidaršič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28–29
J. E. Leech, Noncommutative Lattices, Skew Lattices, Skew Boolean
Algebras and Beyond (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29–31
J. W. Helton, I. Klep, S. McCullough, M. Schweighofer, Dilations,
linear matrix inequalities, the matrix cube problem and beta
distributions (Aljaž Zalar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32–34
K. Yates, The Maths of Life and Death, Why Maths Is (Almost)
Everything (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35–III
A. M. Hinz, S. Klavžar in C. Petr, The Tower of Hanoi – Myths
and Maths (Tilen Marc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118–XI
Stein manifolds and holomorphic mappings: the homotopy principle
in complex analysis (Jasna Prezelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134–136
Zero product determined algebras, Frontiers in Mathematics
(Peter Šemrl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137–138
Nonlinear analysis – theory and methods (Matija Cencelj) . . . . . . . . . . . . . 139–140
Domination Games Played on Graphs (Vesna Iršič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141–143
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
160 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4
i
i
“kazalo” — 2021/12/14 — 8:53 — page 161 — #2 i
i
i
i
i
i
Letno kazalo
Iz zgodovine — Miscellanea
Stefanova naloga (Stanislav Južnič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10–17
Euler pred Fourierom (Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128–133
Zanimivosti — Miscellanea
Nesebičnost kot socialni optimum (Uroš Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60–67
Vesti — News
Pred Evropskim kongresom matematike v Sloveniji (Boštjan Kuzman) . 18–19
Mednarodne matematične novice (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–21
Manipulacije v znanstvenih objavah (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22–23
8. evropski kongres matematike v Portorožu izjemno uspešen
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68–73
Vabilo k vložitvi predlogov priznanj DMFA Slovenije 2021
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Akademik dr. Franc Forstnerič je prejel Bergmanovo nagrado
za leto 2019 (Josip Globevnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74–VII
Državno tekmovanje v razvoju novih analitskih metod v medicini – RIS
(Programska skupina Medicinska fizika) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112–114
Vabilo na Občni zbor DMFA Slovenije (Nežka Mramor Kosta) . . . . . . . . . 115
Martini Koman v spomin (1931–2021) (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . 116–117
Dr. Nada Razpet – nova častna članica Društva matematikov, fizikov in
astronomov (Dr. Milan Hladnik, dr. Izidor Hafner in
dr. Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144–145
Akad. prof. dr. Josip Globevnik, novi častni član DMFA Slovenije
(Akad. prof. dr. Franc Forstnerič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145–146
74. Občni zbor DMFA Slovenije uspešno izveden na daljavo
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147–151
Metka Jemec, Katja Kmetec, dr. Renato Lukač, Miran Ravnjak in
Franc Savnik prejemniki priznanj DMFA za leto 2021
(V imenu komisije pripravil Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152–156
Francu Cvelbarju v spomin (1932–2021)
(Mitja Rosina in Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157–159
Letno kazalo (urednǐstvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160–XVI
http://www.obzornik.si/
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 4 XVI
i
i
“kolofon” — 2021/12/16 — 7:07 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, DECEMBER 2021
Letnik 68, številka 4
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Evdoksova kampila (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–127
Iz zgodovine
Euler pred Fourierom (Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128–133
Nove knjige
Stein manifolds and holomorphic mappings: the homotopy principle
in complex analysis (Jasna Prezelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134–136
Zero product determined algebras, Frontiers in Mathematics
(Peter Šemrl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137–138
Nonlinear analysis – theory and methods (Matija Cencelj) . . . . . . . . . . . . 139–140
Domination Games Played on Graphs (Vesna Iršič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141–143
Vesti
Dr. Nada Razpet – nova častna članica Društva matematikov, fizikov in
astronomov (Dr. Milan Hladnik, dr. Izidor Hafner in
dr. Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144–145
Akad. prof. dr. Josip Globevnik, novi častni član DMFA Slovenije
(Akad. prof. dr. Franc Forstnerič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145–146
74. Občni zbor DMFA Slovenije uspešno izveden na daljavo
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147–151
Metka Jemec, Katja Kmetec, dr. Renato Lukač, Miran Ravnjak in
Franc Savnik prejemniki priznanj DMFA za leto 2021
(V imenu komisije pripravil Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152–156
Francu Cvelbarju v spomin (1932–2021)
(Mitja Rosina in Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157–159
Letno kazalo (uredništvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160–XVI
CONTENTS
Articles Pages
Kampyle of Eudoxus (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–127
Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128–133
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134–145
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146–XVI
Na naslovnici: Evdoks iz Kníde, starogrški astronom in matematik, je morda
najbolj znan po svojem geocentričnem planetarnem sistemu koncentričnih sfer, s
katerim je opisal tudi retrogradno gibanje planetov (leva slika). V teoriji števil je
izjemna njegova definicija razmerij, s katero je odpravil težave z neprimerljivimi
veličinami in je navdihnila Dedekinda pri njegovi definiciji realnih števil. Problem
podvojitve kocke je rešil z vpeljavo krivulje kampile (slika desno) – glej članek na
straneh 121–127.