i
i
“940-Domajnko-tri” — 2010/6/14 — 10:55 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 16 (1988/1989)
Številka 4
Strani 229–231
Vilko Domajnko:
TRI MODRE
Ključne besede: razvedrilo, naloge.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/16/940-Domajnko.pdf
c© 1989 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
TRI MODRE
--1
---+ 1
ali
Za začetek si najprej le bežno oglejmo tri modre iz precej davnih časov.
Prve modre se je domislil Kitajec Gonsung Long, ki je živel približno 200
let pred našim štetjem , za časa vladavine dinastije Zhou (beri: Ču) . Takole gre:
"Vzemi za laket dolgo palico in jo slehernega dne prelomi na pol. Na-
slednjega dne boš dal na pol le še njeno polovičko, nato le še četrtino, .., Pa
vendarle palice na tak način nikdar ne bo zmanjkalo. Niti čez desettisoč gene-
racij ne, ki bi morebiti nadaljevale z lomljenjem ostankov te palice."
Druga modra prihaja iz glave starega Grka Zenona , ki jo je domislil pribli-
žno kakšnih 200 let pred življenjem Gonsung Longa. Pravi pa takole:
"Recimo, da bi rad šel po ravni črti od točke A do točke 8 . Da bi prišel
do 8, moram najprej prehoditi polovico razdalje med A in 8 . Recimo - razda-
ljo X8~ . ln - da bi prišel do 8 1 , moram najprej priti do 8 2 , ki leži na polovici
poti med A in 8 1 • To lahko kar naprej ponavljam. Zmeraj je pač treba prehodi-
ti najprej polovico poti pred seboj. In v okviru takšnega razmišljanja je seveda
precej jasno, da se sploh nikdar ne bom premakn il z mesta v točki A. Sleherno
gibanje je torej nemogoče!"
Tretja modra je zelo blizu druge. Le nekaj desetletij pred Zenonom jo je
povedal Demokrit. Tudi on je bil iz Grčije.
"Vzemi jabolko in ga prereži na pol. Nato razpolovi dobljeno polovičko.
Zatem razpolovi preostalo četrtino jabolka; zatem razpolavljaj spet in spet.
Dokler gre. Povej. največ kolikokrat ti bo uspelo razpolavljati jabolko na tak
način?"
Pa poglejmo, koliko je skupnega v teh treh domislicah in v čem se med
seboj razhajajo.
Gonsung Long pravi tole :
Polovica palice in še njena četrtina in še njena osmina in še njena šest-
najstina in še ... - to vse skupaj (kar so ostank i pri lomljenju palice na sleher-
nem izmed korakov) je zagotovo manj od začetne ene cele palice. Pa če šetako
dolgo lomim in kopičim ostanke. Torej
1 1 1 1
+ - + - + -- + - - + ....
2 4 8 16 32
1 1 1 1 1
- + -- + -- + -- + -- +
2 22 23 24 25
Tak zapis pomeni, da se vsota na levi sicer zares "zelo zelo" približa vre-
dnosti 1, vendar je pa žal nikdar ne doseže. Zmeraj j i vsaj še malo manjka .
229
Gonsung Long pravi, da niti desettisoč členov v tej vsoti ni dovolj. da bi bila
njena vrednost 1. Dovolj bi jih bilo kvečjemu neskončno (7) mnogo . Vsi pa
vemo, da je to (neskončno) zelo zelo zelo daleč!
Zenon pa o istem problemu modruje iz natanko nasprotne strani. ln sicer
pravi takole :
"Res je, da z lahkoto prehodim polovičko razdalje med A in B. N ičkoliko­
krat sem jo že! Res je, da z lahkoto prehodim tudi njeno četrtino, pa njeno
osmino, njeno šestnajstino, oo. Vse to gre prav zlahka. Toda - prvi korak, tisti,
prvi ! Njega ne zmorem storiti. Pa saj ne, da bi bil predolg, o, ne! Prej obratno,
zelo kratek bi naj bil! Toda - ne vem, kdaj ga naj storim. Brž, ko se odločim -
sedaj!, spoznam, da bi že prej. še pred tem, moral storiti tistega za polovico
krjšega . In še pred njim tistega .:"
Torej drži, da bi naj bila vsota vseh teh njegovih premikov
AB AB
+ -- +.... 32 16
kar ves premik od A do B
AB AB AB
+ -- + - -- +
8 4 2
AB AB AB AB
....+ -25- +"24 + 23 + 22 +
AB
2
--AB
če... - če bi le bil sposoben poiskati začetek.
No, sedaj pa je že jasno. Vidimo, da je Zenonova vsota povsem identična z
Gonsung Longovo, le da je njen zapis zrcalen. To pa že pomeni, da oba moža -
karja trdita pravzaprav eno in isto! Gonsung Long pravi, da se v njegovi vsot i na
levi strani ne da priti do konca in da je zatorej treba kar v neskončnost . Zenon
pa, da se v njegovi vsoti na levi ne da stopiti na začetek . Treba bi bilo začeti v
neskončnosti. To pa je zares težko, seveda!
Vendar pa zaplet, ki je nastal, navidez prav presenetljivo " neproblemat i-
čno" razvozla Demokrit.
Na prvi pogled se zdi Demokritov problem skorajda povsem enak Gonsung
Longovemu. Razlika je le v tem, da Demokrit razpolavlja jabolko, Gonsung
Long pa palico. Toda! Demokrit pravi, da lahko (jabolko) razpolavljam le tako
dolgo, dokler ne pridem do delca, ki je nedeljiv . Do atoma torej I ln pri njel.1 se
ves ta postopek razpolavljanja seveda ustavi.
Mimogrede - z nekaj srednješolske matematične spretnosti se da brž izra-
čunati, da noben Demokrit ne bi mogel jabolka razpoloviti več kakor gO-krat.
Več o tem najdete v članku (2) .
230